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專題13 機械能守恒定律
課標要求 知識要點 命題推斷
1.掌握重力勢能、彈性勢能的概念，并能計算. 2.掌握機械能守恒的條件，會判斷物體的機械能是否守恒. 3.掌握機械能守恒定律的三種表達形式，理解其物理意義，并能熟練應用． 考點一　機械能守恒的判斷 考點二　機械能守恒定律的應用 考點三　多物體機械能守恒問題 題型：選擇題 計算題 1判斷物體和系統機械能守恒 2單個物體的機械能守恒問題 3輕繩連接的物體系統 4輕桿連接的物體系統 5輕彈簧連接的物體系統 6“鏈條”類問題
考點一　機械能守恒的判斷
1．內容
在只有重力或彈力做功的物體系統內，動能與勢能可以相互轉化，但機械能的總量保持不變．
2．條件
只有重力或彈力做功．
3．判斷方法
(1)用定義判斷：若物體動能、勢能均不變，則機械能不變．若一個物體動能不變、重力勢能變化，或重力勢能不變、動能變化或動能和重力勢能同時增加(減少)，其機械能一定變化．
(2)用做功判斷：若物體或系統只有重力(或彈簧的彈力)做功，雖受其他力，但其他力不做功，機械能守恒．
(3)用能量轉化來判斷：若物體或系統中只有動能和勢能的相互轉化而無機械能與其他形式的能的轉化，則物體或系統機械能守恒．
(4)對多個物體組成的系統，除考慮外力是否只有重力做功外，還要考慮系統內力做功，如有滑動摩擦力做功時，因摩擦生熱，系統機械能將有損失．
考點二　機械能守恒定律的應用
機械能守恒的三種表達式
1．守恒觀點
(1)表達式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2.
(2)意義：系統初狀態的機械能等于末狀態的機械能．
(3)注意：要先選取零勢能參考平面，并且在整個過程中必須選取同一個零勢能參考平面．
2．轉化觀點
(1)表達式：ΔEk＝－ΔEp.
(2)意義：系統的機械能守恒時，系統增加(或減少)的動能等于系統減少(或增加)的勢能．
3．轉移觀點
(1)表達式：ΔEA增＝ΔEB減．
(2)意義：若系統由A、B兩部分組成，當系統的機械能守恒時，則A部分機械能的增加量等于B部分機械能的減少量．
考點三　多物體機械能守恒問題
1．解決多物體系統機械能守恒的注意點
（1）對多個物體組成的系統要注意判斷物體運動過程中，系統的機械能是否守恒。
（2）注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關系和位移關系。
（3）列機械能守恒方程時，一般選用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．幾種實際情景的分析
（1）速率相等情景
用好兩物體的位移大小關系或豎直方向高度變化的關系。
（2）角速度相等情景
桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒。
（3）關聯速度情景
兩物體速度的關聯實質：沿繩（或沿桿）方向的分速度大小相等。
（2024 浙江模擬）如圖，在一水平地面上有一軌道，其內部有一質量不計的輕彈簧，彈簧勁度系數為k。其正上方有一質量為m的小球由靜止釋放，恰好可進入管道內部。若忽略空氣阻力與摩擦力，則下列說法正確的是（　　）
A．小球運動過程中，其機械能守恒
B．小球最大速度
C．小球下落最大距離
D．小球最大加速度
【解答】解：A．小球未接觸到彈簧過程中，只有重力做功，機械能守恒，與彈簧接觸后彈簧彈力做功，小球的機械能不守恒，故A錯誤；
B．當小球的加速度為零時，速度達到最大，即
mg＝kx
聯立可得
故B正確；
C．當小球速度減為零時，下落的距離最大，則
所以小球下落最大距離為
故C錯誤；
D．當小球運動到最低點時加速度最大，則
kx'﹣mg＝ma
解得
故D錯誤。
故選：B。
（2024 南通模擬）彈球游戲裝置結構如圖，輕質彈簧下端固定在光滑斜面底部，彈簧處于原長時上端在O點。小球將彈簧壓縮到A點（未栓接）由靜止釋放后，運動到B點速度為零。以O點為坐標原點，沿斜面向上為正方向建立x軸，小球上升過程的速度v、加速度a、動能Ek及其機械能E隨位置坐標x的變化規律可能正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．設O點速度為v，小球由O到B的過程中由動能定理
解得
圖像中過O點后應為曲線，故A錯誤；
B．設A點的彈性勢能為EPA，小球在恢復原長過程中由能量轉化與守恒定理可知
整理可得
可知在O點前圖像應為開口向下的拋物線
由O到B的過程中動能定理可知
圖像為直線，故B正確；
C．設彈簧原長為x0小球由A運動到O點的過程中受力分析，根據牛頓第二定律列式
k（x0﹣x）﹣mgsinθ＝ma
隨著彈簧形變量減小，彈簧彈力減小，小球加速度逐漸變小；當a＝0時物體達到最大速度此時受力分析可知
k（x0﹣x）＝mgsinθ
此后小球會做變減速運動直至到達O點受力分析可知
mgsinθ﹣k（x0﹣x）＝ma
分析可知加速度逐漸變大；
小球由O到B的過程中，彈簧彈力為零受力分析可知
mgsinθ＝ma
從O點開始物體做勻減速直線運動圖像應為直線，故C錯誤；
D．設A點的彈性勢能為EPA，小球在恢復原長過程由能量轉化與守恒定理可知
整理可得
圖像為開口向下的拋物線，故D錯誤。
故選：B。
（2024 衡陽縣校級模擬）如圖甲所示，電影飛馳人生中的巴音布魯克賽道以彎多兇險著稱，某段賽道俯視圖如圖乙所示，其中A、B、C、D四個彎道處地面均水平，半徑分別為2r、3r、4r、r。賽車受到的最大靜摩擦力與重力的比值恒定不變，則當賽車勻速率地通過圓弧形路段時，賽車的側向摩擦力達到最大時的最大速度稱為臨界速度。賽車可視為質點，在賽車通過A、B、C、D四個彎道處時，下列說法正確的是（　　）
A．賽車所受的合力為零
B．賽車在C處彎道行駛時，其臨界速度最大
C．若賽車從A處勻速率運動D處，則在C處最容易發生事故
D．若賽車均以臨界速度通過各處彎道，則賽車在D處的機械能一定大于A處的
【解答】解：A、汽車做曲線運動，合力不為零，故A錯誤；
B、根據，在最大靜摩擦力恒定的條件下，彎道半徑與賽車的臨界速度成正比。因此，賽車在C處較大彎道行駛時，臨界速度達到峰值；而在D處較小彎道，臨界速度則降至最低，故B正確；
C、D處彎道擁有最小的臨界速度，該處成為賽車行駛中最易發生事故的危險區域，故C錯誤；
D、賽車在D處臨界速度小于在A處臨界速度，則EkA＞EkD，而重力勢能EpA＜EpD，故無法比較賽車在兩處的機械能大小，故D錯誤。
故選：B。
（2024 重慶三模）“兩江四岸”煙花活動中，某同學用手機錄制了一段煙花運動視頻，經電腦處理得到某一煙花的運動軌跡如圖所示，其中最高點b切線水平，c點切線豎直，由圖可知（　　）
A．該煙花由a點運動到c點過程中，水平方向勻速運動
B．該煙花由b點運動到c點過程中，其機械能守恒
C．該煙花在點b的加速度方向豎直向下
D．該煙花在點b處于失重狀態
【解答】解：A.軌跡圖顯示，該煙花在c點的水平速度為零，可知該煙花在運動過程中受到空氣阻力影響，水平方向減速運動，故A錯誤；
