資源簡介

3.4 函數(shù)的應(yīng)用(一)5 題型分類
一、用函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟
(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)刻畫實際問題，初步選擇
模型．
(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．
(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論．
(4)還原：利用數(shù)學(xué)知識和方法得出的結(jié)論還原到實際問題中．
可將這些步驟用框圖表示如下：
二、常見的函數(shù)模型
(1)一次函數(shù)模型：即直線模型，其特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值勻速增大或減小．現(xiàn)
實生活中很多事例可以用該模型來表示，例如：勻速直線運動的時間和位移的關(guān)系，彈簧的伸
長量與拉力的關(guān)系等．
(2)二次函數(shù)模型：二次函數(shù)為生活中最常見的一種數(shù)學(xué)模型，因二次函數(shù)可求其最大值(或
最小值)，故最優(yōu)、最省等問題常常是二次函數(shù)的模型．
(3)分段函數(shù)模型：由于分段函數(shù)在不同的區(qū)間中具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研
究條件變化的實際問題，或者在某一特定條件下的實際問題中具有廣泛的應(yīng)用．
（一）
一次函數(shù)模型
用一次函數(shù)模型解決實際問題的解題方法
(1)建立一次函數(shù)模型時應(yīng)先求出自變量的取值范圍；
(2)根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系建立一次函數(shù)模型；
(3)利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行求解、檢驗．
注：（1）一次函數(shù)模型應(yīng)用時，本著“問什么，設(shè)什么，列什么”這一原則．
（2）一次函數(shù)求最值，常轉(zhuǎn)化為求解不等式 ax＋b≥0(或≤0)，解答時，注意系數(shù) a 的正負(fù)，也
可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值．
題型 1：用一次函數(shù)模型解決實際問題
1-1．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）(多選)某單位準(zhǔn)備印制一批證書，現(xiàn)有兩個印刷廠可供選擇，甲廠費用
分為制版費和印刷費兩部分，先收取固定的制版費，再按印刷數(shù)量收取印刷費，乙廠直接按印刷數(shù)量收取
印刷費，甲廠的總費用 y1(千元) 乙廠的總費用 y2(千元)與印制證書數(shù)量 x(千個)的函數(shù)關(guān)系圖分別如圖中甲
乙所示，則（ ）
A．甲廠的制版費為 1 千元，印刷費平均每個為 0.5 元
B．甲廠的總費用 y1與證書數(shù)量 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為 y1 = 0.5x +1
C．當(dāng)印制證書數(shù)量不超過 2 千個時，乙廠的印刷費平均每個為 1.5 元
1 5
D．當(dāng)印制證書數(shù)量超過 2 千個時，乙廠的總費用 y2與證書數(shù)量 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為 y2 = x +4 2
1-2．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）在一次數(shù)學(xué)實踐課上，同學(xué)們進行節(jié)能住房設(shè)計，綜合分析后，設(shè)計出房
1 1 11
屋的剖面圖（如圖所示），屋頂所在直線方程分別是 y = x+3 和 y = - +3 x ，為保證采光，豎直窗戶的高4 2
度設(shè)計為 1m，那么點 A 的橫坐標(biāo)為 ．
1-3．（2024 高一上·浙江·期末）為了保護水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民實行“階梯水價”，計費方法
如下表：
每戶每月用水量 水價
不超過12m3 的部分 3 元/ m3
超過12m3 但不超過18m3 的部分 6 元/ m3
超過18m3 的部分 9 元/ m3
若某戶居民本月交納的水費為 54 元，則此戶居民的用水量為（ ）
A．6m3 B．9m3 C．15m3 D．18m3
1-4．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）（多選）甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離
與乙同學(xué)家到公園的距離都是 2 km.如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過的路程 y(km)與時間
x(min)的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了 60 min
B．甲從家到公園的時間是 30 min
C．甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度快
1
D．當(dāng) 0≤x≤30 時，y 與 x 的關(guān)系式為 y＝ x
15
（二）
二次函數(shù)模型
1、二次函數(shù)模型的解析式為 g(x)＝ax2＋bx＋c，a≠0.在函數(shù)建模中，它占有重要的地位，在根
據(jù)實際問題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求
函數(shù)的最值，從而解決實際問題中的最值問題，二次函數(shù)求最值最好結(jié)合二次函數(shù)的圖象來解
答．
2、利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點
(1)方法：根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法利用函數(shù)
的單調(diào)性等方法求最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題．
(2)注意：取得最值的自變量與實際意義是否相符．
題型 2：二次函數(shù)模型及應(yīng)用
2-1．（2024 高一上·云南昭通·期中）某商店試銷一種成本單價為 40 元/件的新產(chǎn)品，規(guī)定試銷時的銷售單價
不低于成本單價，又不高于 80 元/件，經(jīng)試銷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量 y （件）與銷售單價 x （元/件）可近似看
作一次函數(shù) y = -x +100的關(guān)系．設(shè)商店獲得的利潤（利潤=銷售總收入-總成本）為S 元．
（1）試用銷售單價 x 表示利潤S ；
（2）試問銷售單價定為多少時，該商店可獲得最大利潤？最大利潤是多少？此時的銷售量是多少？
2-2．（2024·河北·模擬預(yù)測）勞動實踐是大學(xué)生學(xué)習(xí)知識 鍛煉才干的有效途徑，更是大學(xué)生服務(wù)社會 回報
社會的一種良好形式某大學(xué)生去一服裝廠參加勞動實踐，了解到當(dāng)該服裝廠生產(chǎn)的一種衣服日產(chǎn)量為 x 件
時，售價為 s 元/件，且滿足 s = 820 - 2x，每天的成本合計為600 + 20x 元，請你幫他計算日產(chǎn)量為
件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為 萬元.
2-3．（2024 高一上·廣東東莞·期中）某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量 y （單位：千克）
a
與銷售單價 x （單位：元/千克）滿足關(guān)系式 y = +100(8 - x)，其中 4 < x <8， a為常數(shù)，已知銷售單
x - 4
價為6 元/千克時，每日可售出該商品 220千克.
（1）求 a的值；
（2）若該商品的進價為 4元/千克，試確定銷售單價 x 的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，并
求出利潤的最大值.
2-4 用對人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入 200 萬元，
搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入 20 萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，
根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入 P、種黃瓜的年收入 Q 與投入 a(單位：萬元)滿足 P＝80＋
1
4 2a ，Q＝ a＋120．設(shè)甲大棚的投入為 x(單位：萬元)4 ，每年兩個大棚的總收入為 f(x)(單位：萬元)．
（1）求 f(50)的值；
（2）試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收入 f(x)最大？
（三）
冪函數(shù)模型應(yīng)用
冪函數(shù)模型應(yīng)用的求解策略
(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，明確函數(shù)關(guān)系式．
(2)根據(jù)題意，直接列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．　
題型 3：用冪函數(shù)模型解決實際問題
3-1．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入 x(萬元)與藥品利潤
y(萬元)存在的關(guān)系為 y = xa ( a為常數(shù))，其中 x 不超過 5 萬元.已知去年投入廣告費用為 3 萬元時，藥品利潤
為 27 萬元，若今年投入廣告費用 5 萬元，預(yù)計今年藥品利潤為 萬元.
3-2．（2024 高一上·湖北宜昌·期中）美國對中國芯片的技術(shù)封鎖，激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮.某公司研發(fā)的
A，B 兩種芯片都已經(jīng)獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費資金 2 億元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進行生產(chǎn).經(jīng)市場
調(diào)查與預(yù)測，生產(chǎn) A 芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入 1 億元，公司獲得毛收入 0.25 億元；
生產(chǎn) B a芯片的毛收入 y （億元）與投入的資金 x （億元）的函數(shù)關(guān)系為 y =kx (x >0)，其圖象如圖所示.
(1)試分別求出生產(chǎn) A, B兩種芯片的毛收入 y （億元）與投入資金 x （億元）的函數(shù)關(guān)系式；
(2)如果公司只生產(chǎn)一種芯片，那么生產(chǎn)哪種芯片毛收入更大？
(3)現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入 40 億元資金同時生產(chǎn) A, B兩種芯片，設(shè)投入 x 億元生產(chǎn) B 芯片，用 f x 表示公司所獲
凈利潤，當(dāng) x 為多少時，可以獲得最大凈利潤？并求出最大凈利潤.（凈利潤= A芯片毛收入 +B 芯片毛收入
一研發(fā)耗費資金）
3-3．（2024 高一上·江蘇南通·期中）黨的十九大報告明確要求繼續(xù)深化國有企業(yè)改革，培育具有全球競爭力
的世界一流企業(yè).某企業(yè)抓住機遇推進生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn) A、B 兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與市
場預(yù)測，A 產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖①；B 產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系
如圖②（注：所示圖中的橫坐標(biāo)表示投資金額，單位為萬元）.
(1)分別求出 A、B 兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；
(2)該企業(yè)已籌集到 10 萬元資金，并全部投入 A、B 兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這 10 萬元資金，才能使
企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是多少？
（四）
分段函數(shù)模型
1、用分段函數(shù)模型解決實際問題的解法
分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個問題，將各段的變
化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段變量的范圍，特別是端點值．
2、應(yīng)用分段函數(shù)時的三個注意點
(1)分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏.
(2)分段函數(shù)的定義域為對應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集.
(3)分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論.
題型 4：用分段函數(shù)模型解決實際問題
4-1．（2024 高一上·遼寧）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水
果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量W (單位：千克)與施用肥料 x (單位：千克)滿足如下關(guān)
ì5 x2 + 3 ,0 x 2
系：W (x) =

