資源簡介

專題 09 函數的圖像 函數的零點（八大題型+模擬精練）
目錄：
01 畫函數的變換圖像
02 識別函數的圖像
03 函數圖像變換的應用
04 求函數的零點及個數
05 二分法求函數的零點
06 根據函數的零點求參數
07 函數零點的其他應用
08 補函數的應用（一）：幾類不同增長的函數模型、函數的實際應用
01 畫函數的變換圖像
1．（2024 高三·全國·專題練習）作出下列函數的圖象：
x3
(1) y = x ；
x + 2
(2) y = ；
x -1
(3)y＝|log2x－1|；
02 識別函數的圖像
2
2．（2023·湖南岳陽·模擬預測）函數 y = 的圖象為（ ）
1- x
A． B．
C． D．
1
3．（2024·湖北·模擬預測）函數 f x = ex - e x - lnx2 的圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·寧夏固原·一模）已知函數 f x 的部分圖像如圖所示，則 f x 的解析式可能為（ ）
ex - e- x ex - e- x
A． f x = f x =4 x - 3 B． 3- 4 x
x
f x e + e
- x x
C． = 4 x D．
f x =
- 3 x -1
03 函數圖像變換的應用
3
5．（2024·四川南充·二模）已知函數 f x = x ，則函數 y = f x -1 +1的圖象（ ）
A．關于點 1,1 對稱 B．關于點 -1,1 對稱
C．關于點 -1,0 對稱 D．關于點 1,0 對稱
1
6．（22-23 高二上·河南·階段練習）直線 2ax + by - 2 = 0 a > 0,b > 0 過函數 f x = x + +1圖象的對稱中心，
x -1
4 1
則 + 的最小值為（ ）a b
A．9 B．8 C．6 D．5
7．（2022 高三·全國·專題練習）已知二次函數 f x 的圖象的頂點坐標是 2,2 ，且截 x 軸所得線段的長度是
4，將函數 f x 的圖象向右平移 2 個單位長度，得到拋物線 y = g x ，則拋物線 y = g x 與 y 軸的交點是
（ ）
A． 0, -8 B． 0, -6 C． 0, -2 D． 0,0
8．（23-24 高一上· x河南南陽·期末）已知函數 f x 的定義域為 1, + , 且滿足 f 3 +1 = x ， x R ，將 f x
的圖象先向左平移 1 個單位長度，再向上平移 1 個單位長度，得到函數 g x 的圖象.
(1)分別求 f x 與 g x 的解析式；
(2)設函數 h 2x = ég x ù 2 + mg x ，若 h x 在區間 é 1, 3ù 上有零點，求實數 m 的取值范圍.
04 求函數的零點及個數
9．（2023 高三· x x+1全國·專題練習）已知指數函數為 f x = 4 ，則函數 y = f x - 2 的零點為（ ）
A． -1 B．0
C．1 D．2
10．（2023· x陜西西安·模擬預測）函數 f x =1- lg 3 + 2 的零點為（ ）
A． log3 8 B．2 C． log3 7 D． log2 5
11．（2024 高三·全國·專題練習）函數 f（x）＝2x＋x－2 的零點個數是（　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
ìx2 + x - 2，x 0
12．（2019 高三·山東·學業考試）函數 f x = í 零點個數為（ ）
-1+ ln x，x > 0
A．3 B．2 C．1 D．0
13 2024· · f x = 2x -1 - a g x = x2．（ 廣東湛江 二模）已知函數 ， - 4 x + 2- a，則（ ）
A．當 g x 有 2 個零點時， f x 只有 1 個零點
B．當 g x 有 3 個零點時， f x 有 2 個零點
C．當 f x 有 2 個零點時， g x 有 2 個零點
D．當 f x 有 2 個零點時， g x 有 4 個零點
π π π
14．（2024·全國·模擬預測）函數 f x = 2sin 2x +j - < j < ÷的圖像關于點 ,02 2 ÷中心對稱，將函數 f x è è 3
π
的圖像向右平移 個單位長度得到函數 g x 的圖像，則函數 g x 在區間 -π, π 內的零點個數為（
3 ）
A．1 B．2 C．3 D．4
05 二分法求函數的零點
15．（2023 高三·全國·專題練習）用二分法求函數 f x = ln x +1 + x -1在區間 0,1 上的零點，要求精確度
為0.01時，所需二分區間的次數最少為（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
16．（2019 高三·全國·專題練習）以下每個圖象表示的函數都有零點，但不能用二分法求函數零點的是
（ ）
A． B．
C． D．
06 根據函數的零點求參數
17．（23-24 高三上·浙江紹興·期末）已知命題 p ：函數 f (x) = 2x3 + x - a 在 1,2 內有零點，則命題 p 成立的
一個必要不充分條件是（ ）
A．3 a <18 B．3 < a <18 C．a < 18 D． a 3
18．（2023高三·全國·專題練習）函數 f (x) = x × 2x - kx - 2在區間 1,2 內有零點，則實數k的取值范圍是 .
19．（22-23 高三·全國·課后作業）已知函數 f x = 20 ×3- x - x的零點 x0 k, k +1 ， k Z，則 k = ．
20．（22-23 高三·全國·對口高考）方程 x2 + ax - 2 = 0 在區間[1,5]上有解，則實數 a 的取值范圍
為 ．
21．（2024·全國·模擬預測）若不等式 f x > 0或 f x < 0 只有一個整數解，則稱不等式為單元集不等式．已
知不等式 a(x +1)2 - | log2 x | +1> 0為單元集不等式，則實數 a 的取值范圍是 ．
07 函數零點的其他應用
22．（23-24 高三上·山東威海·期末）已知函數 y = f (x) 的圖象是連續不斷的，且 f (x) 的兩個相鄰的零點是1，
2，則“ $x0 1,2 ， f (x0 ) > 0 ”是“ "x 1,2 ， f (x) > 0 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
23．（2020· x江西贛州·模擬預測）設函數 f x = e + a x -1 + b在區間 0,1 上存在零點，則 a2 + b2 的最小值
為（ ）
A 1． e B． 2 C．7 D．3e
1
24．（2023·湖北武漢·模擬預測）已知 x0 是函數 f x = + ln x的一個零點，若 x1 1, x0 ， x2 x0 , + ，1- x
則（ ）
A． f x1 < 0， f x2 < 0 B． f x1 > 0， f x2 > 0
C． f x1 > 0， f x2 < 0 D． f x1 < 0， f x2 > 0
25．（23-24 高三上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）已知三個函數 f x = x3 + x - 3， g x = 22x + x - 2 ，
h x = ln x + x - 5的零點依次為 a，b ， c，則 a，b ， c的大小關系為（ ）
A． c > b > a B． a > c > b C． a > b > c D． c > a > b
ì lg x - a,0 < x 3
26．（20-21 高三上·遼寧大連·階段練習）已知函數 f x = í （其中 a∈R），若 f (x) 的四
lg 6 - x - a,3 < x < 6
4
個零點從小到大依次為 x1, x2 , x3 , x4 ，則 xi 的值是（ ）
i=1
A．16 B．13 C．12 D．10
08 補函數的應用（一）：幾類不同增長的函數模型、函數的實際應用
27．（2024·寧夏吳忠·模擬預測）從甲地到乙地的距離約為 240km，經多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量Q
（單位：L）與速度 v（單位：km/h）（0 v 120）的下列數據：
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
為描述汽車每小時耗油量與速度的關系，則下列四個函數模型中，最符合實際情況的函數模型是（ ）
A．Q = 0.5v + a B．Q = av + b
C．Q = av3 + bv2 + cv D．Q = k loga v + b
28．（23-24 高三上·福建泉州·期末）函數 f x 的數據如下表，則該函數的解析式可能形如（ ）
x -2 -1 0 1 2 3 5
f x 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A． f x = ka x + b
B． f x = kxex + b
C． f x = k x + b
D． f x = k(x -1)2 + b
29．（23-24 高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）小明在調查某班小學生每月的人均零花錢時，得到了下列一組
數據：
x / 月份 2 3 4 5 6 …
y / 元 1.40 2.56 5.31 11 21.30 …
1 2x
請從模型 y = x 2 ，模型 y = 中選擇一個合適的函數模型，并預測小學生零花錢首次超過 300 元的月份為3
（ ）（參考數據： lg3 0.477 ， lg 2 0.301）
A．8 B．9 C．10 D．11
1
30．（2024·北京朝陽· 2二模）假設某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力 f 滿足公式 f = rCSv ，其中 r
2
是空氣密度，S 是該飛行器的迎風面積， v是該飛行器相對于空氣的速度，C 是空氣阻力系數（其大小取
決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率P = fv . 當 r , S 不變， v比原來提
高10% 時，下列說法正確的是（ ）
A．若C 不變，則 P 比原來提高不超過30%
B．若C 不變，則 P 比原來提高超過40%
C．為使 P 不變，則C 比原來降低不超過30%
D．為使 P 不變，則C 比原來降低超過40%
31．（2024·全國·模擬預測）2024 年中國載人航天工程將統籌推進空間站應用與發展和載人月球探測兩大任
務，其中，中國空間站應用與發展階段各項工作正按計劃穩步推進.若空間站運行周期的平方與其圓軌道半
徑的立方成正比，當空間站運行周期增加 1 倍時，其圓軌道半徑增加的倍數大約是（參考數據：
ln 2 0.693， e0.462 1.587）（ ）
A．1.587 B．1.442
C．0.587 D．0.442（ ）
t
32．（23-24 高三下· 10e陜西·階段練習）某種生物群的數量 Q 與時間 t 的關系近似的符合：Q t = （其中 e
et + 9
為自然對 e 2.71828 …），給出下列四個結論，根據上述關系，其中錯誤的結論是（ ）
A．該生物群的數量不超過 10
B．該生物群的數量的增長速度先逐漸變大后逐漸變小
C．該生物群的數量的增長速度與種群數量成正比
D．該生物群的數量的增長速度最大的時間 t0 2,3
33．（23-24 高三下·甘肅·階段練習）北京時間 2023 年 12 月 18 日 23 時 59 分，甘肅省臨夏州積石山縣發生
里氏 6.2 級地震，震源深度 10 公里．面對突發災情，社會各界和愛心人士發揚“一方有難、八方支援”的中
華民族團結互助、無私奉獻的大愛精神，幫助災區群眾渡過難關．震級是以地震儀測定的每次地震活動釋
放的能量多少來確定的，我國目前使用的震級標準，是國際上通用的里氏分級表，共分 9 個等級．能量 E
與里氏震級 M 的對應關系為 lg E = 4.8 +1.5M ，試估計里氏震級每上升兩級，能量是原來的（ ）
A．100 倍 B．512 倍 C．1000 倍 D．1012 倍
34．（2024·江蘇·一模）德國天文學家約翰尼斯·開普勒根據丹麥天文學家第谷·布拉赫等人的觀測資料和星表，
通過本人的觀測和分析后，于 1618 年在《宇宙和諧論》中提出了行星運動第三定律——繞以太陽為焦點的
2p 3
橢圓軌道運行的所有行星，其橢圓軌道的長半軸長 a 與公轉周期 T 有如下關系：T = ×a 2 ，其中 M 為
GM
太陽質量，G 為引力常量．已知火星的公轉周期約為水星的 8 倍，則火星的橢圓軌道的長半軸長約為水星
的（ ）
A．2 倍 B．4 倍 C．6 倍 D．8 倍
35．（23-24 高三上·寧夏銀川·階段練習）“開車不喝酒，喝酒不開車．”，飲酒駕駛和醉酒駕駛都是根據駕駛
人員血液、呼氣酒精含量來確定，經過反復試驗，一般情況下，某人喝一瓶啤酒后血液中的酒精含量值 f x
ì
40sin
π
x
x ÷ +13, 0 x < 2
隨著時間 （小時）的變化規律，可以用函數模型 f x = í è 3 來擬合，則該人喝一瓶
90 ×e-0.5x +14, x 2
啤酒至少經過多少小時后才可以駕車？（ ）（參考數據： ln15 2.71， ln 30 3.40）
駕駛行為類別 酒精含量值（mg/100mL）
飲酒駕駛 20,< 80
醉酒駕駛 80
A．5 B．6 C．7 D．8
36．（2024·陜西咸陽·模擬預測）某軍區紅、藍兩方進行戰斗演習，假設雙方兵力（戰斗單位數）隨時間的
ì b
x t = X 0cosh abt - Y a 0sinh abt
變化遵循蘭徹斯特模型： í ，其中正實數 X 0 ，Y0 分別為紅、藍兩方的
y t Y cosh abt a = 0 - Xb 0sinh abt
初始兵力， t 為戰斗時間； x t ， y t 分別為紅、藍兩方 t 時刻的兵力；正實數 a，b 分別為紅方對藍方、藍
ex + e- x ex - e- x
方對紅方的戰斗效果系數； coshx = 和 sinhx = 分別為雙曲余弦函數和雙曲正弦函數．規定：
2 2
當紅、藍兩方任何一方兵力為 0 時戰斗演習結束，另一方獲得戰斗演習勝利，并記戰斗持續時長為T ．則下
列結論不正確的是（ ）
A．若 X 0 > Y0 且 a = b，則 x t > y t 0 t T
1 X +Y
B X > Y a = b T = ln 0 0．若 0 0 且 ，則 a X 0 -Y0
X 0 bC．若 >Y a ，則紅方獲得戰斗演習勝利0
X b
D．若 0 > ，則紅方獲得戰斗演習勝利
Y0 a
一、單選題
1．（2023·湖南岳陽·模擬預測）函數 y = x - 2 2x +1 的零點是（ ）
A．2 B． 2,0 C．-2 D．2 或-1
2．（2023·陜西西安·模擬預測）函數 f x =1- lg 3x + 2 的零點為（ ）
A． log3 8 B．2 C． log3 7 D． log2 5
3．（2024·湖南·二模）已知函數 f x 的部分圖象如圖所示，則函數 f x 的解析式可能為（ ）
2x2f x f x 2x
2
A． = - x 1 B．
= -
- x +1
f x 2xC． = - 2 xx -1 D． f x = - x2 -1
4．（2024·山西長治·一模）研究人員用 Gompertz 數學模型表示治療時長 x （月）與腫瘤細胞含量 f (x) 的關
- x
系，其函數解析式為 f (x) = ka-b ，其中 k > 0,b > 0,a 為參數．經過測算，發現 a = e（ e為自然對數的底
1
數）．記 x =1表示第一個月，若第二個月的腫瘤細胞含量是第一個月的 ，那么b 的值為（
e ）
A． 5 +1 B 5 5 +1 5 -1． -1 C． D．
2 2
5．（2024·浙江杭州·模擬預測）若函數 f x = xlnx - x + x - a 有且僅有兩個零點，則 a的取值范圍是（ ）
1- ,0 A． ÷ 0,e
2- ,0 B．
e ÷
0,e
è è e
2 1
C． - ,0÷ 0,3 D． - ,0÷ 0,3
è e è e
6 2024· 2 x．（ 新疆烏魯木齊·二模）設 x > 0，函數 y = x + x - 7, y = 2 + x - 7, y = log2x + x - 7 的零點分別為
a,b,c，則（ ）
A． a < b < c B．b < a < c C． a < c < b D． cì x 1 1
ln , x 0
7．（2024·陜西漢中·二模）已知函數 f x = í 2 ÷ ÷è è 2 ，若函數 g x = f x - mx有 4 個零點，則m
4ln2 x, x > 0
的取值范圍為（ ）
ì 16ü
A． ím m 2 B． m m eln2 2
e


