資源簡(jiǎn)介

專題 06 函數(shù)及其表示（九大題型+模擬精練）
目錄：
01 區(qū)間的表示與運(yùn)算
02 判斷是否為同一函數(shù)
03 求函數(shù)的定義域（具體函數(shù)、抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)）
04 求函數(shù)的值綜合
05 求函數(shù)的值域
06 求函數(shù)的解析式綜合
07 分段函數(shù)綜合
01 區(qū)間的表示與運(yùn)算
ìx -1 0
1．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）不等式組 í 的解集用區(qū)間表示為： ．
2 - x > 0
【答案】[1,2)
【分析】先解不等式組，再將結(jié)果用區(qū)間表示.
ìx -1 0
【解析】解：∵不等式組 í 2 ， - x > 0
∴1 x < 2，∴不等式組的解集為[1,2)．
故答案為：[1,2)．
2．（23-24 高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）設(shè)集合 A = -1,2 , B = a - 2, a ，若 A B = -1,0 , 則 a =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)交運(yùn)算即可求解.
【解析】由 A B = -1,0 , 所以 a - 2 -1 < a = 0 < 2，故 a = 0，
故選：B
3．（23-24 高三上·上海·期中）已知集合 A = -2,1 ，B = -4, -1 U 1,2 ，則 AI B = ．
【答案】 -2, -1
【分析】直接由交集的概念、區(qū)間的表示即可得解.
【解析】因?yàn)?A = -2,1 ，B = -4, -1 U 1,2 ，所以 A B = -2, -1 .
故答案為： -2, -1 .
02 判斷是否為同一函數(shù)
4．（23-24 高一上·福建福州·階段練習(xí)）下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是（　　）
2A． f x = x與 g x = x
B． f x = lg x -1 與 g x = lg x - 1
C． f x = x0 與 g x =1
D． f x = x +1與 g t = t +1
【答案】D
【分析】根據(jù)相等函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同依次討論各選項(xiàng)即可得答案.
2
【解析】對(duì)于 A 選項(xiàng)， f x = x定義域?yàn)镽 ， g x = x 的定義域?yàn)?x x 0 ，故不滿足條件；
對(duì)于 B 選項(xiàng)， f x = lg x -1 定義域?yàn)? 1, + ， g x = lg x - 1 的定義域?yàn)?x x 1 ，，故不滿足條件；
0
對(duì)于 C 選項(xiàng)， g x =1定義域?yàn)镽 ， f x = x 的定義域?yàn)?x x 0 ，故不滿足條件；
對(duì)于 D 選項(xiàng)， f x = x +1(x R) 與 g t = t +1(t R)定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，故滿足條件．
故選：D．
5．（23-24 高三上·河南濮陽·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，與函數(shù) f x = x是同一函數(shù)的是（ ）
A f x = ( x )2． B． f x = x2
2
C． f x = 3 x3 D． f t t=
t
【答案】C
【分析】由同一函數(shù)的定義依次判斷選項(xiàng)即可.
【解析】解：函數(shù) f x = x，定義域?yàn)镽 .
選項(xiàng) A 2中 f x = ( x ) = x ，定義域?yàn)?0, + ，故 A 錯(cuò)誤；
選項(xiàng) B 中 f x = x2 = x ，定義域?yàn)镽 ，故 B 錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C 中 f x = 3 x3 = x，定義域?yàn)镽 ，故C 正確；
t 2
選項(xiàng) D 中 f t = = t ，定義域?yàn)?∣t t 0 ，故 D 錯(cuò)誤.
t
故選：C.
6．（22-23 高三·全國(guó)·對(duì)口高考）下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（ ）
A． f (x) = x, g(x) = 4lg x
B． f (x) = 1- x2 , g(x) = 1- | x |, x [-1,1]
C． y = f (x), g(x) = f (x +1), x R
1 x
D ． f (x) = lg ÷ , g(x) =| x | lg 2
è 2
【答案】D
【分析】根據(jù)同一函數(shù)的概念，結(jié)合定義域和對(duì)應(yīng)法則，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【解析】對(duì)于 A 中，由函數(shù) f (x) = x的定義域?yàn)镽 ，函數(shù) g(x) = 4lg x的定義域?yàn)?(0, + )，兩函數(shù)的定義域
不同，所以不是同一函數(shù)；
對(duì)于 B，由函數(shù) f (x) = 1- x2 和函數(shù) g(x) =1- | x |, x [-1,1]的對(duì)應(yīng)法則不同，所以不是同一函數(shù)；
對(duì)于 C 中，函數(shù) y = f (x) 與 g(x) = f (x +1), x R 的對(duì)應(yīng)法則不同，所以不是同一函數(shù)；
f x lg 1
x 1
對(duì)于 D 中，函數(shù) =

