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專題11 萬有引力定律
課標要求 知識要點 命題推斷
1.掌握萬有引力定律的內容、公式及應用. 2.理解環繞速度的含義并會求解. 3.了解第二和第三宇宙速度． 考點一　天體質量和密度的計算 考點二　衛星運行參量的比較與計算 考點三　衛星變軌問題分析 考點四　宇宙速度的理解與計算 考點五　雙星或多星模型 題型：選擇題 1開普勒行星運動定律 2萬有引力定律的應用 3天體質量與密度 4衛星參量比較 5宇宙速度 6同步衛星 7近地衛星、同步衛星和赤道上物體運動的比較 8衛星變軌問題 9天體追及與相遇 10雙星、多星模型
考點一　天體質量和密度的計算
1．解決天體(衛星)運動問題的基本思路
(1)天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即
G＝man＝m＝mω2r＝m
(2)在中心天體表面或附近運動時，萬有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天體表面的重力加速度)．
2．天體質量和密度的計算
(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.
由于G＝mg，故天體質量M＝，
天體密度ρ＝＝＝.
(2)通過觀察衛星繞天體做勻速圓周運動的周期T和軌道半徑r.
①由萬有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天體質量M＝；
②若已知天體半徑R，則天體的平均密度
ρ＝＝＝；
③若天體的衛星在天體表面附近環繞天體運動，可認為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝.可見，只要測出衛星環繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度．
考點二　衛星運行參量的比較與計算
1．衛星的各物理量隨軌道半徑變化的規律
2．極地衛星和近地衛星
(1)極地衛星運行時每圈都經過南北兩極，由于地球自轉，極地衛星可以實現全球覆蓋．
(2)近地衛星是在地球表面附近環繞地球做勻速圓周運動的衛星，其運行的軌道半徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9 km/s.
(3)兩種衛星的軌道平面一定通過地球的球心．
考點三　衛星變軌問題分析
1．當衛星的速度突然增大時，G2．當衛星的速度突然減小時，G>m，即萬有引力大于所需要的向心力，衛星將做近心運動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，當衛星進入新的軌道穩定運行時由v＝ 可知其運行速度比原軌道時增大．
衛星的發射和回收就是利用這一原理．
考點四　宇宙速度的理解與計算
1．第一宇宙速度又叫環繞速度．
推導過程為：由mg＝＝得：
v1＝ ＝＝7.9 km/s.
2．第一宇宙速度是人造地球衛星在地面附近環繞地球做勻速圓周運動時具有的速度．
3．第一宇宙速度是人造衛星的最大環繞速度，也是人造地球衛星的最小發射速度．
注意　(1)兩種周期——自轉周期和公轉周期的不同．
(2)兩種速度——環繞速度與發射速度的不同，最大環繞速度等于最小發射速度．
(3)兩個半徑——天體半徑R和衛星軌道半徑r的不同．
(4)第二宇宙速度(脫離速度)：v2＝11.2 km/s，使物體掙脫地球引力束縛的最小發射速度．
(5)第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物體掙脫太陽引力束縛的最小發射速度．
考點五　雙星或多星模型
繞公共圓心轉動的兩個星體組成的系統，我們稱之為雙星系統，如圖6所示，雙星系統模型有以下特點：
(1)各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，即
＝m1ωr1，＝m2ωr2
(2)兩顆星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2