ì
C． ím eln2 2 m
16ü ì 2 16< < üD． m m = eln 2或m =
e2
í
e
2
ìlg -x , x < 0

8．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）已知函數 f x = í1- x -1 ,0 x < 2的圖象在區間 -t, t (t > 0)內

f x - 2 , x 2
恰好有5對關于 y 軸對稱的點，則 t 的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、多選題
9．（2024·全國·模擬預測）某地下車庫在排氣扇發生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態，
經搶修排氣扇恢復正常，排氣 4 分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為64ppm，繼續排氣 4 分鐘后又測得濃
度為32ppm．由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度 y （單位： ppm）與排氣時間 t （單位：分鐘）之間滿足函
數關系 y = aeRt （ a, R為常數， e是自然對數的底數）．若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm，人就可以安全
進入車庫了，則下列說法正確的是（ ）
A． a =128
1
B．R = ln 2
4
C．排氣 12 分鐘后濃度為16ppm
D．排氣 32 分鐘后，人可以安全進入車庫
10．（2024·黑龍江·二模）定義在R 上的偶函數 f x 滿足 f x - 3 = f 5 - x ，當 x 0,1 時， f x = x2 .設函
數 g x = log5 x -1 ，則下列結論正確的是（ ）
A． f x 的圖象關于直線 x =1對稱
7 17
B． f x 的圖象在 x = 處的切線方程為 y = -x +
2 4
C． f 2021 + f 2022 + f 2023 + f 2024 = 2
D． f x 的圖象與 g x 的圖象所有交點的橫坐標之和為 10
ì
2 - log 1 x ,0 < x 211．（2024·江西宜春·模擬預測）已知函數 f x = í 2 ， g(x) = f (x) - a ，則（ ）

-x
2 + 8x -11, x > 2,
A．若 g(x)有 2 個不同的零點，則 2 < a < 5
B．當 a = 2時， g f (x) 有 5 個不同的零點
C．若 g(x)有 4 個不同的零點 x1, x2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4 ，則 x1x2 x3x4 的取值范圍是 (12,13)
D．若 g(x)有 4 個不同的零點 x1, x2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4 ，則ax x
x
+ 3
+ x4
1 2 的取值范圍是 (6,9)a
三、填空題
12．（2023·遼寧葫蘆島·一模）請估計函數 f x 6= - log2 x 零點所在的一個區間 .x
13．（2024·河南·二模）已知函數 f x 是偶函數，對任意 x R ，均有 f x = f x + 2 ，當 x 0,1 時，
f x =1- x，則函數 g x = f x - log5 x +1 的零點有 個.
ì x 4 -1 , x 1 2
14．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = í ，若方程 2 é f x ù - a + 2 × f x + a = 0有 7 個
x2 - 6x + 8, x >1
不同的實數根，則實數 a的取值范圍是 ．
四、解答題
15．（2024·山東聊城·二模）對于函數 f (x) ，若存在實數 x0 ，使 f (x0 ) f (x0 + l) =1，其中l 0，則稱 f (x) 為“可
移l 倒數函數”， x0 為“ f (x) 的可移l 倒數點”．已知 g(x) = ex ,h(x) = x + a(a > 0)．
(1)設j(x) = g(x)h2 (x)，若 2 為“ h(x) 的可移-2倒數點”，求函數j(x) 的單調區間；
ìg(x), x > 0

(2)設w(x) = í 1 , x < 0，若函數
w(x) 恰有 3 個“可移 1 倒數點”，求 a的取值范圍．
h(x)專題 09 函數的圖像 函數的零點（八大題型+模擬精練）
目錄：
01 畫函數的變換圖像
02 識別函數的圖像
03 函數圖像變換的應用
04 求函數的零點及個數
05 二分法求函數的零點
06 根據函數的零點求參數
07 函數零點的其他應用
08 補函數的應用（一）：幾類不同增長的函數模型、函數的實際應用
01 畫函數的變換圖像
1．（2024 高三·全國·專題練習）作出下列函數的圖象：
x3
(1) y = x ；
x + 2
(2) y = ；
x -1
(3)y＝|log2x－1|；
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.
【分析】(1)去絕對值化簡成分段函數，畫出圖象即可．
3 3
(2)原式變形為 y＝1＋ ，先作出 y＝ 的圖象，再結合圖象變換，即可得出結論．
x -1 x
(3)先作出 y＝log2x 的圖象，結合圖象變換，即可得出結論．
ì x2 , x > 0
【解析】(1)首先要化簡解析式，y＝ í 2
-x , x > 0
利用二次函數的圖象作出其圖象，如圖①所示.
3 3
(2)原式變形為 y＝1＋ ，先作出 y＝ 的圖象，再將其圖象向右平移一個單位，再向上平移一個單位，
x -1 x
即得如圖②所示.
(3)先作出 y＝log2x 的圖象，再將其圖象向下平移一個單位，保留 x 軸上方的部分，將 x 軸下方的圖象翻折
到 x 軸上方來，即得 y＝|log2x－1|的圖象，如圖③所示.
【點睛】本題主要考查了絕對值函數圖象的畫法，關鍵是化為分段函數或利用圖象變換來畫圖，屬于中檔
題．
02 識別函數的圖像
2
2．（2023·湖南岳陽·模擬預測）函數 y = 的圖象為（ ）
1- x
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用特殊點法與圖象平移即可得解.
2 2
【解析】因為 y = ，所以當 x = 0時， y = = 2，故排除 ABC，
1- x 1- x
y 2 2又 = = - 的圖象可由函數 y
2
= - 的圖象向右平移一個單位得到，則 D 正確.
1- x x -1 x
故選：D.
1
3．（2024·湖北·模擬預測）函數 f x = ex - e x - lnx2 的圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據 x < 0 時 f x 的單調性可排除 BC；再由奇偶性可排除 D.
1
1 ì
e
x - e x - 2ln -x , x < 0
【解析】 f x = ex - e x - lnx2 =

í 1 ，

e
x - e x - 2lnx, x > 0
1
因為當 x < 0 時， y = ex , y = -e x , y = -2ln -x 都為增函數，
1
所以， y = ex - e x - 2ln -x 在 - ,0 上單調遞增，故 B，C 錯誤；
1
- x -又因為 f -x = e - e x - ln x2 - f x ，
所以 f x 不是奇函數，即圖象不關于原點對稱，故 D 錯誤.
故選：A
4．（2024·寧夏固原·一模）已知函數 f x 的部分圖像如圖所示，則 f x 的解析式可能為（ ）
f x e
x - e- x ex - e- x
A． = 4 x 3 B．
f x =
- 3- 4 x
ex + e- x x
C． f x = D． f x =4 x - 3 x -1
【答案】A
【分析】利用 f x 在 1, + 上的值排除 B，利用奇偶性排除排除 C，利用 f x 在 1, + 上的單調性排除 D，
從而得解.
ex - e- x
【解析】對于 B，當 x >1時， f x = ，易知 ex - e- x > 0，3- 4x < 0，
3- 4x
則 f x < 0 ，不滿足圖象，故 B 錯誤；
ex + e- x
對于 C， f x = 3 3 3 3 4 x 3 ，定義域為 - , -- 4 ÷ U - ,4 4 ÷ U , + ÷ ，è è è 4
- x x x - x
又 f (-x)
e + e e + e
= = = f (x)
4 x 3 4 x 3 ，則
f x 的圖象關于 y 軸對稱，故 C 錯誤；
- - -
x x 1
對于 D，當 x >1時， f x = = =1+x -1 x -1 x -1，
由反比例函數的性質可知， f x 在 1, + 上單調遞減，故 D 錯誤；
ex - e- x
檢驗選項 A， f x = 4 x 滿足圖中性質，故 A 正確.- 3
故選：A.
03 函數圖像變換的應用
5．（2024·四川南充·二模）已知函數 f x 3= ，則函數 y = f x -1 +1x 的圖象（ ）
A．關于點 1,1 對稱 B．關于點 -1,1 對稱
C．關于點 -1,0 對稱 D．關于點 1,0 對稱
【答案】A
【分析】
首先判斷函數 f x 3= x 為奇函數，再根據函數平移規則判斷即可.
3 3
【解析】函數 f x = x 的定義域為 x | x 0 ，又 f -x = - = - f x x ，
f x 3所以 = x 為奇函數，則函數 f x 的圖象關于原點 0,0 對稱，
又 y = f x -1 +1的圖象是由 f x 3= x 的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到，
所以函數 y = f x -1 +1的圖象關于點 1,1 對稱.
故選：A
6．（22-23 高二上·河南·階段練習）直線 2ax + by - 2 = 0 a > 0,b > 0 過函數 f x 1= x + +1圖象的對稱中心，
x -1
4 1
則 + 的最小值為（
a b ）
A．9 B．8 C．6 D．5
【答案】A
【分析】先利用函數圖象平移與奇函數的性質求得 f x 的對稱中心，從而得到 a + b =1，再利用基本不等
式“1”的妙用即可得解.
1 1
【解析】函數 f x = x + +1 = x -1+ + 2的圖象，
x -1 x -1
y x 1可由 = + 的圖象向右平移 1 個單位，再向上 2 個單位得到，
x
1 1
又 y = x
1
+ 的定義域為 - ,0 U 0, + ，-x + = -
x -x
x + ，
è x ÷
1
所以 y = x + 是奇函數，則其對稱中心為 0,0 ，
x
故 f x 的對稱中心為 1,2 ，所以 2a + 2b - 2 = 0，即 a + b =1，
4 1
所以 + = a b 4 1 4b a 4b a+
a b
+ ÷ = 5 + + 5 + 2 × = 9，
è a b a b a b
4b a 2
當且僅當 = ，即 a = 2b = 時,等號成立，
a b 3
4 1
所以 + 的最小值為9 .
a b
故選：A.
7．（2022 高三·全國·專題練習）已知二次函數 f x 的圖象的頂點坐標是 2,2 ，且截 x 軸所得線段的長度是
4，將函數 f x 的圖象向右平移 2 個單位長度，得到拋物線 y = g x ，則拋物線 y = g x 與 y 軸的交點是
（ ）
A． 0, -8 B． 0, -6 C． 0, -2 D． 0,0
【答案】B
【分析】利用二次函數的性質，結合待定系數法求得 f x ，再利用平移的特征求得 g x ，從而得解.
【解析】因為二次函數 f x 的圖象的頂點為 (2, 2)，
故 f x 的對稱軸為直線 x = 2，
又 f (x) 的圖象截 x 軸所得線段的長度是 4，
所以 f (x) 的圖象與 x 軸的交點坐標為 (0,0)和 (4,0)，
1
設 f (x) = a x - 2 2 + 2 a 0 ，將點 (0,0)代入得 a -2 2 + 2 = 0，解得 a = - ，2
f (x) 1= - x - 2 2所以 + 2，
2
因為 g(x)的圖象為 f (x) 的圖象右移 2 個單位得到的，
1 2 1 2
所以 g x = f (x - 2) = - x - 2 - 2 + 2 = - x - 4 + 2，
2 2
1
令 x = 0，則 y = g 0 = - 0 - 4 2 + 2 = -6，
2
所以 g(x)與 y 軸交點生標為 (0, -6) .
故選：B.
8．（23-24 高一上·河南南陽·期末）已知函數 f x 的定義域為 1, + , 且滿足 f 3x +1 = x ， x R ，將 f x
的圖象先向左平移 1 個單位長度，再向上平移 1 個單位長度，得到函數 g x 的圖象.
(1)分別求 f x 與 g x 的解析式；
(2)設函數 h x = ég x 2ù + mg x2 ，若 h x 在區間 é ù 1, 3 上有零點，求實數 m 的取值范圍.
【答案】(1) f x = log3 x -1 x >1 ， g(x) = log3 x +1 x > 0
é 9
(2) ê- , -1
ù
8 ú
【分析】（1）利用換元法求得 f x 的解析式，根據圖象變換的知識求得 g x 的解析式.
（2）先求得 h x 的解析式，然后利用換元法，根據根據函數的零點與方程的解、分離參數法、對鉤函數的
性質求得m 的取值范圍.
【解析】（1）令3x +1 = t ， x R ，則 t (1,+ ) ， x = log3(t -1)，
所以 f t = log3 t -1 ，則 f x = log3 x -1 x >1 .
由題意可得， g(x) = f (x +1) +1 = log3(x +1-1) +1 = log3 x +1 x > 0 .
（2） h(x) = log3 x +1
2 + m log x23 +1 = log3 x +1 2 + m 2log3 x +1 .
令 n = log
1
3 x，當 x [1, 3]時， n
é0, ù
ê 2 ú
，