B.空氣阻力對該煙花做負功，該煙花從b點運動到c點過程中，其機械能不守恒，故B錯誤；
CD.該煙花在b點時，水平方向速度不為零，水平方向所受空氣阻力不為零，煙花在b點受到水平向左的阻力和重力作用，其合力指向左下方，根據牛頓第二定律可知，煙花在b點的加速度方向不是豎直向下，但是有豎直向下的加速度分量，故而處于失重狀態，故C錯誤，D正確。
故選：D。
（2024 四川模擬）如圖所示，一輕質桿長為R，一端可繞光滑轉軸O轉動，另一端安裝一質量為m的小球（可視為質點），輕質彈簧原長為L0＝2R，一端系于A點，另一端與小球相連，A、B、O、C四點在同一水平線上，∠QOB＝∠POB＝∠POD＝60°，從C點現給小球一初速度，小球可在豎直平面內沿順時針方向做完整的圓周運動，途經C、D、P、B、Q五點，測得小球經過P點時的速度大小為v，重力加速度大小為g（整個過程輕質彈簧始終處于彈性限度內），下列說法正確的是（　　）
A．小球在運動過程中的機械能守恒
B．小球經過Q點時速度大小為
C．小球經過D點和P點時動能相同
D．小球經過P點時所受的合力為零
【解答】解：A、小球和彈簧組成的系統只有系統內的彈簧彈力與小球的重力做功，故此系統滿足機械能守恒定律，因小球在運動過程中彈簧的彈性勢能發生變化，故小球的機械能發生變化，故A錯誤；
B、小球和彈簧組成的系統機械能守恒，由幾何關系可知在Q點和P點彈簧長度相等，且PQ的距離為，則在這兩點彈簧的形變量與彈性勢能相同，根據機械能守恒定律得：
，解得：，故B正確；
C、D點和P點高度相同，小球在這兩點時重力勢能相等。因幾何條件不足，無法判斷AP與AD的長度與彈簧原長的關系，故無法確定在這兩點對應的彈性勢能的大小關系，則不能確定小球經過D點和P點時動能大小關系，故C錯誤；
D、小球做圓周運動，具有向心加速度，無論彈簧彈力如何，小球經過P點時加速度不為零，故小球經過P點時所受的合力不為零，故D錯誤。
故選：B。
（2024 樂清市校級三模）羽毛球運動是一項深受大眾喜愛的體育運動。某同學為研究羽毛球飛行規律，找到了如圖所示的羽毛球飛行軌跡圖，圖中A、B為同一軌跡上等高的兩點，P為該軌跡的最高點，則該羽毛球（　　）
A．在A、B兩點的速度大小相等
B．整個飛行過程中經P點的速度最小
C．AP段的飛行時間大于PB段的飛行時間
D．在A點的機械能大于B點的機械能
【解答】解：AD．羽毛球在運動過程中受到空氣阻力作用，機械能減小，A點的機械能大于B點的機械能，A點速度大于B點的速度，故A錯誤，D正確；
B．當羽毛球所受重力與阻力的合力方向與速度方向垂直時，羽毛球的速度最小，而在最高點P時，合力方向與速度夾角為鈍角，說明羽毛球速度最小應該在P點之前，故B錯誤；
C．AP段羽毛球處于上升階段，由于存在空氣阻力作用，其豎直向下的加速度大于重力加速度，而PB段羽毛球處于下降階段，加速度小于重力加速度，由于位移大小相等，所以AP段的飛行時間小于PB段的飛行時間，故C錯誤。
故選：D。
（2024 蘇州校級二模）如圖甲，將物塊從傾角θ＝30°的斜面頂端由靜止釋放。取地面為零勢能面，物塊在下滑過程中的動能Ek、重力勢能Ep與下滑位移x間的關系如圖乙所示，取g＝10m/s2，下列說法錯誤的是（　　）
A．物塊的質量是0.2kg
B．物塊受到的阻力是0.24N
C．物塊動能與勢能相等時的高度為2.4m
D．物塊下滑9m時，動能與重力勢能之差為3J
【解答】解：A．由圖知，小球下滑的最大位移為x＝12m，在最高點時，小球的重力勢能Ep＝12J，則有：Ep＝mgxsin30°，解得：m＝0.2kg，故A正確；
B．根據除重力以外其他力做的功等于機械能的變化W其＝ΔE得：fx＝E高﹣E低
由圖知，最高點的機械能為：E高＝12J，最低點的機械能為：E低＝8J，又x＝12m
解得阻力為：fN，故B錯誤；
C．設小球動能和重力勢能相等時的高度為h，此時有：mgh
由動能定理得：﹣f（x）+mg（xsin30°﹣h），其中x＝12m
聯立解得：h＝2.4m，故C正確；
D．由圖可知，在物塊下滑9m處，小球的重力勢能是3J，動能為：Ek6J
動能與重力勢能之差為：ΔE′＝6J﹣3J＝3J，故D正確。
本題選錯誤的，故選：B。
（2024 黑龍江模擬）如圖所示，一高為h＝1.5m，傾角為θ＝37°的斜面體固定在水平地面上，一質量為m＝1kg、長度為L＝0.85m的薄木板B置于斜面頂端，薄木板下端連接有一根原長為L0＝0.1m的輕彈簧，恰好能保持靜止。一質量為M＝2kg的小物塊A從斜面體左側以v0＝1.2m/s的初速度水平拋出，經一段時間后恰好從斜面頂端沿平行于斜面方向落到薄木板上，當薄木板下滑到斜面底端碰到擋板時立刻停下，小物塊A最后恰好能脫離彈簧，且彈簧被壓縮時一直處于彈性限度內。已知A、B之間的動摩擦因數，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，不計空氣阻力，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）小物塊A水平拋出的高度H；
（2）薄木板與擋板碰撞前瞬間，薄木板和小物塊的速度大小；
（3）彈簧被壓縮到最短時的彈性勢能。
【解答】解：（1）把物塊A剛落在薄木板B上的速度分解，則豎直方向的速度
物塊從拋出到落到B上過程做平拋運動，豎直方向：
代入數據可得：H＝1.5405m
（2）設薄木板B與斜面的動摩擦因數為μ1，薄木板B置于斜面恰好能保持靜止，由力的平衡有：μ1mgcosθ＝mgsinθ，可得μ1＝tanθ
設物塊A剛落到薄木板B的速度為v1，則
因為μ1＝tanθ，可知A、B整體沿斜面方向的合力為零，所以兩物體組成的系統在沿斜面方向動量守恒，
設兩物體共速時的速度為v共，取沿斜面向下為正方向，則有：Mv1＝（M+m）v共
代入數據可得：v共＝1m/s
物塊A在薄木板上滑動過程，對A由牛頓第二定律有：μMgcosθ﹣Mgsinθ＝MaA，可得
對B由牛頓第二定律有：mgsinθ+μMgcosθ﹣μ1（M+m）gcosθ＝maB，可得
物塊A從滑上薄木板B到兩者共速過程，物塊A的位移：
則薄木板B的位移：
xA﹣xB＝0.625m﹣0.25m＝0.375m，L﹣L0＝0.85m﹣0.1m＝0.75m，可知xA﹣xB＜L﹣L0，所以當物塊A與薄木板B共速時，物塊A還沒有與彈簧接觸，之后兩物體一起做勻速直線運動，可知薄木板與擋板碰撞前瞬間，薄木板和小物塊的速度大小為1m/s；
（3）兩物體共速時，物塊A到彈簧的長度：x＝L﹣L0﹣（xA﹣xB）＝0.75m﹣0.375m＝0.375m
薄木板碰到擋板時立刻停下，物塊A繼續向下做減速運動，與彈簧接觸后壓縮彈簧，速度減為零，然后反向運動，彈簧恢復原長時，物塊A的恰好為零，設彈簧最大壓縮量為xm
從薄木板碰到擋板到彈簧恢復原長過程，由動能定理有：
代入數據可得：
從彈簧被壓縮到最短到彈簧恢復原長過程，由動能定理有：﹣Mgxmsinθ﹣μMgxmcosθ+W彈＝0﹣0
由功能關系可知彈簧彈力做功：W彈＝EPm﹣0
代入數據可得彈簧被壓縮到最短時的彈性勢能：
