資源簡介

專題 20 磁場對運動電荷的作用
考點 考情 命題方向
考點 帶電粒子在 2024 年高考河北卷 1.帶電粒子在直線邊界磁場中
有邊界的磁場中運 2024 年高考廣西卷 的運動是高考考查頻率較高的
動 2023 年高考湖北卷 知識，直線邊界包括矩形邊
2023 年 6 月江高考選考 界、三角形邊界、多邊形邊
2023 年高考全國甲卷 界、坐標軸邊界平行直線邊界
2022 年高考遼寧物理 等。
2.帶電粒子在圓形邊界磁場中
的運動考查主要為：環(huán)形邊
界、圓形邊界、扇形邊界等，
臨界問題的考查有增加的趨
勢。
題型一 對洛倫茲力的理解和應用
1．洛倫茲力
磁場對運動電荷的作用力叫洛倫茲力．
2．洛倫茲力的方向
(1)判定方法
左手定則：掌心——磁感線垂直穿入掌心；
四指——指向正電荷運動的方向或負電荷運動的反方向；
大拇指——指向洛倫茲力的方向．
(2)方向特點：F⊥B，F(xiàn)⊥v，即 F 垂直于 B 和 v 決定的平面(注意：洛倫茲力不做功)．
3．洛倫茲力的大小
(1)v∥B 時，洛倫茲力 F＝0.(θ＝0°或 180°)
(2)v⊥B 時，洛倫茲力 F＝qvB.(θ＝90°)
(3)v＝0時，洛倫茲力 F＝0.
[模型演練1] （2024 陜西一模）我國最北的城市漠河地處高緯度地區(qū)，在晴朗的夏夜偶爾會出現(xiàn)美
麗的彩色“極光”。極光是宇宙中高速運動的帶電粒子受地球磁場影響，與空氣分子作用的發(fā)光
現(xiàn)象，若宇宙粒子帶正電，因入射速度與地磁方向不垂直，故其軌跡偶成螺旋狀如下圖（相鄰
兩個旋轉圓之間的距離稱為螺距Δx）。下列說法正確的是（　　）
A．帶電粒子進入大氣層后與空氣發(fā)生相互作用，在地磁場作用下的旋轉半徑會越來越大
B．若越靠近兩極地磁場越強，則隨著緯度的增加，以相同速度入射的宇宙粒子的半徑越大
C．漠河地區(qū)看到的“極光”將以逆時針方向（從下往上看）向前旋進
D．當不計空氣阻力時，若入射粒子的速率不變僅減小與地磁場的夾角，則旋轉半徑減小，而螺
距Δx 增大
【解答】解：A．帶電粒子進入大氣層后，由于與空氣相互作用，粒子的運動速度會變小，根據(jù)
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
2
qvB = m

解得：r =
由半徑公式可知，在地磁場作用下的旋轉半徑會越來越小，故 A 錯誤；
B．若越靠近兩極地磁場越強，則隨著緯度的增加地磁場變強，其他條件不變，由偏轉半徑公式

r =
可知，宇宙粒子的半徑變小，故 B 錯誤；
C．漠河地區(qū)的地磁場豎直分量是豎直向下的，水平分量向北，宇宙粒子入射后，由左手定則可
知，從下往上看將以順時針的方向向前旋進，故 C 錯誤；
D．當不計空氣阻力時，將帶電粒子的運動沿磁場方向和垂直于磁場方向進行分解，沿磁場方向
將做勻速直線運動，垂直于磁場方向做勻速圓周運動，若帶電粒子運動速率不變，與磁場的夾角
變小，則速度的垂直分量變小，故粒子在垂直于磁場方向的運動半徑會減少，即直徑 D 減小，而
速度沿磁場方向的分量變大，故沿磁場方向的勻速直線運動將變快，則螺距Δx 將增大，故 D 正
確。
故選：D。
[模型演練2] （2024 平谷區(qū)模擬）圖示照片是 2023 年 12 月 1 日晚網(wǎng)友在北京懷柔拍攝到的極光。
當太陽爆發(fā)的時候，就會發(fā)生日冕物質(zhì)拋射，一次日冕物質(zhì)拋射過程能將數(shù)以億噸計的太陽物
質(zhì)以數(shù)百千米每秒的高速拋離太陽表面。當日冕物質(zhì)（帶電粒子流）與地球相遇后，其中一部
分會隨著地球磁場進入地球南北兩極附近地區(qū)的高空，并與距離地面一百到四百千米高的大氣
層發(fā)生撞擊，撞擊的過程伴隨著能量交換，這些能量被大氣原子與分子的核外電子吸收之后，
又快速得到釋放，釋放的結果就是產(chǎn)生極光。綠色與紅色極光便是來自氧原子，紫色與藍色極
光則往往來自氮原子。則下列說法中最合理的是（　　）
A．若帶正電的粒子流，以與地球表面垂直的方向射向赤道上空的某一點，在地球磁場的作用下
將會向西偏轉
B．地球南北兩極附近的地磁場最強。但在兩極附近，地磁場對垂直射向地球表面的帶電粒子的
阻擋作用最弱
C．若氮原子發(fā)出紫色極光的光子能量為 E0，則與該氮原子核外電子發(fā)生撞擊的帶電粒子的能
量也為 E0
D．若氧原子的核外電子吸收能量為 E0 的光子后，則該氧原子就會放出能量為 E0 的光子
【解答】解：A、帶正電的粒子流的方向從上而下射向地球表面，地磁場方向在赤道的上空從南
指向北，根據(jù)左手定則，洛倫茲力的方向向東，所以質(zhì)子向東偏轉，故 A 錯誤；
B、地球南北兩極附近的地磁場最強。但在兩極附近，地磁場的方向沿南北方向的分量最小，所
以地磁場對垂直射向地球表面的帶電粒子的阻擋作用最弱，故 B 正確；
C、若氮原子發(fā)出紫色極光的光子能量為 E0，根據(jù)玻爾理論，則與該氮原子核外電子吸收的能量
值一定大于等于 E0，與之發(fā)生撞擊的帶電粒子的能量一定是大于等于 E0，故 C 錯誤；
D、根據(jù)玻爾理論，氧原子的核外電子吸收能量為 E0 的光子后，該氧原子可能會放出能量為 E0
的光子，也可能會放出能量小于 E0 的光子，故 D 錯誤。
故選：B。
[模型演練3] （2023 玉林三模）2021 年中國全超導托卡馬克核聚變實驗裝置創(chuàng)造了新的紀錄。為
粗略了解等離子體在托卡馬克環(huán)形真空室內(nèi)的運動狀況，某同學將一小段真空室內(nèi)的電場和磁
場理想化為方向均水平向右的勻強電場和勻強磁場（如圖），電場強度大小為 E，磁感應強度大
小為 B。若某電荷量為 q 的正離子在此電場和磁場中運動，其速度平行于磁場方向的分量大小
為 v1，垂直于磁場方向的分量大小為 v2，不計離子重力，則（　　）
A．電場力的瞬時功率為 qE v21 + 22
B．該離子受到的洛倫茲力大小為 qv1B
C．v2 與 v1 的比值不斷變大
D．該離子的加速度大小不變
【解答】解：A、該粒子所受電場力的瞬時功率是電場力與沿電場力方向速度的乘積，所以 P＝
qEv1，故 A 錯誤；
B、v2 與 B 垂直，所以該粒子所受洛倫茲力大小 f＝qv2B，故 B 錯誤；
C、速度 v1 的方向與磁感應強度 B 方向相同，該分速度不受洛倫茲力作用；v2 方向與 B 垂直，粒
子在垂直于磁場方向平面內(nèi)做勻速圓周運動，洛倫茲力不做功，v2 不變；粒子沿電場方向做加速
運動，v1 不斷增大，則 v2 與 v1 的比值不斷減小，故 C 錯誤；

