資源簡介

1.3 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示 9 題型分類
一、空間直角坐標(biāo)系
1．空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念
(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點 O 和一個單位正交基底{i，j，k}，以 O 為原點，分別以 i，j，k 的方
向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x 軸、y 軸、z 軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建
立了一個空間直角坐標(biāo)系 Oxyz.
(2)相關(guān)概念：O 叫做原點，i，j，k 都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為
Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它們把空間分成八個部分．
2．右手直角坐標(biāo)系
在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向 x 軸的正方向，食指指向 y 軸的正方向，如果中指指向 z 軸的正方向，
則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．
二、空間點的坐標(biāo)
→
在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz 中，i，j，k 為坐標(biāo)向量，對空間任意一點 A，對應(yīng)一個向量OA，且點 A 的位置由
→ →
向量OA唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使OA＝xi＋yj＋zk 在單位正交
→
基底 {i，j，k}下與向量 OA 對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點 A 在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作
A(x，y，z)，其中 x 叫做點 A 的橫坐標(biāo)，y 叫做點 A 的縱坐標(biāo)，z 叫做點 A 的豎坐標(biāo)．
三、空間向量的坐標(biāo)
→
在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz 中，給定向量 a，作OA＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，
使 a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做 a 在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz 中的坐標(biāo)，上式可簡記作 a＝(x，y，
z)．
四、空間向量的坐標(biāo)運算
設(shè) a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
向量運算 向量表示 坐標(biāo)表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
減法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數(shù)乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
數(shù)量積 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
五、空間向量的平行、垂直及模、夾角
設(shè) a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
當(dāng) b≠0 時，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23；
a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
cos〈a,b〉＝ ＝ .
|a||b| a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b32
六、空間兩點間的距離公式
設(shè) P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，
→
則 P1P2＝|P 1P2|＝ x2－x1
2＋ y2－y1 2＋ z2－z1 2.
（一）
求空間點的坐標(biāo)
(1)空間直角坐標(biāo)系有的作用:
可以通過空間直角坐標(biāo)系將空間點、直線、平面數(shù)量化，將空間位置關(guān)系解析化;
(2)空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo):
x 軸上的點的坐標(biāo)為(x,0,0)，y 軸上的點的坐標(biāo)為(0,y,0)，z 軸上的點的坐標(biāo)為(0,0,z)．
(3)空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)平面上的點的坐標(biāo):
Oxy 平面上的點的坐標(biāo)為(x,y,0)，Oyz 平面上的點的坐標(biāo)為(0,y,z)，Oxz 平面上的點的坐標(biāo)為(x,0,z)．
(4)建立空間直角坐標(biāo)系的原則：
①讓盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面上；
②充分利用幾何圖形的對稱性．
(5)求某點的坐標(biāo)時，一般先找這一點在坐標(biāo)軸(坐標(biāo)平面)的射影，確定坐標(biāo)軸(坐標(biāo)平面)點的坐標(biāo)，再找出
它在另外兩個軸上的射影，確定點的坐標(biāo).
題型 1：求空間點的坐標(biāo)
uuur
1-1．（24-25 高二下·全國·課堂例題）如圖，四棱錐P - OABC r的底面為矩形，PO ^平面OABC ，設(shè)OA = a ，
uuur r uuur r r uuur uuur uuurOC = b ，OP = c ，E ，F(xiàn) 分別是PC
r r uuur
和 PB的中點，試用 a ，b ， c 表示BF ， BE ， AE，EF ，并分別指出
它們在這組基下的坐標(biāo).
【答案】答案見解析
uuur uuur uuur uuur
【分析】連接BO，結(jié)合圖形利用向量的線性運算可以表示出BF ， BE ， AE，EF ，并直接寫出它們在這
組基下的坐標(biāo).
【詳解】連接BO，如圖所示，
uuur 1 uuur 1 uuur uuur rBF BP 1 r r 1 r 1 r 1 r則 = = BO + OP = -b - a + c = - a - b + c ，2 2 2 2 2 2
r
在基{ar,b ,cr} 1下的坐標(biāo)為 - , 1 , 1- .
è 2 2 2 ÷
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
BE BC CE ar 1 CP ar 1 CO OP ar 1 b 1 cr= + = - + = - + + = - - + ，2 2 2 2
{ar
r
在基 ,b ,c
r} 下的坐標(biāo)為 -1, 1 1- , 2 2 ÷ .è
uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuurAE AP r r 1 r
r r 1 r 1 r
= + PE = AO + OP + PO + OC = -a + c + -c + b = -a + b + c ，2 2 2 2
r r r 1 1
在基{a,b ,c}下的坐標(biāo)為 -1, , ÷ .
è 2 2
uuur 1 uuur 1 uuurEF = CB 1 r= OA = a ，
2 2 2
r
在基{ar,b ,cr} 1下的坐標(biāo)為 ,0,0 2 ÷ .è
1-2．（24-25 高二上·福建三明·階段練習(xí)）如圖，在長方體OABC - O1A1B1C1中，OA = 4，OC = 6，OO1 = 2，
點 P 是 B1C1 的中點，則點 P 的坐標(biāo)為（ ）
A． (2,6, 2) B． (3,4,2) C． (4,6, 2) D． (6, 2,1)
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)的寫法，結(jié)合中點公式，即可求解.
【詳解】由題意，長方體OABC - O1A1B1C1中，OA = 4，OC = 6，OO1 = 2，
可得B1(4,6, 2),C1(0,6, 2) ，
因為點 P 為 B1C1 的中點，由中點公式可得，點 P 的坐標(biāo)為P(2,6, 2) .
故選：A.
uuur uuur
1-3．（2024 高二上·廣西欽州·期中）已知點 A 2,4,0 、 B 1,3,3 ，且滿足 2AQ = QB，則Q點的坐標(biāo)為（ ）
11 5
A． , ,1
5
÷ B． ,
11,1 5÷ C． ,1,0

÷ D． 1,0,1
è 3 3 è 3 3 è 3
【答案】B
【分析】設(shè)點Q x, y, z ，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算可求得點Q的坐標(biāo).
uuur uuur
【詳解】設(shè)點Q x, y, z ，由 2AQ = QB，則 2 x - 2, y - 4, z = 1- x,3- y,3- z ，
ì
x
5
=
ì2 x - 2 =1- x 3
2 y 4 3 y y 11 5 11 所以， í - = - ，解得 í = ，故點Q , ,1÷ .
2z = 3- z
3 è 3 3
z =1

故選：B.
AC
1-4．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）若 A 23,2,4 B 1,2,-8 ，點 C 在線段 AB 上，且 =AB 3 ，則點 C 的坐標(biāo)
是 .
5
【答案】 , 2, -4÷
è 3
uuur uuur
【分析】設(shè)點C 的坐標(biāo)為 x, y, z 2，由題意可得 AC = AB，即可得到方程組，解得即可求得C 的坐標(biāo)．
3
AC 2
【詳解】解：Q點 A 3,2,4 B 1,2,-8 ，C 為線段 AB 上一點，且 =AB 3 ，
uuur
AC 2
uuur uuur
所以 = AB， AB = -2,0,-12
3
uuur
設(shè)點C 的坐標(biāo)為 x, y, z ，則 AC = x - 3, y - 2, z - 4 ，
ì 4
x - 3 = -
3
則 x - 3, y - 2, z - 4 2= -2,0,-12 3 ，即 íy - 2 = 0 ，
z - 4 = -8

ì
x
5
=
3 5
解得 íy = 2 ，即C , 2, -4 ；
è 3
÷
z 4 = -

5 ,2, -4 故答案為： ÷．
è 3
1-5．（24-25 高二下·全國·課堂例題）畫一個正方體 ABCD - A1B1C1D1，若以A 為坐標(biāo)原點，分別以有向直線
AB ， AD ， AA1為 x 軸、 y 軸、 z 軸的正方向，取正方體的棱長為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系，則
①頂點 A, D1的坐標(biāo)分別為 ；
②棱C1C 中點的坐標(biāo)為 ；
③正方形 AA1B1B對角線的交點的坐標(biāo)為 .
0,0,0 0,1,1 1,1, 1 1 1 【答案】 ， ÷ ,0,
è 2 è 2 2 ÷
【分析】根據(jù)線段長度寫出點的坐標(biāo)，再根據(jù)中點坐標(biāo)公式寫出中點坐標(biāo).
【詳解】
如圖， (0,0,0)，D1 0,1,1 ， (1,1,0)，C1 1,1,1 ，
所以C1C E

中點 1,1,
1
è 2 ÷
，

因為四邊形 ABB1A1為正方形，所以對角線的交點即為 AB1的中點，
B 1,0,1 H 1 ,0, 1 由 (0,0,0)， 1 得中點 2 2 ÷，è
故答案為： 0,0,0 ， 0,1,1 1,1, 1 1 ,0, 1 ； ；2 ÷ 2 2 ÷ .è è
（二）
空間點的對稱問題
（1）空間直角坐標(biāo)系中對稱點的坐標(biāo)：
①點(a,b,c)關(guān)于原點 O 的對稱點為(-a,-b,-c);
②點(a,b,c)關(guān)于 x 軸的對稱點為(a,-b,-c);
③點(a,b,c)關(guān)于 y 軸的對稱點為(-a,b,-c);
④點(a,b,c)關(guān)于 z 軸的對稱點為(-a,-b,c);
⑤點(a,b,c)關(guān)于 Oxy 平面的對稱點為(a,b,-c);
⑥點(a,b,c)關(guān)于 Oyz 平面的對稱點為(-a,b,c);
⑦點(a,b,c)關(guān)于 Ozx 平面的對稱點為(a,-b,c).
（2）空間點對稱問題的兩個技巧：
①空間點的對稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解．
②對稱點的問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個結(jié)論．
題型 2：求空間直角坐標(biāo)系中對稱點的坐標(biāo)
2-1．（2024·高二課時練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點 (-2,1,4)關(guān)于 x 軸對稱的點坐標(biāo)是（ ）
A． (-2,1, -4) B． (2,1,-4) C． (-2,-1,-4) D． (2,-1,4)
【答案】C
【分析】利用空間直角坐標(biāo)系對稱點的特征即可求解.
【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點 (-2,1,4)關(guān)于 x 軸對稱的點坐標(biāo)為 (-2,-1,-4) .
故選：C.
uuuuuur
2-2．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知點M1 ，M 2 分別與點M (1, -2,3) 關(guān)于 x 軸和 z 軸對稱，則M1M 2 =
（ ）
A． (-2,0,6) B． (2,0, -6) C． (0, 4, -6) D． (0, -4,6)
【答案】A
【分析】在空間直角坐標(biāo)系中，求出點M (1, -2,3) 關(guān)于 x 軸和 z 軸對稱的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)表示即可
得解.
【詳解】依題意，點M (1, -2,3) 關(guān)于 x 軸對稱點M1(1, 2,-3) ，關(guān)于 z 軸對稱點M 2 (-1,2,3)，
uuuuuur
所以M1M 2 = (-2,0,6) .
故選：A
2-3．（2024·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點 A 1,2,3 關(guān)于Oxy 平面的對稱點為 B ，而點 B 關(guān)于 x 軸
uuur
的對稱點為C ，則 BC =（ ）
A． 2 10 B． 2 13 C． 2 15 D．8
【答案】B
uuur uuur
【分析】由對稱性分別求出 B、C，則有BC ，即可求得 BC
【詳解】由題意B = 1,2,-3 ，則C = 1,-2,3 ，
uuur uuur
故BC = 0, -4,6 ， BC = 16 + 36 = 2 13 .
故選：B
2-4．（2024·河北石家莊·高二石家莊市第十七中學(xué)校考階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz 中，P 是坐標(biāo)平面
xOy 內(nèi)一動點，M 4,2,2 ，Q 7,5, 4 ，當(dāng) PM + PQ 最小時 P 的坐標(biāo)為___________.
【答案】 5,3,0
【分析】先利用對稱找出 P 的位置，再結(jié)合三角形相似以及空間向量的運算即可求解
【詳解】過點M 作平面 xOy 垂線MA，垂足為A ，延長MA到 N ，使得MA = AN ，
過點Q作平面 xOy 垂線MB，垂足為 B ，
則 A 4,2,0 ， N 4,2,-2 ，B 7,5,0 ，
因為M 與 N 關(guān)于平面 xOy 對稱，
所以 PM + PQ = PN + PQ NQ ，
所以當(dāng) PM + PQ 最小時點 P 是連接 NQ 與平面 xOy 的交點，
連接 AB ，易知M , A, N , B,Q, P共面，且VANP與VBQP相似，
AP AN 2 1
所以 = = =BP BQ 4 2 ，
uuur 1 uuur
所以 AP = AB，
3
uuur uuur
設(shè)P x, y,0 ，則 AP = x - 4, y - 2,0 , 1 AB 1= 7 - 4,5 - 2,0 = 1,1,0 ，
3 3
所以 x - 4 =1, y - 2 =1，解得 x = 5, y = 3，
所以 P 的坐標(biāo)為 5,3,0 ，
故答案為： 5,3,0
（三）
空間向量的坐標(biāo)
1、向量坐標(biāo)的求法：
(1)點 A 的坐標(biāo)和向量 的坐標(biāo)形式完全相同；
(2)起點不是原點的向量的坐標(biāo)可以通過向量的運算求得．
2、用坐標(biāo)表示空間向量的步驟：
(1)觀察圖形：充分觀察圖形；
(2)建坐標(biāo)系：由圖形特征建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；
(3)活用運算：綜合利用空間向量的加減及數(shù)乘運算；
(4)確定結(jié)果：由基向量表示出空間向量，確定坐標(biāo).
題型 3：空間向量的坐標(biāo)
3-1．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在直三棱柱 ABC-A1B1C1的底面△ABC 中，CA＝CB＝1，∠BCA＝
uuur uuur uuur
90°，棱 AA1＝2，M，N 分別為 A1B1，A1A 的中點，試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求向量BN ，BA1 ， A1B 的坐標(biāo)．
uuur uuur uuur
【答案】BN ＝(1，－1，1)，BA1 ＝(1，－1，2)， A1B ＝(－1，1，－2)．
【分析】以點 C 為原點，分別以 CA，CB，CC1的方向為 x 軸，y 軸，z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系
C-xyz，利用空間向量坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】由題意知 CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以點 C 為原點，分別以 CA，CB，CC1的方向為 x 軸，y
軸，z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系 C-xyz，如圖所示．
則 B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，
uuur uuur uuur
∴ BN ＝(1，－1，1)，BA1 ＝(1，－1，2)， A1B ＝(－1，1，－2)．
uuuur
3-2．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，若點M 是側(cè)面CDD1C1 的中心，則 AM 在基
uuur uuur uuur底 AA1, AD, AB 下的坐標(biāo)為（ ）
1 ,1, 1 1 1 1 1- 1 1 A． 2 2 ÷
B． ,-1, ÷ C． - ,1,2 2 2 2 ÷
D． ,1,2 2 ÷è è è è
【答案】D
uuuur
AM 1
uuur uuur 1 uuur
【分析】利用向量運算求得 = AA1 + AD + AB，從而確定正確選項.2 2
【詳解】由題可知，M 為DC1的中點，
uuuur uuur uuuur uuur 1 uuuur uuur
∴ AM = AD + DM = AD + DD + DC
2 1
uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur= AD + AA1 + AB = AA1 + AD + AB，2 2 2
1
∴坐標(biāo)為 ,1,
1
2 2 ÷
.
è
故選：D
3-3．（2024 高二·江蘇·課后作業(yè)）如圖，在長方體OABC - D A B C 中，OA = 3，OC = 4，OD = 2 ，以
ì1 uuur uuur uuuur
í OA,
1 OC, 1 OD ü 為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz ．
3 4 2
(1)寫出 D ，C， A ，B 四點的坐標(biāo)；
uuuur uuur uuuur uuuur
(2)寫出向量 A B ， B B ， A C ， AC 的坐標(biāo)．
【答案】(1)點 A (3, 0, 2) ，點B (3,4,2)，點 C (0,4,0) ， D (0,0, 2)
uuuur uuur uuuur uuuur
(2) A B = (0, 4,0)；B B = (0,0,-2) ； A C = (-3,4,0)； AC = (-3,4,2)．
【分析】（1）根據(jù)如圖所示的空間直角坐標(biāo)系以及長方體的長寬高可直接寫出點的坐標(biāo)；
（2）利用向量坐標(biāo)的線性運算可得向量的坐標(biāo).
【詳解】（1）點 D 在 z 軸上，且OD = 2 ，
所以點 D 的坐標(biāo)是 (0,0, 2) ．
同理，點 C 的坐標(biāo)是 (0,4,0) ．
點 A 在 x 軸、y 軸、z 軸上的射影分別為 A，O， D ，
它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為 3，0，2，所以點 A 的坐標(biāo)是 (3, 0, 2) ．
點B 在 x 軸、y 軸、z 軸上的射影分別為 A，C， D ，
它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為 3，4，2，所以點B 的坐標(biāo)是 (3,4,2)．
uuuur uuur
（2） A B = OC = (0, 4,0)；
uuur uuuur
B B = -OD = (0,0, -2) ；
uuuuv uuuuv uuuur
A C = A D + D C = -3,0,0 + 0,4,0 = -3,4,0 ；
uuuur uuur uuur uuuur
AC = AO + OC + CC = -3,0,0 + 0,4,0 + 0,0,2 = (-3,4,2)．
3-4．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在長方體 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F(xiàn) 分別為 D1C1，B1C1 的中點，若以
uuur uuur uuurAB, AD, AA uuur uuur uuuur1 為基底，則向量 AE 的坐標(biāo)為 ，向量 AF 的坐標(biāo)為 ，向量 AC1 的坐標(biāo)為 .
1 1
【答案】 ,1,1 1, ,1 (1,1,1)
è 2 ÷ è 2 ÷
uuur uuur uuur uuur uuur uuuur
【分析】利用向量的運算用 AB, AD, AA1 表示向量 AE ， AF ， AC1 ，即可得出答案.
uuur uuur uuuur uuuur 1 uuur uuur uuur 1
【詳解】因為 AE = AD + DD1 + D1E = AB + AD
uuur
+ AA 1 ，所以向量 AE 的坐標(biāo)為 ,1,1

