資源簡介

解三角形拓展：
三角形中線，角平分線問題 、最值、取值范圍問題
一、必備知識分層透析
一、三角形中線問題以及定比分點線段長
方法1、向量法
如圖在中，為的中點，
如果不是中點，是幾等分點也可以用此法，結合定比分點公式。
方法2、角互補
在中有：;
在中有：
二、角平分線
如圖，在中，平分，角,,所對的邊分別為，，
方法1：內角平分線定理：
或
方法2：等面積法(使用頻率最高）
方法3：邊與面積的比值：（這個結論也可以結合定比分點公式應用）
二、重點題型分類研究
題型1: 向量化法、角互補法
題型2：三角形角平分線（比例法）
題型3：三角形角平分線（等面積法）
題型4：邊長周長面積最值問題
一般考慮結合基本不等式，也可以考慮函數化。有時可以構造隱圓。
題型5：邊長周長面積取值范圍問題
一般考慮三角函數化，有時可以構造隱圓。
題型1: 三角形中線問題（向量化法和角互補法）
例題1．銳角中，角、、所對的邊分別為、、，且
(1)求角的大??；
(2)若邊，邊的中點為，求中線長的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
（1）因為，所以，
即，
又因，所以
又由題意可知，
所以，因為，所以.
（2）
由余弦定理可得，
又，
則
，
由正弦定理可得，所以，
，
所以
，由題意得，解得，
則，
所以所以
所以所以中線CD長的取值范圍為
例題2．在①，②這兩個條件中任選一個作為已知條件，然后解答問題．
在中，角，，的對邊分別為，，，______．
(1)求角；
(2)若，，求的邊上的中線的長．
【答案】(1)
(2)
(1)解：（1）若選①，即，得，
，或（舍去），
，；
若選②：，
由正弦定理，得，
，，，則，，；
(2)
解：是的邊上的中線，，
，
，
．
例題3．在中，內角，，所對的邊長分別為，，，且滿足.
(1)求角；
(2)若邊上的中線長為，且，求的面積.
【答案】(1)
(2)
(1)因為，由正弦定理得，
所以，化簡得，
因為，所以，因為,所以；
(2)
設中線交于，則，
由余弦定理得，即，
化簡得，因為，所以，
所以.
題型2：三角形角平分線（比例法、等面積法）
例題1．在中，的角平分線與邊相交于點，滿足.
(1)求證：；
(2)若，求的大小.
【答案】(1)證明見解析
(2)
解析：（1）證明：因為為的角平分線，故，
在中，由正弦定理可得：①，
在中，由正弦定理可得：②，
由①和②可得，
又，故，
可得：，即；
（2）由題意可知，，由（1）知，不妨設.
在中，由余弦定理可得：，
即③，
在中，由余弦定理可得：，
即④，
由又，故，
由③和④可解得：，，
從而可得，，，
在中，由余弦定理得：，
又，故.
例題2．已知的內角的對邊分別為，滿足.
(1)求角；
(2)是的角平分線，若，的面積為，求的值.
【答案】(1)；
(2).
（1）由正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又， 則；
（2） 由面積公式得， 解得，
又是的角平分線， 則 ， 故.
， 則.
例題3．記的內角，，的對邊分別為，，，已知．
(1)求；
(2)若，為方程的兩個實數根，且的角平分線交于點，求．
【答案】(1)；
(2)2.
(1)依題意，，即，
在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：，
因，解得，
所以．
(2)依題意，，，而是的角平分線，則，
即，整理得，解得，
所以．
例題4．已知中，角，，所對的邊分別為，，，點在邊上，為的角平分線．．
(1)求；
(2)若，求的大?。?br/>【答案】(1)
(2)
（1），，即
由正弦定理可得
，
即
（2），即
設，則
，解得
例題5．如圖，在中，內角，，的對邊分別為，，．已知，，，且為邊上的中線，為的角平分線．
(1)求及線段的長；
(2)求的面積．
【答案】(1)，BC＝6
(2)
(1)∵，∴，∴，∴
由余弦定理得（負值舍去），即BC＝6.
(2)∵，，∴，∴，
∵AE平分∠BAC，，
由正弦定理得：，
其中，∴，
∵AD為BC邊的中線，∴，∴.
題型3：周長（邊長）（最值問題）
例題1．的內角，，的對邊分別為，，，.
(1)求；
(2)若，求周長的最大值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：由題意有，
即有，
由正弦定理得：，
又，所以，則，所以；
（2）解：由（1）知，因為，且的面積為，
由得：，所以，
由余弦定理得：，所以，
所以的周長為.