D、粒子做勻速圓周運動的向心加速度 a 向大小不變，電場力產(chǎn)生的加速度 a 電 = ，q、E、m 不
變，a 電不變，a 向、a 電大小都不變，兩者方向垂直，粒子的加速度不變，故 D 正確。
故選：D。
題型二 帶電粒子做圓周運動分析思路
1．勻速圓周運動的規(guī)律
若 v⊥B，帶電粒子僅受洛倫茲力作用，在垂直于磁感線的平面內(nèi)以入射速度 v 做勻速圓周運動．
2．圓心的確定
(1)已知入射點、出射點、入射方向和出射方向時，可通過入射點和出射點分別作垂直于入射方向和
出射方向的直線，兩條直線的交點就是圓弧軌道的圓心(如圖甲所示，P 為入射點，M 為出射點)．
(2)已知入射方向、入射點和出射點的位置時，可以通過入射點作入射方向的垂線，連接入射點和出
射點，作其中垂線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌跡的圓心(如圖乙所示，P 為入射點，M 為出射
點)．
3．半徑的確定
可利用物理學公式或幾何知識(勾股定理、三角函數(shù)等)求出半徑大小．
4．運動時間的確定
粒子在磁場中運動一周的時間為 T，當粒子運動的圓弧所對應的圓心角為 θ時，其運動時間表示為
θ θR
t＝ T(或 t＝ )．
2π v
[模型演練4] （2024 江西模擬）如圖所示，粒子甲垂直 ab 邊界進入垂直紙面向外的勻強磁場時發(fā)
生核反應：甲→乙+丙，產(chǎn)生的乙和丙粒子垂直經(jīng)過磁場的軌跡如圖所示。已知乙和丙的電荷量
大小相等，軌跡半徑之比為 5：3，不計重力及空氣阻力，則（　　）
A．甲帶正電
B．乙?guī)ж撾?br/>C．甲、乙的動量大小之比為 8：5
D．乙、丙的動量大小之比為 1：1
【解答】解：AB、粒子乙在磁場中順時針偏轉，粒子丙在磁場中逆時針偏轉，由左手定則判斷，
乙?guī)д姡麕ж撾姟Ｒ阎液捅碾姾闪看笮∠嗟龋鶕?jù)電荷守恒定律，可知甲不帶電，故
AB 錯誤；
CD、粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，可得：
2
qvB＝m
又有動量 p＝mv
聯(lián)立可得：p＝qBr
可見粒子的動量大小與圓周運動半徑為正比關系，已知乙和丙的電荷量大小相等，軌跡半徑之比
為 5：3，則乙、丙的動量大小之比為 p 乙：p 丙＝5：3。
粒子甲發(fā)生核反應的過程滿足動量守恒定律，以甲的運動方向為正方向，則有：
p 甲＝p 乙+p 丙，可得甲、乙的動量大小之比為 8：5，故 C 正確，D 錯誤。
故選：C。
[模型演練5] （2024 湖北三模）帶電粒子在磁場中運動時，我們可以根據(jù)粒子的運動軌跡尋找到很
多美麗的對稱圖形。空間中一圓形區(qū)域內(nèi)有磁感應強度大小為 B 的勻強磁場，區(qū)域外為磁感應
強度大小相同、方向相反的勻強磁場，一帶電粒子從某處以正對虛線圓圓心方向入射，通過改
變帶電粒子速度，可得到如圖甲、乙所示軌跡（虛線為磁場邊界，實線為帶電粒子運動軌跡），
則兩圖中粒子的速度之比為（　　）
A．2：1 B． 3：1 C． 2：1 D．1：1
【解答】解：由幾何關系可知甲圖中帶電粒子在磁場內(nèi)部時轉過的角度為 90°，可知做圓周運動
的半徑等于圓形區(qū)域半徑 r1＝R
3
而乙圖中帶電粒子在磁場內(nèi)部轉過的角度為 120°，則r2 = 30° = 3
2
根據(jù)qvB =

可得v =
速度之比等于圓周運動的半徑之比，故兩圖中粒子的速度之比為 3：1。
故 ACD 錯誤，B 正確。
故選：B。
[模型演練6] （2024 昌平區(qū)二模）如圖為用于電真空器件的一種磁聚焦裝置示意圖。螺線管內(nèi)存在
磁感應強度為 B、方向平行于管軸的勻強磁場。電子槍可以射出速度大小均為 v，方向不同的
電子，且電子速度 v 與磁場方向的夾角非常小。電子電荷量為 e、質(zhì)量為 m。電子間的相互作
用和電子的重力不計。這些電子通過磁場會聚在熒光屏上 P 點。下列說法錯誤的是（　　）
2
A．電子在磁場中運動的時間可能為
2
B．熒光屏到電子入射點的距離可能為
1
C．若將電子入射速度變?yōu)? ，這些電子一定能會聚在 P 點
D．若將電子入射速度變?yōu)?2v，這些電子一定能會聚在 P 點
【解答】解：由題圖可知，螺線管內(nèi)磁場方向水平向右，將粒子速度沿水平方向、豎直方向正交
分解，則粒子水平方向做勻速直線運動，豎直方向做勻速圓周運動，粒子螺旋式前進，設螺線管
長為 L，若這些電子通過磁場匯聚在熒光屏上 P 點，則需滿足：

= nT（n＝1，2，...3）
2
T 為粒子豎直方向做圓周運動的周期，又因為：evyB＝m
2 2
解得周期為：T = =
2
聯(lián)立可得： = （n＝1，2，3...）
因為電子速度 v 與磁場方向的夾角非常小，所以：vx＝v
2
可見，粒子的速度只要滿足： = （n＝l，2，3....）
即粒子的運動時間為粒子做圓周運動周期的整數(shù)倍，粒子就可以匯聚到 P 點。
A、由上述分析可知，若電子在磁場中豎直方向只轉動一周就到達 P 點，則運動的時間可能為
2
，故 A 正確；
2
B、若電子在磁場中豎直方向只轉動一周就到達 P 點，則：L＝vT = ，故 B 正確；
2 1
C、由上述分析可知當粒子速度為 v 時，L = v（n＝1，2，3...），故當粒子速度為2v 時，L =
2 ′ 1
×
2
（n′＝2，4，6...），即粒子的運動時間仍然為粒子做圓周運動周期的整數(shù)倍，故這
些電子一定能匯聚在 P 點，故 C 正確；
2 ″ 1 3
D、當粒子速度為 2v 時，L = × 2v（n″ = 2，1，2...），即粒子的運動時間不是總等于粒
子做圓周運動周期的整數(shù)倍，故這些電子不一定能匯聚在 P 點，故 D 錯誤。
本題選錯誤的。故選：D。
題型三 帶電粒子在有界勻強磁場中的圓周運動
帶電粒子在有界磁場中運動的幾種常見情形
1．直線邊界(進出磁場具有對稱性，如圖所示)
2．平行邊界(存在臨界條件，如圖所示)
3．圓形邊界(沿徑向射入必沿徑向射出，如圖所示)
4．分析帶電粒子在勻強磁場中運動的關鍵是：
(1)畫出運動軌跡；
(2)確定圓心和半徑；
(3)利用洛倫茲力提供向心力列式．
類別 特點 圖示
進出磁
直線
場具有
邊界
對稱性
平行
存在臨界條件
邊界
沿徑向射
圓形
入必沿徑
邊界
向射出
環(huán)形
與邊界相切
邊界
類型 1 帶電粒子在直線邊界磁場中運動
1
[模型演練7] （2024 成都模擬）如圖所示，xOy 直角坐標系的第一象限內(nèi)，半徑為 a 的4圓弧外存
在范圍足夠大的勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里。位于 O 點的粒子源向第一象限內(nèi)的各個

方向均勻發(fā)射完全相同的帶正電的粒子，粒子速度大小均為 v，比荷 = k。經(jīng)過一段時間后發(fā)
1
現(xiàn)發(fā)射出的總粒子中有3的粒子可以回到 O 點，不考慮粒子的重力及粒子間的相互作用，則磁
感應強度大小為（　　）
3 3 A B C 3
3
． ． ． D．
3 3
【解答】解：根據(jù)題意，粒子向上偏轉，沿著 x 軸正方向發(fā)射的粒子一定沿著與 x 軸正方向成
60°的半徑返回 O 點，粒子運動的臨界軌跡如圖所示
根據(jù)幾何知識有

tan30° =
粒子做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有
2
qvB = m

聯(lián)立解得
3
B = ，故 ABC 錯誤，D 正確。

故選：D。
[模型演練8] （多選）（2024 鄭州模擬）如圖所示，邊長為 a 的正方形 MNPQ 區(qū)域內(nèi)有一方向垂直

正方形平面向外的勻強磁場，NP 邊上有一點 S，SN = 4。兩個質(zhì)量相同、帶等量異種電荷的粒
子均從 S 點平行于 MN 方向射入磁場。帶正電粒子甲與帶負電粒子乙重力均不計，不考慮甲、
乙兩粒子間的作用。下列說法正確的是（　　）
A．若兩粒子在磁場中運動的時間相等，則甲與乙的初速度大小之比一定為 1：3
B．若兩粒子的初速度相同，則甲與乙在磁場中運動的時間之比可能為 1：2
C．若其中一個粒子垂直 PQ 邊射出磁場，則甲與乙在磁場中運動時間之比一定不大于 2：1
D．若兩粒子分別從 M、Q 兩點射出磁場，則甲與乙的初速度大小之比恰好為 2：1
【解答】解：設勻強磁場的磁感應強度為 B，帶電粒子的電荷量為 q，質(zhì)量為 m，初速度為 v，
運動半徑為 r，根據(jù)牛頓第二定律，由洛倫茲力提供向心力有
2
qvB = m