í 50x ，肥料成本投入為10x 元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工費) 20x
, 2 < x 5
1+ x
元．已知這種水果的市場售價大約 15 元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤為 f (x) (單位：元)
(1)寫單株利潤 f (x) (元)關(guān)于施用肥料 x (千克)的關(guān)系式；
(2)當(dāng)施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？
4-2．（2024 高一上·遼寧沈陽·期中）世界范圍內(nèi)新能源汽車的發(fā)展日新月異，電動汽車主要分三類：純電動
汽車、混合動力電動汽車和燃料電池電動汽車.這 3 類電動汽車目前處在不同的發(fā)展階段，并各自具有不同
的發(fā)展策略.中國的電動汽車革命也早已展開，以新能源汽車替代汽（柴）油車，中國正在大力實施一項將
重新塑造全球汽車行業(yè)的計劃.2022 年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固
ì10x2 +100x,0 < x < 40
定成本 2000 萬元，每生產(chǎn) （百輛），需另投入成本C x （萬元），且C x = í 10000 ；
501x + - 4500, x 40 x
已知每輛車售價 5 萬元，由市場調(diào)研知，全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.
(1)求出 2022 年的利潤 L x （萬元）關(guān)于年產(chǎn)量 （百輛）的函數(shù)關(guān)系式；
(2)2022 年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.
4-3．（福建福州外國語學(xué)校 2023-2024 學(xué)年高一上學(xué)期階段性測試數(shù)學(xué)試題）某電子公司生產(chǎn)某種智能手環(huán)，
其固定成本為 2 萬元，每生產(chǎn)一個智能手環(huán)需增加投入 100 元，已知總收入 R（單位：元）關(guān)于日產(chǎn)量 x
ì
400x
1
- x2 ,0 x 400
（單位：個）滿足函數(shù)：R = í 2 .
80000, x > 400
(1)將利潤 f x （單位：元）表示成日產(chǎn)量 x 的函數(shù)；
(2)當(dāng)日產(chǎn)量 x 為何值時，該電子公司每天所獲利潤最大，最大利潤是多少？（利潤＋總成本＝總收入）
4-4．（2024 高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）對口幫扶是我國一項重要的扶貧開發(fā)政策，在對口扶貧工作中，某
生態(tài)基地種植某中藥材的年固定成本為 250 萬元，每產(chǎn)出 x 噸需另外投入可變成本C (x) 萬元，已知
ì ax2 + 49x,0 < x 50
C x = í 14400 ，通過市場分析，該中藥材可以每頓 50 萬元的價格全面售完，設(shè)基地
51x + -870,50 < x 100 2x +1
種植該中藥材年利潤（利潤=銷售額-成本）為 L(x) 萬元，當(dāng)基底產(chǎn)出該中藥材 40 噸時，年利潤為 190 萬
元. ( 2 1.41)
(1)年利潤 L(x) （單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量 x （單位：噸）的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時（精確到 0.1 噸），所獲年利潤最大？最大年利潤是多少（精確到 0.1 噸）？
4-5．（2024 高二下·山東聊城·階段練習(xí)）某企業(yè)為進一步增加市場競爭力，計劃在 2023 年利用新技術(shù)生產(chǎn)
某款新手機，通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)該產(chǎn)品全年需要投入研發(fā)成本 250 萬元，每生產(chǎn) x （千部）手機，需
ì10x2 +100x + 800,0 < x < 50
R x 另外投入成本 萬元，其中R x = í 10000 ，已知每部手機的售價為 5000 元，且生
504x + - 6450, x 50 x - 2
產(chǎn)的手機當(dāng)年全部銷售完.
(1)求 2023 年該款手機的利潤 y 關(guān)于年產(chǎn)量 x 的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)年產(chǎn)量 x 為多少時，企業(yè)所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
（五）
對勾函數(shù)模型
解決“對勾”函數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵
b
解決“對勾”函數(shù) f(x)＝ax＋ (a>0，b>0)的實際應(yīng)用問題時，需關(guān)注該函數(shù)的定義域、單調(diào)性(函數(shù) f(x)在
x
( b ) ( b) ( b b－ ，0 和 0， 上單調(diào)遞減，在 －∞，－ )和 ，＋∞a a a ( a )上單調(diào)遞增)、值域和圖象等．一般通過變形，
構(gòu)造利用基本不等式的條件求最值．
題型 5：對勾函數(shù)模型解決實際問題
5-1．（2024 高一上·廣東深圳·期中）某工廠為提升品牌知名度進行促銷活動，需促銷費用 x（0 < x a, a為常
數(shù)）萬元，計劃生產(chǎn)并銷售某種文化產(chǎn)品（x +1）萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等）.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品需投入成本費用
x 1 20（ + +1）萬元（不含促銷費用），產(chǎn)品的促銷價格定為（1+ ）元/件.
x x +1
(1)將該產(chǎn)品的利潤 y 萬元表示為促銷費用 x 萬元的函數(shù)；（注：利潤=銷售額 - 投入成本 - 促銷費用）
(2)當(dāng)促銷費用投入多少萬元時，此工廠所獲得的利潤最大？最大利潤為多少？
5-2．（2024 高一上·上海徐匯·期末）某品牌手機公司的年固定成本為 50 萬元，每生產(chǎn) 1 萬部手機需增加投
入 20 萬元，該公司一年內(nèi)生產(chǎn) x x > 0 萬部手機并全部銷售完當(dāng)年銷售量 x 低于 40 萬部時，每銷售 1 萬部
手機的收入R x = 400 - 5x萬元；當(dāng)年銷售量 x 不低于 40 萬部時，每銷售 1 萬部手機的收入
R x 9000 40000= - 2 萬元x x
(1)寫出年利潤 y 萬元關(guān)于年銷售量 x 萬部的函數(shù)解析式；
(2)年銷售量為多少萬部時，利潤最大，并求出最大利潤．
5-3．（2024 高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）喝酒不開車，開車不喝酒.若某人飲酒后，欲從相距 45km的某地聘請代
駕司機幫助其返程.假設(shè)當(dāng)?shù)氐缆废匏?0km/h .油價為每升 8 元，當(dāng)汽車以 xkm/h 的速度行駛時，油耗率為
x2
3 + ÷ L/h .已知代駕司機按每小時 56 元收取代駕費，試確定最經(jīng)濟的車速，使得本次行程的總費用最少，
è 360
并求最小費用.
一、單選題
1．（2024 高一上·江西·階段練習(xí)）你見過古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹銀花觸目紅”，是隋
煬帝眼中的“燈樹千光照，花焰七枝開”.煙花，雖然是沒有根的花，是虛幻的花，卻在達到最高點時爆裂，
用其燦爛的一秒換來人們真心的喝彩.已知某種煙花距地面的高度 h（單位：米）與時間 t（單位：秒）之間
的關(guān)系式為 h = -3.6t 2 + 28.8t ，則煙花在沖擊后爆裂的時刻是（ ）
A．第 4 秒 B．第 5 秒 C．第 3.5 秒 D．第 3 秒
2．（2024 高一上·北京·階段練習(xí)）某工廠近期要生產(chǎn)一批化工試劑，經(jīng)市場調(diào)查得知，生產(chǎn)這批試劑的成本
分為以下三個部分：①生產(chǎn) 1 單位試劑需要原料費 50 元；②支付所有職工的工資總額由 7500 元的基本工
600
資和每生產(chǎn) 1 單位試劑補貼 20 元組成；③后續(xù)保養(yǎng)的費用是每單位 x + - 30x ÷元（試劑的總產(chǎn)量為
x 單
è
位，50 x 200），則要使生產(chǎn)每單位試劑的成本最低，試劑總產(chǎn)量應(yīng)為（ ）
A．60 單位 B．70 單位 C．80 單位 D．90 單位
3．（2024 高一上·湖南益陽·期末）某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品 x 萬件時的生產(chǎn)成本為C x = x2 + 4x +16（萬
元），每件商品售價為 28元，假設(shè)每月所生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完．當(dāng)月所獲得的總利潤用 w x （萬元）表示，
w x
用 表示當(dāng)月生產(chǎn)商品的單件平均利潤，則下列說法正確的是（ ）
x
A．當(dāng)生產(chǎn)12萬件時，當(dāng)月能獲得最大總利潤144萬元
B．當(dāng)生產(chǎn)12萬件時，當(dāng)月能獲得最大總利潤160萬元
C．當(dāng)生產(chǎn) 4萬件時，當(dāng)月能獲得單件平均利潤最大為 24元
D．當(dāng)生產(chǎn) 4萬件時，當(dāng)月能獲得單件平均利潤最大為16元
4．（2024 高一上·廣東深圳·期末）生物學(xué)家認(rèn)為，睡眠中的恒溫動物的脈搏率 f （單位：心跳次數(shù) ×min-1）
1
與體重W （單位：kg）的 次方成反比.若A 、B 為兩個睡眠中的恒溫動物，A 的體重為 2kg、脈搏率為 210
3
次 ×min-1， B 的脈搏率是 70 次 ×min-1，則 B 的體重為（ ）
A．6kg B．8kg C．18kg D．54kg
二、多選題
5．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)
家到公園的距離都是 2km．如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過的路程 y（km）與時間 x（min）
的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了 60min
B．甲從家到公園的時間是 30min
1
C．當(dāng) 0≤x≤30 時，y 與 x 的關(guān)系式為 y = x
15
1
D．當(dāng) 30≤x≤60 時，y 與 x 的關(guān)系式為 y = x - 2
10
6 *．（2024 高一上·河南·期中）某種商品單價為 50 元時，每月可銷售此種商品 300 件，若將單價降低 x x N
元，則月銷售量增加 10x 件，要使此種商品的月銷售額不低于 15950 元，則 x 的取值可能為（ ）
A．9 B．7 C．13 D．11
三、填空題
7．（2024 高一上·上海浦東新·期末）要建造一個高為 3 米，容積為 48 立方米的無蓋長方體蓄水池.已知池底
的造價為每平方米 1500 米，池壁的造價為每平方米 1000 元.該蓄水池的總造價 y （元）關(guān)于池底一邊的長
度 x （米）的函數(shù)關(guān)系為： .
8．（2024 高一上·廣西桂林·期中）將進貨單價 40 元的商品按 50 元一個售出，能賣出 500 個；若此商品每漲
價 1 元，其銷售量減少 10 個.為了賺到最大利潤，售價應(yīng)定為 元.
9．（2024 高二下·浙江寧波·學(xué)業(yè)考試）某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層．某建筑物準(zhǔn)備建造
可以使用 30 年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價，每厘米厚的隔熱層的建造成本是 9 萬元．根據(jù)建筑公司的前期研
究得到，該建筑物 30 年間每年的能源消耗費用 N（單位：萬元）與隔熱層的厚度 h（單位：厘米）滿足關(guān)
系：N h m= 0 h 10 ．經(jīng)測算知道，如果不建造隔熱層，那么 30 年間每年的能源消耗費用為 10 萬
3h + 4
元．設(shè)F h 為隔熱層的建造費用與 30 年間的能源消耗費用的總和，那么使F h 達到最小值的隔熱層的厚
度 h＝ 厘米．
10．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）一天，小明從家出發(fā)勻速步行去學(xué)校上學(xué)．幾分鐘后，在家休假的爸爸
發(fā)現(xiàn)小明忘帶數(shù)學(xué)書，于是爸爸立即勻速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到書
5
后以原速的 快步趕往學(xué)校，并在從家出發(fā)后 23 分鐘到校（小明被爸爸追上時交流時間忽略不計）．兩人
4
之間相距的路程 y（米）與小明從家出發(fā)到學(xué)校的步行時間 x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則小明家
到學(xué)校的路程為 米．
四、解答題
11．（2024 高一上·河南濮陽·階段練習(xí)）某廠生產(chǎn)某種零件，每個零件的成本為30元，出廠單價定為52元，
該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降
低0.02元，但實際出廠單價不能低于 41元.
(1)當(dāng)一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰好降為 41 元？
(2)設(shè)一次訂購量為 x 個，零件的實際出廠單價為 P 元，寫出函數(shù)P = f x 的表達式；
(3)當(dāng)銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？（工廠售出一個零件的利潤=實際出廠單價
-成本）
12．（2024 高一·全國·專題練習(xí)）A 地某校準(zhǔn)備組織學(xué)生及學(xué)生家長到 B 地進行社會實踐，為便于管理，所
有人員必須乘坐在同一列火車上.根據(jù)報名人數(shù)，若都買一等座單程火車票需 17010 元，若都買二等座單程
火車票且花錢最少，則需 11220 元.已知學(xué)生家長與教師的人數(shù)之比為 2 :1，從 A 到 B 的火車票價格（部分）
如下表所示：
運行區(qū)間 公布票價 學(xué)生票
上車站 下車站 一等座 二等座 二等座
A B 81（元） 68（元） 51（元）
(1)參加社會實踐的老師、家長與學(xué)生各有多少人？
(2)由于各種原因，二等座火車票只能買 x 張（x 小于參加社會實踐的人數(shù)），其余的需買一等座火車票，在
保證每位參與人員都有座位的前提下，請你設(shè)計最經(jīng)濟的購票方案，并寫出購買火車票的總費用（單程）y
與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)請你做一個預(yù)算，按第（2）小題中的購票方案，購買單程火車票至少要花多少錢？最多要花多少錢？
13．（2024 高一上·江蘇宿遷·期末）如圖，已知底角為 45o 的等腰梯形 ABCD，底邊BC 長為 7，腰長為 2 2 ，
當(dāng)一條垂直于底邊 BC （垂足為點 F ， F 不與 B ，C 重合）的直線 l從左至右移動（與梯形 ABCD有公共點）
時，直線 l把梯形分成兩部分，令BF = x，試寫出直線 l左邊部分圖形的面積 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式．
14．（2024 高一上·山東泰安·期末）某企業(yè)開發(fā)生產(chǎn)了一種大型電子產(chǎn)品，生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年固定成本為 2500
2
萬元，每生產(chǎn) x 百件，需另投入成本 c x （單位：萬元），當(dāng)年產(chǎn)量不足 30 百件時，c x =10x +100x ；當(dāng)
10000
年產(chǎn)量不小于 30 百件時， c x = 501x + - 4500；若每件電子產(chǎn)品的售價為 5 萬元，通過市場分析，
x
該企業(yè)生產(chǎn)的電子產(chǎn)品能全部銷售完.（利潤=總收入-成本）
(1)求年利潤 y （萬元）關(guān)于年產(chǎn)量 x （百件 ) 的函數(shù)關(guān)系式；
(2)年產(chǎn)量為多少百件時，該企業(yè)在這一電子產(chǎn)品的生產(chǎn)中獲利最大？
15．（2024 高一上·山東）吉祥物“冰墩墩”在北京 2022 年冬奧會強勢出圈，并衍生出很多不同品類的吉祥
物手辦．某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為 200 萬元．每生產(chǎn) x 萬
盒，需投入成本 h x 萬元，當(dāng)產(chǎn)量小于或等于 50 萬盒時 h x =180x +100；當(dāng)產(chǎn)量大于 50 萬盒時
h x = x2 + 60x + 3500，若每盒玩具手辦售價 200 元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售
完（利潤＝售價－成本，成本＝固定成本＋生產(chǎn)中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤 y （萬元）關(guān)于產(chǎn)量 x （萬盒）的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬盒時，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲利潤最大？
16．（2024 高三上·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）某超市引進A ，B 兩類有機蔬菜．在當(dāng)天進貨都售完的前提下，A
類有機蔬菜的純利潤為 3 元/千克，B 類有機蔬菜的純利潤為 5 元/千克．若當(dāng)天出現(xiàn)未售完的有機蔬菜，次
日將以 5 折售出，此時售出的 A 類蔬菜的虧損為 1 元/千克，B 類蔬菜的虧損為 3 元/千克．已知當(dāng)天未售完
的有機蔬菜，次日 5 折促銷都能售完．假設(shè)該超市 A，B 兩類有機蔬菜當(dāng)天共進貨 100 千克，其中 A 類有機
蔬菜進貨 x x N,30 x 70 千克．假設(shè) A， B 類有機蔬菜進貨當(dāng)天可售完的質(zhì)量均為 50 千克．
(1)試求進貨當(dāng)天及次日該超市這兩類有機蔬菜的總盈利 f x （單位：元）的表達式；
(2)若 f x 322，求 x 的取值范圍．
17．（2024 高一上·浙江嘉興·期中）我國是用水相對貧乏的國家，據(jù)統(tǒng)計，我國的人均水資源僅為世界平均
1
水平的 ．因此我國在制定用水政策時明確提出“優(yōu)先滿足城鄉(xiāng)居民生活用水”4 ，同時為了更好地提倡節(jié)約用
水，對水資源使用進行合理配置，對居民自來水用水收費采用階梯收費．某市經(jīng)物價部門批準(zhǔn)，對居民生
活用水收費如下：第一檔，每戶每月用水不超過 20立方米，則水價為每立方米3元；第二檔，若每戶每月
用水超過 20立方米，但不超過30立方米，則超過部分水價為每立方米 4元；第三檔，若每戶每月用水超過30
立方米，則超過部分水價為每立方米7 元，同時征收其全月水費 20%的用水調(diào)節(jié)稅．設(shè)某戶某月用水 x 立方
米，水費為 y 元．
(1)試求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)；
(2)若該用戶當(dāng)月水費為80元，試求該年度的用水量；
(3)設(shè)某月甲用戶用水 a立方米，乙用戶用水b 立方米，若 a,b之間符合函數(shù)關(guān)系：b = -a2 + 47a - 530．則當(dāng)兩
戶用水合計達到最大時，一共需要支付水費多少元？
18．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)購物方便快捷，得益于快遞行業(yè)的快速發(fā)展，根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計，
某條快遞線路運行時，發(fā)車時間間隔 t（單位：分鐘）滿足：4 t 15，t N ，平均每趟快遞車輛的載件個
ì1800 -15(9 - t)2 , 4 t < 9
數(shù) p(t) （單位：個）與發(fā)車時間間隔 t 近似地滿足 p(t) = í ，其中 t N ．
1800,9 t 15
(1)若平均每趟快遞車輛的載件個數(shù)不超過 1500 個，試求發(fā)車時間間隔 t 的值；
q(t) 6 p(t) - 7920(2)若平均每趟快遞車輛每分鐘的凈收益 = -80（單位：元），問當(dāng)發(fā)車時間間隔 t 為多少時，
t
平均每趟快遞車輛每分鐘的凈收益最大？并求出最大凈收益．
19．（2024 高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護服短缺，某地政府決定為防護服生產(chǎn)企
業(yè) A 公司擴大生產(chǎn)提供 x(x [0,10]) (萬元)的專項補貼，并以每套 80 元的價格收購其生產(chǎn)的全部防護服.A 公
12
司在收到政府 x (萬元)補貼后，防護服產(chǎn)量將增加到 t = k × 6 - ÷ (x 4 萬件
)，其中 k 為工廠工人的復(fù)工率
è +
( k [0.5,1] ).A 公司生產(chǎn) t萬件防護服還需投入成本 (20 + 9x + 50t) (萬元).
（1）將 A 公司生產(chǎn)防護服的利潤 y (萬元)表示為補貼 x (萬元)的函數(shù)；(政府補貼 x 萬元計入公司收入)
（2）在復(fù)工率為 k 時，政府補貼多少萬元才能使 A 公司的防護服利潤達到最大？
（3）對任意的 x [0,10] (萬元)，當(dāng)復(fù)工率 k 達到多少時，A 公司才能不產(chǎn)生虧損？
（精確到 0.01）.
20．（2024 高二下·黑龍江哈爾濱·期末）隨著城市居民汽車使用率的增加，交通擁堵問題日益嚴(yán)重，而建設(shè)
高架道路、地下隧道以及城市軌道公共運輸系統(tǒng)等是解決交通擁堵問題的有效措施.某市城市規(guī)劃部門為提
高早晚高峰期間某條地下隧道的車輛通行能力，研究了該隧道內(nèi)的車流速度 v（單位：千米/小時）和車流
ì 60,0 < x 30

密度 x （單位：輛/千米）所滿足的關(guān)系式： v = í k k R .研究表明：當(dāng)隧道內(nèi)的車
80 - ,30 < x 120 150 - x
流密度達到 120 輛/千米時造成堵塞，此時車流速度是 0 千米/小時.
(1)若車流速度 v不小于 40 千米/小時，求車流密度 x 的取值范圍；
(2)隧道內(nèi)的車流量 y （單位時間內(nèi)通過隧道的車輛數(shù)，單位：輛/小時）滿足 y = x ×v，求隧道內(nèi)車流量的最
大值（精確到 1 輛/小時），并指出當(dāng)車流量最大時的車流密度（精確到 1 輛/千米）.（參考數(shù)據(jù)：
5 2.236）
21．（2024 高一上·新疆·期中）黨的二十大報告提出“積極穩(wěn)妥推進碳達峰碳中和”，降低能源消耗，建設(shè)資
源節(jié)約型社會．日常生活中我們使用的 LED燈具就具有節(jié)能環(huán)保的作用，它環(huán)保不含汞，可回收再利用，
功率小，高光效，長壽命，有效降低資源消耗．經(jīng)過市場調(diào)查，可知生產(chǎn)某種 LED燈需投入的年固定成本
為 3 萬元，每生產(chǎn) x 萬件該產(chǎn)品，需另投入變動成本W(wǎng)(x) W x 1 2萬元，在年產(chǎn)量不足 6 萬件時， = x + x ，
2
81
在年產(chǎn)量不小于 6 萬件時，W x = 7x + - 37．每件產(chǎn)品售價為 6 元．假設(shè)該產(chǎn)品每年的銷量等于當(dāng)年的
x
產(chǎn)量．
(1)寫出年利潤 L(x) （萬元）關(guān)于年產(chǎn)量 x （萬件）的函數(shù)解析式．（注：年利潤=年銷售收入-固定成本-
變動成本）
(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，年利潤最大？最大年利潤是多少？
22．（2024·湖北）圍建一個面積為 360m2 的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），
其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為 2m 的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費
用為 45 元/m，新墻的造價為 180 元/m，設(shè)利用的舊墻的長度為 x（單位：元）．設(shè)修建此矩形場地圍墻的
總費用為 y.
（Ⅰ）將 y 表示為 x 的函數(shù)；
（Ⅱ）試確定 x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．
23．（2024 高二下·山西運城·階段練習(xí)）大羅山位于溫州市區(qū)東南部，由四景一水構(gòu)成，它們分別是：仙巖
景區(qū) 瑤溪景區(qū) 天桂寺景區(qū) 茶山景區(qū)和三烊濕地.某開發(fā)商計劃 2023 年在三烊濕地景區(qū)開發(fā)新的游玩項目，
全年需投入固定成本 400 萬元，若該項目在 2023 年有 x 萬名游客，則需另投入成本R x 萬元，且
ì
50,0 < x 5,
R x = x2í + 40x + 200,5 < x 20,該游玩項目的每張門票售價為 80 元.

