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專題 05 二次函數與一元二次方程、不等式（九大題型+模擬精練）
目錄：
01 解不含參的一元二次不等式（含分式、根式、高次）
02 解含參的一元二次不等式
03 一元二次方程根的分布
04 二次函數定區間定軸型
05 二次函數動區間定軸型
06 二次函數定區間動軸型
07 二次函數與不等式求參綜合
08 一元二次不等式恒成立、有解問題
09 一元二次不等式的實際應用
01 解不含參的一元二次不等式（含分式、根式、高次）
1．（2024 高三·全國·專題練習）解下列一元二次不等式：
(1) 2x2 - 2 2x +1 > 0 ；
(2) x2 + x -1 < 0；
(3) -3x2 + 5x - 4 0；
(4) 2x -1 2 < 4；
(5) x +1 x + 2 < x +1 2 - x +1；
(6) 3x + 2 x + 2 > 4．
ìx x 2
ü
【答案】(1) í
2
ì -1- 5 -1+ 5 ü
(2) íx < x <
2 2
(3)
ìx 1 x 3- < < ü(4) í
2 2
ì -1- 3 -1+ 3 ü
(5) íx < x <
2 2
ì 8
(6) íx x < - 或 x > 0
3
【分析】依據二次不等式解法程序去求解即可.
2
【解析】（1）二次方程 2x2 - 2 2x +1=0有二重根， x1 = x2 = 2
ì 2 ü
則不等式 2x2

- 2 2x +1 > 0 的解集為 íx x

2
（2）二次方程 x2 + x 1=0 -1- 5- 有二根， x1 = , x
-1+ 5
=
2 2 2
2 ìx -1- 5 x -1+ 5
ü
則不等式 x + x -1 < 0的解集為 í < <
2 2


（3）不等式-3x2 + 5x - 4 0可化為3x2 - 5x+4 0
由 -5 2 - 4 3 4 = -23 < 0可知，二次方程3x2 - 5x+4=0無根，
則不等式3x2 - 5x+4 0的解集為
故不等式-3x2 + 5x - 4 0的解集為
（4 2x -1 2）不等式 < 4可化為 4x2 - 4x - 3 < 0
1 3
二次方程 4x2 - 4x - 3=0有二根， x1 = - , x2 =2 2
ì 1 3ü
則不等式 4x2 - 4x - 3 < 0的解集為 íx - < x <2 2
2 ì 1 3ü
故不等式 2x -1 < 4的解集為 íx - < x <
2 2
（5）不等式 x +1 x + 2 < x +1 2 - x +1可化為 2x2 +2x -1< 0
2x2 +2x 1=0 x -1- 3 , x -1+ 3二次方程 - 有二根， 1 = =2 2 2
2 ìx -1- 3 -1+ 3
ü
則不等式 2x +2x -1< 0的解集為 í < x <
2 2


ì -1- 3 -1+ 3 ü
故不等式 x +1 x + 2 < x +1 2 - x +1 x < x < 的解集為 í
2 2
（6）不等式 3x + 2 x + 2 > 4可化為3x2 +8x > 0
8
二次方程3x2 +8x=0有二根， x1 = 0, x2 = - 3
2 ì 8則不等式3x +8x > 0的解集為 íx x < - 或 x > 0
3
故不等式 3x + 2 x 2 8+ > 4 ì的解集為 íx x < - 或 x > 0
3
2．（2024 高三·全國·專題練習）解不等式：
x - 3
(1) < 0；
-3x + 6
x +1
(2) 2 ．
3x - 2
【答案】(1) x x < 2或 x > 3 ；
ì 2
(2) íx < x 1 .
3
【分析】（1）由題可得 x - 3 3x - 6 > 0，即求；
ì 5x - 5 3x - 2 0
（2）由題可得 í ，即得.
3x - 2 0
x - 3 x - 3
【解析】（1）由 < 0，可得 > 0，
-3x + 6 3x - 6
∴ x - 3 3x - 6 > 0，
解得 x < 2或 x > 3，
所以原不等式的解集為 x x < 2或 x > 3 .
x +1 x +1 -5x + 5
（2）由 2 可得， - 2 = 0 ，
3x - 2 3x - 2 3x - 2
ì 5x - 5 3x - 2 0 2
∴ í ，解得 < x 1，
3x - 2 0 3
ì 2
所以原不等式的解集為 íx < x 1 .
3
3．（2021 高一·上海·專題練習）關于 x 的不等式5x +1+ 2x -1 > 4x - 2 + 2x -1 的解集是 .
é1
【答案】 ê ,+ ÷ 2
ì5x +1 > 4x - 2
【分析】不等式可化簡為 í 2x 1 0 ，計算即可
.
-
1
【解析】不等式整理的 5x+1>4x-2，解得 x>-3，又因為 2x-1≥0，所以 x ，
2
é1
所以不等式的解集為 ê ,+ ÷ , 2
é1
故答案為： ê ,+

2 ÷
4．（2022 秋- 2 3陜西寶雞-高二統考期中）不等式 x + 3 x -1 x - 2 0解集為（ ）
A．{x | x -3或 x 2} B．{x | x -3或 x 1}
C．{x | -3 x 1或 x 2} D．{x | x -3或 x =1或 x 2}
【答案】D
【分析】解高次不等式使用穿根法求解.
【解析】根據高次不等式的解法，使用穿根法如圖得不等式的解集為{x | x -3或 x =1或 x 2}
故選：D.
02 解含參的一元二次不等式
5．（23-24 2高三上·江蘇揚州·階段練習）若關于 x 的不等式 x - m + 4 x + 4m < 0的解集中恰有3個整數，則
實數 m 的取值范圍為（　　）
A． 7,8 B． 0,1
C． 0,1 7,8 D． 0,1 7,8
【答案】D
【分析】根據給定條件，分類解不等式并確定 m 值的范圍即得.
2
【解析】不等式 x - m + 4 x + 4m < 0化為： (x - 4)(x - m) < 0，顯然m 4，否則不等式解集為空集，不符
合題意，
當m < 4時，不等式的解集為 (m, 4) ，依題意，在 (m, 4) 中恰有 3 個整數，即為 3，2，1，則0 m <1，
當m > 4 時，不等式的解集為 (4,m)，顯然在 (4,m)中恰有 3 個整數，即為 5，6，7，則7 < m 8，
所以實數 m 的取值范圍為 0,1 7,8 .
故選：D
x - a
6．（23-24 高三上·山東濰坊·期末）已知甲： x 1，乙：關于 x 的不等式 < 0 a R ，若甲是乙的必
x - a -1
要不充分條件，則 a的取值范圍是（ ）
A．a 1 B． a > 1 C． a<0 D． a 0
【答案】A
【分析】將乙中的分式不等式化為二次不等式求解，再由必要不充分條件得到集合的包含關系，結合數軸
求參數范圍即可.
【解析】甲： x 1，設此范圍對應集合 A = 1,+ ；
由 a < a +1，
x - a
則乙： < 0 x - a x - a -1 < 0 a < x < a +1，
x - a -1
設此范圍對應集合 B = (a,a +1)，
若甲是乙的必要不充分條件，則 B A ，其中 A = B 必不成立；
則 (a, a +1) 1, + ，所以a 1 .
故選：A.
7．（23-24 高三上·云南德宏·期末）已知關于 x 的不等式 x2 - ax + b 0的解集為 x 2 x 3 ，則關于 x 的不
等式 x2 - bx + a < 0的解集為（ ）
A． x 2 < x < 3 B． x 1< x < 3
C． x 2 < x < 5 D． x 1< x < 5
【答案】D
【分析】根據一元二次不等式的解集與對應一元二次方程的根之間的關系求出 a、b的值，再解不等式.
【解析】根據題意，方程 x2 - ax + b = 0的兩根為 2 和 3，
則 a = 2 + 3 = 5,b = 2 3 = 6，
則 x2 - bx + a < 0為 x2 - 6x + 5 < 0，其解集為 x 1< x < 5 .
故選：D.
8．（21-22 高三上·重慶黔江·階段練習）已知 ax2 + bx + c > 0的解集為{x | -1< x < 2}，則不等式
a x2 +1 + b(x -1) + c < 2ax的解集為（ ）
A．{x | 0 < x < 3} B．{x | x > 0}
C．{x | x < 0 或 x > 3} D．{x | x > 3}
【答案】C
【分析】根據二次方程和不等式根與系數的關系確定 a,b,c 的關系，代入不等式得解集
【解析】已知 ax2 + bx + c > 0的解集為{x | -1< x < 2}，
則 ax2 + bx + c = 0的兩根為 -1和 2，
ì
a < 0

