資源簡介

專題 21 復數（七大題型+模擬精練）
目錄：
01 復數的有關概念
02 復數的幾何意義
03 實系數有關的一元二次方程
04 復數的四則運算
05 復數與平面向量
06 復數的最值、取值范圍問題
07 復數的三角表示
01 復數的有關概念
1．（2024·新疆·三模）復數 z 滿足 z + 2i = z ，則 z 的虛部為（ ）
A．- i B． i C． -1 D．1
z 2i2．（24-25 高三上·云南·階段練習）已知復數 = ，則下列說法正確的是（ ）1+ i
A． z =1- i B． z = 2 C． z =1+ i D． z 的虛部為 i
z -1
3．（2024·山東青島·三模）已知復數 z 滿足 = i，則
1- i z
的虛部為（ ）
A．i B．- i C．1 D． -1
a
4．（2024·內蒙古呼倫貝爾·二模）若 a,b R ，純虛數 z 滿足 z - a = 2z - b i ，則 =（
b ）
1
A 1．2 B．-2 C． D．-2 2
02 復數的幾何意義
5．（23-24 高三下·湖北·開學考試）已知復數 z 滿足 z × z = 2 3 - 2i，則復數 z 在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（23-24 高三上·湖北·期中）已知 i為虛數單位， a為實數，復數 z = 2i × 1+ ai 在復平面內對應的點為 M ，
則“ a > 1 ”是“點M 在第二象限”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
7．（23-24 高一下·廣東江門·期末）已知復數 z = x + yi x，y R ，則復平面內點Z 滿足 z - 2 + 3i = 2的圖
形的面積是（ ）
A．2 B．4 C．2p D． 4p
8．（2024·寧夏·二模）已知復數 z 滿足 z - 4 + 5i =1，則 z 在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（23-24 高一下·遼寧·期中）在復平面內，復數 z1, z2 對應的點關于直線 y = x 對稱，若 z1 = 2 + i ，則 z2 +1- 3i =
（ ）
A． 29 B．5 C． 5 D．1
03 實系數有關的一元二次方程
10．（2024·湖南岳陽·三模）若虛數單位 i是關于 x 的方程 ax3 + bx2 + 2x +1 = 0(a,b R)的一個根，則 a + bi =
（ ）
A． 2 B．2 C． 5 D．5
11．（23-24 高三上·湖北武漢·期末）已知 i是關于 x 的方程 2x2 + px + q = 0 （p， q R ）的一個根，則 p + q =
（ ）
A．0 B．-2 C．2 D．1
12．（2024·全國·模擬預測）已知 1+ i b = a i -1 + 2i，其中 a,b R ，i 為虛數單位，則以 a,b為根的一個一
元二次方程是（ ）
A． x2 -1= 0 B． x2 + x = 2 C． x2 - x = 0 D． x2 + x = 0
04 復數的四則運算
a
13．（2023·陜西榆林·模擬預測）已知復數 z 滿足 z = a R （其中 i為虛數單位），且 z = 2 ，則a =
1+ i
（ ）
A．2 B．±2 C． 2 2 D．±2 2
14．（2024·安徽蕪湖·模擬預測）已知復數 z 滿足 z(3 - 4i) =| 3+ 4i |，則 z =（ ）
3- 4i 3+ 4i -7 + 24i
A．3+ 4i B． C． D．
5 5 25
15．（2024·四川宜賓·模擬預測）已知虛數 z 滿足 z3 -1 = 0，且 z 是 z 的共軛復數，則下列結論錯誤的是
（ ）
A． z2 + z +1 = 0 B． z =1
C． z2 = z D． z + z2 + z3 +L+ z2024 = 0
16（多選）．（24-25 高三上·山西大同·期末）已知復數 z1, z2 ，下列說法正確的是（ ）
A z = z z2 = z2．若 1 2 ，則 1 2 B． z1z2 = z1 z2
C． z1 - z2 z1 + z2 D． z1 + z2 z1 + z2
17（多選）．（2024·山東·模擬預測）已知 z1 ， z2 為復數，則（ ）
A． z1 + z2 = z1 + z2 B
2
．若 z1 = z2 ，則 z1z2 = z1
C．若 z1 =1，則 z1 - 2 的最小值為 2 D．若 z1 × z2 = 0 ，則 z1 = 0 或 z2 = 0
18（多選）．（2024·廣西貴港·模擬預測）已知復數 z1 ， z2 ， z3，則下列說法中正確的有（ ）
A．若 z1z2 = z1z3，則 z1 = 0 或 z2 = z3 B．若 z
1 3 i 1 31 = - + ，則 z
2024
1 = - - i2 2 2 2
C．若 z21 + z22 = 0 ，則 z1 = z2 = 0 D．若 z1 z1 = z2 z2 ，則 | z1 |=| z2 |
05 復數與平面向量
uuur uuur uuur
19．（2024·江蘇南通·模擬預測）復數 2 - 3i 與-1+ i分別表示向量OA與OB ，記表示向量 AB 的復數為 z ，則
zz = ．
uuur uuur uuur
20．（2024·全國·模擬預測）如圖，復數 z 對應的向量為OZ ，且 z - i = 5，則向量OZ 在向量OP 上的投影向
量的坐標為（ ）
1 , 2 2 , 4 3 , 6 4 8 A． 5 5 ÷
B． C． D． ,5 5 ÷ 5 5 ÷ 5 5 ÷è è è è
uuur uuur
21．（22-23 2 2高三下·重慶·階段練習）向量OZ 對應的復數為 - + i ，把2 2 OZ 繞點
O按逆時針方向旋轉
uuuur uuuur
165°，得到OZ1 ，則OZ1 對應的復數為 （用代數形式表示）．
06 復數的最值、取值范圍問題
1- 2 3 + zn-1
22．（23-24 高三下·全國·強基計劃）復數列 zn+1 = ，且 Imz1 1，則 z -11 1 2 3 z 7 的最大值+ - n-1
是 ．
23．（23-24 高一下·重慶璧山·階段練習）已知復數 z = a + bi(a,b R)，且 z = 2
4 a - 5
，則 z + - 的最小值
z a + 3
是 ．
24．（23-24 高三下·安徽合肥·階段練習）已知復數 z 滿足 z - 2 - 3i =1，則 z +1+ i 的最小值為 ．
25．（2024· 2 2湖南永州·三模）已知復數 z1 = m - m - 5m + 6 i， z2 =10 - m2 - 3m i ，若 z1 < z2 （ z為 z 的共軛
復數），則實數m 的取值范圍為 .
07 復數的三角表示
z +1 1
26．（23-24 高三上·江蘇·開學考試）已知復數 z 滿足 z =1，且 = + ai，則 a =（ ）
z +1 3
1 2 2 3 4A． B． C． D．
3 3 5 5
27．（20-21 高三上·北京·強基計劃）設 45° < a < 90°，把復數 z1 = 2sina + i cosa 在復平面上對應的向量按照
順時針方向旋轉135°后得到復數為 z2 = r(sin b + i cos b )，那么 tan b =（ ）
2 tana +1 2 tana -1
A． B．
2 tana -1 2 tana +1
1 1
C． D．
2 tana +1 2 tana -1
28．（2021·全國·三模）瑞士數學家歐拉被認為是歷史上最偉大的數學家之一，他發現了歐拉公式
eix = cosx + isinx x R ，它將三角函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系．特別是
當 x = p 時，得到一個令人著迷的優美恒等式 ep i +1 = 0，這個恒等式將數學中五個重要的數（自然對數的底
e，圓周率p ，虛數單位 i，自然數的單位 1 和數字 0）聯系到了一起，若 eia 表示的復數對應的點在第二象
限，則a 可以為（ ）
p 2p
A B C 3p
11p
． ． D
3 3
． 2 ． 6
一、單選題
1．（2023·陜西榆林·二模） i2020 = （ ）
A．i B．- i C．1 D． -1
2．（2024·廣西柳州·模擬預測）設復數 z1 ， z2 在復平面內的對應點關于虛軸對稱， z1 = 2 - i，則 z1z2 =
（ ）．
A．-5 B．5 C．-8 D．8
3．（2024·四川內江·模擬預測）若復數 z 滿足 z2 - 2z+4=0，則 z =（ ）
A． 3 B． 2 C． 5 D． 2
4．（2024·重慶九龍坡·三模）設 z1, z2 是關于 x 的方程 x2 + px + q = 0的兩根其中 p, q R ，若 z1 = -1+ 2i （ i
1 1
為虛數單位）.則 + =z z （ ）1 2
2
A．- B
2
． 3 C．-2 D．23
5．（2024·浙江杭州·模擬預測）已知方程 x2 + ix +1 = 0（其中 i為虛數單位）的兩根分別為 z1 ， z2 ，則有
（ ）
z z
A． z21 = z
2
2 > 0 B． z1 + z2 = z z
1 2
1 2 C． 1+ z1 = 1+ z2 D． = iz1 + z2
6．（2024·山東煙臺·三模）若復數 z 滿足 z = z - 2 - 2i ，則 z 的最小值為（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
uuur uuur
7．（2023·山西·模擬預測）設非零復數 z1 和 z2 在復平面內對應的向量分別為OP 和OQ ，其中 O 為原點，若
w z= 1
z 為純虛數，則（ ）2
uuur uuur uuur uuur
A．OP//OQ B． OP = OQ

