資源簡(jiǎn)介

（9）計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)
——2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)易錯(cuò)重難提升【新高考版】
易混重難知識(shí)
1.分層抽樣
一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是分層抽樣.
抽樣比 .
2.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征
數(shù)字特征 樣本數(shù)據(jù) 頻率分布直方圖
眾數(shù) 出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù) 取最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)
中位數(shù) 將數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)） 把頻率分布直方圖劃分為左右兩個(gè)面積相等的部分，分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
平均數(shù) 樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù) 每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和
方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的大小.
方差：；
標(biāo)準(zhǔn)差：.
3.百分位數(shù)
（1）把100個(gè)樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，得到第p個(gè)和第p+1個(gè)數(shù)據(jù)分別為.可以發(fā)現(xiàn)，區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)，都能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求的兩部分.一般地，我們?nèi)∵@兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，并稱此數(shù)為這組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)，或p%分位數(shù).
（2）一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.
4.
名稱 定義 符號(hào)表示
包含關(guān)系 若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B） （或）
相等關(guān)系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即且，則稱事件A與事件B相等 A=B
并事件 （和事件） 事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件B中，則稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件（或和事件） （或）
交事件 （積事件） 事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在事件B中，則稱這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件（或積事件） （或）
互斥事件 若為不可能事件，那么稱事件A與事件B互斥
對(duì)立事件 若為不可能事件，為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件 且（U為全集）
5.古典概型的概率公式
（1）在基本事件總數(shù)為n的古典概型中，每個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是相等的，即每個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是.
（2）對(duì)于古典概型，任何事件的概率為.
6.相互獨(dú)立事件
（1）對(duì)于事件A、B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A、B是相互獨(dú)立事件.
（2）若A與B相互獨(dú)立，則，.
（3）若A與B相互獨(dú)立，則A與，與B，與也都相互獨(dú)立.
（4）若，則A與B相互獨(dú)立.
7.二項(xiàng)式定理
公式叫做二項(xiàng)式定理.公式中右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式，其中各項(xiàng)的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，式中的叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第項(xiàng).
8.均值與方差的性質(zhì)
（1）.
（2）.
9.條件概率及其性質(zhì)
（1）一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且，稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率.
（2）條件概率的性質(zhì)：
（i）；
（ii）如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則.
10.全概率公式
一般地，設(shè)是一組兩兩互斥的事件，，且，則對(duì)任意的事件，有，稱此公式為全概率公式.
11.正態(tài)分布的定義及表示：
如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X滿足，則稱X的分布為正態(tài)分布，記作.
12.回歸直線方程
①最小二乘法：通過(guò)求的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.
②回歸方程：方程是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)
的回歸方程，其中是待定參數(shù).
，其中稱為樣本點(diǎn)的中心.
13.獨(dú)立性檢驗(yàn)
利用獨(dú)立性假設(shè)、隨機(jī)變量來(lái)確定是否有一定把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn).
易錯(cuò)試題提升
1.從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為( )
A. B. C. D.
2.某班12名同學(xué)某次測(cè)試的數(shù)學(xué)成績(jī)(單位：分)分別為62，57，72，85，95，69，74，91，83，65，78，89，則這12名同學(xué)這次測(cè)試的數(shù)學(xué)成績(jī)的第60百分位數(shù)是( )
A.74 B.78 C.83 D.91
3.展開(kāi)式中的系數(shù)為( )
A.42 B.48 C.84 D.96
4.現(xiàn)有4名男生和3名女生計(jì)劃利用假期到某地景區(qū)旅游，由于是旅游的旺季，他們?cè)诰皡^(qū)附近訂購(gòu)了一家酒店的5間風(fēng)格不同的房間，并約定每個(gè)房間都要住人，但最多住2人，男女不同住一個(gè)房間，則女生甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是( )
A. B. C. D.
5.為了給學(xué)生樹(shù)立正確的勞動(dòng)觀，使學(xué)生懂得勞動(dòng)的偉大意義，某班從包含甲、乙的6名學(xué)生中選出3名參加學(xué)校組織的勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)，在甲被選中的情況下，乙也被選中的概率為( )