81x 1600+ -850, x > 20,
x
(1)求 2023 年該項目的利潤W x （萬元）關(guān)于游客數(shù)量 x（萬人）的函數(shù)關(guān)系式（利潤=銷售額-成本）.
(2)當(dāng) 2023 年游客數(shù)量為多少時，該項目所獲利潤最大？最大利潤是多少？
24．（2024 高一上·重慶璧山·階段練習(xí)）某廠家擬對 A 產(chǎn)品做促銷活動，對 A 產(chǎn)品的銷售數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，A
t 10 k產(chǎn)品的月銷售量 t（單位：萬件）與月促銷費用 x（單位：萬元）滿足關(guān)系式 = - （k 為常數(shù)，
x +1
x 0 ），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的月銷量是 1 萬件．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品每月固定投入為 7 萬元，每生產(chǎn)
9
一萬件該產(chǎn)品需要再投入 4 萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價定為 5 + ÷元，設(shè)該產(chǎn)品的月利潤為 y 萬元，
è t
（注：利潤=銷售收入-生產(chǎn)投入-促銷費用）
(1)將 y 表示為 x 的函數(shù)；
(2)月促銷費用為多少萬元時，該產(chǎn)品的月利潤最大？最大利潤為多少？
25．（四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟 2023-2024 學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）長江存儲是我國唯一
一家能夠獨立生產(chǎn) 3D NAND 閃存的公司，其先進的晶棧 Xtacking 技術(shù)使得 3D NAND 閃存具有極佳的性能
和極長的壽命．為了應(yīng)對第四季度 3D NAND 閃存顆粒庫存積壓的情況，某下游閃存封裝公司擬對產(chǎn)能進行
調(diào)整，已知封裝閃存的固定成本為 300 萬元，每封裝 x 萬片，還需要C x 萬元的變動成本，通過調(diào)研得知，
當(dāng) x 不超過 120 萬片時，C(x) = 0.1x2 +130x ；當(dāng) x 超過 120 萬片時，C(x) =151x
25600
+ -1350 ，封裝好后
x
的閃存顆粒售價為 150 元/片，且能全部售完．
(1)求公司獲得的利潤 L x 的函數(shù)解析式；
(2)封裝多少萬片時，公司可獲得最大利潤？
26．（2024 高一上·上海浦東新·期中）某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物的生長規(guī)律，計劃利用學(xué)校空
地建造一間室內(nèi)面積為900m2 的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩
形區(qū)域之間間隔 1m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留 1m 寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰
的左右內(nèi)墻保留 3m 寬的通道，如圖．設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長為 x（單位：m），三塊種植植物的矩形區(qū)域的總
面積為 S（單位：m2）．
(1)求 S 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求 S 的最大值，并求出此時 x 的值．
27．（2024 高一上·福建廈門·開學(xué)考試）如圖，某日的錢塘江觀測信息如下：2017 年 月 日，天氣：陰；
能見度：1.8 千米；11: 40時，甲地“交叉潮”形成，潮水勻速奔向乙地；12 :10時，潮頭到達乙地，形成“一
線潮”，開始均勻加速，繼續(xù)向西；12 : 35時，潮頭到達丙地，遇到堤壩阻擋后回頭，形成“回頭潮”.
按上述信息，小紅將“交叉潮”形成后潮頭與乙地質(zhì)檢的距離 x （千米）與時間 t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系用圖 3
表示.其中：“11: 40時甲地‘交叉潮’的潮頭離乙地 12 千米”記為點 A(0,12)，點 B 坐標(biāo)為 (m,0)，曲線BC 可用
1 2
二次函數(shù)： s = t + bt + c(b， c是常數(shù)）刻畫.
125
(1)求m 值，并求出潮頭從甲地到乙地的速度；
(2)11: 59時，小紅騎單車從乙地出發(fā)，沿江邊公路以 0.48 千米 / 分的速度往甲地方向去看潮，問她幾分鐘與
潮頭相遇？
(3)相遇后，小紅立即調(diào)轉(zhuǎn)車頭，沿江邊公路按潮頭速度與潮頭并行，但潮頭過乙地后均勻加速，而單車最
高速度為 0.48 千米 / 分，小紅逐漸落后.問小紅與潮頭相遇到落后潮頭 1.8 千米共需多長時間？（潮水加速
階段速度 v = v
2
0 + (t - 30) ， v0 是加速前的速度）125
28．（2024·江蘇南通·二模）某單位購入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴
灑 1 個單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度 y （單位：毫米/立方米）隨著時間 x （單位：小時）變化的關(guān)系
16 1
如下：當(dāng)0 x 4時， y = -1；當(dāng) 4 < x 10時， y = 5 - x．若多次噴灑，則某一時刻空氣中的消毒劑
8 - x 2
濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和．由實驗知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于 4（毫克
/立方米）時，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用．
(1)若一次噴灑 4 個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達幾小時？
(2)若第一次噴灑 2 個單位的消毒劑，6 小時后再噴灑 a 1 a 4 個單位的消毒劑，要使接下來的 4 小時中能
夠持續(xù)有效消毒，試求 a的最小值（精確到 0.1，參考數(shù)據(jù)： 2 取 1.4）
29．（2024 高一上·湖北十堰·開學(xué)考試）甲、乙兩汽車出租公司均有 50 輛汽車對外出租，下面是兩公司經(jīng)理
的一段對話：
甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費 3000 元，那么 50 輛汽車可以全部租出．如果每輛汽車的月租費
每增加 50 元，那么將少租出 1 輛汽車．另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護費 200 元．
乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費 3500 元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護費共計 1850
元．說明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤=月租車費—月維護費；
③兩公司月利潤差=月利潤較高公司的利潤-月利潤較低公司的利潤．
在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問題：
(1)當(dāng)每個公司租出的汽車為 10 輛時，甲公司的月利潤是_______元；當(dāng)每個公司租出的汽車為_______輛時，
兩公司的月利潤相等；
(2)甲公司熱心公益事業(yè)，每租出 1 輛汽車捐出 a 元 a > 0 給慈善機構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利潤仍
高于乙公司月利潤，當(dāng)且僅當(dāng)兩公司租出的汽車均為 17 輛時，甲公司剩余的月利潤與乙公司月利潤之差最
大，求 a 的取值范圍．
30．（四川省綿陽市綿陽南山中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）據(jù)悉某市一號線一輛列車滿載
時約為 550 人，人均票價為 4 元，十分適合中小城市的運營.日前該市運營公司通過一段時間的營業(yè)發(fā)現(xiàn)，
每輛列車的單程營業(yè)額Y （元）與發(fā)車時間間隔 t（分鐘）相關(guān)：當(dāng)間隔時間達到或超過 12 分鐘后，列車
均為滿載狀態(tài)；當(dāng)8 t 12
60
時，單程營業(yè)額Y 與4t - +12成正比；當(dāng)5 t < 8 時，單程營業(yè)額會在 t = 8時
t
的基礎(chǔ)上減少，減少的數(shù)量為 40 8 - t 2 .
(1)求當(dāng)5 t 12時，單程營業(yè)額Y 關(guān)于發(fā)車間隔時間 t的函數(shù)表達式；
120
(2)由于工作日和節(jié)假日的日運營時長不同，據(jù)統(tǒng)計每輛車日均 t 次單程運營.為體現(xiàn)節(jié)能減排，發(fā)車間隔
時間 t 8,12 ，則當(dāng)發(fā)車時間間隔為多少分鐘時，每輛列車的日均營業(yè)總額 P 最大？求出該最大值.
31．（2024 高一上·山東日照·期末）“春節(jié)”期間，某商場進行如下的優(yōu)惠促銷活動：
優(yōu)惠方案 1：一次購買商品的價格，每滿 60 元立減 5 元；
優(yōu)惠方案 2：在優(yōu)惠 1 之后，再每滿 400 元立減 40 元．
é130ù
例如，一次購買商品的價格為 130 元，則實際支付額130 - 5 ê ú =130 - 5 2 =120元，其中 x 表示不大 60
860
于 x
é ù
的最大整數(shù)．又如，一次購買商品的價格為 860 元，則實際支付額860 - 5 ê ú - 40 1 = 750元． 60
(1)小明計劃在該商場購買兩件價格分別是 250 元和 650 元的商品，他是分兩次支付好，還是一次支付好？
請說明理由；
(2)已知某商品是小明常用必需品，其價格為 30 元/件，小明趁商場促銷，想多購買幾件該商品，其預(yù)算不
超過 500 元，試求他應(yīng)購買多少件該商品，才能使其平均價格最低？最低平均價格是多少？3.4 函數(shù)的應(yīng)用(一)5 題型分類
一、用函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟
(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)刻畫實際問題，初步選擇
模型．
(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．
(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論．
(4)還原：利用數(shù)學(xué)知識和方法得出的結(jié)論還原到實際問題中．
可將這些步驟用框圖表示如下：
二、常見的函數(shù)模型
(1)一次函數(shù)模型：即直線模型，其特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值勻速增大或減小．現(xiàn)
實生活中很多事例可以用該模型來表示，例如：勻速直線運動的時間和位移的關(guān)系，彈簧的伸
長量與拉力的關(guān)系等．
(2)二次函數(shù)模型：二次函數(shù)為生活中最常見的一種數(shù)學(xué)模型，因二次函數(shù)可求其最大值(或
最小值)，故最優(yōu)、最省等問題常常是二次函數(shù)的模型．
(3)分段函數(shù)模型：由于分段函數(shù)在不同的區(qū)間中具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研
究條件變化的實際問題，或者在某一特定條件下的實際問題中具有廣泛的應(yīng)用．
（一）
一次函數(shù)模型
用一次函數(shù)模型解決實際問題的解題方法
(1)建立一次函數(shù)模型時應(yīng)先求出自變量的取值范圍；
(2)根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系建立一次函數(shù)模型；
(3)利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行求解、檢驗．
注：（1）一次函數(shù)模型應(yīng)用時，本著“問什么，設(shè)什么，列什么”這一原則．
（2）一次函數(shù)求最值，常轉(zhuǎn)化為求解不等式 ax＋b≥0(或≤0)，解答時，注意系數(shù) a 的正負(fù)，也
可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值．
題型 1：用一次函數(shù)模型解決實際問題
1-1．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）(多選)某單位準(zhǔn)備印制一批證書，現(xiàn)有兩個印刷廠可供選擇，甲廠費用
分為制版費和印刷費兩部分，先收取固定的制版費，再按印刷數(shù)量收取印刷費，乙廠直接按印刷數(shù)量收取
印刷費，甲廠的總費用 y1(千元) 乙廠的總費用 y2(千元)與印制證書數(shù)量 x(千個)的函數(shù)關(guān)系圖分別如圖中甲
乙所示，則（ ）
A．甲廠的制版費為 1 千元，印刷費平均每個為 0.5 元
B．甲廠的總費用 y1與證書數(shù)量 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為 y1 = 0.5x +1
C．當(dāng)印制證書數(shù)量不超過 2 千個時，乙廠的印刷費平均每個為 1.5 元
D．當(dāng)印制證書數(shù)量超過 2 千個時，乙廠的總費用 y2與證書數(shù)量 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為 y
1 5
2 = x +4 2
【答案】ABCD
【分析】根據(jù)甲廠和乙廠的函數(shù)圖象，結(jié)合一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合待定系數(shù)法，即可求解.
【詳解】由題圖知甲廠制版費為 1 千元，印刷費平均每個為 0.5 元，故 A 正確；
設(shè)甲廠的費用 y1 與證書數(shù)量 x 滿足的函數(shù)關(guān)系式為 y = kx + b，
ìb =1
代入點 (0,1), (6, 4) ，可得 í ，解得 k = 0.5,b =1，
6k + b = 4
所以甲廠的費用 y1 與證書數(shù)量 x 滿足的函數(shù)關(guān)系式為 y1 = 0.5x +1，故 B 正確；
當(dāng)印制證書數(shù)量不超過 2 千個時，乙廠的印刷費平均每個為3 2 =1.5元，故 C 正確；
設(shè)當(dāng) x > 2時，設(shè) y2 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為 y = mx + n
ì2m + n = 3
代入點 (2,3), (6, 4)
1
，可得 í ，解得 k = ,b
5
=
6m n 4 ， + = 4 2
1 5
所以當(dāng) x > 2時， y2 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為 y2 = x + ，故 D 正確.4 2
故選：ABCD.
1-2．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）在一次數(shù)學(xué)實踐課上，同學(xué)們進行節(jié)能住房設(shè)計，綜合分析后，設(shè)計出房
y 1
1 11
屋的剖面圖（如圖所示），屋頂所在直線方程分別是 = x+3 和 y = - x +3 ，為保證采光，豎直窗戶的高4 2
度設(shè)計為 1m，那么點 A 的橫坐標(biāo)為 ．
【答案】6
【分析】設(shè) A 的橫坐標(biāo)為 m，把 x = m 代入兩個直線方程，所得 y 值相減（大減小）差為 1，由此可解得m ，
得結(jié)論．
1 11
【詳解】設(shè) A 1的橫坐標(biāo)為 m，則 A 的坐標(biāo)為（m，0），∵屋頂所在直線方程分別是 y = x+3 和 y = - +3 x ，4 2
1 1 11
為保證采光，豎直窗戶的高度設(shè)計為 1m，∴ m + 3- - m + ÷ =1，解得 m＝6，故點 A 的橫坐標(biāo)為 6．3 è 4 2
故答案為：6．
1-3．（2024 高一上·浙江·期末）為了保護水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民實行“階梯水價”，計費方法
如下表：
每戶每月用水量 水價
不超過12m3 的部分 3 元/ m3
超過12m3 但不超過18m3 的部分 6 元/ m3
超過18m3 的部分 9 元/ m3
若某戶居民本月交納的水費為 54 元，則此戶居民的用水量為（ ）
A．6m3 B．9m3 C．15m3 D．18m3
【答案】C
【分析】利用分段函數(shù)各段上的解析式,由函數(shù)值求自變量可得.
【詳解】設(shè)此戶居民本月用水量為 x m3 ,繳納的水費為 y 元,
則當(dāng) x [0,12]時, y = 3x 36元,不符合題意;
當(dāng) x (12,18]時, y =12 3 + (x -12) 6 = 6x - 36 ,令6x - 36 = 54 ,解得 x =15 ,符合題意；
當(dāng) x (18,+ ) 時, y =12 3 + 6 6 + (x -18) 9 = 9x - 90 > 72 ,不符合題意.
綜上所述: 此戶居民本月用水量為 15 m3 .
故選：C.
1-4．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）（多選）甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離
與乙同學(xué)家到公園的距離都是 2 km.如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過的路程 y(km)與時間
x(min)的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了 60 min
B．甲從家到公園的時間是 30 min
C．甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度快
1
D．當(dāng) 0≤x≤30 時，y 與 x 的關(guān)系式為 y＝ x
15
【答案】BD
【分析】根據(jù)圖表逐項判斷即可
【詳解】在 A 中，甲在公園休息的時間是 10 min，所以只走了 50 min，A 錯誤；
由題中圖象知，B 正確；
甲從家到公園所用的時間比從公園到乙同學(xué)家所用的時間長，而距離相等，所以甲從家到公園的速度比從
公園到乙同學(xué)家的速度慢，C 錯誤；
1
當(dāng) 0≤x≤30 時，設(shè) y＝kx(k≠0)，則 2＝30k，解得 k = ，D 正確.
15
故選：BD
（二）
二次函數(shù)模型
1、二次函數(shù)模型的解析式為 g(x)＝ax2＋bx＋c，a≠0.在函數(shù)建模中，它占有重要的地位，在根
據(jù)實際問題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求
函數(shù)的最值，從而解決實際問題中的最值問題，二次函數(shù)求最值最好結(jié)合二次函數(shù)的圖象來解
答．
2、利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點
(1)方法：根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法利用函數(shù)
的單調(diào)性等方法求最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題．
(2)注意：取得最值的自變量與實際意義是否相符．
題型 2：二次函數(shù)模型及應(yīng)用
2-1．（2024 高一上·云南昭通·期中）某商店試銷一種成本單價為 40 元/件的新產(chǎn)品，規(guī)定試銷時的銷售單價
不低于成本單價，又不高于 80 元/件，經(jīng)試銷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量 y （件）與銷售單價 x （元/件）可近似看
作一次函數(shù) y = -x +100的關(guān)系．設(shè)商店獲得的利潤（利潤=銷售總收入-總成本）為S 元．
（1）試用銷售單價 x 表示利潤S ；
（2）試問銷售單價定為多少時，該商店可獲得最大利潤？最大利潤是多少？此時的銷售量是多少？
【答案】（1） S = -x2 +140x - 4000 40 x 80 ；（2）當(dāng)銷售單價為 70 元/件時，可獲得最大利潤 900 元，
此時銷售量是 30 件．
【分析】（1）由利潤=銷售總收入-總成本可得答案；
（2）對于 S x = - x - 70 2 + 900 40 x 80 配方法即可求得最大值．
【詳解】（1） S x = xy - 40y = x - 40 y = x - 40 -x +100
= -x2 +140x - 4000 40 x 80 .
（2） S x = - x - 70 2 + 900 40 x 80 ，
∴當(dāng)銷售單價為 70 元/件時，可獲得最大利潤 900 元，此時銷售量是 30 件．
2-2．（2024·河北·模擬預(yù)測）勞動實踐是大學(xué)生學(xué)習(xí)知識 鍛煉才干的有效途徑，更是大學(xué)生服務(wù)社會 回報
社會的一種良好形式某大學(xué)生去一服裝廠參加勞動實踐，了解到當(dāng)該服裝廠生產(chǎn)的一種衣服日產(chǎn)量為 x 件
時，售價為 s 元/件，且滿足 s = 820 - 2x，每天的成本合計為600 + 20x 元，請你幫他計算日產(chǎn)量為
件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為 萬元.
【答案】 200 7.94
【分析】將利潤表示為關(guān)于 x 的一個二次函數(shù)，求出該函數(shù)的最值即可.
【詳解】由題意易得日利潤 y = s x - 600 + 20x = x 820 - 2x - 600 + 20x = -2 x - 200 2 + 79400，
故當(dāng)日產(chǎn)量為 200 件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為 7.94 萬元，
故答案為：200，7.94.
2-3．（2024 高一上·廣東東莞·期中）某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量 y （單位：千克）
與銷售單價 x （單位：元/千克）滿足關(guān)系式 y
a
= +100(8 - x)，其中 4 < x <8， a為常數(shù)，已知銷售單
x - 4
價為6 元/千克時，每日可售出該商品 220千克.
（1）求 a的值；
（2）若該商品的進價為 4元/千克，試確定銷售單價 x 的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，并
求出利潤的最大值.
【答案】（1） a = 40（2）當(dāng) x = 6時，函數(shù) f (x) 取得最大值，且最大值等于 440.
【分析】（1）將 x=6 時，y=220 代入關(guān)系式，即可求出 a；
（2）根據(jù)每日銷售該商品所獲得的利潤＝每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數(shù)，
根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法得出最大值對應(yīng)的 x 值．
a
【詳解】（1）因為 y = +100 8 - x .且 = 6時， y = 220 .
x - 4
a
所以 + 200 = 220.解得. a = 40 .
2
（2）由（1）可知，該商品每日的銷售量 y
40
= +100 8 - x .
x - 4
所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤：
f x x 4 é 40= - ê +100 8 - x
ù
ú = 40 +100（x - 4） 8 - x = -100（x - 6）
2 + 440 (4 < x < 8)
x - 4
因為 f x 為二次函數(shù)，且開口向上，對稱軸為 = 6.
所以，當(dāng) = 6時，函數(shù) f x 取得最大值，且最大值等于 440.
所以當(dāng)銷售價格定為 6 元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大利潤為 440 元.
【點睛】本題考查了函數(shù)解析式的求法及生活中的優(yōu)化問題，考查建模思想，屬于中檔題．
2-4 用對人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入 200 萬元，
搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入 20 萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，
根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入 P、種黃瓜的年收入 Q 與投入 a(單位：萬元)滿足 P＝80＋
1
4 2a ，Q＝ a＋1204 ．設(shè)甲大棚的投入為 x(單位：萬元)，每年兩個大棚的總收入為 f(x)(單位：萬元)．
（1）求 f(50)的值；
（2）試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收入 f(x)最大？
【答案】（1）277.5；（2）投入甲大棚 128 萬元，乙大棚 72 萬元時，總收入最大．
【分析】（1）由 f (50) = P(50) + Q(150) 計算可得；
（2）由已知列出函數(shù)式 f (x) = P(x) + Q(200 - x)，注意定義域，然后換元 t = x ，化為二次函數(shù)，由二次函
數(shù)知識得最大值．
【詳解】（1）若投入甲大棚 50 萬元，則投入乙大棚 150 萬元，
1
所以 f(50)＝80＋4 2 50 ＋ ×150＋120＝277.54 ．
（2）由題知，
f 1(x)＝80＋4 2x ＋ (200 ) 1204 －x ＋
1
＝－ 4 x＋4 2x ＋250，
ì x 20,
依題意得 í
200 - x > 20,
解得 20≤x≤180，
1
故 f(x)＝－ x＋4 2x ＋250(20≤x≤180)4 ．
令 t＝ x ，則 t2＝x，t∈[2 5 ，6 5 ]，
y 1＝－ t2
1
＋4 2 t＋250＝－ (t－8 2 )2＋2824 4 ，
當(dāng) t＝8 2 ，即 x＝128 時，y 取得最大值 282，所以投入甲大棚 128 萬元，乙大棚 72 萬元時，總收入最大，
且最大收入為 282 萬元．
（三）
冪函數(shù)模型應(yīng)用
冪函數(shù)模型應(yīng)用的求解策略
(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，明確函數(shù)關(guān)系式．
(2)根據(jù)題意，直接列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．　
題型 3：用冪函數(shù)模型解決實際問題
3-1．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入 x(萬元)與藥品利潤
y(萬元)存在的關(guān)系為 y = xa ( a為常數(shù))，其中 x 不超過 5 萬元.已知去年投入廣告費用為 3 萬元時，藥品利潤
為 27 萬元，若今年投入廣告費用 5 萬元，預(yù)計今年藥品利潤為 萬元.
【答案】125
【分析】利用代入法，結(jié)合指數(shù)冪的運算定義進行求解即可.
【詳解】因為投入廣告費用為 3 萬元時，藥品利潤為 27 萬元，
所以 27 = 3a a = 3，即 y = x3
當(dāng)今年投入廣告費用 5 萬元，預(yù)計今年藥品利潤為53 =125，
故答案為：125
3-2．（2024 高一上·湖北宜昌·期中）美國對中國芯片的技術(shù)封鎖，激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮.某公司研發(fā)的
A，B 兩種芯片都已經(jīng)獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費資金 2 億元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進行生產(chǎn).經(jīng)市場
調(diào)查與預(yù)測，生產(chǎn) A 芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入 1 億元，公司獲得毛收入 0.25 億元；
a
生產(chǎn) B 芯片的毛收入 y （億元）與投入的資金 x （億元）的函數(shù)關(guān)系為 y =kx (x >0)，其圖象如圖所示.
(1)試分別求出生產(chǎn) A, B兩種芯片的毛收入 y （億元）與投入資金 x （億元）的函數(shù)關(guān)系式；
(2)如果公司只生產(chǎn)一種芯片，那么生產(chǎn)哪種芯片毛收入更大？
(3)現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入 40 億元資金同時生產(chǎn) A, B兩種芯片，設(shè)投入 x 億元生產(chǎn) B 芯片，用 f x 表示公司所獲
凈利潤，當(dāng) x 為多少時，可以獲得最大凈利潤？并求出最大凈利潤.（凈利潤= A芯片毛收入 +B 芯片毛收入
一研發(fā)耗費資金）
x
【答案】(1)生產(chǎn)A 芯片關(guān)系式為 y = (x > 0)4 ，生產(chǎn) B 芯片關(guān)系式為 y = x (x > 0)
(2)答案見解析
(3) x = 4億時，公司所獲凈利潤最大凈利潤為 9 億元
【分析】（1）由題意直接得到生產(chǎn) A 芯片的解析式，待定系數(shù)法求出生產(chǎn) B 芯片的解析式；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，得到不等式和方程，得到答案；
f x 40 - x（3）表達出 = + x - 2，換元后求出最值.
4
x
【詳解】（1）設(shè)投入資金 x 億元，則生產(chǎn) A 芯片的毛收入 y = (x > 0) .4
將 1,1 , 4,2 代入 y = kxa ，
ìk =1 ìk =1
得 í
kx
a = 2，解得 í 1 ， a = 2
\生產(chǎn) B 芯片的毛收入 y = x (x > 0) .
x x
（2）由 > x ，得 x >16 ；由 = x ，得 x =16 ；
4 4
x
由 < x ，得0 < x <16 .
4
\當(dāng)投入資金大于 16 億元時，生產(chǎn) A芯片的毛收入更大；
當(dāng)投入資金等于 16 億元時，生產(chǎn) A, B芯片的毛收入相等；
當(dāng)投入資金小于 16 億元時，生產(chǎn) B 芯片的毛收入更大.
（3）由題意知投入 x 億元生產(chǎn) B 芯片，則投入 40 - x 億元資金生產(chǎn) A 芯片，
40 - x
公司所獲凈利潤 f x = + x - 2，
4
令 x = t ，則 t 2 = x ，
f x 40 - t
2
\ = + t - 2 1= - (t - 2)2 + 9 ，
4 4
故當(dāng) t = 2，即 x = 4億時，公司所獲凈利潤最大，最大凈利潤為 9 億元.
3-3．（2024 高一上·江蘇南通·期中）黨的十九大報告明確要求繼續(xù)深化國有企業(yè)改革，培育具有全球競爭力
的世界一流企業(yè).某企業(yè)抓住機遇推進生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn) A、B 兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與市
場預(yù)測，A 產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖①；B 產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系
如圖②（注：所示圖中的橫坐標(biāo)表示投資金額，單位為萬元）.
(1)分別求出 A、B 兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；
(2)該企業(yè)已籌集到 10 萬元資金，并全部投入 A、B 兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這 10 萬元資金，才能使
企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是多少？
1
【答案】(1) f (x) = x(x 0) ， g(x) = 2 x (x 0)
2
(2)A 產(chǎn)品投入 6 萬元，B 產(chǎn)品投入 4 萬元，才能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是 7 萬元
【分析】（1）由題設(shè) f (x) = k1x， g(x) = k2 x ，根據(jù)圖象上數(shù)據(jù)得解；
（2）列出企業(yè)利潤的函數(shù)解析式 y = f (x) + g(10 x)
1
- = x + 2 10 - x (0 x 10) 換元法求得函數(shù)最值得解.
2
【詳解】（1）設(shè)投資為 x 萬元，A 產(chǎn)品的利潤為 f (x) 萬元，B 產(chǎn)品的利潤為 g(x)萬元
由題設(shè) f (x) = k1x， g(x) = k2 x ，
由圖知 f 2 =1 1，故 1 = ，又 g(4) = 4，所以 k2 = 2．2
1
從而 f (x) = x(x 0) ， g(x) = 2 x (x 0) ．
2
（2）設(shè) A 產(chǎn)品投入 x 萬元，則 B 產(chǎn)品投入10 - x萬元，設(shè)企業(yè)利潤為 y 萬元
則 y = f (x) + g(10 - x)
1
= x + 2 10 - x (0 x 10) ，
2
1
令 t = 10 x 2- ，則 y = - (t - 2) + 7(0 t 10)，2
當(dāng) t = 2時， ymax = 7 ，此時 x = 6 .
故 A 產(chǎn)品投入 6 萬元，B 產(chǎn)品投入 4 萬元，才能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是 7 萬元.
（四）
分段函數(shù)模型
1、用分段函數(shù)模型解決實際問題的解法
分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個問題，將各段的變
化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段變量的范圍，特別是端點值．
2、應(yīng)用分段函數(shù)時的三個注意點
(1)分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏.
(2)分段函數(shù)的定義域為對應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集.
(3)分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論.
題型 4：用分段函數(shù)模型解決實際問題
4-1．（2024 高一上·遼寧）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水
果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量W (單位：千克)與施用肥料 x (單位：千克)滿足如下關(guān)
ì5 x2 + 3 ,0 x 2
系：W (x) =