C． OP + OQ OP - OQ D． OP + OQ = OP - OQ
8．（2024·云南曲靖·模擬預測）若復數 z = x + yi x, y R 且 z - 5 + i = 2 ，則滿足 2x - y -1 = 10 的復數 z
的個數為（ ）
A．0 B．2 C．1 D．4
二、多選題
9．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知 z1 ， z2 都是復數，下列正確的是（ ）
A．若 z1 = z2 ，則 z1z2 R B．若 z1z2 R ，則 z1 = z2
C．若 z1 = z2 ，則 z21 = z
2
2 D．若 z21 + z22 = 0 ，則 z1 = z2
10．（2024·河北滄州·模擬預測）復數 z = a - 3i a 0 ，則下列說法正確的有（ ）
A． z 在復平面內對應的點都位于第四象限
B． z 在復平面內對應的點在直線 y=- 3上
C． z - z = -6i
D． z + i 的最小值為 4
11．（2025·江蘇蘇州·模擬預測）1843 年，Hamilton 在愛爾蘭發現四元數．當時他正研究擴展復數到更高的
維次（復數可視為平面上的點）．他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數．根據哈密頓記述，他
于 10 月 16 日跟妻子在都柏林的皇家運河上散步時突然想到的方程解．之后哈密頓立刻將此方程刻在
Broughant Bridge．對四元數u = a + bi + cj+ dk ， a,b,c, d R的單位 i, j,k ，其運算滿足： i2 = j2 = k2 = -1，
ij = k ， jk = i， ki = j， ji = -k， kj = -i ， ik = - j；記u = a - bi - cj- dk， N u = uu = a2 + b2 + c2 + d 2 ，
u = a2 + b2 + c2 + d 2 ，定義u-1
1
= ，記所有四元數構成的集合為V ，則以下說法中正確的有（
u ）
A．集合 1,i, j, k 的元素按乘法得到一個八元集合
B．若非零元u,v V ，則有：u-1vu = v-1
C．若u,v V ，則有： N uv = N u N v
-1 u
D．若非零元u V ，則有：u = u2
三、填空題
2 + i
12．（2024·北京·三模）若 是純虛數，則實數 a 的值為 .
1- ai
1+ i
13 2．（2024·廣西·模擬預測）已知 i 為虛數單位，若非零復數 z 滿足 2 + i z = z ，則 = ．
z
1
14．（2024·貴州貴陽·模擬預測）如果復數 z = x + yi x R, y R ， z1 = -2， z2 = - ， z2 3 = i 在復平面內對
uuur uuuur uuuur
應的點分別為Z ，Z1 ，Z2 ，Z3，復數 z 滿足 z - z1 = 2 z - z2 ，且Z1Z = lZ1Z2 + mZ1Z3 l R, m R ，則
3l + 2m 的最大值為 .
四、解答題
15．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）歐拉（1707-1783），他是數學史上最多產的數學家之一，他發現并證明
了歐拉公式 eiq = cosq + isinq ，從而建立了三角函數和指數函數的關系，若將其中的q 取作 π就得到了歐拉
恒等式 eiπ +1 = 0，它是令人著迷的一個公式，它將數學里最重要的幾個量聯系起來，兩個超越數——自然
對數的底數 e，圓周率 π，兩個單位——虛數單位 i和自然數單位1，以及被稱為人類偉大發現之一的 0 ，數
學家評價它是“上帝創造的公式”，請你根據歐拉公式： eiq = cosq + isinq ，解決以下問題：
π
(1)將復數 ie 3 + eπi 表示成 a + bi（ a,b R ， i為虛數單位）的形式；
π i
(2) e 2 + eq i求 q R 的最大值；
(3)若 zn = 1，則 z = zk k = 0,1,2,L,n -1 z cos
2kπ
，這里 k = + i sin
2kπ k = 0,1,2,L,n -1 ，稱 z 為1的一個 n
n n k
5 4 3 2 1 2π
次單位根，簡稱單位根．類比立方差公式，我們可以獲得 x -1 = x -1 x + x + x + x +1 ，復數 iz = e 5 ，
H x = x2 + x + 2，求H z H z2 H z3 H z4 的值．
16．（2024·貴州黔南·二模）1799 年，哥廷根大學的高斯在其博士論文中證明了如下定理：任何復系數一元 n
次多項式方程在復數域上至少有一根（ n 1）.此定理被稱為代數基本定理，在代數乃至整個數學中起著基
礎作用.由此定理還可以推出以下重要結論： n次復系數多項式方程在復數域內有且只有 n個根（重根按重數
計算）. n n-1對于 n次復系數多項式 f x = x + an-1x + ×××+ a1x + a0 ，其中 an-1， an-2 ， × × ×,a0 C，若方程 f x = 0
ì n
xi = -an-1
i=1
n
xi x j = an-2
n x , x , , x
1 i< j n
有 個復根 1 2 × × × n ，則有如下的高階韋達定理： í n
xi x j x k = -an-31 i< j
M
n
x1x2 × × × xn = -1 a0
(1)在復數域內解方程 x2 + 4 = 0；
(2)若三次方程 x3 + ax2 + bx + c = 0的三個根分別是 x1 =1- i， x2 =1+ i， x3 = 2（ i為虛數單位），求 a，b ， c
的值；
(3) n 4 n n-1在 的多項式 f x = x + an-1x + ×××+ a1x + a0 中，已知 an-1 = -1， a1 = -n2a， a0 = a ， a為非零實數，
且方程 f x = 0的根恰好全是正實數，求出該方程的所有根（用含 n的式子表示）.專題 21 復數（七大題型+模擬精練）
目錄：
01 復數的有關概念
02 復數的幾何意義
03 實系數有關的一元二次方程
04 復數的四則運算
05 復數與平面向量
06 復數的最值、取值范圍問題
07 復數的三角表示
01 復數的有關概念
1．（2024·新疆·三模）復數 z 滿足 z + 2i = z ，則 z 的虛部為（ ）
A．- i B． i C． -1 D．1
【答案】C
【分析】設 z = a + bi ，根據模長公式列出方程，求出b = -1，得到答案.
【解析】設 z = a + bi 且 a,b R ，則 z + 2i=a + bi + 2i = a + b + 2 i ，
因為 z + 2i = z ，所以 a2 + b + 2 2 = a2 + b2 ,解得：b = -1，則 z 的虛部為 -1 .
故選：C
2i
2．（24-25 高三上·云南·階段練習）已知復數 z = ，則下列說法正確的是（
1 i ）+
A． z =1- i B． z = 2 C． z =1+ i D． z 的虛部為 i
【答案】B
【分析】利用復數的除法運算求得 z =1+ i，進而可判斷每個選項的正確性.
2i 2i(1- i)
【解析】由題意及圖得， z = = =1+ i1+ i (1+ i)(1- i) ，
所以 | z |= 12 +12 = 2 ， z = 1- i， z 的虛部為 1.
故選：B.
z -1
3．（2024·山東青島·三模）已知復數 z 滿足 = i，則 z 的虛部為（ ）1- i
A．i B．- i C．1 D． -1
【答案】D
【分析】根據復數的乘法運算求出復數 z ，再根據共軛復數及復數虛部的定義即可得解.
z -1
【解析】由 = i，
1- i
得 z -1 = i 1- i =1+ i ，所以 z = 2+ i，
所以 z = 2 - i，其虛部為 -1 .
故選：D.
a
4．（2024·內蒙古呼倫貝爾·二模）若 a,b R ，純虛數 z 滿足 z - a = 2z - b i ，則 =（
b ）
1 1A．2 B．-2 C． D．-2 2
【答案】B
【分析】利用純虛線的定義假設 z = mi ，再利用復數的四則運算與復數相等的條件得到 a,b關于m 的表示，
從而得解.
【解析】設 z = mi （m R ，且m 0 ），
則-a + mi = 2mi - b i = -2m - bi ，
a
所以 a = 2m，b = -m，則 = -2 .
b
故選：B.
02 復數的幾何意義
5．（23-24 高三下·湖北·開學考試）已知復數 z 滿足 z × z = 2 3 - 2i，則復數 z 在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】設復數 z = a + bi a,b R ，代入 z × z = 2 3 - 2i，根據復數相等和復數的幾何意義可得答案.
【解析】設復數 z = a + bi a,b R ，
因為 z × z = 2 3 - 2i，
所以 a2 + b2 × a + bi = a a2 + b2 + b a2 + b2 i = 2 3 - 2i ，
ì a a2 + b2 = 2 3 ì a = 3
可得 í ，解得 í ，所以 z = 3 - i ，
b a2 + b2 = -2 b = -1
則復數 z 在復平面內對應的點位于第四象限.
故選：D.
6．（23-24 高三上·湖北·期中）已知 i為虛數單位， a為實數，復數 z = 2i × 1+ ai 在復平面內對應的點為 M ，
則“ a > 1 ”是“點M 在第二象限”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根據復數的運算將復數化簡，然后根據復數幾何意義求出復平面中的點，根據點在第二象限要求
確定 a的值，然后根據條件判斷進行判斷即可.
z = 2i × 1+ ai = 2i + 2ai2【解析】復數 = -2a + 2i，
所以在復平面點為M ，則M -2a, 2 ，
當點M 在第二象限時，-2a < 0，即 a > 0，
因為 a > 1 a > 0， a > 0 a > 1，
所以“ a > 1 ”是“點M 在第二象限”的充分不必要條件.
故選：A.
7．（23-24 高一下·廣東江門·期末）已知復數 z = x + yi x，y R ，則復平面內點Z 滿足 z - 2 + 3i = 2的圖
形的面積是（ ）
A．2 B．4 C．2p D． 4p
【答案】D
【分析】利用復數的幾何意義，在復平面中求出復數 z 的所有點構成的軌跡方程，再計算面積即可
【解析】因為 z = x + yi x，y R ，
所以 z - 2 + 3i = x + yi - 2 + 3i = x - 2 + y - 3 i
因為 z - 2 + 3i = 2，
所以 z - 2 + 3i = x - 2 2 + y - 3 2 = 2，即 x - 2 2 + y - 3 2 = 4，
所以復平面內點Z 滿足 z - 2 + 3i = 2的圖形是以 2,3 為圓心，以 2 為半徑的圓，
所以它的面積為 π 22 = 4π ，
故選：D.
8．（2024·寧夏·二模）已知復數 z 滿足 z - 4 + 5i =1，則 z 在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】設出復數的代數形式，利用復數模的意義列出方程即可判斷得解．
【解析】令 z = x + yi, x, y R ，
2
因為 z - 4 + 5i =1，所以 x - 4 + (y + 5)2 =1，
即點 (x, y)在以 4, -5 為圓心，1 為半徑的圓上，該圓在第四象限內，
所以 z 在復平面內對應的點位于第四象限，
故選：D
9．（23-24 高一下·遼寧·期中）在復平面內，復數 z1, z2 對應的點關于直線 y = x 對稱，若 z1 = 2 + i ，則 z2 +1- 3i =
（ ）
A． 29 B．5 C． 5 D．1
【答案】C
【分析】由 z1, z2 關于直線 y = x 對稱求出 z2 ，再根據復數模的定義計算即可．
【解析】因為 z1 = 2 + i ，所以其對應點為 2,1 ，
2,1 關于直線 y = x 對稱的點為 1,2 ，則 z2 =1+ 2i ，
所以 z2 +1- 3i = 1+ 2i +1- 3i = 2 - i = 2
2 +12 = 5 ，
故選：C．
03 實系數有關的一元二次方程
10．（2024·湖南岳陽·三模）若虛數單位 i是關于 x 的方程 ax3 + bx2 + 2x +1 = 0(a,b R)的一個根，則 a + bi =
（ ）
A． 2 B．2 C． 5 D．5
【答案】C
【分析】利用方程根的意義，結合復數為 0 的充要條件求出 a,b，再求出復數的模.
【解析】依題意， ai3 + bi2 + 2i +1 = 0，即 (2 - a)i + (1- b) = 0，又 a,b R ，
則 a = 2,b =1，所以 a + bi = 2 + i = 22 +12 = 5 .
故選：C
11．（23-24 高三上·湖北武漢·期末）已知 i是關于 x 的方程 2x2 + px + q = 0 （p， q R ）的一個根，則 p + q =
（ ）
A．0 B．-2 C．2 D．1
【答案】C
【分析】把根代入方程，利用復數的相等求出 p, q即可
【解析】 i是關于 x 的方程 2x2 + px + q = 0 的一個根，
把 i代入方程，有-2 + pi + q = 0，則有 p = 0, q = 2，所以 p + q = 2 .
故選：C
12．（2024·全國·模擬預測）已知 1+ i b = a i -1 + 2i，其中 a,b R ，i 為虛數單位，則以 a,b為根的一個一
元二次方程是（ ）
A． x2 -1= 0 B． x2 + x = 2 C． x2 - x = 0 D． x2 + x = 0
【答案】A
【分析】先根據復數相等求解出 a,b，然后再判斷出能滿足條件的方程即可.
【解析】因為 1+ i b = a i -1 + 2i，所以b + bi = -a + a + 2 i，
ìb = -a ìa = -1
所以 íb a 2，所以 = +
í
b =1
，
因此所選方程的兩根為 ±1，僅有 x2 -1= 0符合要求，
故選：A.
04 復數的四則運算
13．（2023·陜西榆林·模擬預測）已知復數 z z
a
滿足 = a R （其中 i為虛數單位），且 z = 2 ，則a =
1+ i
（ ）
A．2 B．±2 C． 2 2 D．±2 2
【答案】B
【分析】先對復數化簡，然后由 z = 2 列方程可求出 a
a a(1- i) a - ai a a
【解析】 z = = = = - i1+ i (1 ，+ i)(1- i) 2 2 2
2 2
z = 2 a a+ - 因為 ，所以 2 ÷ ÷
= 2，
è è 2
化簡得 a2 = 4，解得 a = ±2 .
故選：B
14．（2024·安徽蕪湖·模擬預測）已知復數 z 滿足 z(3 - 4i) =| 3+ 4i |，則 z =（ ）
3- 4i 3+ 4i -7 + 24i
A．3+ 4i B． C． D．
5 5 25
【答案】C
【分析】利用復數的四則運算及模長公式即可求得 z .
【解析】因為 z(3 - 4i) =| 3+ 4i |，
3+ 4i 5 3 + 4i 5 3 + 4iz 3+ 4i所以 = = = =3- 4i 3- 4i 3 + 4i 25 5 .
故選：C
15．（2024·四川宜賓·模擬預測）已知虛數 z 滿足 z3 -1 = 0，且 z 是 z 的共軛復數，則下列結論錯誤的是
（ ）
A． z2 + z +1 = 0 B． z =1
C． z2 = z D． z + z2 + z3 +L+ z2024 = 0
【答案】D
A B A z 1 3【分析】對 ，根據立方差公式判斷即可；對 ，由 可解得 = - ± i，結合復數的模長即可判斷；對
2 2
C z 1 3，根據 = - ± i求解即可；對 D，根據等比數列的求和公式結合 z3 =1， z2 + z +1 = 0求解即可.
2 2
A z3 1 0 z -1 z2【解析】對 ，因為 - = ，故 + z +1 = 0，因為 z 為虛數，故 z2 + z +1 = 0，故 A 正確；
1 3
對 B，由 z2 + z +1 = 0可得 z = - ± i，故 z =1，故 B 正確；
2 2
1 3 1 3
對 C，當 z = - + i時， z2 = - - i，此時 z2 = z 成立，
2 2 2 2
z 1 3當 = - - i時， z2 1 3= - + i，此時 z2 = z 成立，故 C 正確；
2 2 2 2
z 1- z2024
對 D， z + z2 + z3 2024