A. B. C. D.
6.“誰(shuí)知盤中餐，粒粒皆辛苦”，盡管我國(guó)糧食生產(chǎn)連年豐收，但對(duì)糧食安全還是始終要有危機(jī)意識(shí).某市有關(guān)部門為了宣傳“節(jié)約型社會(huì)”，面向該市市民開(kāi)展了一次網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查，目的是了解人們對(duì)這一倡議的關(guān)注度和支持度，得到參與問(wèn)卷調(diào)查中的2000人的得分?jǐn)?shù)據(jù).據(jù)統(tǒng)計(jì)此次問(wèn)卷調(diào)查的得分X（滿分：100分）服從正態(tài)分布，則
（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，）( )
A.0.34135 B.0.47725 C.0.6827 D.0.8186
7.孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題之一，2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式，可以直觀的描述為：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p，使得是素?cái)?shù).素?cái)?shù)對(duì)稱為孿生素?cái)?shù)對(duì).從8個(gè)數(shù)對(duì)，，，，，，，中任取3個(gè)，設(shè)取出的孿生素?cái)?shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為X，則( )
A. B. C. D.3
8.某車間從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000個(gè)零件進(jìn)行一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的檢測(cè)，整理檢測(cè)結(jié)果得此項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.
B.估計(jì)這批產(chǎn)品該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的眾數(shù)為45
C.估計(jì)這批產(chǎn)品該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的中位數(shù)為60
D.從這批產(chǎn)品中隨機(jī)選取1個(gè)零件，其質(zhì)量指標(biāo)在的概率約為0.5
9.（多選）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則下列結(jié)論中正確的是( )
A.二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為
B.二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為
C.二項(xiàng)展開(kāi)式中無(wú)常數(shù)項(xiàng)
D.二項(xiàng)展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為240
10.（多選）進(jìn)入冬季哈爾濱旅游火爆全網(wǎng)，下圖是2024年1月1日到1月7日哈爾濱冰雪大世界和中央大街日旅游人數(shù)的折線圖，則( )
A.中央大街日旅游人數(shù)的極差是1.2
B.冰雪大世界日旅游人數(shù)的中位數(shù)是2.3
C.冰雪大世界日旅游人數(shù)的平均數(shù)比中央大街大
D.冰雪大世界日旅游人數(shù)的方差比中央大街大
11.為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)x（單位：厘米）和身高y（單位：厘米）的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其線性回歸方程為，已知，，.若該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24厘米，估計(jì)其身高為_(kāi)_________厘米.
12.2023年9月第19屆亞運(yùn)會(huì)將在杭州舉辦，在杭州亞運(yùn)會(huì)三館（杭州奧體中心的體育館、游泳館和綜合訓(xùn)練館）對(duì)外免費(fèi)開(kāi)放預(yù)約期間將含甲、乙在內(nèi)的5位志愿者分配到這三館負(fù)責(zé)接待工作，每個(gè)場(chǎng)館至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一個(gè)場(chǎng)館，則甲分配到游泳館的概率為_(kāi)___________.
13.中醫(yī)藥，是包括漢族和少數(shù)民族醫(yī)藥在內(nèi)的我國(guó)各民族醫(yī)藥的統(tǒng)稱，是反映中華民族對(duì)生命，健康和疾病的認(rèn)識(shí)，具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨(dú)特理論及技術(shù)方法的醫(yī)藥學(xué)體系，是中華民族的瑰寶.某科研機(jī)構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某品種中醫(yī)藥的藥物成分甲的含量x(單位：克)與藥物功效y(單位：藥物單位)之間具有關(guān)系.檢測(cè)這種藥品一個(gè)批次的6個(gè)樣本，得到成分甲的平均值為6克，標(biāo)準(zhǔn)差為2，則估計(jì)這批中醫(yī)藥的藥物功效的平均值為_(kāi)_______________.
14.孔子曰：溫故而知新，可以為師矣.數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)也是如此，為了調(diào)查“數(shù)學(xué)成績(jī)是否優(yōu)秀”與“是否及時(shí)復(fù)習(xí)”之間的關(guān)系，某校志愿者從高二年級(jí)的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到如下樣本數(shù)據(jù)：
數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀（人數(shù)） 數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀（人數(shù)）
及時(shí)復(fù)習(xí)（人數(shù)） 25 5
不及時(shí)復(fù)習(xí)（人數(shù)） 10 20
（1）試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀”與“及時(shí)復(fù)習(xí)”有關(guān)系？
（2）在該樣本中，用分層抽樣的方法從數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取3人.設(shè)抽取3人中及時(shí)復(fù)習(xí)的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附：，其中.