解得：r =
根據(jù)勻速圓周運動規(guī)律可得粒子運動周期為
2
T =
若粒子運動軌跡所對應的圓心角為 α，則粒子在磁場中運動時間為

t = 2 =
A.若兩粒子在磁場中運動的時間相等，則兩粒子在磁場中的轉過的圓心角相等，由此可見 v1 和
1 1
v2 取值具有不確定性，根據(jù)數(shù)學知識可知 可以取任意值，不一定為3，只有當正粒子恰好從 N2
1 1
點射出，且負粒子恰好從 P 點射出時， 才等于3，故 A 錯誤；2

B.若兩粒子的初速度相同，則兩粒子的運動半徑相同，當正粒子的運動半徑為4時，它將垂直 MN
邊射出，轉過的圓心角為 90°。而負粒子將從 NP 邊射出，轉過的圓心角為 180°，所以二者在
磁場中運動的時間之比為 1：2，故 B 正確；
C.若其中一個粒子（即負粒子）垂直 PQ 邊射出磁場，則其轉過的圓心角為 90°，而正粒子的轉
過的圓心角最大值為 180°，所以正粒子與負粒子在磁場中運動的時間之比一定不大于 2：1，故 C
正確；
D.若兩粒子分別從 M、Q 兩點射出磁場，設正、負粒子半徑分別為 r1 和 r2，運到軌跡如圖所示
3
根據(jù)幾何關系有( ― )2 + 2 = 21 4 1，( ―
2 2 2
2 4 ) + = 2
17 25
解得r1 = 8 ，r2 = 24
所以正粒子與負粒子在磁場中運動的初速度大小之比恰好為
1 1 25
= = 51，故 D 錯誤。2 2
故選：BC。
[模型演練9] （多選）（2024 海南）如圖所示，邊長為 L 的正方形 abcd 區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，方向
垂直于紙面（abcd 所在平面）向外。ad 邊中點 O 有一粒子源，可平行紙面向磁場內(nèi)任意方向發(fā)
射質(zhì)量為 m、電荷量為 q 的帶電粒子，粒子速度大小均為 v，不計粒子重力以及粒子間的相互
作用。已知垂直 ad 邊射入的粒子恰好從 ab 邊中點 M 射出磁場，下列說法中正確的是（　　）
A．粒子帶負電
2
B．磁場的磁感應強度大小為

C．從 a 點射出磁場的粒子在磁場中運動的時間為6
D．有粒子從 b 點射出磁場
【解答】解：A．垂直 ad 邊射入的粒子恰好從 ab 邊中點 M 射出磁場，根據(jù)左手定則可知粒子帶
正電，故 A 錯誤；
B．洛倫茲力提供向心力可得
2
qvB = m

垂直 ad 邊射入的粒子恰好從 ab 邊中點 M 射出磁場，則運動半徑為

r = 2
2
解得B = ，故 B 正確；
C．從 a 點射出磁場的粒子在磁場中運動的軌跡如圖所示
從 a 點射出磁場的粒子在磁場中的運動時間為
60° 2
t = 360° = 6 ，故 C 正確；

D．離子的運動半徑為r = 2
Ob 之間距離大于 L，即大于軌跡直徑，所以沒有粒子從 b 點射出磁場，故 D 錯誤。
故選：BC。
類型 2 帶電粒子在圓形邊界磁場中運動
[模型演練10] （2024 沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖所示，半徑為 R 的圓形區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面向里的勻
強磁場，P 為磁場邊界上的一點，大量相同的帶正電的粒子，在紙面內(nèi)沿各個方向以相同的速
率從 P 點射入磁場，這些粒子射出磁場時的位置均位于 PQ 圓弧上，且 Q 點為最遠點。已知 PQ
圓弧長等于磁場邊界周長的四分之一，不計粒子重力和粒子間的相互作用，則該圓形磁場中有
粒子經(jīng)過的區(qū)域面積為（　　）
3
2 (3 2)
2 (3 2) 2 1
A．4 B． 4 C． 4 D．2
2
【解答】解：作出各方向發(fā)射粒子運動的軌跡如圖
設粒子在磁場中運動的軌跡半徑為 r，則粒子在磁場中做圓周運動的半徑滿足 2r = 2R，
得r = 2
2
圖中著色區(qū)域為有粒子經(jīng)過的區(qū)域，由幾何關系，該區(qū)域面積為 S，則
1 45° 1 1
S = 22 + 360° π（2r）
2+（4πR
2 ― 2R
2）
代入數(shù)據(jù)，解得
(3 2) 2
S = 4 ，故 ACD 錯誤，B 正確。
故選：B。
[模型演練11] （2024 臨沂二模）如圖所示，半徑為 R 圓形區(qū)域內(nèi)存在磁感應強度大小為 B 的勻強
磁場，磁場方向垂直于紙面向外。質(zhì)量為 m、電荷量為+q 的帶電粒子由 A 點沿平行于直徑 CD
的方向射入磁場，最后經(jīng)過 C 點離開磁場。已知弧 CA 對應的圓心角為 60°，不計粒子重力。
則（　　）
2
A．粒子運動速率為 3
B．帶電粒子運動過程中經(jīng)過圓心 O
5
C．粒子在磁場中運動的時間為3
4
D．粒子在磁場中運動的路程為 3
【解答】解：粒子在磁場中運動的軌跡如下圖所示
3
由幾何關系可得 2rcos30°＝R，則 r = R
3
2 3
A.根據(jù)牛頓第二定律有 qvB＝m ，解得 v = ，故 A 錯誤；3
B.由圖可知，粒子運動的軌跡必過圓心 O，故 B 正確；
2
C.粒子在磁場中運的周期根據(jù)公式為 T = ，圖中軌跡對應的圓心角為 240°，故運動時間 t =
240° 2 2 4
360° T = 3 × = 3 ，故 C 錯誤；
2 2 3
D.運動的路程為 s = 3 × 2πr = × 2π × =
4 3
3 ，故 D 錯誤。3 9
故選：B。
[模型演練12] （2024 龍鳳區(qū)校級開學）如圖，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，質(zhì)量為 m、
電荷量為 q（q＞0）的帶電粒子從圓周上的 M 點沿直徑 MON 方向射入磁場。若粒子射入磁場
時的速度大小為 v1，離開磁場時速度方向偏轉 60°；若射入磁場時的速度大小為 v2，離開磁場
1
時速度方向偏轉 90°。不計重力，則 為（　　）2
1
A．2 B
3 3
． C． D． 3
3 2
【解答】解：根據(jù)題意，粒子兩次射入磁場的運動軌跡如圖所示：

設磁場的圓形區(qū)域半徑為 r，由幾何關系可知，兩次軌跡圓的半徑分別為R1 = 30° = 3
R2＝r
21
根據(jù)牛頓第二定律，由洛倫茲力提供向心力可知q 1 = 1
22
q 2 = 2
3
解得粒子的速度為v1 =

v2 =
3 1
則粒子兩次的入射速度之比為 = = 3 2

故 D 正確，ABC 錯誤；
故選：D。
類型 3 帶電粒子在環(huán)形邊界磁場中運動
[模型演練13] （2024 盤錦三模）如圖所示，在以半徑為 R 和 2R 的同心圓為邊界的區(qū)域中，有磁感
應強度大小為 B、方向垂直紙面向里的勻強磁場。在圓心 O 處有一粒子源（圖中未畫出），在

紙面內(nèi)沿各個方向發(fā)射出比荷為 的帶負電的粒子，粒子的速率分布連續(xù)，忽略粒子所受重力
和粒子間的相互作用力，已知 sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。若所有的粒子都不能射出磁場，則
下列說法正確的是（　　）
2
A．粒子速度的最大值為

B．粒子速度的最大值為 4
127
C．某粒子恰好不從大圓邊界射出磁場，其在磁場中運動的時間為 90 （不考慮粒子再次進
入磁場的情況）
4
D．某粒子恰好不從大圓邊界射出磁場，其在磁場中運動的時間為3 （不考慮粒子再次進入磁
場的情況）
2
【解答】解：AB、根據(jù)洛倫茲力提供向心力：qvB = m