í 50x ，肥料成本投入為10x 元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工費) 20x
, 2 < x 5
1+ x
元．已知這種水果的市場售價大約 15 元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤為 f (x) (單位：元)
(1)寫單株利潤 f (x) (元)關(guān)于施用肥料 x (千克)的關(guān)系式；
(2)當(dāng)施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？
ì75x2 - 30x + 225,0 x 2

【答案】(1) f (x) = í750x ；
- 30x, 2 < x 5 1+ x
(2)4 千克，480 元﹒
【分析】（1）用銷售額減去成本投入得出利潤 f x 的解析式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式求出 f x 的最大值即可．
ì5 x2 + 3 ,0 x 2
【詳解】（1）依題意 f (x) = 15W (x) -10x - 20x ，又W (x) =

í 50x ，
, 2 < x 5
1+ x
ì75x2 - 30x + 225,0 x 2
∴ f x = í750x ．
- 30x, 2 < x 5 1+ x
1
（2）當(dāng)0 x 2時， f (x) = 75x2 - 30x + 225，開口向上，對稱軸為 x = ，
5
\ f (x) é0, 1ù é1 ,2ù在 ê 5ú 上單調(diào)遞減，在 ê ú上單調(diào)遞增， 5
\ f (x)在 0,2 上的最大值為 f 2 = 465．
當(dāng) 2 < x 5時， f x = 780 - 30 25 25 +1+ x

÷ 780 - 30 2 × 1+ x = 4801 ，è + x 1+ x
25
當(dāng)且僅當(dāng) =1+ x時，即 x = 4時等號成立．
1+ x
∵ 465 < 480，∴當(dāng) x = 4時， f x = 480max ．
∴當(dāng)投入的肥料費用為 40 元時，種植該果樹獲得的最大利潤是 480 元．
4-2．（2024 高一上·遼寧沈陽·期中）世界范圍內(nèi)新能源汽車的發(fā)展日新月異，電動汽車主要分三類：純電動
汽車、混合動力電動汽車和燃料電池電動汽車.這 3 類電動汽車目前處在不同的發(fā)展階段，并各自具有不同
的發(fā)展策略.中國的電動汽車革命也早已展開，以新能源汽車替代汽（柴）油車，中國正在大力實施一項將
重新塑造全球汽車行業(yè)的計劃.2022 年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固
ì10x2 +100x,0 < x < 40

定成本 2000 萬元，每生產(chǎn) （百輛），需另投入成本C x （萬元），且C x = í
501x 10000
；
+ - 4500, x 40 x
已知每輛車售價 5 萬元，由市場調(diào)研知，全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.
(1)求出 2022 年的利潤 L x （萬元）關(guān)于年產(chǎn)量 （百輛）的函數(shù)關(guān)系式；
(2)2022 年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.
ì-10x2 + 400x - 2000,0 < x < 40

【答案】(1) L(x) = í 10000 ;
-x - + 2500, x 40 x
(2)100（百輛），2300 萬元.
【分析】（1）根據(jù)利潤 L x =收入-總成本，即可求得 L x （萬元）關(guān)于年產(chǎn)量 （百輛）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分段求得函數(shù) L x 的最大值，比較大小可得答案.
【詳解】（1）由題意知利潤 L x =收入-總成本，
所以利潤
ì-10x2 + 400x - 2000,0 < x < 40
L(x) = 5x 100 - 2000 - C(x) =

í 10000 ,
-x - + 2500, x 40 x
故 2022 年的利潤 L x （萬元）關(guān)于年產(chǎn)量 x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式為
ì-10x2 + 400x - 2000,0 < x < 40
L(x) = í
x 10000
.
- - + 2500, x 40 x
（2）當(dāng)0 < x < 40 時， L(x) = -10x2 + 400x - 2000 = -10(x - 20)2 + 2000，
故當(dāng) x = 20時， L(x)max = 2000；
當(dāng) x 40 時， L(x) 10000= -x - + 2500 -2 x 10000× + 2500 = 2300 ,
x x
x 10000當(dāng)且僅當(dāng) = ， 即 x =100 時取得等號；
x
綜上所述，當(dāng)產(chǎn)量為 100（百輛）時，取得最大利潤，最大利潤為 2300 萬元．
4-3．（福建福州外國語學(xué)校 2023-2024 學(xué)年高一上學(xué)期階段性測試數(shù)學(xué)試題）某電子公司生產(chǎn)某種智能手環(huán)，
其固定成本為 2 萬元，每生產(chǎn)一個智能手環(huán)需增加投入 100 元，已知總收入 R（單位：元）關(guān)于日產(chǎn)量 x
ì
400x
1
- x2 ,0 x 400
（單位：個）滿足函數(shù)：R = í 2 .
80000, x > 400
(1)將利潤 f x （單位：元）表示成日產(chǎn)量 x 的函數(shù)；
(2)當(dāng)日產(chǎn)量 x 為何值時，該電子公司每天所獲利潤最大，最大利潤是多少？（利潤＋總成本＝總收入）
ì 1
- x2 + 300x - 20000, (0 x 400)【答案】(1) f x = í 2
-100x + 60000(x > 400)
(2)當(dāng)月產(chǎn)量為 300 臺時，公司獲得的月利潤最大，其值為 25000 元
【分析】（1）根據(jù)利潤為總收入減去總成本，即可得到利潤 f x 的解析式；
（2）結(jié)合（1）中 f x 的解析式，分討討論 x 的取值范圍，結(jié)合配方法與一次函數(shù)的單調(diào)性，求得 f x 的
最值，同時得到相應(yīng)的 x 值.
【詳解】（1）根據(jù)題意，
當(dāng)0 x 400時， f x = 400x 1- x2 - 20000 -100x 1= - x2 + 300x - 20000，
2 2
當(dāng) x > 400時， f x = 80000 - 20000 -100x = -100x + 60000，
ì 1
- x2 + 300x - 20000, (0 x 400)所以 f x = í 2 .
-100x + 60000(x > 400)
1 1
（2）當(dāng)0 x 400時， f x = - x2 + 300x - 20000 = - (x - 300)2 + 25000，
2 2
所以當(dāng) x = 300 時， f x = 25000max ；
當(dāng) x > 400時，易知 f x = -100x + 60000是減函數(shù)，
所以 f x < -100 400 + 60000 = 20000；
綜上：當(dāng) x = 300 時， f x = 25000max ，
所以，當(dāng)月產(chǎn)量為 300 臺時，公司獲得的月利潤最大，其值為 25000 元.
4-4．（2024 高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）對口幫扶是我國一項重要的扶貧開發(fā)政策，在對口扶貧工作中，某
生態(tài)基地種植某中藥材的年固定成本為 250 萬元，每產(chǎn)出 x 噸需另外投入可變成本C (x) 萬元，已知
ì ax2 + 49x,0 < x 50
C x = í 14400 ，通過市場分析，該中藥材可以每頓 50 萬元的價格全面售完，設(shè)基地 51x + -870,50 < x 100 2x +1
種植該中藥材年利潤（利潤=銷售額-成本）為 L(x) 萬元，當(dāng)基底產(chǎn)出該中藥材 40 噸時，年利潤為 190 萬
元. ( 2 1.41)
(1)年利潤 L(x) （單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量 x （單位：噸）的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時（精確到 0.1 噸），所獲年利潤最大？最大年利潤是多少（精確到 0.1 噸）？
ì1 2
x + x - 250,0 < x 50
【答案】(1) L(x) =
4
í
x 14400- - + 620,50 < x 100
2x +1
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為 84.1 噸時，最大年利潤是 451.3 萬元.
【分析】（1）由基地產(chǎn)出該中藥材 40 噸時，年利潤為 190 萬元，列出方程，即可求解；
（2）當(dāng) x (0，50]時，求得 ymax 萬元；當(dāng) x (50，100]時，結(jié)合基本不等式，即可求.
【詳解】（1）當(dāng)基底產(chǎn)出該中藥材 40 噸時，年成本為1600a + 49 40 + 250萬元，
利潤為50 40 - (1600a + 49 40 + 250) =190
1
，解得 a = - ，
4
ì1 x2 + x - 250,0 < x 50
則 L(x) =
4
í .
x 14400- - + 620,50 < x 100
2x +1
（2）當(dāng) x (0，50]， L x 1= x2 + x - 250，對稱軸為 x = -2<0，
4
則函數(shù)在 (0，50]上單調(diào)遞增，故當(dāng) x = 50 時， ymax = 425，
當(dāng) x (50，100]時，
L x x 14400= - - + 620 14400= - x + ÷ + 620= 620.5
2x +1 14400- + ÷ 620.5 -120 2 451.32x +1 è 2x +1 è 2 2x +1
2x +1 14400
當(dāng)且僅當(dāng) = ，即 x = 60 2
1
- 84.1時取等號，
2 2x +1 2
因為 425 < 451.3，所以當(dāng)年產(chǎn)量為 84.1 噸時，所獲年利潤最大，最大年利潤是 451.3 萬元.
4-5．（2024 高二下·山東聊城·階段練習(xí)）某企業(yè)為進一步增加市場競爭力，計劃在 2023 年利用新技術(shù)生產(chǎn)
某款新手機，通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)該產(chǎn)品全年需要投入研發(fā)成本 250 萬元，每生產(chǎn) x （千部）手機，需
ì10x2 +100x + 800,0 < x < 50
另外投入成本R x 萬元，其中R x = í 10000 ，已知每部手機的售價為 5000 元，且生
504x + - 6450, x 50 x - 2
產(chǎn)的手機當(dāng)年全部銷售完.
(1)求 2023 年該款手機的利潤 y 關(guān)于年產(chǎn)量 x 的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)年產(chǎn)量 x 為多少時，企業(yè)所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
ì-10x2 + 400x -1050,0 < x < 50