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
15.為積極響應(yīng)“反詐”宣傳教育活動(dòng)的要求，提高市民“反詐”意識(shí)，某市進(jìn)行了一次網(wǎng)絡(luò)“反詐”知識(shí)競(jìng)賽，共有10000名市民參與了知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從參加知識(shí)競(jìng)賽的市民中隨機(jī)地抽取100人，得分統(tǒng)計(jì)如下：
成績(jī)（分）
頻數(shù) 6 12 18 34 16 8 6
(1)現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取兩名市民的競(jìng)賽成績(jī)，求這兩名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率；
(2)若該市所有參賽市民的成績(jī)X近似服從正態(tài)分布，試估計(jì)參賽市民中成績(jī)超過(guò)79分的市民數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；
(3)為了進(jìn)一步增強(qiáng)市民“反詐”意識(shí)，得分不低于80分的市民可繼續(xù)參與第二輪答題贈(zèng)話費(fèi)活動(dòng)，規(guī)則如下：
①參加答題的市民的初始分都設(shè)置為100分；
②參加答題的市民可在答題前自己決定答題數(shù)量，每一題都需要用一定分?jǐn)?shù)來(lái)獲取答題資格（即用分?jǐn)?shù)來(lái)買答題資格），規(guī)定答第k題時(shí)所需的分?jǐn)?shù)為；
③每答對(duì)一題得2分，答錯(cuò)得0分；
④答完n題后參加答題市民的最終分?jǐn)?shù)即為獲得的話費(fèi)數(shù)（單位：元）.
已知市民甲答對(duì)每道題的概率均為0.6，且每題答對(duì)與否都相互獨(dú)立，則當(dāng)他的答題數(shù)量n為多少時(shí)，他獲得的平均話費(fèi)最多？
參考數(shù)據(jù)：若，則，，
答案以及解析
1.答案：C
解析：從6張卡片中無(wú)放可隨機(jī)抽取2張，共有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有，，，，，，6種情況，故概率為.故選C.
2.答案：C
解析：將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為57，62，65，69，72，74，78，83，85，89，91，95.
因?yàn)椋?br/>所以這12名同學(xué)這次測(cè)試的數(shù)學(xué)成績(jī)的第60百分位數(shù)是83.
故選：C.
3.答案：A
解析：，
的第項(xiàng)為，（），
，
系數(shù)為42.
故選：A.
4.答案：C
解析：3名女生需要住2個(gè)房間或3個(gè)房間.
若3名女生住2個(gè)房間，則不同的方法種數(shù)為；
若3名女生住3個(gè)房間，則不同的方法種數(shù)為.
其中，女生甲和女生乙恰好住在同一間房的方法種數(shù)為，
所以女生甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是.故選C.
5.答案：B
解析：法一：令事件A為甲被選中，事件B為乙被選中，則，，故.故選B.
法二：令事件A為甲被選中，事件B為乙被選中，.
6.答案：D
解析：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從，所以，，所以，，所以，，所以.故選D.
7.答案：C
解析：解法一：由題知8個(gè)數(shù)對(duì)中的孿生素?cái)?shù)對(duì)為，，，，共4個(gè)孿生素?cái)?shù)對(duì)，所以X的可能取值為0，1，2，3，
則，，，，所以，故選C.
解法二：由題知8個(gè)數(shù)對(duì)中的孿生素?cái)?shù)對(duì)為，，，，共4個(gè)孿生素?cái)?shù)對(duì)，則X服從超幾何分布，故.
8.答案：C
解析：A項(xiàng)：，解得，A正確；
B項(xiàng)：頻率最大的一組為第二組，中間值為45，所以估計(jì)這批產(chǎn)品該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的眾數(shù)為45，B正確；
C項(xiàng)：由于質(zhì)量指標(biāo)大于60的頻率之和為，所以60不是中位數(shù)，C錯(cuò)誤；
D項(xiàng)：由于質(zhì)量指標(biāo)在的頻率之和為，用頻率估計(jì)概率，故從這批產(chǎn)品中隨機(jī)選取1個(gè)零件，其質(zhì)量指標(biāo)在的概率約為，D正確.故選C.