1 2 b所以 í- + = - ，即b = -a,c = -2a ，
a

-1
c
2 =
a
2
代入不等式， a x +1 + b(x -1) + c < 2ax 化簡整理得 ax2 - 3ax < 0 ，
因為 a<0，故 x2 - 3x > 0，
不等式的解集為{x | x < 0 或 x > 3}.
故選：C
2 4
9．（23-24 高三上·福建·期中）已知關于 x 的不等式 x2 - 2ax - b2 < 0的解集為 m, n ，若 n-m = 2，則 +a2 b2
的最小值是（ ）
A．3+ 2 2 B．6 + 2 2 C．6 + 4 2 D．12 + 8 2
【答案】C
【分析】根據 x2 - 2ax - b2 < 0的解集為 m, n 得到m ， n是方程 x2 - 2ax - b2 = 0 點的兩個根，然后根據韋達
定理和 n-m = 2得到 a2 + b2 =1，最后利用基本不等式求最值即可.
【解析】由題意得m ， n是方程 x2 - 2ax - b2 = 0 點的兩個根，所以m + m = 2a ，mn = -b2，
n - m 2 = n + m 2 - 4mn = 4a2 + 4b2 = 4，即 a2 + b2 =1，
2 4 2 4 a2 b2 2 4 2b
2 4a2 6 2 2b
2 4a2
所以 + = + + = + + + + × = 6 + 4 2 ，
a2 b2 è a2 b2 ÷

a2 b2 a2 b2
2b2 4a2
當且僅當 2 = 2 ，即 a
2 = 2 -1，b2 = 2 - 2 時等號成立.
a b
故選：C.
03 一元二次方程根的分布
10．（2024高三·全國· 2專題練習）關于 x 的方程 ax + a + 2 x + 9a = 0有兩個不相等的實數根 x1, x2 ，且 x1 <1< x2 ，
那么 a的取值范圍是（ ）
2 a 2 2A．- < < B． a >
7 5 5
a 2 2C． < - D．- < a < 0
7 11
【答案】D
2
【分析】說明 a = 0時，不合題意，從而將 ax + a 2+ 2 x + 9a = 0 2 化為 x + 1+ ÷ x + 9 = 0，令
è a
y x2 1 2= + + ÷ x + 9，結合其與 x 軸有兩個交點，且分布在 1 的兩側，可列不等式即可求得答案.
è a
2
【解析】當 a = 0時， ax + a + 2 x + 9a = 0即為 2x = 0，不符合題意；
故 a 0， ax2 + a + 2 x + 9a = 0 2 2 即為 x + 1+ ÷ x + 9 = 0，
è a
2
令 y = x + 1
2
+ ÷ x + 9，
è a
2
由于關于 x 的方程 ax + a + 2 x + 9a = 0有兩個不相等的實數根 x1, x2 ，且 x1 <1< x2 ，
則 y = ax2 + a + 2 x + 9a 與 x 軸有兩個交點，且分布在 1 的兩側，
2 2 2
故 x =1時， y < 0 ，即1+ 1+ ÷ 1+ 9 < 0 ，解得 < -11，故- < a < 0 ，
è a a 11
故選：D
11．（23-24 高三上·四川·階段練習）若關于 x 的方程 x2 - 2ax + a + 2 = 0在區間 -2,1 上有兩個不相等的實數
解，則 a的取值范圍是（ ）
6 , 1 6- - A． ÷ B． - ,15 5 ÷è è
6 6
C． - , -

÷ U -1, +

D． - , -

÷ U 1, +
è 5 è 5
【答案】A
【分析】
ìΔ > 0
-2 < a <1
令 g x = x2 - 2ax + a + 2 ，依題意可得 í
g 2 0
，解得即可.- >
g 1 > 0
【解析】
2
令 g x = x - 2ax + a + 2，因為方程 x2 - 2ax + a + 2 = 0在區間 -2,1 上有兩個不相等的實數解，
ìΔ > 0 ìΔ = 4a2 - 4 a + 2 > 0

-2 < a <1

-2 < a <1 6
所以 í ，即 í ，解得- < a < -1 g -2 > 0
，
4 + 4a + a + 2 > 0 5
g 1 > 0 1- 2a + a + 2 > 0
6
所以 a的取值范圍是 - , -1

÷ ．
è 5
故選：A．
ìx2 - 4x + 3 < 0
12．（21-22 高三上·山東菏澤·期中）已知不等式組 í 2 的解集是關于 x 的不等式 x
2 - 3x + a < 0的
x - 6x + 8 < 0
解集的子集，則實數 a 的取值范圍為（ ）
A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-2
【答案】A
【分析】先求出不等式組的解集，然后根據 x 2,3 是 x2 - 3x + a < 0的解集的子集，用二次函數的性質來列
出不等式組，解出 a的取值范圍.
ìx2 - 4x + 3 < 0
【解析】 í 2 ，解得： x 2,3 ，因為 x 2,3 是不等式 x2 - 3x + a < 0的解集的子集，故
x - 6x + 8 < 0
ì f 2 0
f x = x2 - 3x + a 要滿足： í f 3 0 ，解得： a 0，

Δ > 0
故選：A
04 二次函數定區間定軸型
13．（22-23 高一上·全國·課后作業）已知一元二次函數 y＝x2－2x+2，x∈(0，3)，則下列有關該函數的最值說
法正確的為（ ）
A．最小值為 2，最大值為 5 B．最小值為 1，最大值為 5
C．最小值為 1，無最大值 D．無最值
【答案】C
【分析】結合對稱軸，函數的單調性得出結論．
【解析】由已知函數圖象對稱軸是 x =1，在 (0,1]上，函數是減函數，在[1,3) 上是增函數，因此 x =1時，函
數取得最小值為 1，但無最大值，
故選：C．
14．（22-23 高一上·全國·課后作業）函數 y = x - x(x > 0)的最大值為（ ）
1 1
A． B．0 C． D．1
4 3
【答案】A
1
2
1
【分析】 y = x - x 配方化為- x - ÷ + ，結合二次函數知識即可得答案.
è 2 4
2
【解析】因為 y = x - x = - x 2 + x 1= - x - 1 ÷ + x 0 ，
è 2 4
當 x
1 x 1= ，即 = 時， y = x - x(x > 0)取得最大值，
2 4
1
即 ymax = ，4
故選：A
05 二次函數動區間定軸型
15．（22-23 高一·全國·課后作業）已知函數 y = f (x) 的表達式 f (x) = x2 - 2x - 3，若 x [t, t + 2]，求函數 f (x)
的最值．
【答案】答案見解析
t + t + 2
【分析】分1 t + 2 , 1 t 2 t 1
t + t + 2
< + , < ,1< t 四種情況討論求解即可.
2 2
【解析】解：函數 f (x) = x2 - 2x - 3的圖像的對稱軸為直線 x =1．
①當1 t + 2，即 t -1時， f (x)max = f (t) = t
2 - 2t - 3， f (x) 2min = f (t + 2) = t + 2t - 3；
t + t + 2
②當 1 < t + 2，即-1 < t 0 時， f (x) = f (t) = t 2max - 2t - 3， f (x)2 min
= f (1) = -4 ；
t + t + 2
③當 t 1 < 2，即0 < t 1時， f (x)max = f (t + 2) = t + 2t - 3， f (x)min = f (1) = -4 ；2
④ 2 2當1< t ，即 t > 1時， f (x)max = f (t + 2) = t + 2t - 3， f (x)min = f (t) = t - 2t - 3．
ì 2
2 t + 2t - 3, t -1
ìt - 2t - 3, t 0f x = f x = ∴ -4, -1 < t 1max í ， t 2 + 2t - 3, t > 0 min í . t 2 - 2t - 3, t >1
16．（23-24 高一·江蘇·假期作業）如果函數 f x = x -1 2 +1定義在區間[t,t +1]上，求 f x 的值域．
【答案】答案見解析
【分析】根據二次函數對稱軸與所給自變量區間分類討論，由二次函數性質求最值即可得解.
2
【解析】函數 f x = x -1 +1，其對稱軸方程為 x＝1，頂點坐標為 (1,1) ，圖象開口向上．
如圖所示，
若頂點橫坐標在區間[t，t＋1]左側時，有 t > 1，此時，當 x = t 時，函數值最小，
f t = t -1 2 +1 = t 2 - 2t + 2，當 x = t +1時，函數值最大， f t +1 = t 2 +1.
∴函數的值域為[t 2 - 2t + 2, t 2 +1] .
如圖所示，
若頂點橫坐標在區間[t,t +1]上時，有 t 1 t +1，即0 t 1 .
1
當 x =1時，函數的最小值為 f (1) =1，當 t 1時，最大值為 f (t +1) = t 2 +1，
2
2 0 t 1∴函數的值域為[1, t +1]；當 < 時，最大值為 f (t) = t 2 - 2t + 2，
2
所以 f (x) 在[t,t +1]上的值域為[1, t 2 - 2t + 2] .
如圖所示，
若頂點橫坐標在區間[t,t +1]右側時，有 t +1<1，即 t < 0 .
當 x = t +1，函數的最小值為 f (t +1) = t 2 +1，最大值為 f (t) = t 2 - 2t + 2，
所以函數 f (x) ét 2的值域為 +1, t
2 - 2t + 2ù .
綜上，當 t > 1時，函數 f (x) 的值域為[t 2 - 2t + 2, t 2 +1] .
1
當 t 1時，函數 f (x)
1
的值域為[1, t 2 +1]；當0 t < 時，函數 f (x) 的值域為[1, t 2 - 2t + 2]；當 t < 0時，函
2 2
f (x) ét 2 +1, t 2數 的值域為 - 2t + 2ù .
06 二次函數定區間動軸型
17 2．（22-23 高一上·云南昆明·期末）已知二次函數 f x = ax + bx + c a 0 的圖像過點 -2,0 和原點，對于
任意 x R ，都有 f x ≥ 2x．
(1)求函數 f x 的表達式；
(2)設 g x = f x + 2mx ，求函數 g x 在區間 0,1 上的最小值．
2
【答案】(1) f x = x + 2x
ì 3+ 2m,m -2