函數 h(x) é
1 ù
有零點等價于關于 n的方程 (n +1)2 + m(2n +1) = 0 在 ê0, 2ú 上有解.
令 2n +1 u u [1,2] n
u -1
= ，則 ， = ，
2
u -1 2
所以 (n +1)2
+1
2 ÷ 2m = - = - è u + 2u +1 1 1 ，= - = - u + + 2
2n +1 u 4u 4 u ֏
由雙勾函數的單調性可知，
m 1 1函數 = -

u + + 2

÷在 1,2 上單調遞減，4 è u
1 1 9
當u = 2時，該函數取得最小值，即mmin = -
2 + + 2 ÷ = -4 è 2
，
8
1 1
當u =1時，該函數取得最大值，即mmax = -

1+ + 2

÷ = -14 ，è 1
é 9 ù
因此，實數 m 的取值范圍為 ê- , -1 8 ú
.

【點睛】利用換元法求函數的解析式，要注意函數的定義域在求解過程中的變化.求解函數的零點問題，可
轉化為方程的根來進行研究.如果零點問題含有參數，則可以考慮分離參數法、構造函數，轉化為值域問題
來進行求解.
04 求函數的零點及個數
9．（2023 x x+1高三·全國·專題練習）已知指數函數為 f x = 4 ，則函數 y = f x - 2 的零點為（ ）
A． -1 B．0
C．1 D．2
【答案】C
【分析】根據給定條件，解指數方程即可作答.
【解析】函數 f x = 4x f x - 2x+1，由 = 0，即 4x - 2x+1 = 0，整理得 2x (2x - 2) = 0，解得 x =1，
x+1
所以函數 y = f x - 2 的零點為 1.
故選：C
10．（2023·陜西西安·模擬預測）函數 f x =1- lg 3x + 2 的零點為（ ）
A． log3 8 B．2 C． log3 7 D． log2 5
【答案】A
【分析】根據零點的定義即可求解.
x
【解析】令 f x =1- lg 3 + 2 = 0，得3x + 2 =10 ，則 x = log3 8．
故選：A
11．（2024 高三·全國·專題練習）函數 f（x）＝2x＋x－2 的零點個數是（　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【解析】
解析：f′（x）＝2x ln 2＋1＞0，所以 f（x）在 R 上單調遞增，f（0）＝－1，f（1）＝1，故函數的零點個數
為 1.故選 B.
ìx
2 + x - 2，x 0
12．（2019 高三·山東·學業考試）函數 f x = í 零點個數為（ ）
-1+ ln x，x > 0
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】根據零點的定義計算即可.
【解析】由 f x = 0得：
ìx 0, ìx > 0,
í 2 或
x + x - 2 = 0
í
-1+ ln x = 0,
解得 x = -2或 x=e．
因此函數 f x 共有 2 個零點．
故選：B.
13．（2024·廣東湛江· x二模）已知函數 f x = 2 -1 - a g x = x2， - 4 x + 2- a，則（ ）
A．當 g x 有 2 個零點時， f x 只有 1 個零點
B．當 g x 有 3 個零點時， f x 有 2 個零點
C．當 f x 有 2 個零點時， g x 有 2 個零點
D．當 f x 有 2 個零點時， g x 有 4 個零點
【答案】D
【分析】作出函數 y = 2x -1 ， y = x2 - 4 x + 2圖象，兩個函數的零點個數轉化為它們的圖象與 y = a 的圖象
的公共點的個數，結合圖象可得答案.
【解析】兩個函數的零點個數轉化為圖象與 y = a 的圖象的公共點的個數，
y = 2x作出 -1 ， y = x2 - 4 x + 2的大致圖象，如圖所示.
由圖可知，當 g x 有 2 個零點時， f x 無零點或只有 1 個零點；
當 g x 有 3 個零點時， f x 只有 1 個零點；
當 f x 有 2 個零點時， g x 有 4 個零點.
故選：D
14．（2024·全國·模擬預測）函數 f x = 2sin 2x +j π π π - < j <