解得：r =
可知速度最大時，半徑最大，當軌跡與大圓相切時，半徑最大，如圖所示
根據(jù)幾何關系可得：（2R﹣r）2＝R2+r2
3 3
聯(lián)立解得：r = 4 ， = 4 ，故 AB 錯誤；
CD、某粒子恰好不從大圓邊界射出磁場，即粒子速度最大時，根據(jù)幾何關系有
∠ 4
tan 2 = = 3
解得其在磁場中運動的時間為
360° ∠ 127
t = 360° × 2 = 90
故 C 正確；D 錯誤。
故選：C。
[模型演練14] （2024 聊城二模）2023 年 4 月，我國有“人造太陽”之稱的托卡馬克核聚變實驗裝
置創(chuàng)造了新的世界紀錄。其中磁約束的簡化原理如圖：在半徑為 R1 和 R2 的真空同軸圓柱面之
間，加有與軸線平行的勻強磁場，磁場方向垂直紙面向里，R2＝2R1。假設氘核 21H 沿內(nèi)環(huán)切
線向左進入磁場，氚核 31H 沿內(nèi)環(huán)切線向右進入磁場，二者均恰好不從外環(huán)射出。不計重力及
二者之間的相互作用，則 21H 和 31H 的速度之比為（　　）
A．2：1 B．3：2 C．2：3 D．1：2
【解答】解：粒子在磁場中做勻速圓周運動，根據(jù)左手定則，作圖如圖所示。
設氘核 21 的半徑為 r1，由幾何關系可知，有
2r1＝R2﹣R1＝R1
1
則r1 = 2
設氚核 31 的半徑為 r2，由幾何關系可知，有
2r2＝R1+R2＝3R1
3
則r2 = 2 1
由洛倫茲力提供向心力可得
2
qvB = m

1 1
聯(lián)立解得氘核和氚核的速度之比為： = 2，故 ABC 錯誤，D 正確。2
故選：D。
[模型演練15] （2024 咸陽二模）2023 年 8 月 25 日下午，新一代人造太陽“中國環(huán)流三號”取得重
大科研進展，首次實現(xiàn) 100 萬安培等離子體電流下的高約束模式運行，標志著中國核聚變研究
向“聚變點火”又邁出重要一步。環(huán)流器局部區(qū)域的磁場簡化示意圖，如圖所示，在內(nèi)邊界半
徑為 R、外邊界半徑為 2R 的環(huán)形磁場區(qū)域內(nèi)，存在磁感應強度大小為 B，方向垂直于平面向內(nèi)
的勻強磁場。在內(nèi)圓上有一粒子源 S，可在平面內(nèi)沿各個方向發(fā)射比荷相同的帶正電的粒子。
粒子 a、b 分別沿徑向、內(nèi)圓切線向下進入磁場，二者均恰好不離開磁場外邊界。不計重力及二
者之間的相互作用，則粒子 a、b 的速度大小之比為（　　）
A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1
【解答】解：粒子在磁場中做勻速圓周運動，a 粒子的運動軌跡如圖所示
設 a 粒子的速度為 v1，運動半徑為 r1，帶電荷量為 q1，質(zhì)量為 m1，由幾何關系可知
(2R ― )2 = 2 + 21 1
3
解得r1 = 4
21
由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有q1 1 = 1 1
3 1
解得v1 = 4 1
b 粒子的運動軌跡如圖所示
3
設 b 粒子的速度為 v2，運動半徑為 r2，帶電荷量為 q2，質(zhì)量為 m2，由幾何關系可知r2 = 2
22
由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有q2 2 = 2 2
3 2
解得v2 = 2 2
1 2
又比荷相同，即 = 1 2
聯(lián)立解得 v1：v2＝1：2，故 A 正確，BCD 錯誤。
故選：A。
類型 4 帶電粒子在三角形邊界磁場中運動
[模型演練16] （2024 包頭一模）如圖，一直角三角形邊界勻強磁場磁感應強度為 B，其中 ac＝2d，
bc＝d，c 點有一發(fā)射帶正電粒子的粒子源，粒子以不同速率沿不同方向進入磁場，粒子比荷為
k，不計粒子重力及粒子之間的相互作用，下列說法正確的是（　　）
A．a(chǎn)b 邊有粒子出射的區(qū)域長度為 0.5d
2
B．粒子在磁場中運動的最長時間為3
C．若粒子從 ac 邊出射，入射速度 v＞kBd

D．若某粒子v = 2 ，則粒子可以恰好從 a 點飛出
2
【解答】解：A、粒子在磁場中做勻速直線運動，由洛倫茲力提供向心力可得：qvB = m ，可

得粒子運動半徑 R = = ，因粒子以不同速率沿不同方向進入磁場，故可以應用極限思維，
若粒子速度極大（比如接近光速），那么粒子運動半徑極大，在磁場中的運動軌跡趨于直線，那
么在 ab 邊有粒子出射的區(qū)域長度趨于 ab 邊的長度，而 ab 的長等于 3d＞0.5d，故 A 錯誤；
2 2
B、粒子在磁場中運動周期 T = =

若粒子軌跡的圓心角為 α，則粒子在磁場中運動時間：t = 2 =
可見粒子在磁場中運動時間與軌跡的圓心角成正比，根據(jù)粒子速度偏轉角等于軌跡圓心角可知，
粒子沿 cd 邊入射從 ac 邊射出時速度偏轉角最大，軌跡圖如下圖所示
2 2
由幾何關系可得最大圓心角為 α = 3 ，則粒子在磁場中運動的最長時間為3 ，故 B 正確；

C、由 R = ，可知粒子速率越小，運動半徑越小，如上圖所示，讓粒子速率逐漸變小，則出射
點會逐漸靠近 c 點，故半徑可以小到趨近于零，即粒子速率可以小到趨近于零，仍可以從 ac 邊出
射，故 C 錯誤；
D、粒子恰好從 a 點飛出，則其軌跡恰好在 a 點與 ab 邊相切，軌跡圖如下圖所示

根據(jù)幾何關系可得△aOc 為等邊三角形，易得軌跡半徑 R＝2d，由 R = ，可得粒子的速率為 v＝
2kBd，故 D 錯誤。
故選：B。
[模型演練17] （多選）（2024 成都模擬）如圖所示，邊長為 2L 的等邊三角形 ABC 內(nèi)有垂直紙面向
里、磁感應強度大小為 B0 的勻強磁場，D 是 AB 邊的中點，一質(zhì)量為 m、電荷量為﹣q 的帶電
粒子從 D 點以不同的速率平行于 BC 邊方向射入磁場，不計粒子重力，下列說法正確的是（　　）
A．粒子可能從 B 點射出
B 3．若粒子從 C 點射出，則粒子做勻速圓周運動的半徑為 L
2

C．若粒子從 C 點射出，則粒子在磁場中運動的時間為3 0
D．若粒子從 AB 邊射出，則粒子在磁場中運動的時間相同，且時間最長
【解答】解：A.帶負電的粒子從 D 點以某一速度平行于 BC 邊方向射入磁場，由左手定則可知，
粒子向下偏轉，由于 BC 邊的限制，粒子不能到達 B 點，故 A 錯誤；
BC.粒子從 C 點射出，如圖 1 所示
根據(jù)幾何關系可得
R2＝（R﹣Lsin60°）2+（2L﹣Lcos60°）2
解得 R = 3L
2 60° 3 3
則粒子軌跡對應的圓心角的正弦值為 sin∠DOC = =
2 = ，所以∠DOC＝60°，
3 2
根據(jù)粒子在磁場中運動時間和周期的關系有，粒子在磁場中運動的時間為
60° 1 2
t = 360° = 6 × =0 3 0
故 B 錯誤，C 正確；
D.根據(jù)牛頓第二定律，
2
qvB0＝m

