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第05講 對數與對數函數
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1)對數的概念與運算； (2)對數函數的圖象及其性質； (3)反函數的概念. 2024年I卷，5分 2024年甲卷，5分 2024年北京卷，5分 2023年北京卷，5分 2022年乙卷，5 分 2022年天津卷，5 分 2022年浙江卷，5 分 2021年天津卷，5 分 2020年II卷，5分 （1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題、填空題為主； （2）重點是對數的概念及運算性質和對數函數的圖象及其性質，主要考查對數式的計算，對數函數圖象的判斷和對數函數的單調性和特殊點的運用，常與冪函數、指數函數、二次函數、三角函數結合考查函數的性質； （3）關注冪、指、對大小比較的解題方法，此類題型是新高考的重點，也是難點.
(
考試要求
小
)
1、理解對數的概念及運算性質，能用換底公式將一般對數轉化成自然對數為底或常用對數；
2、通過實例，了解對數函數的概念，會畫對數函數的圖象，理解對數函數的單調性和特殊點；
3、了解指數函數（且）與對數函數（且）互為反函數.
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1: 對數及其性質
1、對數的定義
（1）若,且，則數叫做以為底的對數，記作，其中叫做對數的底數，叫做真數；
（2）真數和零沒有對數；
（3）對數式和指數式的互化：,且
2、常用對數與自然對數
以10為底的對數叫做常用對數，記作，即；
以為底的對數叫做自然對數，記作；即.
3、重要的對數恒等式：,且
（1）； （2）； （3）；
4、對數的運算性質：,且
（1）加法：；
（2）減法：；
（3）數乘：
5、對數換底公式：,且且
6、對數運算重要結論
（1） （2）
知識點2:對數函數及其性質
1、對數函數的圖像和性質
函數
圖象
定義域
值域
定點坐標
函數值特點 當時，， 當時，； 當時，， 當時，；
單調性 在上單調遞增； 在上單調遞減；
2、對數函數重要結論
（1）在第一象限，不同的對數函數圖象從左向右底數逐漸增大；
（2）對數函數,且的圖象恒過定點：；
（3）函數，恒過點：.
知識點3:反函數
1、反函數的定義
（1）設分別為函數的定義域和值域，如果由函數所解得的也是一個函數，則稱函數是的反函數，記作;
（2）在中，是自變量，是的函數，習慣上改寫成的形式；函數與函數為同一函數，因為定義域都是，對應法則都是；
（3）由定義可以看出，函數的定義域正好是它的反函數的值域；函數的值域正好是它的反函數的定義域；
2、反函數存在的條件
（1）一一映射存在反函數；
（2）單調函數一定存在反函數；
（3）并不是每個函數都存在反函數，有些函數沒有反函數，如.
3、反函數的求法
（1）確定反函數的定義域，即原函數的值域；
（2）從原函數式中反解出;
（3）將改寫成，并注明反函數的定義域.
4、反函數的性質
（1）原函數與反函數的圖象關于直線對稱；
（2）函數的定義域、值域分別是其反函數的值域、定義域；
（3）若在原函數的圖象上，則點在反函數的圖象上；
（4）一般地，函數要有反函數，它必須為單調函數；
（5）.
5、指數函數,且與對數函數,且互為反函數，它們的圖象關于直線對稱.
(
題型展示
小
)
題型一:對數的運算
【例1】若，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】
，，
.答案為C.
【變式1】計算：
（1） .
（2）若，則 ．
【答案】（1），（2）；
【解析】
（1）原式；
（2），，.
題型二:對數函數的圖象
【例2】如圖，函數的圖象為折線，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如下圖所示，畫出的函數圖象，交點為，
∴不等式的解集為，答案為C．
【變式2】（2024·北京）已知,是函數的圖象上兩個不同的點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
不妨設，函數是增函數，
，即，
對AB：可得，即，
函數是增函數，，故B正確，A錯；
對D：例如，則，
可得，即，故D錯；
對C：例如，則，
可得，即，故C錯，
答案為B.
題型三:對數函數的性質
【例3】設函數，則（ ）
A．是偶函數，且在單調遞增 B．是奇函數，且在單調遞減
C．是偶函數，且在單調遞增 D．是奇函數，且在單調遞減
【答案】D
【解析】
得定義域為，關于坐標原點對稱，
又，
為定義域上的奇函數，可排除AC；
當時，，
在上單調遞增，在上單調遞減，
在上單調遞增，排除B；
當時，，
在上單調遞減，在定義域內單調遞增，
根據復合函數單調性可知：在上單調遞減，D正確.答案為D.