÷的圖像關于點 ,02 2 ÷
中心對稱，將函數 f x
è è 3
π
的圖像向右平移 個單位長度得到函數 g x 的圖像，則函數 g x 在區間 -π, π 內的零點個數為（
3 ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】正弦函數的圖像與性質、三角函數圖像的平移變換
【解析】Q函數 f x π的圖像關于點 ,0
π
÷中心對稱，\ f ÷ = 2sin
2π +j ÷ = 0
2π
3 ，
∴ +j = kπ,k Z ,
è è 3 è 3 3
π j π , j π- < < \ = 又 ，則 f x = 2sin 2x
π
+
2 2 3 3 ÷
．
è
f x π g x 2sin 2x π 將函數 的圖像向右平移 個單位長度得到函數 = - 的圖像,3 è 3 ÷
令 2x
π π kπ 5π π π 2π
- = kπ,k Z，得 x = + ,k Z, ∴函數 g x 在區間 -π, π 內的零點有 x = - , x = - , x = , x = ，
3 6 2 6 3 6 3
共 4 個.
故選：D．
05 二分法求函數的零點
15．（2023 高三·全國·專題練習）用二分法求函數 f x = ln x +1 + x -1在區間 0,1 上的零點，要求精確度
為0.01時，所需二分區間的次數最少為（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
*
【分析】由于長度等于 1 區間，每經這一次操作，區間長度變為原來的一半，那么經過 n n N 次操作后，
1 1
區間長度變為 n ，若要求精確度為0.01時則 n < 0.01，解不等式即可求出所需二分區間的最少次數.2 2
【解析】因為開區間 0,1 的長度等于 1，每經這一次操作，區間長度變為原來的一半，
* 1
所以經過 n n N 次操作后，區間長度變為 n ，2
1
令 n < 0.01，解得 n 7 ，且 n N*，2
故所需二分區間的次數最少為 7.
故選：C.
16．（2019 高三·全國·專題練習）以下每個圖象表示的函數都有零點，但不能用二分法求函數零點的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據零點的存在定理及二分法分析各選項的函數圖象，即可得到答案．
【解析】根據二分法的思想，函數 f x 在區間[a,b]上的圖象連續不斷，且 f a × f b < 0 ，即函數的零點
是變號零點，才能將區間 (a , b ) 一分為二，逐步得到零點的近似值．
對各選項的函數圖象分析可知，A，B，D 都符合條件，
而選項 C 不符合，因為圖象經過零點時函數值的符號沒有發生變化，因此不能用二分法求函數零點．
故選：C.
06 根據函數的零點求參數
17．（23-24 高三上·浙江紹興·期末）已知命題 p ：函數 f (x) = 2x3 + x - a 在 1,2 內有零點，則命題 p 成立的
一個必要不充分條件是（ ）
A．3 a <18 B．3 < a <18 C．a < 18 D． a 3
【答案】D
【分析】判斷函數的單調性，再利用零點存在性定理列式求出 a的取值范圍，結合必要不充分條件的意義判
斷即得.
【解析】函數 f (x) = 2x3 + x - a 在R 上單調遞增，由函數 f (x) = 2x3 + x - a 在 1,2 內有零點，
ì f (1) = 3 - a < 0
得 í 3 < a 18 p 3 < a 18
f (2) =18
，解得 ，即命題 成立的充要條件是 ，
- a 0
顯然3 < a 18成立，不等式3 a <18、3 < a <18、a < 18都不一定成立，
而3 < a 18成立，不等式 a 3恒成立，反之，當 a 3時，3 < a 18不一定成立，
所以命題 p 成立的一個必要不充分條件是 a 3 .
故選：D
18．（2023高三·全國·專題練習）函數 f (x) = x × 2x - kx - 2在區間 1,2 內有零點，則實數k的取值范圍是 .
【答案】 (0,3)
x 2
【分析】根據題意將問題轉化為 y = k 與 g(x) = 2 - ， x (1, 2) 的圖象有交點，再由 g(x)在 1,2 上遞增，
x
可求得結果.
【解析】令 f (x) = 0 ，則 x ×2x - kx - 2 = 0 ，即 k = 2x
2
- ，
x
即 y = k 與 g(x)
2
= 2x - ， x (1, 2) 的圖象有交點，
x
2
因為 y = 2x 和 y = - 在 1,2 上遞增，所以 g(x) 2x 2= - 在 1,2 上遞增，
x x
所以 g(1) < g(x) < g(2)，即0 < g(x) < 3，
所以0 < k < 3，
即實數 k 的取值范圍是 (0,3)，
故答案為： (0,3)
19．（22-23 高三· - x全國·課后作業）已知函數 f x = 20 ×3 - x的零點 x0 k, k +1 ， k Z，則 k = ．
【答案】2
【分析】判斷函數的單調性，結合零點存在定理判斷零點的范圍，即可得答案.
【解析】因為函數 y = 3- x 為 R 上單調減函數，
故函數 f x = 20 ×3- x - x為 R 上單調減函數，
f 2 20 3-2 2 20 2 2 0 f 3 20 3-3 3 20又 = × - = - = > ， = × - = - 3 < 0，
9 9 27
- x
故 f x = 20 ×3 - x在 (2,3) 上有唯一零點，
結合題意可知 k = 2，
故答案為：2
20．（22-23 高三·全國·對口高考）方程 x2 + ax - 2 = 0 在區間[1,5]上有解，則實數 a 的取值范圍
為 ．
é 23
【答案】 ê- ,1
ù
5 ú
【分析】根據 f x = x2 + ax - 2在區間[1,5]端點的正負列式求解即可.
f x = x2【解析】考查 + ax - 2，因為 f 0 = -2 < 0，且 f x 開口向上，
故 f x 在區間[1,5]上最多有一個零點，結合零點存在性定理可得，若方程 x2 + ax - 2 = 0 在區間[1,5]上有解，
ì f 1 0 ì12 + a - 2 0 é 23 ù
則 í a - ,1
f 5 0
，即 í 2 ，解得 . 5 + 5a - 2 0
ê 5 ú
é 23 ù
故答案為： ê- ,1 5 ú
21．（2024·全國·模擬預測）若不等式 f x > 0或 f x < 0 只有一個整數解，則稱不等式為單元集不等式．已
知不等式 a(x +1)2 - | log2 x | +1> 0為單元集不等式，則實數 a 的取值范圍是 ．
1 ù
【答案】 - ,0
è 4 ú
2
【分析】不等式轉化為∣log2 x∣< a x +1 +1，引入函數 f x = log2 x ， g x = a x +1
2 +1，分類討論作出
函數圖象，利用數形結合思想求解．
2
【解析】根據題意可轉化為滿足∣log2 x∣< a x +1 +1的整數 x 的個數為 1．
令 f x = log2 x ， g x = a x +1 2 +1，
當 a > 0 ×時，作出函數 f (x) = log2 x 和 g(x) = a x +1 -1的圖象，如圖所示，
數形結合得， f x < g x 的解集中整數的個數有無數多個，不符合題意；
g x =1 1當 a = 0時， ，所以 | log2 x |< 1，解得 < x < 2，只有一個整數解 x =1，2
所以 a = 0符合題意；
當 a<0 ×時，作出函數 f (x) = log2 x 和 g(x) = a x +1 -1的圖象，如圖所示，
ì g 1 > 0
要使∣ log2 x∣ < a(x +1)
2 +1的整數解只有一個，只需滿足 í
f 2 g 2
，
ì4a +1 > 0 1
即 í1 9a 1 ，結合
a<0可得- < a < 0 ．
+ 4
1 ù
綜上所述，實數 a 的取值范圍是 - ,0ú ．è 4
1
故答案為： (- ,0]．
4
【點睛】方法點睛：根據函數的零點個數求解參數范圍，一般方法：
（1）轉化為函數最值問題，利用導數解決；
（2）轉化為函數圖像的交點問題，數形結合解決問題；
（3）參變分離法，結合函數最值或范圍解決.
07 函數零點的其他應用
22．（23-24 高三上·山東威海·期末）已知函數 y = f (x) 的圖象是連續不斷的，且 f (x) 的兩個相鄰的零點是1，
2，則“ $x0 1,2 ， f (x0 ) > 0 ”是“ "x 1,2 ， f (x) > 0 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】結合函數的單調性，由充分必要條件的判斷方法求解即可.
【解析】解：由題意知， f (1) = f (2) = 0，對任意 x 1,2 , f x 0，
而函數 y = f (x) 的圖象是連續不斷的，
由$x0 1,2 ， f (x0 ) > 0，可得"x 1,2 ， f (x) > 0 ，充分性成立，
反之"x 1,2 ， f (x) > 0 ，顯然可推出$x0 1,2 ， f (x0 ) > 0，必要性成立，
故“ $x0 1,2 ， f (x0 ) > 0 ”是“ "x 1,2 ， f (x) > 0 ”的充要條件，
故選：C
23．（2020· x江西贛州·模擬預測）設函數 f x = e + a x -1 + b在區間 0,1 上存在零點，則 a2 + b2 的最小值
為（ ）
A． e B 1． 2 C．7 D．3e
【答案】B
【分析】設 t 為 f (x) 在 0,1 上的零點，可得 et + a(t -1) + b = 0 ，轉化為點 (a , b ) 在直線 (t -1)x + y + et = 0 上，
e2t e2t2 2
根據 a2 + b2 的幾何意義，可得 a + b 2 ，令 g(t) = 2 ，利用導數求得函數的單調性和最值，(t -1) +1 (t -1) +1
即可得答案.
【解析】設 t 為 f (x) 在 0,1 上的零點，則 et + a(t -1) + b = 0 ，
所以 (t -1)a + b + et = 0 ，即點 (a , b ) 在直線 (t -1)x + y + et = 0 ，
又 a2 + b2 表示點 (a , b ) 到原點距離的平方，
et 2t
則 a2 + b2 2 2
e
，即 a + b ，
(t -1)2 +1 (t -1)2 +1
e2t 2e2tg(t) g (t) (t
2 + 2 - 2t) - e2t (2t - 2) 2e2t (t 2 - 3t + 3)
令 = 2 ，可得 = = ，(t -1) +1 (t 2 + 2 - 2t)2 (t 2 + 2 - 2t)2
因為 e2t > 0, t 2 - 3t + 3 > 0，
所以 g (t) > 0，
可得 g(t)在 0,1 上為單調遞增函數，
所以當 t=0 是， g(t)min = g(0)
1
= ，
2
a2 b2 1所以 + 1，即 a2 + b2 的最小值為
2 2
.
故選：B
【點睛】解題的關鍵是根據 a2 + b2 的幾何意義，將方程問題轉化為求距離問題，再構造新函數，利用導數
求解，分析、計算難度大，屬難題.
f x 124．（2023·湖北武漢·模擬預測）已知 x0 是函數 = + ln x的一個零點，若 x 1, x ， x x1- x 1 0 2 0 , + ，
則（ ）
A． f x1 < 0， f x2 < 0 B． f x1 > 0， f x2 > 0
C． f x1 > 0， f x2 < 0 D． f x1 < 0， f x2 > 0
【答案】D
【分析】利用數形結合判定函數值大小即可.
【解析】令 f x 1= + ln x = 0．從而有 ln x 1= ，此方程的解即為函數 f x 的零點．
1- x x -1
在同一坐標系中作出函數 y = ln x 與 y
1
= 的圖象，如圖所示．
x -1
1
由圖象易知， > ln x
1
1 ，從而 ln x1 - < 0，故 ln x
1
1 + < 0 fx 1 x 1 1 x ，即 x- - - 1 < 0．1 1 1
同理 f x2 > 0．
故選：D
25．（23-24 高三上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）已知三個函數 f x = x3 + x - 3， g x = 22x + x - 2 ，
h x = ln x + x - 5的零點依次為 a，b ， c，則 a，b ， c的大小關系為（ ）
A． c > b > a B． a > c > b C． a > b > c D． c > a > b
【答案】D
【分析】根據函數的單調性以及零點存在性定理得出結果.
【解析】因為 y = x3， y = 22 x 在 R 上為增函數， y = ln x 在 0, + 上為增函數，
所以由題知函數 f x ， g x ， h x 在各自定義域上都為增函數，又 f 1 = -1< 0， f 2 = 7 > 0，
∴ a 1,2 ； g 0 = -1< 0， g 1 = 3 > 0，∴ b 0,1 ；
h 3 = ln 3 - 2 < 0， h 4 = ln 4 -1 > 0，∴ c 3,4 ，
∴ c > a > b .
故選：D.
ì lg x - a,0 < x 3
26．（20-21 高三上·遼寧大連·階段練習）已知函數 f x = í （其中 a∈R），若
f (x) 的四
lg 6 - x - a,3 < x < 6
4
個零點從小到大依次為 x1, x2 , x3 , x4 ，則 xi 的值是（ ）
i=1
A．16 B．13 C．12 D．10
【答案】C
【分析】根據零點的定義，通過轉化法、數形結合思想進行求解即可.
ì lg x ,0 < x 3
【解析】令 f x = 0 a = í
lg(6 - x) ,3
，
< x < 6
ì lg x ,0 < x 3
設 g x = í
lg(6 x) ,3 x 6
，圖象如下圖所示：
- < <
所以有0 < x1 <1< x2 < 3 < x3 < 5 < x4 < 6，
且- lg x1 = lg x2 = - lg 6 - x3 = lg 6 - x4 = a ，
-a
因此可得 x1 =10 , x2 =10
a , x3 = 6 -10
-a , x4 = 6 -10
a
，
4
所以 xi =10-a +10a + 6 -10-a + 6 -10a =12，
i=1
故選：C
08 補函數的應用（一）：幾類不同增長的函數模型、函數的實際應用
27．（2024·寧夏吳忠·模擬預測）從甲地到乙地的距離約為 240km，經多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量Q
（單位：L）與速度 v（單位：km/h）（0 v 120）的下列數據：
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
為描述汽車每小時耗油量與速度的關系，則下列四個函數模型中，最符合實際情況的函數模型是（ ）
A．Q = 0.5v + a B．Q = av + b
C．Q = av3 + bv2 + cv D．Q = k loga v + b
【答案】C
【分析】作出散點圖，根據單調性和定義域即可得解.
【解析】作出散點圖，由圖可知函數模型滿足：第一，定義域為 0,120 ；第二，在定義域單調遞增且單位
增長率變快；第三，函數圖象過原點.
A 選項：函數Q = 0.5v + a 在定義域內單調遞減，故 A 錯誤；
B 選項：函數Q = av + b的單位增長率恒定不變，故 B 錯誤；
C 選項：Q = av3 + bv2 + cv 滿足上述三點，故 C 正確；
D 選項：函數Q = k loga v + b 在 v = 0處無意義，D 錯誤.
故選：C
28．（23-24 高三上·福建泉州·期末）函數 f x 的數據如下表，則該函數的解析式可能形如（ ）
x -2 -1 0 1 2 3 5
f x 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A． f x = ka x + b
B． f x = kxex + b
C． f x = k x + b
D． f x = k(x -1)2 + b
【答案】A
【分析】由函數 f x 的數據即可得出答案.
【解析】由函數 f x 的數據可知，函數 f -2 = f 2 , f -1 = f 1 ，
偶函數滿足此性質，可排除 B，D；
當 x > 0時，由函數 f x 的數據可知，函數 f x 增長越來越快，可排除 C.
故選：A.
29．（23-24 高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）小明在調查某班小學生每月的人均零花錢時，得到了下列一組
數據：
x / 月份 2 3 4 5 6 …
y / 元 1.40 2.56 5.31 11 21.30 …
1
y 2
x
請從模型 y = x 2 ，模型 = 中選擇一個合適的函數模型，并預測小學生零花錢首次超過 300 元的月份為3
（ ）（參考數據： lg3 0.477 ， lg 2 0.301）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】利用給出函數的表格法確定自變量與函數值之間的關系，選擇出好的模型之后利用解不等式求出
自變量的范圍.
1 2x
【解析】根據表格提供的數據，畫出散點圖，并畫出函數 y = x 2 及 y = 的圖象．3
如圖：
x
y 2 y 2
x
觀察發現，這些點基本上是落在函數 = 圖象上或附近，因此用 = 這一函數模型．
3 3
2x
當 > 300時， 2x > 900 ，則有 x > log2 900
lg900 2 + 2lg3
= = 9.814
3 lg 2 lg 2
.
由1 x 12且 x N， x 最小值為 10.
故選：C.
1
30．（2024· 2北京朝陽·二模）假設某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力 f 滿足公式 f = rCSv ，其中 r
2
是空氣密度，S 是該飛行器的迎風面積， v是該飛行器相對于空氣的速度，C 是空氣阻力系數（其大小取
決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率P = fv . 當 r , S 不變， v比原來提
高10% 時，下列說法正確的是（ ）
A．若C 不變，則 P 比原來提高不超過30%
B．若C 不變，則 P 比原來提高超過40%
C．為使 P 不變，則C 比原來降低不超過30%
D．為使 P 不變，則C 比原來降低超過40%
【答案】C
1 2P
【分析】由題意可得 P = rCSv3 ，C =2 rSv3 ，結合選項，依次判斷即可.
1
【解析】由題意， f = rCSv2
2P
, P = fv P 1，所以 = rCSv3 ，C =2 2 rSv3 ，
A：當 r ,S ，C 不變， v比原來提高10% 時，
則 P
1
1 = rCS(1+10%)
3v3 1= rCS(1.1)3v3 1=1.33 × rCSv3
2 2 2 ，
所以 P 比原來提高超過30%，故 A 錯誤；
B 1：由選項 A 的分析知， P1 =1.33 × rCSv32 ，
所以 P 比原來提高不超過 40%，故 B 錯誤；
C：當 r ,S
2P 2P 2P
， P 不變， v比原來提高10% 時，C1 = = = 0.75 ×1.13 rSv3 1.33rSv3 rSv3 ，
所以C 比原來降低不超過30%，故 C 正確；
D：由選項 C 的分析知，C 比原來降低不超過30%，故 D 錯誤.
故選：C
31．（2024·全國·模擬預測）2024 年中國載人航天工程將統籌推進空間站應用與發展和載人月球探測兩大任
務，其中，中國空間站應用與發展階段各項工作正按計劃穩步推進.若空間站運行周期的平方與其圓軌道半
徑的立方成正比，當空間站運行周期增加 1 倍時，其圓軌道半徑增加的倍數大約是（參考數據：
ln 2 0.693， e0.462 1.587）（ ）
A．1.587 B．1.442
C．0.587 D．0.442（ ）
【答案】C
【分析】利用指數和對數的運算求解即可.
【解析】空間站運行周期的平方與其圓軌道半徑的立方成正比，
設T 2 = kR3 ，
當空間站運行周期增加 1 倍時，設此時半徑為R1，
2
則 2T = kR 31 ，
3 3
4 R= 1 兩式相比得： ÷ ，即 ln 4 = ln
R1
÷ , ln
R1 2ln 2= 0.462，
è R è R R 3
R
故 1 = e0.462 1.587 ，
R
故圓軌道半徑增加的倍數大約是1.587 -1 = 0.587 .
故選：C.
t
32．（23-24 高三下·陜西·階段練習）某種生物群的數量 Q 與時間 t 的關系近似的符合：Q t 10e= t （其中 ee + 9
為自然對 e 2.71828 …），給出下列四個結論，根據上述關系，其中錯誤的結論是（ ）
A．該生物群的數量不超過 10
B．該生物群的數量的增長速度先逐漸變大后逐漸變小
C．該生物群的數量的增長速度與種群數量成正比
D．該生物群的數量的增長速度最大的時間 t0 2,3
【答案】C
10et
【分析】對解析式上下同時除以 et ，結合反比例函數模型可判斷 A 正確；對Q t = ，求導，Q (t)t 即為e + 9
該生物種群數量的增長速度與時間的關系式，結合導函數特征和對勾函數模型可判斷 C 錯，BD 正確
t Q t 10e
t
10 e
t
【解析】因為 e > 0 ， = t = t <10，故該生物種群的數量不會超過 10，故 A 正確；e + 9 e + 9
10et Q t 90e
t 90
Q t = =由 = t ，求導得 et + 9 2 et 18 81 ，顯然該生物種群數量的增長速度與種群數量不成正e + 9 + + et
比，故 C 錯誤；
et 81+ 81 81因為 t 為對勾函數模型，故 e
t + t 2 e
t t =18，e e e
當且僅當 et = 9，即 t = ln 9時取到等號，
當 t (0, ln 9)時生物群的數量的增長速度隨時間的增加而增加，當 t ln 9,+ 時生物群的數量的增長速度
隨時間的增加減小，即該生物群的數量的增長速度先逐漸變大后逐漸變小；
且當 t0 = ln 9 2,3 時，Q (t)最大，故 BD 正確.
故選：C.
33．（23-24 高三下·甘肅·階段練習）北京時間 2023 年 12 月 18 日 23 時 59 分，甘肅省臨夏州積石山縣發生
里氏 6.2 級地震，震源深度 10 公里．面對突發災情，社會各界和愛心人士發揚“一方有難、八方支援”的中
華民族團結互助、無私奉獻的大愛精神，幫助災區群眾渡過難關．震級是以地震儀測定的每次地震活動釋
放的能量多少來確定的，我國目前使用的震級標準，是國際上通用的里氏分級表，共分 9 個等級．能量 E
與里氏震級 M 的對應關系為 lg E = 4.8 +1.5M ，試估計里氏震級每上升兩級，能量是原來的（ ）
A．100 倍 B．512 倍 C．1000 倍 D．1012 倍
【答案】C
【分析】借助能量 E 與里氏震級 M 的對應關系計算即可得.
【解析】由 lg E = 4.8 +1.5M ，設 lg E0 = 4.8 +1.5 M + 2 ，
則 lg E0 - lg E = 4.8 +1.5 M + 2 - 4.8 -1.5M = 3，
lg E0 3 E即 = ， 0 = 103 = 1000 .E E
故選：C.
34．（2024·江蘇·一模）德國天文學家約翰尼斯·開普勒根據丹麥天文學家第谷·布拉赫等人的觀測資料和星表，
通過本人的觀測和分析后，于 1618 年在《宇宙和諧論》中提出了行星運動第三定律——繞以太陽為焦點的
2p 3
橢圓軌道運行的所有行星，其橢圓軌道的長半軸長 a 與公轉周期 T 有如下關系：T = ×a 2 ，其中 M 為
GM
太陽質量，G 為引力常量．已知火星的公轉周期約為水星的 8 倍，則火星的橢圓軌道的長半軸長約為水星
的（ ）
A．2 倍 B．4 倍 C．6 倍 D．8 倍
【答案】B
【分析】根據已知的公式，由周期的倍數關系求出長半軸長的倍數關系即可.
【解析】設火星的公轉周期為T1，長半軸長為 a1，火星的公轉周期為T2，長半軸長為 a2，
ì 3
T
2p
1 = a 21 ①
則，T = 8T
GM
1 2 ，且 í
T 2p
3
2 = a
2
2 ②
GM
① T 3
得： 1 (
a
= 1 )2 = 8，
② T2 a2
a1
所以， = 4a ，即：
a1 = 4a2 .
2
故選：B．
35．（23-24 高三上·寧夏銀川·階段練習）“開車不喝酒，喝酒不開車．”，飲酒駕駛和醉酒駕駛都是根據駕駛
人員血液、呼氣酒精含量來確定，經過反復試驗，一般情況下，某人喝一瓶啤酒后血液中的酒精含量值 f x
ì
40sin
π
x ÷ +13, 0 x < 2
隨著時間 x（小時）的變化規律，可以用函數模型 f x = í è 3 來擬合，則該人喝一瓶
90 ×e
-0.5x +14, x 2
啤酒至少經過多少小時后才可以駕車？（ ）（參考數據： ln15 2.71， ln 30 3.40）
駕駛行為類別 酒精含量值（mg/100mL）
飲酒駕駛 20,< 80
醉酒駕駛 80
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】可結合分段函數建立不等式90e-0.5x +14 < 20，利用指數不等式的求解即可.
【解析】對于 f (x) = 40sin
π x 3 ÷
+13,
è
π 2π
由0 x < 2，則0 x < ，函數 f (x) 先增后減，
3 3
x 3 , 2 當 2 ÷ 時， f (x) = 20 3 +13 > 20，è
所以，該人喝一瓶啤酒后的 2 個小時內，其血液酒精含量可能大于 20，
ìn 2 ì
n 2