9.答案：ABD
解析：A項(xiàng)，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為，對(duì)于，令可得其展開(kāi)式的系數(shù)和為，故A項(xiàng)正確；
B項(xiàng)，展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為，故B項(xiàng)正確；
C項(xiàng)，令，得，即二項(xiàng)展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
D項(xiàng)，令，得，所以，故D項(xiàng)正確.故選ABD.
10.答案：BC
解析：對(duì)于A，根據(jù)所給折線圖可以看出中央大街日旅游人數(shù)的最大值為2.8萬(wàn)人，最小值為0.9萬(wàn)人，所以極差為萬(wàn)人，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，從圖中可以看出，冰雪大世界日旅游人數(shù)的數(shù)據(jù)按照從小到大可排列為1.7，1.8，1.9，2.3，2.4，2.6，2.9中位數(shù)為2.3，所以B正確；
對(duì)于C，冰雪大世界日旅游人數(shù)的平均數(shù)為萬(wàn)，
中央大街日旅游人數(shù)的平均數(shù)為萬(wàn)，所以冰雪大世界日旅游人數(shù)的平均數(shù)比中央大街大，故C正確；
對(duì)于D，冰雪大世界日旅游人數(shù)的方差為
中央大街日旅游人數(shù)的方差為，
所以冰雪大世界日旅游人數(shù)的方差比中央大街小，故D錯(cuò)誤.
11.答案：166
解析：易得，.
，，將代入，得，解得，.
當(dāng)時(shí)，.
12.答案：
解析：甲、乙分配到同一個(gè)場(chǎng)館有以下兩種情況：
（1）場(chǎng)館分組人數(shù)為1，1，3時(shí)，甲、乙必在3人組，則方法數(shù)為種；
（2）場(chǎng)館分組人數(shù)為2，2，1時(shí)，其中甲、乙在一組，則方法數(shù)為種，
即甲、乙分配到同一個(gè)場(chǎng)館的方法數(shù)為.
若甲分配到游泳館，則乙必然也在游泳館，此時(shí)的方法數(shù)為，
故所求的概率為.
故答案為：.
13.答案：20
解析：設(shè)這個(gè)樣本中成分甲的含量分別為，，，，，，平均值為，
則，所以，
所以，
所以，
于是，
則.
故答案為：20
14.答案：（1）“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀”與“及時(shí)復(fù)習(xí)”有關(guān)系
（2）見(jiàn)解析
解析：（1）零假設(shè)為：“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀”與“及時(shí)復(fù)習(xí)”沒(méi)有關(guān)系.根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算，，
可以推斷不成立，即認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀”與“及時(shí)復(fù)習(xí)”有關(guān)系，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001.
（2）根據(jù)分層抽樣方法得，選取的7人中，及時(shí)復(fù)習(xí)的有5人，不及時(shí)復(fù)習(xí)的有2人.X的所有可能取值為1，2，3.
，，，
所以X的分布列為
X 1 2 3
P
所以X的數(shù)學(xué)期望.
15.答案：(1)
(2)1587
(3)或
解析：（1）從該樣本中隨機(jī)抽取兩名市民的競(jìng)賽成績(jī)，基本事件總數(shù)為，
設(shè)“抽取的兩名市民中恰有一名市民得分不低于70分”為事件A，
則事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)為，因?yàn)槊總€(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性都相等，
所以，
即抽取的兩名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率為；
（2）因?yàn)椋裕?br/>故參賽市民中成績(jī)超過(guò)79分的市民數(shù)約為；
（3）以隨機(jī)變量表示甲答對(duì)的題數(shù)，
則且，
記甲答完n題所加的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X，
則，所以，
依題意為了獲取答n道題的資格，
甲需要的分?jǐn)?shù)為：，
設(shè)甲答完n題后的最終得分為，
則
.
由于，所以當(dāng)或時(shí)，取最大值.
即當(dāng)他的答題數(shù)量為或時(shí)，他獲得的平均話費(fèi)最多.

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