【答案】(1) y = í 4x 10000- + ÷ + 6200, x 50
è x - 2
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為 52（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是 5792 萬元.
【分析】（1）根據(jù)利潤等于收入減去成本即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）求出的函數(shù)關(guān)系式直接求最大值即可.
2 2
【詳解】（1）當(dāng)0 < x < 50時， y = 500x - 10x +100x + 800 - 250 = -10x + 400x -1050，
當(dāng) x 50時, y = 500x - 504x
10000
+ - 6450 - 250 = - 4x 10000+ + 6200，
è x - 2 ÷ è x - 2 ÷
ì-10x2 + 400x -1050,0 < x < 50

所以 y = í 4x 10000- +
.
+ 6200, x 50
è x - 2
÷

（2）當(dāng)0 < x < 50時， y = -10x2 + 400x -1050 = -10(x - 20)2 + 2950 ,
∴當(dāng) x = 20時， ymax = 2950，
當(dāng) x 50時,
y 4x 10000 6200 10000= - + ÷ + = -4 x - 2 - + 6192 -2 40000 + 6192 = 5792 ,
è x - 2 x - 2
當(dāng)且僅當(dāng) 4 x - 2 10000= ，即 x = 52 時， y
x - 2 max
= 5792，
因此當(dāng)年產(chǎn)量為 52（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是 5792 萬元.
（五）
對勾函數(shù)模型
解決“對勾”函數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵
b
解決“對勾”函數(shù) f(x)＝ax＋ (a>0，b>0)的實際應(yīng)用問題時，需關(guān)注該函數(shù)的定義域、單調(diào)性(函數(shù) f(x)在
x
( b ) ( b) b b－ ，0 和 0， 上單調(diào)遞減，在(－∞，－ )和( ，＋∞)上單調(diào)遞增)、值域和圖象等．一般通過變形，a a a a
構(gòu)造利用基本不等式的條件求最值．
題型 5：對勾函數(shù)模型解決實際問題
5-1．（2024 高一上·廣東深圳·期中）某工廠為提升品牌知名度進行促銷活動，需促銷費用 x（0 < x a, a為常
數(shù)）萬元，計劃生產(chǎn)并銷售某種文化產(chǎn)品（x +1）萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等）.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品需投入成本費用
x 1 1 20（ + + ）萬元（不含促銷費用），產(chǎn)品的促銷價格定為（1+ ）元/件.
x x +1
(1)將該產(chǎn)品的利潤 y 萬元表示為促銷費用 x 萬元的函數(shù)；（注：利潤=銷售額 - 投入成本 - 促銷費用）
(2)當(dāng)促銷費用投入多少萬元時，此工廠所獲得的利潤最大？最大利潤為多少？
1
【答案】(1) y = -x - + 20， x 0,a
x
1
0 a 1 a - a + - 20 (2)當(dāng) < < 時，當(dāng)促銷費用投入 萬元時，此工廠所獲得的利潤最大，最大利潤為 萬元；當(dāng)
è a ÷
a 1時，當(dāng)促銷費用投入1萬元時，此工廠所獲得的利潤最大，最大利潤為18萬元.

【分析】（1）根據(jù)題意可得銷售額 1
20 20 1+ ÷ x +1 = x + 21，則利潤 y = 1+ ÷ x +1 -

x + +1
- x，
è x +1 è x +1 ÷ è x
0 < x a ，化簡即可得出答案；
1
（2）由（1）得 y = -

x +

÷ + 20， x 0,a 1 1，利用基本不等式可得 x + 2 x × = 2，結(jié)合對勾函數(shù)的性
è x x x
質(zhì)，分類討論0 < a <1，a 1，求出最大值，即可得出答案.
y = 1 20+ x +1 - x 1+ +1 1【詳解】（1）由題意得 ÷ ÷ - x = -x - + 20 ， x 0,a ；
è x +1 è x x

1
（2）由（1）得 y = - x + ÷ + 20， x 0,a ，
è x
Q x > 0 ，
x 1 2 x 1
1
\ + × = 2，當(dāng)且僅當(dāng) x = ，即 x =1時等號成立，
x x x
由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：
1
當(dāng)0 < a <1時， y = -
x + ÷ + 20在 0, a 上單調(diào)遞增，
è x
∴當(dāng) x = a
1
時， ymax = -
a + a ÷
+ 20；
è
a 1 y = -
1
當(dāng) 時， x + x ÷
+ 20 -2 + 20 =18，當(dāng)且僅當(dāng) = 1時等號成立，
è
1
綜上所述，當(dāng)0 < a <1時，當(dāng)促銷費用投入 a萬元時，此工廠所獲得的利潤最大，最大利潤為- a + - 20a ÷è
萬元；
當(dāng)a 1時，當(dāng)促銷費用投入1萬元時，此工廠所獲得的利潤最大，最大利潤為18萬元.
5-2．（2024 高一上·上海徐匯·期末）某品牌手機公司的年固定成本為 50 萬元，每生產(chǎn) 1 萬部手機需增加投
入 20 萬元，該公司一年內(nèi)生產(chǎn) x x > 0 萬部手機并全部銷售完當(dāng)年銷售量 x 低于 40 萬部時，每銷售 1 萬部
手機的收入R x = 400 - 5x萬元；當(dāng)年銷售量 x 不低于 40 萬部時，每銷售 1 萬部手機的收入
R x 9000 40000= - 2 萬元x x
(1)寫出年利潤 y 萬元關(guān)于年銷售量 x 萬部的函數(shù)解析式；
(2)年銷售量為多少萬部時，利潤最大，并求出最大利潤．
ì-5x2 + 380x - 50,0 < x < 40

【答案】(1) y = í 40000
- - 20x + 8950, x 40 x
(2)38 萬部時，最大利潤為 7170 萬元.
【分析】（1）依題意，分0 < x < 40 和 x 40 兩段分別求利潤=收入-成本，即得結(jié)果；
（2）分0 < x < 40 和 x 40 兩段分別求函數(shù)的最大值，再比較兩個最大值的大小，即得最大利潤.
【詳解】（1）依題意，生產(chǎn) x x > 0 萬部手機，成本是50 + 20x（萬元），
ì400 - 5x,0 < x < 40
故利潤 y = x × R x - 50 + 20x ，而R x = í9000 40000 ，
- , x 40
x x2
ì 400 - 5x × x - 50 + 20x ,0 < x < 40
故 y =

í 9000 40000 ，
- 2 ÷ × x - 50 + 20x , x 40
è x x
ì-5x2 + 380x - 50,0 < x < 40
整理得， y =

í 40000 ；
- - 20x + 8950, x 40 x
（2）0 < x < 40 2時， y = -5x2 + 380x - 50 = -5 x - 38 + 7170，開口向下的拋物線，在 x = 38時，利潤最大值
為 ymax = 7170 ；
y 40000x 40 時， = - - 20x + 8950
40000= - + 20x

÷ + 8950，x è x
h(x) 40000其中 = + 20x = 20
2000
x
+ x ÷，在 é 40,20 5 上單調(diào)遞減，在 20 5, + 上單調(diào)遞增，因為è x
h(45) 40000 20 45 h(44) 40000 20 44 4000044 < 20 5 < 45 = + < = + ，故 x = 45時，h(x) = + 20x取得最小45 44 x
值
y 40000= - + 20x + 8950 y 40000故 ÷ 在 x = 45時，y 取得最大值 max = - - 900 + 8950 = 8050
8000
- < 7162
è x 45 9
而7162 < 7170，
故年銷售量為 38 萬部時，利潤最大，最大利潤為 7170 萬元.
5-3．（2024 高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）喝酒不開車，開車不喝酒.若某人飲酒后，欲從相距 45km的某地聘請代
駕司機幫助其返程.假設(shè)當(dāng)?shù)氐缆废匏?0km/h .油價為每升 8 元，當(dāng)汽車以 xkm/h 的速度行駛時，油耗率為
x2
3 + ÷ L/h .已知代駕司機按每小時 56 元收取代駕費，試確定最經(jīng)濟的車速，使得本次行程的總費用最少，
è 360
并求最小費用.
【答案】最經(jīng)濟的車速為50km/h 時，使得本次行程的總費用最少為122元.
3600
【分析】根據(jù)題設(shè)可得 y = + x，0 x 50，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)可求該函數(shù)的最小值.
x
45 45
【詳解】設(shè)汽車以 xkm/h 行駛時，開車時間為 小時，則代駕費用為 56 ，
x x
45 x2
油耗為 3 + ÷，x è 360
45 x2 y 3 8 45 3 x 7則總費用 = + ÷ + 56 = 45 8
+ + ，
x è 360 x

è x 360 x
÷

360 10 x 3600= + ÷ = + x，
è x 360 x
由對勾函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在 0,60 單調(diào)遞減，在 60,+ 上單調(diào)遞增，
因為0 x 50，所以當(dāng) x = 50 時， y 取到最小值，
y 3600最小值為 = + 50 = 72 + 50 =122 .
50
最經(jīng)濟的車速為50km/h 時，使得本次行程的總費用最少為122元.
一、單選題
1．（2024 高一上·江西·階段練習(xí)）你見過古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹銀花觸目紅”，是隋
煬帝眼中的“燈樹千光照，花焰七枝開”.煙花，雖然是沒有根的花，是虛幻的花，卻在達到最高點時爆裂，
用其燦爛的一秒換來人們真心的喝彩.已知某種煙花距地面的高度 h（單位：米）與時間 t（單位：秒）之間
的關(guān)系式為 h = -3.6t 2 + 28.8t ，則煙花在沖擊后爆裂的時刻是（ ）
A．第 4 秒 B．第 5 秒 C．第 3.5 秒 D．第 3 秒
【答案】A
【分析】利用配方法，求二次函數(shù)最大值及相應(yīng) t值即可.
【詳解】由題意， h = -3.6t 2 + 28.8t = -3.6 t 2 -8t +16 + 57.6 = -3.6 t - 4 2 + 57.6，
則當(dāng) t = 4時，即煙花達到最高點，爆裂的時刻是第 4秒.
故選：A.
2．（2024 高一上·北京·階段練習(xí)）某工廠近期要生產(chǎn)一批化工試劑，經(jīng)市場調(diào)查得知，生產(chǎn)這批試劑的成本
分為以下三個部分：①生產(chǎn) 1 單位試劑需要原料費 50 元；②支付所有職工的工資總額由 7500 元的基本工
600
資和每生產(chǎn) 1 單位試劑補貼 20 元組成；③后續(xù)保養(yǎng)的費用是每單位 x + - 30x ÷元（試劑的總產(chǎn)量為
x 單
è
位，50 x 200），則要使生產(chǎn)每單位試劑的成本最低，試劑總產(chǎn)量應(yīng)為（ ）
A．60 單位 B．70 單位 C．80 單位 D．90 單位
【答案】D
【分析】設(shè)生產(chǎn)每單位試劑的成本為 y ，求出原料總費用，職工的工資總額，后續(xù)保養(yǎng)總費用，從而表示出
y ，然后利用基本不等式求解最值即可．
【詳解】解：設(shè)每生產(chǎn)單位試劑的成本為 y ，
因為試劑總產(chǎn)量為 x 單位，則由題意可知，原料總費用為50x 元，
600
職工的工資總額為7500 + 20x

元，后續(xù)保養(yǎng)總費用為 x x + - 30÷元，
è x
y 50x + 7500 + 20x + x
2 - 30x + 600 8100
則 = = x + + 40 2 x 8100× + 40 = 220，
x x x
當(dāng)且僅當(dāng) x
8100
= ，即 x = 90時取等號，
x
滿足50 x 200，
所以要使生產(chǎn)每單位試劑的成本最低，試劑總產(chǎn)量應(yīng)為 90 單位．
故選：D．
3．（2024 高一上· 2湖南益陽·期末）某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品 x 萬件時的生產(chǎn)成本為C x = x + 4x +16（萬
元），每件商品售價為 28元，假設(shè)每月所生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完．當(dāng)月所獲得的總利潤用w x （萬元）表示，
w x
用 表示當(dāng)月生產(chǎn)商品的單件平均利潤，則下列說法正確的是（ ）
x
A．當(dāng)生產(chǎn)12萬件時，當(dāng)月能獲得最大總利潤144萬元
B．當(dāng)生產(chǎn)12萬件時，當(dāng)月能獲得最大總利潤160萬元
C．當(dāng)生產(chǎn) 4萬件時，當(dāng)月能獲得單件平均利潤最大為 24元
D．當(dāng)生產(chǎn) 4萬件時，當(dāng)月能獲得單件平均利潤最大為16元
【答案】D
【分析】求出w x 的表達式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得w x 的最大值及其對應(yīng)的 x w x 的值，求出
x
w x
的表達式，利用基本不等式可求得 的最大值及其對應(yīng)的 x 的值，即可出結(jié)論.
x
【詳解】由題意可得w x = 28x - C x = -x2 + 24x -16 = - x -12 2 +128，
故當(dāng) x =12 時，w x 取得最大值128，
w x 24x - x2 -16
= = 24 - x
16 16
+ ÷ 24 - 2 x × =16，x x è x x
當(dāng)且僅當(dāng) x = 4時，等號成立，
因此，當(dāng)生產(chǎn)12萬件時，當(dāng)月能獲得最大總利潤128萬元，
當(dāng)生產(chǎn) 4萬件時，當(dāng)月能獲得單件平均利潤最大為16元.
故選：D.
4．（2024 高一上·廣東深圳·期末）生物學(xué)家認(rèn)為，睡眠中的恒溫動物的脈搏率 f （單位：心跳次數(shù) ×min-1）
1
與體重W （單位：kg）的 次方成反比.若A 、B 為兩個睡眠中的恒溫動物，A 的體重為 2kg、脈搏率為 210
3
次 ×min-1， B 的脈搏率是 70 次 ×min-1，則 B 的體重為（ ）
A．6kg B．8kg C．18kg D．54kg
【答案】D
k
【分析】根據(jù)題意設(shè) f = 1 k 0 ，代入求解 k ，然后計算出 B 的體重，確定選項.
W 3
k
【詳解】根據(jù)題意設(shè) f = 1 k 0 ，
W 3
1
當(dāng)W = 2， f = 210 ,則 k = 210 23 ，
1
1 1
當(dāng) f = 70 3，則W 3 210 2= = 3 23 ，所以W = 54
70
故選：D
二、多選題
5．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)
家到公園的距離都是 2km．如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過的路程 y（km）與時間 x（min）
的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了 60min
B．甲從家到公園的時間是 30min
y 1C．當(dāng) 0≤x≤30 時，y 與 x 的關(guān)系式為 = x
15
1
D．當(dāng) 30≤x≤60 時，y 與 x 的關(guān)系式為 y = x - 2
10
【答案】BCD
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合圖象，以及一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：由圖象可知，甲在公園休息的時間是 10min，所以只走了 50min，故 A 錯誤，
由題中圖象可知，甲從家到公園的時間是 30min，故 B 正確，
當(dāng) 0≤x≤30 時，設(shè) y＝kx（k≠0 1），則 2＝30k，解得 k= 15，故 C 正確，
當(dāng) 30≤x≤60 時，設(shè) y＝kx+b，直線過點（40，2），（50，3），
ì40k + b = 2 ìk
1
= 1
則 í 1050k b 3 í ，故 y 與 x 的關(guān)系式為
y = x - 2 ，故 D 正確．
+ = b = -2 10
故選：BCD
6 *．（2024 高一上·河南·期中）某種商品單價為 50 元時，每月可銷售此種商品 300 件，若將單價降低 x x N
元，則月銷售量增加 10x 件，要使此種商品的月銷售額不低于 15950 元，則 x 的取值可能為（ ）
A．9 B．7 C．13 D．11
【答案】AD
【分析】將銷售額表示成一個關(guān)于 x 的函數(shù)，然后確定滿足條件的 x 的可能值即可.
【詳解】設(shè)此種商品的月銷售額為 f x ，
由題意知，單價為50 - x，銷售量為300 +10x，
所以銷售額： f x = 50 - x 300 +10x = -10x2 + 200x +15000，
所以 f 9 = -10 81+ 200 9 +15000=15990 >15950，
f 7 = -10 49 + 200 7 +15000=15910 <15950 ,
f 13 = -10 169 + 200 13 +15000=15910 <15950 ,
f 11 = -10 121+ 200 11+15000=15990 >15950 .
故 x 的取值可能為 9 或者 11，不可能是 7 或者 13.
故選：AD
三、填空題
7．（2024 高一上·上海浦東新·期末）要建造一個高為 3 米，容積為 48 立方米的無蓋長方體蓄水池.已知池底
的造價為每平方米 1500 米，池壁的造價為每平方米 1000 元.該蓄水池的總造價 y （元）關(guān)于池底一邊的長
度 x （米）的函數(shù)關(guān)系為： .
y = 6000 x 16+ 【答案】 ÷ +1500 16 ， x > 0
è x
16
【分析】根據(jù)條件便可得到池底面積為 4 平方米，底面的另一邊長 ，從而便可得到總造價 y 與 x 的解析
x
式.
16
【詳解】根據(jù)條件，該蓄水池的總造價 y 元，池底一邊的長度 x 米，底面另一邊長為 米,
x
16
∴長方體的底面積為 16，側(cè)面積為3 2 x + ÷，由題意得：
è x
y 6000 x 16= + ÷ +1500 16 ， x > 0 ,
è x
故答案為： y = 6000
16
x +