例題2．在中，分別是角的對邊，已知向量，設函數 .
(1)求的單調遞增區間；
(2)若 ，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
（1）因為，
由 ， 得 ，
所以 的單調增區間為.
（2）由 得 ，故，
因為，所以 ，故，得，
所以 ，又，，
，
又 ， 所以 ，故 ，
所以 最大值為 .
例題3．如圖，在平面四邊形中，．
(1)判斷的形狀并證明；
(2)若，，，求四邊形的對角線的最大值．
【答案】(1)直角三角形，證明見解析
(2)9
【詳解】（1）已知，由正弦定理可得：，
即
得，
，，
故，即為直角三角形．
（2）如圖，在BC上方作Rt△BCM使，且，
∴，
∴且
∴，由，，得，
在中，，
由，，得.
由，得，
∴，當M在AC上時等號成立，
∴．
20．（12分）類似拓展練習，構造相似快難得想。
如圖，在平面四邊形ABCD中，點B與點D分別在直線AC的兩側，.

(1)已知，且
（i）當時，求的面積；
（ii）若，求.
(2)已知，且，求AC的最大值.
【答案】(1)（i）；（ii）；
(2).
【分析】（1）（i）利用余弦定理結合已知求出，再借助等腰三角形性質求出面積；（ii）利用等腰三角形性質結合二倍角公式求解作答.
（2）連接，由已知結合余弦定理可得，，再利用余弦定理、二倍角公式、輔助角公式求解作答.
【詳解】（1）（i）設，在中，由余弦定理得，解得，
在中，，則底邊上的高，
所以的面積
（ii）設，依題意，，
則，，即，而，
所以.
（2）連接，中，，，

由余弦定理得，
則，，設，在中，，
于是，在中，，
由余弦定理得：，
則
，
當且僅當，即時取等號，
所以當時，，
所以AC的最大值是. 也可以構造。
【點睛】思路點睛：求三角形中線段長的最值問題，主要方法有兩種，一是找到邊之間的關系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉化為關于某個角的函數，利用函數思想求最值.第三點可以構造隱圓，第四點可以構造三角形相似。高中基本思想應該是轉化為角的三角函數。補充構造三角形的做法。
例題4．已知的內角、、所對的邊長分別為、、，且，若，，求：
(1)求的值；
(2)求的最大值.
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：由已知和正弦定理得，
由余弦定理可得，
所以.
（2）解：法一：，則，
由得，
即，
又中，
從而，
即，
所以（當且僅當時取等號），
故的最大值為.
法二：由
所以，，
即，
即，
所以（當且僅當時取等號），
故的最大值為.
例題5．在中，內角、、所對的邊分別為、、，且，.
(1)已知的面積滿足，求角；
(2)若邊上的中線為，求長的最小值.
答案：(1)A=,
(2)AD
題型4：面積最值問題
例題1．設，.
(1)求的單調遞增區間；
(2)在銳角中，、、的對邊分別為、、.若，，求面積的最大值.
【答案】(1)和
(2)
（1）
由題意，，
因為，所以，
由正弦函數的單調性可知，當或，
即或時，函數遞增，
所以的單調遞增區間是和.
（2）
由題意，，所以，
因為銳角，則，故，
由余弦定理，，故，
由基本不等式，，故，當b=c時等號成立
因此，，當時，面積取得最大值.
例題2．如圖，在扇形中，點為上一點，，分別為線段，上的點，且，，．
(1)求的大?。?br/>(2)若扇形的半徑為30，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
（1）在中，由正弦定理得：，又由余弦定理得：，化簡得：，
即，
解得：，（舍去），，則，
又，，，所以.
（2）連接，可得，設（），則，
在中，，在中，，
所以的面積
，
即（），
因為，所以，則當時，即為中點時，
的面積取得最大值.
例題3．已知在中，三個內角所對的邊分別為，且.
(1)求角的大??；
(2)若角為鈍角，且角的角平分線與邊相交于點，滿足，求的面積的最小值.
【答案】(1)或；
(2)
【詳解】（1）因為，由正弦定理得：.
因為,所以,所以.
因為，所以或.
（2）當時，，
所以，即（當且僅當時取等號），
解得：（當且僅當時取等號）.
所以（當且僅當時取等號）.
即的面積的最小值為.