答：（1）小物塊A水平拋出的高度H為1.5405m；
（2）薄木板與擋板碰撞前瞬間，薄木板和小物塊的速度大小為1m/s；
（3）彈簧被壓縮到最短時的彈性勢能為。
（2024 樂清市校級三模）某景區向社會征集一個水上樂園設計建議。某校科技小組設計了一套方案，其簡化原理如圖。甲、乙、丙由混凝土澆筑而成，其中甲上部為半徑為R1＝10m的圓弧面，圓心角θ1＝53°；乙上部為兩個半徑均為R2＝10m、圓心角為θ2＝37°的圓弧面平滑連接，EF等高。BC距離L1＝10m，其間有水下固定平臺，其周圍的水可在水泵驅動下循環流動，方向如箭頭所示，速度v大小可調，平臺上方各處速度均可視為相同。乙下方為有孔隔板，可大幅減小左側水域流動對右側水域的影響，乙丙之間水域可視為靜水，上浮質量為M＝100kg、長為L＝6m的可動浮臺。現有一游客乘坐特定裝置（人和該裝置視為質點并標注為P，總質量為m＝60kg），P從A點靜止釋放，依次通過ABCDE，最后通過可動浮臺，到達終點平臺丙完成游戲。可動浮臺觸碰平臺丙時瞬間自動鎖定。由于出發時P干燥，AB段摩擦不可忽略，P在B點時對軌道的壓力為1.5mg，在BC間與水有相對運動時，受水平方向的恒力F＝0.5mg，在CDE段因經左側水域而濕潤，摩擦可忽略，與可動浮臺動摩擦因數為μ＝0.1。不考慮P和可動浮臺入水后的水下部分以及水位上升和波動帶來的影響。
（1）求B點速度大小和AB段因摩擦而產生的熱量。
（2）CDE段恰不脫離脫離軌道，求P在C點和E點的速度。
（3）若忽略可動浮臺與水面的阻力，為使P在CDE段恰不脫離脫且不能在EF間落水，求BC間水速的調節范圍。
【解答】解：（1）設P在B點的速度為vB，根據題意可得
解得
P從A到B的過程中，根據能量守恒定律
聯立上述各式解得
Q＝900J
（2）在D點時，則有
解得
從C到D的過程中，根據機械能守恒定律可得
解得
同理，從D到E則有
解得
（3）由上述分析可知，在不脫離CDE的情況下，E點的速度滿足
考慮EF間不落水，恰至邊緣二者共速，取向右為正方向，有
mvE＝（M+m）v
解得
若二者提前共速，后滑動到終點，取向右為正方向，有
mvE＝（M+m）v'
2μg（L﹣x）＝v'2
解得
從C到E
對應C點的速度為
即
9.78m/s≤vC≤9.96m/s
若在BC過程一直加速，則有
F＝0.5mg＝ma
解得
若一直減速，則不可能達到C點。綜上所述，可調節的水流速度
9.78m/s≤v≤9.96m/s
答：（1）B點速度大小和AB段因摩擦而產生的熱量900J。
（2）CDE段恰不脫離脫離軌道，P在C點和E點的速度分別為，。
（3）若忽略可動浮臺與水面的阻力，為使P在CDE段恰不脫離脫且不能在EF間落水，BC間水速的調節范圍9.78m/s≤vC≤9.96m/s。
（2024 魏都區校級三模）如圖所示，一輕彈簧原長L＝2m，其一端固定在傾角為θ＝37°的固定斜面AF的底端A處，另一端位于B處，彈簧處于自然伸長狀態，斜面AF長x＝3m。在FC間有一上表面與斜面平行且相切的傳送帶，且FC長x0＝4m，傳送帶逆時針轉動，轉動速度為4m/s。傳送帶上端通過一個光滑直軌道CH與一個半徑為的光滑圓弧軌道DH相切于H點，且D端切線水平，A、B、C、D、F、H均在同一豎直平面內，且D、C在同一豎直線上。質量為m＝5kg的物塊P（可視為質點）從C點由靜止釋放，最低到達E點（未畫出），隨后物塊P沿軌道被彈回，最高可到達F點。已知物塊P與傳送帶間的動摩擦因數為，與斜面間的動摩擦因數為，重力加速度g＝10m/s2，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，彈簧始終在彈性限度內。
（1）求BE間距離x及物塊P運動到E點時彈簧的彈性勢能Ep；
（2）改變物塊P的質量，并將傳送帶轉動方向改為順時針，轉動速度大小不變。將物塊P推至E點，從靜止開始釋放，在圓弧軌道的最高點D處水平飛出后，恰好落于F點，求物塊運動到D點的速度vD。
【解答】解：（1）當物塊P在傳送帶上運動時，受到沿傳送帶向下的滑動摩擦力，由牛頓第二定律得
mgsinθ+μ1mgcosθ＝ma
解得物塊的加速度大小為：a＝12m/s2
物塊做勻加速直線運動，當物塊速度達到4m/s時，其位移為
故物塊P到達F點前已經與傳送帶達到了共同速度。
因，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，所以物塊P與傳送帶達到共同速度后一起做勻速直線運動到F點。
設BE長為L0，物塊從F點運動到E點的過程中，由能量守恒定律有
物塊P被彈回，從E點運動到F點的過程中，由能量守恒定律有
mg（x﹣L+L0）sinθ+μ2mg（x﹣L+L0）cosθ＝Ep
聯立解得：L0＝1m，Ep＝80J
（2）由題意可知，物塊從D點做平拋運動落于F點，設過D點的速度為vD，則根據平拋運動的規律得
水平方向上有
x0cosθ＝vDt
豎直方向上有
聯立解得：vD＝4m/s
答：（1）BE間距離x為1m，物塊P運動到E點時彈簧的彈性勢能Ep為80J；
（2）物塊運動到D點的速度vD為4m/s。
題型1判斷物體和系統機械能守恒
（2024 鎮海區校級模擬）如圖所示，小紅拎著一個質量為m的電腦包以速率v勻速直線上樓，手對包的拉力大小為T。對這一過程，下列說法正確的是（　　）
A．拉力對包不做功
B．拉力對包做正功
C．電腦包所受合外力為零，機械能守恒
D．重力對包做功的瞬時功率大小為P＝mgv
【解答】解：AB．根據題意，由平衡條件可知，手對包的拉力豎直向上，包的位移斜向上，兩方向夾角α為銳角，根據功的公式W＝Fscosα可知，拉力對包做正功，故A錯誤，B正確；
C．電腦包勻速運動，處于平衡狀態，所受合外力為零，電腦包勻速上升的過程中，動能不變，重力勢能增加，機械能不守恒，故C錯誤；
D．設樓梯所在斜面與水平面的夾角為θ，則重力對包做功的瞬時功率為：
P＝mgvsinθ
由于sinθ＜1，所以重力對包做功的瞬時功率大小小于mgv，故D錯誤。
故選：B。
下列過程中機械能守恒的是（　　）
A．跳傘運動員勻速下降的過程
B．小石塊做平拋運動的過程
C．子彈射穿木塊的過程
D．木箱在粗糙斜面上滑動的過程
【解答】解：A、運動員動能不變，但高度下降，故重力勢能減小，故機械能不守恒，故A錯誤；
B、石塊在平拋運動過程中只有重力做功，故機械能守恒，故B正確；
C、子彈穿過木塊時由于摩擦力做功，故有內能產生，故機械能不守恒，故C錯誤；
D、木箱在粗糙斜面上運動時，由于摩擦力做功，故有內能產生，機械能不守恒，故D錯誤；
故選：B。
（多選）如圖固定斜面體的傾角為θ＝37°，其上端固定一個光滑輕質滑輪，兩個物體A、B通過不可伸長的輕繩跨過滑輪連接，質量相等，A物體塊與斜面間的動摩擦因數μ＝0.25，現從靜止釋放兩物體，已知B落地后不再彈起，A最終拉緊輕繩并停止運動，則下列說法正確的是（　　）
A．物體B下落的過程中機械能減小
B．物體A沿斜面向上運動過程中機械能一直增加
C．物體A沿斜面向上運動過程中機械能一直減小
D．物體A在整個運動過程中機械能先增加后減小