÷ +1500 16 ， x > 0 .
è x
8．（2024 高一上·廣西桂林·期中）將進貨單價 40 元的商品按 50 元一個售出，能賣出 500 個；若此商品每漲
價 1 元，其銷售量減少 10 個.為了賺到最大利潤，售價應(yīng)定為 元.
【答案】70
【分析】根據(jù)總利潤=銷售量 每個利潤．設(shè)售價為 x 元，總利潤為W 元，
則銷售量為500 -10(x - 50)，每個利潤為 (x - 40) ，表示總利潤，然后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最大值．
【詳解】設(shè)售價為 x 元，總利潤為W 元，
則W = (x - 40)[500 -10(x - 50)] = -10x2 +1400x - 40000 = -10 x - 70 2 + 9000，
當(dāng) x = 70時，W 最大，最大的利潤Wmax = 9000元；
即定價為 70 元時可獲得最大利潤，最大的利潤是 9000 元．
故答案為: 70 .
9．（2024 高二下·浙江寧波·學(xué)業(yè)考試）某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層．某建筑物準(zhǔn)備建造
可以使用 30 年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價，每厘米厚的隔熱層的建造成本是 9 萬元．根據(jù)建筑公司的前期研
究得到，該建筑物 30 年間每年的能源消耗費用 N（單位：萬元）與隔熱層的厚度 h（單位：厘米）滿足關(guān)
m
系：N h = 0 h 10 ．經(jīng)測算知道，如果不建造隔熱層，那么 30 年間每年的能源消耗費用為 10 萬
3h + 4
元．設(shè)F h 為隔熱層的建造費用與 30 年間的能源消耗費用的總和，那么使F h 達到最小值的隔熱層的厚
度 h＝ 厘米．
16
【答案】
3
【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)F h = 30N h + 9h 1200 9h 1200= + = + 3 3h + 4 -12，利用基本不等式求解.
3h + 4 3h + 4
【詳解】由題意及 N h m= ，可得 N 0 m= =10 ，即m = 40，
3h + 4 4
∴ N h 40= ．
3h + 4
隔熱層的建造費用與 30 年間的能源消耗費用的總和
F h = 30N h 1200+ 9h = + 9h 1200= + 3 3h + 4 -12 2 1200 ×3 3h + 4 -12 =108（萬元），3h + 4 3h + 4 3h + 4
1200
當(dāng)且僅當(dāng) = 3 3h + 4 ，即 h 16= （厘米）時F h 達到最小值．
3h + 4 3
16
故答案為: .
3
10．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）一天，小明從家出發(fā)勻速步行去學(xué)校上學(xué)．幾分鐘后，在家休假的爸爸
發(fā)現(xiàn)小明忘帶數(shù)學(xué)書，于是爸爸立即勻速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到書
5
后以原速的 快步趕往學(xué)校，并在從家出發(fā)后 23 分鐘到校（小明被爸爸追上時交流時間忽略不計）．兩人
4
之間相距的路程 y（米）與小明從家出發(fā)到學(xué)校的步行時間 x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則小明家
到學(xué)校的路程為 米．
【答案】2080
【分析】設(shè)小明原速度為 x 每分鐘，則拿到書后的速度為 1.25x 米/分鐘，家校距離為
11x + 23-11 1.25x = 26x．設(shè)爸爸行進速度為 y 米/分鐘，由題意及圖形得方程組，求出 x、y 的值即可解
答．
【詳解】解：設(shè)小明原速度為 x（米/分鐘），則拿到書后的速度為 1.25x（米/分鐘），則家校距離為
11x + 23-11 1.25x = 26x，
ì 11x = 16 -11 y
設(shè)爸爸行進速度為 y（米/分鐘），由題意及圖形得： í
16 -11 1.25x + y =1380
，
解得： x = 80, y =176.
∴小明家到學(xué)校的路程為：80 26 = 2080 （米）.
故答案為：2080．
四、解答題
11．（2024 高一上·河南濮陽·階段練習(xí)）某廠生產(chǎn)某種零件，每個零件的成本為30元，出廠單價定為52元，
該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降
低0.02元，但實際出廠單價不能低于 41元.
(1)當(dāng)一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰好降為 41 元？
(2)設(shè)一次訂購量為 x 個，零件的實際出廠單價為 P 元，寫出函數(shù)P = f x 的表達式；
(3)當(dāng)銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？（工廠售出一個零件的利潤=實際出廠單價
-成本）
【答案】(1) 650
ì52,0 < x 100
x
(2) P = f x = í54 - ,100 < x < 650, x N
50
41, x 650
(3) 7000元
52 - 41
【分析】（1）根據(jù)實際出廠單價恰好為 41元列出 x0 =100 + = 650求解；0.02
（2）根據(jù)題意求分段函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)利潤公式及分段函數(shù)入代求解即可.
【詳解】（1）解：設(shè)每個零件的實際出廠價恰好降為 41元時，一次訂購量為 x0 個，
則 x0 =100
52 - 41
+ = 650 .
0.02
（2）當(dāng)0 < x 100時，P = 52；
x
當(dāng)100 < x < 650時，P = 52 - 0.02 x -100 = 54 - ；
50
當(dāng) x 650 時，P = 41 .
ì52,0 < x 100

\P = f x x= í54 - ,100 < x < 650, x N
50
41, x 650
500
（3）設(shè)工廠獲得的利潤為 L元，則 L = 54 - - 30÷ 500 = 7000，
è 50
即銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是 7000元.
12．（2024 高一·全國·專題練習(xí)）A 地某校準(zhǔn)備組織學(xué)生及學(xué)生家長到 B 地進行社會實踐，為便于管理，所
有人員必須乘坐在同一列火車上.根據(jù)報名人數(shù)，若都買一等座單程火車票需 17010 元，若都買二等座單程
火車票且花錢最少，則需 11220 元.已知學(xué)生家長與教師的人數(shù)之比為 2 :1，從 A 到 B 的火車票價格（部分）
如下表所示：
運行區(qū)間 公布票價 學(xué)生票
上車站 下車站 一等座 二等座 二等座
A B 81（元） 68（元） 51（元）
(1)參加社會實踐的老師、家長與學(xué)生各有多少人？
(2)由于各種原因，二等座火車票只能買 x 張（x 小于參加社會實踐的人數(shù)），其余的需買一等座火車票，在
保證每位參與人員都有座位的前提下，請你設(shè)計最經(jīng)濟的購票方案，并寫出購買火車票的總費用（單程）y
與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)請你做一個預(yù)算，按第（2）小題中的購票方案，購買單程火車票至少要花多少錢？最多要花多少錢？
【答案】(1)10 人、20 人與 180 人；
ì -30x +17010 0 < x <180
(2) y = í
-13x +13950 180 x
；
< 210
(3)至少要花 11233 元，最多要花 16980 元.
【分析】（1）設(shè)出老師有 m 人，學(xué)生有 n 人，則學(xué)生家長有 2m 人，列出方程組，求出結(jié)果；（2）分180 x < 210
與0 < x <180兩種情況進行求解；（3）在第二問基礎(chǔ)上分別求出購買火車票的總費用，比較后得到至少要花
11233 元，最多要花 16980 元.
【詳解】（1）設(shè)參加社會實踐的老師有 m 人，學(xué)生有 n 人，則學(xué)生家長有 2m 人，
若都買二等座單程火車票且花錢最少，則全體學(xué)生都需買二等座火車票，依題意得：
ì 81 3m + n =17010
í ，
68 3m + 51n =11220
ì m =10
解得 í ，則 2m = 20 .
n =180
答：參加社會實踐的老師、家長與學(xué)生各有 10 人、20 人與 180 人.
（2）由（1）知所有參與人員總共有 210 人，其中學(xué)生有 180 人，
①當(dāng)180 x < 210時，最經(jīng)濟的購票方案為：
學(xué)生都買學(xué)生票共 180 張， x -180 名成年人買二等座火車票， 210 - x 名成年人買一等座火車票.
所以火車票的總費用（單程）y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為： y = 51 180 + 68 x -180 + 81 210 - x ，即
y = -13x +13950 180 x < 210 .
②當(dāng)0 < x <180時，最經(jīng)濟的購票方案為：一部分學(xué)生買學(xué)生票共 x 張，其余的學(xué)生與家長、老師一起購
買一等座火車票共 210 - x 張.
所以火車票的總費用（單程）y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為： y = 51x + 81 210 - x ，即
y = -30x +17010 0 < x <180 .
ì-30x +17010 0 < x <180
綜上： y = í
-13x +13950 180 x < 210
（3）由（2）知，當(dāng)180 x < 210時， y = -13x +13950 ，
由此可見，當(dāng) x = 209時，y 的值最小，最小值為 11233 元，當(dāng) x =180 時，y 的值最大，最大值為 11610 元.
當(dāng)0 < x <180時， y = -30x +17010，
由此可見，當(dāng) x =179 時，y 的值最小，最小值為 11640 元，當(dāng) x =1時，y 的值最大，最大值為 16980 元.所
以按（2）小題中的購票方案，購買單程火車票至少要花 11233 元，最多要花 16980 元.
13．（2024 高一上·江蘇宿遷·期末）如圖，已知底角為 45o 的等腰梯形 ABCD，底邊BC 長為 7，腰長為 2 2 ，
當(dāng)一條垂直于底邊 BC （垂足為點 F ， F 不與 B ，C 重合）的直線 l從左至右移動（與梯形 ABCD有公共點）
時，直線 l把梯形分成兩部分，令BF = x，試寫出直線 l左邊部分圖形的面積 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式．
ì1 x2 ,0 < x 2
2
【答案】 y = í2x - 2,2 < x 5

1- x - 7 2 +10,5 < x < 7
2
【分析】分別過點 A, D作 AG ^ BC ，DH ^ BC ，垂足分別是點G ， H ．根據(jù)已知條件求出等腰梯形的高
和上底邊長，再根據(jù)點F 的位置分類討論可求出面積 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式．
【詳解】分別過點 A, D作 AG ^ BC ，DH ^ BC ，垂足分別是點G ， H ．
因為四邊形 ABCD是等腰梯形，底角為 45°， AB = 2 2 ，所以BG = AG = DH = HC = 2．
又BC = 7，所以 AD = GH = 3．
（1）當(dāng)點F 在BG 上，即0 < x 2時， y
1
= x2；
2
（2）當(dāng)點F 在GH 上，即 2 < x 5時， y = 2 + 2 x - 2 = 2x - 2 ；
（3）當(dāng)點F 在HC 上，即5 < x < 7時，
y = S = S - S =10 1- 7 - x 2
五邊形ABFED 梯形ABCD Rt△EFC ．2
ì1 x2 ,0 < x 2
2
故函數(shù)的解析式為 y = í2x - 2,2 < x 5 .

1- x - 7 2 +10,5 < x < 7
2
14．（2024 高一上·山東泰安·期末）某企業(yè)開發(fā)生產(chǎn)了一種大型電子產(chǎn)品，生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年固定成本為 2500
萬元，每生產(chǎn) x 百件，需另投入成本 c x （單位：萬元），當(dāng)年產(chǎn)量不足 30 百件時，c x =10x2 +100x ；當(dāng)
c x 501x 10000年產(chǎn)量不小于 30 百件時， = + - 4500；若每件電子產(chǎn)品的售價為 5 萬元，通過市場分析，
x
該企業(yè)生產(chǎn)的電子產(chǎn)品能全部銷售完.（利潤=總收入-成本）
(1)求年利潤 y （萬元）關(guān)于年產(chǎn)量 x （百件 ) 的函數(shù)關(guān)系式；
(2)年產(chǎn)量為多少百件時，該企業(yè)在這一電子產(chǎn)品的生產(chǎn)中獲利最大？
ì-10x2 + 400x - 2500,0 x < 30

【答案】(1) y = í
2000
x 10000- +

÷ , x 30
è x
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為100百件時，獲利最大.
【分析】（1）根據(jù)“利潤=總收入-成本”求得 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式.
（2）結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式求得獲利最大時對應(yīng)的年產(chǎn)量.
ì500x -10x2 -100x - 2500,0 x < 30
y = 【詳解】（1）依題意， í 10000
500x - 501x - + 4500 - 2500, x 30 x
ì-10x2 + 400x - 2500,0 x < 30

í .
2000 - x
10000
+ ÷ , x 30
è x
400
（2）當(dāng)0 x < 30時，當(dāng) x = - = 202 -10 時，
y 取得最大值為-10 202 + 400 20 - 2500 =1500萬元.
x 30 2000 x 10000 10000當(dāng) 時， - +

÷ 2000 - 2 x × =1800萬元，
è x x
10000
當(dāng)且僅當(dāng) x = , x =100百件時等號成立.
x
綜上所述，當(dāng)年產(chǎn)量為100百件時，獲利最大.
15．（2024 高一上·山東）吉祥物“冰墩墩”在北京 2022 年冬奧會強勢出圈，并衍生出很多不同品類的吉祥
物手辦．某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為 200 萬元．每生產(chǎn) x 萬
盒，需投入成本 h x 萬元，當(dāng)產(chǎn)量小于或等于 50 萬盒時 h x =180x +100；當(dāng)產(chǎn)量大于 50 萬盒時
h x = x2 + 60x + 3500，若每盒玩具手辦售價 200 元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售
完（利潤＝售價－成本，成本＝固定成本＋生產(chǎn)中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤 y （萬元）關(guān)于產(chǎn)量 x （萬盒）的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬盒時，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲利潤最大？
ì20x - 300,0 x 50
【答案】(1) y = í 2 , x N
-x +140x - 3700, x > 50
(2)70 萬盒
【分析】（1）根據(jù)題意分0 x 50和 x > 50 兩種情況求解即可；
（2）根據(jù)分段函數(shù)中一次與二次函數(shù)的最值求解即可.
【詳解】（1）當(dāng)產(chǎn)量小于或等于 50 萬盒時， y = 200x - 200 -180x -100 = 20x - 300，
當(dāng)產(chǎn)量大于 50 萬盒時， y = 200x - 200 - x2 - 60x - 3500 = -x2 +140x - 3700，
故銷售利潤 y （萬元）關(guān)于產(chǎn)量 x （萬盒）的函數(shù)關(guān)系式為
ì20x - 300,0 x 50y = í , x N
-x
2 +140x - 3700, x > 50
（2）當(dāng)0 x 50時， y 20 50 - 300 = 700；
當(dāng) x > 50 時， y = -x2 +140x - 3700，
x 140當(dāng) = = 70時， y = -x2 +140x - 3700取到最大值，為 1200．
2
因為700 <1200，所以當(dāng)產(chǎn)量為 70 萬盒時，該企業(yè)所獲利潤最大．
16．（2024 高三上·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）某超市引進A ，B 兩類有機蔬菜．在當(dāng)天進貨都售完的前提下，A
類有機蔬菜的純利潤為 3 元/千克，B 類有機蔬菜的純利潤為 5 元/千克．若當(dāng)天出現(xiàn)未售完的有機蔬菜，次
日將以 5 折售出，此時售出的 A 類蔬菜的虧損為 1 元/千克，B 類蔬菜的虧損為 3 元/千克．已知當(dāng)天未售完
的有機蔬菜，次日 5 折促銷都能售完．假設(shè)該超市 A，B 兩類有機蔬菜當(dāng)天共進貨 100 千克，其中 A 類有機
蔬菜進貨 x x N,30 x 70 千克．假設(shè) A， B 類有機蔬菜進貨當(dāng)天可售完的質(zhì)量均為 50 千克．
(1)試求進貨當(dāng)天及次日該超市這兩類有機蔬菜的總盈利 f x （單位：元）的表達式；
(2)若 f x 322，求 x 的取值范圍．
ì6x +100, x N,30 x 50,
【答案】(1) f x = í
700 - 6x, x N,50 < x 70.
(2) x N 37 x 63
【分析】（1）分30 x 50、50 < x 70寫出分段函數(shù)即可；
（2）解分段函數(shù)不等式，即可求出.
【詳解】（1）當(dāng) x N，30 x 50時， f x = 3x + 50 5 - 3 100 - x - 50 = 6x +100；
當(dāng) x N，50 < x 70時， f x = 50 3 + 5 100 - x -1 x - 50 = 700 - 6x．
ì6x +100, x N,30 x 50,故 f x = í
700 - 6x, x N,50 < x 70.
（2）當(dāng) x N，30 x 50時，由6x +100 322，解得 x 37；
當(dāng) x N，50 < x 70時，由700 - 6x 322 ，解得 x 63．
故 x 的取值范圍是 x N 37 x 63 ．
17．（2024 高一上·浙江嘉興·期中）我國是用水相對貧乏的國家，據(jù)統(tǒng)計，我國的人均水資源僅為世界平均
1
水平的 4 ．因此我國在制定用水政策時明確提出
“優(yōu)先滿足城鄉(xiāng)居民生活用水”，同時為了更好地提倡節(jié)約用
水，對水資源使用進行合理配置，對居民自來水用水收費采用階梯收費．某市經(jīng)物價部門批準(zhǔn)，對居民生
活用水收費如下：第一檔，每戶每月用水不超過 20立方米，則水價為每立方米3元；第二檔，若每戶每月
用水超過 20立方米，但不超過30立方米，則超過部分水價為每立方米 4元；第三檔，若每戶每月用水超過30
立方米，則超過部分水價為每立方米7 元，同時征收其全月水費 20%的用水調(diào)節(jié)稅．設(shè)某戶某月用水 x 立方
米，水費為 y 元．
(1)試求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)；
(2)若該用戶當(dāng)月水費為80元，試求該年度的用水量；
(3)設(shè)某月甲用戶用水 a立方米，乙用戶用水b 立方米，若 a,b之間符合函數(shù)關(guān)系：b = -a2 + 47a - 530．則當(dāng)兩
戶用水合計達到最大時，一共需要支付水費多少元？
ì3x,0 < x 20

【答案】(1) y = í4x - 20,20 < x 30

8.4x -132, x > 30
(2) 25立方米
(3)144元
【分析】（1）根據(jù)題意分類討論可得函數(shù)解析式；（2）結(jié)合（1）中的函數(shù)解析式，代入求解；（3）根據(jù)題
意整理可得 a + b = - a - 24 2 + 46 ，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)運算求解.
【詳解】（1）因為某戶該月用水 x 立方米，
按收費標(biāo)準(zhǔn)可知，當(dāng)0 < x 20時， y = 3x ；
當(dāng) 20 < x 30時， y = 20 3+ 4 x - 20 = 4x - 20；
當(dāng) x > 30 時， y = [20 3 + 4 (30 - 20) + 7(x - 30)] 1.2 = 8.4x - 132．
ì3x,0 < x 20