例題4．在中，內角、、的對邊分別為、、，已知．
(1)求角的大??；
(2)設，是所在平面上一點，且與點分別位于直線的兩側，如圖，若，，求四邊形面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
(1)．由正弦定理得，∵sinC≠0，
∴，
即．∴，即．
∵0(2)在△BCN中，由余弦定理得，∵BN＝6，CN＝3，
∴
由（1）和b＝c，得△ABC是等腰直角三角形，于是，
∴四邊形ABCD的面積
∴當時，S取最大值，
即四邊形ABCD的面積的最大值是．
題型5：三角形周長（邊長）（范圍問題）
例題1．銳角中，角，，所對邊的長分別為，，，．
(1)求的大小；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）由正弦定理，，故.
又為銳角三角形，故，故，即，解得.
（2）由正弦定理，即，又，故.
由正弦定理可得.因為，且為銳角三角形，故,且，可得.
故，即，故，即b的取值范圍為
例題2．在銳角中，內角，，所對的邊分別為，，，已知向量、滿足：，，且．
(1)求角；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）因 ，且，
于是有，即，
在中，由正弦定理得：，而，
于是得，又A為銳角，所以．
（2）是銳角三角形，由（1）知，，
于是有，且，從而得，
而，由正弦定理得，
則，，
則有，
而，則，即,所以的取值范圍．
例題3．已知向量，，函數.在中，內角的對邊分別為，且.
(1)求的大??；
(2)若，且的面積，求周長的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：因為，，，
所以
，
又，所以.
所以，.
因為，
所以.
（2）解：由（1）知，所以.
因為，所以，所以.
由余弦定理得.
又，所以.
因為的周長，
所以，即周長的取值范圍為.
例題4．已知的三個內角，，所對的邊分別為，，，若，的面積．
(1)求；
(2)求周長的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）由題意得：
，
由正弦定理得：，
根據余弦定理可知，又
所以，得，
因為，
所以；
（2）法一：，
因為，即，
即，解得：，當時等號成立，
又，
所以，
所以，
綜上，周長的取值范圍．
方法二：=由正弦定理．
∴又．
∴
∵，∴
∴，
∴，
∴．
綜上，周長的取值范圍．
題型6：三角形面積（范圍問題）
例題1．中，角、、所對的邊分別為，，且
(1)求角的大??；
(2)若，求的面積的取值范圍．
【答案】(1)C
(2)
【詳解】（1）由題意得，2sin21+cos2C，
∴ ，
又，
∴ ，解得cosC或1，
∵ ，∴cosC，則C；
（2）∵C，c，
∴由余弦定理得， ，
所以，解得 ，
∴ ，解得 ，當且僅當a=b=1時取等號，
∴△ABC的面積，
∴△ABC的面積S的取值范圍是．
例題2．在中，角的對邊分別為，且．
(1)求；
(2)若，且為銳角三角形，求的面積的取值范圍．
【答案】(1)B(2)
（1）解：∵，
由正弦定理可得：，
又∵，
∴，即：
∵，
∴，即
（2）解：為銳角三角形，所以，解得，
∵，由正弦定理得，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴的面積的取值范圍為．
例題3．在銳角中，內角，，所對的邊分別為，，．已知
①，②，③，
從這三個條件中任選一個，回答下列問題，
(1)求角；
(2)若，求面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(1)若選①，由，得，
即，
∴．
又∵銳角，∴，∴．
若選②，由，，
∴，∴．
又∵銳角，∴，∴．
若選③，∵，
由正弦定理，得，
即，由余弦定理，得．
又∵銳角，∴，∴．
(2)
由正弦定理，得．
∴
．
∵銳角，∴且，∴，
∴，∴，
∴，
∴面積的取值范圍為解三角形拓展：
三角形中線，角平分線問題 、最值、取值范圍問題
一、必備知識分層透析
一、三角形中線問題以及定比分點線段長
方法1、向量法
如圖在中，為的中點，
如果不是中點，是幾等分點也可以用此法，結合定比分點公式。
方法2、角互補
在中有：;
在中有：
二、角平分線
如圖，在中，平分，角,,所對的邊分別為，，
方法1：內角平分線定理：
或
方法2：等面積法(使用頻率最高）
方法3：邊與面積的比值：（這個結論也可以結合定比分點公式應用）
二、重點題型分類研究
題型1: 向量化法、角互補法
題型2：三角形角平分線（比例法）
題型3：三角形角平分線（等面積法）
題型4：邊長周長面積最值問題
一般考慮結合基本不等式，也可以考慮函數化。有時可以構造隱圓。
題型5：邊長周長面積取值范圍問題
一般考慮三角函數化，有時可以構造隱圓。
題型1: 三角形中線問題（向量化法和角互補法）
例題1．銳角中，角、、所對的邊分別為、、，且
(1)求角的大小；
(2)若邊，邊的中點為，求中線長的取值范圍．
例題2．在①，②這兩個條件中任選一個作為已知條件，然后解答問題．
在中，角，，的對邊分別為，，，______．
(1)求角；
(2)若，，求的邊上的中線的長．
例題3．在中，內角，，所對的邊長分別為，，，且滿足.
