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1.11 有理數的乘方
第一章 有理數
華師版七年級(上)
1 有理數的乘方
教學目標
1. 在現實背景中，理解有理數乘方的意義.
2. 能準確說出有理數乘方的底數、指數和冪，能準確地計算有理數的乘方.
3. 經歷觀察、類比、歸納得出有理數乘方的概念的過程，領會重要的數學建模思想、歸納思想，形成數感、符號感，發展抽象思維.
重點：冪、底數、指數的概念及其表示，理解有理數乘
法運算與乘方間的聯系，處理好負數的乘方運算.
難點：準確建立底數、指數和冪三個概念，并能求冪的
運算.
你知道是為什么嗎？
故事開始
故事結尾
故事：國王賞不起的米
乘方的意義
1
問題1：
(1) 完成下列填空，并說一說這兩個式子有什么相同點？
2cm
2cm
S正 =_________ = ____( )
V正 = _________= ____ ( )
2×2
2×2×2
cm2
cm3
4
8
都是相同因數的乘法
(2) 這兩個過程有什么簡單的寫法嗎？(類比單位的寫法)
S正 =__________ = __________= 4 ( cm2 )
V正 = _________= __________ = 8 ( cm3 )
2×2
2×2×2
22
平方厘米
立方厘米
23
2 的平方
2 的二次方
2 的立方
2 的三次方
(3) 這種寫法讀作什么呢？
類比
類比
做一做
(2) 記作________，
讀作_______________.
問題2：類比以上研究，完成下列填空.
(1) (-2)×(-2)×(-2)×(-2) 記作________，
讀作_____________；
(-2)4
-2 的四次方
根據問題 1、問題 2 你能總結出什么規律？
的五次方
(-2)4 與 -24 一樣嗎？為什么？
定義總結
一般地，n 個相同的乘數 a 相乘，即 ，
記作_____，讀作___________.
a 的 n 次方
n個
a · a · … · a
an
表示 n 個 a 相乘
n 個
a · a · … · a = an
求 n 個相同乘數的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫做冪.
冪
_____運算：
乘方
a 的 n 次冪
冪
指數
乘數的個數
底數
乘數
n 個
an = a · a · … · a
注意
一個數可以看作是這個數本身的一次方， a1 就是 a，指數 1 通常省略不寫.
定義總結
1. (1) (－5)2 的底數是_____，指數是_____，(－5)2表示
2 個_____相乘，讀作_____的 2 次方，也讀作
－5 的_____________.
(2) 表示 個 相乘，讀作 的 次方，也讀作
的 次冪，其中 叫做 ，6 叫做 .
－5
2
－5
－5
2 次冪或平方
6
6
6
底數
指數
練一練
例1 計算：
（1）(-2)3； （2）(-2)4； （3）(-2)5.
解：（1）(-2)3 = (-2)(-2)(-2) = -8；
思考 (-2)3 與 -23 的意義是否相同？(-2)4 與 -24 呢？
你發現正負數次冪有什么規律嗎？
有理數乘方的運算
2
（3）(-2)5=(-2)(-2)(-2)(-2)(-2) = -32.
（2）(-2)4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16；
典例精析
方法總結
負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數.
正數的任何次冪都是正數.
根據有理數的乘法法則可以得出：
0 的任何正整數次冪都是 0.
拓展：根據任何數與零相乘，都得零.可以得出：
練一練
1. 計算：
(1) (-4)3； (2) (-3)4； (3)
解：(1) (-4)3 = (-4)×(-4)×(-4) = -64；
(2) (-3)4 = (-3)×(-3)×(-3)×(-3) = 81；
回顧導入
= 9 223 372 036 854 775 808 個米粒
故事：國王賞不起的米
263
第 64 格
21
第 2 格
22
第 3 格
23
第 4 格
總共
21 + 22 + 23 +…+ 263
= 264 - 1
(點此看推導過程)
= 264 - 1
設 S = 1 + 21 + 22 + 23 +…+ 263，
則 2S = 2×(1 + 21 + 22 + 23 +…+ 263)
= 2×1 + 2×21 + 2×22 + 2×23 +…+ 2×263
= 21 + 22 + 23 + 24 +…+ 264.
2S - S = (21 + 22 + 23 +…+ 264) - (1 + 21 + 22 + 23 +…+ 263)
S = 264 - 1.
拓展提升
所以 1 + 21 + 22 + 23 +…+ 263 = 264 - 1.
返回
拓展提升
試求：31 + 32 + 33 +…+ 333 = .
解：設 S = 31 + 32 + 33 +…+ 333，
則 3S = 3×(31 + 32 + 33 +…+ 333)
= 3×31 + 3×32 + 3×33 +…+ 3×333
= 32 + 33 + 34 +…+ 334.
3S - S = (32 + 33 + 34 +…+ 334) - (31 + 32 + 33 +…+ 333)
2S = 334 - 3.
返回
一般地，n 個相同的因數a相乘，即
乘方
符號規律
負數的奇次冪是______，負數的偶次冪是_______，正數的任何次冪都是______，0 的任何正整數次冪都是_____
求 n 個相同因數的___的運算叫做乘方，乘方的結果叫____；在 an 中，a叫做____，n 叫做______
n 個
a · a · … · a
記作：__________
讀作：_____________
負數
正數
正數
0
積
冪
底數
指數
a 的 n 次方
an
1. 下列各組運算中，結果相等的是( )
A. -32 與 -23
B. -23 與 (-2)3
C. -32 與 (-3)2
D. (-3×2)2 與 -3×22
B
2. 如果一個數的 15 次冪是負數，那么這個數的 2 025 次冪是_________. (填“正數”“負數”或“0”)
負數
3. 填表：
底數 －1 2 10
指數 3 5 4
冪的形式 (－2)4 0.34
(－1)3
25
－2
4
0.3
4
104
4. 厚度是 0.1 毫米的足夠大的紙，將它對折 1 次后，厚度為 0.2 毫米.
(1) 對折 3 次后，厚度為多少毫米
(2) 對折 7 次后，厚度為多少毫米
(3) 利用計算器計算：對折 30 次后，厚度為多少米？是否超過珠峰的高度（8848.86 米）？
答案：(1) 0.8 毫米.
(2) 12.8 毫米.
(3) 107374.1824 米，超過了珠峰的高度.

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