【變式3】（2015·上海）方程的解為 .
【答案】2
【解析】
，
，
令，，解得或，
當時，，，而，不合題意，舍去；
當時，，，，，滿足條件，
是原方程的解.
(
考場演練
)
考點1 對數運算
【真題1】（2024·全國甲卷）已知且，則 ．
【答案】64
【解析】
，
或，又，
，故；答案為64.
【真題2】（2023·北京）已知函數，則 ．
【答案】1
【解析】
；答案為1.
【真題3】（2022·天津）化簡的值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解析】
原式，答案為B
【真題4】（2022·浙江）已知，則（ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】
，，即，
．答案為C.
【真題5】（2022·全國乙卷）若是奇函數，則 ， ．
【答案】；．
【解析】
方法1 奇函數定義域的對稱性
若，則的定義域為，不關于原點對稱
若奇函數有意義，則且
函數為奇函數，定義域關于原點對稱，
，解得，由得，，，故答案為：；．
方法2 函數的奇偶性求參
函數為奇函數
【真題6】（2021·天津）若，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】
，，
.答案為C.
【真題7】（2020·全國）設，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
可得，，，答案為B.
【真題8】（2018·全國）已知函數，若，則 ．
【答案】-7
【解析】
，，故答案是.
【真題9】（2016·浙江）已知a＞b＞1.若，則 ， .
【答案】，.
【解析】
設，
，
【真題10】（2015·浙江）計算： ， ．
【答案】.
【解析】
；.
【真題11】（2015·四川） .
【答案】2
【解析】
考點2 對數函數圖象及其性質
【真題1】（2024·北京）已知,是函數的圖象上兩個不同的點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
不妨設，函數是增函數，
，即，
對AB：可得，即，
函數是增函數，，故B正確，A錯；
對D：例如，則，
可得，即，故D錯；
對C：例如，則，
可得，即，故C錯，
答案為B.
【真題2】（2024·全國新Ⅰ卷）已知函數在R上單調遞增，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
在上單調遞增，且時，單調遞增，
則需滿足，，
即的范圍是.答案為B.
【真題3】（2020·全國新Ⅱ卷）已知函數在上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由或
的定義域為
在上單調遞增
在上單調遞增
；答案為D
【真題4】（2020·全國）設函數，則（ ）
A．是偶函數，且在單調遞增 B．是奇函數，且在單調遞減
C．是偶函數，且在單調遞增 D．是奇函數，且在單調遞減
【答案】D
【解析】
得定義域為，關于坐標原點對稱，
又，
為定義域上的奇函數，可排除AC；
當時，，
在上單調遞增，在上單調遞減，
在上單調遞增，排除B；
當時，，
在上單調遞減，在定義域內單調遞增，
根據復合函數單調性可知：在上單調遞減，D正確.答案為D.
【真題5】（2020·北京）函數的定義域是 ．
【答案】
【解析】
由題意得，故答案為：
【真題6】（2015·重慶）函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由或，答案為D.
【真題7】（2015·四川）設，都是不等于的正數，則“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
（1）證充分性
若，則，，故為充分條件.
（2）證必要性
若不一定有，比如.，不成立.答案為B.
【真題8】（2015·湖北）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，
即函數的定義域為，答案為C．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第05講 對數與對數函數
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考綱導向
小
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考點要求 考題統計 考情分析
(1)對數的概念與運算； (2)對數函數的圖象及其性質； (3)反函數的概念. 2024年I卷，5分 2024年甲卷，5分 2024年北京卷，5分 2023年北京卷，5分 2022年乙卷，5 分 2022年天津卷，5 分 2022年浙江卷，5 分 2021年天津卷，5 分 2020年II卷，5分 （1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題、填空題為主； （2）重點是對數的概念及運算性質和對數函數的圖象及其性質，主要考查對數式的計算，對數函數圖象的判斷和對數函數的單調性和特殊點的運用，常與冪函數、指數函數、二次函數、三角函數結合考查函數的性質； （3）關注冪、指、對大小比較的解題方法，此類題型是新高考的重點，也是難點.
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考試要求
小
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1、理解對數的概念及運算性質，能用換底公式將一般對數轉化成自然對數為底或常用對數；
2、通過實例，了解對數函數的概念，會畫對數函數的圖象，理解對數函數的單調性和特殊點；
3、了解指數函數（且）與對數函數（且）互為反函數.
