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（2）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
——2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)易錯重難提升【新高考版】
易混重難知識
1.函數(shù)的奇偶性
（1）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.
（2）確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱.
（3）對于偶函數(shù)而言，有.
2.冪函數(shù)的性質(zhì)
冪函數(shù)
定義域 R R R
值域 R R
單調(diào)性 增 在上 單調(diào)遞增， 在上 單調(diào)遞減 增 增 在上 單調(diào)遞增， 在上 單調(diào)遞減
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
公共點(diǎn) 都經(jīng)過點(diǎn)
3.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
圖象
性質(zhì) 定義域 R
值域
過定點(diǎn) ，即時，
單調(diào)性 減函數(shù) 增函數(shù)
奇偶性 非奇非偶
4.對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
圖象
定義域
值域 R
單調(diào)性 減函數(shù) 增函數(shù)
過定點(diǎn) 過定點(diǎn)，即時，
5.函數(shù)零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，即存在，使得，這個也就是方程的解.
6.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法：
（1）當(dāng)不等式或可解時，確定函數(shù)的定義域，解不等式或求出單調(diào)區(qū)間.
（2）當(dāng)方程可解時，確定函數(shù)的定義域，解方程，求出實數(shù)根，把函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和實根按從小到大的順序排列起來，把定義域分成若干個小區(qū)間，確定在各個區(qū)間內(nèi)的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間.
（3）不等式或及方程均不可解時求導(dǎo)數(shù)并化簡，根據(jù)的結(jié)構(gòu)特征，選擇相應(yīng)基本初等函數(shù)，利用其圖象與性質(zhì)確定的符號，得單調(diào)區(qū)間.
7.已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍的方法：
（1）利用集合間的包含關(guān)系處理：在上單調(diào)，則區(qū)間是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.
（2）轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題來求解：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”.
（3）可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是（或）在該區(qū)間上存在解集，從而轉(zhuǎn)化為不等式問題，求出參數(shù)的取值范圍.
8.已知函數(shù)求極值：求求方程的根，列表檢驗在的根的附近兩側(cè)的符號，下結(jié)論.
9.求函數(shù)在上的最大值和最小值的步驟：
（1）若所給的閉區(qū)間不含參數(shù)，
①求函數(shù)在內(nèi)的極值；
②求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，；
③將函數(shù)的極值與，比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.
（2）若所給的閉區(qū)間含有參數(shù)，則需對函數(shù)求導(dǎo)，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值.
易錯試題提升
1.定義在R上的函數(shù)為奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.函數(shù)的圖象大致為( )
A. B.
C. D.
3.若，，，則( )
A. B. C. D.
4.若函數(shù)有4個零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
5.已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A. B. C. D.
6.牛頓冷卻定律描述一個物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體初始溫度為，則經(jīng)過一定時間t（單位：分鐘）后的溫度滿足，其中是環(huán)境溫度，h為常數(shù)，現(xiàn)有一杯80℃的熱水用來泡茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會出現(xiàn)在55℃.經(jīng)測量室溫為25℃，茶水降至75℃大約用時一分鐘，那么為了獲得最佳飲用口感，從泡茶開始大約需要等待（參考數(shù)據(jù)：，，，.）( )
A.4分鐘 B.5分鐘 C.6分鐘 D.7分鐘
7.若存在正實數(shù)x，使得不等式成立（e是自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)a的最大值為( )
A. B. C. D.
8.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若在其定義域內(nèi)存在，使得，則稱為“有源”函數(shù).已知是“有源”函數(shù)，則a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
9.（多選）奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域均為R，且滿足，則下列判斷正確的是( )
A. B.
C.在R上單調(diào)遞增 D.的值域為
10.（多選）給定函數(shù).下列說法正確的是( )
A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增
B.函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)
C.當(dāng)時，方程有兩個不同的根
D.若方程只有一個根，則
11.已知函數(shù)則的值為__________.
12.由于我國與以美國為首的西方國家在科技領(lǐng)域內(nèi)的競爭日益激烈，美國加大了對我國一些高科技公司的打壓，為突破西方的技術(shù)封鎖和打壓，我國的一些科技企業(yè)積極實施了獨(dú)立自主 自力更生的策略，在一些領(lǐng)域取得了驕人的成績.我國某科技公司為突破“芯片卡脖子”問題，實現(xiàn)芯片制造的國產(chǎn)化，加大了對相關(guān)產(chǎn)業(yè)的研發(fā)投入.若該公司2020年全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金為120億元，在此基礎(chǔ)上，計劃以后每年投入的研發(fā)資金比上一年增長9%，則該公司全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金開始超過200億元的年份是_______年.參考數(shù)據(jù)：.