可得r = 0
若粒子從 AB 邊射出，則粒子的速度越大，軌跡半徑越大，如圖 2 所示
2
粒子從 AB 邊射出時的圓心角相同且為 180°，是最大的圓心角，根據(jù)T = 0
可知粒子在磁場中運動的周期相等，則其在磁場中運動的時間相同，且時間最長，故 D 正確。
故選：CD。
[模型演練18] （多選）（2024 甘肅模擬）如圖所示，直角三角形 ABC 區(qū)域內(nèi)有方向垂直紙面向里的
勻強磁場，∠A＝60°，AC 邊長為 L。兩個相同的帶正電粒子從 A 點沿 AB 方向分別以不同的
速率 v1、v2 射入。若 v1＜v2，且速率為 v1 的粒子從 AC 邊射出，它們在三角形區(qū)域內(nèi)運動的時
間 t1：t2＝2：1。不計粒子所受的重力及粒子間的相互作用，則兩個粒子的速率之比 v1：v2 的
可能為（　　）
A．1：3 B．2：9 C．3：4 D．3：5
【解答】解：速率為 v1 的粒子從 AC 邊射出，根據(jù)粒子的運動軌跡如圖所示
幾何關系可知，該粒子在磁場中運動軌跡對應的圓心角為 120°，當軌跡過 C 點時，粒子圓周運
動的半徑最大，根據(jù)幾何關系可知，有
2R1sin60°＝L
根據(jù)牛頓第二定律，由于洛倫茲力提供向心力，則有
2
= 1 q 1 1
解得
= 3 v1 3
粒子軌跡對應的圓心角為 120°，兩粒子運動的周期相同，由于兩個粒子在三角形區(qū)域內(nèi)運動的
時間之比為 2：1，可知速率為 v2 的粒子運動軌跡對應的圓心角為 60°，可知速率為 v2 的粒子必
定從 BC 邊垂直射出，根據(jù)其運動軌跡及幾何關系有
L＝R2sin60°
根據(jù)牛頓第二定律，由于洛倫茲力提供向心力，則有
2
q 2 =
2
2
解得
= 2 3 v2 3
結合上述，兩個粒子的速率之比
3 1 1
≤ = 3
1
2 2 2 3 = 2
3
可知，兩個粒子的速率之比 v1：v2 可能為 1：3 或 2：9，故 AB 正確，CD 錯誤。
故選：AB。
題型四 帶電粒子在磁場運動的臨界和極值問題
（1）動態(tài)放縮法
當帶電粒子射入磁場的方向確定，但射入時的速度 v 大小或磁場的強弱 B 變化時，粒子做圓周
運動的軌道半徑 r 隨之變化。在確定粒子運動的臨界情景時，可以以入射點為定點，將軌道半徑放
縮，作出一系列的軌跡，從而探索出臨界條件。如圖所示，粒子進入長方形邊界 OABC形成的臨界情
景為②和④。
（2）定圓旋轉法
當帶電粒子射入磁場時的速率 v 大小一定，但射入的方向變化時，粒子做圓周運動的軌道半徑 r
是確定的。在確定粒子運動的臨界情景時，可以以入射點為定點，將軌跡圓旋轉，作出一系列軌跡，
從而探索出臨界條件，如圖所示為粒子進入單邊界磁場時的情景。
[模型演練19] （2024 春 天寧區(qū)校級期中）如圖所示，勻強磁場中位于 P 處的粒子源可以沿垂直于
磁場向紙面內(nèi)的各個方向發(fā)射質(zhì)量為 m、電荷量為 q、速率為 v 的帶正電粒子，P 到熒光屏 MN
的距離為 d、設熒光屏足夠大，不計粒子重力及粒子間的相互作用。下列判斷正確的是（　　）

A．若磁感應強度B = ，則發(fā)射出的粒子到達熒光屏的最短時間為2

B．若磁感應強度B = ，則同一時刻發(fā)射出的粒子到達熒光屏的最大時間差為

C．若磁感應強度B = 2 ，則熒光屏上形成的亮線長度為2 3

D．若磁感應強度B = 2 ，則熒光屏上形成的亮線長度為( 15 + 3)
【解答】解：A．粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有
2
qvB =

代入磁感應強度，解得粒子運動的軌道半徑為
R＝d
最短時間時，恰好弦長最短，打到 P 點的正左方，軌跡如圖所示

根據(jù)幾何關系，偏轉的圓心角為3，因此運動時間為

t = = 3 ，故 A 錯誤；
3
B．由幾何關系可知，打到 MN 板上最長時間恰好運動了4個周期，軌跡如下圖所示
因此時間差
( 3 ) 7
Δt = 2 3 =
6
，故 B 錯誤；

CD．若磁感應強度B = 2 ，則軌道半徑為
R＝2d
最高點 D 到 P 的距離恰好等于圓的直徑，因此 P 點上方長度為
L1 = (4 )2 ― 2 = 15
而最低點軌跡恰好與 MN 相切，如圖所示
則 P 點下方長度
L2 = (2 )2 ― 2 = 3
因此熒光屏上形成的亮線長度為
L = 1 + 2 = ( 15 + 3) ，故 C 錯誤，D 正確。
故選：D。
[模型演練20] （2023 秋 黃島區(qū)期末）如圖，空間存在垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大
小為 B，磁場下邊界 OM 和熒光屏 ON 之間的夾角為 30°。OM 上的 P 點處有一粒子源沿與
OM 垂直的方向以不同的速率持續(xù)向磁場發(fā)射質(zhì)量為 m、電荷量為+q 的粒子。已知 P 點到 O 點
的距離為 d，熒光屏上被打亮區(qū)域的長度為（　　）
A 3 ． B 2 3 ． C．d D．2d
3 3
【解答】解：根據(jù)題意，若粒子的速率足夠大，粒子無限接近沿直線打到熒光屏的 A 點，如圖所
示
由幾何關系可得

= 2 3AO 30° = 3
若粒子的速率較小，打到熒光屏上 B 點為臨界點，如圖所示
設粒子做圓周運動的半徑為 r，由幾何關系可得

= 30°
OB＝（d﹣r）cos30°
聯(lián)立解得
3
OB =
3
則熒光屏上被打亮區(qū)域的長度為
L = OA ― OB = 3 ，故 A 正確，BCD 錯誤。
3
故選：A。
[模型演練21] （2023 秋 沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，空間分布著磁感應強度大小為 B，方向垂直紙面
向外的勻強磁場。關于 O 點對稱的薄板 MN 的長度為 3a，O 點到 MN 的距離為 a。O 點有一粒
子源，能沿紙面內(nèi)任意方向發(fā)射速率相同、質(zhì)量為 m、電荷量為 q 的正電粒子。已知水平向右
發(fā)射的粒子恰能垂直打在 MN 上，打到 MN 上、下表面的粒子均被吸收。不計粒子的重力，則
被 MN 吸收的粒子在磁場中運動的最長時間為（　　）
5 3
A．3 B．2 C． D．2
【解答】解：粒子在磁場中做勻速圓周運動，已知水平向右發(fā)射的粒子恰能垂直打在 MN 上，其
運動軌跡為四分之一圓周，如下圖的軌跡①，易知粒子的軌跡半徑 r＝a。
2
由洛倫茲力提供向心力得：qvB＝m
2 2
粒子的運動周期 T = =

若粒子運動軌跡的圓心角為 α，則運動時間為 t = 2 =
可見粒子運動時間與軌跡的圓心角成正比，被 MN 吸收的粒子在磁場中運動時間最長，對應的軌
跡圓心角最大，當粒子的軌跡為優(yōu)弧時，優(yōu)弧的弦長越短圓心角越大，如上圖所示，軌跡②的弦
長為 O 點到 MN 的距離 OP，此弦長最短，故軌跡②是被 MN 吸收的粒子在磁場中運動時間最長
5
的軌跡，易知軌跡圖中的 θ = 3，則軌跡②的圓心角為 2π ― 3 = 3 ，被 MN 吸收的粒子在磁場
5 5
中運動的最長時間為 t 3m = = 3 ，故 A 正確，BCD 錯誤。
故選：A。
[模型演練22] （2023 秋 興慶區(qū)校級期末）如圖所示，真空室內(nèi)存在磁場方向垂直于紙面向里、磁
感應強度的大小為 B＝0.30T 的勻強磁場。磁場內(nèi)有一塊較大的平面感光板 ab，板面與磁場方
向平行，在距 ab 的距離為 l＝32cm 處，有一個點狀的 α 粒子放射源 S，它能向各個方向發(fā)射 α