.
2 ֏ 2
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
因為 AF = AB + BB1 + B1F = AB
1
+ AD + AA1 ，2
uuur 1
所以向量 AF 的坐標(biāo)為 1, ,1 .
è 2 ÷
uuuur uuur uuur uuur uuuur
因為 AC1 = AB + AD + AA1 ，所以向量 AC1 的坐標(biāo)為 (1,1,1) .
1
故答案為： ,1,1
1
÷；2
1, ,1÷； (1,1,1)
è è 2
【點睛】本題主要考查了空間向量及其運算的坐標(biāo)表示，屬于中檔題.
（四）
空間向量的坐標(biāo)運算
設(shè) a＝(a1，a2， a3)，b＝(b1，b2，b3)，
向量運算 向量表示 坐標(biāo)表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
減法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數(shù)乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
數(shù)量積 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
題型 4：空間向量的坐標(biāo)運算
r r
4-1．（2024 高二上·新疆昌吉·期中）已知空間向量a = 1,0,2 ,b = r r-2,1,3 ，則 a - 2b = .
【答案】 5,-2,-4
【分析】利用空間向量減法和乘法法則計算出答案.
ar
r r
【詳解】因為 = 1,0,2 ,b = -2,1,3 ，所以 ar - 2b = 1,0,2 - -4,2,6 = 5, -2, -4 ．
故答案為： 5,-2,-4

4-2．（2024 高二上·新疆巴音郭楞·階段練習(xí)）已知向量 a = 4,2,-4 ， b = 2,-1,1 ， c = -1,5,1 ，求：
(1) 2 a- 3b ；
(2) a× b ；
r
(3) ar r（× b + c）.
【答案】(1) 2,7,-11
(2)2
(3)4
【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)的線性運算即可求解，
（2）（3）根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求解，

【詳解】（1）由 a = 4,2,-4 ， b = 2,-1,1 得 2 a- 3b = 2 4,2,-4 - 3 2, -1,1 = 2,7, -11

（2） a× b = 4,2,-4 × 2,-1,1 = 8 - 2 - 4 = 2
r r r r r r r
（3） a × b + c = a ×b + a ×c = 2 - 4 +10 - 4 = 4
r r
56．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）已知 a = 2, -1, -2 ,b = 0,-1,4 ，求
r r r r r r r r r r r r
a + b, a - b, a ×b, 2a × -b , a + b × a - b .
ar
r r r r r r r r r
【答案】 + b = (2,-2,2)， a - b = (2,0, -6) ar
r
， ×b = -7 ， (2a) ×b =14， a - b × a + b = -8
【分析】利用空間向量線性運算與數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解.
【詳解】由題意，
ar
r
+ b = 2, -1, -2 + 0, -1,4 = 2, -2,2 ，
ar
r
- b = 2,-1, -2 - 0,-1,4 = 2,0,-6 ，
ar
r
×b = 2, -1, -2 × 0,-1,4 = 2 0 + -1 -1 + -2 4 = -7，
r r r r 2a × -b = -2a ×b = -2 -7 =14，
r r ra + b × ar - b = 2,-2,2 × 2,0,-6 = 2 2 + -2 0 + 2 -6 = -8 .
r r r
4-3．（2024 高二下·江蘇常州· r期中）若 a = (1, -2,1),b = (-1, -3,2)，則 (ar + b) r× (a - b) = （ ）
A．10 B．8 C．-10 D．-8
【答案】D
r r r r
【分析】根據(jù)條件，求出 a + b 、 a - b 的坐標(biāo)，再利用空間向量的坐標(biāo)運算法則求解.
r r r r
【詳解】因為 a = (1, -2,1),b = (-1, 3,2) r- ，所以 a + b = (0, r-5,3)， a - b = (2,1,-1)，則
(ar
r r
+ b) × (ar - b) = -5 - 3 = -8 ;
故選：D
4-4．（2024 高二上·天津河西·階段練習(xí)）以下各組向量中的三個向量，不能構(gòu)成空間基底的是（ ）
r r
A． a = 1,0,0 ，b = 0,2,0 ， cr 1= ( , - 2,0)
2
r r r
B． a = 1,0,0 ，b = 0,1,0 ， c = 0,0,2
r r
C．a(chǎn) = 1,0,1 ，b = 0,1,1 r， c = 2,1,2
r r
D． a = 1,1,1 ，b = 0,1,0 ， cr = 1,0,2
【答案】A
r r r r r r
【分析】結(jié)合空間三個向量 a ，b ， c 能構(gòu)成空間的基底，則向量 a ，b ， c 不共面，逐一檢驗即可.
r r r r r r
【詳解】若空間三個向量 a ，b ， c 能構(gòu)成空間的基底，則向量 a ，b ， c 不共面，反之亦然，
r r
對于 A，由 a =
r
1,0,0 ，b = r0,2,0 r 1 r 1 r 2 r r， c = ( , - 2,0)，得 c = a - b ，即向量 a ，b ， c 共面，不能構(gòu)成2 2 2
空間基底；
r r
對于 B cr xar，令 = + yb ，則 (0,0, 2) = (x, y,0)，不成立，即 ar,b ,cr不共面，可構(gòu)成基底；
ìx = 2
C cr xar
r r
對于 ，令 = + yb ，則 (2,1, 2) = (x, y, x + y)

，即 íy =1
r
無解，即 a,b ,cr不共面，可構(gòu)成基底；

x + y = 2
ìx =1
r r r
對于 D，令 c = xar + yb ，則 (1,0, 2) = (x, x + y, x)

，即 íx + y =1無解，即 a
r,b ,cr不共面，可構(gòu)成基底.

x = 2
故選：A
（五）
空間向量的平行、垂直及模、夾角
1.設(shè) a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
當(dāng) b≠0 時，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23；
a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
cos〈a,b〉＝ ＝ .
|a||b| a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23
注：利用空間向量的坐標(biāo)運算的一般步驟
(1)建系：根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．
(2)求坐標(biāo)：①求出相關(guān)點的坐標(biāo)；②寫出向量的坐標(biāo)．
(3)論證、計算：結(jié)合公式進(jìn)行論證、計算．
(4)轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化為平行與垂直、夾角與距離問題．
2.空間兩點間的距離公式
設(shè) P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，
則 P1P
→
2＝|P1P2|＝ x2－x1
2＋ y2－y1 2＋ z2－z1 2.
3.利用向量坐標(biāo)求空間中線段的長度的一般步驟
(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；
(2)求出線段端點的坐標(biāo)；
(3)利用兩點間的距離公式求出線段的長．
題型 5：空間向量的平行問題
r r r r
5-1．（2024 高二下·福建寧德·期中）已知向量 a = 1, t, 2 ，b = 2,-2, s ，若 a∥b，則實數(shù) t - s = （ ）
A．-2 B． 2 C．-4 D．-5
【答案】D
r r
【分析】根據(jù)共線向量基本定理確定a 與b 的關(guān)系，再分別求出 t和 s，進(jìn)而求解.
r r r r r r
【詳解】解：若 a∥b，則b = la(a 0)，
r r ì2 = l 1 ìl = 2
a 1, t, 2 b 2, 2, s -2 = lt 因為已知向量 = ， = - ，所以 í ，解得 ít = -1，

s = l 2 s = 4
所以 t - s = -5 .
故選：D .
r r r r r r
5-2．（2024 高二上·吉林延邊·階段練習(xí)）向量 a = x,1,1 ，b = 1, y,1 ， c = 2,-4,2 ，且 a ^ c ，b / /cr ，則
r
2ar + b = .
【答案】3 2
【分析】利用向量平行、垂直的坐標(biāo)表示求出 x，y，再利用坐標(biāo)求出向量的模作答.
r
【詳解】因 a = x,1,1 ， cr r= 2,-4,2 r，而 a ^ cr ar cr，則有 × = 2x - 4 + 2 = 0，解得 x =1，即 a = 1,1,1
r r
又b = r1, y,1 1 y 1，且b / /cr ，則有 = = ，解得 y = -2，即b = 1, -2,1 ，2 -4 2
r r r r 2 2
于是得 2a + b = (3,0,3)， 2a + b = 3 + 3 = 3 2 ，
r
所以 2a
r
+ b = 3 2 .
故答案為：3 2
r r r r
5-3．（2024 高二上·江蘇南通·期中）已知兩個向量 a = (2,-1,3)，b = (4,m,n)，且 a / /b，則m + n的值為
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
r r r r
【分析】由 a / /b，可知$l R ，使b = la ，利用向量的數(shù)乘運算及向量相等即可得解.
ì4 = 2l ìl = 2
r r r r
【詳解】∵ a / /b，∴ $l R ，使b = la ，得 ím = -l ，解得： ím = -2，所以m + n = 4

n = 3l n = 6
故選：C
r r
【點睛】思路點睛：在解決有關(guān)平行的問題時，通常需要引入?yún)?shù)，如本題中已知 a / /b，引入?yún)?shù)l ，使
r r r r 4 m n
b = la ，轉(zhuǎn)化為方程組求解；本題也可以利用坐標(biāo)成比例求解，即由 a / /b，得 = = ，求出 m，n.2 -1 3
r
5-4．（廣東省潮州市湘橋區(qū)南春中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題）已知 a = 1,2,-y ，
r r
b = x,1, 2 ，且 2b// r ra - b ，則（ ）
x 1 1A． = ， y =1 B． x = ， y = -4
3 2
y 1C． x = 2， = - D． x =1， y = -1
4
【答案】B
【分析】利用向量平行的充要條件列出關(guān)于 x、y 的方程組，解之即可求得 x、y 的值.
r r
【詳解】 a = 1,2,-y ，b = x,1, 2 ，
r r r
則 a - b = 1- x,1,-y - 2 ， 2b = 2x, 2, 4
r r r ì 2 1- x - 2x = 0
ìx 1=
由 2b// a - b

，可得 í
4 1- x - 2x
2
-y - 2 0，解之得= í
y = -4
故選：B
題型 6：空間向量的垂直問題
r r
6-1．（2024 高二下·福建寧德·期中）已知向量 a = 1,0,1 ，b = 1,2,0 .
r r r
(1)求a 與 a - b的夾角余弦值；
r r r r(2)若 2a + b ^ a - tb ，求 t的值.
【答案】(1) 10
10
(2) t
5
=
7
【分析】（1）利用向量坐標(biāo)夾角公式計算可得答案；
（2）利用向量垂直的坐標(biāo)運算可得答案.
r r
【詳解】（1）因為 a = 1,0,1 ，b = 1,2,0 ，
r r
所以 a - b = 0, -2,1 ，
r r r
a = 2 ， a - b = 5 ，
r r r
r r r a × a - b
所以 cos a,a - b = r r r
1 10
= = ；
a a - b 2 5 10
r r
（2） 2a + b = 2 1,0,1 + 1,2,0 = 3,2,2 ，
r r
a - tb = 1,0,1 - t 1,2,0 = 1- t, -2t,1
r r r r因為 2a + b ^ a - tb ，所以 r r r r2a + b × a - tb = 3 1- t - 4t + 2 = 0，
5
解得 t = .
7
6-2．（安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣民族中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高二上學(xué)期 11 月期中數(shù)學(xué)試題）已知點 A -2，0，2 、
uuur r uuurB -1，1，2 C -3，0，4 ar、 ， = AB，b = AC ．
cr r
uuur
(1) r若 = 3，且 c //BC ，求 c ；
r
(2)求 cos a
r
，b ；
r r
(3)若 kar + b 與 kar - 2b 垂直，求 k ．
r r
【答案】(1) c = -2，-1，2 或 c = 2，1，- 2 ；
(2) 10-
10
5
(3) k = - 或 k = 2
2
r r r
【分析】（1）利用空間向量平行充要條件設(shè)出 c = -2l，- l，2l ，再利用 c = 3列方程，進(jìn)而求得 c ；
r r r
（2）先求得 a = 1，1，0 r，b = -1，0，2 ，再利用公式即可求得 cos a，b 的值；
（3）利用空間向量垂直充要條件列出關(guān)于 k 的方程，解之即可求得 k 的值．
uuur
r r uuur【詳解】（1）QB -1，1，2 、C -3，0，4 ，\BC = -2，-1，2 ，Q c = 3，且 c //BC ，
\設(shè) c
r
= -2l，- l，2l ，且 (-2l)2 + (-l)2 + (2l)2 = 9，
r
解得l = ±1，\c = -2，-1，2 或 cr = 2，1，- 2 ；
r uuur r uuur
（2）Q A -2，0，2 、B -1，1，2 、C -3，0，4 ， a = AB，b = AC ，
r r
\a = 1，1，0 ，b = -1，0，2 ，
r r r
\cos ar，b a·b= r r
-1 10
= = -
a · b 2 5 10 ；
r r r r
（3）Qka + b = k -1，k，2 ， ka - 2b = k + 2，k，- 4 ，
r r
又 kar b kar+ 與 - 2b 垂直，
r r\ kar + b × kar - 2b = k -1 k + 2 + k 2 -8 = 0，
k 5解得 = - 或 k = 2．
2
r r r
6-3．（2024 高二下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知向量 a = -2, -1,2 ,b = -1,1,2 ,c = x, 2, 2 ．
r r
(1)求 a - 2b ；
r r
(2) c = 2 2 r cr當(dāng) 時，若向量 ka + b 與 垂直，求實數(shù) x 和 k 的值；
r
(3) r r若向量 c 與向量 a,b 共面向量，求 x 的值．
【答案】(1) 13
(2) x = 0， k = -3
1
(3) x = -
2
【分析】（1）根據(jù)空間向量的模長公式求解即可.
（2）根據(jù)空間向量的加法和數(shù)乘運算，可得坐標(biāo)表示，根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)計算公式，求解即可.
r r r
（3）根據(jù)向量共面定理，建立向量 c 與向量 a,b 之間的表示，可得方程組，求解即可.
r r
【詳解】（1）Qa = -2, -1,2 ，b = -1,1,2 ，
ar
r
\ - 2b = -2, -1,2 - 2 -1,1,2 = 0, -3,-2 ，
r r
\ a - 2b = 9 + 4 = 13 ．
r
（2）因為 | c |= 2 2 ，
所以 x2 + 22 + 22 = 2 2 ，解得 x = 0，
r r r r r
因為 ka + b = (-2k -1,1- k, 2k + 2)，且向量 ka + b與 c垂直，
r r r r
所以 (ka + b) ×c = 0， c = (0, 2, 2)
即 2 - 2k + 4k + 4 = 2k + 6 = 0 ，
\k = -3．
所以實數(shù) x 和 k 的值分別為0 和-3；
r r r
（3）解：設(shè) c = la + mb l, m R ，
則 (x, 2, 2) = l(-2, -1,2) + m(-1,1,2)
x 1 ,l 1 3解得， = - = - , m =
2 2 2
r r r
即 c
1 3
= - a + b，
2 2
r r r
所以向量 c與向量a ，b 共面．
r r r r r r
6-4．（2024 高二上·重慶渝中·階段練習(xí)）已知 a = 1,1,0 ，b = -1,0,2 ，且 ka + b與 2a - b 互相垂直，則實數(shù)
k 的值為（ ）
2 1 3 7
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】D
r r r r
【分析】根據(jù)題意，由空間向量的坐標(biāo)計算可得 ka + b = (k -1， k ， 2) ， 2a - b = (3，2， -2)，進(jìn)而由兩個
r r r r
向量垂直可得 (ka + b)g(2a - b) = 3(k -1) + 2k - 4 = 0，解可得 k 的值，即可得答案．
r r r r r r
【詳解】解：根據(jù)題意，向量 a = 1,1,0 .，b = -1,0,2 ，則 ka + b = (k -1， k ， 2) ， 2a - b = (3，2，
-2)，
r r r r r r r r
若向量 ka + b .與 2a - b .互相垂直，則有 (ka + b)g(2a - b) = 3(k -1) + 2k - 4 = 0，
解可得： k
7
= ；
5
故選：D.
題型 7：空間向量的距離問題
r r r r r
7-1．（2024 r高二上·山東日照·期末）已知 a = 2,1,3 ，b = -4,2, x ，且 a ^ b ，則 a - b = ．
【答案】 38
【分析】利用數(shù)量積公式求 x ，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求模.
r r
【詳解】因為 a ^ b ，所以-8 + 2 + 3x = 0，解得 x = 2
ar
r r r
所以 - b = 6, -1,1 ， a - b = 36 +1+1 = 38 .
故答案為： 38
7-2．（2024 高二下·江蘇·課后作業(yè)）如圖，在棱長為 1 的正方體 ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn) 分別為 D1D，
1 uuur
BD 的中點，G 在棱 CD 上，且CG = CD ，H 為 C1G 的中點．求| |.4 FH
41
【答案】
8
【分析】利用空間向量法求向量的模長得到結(jié)果.
【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 D－xyz，D 為坐標(biāo)原點，
則有D 0,0,0 E 0,0,
1 1 1
÷ ，F(xiàn) , ,0÷，C 0,1,0 ，C1 0,1,1 ，B1 1,1,1 G
0, 3， ,0
7 1
2 2 ÷，
H 0, ,
è 2 è è 4 è 8 2 ÷
，

