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第08講 函數模型及其應用
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 指、對、冪函數模型的性質 (2) 常用的函數模型 2024年北京卷，5分 2022年北京卷，5分 2021年甲卷，5分 2019年北京卷，5分 2017年北京卷，5 分 （1）本講題型以選擇題、填空題為主，考查內容、題型、變化不大，考查頻率不高. （2）重點是指、對、冪函數模型的性質 和常用的函數模型，主要考查函數模型的匹配，已知函數模型和構造函數模型求解實際問題，常與指數函數、冪函數、對數函數、二次函數的圖象和性質結合.
(
考試要求
小
)
1、了解指數函數、對數函數與一次函數增長速度的差異；
2、理解“指數爆炸”“對數增長”“直線上升”等術語的含義；
3、能選擇合適的函數模型刻畫現實問題變化規律，了解函數模型在社會生活中的廣泛應用.
(
考點突破考綱解讀
)
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考點梳理
小
)
知識點1: 指、對、冪函數模型的性質
1、指、對、冪函數模型的性質
函數
在上的單調性 單調遞增 單調遞增 單調遞增
增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩
圖象的變化 隨著的增大逐漸表現為與軸平行 隨著的增大逐漸表現為與軸平行 隨值的變化而各有不同
知識點2: 常用的函數模型
2、常用的函數模型
函數模型 函數解析式
（1）一次函數模型 為常數,
（2）二次函數模型 為常數,
（3）反比例函數模型 為常數,
（4）指數函數模型 為常數,且
（5）對數函數模型 為常數,且
（6）冪函數模型 為常數,
(
題型展示
小
)
題型一:匹配函數模型
【例1】有一組實驗數據如下表所示：
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
則最能體現這組數據關系的函數模型是(　　)
A． B. C. D.
【答案】D
【解析】
將各點(x，y)分別代入各函數可知，
最能體現這組數據關系的函數模型是；答案為D．
【變式1】某醫藥研究機構開發了一種新藥，據監測，如果患者每次按規定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量（單位：微克）與時間（單位：小時）之間的關系近似滿足如圖所示的曲線.據進一步測定，當每毫升血液中含藥量不少于微克時，治療該病有效，則（ ）
A．
B．注射一次治療該病的有效時間長度為6小時
C．注射該藥物小時后，每毫升血液中的含藥量為0.5微克
D．注射一次，治療該病的有效時間長度為小時
【答案】ACD
【解析】
將點的坐標代入，可得，
將點的坐標代入可得，解得，
，A正確；
當時，由可得，此時；
當時，由可得，此時；
故不等式的解集為，注射一次治療該病的有效時間長度為（小時），B錯，D正確；
注射該藥物小時后每毫升血液含藥量為（微克），C正確；答案為ACD.
題型二:已知函數模型求實際問題
【例2】 大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產地產卵，研究鮭魚的科學家發現鮭魚的游速v（單位：）可以表示為，其中L表示鮭魚的耗氧量的單位數，則當一條鮭魚以的速度游動時，它的耗氧量的單位數為___________.
【答案】8100
【解析】
鮭魚的游速v（單位：）可以表示為，
當一條鮭魚以的速度游動時，，
，．
【變式2】某工廠產生的廢氣經過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數量P(單位：mg/L)與時間t(單位：h)間的關系為P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常數．如果2 h后還剩下90%的污染物，5 h后還剩下30%的污染物，那么8 h后還剩下________%的污染物．
【答案】10
【解析】
設初始污染物數量為P′，則兩式相除得e3k＝3；
8 h后P＝P0·e－8k＝e－3k·P0·e－5k＝·P′＝P′，即還剩下×100%＝10%的污染物．
題型三:構造函數模型求實際問題
【例3】某公司一年購買某種貨物900噸，現分次購買，若每次購買x噸，運費為9萬元/次，一年的總儲存費用為4x萬元，要使得一年的總運費與總儲存費用之和最小，則下列說法正確的有（ ）
A．當時，費用之和有最小值 B．當時，費用之和有最小值
C．最小值為850萬元 D．最小值為360萬元
【答案】BD
【解析】
一年購買某種貨物900噸，若每次購買x噸，則需要購買次，
運費是9萬元/次，一年的總儲存費用為萬元，
一年的總運費與總儲存費用之和為，，當且僅當，即時，等號成立，
當時，一年的總運費與總儲存費用之和最小為萬元；答案為BD.