粒子，帶正電的 α 粒子速度都是 v＝3.0×106m/s。已知 α 粒子的電荷量與質(zhì)量之比為 = 5.0 × 1
07C/kg，現(xiàn)只考慮在紙面內(nèi)運動的 α 粒子，則感光板 ab 上被 α 粒子打中區(qū)域的長度為（　　）
A．40cm B．30cm C．35cm D．42cm
【解答】解：帶正電的 α 粒子在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運動，設其圓周軌跡半徑為 R，
2
根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：qvB = m ，解得：R＝0.2m＝20cm。
由于 2R＞l＝32cm＞R，從放射源 S 朝不同方向發(fā)射的 α 粒子的圓周軌跡中，某一圓周軌跡會與
ab 相切，如下圖所示，切點 P 就是 α 粒子能打中感光板的區(qū)域的左側最遠點。任何 α 粒子在運動
中離 S 的距離不可能超過 2R，以 2R 為半徑、S 為圓心作圓，交 ab 于 P1 點，則 P1 點是能打中感
光板的區(qū)域的右側最遠點。
根據(jù)幾何關系可得：
NP = 2 ― ( ― )2，解得：NP＝16cm
N 1 = (2 )2 ― 2，解得：NP1＝24cm
所求長度為 PP1＝NP+NP1＝16cm+24cm＝40cm，故 BCD 錯誤，A 正確。
故選：A。
[模型演練23] （2023 秋 讓胡路區(qū)校級期末）如圖所示，在直角坐標系 xOy 的第一象限內(nèi)存在磁感
應強度大小為 B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場，在 y 軸上 S 處有一粒子源，它可向右側紙
面內(nèi)各個方向射出速率相等、質(zhì)量均為 m、電荷量均為 q 的同種帶負電粒子，所有粒子射出磁
場時離 S 最遠的位置是 x 軸上的 P 點。已知OS = ，OP = 3d，粒子重力及粒子間的相互作用
均不計，則（　　）

A．粒子的速度大小為

B．從 O 點射出的粒子在磁場中運動的時間為
C．從 x 軸上射出磁場的粒子在磁場中運動的最短時間與最長時間之比為 2：9

D．沿平行于 x 軸正方向射入的粒子離開磁場時的位置到 O 點的距離為2
【解答】解：A.粒子射出磁場時離 S 最遠的位置是 x 軸上的 P 點，即軌道直徑落在 x 軸上時，如
圖所示
由幾何關系知(2R)2 = 2 +( 3 )2
解得 R＝d
2
根據(jù)牛頓第二定律，洛倫茲力提供向心力，有qvB = m

聯(lián)立解得v = ，故 A 錯誤；
2 2
B.粒子運動的周期T = =
1
從 O 點射出的粒子其軌跡為軌跡 3，由幾何關系可知sin = 22
解得 θ＝60°

即軌跡所對的圓心角為 60°，粒子在磁場中運動的時間t = 360° = 3 ，故 B 錯誤；
C.運動時間最長的粒子為運動軌跡與 x 軸相切的粒子，其軌跡為軌跡 2，對應的圓心角為 270°，
3
則運動的最長時間t1 = 4
運動時間最短的粒子為從原點飛出的粒子，其軌跡為軌跡 3，對應的圓心角為 60°，則運動的最
1
短時間t2 = 6
所以 t1：t2＝9：2，故 C 正確；
D.沿平行于 x 軸正方向射入的粒子，圓心在原點處，運動軌跡為四分之一圓，離開磁場時的位置
到 O 點的距離為 d，故 D 錯誤。
故選：C。專題 20 磁場對運動電荷的作用
考點 考情 命題方向
考點 帶電粒子在 2024 年高考河北卷 1.帶電粒子在直線邊界磁場中
有邊界的磁場中運 2024 年高考廣西卷 的運動是高考考查頻率較高的
動 2023 年高考湖北卷 知識，直線邊界包括矩形邊
2023 年 6 月江高考選考 界、三角形邊界、多邊形邊
2023 年高考全國甲卷 界、坐標軸邊界平行直線邊界
2022 年高考遼寧物理 等。
2.帶電粒子在圓形邊界磁場中
的運動考查主要為：環(huán)形邊
界、圓形邊界、扇形邊界等，
臨界問題的考查有增加的趨
勢。
題型一 對洛倫茲力的理解和應用
1．洛倫茲力
磁場對運動電荷的作用力叫洛倫茲力．
2．洛倫茲力的方向
(1)判定方法
左手定則：掌心——磁感線垂直穿入掌心；
四指——指向正電荷運動的方向或負電荷運動的反方向；
大拇指——指向洛倫茲力的方向．
(2)方向特點：F⊥B，F(xiàn)⊥v，即 F 垂直于 B 和 v 決定的平面(注意：洛倫茲力不做功)．
3．洛倫茲力的大小
(1)v∥B 時，洛倫茲力 F＝0.(θ＝0°或 180°)
(2)v⊥B 時，洛倫茲力 F＝qvB.(θ＝90°)
(3)v＝0時，洛倫茲力 F＝0.
[模型演練1] （2024 陜西一模）我國最北的城市漠河地處高緯度地區(qū)，在晴朗的夏夜偶爾會出現(xiàn)美
麗的彩色“極光”。極光是宇宙中高速運動的帶電粒子受地球磁場影響，與空氣分子作用的發(fā)光
現(xiàn)象，若宇宙粒子帶正電，因入射速度與地磁方向不垂直，故其軌跡偶成螺旋狀如下圖（相鄰
兩個旋轉圓之間的距離稱為螺距Δx）。下列說法正確的是（　　）
A．帶電粒子進入大氣層后與空氣發(fā)生相互作用，在地磁場作用下的旋轉半徑會越來越大
B．若越靠近兩極地磁場越強，則隨著緯度的增加，以相同速度入射的宇宙粒子的半徑越大
C．漠河地區(qū)看到的“極光”將以逆時針方向（從下往上看）向前旋進
D．當不計空氣阻力時，若入射粒子的速率不變僅減小與地磁場的夾角，則旋轉半徑減小，而螺
距Δx 增大
[模型演練2] （2024 平谷區(qū)模擬）圖示照片是 2023 年 12 月 1 日晚網(wǎng)友在北京懷柔拍攝到的極光。
當太陽爆發(fā)的時候，就會發(fā)生日冕物質(zhì)拋射，一次日冕物質(zhì)拋射過程能將數(shù)以億噸計的太陽物
質(zhì)以數(shù)百千米每秒的高速拋離太陽表面。當日冕物質(zhì)（帶電粒子流）與地球相遇后，其中一部
分會隨著地球磁場進入地球南北兩極附近地區(qū)的高空，并與距離地面一百到四百千米高的大氣
層發(fā)生撞擊，撞擊的過程伴隨著能量交換，這些能量被大氣原子與分子的核外電子吸收之后，
又快速得到釋放，釋放的結果就是產(chǎn)生極光。綠色與紅色極光便是來自氧原子，紫色與藍色極
光則往往來自氮原子。則下列說法中最合理的是（　　）
A．若帶正電的粒子流，以與地球表面垂直的方向射向赤道上空的某一點，在地球磁場的作用下
將會向西偏轉
B．地球南北兩極附近的地磁場最強。但在兩極附近，地磁場對垂直射向地球表面的帶電粒子的
阻擋作用最弱
C．若氮原子發(fā)出紫色極光的光子能量為 E0，則與該氮原子核外電子發(fā)生撞擊的帶電粒子的能
量也為 E0
D．若氧原子的核外電子吸收能量為 E0 的光子后，則該氧原子就會放出能量為 E0 的光子
[模型演練3] （2023 玉林三模）2021 年中國全超導托卡馬克核聚變實驗裝置創(chuàng)造了新的紀錄。為
粗略了解等離子體在托卡馬克環(huán)形真空室內(nèi)的運動狀況，某同學將一小段真空室內(nèi)的電場和磁
場理想化為方向均水平向右的勻強電場和勻強磁場（如圖），電場強度大小為 E，磁感應強度大
小為 B。若某電荷量為 q 的正離子在此電場和磁場中運動，其速度平行于磁場方向的分量大小
為 v1，垂直于磁場方向的分量大小為 v2，不計離子重力，則（　　）
A．電場力的瞬時功率為 qE v21 + 22
B．該離子受到的洛倫茲力大小為 qv1B
C．v2 與 v1 的比值不斷變大
D．該離子的加速度大小不變
題型二 帶電粒子做圓周運動分析思路
1．勻速圓周運動的規(guī)律
若 v⊥B，帶電粒子僅受洛倫茲力作用，在垂直于磁感線的平面內(nèi)以入射速度 v 做勻速圓周運動．
2．圓心的確定
(1)已知入射點、出射點、入射方向和出射方向時，可通過入射點和出射點分別作垂直于入射方向和
出射方向的直線，兩條直線的交點就是圓弧軌道的圓心(如圖甲所示，P 為入射點，M 為出射點)．
(2)已知入射方向、入射點和出射點的位置時，可以通過入射點作入射方向的垂線，連接入射點和出
射點，作其中垂線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌跡的圓心(如圖乙所示，P 為入射點，M 為出射
點)．
3．半徑的確定
可利用物理學公式或幾何知識(勾股定理、三角函數(shù)等)求出半徑大小．
4．運動時間的確定
粒子在磁場中運動一周的時間為 T，當粒子運動的圓弧所對應的圓心角為 θ時，其運動時間表示為
θ θR
t＝ T(或 t＝ )．
2π v
[模型演練4] （2024 江西模擬）如圖所示，粒子甲垂直 ab 邊界進入垂直紙面向外的勻強磁場時發(fā)
生核反應：甲→乙+丙，產(chǎn)生的乙和丙粒子垂直經(jīng)過磁場的軌跡如圖所示。已知乙和丙的電荷量
大小相等，軌跡半徑之比為 5：3，不計重力及空氣阻力，則（　　）
A．甲帶正電
B．乙?guī)ж撾?br/>C．甲、乙的動量大小之比為 8：5
D．乙、丙的動量大小之比為 1：1
[模型演練5] （2024 湖北三模）帶電粒子在磁場中運動時，我們可以根據(jù)粒子的運動軌跡尋找到很
多美麗的對稱圖形。空間中一圓形區(qū)域內(nèi)有磁感應強度大小為 B 的勻強磁場，區(qū)域外為磁感應
強度大小相同、方向相反的勻強磁場，一帶電粒子從某處以正對虛線圓圓心方向入射，通過改
變帶電粒子速度，可得到如圖甲、乙所示軌跡（虛線為磁場邊界，實線為帶電粒子運動軌跡），
則兩圖中粒子的速度之比為（　　）
A．2：1 B． 3：1 C． 2：1 D．1：1
[模型演練6] （2024 昌平區(qū)二模）如圖為用于電真空器件的一種磁聚焦裝置示意圖。螺線管內(nèi)存在
磁感應強度為 B、方向平行于管軸的勻強磁場。電子槍可以射出速度大小均為 v，方向不同的
電子，且電子速度 v 與磁場方向的夾角非常小。電子電荷量為 e、質(zhì)量為 m。電子間的相互作
用和電子的重力不計。這些電子通過磁場會聚在熒光屏上 P 點。下列說法錯誤的是（　　）
2
A．電子在磁場中運動的時間可能為
2
B．熒光屏到電子入射點的距離可能為
1
C．若將電子入射速度變?yōu)? ，這些電子一定能會聚在 P 點
D．若將電子入射速度變?yōu)?2v，這些電子一定能會聚在 P 點
題型三 帶電粒子在有界勻強磁場中的圓周運動
帶電粒子在有界磁場中運動的幾種常見情形
1．直線邊界(進出磁場具有對稱性，如圖所示)
2．平行邊界(存在臨界條件，如圖所示)
3．圓形邊界(沿徑向射入必沿徑向射出，如圖所示)
4．分析帶電粒子在勻強磁場中運動的關鍵是：
(1)畫出運動軌跡；
(2)確定圓心和半徑；
(3)利用洛倫茲力提供向心力列式．
類別 特點 圖示
進出磁
直線
場具有
邊界
對稱性
平行
存在臨界條件
邊界
沿徑向射
圓形
入必沿徑
邊界
向射出
環(huán)形
與邊界相切
邊界
類型 1 帶電粒子在直線邊界磁場中運動
1
[模型演練7] （2024 成都模擬）如圖所示，xOy 直角坐標系的第一象限內(nèi)，半徑為 a 的4圓弧外存
在范圍足夠大的勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里。位于 O 點的粒子源向第一象限內(nèi)的各個