所以 y = í4x - 20,20 < x 30

8.4x -132, x > 30
（2）由題可得，當(dāng)該用戶水費為80元時，處于第二檔，
所以 4x - 20 = 80， 解得 x = 25．
所以該月的用水量為 25立方米．
（3）因為 b = -a2 + 47a - 530，
所以 a + b = -a2 + 48a - 530 = - a - 24 2 + 46 46．
當(dāng) a = 24時， a + b = 46max ，此時b = 22．
所以此時兩戶一共需要支付的水費是 y = 4 24 - 20 + 4 22 - 20 = 144元．
18．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)購物方便快捷，得益于快遞行業(yè)的快速發(fā)展，根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計，
某條快遞線路運行時，發(fā)車時間間隔 t（單位：分鐘）滿足：4 t 15，t N ，平均每趟快遞車輛的載件個
ì1800 -15(9 - t)2 , 4 t < 9
數(shù) p(t) （單位：個）與發(fā)車時間間隔 t 近似地滿足 p(t) = í ，其中 t N ．
1800,9 t 15
(1)若平均每趟快遞車輛的載件個數(shù)不超過 1500 個，試求發(fā)車時間間隔 t 的值；
6 p(t) - 7920
(2)若平均每趟快遞車輛每分鐘的凈收益 q(t) = -80（單位：元），問當(dāng)發(fā)車時間間隔 t 為多少時，
t
平均每趟快遞車輛每分鐘的凈收益最大？并求出最大凈收益．
【答案】(1)4
(2)7 分鐘時，280（元）
【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的表達式進行判斷，然后求解不等式即可得到發(fā)車時間間隔 t 的值；
（2）求出 q(t)的表達式，結(jié)合基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行求最值即可.
【詳解】（1）當(dāng)9 t 15時，1800 >1500，不滿足題意，舍去，
當(dāng) 4 t < 9時，1800 -15(9 - t)2 1500，即 t 2 -18t + 61 0．
解得 t 9 + 2 5 （舍）或 t 9 - 2 5 ．
Q4 t < 9且 t N，\t = 4．
所以發(fā)車時間間隔為 4 分鐘．
ì 90t 4410 -

+ ÷ +1540,4 t < 9, t N t
2 è （ ）由題意可得 q(t) = í
2880
-80,9 t 15, t N t
當(dāng) 4 t < 9, t = 7 時， q -2 90 4410 +1540 = 280（元）
當(dāng)9 t 15, t = 9 q
2880
時， -80 = 240（元）
9
所以發(fā)車時間間隔為 7 分鐘時，凈收益最大為 280（元）．
19．（2024 高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護服短缺，某地政府決定為防護服生產(chǎn)企
業(yè) A 公司擴大生產(chǎn)提供 x(x [0,10]) (萬元)的專項補貼，并以每套 80 元的價格收購其生產(chǎn)的全部防護服.A 公
12
司在收到政府 x (萬元)補貼后，防護服產(chǎn)量將增加到 t = k × 6 - x 4 ÷
(萬件)，其中 k 為工廠工人的復(fù)工率
è +
( k [0.5,1] ).A 公司生產(chǎn) t萬件防護服還需投入成本 (20 + 9x + 50t) (萬元).
（1）將 A 公司生產(chǎn)防護服的利潤 y (萬元)表示為補貼 x (萬元)的函數(shù)；(政府補貼 x 萬元計入公司收入)
（2）在復(fù)工率為 k 時，政府補貼多少萬元才能使 A 公司的防護服利潤達到最大？
（3）對任意的 x [0,10] (萬元)，當(dāng)復(fù)工率 k 達到多少時，A 公司才能不產(chǎn)生虧損？
（精確到 0.01）.
360k
【答案】（1） y = 180k - - 8x - 20， x 0.5,1 ；（2）
x 4 3 5k - 4
；（3）0.65.
+
【解析】（1）根據(jù)已知條件列出關(guān)系式，即可得出答案；
（2）由 y = 180k
360k
- - 8x - 20 = 180k +12 - 8 é x + 4 45k+ ù 45k
x 4 ê x 4ú ，進而結(jié)合基本不等式求出
x + 4 + 的
+ + x + 4
最小值，此時 y 取得最大值，從而可求出答案；
（3）對任意的 x 0,10 360k（萬元），A 公司都不產(chǎn)生虧損，可知180k - - 8x - 20 0在 x 0,10 上恒成
x + 4
20 + 8x180k x + 4 20 + 8x x + 4 立，利用參變分離，可得 ，求出 的最大值，即可得出 k 的值.
x + 2 x + 4
【詳解】（1）由題意， y = x + 80t - 20 + 9x + 50t = 30t -8x - 20
30k 6 12 360k= × - ÷ -8x - 20 =180k - -8x - 20
è x + 4 x + 4
360k
即 y =180k - -8x - 20, x 0,10 , k 0.5,1 ；
x + 4
360k é 45k ù
（2） y = 180k - - 8x - 20 = 180k +12 - 8 x + 4 +x + 4 ê x + 4ú
因為 x 0,10 ，所以4 x + 4 14 x 4 45k 45k，所以 + + 2 x + 4 45k = 6 5k 當(dāng)且僅當(dāng) x + 4 = ，即
x + 4 x + 4 x + 4
x = 3 5k - 4 時，等號成立，
é
所以 y = 180k +12 - 8 ê x + 4
45k
+ ù 180k +12 - 48 5k
x + 4ú
故政府補貼為3 5k - 4萬元才能使A 公司的防護服利潤達到最大，最大為180k +12 - 48 5k 萬元.
360k
（3）對任意的 x 0,10 （萬元），A 公司都不產(chǎn)生虧損，則180k - - 8x - 20 0在 x 0,10 上恒成立
x + 4
20 + 8x x + 4
不等式整理得，180k
x + 2
m 2,12 20 + 8x x + 4 8m + 4 m + 2令m = x + 2 ，則 ，則 = = 8m 8+ + 20
x + 2 m m
y m 1令 = + ,m 2,12
m
任取m1,m2 2,12 ，且m1 < m2
y y m m 1 1 m1 - m2 m1m2 -1 則 1 - 2 = 1 - 2 + - =m1 m2 m1m2
Q2 m1 < m2 12,\m1 - m2 < 0,m1m2 -1 > 0 ，\ y1 < y2
即函數(shù)h m = 8m 8+ + 20在 2,12 上單調(diào)遞增
m
可得 h m = h 12 = 8 12 8+ + 20 =116 2+max 12 3
2
所以180k 116
2
+ 116 +，即
3 k 3 0.65180
所以當(dāng)復(fù)工率 k 達到 0.65 時，對任意的 x 0,10 （萬元），A 公司都不產(chǎn)生虧損.
【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成
積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所
求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.
20．（2024 高二下·黑龍江哈爾濱·期末）隨著城市居民汽車使用率的增加，交通擁堵問題日益嚴(yán)重，而建設(shè)
高架道路、地下隧道以及城市軌道公共運輸系統(tǒng)等是解決交通擁堵問題的有效措施.某市城市規(guī)劃部門為提
高早晚高峰期間某條地下隧道的車輛通行能力，研究了該隧道內(nèi)的車流速度 v（單位：千米/小時）和車流
ì 60,0 < x 30
密度 x

（單位：輛/千米）所滿足的關(guān)系式： v = í k k R .研究表明：當(dāng)隧道內(nèi)的車
80 - ,30 < x 120 150 - x
流密度達到 120 輛/千米時造成堵塞，此時車流速度是 0 千米/小時.
(1)若車流速度 v不小于 40 千米/小時，求車流密度 x 的取值范圍；
(2)隧道內(nèi)的車流量 y （單位時間內(nèi)通過隧道的車輛數(shù)，單位：輛/小時）滿足 y = x ×v，求隧道內(nèi)車流量的最
大值（精確到 1 輛/小時），并指出當(dāng)車流量最大時的車流密度（精確到 1 輛/千米）.（參考數(shù)據(jù)：
5 2.236）
【答案】(1)車流密度 x 的取值范圍是 0,90
(2)隧道內(nèi)車流量的最大值約為 3667 輛/小時，此時車流密度約為 83 輛/千米.
【分析】（1）根據(jù)題意得 k = 2400 ，再根據(jù)分段函數(shù)解不等式即可得答案；
ì60x,0 < x 30
（2）由題意得 y =

í80x 2400x
，再根據(jù)基本不等式求解最值即可得答案.
- ,30 < x 120 150 - x
【詳解】（1）解：由題意知當(dāng) x =120 （輛/千米）時， v = 0（千米/小時），
代入 v = 80
k
- ，解得 k = 2400 ，
150 - x
ì60,0 < x 30

所以 v = í80 2400
.
- ,30 < x 120 150 - x
當(dāng)0 < x 30時， v = 60 40，符合題意；
2400
當(dāng)30 < x 120時，令80 - 40，解得 x 90，所以30 < x 90 .
150 - x
所以，若車流速度 v不小于 40 千米/小時，則車流密度 x 的取值范圍是 0,90 .
ì60x,0 < x 30

（2）解：由題意得 y = í ，
80x
2400x
- ,30 < x 120
150 - x
當(dāng)0 < x 30時， y = 60x 為增函數(shù)，所以 y 1800，當(dāng) x = 30時等號成立；
- 150 - x 2 +180 150 - x - 4500
當(dāng)30 < x 120 y 80x 2400x時， = - = 80 = 80 éê180 -

150 x
4500 ù
- +
150 - x 150 - x è 150 - x
÷
ú
4800(3- 5) 3667 .
150 x 4500當(dāng)且僅當(dāng) - = ，即 x = 30(5 - 5) 83時等號成立.
150 - x
所以，隧道內(nèi)車流量的最大值約為 3667 輛/小時，此時車流密度約為 83 輛/千米.
21．（2024 高一上·新疆·期中）黨的二十大報告提出“積極穩(wěn)妥推進碳達峰碳中和”，降低能源消耗，建設(shè)資
源節(jié)約型社會．日常生活中我們使用的 LED燈具就具有節(jié)能環(huán)保的作用，它環(huán)保不含汞，可回收再利用，
功率小，高光效，長壽命，有效降低資源消耗．經(jīng)過市場調(diào)查，可知生產(chǎn)某種 LED燈需投入的年固定成本
為 3 萬元，每生產(chǎn) x 萬件該產(chǎn)品，需另投入變動成本W(wǎng)(x)萬元，在年產(chǎn)量不足 6 萬件時，W x 1= x2 + x ，
2
在年產(chǎn)量不小于 6 萬件時，W x = 7x 81+ - 37．每件產(chǎn)品售價為 6 元．假設(shè)該產(chǎn)品每年的銷量等于當(dāng)年的
x
產(chǎn)量．
(1)寫出年利潤 L(x) （萬元）關(guān)于年產(chǎn)量 x （萬件）的函數(shù)解析式．（注：年利潤=年銷售收入-固定成本-
變動成本）
(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，年利潤最大？最大年利潤是多少？
ì 1- x2 + 5x - 3,0 < x < 6
【答案】(1) L x = 2í
-x 81- + 34, x 6
x
(2)年產(chǎn)量為 9 萬件時，年利潤最大，最大年利潤是 16 萬元．
【分析】（1）根據(jù)已知條件及年利潤=年銷售收入-固定成本-變動成本即可求解；
（2）根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則，利用二次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式，再比較兩者的大小即可求解．
【詳解】（1）由題可知， L x = 6x - 3 -W x ，
ì6x 3 1- - x2 + x ÷ ,0 < x < 6
ì 1
2 - x
2 + 5x - 3,0 < x < 6
L x = è 所以 í = 2í ；
6x - 3 - 7x 81+ - 37 , x 6
81
÷ -x - + 34, x 6
è x x
1 1 19
（2）當(dāng)0 < x < 6時， L x = - x2 + 5x - 3 = - x - 5 2 + ，
2 2 2
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，對稱軸為 x = 5，開口向下，
所以當(dāng) x = 5時， L x 1取得最大值為- 5 - 5 2 19 19+ = ；
2 2 2
81 81 81
當(dāng) x 6 時， L x = -x - + 34 -2 x × + 34 =16，當(dāng)且僅當(dāng) x = ，即 x = 9 時，等號成立，
x x x
19
因為16 > ，
2
所以年產(chǎn)量為 9 萬件時，年利潤最大，最大年利潤是 16 萬元．
22．（2024·湖北）圍建一個面積為 360m2 的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），
其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為 2m 的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費
用為 45 元/m，新墻的造價為 180 元/m，設(shè)利用的舊墻的長度為 x（單位：元）．設(shè)修建此矩形場地圍墻的
總費用為 y.
（Ⅰ）將 y 表示為 x 的函數(shù)；
（Ⅱ）試確定 x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．
3602
【答案】（Ⅰ）y=225x+ - 360(x > 0)
x
（Ⅱ）當(dāng) x=24m 時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是 10440 元．
360
【詳解】試題分析：（1）設(shè)矩形的另一邊長為 am，則根據(jù)圍建的矩形場地的面積為 360m2，易得 a = ，
x
此時再根據(jù)舊墻的維修費用為 45 元/m，新墻的造價為 180 元/m，我們即可得到修建圍墻的總費用 y 表示成
x 的函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)（1）中所得函數(shù)的解析式，利用基本不等式，我們易求出修建此矩形場地圍
墻的總費用最小值，及相應(yīng)的 x 值
試題解析：（1）如圖，設(shè)矩形的另一邊長為 a m
則 45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360
由已知 xa=360,得 a= ,
所以 y=225x+
（2）
．當(dāng)且僅當(dāng) 225x= 時，等號成立．
即當(dāng) x=24m 時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是 10440 元．
考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用
23．（2024 高二下·山西運城·階段練習(xí)）大羅山位于溫州市區(qū)東南部，由四景一水構(gòu)成，它們分別是：仙巖
景區(qū) 瑤溪景區(qū) 天桂寺景區(qū) 茶山景區(qū)和三烊濕地.某開發(fā)商計劃 2023 年在三烊濕地景區(qū)開發(fā)新的游玩項目，
全年需投入固定成本 400 萬元，若該項目在 2023 年有 x 萬名游客，則需另投入成本R x 萬元，且
ì
50,0 < x 5,
R x = x2í + 40x + 200,5 < x 20,該游玩項目的每張門票售價為 80 元.

81x 1600+ -850, x > 20,
x
(1)求 2023 年該項目的利潤W x （萬元）關(guān)于游客數(shù)量 x（萬人）的函數(shù)關(guān)系式（利潤=銷售額-成本）.
(2)當(dāng) 2023 年游客數(shù)量為多少時，該項目所獲利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】(1)答案見解析
(2)游客為 40 萬人時利潤最大，最大為 370 萬．
【分析】（1）根據(jù)年利潤等于年銷售額減去固定成本和另投入成本，分段求出利潤W(x)（萬元）關(guān)于人數(shù) x
（萬人）的函數(shù)關(guān)系式．
（2）根據(jù)（1）中求出的利潤W(x)的解析式，分別利用二次函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式求出每段
上的最大值，取三者中較大的利潤值，即為年企業(yè)最大利潤．
ì
80x - 400 - 50,0 < x 5,