÷ = xlg = -xlg2 = x lg 2和 g(x) =| x | lg 2的定義域與對(duì)應(yīng)法則都相同，所以
è 2 2
是同一函數(shù).
故選：D.
03 求函數(shù)的定義域（具體函數(shù)、抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)）
7．（2024 高三上·廣東·學(xué)業(yè)考試）函數(shù) y = x - 2 的定義域是（ ）
A． 2, + B． 2, + C． - , 2 D． - , 2
【答案】A
【分析】直接根據(jù)被開方數(shù)不小于零列不等式求解.
【解析】∵ x-2有意義，∴ x - 2 0，即 x 2，
所以函數(shù) y = x - 2 的定義域是 2, + ，
故選: A.
1
8 23-24 · · y = 1- x2．（ 高一上 浙江杭州 期中）函數(shù) + 的定義域是（ ）
x
A． - ,1 B． -1,0 U 0,1 C． -1,0 U 0,1 D． 0,1
【答案】C
【分析】
根據(jù)題意得到不等式組，解出即可.
ì1- x2 0
【解析】由題得 í ，解得 x -1,0 U 0,1 ，
x 0
故選：C.
9．（23-24 高三上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）若函數(shù) f 2x -1 的定義域?yàn)? f x -1-1,1 ，則函數(shù) y = 的定義
x -1
域?yàn)椋? ）
A． -1,2 B． 0,2 C． -1,2 D． 1,2
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)有意義并結(jié)合抽象函數(shù)的定義域求解作答.
【解析】由函數(shù) f 2x -1 的定義域?yàn)?-1,1 ，即-1 x 1，得-3 2x -1 1，
f x -1 ì-3 x -1 1
因此由函數(shù) y = 有意義，得 íx 1 0 ，解得- > 1< x 2，x -1
f x -1
所以函數(shù) y = 的定義域?yàn)? 1,2 .
x -1
故選：D
10．（22-23 高一下·遼寧沈陽·期末）已知函數(shù) y = f x +1 的定義域?yàn)? 1,2 ，則函數(shù) y = f 2x -1 的定義域?yàn)?br/>（ ）
é1 ù é3 ù
A． ê ,1ú B2 ． ê
, 2ú C． -1,1 D． 3,5 2
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【解析】∵函數(shù) y = f x +1 的定義域?yàn)? 1,2 ，即1 x 2，可得 2 x +1 3，
∴函數(shù) y = f x 的定義域?yàn)?2,3 ，
3
令 2 2x -1 3，解得 x 2，
2
故函數(shù) y = f 2x 1 é3- 的定義域?yàn)?ê , 2
ù
.
2 ú
故選：B.
f 3- 4xf 2x -1 -3,1 y 11．（22-23 高二下·遼寧·階段練習(xí)）若函數(shù) 的定義域?yàn)?，則 = 的定義域?yàn)椋? ）
x -1
A． 1 B． 1,
3ù 3
ú C． ,
5 ù
ú D． 1,
5 ù
è 2 è 2 2 è 2 ú
【答案】D
【分析】根據(jù)題意先求得函數(shù) f x 的定義域?yàn)?-7,1 ，然后結(jié)合抽象函數(shù)定義域與 x -1求解即可；
f 3- 4x ì-7 3 - 4x 1,
【解析】由題意可知-3 x 1，所以-7 2x -1 1，要使函數(shù) y = 有意義，則 í 解得
x -1 x -1 > 0,
1< x 5 .
2
故選：D
12．（22-23 · · f x 2 - x高三上 陜西商洛 階段練習(xí)）已知函數(shù) = ，則函數(shù) g(x) = f (1- x)的定義域?yàn)椋? ）
x +1
A． (-2,1] B．[-2,1)
C． (-1,2] D．[-1,2)
【答案】D
【分析】先求得 f x 的定義域，進(jìn)而求得 g x 的定義域.
2 - x
【解析】由 0，解得-1 < x 2，所以 f x 的定義域?yàn)? -1,2 .
x +1
令-1 <1- x 2，則-1 x < 2，所以 g(x)的定義域?yàn)?-1,2 .
故選：D
1
13．（21-22 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知 f x = ，則 f f x 的定義域?yàn)? （ ）
x +1
A． x | x -2 B． x | x -1 C． x x -1且 x -2 D． x x 0且 x -1
【答案】C
【分析】利用分母不為 0 及復(fù)合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)不等于 0 求解具體函數(shù)定義域
1 1
【解析】因?yàn)?f (x) = ，所以 x -1，又因?yàn)樵?f ( f (x))中， f (x) -1，所以 -1，所以 x -2，
x +1 x +1
所以 f ( f (x))的定義域?yàn)?x x -1且 x -2 .
故選：C
14．（20-21 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若函數(shù) f x + 3 的定義域?yàn)? -5, -2 ，則F x = f x +1 + f x -1 的定義
域?yàn)? ．
【答案】 -1,0
【分析】求出 x +3的范圍，然后由 x +1, x -1都在此范圍內(nèi)得定義域．
【解析】∵ f x + 3 的定義域?yàn)? -5, -2 ，
ì-2 < x +1 <1, ì-3 < x < 0,
∴ -2 < x + 3 <1，∴ í 2 x 1 1,解得 - < - <
í
-1 < x < 2,
∴ -1 < x < 0，故函數(shù) F (x)的定義域?yàn)?(-1,0) ．
故答案為： (-1,0) ．
04 求函數(shù)的值綜合
15．（21-22 高一下·貴州銅仁·期末）函數(shù) f x 滿足 f x +1 = 2x - 3，則 f 1 =（ ）
A． -1 B．0 C．2 D．-3
【答案】D
【分析】根據(jù)題意令 x = 0，即可得結(jié)果.
【解析】因?yàn)?f x +1 = 2x - 3，令 x = 0，可得 f 1 = -3 .
故選：D.
16．（22-23 · · f x -1 = x2高二下 山東煙臺(tái) 階段練習(xí)）已知函數(shù) - 2x，且 f a = 3，則實(shí)數(shù) a的值等于（ ）
A． 2 B．± 2 C．2 D．±2
【答案】D
【分析】利用抽象函數(shù)定義域求法求解即可；
【解析】令 x -1 = a, x2 - 2x = 3，解得 x=-1或 x = 3由此解得 a = ±2 ，
故選：D
1
17．（2024·江蘇南通·二模）已知 f x 對(duì)于任意 x, y R ，都有 f x + y = f x × f y ，且 f ÷ = 2，則 f 4 =
è 2
（ ）
A．4 B．8 C．64 D．256
【答案】D
2 8 1
【分析】由題意有 f 2x = f x ，得 f 4 = f ÷，求值即可.
è 2
【解析】由 f x + y = f x × f y ，當(dāng) y = x f 2x = f 2時(shí)，有 x ，
f 1 由 ÷ = 2，則有 f 4 f 2 2 f 4 1 f 8
1= = = = 28 = 256 .
è 2 2 ÷ è
故選：D
18．（23-24 高一上·北京·期中）已知函數(shù) y = f x 的圖象如圖所示，則 f f 0 的值為（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求得正確答案.
【解析】由圖可知 f 0 = 2 ，
過點(diǎn) 0, -2 , 4,0 的直線方程為 y = kx + b，
ìb = -2 ì k
1
= 1
則 í ，解得 í 2 ，所以直線方程為 y = x - 24k b 0 ， + = b = -2
2
令 x = 2，得 y = -1，
所以 f f 0 = f 2 = -1.
故選：A
19．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ，滿足 f x - 4 = f x ，且當(dāng)0 x < 4時(shí)，
f x = x + 3 ，則 f 2023 =（ ）
A． 6 B． 5 C．2 D． 3
【答案】A
【分析】由題意可得函數(shù)的周期為 4，再利用周期可求得答案.
【解析】因?yàn)?f x - 4 = f x ，所以 4 是函數(shù) f x 的一個(gè)周期，
所以 f 2023 = f 505 4 + 3 = f 3 = 6 ，
故選：A．
20．（2024·遼寧遼陽·一模）已知函數(shù) f x 滿足 f x + y = f x + f y 2xy, f 1 3+ ÷ = ，則 f 100 =（　　）
è 2 4
A．10000 B．10082 C．10100 D．10302
【答案】C
【分析】賦值得到 f x +1 - f x = 2x + 2，利用累加法得到 f x + 99 - f x =198x + 9900，令 x =1得到
f 100 - f 1 =10098，賦值得到 f 1 ，從而求出答案.
【解析】 f x + y = f x + f y + 2xy y 1中，令 = 得，
2
f x 1 +

÷ = f x f
1+ 3
2 2 ÷
+ x = f x + x + ，
è è 4
f x 1 f x 1 x 1 3 1 5故 + = + ÷ + + + = f

x +

÷ + x + ，
è 2 2 4 è 2 4
f x 1 f x x 3 5故 + = + + + x + = f x + 2x + 2，
4 4
其中 f x +1 - f x = 2x + 2，①
f x + 2 - f x +1 = 2 x +1 + 2 = 2x + 4，②
f x + 3 - f x + 2 = 2 x + 2 + 2 = 2x + 6，③
……，
f x + 99 - f x + 98 = 2 x + 98 + 2 = 2x +198，
上面 99 個(gè)式子相加得，
99 2 +198f x + 99 - f x = 99 2x + 2 + 4 +L+198 =198x +
2
=198x + 9900，
令 x =1得 f 100 - f 1 =198 + 9900 =10098，
f x 1 f x 3 1 1 3 3 1 3 + ÷ = + x +
1
中，令 x = 得 f 1 = f ÷ + + = + + = 2，
è 2 4 2 è 2 2 4 4 2 4
故 f 100 =10098 + f 1 =10100 .
故選：C
21．（23-24 2高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知集合 A = x | y = x +1 ，B = y | y = x +1 ，則 A R B =
（ ）
A． 0,1 B． (- ,1) C． -1,1 D． -1,1
【答案】C
【分析】化簡(jiǎn)集合 A 和集合 B,再利用交補(bǔ)運(yùn)算求解.
【解析】因?yàn)?A = x∣y = x +1 = x∣x -1 = [-1,+ )，
B = y∣y = x2 +1 = y∣y 1 = 1,+ ，
所以 R B = - ,1 ，所以 AI R B = -1,1 ，
故選:C．
22．（23-24 高三上·江蘇蘇州·期中）滿足{x m x n} = {y y = x2 ,m x n}的實(shí)數(shù)對(duì)m ， n構(gòu)成的點(diǎn) (m, n)
共有（ ）
A．1 個(gè) B．2 個(gè) C．3 個(gè) D．無數(shù)個(gè)
【答案】C
【分析】結(jié)合集合相等及二次函數(shù)的單調(diào)性即可求.
【解析】由{x m x n} = {y y = x2 ,m x n}，又 y = x2 0 ，
則m 0 ，所以 y = x2 在[m, n]單調(diào)遞增，
故值域?yàn)閇 f (m), f (n)]，
即m, n是 x2 = x 的兩根，解得 x1 = 0, x2 =1，
當(dāng)m = n = 0 時(shí)，點(diǎn) (m, n)為 (0,0)，
當(dāng)m = n =1時(shí)，點(diǎn) (m, n)為 (1,1) ，
當(dāng)m = 0, n =1時(shí)，點(diǎn) (m, n)為( 0, 1) .
故選：C
05 求函數(shù)的值域
23．（23-24 高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知函數(shù) y = f (x) +1的值域?yàn)?(1,3)，則函數(shù) y = -2 f (x)的值域?yàn)?br/>（ ）
A． -4,0 B． (-6,-2) C． (2,6) D． (0, 4)
【答案】A
【分析】根據(jù)已知求得 f x 的范圍，即可得到-2 f x 的范圍.
【解析】因?yàn)楹瘮?shù) y = f (x) +1的值域?yàn)?(1,3)，即1< f (x) +1< 3，
所以0 < f (x) < 2，
所以-4 < -2 f (x) < 0 ，即函數(shù) y = -2 f (x)的值域?yàn)? -4,0 .
故選：A
24．（23-24 高一上·浙江溫州·期中）已知函數(shù) y = f x 的定義域是R ，值域?yàn)?-2,1 ，則下列函數(shù)的值域也
為 -2,1 的是（ ）
A． y = 2 f x + 5 B． y = f 2x + 5
C． y = - f x D． y = f x
【答案】B
【分析】結(jié)合題意逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得答案.
【詳解】對(duì)于 A，由 f x -2,1 可得， 2 f x + 5 1,7 ，故 A 錯(cuò)誤；
y 5 對(duì)于 B， = f 2x + 5 = f 2 x +