(2) g(x) 2min = í-(m +1) , - 2 < m < -1

0, m -1
ìc = 0 ì a > 0
【分析】（1）由題意得 í4a 2b c 0，得
f (x) = ax2 + 2ax，從而 ax2 + 2(a -1)x 0恒成立，得 ，
- + =
í 2
Δ = 4(a -1) 0
即可求解；
（2）依題意可得 g(x) = f (x) + 2mx = x2 + (2 + 2m)x，即可得到對稱軸，再對對稱軸所在位置分類討論，即可
求出函數的最小值.
ìc = 0
【解析】（1）由題意得 í ，所以b = 2a,c = 0, f (x) = ax2 + 2ax
4a - 2b + c = 0
，
因為對于任意 x R ，都有 f (x) 2x，即 ax2 + 2(a -1)x 0恒成立，
ì a > 0
故 í a =1 \b = 2 .
Δ = 4(a -1)
2 0 ，解得 ，
所以 f (x) = x2 + 2x；
（2） g(x) = f (x) + 2mx = x2 + (2 + 2m)x，
則 g(x)的對稱軸為 x = -m -1，
當-m -1 0 ，即m -1 , 函數在 0,1 上單調遞增，
故 g(x)在 0,1 上的最小值為 g(0) = 0；
當-m -1 1，即m -2時，函數在 0,1 上單調遞減，
故 g(x)在 0,1 的最小值為 g(1) = 3 + 2m；
當0 < -m -1 <1，即-2 < m < -1時,
函數在 0, -m -1 上單調遞減，在 -m -1,1 上單調遞增，
故 g(x)在 0,1 上的最小值為 g(-m -1) = -(m +1)2 .
ì 3+ 2m,m -2
2
綜上, g(x)min = í-(m +1) , - 2 < m < -1.

0, m -1
18 2．（22-23 高一上·全國·單元測試）設函數 f x = x + 2tx + t -1 .
(1)當 t = 2時，求函數 f x 在區間 -3，1 中的最大值和最小值；
(2)若 x 1，2 時， f x > 0恒成立，求 t 的取值范圍.
【答案】(1)最大值為 6，最小值為-3；
(2) 0，+ .
【分析】（1）結合二次函數的圖象可求得函數的最大值和最小值；
（2）由 f x = x2 + 2tx + t -1 = x + t 2 - t 2 + t -1，根據當 x 1，2 時，函數 f x > 0恒成立，分類討論，使得
f x > 0min ，即可求解，得到答案.
【解析】（1
2
）由題意，當 t = 2時，函數 f x = x2 + 4x +1 = x + 2 - 3，
由二次函數的性質可知， f (x) 在[-3, -2)上遞減，在 (-2,1]上遞增，
當 x = -2時，函數取得最小值，最小值為 f -2 = -3，
f (1) = 6， f (-3) = -2，當 x =1時，函數取得最大值，最大值為 f 1 = 6；
（2）由 f x = x2 + 2tx + t -1 = x + t 2 - t 2 + t -1，
因為當 x 1，2 時，函數 f x > 0恒成立，
當-t 1時，即t -1時， f x = f 1 = 3t > 0min ，解得 t > 0；
當1 < -t < 2時，即-2 < t < -1時， f x = f -t = -t 2 + t -1 > 0min ，
1 2t 2 3即 - t +1 = t - ÷ + < 0，此時解集為 ；
è 2 4
當-t 2時，即 t -2時， f x = f 2 = 5t + 3 > 0 3min ，解得 t > - ，不符合題意.5
所以實數 t 的取值范圍 0，+ .
07 二次函數與不等式求參綜合
19 2．（20-21 高三上·陜西渭南·階段練習）若二次函數 f x = ax + 2 a -1 x + 2在 - , 4 上為減函數，則 a的取
值范圍為（ ）
1 é 1ù 1ù
A
1ù
． , + ÷ B． ê0, C． - , D． 0,è 5 5 è 5 è 5
【答案】D
ìa > 0

【分析】根據題意，由 í1- a 求解.
4 a
【解析】解：因為二次函數 f x = ax2 + 2 a -1 x + 2在 - , 4 上為減函數，
ìa > 0

所以 í1- a ，解得0 < a
1
，
4 5 a
1ù
所以 a的取值范圍為 0,
è 5
，
故選：D
20．（2023 高三·全國·專題練習）設二次函數 f (x) = (a - 2)x2 + 3ax + 2 在R 上有最大值，最大值為m a ，當m a
取最小值時，a = （ ）
A．0 B 1 C 1． ． 2 D． 2
【答案】A
【分析】根據二次函數的性質求出m a ，然后利用基本不等式即得.
【解析】Q f (x) = (a - 2)x2 + 3ax + 2在R 上有最大值m a ，
2
\a - 2 < 0且當 x
3a
= - f (x) 8(a - 2) - 9a
2(a - 2) 時， 的最大值為 4(a - 2) ，
2
即 2 - a > 0 m a 2 9a 9 9且 = - = (2 - a) + - 7 2 9(2 - a) 9 - 7 = 24(a - 2) 4 2 - a 4 2 a ，-
9(2 - a) 9
當且僅當 = 時，即 a = 0時，m a 4 2 a 有最小值 2，-
故選：A．
08 一元二次不等式恒成立、有解問題
21．（23-24 高三上·山東濱州·期末）若不等式 x2 - ax + 4 0對任意 x 1,3 恒成立，則實數 a的取值范圍是
（ ）
A． 0,4 13B． - , 4 - , ùC． D． - ,5 è 3
【答案】B
【分析】根據給定條件，分離參數再利用基本不等式求出最小值即得.
【解析】不等式 x2
4
- ax + 4 0對任意 x 1,3 恒成立，則"x 1,3 ， a x + 成立，x
x 4 4
4
而 + 2 x × = 4，當且僅當 x = ，即 x = 2時取等號，因此 a 4，
x x x
所以實數 a的取值范圍是 - , 4 .
故選：B
22．（21-22 高一上·江蘇徐州·階段練習）若對于任意 x m, m +1 ，都有 x2 + mx -1 < 0成立，則實數m 的取值
范圍是（ ）
2 2
A． - ,0