則駕車只能在 2 個小時之后，令 í90 ×e-0.5n ，即+14 < 20 íe-0.5n 1
，
< 15
解得 n > 2ln15 2 2.71 = 5.42，
∵n N* ，\n的最小值為 6，故至少經過 6 小時才可以駕車.
故選：B.
36．（2024·陜西咸陽·模擬預測）某軍區紅、藍兩方進行戰斗演習，假設雙方兵力（戰斗單位數）隨時間的
ì
x t = X 0cosh abt b- Y a 0sinh abt
變化遵循蘭徹斯特模型： í ，其中正實數 X 0 ，Y0 分別為紅、藍兩方的

y t
a
= Y0cosh abt - X 0sinhb abt
初始兵力， t 為戰斗時間； x t ， y t 分別為紅、藍兩方 t 時刻的兵力；正實數 a，b 分別為紅方對藍方、藍
ex + e- x ex - e- x
方對紅方的戰斗效果系數； coshx = 和 sinhx = 分別為雙曲余弦函數和雙曲正弦函數．規定：
2 2
當紅、藍兩方任何一方兵力為 0 時戰斗演習結束，另一方獲得戰斗演習勝利，并記戰斗持續時長為T ．則下
列結論不正確的是（ ）
A．若 X 0 > Y0 且 a = b，則 x t > y t 0 t T
X Y T 1B．若 0 > 0 且 a = b，則 = ln
X 0 +Y0
a X 0 -Y0
X 0 bC．若 >Y a ，則紅方獲得戰斗演習勝利0
X
D．若 0
b
> ，則紅方獲得戰斗演習勝利
Y0 a
【答案】C
at
【分析】對于 A 根據已知條件利用作差法比較大小即可得出 x t - y t = e X 0 -Y0 > 0，對于 B，利用 A
eat + e-at at0 Y e - e
-at
中結論可得藍方兵力先為 ，即 0 - X 0 = 0解得T ；對于 C 和 D，若要紅方獲得戰斗演習勝2 2
利，分別解出紅、藍兩方兵力為 0 時所用時間 t1 、 t2 ，比較大小即可.
ì x t = X 0 cosh at -Y0 sinh at
【解析】對于 A，若 X 0 > Y0 且 a = b，則 í
y t = Y0 cosh at - X 0 sinh at
，
ì eat + e-at at -at
x t = X
e - e
2 0
- Y
2 0
即 í ，所以 x t - y t = eat X -Yat ，
y t e + e
-at eatY - e
-at 0 0
= - X 2 0 2 0
由 X 0 > Y
at
0 可得 x t - y t = e X 0 -Y0 > 0，即 A 正確；
對于 B，當 a = b時根據 A 中的結論可知 x t > y t ，所以藍方兵力先為 0 ，
at
y t e + e
-at at
Y e - e
-at
= - X = 0 at -at即 0 0 ，化簡可得 e X 0 -Y2 2 0
= e X 0 +Y0 ，
e2at X= 0 +Y0 2at ln X +Y

即 ，兩邊同時取對數可得 = 0 0X -Y ，0 0 è X 0 -Y
÷
0
1 X 0 +Y0 1
即 t = ln ÷ = ln
X 0 +Y0 1 X 0 +Y0
，所以戰斗持續時長為T = ln ，所以 B 正確；
2a è X 0 -Y0 a X 0 -Y0 a X 0 -Y0
對于 C，若紅方獲得戰斗演習勝利，則紅方可戰斗時間大于藍方即可，
設紅方兵力為 0 時所用時間為 t1 ，藍方兵力為 0 時所用時間為 t2 ，
X 0 +Y
b
0
即 x t1 = X 0 cosh abt1 b- Ya 0 sinh abt = 0 e
2 abt1 = a1 ，可得 >0
Y b0 - Xa 0
Y a0 + X 0 X 0 +Y
b
0 Y
a
0 + X 0
e2 abt b 0 a b X
2
0 b
同理可得 2 = > ，即 > ，解得 2 > ，a Y aX 0 -Y0 Y
b
0 - X X
a
-Y 0
b a 0 0 b 0
又因為 X 0 ,Y0 , a,b
X b
都為正實數，所以可得 0 > ，紅方獲得戰斗演習勝利；
Y0 a
所以可得 C 錯誤，D 正確.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：本題給的信息比較多，關鍵是理解題意，然后利用相應的知識（作差法、指數函數
的性質）進行判斷.
一、單選題
1．（2023·湖南岳陽·模擬預測）函數 y = x - 2 2x +1 的零點是（ ）
A．2 B． 2,0 C．-2 D．2 或-1
【答案】A
【分析】由題意令 y = 0 可得關于 x 的方程，進而求解.
【解析】由題意令 y = x - 2 2x +1 = 0 ，因為 2x +1 >1 > 0，所以 x - 2 = 0，即 x = 2 .
故選：A.
2．（2023·陜西西安·模擬預測）函數 f x =1- lg 3x + 2 的零點為（ ）
A． log3 8 B．2 C． log3 7 D． log2 5
【答案】A
【分析】根據零點的定義即可求解.
x
【解析】令 f x =1- lg 3 + 2 = 0，得3x + 2 =10 ，則 x = log3 8．
故選：A
3．（2024·湖南·二模）已知函數 f x 的部分圖象如圖所示，則函數 f x 的解析式可能為（ ）
f x 2x
2 2
A． = - B． f x 2x= -x -1 x +1
f x 2xC． = - 2 xx -1 D． f x = - x2 -1
【答案】A
【分析】根據函數的奇偶性和定義域，利用排除法即可得解.
【解析】由圖可知，函數圖象對應的函數為偶函數，排除 C；
由圖可知，函數的定義域不是實數集.故排除 B；
由圖可知，當 x + 時， y - ，
而對于 D 選項，當 x + 時， y 0，故排除 D.
故選：A.
4．（2024·山西長治·一模）研究人員用 Gompertz 數學模型表示治療時長 x （月）與腫瘤細胞含量 f (x) 的關
- x
系，其函數解析式為 f (x) = ka-b ，其中 k > 0,b > 0,a 為參數．經過測算，發現 a = e（ e為自然對數的底
數）．記 x =1
1
表示第一個月，若第二個月的腫瘤細胞含量是第一個月的 ，那么b 的值為（
e ）
A 5 1 B 5 1 C 5 +1 D 5 -1． + ． - ． ．
2 2
【答案】D
【分析】根據給定信息，列出方程并求解即得.
ì f (1) = ke-b
-1
-2 -1
【解析】依題意， í ，而 f (2)
1
= f (1) e-b +b 1，則 = ，即b-2 - b-1-2 -1 = 0，
f (2) = ke
-b e e
又b > 0，解得b-1 5 +1 b 5 -1= ，所以 = .
2 2
故選：D
5．（2024·浙江杭州·模擬預測）若函數 f x = xlnx - x + x - a 有且僅有兩個零點，則 a的取值范圍是（ ）
1 2
A． - ,0÷ 0,e B． - ,0÷ 0,e
è e è e
2 1
C． - ,0÷ 0,3 D． - ,0÷ 0,3
è e è e
【答案】A
【分析】利用函數與方程的思想將函數有兩個零點轉化為函數 y = x - a 與函數 y = x - xlnx的圖象有兩個交
點，求導并畫出函數 y = x - xlnx的圖象求得切線方程，再由數形結合即可求得 a的取值范圍.
【解析】由 f x = 0可得 x - a = x - xlnx，則函數 y = x - a 與函數 y = x - xlnx的圖象有兩個交點；
設 g x = x - xlnx，則 g x = -lnx，
令 g x = -lnx > 0，解得0 < x <1；令 g x = -lnx < 0，解得 x >1；
所以 g x 在 0,1 上單調遞增，在 1, + 上單調遞減；
g x =1 x 1 g x x 1 1令 ，解得 = ，可求得 的圖象在 = 處的切線方程為 y = x + ；
e e e
令 g x = -1，解得 x=e，可求得 g x 的圖象在 x=e處的切線方程為 y = -x + e ；
函數 y = x - a 與函數 y = x - xlnx的圖象如圖所示：
y x 1 1切線 = + 與 y = -x + e 在 x 軸上的截距分別為- , e ,
e e
當 a = 0時， y = x - a 與函數 y = x - xlnx的圖象有一個交點，
故實數 a
1
的取值范圍為 - ,0÷ 0,e .
è e
故選：A
6．（2024· 2 x新疆烏魯木齊·二模）設 x > 0，函數 y = x + x - 7, y = 2 + x - 7, y = log2x + x - 7 的零點分別為
a,b,c，則（ ）
A． a < b < c B．b < a < c C． a < c < b D． c【答案】A
【分析】由題意 a,b,c分別為函數 y = -x + 7與函數 y = x2 , y = 2x , y = log2 x 圖象交點的橫坐標，作出函數
y = x2 , y = -x + 7, y = 2x , y = log2x 的圖象，結合函數圖象即可得解.
2
【解析】分別令 y = x + x - 7 = 0, y = 2x + x - 7 = 0, y = log2x + x - 7 = 0，
則 x2 = -x + 7,2x = -x + 7, log2x = -x + 7，
則 a,b,c分別為函數 y = -x + 7 y = x2與函數 , y = 2x , y = log2 x 圖象交點的橫坐標，
2
分別作出函數 y = x , y = -x + 7, y = 2x , y = log2x 的圖象，如圖所示，
由圖可知， a < b < c .
故選：A.
ì 1 x ln 1 , x 0
7．（2024·陜西漢中·二模）已知函數 f x = í ÷ ÷è 2 è 2 ，若函數 g x = f x - mx有 4 個零點，則m

4ln
2x, x > 0
的取值范圍為（ ）
ìm m 16üA． í 22 B． m m eln 2
e
ì
C 2． ím eln 2 < m
16ü
< ìD m m = eln22 ． í 2 m
16
或 = ü
e e2
【答案】D
【分析】由題意可知：函數 g x 的零點個數即為 y = f x 與 y = mx 的交點個數，利用導數求過原點的切線，
結合圖象分析求解.
【解析】作出 f x 的圖象，如圖所示
令 g x = f x - mx = 0，可得 f x = mx，
由題意可知：函數 g x 的零點個數即為 y = f x 與 y = mx 的交點個數，
若 x > 0，則 f x = 4ln2 x ，可得 f x 8ln x= ，
x
設切點坐標為 8ln xx1, 4 ln2 x1 , x1 >1 1，切線斜率為 k1 = x ，1
y 4ln2 x 8ln x1則切線方程為 - 1 = x - x x 1 ，1
代入點O 0,0 ，可得-4ln2 x1 = -8ln x 21，解得 x1 = e ，
16
此時切線斜率為 k1 = 2 ；e
x x x
x 0 1 1 1 1 若 ，則 f x = ÷ ln = - ln 2 × ÷ ，可得 f x = ln2 2 × ÷ ，
è 2 2 è 2 è 2
1 x2 x2
設切點坐標為 x2 , - ln 2 ×