【詳解】（1）解：由題意可得，W (x) = í80x - 400 - (x2 + 40x + 200),5 < x 20

80x - 400 - (81x 1600+ -850), x > 20
x
ì
80x - 450,0 < x 5,

即W (x) = -x2í + 40x - 200,5 < x 20,

x 1600- - + 450, x > 20 ×
x
（2）解：當(dāng)0 < x 5時，W (x) W (5) = -50 ；
當(dāng)5 < x 20時，W (x) W (20) = 200；
1600
當(dāng) x 1600> 20時，由基本不等式知 x + 80x ，當(dāng)且僅當(dāng) x = 即 x = 40時等號成立，x
故W (x)max = -80 + 450 = 370，
綜上，游客為 40 萬人時利潤最大，最大為 370 萬．
24．（2024 高一上·重慶璧山·階段練習(xí)）某廠家擬對 A 產(chǎn)品做促銷活動，對 A 產(chǎn)品的銷售數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，A
k
產(chǎn)品的月銷售量 t（單位：萬件）與月促銷費用 x（單位：萬元）滿足關(guān)系式 t =10 - （k 為常數(shù)，
x +1
x 0 ），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的月銷量是 1 萬件．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品每月固定投入為 7 萬元，每生產(chǎn)
9
一萬件該產(chǎn)品需要再投入 4 萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價定為 5 + ÷元，設(shè)該產(chǎn)品的月利潤為 y 萬元，
è t
（注：利潤=銷售收入-生產(chǎn)投入-促銷費用）
(1)將 y 表示為 x 的函數(shù)；
(2)月促銷費用為多少萬元時，該產(chǎn)品的月利潤最大？最大利潤為多少？
9
【答案】(1) y =12 - x - ， x 0
x +1
(2)月促銷費用為 2 萬元時，A 產(chǎn)品的月利潤最大，最大利潤為 7 萬元．
【分析】（1）根據(jù)已知條件，解出 k，進而由題意得到函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)函數(shù)形式知，要求函數(shù)的最大值，可以用基本不等式來求解.
k
【詳解】（1）由題知，當(dāng) x = 0時， t =1，代入 t =10 - 得 k = 9．
x +1
y 9= 5 + t ÷
t - 7 - 4t - x = t - x + 2．
è
t 10 9 9將 = - 代入得 y =12 - x - ．
x +1 x +1
y 12 x 9所以，所求函數(shù)為 = - - x 0 ．
x +1
（2）由（1）知 y =12 - x
9
- ， x 0 ．
x +1
因為 x 0 ，所以 x +1 1，
x 1 9因為 + + 2 x +1 9 = 6，
x +1 x +1
ìx 9 +1 =
當(dāng)且僅當(dāng) í x +1，即 x = 2時取等號．
x 0
y 13 9= - 所以 x +1+ ÷ 13 - 6 = 7．
è x +1
故月促銷費用為 2 萬元時，A 產(chǎn)品的月利潤最大，最大利潤為 7 萬元．
25．（四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟 2023-2024 學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）長江存儲是我國唯一
一家能夠獨立生產(chǎn) 3D NAND 閃存的公司，其先進的晶棧 Xtacking 技術(shù)使得 3D NAND 閃存具有極佳的性能
和極長的壽命．為了應(yīng)對第四季度 3D NAND 閃存顆粒庫存積壓的情況，某下游閃存封裝公司擬對產(chǎn)能進行
調(diào)整，已知封裝閃存的固定成本為 300 萬元，每封裝 x 萬片，還需要C x 萬元的變動成本，通過調(diào)研得知，
25600
當(dāng) x 不超過 120 萬片時，C(x) = 0.1x2 +130x ；當(dāng) x 超過 120 萬片時，C(x) =151x + -1350 ，封裝好后
x
的閃存顆粒售價為 150 元/片，且能全部售完．
(1)求公司獲得的利潤 L x 的函數(shù)解析式；
(2)封裝多少萬片時，公司可獲得最大利潤？
ì-0.1x2 + 20x - 300,0 x 120
【答案】(1) L x = í
1050 x 25600 - - , x >120 x
(2)封裝 160 萬片時，公司可獲得最大利潤
【分析】（1）根據(jù)利潤=銷售額-成本即可的利潤 L x 的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)（1）利潤 L x 的函數(shù)解析式，分段求解函數(shù)最值，最終比較得 L x 最大值即可.
【詳解】（1）解：當(dāng)0 x 120時， L(x) =150x - 0.1x2 +130x - 300 = -0.1x2 + 20x - 300，
L(x) 150x 151x 25600 25600當(dāng) x >120 時， = - + -1350

x ÷
- 300 =1050 - x - ，
è x
ì-0.1x2 + 20x - 300,0 x 120
綜上可知 L x = í
1050 x 25600
；
- - , x >120 x
（2）解：當(dāng)0 x 120時， L(x) = -0.1x2 + 20x - 300 = -0.1 (x -100)2 + 700，
∴當(dāng) x =100 時，利潤 L x 取最大值 700 萬元；
x 120 L(x) 1050 x 25600當(dāng) > 0 時， = - +

÷ 1050 - 2 x
25600
× = 730，
è x x
25600
∴當(dāng)且僅當(dāng)“ x = ”，即“ x =160 ”時，利潤 L x 取最大值 730 萬元，
x
綜上所述，封裝 160 萬片時，公司可獲得最大利潤 730 萬元．
26．（2024 高一上·上海浦東新·期中）某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物的生長規(guī)律，計劃利用學(xué)校空
地建造一間室內(nèi)面積為900m2 的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩
形區(qū)域之間間隔 1m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留 1m 寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰
的左右內(nèi)墻保留 3m 寬的通道，如圖．設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長為 x（單位：m），三塊種植植物的矩形區(qū)域的總
面積為 S（單位：m2）．
(1)求 S 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求 S 的最大值，并求出此時 x 的值．
7200
【答案】(1) S = -2x - + 916， x 8,450
x
(2)當(dāng)矩形溫室的室內(nèi)長為 60m 時，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積最大，最大為676m2．
S (x 8) 900 【分析】（1）三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積可看做一個矩形面積: = - - 2÷ , 根據(jù) 邊長為正
è x
得其定義域為 (8, 450) ；
（2）利用基本不等式求最值即可.
【詳解】（1）由題設(shè)，得 S = x -8 900 - 2 2x 7200 ÷ = - - + 916， x 8,450 ．
è x x
2 8 < x < 450 2x 7200（ ）因為 ，所以 + 2 2x 7200 = 240，
x x
當(dāng)且僅當(dāng) x = 60時等號成立，從而 S 676 ．
故當(dāng)矩形溫室的室內(nèi)長為 60m 時，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積最大，最大為676m2．
27．（2024 高一上·福建廈門·開學(xué)考試）如圖，某日的錢塘江觀測信息如下：2017 年 月 日，天氣：陰；
能見度：1.8 千米；11: 40時，甲地“交叉潮”形成，潮水勻速奔向乙地；12 :10時，潮頭到達乙地，形成“一
線潮”，開始均勻加速，繼續(xù)向西；12 : 35時，潮頭到達丙地，遇到堤壩阻擋后回頭，形成“回頭潮”.
按上述信息，小紅將“交叉潮”形成后潮頭與乙地質(zhì)檢的距離 x （千米）與時間 t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系用圖 3
表示.其中：“11: 40時甲地‘交叉潮’的潮頭離乙地 12 千米”記為點 A(0,12)，點 B 坐標(biāo)為 (m,0)，曲線BC 可用
1 2
二次函數(shù)： s = t + bt + c(b， c是常數(shù)）刻畫.
125
(1)求m 值，并求出潮頭從甲地到乙地的速度；
(2)11: 59時，小紅騎單車從乙地出發(fā)，沿江邊公路以 0.48 千米 / 分的速度往甲地方向去看潮，問她幾分鐘與
潮頭相遇？
(3)相遇后，小紅立即調(diào)轉(zhuǎn)車頭，沿江邊公路按潮頭速度與潮頭并行，但潮頭過乙地后均勻加速，而單車最
高速度為 0.48 千米 / 分，小紅逐漸落后.問小紅與潮頭相遇到落后潮頭 1.8 千米共需多長時間？（潮水加速
2
階段速度 v = v0 + (t - 30) ， v0 是加速前的速度）125
【答案】(1) m = 30， 0.4 千米 / 分鐘；
(2)小紅 5 分鐘后與潮頭相遇；
(3)小紅與潮頭相遇到潮頭離她 1.8 千米外共需 26 分鐘.
【分析】（1）根據(jù)給定時間及坐標(biāo)系求出 m，再計算速度作答.
（2）求出小紅從乙地出發(fā)時潮頭離乙地的距離，設(shè)出從出發(fā)到與潮頭相遇的時間，列方程求解作答.
（3）根據(jù)給定數(shù)據(jù)求出 s 與 t 的函數(shù)關(guān)系，求出小紅追趕潮頭距離乙地的距離 s1與 t 的關(guān)系，由相距 1.8 千
米列出方程，求解作答.
【詳解】（1）11: 40到12 :10的時間是 30 分鐘，則 B(30,0)，即m = 30，
12
潮頭從甲地到乙地的速度 = 0.4（千米 / 分鐘）.
30
（2）因潮頭的速度為 0.4 千米 / 分鐘，則到11: 59時，潮頭已前進19 0.4 = 7.6（千米），
此時潮頭離乙地12 - 7.6 = 4.4（千米），設(shè)小紅出發(fā) x 分鐘與潮頭相遇，
于是得0.4x + 0.48x = 4.4 ，解得 x = 5，
所以小紅 5 分鐘后與潮頭相遇.
ì 1
30
2 + 30b + c = 0
3 (30,0) C(55,15) s
1
= t 2 + bt c + 125 2 24（ ）把 ， 代入 ，得 í ，解得b = - ， c = - ，125 1 552 + 55b + c =15 25 5
125
s 1 t 2 2 t 24 2 2因此 = - - ，又 v0 = 0.4，則 v = (t - 30) + ，125 25 5 125 5
2 2
當(dāng)潮頭的速度達到單車最高速度 0.48 千米 / 分，即 v = 0.48時， (t - 30) + = 0.48，解得 t = 35，
125 5
1 2 24 11
則當(dāng) t = 35時， s = t 2 - t - = ，
125 25 5 5
即從 t = 35分鐘 (12 :15時）開始，潮頭快于小紅速度奔向丙地，小紅逐漸落后，但小紅仍以 0.48 千米 / 分的
速度勻速追趕潮頭，
設(shè)小紅離乙地的距離為 s1，則 s1與時間 t的函數(shù)關(guān)系式為 s1 = 0.48t + h(t 35)，
s s 11 73t 35 h s 12 t 73當(dāng) = 時， 1 = = ，解得： = - ，因此有 1 = - ，5 5 25 5
最后潮頭與小紅相距 1.8 千米，即 s - s1 =1.8
1 2 2
時，有 t - t
24 12 73
- - t + =1.8，
125 25 5 25 5
解得 t1 = 50， t2 = 20（舍去），
于是有 t = 50
0.48 5
，小紅與潮頭相遇后，按潮頭速度與潮頭并行到達乙地用時 = 6（分鐘），
0.4
因此共需要時間為6 + 50 - 30 = 26（分鐘），
所以小紅與潮頭相遇到潮頭離她 1.8 千米外共需 26 分鐘.
28．（2024·江蘇南通·二模）某單位購入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴
灑 1 個單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度 y （單位：毫米/立方米）隨著時間 x （單位：小時）變化的關(guān)系
16 1
如下：當(dāng)0 x 4時， y = -1；當(dāng) 4 < x 10時， y = 5 - x．若多次噴灑，則某一時刻空氣中的消毒劑
8 - x 2
濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和．由實驗知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于 4（毫克
/立方米）時，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用．
(1)若一次噴灑 4 個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達幾小時？
(2)若第一次噴灑 2 個單位的消毒劑，6 小時后再噴灑 a 1 a 4 個單位的消毒劑，要使接下來的 4 小時中能
夠持續(xù)有效消毒，試求 a的最小值（精確到 0.1，參考數(shù)據(jù)： 2 取 1.4）
【答案】(1)8 小時
(2)1.6
【分析】（1）由 4y 4 可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)題意求出從第一次噴灑起，經(jīng) x 6 x 10 小時后，其濃度關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，再根據(jù)基本不
等式求出其最小值，再由最小值不低于 4，解不等式可得結(jié)果.
【詳解】（1）因為一次噴灑 4 個單位的消毒劑，
ì 64 - 4,0 x 4,
所以其濃度為 f (x) = 4y =

í8 - x
20 - 2x, 4 < x 10,
64
當(dāng)0 x 4時， - 4 4，解得 x 0 ，此時0 x 4，
8 - x
當(dāng) 4 < x 10時， 20 - 2x 4，解得 x 8，此時 4 < x 8，
所以若一次噴灑 4 個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達 8 小時．
（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng) x 6 x 10 小時后，
其濃度 g x = 2 5
1
- x ÷ + a
é 16 1ù 16a 16a-
è 2 ê8 - (x - 6) ú
=10 - x + - a =14 - x + - a - 4，
14 - x 14 - x
因為14 - x 4,8 ， a 1,4 ，
14 x 16a a 16a所以 - + - - 4 2 14 - x × - a - 4 = 8 a - a - 4，
14 - x 14 - x
16a
當(dāng)且僅當(dāng)14 - x = ，即
14 x =14 - 4 a
[6,10]時，等號成立；
- x
所以其最小值為8 a - a - 4 ，由8 a - a - 4 4，解得 24 -16 2 a 4，
所以 a 的最小值為 24 -16 2 1.6 ．
29．（2024 高一上·湖北十堰·開學(xué)考試）甲、乙兩汽車出租公司均有 50 輛汽車對外出租，下面是兩公司經(jīng)理
的一段對話：
甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費 3000 元，那么 50 輛汽車可以全部租出．如果每輛汽車的月租費
每增加 50 元，那么將少租出 1 輛汽車．另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護費 200 元．
乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費 3500 元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護費共計 1850
元．說明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤=月租車費—月維護費；
③兩公司月利潤差=月利潤較高公司的利潤-月利潤較低公司的利潤．
在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問題：
(1)當(dāng)每個公司租出的汽車為 10 輛時，甲公司的月利潤是_______元；當(dāng)每個公司租出的汽車為_______輛時，
兩公司的月利潤相等；
(2)甲公司熱心公益事業(yè)，每租出 1 輛汽車捐出 a 元 a > 0 給慈善機構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利潤仍
高于乙公司月利潤，當(dāng)且僅當(dāng)兩公司租出的汽車均為 17 輛時，甲公司剩余的月利潤與乙公司月利潤之差最
大，求 a 的取值范圍．
【答案】(1)48000 元；37 輛
(2) 50 < a < 150
【分析】（1）確定每個公司租出的汽車為 10 輛時，甲公司的每輛車的月租費，即可求得甲公司的月利潤；
列出每個公司的月利潤，可得方程，求得答案；
（2）由題意列出甲公司剩余的月利潤與乙公司月利潤之差的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式，可
得答案.
【詳解】（1）由題意可得 é 50 -10 50 + 3000 ù 10 - 200 10 =48000 元，
當(dāng)每個公司租出的汽車為 10 輛時，甲公司的月利潤是 48000 元；
設(shè)每個公司租出的汽車為 x 輛，設(shè)兩公司的月利潤分別為 y甲, y乙，月利潤差為 y，
則 y甲 = é 50 - x 50 + 3000 ù x - 200x， y乙 = 3500x -1850 ，
由題意可得： y甲 = y乙 ,\-50x
2 + 5300x = 3500x -1850，
解得： x = 37或x = -1(舍)，
∴當(dāng)每個公司租出的汽車為 37 輛時，兩公司的月利潤相等；
（2）∵捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，
則此時利潤差為 y = -50x2 +1800x +1850 - ax = -50x2 + 1800 - a x +1850 ，
1800 - a
函數(shù)圖象對稱軸為直線 x = 100 ，
∵x 只能取整數(shù)，且僅當(dāng)兩公司租出的汽車均為 17 輛時，月利潤之差最大，
16.5 1800 - a∴ < < 17.5100 ，
解得：50 < a < 150，經(jīng)檢驗此時滿足捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，
故 a 的取值范圍為50 < a < 150 .
30．（四川省綿陽市綿陽南山中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）據(jù)悉某市一號線一輛列車滿載
時約為 550 人，人均票價為 4 元，十分適合中小城市的運營.日前該市運營公司通過一段時間的營業(yè)發(fā)現(xiàn)，
每輛列車的單程營業(yè)額Y （元）與發(fā)車時間間隔 t（分鐘）相關(guān)：當(dāng)間隔時間達到或超過 12 分鐘后，列車
均為滿載狀態(tài)；當(dāng)8 t 12時，單程營業(yè)額Y 與4t
60
- +12成正比；當(dāng)5 t < 8 時，單程營業(yè)額會在 t = 8時
t
2
的基礎(chǔ)上減少，減少的數(shù)量為 40 8 - t .
(1)求當(dāng)5 t 12時，單程營業(yè)額Y 關(guān)于發(fā)車間隔時間 t的函數(shù)表達式；
120
(2)由于工作日和節(jié)假日的日運營時長不同，據(jù)統(tǒng)計每輛車日均 t 次單程運營.為體現(xiàn)節(jié)能減排，發(fā)車間隔
時間 t 8,12 ，則當(dāng)發(fā)車時間間隔為多少分鐘時，每輛列車的日均營業(yè)總額 P 最大？求出該最大值.
ì160 t 15- + 3 ÷ ,8 t 12
【答案】(1)Y = í è t
-40t
2 + 640t -1100,5 t < 8
(2) t =10時，Pmax = 22080
【分析】（1）由題意設(shè)當(dāng)8 t 12時的函數(shù)表達式，由 t =12時滿載求得比例系數(shù)，進而求得當(dāng)5 t 8時
表達式，寫為分段函數(shù)形式，即得答案；
P 40 4t 60 12 120（2）由題意可得 = - + ÷ × ， t 8,12 ，采用換元并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì),
è t t
8 t 12 Y = a 4t
60
【詳解】（1）當(dāng) 時，設(shè) - +12

÷，a 為比例系數(shù)，
è t
由 t =12時滿載可知Y = 550 4 = 2200，
即 a

4
60
12 - +12 ÷ = 2200，則 a = 40，
è 12
Y 40 4 60當(dāng) a = 8時， = 8 - +12

÷ =1460，
è 8
故當(dāng)5 t 8時，Y =1460 - 40 8 - t 2 = -40t 2 + 640t -1100 ,
ì160 t 15 - + 3

÷ ,8 t 12
故Y = í è t .
-40t 2 + 640t -1100,5 t < 8
（2）由題意可得P = 40
4t 60 120 - +12

÷ × ， t 8,12 ，
è t t
1 1
化簡得P =19200 -15 × 2 + 3 × +1t t ÷
， t 8,12 ，
è
1
令 = u,u
é1 , 1 ù P =19200 -15u2，則 + 3u +1 ，t ê8 12ú
u 3 1當(dāng) = - = ，即 t =10時，10 8,12 符合題意，此時P2( -15) 10 max = 22080 .
31．（2024 高一上·山東日照·期末）“春節(jié)”期間，某商場進行如下的優(yōu)惠促銷活動：
優(yōu)惠方案 1：一次購買商品的價格，每滿 60 元立減 5 元；
優(yōu)惠方案 2：在優(yōu)惠 1 之后，再每滿 400 元立減 40 元．
é130ù
例如，一次購買商品的價格為 130 元，則實際支付額130 - 5 ê ú =130 - 5 2 =120元，其中 x 表示不大 60
é860ù
于 x 的最大整數(shù)．又如，一次購買商品的價格為 860 元，則實際支付額860 - 5 ê - 40 1 = 750元． 60 ú
(1)小明計劃在該商場購買兩件價格分別是 250 元和 650 元的商品，他是分兩次支付好，還是一次支付好？
請說明理

展開更多......

收起↑