÷ B． - ,03 2 ÷è ÷è
é 2 ù é 2 ùC． ê- ,0 D． - ,0 3
ê 2
【答案】B
【分析】利用一元二次函數的圖象與性質分析運算即可得解.
【解析】由題意，對于"x m,m +1 都有 f (x) = x2 + mx -1 < 0成立，
ì f m = m2 + m2 -1< 0
∴ 2í 2 ，解得：- < m < 0 ，
f m +1 = m +1 + m m +1 -1< 0 2
2
即實數m 的取值范圍是 - ,02 ÷÷
.
è
故選：B.
23．（2023 高三·全國·專題練習）若關于 x 的不等式 x2 + mx - 4 > 0在區間 2,4 上有解，則實數 m 的取值范
圍為（ ）
A． -3, + B． 0, + C． - ,0 D． - , -3
【答案】A
【分析】
利用二次函數的圖象及根的分布計算即可.
【解析】易知D = m2 +16 > 0 恒成立，即 x2 + mx - 4 = 0有兩個不等實數根 x1, x2 ，
又 x1x2 = -4 < 0，即二次函數 y = x2 + mx - 4有兩個異號零點，
所以要滿足不等式 x2 + mx - 4 > 0在區間 2,4 上有解，
所以只需 42 + 4m - 4 > 0，
解得m > -3，所以實數 m 的取值范圍是 -3, + ．
故選 A．
24．（2022·甘肅張掖·模擬預測）若關于 x 的不等式 x2 - 6x + 2 - a > 0在區間 0,5 內有解，則實數 a的取值范
圍是（ ）．
A． 2, + B． - ,5 C． - , -3 D． - , 2
【答案】D
【分析】不等式 x2 - 6x + 2 - a > 0 2在區間 0,5 內有解，僅需 (x - 6x + 2)max > a ，利用一元二次函數的圖像和
性質求解即可.
【解析】不等式 x2 - 6x + 2 - a > 0 2在區間 0,5 內有解，僅需 (x - 6x + 2)max > a 即可，
-6
令 f (x) = x2 - 6x + 2，因為 f (x) 的對稱軸為 x = - = 3， f (0) = 2， f (5) = -3，
2 1
2
所以由一元二次函數的圖像和性質的得 (x - 6x + 2)max = 2，
所以 a < 2，
故選：D
09 一元二次不等式的實際應用
25．（23-24 高三上·山西呂梁·階段練習）第 19 屆亞運會于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日在中國杭州舉行，
參賽的各國運動員在比賽、訓練之余，都愛逛逛杭州亞運會特許商品零售店，開啟“買買買”模式.某商店售
賣的一種亞運會紀念章，每枚的最低售價為 15 元，若每枚按最低售價銷售，每天能賣出 45 枚，每枚售價
每提高 1 元，日銷售量將減少 3 枚，為了使這批紀念章每天獲得 600 元以上的銷售收入，則這批紀念章的
銷售單價 x（單位：元）的取值范圍是（ ）
A． 10,20 B． 15,20 C． 16,20 D． 15,25
【答案】B
【分析】根據題中條件列出不等式，解出即可.
【解析】由題意，得 x é 45 - 3 x -15 ù > 600，
即 x2 - 30x + 200 < 0，∴ x -10 x - 20 < 0，
解得10 < x < 20 .又每枚的最低售價為 15 元，∴15 x < 20 .
故選：B.
26．（2023 高三·全國·專題練習）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2 的內接矩形
花園（陰影部分），則圖中矩形花園的其中一邊的邊長 x （單位：m）的取值范圍是（ ）
A． x 15 x 20 B． x 12 x 25
C． x 10 x 30 D． x 20 x 30
【答案】C
【分析】根據題意，由相似三角形將 AF , FH 表示出來，從而表示出S ，然后求解不等式，即可得到結果.
【解析】
DE AF x AF
如圖，過A 作 AH ^ BC 于 H ，交DE 于F ，易知 = ，即 = ，
BC AH 40 40
則 AF = x ，FH = 40 - x．所以矩形花園的面積 S = x 40 - x 300，
解得10 x 30．
故選:C．
一、單選題
1．（2024·寧夏銀川·一模）設全集U = {0,1,2,3,4,5,6}, A = {1,2,3,4,5}, B = {x Z∣ x < 2}，則集合{4,5} =
（ ）
A． U (A B) B． U A B
C． A∩ U B D． U A U B
【答案】C
【分析】由交集，補集和解不等式運算可得.
【解析】因為 x < 2，所以 0 < x < 4，
所以B = x Z | 0 < x < 4 = 1,2,3 ，
所以 U B = 0,4,5,6 ，
所以 A U B = 4,5 ，
故 ABD 錯誤，故 C 正確；
故選：C
2．（2024·北京房山·一模）“ 0 < x <1”是“ | x(x -1) |= x(1- x) ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】先求出 | x(x -1) |= x(1- x)，再由充分條件和必要條件的定義求解即可.
【解析】由 | x(x -1) |= x(1- x)可得： x(x -1) 0，
解得：0 x 1，
所以“ 0 < x <1”能推出“ | x(x -1) |= x(1- x) ”，
但“ | x(x -1) |= x(1- x) ”推不出“ 0 < x <1”，
所以“ 0 < x <1”是“ | x(x -1) |= x(1- x) ”的充分不必要條件.
故選：A.
3．（2023·福建廈門·二模）不等式 ax2 - 2x +1 > 0 （ a R ）恒成立的一個充分不必要條件是（ ）
A． a > 2 B．a 1 C． a > 1 D．0 < a
1
<
2
【答案】A
【分析】
分 a = 0和 a 0兩種情況討論求出 a的范圍，再根據充分條件和必要條件的定義即可得解.
1
【解析】當 a = 0時，-2x +1 > 0，得 x < ，與題意矛盾，
2
ìa > 0
當 a 0時，則 íΔ 4 4a 0 ，解得
a > 1，
= - <
綜上所述， a > 1，
所以不等式 ax2 - 2x +1 > 0 （ a R ）恒成立的一個充分不必要條件是 A 選項.
故選：A.
4．（2024· 2浙江·模擬預測）若不等式 kx + k - 6 x + 2 > 0的解為全體實數，則實數 k 的取值范圍是（ ）
A． 2 k 18 B．-18 < k < -2
C． 2 < k <18 D．0 < k < 2
【答案】C
【分析】分類討論 k = 0與 k 0兩種情況，結合二次不等式恒成立問題的解決方法即可得解.
2
【解析】當 k = 0時，不等式 kx + k - 6 x + 2 > 0可化為-6x + 2 > 0，顯然不合題意；
當 k 0 2時，因為 kx + k - 6 x + 2 > 0的解為全體實數，
ìk > 0
所以 í ，解得 2 < k <18；
Δ = k - 6
2 - 4k 2 < 0
綜上： 2 < k <18 .
故選：C.
5．（2023·陜西·模擬預測）命題“ "x R, x2 - kx + k + 3 0 ”是假命題，則 k 的取值范圍是（ ）
A． - ,6 B． -2, + C． -2,6 D． - , -2 6,+
【答案】D
【分析】根據題意分析可知命題“ $x R, x2 - kx + k + 3 < 0 ”為真命題，結合二次函數的D判別式運算求解.
【解析】由題意可知：命題“ $x R, x2 - kx + k + 3 < 0 ”為真命題，
D = k 2則 - 4 k + 3 0，解得 k 6或 k -2，
所以 k 的取值范圍是 - , -2 6,+ .
故選：D.
6．（2024· 2四川宜賓·模擬預測）若 p :實數 a 使得“ $x0 R ， x0 + 2x0 + a = 0 ”為真命題， q :實數 a 使得
“ "x 1, + ， x2 - a > 0 ”為真命題，則 q 是 p 的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】先根據方程有解和恒成立分別解出 p, q，再根據充分條件和必要條件的定義判斷即可.
2
【解析】對于 p ：$x0 R ， x0 + 2x0 + a = 0，所以D = 4 - 4a 0 a 1，
對于q："x 1, + ， x2 - a > 0，因為 y = x2 - a 在 1, + 上單調遞增，
所以 ymin =1- a > 0 a <1，所以 q 是 p 的充分不必要條件，
故選：A
7．（2023·河南·模擬預測）某同學解關于 x 的不等式 ax2 + bx + c < 0(a 0)時，因弄錯了常數 c的符號，解得
其解集為 (- , -3) (-2,+ )，則不等式bx2 + cx + a > 0的解集為（ ）

A． -1,
1
- ÷ B． (- , -1)
1
- , +

5 5 ÷è è
1
C． ,1
1
÷ D5 ．
- ,
5 ÷
(1, + )
è è
【答案】C
【分析】利用根與系數關系、一元二次不等式的解求得 a,b,c的關系式，進而求得不等式bx2 + cx + a > 0的解
集.
b c
【解析】由題意可知 a < 0，且-3 + (-2) = - ,-3 (-2) = - ，所以b = 5a,c = -6a，
a a
所以bx2 + cx + a > 0化為5x2 - 6x +1 < 0，
5x -1 x -1 < 0 1，解得 < x <1 .
5
故選：C
x y
8．（2023·寧夏中衛·二模）已知點 A(1, 4)在直線 + =1 a > 0,b > 0 上，若關于 t 的不等式 a + b t 2 + 5t + 3
a b
恒成立，則實數 t 的取值范圍為（ ）
A． -6,1 B． -1,6
C． - , -1 6, + D． - , -6 1, +
【答案】A
【分析】將點代入直線方程，再利用基本不等式求得 a + b 的最小值，從而將問題轉化9 t 2 + 5t + 3，解之即
可.
x y
【解析】因為點 A(1, 4)在直線 + =1 a > 0,b > 0 上，
a b
1 4
所以 + = 1，
a b
故a + b = a b 1 4 b 4a b 4a+ + ÷ = + + 5 2 × + 5 = 9，
è a b a b a b
b 4a 1 4
當且僅當 = 且 + = 1，即 a = 3,b = 6時等號成立，
a b a b
因為關于 t 的不等式 a + b t 2 + 5t + 3恒成立，
所以9 t 2 + 5t + 3，解得-6 t 1，
所以 t -6,1 .
故選：A
二、多選題
9．（2024·廣東深圳·模擬預測）下列說法正確的是（ ）
ì 1 ü
A．不等式 4x2 - 5x +1 > 0的解集是 íx x > 或x <1
4
ì 3 ü
B．不等式 2x2 - x - 6 0的解集是 íx x - 或x 22
C．若不等式 ax2 + 8ax + 21 < 0 恒成立，則 a 的取值范圍是
D．若關于 x 的不等式 2x2 + px - 3 < 0的解集是 q,1 ，則 p + q 1的值為-
2
【答案】CD
【分析】
對于 AB，直接解一元二次不等式即可判斷；對于 C，對 a分類討論即可判斷；對于 D，由一元二次不等式的
解集與一元二次方程的根的關系，先求得 p, q，然后即可判斷.
2
【解析】對于 A， 4x - 5x +1 > 0 x -1 4x -1 1> 0 x < 或 x >1，故 A 錯誤；
4
B 2x2對于 ， - x - 6 0 x - 2 2x + 3 0 3 - x 2 ，故 B 錯誤；
2
若不等式 ax2 + 8ax + 21 < 0 恒成立，
當 a = 0時， 21 < 0是不可能成立的，
ìa < 0
所以只能 íΔ 64a2 84a 0，而該不等式組無解，綜上，故
C 正確；
= - <
對于 D，由題意得 q,1是一元二次方程 2x2 + px - 3 = 0 的兩根，
ìq -3 1 = 3
從而 í 2 ，解得 p =1, q = - ，
2 + p - 3 = 0
2
3 3
而當 p =1, q = - 2時，一元二次不等式 2x + x - 3 < 0 x -1 2x + 3 < 0 - < x <1滿足題意，
2 2
所以 p + q
1
的值為- ，故 D 正確.
2
故選：CD.
10．（2022·遼寧丹東·一模）如果關于 x 的不等式 x2 - 2ax + b -1 > 0的解集為 x∣x a ，那么下列數值中，b
可取到的數為（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【答案】CD
【分析】根據不等式的解集與對應二次函數的關系，求得b 的取值范圍，即可根據選項進行選擇.
【解析】由題設知， y = x2 - 2ax + b -1對應的n= 0，
即 4 a2 - b +1 = 0，故b = a2 +1 1，
所以數值-1,0,1,2中，b 可取到的數為 1，2.
故選：CD .
11．（2022· 2全國·模擬預測）已知二次函數 f x = mx -4mx +12m-3 m < 0 ，若對任意 x1 x2 ，則（ ）
A．當x1 + x2 = 4時， f x1 = f x2 恒成立
B．當 x1 + x2 > 4時， f x1 < f x2 恒成立
C．$x0 使得 f x0 0成立
D．對任意x1，x2，均有 f xi 8m-3 i =1,2 恒成立
【答案】AD
【分析】二次函數開口向下，對稱軸為 x = 2，結合二次函數的性質對選項逐一判斷即可.
2 -4m
【解析】依題意，二次函數 f x = mx -4mx +12m-3 m < 0 的對稱軸為 x = - = 2 .
2m
因為m < 0，所以其函數圖象為開口向下的拋物線，
對于 A 選項，當x1 + x2 = 4時，x1，x2關于直線 x = 2對稱，
所以 f x1 = f x2 恒成立，所以 A 選項正確；
對于 B 選項，當 x1 + x2 > 4，若 x1 > x2 ，則不等式可化為 x1 - 2 > 2 - x2 ，
所以 f x1 < f x2 ；
若 x1 < x2，則不等式可化為 x2 - 2 > 2 - x1，所以 f x2 < f x1 ，所以 B 選項錯誤；
對于 C 選項，因為m < 0，所以D = -4m 2 - 4m 12m - 3 = -32m2 +12m < 0 ，
f x = mx2所以二次函數 -4mx +12m-3 m < 0 的圖象開口向下，且二次函數與 x 軸無交點，所以不存在 x0
使得 f x0 0成立，所以 C 選項錯誤；
對于 D 選項， f x = f 2 = 4m -8m +12m - 3 = 8m - 3max ，
所以對任意x1，x2，均有 f xi 8m-3 i =1,2 恒成立，所以 D 選項正確，
故選：AD.
三、填空題
12．（2023·浙江·模擬預測）不等式 x x + 2 > x 3- x +1的充分不必要條件可以為 .
【答案】 x = 2（答案不唯一）.
【分析】直接求解一元二次不等式，根據條件寫出答案即可.
【解析】Q x x + 2 > x 3- x +1，
2 1 \2x - x -1 > 0 ，\ x - , - ÷ 1,+
è 2
1
故只需寫一個滿足 - ,- ÷ 1, + 的答案即可.
è 2
故答案為： x = 2（答案不唯一）
13．（2023·上海黃浦· x ax2三模）關于 的不等式 - x + 2a 0的解集是 - , + ，則實數 a 的取值范圍
為 ．
é 2
【答案】 ê ,+ 4 ÷÷
f (x) = ax2【分析】構造 - x + 2a，利用函數的性質，將問題轉化成在 0, + 上恒成立，再通過分離常轉化
成求函數的最值即可求出結果.
x ax2 - x + 2a 0 - , + ax2【解析】因為關于 的不等式 的解集是 ，所以 - x + 2a 0在R 上恒成立，
令 f (x) = ax2 - x + 2a，易知 f (x) 為偶函數，所以 ax2 - x + 2a 0在R 上恒成立，即 f (x) = ax2 - x + 2a 0
在 0, + 上恒成立，
所以，當 x = 0時，由 ax2 - x + 2a = 2a 0 ，得到 a 0，
2 a
x 1
= 2
當 x > 0時，由 ax - x + 2a 0，得到 x2 + 2 x 2+ ，又因為 x + 2 2 ，當且僅當 x = 2 時取等號，所
x x
1 2
以 a = ，
2 2 4
é 2
綜上，實數 a的取值范圍為 ê ,+ 4 ÷÷
.