+L+ z = ，因為 z3 =1， z2 + z +1 = 0，
1- z
z 1- z2024 z 1- z2
故 = = z 1+ z = z2 + z = -1，故 D 錯誤.
1- z 1- z
故選：D
16．（24-25 高三上·山西大同·期末）已知復數 z1, z2 ，下列說法正確的是（ ）
A 2 2．若 z1 = z2 ，則 z1 = z2 B． z1z2 = z1 z2
C． z1 - z2 z1 + z2 D． z1 + z2 z1 + z2
【答案】BCD
【分析】舉出反例即可判斷 A；根據復數的乘法運算及復數的模的公式即可判斷 B；根據復數加減法的幾何
意義及坐標表示即可判斷 CD.
【解析】對于 A，設 z1 =1+ 2i, z2 = 2 + i，顯然 z1 = z2 ，
z2但 1 = -3+ 4i z
2
2 = 3+ 4i，故 A 錯；
對于 B，設 z1 = a + bi, z2 = c + di，
則 z1z2 = ac - bd + ad + bc i，
z1z2 = ac - bd
2 + ad + bc 2 = a2c2 + a2d 2 + b2c2 + d 2d 2 ，
z z = a2 + b2 × c2 + d 2 21 2 = a c
2 + a2d 2 + b2c2 + d 2d 2 ，
所以 z1z2 = z1 z2 ，故 B 對；
uuuur
對于 CD，根據復數的幾何意義可知，復數 z1 在復平面內對應向量OZ1 ，
uuuur
復數 z2 對應向量OZ2 ，復數加減法對應向量加減法，
uuuur uuuur
故 z1 - z2 和 z1 + z2 分別為OZ1 和OZ2 為鄰邊構成平行四邊形的兩條對角線的長度，
所以 z1 - z2 z1 + z2 ， z1 + z2 z1 + z2 ，故 C 對，D 對.
故選：BCD.
17．（2024·山東·模擬預測）已知 z1 ， z2 為復數，則（ ）
A． z1 + z2 = z1 + z
2
2 B．若 z1 = z2 ，則 z1z2 = z1
C．若 z1 =1，則 z1 - 2 的最小值為 2 D．若 z1 × z2 = 0 ，則 z1 = 0 或 z2 = 0
【答案】BD
【分析】通過列舉特殊復數驗證 A；設 z1 = a + bi, a,b R ，則 z2 = a - bi, a,b R ，通過復數計算即可判斷
B；設 z1 = a + bi, a,b R ，由復數的幾何意義計算模長判斷 C；由 z1 × z2 = 0 得 z1 z2 = 0，即可判斷 D.
【解析】對于 A，若 z1 =1+ i,z2 =1- i，則 z1 + z2 = 1+ i +1- i = 2， z1 + z2 = 1+ i + 1- i = 2 2 ，則
z1 + z2 z1 + z2 ，故 A 錯誤；
對于 B，設 z1 = a + bi, a,b R ，則 z2 = a - bi, a,b R ，
2 2 2
所以 z1z2 = a + bi a - bi = a + b ，而 z1 = a2 + b2 ，
2
所以 z1z2 = z1 ，故 B 正確；
對于 C，設 z = a + bi, a,b R ，因為 z =1，所以 a21 1 + b2 =1，
所以 z - 2 = a - 2 + bi = a - 2 2 + b2 = a2 + b21 - 4a + 4 = 5 - 4a ，
因為-1 a 1，所以1 5 - 4a 9，所以 z1 - 2 的最小值為 1，故 C 錯誤；
對于 D，若 z1 × z2 = 0 ，所以 z1 × z2 = 0，所以 z1 z2 = 0，
所以 z1 = 0或 z2 = 0 ，所以 z1, z2 至少有一個為 0，故 D 正確.
故選：BD
18．（2024·廣西貴港·模擬預測）已知復數 z1 ， z2 ， z3，則下列說法中正確的有（ ）
A 1 3 1 3．若 z z = z 20241 2 1z3，則 z1 = 0 或 z2 = z3 B．若 z1 = - + i，則 z1 = - - i2 2 2 2
C．若 z2 + z21 2 = 0 ，則 z1 = z2 = 0 D．若 z1 z1 = z2 z2 ，則 | z1 |=| z2 |
【答案】ABD
A z3 2024【分析】根據復數的運算法則可判斷 ；先計算 1 =1，再求 z1 ，判斷 B；用特例驗證 C；利用 z × z = z
2
說
明 D 正確.
【解析】對于 A， z1z2 = z1z3 z1(z2 - z3) = 0 z1 = 0或 z2 = z3 ，故 A 正確．
B z2 1 3= - - i z3 1 3 n對于 ，方法： 1 ， 1 =1， z
4
1 = - + i，所以 z1 以 3 為周期，所以2 2 2 2
z2024 3 674+21 = z1 = z
2 1 3
1 = - - i，故 B 正確．2 2
z = cos 2π + i sin 2π z 2π1 z2024方法二（復數的三角表示）： 1 ，所以 1 的模為 ，輻角為 ，則 1 的模為 1，輻角為3 3 3
2π
2024 = 2π 674 4π+ ，
3 3
所以 z2024 4π1 = cos + i sin
4π 1 3
= - - i．故 B 正確．
3 3 2 2
對于 C，取 z1 =1， z2 = i，則 z21 + z22 = 0 ，此時 z1 z2 ，故 C 錯誤．
對于 D， z1 z1 =| z1 |
2， z2 z =| z |
2
2 2 ，所以 z1 z1 = z2 z2 | z1 |=| z2 |，故 D 正確．
故選：ABD
05 復數與平面向量
uuur uuur uuur
19．（2024·江蘇南通·模擬預測）復數 2 - 3i 與-1+ i分別表示向量OA與OB ，記表示向量 AB 的復數為 z ，則
zz = ．
【答案】25
uuur uuur uuur
【分析】根據題意，由向量的減法可得 z = AB = OB - OA，再由復數的乘法運算，代入計算，即可求解.
uuur uuur uuur
【解析】由題意可知， z = AB = OB - OA = -1+ i - 2 - 3i = -3 + 4i，
則 z = -3- 4i ，所以 zz = -3+ 4i -3- 4i = 9 +16 = 25 .
故答案為：25
uuur uuur uuur
20．（2024·全國·模擬預測）如圖，復數 z 對應的向量為OZ ，且 z - i = 5，則向量OZ 在向量OP 上的投影向
量的坐標為（ ）
1 , 2 2 4 3 6 4 8 A． B．5 5 ÷
, ÷ C． ,5 5 5 5 ÷
D． , ÷
è è è è 5 5
【答案】D
【分析】首先根據復數的幾何意義設出復數 z = -m+ mi m > 0 ，再根據復數模的公式，即可求解m ，再代
入向量的投影公式，即可求解.
2
【解析】由題圖可知， z = -m+ mi m > 0 ，則 z -i = -m+ m-1 i = m2 + m-1 =5，
解得m = 4 （m = -3舍去），
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur OZuu×OP OP所以OZ = -4,4 ，OP = 2,4 ，則向量OZ 在向量OP 上的投影向量為 ur × uuurOP OP ，
-4,4 × 2,4 2,4 8 2,4 4 8
所以其坐標為 = = , ÷．
22 + 42 22 + 42 20 20 è 5 5
故選：D
uuur uuur
21．（22-23 2 2高三下·重慶·階段練習）向量OZ 對應的復數為 - + i ，把2 2 OZ 繞點
O按逆時針方向旋轉
uuuur uuuur
165°，得到OZ1 ，則OZ1 對應的復數為 （用代數形式表示）．
1 3
【答案】 - i
2 2