(1)求角；
(2)若邊上的中線長為，且，求的面積.
題型2：三角形角平分線（比例法、等面積法）
例題1．在中，的角平分線與邊相交于點，滿足.
(1)求證：；
(2)若，求的大小.
例題2．已知的內角的對邊分別為，滿足.
(1)求角；
(2)是的角平分線，若，的面積為，求的值.
例題3．記的內角，，的對邊分別為，，，已知．
(1)求；
(2)若，為方程的兩個實數根，且的角平分線交于點，求．
例題4．已知中，角，，所對的邊分別為，，，點在邊上，為的角平分線．．
(1)求；
(2)若，求的大?。?br/>例題5．如圖，在中，內角，，的對邊分別為，，．已知，，，且為邊上的中線，為的角平分線．
(1)求及線段的長；
(2)求的面積．
題型3：周長（邊長）（最值問題）
例題1．的內角，，的對邊分別為，，，.
(1)求；
(2)若，求周長的最大值.
例題2．在中，分別是角的對邊，已知向量，設函數 .
(1)求的單調遞增區間；
(2)若 ，求的最大值.
例題3．如圖，在平面四邊形中，．
(1)判斷的形狀并證明；
(2)若，，，求四邊形的對角線的最大值．
練習． 如圖，在平面四邊形ABCD中，點B與點D分別在直線AC的兩側，.

(1)已知，且
（i）當時，求的面積；
（ii）若，求.
(2)已知，且，求AC的最大值.
例題4．已知的內角、、所對的邊長分別為、、，且，若，，求：
(1)求的值；
(2)求的最大值.
例題5．在中，內角、、所對的邊分別為、、，且，.
(1)已知的面積滿足，求角；
(2)若邊上的中線為，求長的最小值.
題型4：面積最值問題
例題1．設，.
(1)求的單調遞增區間；
(2)在銳角中，、、的對邊分別為、、.若，，求面積的最大值.
例題2．如圖，在扇形中，點為上一點，，分別為線段，上的點，且，，．
(1)求的大??；
(2)若扇形的半徑為30，求面積的最大值．
例題3．已知在中，三個內角所對的邊分別為，且.
(1)求角的大?。?br/>(2)若角為鈍角，且角的角平分線與邊相交于點，滿足，求的面積的最小值.
例題4．在中，內角、、的對邊分別為、、，已知．
(1)求角的大?。?br/>(2)設，是所在平面上一點，且與點分別位于直線的兩側，如圖，若，，求四邊形面積的最大值．
練習4．從①；②；③；
這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答．在銳角中，分別是角的對邊，若________________．
(1)求角的大??；
(2)求取值范圍；
(3)當取得最大值時，在所在平面內取一點（與在兩側），使得線段，求面積的最大值．（類似拓展練習均是將邊轉化為角表示，只是角多角少的問題，一個是兩個角，一個是一個角）將邊轉化為角的三角函數。需要整理，還可以考慮相似三角形試試。
題型5：三角形周長（邊長）（范圍問題）
例題1．銳角中，角，，所對邊的長分別為，，，．
(1)求的大小；
(2)若，求的取值范圍．
例題2．在銳角中，內角，，所對的邊分別為，，，已知向量、滿足：，，且．
(1)求角；
(2)若，求的取值范圍．
例題3．已知向量，，函數.在中，內角的對邊分別為，且.
(1)求的大??；
(2)若，且的面積，求周長的取值范圍.
例題4．已知的三個內角，，所對的邊分別為，，，若，的面積．
(1)求；
(2)求周長的取值范圍．
題型6：三角形面積（范圍問題）
例題1．中，角、、所對的邊分別為，，且
(1)求角的大?。?br/>(2)若，求的面積的取值范圍．
例題2．在中，角的對邊分別為，且．
(1)求；
(2)若，且為銳角三角形，求的面積的取值范圍．
例題3．在銳角中，內角，，所對的邊分別為，，．已知
①，②，③，
從這三個條件中任選一個，回答下列問題，
(1)求角；
(2)若，求面積的取值范圍．

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