【變式3】農業農村部發布2023年農區蝗蟲防控技術方案．為了做好蝗蟲防控工作，完善應急預案演練，專家假設蝗蟲的日增長率為6%，最初有N0只，則能達到最初的1200倍大約經過(參考數據：ln 1.06≈0.0583，ln1200≈7.0901)（ ）
A．122天 B．124天 C．130天 D．136天
【答案】A
【解析】
由題意可知，蝗蟲最初有N0只且日增長率為6%，
設經過n天后蝗蟲數量達到原來的1 200倍，則＝1 200，
∴1.06n＝1 200，∴n＝log1.061 200＝≈121.614，
∵n∈N*，∴大約經過122天能達到最初的1 200倍；答案為A．
(
考場演練
)
【真題1】（2024·北京）生物豐富度指數 是河流水質的一個評價指標，其中分別表示河流中的生物種類數與生物個體總數.生物豐富度指數d越大，水質越好．如果某河流治理前后的生物種類數沒有變化，生物個體總數由變為，生物豐富度指數由提高到，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由題意得，則，
即，.答案為D.
【真題2】（2022·北京）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術，為實現綠色冬奧作出了貢獻．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態與T和的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是．下列結論中正確的是（ ）
A．當，時，二氧化碳處于液態
B．當，時，二氧化碳處于氣態
C．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態
D．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態
【答案】D
【解析】
當，時，，二氧化碳處于固態，A錯；
當，時，，二氧化碳處于液態，B錯；
當，時，與4非常接近，二氧化碳處于固態，對應非超臨界狀態，C錯；
當，時，, 二氧化碳處于超臨界狀態，故D正確；答案為D.
【真題3】（2021·全國甲卷）青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄表的數據V滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據為（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【解析】
由，當時，，
則.答案為C.
【真題4】（2019·北京）在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為（ ）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D. 10-10.1
【答案】A
【解析】
兩顆星的星等與亮度滿足,令,
.答案為A.
【真題5】（2017·北京）根據有關資料，圍棋狀態空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數N約為1080.則下列各數中與最接近的是（ ）
（參考數據：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
【答案】D
【解析】
設，兩邊取對數，，
，即最接近；答案為D.
【模擬6】（2024杭州）著名數學家 物理學家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，若物體的初始溫度為，空氣溫度為，則分鐘后物體的溫度（單位：℃）滿足：.若常數，空氣溫度為 ，則某物體的溫度從 下降到 ，大約需要的時間為（參考數據：）（ ）
A．25分鐘 B．24分鐘 C．23分鐘 D．22分鐘
【答案】D
【解析】
由題意可得，，，
，，即，
（分鐘）,即大約需要的時間為22分鐘；答案為．
【模擬7】（2024天津）農業農村部發布2023年農區蝗蟲防控技術方案．為了做好蝗蟲防控工作，完善應急預案演練，專家假設蝗蟲的日增長率為6%，最初有N0只，則能達到最初的1200倍大約經過(參考數據：ln 1.06≈0.0583，ln1200≈7.0901)（ ）
A．122天 B．124天 C．130天 D．136天
【答案】A
【解析】
由題意可知，蝗蟲最初有N0只且日增長率為6%，
設經過n天后蝗蟲數量達到原來的1 200倍，則＝1 200，
∴1.06n＝1 200，∴n＝log1.061 200＝≈121.614，
∵n∈N*，∴大約經過122天能達到最初的1 200倍；答案為A．
【模擬8】（2024北京）人們用分貝(dB)來劃分聲音的等級，聲音的等級d(x)(單位：dB)與聲音強度(單位:)滿足d(x)＝9lg.一般兩人小聲交談時，聲音的等級約為54 dB，在有50人的課堂上講課時，老師聲音的等級約為63 dB，那么老師上課時聲音強度約為一般兩人小聲交談時聲音強度的（ ）
A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1 000倍
【答案】B
【解析】
設老師上課時聲音強度，一般兩人小聲交談時聲音強度分別為，，
根據題意得＝，解得，，解得，
，老師上課時聲音強度約為一般兩人小聲交談時聲音強度的10倍；故選B.