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考點突破考綱解讀
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考點梳理
小
)
知識點1: 對數及其性質
1、對數的定義
（1）若,且，則數叫做以為底的對數，記作 ，其中叫做對數的 ，叫做 ；
（2）真數和零沒有對數；
（3）對數式和指數式的互化：,且
2、常用對數與自然對數
以10為底的對數叫做 ，記作 ，即；
以為底的對數叫做 ，記作 ；即.
3、重要的對數恒等式：,且
（1）； （2）； （3）；
4、對數的運算性質：,且
（1）加法： ；
（2）減法：；
（3）數乘：
5、對數換底公式：,且且
6、對數運算重要結論
（1） （2）
知識點2:對數函數及其性質
1、對數函數的圖像和性質
函數
圖象
定義域 ，
值域 ，
定點坐標 ，
函數值特點 當時， ， 當時，； 當時， ， 當時，；
單調性 在上 ； 在上 ；
2、對數函數重要結論
（1）在第一象限，不同的對數函數圖象從左向右底數 ；
（2）對數函數,且的圖象恒過定點：；
（3）函數，恒過點： .
知識點3:反函數
1、反函數的定義
（1）設分別為函數的定義域和值域，如果由函數所解得的也是一個函數，則稱函數是的反函數，記作;
（2）在中，是自變量，是的函數，習慣上改寫成的形式；函數與函數為同一函數，因為定義域都是 ，對應法則都是 ；
（3）由定義可以看出，函數的定義域正好是它的反函數的 ；函數的值域正好是它的反函數的 ；
2、反函數存在的條件
（1）一一映射存在反函數；
（2）單調函數一定存在反函數；
（3）并不是每個函數都存在反函數，有些函數沒有反函數，如.
3、反函數的求法
（1）確定反函數的定義域，即原函數的值域；
（2）從原函數式中反解出;
（3）將改寫成，并注明反函數的定義域.
4、反函數的性質
（1）原函數與反函數的圖象關于直線 對稱；
（2）函數的定義域、值域分別是其反函數的值域、定義域；
（3）若在原函數的圖象上，則點在反函數的圖象上；
（4）一般地，函數要有反函數，它必須為單調函數；
（5）.
5、指數函數,且與對數函數,且互為 ，它們的圖象關于直線對稱.
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題型展示
小
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題型一:對數的運算
【例1】若，則（ ）
A． B． C．1 D．
【變式1】計算：
（1） .
（2）若，則 ．
題型二:對數函數的圖象
【例2】如圖，函數的圖象為折線，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2024·北京）已知,是函數的圖象上兩個不同的點，則（ ）
A． B．
C． D．
題型三:對數函數的性質
【例3】設函數，則（ ）
A．是偶函數，且在單調遞增 B．是奇函數，且在單調遞減
C．是偶函數，且在單調遞增 D．是奇函數，且在單調遞減
【變式3】方程的解為 .
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考場演練
)
考點1 對數運算
【真題1】（2024·全國甲卷）已知且，則 ．
【真題2】（2023·北京）已知函數，則 ．
【真題3】（2022·天津）化簡的值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【真題4】（2022·浙江）已知，則（ ）
A．25 B．5 C． D．
【真題5】（2022·全國乙卷）若是奇函數，則 ， ．
【真題6】（2021·天津）若，則（ ）
A． B． C．1 D．
【真題7】（2020·全國）設，則（ ）
A． B． C． D．
【真題8】（2018·全國）已知函數，若，則 ．
【真題9】（2016·浙江）已知a＞b＞1.若，則 ， .
【真題10】（2015·浙江）計算： ， ．
【真題11】（2015·四川） .
考點2 對數函數圖象及其性質
【真題1】（2024·北京）已知,是函數的圖象上兩個不同的點，則（ ）
A． B．
C． D．
【真題2】（2024·全國新Ⅰ卷）已知函數在R上單調遞增，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【真題3】（2020·全國新Ⅱ卷）已知函數在上單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【真題4】（2020·全國）設函數，則（ ）
A．是偶函數，且在單調遞增 B．是奇函數，且在單調遞減
C．是偶函數，且在單調遞增 D．是奇函數，且在單調遞減
【真題5】（2020·北京）函數的定義域是 ．
【真題6】（2015·重慶）函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【真題7】（2015·四川）設，都是不等于的正數，則“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【真題8】（2015·湖北）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
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