÷÷， y = f 2x + 5 的圖象可看作由 f x 的圖象經(jīng)過平移和橫向伸縮變換
è è 2
得到，故值域不變，故 B 正確；
對(duì)于 C， y = - f x -1,2 ，故 C 錯(cuò)誤；
對(duì)于 D， y = f x 0,2 ，故 D 錯(cuò)誤.
故選：B.
2
25．（23-24 高三上·山西呂梁·階段練習(xí)）函數(shù) f x = x + 4 - x - x 4 - x 的最大值為（ ）
5
41 21
A．4 B．2 C． D．
20 10
【答案】C
1 4
【分析】令 t = x + 4 - x （ t > 0 t2 t f x = g t = - t 2），通過 求出 的范圍，則 + t + 配方后即可求得最大5 5
值.
【解析】由解析式易知 f x 的定義域?yàn)?0,4 ，
令 t = x + 4 - x （ t > 0），
2
所以 t = 4 + 2 x 4 - x ，則 x 4 x 1- = t 2 - 2，
2
由 y = x 4 - x ，0 x 4可知，
0 y 2，所以 4≤ t 2 ≤8，則 2 t 2 2 ，
f x g t t 2 1 2 1= = - 2 4所以 t - 2÷ = - t + t + （ 2 t 2 2 ），5 è 2 5 5
2
f x = g t 1= - 5 41 41則
5
t -
2 ÷
+ ≤ ，
è 20 20
所以 f x 41的最大值為 .
20
故選：C.
26．（23-24 高三上·上海·期中）函數(shù) y = x +1 - x - 2 的值域是 ．
【答案】 -3,3
【分析】討論去絕對(duì)值，得到分段函數(shù)，求出各段上的值域，求并集得解.
ì-3, x < -1
【解析】由 y = x +1 - x - 2 =

í2x -1,-1 x 2，

3, x > 2
當(dāng)-1 x 2時(shí)， y = 2x -1單調(diào)遞增，所以-3 y 3，
故函數(shù) y = x +1 - x - 2 的值域?yàn)?-3,3 .
故答案為： -3,3 .
1 é1
27．（22-23 高三上·福建廈門·階段練習(xí)）若函數(shù) y = 的值域是 (- ,0)
x -1 ê
,+ ，則此函數(shù)的定義域?yàn)?br/> 2 ÷
（ ）
A． (- ,3] B． (- ,1) U (1,3) C． (- ,1)U[3,+ ) D． (- ,1) (1,3]
【答案】D
【分析】分類討論解不等式即可.
y 1【解析】由函數(shù) = 的值域是 (- ,0)
1
é ,+
x -1 ê 2 ÷
，

所以當(dāng) y (- ,0)時(shí)， y
1
= < 0 x <1，
x -1
é1 1 1 1 1 2 - x -1 3- x
當(dāng) y ê ,+ ÷時(shí)， y = - 0 0 0 2 x -1 2 x -1 2 2 x -1 2 x -1
ì 3 - x x -1 0
即 í ，解得1 < x 3，
x -1 0
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?(- ,1) (1,3]，
故選：D
06 求函數(shù)的解析式綜合
28．（22-23 高一上·貴州黔東南·階段練習(xí)）一次函數(shù) f x 滿足： f é f x - 2xù = 3，則 f 1 = ( )
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【分析】根據(jù) f x 是一次函數(shù)可設(shè) f x = kx + b k 0 ，再根據(jù) f é f x - 2xù = 3求出 k、b 即可求出 f(x)的
解析式，代入 x＝1 即可求得答案．
【解析】設(shè) f x = kx + b k 0 ，
\ f é f x - 2x ù = f kx + b - 2x = k kx + b - 2x + b = k 2 - 2k x + kb + b = 3，
ìk 2 - 2k = 0,
∴ í ，解得 k = 2,b =1，∴ f x = 2x +1，∴ f 1 = 3．
kb + b = 3
故選：C．
29．（22-23 高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知二次函數(shù) f x 滿足 f (2) = -1, f (1- x) = f (x)，且 f x 的最大值是 8，
則此二次函數(shù)的解析式為 f (x) =（ ）
A．-4x2 + 4x + 7 B．4x2 + 4x + 7
C．-4x2 - 4x + 7 D．-4x2 + 4x - 7
【答案】A
1 2
【分析】根據(jù)條件設(shè)二次函數(shù)為 f (x) = a x -
+ k(a 0)，代入條件求解即可.
è 2 ÷
【解析】根據(jù)題意，由 f (1- x) = f (x)
1
得: f (x) 圖象的對(duì)稱軸為直線 x = ，
2
2
設(shè)二次函數(shù)為 f (x) = a x
1
- + k(a 0)，
è 2 ÷
1 1
因 f (x) 的最大值是 8，所以 a<0，當(dāng) x = 時(shí)， f ÷ = k = 8 ，2 è 2
1 2f (x) = a x - 即二次函數(shù) 2 ÷
+ 8(a 0)，
è
2
由 f (2) = -1得: f (2) = a 1 2 -

2 ÷
+ 8 = -1，解得： a = -4 ，
è
2
則二次函數(shù) f (x) 1= -4 x - ÷ + 8 = -4x
2 + 4x + 7，
è 2
故選：A.
2 3
30．（2023· · f 3x x +1全國(guó) 模擬預(yù)測(cè)）已知 = ，則 f ÷ = ．x +1 è 3 ÷
5
【答案】 /2.5
2
3 1
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，令3x = ，得 x = - ，代入函數(shù)解析式計(jì)算即可求解.
3 2
x2 +1
【解析】由題意得， f (3x ) = ，
x +1
1
令3x 3 3
- 1
= ，由 = 3 2 ，得 x = - ，
3 3 2
1 2 5
3 1-
- ÷ +1
∴ f ÷÷ = f 3
2 5÷ = è
2 = 4 = ．
è 3 è 1 1- +1 2
2 2
5
故答案為： .
2
1
31．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知 f(x＋ )＝x2 1＋ 2 ，則函數(shù) f(x)＝ ．x x
【答案】x2－2(|x|≥2)
【解析】
1 1
配湊法. f(x＋ )＝x2 1＋ ＝(x2 12 ＋2＋ )－2＝(x＋ )2－2，所以 f(x)＝x2－2(|x|≥2).x x x2 x
1
32．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若函數(shù) f(x)滿足方程 af(x)＋f( )＝ax，x∈R，且 x≠0，a 為常數(shù)，a≠±1，且
x
a≠0，則 f(x)＝ ．
a ax2 -1
【答案】 2 (x≠0)a -1 x
【解析】
1 1 a a ax2 -1
因?yàn)?af(x)＋f( )＝ax，所以 af( )＋f(x)＝ ，由兩方程聯(lián)立解得 f(x)＝
x x x a2 -1 (x≠0).x
07 分段函數(shù)綜合
ìx3 + 2, x 0
33．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知 f x = í ，若 f m = 29 ，則m = ．
-3x, x < 0
29
【答案】3 或-
3
【分析】分m 0 和m < 0分別代入函數(shù)，解出即可.
【解析】當(dāng)m 0 時(shí)，m 3 + 2 = 29 ，解得m = 3；
29
當(dāng)m < 0時(shí)，-3m = 29，解得m = - ．
3
29
故答案為：3 或- .
3
ì-2x -1, x 1 1
34．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù) f x = ía x , x 1 ，若 f f 2 = ，則a = . < 32
【答案】2
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，代入求值.
ì-2x -1, x 1【解析】函數(shù) f x = í x ，有 f 2 = -2 2 -1 = -5，
a , x <1
則 f f 2 = f -5 = a-5 1 1= = 5 ，解得 a = 2 .32 2
故答案為：2
ì 1, x <1 é 1 ù
35．（2024·北京東城·二模）設(shè)函數(shù) f x = íx2 , x 1，則 f ê f ÷ú = ，不等式 f (x) < f (2x) 的解集 è 2
是 .
1 1
【答案】 1 - , - 2 ÷
, + ÷
è è 2
é ì 2x 1
【分析】根據(jù)題中分段函數(shù)解析式直接代入即可求 f ê f
1 ù
÷ ；分 2x <1、 í 和 x 1三種情況，結(jié)合題
è 2 ú x <1
中函數(shù)解析式分析求解.
f é f 1 ù【解析】由題意可知： ê ÷ú = f 1 =1；
è 2
因?yàn)?f (x) < f (2x) ，
2x <1 1 1 1當(dāng) ，即- < x < 時(shí)，則 x < < 12 ，可得1<1，不合題意；2 2
ì 2x 1 1 1
當(dāng) í ，即 x -1,-
ù U é ,1 2
x 1 2ú ê2 ÷ 時(shí)，可得
1 < 2x ，
< è
x 1 x 1> < - x 解得 或 ，所以 -1,
1
- ÷ U
1
,1

