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（4）平面向量
——2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)易錯(cuò)重難提升【新高考版】
易混重難知識(shí)
1.向量共線（平行）定理：向量與共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使.
2.平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使.
3.平面向量共線的坐標(biāo)表示
（1）設(shè)，其中共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使.
（2）如果用坐標(biāo)表示，向量共線的充要條件是.
4.向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量，如圖，是平面上的任意一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角.記作.
當(dāng)時(shí)，向量同向；當(dāng)時(shí)，向量垂直，記作；當(dāng)時(shí)，向量反向.
5.投影向量：如圖，設(shè)是兩個(gè)非零向量，，過的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，這種變換稱為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
6.向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)是非零向量，它們的夾角是是與方向相同的單位向量，則
（1）；
（2）；
（3）當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，，特別地，或；
（4）由可得，；
（5）
7.向量數(shù)量積的運(yùn)算律
（1）交換律：；
（2）數(shù)乘結(jié)合律：；
（3）分配律：.
8.向量模的坐標(biāo)表示：
（1）若向量，則；
（2）若點(diǎn)，向量，則.
由此可知，向量的模的坐標(biāo)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離的運(yùn)算.
9.向量夾角的坐標(biāo)表示：設(shè)都是非零向量，，是與的夾角，則.
10.向量垂直的坐標(biāo)表示：設(shè)向量，則.
易錯(cuò)試題提升
1.已知向量，，且，則( )
A. B. C. D.8
2.在中，若點(diǎn)D滿足，則( )
A. B.
C. D.
3.在中，點(diǎn)D在邊AB上，.記，，則( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，則( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量，，且，則( )
A. B. C. D.
7.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段CD，BC上的點(diǎn)，若，，則的最小值是( )
A.1 B. C. D.
8.已知非零向量，滿足，且，則的形狀是( )
A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰（非等邊）三角形 D.等邊三角形
9.（多選）設(shè)向量，，則下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.若，則a與b的夾角為鈍角
B.的最小值為2
C.與b共線的單位向量只有一個(gè)，為
D.若，則或
10.（多選）已知點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則下列選項(xiàng)正確的有( )
A.
B.直線AO過BC邊的中點(diǎn)
C.
D.若，則
11.設(shè)向量a，b的夾角的余弦值為，且，，則__________.
12.已知，.若與垂直，則實(shí)數(shù)__________.
13.如圖所示，已知在矩形ABCD中，，設(shè)，，，則__________.
14.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，滿足.若，，且，則_________.
15.在中，，，，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得，若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是__________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由題意，得，解得，所以，所以.
2.答案：D
解析：由，得，
得，得.
故選：D.
3.答案：B
解析：方法一：因?yàn)椋裕?br/>.
方法二：如圖，利用平行四邊形法則，合成出向量，由圖易知（即向量m）的系數(shù)為負(fù)數(shù)，排除A，C，D，故選B.
4.答案：D
解析：由題意知，所以.
5.答案：A
解析：，又表示在方向上的投影數(shù)量，所以結(jié)合圖形可知，當(dāng)P與C重合時(shí)投影數(shù)量最大，當(dāng)P與F重合時(shí)投影數(shù)量最小.又，，故當(dāng)點(diǎn)P在正六邊形ABCDEF內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，，故選A.
6.答案：A
解析：因?yàn)椋?br/>所以，所以，
所以，
故選：A.
7.答案：B
解析：如圖所示，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xAy，則，，.設(shè)，，，則，故，解得或；，故，解得或.因?yàn)椋援?dāng)，時(shí)，取得最小值，為.
8.答案：D
解析：因?yàn)楹头謩e表示向量和向量方向上的單位向量，由，可得的平分線與垂直，所以為等腰三角形，且.因?yàn)榍遥?br/>所以.又，所以，所以，所以為等邊三角形.故選D.
9.答案：CD
解析：對(duì)于A，若a與b的夾角為鈍角，則且a與b不共線，則，解得且，A說法正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，B說法正確；對(duì)于C，，與b共線的單位向量為，即與b共線的單位向量為或，C說法錯(cuò)誤；對(duì)于D，，即，解得，D說法錯(cuò)誤.故選CD.
10.答案：ACD
解析：，則，A正確；如圖，若，，，則，所以O(shè)是的重心，直線AO過EF中點(diǎn)，而EF與BC不平行，所以直線AO不過BC邊的中點(diǎn)，B錯(cuò)誤；又，而，，所以，C正確；若，且，所以，而，D正確.故選ACD.
11.答案：11
解析：.
12.答案：1
解析：因?yàn)椋裕驗(yàn)榕c垂直，所以，解得.
13.答案：
解析：.如圖，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使，連接.，，且，四邊形ACED是平行四邊形，，，.
14.答案：1
解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，則由題意可得，，，.所以，.因?yàn)椋裕矗裕獾没颍ㄉ崛ィ?
15.答案：或0
解析：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，的方向?yàn)閥軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系xAy，設(shè)，，則，.由點(diǎn)P在AD的延長(zhǎng)線上，可設(shè)，.易知，所以，則，所以，，所以.又，則，所以，得或，則或.

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