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2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)專題練：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
一、選擇題
1．已知等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，則“”是“”的( ).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
2．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,則是中的( )
A.第28項(xiàng) B.第29項(xiàng) C.第30項(xiàng) D.第32項(xiàng)
3．設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則的值為( )
A.64 B.14 C.12 D.3
4．“二十四節(jié)氣”是上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物，它是上古先民順應(yīng)農(nóng)時，通過觀察天體運(yùn)行，認(rèn)知一歲中時令、氣候、物候等變化規(guī)律所形成的知識體系.我國古代用日晷測量日影的長度，晷長即為所測量影子的長度，二十四個節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長的變化量相同，冬至日晷長最長，夏至日晷長最短，周而復(fù)始，已知冬至日晷長為13.5尺，芒種日晷長為2.5尺，則一年中立春到夏至的日晷長的和為( )
A.58.5尺 B.59.5尺 C.60尺 D.60.5尺
5．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,,則( )
A.24 B.42 C.64 D.84
6．1.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，則下列結(jié)論正確的是( )
A.， B.，
C.， D.，
二、多項(xiàng)選擇題
7．函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義均為R，且是奇函數(shù)，設(shè)，，則以下結(jié)論一定正確的有( )
A.為偶函數(shù)
B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C.的圖象關(guān)于對稱
D.設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，若，則
8．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是( )
A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.
C.的最大值為10 D.
三、填空題
9．和都是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和分別為和，若，則______.
10．已知等差數(shù)列,若,則________.
11．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,則數(shù)列的前20項(xiàng)和是______.
四、解答題
12．已知正項(xiàng)等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足，，設(shè)數(shù)列滿足.
(1)分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)將數(shù)列中與數(shù)列相同的項(xiàng)剔除后，按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.
13．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
（1）若為等差數(shù)列，且
①求該等差數(shù)列的公差d；
②設(shè)數(shù)列滿足，則當(dāng)n為何值時，最大？請說明理由；
（2）若還同時滿足：
①為等比數(shù)列;
②；
③對任意的正整數(shù)k存在自然數(shù)m，使得、、依次成等差數(shù)列，試求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
參考答案
1．答案：C
解析：因?yàn)椋裕矗?br/>又是公差為d的等差數(shù)列，所以；
又時，有，即，即，
所以“”是“”的充分必要條件.
故選：C
2．答案：C
解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d,
則
,解得,
所以,
令,
得,即是中的第30項(xiàng).
故選:C.
3．答案：C
解析：利用等差數(shù)列求和公式，知道，即.
，且，則.
故選：C.
4．答案：C
解析：設(shè)冬至日晷長為，小寒日晷長為，以此類推芒種日晷長為，
因此，，設(shè)從冬至日到夏至日過程中，晷長的變化量為d，
所以有，立春日晷長為，
夏至的日晷長為，
所以一年中立春到夏至的日晷長的和為，
故選：C
5．答案：B
解析：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和,
所以,若,則,
所以.
故選:B.
6．答案：D
解析：，，
，，
令，則，
即和是函數(shù)的零點(diǎn)，
，故最多有一個零點(diǎn)，
，，.
又，，
，
，，.
故選：D.
7．答案：ACD
解析：對于A：因?yàn)楹瘮?shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義均為R，且是奇函數(shù)，
所以，則，
又，即，故為偶函數(shù)，故A正確；
對于B：因?yàn)榈膱D象是由函數(shù)圖象向右平移一個單位，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的得到，
又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于對稱，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B錯誤；
對于C：因?yàn)椋睿?br/>則，
由為奇函數(shù)，即，所以，
所以為奇函數(shù)，則圖象關(guān)于對稱，
而的圖象可以看作由的圖象向右平移4個單位，再向上平移4個單位而得，
所以的圖象關(guān)于對稱，故C正確；
對于D：由選項(xiàng)可知，當(dāng)時，，
在等差數(shù)列中，又，
所以，
所以，
所以，故D正確.
故選：ACD
8．答案：ABC
解析：根據(jù)題意，數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)時，有，
當(dāng)時，有，也符合，故；
依次分析選項(xiàng)：
對于A，，則數(shù)列是等差數(shù)列，A正確；
對于B，數(shù)列是公差為-4的等差數(shù)列，是遞減數(shù)列，有，B正確；
對于C，，易得，，故的最大值為，C正確；對于D，，D錯誤.
故選：ABC.
9．答案：或
解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式可得：
.
故答案為：
10．答案：
解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列,,,
則.
11．答案：202
解析：由得
又,,即
,公差.
的前n項(xiàng)和為
.
12．答案：(1)，；
(2)11302
解析：（1）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為d，
因?yàn)椋裕獾茫?br/>所以.
數(shù)列滿足
設(shè)，
當(dāng)時，有，即，
當(dāng)時，有，得
符合，所以
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，所以數(shù)列的前8項(xiàng)依次為：2、4、8、16、32、64、128、256，
對應(yīng)數(shù)列第1、2、4、8、16、32、64、128項(xiàng)，
故數(shù)列的前100項(xiàng)為數(shù)列的前107項(xiàng)，剔除數(shù)列的前7項(xiàng)的數(shù)列
設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，所以
.
13．答案：（1）①；②當(dāng)或時，最大；
（2）.
解析：（1）①由，，
得﹐解得，，
該等差數(shù)列的公差.
②由①知，所以，
則，
所以，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，
故當(dāng)或時，最大.
（2）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，則，
又，
所以或，
由，得，解得，
由，得，解得，
從而或或或，
又因?yàn)椤ⅰ⒁来纬傻炔顢?shù)列，得，而公比，
所以，即，
從而（*）
當(dāng)時，（*）式不成立；
當(dāng)時，解得；
當(dāng)時，（*）式不成立；
當(dāng)時，（*）式不成立．
綜上所述，滿足條件的.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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