【模擬9】（2024莆田）某工廠產生的廢氣經過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數量P(單位：mg/L)與時間t(單位：h)間的關系為P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常數．如果2 h后還剩下90%的污染物，5 h后還剩下30%的污染物，那么8 h后還剩下________%的污染物．
【答案】10
【解析】
設初始污染物數量為P′，則兩式相除得e3k＝3；
8 h后P＝P0·e－8k＝e－3k·P0·e－5k＝·P′＝P′，即還剩下×100%＝10%的污染物．
【模擬10】（2024武漢）我們經常聽到這樣一種說法：一張紙經過一定次數對折之后厚度能超過地月距離．但實際上，因為紙張本身有厚度，我們并不能將紙張無限次對折，當厚度超過紙張的長邊時，便不能繼續對折了，一張長邊為w、厚度為x的矩形紙張沿兩個方向不斷對折，則經過兩次對折，長邊變為w，厚度變為4x.在理想情況下，對折次數n有下列關系：n≤log2(參考數據：lg 2≈0.3)，根據以上信息，一張長為21 cm，厚度為0.05 mm的紙最多能對折______次．
【答案】8
【解析】
由題知，n≤log24 200＝＝；
log210＝≈，0＜log2＜1，n≤8＋log2，n的最大值為8.
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第08講 函數模型及其應用
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考點要求 考題統計 考情分析
(1) 指、對、冪函數模型的性質 (2) 常用的函數模型 2024年北京卷，5分 2022年北京卷，5分 2021年甲卷，5分 2019年北京卷，5分 2017年北京卷，5 分 （1）本講題型以選擇題、填空題為主，考查內容、題型、變化不大，考查頻率不高. （2）重點是指、對、冪函數模型的性質 和常用的函數模型，主要考查函數模型的匹配，已知函數模型和構造函數模型求解實際問題，常與指數函數、冪函數、對數函數、二次函數的圖象和性質結合.
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考試要求
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1、了解指數函數、對數函數與一次函數增長速度的差異；
2、理解“指數爆炸”“對數增長”“直線上升”等術語的含義；
3、能選擇合適的函數模型刻畫現實問題變化規律，了解函數模型在社會生活中的廣泛應用.
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考點突破考綱解讀
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考點梳理
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知識點1: 指、對、冪函數模型的性質
1、指、對、冪函數模型的性質
函數
在上的單調性 單調遞增 ， 單調遞增
增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩
圖象的變化 隨著的增大逐漸表現為與 平行 隨著的增大逐漸表現為與 平行 隨值的變化而各有不同
知識點2: 常用的函數模型
2、常用的函數模型
函數模型 函數解析式
（1）一次函數模型 為常數,
（2）二次函數模型 為常數,
（3）反比例函數模型 為常數,
（4） 模型 為常數,且
（5）對數函數模型 為常數,且
（6） 模型 為常數,
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題型一:匹配函數模型
【例1】有一組實驗數據如下表所示：
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
則最能體現這組數據關系的函數模型是(　　)
A． B. C. D.
【變式1】某醫藥研究機構開發了一種新藥，據監測，如果患者每次按規定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量（單位：微克）與時間（單位：小時）之間的關系近似滿足如圖所示的曲線.據進一步測定，當每毫升血液中含藥量不少于微克時，治療該病有效，則（ ）
A．
B．注射一次治療該病的有效時間長度為6小時
C．注射該藥物小時后，每毫升血液中的含藥量為0.5微克
D．注射一次，治療該病的有效時間長度為小時
題型二:已知函數模型求實際問題
【例2】 大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產地產卵，研究鮭魚的科學家發現鮭魚的游速v（單位：）可以表示為，其中L表示鮭魚的耗氧量的單位數，則當一條鮭魚以的速度游動時，它的耗氧量的單位數為___________.