Z 2 2

【分析】依題意可得 - , ÷÷，設角a 0° a < 360° 的終邊過點Z ，即可求出a ，再求出
è 2 2
uuuur
sin a +165° ， cos a +165° ，即可求出旋轉后對應的Z1 ，即可求出OZ1 對應的復數.
uuur 2 2 2 2 2 2
【解析】因為向量OZ 對應的復數為 - + i ，則在復平面內復數 - + i 對應的點為Z - , ÷2 2 2 2 2 2 ÷，è

設角a 0° a < 360° Z 2 , 2- 2 2的終邊過點 ，則 ， ，
è 2 2
÷÷ sina = cosa = -
2 2
所以a =135°，
由a +165° = 300° 3，所以 sin a +165° = sin 300° = -sin 60° = - ，
2
cos a +165° = cos300 cos 60 1° = ° = ，
2
uuur uuuur 1 3
將把OZ 繞點O按逆時針方向旋轉165°得到OZ1 ，則Z1 ,-2 2 ÷÷，è
uuuur
所以OZ 1 31 對應的復數為 - i .2 2
1 3
故答案為： - i
2 2
06 復數的最值、取值范圍問題
1- 2 3 + zn-1
22．（23-24 高三下·全國·強基計劃）復數列 zn+1 = Imz 1 z -11+ 1 2 3 z ，且 1 ，則 的最大值- 7n-1
是 ．
18
【答案】
1653 - 900 3 +10 3 -18
【分析】對遞推式進行處理，求出 z7 的表達式，然后使用幾何意義及圓的方程求解最大值.
1- 2 3 + z 1- 2 3 + zn-1 -1- 1- 2 3 zn-1 n-1 2 3 zn-1 -1
【解析】由已知有 zn+1 -1 = -1 = = ，1+ 1- 2 3 zn-1 1+ 1- 2 3 zn-1 1+ 1- 2 3 zn-1
z 1 1- 2 3 + z
1- 2 3 + zn-1 +1+ 1- 2 3 zn-1 2 - 2 3 z +1
+ = n-1
n-1
且 n+1 +1 = = .1+ 1- 2 3 zn-1 1+ 1- 2 3 zn-1 1+ 1- 2 3 zn-1
3
zn+1 +1 2 - 2 3 z +1 3 n-1 1 zn-1 +1= × = - × z +1
3 z +1
故 ÷÷ ，得
7 = - 1- ÷ ×
1
÷ .zn+1 -1 2 3 zn-1 -1 è 3 zn-1 -1 z7 -1 è 3 z1 -1
3

設 z1 = a + bi a,b R,b 1
z7 +1 3 a + bi +1，則 = -
z
1- ÷÷ × .
7 -1 è 3 a + bi -1
3

1 3 a + bi +1 - × -1
è 3
÷
a + bi -1
解得 z7 = 3 .

1
3 a + bi +1
- ÷ × +1
è 3 a + bi -1
a + bi +1 2c a + b
2 -1- 2bi 2 a -1
由于對 c > 0，有 + = 2 + c = 1+ c
2b
+ - i .
a + bi -1 a -1 + b2 a -1 2 + b2 a -1 2 + b2
2 2
2 a -1
而由 2 ÷ +
2b ÷ 4 2 2b 2b= = × 2 × 可知，復數在復平面上位
a -1 + b2 ÷ è è a -1
2 + b2 ÷ a -1 2 + b2 b a -1 2 + b2 a -1 2 + b2
于區域 x2 + y2 2y 內，即圓 x2 + y -1 2 =1內部或其邊界上.
a + bi +1 2 a -1 2b
從而 + c = 1+ c + 2 - 2 i 1+ c
2 +12 -1 .
a + bi -1 a -1 + b2 a -1 + b2
-3 -3 2
a + bi +1 3 3
故 + 1- ÷ ÷ 1+ 1- ÷ ÷÷ +1
2 -1.
a + bi -1 è 3 3 ÷è è
3

1 3
a + bi +1
- ÷ × -1
z 1 è
3 a + bi -1 1 2所以 7 - = 3 - =
3
1 3
a + bi +1
- ÷ × +1 1
3 a + bi +1
- × +1
è 3 a + bi -1
÷
è 3 a + bi -1
2 1 2 1
= 3 × 3 ×
-3 2
1 3- a + bi +1
3 3 1 1-
-3
+ -
è 3
÷ ÷
a + bi -1
3 ÷ è 3 1
3
+ 1- ÷ ÷ +12 -1è 3 ÷
è è
2 18
= =
3 2 6 3 3 3 3 1653- 900 3 +10 3 -18 . 1- ÷ +1÷ + 1- - 3 ÷ 3 ÷
1- ÷
èè
3
è è
2 a -1 2b -3
而當b =1，且復數 2 - 2 i

位于圓 x2 +y2
3
2 2 +2y = 0上，且在圓心與 -1- 1- ,0÷ a -1 + b a -1 ÷ 的連線+ b 3 ÷è è ÷
上時，等號成立.
18
所以 z7 -1 的最大值是 .1653 - 900 3 +10 3 -18
18
故答案為： .
1653 - 900 3 +10 3 -18
4 a - 5
23．（23-24 高一下·重慶璧山·階段練習）已知復數 z = a + bi(a,b R)，且 z = 2，則 z + - 的最小值
z a + 3
是 ．
【答案】1
z = 2 2 4 (a + bi)(a - bi)【分析】由 ，得 a + b2 = 4，-2 a 2，則 z + = a + bi + = 2a，所以z a + bi
z 4 a - 5 (a + 3) -8+ - = 2a - ，變形后利用基本不等式可求得結果.
z a + 3 a + 3
【解析】因為復數 z = a + bi(a,b R)，且 z = 2，
所以 a2 + b2 = 4，所以 a2 4，得-2 a 2，
4 2 2
所以 z + = a + bi a + b a bi (a + bi)(a - bi)+ = + + = 2a，
z a + bi a + bi
4 a - 5
所以 z + - = 2a
(a + 3) -8
-
z a + 3 a + 3
= 2a 8+ -1
a + 3
2(a 3) 8= + + - 7，
a + 3
因為-2 a 2，所以 a + 3 > 0,
8
> 0，
a + 3
8
所以 2(a + 3) + - 7 2 2(a 8+ 3) × - 7 = 8 - 7 =1，
a + 3 a + 3
8
當且僅當 2(a + 3) = ，即 a = -1或 a = -5（舍去）時取等號，
a + 3
z 4 a - 5所以 + - 的最小值是 1.
z a + 3
故答案為：1
【點睛】關鍵點點睛：此題考查復數的運算，考查基本不等式的應用，解題的關鍵是化簡
z 4 a bi (a + bi)(a - bi)+ = + + = 2a，考查數學轉化思想，屬于較難題.
z a + bi
24．（23-24 高三下·安徽合肥·階段練習）已知復數 z 滿足 z - 2 - 3i =1，則 z +1+ i 的最小值為 ．
【答案】 4
【分析】由復數的幾何意義，數形結合得出 z +1+ i 的最小值并求出即可.
【解析】
如圖： z - 2 - 3i = z - 2 + 3 i =1 ，
則 z 的幾何意義是復平面內的動點 x, y 到定點 A 2,3 的距離等于1，
對應的軌跡為以A 為圓心，半徑為1的圓．
z +1+ i = z - -1- i 的幾何意義為動點 x, y 到定點B -1, -1 的距離，
由圖形可知：當點位于C 時， z +1+ i 取的最小值，
2 2
由 AB = -1- 2 + -1- 3 = 5，
所以 z +1+ i 的最小值為： AB -1 = 4，
故答案為：4
25．（2024·湖南永州· 2 2 2三模）已知復數 z1 = m - m - 5m + 6 i， z2 =10 - m - 3m i ，若 z1 < z2 （ z為 z 的共軛
復數），則實數m 的取值范圍為 .
【答案】 3
【分析】由題意可知 z1, z2 都是實數，且 z1 < z2 ,再結合共軛復數的定義列出不等式組，解出m 的取值范圍
即可.
【解析】Q z2 =10 - (m
2 - 3m)i ,\ z2 =10 + (m
2 - 3m)i ,
Q z1 < z2 ,\ z1 , z2 都是實數，且 z1 < z2 ,
ìm2 - 5m + 6 = 0
\ m2í - 3m = 0 ,解得m = 3 ,
m2 <10
即實數m 的取值范圍為{3}.
故答案為：{3}.
z +1 1
26．（23-24 高三上·江蘇·開學考試）已知復數 z 滿足 z =1，且 = + ai，則 a =（ ）
z +1 3
1 3 4
A． B 2 2． C． D．
3 3 5 5
【答案】B
z +1
【分析】由題設令 z = cosq + i sinq ，利用復數除法化簡 ，再由復數相等求 a .
z +1
【解析】令 z = cosq + i sinq -1，則 z = cosq - i sinq -1，
z +1 cosq +1+ i sinq (cosq +1+ i sinq )2 2cos2 q + 2cosq + 2sinq (cosq +1)i 1
所以 = =
z +1 cosq +1- i sinq (cosq +1)2 2
= = cosq + i sinq = + ai ，
+ sin q 2 + 2cosq 3
ì
cosq
1
=
3 a 1 cos2 q 2 2則 í ，故 = - = .
sinq = a 3
故選：B
07 復數的三角表示
27．（20-21 高三上·北京·強基計劃）設 45° < a < 90°，把復數 z1 = 2sina + i cosa 在復平面上對應的向量按照
順時針方向旋轉135°后得到復數為 z2 = r(sin b + i cos b )，那么 tan b =（ ）
2 tana +1 2 tana -1
A． B．
2 tana -1 2 tana +1
1 1
C． D．
2 tana +1 2 tana -1
【答案】B
【分析】利用復數乘法的幾何意義可求 tan b .
【解析】根據乘法的幾何意義可得：
r(sin b i cos b ) 2sina i cosa écos 3π 3π+ = + - + i sin - ùê ÷ ÷ ，
è 4 è 4 ú