uuur
FH 1 , 3 , 1= - ，
è 2 8 2 ÷
uuur 1 2 3 2FH 1
2
\ =
41
- 2 ÷
+ 8 ÷
+ 2 ÷
= .
è è è 8
r r r
7-3．（2024 高二上·北京·期中）已知向量 a = -1,2,1 r，b = 3, x,1 ，且 ar ^ b ，那么 b 等于（ ）
A． 10 B． 2 3 C． 11 D．5
【答案】C
【分析】先根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零求坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)求模長計算即可.
r r
【詳解】因為 a = -1,2,1 r，b = 3, x,1 r，且 a ^ b ，
r
所以-1 3 + 2x +1 1 = 0，即 x =1，所以b = 3,1,1 ，
r
所以 b = 32 +12 +12 = 11，
故選：C．
v v v
7-4．（2008·寧夏）已知向量 a = 0, -1,1 ,b = 4,1,0 , lav + b = 29 ，且l > 0，則l = ．
【答案】3
r r
【分析】利用向量的坐標(biāo)運算求得求出la + b = 4,1- l,l ，根據(jù)空間向量模的公式列方程求解即可.
v v v
【詳解】因為 a = 0, -1,1 ,b = 4,1,0 , lav + b = 29 ，
r r
所以la + b = 4,1- l,l ，
可得16 + 1- l 2 + l 2 = 29，
因為l > 0，解得l = 3，故答案為 3.
題型 8：空間向量的夾角問題
r r r
8-1 2024 r．（ 高二下·甘肅白銀·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知 a = (2, 2, -1)，b = (-1,3,1)，則 a 、b 夾
角的余弦值是 ．
11 1
【答案】 / 11
11 11
【分析】利用空間向量的夾角公式即可求解.
r r
【詳解】因為 a = (2, 2, -1)，b = (-1,3,1)，由空間向量的夾角公式可得，
r r r r
cos a,b agb 2 (-1) + 2 3+ (-1) 1 11< >= r r = =
a b 4 + 4 +1 1+ 9 +1 11 ，
r
所以 a
r 11
、b 夾角的余弦值是 ，
11
11
故答案為： .
11
uuuv uuuv
8-2．（2024 高三·甘肅武威·單元測試）已知空間三點 A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，則 AB 與CA的夾角
θ 的大小是 ．
【答案】120°
uuuv uuur
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算，求得 AB 與CA的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式，準(zhǔn)確運算，即可求解，得
到答案.
【詳解】由題意，空間三點 A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，
uuur uuur
則 AB = (-2,-1,3),CA = (-1,3, -2)，
uuur uuur
cosq uAuuBr ×CuuAur (-2) (-1) + (-1) 3 + 3 (-2) 1所以 = = = - ,AB × CA (-2)2 + (-1)2 + 32 × (-1)2 + 32 + (-2)2 2
又因為q [0o ,180o ]，所以q =120o .
故答案為：120o
【點睛】本題主要考查了空間向量的坐標(biāo)運算，以及向量的夾角公式的應(yīng)用，其中解答中熟記空間向量的
坐標(biāo)運算，以及向量的夾角公式，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.
r r
8-3．（2024 高二上·吉林長春·期末）若向量 a = 1,l,1 ,b = r2,-1,-2 ，且 ar 2與b 夾角的余弦值為 ，則l 等
6
于（ ）
A．- 2 B． 2 C．- 2 或 2 D．2
【答案】A
【分析】
利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.
r r
【詳解】因為 a = 1,l,1 ,b = 2,-1,-2 ，
r r r r
所以 a ×b = 2 - l - 2 = -l 2， a = 2 + l , b = 4 +1+ 4 = 3，
r r 2 r r r r r
又 a 與b 夾角的余弦值為 ， a ×b = a b cos a
r,b ，
6
所以-l = 2 + l 2 2 3 ，解得l 2 = 2 ，
6
注意到 -l > 0，即l < 0 ，所以l = - 2 .
故選：A.
r r r r r
8-4．（2024 高二上·山東臨沂·期末）已知空間向量 a = 1,0,1 ，b = 1,1,n ar，且 a ×b = 3，則向量 與b 的夾角
為（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】A
【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出 n，再利用向量夾角公式求出夾角.
r r r
【詳解】Qa ×b =1+ 0 + n = 3，解得 n = 2，則b = 1,1,2 ，
ar
r
= 1+ 0 +1 = 2 ， b = 1+1+ 4 = 6 ，
r
r r a
r
×b 3 3
設(shè)向量 a 與b 的夾角為q ，則 cosq = r r = =a b 2 6 2 ，
Qq 0, π r，\q π π= ，即 ar 與b 的夾角為 ．
6 6
故選：A．
r
8-5．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）已知向量 a = (-4,2,4),b = (-6,3, -2).
(1)求 | a |；
v v(2)求向量 a與b 夾角的余弦值.
【答案】(1) | a |= 6
11
(2)
12
【分析】（1）由向量的模長坐標(biāo)公式，可得答案；
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的公式，結(jié)合模長公式，再由夾角公式，可得答案.
【詳解】（1）因為 a = (-4,2,4)，所以 | a |= (-4)2 + 22 + 42 = 36 = 6 .
（2）因為 a = (-4,2,4),b = (-6,3, -2)，所以 a ×b = (-4,2,4) × (-6,3,-2) = 24 + 6 -8 = 22，
r r r
又因為 | a |= 6,| b |= (-6)2
22 11
+ 32 + (-2)2 = 7，所以 cos a,b = = .6 7 21
v va 11故 與b 夾角的余弦值為 .
12
r r
8-6．（2024 高二上·河南平頂山·階段練習(xí)）已知向量 a = 2,-1,2 ，b = 1,4,1 .
r r
(1)求 2a - b 的值；
r r r r
(2)求向量 a + 2b 與 a - b夾角的余弦值.
【答案】(1) 3 6 ；
(2) 3- .
3
【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運算及向量模的坐標(biāo)表示求解；
（2）根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示計算即可得解.
r r
【詳解】（1）∵ a = 2,-1,2 ，b = 1,4,1 ，
r r r
∴ 2a = 4,-2,4 ， 2a - b = 3, -6,3 ，
r r
∴ 2a - b = 32 + -6 2 + 32 = 3 6 ；
r r r r
r r r r a + 2b a - b
（2）設(shè) a + 2b 與 a - b的夾角為q ，則 cosq = r r r r ，
a + 2b × a - b
r r r r r r r r
a + 2b = 4,7,4 ， a + 2b = 9， a - b = 1, -5,1 ， a - b = 3 3 ，
4 1+ 7 -5
cosq + 4 1∴ -27 3= = = - ，
9 3 3 27 3 3
r r r r
∴ 3向量 a + 2b 與 a - b夾角的余弦值為- .3
題型 9：空間向量的投影問題
r r r
9-1．（江蘇省宿遷市 2023-2024 學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知向量 a = 0,1,1 ，b = 1,1,0 ，則向量b
r
在向量 a 上的投影向量為（ ）．
A． 0, -1, -1 B． -1,0, -1 1C． 0, ,
1 1
D ,0,
1
è 2 2 ÷
． ÷
è 2 2
【答案】C
【分析】根據(jù)投影向量的計算公式求解即可.
r r r
r r ar×b ar 0 1+1 1+1 0
r
a 1
r 1 1
【詳解】向量b 在向量 a 上的投影向量為 × = × = a = 0, ,a a 2 2 è 2 2 ÷
.

故選:C.
r r v
9-2．（2024 高二上·廣東惠州·期末）已知 a = 0,1,1 ，b = 0,1,0 av，則 在b 上的投影向量為（ ）
2 0,1,0 0, 1 , 1 A．1 B． C． D．
2 2 2 ֏
【答案】C
r r
【分析】根據(jù)題意得 cos a,b 2= ，進(jìn)而根據(jù)投影向量的概念求解即可.
2
r r r r
【詳解】解：因為 a = 0,1,1 ，b = 0,1,0 ，所以 a = 2, b =1，
r r r r
cos a,b ar ×b所以 = r
2
=
a b 2 ，
r r r rr r b 2
所以 a在b 上的投影向量為 a cos a,b × r = 2 0,1,0 = 0,1,0 b 2
故選：C
r r
9-3．（2024 高二下·江蘇徐州·期中）已知 a = 0,1,1 ,b = 0,0,1 r r，則 a 在b 上的投影向量為（ ）
A． 1,0,0 B． 0,0,1 C． 0,1,0 D． 0,
1 , 1
è 2 2 ÷
【答案】B
r r
【分析】根據(jù)題意得 cos a,b 2= ，進(jìn)而根據(jù)投影向量的概念求解即可.
2
r r r r
【詳解】因為 a = 0,1,1 ,b = 0,0,1 ，所以 a = 2, b =1，
r r r r
cos a,b ar ×br 2所以 = =a b 2 ，
r
av
v r r r b 2
所以 在b 上的投影向量為 a cos a,b × r = 2 0,0,1 = 0,0,1 b 2
故選：B
uuur
9-4．（2024 高二下·江蘇徐州·期中）已知 A 1,1,0 ，B 0,3,0 ，C 2,2,2 uuur，則向量 AB 在 AC 上的投影向量的
坐標(biāo)是（ ）
1 , 1 , 1 1 , 1 1- - - , A． 6 6 3 ÷
B． ÷
è è 6 6 3
1 1 1 1 1 1
C． - ,- ,- ÷ D． , ,
è 6 6 3 ÷ è 6 6 3
【答案】D
uuur uuur
【分析】先求 AB, AC ，再由投影向量的定義，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運算，模的坐標(biāo)運算公式求解.
【詳解】因為 A 1,1,0 ，B 0,3,0 ，C 2,2,2 ，
uuur uuur
所以 AB = -1,2,0 , AC = 1,1,2 ，
uuur 2 uuurAB = -1 + 22 + 02 = 5 AC = 12 +12 + 22所以 ， = 6 ，
uuur uuur
AB × AC = -1 1+ 2 1+ 0 2 =1，
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
所以向量 AB 在 AC 上的投影向量是 AB × u
AuuBr × AuuCur × uAuCur 1 AC 1= × = AC = 1 , 1 , 1
AB ÷ ，× AC AC 6 6 6 è 6 6 3
uuur uuur 1 1 1
所以向量 AB 在 AC 上的投影向量的坐標(biāo)是 , , ，
è 6 6 3 ÷
故選：D.
一、單選題
r r r r r
1．（2024 高二上·廣東深圳·期末）已知向量 a = (1,1, x)， b = (-2,2,3) ，若 (2a - b) × b = 1，則 x =（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．6
【答案】B
【分析】
r r
根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算可得 2a - b = (4,0, 2x - 3)，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算即可求解.
r r
【詳解】由題意知， 2a - b = (4,0, 2x - 3)
r r r
由 (2a - b) × b = 1，得 4 (-2) + 0 2 + (2x - 3) 3 =1，
解得 x = 3 .
故選：B.
r r r r r r
2．（2024 高二上·北京豐臺·期末）若向量a = (1,-1,l),b = (1,-2,1),c = (1,1,1)，滿足條件 (c - a) ×b = -1，則l =
（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
【答案】B
r r
【分析】首先通過向量的減法的坐標(biāo)運算可得 (c - a) = (0, 2,1- l) ，再通過數(shù)量積運算即可得解.
【詳解】根據(jù)向量的運算可得：
r r
(c - a) = (0, 2,1- l) ，
r r r
所以 (c - a) ×b = 0 1+ 2 (-2) + (1- l) 1
= -4 +1- l = -3 - l = -1，
所以l = -2 ，
故選：B
r r 2
3．（2024 高二上·天津·期中）若向量 a = 1,l,0 ，b = 2, -1,2 ，且 a→,b→的夾角的余弦值為 ，則實數(shù) l
3
等于（ ）.
4 4 4
A．0 B．- C．0 或- D．0 或
3 3 3
【答案】C
【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算及夾角公式，代入坐標(biāo)計算即可．
r r r
【詳解】由題意得 cos a
r,b a ×br 2 - l + 0 2< >= r = = a
2 + b2 4
2 ，解得l = 0或l = -a b ，1+ l × 4 +1+ 4 3 3
故選:C．
r r r r r r
4．（2024 高二上·天津·期末）已知空間向量 a = (1, 2,-3)，b = (2,-1,1) ， c = (2,0,3)，則a × (b + c) =（ ）
A．-10 B．3 3 C． (4,-2,-12) D． (5,0,-15)
【答案】A
【分析】
根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解.

【詳解】Qb+ c = (4,-1,4)，

\a×

b+ c ÷ = 4 1-1 2 - 3 4 = -10，
è
故選：A
r r r r r r
5．（2024 高二下·福建寧德·期中）已知 a = 2,3,-1 ， b = -2,1, 4 ， c = 2,l, 2 ，若 a ， b ， c三向量共面，
則實數(shù)l 等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
r r r
【分析】根據(jù)題意，設(shè) c = ma + nb ，列出方程組即可得到結(jié)果.
r r r r r r
【詳解】因為 a = 2,3,-1 ，b = -2,1, 4 ， c = 2,l, 2 ，且a ，b ， c三向量共面，
r r r
設(shè) c = ma + nb ，則 2,l, 2 = 2m,3m, -m + -2n, n, 4n ，
ì2 = 2m - 2n ìm = 2

即 íl = 3m + n ，解得 ín =1 .

2 = -m + 4n l = 7
故選：D
6．（2024 高三·甘肅武威·單元測試）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體 ABCD－A1B1C1D1 的棱長為1，
uuur
B1E
1
1 = A1B1，則BE1 等于（ ）4
1
A． 0, , 1
1 1- 1 ÷ B．4
- ,0,1÷ C． 0, - ,1÷ D．4 4
,0,-1÷
è è è è 4
【答案】C
uuur uuuur uuur
【分析】根據(jù)空間向量運算法則，利用BE1 = DE1 - DB，即可得出．
1
【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，正方體 ABCD－A1B1C1D1 的棱長為 1，B1E1 = A1B ，4 1
3 uuur uuuur uuur
則B 1,1,0 ，E1 1, ,1÷ ，BE1 = DE1 - DB =
1, 3 ,1 1
4 4 ÷
- 1,1,0 = 0,- ,1÷ .
è è è 4
故選：C．
【點睛】本題考查了向量共線定理、向量坐標(biāo)運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
r r r r r r r
7．（2024 高二下·江蘇南通·期中）設(shè) x 、 y R，向量 a = x,1,1 ，b = 1, y,1 ， c = 3,-6,3 且 a ^ c ，b//c ，
r r
則 a + b =（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C． 4 D．3
【答案】D
r r
【分析】利用空間向量垂直與共線的坐標(biāo)表示求出 x 、 y 的值，求出向量 a + b 的坐標(biāo)，利用空間向量的模
長公式可求得結(jié)果.
r r r r r
【詳解】因為 a ^ c ，則 a ×c = 3x - 6 + 3 = 0，解得 x =1，則 a = 1,1,1 ，
r r 1 y r
因為b//c ，則 = ，解得 y = -2，即b = 1, -2,1 ，3 -6
r r r r
所以， a + b = 2, -1,2 ，因此， a + b = 4 +1+ 4 = 3 .
故選：D.
8．（2024 高二上·北京豐臺·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知三點O(0,0,0), A(1,2,1),B(1,-1,0)，若點 C 在平
面OAB 內(nèi)，則點 C 的坐標(biāo)可能是（ ）
A． (-1, -1,3) B． (3,0,1) C． (1,1, 2) D． (1,-1,2)
【答案】B
uuur uuur uuur uuur
【分析】根據(jù)向量的運算可得OA = (1, 2,1)，OB = (1, -1,0) ，由OA，OB不共線，結(jié)合向量基本定理可得
uuur uuur uuur
OC = lOA + mOB = (l + m, 2l - m,l)，求得 C 點坐標(biāo)為 (l + m, 2l - m,l)，代入驗算即可得解.
uuur uuur
【詳解】由OA = (1, 2,1)，OB = (1, -1,0) ，
uuur uuur
顯然OA，OB不共線，
uuur uuur uuur
根據(jù)向量基本定理可得OC = lOA + mOB = (l + m, 2l - m,l)，
故 C 點坐標(biāo)為 (l + m, 2l - m,l)，
經(jīng)驗算只有 B 選項符合條件，
此時l =1, m = 2，
故選：B
r r r r r
9．（2024 高二上·遼寧大連·階段練習(xí)）設(shè) x,y R，向量 a = x,1,1 ，b = 1, y,1 ， c = 1, -2,1 ，且 a ^ c ，
r r r rb //c ，則 a + b =（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C．4 D．3
【答案】D
r r r r r r
【分析】先根據(jù) a ^ c 求出 ，再根據(jù)b//c 求出 y ，故可求 a + b .
r r
【詳解】因為 a ^ c ，故 x - 2 +1 = 0 ，故 x=1，
r r 1 y 1 r r
因為b//c ，故 = = ，故 y = -2，故 a = 1,1,1 ，b = 1, -2,1 ，1 -2 1
r r r r
故 a + b = 2, -1,2 ，故 a + b = 3，
故選：D.
10．（2024 高二上·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）已知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為 4，點 E 是棱CC1的中點，
動點 P 在正方形 AA1B1B內(nèi)（包括邊界）運動，且PD1∥平面BDE ，則PC 長度的取值范圍為（ ）
A． 5,6 B． é 4 2,6ù
é12 5 ù
C． ê ,6ú D5 ．
é
2 5,6ù