2 2 2 2 ÷
；
è è
當(dāng) x 1，即 x 1或 x -1 2 2 2時(shí)，則 2x = 2 x 2 > 1，可得 x < 2x = 4x ，符合題意；
1 1
綜上所述：不等式 f (x) < f (2x)

的解集是 - , -

÷

, +

2 2 ÷
.
è è

故答案為：1； - ,
1 1
- ÷

, +

2 2 ÷
.
è è
ì x
2
, x < a
36．（22-23 高三下· x +1北京海淀·開學(xué)考試）已知函數(shù) f x = í
-x2 1+ 4x + , x a
2
a
①若 f x 的最大值為 ，則 a 的一個(gè)取值為 ．
2
②記函數(shù) f x 的最大值為 g a ，則 g a 的值域?yàn)? ．
7 + 57 é1 9 ù
【答案】 ê ,4 2 2 ú
x 2 1
【分析】根據(jù)解析式可畫出函數(shù)G x = 2 和 h x = -x + 4x + 的函數(shù)圖象， f x 圖象以 x = a為分界，x +1 2
左取G x 圖象，右取 h x 圖象，根據(jù) a值不同，可得不同 f x 圖象，以此判斷出 f x 的最大值變化與 a
不同取值之間的關(guān)系，即可得到答案.
x
【解析】由解析式可知G x = 2 是定義域?yàn)?R 的奇函數(shù)，且當(dāng) x > 0時(shí)，x +1
G x x 1 1 1= 2 = 1 =x +1 x + 2 x =12 x 1 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立；x × x
h x x2 1 9= - + 4x + = - x - 2 2 + ，兩函數(shù)如下圖所示：
2 2
9
由圖可知，當(dāng) a 2時(shí)， f x 的最大值為 h 2 = ，
2
當(dāng) 2 < a < 4時(shí)， f x 的最大值為 h x 在區(qū)間 a, 4 1 9的最大值，即為 h a ， < h a < ，
2 2
當(dāng) a 4時(shí)， f x 的最大值為G x 1=max ；2
①若滿足 f x a= ，當(dāng) a 2時(shí)， f x 9= a = 9max max ，不符題意；2 2
f x h a a2 4a 1 a2 < a < 4 = = - + + = a 7 + 57 7 - 57當(dāng) 時(shí)， max ，解得 = 或 a = （舍去）2 2 4 4
1
當(dāng) a 4時(shí)， f x = a =1max ，不符題意；2
é1 9 ù
②綜上所述，根據(jù)函數(shù)圖象可知函數(shù) f x 的最大值為 g a ê , ú . 2 2
① 7 + 57 é
1 , 9 ù故答案為： ；②
4 ê 2 2ú
一、單選題
ì2x , x > 0
1．（2024·吉林長(zhǎng)春·三模）已知函數(shù) f (x) = í ，則 f -3 =（ ）
f (x + 2), x 0
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，代入求值即可.
【解析】由函數(shù)可得， f (-3) = f (-1) = f (1) = 21 = 2 .
故選：B.
2．（2024·北京西城·一模）已知全集U = R ，集合 A = x x < 3 , B = x - 2 x 2 ，則 AI U B = （ ）
A． 2,3 B． - , -2 2,3 C． 2,3 D． - ,-2 2,3
【答案】B
【分析】利用補(bǔ)集和交集運(yùn)算求解即可.
【解析】因?yàn)榧螧 = x - 2 x 2 ，所以 U B = x x < -2或 x > 2 ，
又集合 A = x x < 3 ，所以 AI U B = x x < -2 或 2 < x < 3 = - ,-2 2,3 .
故選：B
3．（2024·浙江臺(tái)州·一模）函數(shù) y = f x 的圖象如圖①所示，則如圖②所示的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析
式可能為（ ）
1 1
A． y = f 1- x ÷ B． y = - f 1- x ÷
è 2 è 2
C． y = f 4 - 2x D． y = - f 4 - 2x
【答案】A
【分析】
根據(jù)給定的函數(shù)圖象，由 f (1) = 0推理排除 CD；由①中函數(shù)當(dāng) x >1時(shí)， f (x) > 0 分析判斷得解.
【解析】由圖①知， f (1) = 0，且當(dāng) x >1時(shí)， f (x) > 0 ，由②知，圖象過點(diǎn) (0,0)，且當(dāng) x < 0 時(shí)， y > 0，
對(duì)于 C，當(dāng) x = 0時(shí)， y = f (4) > 0，C 不可能；
對(duì)于 D，當(dāng) x = 0時(shí)， y = - f (4) < 0，D 不可能；
1 1
對(duì)于 A，當(dāng) x = 0時(shí)， y = f (1) = 0，而當(dāng) x < 0 時(shí)，1- x >1，則 f (1- x) > 0，A 可能；
2 2
1 1
對(duì)于 B，當(dāng) x = 0時(shí)， y = - f (1) = 0，而當(dāng) x < 0 時(shí)，1- x >1，則- f (1- x) < 0，B 不可能.
2 2
故選：A
4．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) 的對(duì)應(yīng)值圖如表所示，則 f é f 2 ù 等于（ ）
函數(shù) y = f (x) 的對(duì)應(yīng)值表
x 0 1 2 3 4 5
y 3 6 5 4 2 7
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】查表可知，先得 f 2 = 5， f é f 2 ù = f 5 所以再查表可得 f 5 = 7 .
【解析】由表可知 f 2 = 5， f 5 = 7，
所以 f é f 2 ù = f 5 = 7
故選：D．
ì2x-1, x <1,

5．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知 f x = í x 若 f a =1，則實(shí)數(shù) a的值為（ ）
, x 1.
2
A．1 B．4 C．1 或 4 D．2
【答案】B
【分析】分a < 1和a 1，求解 f a =1，即可得出答案.
a-1
【解析】當(dāng)a < 1時(shí)， f a = 2 =1，則 a -1 = 0，解得： a =1（舍去）；
當(dāng)a 1 a時(shí)， f a = =1，則 a = 2，解得： a = 4 .
2
故選：B.
ì x2 , x 0
6．（2023·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) =