整理得到： r(sin b + i cos b ) = 2sina + i cosa 2 2 - - i ÷÷
è 2 2

= - 2 sina 2+ cosa + i - 2 sina
2
- cosa
2 2 ÷÷
，
è
- 2 sina 2+ cosa
tan b 2 2 tana -1故 = = ，
2 2 tana +1
- 2 sina - cosa
2
故選：B.
28．（2021·全國·三模）瑞士數學家歐拉被認為是歷史上最偉大的數學家之一，他發現了歐拉公式
eix = cosx + isinx x R ，它將三角函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系．特別是
當 x = p 時，得到一個令人著迷的優美恒等式 ep i +1 = 0，這個恒等式將數學中五個重要的數（自然對數的底
e，圓周率p ，虛數單位 i，自然數的單位 1 和數字 0）聯系到了一起，若 eia 表示的復數對應的點在第二象
限，則a 可以為（ ）
p 2p 3p 11p
A． B． C． D．
3 3 2 6
【答案】B
【分析】將選項中所給的角逐一帶入，由歐拉公式把復數 eia 化為三角形式，再化為代數形式，即可判斷復
數在復平面內對應的點在第幾象限，從而得到結果.
【解析】得 eia = cosa + isina ，
a p
p i
當 = 3 p時，
3 e = cos + isin
p 1 3 i 1 3= + ，復數對應的點 ( , )在第一象限；
3 3 2 2 2 2
2p 2p ia = e 3 cos 2p isin 2p 1 3 i ( 1 3當 3 時， = + = - + ，復數對應的點 - , )在第二象限；3 3 2 2 2 2
a 3p
3p i
= e 2 cos 3p isin 3p當 時， = + = -i ，復數對應的點 (0, -1) 在 y 軸上；
2 2 2
α 11p
11p i
= e 6 cos11p isin 11p 3 1 3 1當 時，6 = + = - i
，復數對應的點 ( ,- )在第四象限；
6 6 2 2 2 2
故選：B．
【點睛】關鍵點點睛：該題考查的是有關數學文化類問題，正確解題的關鍵是理解歐拉公式，并能將復數
三角形式熟練化為代數形式，確定出復數在復平面內對應的點.
一、單選題
1．（2023·陜西榆林·二模） i2020 = （ ）
A．i B．- i C．1 D． -1
【答案】C
【分析】利用復數的乘方運算計算即得.
【解析】 i2020 = (i4 )505 =1.
故選：C
2．（2024·廣西柳州·模擬預測）設復數 z1 ， z2 在復平面內的對應點關于虛軸對稱， z1 = 2 - i，則 z1z2 =
（ ）．
A．-5 B．5 C．-8 D．8
【答案】A
【分析】由復數的幾何意義知 z2 = -2 - i，再由復數的四則運算，即可求解．
【解析】因為復數 z1 ， z2 在復平面內的對應點關于虛軸對稱，且 z1 = 2 - i，
所以 z2 = -2 - i，所以 z1z2 = 2 - i -2 - i = -5．
故選：A．
3．（2024·四川內江·模擬預測）若復數 z 滿足 z2 - 2z+4=0，則 z =（ ）
A． 3 B． 2 C． 5 D． 2
【答案】B
【分析】根據復數的四則運算以及復數模的計算公式即可求解.
【解析】因為 z2 - 2z + 4 = (z -1)2 + 3 = 0，
所以 (z -1)2 = -3 = 3i2 ，
解得 z = 1± 3i ，
所以 | z |= 1+ 3 = 2 .
故選：B.
4．（2024·重慶九龍坡·三模）設 z , z 是關于 x 的方程 x21 2 + px + q = 0的兩根其中 p, q R ，若 z1 = -1+ 2i （ i
1 1
為虛數單位）.則 + =z z （ ）1 2
2 2
A．- B． C3 ．-2 D．23
【答案】A
【分析】根據實系數一元二次方程在復數范圍內根的關系求出另一個根，再代入求解即可.
【解析】因為關于 x 的方程 x2 + px + q = 0( p, q R)的一個根為 z1 = -1+ 2i ，
所以另一個根 z2 = -1- 2i ，
1 1 1 1 -1- 2i -1+ 2i 2
所以 + = + = = -z1 z2 -1+ 2i -1- 2i .-1+ 2i -1- 2i 3
故選：A.
5．（2024·浙江杭州·模擬預測）已知方程 x2 + ix +1 = 0（其中 i為虛數單位）的兩根分別為 z1 ， z2 ，則有
（ ）
A 2 2
z z
． z1 = z2 > 0 B． z1 + z2 = z1z2 C． 1+ z1 = 1+ z2 D
1 2
． = iz1 + z2
【答案】D
【分析】設方程 x2 + ix +1 = 0的根為 z = a + bi ，將其代入方程中的 x 中，根據復數相等的條件，構造方程組，
解出 a , b .則兩根 z1, z2 知道了，再逐項代入驗證即可.
【解析】設方程 x2 + ix +1 = 0的根為 z = a + bi a,b R ，
代入方程， (a + bi)2 + i(a + bi) +1 = 0 ,整理得 (a2 - b2 - b +1) + (a + 2ab)i = 0，
2 2 ìa = 0ìa - b - b +1 = 0
故 í ，則 í -1± 5 ，
a + 2ab = 0 b = 2
z -1+ 5 -1- 5不妨令 1 = i,， z2 2
= i，
2
對于 A：因為 z2 5 - 3 2 3+ 5 2 21 = , z2 = - ，即 z1 z2 ，故 A 錯誤；2 2
對于 B： z1 + z2 = -i z1z2 = 1，故 B 錯誤.
2
C: 1 z 1 -1+ 5

i = 1 -1+ 5
5 - 5
對于 + 1 = + +2 2 ÷÷
= ,
è 2
2
1 z 1 -1- 5
-1- 5 i 1 5 + 5+ 2 = + = +2 2 ÷÷
= ，
è 2
因此， 1+ z1 1+ z2 ,故 C 錯誤.
z z 1
對于 D 1 2： = = iz1 + z -i
,故 D 正確.
2
故選:D.
6．（2024·山東煙臺·三模）若復數 z 滿足 z = z - 2 - 2i ，則 z 的最小值為（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】B
【分析】由復數的幾何意義即可求解.
【解析】若復數 z 滿足 z = z - 2 - 2i ，則由復數的幾何意義可知復數 z 對應的點集是線段OA的垂直平分線，
其中O 0,0 , A 2,2 ，
z 1 OA 1 2所以 的最小值為 = 2 + 22 = 2 .
2 2
故選：B.
uuur uuur
7．（2023·山西·模擬預測）設非零復數 z1 和 z2 在復平面內對應的向量分別為OP 和OQ ，其中 O 為原點，若
w z= 1
z 為純虛數，則（ ）2
uuur uuur uuur uuur
A．OP//OQ B． OP = OQ

C． OP + OQ OP - OQ D． OP + OQ = OP - OQ
【答案】D
【分析】設 z1 = a + bi ， z2 = c + di，w = ki ，根據題意結合復數的乘除法運算求出 a,b,c, d , k 的關系，再根據
復數的向量表示逐一判斷即可.
【解析】設 z1 = a + bi ， z2 = c + di，w = ki ，
其中 a，b，c，d， k R ，且 a，b 不同時為 0，c，d 不同時為 0， k 0，
由題意 a + bi = ki c + di = -kd + cki，
uuur uuur
所以OP ×OQ = (a,b) × (c, d ) = ac + bd = -kdc + kcd = 0，
uuur uuur
所以OP OQ，故 A 錯誤；
uuur uuur uuur uuur
OP = a2 + b2 , OQ = c2 + d 2 ，無法比較 OP , OQ 的大小，故 B 錯誤；
2 2OP + OQ × OP - OQ = OP - OQ ，