【解答】解：A、B在下落過程，繩子拉力做負功，則機械能減小。則A正確
B、C、A沿斜面向上運動過程中拉力與摩擦力的合力做正功，則機械能增加，則B正確，C錯誤
D、B落地后，A所受摩擦力做負功，則機械能減小，則D正確
故選：ABD。
題型2單個物體的機械能守恒問題
（2024 湖北三模）2023年9月，中國選手張博恒奪得杭州亞運會體操單杠冠軍，如圖所示其雙手抓住單杠，其重心以單杠為軸在豎直平面內做圓周運動，重心到單杠的距離R＝1m，重心從單杠正上方A點轉至B點時松手脫離單杠，OB與豎直方向的夾角θ＝53°，重心經過E點與B點等高，最后落到地面D點。已知他的質量m＝60kg，從B到E的時間為0.96s，g取10m/s2，忽略空氣阻力，不考慮一切摩擦和體能的消耗與轉化。下列說法正確的是（　　）
A．他在A到B點過程機械能不守恒，B到D過程機械能守恒
B．他在B點的速度為6m/s
C．他在A到B運動過程中手臂的最大拉力為2640N
D．OB與豎直方向的夾角θ越大，BD之間水平距離越遠
【解答】解：A.由于忽略空氣阻力，不考慮一切摩擦，則整個過程只有重力做功，整個過程中滿足機械能守恒，故A錯誤；
B.從B到E的時間為0.96s，根據斜上拋運動的速度規律，有10m/s＝4.8m/s，m/s＝6m/s，故B正確；
C.豎直面內圓周運動的最低點拉力最大，設最大拉力為Tm，根據牛頓第二定律
從最低點到B點，根據動能定理
解得Tm＝3240N，故C錯誤；
D.當 θ＝90o 時，人做豎直上拋運動，則BD之間水平距離為零，故D錯誤。
故選：B。
（2024 湖北二模）如圖所示，懸掛點O通過輕繩連接了一個質量為m的小球，O點到水平地面的高度為h。輕繩的長度L可以變化，且h。現將小球拉至與O點等高處且輕繩繃直，由靜止釋放小球，當輕繩擺至豎直狀態時，靠近O點處固定的一個刀片割斷輕繩，小球平拋落至地面。改變繩長L，重復上述過程，則隨著L的逐漸增大，從小球由靜止釋放到落地的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．輕繩割斷前的彈力大小均不相同
B．小球落地前瞬間速度均相同
C．重力的瞬時功率一直在增大
D．小球平拋運動水平位移先增大后減小
【解答】解：A.小球做圓周運動的過程中，由動能定理，在最低點，得T＝3mg，與繩長L無關，故A錯誤；
B.根據動能定理，落地前瞬間小球的速度大小相同，但是方向不同，故B錯誤；
C.在圓周運動階段，初始位置和最低點豎直分速度均為0，重力功率先增大后減小，故C錯誤；
D.平拋運動階段，由x＝vt，，可得，當 時，x有最大值，故x先增大后減小，故D正確。
故選：D。
（2024 青島三模）某同學研究碰撞中動能損失的裝置如圖所示，豎直面內，光滑弧形軌道AB和光滑圓弧軌道CD分別與水平粗糙軌道BC相切于B和C點，圓弧半徑R＝0.4m，BC長L＝2m。某次實驗中，將質量m＝0.4kg的滑塊從弧形軌道上高h＝1.4m處靜止釋放，滑塊第一次通過圓弧軌道最高點Q時對軌道的壓力大小F＝4N，此后，滑塊與水平軌道發生時間極短的碰撞后速度方向豎直向上，進入軌道后滑塊剛好能夠通過Q點。滑塊可視為質點，重力加速度g＝10m/s2。求：
（1）滑塊與水平軌道間的動摩擦因數μ：
（2）碰撞過程中動能的損失率η（動能損失量與碰前動能的百分比）。
【解答】解：（1）滑塊第一次通過Q時，由牛頓第三定律知滑塊所受軌道的彈力大小為
F′＝F＝4N
對滑塊，由牛頓第二定律有
代入數據解得：
從釋放到Q，由動能定理有
代入數據解得：μ＝0.1
（2）滑塊在D點正下方與水平軌道碰撞，設滑塊碰前與碰后的動能分別為Ek1和Ek2。
從Q到碰前，由機械能守恒定律有
滑塊第二次通過Q時，所受軌道的彈力為零，由重力提供向心力，根據牛頓第二定律有
代入數據解得：v2Q＝2m/s
從碰后到Q，由機械能守恒定律有
所以碰撞過程中動能的損失率η100%
聯立解得：η≈16.7%
答：（1）滑塊與水平軌道間的動摩擦因數μ為0.1；
（2）碰撞過程中動能的損失率η為16.7%。
題型3輕繩連接的物體系統
（2024春 泉州期末）如圖，一足夠長的輕繩跨過輕質定滑輪，繩的兩端各系一個小球A和B，A球的質量為3kg，B球的質量為1kg。先用手托住A球，使兩邊輕繩剛好豎直繃緊，此時A球離地面的高度h＝0.4m，B球靜止于地面。忽略一切阻力，取重力加速度g＝10m/s2，現無初速度釋放A球，則B球上升的最大高度為（　　）
A．1.2m B．0.8m C．0.6m D．0.4m
【解答】解：從釋放到A球落地，由動能定理得
解得
v＝2m/s
A球落地后，B球繼續上升，則
0﹣v2＝﹣2gh'
解得
h'＝0.2m
B球上升的最大高度為
H＝h+h'＝0.2m+0.4m＝0.6m
故ABD錯誤，C正確。
故選：C。
（2024春 即墨區校級期末）如圖，圓環A和B分別套在豎直桿和水平桿上，A、B兩環用一不可伸長的輕繩連接。初始時，在外力作用下A、B兩環均處于靜止狀態，輕繩處于伸直狀態且與豎直桿夾角為60°。撤去外力后，小環A和B各自沿著豎直桿和水平桿運動。已知A、B兩環的質量均為m，繩長為l，重力加速度為g，不計一切摩擦。下列說法正確的是（　　）
A．若外力作用在A上，則外力大小為2mg
B．若外力作用在B上，且B環不受桿的彈力，則外力大小為mg
C．輕繩與豎直桿夾角為37°時，小環A的速率為
D．輕繩與豎直桿夾角為37°時，小環B的速率為
【解答】解：A．若外力作用在A上，對B受力分析可知，繩子的拉力為零，對A分析，由于A靜止，故合力為零，施加的外力等于A環的重力，故外力大小為
F＝mg
方向豎直向上，故A錯誤；
B．若外力作用在B上，對A受力分析可得
FTcos60°＝mg
解得繩子的拉力為
FT＝2mg
B環不受桿的彈力，則外力大小為
解得
故B錯誤；
CD．將A、B的速度分解為沿繩的方向和垂直于繩子的方向，兩物體沿繩子方向的速度大小相等，有
vAcos37°＝vBsin37°
在運動過程中，A、B組成的系統機械能守恒，則
解得
，
故C正確，D錯誤。
故選：C。
（多選）（2024春 重慶期末）如圖所示，一輕繩跨過定滑輪分別懸掛重物A、B，A的質量是2m，B的質量是m。開始時A、B在外力作用下處于靜止狀態，且輕繩繃緊。現撤去外力，從靜止釋放A，經過一段時間A豎直下落的高度為h。不計一切阻力，重力加速度為g，下列說法正確的是（　　）
A．下落高度h時，重物A的速度大小為
B．下落h過程中，重物A的機械能減少
C．下落h過程中，重物B的機械能增加
D．下落h過程中，重物A、B系統的機械能減少
【解答】解：AD．對AB系統下落高度h時只有重力對系統做功，則系統機械能守恒，根據機械能守恒定律
解得重物A的速度大小為
故A正確，D錯誤；
B．下落h過程中，重物A的機械能減少
故B正確；
C．因AB系統機械能守恒，可知下落h過程中，重物B的機械能增加，故C錯誤。
故選：AB。
題型4輕桿連接的物體系統