【答案】C
uuur uuur uuuur
【分析】以 D 為原點，以DA，DC ， DD1 的方向為 x，y，z 軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
uuur uuuur
D - xyz ．取 AA1的中點為 H，連接B1H ，D1H .證明出點 P 只能在線段HB1上運動．設(shè)HP = lHB1
uuur
（ 0≤l ≤1）表示出CP = 4,4l - 4,2 + 2l ，求出模長，利用二次函數(shù)求出 PC 長度的取值范圍.
uuur uuur uuuur
【詳解】以 D 為原點，以DA，DC ， DD1 的方向為 x，y，z 軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
D - xyz ．則D 0，0，0 ， A 4，0，0 ，B 4，4，0 ，C 0，4，0 ，D1 0，0，4 ， A1 4，0，4 ，B1 4，4，4 ，C1 0，4，4 ，
E 0，4，2 .
取 AA1的中點為 H，連接B1H ，D1H .
在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，BB1 = DD1 且BB1 / /DD1，所以四邊形 BB1D1D為平行四邊形，所以BD // B1D1 .
又B1D1 面HB1D1，BD 面HB1D1，
所以BD / /面HB1D1 .
同理可證：DE / / 面HB1D1 .
又DB DE = D ，所以平面B1D1H ∥平面BDE ．
uuur uuuur
因為PD1∥平面BDE ，所以點 P 只能在線段HB1上運動．易知H 4,0,2 ，設(shè)HP = lHB1 （ 0≤l ≤1），
uuuur uuur uuur uuuur uuur
HB1 = 0,4,2 ，則HP = 0,4l, 2l ，DP = DH + HP = 4,0,2 + 0,4l, 2l = 4,4l, 2 + 2l ，
uuur uuur uuur
CP = DP - DC = 4,4l, 2 + 2l - 0,4,0 = 4,4l - 4,2 + 2l ，
uuur 2
CP =16 +16 l -1 2 + 4 l +1 2 = 20l 2 - 24l + 36 ．
uuur 2 uuuv 2
當(dāng)l
3 144
= 時， CP 取得最小值 ；當(dāng)l = 0時， CP 取得最大值 36．
5 5
é12 5 ù
故 PC 長度的取值范圍為 ê ,6ú．
5
故選：C
【點睛】立體幾何求最值的方法有兩類：
（1）幾何法：利用幾何圖形求最值；
（2）代數(shù)法：把距離表示為函數(shù)，利用函數(shù)求最值.
11．（2024 高二下·廣西百色·階段練習(xí)）已知空間直角坐標(biāo)系O - xyz 中，
uuur uuur uuur uuur uuur
OA = (1, 2,3),OB = (2,1, 2),OP = (1,1, 2) ，點Q在直線OP 上運動，則當(dāng)QA ×QB 取得最小值時，點Q的坐標(biāo)為
（ ）
(1 , 3
1 3 3 4 4 8 1 3 7
A． ,
1) B． ( , , ) C． ( , , ) D． ( , , )
2 4 3 2 2 4 3 3 3 2 4 3
【答案】C
uuur uuur uuur uuur
【分析】利用向量OQ//OP表示出點 Q 坐標(biāo)，再求出QA，QB 的坐標(biāo)，借助數(shù)量積建立函數(shù)關(guān)系即可求
解.
uuur uuur uuur uuur
【詳解】因點 Q 在直線OP 上運動，則OQ//OP，設(shè)OQ = tOP = (t, t, 2t)，于是有Q(t, t, 2t)，
uuur uuur
因為OA = (1,2,3) ，OB = (2,1,2)，所以 A 1,2,3 ，B 2,1,2 ，
uuur uuur
因此QA = (1- t, 2 - t,3 - 2t)，QB = (2 - t,1- t, 2 - 2t)，
uuur uuur
于是得QA ×QB = (1- t)(2 - t) + (2 - t)(1- t) + (3 - 2t)(2 - 2t)
2
= 6t 2 -16t +10 = 6 t 4 2 - 3 ÷
- ，
è 3
4 uuur uuur 2 4 4則當(dāng) t = 時， QA ×QB = - ，此時點 Q , , 8 3 3 3 ÷ ，3 min 3 è
uuur uuur 4 4 8
所以當(dāng)QA ×QB 取得最小值時，點 Q 的坐標(biāo)為 , , .
è 3 3 3 ÷
故選：C
uuuv uuuv
12．（2024 高三上·福建龍巖·期末）正四面體 ABCD的棱長為 2，動點 P 在以BC 為直徑的球面上，則 AP × AD
的最大值為（ ）
A．2 B． 2 3 C．4 D． 4 3
【答案】C
【分析】建立空間坐標(biāo)系，設(shè)P x, y, z uuur uuur，求出 AP × AD 關(guān)于 x, y, z的表達(dá)式，根據(jù)球的半徑得出 x, y, z的取
值范圍，利用簡單的線性規(guī)劃得出答案.
【詳解】設(shè)BC 的中點為M ，以M 為原點建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，

A 3 2 6

則 ,0,3 3 ÷÷
, D 3,0,0 ，
è
uuur uuur
設(shè)P x, y, z 3 2 6 2 3 2 6，則 AP = x - , y, z - ÷÷， AD = ,0,- ，
è 3 3 è 3 3 ÷
÷

uuur uuur
\ AP 2 3 2 6× AD = x - z + 2，
3 3
QP在以M 為球心，以1為半徑的球面上，
\ x2 + y2 + z2 =1，
Q0 y 1，0 x2 + z2 1，
2 3
令 x 2 6- z + 2 = m，
3 3
2 3 2 6
則直線 x - z + 2 - m = 0與單位圓 x2 + z2 =1相切時，截距取得最小值，
3 3
2 - m
=1
2 2
令 2 3 2 6 ，解得m = 0或m = 4
3 ÷
+ - ÷
è è 3
uuur uuur
\ AP × AD 的最大值為 4 .
故選：C
【點睛】本題考查了空間向量的數(shù)量積以及簡單的線性規(guī)劃，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，
屬于難題.
13．（2024 高三上·湖北·階段練習(xí)）在長方體 ABCD - A1B1C1D1中， AA1 = 5， AD = AB = 4，M ， N ， P 分
別是棱C1D1，BC ，CC1上的點，且C1M = MD1，C P
3
1 = C1C CN
1
， = CB ，Q是平面 ABCD4 內(nèi)一動點，若5
uuur uuuur
直線 D1Q 與平面MNP 平行，則QB1 ×QD1 的最小值為（ ）
441 89 16
A． B．17 C． D．
25 5 25
【答案】A
r
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，求出平面 MPN 的法向量 n = 4,3,2 ，設(shè)出Q s, t,0 ，根據(jù)
uuuur r uuur uuuur 2
D1Q ×n = 0 求出 4s + 3t =10，計算出QB1 ×QD1 = s
2 - 4s t 2 4t 25 38+ - + 25 = t - 441
16 25 ÷
+ ，得到最小值.
è 25
【詳解】以 D 作坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D1 0,0,5 , N 1,4,0 , M 0,2,5 , P 0,4,2 , B1 4,4,5 ，
r
設(shè)平面 MPN 的法向量為 n = x, y, z ，
ìnr
uuuur
× MN = x, y, z × 1,2,-5 = x + 2y - 5z = 0
則 í r uuur ，
n × MP = x, y, z × 0,2,-3 = 2y - 3z = 0
r
令 y = 3，則 z = 2, x = 4，故 n = 4,3,2 ，
uuuur
設(shè)Q s, t,0 ，則D1Q = s, t, -5 ，
uuuur r
因為直線 D1Q 與平面MNP 平行，所以D1Q ×n = s, t,-5 × 4,3,2 = 4s + 3t -10 = 0，
uuur uuuur
QB1 ×QD1 = 4 - s, 4 - t,5 × -s,-t,5 = s2 - 4s + t 2 - 4t + 25，
4s 3t 10 s 10 - 3t因為 + = ，所以 = ，
4
uuur uuuur 2
故QB1 ×QD1 = s
2 - 4s + t 2 - 4t + 25 10 - 3t= ÷ -10 + 3t + t
2 - 4t + 25
è 4
25 38 2 441
= t -

16 25 ÷
+ ，
è 25
38 uuur uuuur 441
故當(dāng) t = 時，QB1 ×QD1 取得最小值，最小值為 .25 25
故選：A
二、多選題
r r
14．（2024 高二上·河北·階段練習(xí)）已知空間向量 a = (-2,-1,1)，b = (3, 4,5)，則下列結(jié)論正確的是（　　）
r r rA． (2a + b) / /ar B．5 | ar |= 3 | b |
r
C ar r r
r
． ^ (5a + 6b) D 3． a 與b 夾角的余弦值為-
6
【答案】BCD
【分析】
對于 A，結(jié)合向量平行的性質(zhì)，即可求解，對于 B，結(jié)合向量模公式，即可求解，對于 C，結(jié)合向量垂直的
性質(zhì)，即可求解，對于 D，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解．
【詳解】
r -1 2
因為 2a
r
+ b = (-1,2,7),ar = (-2,-1,1) ，且 2 1，故 A 不正確；- -
r r r
因為 | a |= 4 +1
r
+1 = 6 ， | b |= 32 + 42 + 52 = 5 2 ，則5 | a |= 3 | b |，故 B 正確；
5ar
r r
因為 + 6b = (8,19,35) ， a × r r r r r5a + 6b = -2 8 -1 19 +1 35 = 0，a ^ 5a + 6b ，故 C 正確；
r r r r ar
r
×b -5 3
由于 a = (-2,-1,1)，b = (3, 4,5)，所以 cos < a,b >= r r = = - ，所以 D6 正確.| a || b | 6 5 2
故選:BCD.
15．（2024 高二上·河北邯鄲·階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，已知VABC 的邊長為 2，三棱柱
uuur uuur uuuur
的高為1, BC, B1C1的中點分別為 D, D1，以D為原點，分別以DC, DA, DD1 的方向為 x 軸 y 軸 z 軸的正方向建
立空間直角坐標(biāo)系，則下列空間點及向量坐標(biāo)表示正確的是（ ）
A． A1 0, 3,1 B．C1 1,0,1
uuuur
C． AD1 = 0, - 3,1
uuur
D．B1A = 3, 3,-1
【答案】ABC
【分析】求出等邊三角形的高 AD 的長，根據(jù)三棱柱的棱長可得各點坐標(biāo)，然后求得向量的坐標(biāo)即可判斷．
【詳解】在等邊VABC 中， AB = 2, BD = 1，所以 AD = 3 ，則 A 0, 3,0 , A1 0, 3,1 ,C1 1,0,1 , D1(0,0,1)，
uuuur uuur
B1 -1,0,1 ，則 AD1 = 0, - 3,1 , B1A = 1, 3,-1 .
故選：ABC
r r
16．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）已知向量 a = 4,-2,-4 ，b = 6, -3,2 ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
r r r r
A． a + b = 10, -5,-2 B． a - b = 2, -1, -6
C ar
r r
． ×b = 22 D． a = 6
【答案】ACD
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運算，求解向量的加法、減法的坐標(biāo)，數(shù)量積及向量的模即可.
【詳解】
r r
因為 a = 4,-2,-4 ，b = 6, -3,2 ，
r r r r r r
所以 a + b = 10, -5,-2 ， a - b = -2,1, -6 ， a ×b = 4 6 + (-2) (-3) + (-4) 2 = 22，
ar = 42 + (-2)2 + (-4)2 = 6 .故正確的選項為 ACD.
故選：ACD
17．（2024 高二上·福建三明·期末）已知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為 2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)
系Dxyz，則（ ）
uuur
A．點C1的坐標(biāo)為（2，0，2） B．C1A = 2, - 2, - 2
C．BD1的中點坐標(biāo)為（1，1，1） D．點B1關(guān)于 y 軸的對稱點為（－2，2，－2）
【答案】BCD
uuur
【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，可求點C1的坐標(biāo)，由此判斷 A;求出C1A的坐標(biāo)，可判斷 B;
利用中點坐標(biāo)公式求得BD1的中點坐標(biāo)，可判斷 C;根據(jù)空間點關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱點的特點可判斷 D.
【詳解】根據(jù)題意可知點C1的坐標(biāo)為 (0, 2, 2)，故 A 錯誤；
uuur
由空間直角坐標(biāo)系可知： A(2,0,0),C1A = (2, -2, -2) ,故 B 正確；
由空間直角坐標(biāo)系可知：B(2, 2,0), D1(0,0, 2) ,故BD1的中點坐標(biāo)為（1，1，1），故 C 正確；
點B1坐標(biāo)為 (2,2,2)，關(guān)于于 y 軸的對稱點為（－2，2，－2），故 D 正確，
故選：BCD
三、填空題
r r r r r r
18．（2024 高二下·江蘇·課后作業(yè)）已知 i, j, k 是空間的一個單位正交基底，向量b = -5i + 2k 用坐標(biāo)形式可
表示為 ．
【答案】 -5,0,2
【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的坐標(biāo)表示直接寫出作答.
【詳解】因為 r r r r r ri, j, k 是空間的一個單位正交基底，則有b = -5i + 2k = (-5,0,2) .
r r r
所以向量b = -5i + 2k 用坐標(biāo)形式表示為 (-5,0,2) .
故答案為： (-5,0,2)
r r r r
19．（2024 高二下·江蘇·課后作業(yè)）若 a = (2,-1,4),b = (-1, t, -2) ，若a 與b 的夾角是銳角，則 t的值的取值范
圍為 .
【答案】 - , -10
r r r r r r
【分析】根據(jù)空間向量a 與b 的夾角是銳角可得 a ×b > 0 且a 與b 不同向共線，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算即
可求解.
r r r r
【詳解】因為a 與b 的夾角是銳角，所以 a ×b > 0 ，
即-2 - t -8 > 0，解得 t < -10，
r r r r
若a 與b 的夾角為0° ，則存在l ，使 a = lb，
ì 2 = -l
即 (2,-1,4) = l(-1, t, -2)

，所以 í -1 = lt ，解得 t
1
= .
4 2 2 = - l
故 t 的取值范圍是 (- , -10) .
故答案為： (- , -10) .
r r r
20．（2024 高二下·江蘇·課后作業(yè)）若 a = 2,-1,4 ，b = -1, t,-2 ，若 ar 與b 的夾角是鈍角，則 t 的值的取值
范圍為 .