由 B 選項得，無法判斷 OP + OQ , OP - OQ 的關系，故 C 錯誤；
2 2
OP + OQ - OP - OQ = 4OP ×OQ = 0，

所以 OP + OQ = OP - OQ ，故 D 正確.
故選：D.
8．（2024·云南曲靖·模擬預測）若復數 z = x + yi x, y R 且 z - 5 + i = 2 ，則滿足 2x - y -1 = 10 的復數 z
的個數為（ ）
A．0 B．2 C．1 D．4
【答案】A
【分析】由 z - 5 + i = 2 可得復數 z 對應的點在圓心為 5,-1 ，半徑為 2 的圓上，
又 2x - y -1 = 10 的幾何意義為復數 z 在復平面內的點到直線 2x - y -1 = 0 的距離為 2 ，則由圓心 5,-1 到
直線 2x - y -1 = 0 的距離為 2 5 ，即可得到復數 z 的個數.
【解析】因為 z = x + yi，所以 z - 5 + i = x - 5 + y +1 i，
又 z - 5 + i = 2 2 2，所以 x - 5 + y +1 = 2，
即復數 z 對應的點在圓心為 5,-1 ，半徑為 2 的圓上，
2x - y -1
又 2x - y -1 = 10 可以變形為 = 2 ，
5
即其幾何意義為復數 z 在復平面內的點到直線 2x - y -1 = 0 的距離為 2 ，
2 5 - -1 -1
又圓心 5,-1 到直線 2x - y -1 = 0 的距離為 = 2 5
22
，
- -1 2
而 2 5 - 2 > 2 ，所以滿足條件的 z 不存在.
故選：A.
二、多選題
9．（2024·江蘇南通·模擬預測）已知 z1 ， z2 都是復數，下列正確的是（ ）
A．若 z1 = z2 ，則 z1z2 R B．若 z1z2 R ，則 z1 = z2
C．若 z1 = z 2 22 ，則 z1 = z2 D．若 z21 + z22 = 0 ，則 z1 = z2
【答案】AD
【分析】根據共軛復數的定義及復數的乘法運算即可判斷 A；舉出反例即可判斷 BC；根據復數的乘法運算
及復數的模的計算公式即可判斷 D.
【解析】設 z1 = a + bi, z2 = c + di, a,b,c,d R ，
對于 A， 若 z1 = z2 ，則 z1 = c - di，故 z1z2 = c
2 + d 2 R ，故 A 正確；
對于 B，當 z1 = z2 = i時， z1z2 = -1 R, z2 = -i z1，故 B 錯誤；
2 2
對于 C，當 z1 =1, z2 = i時， z1 =1, z2 = -1，故 C 錯誤；
對于 D，若 z2 21 + z2 = 0 ，則 z
2
1 = -z
2 2 2 2
2 ，所以 z1 = -z2 = z2 ，
z2 = a2 - b2 + 2abi = a2 2 2 2 2 21 - b + 4a b = a2 + b2 = a2 + b2 = z 21 ，
2 2 2 2
同理 z2 = z2 ，所以 z1 = z2 ，所以 z1 = z2 ，故 D 正確.
故選：AD.
10．（2024·河北滄州·模擬預測）復數 z = a - 3i a 0 ，則下列說法正確的有（ ）
A． z 在復平面內對應的點都位于第四象限
B． z 在復平面內對應的點在直線 y=- 3上
C． z - z = -6i
D． z + i 的最小值為 4
【答案】BC
【分析】由復數的幾何意義，即可判斷 A 和 B；根據共軛復數的概念及復數的加減運算法則判斷 C；由復數
的模即可判斷 D．
【解析】對于 AB，因為 z = a - 3i，所以 z 在復平面內對應的點為 a,-3 a 0 ，故 A 錯誤，B 正確；
對于 C， z = a + 3i, z - z = a - 3i - a + 3i = -6i ，故 C 正確；
對于 D， z + i = a - 2i = a2 + 4 2 ，當 a = 0時， z + i 取最小值為 2，故 D 錯誤；
故選：BC．
11．（2025·江蘇蘇州·模擬預測）1843 年，Hamilton 在愛爾蘭發現四元數．當時他正研究擴展復數到更高的
維次（復數可視為平面上的點）．他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數．根據哈密頓記述，他
于 10 月 16 日跟妻子在都柏林的皇家運河上散步時突然想到的方程解．之后哈密頓立刻將此方程刻在
Broughant Bridge．對四元數u = a + bi + cj+ dk ， a,b,c, d R的單位 i, j,k ，其運算滿足： i2 = j2 = k2 = -1，
ij = k ， jk = i， ki = j， ji = -k， kj = -i ， ik = - j；記u = a - bi - cj- dk， N u = uu = a2 + b2 + c2 + d 2 ，
1
u = a2 + b2 + c2 + d 2 -1，定義u = ，記所有四元數構成的集合為V ，則以下說法中正確的有（
u ）
A．集合 1,i, j, k 的元素按乘法得到一個八元集合
B．若非零元u,v V ，則有：u-1vu = v-1
C．若u,v V ，則有： N uv = N u N v
-1 u
D．若非零元u V ，則有：u = u2
【答案】ACD
【分析】對于 A，利用已知條件求出所求集合為 1,i, j, k, -1, -i, - j, -k 即可；對于 B，直接給出反例u =1， v = 2
即可；對于 C，利用 N u 的定義計算即可；對于 D，利用 C 選項的結果驗證即可.
【解析】對于 A，由于 i2 = j2 = k2 = -1， ji = -k， kj = -i ， ik = - j，故集合 1,i, j, k 的元素按乘法可以得到
集合 1,i, j, k,-1,-i,- j,-k ，容易驗證該集合中任意兩個元素的乘積還在該集合中，故集合 1,i, j, k 的元素按
乘法得到的集合是八元集合 1,i, j, k,-1,-i,- j,-k ，故 A 正確；
B u =1 v = 2 u-1vu =1-1
1 -1
對于 ，取 ， ，則 × 2 ×1 =1×2 ×1 = 2 = 2 = v-1，故 B 錯誤；
2
對于 C，若u,v V ，設u = a + bi + cj+ dk ， v = x + yi + zj+ wk ，則
N uv = N a + bi + cj+ dk x + yi + zj+ wk
= N ax - by - cz - dw + ay + bx + cw - dz i + az + cx + dy - bw j+ aw + dx + bz - cy k
= ax - by - cz - dw 2 + ay + bx + cw - dz 2 + az + cx + dy - bw 2 + aw + dx + bz - cy 2
= a2x2 + b2x2 + c2x2 + d 2x2 + a2 y2 + b2 y2 + c2 y2 + d 2 y2 + a2z2 + b2z2 + c2z2 + d 2z2 + a2w2 + b2w2 + c2w2 + d 2w2
= a2 + b2 + c2 + d 2 x2 + y2 + z2 + w2
= N a + bi + cj+ dk N x + yi + zj+ wk
= N u N v ，故 C 正確；
2
對于 D，根據題目中的定義有 N u = u ，從而
u u uu uu
N u N u N u
× = = = = = =1
u2 u2 N u2 N .u2 N u ×u N u N u
-1 u
所以u = u2 ，故 D 正確.
故選：ACD.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于對新定義的理解，只有理解了定義，方可求解所求的問題.
三、填空題
2 + i
12．（2024·北京·三模）若 是純虛數，則實數 a 的值為 .
1- ai
【答案】 2
【分析】求出復數的代數形式，然后根據純虛數的定義列方程求解即可.
2 + i 2 + i 1+ ai 2 - a + 2a +1 i
【解析】 = =1- ai 1- ai 1 ，+ ai 1+ a2
2 + i
因為 是純虛數，
1- ai
ì2 - a = 0
所以 í ，得 a = 2 .
2a +1 0
故答案為： 2
1+ i
13．（2024· 2廣西·模擬預測）已知 i 為虛數單位，若非零復數 z 滿足 2 + i z = z ，則 = ．
z
3 1
【答案】 + i
5 5
【分析】設 z = x + yi，x， y R ，由已知可得 2x + y + x - 2y i = x2 + y2 ，利用復數相等的條件可求得
1+ i
z = 2+ i，進而可求 .
z
【解析】設 z = x + yi，x， y R ，
2
則 2 + i z = 2 + i x - yi = 2x + y + x - 2y i = x2 + y2 = z ，
ì2x + y = x2 + y2 ìx = 2 ìx = 0
即 í ，解得 或 í （舍去），
x - 2y 0
í
= y =1 y = 0
1+ i 1+ i (1+ i)(2 - i) 3 1
則 z = 2+ i，所以 = = = + i ．
z 2 + i 5 5 5
3 1
故答案為： + i .
5 5
1
14．（2024·貴州貴陽·模擬預測）如果復數 z = x + yi x R, y R ， z1 = -2， z2 = - ， z3 = i 在復平面內對2
uuur uuuur uuuur
應的點分別為Z ，Z1 ，Z2 ，Z3，復數 z 滿足 z - z1 = 2 z - z2 ，且Z1Z = lZ1Z2 + mZ1Z3 l R, m R ，則
3l + 2m 的最大值為 .
【答案】 4 + 2 2
【分析】先將復數轉化為平面直角坐標系中的坐標，然后用距離公式對條件 z - z1 = 2 z - z2 進行變形，得
到 x2 + y2 =1，由此可以證明 x - y 2 . 之后再使用向量的坐標運算將3l + 2m 表示為關于 x, y的表達式，
利用 x - y 2 即可證明3l + 2m 4 + 2 2 ，最后給出一個3l + 2m = 4 + 2 2 的例子即可說明3l + 2m 的最大
值是 4 + 2 2 .
1
【解析】由 z = x + yi， z1 = -2， z2 = - ， z3 = i ，知Z x, y ，Z1 -2,0 Z
1
， 2 - ,0

2 2 ÷
，Z3 0,1 ，從而
è
uuur uuuur 3 uuuur
Z1Z = x + 2, y

，Z1Z2 = ,0÷，Z1Z3 = 2,1 .è 2
2 uuur 22z - z = ZZ = x + 2 2 + y2 z - z 2
uuuur 2
ZZ x 1= = + 由于 21 1 ， 2 2 ÷ + y ，故條件 z - z1 = 2 z - z2 即為
è 2
2
x + 2 2
1
+ y2 = 4 x +
2
÷ + y ÷÷，展開得到 x
2 + 4x + 4 + y2 = 4x2 + 4x + 4y2 +1，再化簡得3x2 + 3y2 = 3，所以
èè 2
x2 + y2 =1，故我們有 x - y 2 x - y 2 + x + y 2 = x2 + y2 - 2xy + x2 + y2 + 2xy = 2 x2 + y2 = 2 ，從而
x - y x - y = x - y 2 2 .
uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur
由于Z1Z = lZ1Z2 + mZ1Z3 ，Z1Z = x + 2, y
3 3l
，Z1Z2 = ,0÷，Z Z = 2,1 ，故 x + 2, y =