é 2
故答案為： ê ,+ ÷÷ .
4
14．（2020·江蘇南通·模擬預測）已知函數 f (x) = x2 + bx + c(| b | 5,c R) ，記
A = {x | f (x) = x}, B = {x | f ( f (x)) = x}，若集合 A = x1, x2 , B = x1, x2 , x3 , x4 ，且 x1 - x2 + x3 - x4 5 +1恒成立，
則b + c 的取值范圍是
5
【答案】[- ,8)
4
【分析】由 A = {x | f (x) = x}、 A = x1, x2 有 x1 + x2 =1- b、 x1x2 = c，由B = {x | f ( f (x)) = x}、
B = x1, x2 , x3 , x4 有 x3 + x4 = -1- b、 x3x4 = c + b +1，結合不等條件及 x1 x2 x3 x4 可求得
(1- b)2 - 5 c (1- b)
2 - 4
< ，而 | b | 5即可求b + c 的范圍
4 4
【解析】由 f (x) = x2 + bx + c(| b | 5,c R)
A = {x | f (x) = x}且 A = x1, x2
∴ x1 + x2 =1- b， x1x2 = c且 f (x1 ) = x1， f (x2 ) = x2
又B = {x | f ( f (x)) = x}且B = x1, x2 , x3 , x4 有： f ( f (x3)) = x3， f ( f (x4 )) = x4
ì f 2 (x3)+bf (x3) + c = x
2
∴ 3
ì f (x4 )+bf (x4 ) + c = x4
í ， í
2 x3 +bx3 + c = f (x ) x
2
3 4 +bx4 + c = f (x4 )
ì[ f (x3) - x3][ f (x3) + x3 + b +1] = 0
故 í x x[ f (x ) - x ][ f (x ) ，而+ x + b +1] = 0 1 2
x3 x4
4 4 4 4
ì f (x3) = -1- b - x∴ 3í
f (x4 ) = -1- b - x4
∴ f (x ) - f (x ) = x 2 - x 23 4 3 4 + b(x3 - x4 ) = x4 - x3，有 x3 + x4 = -1- b
f (x3) + f (x ) = x
2
4 3 + x
2
4 + b(x3 + x4 ) + 2c = -2(1+ b) - (x4 + x3)，有 x3x4 = c + b +1
故 x1 - x2 + x3 - x4 = (1- b)
2 - 4c + (1+ b)2 - 4(c +1+ b) = (1- b)2 - 4c + (1- b)2 - 4(c +1) 5 +1
若令 t = (1- b)2 - 4c ，則 t + t2 - 4 5 +1，解得2 < t 5
∴ (1- b)
2 - 5 c (1- b)
2 - 4 (1+ b)2 - 5 b c (1+ b)
2 - 4
< ，即 + < ，而 | b | 5
4 4 4 4
[(1+ b)
2 - 5 (1+ b)2 - 4 5
即 ]min b + c < [ ]max ，所以- b + c < 84 4 4
5
故答案為：[- ,8)
4
【點睛】本題考查了集合、二次函數與一元二次方程、不等式；根據集合的描述及其元素，結合二次函數
對應一元二次方程的解的性質及根與系數關系，求得相關參數的表達式，應用已知不等式恒成立求目標式
的范圍
四、解答題
15．（2024· · a + a x + a x2云南昆明 模擬預測）我們把 0 1 2 +LL+ an x
n = 0 （其中 an 0 ， n N* ）稱為一元 n 次
*
多項式方程．代數基本定理：任何復系數一元 n n N 次多項式方程（即 a0， a1， a2，…， an 為實數）在
*
復數集內至少有一個復數根；由此推得，任何復系數一元 n n N 次多項式方程在復數集內有且僅有 n 個
*
復數根（重根按重數計算）．那么我們由代數基本定理可知：任何復系數一元 n n N 次多項式在復數集內
一定可以分解因式，轉化為 n 個一元一次多項式的積．即
a0 + a
2 n
1x + a2x +LL+ an x = an x -a
k1
1 x -a2
k2 L x -am
km ，其中 k，m N *， k1 + k2 +LL+ km = n，a1，
a2，……，am為方程 a0 + a1x + a
2
2x +LL+ a x
n
n = 0 的根．進一步可以推出：在實系數范圍內（即 a0， a1，
a2，…， an 為實數），方程 a0 + a1x + a2x
2 +LL+ an x
n = 0 的有實數根，則多項式 a0 + a1x + a x
2 +LL+ a xn2 n 必
可分解因式．例如：觀察可知， x =1是方程 x3 -1 = 0 的一個根，則 x -1 一定是多項式 x3 -1的一個因式，
即 x3 -1 = x -1 ax2 + bx + c ，由待定系數法可知， a = b = c =1．
(1)解方程： x3 - 2x +1 = 0；
(2)設 f x = a0 + a1x + a x2 3 +2 + a3x ，其中 a0， a1， a2， a3 R ，且 a0 + a1 + a2 + a3 =1．
2 3
（i）分解因式： x - a0 + a1x + a2x + a3x ；
（ii）記點P x0, y 0 是 y = f x 的圖象與直線 y = x 在第一象限內離原點最近的交點．求證：當
a1 + 2a2 + 3a3 1時， x0 = 1．
-1+ 5 -1- 5
【答案】(1) x1 =1， x2 = ， x2 3
=
2
(2)（i）- x -1 é a3x
2 + a2 + a3 x - a0 ù；（ii）證明見解析
【分析】（1）觀察得到 x =1是方程 x3 2x 3 2- +1 = 0的一個根，從而設 x - 2x +1 = x -1 ax + bx + c ，對照系數
2
得到 a =1，b =1， c = -1，得到 x -1 x + x -1 = 0，求出方程的根；
（2 2 3）（i） x =1是方程 x - a0 + a1x + a2x + a3x = 0的一個根，設
x - a 2 3 20 + a1x + a2x + a3x = x -1 ax + bx + c ，對照系數得到 a = -a3，b = a0 + a1 -1， c = a0 ，從而得到答
案；
（ii）令 f x - x = 0 2，故 x0 是方程 a0 + a1x + a2x + a3x3 - x = 0的最小正實根，由（i）知：
a0 + a 2 31x + a2x + a3x - x = x -1 é a3x2 + a2 + a3 x - a0 ù ，設 g x = a 23x + a2 + a3 x - a0，根據 g x 的開口方
向，結合 g 0 = -a0 < 0，則 g x 一定有一正一負兩個實根，設正實根為 t，結合 a1 + 2a2 + 3a3 1得到
g 1 0，故 t 1，得到 x0 = 1 .
【解析】（1）觀察可知： x =1是方程 x3 - 2x +1 = 0的一個根；
所以 x3 - 2x +1 = x -1 ax2 + bx + c = ax3 + b - a x2 + c - b x - c ，
ìb - a = 0