方向均勻發(fā)射完全相同的帶正電的粒子，粒子速度大小均為 v，比荷 = k。經(jīng)過一段時間后發(fā)
1
現(xiàn)發(fā)射出的總粒子中有3的粒子可以回到 O 點，不考慮粒子的重力及粒子間的相互作用，則磁
感應強度大小為（　　）
A 3
3 3
． B C 3 ． ． D．
3 3
[模型演練8] （多選）（2024 鄭州模擬）如圖所示，邊長為 a 的正方形 MNPQ 區(qū)域內(nèi)有一方向垂直

正方形平面向外的勻強磁場，NP 邊上有一點 S，SN = 4。兩個質(zhì)量相同、帶等量異種電荷的粒
子均從 S 點平行于 MN 方向射入磁場。帶正電粒子甲與帶負電粒子乙重力均不計，不考慮甲、
乙兩粒子間的作用。下列說法正確的是（　　）
A．若兩粒子在磁場中運動的時間相等，則甲與乙的初速度大小之比一定為 1：3
B．若兩粒子的初速度相同，則甲與乙在磁場中運動的時間之比可能為 1：2
C．若其中一個粒子垂直 PQ 邊射出磁場，則甲與乙在磁場中運動時間之比一定不大于 2：1
D．若兩粒子分別從 M、Q 兩點射出磁場，則甲與乙的初速度大小之比恰好為 2：1
[模型演練9] （多選）（2024 海南）如圖所示，邊長為 L 的正方形 abcd 區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，方向
垂直于紙面（abcd 所在平面）向外。ad 邊中點 O 有一粒子源，可平行紙面向磁場內(nèi)任意方向發(fā)
射質(zhì)量為 m、電荷量為 q 的帶電粒子，粒子速度大小均為 v，不計粒子重力以及粒子間的相互
作用。已知垂直 ad 邊射入的粒子恰好從 ab 邊中點 M 射出磁場，下列說法中正確的是（　　）
A．粒子帶負電
2
B．磁場的磁感應強度大小為

C．從 a 點射出磁場的粒子在磁場中運動的時間為6
D．有粒子從 b 點射出磁場
類型 2 帶電粒子在圓形邊界磁場中運動
[模型演練10] （2024 沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖所示，半徑為 R 的圓形區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面向里的勻
強磁場，P 為磁場邊界上的一點，大量相同的帶正電的粒子，在紙面內(nèi)沿各個方向以相同的速
率從 P 點射入磁場，這些粒子射出磁場時的位置均位于 PQ 圓弧上，且 Q 點為最遠點。已知 PQ
圓弧長等于磁場邊界周長的四分之一，不計粒子重力和粒子間的相互作用，則該圓形磁場中有
粒子經(jīng)過的區(qū)域面積為（　　）
3
2 (3 2)
2 (3 2) 2 1
A．4 B．
2
4 C． 4 D．2
[模型演練11] （2024 臨沂二模）如圖所示，半徑為 R 圓形區(qū)域內(nèi)存在磁感應強度大小為 B 的勻強
磁場，磁場方向垂直于紙面向外。質(zhì)量為 m、電荷量為+q 的帶電粒子由 A 點沿平行于直徑 CD
的方向射入磁場，最后經(jīng)過 C 點離開磁場。已知弧 CA 對應的圓心角為 60°，不計粒子重力。
則（　　）
2
A．粒子運動速率為 3
B．帶電粒子運動過程中經(jīng)過圓心 O
5
C．粒子在磁場中運動的時間為3
4
D．粒子在磁場中運動的路程為 3
[模型演練12] （2024 龍鳳區(qū)校級開學）如圖，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，質(zhì)量為 m、
電荷量為 q（q＞0）的帶電粒子從圓周上的 M 點沿直徑 MON 方向射入磁場。若粒子射入磁場
時的速度大小為 v1，離開磁場時速度方向偏轉 60°；若射入磁場時的速度大小為 v2，離開磁場
1
時速度方向偏轉 90°。不計重力，則 為（　　）2
1
A B 3．2 ． C
3
． D． 3
3 2
類型 3 帶電粒子在環(huán)形邊界磁場中運動
[模型演練13] （2024 盤錦三模）如圖所示，在以半徑為 R 和 2R 的同心圓為邊界的區(qū)域中，有磁感
應強度大小為 B、方向垂直紙面向里的勻強磁場。在圓心 O 處有一粒子源（圖中未畫出），在

紙面內(nèi)沿各個方向發(fā)射出比荷為 的帶負電的粒子，粒子的速率分布連續(xù)，忽略粒子所受重力
和粒子間的相互作用力，已知 sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。若所有的粒子都不能射出磁場，則
下列說法正確的是（　　）
2
A．粒子速度的最大值為