í x ，則方程 f (x)
1
= 的解集為（ ）
, x < 0 4 1- x
ì1 ü ì 1 1 ü ì 1 1 1 ü ì1 1 ü
A． í B． í- , C． í- , , D． í ,
2 2 2 2 5 2 5 2
【答案】A
【分析】分段函數(shù)，對(duì) x 分類討論即可.
【解析】當(dāng) x 0 時(shí)， f (x)
1 1 1 x 1 1
= x2 = ，解得 x = 或 x = - （舍去），當(dāng) x<0 時(shí)， f (x) = = ，解得 x =
4 2 2 1- x 4 5
ì1 ü
（舍去），故解集為 í ．
2
故選：A．
bx 9
7．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x = a 3- x + 的圖象過點(diǎn) 0,1 與 3, ，則函數(shù) f x 在區(qū)間 1,4 x +1 è 4 ÷
上的最大值為（ ）
3 7 5 8
A． B． C． D．
2 3 4 5
【答案】B
【分析】由條件列方程求 a,b，由此可得函數(shù) f x 的解析式，再由基本不等式求其最大值.
bx 9
【解析】因?yàn)楹瘮?shù) f x = a 3- x + 的圖象過點(diǎn) 0,1 與 3,
x +1 4 ÷
，
è
ì3b 9=
所以 f 0 =1， f 3 9 = ，則 í 4 4 ，4
3a =1
1
解得 a = ，b = 3，
3
故函數(shù) f x 的解析式為： f x 3x x= - +1 .
x +1 3
f 3 x +1 - 3x 3x x 1 x 1 13 é 3 x +1ù 13 2 3 x +1 7而 = - + = - + = - + - × = ，
x +1 3 x +1 3 3 ê x +1 3 ú 3 x +1 3 3
當(dāng)且僅當(dāng) x = 2時(shí)取等號(hào)，
函數(shù) f x 在區(qū)間 1,4 7上的最大值為 .
3
故選：B.
1
8 3．（2023·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ，且 f x = x f ÷ x - ,0 U 0, + ，
è x
f x + f y + 2xy = f x + y ，則 f 3 的值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】由賦值法先得 f 0 = 0，再由 f 1 與 f -1 關(guān)系列式求解．
【解析】 f x + f y + 2xy = f x + y 中令 x = y = 0 ，則 f 0 = 0，
f x + f y + 2xy = f x + y 中令 x =1， y = -1，則 f 1 + f -1 - 2 = f 0 = 0，
f x x3 f 1又 = ÷中令 x=-1，則 f -1 = 0，所以 f 1 = 2 ，
è x
f x + f y + 2xy = f x + y 中，令 x = y =1，則 f 2 = 2 f 1 + 2 = 6，
再令 x =1， y = 2，則 f 3 = f 1 + f 2 + 4 = 2 + 6 + 4 =12．
故選：D
二、多選題
9．（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測(cè)）下列命題中，正確的是（ ）
ì1,當(dāng)x > 0時(shí)
x
A．函數(shù) v x = 與u x = í0,當(dāng)x = 0時(shí) 表示同一函數(shù)
x
-1,當(dāng)x < 0時(shí)
B v x = x2．函數(shù) - 2x + 2 u t = t2與 - 2t + 2是同一函數(shù)
C．函數(shù) y = f x 的圖象與直線 x = 2024的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)
D．函數(shù) f x = x 1-1 - x ，則 f f 2 ÷è ÷
= 0
è
【答案】BC
【分析】根據(jù)相等函數(shù)的定義判斷 A、B，根據(jù)函數(shù)的定義判斷 C，由函數(shù)解析式求出函數(shù)值，即可判斷 D.
x ì1, x > 0【解析】對(duì)于 A： v x = = í Ax -1, x 0
，因?yàn)閮珊瘮?shù)的定義域不相同，故不是同一函數(shù)，故 錯(cuò)誤；
<
2
對(duì)于 B：函數(shù) v x = x - 2x + 2與u t = t2 - 2t + 2定義域相同，解析式一致故是同一函數(shù)，故 B 正確；
對(duì)于 C：根據(jù)函數(shù)的定義可知，函數(shù) y = f x 的圖象與直線 x = 2024的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)，故 C 正確；
對(duì)于 D：因?yàn)?f x x 1 1 1 1= - - x ，所以 f 2 ÷ = -1 - = 0，è 2 2
1
則 f f ÷÷ = f 0 = 0 -1 - 0 =1，故 D 錯(cuò)誤.
è è 2
故選：BC
10．（2023· 2 2全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x 滿足： 2 f x + 3 f 2 - x = 5x4 -16x3 + 48x2 - 64x + 32，則以下
不正確的有（ ）
A． f 0 = 4 B． f x 對(duì)稱軸為 x = 4 C． f 2 = 3 D． f 7 = 25
【答案】BC
【分析】變形給定等式，求出函數(shù) f (x) 的解析式，再逐項(xiàng)分析判斷作答.
【解析】因?yàn)?x4 -16x3 + 48x2 - 64x + 32 = 2(x4 -8x3 + 24x2 - 32x +16) + 3x4
= 2[(x4 -8x3 +16x2 ) + 8(x2 - 4x) +16]+ 3x4 = 2[(x2 - 4x) + 8(x2 - 4x) +16]+ 3x4
= 2(x2 - 4x + 4) + 3x4 = 2(x - 2)4 + 3x4，
于是 2 f 2 (x) + 3 f 2 (2 - x) = 2(x - 2)4 + 3x4，
可得 2 f 2 (2 - x) + 3 f 2 (x) = 2x4 + 3 2 - x 4
兩式聯(lián)立解得 f (x) = (x - 2)2 ， f (2 - x) = x2，
因此 f (x) = (x - 2)2 ， f (0) = 4， f (7) = 25，AD 正確；
函數(shù) f (x) 圖象的對(duì)稱軸為 x = 2， f (2) = 0，BC 錯(cuò)誤.
故選：BC
1
11．（2024·全國(guó)·一模）設(shè) a 為常數(shù)， f (0) = , f (x + y) = f (x) f (a - y) + f (y) f (a - x)，則（
2 ）．
A． f (a)
1
=
2
B． f (x)
1
= 成立
2
C． f (x + y) = 2 f (x) f (y)
D．滿足條件的 f (x) 不止一個(gè)
【答案】ABC
【分析】
對(duì)已知條件進(jìn)行多次賦值，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，再對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.
【解析】 f (0)
1
= , f (x + y) = f (x) f (a - y) + f (y) f (a - x)
2
對(duì) A：對(duì)原式令 x = y = 0
1 1 1
，則 = f a + f a 1= f a ，即 f a = ，故 A 正確；
2 2 2 2
對(duì) B： 對(duì)原式令 y = 0，則 f x = f x f a + f 0 f a - x 1= f x 1+ f a - x ，故 f x = f a - x ，
2 2
對(duì)原式令 x = y ，則 f 2x = f x f y + f y f x = 2 f x f y = 2 f 2 x 0，故 f x 非負(fù)；
對(duì)原式令 y = a - x ，則 f a = f 2 x + f 2 a - x = 2 f 2 x 1 f x 1= ，解得 = ± ，
2 2
又 f x f x 1非負(fù)，故可得 = ，故 B 正確；
2
對(duì) C：由 B 分析可得： f x + y = 2 f x f y ，故 C 正確；
對(duì) D：由 B 分析可得：滿足條件的 f x 只有一個(gè)，故 D 錯(cuò)誤.
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考察抽象函數(shù)的性質(zhì)，處理問題的關(guān)鍵是對(duì)已知條件合理的賦值，屬中檔題.
三、填空題
12．（2023·北京延慶·一模）已知函數(shù) y = ax +1的定義域?yàn)锳 ，且-3 A，則 a的取值范圍是 ．
1
【答案】 - ,
ù
è 3ú
【分析】
由-3 A，可知-3a +1 0 ，解不等式即可.
【解析】由-3 A，可知-3a +1 0 ，
1
解得 a ，
3
1
故答案為： - ,
ù
.
è 3ú
13．（2023·四川瀘州·一模）若函數(shù) f (x) 對(duì)一切實(shí)數(shù) x ， y 都滿足 f (x + y) - f (y) = (x + 2y)x且 f (1) = 0，則
f (0) = ．
【答案】 -1
【分析】直接利用賦值法即可求得結(jié)果.
【解析】由題知， f (1) = 0，
令 x =1， y = 0 ，
則 f (1) - f (0) = 1+ 0 1 =1，
所以 f (0) = -1 .
故答案為： -1
b
14．（2022·湖北武漢·三模）函數(shù) f (x) = (a > 0,b > 0)| x | a 的圖象類似于漢字“囧”字，被稱為“囧函數(shù)”，并-
把其與 y 軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)稱為“囧點(diǎn)”，以“囧點(diǎn)”為圓心，凡是與“囧函數(shù)”有公共點(diǎn)的圓，皆稱之
為“囧圓”，則當(dāng) a =1,b =1時(shí)，函數(shù) f (x) 的“囧點(diǎn)”坐標(biāo)為 ；此時(shí)函數(shù) f (x) 的所有“囧圓”中，面積
的最小值為 ．
【答案】 ( 0, 1) 3p
【分析】第一空：直接求出與 y 軸的交點(diǎn)即可求解；第二空：畫出函數(shù)圖象，考慮 y 軸及 y 軸右側(cè)的圖象，
x 軸下方的函數(shù)圖象顯然過點(diǎn)B(0, -1)時(shí)面積最小， x 軸上方的圖象，設(shè)出公共點(diǎn)，表示出半徑的平方，借
助二次函數(shù)求出最小值，再比較得出半徑最小值即可求解.
1
【解析】第一空：由題意知： f (x) = ， x ±1， f (0) = -1| x | 1 ，故與 y 軸的交點(diǎn)為
0, -1 ，則“囧點(diǎn)”坐標(biāo)
-
為( 0, 1)；
第二空：畫出函數(shù)圖象如圖所示：
設(shè)B(0, -1)，C(0,1)，圓心為C(0,1)，要使“囧圓”面積最小，只需要考慮 y 軸及 y 軸右側(cè)的圖象，
當(dāng)圓C 過點(diǎn)B(0, -1)時(shí)，其半徑為 2，是和 x 軸下方的函數(shù)圖象有公共點(diǎn)的所有“囧圓”中半徑的最小值；
當(dāng)圓C 和 x
1
軸上方且 y 軸右側(cè)的函數(shù)圖象有公共點(diǎn)A 時(shí)，設(shè) A(m, ), m >1，則點(diǎn)A 到圓心C 的距離的平
m -1
d 2 2 1 2方為 = m + ( -1)m 1 ，-
t 1
2
= , t > 0 1 1 2 1 1 1 2令 ，則 d 2 = (1+ )2 + (t -1)2 = t 2 + + - 2t + 2 = t - - 2(t - ) + 4 = (t - -1) + 3 3，
m -1 t t 2 t ֏ t t t
t 1- =1 m 1+ 5當(dāng) 即 = 時(shí)， d 2 最小為 3， 2 > 3 ，顯然在所有“囧圓”中，該圓半徑最小，故面積的最小值為t 2
3p .
故答案為：( 0, 1)；3p .
四、解答題
15．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x = x - 2 - x +1 ．
(1)求 f x 的值域；
(2)求不等式 f x 1 x +1的解集．
2
【答案】(1) 0,3
é0, 4(2) ùê ú U 4,+ 3
【分析】（1）分類討論去絕對(duì)值即可求解函數(shù)的值域；
（2）由（1）中的分類討論結(jié)果代入（2）中不等式，依次解出取并集即可得解.
【解析】（1）當(dāng) x 2時(shí)， f x = x - 2 - x +1 = 3．
當(dāng) x -1時(shí)， f x = 2 - x - -x -1 = 3．