（2024春 江岸區期末）圖甲為科技活動節學生自制小型拋石機。首先將石塊放在長臂一端的凹槽中，在短臂端固定重物，發射前將長臂端往下拉至地面，然后突然松開，凹槽中的石塊過最高點時就被拋出。現將其簡化為如圖乙所示的模型，將一質量m＝10g的小石塊（可視為質點）裝在長L1＝10cm的長臂末端的凹槽中，質量為M的重物裝在長L2＝2cm的短臂末端的筐子內。初始時長臂與水平面的夾角為30°，松開后長臂與短臂轉至豎直位置時，石塊被水平拋出，落在水平地面上，測得石塊落地點與O點的水平距離為x＝30cm。此過程中，重物沒有從筐中灑落，不計空氣阻力，不考慮桿與轉軸的摩擦力。取地面為零勢能面，重力加速度大小g＝10m/s2，下列說法正確的是（　　）
A．重物的質量M＝125g
B．石塊著地時，重力做功的功率為PW
C．石塊被水平拋出時的動能為Ek＝1.5×10﹣1J
D．重物重力勢能的減少量等于石塊機械能的增加量
【解答】解：BC．石塊被水平拋出時的高度為
h＝L1+L1sin30°＝10cm+10cm×0.5＝15cm
重力勢能增加量為
石塊被水平拋出后做平拋運動，水平方向有
豎直方向有
聯立解得
石塊被水平拋出時的動能為
石塊著地時重力的功率為
解得
故BC錯誤；
AD．石塊從最低點到最高點的過程中，由能量守恒有，重物重力勢能的減小量等于石塊動能和勢能的增加量和重物動能增加量之和，而
Ep重＝Mg（L2+L2sin30°）
且
Ep重＝Ek+Ek重+Ep石
根據
解得
M＝125g
故A正確，D錯誤。
故選：A。
（多選）（2024春 新鄭市校級期末）如圖所示，滑塊A、B的質量均為m，A套在固定傾斜直桿上，傾斜直桿與水平面成45°角，B套在固定水平直桿上，兩直桿分離不接觸，兩直桿間的距離忽略不計且桿足夠長，A、B通過鉸鏈用長度為L的剛性輕桿（初始時輕桿與水平面成30°角）連接，A、B從靜止釋放，B沿水平面向右運動，不計一切摩擦，滑塊A、B均視為質點，重力加速度大小為g，在運動的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．當A到達B所在水平面時
B．當A到達B所在水平面時，B的速度為
C．滑塊B到達最右端時，A的速度為
D．滑塊B的最大動能為
【解答】解：A、當A到達B所在水平面時，根據A沿沿剛性輕桿方向的分速度等于B的速度，如圖所示。
則有：vAcos45°＝vB，解得：，故A正確；
B、從開始到A到達B所在的水平面的過程中，A、B兩滑塊組成的系統機械能守恒，由機械能守恒定律有
mgLsin30°
結合，解得：，故B正確；
C、滑塊B到達最右端時，輕桿與傾斜直桿垂直，則此時滑塊B的速度為零，由系統機械能守恒得
解得：，故C錯誤；
D、由題意可知，B的加速度為零時，速度最大，當輕桿與水平直桿垂直時B的合力為零，速度最大，此時A的速度為零，由系統機械能守恒可得：
mgL（1+sin30°）＝EkB
解得滑塊B的最大動能為：，故D正確。
故選：ABD。
題型5輕彈簧連接的物體系統
（多選）（2024春 貴陽期末）如圖所示，豎直彈簧固定在水平地面上，彈簧的勁度系數為k，原長為l。質量為m的鋼球由彈簧正上方h高處靜止釋放，與彈簧接觸后壓縮彈簧，當彈簧壓縮量為x時，鋼球下落到最低點。不計空氣阻力和彈簧質量，重力加速度為g。則（　　）
A．鋼球下落到最低點過程中，其機械能守恒
B．鋼球距離地面時動能最大
C．鋼球下落到最低點時，其機械能最大、動能最小
D．鋼球從開始下落到最低點過程，彈簧彈力做的功為﹣mg（h+x）
【解答】解：AC．鋼球下落到最低點過程中，由于彈簧彈力對鋼球做負功，鋼球的機械能不守恒；當鋼球下落到最低點時，彈簧的彈性勢能最大，鋼球的機械能最小、動能最小，故AC錯誤；
B．當彈力等于重力時，鋼球的速度最大，動能最大，此時有
kx＝mg
解得彈簧的壓縮量為
此時鋼球離地面高度為
故B正確；
D．鋼球從開始下落到最低點過程，根據動能定理可得
mg（h+x）+W彈＝ΔEk＝0
可得彈簧彈力做的功為
W彈＝﹣mg（h+x）
故D正確。
故選：BD。
（多選）（2024春 福州期末）如圖所示，兩根輕繩連接小球P，右側繩一端固定于A點，左側繩通過光滑定滑輪B連接一物體Q，物體Q、N通過一輕彈簧連接，物體Q、N的質量均為m，整個系統處于靜止狀態時，小球P位于圖示位置，兩繩與水平方向夾角分別為37°和53°，此時物體N與地面間彈力恰好為零。現將小球P托至與A、B兩點等高的水平線上，兩繩均拉直且無彈力，釋放小球P開始運動，已知右側繩長為L，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度為g，則下列說法正確的是（　　）
A．小球P和物體Q的質量之比為5：2
B．小球P運動到圖示位置時，Q的速度大小
C．小球P從釋放到圖示位置過程中，輕繩對物體Q做的功
D．小球P從釋放到圖示位置過程中，P、Q二者機械能守恒
【解答】解：A、平衡時P左側細繩的拉力
T1＝2mg
對P分析可知
mPgcos37°＝T1
解得
mP＝2.5m
即小球P和物體Q的質量之比為5：2，故A正確；
D、小球P從釋放到圖示位置過程中，彈簧的彈力對P、Q二者的系統先做正功，后做負功，在初末兩個狀態，彈簧的彈性勢能是相同的，但在過程中機械能不守恒，故D錯誤；
B、小球P靜止時彈簧被拉長了，將小球P托至與A、B兩點等高的水平線上，兩繩均拉直且無彈力，可知彈簧被壓縮了，小球P從A、B兩點等高的水平線上釋放后繞A點做圓周運動，則到達圖中位置時小球的速度方向沿著BP方向，可知此時小球P和物塊Q速度相等，且兩個位置彈簧形變量相同，彈性勢能相同，由能量關系可知
解得
故B正確；
C、小球P從釋放到圖示位置過程中，對物塊Q根據動能定理
輕繩對物體Q做的功
故C錯誤。
故選：AB。
（2024春 建鄴區校級期末）勁度系數k＝100N/m的輕彈簧一端固定在傾角θ＝30°的固定光滑斜面的底部，另一端和質量mA＝2kg的小物塊A相連，質量mB＝2kg的小物塊B緊靠A靜止在斜面上，輕質細線一端連在物塊B上，另一端跨過定滑輪與質量mC＝1kg的物體C相連，對C施加外力，使C處于靜止狀態，細線剛好伸直，且線中沒有張力，如圖甲所示。從某時刻開始，撤掉外力，使C豎直向下運動，取g＝10m/s2，以下說法中正確的是（　　）
A．撤掉外力瞬間，A的加速度為2.5m/s2
B．當A、B恰好分離時，A的加速度為2.5m/s2
C．當A、B恰好分離時，彈簧恢復原長
D．A運動過程中的最大速度為
【解答】解：A、撤掉外力瞬間，取ABC系統
mCg＝（mA+mB+mC）a1
代入數據解得，故A錯誤；
BC、AB恰好分離時，以BC整體為研究對象有
mCg﹣mBgsinθ＝（mB+mC）a2
代入數據解得a2＝0
則A的加速度大小也為0，此時彈簧處于壓縮狀態，故BC錯誤；
D、開始AB靜止，設彈簧壓縮量為x0，則
kx0＝（mA+mB）gsinθ
代入數據解得x0＝0.2m
當加速度為0時，A的速度最大，當ABC一起加速運動位移為x時，對C受力分析有
mCg﹣T＝mCa
對AB受力分析有
T+F﹣（mA+mB）gsinθ＝（mA+mB）a
彈簧彈力大小為
F＝k（x0﹣x）
聯立解得
代入數據聯立解得a＝（2﹣20x）m/s2