÷ ÷
1
÷ , x2 0，切線斜率為2 k2 = ln
2 2 ×
è 2 ÷
，
è è
x2 x2
則切線方程為 y + ln 2 1× = ln2 ÷ 2
1× ÷ x - x2 ，
è 2 è 2
x2 x2
代入點O 0,0 1，可得 ln 2 1× = ln2 2 1× ÷ ÷ -x2 ，解得 x2 = - = - log e，
è 2 è 2
2
ln 2
2
此時切線斜率為 k2 = e × ln 2；
ì 2 16ü
結合圖象可知m 的取值范圍為 ím m = eln 2或m = .
e2
故選：D.
【點睛】易錯點睛：數形結合就是通過數與形之間的對應和轉化來解決數學問題．它包含以形助數和以數
解形兩個方面．一般來說，涉及函數、不等式、確定參數取值范圍、方程等問題時，可考慮數形結合法．運
用數形結合法解題一定要對有關函數圖象、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則，錯誤的圖象反而導致錯誤
的選擇．
ìlg -x , x < 0
8．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）已知函數 f x = í1- x -1 ,0 x < 2的圖象在區間 -t, t (t > 0)內

f x - 2 , x 2
恰好有5對關于 y 軸對稱的點，則 t 的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
ì 1- x -1 ,0 x < 2
【分析】令 g x = í m x = lg xg x 2 , x 2 ， ，根據對稱性，問題可以轉化為m x 與 g x 的圖象在 -
0, t (t > 0)內有5個不同的交點，畫出函數圖象，數形結合即可判斷.
ì1- x -1 ,0 x < 2
【解析】令 g x = í ，m x = lg x
g x - 2 , x
，
2
因為m x = lg x與 y = lg -x 的圖象關于 y 軸對稱，
ìlg -x , x < 0
因為函數 f x = í1- x -1 ,0 x < 2的圖象在區間 -t, t (t > 0)內恰好有5對關于 y 軸對稱的點，

f x - 2 , x 2
ì1- x -1 ,0 x < 2
所以問題轉化為m x = lg x與 g x = í 的圖象在 0, t (t > 0)內有5g x 2 , x 2 個不同的交點， -
ì1- x -1 ,0 x < 2
在同一平面直角坐標系中畫出m x = lg x與 g x = íg x 的圖象如下所示： - 2 , x 2
因為m 10 = lg10 =1，當 x >10 時m x >1， g 1 = g 3 = g 5 = g 7 = g 9 = g 11 =1，
結合圖象及選項可得 t 的值可以是6，其他值均不符合要求,.
故選：C
ì1- x -1 ,0 x < 2
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是轉化為m x = lg x與 g x = í 的圖象在 0, t (t > 0) 內有5 g x - 2 , x 2
個不同的交點.
二、多選題
9．（2024·全國·模擬預測）某地下車庫在排氣扇發生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態，
經搶修排氣扇恢復正常，排氣 4 分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為64ppm，繼續排氣 4 分鐘后又測得濃
度為32ppm．由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度 y （單位： ppm）與排氣時間 t （單位：分鐘）之間滿足函
數關系 y = aeRt （ a, R為常數， e是自然對數的底數）．若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm，人就可以安全
進入車庫了，則下列說法正確的是（ ）
A． a =128
1
B．R = ln 2
4
C．排氣 12 分鐘后濃度為16ppm
D．排氣 32 分鐘后，人可以安全進入車庫
【答案】ACD
a 128, R 1【分析】由題意列式，求出 = = - ln 2，即可判斷 A，B；可得函數解析式，將 x =12 代入，即可判
4
斷 C；結合解析式列出不等關系，求出人可以安全進入車庫的排氣時間，判斷 D.
ìa ×e4R = 64
【解析】設 f (t) = a ×eRt ，代入 (4,64), (8,32)，得 í ,
a ×e
8R = 32
解得 a 128, R
1
= = - ln 2，A 正確，B 錯誤．
4
t 1
t
- 7 t-
此時 f (t) =128 eR = 27 × 4 2 4 ÷ = 2 4 ，所以 f (12) = 2 =16(ppm)，C 正確．
è
f (t) 0.5 7 t - t當 時，即 2 4 0.5 = 2-1，得7 - -1，所以 t 32，4
所以排氣 32 分鐘后，人可以安全進入車庫，D 正確．
故選:ACD．
10 2．（2024·黑龍江·二模）定義在R 上的偶函數 f x 滿足 f x - 3 = f 5 - x ，當 x 0,1 時， f x = x .設函
數 g x = log5 x -1 ，則下列結論正確的是（ ）
A． f x 的圖象關于直線 x =1對稱
B． f x x 7 17的圖象在 = 處的切線方程為 y = -x +
2 4
C． f 2021 + f 2022 + f 2023 + f 2024 = 2
D． f x 的圖象與 g x 的圖象所有交點的橫坐標之和為 10
【答案】ACD
【分析】對于 A，根據奇偶性和對稱性可得圖象關于 x =1對稱；對于 B，根據周期性和對稱性可求函數在給
定范圍范圍上的解析式，故可求切線方程；對于 C，根據周期性可求目標代數式的值；對于 D，數形結合后
可求交點的橫坐標的和.
【解析】對于 A，因為 f x 為偶函數，故 f x - 3 = f 5 - x = f x - 5 ，
故 f x = f x + 2 ，所以 f -x = f x + 2 ，故 f x 的圖象關于直線 x =1對稱，
故 A 正確.
對于 B，由 A 中分析可得 f x 是周期函數且周期為 2，
故當 x 3,4 時， 4 - x 0,1 ，故 f x = f x - 4 = f 4 - x = 4 - x 2，
故當 x 3,4 時， f x = 2 x - 4 7 ，故 f 2 ÷ = -1，è
y x 7 7 15故切線方程為： = - - ÷ + f ÷ = -x + ，故 B 錯誤.
è 2 è 2 4
對于 C，由 f x 是周期函數且周期為 2可得：
f 2021 + f 2022 + f 2023 + f 2024 = 2 f 0 + 2 f 1 = 2，
故 C 正確.
對于 D，因為 g 2 - x = log5 1- x = g x ，故 g x 的圖象關于 x =1對稱，
而 g 6 =1， g -4 =1且 x >1時 g x = log5 x -1 ，此時 g x 在 1, + 上為增函數，
故 f x , g x 圖象如圖所示：
由圖可得 f x 的圖象與 g x 的圖象共有 10 個交點，所有交點的橫坐標之和為 10.
故選：ACD.
【點睛】關鍵點點睛：分段函數的性質討論，一般需利用變換的思想探究該函數的周期性、對稱性，如果
已知確定范圍上的解析式，那么可利用周期性和對稱性求出其他范圍上的解析式；對于不同函數的交點情
況的討論，可結合它們的圖象來分析.
ì
2 - log
11 2024· 1
x ,0 < x 2
．（ 江西宜春·模擬預測）已知函數 f x = í 2 ， g(x) = f (x) - a ，則（ ）

-x
2 + 8x -11, x > 2,
A．若 g(x)有 2 個不同的零點，則 2 < a < 5
B．當 a = 2時， g f (x) 有 5 個不同的零點
C．若 g(x)有 4 個不同的零點 x1, x2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4 ，則 x1x2 x3x4 的取值范圍是 (12,13)
x + x
D．若 g(x)有 4 個不同的零點 x 3 41, x2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4 ，則ax1x2 + 的取值范圍是 (6,9)a
【答案】BCD
【分析】作出 f x 的圖象，由 g x 有 2 個不同的零點，結合圖象，可判定 A 錯誤；由 f ( f (x)) = 2 ，令
t = f (x) ，得到 f (t) = 2，求得 t1 =1,t2 = 4 - 3,t3 = 4 + 3 ，結合圖象，可判定 B 正確；由對數的運算性質，
求得 x1x2 =1，結合二次函數的對稱性得到 x1x2x3x4 = x3 8 - x3 ，進而判定 C 正確；由
ax x + x 81x2 + 3 4 = a + ,1< a < 2，結合對勾函數的性質，可判定 D 正確．a a
ì2 + log x,0 < x 1
ì2 - log2 x ,0 < x < 2
2

【解析】由函數 f x = í 2 ，可得 f x = 2 - log x,1< x 2 ，
-x + 8x -11, x
í
> 2 2
-x
2 + 8x -11, x > 2
作出 f x 的圖象，如圖所示．
對于 A 中，由 g(x) = f (x) - a = 0 ，可得 f (x) = a，若 g x 有 2 個不同的零點，
結合圖象知a < 1或 2 < a < 5，所以 A 錯誤；
對于 B 中，當 a = 2時，由 g( f (x)) = 0 ，可得 f ( f (x)) = 2 ，
令 t = f (x) ，則有 f (t) = 2，可得 t1 =1,t2 = 4 - 3,t3 = 4 + 3 ，
結合圖像知， t1 = f (x) 有 3 個不等實根， t2 = f (x) 有 2 個不等實根， t3 = f (x)沒有實根，
所以 g( f (x))有 5 個不同的零點，所以 B 正確；
對于 C 中，若 g(x)有 4 個不同的零點 x1, x2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4 ，
則1 < a < 2 ，且 2 + log2 x1 = 2 - log2 x2 ，則 x1x2 =1，
由二次函數的對稱性得 x3 + x4 = 8，則 x1x2x3x4 = x3x4 = x3 8 - x3 ，
結合 B 知 x3 (2,4 - 3)，所以 x3 8 - x3 (12,13) ，所以 x1x2 x3x4 的取值范圍為 12,13 ，所以 C 正確；
對于 D 中，由 ax1x
x + x 8
2 +
3 4 = a + ，其中1 < a < 2 ，
a a
h a a 8 8由對勾函數的性質，可得 = + 在 (1, 2)上為單調遞減函數，可得 a + (6,9) ，
a a
ax x3 + x所以 41x2 + 的取值范圍為 (6,9)，所以 D 正確．a
故選：BCD．
【點睛】方法點睛：求解復合函數 y = f g x 的零點個數或方程解的個數與范圍問題的策略：
1、先換元解“套”，令 t = g x ，則 y = f t ，再作出 y = f t 和 t = g x 的圖象；
2、由函數 y = f t 的圖象觀察有幾個 t 的值滿足條件，結合 t 的值觀察 t = g x 的圖象，求出每一個 t 被 x 對
應，將 x 的個數匯總后，即為 y = f g x 的根的個數，即“從外到內”.
3、由零點的個數結合 t = g x 與 y = f t 的圖象特點，從而確定 t 的取值范圍，進而決定參數的范圍，即“從
內到外”，此法成為雙圖象法（換元+數形結合）.
三、填空題
6
12．（2023·遼寧葫蘆島·一模）請估計函數 f x = - log2 x 零點所在的一個區間 .x
【答案】 3,4
【分析】根據零點存在性定理求解即可.
【解析】根據對數函數單調性的性質，
6
函數 f x = - log2 x 為 0，+ 上的減函數,x
函數的圖像在 0，+ 上為一條連續不斷的曲線,
又 f 3 = 2 - log2 3 > 2 - log 4 = 0 f 4
3
2 , = - log 4
3 1
2 = - 2 = - < 0 ,2 2 2
所以函數 f x 6= - log2 x 零點所在的一個區間為 3,4 .x
故答案為: 3,4 .
13．（2024·河南·二模）已知函數 f x 是偶函數，對任意 x R ，均有 f x = f x + 2 ，當 x 0,1 時，
f x =1- x，則函數 g x = f x - log5 x +1 的零點有 個.
【答案】4
【分析】轉化為函數 y = f x 的圖象與 y = log5 x +1 的圖象的交點個數即可求解.
【解析】函數 f x 是偶函數，說明函數 f x 的圖象關于 y 軸對稱， f x = f x + 2 說明 f x 的周期是 2，
在同一平面直角坐標系中畫出函數 y = f x 的圖象與 y = log5 x +1 的圖象，如圖所示：
如圖所示，共有 4 個不同的交點，即 g x = f x - log5 x +1 有 4 個零點.
故答案為：4.
ì 4x -1 , x 1 2
14．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = í ，若方程 2 é f x ù - a + 2 × f x + a = 0有 7 個
x
2 - 6x + 8, x >1
不同的實數根，則實數 a的取值范圍是 ．
【答案】 0,2
【分析】先作出函數圖象，解一元二次方程，結合函數圖象含參討論即可.
【解析】作出函數 f x 的圖象，如圖所示．
2
2 f x a 2 f x a 0 é f x -1ù é a ù由 é ù - + × + = ，得 ê f x - = 0， 2 ú
解得 f x =1或 f x a= ．
2
由圖象易知，直線 y =1與 f x 的圖象有 3 個交點，
所以方程 f x =1有 3 個不同的實數根，
因為方程 2 é f x
2
ù - a + 2 × f x + a = 0有 7 個不同的實數根，
a
所以直線 y = 與 f x 的圖象有 4 個交點，
2
a
故0 < <1，解得0 < a < 2 ，故實數 a的取值范圍是 0,2 ．
2
故答案為： 0,2
四、解答題
15．（2024·山東聊城·二模）對于函數 f (x) ，若存在實數 x0 ，使 f (x0 ) f (x0 + l) =1，其中l 0，則稱 f (x) 為“可
移l 倒數函數”， x0 為“ f (x) 的可移l 倒數點”．已知 g(x) = ex ,h(x) = x + a(a > 0)．
(1)設j(x) = g(x)h2 (x)，若 2 為“ h(x) 的可移-2倒數點”，求函數j(x) 的單調區間；
ìg(x), x > 0
(2)設w(x) =