(3)兩顆星的半徑與它們之間的距離關系為：r1＋r2＝L
(4)兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質量成反比，即＝
(5)雙星的運動周期T＝2π
(6)雙星的總質量公式m1＋m2＝
（2024 浙江模擬）A點和B點位于地球兩側，且兩點間存在一隧道，如圖所示。現在A處同時釋放兩個載人宇宙飛船。其中一個飛船從靜止開始沿著隧道運動，一段時間到達B點。另一飛船沿著近地軌道環繞地球運動，一段時間后也到達B點。已知地球半徑為R，地表的重力加速度為g，且不計一切阻力。則下列說法正確的是（提示：均勻球殼內部引力處處為0）（　　）
A．在沿著隧道穿行的飛船中的人會先經歷超重，再經歷失重過程
B．沿著隧道穿行的飛船飛行的最大速度
C．設x為沿著隧道穿行的飛行器距離地球球心的距離，則其受到的合力為Fmg，其中為其質量
D．兩飛行器同時到達B點
（2024 浙江模擬）假設宇宙是一團球形的密度均勻的物質，其各物理量均具有球對稱性（即只與球的半徑有關）。宇宙球對稱地向外膨脹，半徑為r的位置具有速度v（r）。不難發現，宇宙膨脹的過程中，其平均密度必然下降。若假設該宇宙球在膨脹過程中密度均勻（即球內各處密度相等），則應該有v＝Hrα，其中H是一個可變化但與r無關的系數，那么α的值應為（　　）
[提示：若p（t）是某一物理量，則pα對時間的導數為apα﹣1p′（t）]
A．1 B．2 C．3 D．4
（2024 廣東三模）木星的衛星總共有92顆，其中木衛一、木衛二、木衛三、木衛四是意大利天文學家伽利略在1610年用自制的望遠鏡發現的，這四顆衛星后被稱為伽利略衛星。四顆伽利略衛星的自身參數近似如下表所示，根據表格信息，下列判斷正確的是（　　）
木衛一 木衛二 木衛三 木衛四
密度/g cm﹣3 3.5 3.0 2.0 1.8
直徑/km 3600 3100 5300 4800
A．木衛三繞木星運動的軌道半徑大于木衛四繞木星運動的軌道半徑
B．木衛二表面的重力加速度小于木衛四表面的重力加速度
C．木衛一的第一宇宙速度大于木衛二的第一宇宙速度
D．木衛二的質量大于木衛三的質量
（2024 廣州一模）某校天文小組通過望遠鏡觀察木星周圍的兩顆衛星a、b，記錄了不同時刻t兩衛星的位置變化如圖甲。現以木星中心為原點，測量圖甲中兩衛星到木星中心的距離x，以木星的左側為正方向，繪出x﹣t圖像如圖乙。已知兩衛星繞木星近似做圓周運動，忽略在觀測時間內觀察者和木星的相對位置變化，由此可知（　　）
A．a公轉周期為t0
B．b公轉周期為2t0
C．a公轉的角速度比b的小
D．a公轉的線速度比b的大
（2024 廣東三模）地球、火星繞太陽運動的軌道均可看成圓軌道，軌道半徑之比為2：3。現要從地球向火星發射一飛行器，其離開地球運動到火星的過程繞太陽運動，軌道為橢圓軌道，且在該軌道的遠日點被火星俘獲，如圖所示。則該飛行器（　　）
A．離開地球運動到火星的過程速度逐漸增大
B．到達火星時，地球在飛行器與太陽連線下方
C．繞太陽的運行周期大于火星繞太陽的運行周期
D．在遠日點與火星相遇時，需加速才能被火星俘獲
（2024 衡水模擬）2024年3月20日8時31分，探月工程四期“鵲橋二號”中繼星由長征八號遙三運載火箭在中國文昌航天發射場成功發射升空，該衛星是經“地—月轉移軌道”逐步送入近月距離約200km、遠月距離約1600km的穩定橢圓環月軌道，周期24h，月球半徑約1738km，月球表面重力加速度約為1.63m/s2，下列說法正確的是（　　）
A．該衛星的發射速度應大于第二宇宙速度
B．若另發射一顆距月球表面約300km的環月圓軌道衛星，則其周期約為5小時
C．若要在遠月點把“鵲橋二號”轉移到圓軌道上，其速度加至約1.2km/s
D．由以上條件，可以求得“鵲橋二號”在近月點所受的萬有引力大小
（2024 湖北模擬）我國首顆量子科學實驗衛星于2016年8月16日1點40分成功發射。量子衛星成功運行后，我國在世界上首次實現衛星和地面之間的量子通信，構建天地一體化的量子保密通信與科學實驗體系。1軌道為量子衛星靜止在赤道上隨地球自轉，2為近地軌道，3為地球的同步軌道，如圖所示。已知該衛星在1軌道隨地球自轉的周期約為近地軌道2運動周期的17倍，關于該衛星在1、2、3軌道繞地球做勻速圓周運動的說法中正確的是（　　）
