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平均數教學的研究與思考
各位老師，大家下午好，今天主要與大家的分享平均數教學的一些研究與思考，主要從以下三方面展開。
一、平均數的歷史與啟示
在歷史上，平均數最早是怎樣的呢？據說平均數最早是用來估計大數的，在公元4世紀，古印度有這樣一個故事：一棵枝葉茂盛的大樹長有兩條大的樹枝，國王圖潘納（Rtuparna）需要估計這兩條樹枝上樹葉的數目。他首先估計了根部的一條細枝上樹葉的數目，然后乘以樹枝上所有細枝的數目，得到估計值為2095。經過一夜的計數，最后證明圖潘納的估計十分接近實際的數目。
相信大家聽完這個故事都已經想到了，圖潘納選擇的一定是一條不是很大，也不是很小，而是平均大小的細枝作為代表，也就相當于我們現在的平均數。
那么這個歷史故事給我們帶來怎樣的啟示呢？首先，有一點很明確，那就是要解決一個問題需要有數據，所以，第一步就要去采集數據、收集數據；其次，需要選用合適的數據，也就是對數據有一定的梳理、選擇；最后，用合適的數據作為代表，進行推斷。所以平均數基本的基因為了解決問題，很明顯有統計的元素，這里蘊含著根據數據進行推斷的思想。
所以我們上平均數這樣的課，要讓學生經歷數據產生的過程，感受數據的代表性，體會數據背后蘊含著信息。而且我們不能求出平均數就戛然而止，應該在實際解決問題中關注平均數的推斷功能，等等。
這就是這種1600多年前的思想對我們現在的啟示。當然這種啟示還是比較初步的。要進一步獲得教學上的啟示，我們還要關注平均數的概念。那么平均數標準的概念到底是怎樣的呢？
二、平均數的概念與特征
1.平均數的概念
《辭海》中是這樣來定義平均數的“平均數是數據集的中心值，代表數據的一般水平”；數學課程標準（2022年版）解讀中是這樣說的“平均數的本質是刻畫一組數據的整體水平，反映數據的集中趨勢，具有代表性；百度百科是這樣定義的“平均數，統計學術語，是表示一組數據集中趨勢的量數。所以無論是哪個定義哪種說法，關鍵都是代表一組數據的整體水平（一般水平），反映數據的集中趨勢（或中心值），那么一組數據的集中趨勢是什么意思呢？數學辭海中是這樣來表述的，集中趨勢量數，統計學的基本概念之一。指統計學中反映本頻率分布基本特征的一類統計量。它是反映樣本頻率分布中大量數據向哪一點集中這種趨勢的量。如果要講得再直觀一點，我想用竺老師課中的這個板書，10、5太高太低，8、6偏高偏低，這樣數據不斷逼近，到最后移多補少剛剛好，這個過程是不是能較為直觀地體會到“集中趨勢”的含義。
所以我們也有老師是這樣來定義平均數的“平均數就是通過移多補少變得一樣多的那個數”，這樣的定義也挺直觀的，當然，這是一個從平均數外在表現來給出的一個定義，它本質上也是體現了數據的集中趨勢。
2.平均數的特征
那么作為數據集中趨勢的平均數有怎樣的特征呢？平均數的特征是非常多的，最常見的是以下三個特征：
（1）平均數的范圍：介于最大值和最小值之間，即平均數比最小的數大一些，比最大的數小一些。我們還是以這頁板書為例，竺老師課中這樣從大到小的排列，就是體現平均數的范圍，而且通過太大太小多次變化讓平均數所在的范圍更為聚焦。
（2）平均數的虛擬性：一組數據的平均數不一定是這一組數據中的數。竺老師設計的數據里沒有7，而且課堂上特意強調：“沒有7，為什么選擇7”，這就是體現平均數是一個虛擬的數。
（3）平均數的敏感性：任何一個數據改變，平均數都會變。當然敏感性最強烈的體現還是在極端數據的影響。本課中竺老師沒有體現，在后續的練習中可能會有所涉及。當然一節課里不是什么都需要體現的，所有的都想體現可能所有的反而都變淡了。
老師們，現在平均數的歷史與啟示我們知道了，它的概念與特征也清晰了，那么平均數的教學該如何開展呢。下面我們就來講講平均數的教學與反思。
三、平均數的教學與思考
1.情境的創設
我們首先來看一下情景的創設與使用。教材中呈現的情景主要有以下三種：
為了便于大家進一步思考，我們把這三種情景做了如下歸納：方式一：用兩組數據（個數不相等）的比較為由，引導學生“想到”平均數。方式二：用一組數據求一個代表值為由，引導學生“發現”平均數。方式三：用一組數據先引出平均數的概念，再用兩組數據的比較讓學生運用平均數。老師們，你最喜歡哪一個情景呢？
蘇教版干擾因素多，學生經常會說，為什么人數不相等，這樣不公平。比較時思維較為發散，有的會說比最大、比總數，還有學生糾結女生去掉一個人或是男生增加一個等等。討論起來比較復雜，難以直接指向“代表值”。簡單來說就是很繞。這個情景有點運用”平均數解決問題的味道。如果已經學會了平均數，然后運用平均數來比較倒是可以的，所以，我覺得這個不是最理想的。