í 1 , x < 0，若函數
w(x) 恰有 3 個“可移 1 倒數點”，求 a的取值范圍．
h(x)
【答案】(1)單調遞增區間為 (- , -3), (-1,+ ) ，遞減區間為 -3, -1 ；
(2) 2,e .
【分析】（1）根據給定的定義，列式求出 a值，再利用導數求出函數j(x) 的單調區間.
（2）利用定義轉化為求方程w x w x +1 =1恰有 3 個不同的實根，再借助導數分段探討零點情況即可.
【解析】（1）由 2 為“ h x 的可移-2倒數點”，得 h 2 h 2 - 2 =1，
即 2 + a 2 - 2 + a =1 a2，整理 + 2 2 - 2 a +1- 2 2 = 0，即 a + 2 2 -1 a -1 = 0 ，解得 a =1，
由j(x) = ex (x +1)2 的定義域為 R，求導得j x = ex (x +1)2 + 2ex x +1 = ex x +1 x + 3 ，
當 x - ,-3 時，j x > 0,j x 單調遞增； x -3, -1 時，j x < 0,j x 單調遞減；
x -1, + 時，j x > 0,j x 單調遞增，
所以j x 的單調遞增區間為 (- , -3), (-1,+ ) ，遞減區間為 -3, -1 ．
ìex , x > 0
（2）依題意，w(x) =

í 1 ，
, x < 0 x + a
由w x 恰有 3 個“可移 1 倒數點”，得方程w x w x +1 =1恰有 3 個不等實數根，
①當 x > 0時， x +1 > 0，方程w x w x +1 =1 1可化為 e2x+1 =1，解得 x = - ，2
這與 x > 0不符，因此在 0, + 內w x w x +1 = 0 沒有實數根；
x+1
②當-1 < x < 0時， x +1 > 0，方程w x w x +1 =1 e可化為 =1，
x + a
該方程又可化為 a = ex+1 - x．
k x = ex+1設 - x ，則 k x = ex+1 -1，
因為當 x -1,0 時， k x > 0，所以 k x 在 -1,0 內單調遞增，
又因為 k -1 = 2, k 0 = e ，所以當 x -1,0 時， k x 2,e ，
因此，當 a 2,e 時，方程w x w x +1 =1在 -1,0 內恰有一個實數根；
當 a 0,2 e,+ 時，方程w x w x +1 =1在 -1,0 內沒有實數根．
③當 x=-1時， x +1 = 0,w x +1 沒有意義，所以 x=-1不是w x w x +1 =1的實數根．
1 1
④當 x < -1時， x +1< 0，方程w x w x +1 =1可化為 × =1，
x + a x + a +1
2
化為 x + 2a +1 x + a2 + a -1 = 0，于是此方程在 - ,-1 內恰有兩個實數根，
ì 2a +1 2 - 4 a2 + a -1 > 0
2a +1
則有 í- < -1 ，解得2 a
1+ 5
> ，
2
1- 2a +1 + a2 + a -1 > 0

因此當 a 1+ 5> 時，方程w x w x +1 =1在 - ,-1 內恰有兩個實數根，
2
0 a 1+ 5當 < 時，方程w x w x +1 =1在 - ,-1 內至多有一個實數根，
2
1+ 5
綜上， a的取值范圍為 2,e ( , + ) = 2,e ．
2
【點睛】思路點睛：已知函數的零點或方程的根的情況，求解參數的取值范圍問題的本質都是研究函數的
零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉化，即通過構造函數，把問題轉化成所構造函數的零點問題；
（2）列式，即根據函數的零點存在定理或結合函數的圖象列出關系式；（3）得解，即由列出的式子求出參
數的取值范圍．專題 09 函數的圖像、函數的零點
目錄
01 思維導圖
02 知識清單
03 核心素養分析
04 方法歸納
一、利用描點法作函數圖象
1.確定函數的定義域；
2.化簡函數解析式；
3.討論函數的性質(奇偶性、單調性、周期性);
4.列表(將簡單的、有代表性的自變量及對應的函數值列成表格，如：零點、最值點);
5.描點(在平面直角坐標系內描出各點);
6.連線(用平滑的曲線依次連接各點).
二、圖象變換
1.平移變換
①y=f(x)→y=f(x+a)(a>0),是把 y=f(x)的圖象沿 x 軸向左平程 a 個單位長度得到的.
②y=f(x)→y=f(x+a)(a<0),是把 y=f(x)的圖象沿 x 軸向右平移 a 個單位長度得到的。
③y=f(x)→y=f(x)+k(k>0),是把 y=f(x)的圖象沿 y 軸向上平稱 k 個單位長度得到的。
④y=f(x)→y=f(x)+k(k<0),是把 y=f(x)的圖象沿 y 軸向下平移 k 個單位長度得到的。
2.伸縮變換
1
①y=f(x)→y=f(ax)(a>1),是把 y=f(x)的圖象橫坐標縮短為原來的 倍，縱坐標不變得到的。
a
1
②y=f(x)→y=f(ax)(0a
③y=f(x)→y=af(x)(a>1),是把 y=f(x)的圖象縱坐標伸長為原來的 a 倍，橫坐標不變得到的.
④y=f(x)→y=af(x)(03.翻轉變換
①y=f(x)→y=|f(x)|,是把 y=f(x)的圖象位于 x 軸下方部分翻折到上方，x 軸及上方部分不變得到的.
②y=f(x)→y=f(|x|),是把 y=f(x)的圖象位于 y 軸右側部分翻折到左側，原左側部分去掉，右側部分不變得到的。
4.對稱變換
①y=f(x)→y=-f(x),關于 x 軸對稱； ②y=f(x)→y=f(-x),關于 y 軸對稱。
③y=f(x)→y=-f(-x),關于原點對稱； ④y=f(x)→x=f(y),關于直線 y=x 對稱。
⑤y=f(x)→-x=f(-y),關于直線 y=-x 對稱； ⑥y=f(x)→y=f(2a-x),關于直線 x=a 對稱。
⑦y=f(x)→2b-y=f(x),關于直線 y=b 對稱； ⑧y=f(x)→2b-y=f(2a-x),關于點(a,b)對稱。
三、函數的零點
1．函數的零點
(1)函數零點的定義：對于函數 y＝f(x)，把使 f(x)＝0 的實數 x 叫做函數 y＝f(x)的零點．
(2)三個等價關系：方程 f(x)＝0 有實數根 函數 y＝f(x)的圖象與 x 軸有交點 函數 y＝f(x)有零點．
2．函數零點的判定
如果函數 y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有 f(a)·f(b)＜0，那么函數 y＝f(x)在
區間(a，b)內有零點，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，這個 c 也就是 f(x)＝0 的根．我們把這一結論稱為函
數零點存在性定理．
3．二次函數 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與零點的關系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函數 y＝ax2＋
bx＋c(a＞0) 的圖象
與 x 軸的交點 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 無交點
零點個數 兩個 一個 零個
四、函數零點存在定理
一般地，如果函數 y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線并且有 f(a)·f(b)<0,那么,函數 y=f(x)
在區間(a,b)內至少有一個零占即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,這個 c 就是方程 f(x)=0 的解.
f(a)·f(b)<0 與函數 f(x)存在零點的關系
1.若函數 y=f(x)在閉區間[a,b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，并且有 f(a)·f(b)<0,則函數 y=f(x)一定有零點.
2.若函數 y=f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線且在閉區間[a,b]上有零點不一定有 f(a)·f(b)<0,也有可能
f(a)·f(b)>0.
3.若函數 f(x)在[a,b]上單調，且函數圖象是一條連續不斷的曲線，則 f(a)·f(b)<0→函數 f(x)在[a,b]上只有一個
零點。
溫馨提示：函數零點存在定理必須同時滿足：①函數 f(x)在區間[a,b]上圖象是一條連續不斷的曲線；
②f(a)·f(b)<0.這兩個條件缺一不可，否則結論不一定成立。
五、二分法
1.定義：對于在區間[a，b]上圖象連續不斷且 f(a)f(b)<0 的函數 y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區間一
分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．
2.給定精確度 ε，用二分法求函數 f(x)零點 x0的近似值的一般步驟如下：
①確定零點 x0的初始區間[a，b]，驗證 f(a)f(b)<0．
②求區間(a，b)的中點 c．
③計算 f(c)，并進一步確定零點所在的區間：
(ⅰ)若 f(c)＝0(此時 x0＝c)，則 c 就是函數的零點；
(ⅱ)若 f(a)f(c)<0(此時 x0∈(a，c))，則令 b＝c；
(ⅲ)若 f(c)f(b)<0(此時 x0∈(c，b))，則令 a＝c．
④判斷是否達到精確度 ε：若|a－b|<ε，則得到零點近似值 a(或 b)；否則重復②～④．
1.利用函數的圖象研究函數的性質
對于已知或解析式易畫出其在給定區間上圖象的函數，其性質常借助圖象研究：
(1)從圖象的最高點、最低點，分析函數的最值、極值；
(2)從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性；
(3)從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性．
2．利用函數的圖象研究方程根的個數：當方程與基本函數有關時，可以通過函數圖象來研究方程的根，
方程 f(x)＝0 的根就是函數 f(x)的圖象與 x 軸交點的橫坐標，方程 f(x)＝g(x)的根就是函數 f(x)與 g(x)圖象交點
的橫坐標．
3. 零點的判斷：數形結合法，通過畫函數圖象，觀察圖象與 x 軸在給定區間上是否有交點來判斷．
一、作函數的圖象
例 1　作出下列函數的圖象：
(1)y＝2x＋1－1；
(2)y＝|lg(x－1)|；
(3)y＝x2－|x|－2.
解　(1)將 y＝2x的圖象向左平移 1 個單位長度，得到 y＝2x＋1的圖象，再將所得圖象向下平移 1 個單位長度，
得到 y＝2x＋1－1 的圖象，如圖①所示．
(2)首先作出 y＝lg x 的圖象，然后將其向右平移 1 個單位長度，得到 y＝lg(x－1)的圖象，再把所得圖象在 x
軸下方的部分翻折到 x 軸上方，即得所求函數 y＝|lg(x－1)|的圖象，如圖②所示(實線部分)．
2
(3)y＝x2 |x| 2 {x －x－2，x ≥ 0，－ － ＝ x2 x 2 x < 0 函數為偶函數，先用描點法作出[0，＋∞)上的圖象，再根據對稱性作＋ － ， ，
出(－∞，0)上的圖象，其圖象如圖③所示．
方法歸納：　圖象變換法作函數的圖象
(1)熟練掌握幾種基本初等函數的圖象．
(2)若函數圖象可由某個基本初等函數的圖象經過平移、翻折、對稱和伸縮得到，可利用圖象變換作出，但
要注意變換順序．
二、函數圖象的識別
x·cos x
例 2　(1)(2022·百師聯盟聯考)函數 f(x)＝ 的圖象大致為(　　)
e|x|
答案　D
解析　由題意知，f(x)的定義域為 R，
－x·cos －x
f(－x)＝
e|－x|
－x·cos x
＝ ＝－f(x)，
e|x|
故 f(x)為奇函數，排除 C；
cos 1
f(1)＝ >0，排除 A；
e
2cos 2
f(2)＝ <0，排除 B.
e2
x－1
(2)(2022·泉州模擬)已知函數 f(x) {e －1，x ≤ 1，＝ log x x > 1 則函數 y＝f(1－x)的圖象大致為(　　)2 ， ，
答案　B
ex－1－1，x ≤ 1，
解析　函數 f(x)＝{log2x，x > 1，
－x
所以 y＝g(x) f(1 x) {e －1，x ≥ 0，＝ － ＝ log2 1－x ，x < 0，
所以當 x＝0 時，g(0)＝e0－1＝0，
故選項 A，C 錯誤；
當 x≥0 時，g(x)＝e－x－1 單調遞減，
故選項 D 錯誤，選項 B 正確．
方法歸納：　識別函數的圖象的主要方法有：(1)利用函數的性質．如奇偶性、單調性、定義域等判斷．(2)
利用函數的零點、極值點等判斷．(3)利用特殊函數值判斷．
三、函數圖象的應用
命題點 1　研究函數的性質
例 3　已知函數 f(x)＝x|x|－2x，則下列結論正確的是(　　)
A．f(x)是偶函數，單調遞增區間是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函數，單調遞減區間是(－∞，1)
C．f(x)是奇函數，單調遞減區間是(－1,1)
D．f(x)是奇函數，單調遞增區間是(－∞，0)
答案　C
解析　將函數 f(x)＝x|x|－2x
去掉絕對值，得
2
f(x) {x －2x，x ≥ 0，＝ －x2－2x，x < 0，
畫出函數 f(x)的圖象，如圖所示，觀察圖象可知，函數 f(x)的圖象關于原點對稱，故函數 f(x)為奇函數，且在
(－1,1)上單調遞減．
命題點 2　函數圖象在不等式中的應用
例 4　若當 x∈(1,2)時，函數 y＝(x－1)2 的圖象始終在函數 y＝logax 的圖象的下方，則實數 a 的取值范圍是
________．
答案　(1,2]
解析　如圖，在同一平面直角坐標系中畫出函數 y＝(x－1)2和 y＝logax 的圖象．
由于當 x∈(1,2)時，函數 y＝(x－1)2的圖象恒在函數 y＝logax 的圖象的下方，
{a > 1，則 log 2 ≥ 1 解得 1命題點 3　求參數的取值范圍
x
例 5　已知函數 f(x) {2 －x，x ≤ 0，＝ log2x－x，x > 0， 若方程 f(x)＝－2x＋a 有兩個不同的實數根，則實數 a 的取值范圍
是________．
答案　(－∞，1]
解析　方程 f(x)＝－2x＋a 有兩個不同的實數根，即方程 f(x)＋x＝－x＋a 有兩個不同的根，等價于函數 y＝
f(x)＋x 與函數 y＝－x＋a 的圖象有兩個不同的交點．
x
f(x) {2 －x，x ≤ 0，因為 ＝ log2x－x，x > 0，
x
所以 y＝f(x) x {2 ，x ≤ 0，＋ ＝ log2x，x > 0，
作出函數 y＝f(x)＋x 與 y＝－x＋a 的大致圖象如圖所示．
數形結合可知，當 a≤1 時，兩個函數的圖象有兩個不同的交點，即函數 y＝f(x)＋2x－a 有兩個不同的零
點．
方法歸納：　當不等式問題不能用代數法求解或用代數法求解比較困難，但其對應函數的圖象可作出時，
常將不等式問題轉化為圖象的位置關系問題，從而利用數形結合思想求解．
四、函數零點所在區間的判定
例 6　(1)(多選)(2022·菏澤質檢)函數 f(x)＝ex－x－2 在下列哪個區間內必有零點(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案　AD
1 1
解析　f(－2)＝ >0，f(－1)＝ －1<0，
e2 e
f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，
f(2)＝e2－4>0，
因為 f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，
所以 f(x)在(－2，－1)和(1,2)內存在零點．
(2)若 aA．(a，b)和(b，c)內
B．(－∞，a)和(a，b)內
C．(b，c)和(c，＋∞)內
D．(－∞，a)和(c，＋∞)內
答案　A
解析　函數 y＝f(x)是開口向上的二次函數，最多有兩個零點，由于 a因此 f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以 f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，
即 f(x)在區間(a，b)和區間(b，c)內各有一個零點．
方法歸納：　確定函數零點所在區間的常用方法
(1)利用函數零點存在定理：首先看函數 y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續，再看是否有 f(a)·f(b)<0.若有，
則函數 y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點．
(2)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與 x 軸在給定區間上是否有交點來判斷．
五、函數零點個數的判定
例 7　(1)(2022·紹興模擬)若函數 y＝f(x)(x∈R)滿足 f(x＋1)＝－f(x)，且 x∈[－1,1]時，f(x)＝1－x2，已知函數
g(x) {|lg x|，x > 0，＝ ex x < 0 則函數 h(x)＝f(x)－g(x)在區間[－6,6]內的零點個數為(　　)， ，
A．14 B．13 C．12 D．11
答案　C
解析　因為 f(x＋1)＝－f(x)，
所以函數 y＝f(x)(x∈R)是周期為 2 函數，
因為 x∈[－1,1]時，f(x)＝1－x2，
所以作出它的圖象，則 y＝f(x)的圖象如圖所示．(注意拓展它的區間)
g(x) {|lg x|，x > 0，再作出函數 ＝ ex x < 0 的圖象，，
容易得出交點為 12 個．
(2)函數 f(x)＝ 36－x2·cos x 的零點個數為______．
答案　6
解析　令 36－x2≥0，解得－6≤x≤6，
∴f(x)的定義域為[－6,6]．
令 f(x)＝0 得 36－x2＝0 或 cos x＝0，
由 36－x2＝0 得 x＝±6，
π
由 cos x＝0 得 x＝ ＋kπ，k∈Z，
2
又 x∈[－6,6]，
3π π π 3π
∴x 為－ ，－ ， ， .
2 2 2 2
故 f(x)共有 6 個零點．
方法歸納：　求解函數零點個數的基本方法
(1)直接法：令 f(x)＝0，方程有多少個解，則 f(x)有多少個零點；
(2)定理法：利用定理時往往還要結合函數的單調性、奇偶性等；
(3)圖象法：一般是把函數拆分為兩個簡單函數，依據兩函數圖象的交點個數得出函數的零點個數．
2
ìx - 2x + 3, x > 0[拓展]　已知函數 f x = í x ，則關于 x 方程 f x = ax + 2的根個數不可能是（ ）
2 , x 0
A．0 個 B．1 個 C．2 個 D．3 個
答案 C
分析將原問題轉化為直線 y = ax + 2與函數 y = f (x) 的圖象交點的個數，作出 y = f (x) 的圖象，分 a > 0、
a = 0、 a<0三種情況，結合圖象求解即可．
解析 作出函數 y = f (x) 的圖象，如圖所示：
將原問題轉化為直線 y = ax + 2（過定點 0,2 ）與函數 y = f (x) 的圖象交點的個數，
由圖可知，當 a = 0時，直線 y = 2與函數 y = f (x) 的圖象只有一個交點；
當 a<0時，直線 y = ax + 2與函數 y = f (x) 的圖象沒有交點；
當 a > 0時，直線 y = ax + 2與函數 y = f (x) 的圖象有三個交點；
所以直線 y = ax + 2與函數 y = f (x) 的圖象不可能有兩個交點．
故選：C．
題型三　函數零點的應用
命題點 1　根據函數零點個數求參數
ì-xex+1, x 0
例 8　已知函數 f x = í 1 ， h x 2= é f x ù - 2af x + 4 a R ，若函數 h x 恰有 6 個零點，則
ln x - , x > 0
4
實數 a的取值范圍是（ ）
5A
5
． ,+ ÷ B． , 4