A．衛星在軌道1的加速度最大，線速度最小
B．衛星在軌道2的加速度最大，線速度最大
C．衛星在軌道3運動的周期最大，線速度最小
D．若將該衛星放在南極極點上，與軌道1處相比，其重力將變為原來的2.89倍
（2024 河南二模）北京時間2023年12月15日21時41分，我國在文昌航天發射場成功將遙感四十一號衛星發射升空，衛星順利進入同步傾斜軌道，該星是一顆高軌道光學遙感衛星。遙感四十一號衛星與在軌高度約為343km的神舟十七號載人飛船（兩者都近似看作繞地球做圓周運動）相比，下列說法正確的是（　　）
A．遙感四十一號衛星向心加速度大于神舟十七號飛船向心加速度
B．神舟十七號載人飛船的動能大于遙感四十一號衛星動能
C．神舟十七號載人飛船發射速度大于遙感四十一號衛星發射速度
D．相等時間內遙感四十一號衛星與地球的連線掃過的面積大于神舟十七號飛船與地球的連線掃過的面積
（2024 東西湖區校級模擬）中國計劃在2030年前實現載人登月，開展月球科學考察及相關技術試驗。根據“嫦娥”系列衛星的發射，設想登月載人飛船的運行軌跡如圖所示。飛船發射后首先進入繞地球運行的圓形“停泊軌道”，在P點加速進入橢圓“過渡軌道”，該軌道離地球表面最近距離為h1，飛船到達離P點最遠距離為L的Q點時，依靠飛船的反向助推器減速，被月球引力“俘獲”后，在距月球表面h2的圓形“繞月軌道”上飛行，擇機降落在月球表面。已知地球半徑為R，月球半徑為r，地球表面重力加速度為g，月球表面的重力加速度為，飛船在“過渡軌道”運行時忽略月球引力影響。下列說法正確的是（　　）
A．飛船在“停泊軌道”上的運行速度為
B．飛船在“繞月軌道”上的運行速度為
C．地球質量與月球質量之比為
D．飛船從P點運動到Q點的時間為
（2024 黑龍江三模）2023年10月24日4時3分，我國在西昌衛星發射中心成功將“遙感三十九號”衛星送入太空。已知地球半徑為R。自轉周期為T，“遙感三十九號”衛星軌道離地面的高度為h1，地球同步衛星軌道離地面的高度為h2，“遙感三十九號”衛星和地球同步衛星繞地球飛行的軌道如圖所示。引力常量為G，下列說法正確的是（　　）
A．“遙感三十九號”衛星的發射速度大于11.2km/s
B．“遙感三十九號”衛星繞地球運行的周期為T
C．地球的平均密度可表示為
D．“遙感三十九號”衛星與同步衛星繞地球運行的向心加速度之比為
題型1開普勒行星運動定律
（2024 鹽城模擬）太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動。“行星沖日”是指當地球恰好運行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現象。已知地球及部分地外行星繞太陽運動的軌道半徑如表中所示。
地球 木星 土星 天王星 海王星
軌道半徑R/AU 1.0 5.2 9.5 19 30
則表中相鄰兩次沖日的時間間隔最長的地外行星是（　　）
A．木星 B．土星 C．天王星 D．海王星
（2024 東湖區校級三模）“日心說”以太陽為參考系，金星和地球運動的軌跡可以視為共面的同心圓；“地心說”以地球為參考系，金星的運動軌跡（實線）和太陽的運動軌跡（虛線）如圖所示。觀測得每隔1.6年金星離地球最近一次，則下列判斷正確的是（　　）
A．在8年內太陽、地球、金星有5次在一條直線上
B．在8年內太陽、地球、金星有10次在一條直線上
C．地球和金星繞太陽公轉的周期之比為8：5
D．地球和金星繞太陽公轉的半徑之比為
（2024 棗強縣校級模擬）如圖所示，哈雷彗星繞太陽運行的軌道為橢圓，哈雷彗星最近出現在近日點的時間是1986年，預計哈雷彗星下次回歸到近日點將在2061年。已和橢圓軌道的近日點到太陽中心的距離是地球公轉軌道半徑R的0.6倍，則橢圓軌道遠日點到太陽的距離為（　　）
A．17.2R B．17.8R C．35R D．36R
題型2萬有引力定律的應用