由待定系數法可知， íc - b = -2，解得 a =1，b =1， c = -1；

-c =1
x -1 x2所以 + x -1 = 0，即 x =1或 x2 + x -1 = 0，
則方程的根為 x1 =1 x
-1+ 5
， 2 = ， x
-1- 5
2 3
= ．
2
（2）（i）由 a0 + a1 + a + a =1
2
2 3 可知， x =1是方程 x - a0 + a1x + a2x + a x33 = 0的一個根；
2 3 2 3
所以 x - a0 + a1x + a2x + a3x = x -1 ax + bx + c = ax + b - a x2 + c - b x - c ，
3 2
即-a3x - a2x - a1 -1 x - a0 = ax3 + b - a x2 + c - b x - c，
對照系數得 a = -a3，-a2 = b - a，- a1 -1 = c - b ，-a0 = -c ，
故 a = -a3，b = - a2 + a3 = a0 + a1 -1， c = a0 ；
所以 x - a0 + a1x + a2x2 + a3x3 = x -1 2 é-a3x - a2 + a3 x + a0 ù
= - x -1 é a3x
2 + a2 + a3 x - a0 ù ．
（ii）令 f x - x = 0，即 a0 + a1x + a2x2 + a 33x - x = 0，
點P x0, y 0 是 y = f x 的圖象與直線 y = x 在第一象限內離原點最近的交點，
等價于 x0 是方程 a 2 30 + a1x + a2x + a3x - x = 0的最小正實根；
由（i 2 3）知： x =1是方程 x - a0 + a1x + a2x + a3x = 0的一個正實根，
且 a0 + a 2 31x + a2x + a3x - x = x -1 é 2 a3x + a2 + a3 x - a0 ù ，
設 g x = a 23x + a2 + a3 x - a +0，由 a0， a1， a2， a3 R 可知 g x 為開口向上的二次函數；
又因為 g 0 = -a0 < 0，則 g x 一定有一正一負兩個實根，設正實根為 t；
又 a0 + a1 + a2 + a3 =1，可得 a0 =1- a1 + a2 + a3 ，
所以 g 1 = a3 + a2 + a3 - a0 = 3a3 + 2a2 + a1 -1；
當 a1 + 2a2 + 3a3 1時， g 1 0，
由二次函數單調性可知 t 1，即 x =1是方程 x - a0 + a x + a x21 2 + a 33x = 0的最小正實根．
【點睛】方法點睛：三次函數是近兩年高考常考考點，需要對三次函數理解到位，求解三次函數的零點，
常常需要先觀察函數，直接法得到其中一個零點，將三次函數轉化為二次函數，故常常利用二次函數的性
質來研究三次函數的性質.專題 05 二次函數與一元二次方程、不等式（九大題型+模擬精練）
目錄：
01 解不含參的一元二次不等式（含分式、根式、高次）
02 解含參的一元二次不等式
03 一元二次方程根的分布
04 二次函數定區間定軸型
05 二次函數動區間定軸型
06 二次函數定區間動軸型
07 二次函數與不等式求參綜合
08 一元二次不等式恒成立、有解問題
09 一元二次不等式的實際應用
01 解不含參的一元二次不等式（含分式、根式、高次）
1．（2024 高三·全國·專題練習）解下列一元二次不等式：
(1) 2x2 - 2 2x +1 > 0 ；
(2) x2 + x -1 < 0；
(3) -3x2 + 5x - 4 0；
(4) 2x -1 2 < 4；
(5) x +1 x + 2 < x +1 2 - x +1；
(6) 3x + 2 x + 2 > 4．
2．（2024 高三·全國·專題練習）解不等式：
x - 3
(1) < 0；
-3x + 6
x +1
(2) 2 ．
3x - 2
3．（2021 高一·上海·專題練習）關于 x 的不等式5x +1+ 2x -1 > 4x - 2 + 2x -1 的解集是 .
4．（2022 秋- 2 3陜西寶雞-高二統考期中）不等式 x + 3 x -1 x - 2 0解集為（ ）
A．{x | x -3或 x 2} B．{x | x -3或 x 1}
C．{x | -3 x 1或 x 2} D．{x | x -3或 x =1或 x 2}
02 解含參的一元二次不等式
5．（23-24 2高三上·江蘇揚州·階段練習）若關于 x 的不等式 x - m + 4 x + 4m < 0的解集中恰有3個整數，則
實數 m 的取值范圍為（　　）
A． 7,8 B． 0,1
C． 0,1 7,8 D． 0,1 7,8
6．（23-24 高三上·山東濰坊·期末）已知甲： x 1，乙：關于 x
x - a
的不等式 < 0 a R ，若甲是乙的必
x - a -1
要不充分條件，則 a的取值范圍是（ ）
A．a 1 B． a > 1 C． a<0 D． a 0
7．（23-24 高三上·云南德宏·期末）已知關于 x 的不等式 x2 - ax + b 0的解集為 x 2 x 3 ，則關于 x 的不
等式 x2 - bx + a < 0的解集為（ ）
A． x 2 < x < 3 B． x 1< x < 3
C． x 2 < x < 5 D． x 1< x < 5
8．（21-22 高三上·重慶黔江·階段練習）已知 ax2 + bx + c > 0的解集為{x | -1< x < 2}，則不等式
a x2 +1 + b(x -1) + c < 2ax的解集為（ ）
A．{x | 0 < x < 3} B．{x | x > 0}
C．{x | x < 0 或 x > 3} D．{x | x > 3}
2 4
9．（23-24 高三上·福建·期中）已知關于 x 的不等式 x2 - 2ax - b2 < 0的解集為 m, n ，若 n-m = 2，則 a2 + b2
的最小值是（ ）
A．3+ 2 2 B．6 + 2 2 C．6 + 4 2 D．12 + 8 2
03 一元二次方程根的分布
10．（2024高三· 2全國·專題練習）關于 x 的方程 ax + a + 2 x + 9a = 0有兩個不相等的實數根 x1, x2 ，且 x1 <1< x2 ，
那么 a的取值范圍是（ ）
2 2
A．- < a < B． a
2
>
7 5 5
2 2
C． a < - D．- < a < 0
7 11
11．（23-24 高三上·四川·階段練習）若關于 x 的方程 x2 - 2ax + a + 2 = 0在區間 -2,1 上有兩個不相等的實數
解，則 a的取值范圍是（ ）
6 6
A． - , -1

5 ÷
B． - ,1÷
è è 5
6 6
C． - , -

÷ U -1, +

D． - , - ÷ U 1, +
è 5 è 5
ìx2 - 4x + 3 < 0
12．（21-22 高三上·山東菏澤·期中）已知不等式組 í x 22 的解集是關于 的不等式 x - 3x + a < 0的
x - 6x + 8 < 0
解集的子集，則實數 a 的取值范圍為（ ）
A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-2
04 二次函數定區間定軸型
13．（22-23 高一上·全國·課后作業）已知一元二次函數 y＝x2－2x+2，x∈(0，3)，則下列有關該函數的最值
說法正確的為（ ）
A．最小值為 2，最大值為 5 B．最小值為 1，最大值為 5
C．最小值為 1，無最大值 D．無最值
14．（22-23 高一上·全國·課后作業）函數 y = x - x(x > 0)的最大值為（ ）
1 1
A． B．0 C． D．1
4 3
05 二次函數動區間定軸型
15．（22-23 高一·全國·課后作業）已知函數 y = f (x) 的表達式 f (x) = x2 - 2x - 3，若 x [t, t + 2]，求函數 f (x)
的最值．
16．（23-24 高一· 2江蘇·假期作業）如果函數 f x = x -1 +1定義在區間[t,t +1]上，求 f x 的值域．
06 二次函數定區間動軸型
17．（22-23 高一上·云南昆明·期末）已知二次函數 f x = ax2 + bx + c a 0 的圖像過點 -2,0 和原點，對于
任意 x R ，都有 f x ≥ 2x．
(1)求函數 f x 的表達式；
(2)設 g x = f x + 2mx ，求函數 g x 在區間 0,1 上的最小值．
18．（22-23 高一上·全國·單元測試）設函數 f x = x2 + 2tx + t -1 .
(1)當 t = 2時，求函數 f x 在區間 -3，1 中的最大值和最小值；
(2)若 x 1，2 時， f x > 0恒成立，求 t 的取值范圍.
07 二次函數與不等式求參綜合
19．（20-21 2高三上·陜西渭南·階段練習）若二次函數 f x = ax + 2 a -1 x + 2在 - , 4 上為減函數，則 a的取
值范圍為（ ）
1
A ,
1
+ B 0, C
1 1
． ÷ ． ． - ,