÷ C． 1, + D2 ． 0, + è 2 è
答案 A
分析 先利用導數研究當 x 0 時，函數 f x 的圖象和性質，結合對數函數的圖象及絕對值的意義作出函數
f x 的大致圖象，然后根據題意及一元二次方程根的分布得到關于 a的不等式，解不等式即可得到實數 a
的取值范圍．
解析 x 0 f x = -xex+1當 時， ， f x = - x +1 ×ex+1 ，
令 f x = 0，得 x=-1，當 x < -1時， f x > 0， f x 單調遞增，
當-1 < x 0時， f x < 0， f x 單調遞減，
又 f -1 =1， f 0 = 0，當 x 趨近于- 時， f x 趨近于 0，
結合對數函數的圖象及絕對值的意義可作出函數 f x 的圖象如圖所示．
令 f x = t ，則 h x = t 2 - 2at + 4，數形結合可知要使 h x 有 6 個零點，
則 g t = t 2 - 2at + 4 = 0有兩個不相等的實數根 t1 、 t2 ，不妨令 t1 > t2，有如下兩種情況：
若 t2 = 0 < t1 <1，但 g(0) = 4 0，故排除此種情況，
若 t1 >1 > t2 > 0
2 5
，對于二次函數 g t 開口向上，又 g 0 = 4 > 0，則 g 1 =1 - 2a 1+ 4 < 0，得 a > ，
2
5
綜上，實數 a的取值范圍是 ,+ ．
è 2 ÷
故選：A
命題點 2　根據函數零點范圍求參數
1＋ax
例 9　(2022·北京順義區模擬)已知函數 f(x)＝3x－ .若存在 x0∈(－∞，－1)，使得 f(x0)＝0，則實數 a 的取x
值范圍是(　　)
4 4
A.(－∞， ) B.(0，3 3 )
4
C．(－∞，0) D.( ，＋∞3 )
答案　B
1＋ax
解析　由 f(x)＝3x－ ＝0，
x
1
可得 a＝3x－ ，
x
1
令 g(x)＝3x－ ，其中 x∈(－∞，－1)，
x
由于存在 x0∈(－∞，－1)，使得 f(x0)＝0，
則實數 a 的取值范圍即為函數 g(x)在(－∞，－1)上的值域．
1
由于函數 y＝3x，y＝－ 在區間(－∞，－1)上均單調遞增，所以函數 g(x)在(－∞，－1)上單調遞增．
x
當 x∈(－∞，－1)時，
1 4
g(x)＝3x－ <3－1＋1＝ ，
x 3
1
又 g(x)＝3x－ >0，
x
4
所以函數 g(x)在(－∞，－1)上的值域為(0，3 ).
4
因此實數 a 的取值范圍是(0， .3 )
拓展
1．函數 f (x) = x + log2 x - 4的零點為x1，函數 g(x) = x + loga (x -1) - 5的零點為x2，若 x2 - x1 >1，則實數 a
的取值范圍為（ ）
A． 1, 2 B． (1, 2) C． 2,+ D． (2,+ )
答案 D
分析 由函數零點的性質可得到 x1 + log2 x1 = x2 -1+ loga (x2 -1) ，再結合簡單復合函數的單調性求出結果即
可.
解析 因為 f (x) = x + log2 x - 4，易得 f (x) 在 0, + 上單調遞增，
又 f (2) = 2 + log2 2 - 4 = -1< 0， f (4) = 4 + log2 4 - 4 = 2 > 0 ，
所以 f (x) 在 2,4 上存在唯一零點，即 2 < x1 < 4 ，
又由已知可得 x1 + log2 x1 - 4 = 0 ， x2 + loga (x2 -1) - 5 = 0，
所以 x1 + log2 x1 - 4 = x2 + loga (x2 -1) - 5，
即 x1 + log2 x1 = x2 -1+ loga (x2 -1) ，
因為 x2 - x1 >1，所以 x2 -1> x1，
結合選項可知無需考慮 0 < a < 1，
則 y = x + log2 x 和 y = x -1+ loga x -1 a >1 這兩個函數均為增函數，
所以 x1 + log2 x1 = x2 -1+ loga (x2 -1) > x1 + loga x1，即 log2 x1 > loga x1，
ln x ln x
所以 1 > 1 ，又 2 < x1 < 4 ，即 ln x1 > ln 2 > 0，ln 2 ln a
1 1
所以 > ，即 ln a > ln 2，所以 a > 2 .
ln 2 ln a
故選：D.
2．若函數 f (x) = aex - x恰有 2 個零點，則實數 a 的取值范圍是 ．
1
答案 0, e ÷è
解析 函數 f x = aex - x x恰好有兩個零點，等價于方程 a = x 有兩個根.e
x
x h x e - xe
x 1- x
設 h x = x ，則 = = x 2 ex ，由 h x > 0 x <1.e e
所以 h x 在 - ,1 上單調遞增，在 1, + 上單調遞減，
1
所以 h x 有極大值 h 1 = .
e
又當 x < 0 時， h x < 0； h 0 = 0；當 x > 0時， h x > 0 .
可畫出函數 h x x= x 的草圖如下：e
x 1
所以 a = x 有兩解，可得0 < a < .e e
1
故答案為： 0, ÷
è e
ì x + 2 , x 0
3．已知 f x = í log x , x 0，若方程 f (x) - a = 0有四個根 x> 1, x2 , x3 , x4 ，且 x1 < x2 < x3 < x4 ，則 x3 - x1 + x4 - x2 3
的取值范圍為 ．

答案 6,
118ù
è 9 ú
分析 作出函數 y = f x 和函數 y = a 的圖象，將方程根的問題，轉化為圖象交點問題，進而得出x1與x2， x3
與 x4的關系，從而得出結果.
解析 因為方程 f x - a = 0 有四個根 x1, x2 , x3 , x4 ，
ì x + 2 , x 0
故函數 f x = í 的圖象與函數 y = alog x , x 0 的圖象有四個交點， 3 >
它們的橫坐標分別為 x1, x2 , x3 , x4 ，如圖所示，
當 x 0 時， x1 + 2 = x2 + 2 ，且 x1 < x2，故 x1 + x2 = -4，
當 x > 0時， log3 x3 = log3 x4 ，且 x3 < x4 ，所以 log3 x3 = - log3 x4 ，解得 x3x4 =1，
ì x + 2 , x 0
因為函數 f x = í 的圖象與函數 y = a 的圖象有四個交點，
log3 x , x > 0
由圖可得，0 < log3 x4 2，故1< x4 9，
所以 x3 - x x x
1
1 + 4 - 2 = x3 + x4 + 4 = x4 + + 4x ，4
令 h x = x 1 4 x 1,9 h x x 1+ + ， ， = + + 4在 1,9 單調遞增，
x x
所以 h x > h 1 = 6 118， h x = h 9 =max ，9
故 x3 - x1 + x - x
118ù
4 2 的取值范圍是 6, .
è 9 ú
6,118ù故答案為： .
è 9 ú
方法歸納：　已知函數有零點求參數值或取值范圍常用的方法和思路
(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數的取值范圍．
(2)分離參數法：將參數分離，轉化成求函數值域的問題加以解決．
(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解．

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