（2024 海淀區校級模擬）1772年，法籍意大利數學家拉格朗日在論文《三體問題》中指出：兩個質量相差懸殊的天體（如太陽和地球）所在同一平面上有5個特殊點，如圖中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人們稱為拉格朗日點。若飛行器位于這些點上，會在太陽與地球共同引力作用下，可以幾乎不消耗燃料而保持與地球同步做圓周運動。若發射一顆衛星定位于拉格朗日L2點，下列說法正確的是（　　）
A．該衛星繞太陽運動周期大于地球公轉周期
B．該衛星在L2點處于平衡狀態
C．該衛星繞太陽運動的向心加速度大于地球繞太陽運動的向心加速度
D．該衛星在L2處所受太陽和地球引力的合力比在L1處小
（2024 榮昌區校級模擬）半徑為R、質量分布均勻且為M的兩個相同的球固定在水平面上，兩個球球心之間的距離為4R，它們間的萬有引力大小為F。現在在兩球心的連線外側各挖掉一個直徑為R的小球，剩余部分放在相同位置，如圖所示。則剩余部分之間的萬有引力大小為（　　）
A．F B． C． D．
（2023 重慶模擬）如圖所示，從一質量為M、半徑為2R的均勻球體的球心O處挖出一半徑為R的小球，將其移至兩球面相距R處，已知引力常量為G，則大球剩余部分和小球間的萬有引力大小為（　　）
A． B．
C． D．
題型3天體質量與密度
（多選）（2024 渾南區校級模擬）如圖所示，人造衛星A圍繞地球做圓周運動，AB和AC與地球相切，∠BAC＝θ，θ稱為地球對衛星的張角。現有甲、乙兩顆人造衛星，軌道平面相同，以相同方向繞地球公轉。已知地球對甲、乙的張角分別為θ1和θ2，且θ1＞θ2，甲、乙公轉角速度分別為ω1和ω2，萬有引力常量為G。則以下說法正確的是（　　）
A．由題目所給條件，可以算出地球的質量
B．由題目所給條件，可以算出地球的密度
C．每隔時間，兩衛星可以恢復直接通信
D．每隔時間，兩衛星可以恢復直接通信
（2024 五華區校級模擬）距離地球大約600光年的行星開普勒22﹣b很有可能是一顆宜居行星，其表面溫度約為22℃，它圍繞一顆和太陽非常相似的恒星公轉。該行星半徑為地球半徑的2.4倍，其公轉周期約為290天，其準確質量還未能得知。假設其密度與地球相同，不考慮星球的自轉。下列說法正確的是（　　）
A．開普勒22﹣b的質量是地球質量的5.76倍
B．地球表面重力加速度為開普勒22﹣b表面重力加速度的2.4倍
C．開普勒22﹣b的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的2.4倍
D．開普勒22﹣b的公轉軌道半徑為地球公轉軌道半徑的3.6倍
（2024 朝陽區校級模擬）按黑體輻射理論，黑體單位面積的輻射功率與其熱力學溫度的四次方成正比，比例系數為σ（稱為斯特藩﹣玻爾茲曼常數），某黑體如果它輻射的功率與接收的功率相等時，溫度恒定。假設宇宙中有一恒星A和繞其圓周運動的行星B（忽略其它星體的影響），已知恒星A單位面積輻射的功率為P，B繞A圓周運動的距離為r、周期為T'，將B視為黑體，B的溫度恒定為T，萬有引力常數為G，將A和B視為質量均勻分布的球體，行星B的大小遠小于其與A的距離，由上述物理量和常數表示出的恒星A的平均密度為（　　）
A． B．
C． D．
題型4衛星參量比較
發現未知星體是萬有引力定律的重要成就之一，如“筆尖下發現的行星”﹣海王星．1843年，英國劍橋大學的學生亞當斯和法國巴黎年輕天文愛好者勒維耶根據天王星的觀測資料，發現天王星實際運行的軌道與圓軌道總存在一些偏離，且周期性地每隔t0時間發生一次最大的偏離、形成這種現象的原因是海王星對它的萬有引力，已知天王星繞太陽運行的軌道半徑為R0，周期為T0，假定兩顆行星的運動可以認為是勻速圓周運動，請你利用所學知識確定海王星的軌道半徑為（　　）
A．R0 B．R0
C．R0 D．R0
2019年12月7日，我國采用一箭多星的方式成功將六顆衛星發射升空。在赤道平面內有三顆在同一軌道上運行的衛星，三顆衛星在此軌道均勻分布，其軌道距地心的距離為地球半徑的3.3倍，且三顆衛星均自西向東環繞地球轉動。某時刻其中一顆人造衛星處于地球赤道上某一建筑物的正上方，已知地球的自轉周期為T，地球同步衛星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍，則該建筑物正上方出現下一顆人造衛星間隔的時間約為（　　）