D

． 0,
è 5 5 è 5 è 5
20．（2023 高三·全國·專題練習）設二次函數 f (x) = (a - 2)x2 + 3ax + 2 在R 上有最大值，最大值為m a ，當m a
取最小值時，a = （ ）
A．0 B 1．1 C． 2 D． 2
08 一元二次不等式恒成立、有解問題
21．（23-24 高三上·山東濱州·期末）若不等式 x2 - ax + 4 0對任意 x 1,3 恒成立，則實數 a的取值范圍是
（ ）
A． 0,4 B． - , 4 13 C． - , D． - ,5 è 3
22．（21-22 高一上·江蘇徐州·階段練習）若對于任意 x m, m +1 ，都有 x2 + mx -1 < 0成立，則實數m 的取值
范圍是（ ）
2 2 A． - ,0

3 ÷
B． - ,0÷è ÷è 2
C
2
- ,0
2
． D． - ,0 3 2


23．（2023 高三·全國·專題練習）若關于 x 的不等式 x2 + mx - 4 > 0在區間 2,4 上有解，則實數 m 的取值范
圍為（ ）
A． -3, + B． 0, + C． - ,0 D． - , -3
24．（2022·甘肅張掖·模擬預測）若關于 x 的不等式 x2 - 6x + 2 - a > 0在區間 0,5 內有解，則實數 a的取值范
圍是（ ）．
A． 2, + B． - ,5 C． - , -3 D． - , 2
09 一元二次不等式的實際應用
25．（23-24 高三上·山西呂梁·階段練習）第 19 屆亞運會于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日在中國杭州舉行，
參賽的各國運動員在比賽、訓練之余，都愛逛逛杭州亞運會特許商品零售店，開啟“買買買”模式.某商店售
賣的一種亞運會紀念章，每枚的最低售價為 15 元，若每枚按最低售價銷售，每天能賣出 45 枚，每枚售價
每提高 1 元，日銷售量將減少 3 枚，為了使這批紀念章每天獲得 600 元以上的銷售收入，則這批紀念章的
銷售單價 x（單位：元）的取值范圍是（ ）
A． 10,20 B． 15,20 C． 16,20 D． 15,25
26．（2023 高三·全國·專題練習）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2 的內接矩形
花園（陰影部分），則圖中矩形花園的其中一邊的邊長 x （單位：m）的取值范圍是（ ）
A． x 15 x 20 B． x 12 x 25
C． x 10 x 30 D． x 20 x 30
一、單選題
1．（2024·寧夏銀川·一模）設全集U = {0,1,2,3,4,5,6}, A = {1,2,3,4,5}, B = {x Z∣ x < 2}，則集合{4,5} =
（ ）
A． U (A B) B． U A B
C． A∩ U B D． U A U B
2．（2024·北京房山·一模）“ 0 < x <1”是“ | x(x -1) |= x(1- x) ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2023·福建廈門·二模）不等式 ax2 - 2x +1 > 0 （ a R ）恒成立的一個充分不必要條件是（ ）
1
A． a > 2 B．a 1 C． a > 1 D．0 < a <
2
4．（2024·浙江·模擬預測）若不等式 kx2 + k - 6 x + 2 > 0的解為全體實數，則實數 k 的取值范圍是（ ）
A． 2 k 18 B．-18 < k < -2
C． 2 < k <18 D．0 < k < 2
5．（2023·陜西·模擬預測）命題“"x R, x2 - kx + k + 3 0 ”是假命題，則 k 的取值范圍是（ ）
A． - ,6 B． -2, + C． -2,6 D． - , -2 6,+
6．（2024· 2四川宜賓·模擬預測）若 p :實數 a 使得“ $x0 R ， x0 + 2x0 + a = 0 ”為真命題， q :實數 a 使得
“"x 1, + ， x2 - a > 0 ”為真命題，則 q 是 p 的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（2023·河南·模擬預測）某同學解關于 x 的不等式 ax2 + bx + c < 0(a 0)時，因弄錯了常數 c的符號，解得
其解集為 (- , -3) (-2,+ )，則不等式bx2 + cx + a > 0的解集為（ ）
1 1A． -1, -

÷ B． (- , -1)

- , +

5 ÷è è 5
1
C
1
． ,1÷ D． - , ÷ (1, + )
è 5 è 5
x y
8．（2023·寧夏中衛·二模）已知點 A(1, 4)在直線 + =1 a > 0,b > 0 上，若關于 t 的不等式 a + b t 2 + 5t + 3
a b
恒成立，則實數 t 的取值范圍為（ ）
A． -6,1 B． -1,6
C． - , -1 6, + D． - , -6 1, +
二、多選題
9．（2024·廣東深圳·模擬預測）下列說法正確的是（ ）
ì 1 ü
A．不等式 4x2 - 5x +1 > 0的解集是 íx x > 或x <14
ì 3
B．不等式 2x2 - x - 6 0的解集是 íx x - 或x 2
ü