+ 2m, m ÷ ，從而
è 2 1 3 è 2
3l 3l+ 2m = 2 + 2m ÷ - 2m = 2 x + 2 - 2y = 4 + 2 x - y 4 + 2 2 .
è 2
x 2 y 2經驗證，當 = ， = - 時，條件滿足. 此時3l + 2m = 4 + 2 x - y = 4 + 2 2 .
2 2
所以3l + 2m 的最大值是 4 + 2 2 .
故答案為： 4 + 2 2 .
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點在于將復數坐標化為平面直角坐標系中的坐標，并將復數之差的模長
表示為平面直角坐標系中的線段長度. 另外，本題還具有“阿波羅尼斯圓”的背景：平面上到兩個不同定點
M , N 的距離之比恒為常數 c 0,1 U 1, + 的點的軌跡是一個圓，該圓稱為關于M , N 的阿波羅尼斯圓. 使
用解析幾何方法結合距離公式，很容易證明此結論.
四、解答題
15．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）歐拉（1707-1783），他是數學史上最多產的數學家之一，他發現并證明了
歐拉公式 eiq = cosq + isinq ，從而建立了三角函數和指數函數的關系，若將其中的q 取作 π就得到了歐拉恒
等式 eiπ +1 = 0，它是令人著迷的一個公式，它將數學里最重要的幾個量聯系起來，兩個超越數——自然對數
的底數 e，圓周率 π，兩個單位——虛數單位 i和自然數單位1，以及被稱為人類偉大發現之一的 0 ，數學家
評價它是“上帝創造的公式”，請你根據歐拉公式： eiq = cosq + isinq ，解決以下問題：
π
(1)將復數 ie 3 + eπi 表示成 a + bi（ a,b R ， i為虛數單位）的形式；
π i
(2)求 e 2 + eq i q R 的最大值；
(3)若 zn = 1，則 z = zk k = 0,1,2,L,n -1 z cos
2kπ isin 2kπ，這里 k = + k = 0,1,2,L,n -1 ，稱 zk 為1的一個 nn n
5 4
次單位根，簡稱單位根．類比立方差公式，我們可以獲得 x -1 = x -1 x + x3 + x2 + x1 +1 2π，復數 iz = e 5 ，
H x = x2 + x + 2，求H z H z2 H z3 H z4 的值．
(1) 1 3【答案】 - + i
2 2
(2) 2
(3)11
【分析】（1）根據歐拉公式直接可得解；
π i π i π i
（2）由歐拉公式可證明 e 2 + eq i 2，并得到 e 2 + e 2 = 2，這即得結果；
（3）根據單位根的概念，代入化簡即可.
【解析】（1）由歐拉公式有
π i
e 3 eπi π π
1 3 1 3
+ = cos + isin ÷ + cosπ + isinπ = + i ÷ + -1 = - + i .
è 3 3 è 2 2 ÷ 2 2
π i π i π i
（2）由于 e 2 cos
π π
= + i sin =1 eq i， = cosq + i sinq =1，故 e 2 + eq i e 2 + eq i =1+1 = 2，
2 2
π π i πq i i
π i π i π i
而當q = 時，有 e 2 + e = e 2 + e 2 = 2e 2 = 2 e 2 = 2 .
2
π i
e 2 + eq i故 q R 的最大值是 2 .
（3）由于 z5 = 1，故0 = z5 -1 = z -1 z4 + z3 + z2 + z +1 ，而 z 1，所以 z4 + z3 + z2 + z +1 = 0 .
故H z H z2 H z3 H z4
= z2 + z + 2 z4 + z2 + 2 z6 + z3 + 2 z8 + z4 + 2
= z2 + z + 2 z4 + z2 + 2 z + z3 + 2 z3 + z4 + 2 （利用 z5 = 1）
= z2 + z + 2 z3 + z4 + 2 × z + z3 + 2 z4 + z2 + 2
= z6 + 2z5 + 3z4 + 2z3 + 2z2 + 2z + 4 z7 + 2z5 + 2z4 + 3z3 + 2z2 + 2z + 4
= z + 2 + 3z4 + 2z3 + 2z2 + 2z + 4 z2 + 2 + 2z4 + 3z3 + 2z2 + 2z + 4 （利用 z5 = 1）
= 3z4 + 2z3 + 2z2 + 3z + 6 2z4 + 3z3 + 3z2 + 2z + 6
= z4 + z + 4 z3 + z2 + 4 （利用 z4 + z3 + z2 + z +1 = 0）
= z7 + z6 + 5z4 + 5z3 + 4z2 + 4z +16
= z2 + z + 5z4 + 5z3 + 4z2 + 4z +16（利用 z5 = 1）
= 5z4 + 5z3 + 5z2 + 5z +16
=11（利用 z4 + z3 + z2 + z +1 = 0）.
所以H z H z2 H z3 H z4 =11.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于對歐拉公式的使用和復數四則運算法則的熟練運用.
16．（2024·貴州黔南·二模）1799 年，哥廷根大學的高斯在其博士論文中證明了如下定理：任何復系數一元 n
次多項式方程在復數域上至少有一根（ n 1）.此定理被稱為代數基本定理，在代數乃至整個數學中起著基
礎作用.由此定理還可以推出以下重要結論： n次復系數多項式方程在復數域內有且只有 n個根（重根按重數
. n f x = xn + a xn-1計算） 對于 次復系數多項式 n-1 + ×××+ a1x + a0 ，其中 an-1， an-2 ， × × ×,a0 C，若方程 f x = 0
ì n
xi = -an-1
i=1
n
xi x j = an-2
1 i< j n
有 n個復根 x1, x2 , × × ×, xn ，則有如下的高階韋達定理： í n

xi x j xk = -an-31 i< j
M

x1x2 × × × xn = -1
n a0
(1)在復數域內解方程 x2 + 4 = 0；
(2)若三次方程 x3 + ax2 + bx + c = 0的三個根分別是 x1 =1- i， x2 =1+ i， x3 = 2（ i為虛數單位），求 a，b ， c
的值；
(3)在 n 4的多項式 f x = xn + a xn-1n-1 + ×××+ a1x + a 20 中，已知 an-1 = -1， a1 = -n a， a0 = a ， a為非零實數，
且方程 f x = 0的根恰好全是正實數，求出該方程的所有根（用含 n的式子表示）.
【答案】(1) x = ±2i
(2) a = 4,b = 6,c = -4
1 1 1 1
(3) = = ××× = =x1 x2 xn n
【分析】（1）根據題意直接解方程即可；
（2）根據題意結合韋達定理分析運算求解；
1 1 1 2
（3）根據題意結合韋達定理可得 x1 + x2 + ×××+ xn =1，結合不等式可得 + + ×××+ nx x x ，由1 2 n
ìx1x2 × × × xn-1 + x1 × × × xn-2xn + ×××+ x
n-1 2
2x3 × × × xn = -1 -n a 1 1 1
í 可得 + + ×××+ = n
2
x x x ，結合不等式成立條件分析 x1x2 × × × xn = -1
n a 1 2 n
求解.
【解析】（1）由 x2 + 4 = 0可得 x2 = -4 ，解得 x = ±2i .
ìx1 + x2 + x3 = -a

（2）由題意可知： íx1x2 + x2x3 + x1x3 = b，

x1x2x3 = -c
ì4 = -a

將 x1 =1- i， x2 =1+ i， x3 = 2代入可得 í6 = b ，

4 = -c
所以 a = 4,b = 6,c = -4 .
r r
（3）設 a = a1,a2 , × × ×,an ,b = b1,b2 , × × ×,bn ， a1,a2 , × × ×,an ,b1,b2 , × × ×,bn > 0，
r r r r r r
因為 a ×b a b ，當且僅當 a ∥ b 時，等號成立，
可得 a1b1 + a2b2 + ×××+ anbn a
2
1 + a
2
2 + ×××+ a
2
n × b
2
1 + b
2
2 + ×××+ b
2
n ，
即 a b + a b 2 21 1 2 2 + ×××+ anbn a1 + a2 + ×××+ a
2
n × b
2 2
1 + b2 + ×××+ b
2
n ，
a1 a2 an
當且僅當 = = ××× =b1 b b
時，等號成立，
2 n
n n-1
因為方程 f x = x + an-1x + ×××+ a1x + a0 = 0 的根恰好全是正實數，
設這 n 個正根分別為 x1, x2 , × × ×, xn ，
2
且 an-1 = -1， a1 = -n a， a0 = a ，
ìx1 + x2 + ×××+ x n
=1
x x × × × x n-1 2由題意可知： í 1 2 n-1 + x1 × × × xn-2xn + ×××+ x2x3 × × × xn = -1 -n a ，

x1x2 × × × xn = -1
n a
因為 x1 + x2 + ×××+ xn =1，且 x1, x2 , × × ×, xn 均為正數，
1 1 1 1 1 1
則 + + ×××+ = x1 + x2 + ×××+ xn + + ××× +x x x x x ÷1 2 n è 1 2 xn
2