A．0.18T B．0.24T C．0.32T D．0.48T
（多選）（2015 本溪校級模擬）太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動，當地球恰好運行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現象，天文學家稱為“行星沖日”，據報道，2014年各行星沖日時間分別為：1月6日木星沖日；4月9日火星沖日；5月11日土星沖日；8月29日海王星沖日；10月8日天王星沖日．已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表所示，則下列判斷正確的是（　　）
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
軌道半徑（AU） 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．各地外行星每年都會出現沖日現象
B．在2015年內一定會出現木星沖日
C．天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為土星的一半
D．地外行星中，海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短
題型5宇宙速度
（2024 南通模擬）宇宙速度是從地球表面向宇宙空間發射人造地球衛星、行星際和恒星際飛行器所需的最低速度。下列關于宇宙速度的說法正確的是（　　）
A．第一宇宙速度是人造地球衛星的最小發射速度
B．若飛行器的發射速度大于第二宇宙速度，則飛行器將繞地球做橢圓運動
C．若飛行器的發射速度大于第三宇宙速度，則飛行器將繞太陽運動
D．衛星繞地球做圓周運動的速率可能大于第一宇宙速度
（多選）（2024 河南三模）金星是繞太陽運動的從內向外的第二顆行星，軌道公轉周期為224.7天。金星的半徑為地球半徑的95%，質量為地球質量的82%。已知地球與太陽間的距離為1.5×1011m，地球的第一宇宙速度為7.9km/s，地球和金星繞太陽運動的軌跡可近似為圓。下列說法正確的是（　　）
A．金星的第一宇宙速度約為8.5km/s
B．金星的第一宇宙速度約為7.3km/s
C．金星距離太陽的距離約為1.1×1011m
D．金星距離太陽的距離約為2.1×1011m
星球上的物體脫離星球引力所需要的最小發射速度稱為第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2與第一宇宙速度v1的關系是v2v已知某星球的半徑為r，表面的重力加速度為地球表面重力加速度gE的，不計其它星球的影響，則該星球的第二宇宙速度為（　　）
A． B． C． D．gEr
題型6同步衛星
（2024 山東模擬）根據宇宙大爆炸理論，密度較大區域的物質在萬有引力作用下，不斷聚集可能形成恒星。恒星最終的歸宿與其質量有關，質量為太陽質量四倍的恒星將坍塌成白矮星。設某恒星坍塌前后均可看成質量均勻分布的球體，質量不變，半徑變為原來的，自轉角速度變大。不考慮恒星與其他物體的相互作用，根據萬有引力理論，該恒星坍塌前后，下列分析正確的是（　　）
A．兩極處的重力加速度之比為
B．第一宇宙速度之比為
C．繞其飛行的同步衛星的線速度變大
D．繞其飛行的同步衛星的軌道半徑變大
（2024 南寧一模）2024年2月23日，“長征5號”遙七運載火箭搭載通信技術試驗衛星十一號發射成功，被譽為龍年首發。衛星進入地球同步軌道后，主要用于開展多頻段、高速率衛星通信技術驗證。設地球同步衛星的軌道半徑是地球半徑的n倍，下列說法中正確的是（　　）
A．地球同步衛星可以靜止在北京上空
B．同步衛星運行速度是第一宇宙速度的
C．同步衛星的運行速度是地球赤道上物體隨地球自轉獲得的速度的
D．若忽略地球的自轉效應，則同步衛星的向心加速度是地球表面重力加速度的
（2024 白云區校級模擬）2023年“神舟十七號”順利對接“天宮”空間站，“天宮”在距地面約400km高度做勻速圓周運動，假設“神舟號”先繞地球在低于“天宮”的軌道上做勻速圓周運動，再變軌與“天宮”對接。又已知北斗同步衛星距地面約36000km。則（　　）