【答案】 -10,
1 1 , +
è 2 ÷ è 2 ÷
r r r r r
【分析】由 a 與b r的夾角是鈍角轉(zhuǎn)化為 a ×b < 0 且 a 與b 不反向.
r r
【詳解】已知 a = 2,-1,4 ，b = -1, t,-2 ，
r r r r
因為 a
r
與b r的夾角是鈍角，所以cos a,b < 0，即 a ×b < 0 ，
r
即 a
r
×b = 2 -1 - t + 4 -2 = -t -10 < 0 ，解得 t > -10 .
ar
r r r
若 與b 的夾角為 180°，則存在l ，使 a = lb ，
ì2 = -l

所以 í-1 = lt
1
，解得l = -2 ， t = .
4 2 2 = - l
1
所以 t > -10，且 t .
2
故 t 的取值范圍是 -10,
1 1 , + .
è 2 ÷ è 2 ÷
r r 2 r
21．（2024 r高二下·江蘇·課后作業(yè)）已知向量 a = 5,3,1 ，b = -2,t,- ÷，若 a 與b 的夾角為鈍角，則實數(shù) t
è 5
的取值范圍為 ．
, 6 6 , 52 【答案】 - - ÷ -5 5 15 ÷è è
r r r
【分析】夾角為鈍角可得 ar ×b < 0 且 a 與b 不反向.
ar
r r
【詳解】由已知 與b 的夾角為鈍角，則cos a
r,b < 0，
r r
即 a ×b = 5
2 52
-2 + 3 t +1 -

÷ = 3t - < 0
52
，解得 t < .
è 5 5 15
r
若 a 與 b 的夾角為 180° l < 0 ar，則存在 ，使 = lb .
ì
5 = -2l

所以 í3 = tl
5 6 52 6
，所以l = - ， t = - ，所以 t < 且 t - .
2 52 15
5
1 = - l
5
6 6 52
故 t

的取值范圍是 - , - ÷ - , .
è 5 è 5 15 ÷
, 6 6 52 故答案為： - - ÷ - , ÷ .
è 5 è 5 15
r r r r
22．（2024 高二下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知向量 a = 2,-1,1 ，b = 1,2, t ，若a 與b 的夾角為鈍角，則實數(shù)
t的取值范圍為 .
【答案】 - ,0
r r r r r r
【分析】根據(jù)a 與b 的夾角為鈍角，由a ×b < 0，且 a,b不共線求解.
r r r r
【詳解】解：因為向量 a = 2,-1,1 ，b = 1,2, t ，且a 與b 的夾角為鈍角，
r r
所以 a
1 2 t
×b =1 2 + 2 -1 + t 1< 0，且 ，
2 -1 1
解得 t < 0，
所以實數(shù) t的取值范圍為 - ,0 ，
故答案為： - ,0
uuur uuur
23．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）已知點 A(4,-1,2)，B(2,-3,0)，點C 滿足BC = 2CA，則點C 的坐標(biāo)是 .
10 , 5【答案】 - ,
4
3 3 3 ֏
uuur uuur uuur
【分析】設(shè)C(x, y, z)，用OA,OB表示出OC ，即可得．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【詳解】設(shè)C(x, y, z)，O為坐標(biāo)原點.由點C 滿足BC = 2CA，得OC - OB = 2(OA - OC)，可得
uuur 1 uuur uuurOC (2OA OB) 1= + = [(8,-2,4) + (2,-3,0)] = 10 , 5- , 4 C
10 5 4
，則點 的坐標(biāo)是 ,- , .3 3 è 3 3 3 ÷ ÷ è 3 3 3
10 5 4
故答案為： ,- ,

÷．
è 3 3 3
uuur
【點睛】本題考查空間向量線性運算的坐標(biāo)表示，掌握向量的坐標(biāo)表示，O是坐標(biāo)原點，OC 的坐標(biāo)就是C
點的坐標(biāo)．
r r r
24．（2024 r高二下·四川成都·階段練習(xí)）已知兩個空間向量 a = m, - 4,2 ，b = 1,2, -1 ，且 a //b ，則實數(shù)m
的值為 ．
【答案】-2
r r
【分析】依題意可得 a = lb ，根據(jù)空間向量基本定理計算可得.
r r
【詳解】因為 a = m, - 4,2 ，b = r1,2, -1 r，且 a //b ，
ìm = l
r r
所以 a = lb ，即 m, - 4,2 = l 1,2, -1 ，即 í-4 = 2l ，解得l = m = -2 .

2 = -l
故答案為：-2
r r r r
25．（2024 高二下·遼寧本溪·階段練習(xí)）已知 a = (0,1- t, 2t -1)，b = (t + 2,2, t) ，則 a - b 的最小值為 ．
42 1
【答案】 / 42
3 3
r r r r
【分析】由已知先求 a - b，再寫出 a - b 表達(dá)式，即可求得最小值.
r r
【詳解】解：Q a = 0,1- t, 2t -1 ，b = t + 2,2, t ，
r r
\a - b = (-t - 2, -1- t, t -1)
r r
∴ a - b = (-t - 2)2 + (-1- t)2 + (t -1)2 = 3(t 2)2 14+ +
3 3
Q(t 2+ )2 0，
3
r r
a b 14 42
2 r r
\ - = ，當(dāng)且僅當(dāng) t = - 時等號成立，即 a - b 42的最小值為
3 3 3 3
42
故答案為： .
3
uuur uuur uuur
26 ．（ 2024· 浙 江 金 華 · 三 模 ） 已 知 OA、 OB、 OC 為 空 間 中 兩 兩 互 相 垂 直 的 單 位 向 量 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OP = xOA + yOB + zOC ，且 x + 2 y + 4z = 1，則 OP - OA - OB 的最小值為 ．
2 21
【答案】
21
uuur uuur uuur uuur
【分析】設(shè)OA = (1,0,0)，OB = (0,1,0)，OC = (0,0,1) ,利用向量的坐標(biāo)運算求出OP ，進(jìn)而求出
uuur uuur uuur
OP - OA - OB ，借助向量模的運算及 x + 2 y + 4z = 1，整理可得
uuur uuur uuur 2 2
OP OA OB

17z 8 y 21 y 17 4- - = + ÷ + - ÷÷ + ，進(jìn)而得解.è 17 è 17 21 21
uuur uuur uuur
【詳解】由題意可設(shè)OA = (1,0,0)，OB = (0,1,0)，OC = (0,0,1) ,
由 x + 2 y + 4z = 1，得 x = 1- 2 y - 4z ，
uuur uuur uuur uuur
OP = xOA + yOB + zOC = (x, y, z) ，
uuur uuur uuur
OP - OA - OB= x -1, y -1, z ，
uuur uuur uuur
OP - OA - OB = (x -1)2 + (y -1)2 + z2所以
= (2y + 4z)2 + (y -1)2 + z2
= 5y2 +17z2 +16yz - 2y +1
2
17z 8
2
y
21 17 4 4 2 21
= + ÷ +
è 17
y - ÷ + =
è 17 21 ÷ 21 21 21
17 8
（當(dāng)且僅當(dāng) y = ， z = - 時等號成立），
21 21
uuur uuur uuur
所以 |OP - OA - OB | 2 21的最小值為 .
21
2 21
故答案為： .
21
r r r
27．（2024 · r r r r高二下 上海寶山·期末）已知 a 、b 是空間互相垂直的單位向量，且 c = 8，c ×a = c ×b = 2 6 ，則
r r rc - ma - nb 的最小值是 .
【答案】4
【分析】利用坐標(biāo)法，根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，向量線性運算，不等式思想即可求解．
r
【詳解】Q ar,b 是空間相互垂直的單位向量，
r r
\設(shè)a = (1,0,0)
r
，b = (0,1,0)，設(shè) c = (x, y, z)，
r r r r
又 c ×a = c ×b = 2 6 ，\ x = y = 2 6 ，
cr又 = x2 + y2 + z2 = 24 + 24 + z2 = 8，
\ z2 =16，
\ cr = (2 6,2 6, z)，其中 z2 =16，
r r r\ c - ma - nb = (2 6 - m,2 6 - n, z) ，
r
\ cr r- ma - nb = (2 6 - m)2 + (2 6 - n)2 + z2 = (2 6 - m)2 + (2 6 - n)2 +16 4，
當(dāng)且僅當(dāng)m = n = 2 6 時取得等號，
\ | cr
r
- mar - nb |的最小值是 4．
故答案為：4．
r r r r r r r ur ur 1
28 r．（2024 高二上·浙江杭州·期中）已知單位空間向量 e1,e2 ,e3滿足 e1 ×e2 = 0,e2 ×e3 = e1 ×e3 = ．若空間向量 a2
r r r r r r r
滿足 a ×e1 = a
r er 3 2× = ，且對于任意實數(shù) x, y, a - xe1 - ye2 2 的最小值是 2，則 a - le3 (l R)的最小值2
是 ．
2
【答案】
2
ur uur ur uur r
【分析】以 e x, y1 ，e2 方向為 軸，垂直于 e1 ，e2 方向為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求得a 坐標(biāo)，由
二次函數(shù)求最值即可求得最小值.
ur uur ur uur
【詳解】以 e1 ， e 方向為 x, y2 軸，垂直于 e1 ， e2 方向為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
ur uur
e1 = 1,0,0 ,e2 = 0,1,0 ，
uur ur ur ur ur ur ur
由 e2 ×e3 = e
1
1 ×e3 = 可設(shè) e = (
1 , 1 , z 1 1 2
2 3 2 2 1
)，由 e3 是單位空間向量可得 e3 = ( , , ) ，2 2 2
r ur r uur r
由 a ×e a e 3 2 a (3 2 3 21 = × 2 = 可設(shè) = , , z2 )，2 2 2
r ur uur
| a - xe1 - ye2 |
3 2 3 2
= （ - x）2 +（ - y）2 + z 2
2 2 2
，
r ur uur r
當(dāng) x = y 3 2= ， | a - xe1 - ye2 |的最小值是 2，所以 z = ±2 a (
3 2
2 ，取 = ,
3 2 ,2) ，
2 2 2
r ur
a - le (3 2 l , 3 2 l 23 = - - , 2 - l)，2 2 2 2 2
r ur
| a - le | 3 2 l= ( - )2 (3 2 l+ - )2 + (2 2- l)23 = l
2 - 5 2l +13 ，
2 2 2 2 2
5 2 r ur 2
當(dāng)l = 時， | a - le | l R 最小值為 .
2 3 2
2
故答案為： .
2
uuur uuur uuur
29．（2024 高二上·上海長寧·期末）已知 AB = a, 2b, a -1 uuur uuur，AC = 2a,b + 2,-4 ，且 AB ^ AC ，則 BC 為 .
【答案】 26
【分析】根據(jù)向量垂直的數(shù)量積為 0，可求得 a,b，再利用向量的減法及模長公式可求解.
uuur uuur
uuur uuur【詳解】Q AB = a, 2b, a -1 ， AC = 2a,b + 2,-4 ，且 AB ^ AC ，
uuur uuur
\ AB × AC = 2a2 + 2b b + 2 - 4 a -1 = 0，
即 a2 + b 2 -2a + 2b + 2 = a -1 2 + b +1 2 = 0，解得 a =1,b = -1
uuur uuur uuur
又BC = AC - AB = 2,1, -4 - 1,-2,0 = 1,3,-4
uuur
\ BC = 12 + 32 + -4 2 = 26
故答案為： 26
30．（2024 高二下·上海徐匯·開學(xué)考試）已知 MN 是長方體外接球的一條直徑，點 P 在長方體表面上運動，
uuuur uuur
長方體的棱長分別為 1、1、 7 ，則PM × PN 的取值范圍為 .
【答案】 -2,0
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積求解即可.
【詳解】因為 MN 是長方體外接球的一條直徑，長方體的棱長分別為 1、1、 7
所以MN = 1+1+ 7 = 3，如圖，
設(shè)P(x, y, z)(0 x 1,0 y 7,0 z 1) ，則M (0,0,0), N (1, 7,1).
uuuur uuur
PM × PN = (-x, -y,-z) × (1- x, 7 - y,1- z)
= x2 - x + y2 - 7 y + z2 - z
= (x 1- )2 + (y 7 )2 1 9- + (z - )2 - ,
2 2 2 4
1
因為 (x - )2 + (y 7 1 9 1 9- )2 + (z - )2 - 0 + 0 + - = -2,
2 2 2 4 4 4
1 7
當(dāng) x = , y = , z = 0時取等號，此時點 P 在 ABCD 平面內(nèi)，
2 2
(x 1)2 (y 7 )2 (z 1)2 9 1 7 1 9又 - + - + - - + + - = 0
2 2 2 4 4 4 4 4
當(dāng) x = 0, y = 0, z = 0時取等號，此時點 P 在 ABCD 平面內(nèi).
即所求的范圍是 -2,0 .
故答案為： -2,0
31．（2024 高二上·吉林松原·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz 中， A 1,2,3 ，B 2,1,2 ，P 1,1,2 ，點Q
uuur uuur uuur
在直線OP 上運動，則當(dāng)QA ×QB 取得最小值時， OQ = ．
4 6 4
【答案】 / 6
3 3
uuur uuur uuur uuur
【分析】由題意設(shè)點Q的坐標(biāo)，求出QA ×QB 的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算出QA ×QB 的最小值，進(jìn)而
uuur
得出點Q的坐標(biāo)，再計算 OQ 即可.
uuur
【詳解】解：因為點Q在直線OP 上運動，OP = 1,1,2 ，
所以設(shè)Q(t, t, 2t)，
uuur uuur
則QA ×QB = 1- t, 2 - t,3 - 2t × 2 - t,1- t, 2 - 2t
= 1- t 2 - t + 2 - t 1- t + 3 - 2t 2 - 2t
= 6t 2 -16t +10，
16 4 uuur uuur 4 4 8
所以當(dāng) t = =2 6 3 時，
QA ×QB 取得最小值，此時Q , , ÷ ， è 3 3 3
uuur
OQ 4 6所以 =
3
4 6
故答案為：
3
四、解答題
r r r
32 r．（2024 高二下·江蘇·課后作業(yè)）已知向量 a = 3,5,-4 ，b = 2,1,8 ．求 a ×b ．
【答案】-21
【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積公式即可求得結(jié)果.
r r
【詳解】由向量 a = 3,5,-4 ，b = 2,1,8 ，
ar
r
可得 ×b = 3 2 + 5 1+ -4 8 = 6 + 5 - 32 = -21 .
33．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在四棱錐 S - ABCD中，底面 ABCD為正方形，側(cè)棱 SD ^ 底面
ABCD，E ，F(xiàn) ，G 分別為 AB ，SC， SD 的中點．若 AB = a ， SD = b ．
uuur
(1)求 EF ；
uuur uuur
(2)求 cos AG, BC ．
2 2
【答案】(1) 4a + b
2
2a
(2)
4a2 + b2
uuur
【分析】（1）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系并確定相關(guān)點的坐標(biāo)，求得EF 的坐標(biāo)，應(yīng)用向量模長的坐標(biāo)運算求
uuur
EF ；
uuur uuur uuur uuur
（2）由（1）得 AG 、BC 的坐標(biāo)，利用向量夾角的坐標(biāo)表示求 cos AG, BC ；
【詳解】（1）以D為原點，分別以射線DA DC DS 為 x 軸 y 軸 z 軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
則 A a,0,0 ，B a,a,0 ，C 0, a,0 ，E a,
a ,0 ÷，F(xiàn) 0,
a , b ÷，G
0,0, b
2 ÷，è è 2 2 è 2
uuur b uuur 2 2 2
所以EF = -a,0,
2 b 4a + b
÷，則 EF = -a + 02 + = .
è 2 4 2
uuur
AG b= -a,0,
uuur
（2）由（1）知 ÷ ，BC = -a,0,0 ，
è 2
uuur uuur uuur uuur 2
cos AG, BC = uAuuGr × BuuCur a 2a= =
所以 AG × BC 2 2 2
a × a2 b 4a + b
；
+
4
r r
34．（2024 高二上·安徽合肥·期中）（1）已知向量 a = 2, -1, -2 ,b = 1,1, -4 .
r r r r①計算 2a - 3b 和 2a - 3b
r r
②求 a,b .
r r
（2）已知向量 a = 1,5,-1 ,b = -2,3,5 .
r r
①若 kar r+ b ∥ a - 3b ，求實數(shù) k ；
r rka b ar r②若 + ^ - 3b ，求實數(shù) k .
r r r
【答案】（1）① 2a
r
- 3b = 1,-5,8 ， 2ar - 3b = 3 10 r；② a,b p 1 106= ；（2）① k = - ；② k =
4 3 3
【分析】（1）由空間向量的坐標(biāo)運算求解，
（2）由空間向量平行與垂直的坐標(biāo)表示求解，
r
【詳解】（1）①Q(mào)向量 a
r
= 2, -1, -2 ,b = 1,1, -4 ，
2ar
r
3b 1, 5,8 2ar
r
\ - = - ， - 3b = 12 + (-5)2 + 82 = 3 10 ，
r r r r r r r
② a ×b = a × b cos a,b ，即 2 -1+ 8
r
= 4 +1+ 4 1+1+16cos a,b
r r r r
cos ar,b 2= ，Q a,b 0,p ，\ ar,b p=
2 4
r r
（2）因為向量 a = 1,5,-1 ,b = -2,3,5 ，
r r
\ka + b = k - 2,5k + 3,-k + 5 ，
r ra - 3b = 7, -4, -16
①Q(mào) r rkar + b ar∥ - 3b ，
k - 2 5k + 3 -k + 5 1
\ = = ，解得 k = - ，
7 -4 -16 3
r
②Q kar + b ^ ar r- 3b ，
\7 k - 2 - 4 5k + 3 -16 -k + 5 = 0 k 106，解得 = .
3
r r r r r
35．（2024 高二下·江蘇·課后作業(yè)）已知向量 a = x,1, 2 r r，b = 1, y,-2 ， c = 3,1, z ， a //b ，b ^ c .
(1)求 x，y，z 的值；
(2) r r
r r
求向量 a + c 與b + c 所成角的余弦值．
ìx = -1

【答案】(1) íy = -1

z =1
5
(2)
17
【分析】（1）根據(jù)空間向量的平行以及垂直關(guān)系列出方程，求解方程組即可.
（2）根據(jù)兩個向量所成角的余弦公式求解即可.
r r r r r
【詳解】（1）∵ a = x,1, 2 ，b = 1, y,-2 ， c = 3,1, z ， b ^ c ，
r r r
因為 a //b r，設(shè)存在實數(shù)l ，使得 a = lb ，
ìx = l ìx = -1