x 1 x 1 1

1 × + 2 × + ××× + x × ÷
2
x n ÷
= n ，
è 1 x2 xn
1 1 1 1
當且僅當 = = ××× = =x x x n 時，等號成立，1 2 n
n-1
x1x2 × × × xn-1 + x1 × × × xn-2xn + ×××+ x2x3 × × × x
2
n 1 1 1 -1 -n a 又因為 = + + ×××+ = = n2 ，
x1x2 × × × xn x1 x2 x -1 nn a
1 1 1 2
即 + + ×××+ = nx ，1 x2 xn
1 1 1 1
所以 = = ××× = =x x x n .1 2 n
1 1 1 1 1 1 1
【點睛】關鍵點點睛：利用柯西不等式可得則 + + ×××+ n2 ，當且僅當 = = ××× = =x x x x x x n 時，等號1 2 n 1 2 n
成立，注意等號成立的條件分析求解.專題 21 復數
目錄
01 思維導圖
02 知識清單
03 核心素養分析
04 方法歸納
1.復數的有關概念
(1)定義：一般地，當 a與 b 都是實數時，稱 a＋bi為復數.復數一般用小寫字母 z 表示，即 z
＝a＋bi(a，b∈R)，其中 a稱為 z的實部，b稱為 z的虛部.
(2)分類：
滿足條件(a，b為實數)
復數的 a＋bi為實數 b＝0
分類 a＋bi為虛數 b≠0
a＋bi為純虛數 a＝0且 b≠0
(3)復數相等：a＋bi＝c＋di a＝c且 b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共軛復數：如果兩個復數的實部相等，而虛部互為相反數，則稱這兩個復數互為共軛復數，
復數 z 的共軛復數用 z表示.
→
(5)復數的模：向量OZ＝(a，b)的長度稱為復數 z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或絕對值)，復數 z
的模用|z|表示，因此|z|＝ a2＋b2.當 b＝0時，|z|＝ a2＝|a|.
2.復數的幾何意義
→
復數 z＝a＋bi與復平面內的點 Z(a，b)及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應關系.
3.復數的運算
(1)運算法則：設 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)幾何意義：
復數加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.
如圖給出的平行四邊形 OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意
→ →
義，即OZ＝OZ1
→
＋OZ2
→
，Z1Z2
→
＝OZ2
→
－OZ1.
(3)由復數加、減法的幾何意義可得||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
本專題是復數的基礎知識，高考中重點考查復數的模的計算及復數相等的條件，復數的四則運算，
共軛復數等，主要以選擇題、填空題的形式出現，難度較低。
題型一　復數的概念
例 1（1）復數 z = i i +1 -1的模為（ ）
A． 2 B．2 C． 5 D．3
答案 C
分析 根據復數的運算，結合復數的模長計算公式，可得答案.
解析 z = -2 + i， z = 5 ．
故選:C
（2）已知復數 z = a + 2i，若 z × (3+ i) 是實數，則實數a = （ ）
A．3 B．-3 C．6 D．-6
答案 C
分析 根據條件，利用復數的運算及復數的定義，即可求出結果.
解析 因為 z = a - 2i ，則 z × (3+ i) = 3a + 2 + (a - 6)i，
∴ a - 6 = 0，得到 a = 6，
故選：C．
方法歸納：　解決復數概念問題的方法及注意事項
(1)復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為
代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．
(2)解題時一定要先看復數是否為 a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．
題型二　復數的四則運算
z
例 2（1）已知復數 z 滿足 2z - z =1+ 3i，則 = （i
）
A．-1+ i B．1- i C．1+ i D．-1- i
答案 B
分析 設復數 z ，由題設條件求得 z =1+ i，最后代入所求式即得.
解析 設 z = a + bi a R,b R ，則 z = a - bi ，
由2z - z = a + 3bi = 1+ 3i，可得 a = b =1,
z 1+ i
則 = =1- i .
i i
故選：B
i 1
（2）已知復數 z = - ，則 + z =（
1 i 2
）
+
1 1
A． B． 2 C．1 D．24
答案 B
1
分析 根據復數代數形式的除法運算化簡 z ，即可求出 + z ，從而求出其模.
2
z i i(1- i) 1 1解析 因為 = - = - = - - i
1 z 1，所以 + = - i1+ i (1+ i)(1 i) 2 2 ，- 2 2
1 1 2z 1所以 + = - ÷ = ．2 è 2 2
故選：B．
方法歸納：　(1)復數的乘法：復數乘法類似于多項式的乘法運算．
(2)復數的除法：除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數．
題型三　復數的幾何意義
2024
例 3　(1)己知 i 2 - i是虛數單位，則復數 z =
2 + i2023
對應的點所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案 A
分析 利用復數乘方的運算法則，由復數的除法運算可得結果.
1012 1011
解析 易知 i2024 = i2 =1， i2023 = i × i2 = -i ,
z 2 - i
2024 2 -1 1 2 + i 2 + i 2 1
所以 = 2023 = = = = = + i2 + i 2 - i 2 - i 2 - i 2 + i 5 5 5 ，
2 1
其對應點的坐標為 ,5 5 ÷ ，位于第一象限.è
故選：A
(2)(2020·全國Ⅱ)設復數 z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝ 3＋i，則|z1－z2|＝________.
答案　2 3
解析　方法一　設 z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，
因為 z1＋z2＝ 3＋i，
所以 2z1＝( 3＋a)＋(1＋b)i，
2z2＝( 3－a)＋(1－b)i.
因為|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，
所以 3＋a 2＋ 1＋b 2＝4，①
3－a 2＋ 1－b 2＝4，②
①2＋②2，得 a2＋b2＝12.
所以|z 2 21－z2|＝ a ＋b ＝2 3.
→ →
方法二　設復數 z1，z2在復平面內分別對應向量OA，OB，
→ →
則 z1＋z2對應向量OA＋OB.
→ → → →
由題意知|OA|＝|OB|＝|OA＋OB|＝2，
如圖所示，以 OA，OB為鄰邊作平行四邊形 OACB，
→
則 z1－z2對應向量BA，
→ → →
且|OA|＝|AC|＝|OC|＝2，
→ →
可得|BA|＝2|OA|sin 60°＝2 3.
→
故|z1－z2|＝|BA|＝2 3.
方法歸納：　由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一
起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀．
a b b
在如圖的復平面中，r＝ a2＋b2，cos θ＝ ，sin θ＝ ，tan θ＝ (a≠0)．
r r a
任何一個復數 z＝a＋bi都可以表示成 z＝r(cos θ＋isin θ)的形式．其中，r是復數 z的模；θ是以 x軸
→
的非負半軸為始邊，向量OZ所在射線(射線 OZ)為終邊的角，叫做復數 z＝a＋bi的輻角．
我們把 r(cos θ＋isin θ)叫做復數的三角形式．
對應于復數的三角形式，把 z＝a＋bi叫做復數的代數形式．
復數乘、除運算的三角表示：
已知復數 z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，
z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，則
z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
z1 r1
＝ [cos(θ1－θ2)＋isin(θ2 2 1－θ2)]．z r
例 4（1） -1- 3i的三角形式是（ ）
2 cos π isin π 2 écos π i sin 2π ùA．- + ÷ B． ê - ÷ + -è 3 3 è 3 è 3
÷
ú
2 sin 7πC． + i cos
7π
÷ D． 2 cos
4π
+ i sin 4π
è 6 6 ÷ è 3 3
答案 D
分析 合理化簡原復數，表示為三角形式即可.
解析 由題意得 -1- 3i = 2( - 1 - 3 i) = 2 cos 4π + i sin 4π2 2 3 3 ，故 D正確.
故選：D
r π r
（2）在復平面內，把復數3- 3i對應的向量 a 按順時針方向旋轉 ，所得向量在 a 上的投影向量對應復數3
是（ ）
2 3 3i 3 - 3i 3- 3iA． - B．3- 2 3i C． D．
2 2
答案 D
é π π ù
分析 由復數的幾何意義可得旋轉后的向量所對應的復數為 3- 3i êcos - ÷ + i sin - ÷ 并化簡 ，再結合
è 3 è 3
ú

投影向量的定義求解．
r π
解析 因為把復數3- 3i對應的向量 a = (3, - 3) 按順時針方向旋轉 ，3
所以旋轉后的向量所對應的復數為
(3 3i)[cos( π) i sin( π)] (3 3i)(1 3- - + - = - - i) 3 3 3= - i 3- i 3+ i2 = -2 3i，
3 3 2 2 2 2 2 2
r
所以旋轉后的向量b = 0, -2 3 ，
r r r
又因為 a ×b = 6， a = 32 + (- 3)2 = 2 3 ，
r
r r ar ×b ar 1 ar
3 3
所以向量b 在 a上的投影向量是 × = = , -ar ar 2 2 2 ÷÷
3 3
，即對應復數是 - i .
è 2 2
故選：D .
（3）復數 z = a + bi(a,b R,i是虛數單位 )在復平面內對應點為Z ，設 r = OZ ,q 是以 x 軸的非負半軸為始邊，
以OZ 所在的射線為終邊的角，則 z = a + bi = r cosq + isinq ，把 r cosq + isinq 叫做復數 a + bi的三角形式，
n
利用復數的三角形式可以進行復數的指數運算，[r cosq + isinq ] = r n cosnq + isinnq n N* ，例如：
3
1 3 i cos 2π 2π
3
- +

÷÷ = + isin ÷ = cos2π + isin2π =1，
è 2 2 è 3 3
4
(1 + i)4 = 2

cos
π
+ isin π ÷÷ = 4 cosπ + isinπ = -4，復數 z 滿足： z3 =1+ i ，則 z 可能取值為（ ）
è è 4 4
2 cos π isin π 3π 3πA． +

B． 2 cos + isin
è 12 12 ÷ ÷è 4 4
6 5π
C． 2 cos + isin
5π 6
÷ D． 2
cos17π + isin
17π
4 4 12 12 ÷è è
答案 D
6 é 2kπ π
分析 根據復數的三角形及運算，利用復數相等可得 z = 2 êcos + ÷ + i sin
2kπ π ù
+ ÷ , k Z，即可得
è 3 12 è 3 12 ú
解.
解析 設 z = r cosq + i sinq ，
則 z3 =1+ i= 2

cos
π
+ i sin π = r3 cos3q + i sin 3q ，
è 4 4 ÷
所以 r = 6 2 ，3q 2kπ
π ,k Z q 2kπ π= + ，即 = + ,k Z，
4 3 12
z 6 2 écos 2kπ π i sin 2kπ π= + ù所以 ê 3 12 ÷
+ + , k Z
è è 3 12
÷
ú
q 17π 6 2 cos
17π isin 17π故 k = 2 時， = ，故 z 可取 + ，
12 è 12 12 ÷
故選：D
【點睛】關鍵點點睛：理解復數三角形及三角形下復數的指數運算是解題的關鍵，通過三角形的運算，再
利用復數相等，建立方程即可得出所求復數的一般形式.

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