A．“天宮”空間站的運行周期可能大于24小時
B．“天宮”空間站的角速度比北斗同步靜止衛星的小
C．北斗同步靜止衛星運行過程中可能通過北京正上方
D．“神舟十七號”從近地軌道上需要加速才能對接空間站
題型7近地衛星、同步衛星和赤道上物體運動的比較
（2024 衡陽縣校級模擬）2024年4月25日神舟十八號載人飛船與空間站完成交接任務，載人發射任務取得圓滿成功。空間站、同步衛星繞地球的運動均可視為勻速圓周運動。已知空間站的運行軌道半徑為R1，同步衛星的運行軌道半徑為R2（R2＞R1），下列說法正確的是（　　）
A．空間站處于平衡狀態
B．空間站的運行速度大于第一宇宙速度
C．空間站運動的周期小于地球同步衛星的周期
D．空間站與同步衛星的運行周期之比為
（2024 天津三模）國際天文學聯合會于2024年2月23日宣布新發現了2顆海王星的衛星，并將它們分別命名為S/2002N5和S/2021N1，至此海王星的衛星已增至28顆。這兩顆衛星在近似圓軌道上繞海王星一周的時間分別約為9年和27年，以下由此推斷出的結論中不正確的是（　　）
A．S/2002N5運行的線速度比S/2021N1大
B．S/2002N5的向心加速度比S/2021N1大
C．S/2002N5受海王星的引力比S/2021N1大
D．S/2002N5與S/2021N1的軌道半徑之比為
我國發射的“嫦娥一號”衛星經過多次加速、變軌后，最終成功進入環月工作軌道。如圖所示，衛星既可以在離月球比較近的圓軌道a上運動，也可以在離月球比較遠的圓軌道b上運動。下列說法正確的是（　　）
A．衛星在a上運行的線速度小于在b上運行的線速度
B．衛星在a上運行的周期大于在b上運行的周期
C．衛星在a上運行的角速度小于在b上運行的角速度
D．衛星在a上運行時受到的萬有引力大于在b上運行時的萬有引力
題型8衛星變軌問題
（2024 江蘇模擬）一宇宙飛行器從地面發射，經過轉移軌道后，繞太陽系另一行星運行，若再經過幾次變軌后，進入如圖所示的橢圓軌道Ⅰ，然后在軌道上P點變軌進入圓軌道Ⅱ，已知萬有引力常量為G，則（　　）
A．飛行器從地面發射的速度小于11.2km/s
B．飛行器在P點從軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ時機械能減小
C．若測出飛行器在軌道Ⅱ上運行的速率，可求該行星質量
D．若測出飛行器在軌道Ⅰ經過P點時的速率和到該行星中心的距離，可求該行星質量
（多選）（2024 黑龍江模擬）航天器進行宇宙探索的過程中，經常要進行變軌。若某次發射衛星時，先將衛星發射至近地圓軌道Ⅰ，到達軌道Ⅰ的A點時實施變軌進入橢圓軌道Ⅱ，到達軌道Ⅱ的遠地點B時，再次實施變軌進入圓形軌道Ⅲ繞地球做圓周運動。關于該衛星，下列說法正確的是（　　）
A．該衛星的發射速度大于11.2km/s
B．該衛星在軌道Ⅰ上運動的周期小于在軌道Ⅱ上運動的周期
C．該衛星在軌道Ⅰ上運行時的速度大于在軌道Ⅲ上運行時的速度
D．該衛星在軌道Ⅱ上經過B點時的加速度大于在軌道Ⅲ上經過B點時的加速度
如圖所示，“嫦娥奔月”的過程可以簡化為：“嫦娥一號”升空后，繞地球沿橢圓軌道運動，遠地點A距地面高度為h1，然后經過變軌被月球捕獲，再經多次變軌，最終在距離月球表面高度為h2的軌道上繞月球做勻速圓周運動．若已知地球的半徑為R1、表面重力加速度為g1；月球的質量為M2，半徑為R2，引力常量為G，根據以上信息，不可以確定的是（　　）
A．“嫦娥一號”在遠地點A時的速度
B．“嫦娥一號”在遠地點A時的加速度
C．“嫦娥一號”繞月球運動的周期
D．月球表面的重力加速度
題型9天體追及與相遇
（2024 海珠區校級模擬）無地面網絡時，華為Mate60Pro可連接天通一號進行衛星通話。天通一號目前由01、02、03共三顆地球同步衛星組網而成，分別定位于東經101.4度、東經125度、東經81.6度。已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，同步衛星運行的周期為T，下列說法正確的是（　　）
A．若03星加速，則一定可以追上01星