13.對任意，函數(shù)恒成立，求a的取值范圍______________.
14.已知函數(shù).
（1）若，求a的取值范圍；
（2）證明：若有兩個零點(diǎn)，，則.
15.已知函數(shù)，其中實數(shù).
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求實數(shù)a的值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因為為奇函數(shù)，所以，
因為為偶函數(shù)，所以，即，
從而，得，
所以以4為周期的周期函數(shù)，
，
，
所以.
故選：A.
2.答案：B
解析：，則的定義域為R，
又，
所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除CD，
當(dāng)時，，故排除A.
故選：B.
3.答案：C
解析：因為，，
所以只需比較a與b的大小即可.
因為，
所以
故選：C
4.答案：B
解析：當(dāng)時，令，即，即，
因為函數(shù)與的圖象僅有一個公共點(diǎn)，如圖所示，
所以時，函數(shù)只有一個零點(diǎn)，
又由函數(shù)有4個零點(diǎn)，
所以時，方程有三個零點(diǎn)，如圖所示，
因為，可得，則滿足，
解得，即實數(shù)的取值范圍為.
故選：B.
5.答案：D
解析：點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，
，，
，在上單調(diào)遞減，
，，，
，
，即
故選：D.
6.答案：C
解析：根據(jù)題意可知，，，
因為茶水降至75℃大約用時一分鐘，即，，
所以，解得，則，
所以要使得該茶降至，即，則有，
得，
故，
所以大約需要等待6分鐘.
故選：C.
7.答案：C
解析：當(dāng)時，
.
設(shè)，則對恒成立，
則在上單調(diào)遞增，則
.
設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，取得最大值，故，因此實數(shù)a的最大值為.故選C.
8.答案：A
解析：，，
由是“有源”函數(shù)定義知，存在，使得，即有解，
記，所以a的取值范圍是就是函數(shù)的值域，
則，
當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，
所以，所以，
即a的取值范圍是.
故選：A
9.答案：BCD
解析：因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，
因為①，所以，即②，
所以由①②解得，故B正確；
，故A錯誤；
在R上單調(diào)遞增，在R上單調(diào)遞減，則在R上單調(diào)遞增，故C正確；
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以的值域為，所以D正確.
故選：BCD.
10.答案：AC
解析：.當(dāng)時，，單調(diào)遞淢，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故A正確.，，時，，因此只在上有一個點(diǎn)，即的圖象與x軸只有一個交點(diǎn)，故B不正確.上面討論知，當(dāng)時，單調(diào)遞減，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，作出的大致圖象和直線（如圖），知當(dāng)時，方程有兩個不同的根，故C正確.
若方程只有一個根，則或，故D不正確.
11.答案：3
解析：，
，
所以.
12.答案：2026
解析：設(shè)還需要n年，該公司全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金開始超過200億元，
根據(jù)題意可得，
故，所以，解得，
所以還需要6年，即2026年該公司全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金開始超過200億元，
故答案為：2026
13.答案：
解析：由題意得，
因為，所以，
即，
令，則恒成立，
，
令得，，單調(diào)遞增，
令得，，單調(diào)遞減，
且當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，恒成立，
因為，，所以恒成立，故，
當(dāng)時，，此時滿足恒成立，
當(dāng)，即時，由于在上單調(diào)遞增，
由得，
令，，
則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
故在處取得極大值，也是最大值，，
故，，
a的取值范圍是.
故答案為：.
14.答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1），令，則.
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.
所以在處取得最小值e，故.
于是等價于在上恒成立，即在上恒成立.
又顯然是增函數(shù)，故.
所以實數(shù)a的取值范圍為.
（2）證明：由（1）可得有兩個零點(diǎn)，等價于在上有一個零點(diǎn)，即，
此時，有兩個解，，不妨設(shè)，則，
所以兩式相除，可得，
故，即，
故.
令，故.
因為恒大于0，故只需考慮的正負(fù).
記，故，
故在上單調(diào)遞增.
又當(dāng)時，，所以，故，故.
15.答案：（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
（2）
解析：（1），，
.
令，
，
在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.
，令，則，
令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2），
，令，
則，
在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.
設(shè)，則，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
，，即，
，
又，
存在唯一的，使得，即①.
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，.
又函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，
，即②.
由①②得，即.
令，
則.
，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，則.
代入①得.綜上，.

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