當t1＝0時，加速度，當a2＝0時，位移x2＝0.1m，a﹣x圖像如圖所示，
由a﹣x圖像與坐標軸圍成的面積可計算物塊A的最大速度，則最大速度大小為
代入數據解得，故D正確。
故選：D。
題型6“鏈條”類問題
一條長為l、質量為m的均勻鏈條放在光滑水平桌面上，其中有三分之一懸在桌邊，如圖所示，在鏈條的另一端用水平力緩慢地拉動鏈條，當把鏈條全部拉到桌面上時，下列說法中正確的是（　　）
A．物體的動能增加了mgl
B．物體的重力勢能增加了mgl
C．物體的機械能減少了mgl
D．物體克服重力所做的功為mgl
【解答】解：懸在桌外的L長的鏈條重心在其中點處，離桌面的高度為：h，它的質量是 m′m。
A、緩慢地拉動鏈條，動能不變，即動能增加了0，故A 錯誤；
BD、物體的重力勢能增加了mgLmgL，即克服重力所做的功為mgL，故B錯誤D正確；
C、動能增加了0，重力勢能增加了mgL，所以機械能增加了mgL，故C錯誤；
故選：D。
如圖所示，一質量為m、長為L的均勻鏈條，一半放在傾角為30°的斜面上，另一半跨過斜面頂端（視為光滑）自然下垂，將鏈條由靜止釋放時，鏈條恰好沿豎直面下滑。假設鏈條全部脫離斜面時，鏈條各部分只有豎直方向的速度，已知重力加速度為g。求：
（1）鏈條與斜面間的動摩擦因數μ。
（2）從開始釋放到鏈條全部脫離斜面的過程中，鏈條重力勢能的減少量ΔEP。
【解答】解：（1）根據題意，鏈條由靜止釋放時，鏈條恰好沿豎直面下滑
mgmgsin30°+μmgcos30°
解得μ；
（2）根據幾何關系可知，自然下垂鏈條重心下降的高度為hL
斜面上的鏈條重心下降的高度h'LLsin30°
即整根鏈條重心下降的高度H＝h+h'
解得HL
鏈條重力勢能的減少量ΔEP＝mgHmgL；
答：（1）鏈條與斜面間的動摩擦因數μ為；
（2）從開始釋放到鏈條全部脫離斜面的過程中，鏈條重力勢能的減少量ΔEP為mgL。中小學教育資源及組卷應用平臺
專題13 機械能守恒定律
課標要求 知識要點 命題推斷
1.掌握重力勢能、彈性勢能的概念，并能計算. 2.掌握機械能守恒的條件，會判斷物體的機械能是否守恒. 3.掌握機械能守恒定律的三種表達形式，理解其物理意義，并能熟練應用． 考點一　機械能守恒的判斷 考點二　機械能守恒定律的應用 考點三　多物體機械能守恒問題 題型：選擇題 計算題 1判斷物體和系統機械能守恒 2單個物體的機械能守恒問題 3輕繩連接的物體系統 4輕桿連接的物體系統 5輕彈簧連接的物體系統 6“鏈條”類問題
考點一　機械能守恒的判斷
1．內容
在只有重力或彈力做功的物體系統內，動能與勢能可以相互轉化，但機械能的總量保持不變．
2．條件
只有重力或彈力做功．
3．判斷方法
(1)用定義判斷：若物體動能、勢能均不變，則機械能不變．若一個物體動能不變、重力勢能變化，或重力勢能不變、動能變化或動能和重力勢能同時增加(減少)，其機械能一定變化．
(2)用做功判斷：若物體或系統只有重力(或彈簧的彈力)做功，雖受其他力，但其他力不做功，機械能守恒．
(3)用能量轉化來判斷：若物體或系統中只有動能和勢能的相互轉化而無機械能與其他形式的能的轉化，則物體或系統機械能守恒．
(4)對多個物體組成的系統，除考慮外力是否只有重力做功外，還要考慮系統內力做功，如有滑動摩擦力做功時，因摩擦生熱，系統機械能將有損失．
考點二　機械能守恒定律的應用
機械能守恒的三種表達式
1．守恒觀點
(1)表達式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2.
(2)意義：系統初狀態的機械能等于末狀態的機械能．
(3)注意：要先選取零勢能參考平面，并且在整個過程中必須選取同一個零勢能參考平面．
2．轉化觀點
(1)表達式：ΔEk＝－ΔEp.
(2)意義：系統的機械能守恒時，系統增加(或減少)的動能等于系統減少(或增加)的勢能．
3．轉移觀點
(1)表達式：ΔEA增＝ΔEB減．
(2)意義：若系統由A、B兩部分組成，當系統的機械能守恒時，則A部分機械能的增加量等于B部分機械能的減少量．
考點三　多物體機械能守恒問題
1．解決多物體系統機械能守恒的注意點
（1）對多個物體組成的系統要注意判斷物體運動過程中，系統的機械能是否守恒。
（2）注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關系和位移關系。
（3）列機械能守恒方程時，一般選用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．幾種實際情景的分析
（1）速率相等情景
用好兩物體的位移大小關系或豎直方向高度變化的關系。
（2）角速度相等情景
桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒。
（3）關聯速度情景
兩物體速度的關聯實質：沿繩（或沿桿）方向的分速度大小相等。
（2024 浙江模擬）如圖，在一水平地面上有一軌道，其內部有一質量不計的輕彈簧，彈簧勁度系數為k。其正上方有一質量為m的小球由靜止釋放，恰好可進入管道內部。若忽略空氣阻力與摩擦力，則下列說法正確的是（　　）
A．小球運動過程中，其機械能守恒
B．小球最大速度
C．小球下落最大距離
D．小球最大加速度
（2024 南通模擬）彈球游戲裝置結構如圖，輕質彈簧下端固定在光滑斜面底部，彈簧處于原長時上端在O點。小球將彈簧壓縮到A點（未栓接）由靜止釋放后，運動到B點速度為零。以O點為坐標原點，沿斜面向上為正方向建立x軸，小球上升過程的速度v、加速度a、動能Ek及其機械能E隨位置坐標x的變化規律可能正確的是（　　）
A． B．
C． D．
（2024 衡陽縣校級模擬）如圖甲所示，電影飛馳人生中的巴音布魯克賽道以彎多兇險著稱，某段賽道俯視圖如圖乙所示，其中A、B、C、D四個彎道處地面均水平，半徑分別為2r、3r、4r、r。賽車受到的最大靜摩擦力與重力的比值恒定不變，則當賽車勻速率地通過圓弧形路段時，賽車的側向摩擦力達到最大時的最大速度稱為臨界速度。賽車可視為質點，在賽車通過A、B、C、D四個彎道處時，下列說法正確的是（　　）
A．賽車所受的合力為零
B．賽車在C處彎道行駛時，其臨界速度最大
C．若賽車從A處勻速率運動D處，則在C處最容易發生事故
D．若賽車均以臨界速度通過各處彎道，則賽車在D處的機械能一定大于A處的
（2024 重慶三模）“兩江四岸”煙花活動中，某同學用手機錄制了一段煙花運動視頻，經電腦處理得到某一煙花的運動軌跡如圖所示，其中最高點b切線水平，c點切線豎直，由圖可知（　　）
A．該煙花由a點運動到c點過程中，水平方向勻速運動
B．該煙花由b點運動到c點過程中，其機械能守恒
C．該煙花在點b的加速度方向豎直向下
D．該煙花在點b處于失重狀態
（2024 四川模擬）如圖所示，一輕質桿長為R，一端可繞光滑轉軸O轉動，另一端安裝一質量為m的小球（可視為質點），輕質彈簧原長為L0＝2R，一端系于A點，另一端與小球相連，A、B、O、C四點在同一水平線上，∠QOB＝∠POB＝∠POD＝60°，從C點現給小球一初速度，小球可在豎直平面內沿順時針方向做完整的圓周運動，途經C、D、P、B、Q五點，測得小球經過P點時的速度大小為v，重力加速度大小為g（整個過程輕質彈簧始終處于彈性限度內），下列說法正確的是（　　）