當(dāng)-1 < x < 2時(shí)， f x = 2 - x - x +1 = 1- 2x ，
1
進(jìn)一步當(dāng)-1 < x 時(shí)， f x =1- 2x 0,3 1，當(dāng) < x < 2時(shí)， f x = 2x -1 0,3 ．
2 2
所以 f x 的值域?yàn)?0,3 ．
1
（2）當(dāng) x 2或 x -1時(shí)， f x = 3 x +1，解得 x 4．
2
1 1 1 4
當(dāng)-1 < x < 2時(shí)， f x = 1- 2x x +1，即- x -1 1- 2x x +1，解得0 x ．
2 2 2 3
綜上，不等式 f x 1 4 x +1 é ù的解集為 ê0, ú 4,+ ．2 3 專題 06 函數(shù)及其表示（九大題型+模擬精練）
目錄：
01 區(qū)間的表示與運(yùn)算
02 判斷是否為同一函數(shù)
03 求函數(shù)的定義域（具體函數(shù)、抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)）
04 求函數(shù)的值綜合
05 求函數(shù)的值域
06 求函數(shù)的解析式綜合
07 分段函數(shù)綜合
01 區(qū)間的表示與運(yùn)算
ìx -1 0
1．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）不等式組 í
2 - x 0
的解集用區(qū)間表示為： ．
>
2．（23-24 高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）設(shè)集合 A = -1,2 , B = a - 2, a ，若 A B = -1,0 , 則 a =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
3．（23-24 高三上·上海·期中）已知集合 A = -2,1 ，B = -4, -1 U 1,2 ，則 AI B = ．
02 判斷是否為同一函數(shù)
4．（23-24 高一上·福建福州·階段練習(xí)）下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是（　　）
A． f x
2
= x與 g x = x
B． f x = lg x -1 與 g x = lg x - 1
C 0． f x = x 與 g x =1
D． f x = x +1與 g t = t +1
5．（23-24 高三上·河南濮陽·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，與函數(shù) f x = x是同一函數(shù)的是（ ）
A． f x = ( x )2 B． f x = x2
2
C． f x = 3 x3 D． f t t=
t
6．（22-23 高三·全國(guó)·對(duì)口高考）下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（ ）
A． f (x) = x, g(x) = 4lg x
B． f (x) = 1- x2 , g(x) = 1- | x |, x [-1,1]
C． y = f (x), g(x) = f (x +1), x R
x
D． f (x) = lg
1
÷ , g(x) =| x | lg 2
è 2
03 求函數(shù)的定義域（具體函數(shù)、抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)）
7．（2024 高三上·廣東·學(xué)業(yè)考試）函數(shù) y = x - 2 的定義域是（ ）
A． 2, + B． 2, + C． - , 2 D． - , 2
1
8 2．（23-24 高一上·浙江杭州·期中）函數(shù) y = 1- x + 的定義域是（ ）
x
A． - ,1 B． -1,0 U 0,1 C． -1,0 U 0,1 D． 0,1
f x -1
9．（23-24 高三上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）若函數(shù) f 2x -1 的定義域?yàn)?-1,1 ，則函數(shù) y = 的定義
x -1
域?yàn)椋? ）
A． -1,2 B． 0,2 C． -1,2 D． 1,2
10．（22-23 高一下·遼寧沈陽·期末）已知函數(shù) y = f x +1 的定義域?yàn)? 1,2 ，則函數(shù) y = f 2x -1 的定義域?yàn)?br/>（ ）
1
A é． ê ,1
ù é3 ù
ú B． ê , 2ú C． -1,1 D． 3,5 2 2
f 3 - 4x
11．（22-23 高二下·遼寧·階段練習(xí)）若函數(shù) f 2x -1 的定義域?yàn)?-3,1 ，則 y = 的定義域?yàn)椋? ）
x -1
A． 1 B 3ù 3 5 ù 5 ù． 1, ú C． , ú D． 1,è 2 è 2 2 è 2 ú
12．（22-23 高三上· 2 - x陜西商洛·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x = ，則函數(shù) g(x) = f (1- x)的定義域?yàn)椋? ）
x +1
A． (-2,1] B．[-2,1)
C． (-1,2] D．[-1,2)
1
13．（21-22 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知 f x = ，則 f f x 的定義域?yàn)? （ ）
x +1
A． x | x -2 B． x | x -1 C． x x -1且 x -2 D． x x 0且 x -1
14．（20-21 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若函數(shù) f x + 3 的定義域?yàn)? -5, -2 ，則F x = f x +1 + f x -1 的定義
域?yàn)? ．
04 求函數(shù)的值綜合
15．（21-22 高一下·貴州銅仁·期末）函數(shù) f x 滿足 f x +1 = 2x - 3，則 f 1 =（ ）
A． -1 B．0 C．2 D．-3
16．（22-23 2高二下·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x -1 = x - 2x，且 f a = 3，則實(shí)數(shù) a的值等于（ ）
A． 2 B．± 2 C．2 D．±2
1
17．（2024·江蘇南通·二模）已知 f x 對(duì)于任意 x, y R ，都有 f x + y = f x × f y ，且 f 2 ÷ = 2，則 f 4 =è
（ ）
A．4 B．8 C．64 D．256
18．（23-24 高一上·北京·期中）已知函數(shù) y = f x 的圖象如圖所示，則 f f 0 的值為（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
19．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ，滿足 f x - 4 = f x ，且當(dāng)0 x < 4時(shí)，
f x = x + 3 ，則 f 2023 =（ ）
A． 6 B． 5 C．2 D． 3
1 3
20．（2024·遼寧遼陽·一模）已知函數(shù) f x 滿足 f x + y = f x + f y + 2xy, f ÷ = ，則 f 100 =（　　）
è 2 4
A．10000 B．10082 C．10100 D．10302
21．（23-24 2高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知集合 A = x | y = x +1 ，B = y | y = x +1 ，則 A R B =
（ ）
A． 0,1 B． (- ,1) C． -1,1 D． -1,1
22．（23-24 高三上·江蘇蘇州·期中）滿足{x m x n} = {y y = x2 ,m x n}的實(shí)數(shù)對(duì)m ， n構(gòu)成的點(diǎn) (m, n)
共有（ ）
A．1 個(gè) B．2 個(gè) C．3 個(gè) D．無數(shù)個(gè)
05 求函數(shù)的值域
23．（23-24 高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知函數(shù) y = f (x) +1的值域?yàn)?(1,3)，則函數(shù) y = -2 f (x)的值域?yàn)?br/>（ ）
A． -4,0 B． (-6,-2) C． (2,6) D． (0, 4)
24．（23-24 高一上·浙江溫州·期中）已知函數(shù) y = f x 的定義域是R ，值域?yàn)?-2,1 ，則下列函數(shù)的值域也
為 -2,1 的是（ ）
A． y = 2 f x + 5 B． y = f 2x + 5
C． y = - f x D． y = f x
2
25．（23-24 高三上·山西呂梁·階段練習(xí)）函數(shù) f x = x + 4 - x - x 4 - x 的最大值為（ ）
5
41 21
A．4 B．2 C． D．
20 10
26．（23-24 高三上·上海·期中）函數(shù) y = x +1 - x - 2 的值域是 ．
1 é1
27．（22-23 高三上·福建廈門·階段練習(xí)）若函數(shù) y = 的值域是 (- ,0) ê ,+ ÷，則此函數(shù)的定義域?yàn)閤 -1 2
（ ）
A． (- ,3] B． (- ,1) U (1,3) C． (- ,1)U[3,+ ) D． (- ,1) (1,3]
06 求函數(shù)的解析式綜合
28．（22-23 高一上·貴州黔東南·階段練習(xí)）一次函數(shù) f x 滿足： f é f x - 2xù = 3，則 f 1 = ( )
A．1 B．2 C．3 D．5
29．（22-23 高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知二次函數(shù) f x 滿足 f (2) = -1, f (1- x) = f (x)，且 f x 的最大值是 8，
則此二次函數(shù)的解析式為 f (x) =（ ）
A．-4x2 + 4x + 7 B．4x2 + 4x + 7
C．-4x2 - 4x + 7 D．-4x2 + 4x - 7
2 3
30．（2023· x +1全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知 f 3x = ，則 f ÷÷ = ．x +1 è 3
1
31．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知 f(x＋ )＝x2 1＋ 2 ，則函數(shù) f(x)＝ ．x x
1
32．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若函數(shù) f(x)滿足方程 af(x)＋f( )＝ax，x∈R，且 x≠0，a 為常數(shù)，a≠±1，且
x
a≠0，則 f(x)＝ ．
07 分段函數(shù)綜合
ìx3 + 2, x 0
33．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知 f x = í ，若 f m = 29 ，則m = ．
-3x, x < 0
ì-2x -1, x 1 1
34．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù) f x = í x f f 2 = a =
a , x 1
，若 ，則 .< 32
ì 1, x <1 é 1 ù
35．（2024·北京東城·二模）設(shè)函數(shù) f x = í 2 ，則 f ê f ÷ú = ，不等式 f (x) < f (2x)
x , x 1
的解集
è 2
是 .
ì x
2 , x < a
36．（22-23 高三下· x +1北京海淀·開學(xué)考試）已知函數(shù) f x = í
-x2 + 4x 1+ , x a
2
①若 f x a的最大值為 ，則 a 的一個(gè)取值為 ．
2
②記函數(shù) f x 的最大值為 g a ，則 g a 的值域?yàn)? ．
一、單選題
ì2x , x > 0
1．（2024·吉林長(zhǎng)春·三模）已知函數(shù) f (x) = í ，則 f -3 =（ ）
f (x + 2), x 0
A．1 B．2 C．4 D．8
2．（2024·北京西城·一模）已知全集U = R ，集合 A = x x < 3 , B = x - 2 x 2 ，則 AI U B = （ ）
A． 2,3 B． - , -2 2,3 C． 2,3 D． - ,-2 2,3
3．（2024·浙江臺(tái)州·一模）函數(shù) y = f x 的圖象如圖①所示，則如圖②所示的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析
式可能為（ ）
y f 1 1 1A． = - x