B．三顆衛星的線速度一定比赤道上地面物體的線速度小
C．三顆衛星的軌道半徑一定都是
D．三顆衛星的線速度大小一定都是
（2024 中山市校級模擬）2022年7月14日下午，長征五號B火箭成功將我國空間站的首個實驗艙“問天”實驗艙送入太空與天和核心艙進行對接，隨后神舟十四號乘組順利進入問天實驗艙，開啟了太空實驗的新階段。如圖所示，已知空間站在距地球表面高約400km的近地軌道上做勻速圓周運動，地球半徑約為6400km，萬有引力常量為G。則下列說法正確的是（　　）
A．空間站繞地球運行的周期大于24h
B．“問天”實驗艙需先進入核心艙軌道，再加速追上核心艙完成對接
C．若已知空間站的運行周期則可以計算出地球的質量
D．空間站在軌運行速度大于地球第一宇宙速度
（2024 江蘇模擬）三顆人造衛星A、B、C都在赤道正上方同方向繞地球做勻速圓周運動，A、C為地球同步衛星，某時刻A、B相距最近，如圖所示。已知地球自轉周期為T1，B的周期為T2，則下列說法正確的是（　　）
A．A加速可追上同一軌道上的C
B．經過時間，A、B相距最遠
C．A、C向心加速度大小相等，且大于B的向心加速度
D．A、B與地心連線在相同時間內掃過的面積相等
題型10雙星、多星模型
（2024 光明區校級模擬）人類首次發現的引力波來源于距地球之外13億光年的兩個黑洞互相繞轉最后合并的過程。如圖所示，設兩個黑洞A、B繞其連線上的O點做勻速圓周運動，黑洞A的軌道半徑大于黑洞B的軌道半徑，兩個黑洞的總質量為M，兩個黑洞中心間的距離為L，則下列說法正確的是（　　）
A．兩黑洞的運動周期均為
B．黑洞A的線速度一定小于黑洞B的線速度
C．兩個黑洞的總質量M一定，L越大，角速度越大
D．黑洞A的質量一定大于黑洞B的質量
（2024 蜀山區校級三模）宇宙中大多數恒星系都是雙星系統，如圖所示，兩顆遠離其他星系的恒星A和B在相互之間的引力作用下繞O點做勻速圓周運動，且A星距離O點更近。軌道平面上的觀測點P相對O點靜止，觀察發現每隔T時間，兩顆恒星與O、P共線。已知引力常量為G，其中一顆恒星的質量為m、另一顆恒星的質量為3m，恒星的半徑都遠小于它們之間的距離。則以下說法正確的是（　　）
A．A的質量為m
B．該雙星系統的運動周期為T
C．A、B相距的距離為
D．在相同時間里，A、B兩顆恒星與O點連線掃過的面積之比為1：3
（2024 龍鳳區校級模擬）如圖所示，P、Q恒星構成的雙星系統，一顆質量為m，另一顆質量為2m，兩星均視為質點且距離保持不變，均繞它們連線上的O點做勻速圓周運動。軌道平面上的觀測點F相對于O點靜止，連續兩次出現P、Q與O、F共線的時間間隔為t。僅考慮雙星間的萬有引力，引力常量為G。則下列說法不正確的是（　　）
A．恒星Q的質量為2m
B．恒星P圓周運動的角速度為
C．任意時間內兩星與O點的連線掃過的面積相等
D．恒星P、Q之間的距離為中小學教育資源及組卷應用平臺
專題11 萬有引力定律
課標要求 知識要點 命題推斷
1.掌握萬有引力定律的內容、公式及應用. 2.理解環繞速度的含義并會求解. 3.了解第二和第三宇宙速度． 考點一　天體質量和密度的計算 考點二　衛星運行參量的比較與計算 考點三　衛星變軌問題分析 考點四　宇宙速度的理解與計算 考點五　雙星或多星模型 題型：選擇題 1開普勒行星運動定律 2萬有引力定律的應用 3天體質量與密度 4衛星參量比較 5宇宙速度 6同步衛星 7近地衛星、同步衛星和赤道上物體運動的比較 8衛星變軌問題 9天體追及與相遇 10雙星、多星模型
考點一　天體質量和密度的計算
1．解決天體(衛星)運動問題的基本思路
(1)天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即
G＝man＝m＝mω2r＝m
(2)在中心天體表面或附近運動時，萬有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天體表面的重力加速度)．
2．天體質量和密度的計算
(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.
由于G＝mg，故天體質量M＝，
天體密度ρ＝＝＝.