北師大版一組數據，清楚簡單，我覺得是扣住平均數概念的本質的，就是一組數據的代表值。當然它也有不足，就是例題上沒有體現出來知識的運用，也就是平均數的運用不會一直都在一組數據中，兩組數據甚至多組數據，數據個數不一樣時的比較，是平均數非常重要的運用。當然它后面的習題中是有的，不過例題中沒有。
再看人教版，人教版看上去很好，一個是平均數的概念，一個是平均數的運用，兩全其美。但是，仔細推敲，這個方案也有一個不足。例1是直接讓學生去求平均每人收集多少個，那么為什么要求平均每人收集多少個呢，這么做的意義在哪里呢，教材都沒有呈現，只是告知學生這個數是平均數，這樣的情景驅動性不強。所以我們要表述一個重要的觀點：若按這樣的教學路徑，一些重要的問題學生就無需思考——為什么要算平均數？沒有理由干嘛要算平均數呢。平均數到底有什么好？其他的數為什么不選？平均數究竟是什么？等等，這些都不需要考慮了，這樣的話，哪里還需要研究它的集中趨勢，關于平均數的現實意義都不見了。
所以我覺得三版教材比較而言，人教版的例1是編得最不理想的。這個例題，沒有揭示平均數產生的必要性，沒有展現出作為“統計意義”背景下的平均數教學的要求。所以像這樣的內容，這樣的編排，跟課改以前是一樣的。不信，以下是96年的教材，你可以對比一下，是不是差不多，就是先記住公式，然后會靈活地計算。
當然，我們現在的教學肯定不能這么教，我們需要的是“統計意義”背景下的平均數教學，體現平均數是表示一組數據集中趨勢的統計量，反映了一組數據的一般情況（或整體水平）。所以，我們更傾向于選擇一組數據，基于現實需求產生一組數據，需要代表值。然后要理解現實意義，解決現實問題，也就是數據來源于相對真實的情境，要盡可能讓學生經歷數據的收集、整理、表達、分析等體現統計特征的過程。
所以，竺老師的課例1就選擇這樣的情境，這是一個模擬數據產生的盡可能真實的情境，能引發求代表值的現實需求。所以竺老師這一塊教學的重點是研究這個數據究竟好在哪里？例2還是兩組數據，不過與人教版例2相比有一個微調，變成了籃球比賽，這個情境好在哪里呢？是的，更為真實，比賽還是同樣的人，但現實中的確會出現缺賽這樣的情況。讓學生再次面對在“真實情境”產生的數據，從而主動分析。例2就是調用例1的經驗，在“真實情境”中主動運用知識解決問題。
情境的創設，突出的是一個真實，當然也是打影號的，是相對的真實，盡可能的真實。
2.過程的展開
看完了情境分析，我們來看一下這節課的環節展開。相信大家已經看出來，這節課的核心環節主要有兩個，第一個就是平均數的概念，第二個就是平均數的運用。
（1）平均數的概念圍繞兩大問題：“平均數有什么好處”、“平均數為什么可以這樣計算”。首先，是“平均數有什么好處”，也就是淘汰其他數字，確定數字7的整個過程，這個過程中竺老師緊緊圍繞 “整體水平”這個詞。淘汰其他數字是因為它們太高、太低或偏高、偏低，不能代表整體水平，確定數字7是因為它不高不低可以代表整體水平，出現統計圖中的那條線，也是表示它代表的是整體水平。其次，是“平均數為什么可以這樣計算”，這個部分從表面上看，是在讓學生解釋平均數為什么這么算，而這個環節真正的意圖，它的本質是在打通“求和均分”與“移多補少”，它們都是把每個數據變得一樣多，是殊途同歸。這樣學生就不會只是記住一個公式，這樣的打通進一步促進學生對平均數本質的理解。
（2）平均數的運用分為正向運用與逆向運用。在籃球比賽這樣一個較為真實的情境下，因小剛第四場未上場，導致比賽場次不同，比總數不合適，比最高、最低分也不能代表整體水平，從而引導學生比平均數，體現出平均數的作用。在練習環節通過“知道平均分求一門學科的成績”這樣逆向的思考，加深對平均數的運用。在這樣不同的正、逆向的運用中強化學生對平均數的理解，理解平均數的統計意義。
所以，在整個平均數的教學與思考中，我們的核心觀點是讓學生親近數據，愛上數據。為此我們努力在體現以下兩點：讓學生親歷統計活動的過程，獲得（或盡可能接受）真實的數據；讓學生親近數據，能主動地、深入地嘗試“研究”數據，切實體會數據的價值。這也就是在培養學生的數據意識。
各位老師，今天關于平均分的內容已經基本講完了，但是大家有沒有發現竺老師的課中還有一個很明顯的特點，是的，學生提問。相信大家也看到了有這樣一個環節，這個環節挑戰性比較大，課上也比較費時間（大概5分鐘），這就是在顧特引領下，我們團隊一直以來研究的生問課堂。那么大家想想看這樣做有什么價值呢？為什么不師問，而要生問呢？因為學生能夠主動提出問題，不僅教學更有驅動性，學生更能主動探究，事實上學生提出問題的過程也是對這些數據在思考、在分析的過程，有助于學生數據意識的培養，實現“統計意義”背景下的平均數教學目標。
以上便是我對于平均數教學的一些思考，非常感謝顧特的指導，感謝大家的傾聽，不足之處希望能夠得到顧特、萬老師和各位老師的批評與指正，謝謝大家。

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