÷ B． y = - f

1- x

÷
è 2 è 2
C． y = f 4 - 2x D． y = - f 4 - 2x
4．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) 的對(duì)應(yīng)值圖如表所示，則 f é f 2 ù 等于（ ）
函數(shù) y = f (x) 的對(duì)應(yīng)值表
x 0 1 2 3 4 5
y 3 6 5 4 2 7
A．4 B．5 C．6 D．7
ì2x-1, x <1,

5．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知 f x = í x 若 f a =1，則實(shí)數(shù) a的值為（ ）
, x 1.
2
A．1 B．4 C．1 或 4 D．2
ì x2 , x 0
6．（2023·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f (x) =

í x ，則方程 f (x)
1
= 的解集為（ ）
, x < 0 4 1- x
ì1 ü ì 1 , 1 ü 1 1 1 1 1A． í B． í- C
ì- , , ü D ì ü．
2 2 2 í
． ,
2 5 2
í5 2
bx 9
7．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x = a 3- x + 0,1 3, 的圖象過點(diǎn) 與 ÷，則函數(shù) f x 在區(qū)間 1,4 x +1 è 4
上的最大值為（ ）
3 7 5 8
A． B． C． D．
2 3 4 5
1
8．（2023·浙江嘉興· 3模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)镽 ，且 f x = x f ÷ x - ,0 U 0, + ，
è x
f x + f y + 2xy = f x + y ，則 f 3 的值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
二、多選題
9．（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測(cè)）下列命題中，正確的是（ ）
ì1,當(dāng)x > 0時(shí)
A．函數(shù) v x x = 與u x = í0,當(dāng)x = 0時(shí) 表示同一函數(shù)
x
-1,當(dāng)x < 0時(shí)
B v x = x2．函數(shù) - 2x + 2與u t = t2 - 2t + 2是同一函數(shù)
C．函數(shù) y = f x 的圖象與直線 x = 2024的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)
D．函數(shù) f x = x -1 - x，則 f f
1
÷÷ = 0
è è 2
10．（2023· 2全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x 滿足： 2 f x + 3 f 2 2 - x = 5x4 -16x3 + 48x2 - 64x + 32，則以下
不正確的有（ ）
A． f 0 = 4 B． f x 對(duì)稱軸為 x = 4 C． f 2 = 3 D． f 7 = 25
1
11．（2024·全國(guó)·一模）設(shè) a 為常數(shù)， f (0) = , f (x + y) = f (x) f (a - y) + f (y) f (a - x)，則（
2 ）．
A． f (a)
1
=
2
B． f (x)
1
= 成立
2
C． f (x + y) = 2 f (x) f (y)
D．滿足條件的 f (x) 不止一個(gè)
三、填空題
12．（2023·北京延慶·一模）已知函數(shù) y = ax +1的定義域?yàn)锳 ，且-3 A，則 a的取值范圍是 ．
13．（2023·四川瀘州·一模）若函數(shù) f (x) 對(duì)一切實(shí)數(shù) x ， y 都滿足 f (x + y) - f (y) = (x + 2y)x且 f (1) = 0，則
f (0) = ．
14．（2022·湖北武漢·三模）函數(shù) f (x)
b
= (a > 0,b > 0)
| x | a 的圖象類似于漢字“囧”字，被稱為“囧函數(shù)”，并-
把其與 y 軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)稱為“囧點(diǎn)”，以“囧點(diǎn)”為圓心，凡是與“囧函數(shù)”有公共點(diǎn)的圓，皆稱之
為“囧圓”，則當(dāng) a =1,b =1時(shí)，函數(shù) f (x) 的“囧點(diǎn)”坐標(biāo)為 ；此時(shí)函數(shù) f (x) 的所有“囧圓”中，面積
的最小值為 ．
四、解答題
15．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) f x = x - 2 - x +1 ．
(1)求 f x 的值域；
f x 1(2)求不等式 x +1的解集．
2專題 06 函數(shù)及其表示
目錄
01 思維導(dǎo)圖
02 知識(shí)清單
03 核心素養(yǎng)分析
04 方法歸納
一、函數(shù)的概念
1.函數(shù)的定義
設(shè)A,B 是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x, 在集合B 中都有唯一
確定的數(shù) f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱 f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y =f(x),x∈A.其中，x 叫做自
變量，x 的取值范圍A 叫做函數(shù)的定義域.顯然，值域是集合 B 的子集.
2.函數(shù)的構(gòu)成要素
函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.三者缺一不可，其中對(duì)應(yīng)關(guān)系是核心，定義域是根本，當(dāng)定義
域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定了，值域也就確定了.
二、函數(shù)的定義域
1.函數(shù)的定義域是自變量x的取值集合，它是函數(shù)的重要組成部分.
2.求函數(shù)定義域的注意事項(xiàng)
(1)分式的分母不為0;
(2)偶次根式的被開方數(shù)大于等于0;
(3)零次冪的底數(shù)不為0;
(4)實(shí)際問題中自變量的范圍；
(5)多個(gè)式子構(gòu)成的函數(shù)，其定義域要滿足每個(gè)式子都有意義.
三、函數(shù)的值域
1.函數(shù)的值域是在對(duì)應(yīng)關(guān)系 f 的作用下，自變量x在定義域內(nèi)取值時(shí)相應(yīng)的函數(shù)值組成的集合
四、同一個(gè)函數(shù)
如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩
個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).
溫馨提示：當(dāng)一個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系和定義域確定后，其值域就隨之確定，所以兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義城和對(duì)
應(yīng)關(guān)系相同時(shí)，才為同一函數(shù).換言之，(1)定義域不同，兩函數(shù)不同；(2)值域不同，兩函數(shù)不同；(3)對(duì)應(yīng)關(guān)系
不同，兩函數(shù)不同，即使定義域和值城分別相同的兩個(gè)函數(shù)，也不一定是同一函數(shù)，如y=5x 與它們的定義域
和值域都是實(shí)數(shù)集R, 但不是同一個(gè)函數(shù).
五 、區(qū) 間
1. 一般區(qū)間的表示(a,b 為實(shí)數(shù)，且a定義 名稱 符號(hào) 數(shù)軸表示
{x|a≤x≤b} 閉區(qū)間 [a,b]
{x|a{x|a≤x{x|a2.特殊區(qū)間的表示
六、函數(shù)的表示法
1.解析法
用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
2.圖象法
用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，
3. 列表法
列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
溫馨提示：
(1)解析法必須注明函數(shù)的定義域；
(2)列表法必須羅列出所有的自變量的值與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系； (3)圖象法必須清楚函數(shù)圖象是“點(diǎn)”還是
“線”,
七、復(fù)合函數(shù)