B．粒子速度的最大值為 4
127
C．某粒子恰好不從大圓邊界射出磁場，其在磁場中運動的時間為 90 （不考慮粒子再次進
入磁場的情況）
4
D．某粒子恰好不從大圓邊界射出磁場，其在磁場中運動的時間為3 （不考慮粒子再次進入磁
場的情況）
[模型演練14] （2024 聊城二模）2023 年 4 月，我國有“人造太陽”之稱的托卡馬克核聚變實驗裝
置創(chuàng)造了新的世界紀錄。其中磁約束的簡化原理如圖：在半徑為 R1 和 R2 的真空同軸圓柱面之
間，加有與軸線平行的勻強磁場，磁場方向垂直紙面向里，R2＝2R 。假設氘核 21 1H 沿內(nèi)環(huán)切
線向左進入磁場，氚核 31H 沿內(nèi)環(huán)切線向右進入磁場，二者均恰好不從外環(huán)射出。不計重力及
二者之間的相互作用，則 21H 和 31H 的速度之比為（　　）
A．2：1 B．3：2 C．2：3 D．1：2
[模型演練15] （2024 咸陽二模）2023 年 8 月 25 日下午，新一代人造太陽“中國環(huán)流三號”取得重
大科研進展，首次實現(xiàn) 100 萬安培等離子體電流下的高約束模式運行，標志著中國核聚變研究
向“聚變點火”又邁出重要一步。環(huán)流器局部區(qū)域的磁場簡化示意圖，如圖所示，在內(nèi)邊界半
徑為 R、外邊界半徑為 2R 的環(huán)形磁場區(qū)域內(nèi)，存在磁感應強度大小為 B，方向垂直于平面向內(nèi)
的勻強磁場。在內(nèi)圓上有一粒子源 S，可在平面內(nèi)沿各個方向發(fā)射比荷相同的帶正電的粒子。
粒子 a、b 分別沿徑向、內(nèi)圓切線向下進入磁場，二者均恰好不離開磁場外邊界。不計重力及二
者之間的相互作用，則粒子 a、b 的速度大小之比為（　　）
A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1
類型 4 帶電粒子在三角形邊界磁場中運動
[模型演練16] （2024 包頭一模）如圖，一直角三角形邊界勻強磁場磁感應強度為 B，其中 ac＝2d，
bc＝d，c 點有一發(fā)射帶正電粒子的粒子源，粒子以不同速率沿不同方向進入磁場，粒子比荷為
k，不計粒子重力及粒子之間的相互作用，下列說法正確的是（　　）
A．a(chǎn)b 邊有粒子出射的區(qū)域長度為 0.5d
2
B．粒子在磁場中運動的最長時間為3
C．若粒子從 ac 邊出射，入射速度 v＞kBd

D．若某粒子v = 2 ，則粒子可以恰好從 a 點飛出
[模型演練17] （多選）（2024 成都模擬）如圖所示，邊長為 2L 的等邊三角形 ABC 內(nèi)有垂直紙面向
里、磁感應強度大小為 B0 的勻強磁場，D 是 AB 邊的中點，一質(zhì)量為 m、電荷量為﹣q 的帶電
粒子從 D 點以不同的速率平行于 BC 邊方向射入磁場，不計粒子重力，下列說法正確的是（　　）
A．粒子可能從 B 點射出
B 3．若粒子從 C 點射出，則粒子做勻速圓周運動的半徑為 L
2

C．若粒子從 C 點射出，則粒子在磁場中運動的時間為3 0
D．若粒子從 AB 邊射出，則粒子在磁場中運動的時間相同，且時間最長
[模型演練18] （多選）（2024 甘肅模擬）如圖所示，直角三角形 ABC 區(qū)域內(nèi)有方向垂直紙面向里的
勻強磁場，∠A＝60°，AC 邊長為 L。兩個相同的帶正電粒子從 A 點沿 AB 方向分別以不同的
速率 v1、v2 射入。若 v1＜v2，且速率為 v1 的粒子從 AC 邊射出，它們在三角形區(qū)域內(nèi)運動的時
間 t1：t2＝2：1。不計粒子所受的重力及粒子間的相互作用，則兩個粒子的速率之比 v1：v2 的
可能為（　　）
A．1：3 B．2：9 C．3：4 D．3：5
題型四 帶電粒子在磁場運動的臨界和極值問題
（1）動態(tài)放縮法
當帶電粒子射入磁場的方向確定，但射入時的速度 v 大小或磁場的強弱 B 變化時，粒子做圓周
運動的軌道半徑 r 隨之變化。在確定粒子運動的臨界情景時，可以以入射點為定點，將軌道半徑放
縮，作出一系列的軌跡，從而探索出臨界條件。如圖所示，粒子進入長方形邊界 OABC形成的臨界情
景為②和④。
（2）定圓旋轉法
當帶電粒子射入磁場時的速率 v 大小一定，但射入的方向變化時，粒子做圓周運動的軌道半徑 r
是確定的。在確定粒子運動的臨界情景時，可以以入射點為定點，將軌跡圓旋轉，作出一系列軌跡，
從而探索出臨界條件，如圖所示為粒子進入單邊界磁場時的情景。
[模型演練19] （2024 春 天寧區(qū)校級期中）如圖所示，勻強磁場中位于 P 處的粒子源可以沿垂直于
磁場向紙面內(nèi)的各個方向發(fā)射質(zhì)量為 m、電荷量為 q、速率為 v 的帶正電粒子，P 到熒光屏 MN
的距離為 d、設熒光屏足夠大，不計粒子重力及粒子間的相互作用。下列判斷正確的是（　　）

A．若磁感應強度B = ，則發(fā)射出的粒子到達熒光屏的最短時間為2

B．若磁感應強度B = ，則同一時刻發(fā)射出的粒子到達熒光屏的最大時間差為

C．若磁感應強度B = 2 ，則熒光屏上形成的亮線長度為2 3

D．若磁感應強度B = 2 ，則熒光屏上形成的亮線長度為( 15 + 3)
[模型演練20] （2023 秋 黃島區(qū)期末）如圖，空間存在垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大
小為 B，磁場下邊界 OM 和熒光屏 ON 之間的夾角為 30°。OM 上的 P 點處有一粒子源沿與
OM 垂直的方向以不同的速率持續(xù)向磁場發(fā)射質(zhì)量為 m、電荷量為+q 的粒子。已知 P 點到 O 點
的距離為 d，熒光屏上被打亮區(qū)域的長度為（　　）
A 3 B 2 3 ． ． C．d D．2d
3 3
[模型演練21] （2023 秋 沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，空間分布著磁感應強度大小為 B，方向垂直紙面
向外的勻強磁場。關于 O 點對稱的薄板 MN 的長度為 3a，O 點到 MN 的距離為 a。O 點有一粒
子源，能沿紙面內(nèi)任意方向發(fā)射速率相同、質(zhì)量為 m、電荷量為 q 的正電粒子。已知水平向右
發(fā)射的粒子恰能垂直打在 MN 上，打到 MN 上、下表面的粒子均被吸收。不計粒子的重力，則
被 MN 吸收的粒子在磁場中運動的最長時間為（　　）
5 3
A．3 B．2 C． D．2
[模型演練22] （2023 秋 興慶區(qū)校級期末）如圖所示，真空室內(nèi)存在磁場方向垂直于紙面向里、磁
感應強度的大小為 B＝0.30T 的勻強磁場。磁場內(nèi)有一塊較大的平面感光板 ab，板面與磁場方
向平行，在距 ab 的距離為 l＝32cm 處，有一個點狀的 α 粒子放射源 S，它能向各個方向發(fā)射 α

粒子，帶正電的 α 粒子速度都是 v＝3.0×106m/s。已知 α 粒子的電荷量與質(zhì)量之比為 = 5.0 × 1
07C/kg，現(xiàn)只考慮在紙面內(nèi)運動的 α 粒子，則感光板 ab 上被 α 粒子打中區(qū)域的長度為（　　）
A．40cm B．30cm C．35cm D．42cm
[模型演練23] （2023 秋 讓胡路區(qū)校級期末）如圖所示，在直角坐標系 xOy 的第一象限內(nèi)存在磁感
應強度大小為 B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場，在 y 軸上 S 處有一粒子源，它可向右側紙
面內(nèi)各個方向射出速率相等、質(zhì)量均為 m、電荷量均為 q 的同種帶負電粒子，所有粒子射出磁
場時離 S 最遠的位置是 x 軸上的 P 點。已知OS = ，OP = 3d，粒子重力及粒子間的相互作用
均不計，則（　　）

A．粒子的速度大小為

B．從 O 點射出的粒子在磁場中運動的時間為
C．從 x 軸上射出磁場的粒子在磁場中運動的最短時間與最長時間之比為 2：9

D．沿平行于 x 軸正方向射入的粒子離開磁場時的位置到 O 點的距離為2

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