所以 í1 = l y

，則 íy = -1 .
2 = -2l l = -1
r r r r
因為b ^ c ，b ×c = 3 + y - 2z = 0，則 z =1.
ìx = -1

∴所以 íy = -1 .

z =1
r r
（2）由（1）知 a = -1,1,2 r，b = 1, -1, -2 ， c = 3,1,1 ，
r
∴ a
r r
+ c = 2,2,3 ，b + cr = 4,0，-1 ，
r
∴ ar + cr × b + cr = 2 4 + 2 0 + 3 -1 = 5，
r r ra c 22 r+ = + 22 + 32 = 17 ， b + c = 42 + 0 + -1 2 = 17 ，
r r r r
r a + c × b + c
∴ cos a
r r r 5
+ c,b + c = r r r = .a + c b r+ c 17
r r 5∴向量 a + cr b r與 + c 所成角的余弦值為 .
17
36．（2024 高二下·全國·課后作業(yè)）在平行六面體 ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD是矩形， AB = 4，
AD = 2，平行六面體高為 2 3 ，頂點D在底面 A1B1C1D1的射影O是C1D1中點，設(shè)VAB1D1的重心G ，建立適
當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫出下列點的坐標(biāo).
(1) A1, B1, A, D1；
(2) G ；
(3) B ；
【答案】(1) A1 2, -2,0 ，B1 2,2,0 ， A1 2,0,2 3 ，D1 0, -2,0
4
(2) G ,0,
2 3
3 3 ÷÷è
(3) B 2,4,2 3
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出 A1，B1， A1，D1的坐標(biāo)；
（2）利用重心坐標(biāo)公式計算得到G 點坐標(biāo)；
（3）利用向量相等得到點 B 坐標(biāo)；
【詳解】（1）
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)C1、OD所在直線為 y，z軸，以過點O作 B1C1 的平行線為 x 軸建立空間直
角坐標(biāo)系．
設(shè)點 A1 x, y, z ，點 A1在平面 xoy上則 z = 0，
由圖可知它到 y 軸投影對應(yīng)數(shù)值-2，則 y=- 2 ，
到 x 軸投影對應(yīng)數(shù)值為 2，則 x = 2，即 A1 2, -2,0 ，
設(shè)點B1 x, y, z ，點B1在平面 xoy上則 z = 0，
由圖可知它到 y 軸投影對應(yīng)數(shù)值 2，則 y = 2 ，
到 x 軸投影對應(yīng)數(shù)值為 2，則 x = 2，即B1 2,2,0 ，
設(shè)點 A x, y, z ，點A 在平面 xoz 上則 y = 0 ，
由圖可知它到 x 軸投影對應(yīng)數(shù)值 2，則 x = 2，
到 z 軸投影對應(yīng)數(shù)值為 2 3 ，則 z = 2 3 ，即 A 2,0,2 3 ，
且點D1在 y 軸上，則D1 0, -2,0 .
x + x + x y + y + y z + z + z
（2 QG VAB D 1 2 3 1 2 3 1 2 3） 是 1 1的重心，由三角形重心公式 , , ÷可得
è 3 3 3
2+ 2+ 0 2+ 0-2 0+ 2 3 + 0 4 2 3 G ， ，3 3 3 ÷÷
G ,0, ÷÷ .
è è 3 3
uuur uuuur（3）設(shè)B x, y, z ，且D 0,0,2 3 ，則B1B = x - 2, y - 2, z ，D1D = 0,2,2 3 ，
ì
uuur uuuur x - 2 = 0
又Q

B1B = D1D ，即 íy - 2 = 2

z = 2 3
\點 B 坐標(biāo)為 2,4,2 3 .
r r r r r
37．（2024 高二上·湖南郴州·期中）已知向量 a = (x, y,3) ，b = (1, 2,-1) ， c = (1,0,1)，且 a //c ．
(1)求實數(shù) x, y的值；
r r
(2)若 (ar b) (lar- ^ + b) ，求實數(shù)l 的值．
【答案】(1) x = 3， y = 0 ；
1
(2) l = .
3
ìx = m
r r
【分析】（1）由已知$m R

，使得 a = mc .解方程組 íy = 0 ，即可得出答案；

3 = m
r r r r
（2）求出 a - b = 2, -2,4 ，la + b = 3l +1,2,3l -1 ，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，列出方程，求解即可得出
l 的值．
r r r r
【詳解】（1）因為 a //c ，所以$m R ，使得 a = mc ，
ìx = m
ìx = 3
所以有 íy = 0 ，解得 í x = 3y 0，所以 ，
y = 0 .
=
3 = m

r r r r r
（2）由（1）知， a = (3,0,3) ，所以 a - b = 2, -2,4 ，la + b = 3l +1,2,3l -1 .
r r r r
因為 (ar r r r- b) ^ (la + b) ，所以 (a - b) × (la + b) = 0，
1
即 2 3l +1 - 2 2 + 4 3l -1 =18l - 6 = 0，解得l = .
3
38．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在直三棱柱 ABC - A B C 中，AB = BC = BB = 2，AB ^ BC ，D為
AB 的中點，點E 在線段C D上，點F 在線段BB 上，求線段 EF 長的最小值．
2 5
【答案】
5
uuur uuuur
【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點坐標(biāo)并設(shè)DE = lDC ，l [0,1]得E(2l,1- l, 2l) ，根據(jù) EF 的
uuur
長最小滿足EF ^ BB ，應(yīng)用向量垂直的坐標(biāo)表示可得 EF = (-2l , l -1, 0)，最后由向量模長的坐標(biāo)表示和二
次函數(shù)性質(zhì)求最值.
【詳解】依題意，BA、BC 、BB 兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
uuuur uuur
則B(0,0,0)，D(0,1,0) ，B (0,0,2)，C (2,0, 2)，則DC = (2, -1, 2) ，BB = (0,0, 2)，
uuur uuuur
設(shè)DE = lDC ，l [0,1]，則E(2l,1- l, 2l) ，
uuur
設(shè)F(0,0, z)，0 z 2，則 EF = (-2l , l -1, z - 2l )．
uuur uuur uuur
若線段 EF 的長最小，則必滿足EF ^ BB ，則EF ×BB = 0，可得 z = 2l ，即 EF = (-2l , l -1, 0)，
uuur 2
因此， | EF |= (-2l)2 + (l -1)2 = 5l 2 - 2l +1 = 5 1 4 2 5 l -

÷ + ，
è 5 5 5
1 2 5
當(dāng)且僅當(dāng)l = 時等號成立，所以線段 EF 長的最小值為 ．
5 5
uuur uuur uuur uuur uuur 17 uuur uuur39．（2024 高二上·河北廊坊·期中）在① DE + DF ^ DE - DF ，② DE = ，③ 0 < cos EF , DB <1
2
這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答．
問題：如圖，在正方體 ABCD - A1B1C1D1，中，以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系D - xyz ．已知點D1
的坐標(biāo)為 0,0,2 ，E 為棱D1C1上的動點，F(xiàn) 為棱 B1C1 上的動點，______，則是否存在點E ，F(xiàn) ，使得
uuur uuur uuur uuur
EF × A1C = 0？若存在，求出 AE × BF 的值；若不存在，請說明理由．
【答案】答案見解析
【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)可得向量的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)運算可計算模長以及數(shù)量積，進(jìn)
而可求解.
【詳解】方案一：選條件①．
假設(shè)存在滿足題意的點 E ， F ．由題意，知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為 2，則 D 0,0,0 ， A 2,0,0 ，
uuur
B 2,2,0 ， A1 2,0,2 ，C 0,2,0 ，所以 A1C = -2,2,-2 ．設(shè)E 0,a, 2 0 a 2 ，F(xiàn) b, 2, 2 0 b 2 ，則
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuurEF = b, 2 - a,0 ， AE = -2, a, 2 ，BF = b - 2,0,2 ，所以EF × A1C = 4 - 2 a + b ， AE × BF = 8 - 2b．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2因為 DE + CF ^ DE - CF ，所以 DE + CF × DE - CF = DE - CF = 0 uuur2 uuur2，即DE = CF ．
uuur uuur uuur uuur
因為DE = 0, a, 2 ，CF = b,0, 2 ，所以 a2 + 4 = b2 + 4，所以 a = b．又EF × A1C = 4 - 2 a + b = 0，
uuur uuur uuur uuur
所以 a = b =1，故存在點E 0,1,2 ，F(xiàn) 1,2,2 ，滿足EF × A1C = 0，此時 AE × BF = 8 - 2 1 = 6．
方案二：選條件②．
假設(shè)存在滿足題意的點 E ， F ．由題意，知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為 2，則 D 0,0,0 ， A 2,0,0 ，
uuur
B 2,2,0 ， A1 2,0,2 ，C 0,2,0 ，所以 A1C = -2,2, -2 ．
uuur uuur uuur
設(shè)E 0,a, 2 0 a 2 ，F(xiàn) b, 2, 2 0 b 2 ，則EF = b, 2 - a,0 ， AE = -2, a, 2 ，BF = b - 2,0,2 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以EF × A1C = 4 - 2 a + b ， AE × BF = 8 - 2b．因為DE = 0, a, 2 17，且 DE = ，2
uuur uuur
所以 a2 22 17
1 3
+ = ，解得 a = ．又EF × A1C = 4 - 2 a + b = 0，所以b = ，2 2 2
E 0, 1 ,2 F 3
uuur uuur uuur uuur
故存在點 ÷， , 2, 2
3
÷，滿足EF × A1C = 0，此時 AE × BF = 8 - 2 = 5．è 2 è 2 2
方案三：選條件③．假設(shè)存在滿足題意的點E ，F(xiàn) ．由題意，知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為 2，
uuur uuur
則D 0,0,0 ，B 2,2,0 ， A1 2,0,2 ，C 0,2,0 ，所以 A1C = -2,2, -2 ，DB = 2,2,0 ．
uuur uuur uuur
設(shè)E 0,a, 2 0 a 2 ，F(xiàn) b, 2, 2 0 b 2 ，則EF = b, 2 - a,0 ．因為0 < cos EF , DB <1，
uuur uuur
所以EF 與DB不共線，所以b 2 - a ，即 a + b 2，
uuur uuur
則EF × A1C = 4 - 2 a + b 0，
uuur uuur
故不存在點E ，F(xiàn) 滿足EF × A1C = 0．
40．（2024 高二上·安徽滁州·階段練習(xí)）已知 A(1, 2,0), B(0, 4,0),C(2,3,3) ．
uuur uuur
(1)求 cos AB, AC ；
(2)已知點P(-3, m, n)在直線 AC 上，求m + n的值；
uuur uuur uuur
(3)當(dāng)l 為何值時， AB 與 AB + l AC 垂直？
55
【答案】(1)
55
(2) -14
(3) l = -5
【分析】（1）根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算直接求解；（2）利用空間向量共線的坐標(biāo)表示求解；（3）利
用空間向量垂直的坐標(biāo)表示求解.
uuur uuur
【詳解】（1） AB = (-1,2,0), AC = (1,1,3)，
uuur uuur uuur uuur
\| AB |= 5,| AC |= 11, AB × AC = -1+ 2 =1，
uuur uuur
\cos AB, AC 1 55= = ．
5 × 11 55
uuur
（2）因為點P(-3, m, n)
uuur
在直線 AC 上，\ AP與 AC 共線，
uuur uuur
則存在m R使得 AP = m AC ，即 (-3 -1,m - 2,n - 0) = m(1,1,3) ，
ì-4 = m
\ ím - 2 = m ，解得m = -2, n = -12, m + n = -14；

n = 3m
uuur uuur
（3） AB + l AC = (-1,2,0) + l(1,1,3) = (l -1,l + 2,3l)，
uuur uuur uuurQ AB 與 AB + l AC 垂直,
\-1 (l -1) + 2 (l + 2) + 0 3l = 0，
\l = -5，
uuur uuur uuur
\l = -5時， AB 與 AB + l AC 垂直．
41．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AC = 3，BC = 4， AB = 5， AA1 = 4．
(1)在 AB 上是否存在點D，使得 AC1 ^ CD ？
(2)在 AB 上是否存在點D，使得 AC1∥平面CDB1？
【答案】(1)存在
(2)存在
uuur uuur uuuur uuur
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) AD = l AB = -3l, 4l,0 ，求出點D的坐標(biāo)，再利用 AC1 ×CD = 0，求
出l =1，即存在點 D，使得 AC1 ^ CD ，且這時點 D 與點 B 重合．
uuur uuur
（2）設(shè) AD = l AB = -3l, 4l,0 ，由 AC1∥平面CDB1，
uuuur uuuur uuur 1
則存在實數(shù)m, n，使 AC1 = mB1D + nB1C 成立，即可求出l = ，故在 AB 上存在點 D使得 AC1∥平面CDB2 1
，
且D是 AB 的中點.
【詳解】（1）直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AC = 3，BC = 4， AB = 5，則 AC 、BC 、 CC1兩兩垂直
如圖，以C 為坐標(biāo)原點，射線CA、CB 、CC 分別為 x, y, z1 軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則C 0,0,0 ，
A 3,0,0 ，C1 0,0,4 ，B 0,4,0 ， B1 0,4,4 ．
（1）假設(shè)在 AB 上存在點 D，使得 AC1 ^ CD ，
uuur uuur uuur
則 AD = l AB = -3l, 4l,0 ，其中 0≤l ≤1，則D 3- 3l, 4l,0 ，于是CD = 3 - 3l, 4l,0 ，
uuuur uuuur uuur
由于 AC1 = -3,0,4 ，且 AC1 ^ CD ，所以 AC1 ×CD = -9 + 9l = 0，得l =1，
所以在 AB 上存在點 D，使得 AC1 ^ CD ，且這時點 D 與點 B 重合．
uuur uuur
（2）假設(shè)在 AB 上存在點 D，使得 AC1∥平面CDB1，則 AD = l AB = -3l, 4l,0 ，其中 0≤l ≤1，
uuuur
則D 3- 3l, 4l,0 ，B1D = 3 - 3l, 4l - 4, -4 ．
uuur uuuur
又B1C = 0, -4,-4 ， AC1 = -3,0,4 ， AC1∥平面CDB1，
uuuur uuuur uuur
所以存在實數(shù)m, n，使 AC1 = mB1D + nB1C 成立，
∴ m 3- 3l = -3，m 4l - 4 - 4n = 0，-4m - 4n = 4．
l 1所以 = ，所以在 AB 上存在點D使得 AC1∥平面CDB1，且D是 AB 的中點．2
42．（2024 高一下·福建泉州·期末）已知長方體 ABCD - A1B1C1D1中, | AB |=| BC |= 2, D1D = 3，點 N 是 AB 的中
點，點 M 是 B1C1 的中點．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
（1）寫出點D, N , M 的坐標(biāo)；
（2）求線段MD, MN 的長度；
（3）判斷直線DN 與直線MN 是否互相垂直，說明理由．
【答案】（1）D(0,0,0), N (2,1,0), M (1, 2,3)；（2） 14, 11 ；（3）不垂直，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)長方體的長，寬，高，結(jié)合中點坐標(biāo)公式，即可得出點D, N , M 的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)空間中兩點的距離公式求解即可；
（3）由空間中向量的數(shù)量積公式，證明即可.
【詳解】（1）由于D為坐標(biāo)原點，所以D(0,0,0)
由 | AB |=| BC |= 2, D1D = 3得： A(2,0,0), B(2, 2,0),C(0, 2,0), B1(2, 2,3),C1(0, 2,3)
Q點 N 是 AB 的中點，點 M 是 B1C1 的中點，\ N (2,1,0), M (1, 2,3)；
（2）由兩點距離公式得： MD = (1- 0)2 + (2 - 0)2 + (3- 0)2 = 14 ，
MN = (2 -1)2 + (1- 2)2 + (0 - 3)2 = 11；
（3）直線DN 與直線MN 不垂直
理由：由（1）中各點坐標(biāo)得：
uuur uuuur uuur uuuur
DN = (2,1,0), MN = (1,-1, -3),\DN × MN = (2,1,0) × (1, -1, -3) =1 0
uuur uuuur
\DN 與MN 不垂直，所以直線DN 與直線MN 不垂直
【點睛】本題主要考查了空間向量的坐標(biāo)表示，求空間中兩點間的距離，數(shù)量積的應(yīng)用，屬于中檔題.
43．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在直三棱柱 ABC - A o1B1C1中，CA = CB =1， BCA = 90 ，棱
AA1 = 2，M 、 N 分別為 A1B1 、 A1A的中點.建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解決如下問題：
uuur
(1)求BN 的模；
uuur uuur
(2)求 cos < A1B, B1C >的值；
(3)求證：BN ^平面C1MN .
【答案】(1) 3
(2) 30
10
(3)證明見解析
【分析】（1）以點C 為坐標(biāo)原點，CA、CB 、CC1所在直線分別為 x 、 y 、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用
空間向量的模長公式可求得結(jié)果；
uuur uuur
（2）利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求得 cos < A1B, B1C >的值；
（3）利用空間向量法可證得BN ^ C1M ，BN ^ C1N ，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）解：因為CC1 ^ 平面 ABC ， BCA = 90o ，
以點C 為坐標(biāo)原點，CA、CB 、CC1所在直線分別為 x 、 y 、 z 軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
uuur uuur
則B 0,1,0 2， N 1,0,1 ，所以，BN = 1, -1,1 ，則 BN = 12 + -1 +12 = 3 .
（2）解：依題意得 A1 1,0,2 、C 0,0,0 、B1 0,1,2 、B 0,1,0 ，
uuur uuur uuur uuur
所以， A1B = -1,1, -2 ，B1C = 0, -1, -2 ，\ A1B × B1C = 0 -1+ 4 = 3，
uuur uuur
又 A1B = 1+1+ 4 = 6 ， B1C = 0 +1+ 4 = 5 ，
uuur uuur uuur uuurA1B × B1C 30
所以， cos < A1B, B1C >= uuur uuur = .A 101B × B1C
1 1
（3）證明：依題意得 A1 1,0,2 、C1 0,0,2 、B 0,1,0 、 N 1,0,1 、M , , 22 2 ÷，è
uuuur 1 1 uuuur uuur
則C1M = , ,0