如果函數(shù)y=f(t)的定義域?yàn)锳, 函數(shù)t=g(x) 的定義域?yàn)锽, 值域?yàn)镃, 則 當(dāng)C≤A時(shí)，稱函數(shù)y=f(g(x)) 為f(t)
與g(x)在B的復(fù)合函數(shù)，其中t 叫做中間變量，t=g(x) 叫做內(nèi)層函數(shù)，y=f(t)叫做外層函數(shù).
溫馨提示：
1. 內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域或定義域的子集.
2. 函數(shù)f(g(x))的定義域是指x 的取值范圍，而不是g(x)的取值范圍.
八、分段函數(shù)
在函數(shù)y=f(x) 的定義域中，對(duì)于自變量x 的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常稱為
分段函數(shù)
本專題的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生建立完整的函數(shù)概念，不僅把函數(shù)理解為刻畫變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)語
言和工具，也把函數(shù)理解為實(shí)數(shù)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。
重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。
一、函數(shù)的定義域
1
例 1　(1)(2022·武漢模擬)函數(shù) f(x)＝ ＋ 4－x2的定義域?yàn)?　　)
ln x＋1
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
答案　B
解析　要使函數(shù)有意義，
{x＋1 > 0，則需 x＋1 ≠ 1，4－x2 ≥ 0，
解得－1所以 x∈(－1,0)∪(0,2]．
所以函數(shù)的定義域?yàn)?－1,0)∪(0,2]．
(2)若函數(shù) f(x)的定義域?yàn)閇0,2]，則函數(shù) f(x－1)的定義域?yàn)開_______．
答案　[1,3]
解析　∵f(x)的定義域?yàn)閇0,2]，
∴0≤x－1≤2，即 1≤x≤3，
∴函數(shù) f(x－1)的定義域?yàn)閇1,3]．
延伸探究　將本例(2)改成“若函數(shù) f(x＋1)的定義域?yàn)閇0,2]”，則函數(shù) f(x－1)的定義域?yàn)開_______．
答案　[2,4]
解析　∵f(x＋1)的定義域?yàn)閇0,2]，
∴0≤x≤2，
∴1≤x＋1≤3，
∴1≤x－1≤3，
∴2≤x≤4，
∴f(x－1)的定義域?yàn)閇2,4]．
拓展
1．(2022·西北師大附中月考)函數(shù) y＝lg(x2－4)＋ x2＋6x的定義域是(　　)
A．(－∞，－2)∪[0，＋∞)
B．(－∞，－6]∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
D．(－∞，－6)∪[2，＋∞)
答案　B
x2－4 > 0，
解析　由題意，得{x2＋6x ≥ 0，
解得 x>2 或 x≤－6.
因此函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，－6]∪(2，＋∞)．
x f x－1
2．已知函數(shù) f(x)＝ ，則函數(shù) 的定義域?yàn)?　　)
1－2x x＋1
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(－∞，－1)∪(－1,1)
答案　D
解析　令 1－2x>0，
即 2x<1，即 x<0.
∴f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)．
f x－1
∴函數(shù) 中，有
x＋1 {x－1 < 0，x＋1 ≠ 0 解得 x<1 且 x≠－1.，
f x－1
故函數(shù) 的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(－1,1)．
x＋1
方法歸納：（1)求給定函數(shù)的定義域：由函數(shù)解析式列出不等式(組)使解析式有意義．
(2)求復(fù)合函數(shù)的定義域
①若 f(x)的定義域?yàn)閇m，n]，則在 f(g(x))中，由 m≤g(x)≤n 解得 x 的范圍即為 f(g(x))的定義域．
②若 f(g(x))的定義域?yàn)閇m，n]，則由 m≤x≤n 得到 g(x)的范圍，即為 f(x)的定義域．
二、函數(shù)的解析式
2
例 2　(1)(2022·哈爾濱三中月考)已知 f ( ＋1 )＝lg x，則 f(x)的解析式為________．x
2
答案　f(x)＝lg (x>1)
x－1
2
解析　令 ＋1＝t(t>1)，
x
2
則 x＝ ，
t－1
2
所以 f(t)＝lg (t>1)，
t－1
2
所以 f(x)＝lg (x>1)．
x－1
(2)已知 y＝f(x)是二次函數(shù)，若方程 f(x)＝0 有兩個(gè)相等實(shí)根，且 f′(x)＝2x＋2，則 f(x)＝________.
答案　x2＋2x＋1
解析　設(shè) f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
則 f′(x)＝2ax＋b，∴2ax＋b＝2x＋2，
則 a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c，
又 f(x)＝0，
即 x2＋2x＋c＝0 有兩個(gè)相等實(shí)根．
∴Δ＝4－4c＝0，則 c＝1.
故 f(x)＝x2＋2x＋1.
(3)已知函數(shù)對(duì)任意的 x 都有 f(x)－2f(－x)＝2x，則 f(x)＝________.
2
答案　 x
3
解析　∵f(x)－2f(－x)＝2x，①
∴f(－x)－2f(x)＝－2x，②
2
由①②得 f(x)＝ x.
3
拓展
1
已知 f(x)滿足 f(x)－2f ( )＝2x，則 f(x)＝________.x
2x 4
答案　－ －
3 3x
(1解析　∵f(x)－2f ＝2x，①x )
1 (1 ) 2以 代替①中的 x，得 f －2f(x)＝ ，②x x x
4
①＋②×2 得－3f(x)＝2x＋ ，
x
2x 4
∴f(x)＝－ － .
3 3x
方法歸納：　函數(shù)解析式的求法
(1)配湊法；(2)待定系數(shù)法；(3)換元法；(4)解方程組法．
三、分段函數(shù)
4 4
例 3　(1) f(x) {cos πx，x ≤ 1，已知 ＝ f x－1 ＋1，x > 1 則 f ( )＋f (－ 的值為(　　)， 3 3 )
1 1
A. B．－ C．－1 D．1
2 2
答案　D
解析　f (4 ) 4 1＝f ( －1 )＋1＝f 3 3 (3 )＋1
π 3
＝cos ＋1＝ ，
3 2
4 4π
f (－ )＝cos(－3 3 )
2π 1
＝cos ＝－ ，
3 2
(4 ) 4 3 1∴f ＋f (－ )＝ － ＝1.3 3 2 2
x
(2) f(x) {2 ＋3，x > 0，已知 ＝ x2 4 x ≤ 0 若 f(a)＝5，則實(shí)數(shù) a 的值是__________；若 f(f(a))≤5，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是－ ， ，
__________．
答案　1 或－3　[－ 5，－1]
解析　①當(dāng) a>0 時(shí)，2a＋3＝5，解得 a＝1；
當(dāng) a≤0 時(shí)，a2－4＝5，
解得 a＝－3 或 a＝3(舍)．
綜上，a＝1 或－3.
②設(shè) t＝f(a)，由 f(t)≤5 得－3≤t≤1.
由－3≤f(a)≤1，解得－ 5≤a≤－1.
拓展
π
1．已知函數(shù) f(x)＝{sin(πx＋ ，x > 1，6)1 則 f(f(2 022))等于(　　)( )x，x < 1，2
3 2 3
A．－ B. C. D. 2
2 2 2
答案　B
π π 1
解析　f(2 022)＝sin(2 022π＋ ＝sin ＝ ，6) 6 2
1
∴f(f(2 022))＝f (1 ) 1 2 2＝2 2 ÷ ＝ .è 2
3
2．(2022·百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù) f(x) {x ，x ≥ 0，＝ x2 x < 0 若對(duì)于任意的 x∈R，|f(x)|≥ax，則 a＝________.－ ， ，
答案　0
解析　當(dāng) x≥0 時(shí)，|f(x)|＝x3≥ax，即 x(x2－a)≥0 恒成立，則有 a≤0；
當(dāng) x<0 時(shí)，|f(x)|＝x2≥ax，即 a≥x 恒成立，
則有 a≥0，所以 a＝0.
方法歸納：　分段函數(shù)求值問題的解題思路
(1)求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn) f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．
(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢
驗(yàn)．

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