【變式2】某工廠產生的廢氣經過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數量P(單位：mg/L)與時間t(單位：h)間的關系為P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常數．如果2 h后還剩下90%的污染物，5 h后還剩下30%的污染物，那么8 h后還剩下________%的污染物．
題型三:構造函數模型求實際問題
【例3】某公司一年購買某種貨物900噸，現分次購買，若每次購買x噸，運費為9萬元/次，一年的總儲存費用為4x萬元，要使得一年的總運費與總儲存費用之和最小，則下列說法正確的有（ ）
A．當時，費用之和有最小值 B．當時，費用之和有最小值
C．最小值為850萬元 D．最小值為360萬元
【變式3】農業農村部發布2023年農區蝗蟲防控技術方案．為了做好蝗蟲防控工作，完善應急預案演練，專家假設蝗蟲的日增長率為6%，最初有N0只，則能達到最初的1200倍大約經過(參考數據：ln 1.06≈0.0583，ln1200≈7.0901)（ ）
A．122天 B．124天 C．130天 D．136天
(
考場演練
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【真題1】（2024·北京）生物豐富度指數 是河流水質的一個評價指標，其中分別表示河流中的生物種類數與生物個體總數.生物豐富度指數d越大，水質越好．如果某河流治理前后的生物種類數沒有變化，生物個體總數由變為，生物豐富度指數由提高到，則（ ）
A． B．
C． D．
【真題2】（2022·北京）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術，為實現綠色冬奧作出了貢獻．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態與T和的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是．下列結論中正確的是（ ）
A．當，時，二氧化碳處于液態
B．當，時，二氧化碳處于氣態
C．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態
D．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態
【真題3】（2021·全國甲卷）青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄表的數據V滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據為（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【真題4】（2019·北京）在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為（ ）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D. 10-10.1
【真題5】（2017·北京）根據有關資料，圍棋狀態空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數N約為1080.則下列各數中與最接近的是（ ）
（參考數據：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
【模擬6】（2024杭州）著名數學家 物理學家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，若物體的初始溫度為，空氣溫度為，則分鐘后物體的溫度（單位：℃）滿足：.若常數，空氣溫度為 ，則某物體的溫度從 下降到 ，大約需要的時間為（參考數據：）（ ）
A．25分鐘 B．24分鐘 C．23分鐘 D．22分鐘
【模擬7】（2024天津）農業農村部發布2023年農區蝗蟲防控技術方案．為了做好蝗蟲防控工作，完善應急預案演練，專家假設蝗蟲的日增長率為6%，最初有N0只，則能達到最初的1200倍大約經過(參考數據：ln 1.06≈0.0583，ln1200≈7.0901)（ ）
A．122天 B．124天 C．130天 D．136天
【模擬8】（2024北京）人們用分貝(dB)來劃分聲音的等級，聲音的等級d(x)(單位：dB)與聲音強度(單位:)滿足d(x)＝9lg.一般兩人小聲交談時，聲音的等級約為54 dB，在有50人的課堂上講課時，老師聲音的等級約為63 dB，那么老師上課時聲音強度約為一般兩人小聲交談時聲音強度的（ ）
A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1 000倍
【模擬9】（2024莆田）某工廠產生的廢氣經過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數量P(單位：mg/L)與時間t(單位：h)間的關系為P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常數．如果2 h后還剩下90%的污染物，5 h后還剩下30%的污染物，那么8 h后還剩下________%的污染物．
【模擬10】（2024武漢）我們經常聽到這樣一種說法：一張紙經過一定次數對折之后厚度能超過地月距離．但實際上，因為紙張本身有厚度，我們并不能將紙張無限次對折，當厚度超過紙張的長邊時，便不能繼續對折了，一張長邊為w、厚度為x的矩形紙張沿兩個方向不斷對折，則經過兩次對折，長邊變為w，厚度變為4x.在理想情況下，對折次數n有下列關系：n≤log2(參考數據：lg 2≈0.3)，根據以上信息，一張長為21 cm，厚度為0.05 mm的紙最多能對折______次．
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