2
C．若不等式 ax2 + 8ax + 21 < 0 恒成立，則 a 的取值范圍是
1
D．若關于 x 的不等式 2x2 + px - 3 < 0的解集是 q,1 ，則 p + q 的值為-
2
10．（2022·遼寧丹東·一模）如果關于 x 的不等式 x2 - 2ax + b -1 > 0的解集為 x∣x a ，那么下列數值中，b
可取到的數為（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
11 2．（2022·全國·模擬預測）已知二次函數 f x = mx -4mx +12m-3 m < 0 ，若對任意 x1 x2 ，則（ ）
A．當x1 + x2 = 4時， f x1 = f x2 恒成立
B．當 x1 + x2 > 4時， f x1 < f x2 恒成立
C．$x0 使得 f x0 0成立
D．對任意x1，x2，均有 f xi 8m-3 i =1,2 恒成立
三、填空題
12．（2023·浙江·模擬預測）不等式 x x + 2 > x 3- x +1的充分不必要條件可以為 .
13．（2023· 2上海黃浦·三模）關于 x 的不等式 ax - x + 2a 0的解集是 - , + ，則實數 a 的取值范圍
為 ．
14．（2020·江蘇南通·模擬預測）已知函數 f (x) = x2 + bx + c(| b | 5,c R) ，記
A = {x | f (x) = x}, B = {x | f ( f (x)) = x}，若集合 A = x1, x2 , B = x1, x2 , x3 , x4 ，且 x1 - x2 + x3 - x4 5 +1恒成立，
則b + c 的取值范圍是
四、解答題
15 2 n．（2024·云南昆明·模擬預測）我們把 a0 + a1x + a2x +LL+ an x = 0 （其中 an 0 ， n N* ）稱為一元 n 次
*
多項式方程．代數基本定理：任何復系數一元 n n N 次多項式方程（即 a0， a1， a2，…， an 為實數）在
*
復數集內至少有一個復數根；由此推得，任何復系數一元 n n N 次多項式方程在復數集內有且僅有 n 個
*
復數根（重根按重數計算）．那么我們由代數基本定理可知：任何復系數一元 n n N 次多項式在復數集內
一定可以分解因式，轉化為 n 個一元一次多項式的積．即
a + a x + a x2 +LL+ a xn = a x -a k1 k2 km *0 1 2 n n 1 x -a2 L x -am ，其中 k，m N ， k1 + k2 +LL+ km = n，a1，
a2，……，a 2m為方程 a0 + a1x + a2x +LL+ an x
n = 0 的根．進一步可以推出：在實系數范圍內（即 a0， a1，
a2，…， an 為實數），方程 a0 + a1x + a x
2
2 +LL+ an x
n = 0 2 n的有實數根，則多項式 a0 + a1x + a2x +LL+ an x
必可分解因式．例如：觀察可知， x =1是方程 x3 -1 = 0 的一個根，則 x -1 一定是多項式 x3 -1的一個因式，
3
即 x -1 = x -1 ax2 + bx + c ，由待定系數法可知， a = b = c =1．
(1)解方程： x3 - 2x +1 = 0；
(2) f x = a + a x + a x2 3 +設 0 1 2 + a3x ，其中 a0， a1， a2， a3 R ，且 a0 + a1 + a2 + a3 =1．
i x - a + a x + a x2 + a x3（ ）分解因式： 0 1 2 3 ；
（ii）記點P x , y 是 y = f x 的圖象與直線 y = x0 0 在第一象限內離原點最近的交點．求證：當
a1 + 2a2 + 3a3 1時， x0 = 1．專題 05 二次函數與一元二次方程、不等式
目錄
01 思維導圖
02 知識清單
03 核心素養分析
04 方法歸納
一、一元二次不等式與相應的二次函數及一元二次方程的關系如下表
判別式
Δ b2 4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0＝ －
二次函數 y＝ax2＋bx＋
c(a>0)的圖象
有兩相等實
一元二次方程 ax2＋bx＋c 有兩相異 根 x ＝x
x 1 2
沒有
實根 ，
＝0(a>0)的根 1 bx2(x1實數根
2) ＝－
2a
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠x1} {x|x∈R }
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1二、分式不等式
f (x)
（1） > 0 f (x)gg(x) > 0
g(x)
f (x)
（2） < 0 f (x)gg(x) < 0
g(x)
f (x) ì f (x)gg(x) 0
（3） 0
g(x) í g(x) 0
f (x) ì f (x)gg(x) 0
（4） 0
g(x) í g(x) 0
三、絕對值不等式
（1） f (x) > g(x) [ f (x)]2 > [g(x)]2
（2） f (x) > g(x)(g(x) > 0) f (x) > g(x)或f (x) < -g(x) ；
f (x) < g(x)(g(x) > 0) -g(x) < f (x) < g(x) ；
（3）含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分段法和圖象法求解
四、一元高次不等式及其解法
1、概念
只含有一個未知數，最高次項的次數高于二次的不等式稱為高次不等式.
2、 一元高次不等式的解法
一元高次不等式的常用解法是數軸標根法，又稱穿針引線法，其具體步驟為
1.化形：將不等式的一側化為一次因式或二次不可約因式的積，且每個因式最高次項的系數為正，另一
側化為0;
2.求根，標根；求出各因式所對應的方程的根，在數軸上依次標出
溫馨提示:要仔細區分點的虛實.
3.畫曲線；數軸的最右端上方起，從右到左依次經過各個根畫曲線；
溫馨提示:奇次重根穿過數軸，偶次重根穿而不過.
4.寫解集：在數軸上畫出曲線后，根據不等號的方向，寫出不等式的解集.
溫馨提示:
1.考慮端點是否能取到；2.各因式中最高次項系數必須為正.
2
例：不等式（x - 9）（x - 2）＞0的解集是_____________
答案：{x | -3＜x＜2或x＞3}
用函數理解方程和不等式是數學的基本思想方法。本專題的學習，可以幫助學生用一元二次函數認識
一元二次方程和一元二次不等式。通過梳理初中數學的相關內容，理解函數、方程和不等式之間的聯系，
體會數學的整體性。
一、不含參數的一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的四個步驟
命題點 1　不含參的不等式
例 1　(1)不等式－2x2＋x＋3<0 的解集為(　　)
3
A.{x|－1 < x <2 }
B.{x| 3－ < x < 12 }
C.{x| 3x < －1 或 x > 2 }
D.{x| 3x < － 或 x > 12 }
答案　C
解析　－2x2＋x＋3<0 可化為 2x2－x－3>0，
即(x＋1)(2x－3)>0，
3
∴x<－1 或 x> .
2
5
(2)(多選)已知集合 M＝{x||x－1| ≤ 2，x ∈ R}，集合 N＝{x| ≥ 1，x ∈ R ，則(　　)x＋1 }
A．M＝{x|－1 ≤ x ≤ 3}
B．N＝{x|－1 ≤ x ≤ 4}
C．M∪N＝{x|－1 ≤ x ≤ 4}
D．M∩N＝{x|－1 < x ≤ 3}
答案　ACD
解析　由題設可得 M＝[－1,3]，N＝(－1,4]，
故 A 正確，B 錯誤；
M∪N＝{x|－1≤x≤4}，故 C 正確；
而 M∩N＝{x|－1二、含參數的一元二次不等式的解法
命題點 2　含參的不等式
例 2　解關于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解　原不等式變為(ax－1)(x－1)<0，
1
因為 a>0，所以(x－ )(x－1)<0.a
1
所以當 a>1 時，解得 a
當 a＝1 時，解集為 ；
1
當 0a
1
綜上，當 0當 a＝1 時，不等式的解集為 ；
1
當 a>1 時，不等式的解集為{x| < x < 1a }.
延伸探究　在本例中，把 a>0 改成 a∈R，解不等式．
解　當 a>0 時，同例 2，當 a＝0 時，
原不等式等價于－x＋1<0，即 x>1，
1
當 a<0 時， <1，
a
1
原不等式可化為(x－ )(x－1)>0，a
1
解得 x>1 或 x< .
a
1
綜上，當 0當 a＝1 時，不等式的解集為 ，
1
當 a>1 時，不等式的解集為{x| < x < 1a }，
當 a＝0 時，不等式的解集為{x|x>1}，
當 a<0 時，不等式的解集為{x| 1x < 或 x > 1a }.
拓展
解關于 x 的不等式 x2－ax＋1≤0.
解　由題意知，Δ＝a2－4，
2 a ± a
2－4
①當 a －4>0，即 a>2 或 a<－2 時，方程 x2－ax＋1＝0 的兩根為 x＝ ，
2
a－ a2－4 a＋ a2－4
∴原不等式的解為 ≤x≤ .
2 2
②若 Δ＝a2－4＝0，則 a＝±2.
當 a＝2 時，原不等式可化為 x2－2x＋1≤0，
即(x－1)2≤0，∴x＝1；
當 a＝－2 時，原不等式可化為 x2＋2x＋1≤0，
即(x＋1)2≤0，∴x＝－1.
③當 Δ＝a2－4<0，即－2原不等式的解集為 .
綜上，當 a>2 或 a<－2 時，原不等式的解集為{ |a－ a2－4 a＋ a2－4x ≤ x ≤2 2 }；
當 a＝2 時，原不等式的解集為{1}；
當 a＝－2 時，原不等式的解集為{－1}；
當－2三、一元二次不等式恒(能)成立問題
1.一元二次不等式恒成立的條件
a > 0，
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要條件是{b2－4ac < 0.
a < 0，
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要條件是{b2－4ac < 0.
2.一元二次不等式在給定區間上的恒成立問題的求解方法
(1)若 f(x)>0在集合 A中恒成立，即集合 A是不等式 f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集
的含義求解參數的值(或范圍)．
(2)轉化為函數值域問題，即已知函數 f(x)的值域為[m，n]，則 f(x)≥a 恒成立 f(x)min≥a，即 m≥a；
f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a，即 n≤a.
命題點 3　在 R 上恒成立問題
例 3　(2022·漳州模擬)對 x∈R，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 恒成立，則 a 的取值范圍是(　　)
A．－2C．a<－2 或 a≥2 D．a≤－2 或 a≥2
答案　A
解析　不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 對一切 x∈R 恒成立，當 a－2＝0，即 a＝2 時，－4<0 恒成立，滿足
題意；
當 a－2≠0 時，要使不等式恒成立，
{a－2 < 0， a < 2，需 Δ < 0 即有， {4 a－2 2＋16 a－2 < 0，
解得－2綜上可得，a 的取值范圍為(－2,2]．
命題點 4　在給定區間上恒成立問題
例 4　已知函數 f(x)＝mx2－mx－1.若對于 x∈[1,3]，f(x)<5－m 恒成立，則實數 m 的取值范圍為________．
( 6答案　 －∞，7)
解析　要使 f(x)<－m＋5 在 x∈[1,3]上恒成立，
( 1 ) 3即 m x－ 2＋ m－6<0 在 x∈[1,3]上恒成立．有以下兩種方法：2 4
1 3
方法一　令 g(x)＝m(x－ )2＋ m－6，2 4
x∈[1,3]．
當 m>0 時，g(x)在[1,3]上單調遞增，
所以 g(x)max＝g(3)，即 7m－6<0，
6 6
所以 m< ，所以 07 7
當 m＝0 時，－6<0 恒成立；
當 m<0 時，g(x)在[1,3]上單調遞減，
所以 g(x)max＝g(1)，即 m－6<0，
所以 m<6，所以 m<0.
( 6綜上所述，m 的取值范圍是 －∞， ).7
1 3
方法二　因為 x2－x＋1＝(x－ 2＋ >0，2 ) 4
又因為 m(x2－x＋1)－6<0 在 x∈[1,3]上恒成立，
6
所以 m< 在 x∈[1,3]上恒成立．
x2－x＋1
6
令 y＝ ，
x2－x＋1
6 6 6 6
因為函數 y＝ ＝ 在[1,3]上的最小值為 ，所以只需 m< 即可．
x2－x＋1 ( 1 3x )2 7 7－2 ＋4
6
所以 m 的取值范圍是(－∞， .7)
命題點 5　給定參數范圍的恒成立問題
例 5　(2022·宿遷模擬)若不等式 x2＋px>4x＋p－3，當 0≤p≤4 時恒成立，則 x 的取值范圍是(　　)
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
答案　D
解析　不等式 x2＋px>4x＋p－3
可化為(x－1)p＋x2－4x＋3>0，
由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，
令 f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，
{f 0 ＝x2－4x＋3 > 0，可得 f 4 ＝4 x－1 ＋x2－4x＋3 > 0，
∴x<－1 或 x>3.
拓展
函數 f(x)＝x2＋ax＋3.
若當 x∈[－2,2]時，f(x)≥a 恒成立，則實數 a 的取值范圍是________．
若當 a∈[4,6]時，f(x)≥0 恒成立，則實數 x 的取值范圍是________________．
答案　[－7,2]
(－∞，－3－ 6]∪[－3＋ 6，＋∞)
解析　若 x2＋ax＋3－a≥0 在 x∈[－2,2]上恒成立，
令 g(x)＝x2＋ax＋3－a，
Δ > 0，
a
則有①Δ≤0 或②{－ < －2，2g －2 ＝7－3a ≥ 0.
Δ > 0，
{ a或③ － > 2，2g 2 ＝7＋a ≥ 0，
解①得－6≤a≤2，解②得 a∈ ，
解③得－7≤a<－6.
綜上可得，滿足條件的實數 a 的取值范圍是[－7,2]．
令 h(a)＝xa＋x2＋3.
當 a∈[4,6]時，h(a)≥0 恒成立．
{h 4 ≥ 0， x2＋4x＋3 ≥ 0，只需 h 6 ≥ 0 即， {x2＋6x＋3 ≥ 0，
解得 x≤－3－ 6或 x≥－3＋ 6.
∴實數 x 的取值范圍是(－∞，－3－ 6]∪[－3＋ 6，＋∞)．

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