÷，C1N = 1,0, -1 ，BN = 1, -1,1 ，è 2 2
uuuur uuur
C M BN 1
uuuur uuur
所以， 1 × = 1
1
+ -1 + 0 1 = 0，C1N × BN =1 1+ 0 -1 + -1 1 = 0，2 2
uuuur uuur uuuur uuur
則C1M ^ BN ，C1N ^ BN ，即BN ^ C1M ，BN ^ C1N ，
又因為C1M IC1N = C1 ，所以，BN ^平面C1MN .
44．（2024 高二下·江蘇南京·期中）如圖，直三棱柱 ABC - A1B1C1，底面VABC 中，CA = CB =1，
BCA = 90o ， AA1 = 2，M、N 分別是 A1A、 A1B1 的中點．
(1)求的 BM 長；
uuur uuur
(2)求 cos BA1,CB1 的值；
(3)求證： A1B ^ C1N ．
【答案】(1) 3
(2) 30
10
(3)詳見解析
uuuur
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求得BM 的坐標(biāo)，再求模即可；
uuur uuur
（2）分別求得BA1,CB1 的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式求解；
uuur uuuur uuur uuuur
（3）分別求得 BA1,C1N 的坐標(biāo)，再判斷 BA1 ×C1N 是否為零即可.
【詳解】（1）解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
，
則 B 0,1,0 , M 1,0,1 ，
uuuur
所以 BM = 1,-1,1 ，
uuuur
則 BM = 3 ；
（2）由（1）知 B 0,1,0 , A1 1,0,2 ,C 0,0,0 , B1 0,1,2 ，
uuur uuur
所以BA1 = 1,-1,2 ,CB1 = 0,1,2 ，
uuur uuur uuur uuur
則BA1 ×CB1 = 3, BA1 = 6, CB1 = 5 ，
uuur uuur uuur uuur
cos BA ,CB BA1 ×CB1 3 30所以 1 1 = uuur uuur = =
BA × CB 6 5 10
；
1 1
1 1
（3

）由（1）知 B 0,1,0 , A1 1,0,2 ,C1 0,0,2 , N , , 22 2 ÷ ，è
uuur uuuu1.3 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示 9 題型分類
一、空間直角坐標(biāo)系
1．空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念
(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點 O 和一個單位正交基底{i，j，k}，以 O 為原點，分別以 i，j，k 的方
向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x 軸、y 軸、z 軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建
立了一個空間直角坐標(biāo)系 Oxyz.
(2)相關(guān)概念：O 叫做原點，i，j，k 都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為
Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它們把空間分成八個部分．
2．右手直角坐標(biāo)系
在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向 x 軸的正方向，食指指向 y 軸的正方向，如果中指指向 z 軸的正方向，
則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．
二、空間點的坐標(biāo)
→
在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz 中，i，j，k 為坐標(biāo)向量，對空間任意一點 A，對應(yīng)一個向量OA，且點 A 的位置由
→ →
向量OA唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使OA＝xi＋yj＋zk 在單位正交
→
基底 {i，j，k}下與向量 OA 對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點 A 在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作
A(x，y，z)，其中 x 叫做點 A 的橫坐標(biāo)，y 叫做點 A 的縱坐標(biāo)，z 叫做點 A 的豎坐標(biāo)．
三、空間向量的坐標(biāo)
→
在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz 中，給定向量 a，作OA＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，
使 a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做 a 在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz 中的坐標(biāo)，上式可簡記作 a＝(x，y，
z)．
四、空間向量的坐標(biāo)運算
設(shè) a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
向量運算 向量表示 坐標(biāo)表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
減法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數(shù)乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
數(shù)量積 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
五、空間向量的平行、垂直及模、夾角
設(shè) a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
當(dāng) b≠0 時，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23；
a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
cos〈a,b〉＝ ＝ .
|a||b| a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b32
六、空間兩點間的距離公式
設(shè) P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，
→
則 P1P2＝|P 1P2|＝ x2－x1
2＋ y2－y1 2＋ z2－z1 2.
（一）
求空間點的坐標(biāo)
(1)空間直角坐標(biāo)系有的作用:
可以通過空間直角坐標(biāo)系將空間點、直線、平面數(shù)量化，將空間位置關(guān)系解析化;
(2)空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo):
x 軸上的點的坐標(biāo)為(x,0,0)，y 軸上的點的坐標(biāo)為(0,y,0)，z 軸上的點的坐標(biāo)為(0,0,z)．
(3)空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)平面上的點的坐標(biāo):
Oxy 平面上的點的坐標(biāo)為(x,y,0)，Oyz 平面上的點的坐標(biāo)為(0,y,z)，Oxz 平面上的點的坐標(biāo)為(x,0,z)．
(4)建立空間直角坐標(biāo)系的原則：
①讓盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面上；
②充分利用幾何圖形的對稱性．
(5)求某點的坐標(biāo)時，一般先找這一點在坐標(biāo)軸(坐標(biāo)平面)的射影，確定坐標(biāo)軸(坐標(biāo)平面)點的坐標(biāo)，再找出
它在另外兩個軸上的射影，確定點的坐標(biāo).
題型 1：求空間點的坐標(biāo)
uuur
1-1．（24-25 高二下· r全國·課堂例題）如圖，四棱錐P - OABC 的底面為矩形，PO ^平面OABC ，設(shè)OA = a ，
uuur r uuur r r r r uuur uuur uuur uuurOC = b ，OP = c ，E ，F(xiàn) 分別是PC 和 PB的中點，試用 a ，b ， c 表示BF ， BE ， AE，EF ，并分別指出
它們在這組基下的坐標(biāo).
1-2．（24-25 高二上·福建三明·階段練習(xí)）如圖，在長方體OABC - O1A1B1C1中，OA = 4，OC = 6，OO1 = 2，
點 P 是 B1C1 的中點，則點 P 的坐標(biāo)為（ ）
A． (2,6, 2) B． (3,4,2) C． (4,6, 2) D． (6, 2,1)
uuur uuur
1-3．（2024 高二上·廣西欽州·期中）已知點 A 2,4,0 、 B 1,3,3 ，且滿足 2AQ = QB，則Q點的坐標(biāo)為（ ）
11
A． ,
5 ,1 5 ,11,1 5 ÷ B． C． ,1,0 D． 1,0,1
è 3 3 è 3 3 ÷ è 3 ÷
AC 2
1-4．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）若 A 3,2,4 B 1,2,-8 ，點 C 在線段 AB 上，且 =AB 3 ，則點 C 的坐標(biāo)
是 .
1-5．（24-25 高二下·全國·課堂例題）畫一個正方體 ABCD - A1B1C1D1，若以A 為坐標(biāo)原點，分別以有向直線
AB ， AD ， AA1為 x 軸、 y 軸、 z 軸的正方向，取正方體的棱長為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系，則
①頂點 A, D1的坐標(biāo)分別為 ；
②棱C1C 中點的坐標(biāo)為 ；
③正方形 AA1B1B對角線的交點的坐標(biāo)為 .
（二）
空間點的對稱問題
（1）空間直角坐標(biāo)系中對稱點的坐標(biāo)：
①點(a,b,c)關(guān)于原點 O 的對稱點為(-a,-b,-c);
②點(a,b,c)關(guān)于 x 軸的對稱點為(a,-b,-c);
③點(a,b,c)關(guān)于 y 軸的對稱點為(-a,b,-c);
④點(a,b,c)關(guān)于 z 軸的對稱點為(-a,-b,c);
⑤點(a,b,c)關(guān)于 Oxy 平面的對稱點為(a,b,-c);
⑥點(a,b,c)關(guān)于 Oyz 平面的對稱點為(-a,b,c);
⑦點(a,b,c)關(guān)于 Ozx 平面的對稱點為(a,-b,c).
（2）空間點對稱問題的兩個技巧：
①空間點的對稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解．
②對稱點的問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個結(jié)論．
題型 2：求空間直角坐標(biāo)系中對稱點的坐標(biāo)
2-1．（2024·高二課時練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點 (-2,1,4)關(guān)于 x 軸對稱的點坐標(biāo)是（ ）
A． (-2,1, -4) B． (2,1,-4) C． (-2,-1,-4) D． (2,-1,4)
uuuuuur
2-2．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知點M1 ，M 2 分別與點M (1, -2,3) 關(guān)于 x 軸和 z 軸對稱，則M1M 2 =
（ ）
A． (-2,0,6) B． (2,0, -6) C． (0, 4, -6) D． (0, -4,6)
2-3．（2024·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點 A 1,2,3 關(guān)于Oxy 平面的對稱點為 B ，而點 B 關(guān)于 x 軸
uuur
的對稱點為C ，則 BC =（ ）
A． 2 10 B． 2 13 C． 2 15 D．8
2-4．（2024·河北石家莊·高二石家莊市第十七中學(xué)校考階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz 中，P 是坐標(biāo)平面
xOy 內(nèi)一動點，M 4,2,2 ，Q 7,5, 4 ，當(dāng) PM + PQ 最小時 P 的坐標(biāo)為___________.
（三）
空間向量的坐標(biāo)
1、向量坐標(biāo)的求法：
(1)點 A 的坐標(biāo)和向量 的坐標(biāo)形式完全相同；
(2)起點不是原點的向量的坐標(biāo)可以通過向量的運算求得．
2、用坐標(biāo)表示空間向量的步驟：
(1)觀察圖形：充分觀察圖形；
(2)建坐標(biāo)系：由圖形特征建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；
(3)活用運算：綜合利用空間向量的加減及數(shù)乘運算；
(4)確定結(jié)果：由基向量表示出空間向量，確定坐標(biāo).
題型 3：空間向量的坐標(biāo)
3-1．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在直三棱柱 ABC-A1B1C1的底面△ABC 中，CA＝CB＝1，∠BCA＝
uuur uuur uuur
90°，棱 AA1＝2，M，N 分別為 A1B1，A1A 的中點，試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求向量BN ，BA1 ， A1B 的坐標(biāo)．
uuuur
3-2．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，若點M 是側(cè)面CDD1C1 的中心，則 AM 在基
uuur uuur uuur底 AA1, AD, AB 下的坐標(biāo)為（ ）
1 ,1, 1- 1A． ÷ B． , 1,
1 1 1 1 1- ÷ C． - ,1, ÷ D． ,1,
è 2 2 ÷ è 2 2 è 2 2 è 2 2
3-3．（2024 高二·江蘇·課后作業(yè)）如圖，在長方體OABC - D A B C 中，OA = 3，OC = 4，OD = 2 ，以
ì1 uuur 1 uuur 1 uuuur
í OA, OC, OD
ü
為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz ．
3 4 2
(1)寫出 D ，C， A ，B 四點的坐標(biāo)；
uuuur uuur uuuur uuuur
(2)寫出向量 A B ， B B ， A C ， AC 的坐標(biāo)．
3-4．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在長方體 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F(xiàn) 分別為 D1C1，B1C1 的中點，若以
uuur uuur uuur uuuurAB, AD, AA uuur uuur1 為基底，則向量 AE 的坐標(biāo)為 ，向量 AF 的坐標(biāo)為 ，向量 AC1 的坐標(biāo)為 .
（四）
空間向量的坐標(biāo)運算
設(shè) a＝(a1，a2， a3)，b＝(b1，b2，b3)，
向量運算 向量表示 坐標(biāo)表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
減法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數(shù)乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
數(shù)量積 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
題型 4：空間向量的坐標(biāo)運算
r r r r
4-1．（2024 高二上·新疆昌吉·期中）已知空間向量a = 1,0,2 ,b = -2,1,3 ，則 a - 2b = .

4-2．（2024 高二上·新疆巴音郭楞·階段練習(xí)）已知向量 a = 4,2,-4 ， b = 2,-1,1 ， c = -1,5,1 ，求：
(1) 2 a- 3b ；
(2) a× b ；
r
(3) ar r（× b + c）.
r r
56．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）已知 a = 2, -1, -2 ,b = 0,-1,4 ，求
r r r r r r r r r r
a + b, a - b, a ×b, 2a × -b , a + b × r ra - b .
r r r r4-3．（2024 高二下·江蘇常州·期中）若 a = (1, -2,1),b ( 1, 3, 2) (ar r= - - ，則 + b) × (a - b) = （ ）
A．10 B．8 C．-10 D．-8
4-4．（2024 高二上·天津河西·階段練習(xí)）以下各組向量中的三個向量，不能構(gòu)成空間基底的是（ ）
r ra = 1,0,0 b 0,2,0 cr 1A． ， = ， = ( , - 2,0)
2
r r r
B． a = 1,0,0 ，b = 0,1,0 ， c = 0,0,2
r r
C．a(chǎn) = 1,0,1 ，b = 0,1,1 ， cr = 2,1,2
r
D． a
r
= 1,1,1 ，b = 0,1,0 r， c = 1,0,2
（五）
空間向量的平行、垂直及模、夾角
1.設(shè) a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
當(dāng) b≠0 時，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23；
a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
cos〈a,b〉＝ ＝ .
|a||b| a12＋a22＋a23 b21＋b22＋b23
注：利用空間向量的坐標(biāo)運算的一般步驟
(1)建系：根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．
(2)求坐標(biāo)：①求出相關(guān)點的坐標(biāo)；②寫出向量的坐標(biāo)．
(3)論證、計算：結(jié)合公式進(jìn)行論證、計算．
(4)轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化為平行與垂直、夾角與距離問題．
2.空間兩點間的距離公式
設(shè) P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，
則 P1P2＝|
→
P1P2|＝ x2－x1 2＋ y2－y 1
2＋ z2－z1 2.
3.利用向量坐標(biāo)求空間中線段的長度的一般步驟
(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；
(2)求出線段端點的坐標(biāo)；
(3)利用兩點間的距離公式求出線段的長．
題型 5：空間向量的平行問題
r r r r
5-1．（2024 高二下·福建寧德·期中）已知向量 a = 1, t, 2 ，b = 2,-2, s ，若 a∥b，則實數(shù) t - s = （ ）
A．-2 B． 2 C．-4 D．-5
r r r r r r5-2．（2024 高二上·吉林延邊·階段練習(xí)）向量 a = x,1,1 ，b = 1, y,1 ， c = 2,-4,2 ，且 a ^ c ，b / /cr ，則
2ar
r
+ b = .
r r r r
5-3．（2024 高二上·江蘇南通·期中）已知兩個向量 a = (2,-1,3)，b = (4,m,n)，且 a / /b，則m + n的值為
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
r
5-4．（廣東省潮州市湘橋區(qū)南春中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題）已知 a = 1,2,-y ，
r r r r
b = x,1, 2 ，且 2b// a - b ，則（ ）
x 1A． = ， y =1 B． x
1
= ， y = -4
3 2
y 1C． x = 2， = - D． x =1， y = -1
4
題型 6：空間向量的垂直問題
r r
6-1．（2024 高二下·福建寧德·期中）已知向量 a = 1,0,1 ，b = 1,2,0 .
r r r
(1)求a 與 a - b的夾角余弦值；
r r r r(2)若 2a + b ^ a - tb ，求 t的值.
6-2．（安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣民族中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高二上學(xué)期 11 月期中數(shù)學(xué)試題）已知點 A -2，0，2 、
uuur r uuur
B -1，1，2 、C -3，0，4 r， a = AB，b = AC ．
r uuur
(1)若 c = 3 r，且 c //BC ，求 c
r
；
r
(2)求 cos a
r
，b ；
r r
(3)若 kar b kar+ 與 - 2b 垂直，求 k ．
r r
6-3．（2024 高二下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知向量 a = -2, -1,2 ,b r= -1,1,2 ,c = x, 2, 2 ．
r r
(1)求 a - 2b ；
cr
r
(2)當(dāng) = 2 2 r r時，若向量 ka + b 與 c 垂直，求實數(shù) x 和 k 的值；
r
(3) cr r若向量 與向量 a,b 共面向量，求 x 的值．
r r r r r r
6-4．（2024 高二上·重慶渝中·階段練習(xí)）已知 a = 1,1,0 ，b = -1,0,2 ，且 ka + b與 2a - b 互相垂直，則實數(shù)
k 的值為（ ）
2 1 3 7
A． B． C． D．
5 5 5 5
題型 7：空間向量的距離問題
r r r r r
7-1．（2024 高二上·山東日照·期末）已知 a = 2,1,3 ，b = -4,2, x ar，且 ^ b ，則 a - b = ．
7-2．（2024 高二下·江蘇·課后作業(yè)）如圖，在棱長為 1 的正方體 ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn) 分別為 D1D，
CG 1
uuur
BD 的中點，G 在棱 CD 上，且 = CD ，H 為 C1G 的中點．求| FH |.4
r r r r
7-3．（2024 高二上·北京·期中）已知向量 a = -1,2,1 ，b = 3, x,1 r，且 a ^ b ，那么 b 等于（ ）
A． 10 B． 2 3 C． 11 D．5
v v v
7-4．（2008·寧夏）已知向量 a = 0, -1,1 ,b = 4,1,0 , lav + b = 29 ，且l > 0，則l = ．
題型 8：空間向量的夾角問題
r r r
8-1．（2024 高二下·甘肅白銀· r階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知 a = (2, 2, -1)，b = (-1,3,1)，則 a 、b 夾
角的余弦值是 ．
uuuv uuuv
8-2．（2024 高三·甘肅武威·單元測試）已知空間三點 A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，則 AB 與CA的夾角
θ 的大小是 ．
r r r
8-3．（2024 高二上·吉林長春·期末）若向量 a = 1,l,1 ,b = 2,-1,-2 ，且 ar 2與b 夾角的余弦值為 ，則l 等
6
于（ ）
A．- 2 B． 2 C．- 2 或 2 D．2
r r r r r
8-4 r．（2024 高二上·山東臨沂·期末）已知空間向量 a = 1,0,1 ，b = 1,1,n ，且 a ×b = 3，則向量 a 與b 的夾角
為（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
r
8-5．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）已知向量 a = (-4,2,4),b = (-6,3, -2).
(1)求 | a |；
v
(2) v求向量 a與b 夾角的余弦值.
r r
8-6．（2024 高二上·河南平頂山·階段練習(xí)）已知向量 a = 2,-1,2 ，b = 1,4,1 .
r r
(1)求 2a - b 的值；
r r r r
(2)求向量 a + 2b 與 a - b夾角的余弦值.
題型 9：空間向量的投影問題
r r
9-1．（江蘇省宿遷市 2023-2024 學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知向量 a = 0,1,1 r，b = 1,1,0 ，則向量b
r
在向量 a 上的投影向量為（ ）．
1 1 1 1
A． 0, -1, -1 B． -1,0, -1 C． 0, ,