A．小球在運動過程中的機械能守恒
B．小球經過Q點時速度大小為
C．小球經過D點和P點時動能相同
D．小球經過P點時所受的合力為零
（2024 樂清市校級三模）羽毛球運動是一項深受大眾喜愛的體育運動。某同學為研究羽毛球飛行規律，找到了如圖所示的羽毛球飛行軌跡圖，圖中A、B為同一軌跡上等高的兩點，P為該軌跡的最高點，則該羽毛球（　　）
A．在A、B兩點的速度大小相等
B．整個飛行過程中經P點的速度最小
C．AP段的飛行時間大于PB段的飛行時間
D．在A點的機械能大于B點的機械能
（2024 蘇州校級二模）如圖甲，將物塊從傾角θ＝30°的斜面頂端由靜止釋放。取地面為零勢能面，物塊在下滑過程中的動能Ek、重力勢能Ep與下滑位移x間的關系如圖乙所示，取g＝10m/s2，下列說法錯誤的是（　　）
A．物塊的質量是0.2kg
B．物塊受到的阻力是0.24N
C．物塊動能與勢能相等時的高度為2.4m
D．物塊下滑9m時，動能與重力勢能之差為3J
（2024 黑龍江模擬）如圖所示，一高為h＝1.5m，傾角為θ＝37°的斜面體固定在水平地面上，一質量為m＝1kg、長度為L＝0.85m的薄木板B置于斜面頂端，薄木板下端連接有一根原長為L0＝0.1m的輕彈簧，恰好能保持靜止。一質量為M＝2kg的小物塊A從斜面體左側以v0＝1.2m/s的初速度水平拋出，經一段時間后恰好從斜面頂端沿平行于斜面方向落到薄木板上，當薄木板下滑到斜面底端碰到擋板時立刻停下，小物塊A最后恰好能脫離彈簧，且彈簧被壓縮時一直處于彈性限度內。已知A、B之間的動摩擦因數，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，不計空氣阻力，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）小物塊A水平拋出的高度H；
（2）薄木板與擋板碰撞前瞬間，薄木板和小物塊的速度大小；
（3）彈簧被壓縮到最短時的彈性勢能。
（2024 樂清市校級三模）某景區向社會征集一個水上樂園設計建議。某校科技小組設計了一套方案，其簡化原理如圖。甲、乙、丙由混凝土澆筑而成，其中甲上部為半徑為R1＝10m的圓弧面，圓心角θ1＝53°；乙上部為兩個半徑均為R2＝10m、圓心角為θ2＝37°的圓弧面平滑連接，EF等高。BC距離L1＝10m，其間有水下固定平臺，其周圍的水可在水泵驅動下循環流動，方向如箭頭所示，速度v大小可調，平臺上方各處速度均可視為相同。乙下方為有孔隔板，可大幅減小左側水域流動對右側水域的影響，乙丙之間水域可視為靜水，上浮質量為M＝100kg、長為L＝6m的可動浮臺。現有一游客乘坐特定裝置（人和該裝置視為質點并標注為P，總質量為m＝60kg），P從A點靜止釋放，依次通過ABCDE，最后通過可動浮臺，到達終點平臺丙完成游戲。可動浮臺觸碰平臺丙時瞬間自動鎖定。由于出發時P干燥，AB段摩擦不可忽略，P在B點時對軌道的壓力為1.5mg，在BC間與水有相對運動時，受水平方向的恒力F＝0.5mg，在CDE段因經左側水域而濕潤，摩擦可忽略，與可動浮臺動摩擦因數為μ＝0.1。不考慮P和可動浮臺入水后的水下部分以及水位上升和波動帶來的影響。
（1）求B點速度大小和AB段因摩擦而產生的熱量。
（2）CDE段恰不脫離脫離軌道，求P在C點和E點的速度。
（3）若忽略可動浮臺與水面的阻力，為使P在CDE段恰不脫離脫且不能在EF間落水，求BC間水速的調節范圍。
（2024 魏都區校級三模）如圖所示，一輕彈簧原長L＝2m，其一端固定在傾角為θ＝37°的固定斜面AF的底端A處，另一端位于B處，彈簧處于自然伸長狀態，斜面AF長x＝3m。在FC間有一上表面與斜面平行且相切的傳送帶，且FC長x0＝4m，傳送帶逆時針轉動，轉動速度為4m/s。傳送帶上端通過一個光滑直軌道CH與一個半徑為的光滑圓弧軌道DH相切于H點，且D端切線水平，A、B、C、D、F、H均在同一豎直平面內，且D、C在同一豎直線上。質量為m＝5kg的物塊P（可視為質點）從C點由靜止釋放，最低到達E點（未畫出），隨后物塊P沿軌道被彈回，最高可到達F點。已知物塊P與傳送帶間的動摩擦因數為，與斜面間的動摩擦因數為，重力加速度g＝10m/s2，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，彈簧始終在彈性限度內。
（1）求BE間距離x及物塊P運動到E點時彈簧的彈性勢能Ep；
（2）改變物塊P的質量，并將傳送帶轉動方向改為順時針，轉動速度大小不變。將物塊P推至E點，從靜止開始釋放，在圓弧軌道的最高點D處水平飛出后，恰好落于F點，求物塊運動到D點的速度vD。
題型1判斷物體和系統機械能守恒
（2024 鎮海區校級模擬）如圖所示，小紅拎著一個質量為m的電腦包以速率v勻速直線上樓，手對包的拉力大小為T。對這一過程，下列說法正確的是（　　）
A．拉力對包不做功
B．拉力對包做正功
C．電腦包所受合外力為零，機械能守恒
D．重力對包做功的瞬時功率大小為P＝mgv
下列過程中機械能守恒的是（　　）
A．跳傘運動員勻速下降的過程
B．小石塊做平拋運動的過程
C．子彈射穿木塊的過程
D．木箱在粗糙斜面上滑動的過程
（多選）如圖固定斜面體的傾角為θ＝37°，其上端固定一個光滑輕質滑輪，兩個物體A、B通過不可伸長的輕繩跨過滑輪連接，質量相等，A物體塊與斜面間的動摩擦因數μ＝0.25，現從靜止釋放兩物體，已知B落地后不再彈起，A最終拉緊輕繩并停止運動，則下列說法正確的是（　　）
A．物體B下落的過程中機械能減小
B．物體A沿斜面向上運動過程中機械能一直增加
C．物體A沿斜面向上運動過程中機械能一直減小
D．物體A在整個運動過程中機械能先增加后減小
題型2單個物體的機械能守恒問題
（2024 湖北三模）2023年9月，中國選手張博恒奪得杭州亞運會體操單杠冠軍，如圖所示其雙手抓住單杠，其重心以單杠為軸在豎直平面內做圓周運動，重心到單杠的距離R＝1m，重心從單杠正上方A點轉至B點時松手脫離單杠，OB與豎直方向的夾角θ＝53°，重心經過E點與B點等高，最后落到地面D點。已知他的質量m＝60kg，從B到E的時間為0.96s，g取10m/s2，忽略空氣阻力，不考慮一切摩擦和體能的消耗與轉化。下列說法正確的是（　　）
A．他在A到B點過程機械能不守恒，B到D過程機械能守恒
B．他在B點的速度為6m/s
C．他在A到B運動過程中手臂的最大拉力為2640N
D．OB與豎直方向的夾角θ越大，BD之間水平距離越遠
（2024 湖北二模）如圖所示，懸掛點O通過輕繩連接了一個質量為m的小球，O點到水平地面的高度為h。輕繩的長度L可以變化，且h。現將小球拉至與O點等高處且輕繩繃直，由靜止釋放小球，當輕繩擺至豎直狀態時，靠近O點處固定的一個刀片割斷輕繩，小球平拋落至地面。改變繩長L，重復上述過程，則隨著L的逐漸增大，從小球由靜止釋放到落地的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．輕繩割斷前的彈力大小均不相同