D ,0,
è 2 2 ÷
． ÷
è 2 2
r r v
9-2 v．（2024 高二上·廣東惠州·期末）已知 a = 0,1,1 ，b = 0,1,0 ，則 a在b 上的投影向量為（ ）
2 0,1,0 0, 1 , 1 A．1 B． C． D．
2 ֏ 2 2
r r r
9-3．（2024 r高二下·江蘇徐州·期中）已知 a = 0,1,1 ,b = 0,0,1 ，則 a 在b 上的投影向量為（ ）
A． 1,0,0 1 1 B． 0,0,1 C． 0,1,0 D． 0, ,2 2 ÷è
uuur
9-4．（2024 高二下·江蘇徐州·期中）已知 A 1,1,0 ，B 0,3,0 ，C 2,2,2 uuur，則向量 AB 在 AC 上的投影向量的
坐標(biāo)是（ ）
1 , 1 , 1 1 1 1A． -

÷ B． - ,- ,

è 6 6 3 è 6 6 3 ÷
1- , 1- , 1- 1 1C． ÷ D． , ,
1
è 6 6 3 6 6 3 ÷ è
一、單選題
r r r r r
1．（2024 高二上·廣東深圳·期末）已知向量 a = (1,1, x)， b = (-2,2,3) ，若 (2a - b) × b = 1，則 x =（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．6
r r r r r r
2．（2024 高二上·北京豐臺·期末）若向量a = (1,-1,l),b = (1,-2,1),c = (1,1,1)，滿足條件 (c - a) ×b = -1，則l =
（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
r r
3．（2024 高二上·天津·期中）若向量 a = 1,l,0 2，b = 2, -1,2 ，且 a→,b→的夾角的余弦值為 ，則實數(shù) l
3
等于（ ）.
4 4 4
A．0 B．- C．0 或- D．0 或
3 3 3
r r r r r r
4．（2024 高二上·天津·期末）已知空間向量 a = (1, 2,-3)，b = (2,-1,1) ， c = (2,0,3)，則a × (b + c) =（ ）
A．-10 B．3 3 C． (4,-2,-12) D． (5,0,-15)
r r r r r r
5．（2024 高二下·福建寧德·期中）已知 a = 2,3,-1 ， b = -2,1, 4 ， c = 2,l, 2 ，若 a ， b ， c三向量共面，
則實數(shù)l 等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2024 高三·甘肅武威·單元測試）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體 ABCD－A1B1C1D1 的棱長為1，
B E 1
uuur
1 1 = A1B1，則BE1 等于（ ）4
0, 1 , 1 1 ,0,1 0, 1 ,1 1- - A． ÷ B． ÷ C．4 4
- ÷ D． ,0,-1
è è è 4 è 4 ÷
r r r r r r r
7．（2024 高二下·江蘇南通·期中）設(shè) x 、 y R，向量 a = x,1,1 ，b = 1, y,1 ， c = 3,-6,3 且 a ^ c ，b//c ，
r r
則 a + b =（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C． 4 D．3
8．（2024 高二上·北京豐臺·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知三點O(0,0,0), A(1,2,1),B(1,-1,0)，若點 C 在平
面OAB 內(nèi)，則點 C 的坐標(biāo)可能是（ ）
A． (-1, -1,3) B． (3,0,1) C． (1,1, 2) D． (1,-1,2)
r r r r r
9．（2024 高二上·遼寧大連·階段練習(xí)）設(shè) x,y R，向量 a = x,1,1 ，b = 1, y,1 ， c = 1, -2,1 ，且 a ^ c ，
r r r
b //cr，則 a + b =（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C．4 D．3
10．（2024 高二上·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）已知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為 4，點 E 是棱CC1的中點，
動點 P 在正方形 AA1B1B內(nèi)（包括邊界）運動，且PD1∥平面BDE ，則PC 長度的取值范圍為（ ）
A． 5,6 B． é 4 2,6ù
é12 5 ù
C． ê ,6ú D． é 2 5,6ù
5
11．（2024 高二下·廣西百色·階段練習(xí)）已知空間直角坐標(biāo)系O - xyz 中，
uuur uuur uuur uuur uuur
OA = (1, 2,3),OB = (2,1, 2),OP = (1,1, 2) ，點Q在直線OP 上運動，則當(dāng)QA ×QB 取得最小值時，點Q的坐標(biāo)為
（ ）
(1 , 3 , 1 (1 , 3 3 4 4 8 1 3 7A． ) B． , ) C． ( , , ) D． ( , , )
2 4 3 2 2 4 3 3 3 2 4 3
uuuv uuuv
12．（2024 高三上·福建龍巖·期末）正四面體 ABCD的棱長為 2，動點 P 在以BC 為直徑的球面上，則 AP × AD
的最大值為（ ）
A．2 B． 2 3 C．4 D． 4 3
13．（2024 高三上·湖北·階段練習(xí)）在長方體 ABCD - A1B1C1D1中， AA1 = 5， AD = AB = 4，M ， N ， P 分
3
別是棱C1D1，BC ，CC1上的點，且C1M = MD1，C1P = C1C ，CN
1
= CB Q
4 ， 是平面
ABCD內(nèi)一動點，若
5
uuur uuuur
直線 D1Q 與平面MNP 平行，則QB1 ×QD1 的最小值為（ ）
441 89 16
A． B．17 C． D．
25 5 25
二、多選題
r r
14．（2024 高二上·河北·階段練習(xí)）已知空間向量 a = (-2,-1,1)，b = (3, 4,5)，則下列結(jié)論正確的是（　　）
r r
A (2ar b) / /ar． + B．5 | ar |= 3 | b |
r r r r rC． a ^ (5a + 6b) D a b 3． 與 夾角的余弦值為-
6
15．（2024 高二上·河北邯鄲·階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，已知VABC 的邊長為 2，三棱柱
uuur uuur uuuur
的高為1, BC, B1C1的中點分別為 D, D1，以D為原點，分別以DC, DA, DD1 的方向為 x 軸 y 軸 z 軸的正方向建
立空間直角坐標(biāo)系，則下列空間點及向量坐標(biāo)表示正確的是（ ）
A． A1 0, 3,1 B．C1 1,0,1
uuuur uuur
C． AD1 = 0, - 3,1 D．B1A = 3, 3,-1
r r
16．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）已知向量 a = 4,-2,-4 ，b = 6, -3,2 ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
r r r r
A． a + b = 10, -5,-2 B． a - b = 2, -1, -6
r r
C r． a ×b = 22 D． a = 6
17．（2024 高二上·福建三明·期末）已知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長為 2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)
系Dxyz，則（ ）
uuur
A．點C1的坐標(biāo)為（2，0，2） B．C1A = 2, - 2, - 2
C．BD1的中點坐標(biāo)為（1，1，1） D．點B1關(guān)于 y 軸的對稱點為（－2，2，－2）
三、填空題
r r r r r r
18．（2024 高二下·江蘇·課后作業(yè)）已知 i, j, k 是空間的一個單位正交基底，向量b = -5i + 2k 用坐標(biāo)形式可
表示為 ．
r r r r
19．（2024 高二下·江蘇·課后作業(yè)）若 a = (2,-1,4),b = (-1, t, -2) ，若a 與b 的夾角是銳角，則 t的值的取值范
圍為 .
r r
20．（2024 高二下·江蘇·課后作業(yè)）若 a = 2,-1,4 b = -1, t,-2 ar r， ，若 與b 的夾角是鈍角，則 t 的值的取值
范圍為 .
r r
21．（2024 高二下·江蘇·課后作業(yè)）已知向量 a = 5,3,1 ，b = -2,t, 2- r r ÷，若 a 與b 的夾角為鈍角，則實數(shù) t
è 5
的取值范圍為 ．
r r r r
22．（2024 高二下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知向量 a = 2,-1,1 ，b = 1,2, t ，若a 與b 的夾角為鈍角，則實數(shù)
t的取值范圍為 .
uuur uuur
23．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）已知點 A(4,-1,2)，B(2,-3,0)，點C 滿足BC = 2CA，則點C 的坐標(biāo)是 .
r r r
24．（2024 高二下·四川成都·階段練習(xí)）已知兩個空間向量 a = m, - 4,2 b = 1,2, -1 ar， ，且 //b ，則實數(shù)m
的值為 ．
r r r r
25．（2024 高二下·遼寧本溪·階段練習(xí)）已知 a = (0,1- t, 2t -1)，b = (t + 2,2, t) ，則 a - b 的最小值為 ．
uuur uuur uuur
26 ．（ 2024· 浙 江 金 華 · 三 模 ） 已 知 OA、 OB、 OC 為 空 間 中 兩 兩 互 相 垂 直 的 單 位 向 量 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OP = xOA + yOB + zOC ，且 x + 2 y + 4z = 1，則 OP - OA - OB 的最小值為 ．
r r r
27．（2024 r高二下·上海寶山·期末）已知 a 、b 是空間互相垂直的單位向量，且 c = 8 cr， ×ar = cr ×b = 2 6 ，則
r
cr - mar - nb 的最小值是 .
r r r r r r r ur ur 1
28 2024 r．（ 高二上·浙江杭州·期中）已知單位空間向量 e1,e2 ,e3滿足 e1 ×e2 = 0,e2 ×e3 = e1 ×e3 = ．若空間向量 a2
r r r r r
滿足 ar er ar er 3 2× = × = ，且對于任意實數(shù) x, y, a - xe1 - ye2 的最小值是 2，則 a - le3 (l R)1 2 的最小值2
是 ．
uuur uuur uuur uuur uuur
29．（2024 高二上·上海長寧·期末）已知 AB = a, 2b, a -1 ，AC = 2a,b + 2,-4 ，且 AB ^ AC ，則 BC 為 .
30．（2024 高二下·上海徐匯·開學(xué)考試）已知 MN 是長方體外接球的一條直徑，點 P 在長方體表面上運動，
uuuur uuur
長方體的棱長分別為 1、1、 7 ，則PM × PN 的取值范圍為 .
31．（2024 高二上·吉林松原·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz 中， A 1,2,3 ，B 2,1,2 ，P 1,1,2 ，點Q
uuur uuur uuur
在直線OP 上運動，則當(dāng)QA ×QB 取得最小值時， OQ = ．
四、解答題
r r
32 2024 · · a = 3,5,-4 b = 2,1,8 ar
r
．（ 高二下 江蘇 課后作業(yè)）已知向量 ， ．求 ×b ．
33．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在四棱錐 S - ABCD中，底面 ABCD為正方形，側(cè)棱 SD ^ 底面
ABCD，E ，F(xiàn) ，G 分別為 AB ，SC， SD 的中點．若 AB = a ， SD = b ．
uuur
(1)求 EF ；
uuur uuur
(2)求 cos AG, BC ．
r r
34．（2024 高二上·安徽合肥·期中）（1）已知向量 a = 2, -1, -2 ,b = 1,1, -4 .
r r r
①計算 2ar - 3b 和 2a - 3b
r r
②求 a,b .
r r
（2）已知向量 a = 1,5,-1 ,b = -2,3,5 .
r r r r
①若 ka + b ∥ a - 3b ，求實數(shù) k ；
r rka b ar r②若 + ^ - 3b ，求實數(shù) k .
r r
35．（2024 高二下·江蘇·課后作業(yè)）已知向量 a = x,1, 2 ，b = 1, y,-2 r r r r， c = 3,1, z ， a //b ，b ^ cr .
(1)求 x，y，z 的值；
r
(2)求向量 a
r cr+ 與b + cr所成角的余弦值．
36．（2024 高二下·全國·課后作業(yè)）在平行六面體 ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD是矩形， AB = 4，
AD = 2，平行六面體高為 2 3 ，頂點D在底面 A1B1C1D1的射影O是C1D1中點，設(shè)VAB1D1的重心G ，建立適
當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫出下列點的坐標(biāo).
(1) A1, B1, A, D1；
(2) G ；
(3) B ；
r r
37．（2024 高二上·湖南郴州·期中）已知向量 a = (x, y,3)
r
，b = (1, 2,-1) ， c = (1,0,1)，且 ar//cr ．
(1)求實數(shù) x, y的值；
r r
(2) (ar若 - b) r^ (la + b) ，求實數(shù)l 的值．
38．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在直三棱柱 ABC - A B C 中，AB = BC = BB = 2，AB ^ BC ，D為
AB 的中點，點E 在線段C D上，點F 在線段BB 上，求線段 EF 長的最小值．
uuur uuur uuur uuur uuur39 2024 · 17
uuur uuur
．（ 高二上 河北廊坊·期中）在① DE + DF ^ DE - DF ，② DE = ，③ 0 < cos EF , DB <1
2
這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答．
問題：如圖，在正方體 ABCD - A1B1C1D1，中，以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系D - xyz ．已知點D1
的坐標(biāo)為 0,0,2 ，E 為棱D1C1上的動點，F(xiàn) 為棱 B1C1 上的動點，______，則是否存在點E ，F(xiàn) ，使得
uuur uuur uuur uuur
EF × A1C = 0？若存在，求出 AE × BF 的值；若不存在，請說明理由．
40．（2024 高二上·安徽滁州·階段練習(xí)）已知 A(1, 2,0), B(0, 4,0),C(2,3,3) ．
uuur uuur
(1)求 cos AB, AC ；
(2)已知點P(-3, m, n)在直線 AC 上，求m + n的值；
uuur uuur uuur
(3)當(dāng)l 為何值時， AB 與 AB + l AC 垂直？
41．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AC = 3，BC = 4， AB = 5， AA1 = 4．
(1)在 AB 上是否存在點D，使得 AC1 ^ CD ？
(2)在 AB 上是否存在點D，使得 AC1∥平面CDB1？
42．（2024 高一下·福建泉州·期末）已知長方體 ABCD - A1B1C1D1中, | AB |=| BC |= 2, D1D = 3，點 N 是 AB 的中
點，點 M 是 B1C1 的中點．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
（1）寫出點D, N , M 的坐標(biāo)；
（2）求線段MD, MN 的長度；
（3）判斷直線DN 與直線MN 是否互相垂直，說明理由．
43．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在直三棱柱 ABC - A B C 中，CA = CB =1， BCA = 90o1 1 1 ，棱
AA1 = 2，M 、 N 分別為 A1B1 、 A1A的中點.建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解決如下問題：
uuur
(1)求BN 的模；
uuur uuur
(2)求 cos < A1B, B1C >的值；
(3)求證：BN ^平面C1MN .
44．（2024 高二下·江蘇南京·期中）如圖，直三棱柱 ABC - A1B1C1，底面VABC 中，CA = CB =1，
BCA = 90o ， AA1 = 2，M、N 分別是 A1A、 A1B1 的中點．
(1)求的 BM 長；
uuur uuur
(2)求 cos BA1,CB1 的值；
(3)求證： A1B ^ C1N ．

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