B．小球落地前瞬間速度均相同
C．重力的瞬時功率一直在增大
D．小球平拋運動水平位移先增大后減小
（2024 青島三模）某同學研究碰撞中動能損失的裝置如圖所示，豎直面內，光滑弧形軌道AB和光滑圓弧軌道CD分別與水平粗糙軌道BC相切于B和C點，圓弧半徑R＝0.4m，BC長L＝2m。某次實驗中，將質量m＝0.4kg的滑塊從弧形軌道上高h＝1.4m處靜止釋放，滑塊第一次通過圓弧軌道最高點Q時對軌道的壓力大小F＝4N，此后，滑塊與水平軌道發生時間極短的碰撞后速度方向豎直向上，進入軌道后滑塊剛好能夠通過Q點。滑塊可視為質點，重力加速度g＝10m/s2。求：
（1）滑塊與水平軌道間的動摩擦因數μ：
（2）碰撞過程中動能的損失率η（動能損失量與碰前動能的百分比）。
題型3輕繩連接的物體系統
（2024春 泉州期末）如圖，一足夠長的輕繩跨過輕質定滑輪，繩的兩端各系一個小球A和B，A球的質量為3kg，B球的質量為1kg。先用手托住A球，使兩邊輕繩剛好豎直繃緊，此時A球離地面的高度h＝0.4m，B球靜止于地面。忽略一切阻力，取重力加速度g＝10m/s2，現無初速度釋放A球，則B球上升的最大高度為（　　）
A．1.2m B．0.8m C．0.6m D．0.4m
（2024春 即墨區校級期末）如圖，圓環A和B分別套在豎直桿和水平桿上，A、B兩環用一不可伸長的輕繩連接。初始時，在外力作用下A、B兩環均處于靜止狀態，輕繩處于伸直狀態且與豎直桿夾角為60°。撤去外力后，小環A和B各自沿著豎直桿和水平桿運動。已知A、B兩環的質量均為m，繩長為l，重力加速度為g，不計一切摩擦。下列說法正確的是（　　）
A．若外力作用在A上，則外力大小為2mg
B．若外力作用在B上，且B環不受桿的彈力，則外力大小為mg
C．輕繩與豎直桿夾角為37°時，小環A的速率為
D．輕繩與豎直桿夾角為37°時，小環B的速率為
（多選）（2024春 重慶期末）如圖所示，一輕繩跨過定滑輪分別懸掛重物A、B，A的質量是2m，B的質量是m。開始時A、B在外力作用下處于靜止狀態，且輕繩繃緊。現撤去外力，從靜止釋放A，經過一段時間A豎直下落的高度為h。不計一切阻力，重力加速度為g，下列說法正確的是（　　）
A．下落高度h時，重物A的速度大小為
B．下落h過程中，重物A的機械能減少
C．下落h過程中，重物B的機械能增加
D．下落h過程中，重物A、B系統的機械能減少
題型4輕桿連接的物體系統
（2024春 江岸區期末）圖甲為科技活動節學生自制小型拋石機。首先將石塊放在長臂一端的凹槽中，在短臂端固定重物，發射前將長臂端往下拉至地面，然后突然松開，凹槽中的石塊過最高點時就被拋出。現將其簡化為如圖乙所示的模型，將一質量m＝10g的小石塊（可視為質點）裝在長L1＝10cm的長臂末端的凹槽中，質量為M的重物裝在長L2＝2cm的短臂末端的筐子內。初始時長臂與水平面的夾角為30°，松開后長臂與短臂轉至豎直位置時，石塊被水平拋出，落在水平地面上，測得石塊落地點與O點的水平距離為x＝30cm。此過程中，重物沒有從筐中灑落，不計空氣阻力，不考慮桿與轉軸的摩擦力。取地面為零勢能面，重力加速度大小g＝10m/s2，下列說法正確的是（　　）
A．重物的質量M＝125g
B．石塊著地時，重力做功的功率為PW
C．石塊被水平拋出時的動能為Ek＝1.5×10﹣1J
D．重物重力勢能的減少量等于石塊機械能的增加量
（多選）（2024春 新鄭市校級期末）如圖所示，滑塊A、B的質量均為m，A套在固定傾斜直桿上，傾斜直桿與水平面成45°角，B套在固定水平直桿上，兩直桿分離不接觸，兩直桿間的距離忽略不計且桿足夠長，A、B通過鉸鏈用長度為L的剛性輕桿（初始時輕桿與水平面成30°角）連接，A、B從靜止釋放，B沿水平面向右運動，不計一切摩擦，滑塊A、B均視為質點，重力加速度大小為g，在運動的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．當A到達B所在水平面時
B．當A到達B所在水平面時，B的速度為
C．滑塊B到達最右端時，A的速度為
D．滑塊B的最大動能為
題型5輕彈簧連接的物體系統
（多選）（2024春 貴陽期末）如圖所示，豎直彈簧固定在水平地面上，彈簧的勁度系數為k，原長為l。質量為m的鋼球由彈簧正上方h高處靜止釋放，與彈簧接觸后壓縮彈簧，當彈簧壓縮量為x時，鋼球下落到最低點。不計空氣阻力和彈簧質量，重力加速度為g。則（　　）
A．鋼球下落到最低點過程中，其機械能守恒
B．鋼球距離地面時動能最大
C．鋼球下落到最低點時，其機械能最大、動能最小
D．鋼球從開始下落到最低點過程，彈簧彈力做的功為﹣mg（h+x）
（多選）（2024春 福州期末）如圖所示，兩根輕繩連接小球P，右側繩一端固定于A點，左側繩通過光滑定滑輪B連接一物體Q，物體Q、N通過一輕彈簧連接，物體Q、N的質量均為m，整個系統處于靜止狀態時，小球P位于圖示位置，兩繩與水平方向夾角分別為37°和53°，此時物體N與地面間彈力恰好為零。現將小球P托至與A、B兩點等高的水平線上，兩繩均拉直且無彈力，釋放小球P開始運動，已知右側繩長為L，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度為g，則下列說法正確的是（　　）
A．小球P和物體Q的質量之比為5：2
B．小球P運動到圖示位置時，Q的速度大小
C．小球P從釋放到圖示位置過程中，輕繩對物體Q做的功
D．小球P從釋放到圖示位置過程中，P、Q二者機械能守恒
（2024春 建鄴區校級期末）勁度系數k＝100N/m的輕彈簧一端固定在傾角θ＝30°的固定光滑斜面的底部，另一端和質量mA＝2kg的小物塊A相連，質量mB＝2kg的小物塊B緊靠A靜止在斜面上，輕質細線一端連在物塊B上，另一端跨過定滑輪與質量mC＝1kg的物體C相連，對C施加外力，使C處于靜止狀態，細線剛好伸直，且線中沒有張力，如圖甲所示。從某時刻開始，撤掉外力，使C豎直向下運動，取g＝10m/s2，以下說法中正確的是（　　）
A．撤掉外力瞬間，A的加速度為2.5m/s2
B．當A、B恰好分離時，A的加速度為2.5m/s2
C．當A、B恰好分離時，彈簧恢復原長
D．A運動過程中的最大速度為
題型6“鏈條”類問題
一條長為l、質量為m的均勻鏈條放在光滑水平桌面上，其中有三分之一懸在桌邊，如圖所示，在鏈條的另一端用水平力緩慢地拉動鏈條，當把鏈條全部拉到桌面上時，下列說法中正確的是（　　）
A．物體的動能增加了mgl
B．物體的重力勢能增加了mgl
C．物體的機械能減少了mgl
D．物體克服重力所做的功為mgl
如圖所示，一質量為m、長為L的均勻鏈條，一半放在傾角為30°的斜面上，另一半跨過斜面頂端（視為光滑）自然下垂，將鏈條由靜止釋放時，鏈條恰好沿豎直面下滑。假設鏈條全部脫離斜面時，鏈條各部分只有豎直方向的速度，已知重力加速度為g。求：
（1）鏈條與斜面間的動摩擦因數μ。
（2）從開始釋放到鏈條全部脫離斜面的過程中，鏈條重力勢能的減少量ΔEP。

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