(2)通過觀察衛星繞天體做勻速圓周運動的周期T和軌道半徑r.
①由萬有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天體質量M＝；
②若已知天體半徑R，則天體的平均密度
ρ＝＝＝；
③若天體的衛星在天體表面附近環繞天體運動，可認為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝.可見，只要測出衛星環繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度．
考點二　衛星運行參量的比較與計算
1．衛星的各物理量隨軌道半徑變化的規律
2．極地衛星和近地衛星
(1)極地衛星運行時每圈都經過南北兩極，由于地球自轉，極地衛星可以實現全球覆蓋．
(2)近地衛星是在地球表面附近環繞地球做勻速圓周運動的衛星，其運行的軌道半徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9 km/s.
(3)兩種衛星的軌道平面一定通過地球的球心．
考點三　衛星變軌問題分析
1．當衛星的速度突然增大時，G2．當衛星的速度突然減小時，G>m，即萬有引力大于所需要的向心力，衛星將做近心運動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，當衛星進入新的軌道穩定運行時由v＝ 可知其運行速度比原軌道時增大．
衛星的發射和回收就是利用這一原理．
考點四　宇宙速度的理解與計算
1．第一宇宙速度又叫環繞速度．
推導過程為：由mg＝＝得：
v1＝ ＝＝7.9 km/s.
2．第一宇宙速度是人造地球衛星在地面附近環繞地球做勻速圓周運動時具有的速度．
3．第一宇宙速度是人造衛星的最大環繞速度，也是人造地球衛星的最小發射速度．
注意　(1)兩種周期——自轉周期和公轉周期的不同．
(2)兩種速度——環繞速度與發射速度的不同，最大環繞速度等于最小發射速度．
(3)兩個半徑——天體半徑R和衛星軌道半徑r的不同．
(4)第二宇宙速度(脫離速度)：v2＝11.2 km/s，使物體掙脫地球引力束縛的最小發射速度．
(5)第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物體掙脫太陽引力束縛的最小發射速度．
考點五　雙星或多星模型
繞公共圓心轉動的兩個星體組成的系統，我們稱之為雙星系統，如圖6所示，雙星系統模型有以下特點：
(1)各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，即
＝m1ωr1，＝m2ωr2
(2)兩顆星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2
(3)兩顆星的半徑與它們之間的距離關系為：r1＋r2＝L
(4)兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質量成反比，即＝
(5)雙星的運動周期T＝2π
(6)雙星的總質量公式m1＋m2＝
（2024 浙江模擬）A點和B點位于地球兩側，且兩點間存在一隧道，如圖所示。現在A處同時釋放兩個載人宇宙飛船。其中一個飛船從靜止開始沿著隧道運動，一段時間到達B點。另一飛船沿著近地軌道環繞地球運動，一段時間后也到達B點。已知地球半徑為R，地表的重力加速度為g，且不計一切阻力。則下列說法正確的是（提示：均勻球殼內部引力處處為0）（　　）
A．在沿著隧道穿行的飛船中的人會先經歷超重，再經歷失重過程
B．沿著隧道穿行的飛船飛行的最大速度
C．設x為沿著隧道穿行的飛行器距離地球球心的距離，則其受到的合力為Fmg，其中為其質量
D．兩飛行器同時到達B點
【解答】解：A、在沿著隧道穿行的飛船中的人與飛船的加速度相同，對飛船沒有壓力，始終處于完全失重狀態，故A錯誤；
BC、根據和，可得地球密度為，設飛行器沿著隧道穿行，到距離地球球心的距離為x時所受的力F，解得F，因此該飛船做簡諧運動，到達地心時速度最大，根據機械能守恒定律有，解得最大速度，故BC錯誤；
D、利用簡諧振動的周期公式T＝2
可知沿著隧道穿行的飛行器到達B點時恰好運動了半個周期，所用時間為t1，沿地球表面飛行的速度v，從A到B飛行的時間為
，因此兩飛行器同時到達B點，故D正確。
故選：D。
（2024 浙江模擬）假設宇宙是一團球形的密度均勻的物質，其各物理量均具有球對稱性（即只與球的半徑有關）。宇宙球對稱地向外膨脹，半徑為r的位置具有速度v（r）。不難發現，宇宙膨脹的過程中，其平均密度必然下降。若假設該宇宙球在膨脹過程中密度均勻（即球內各處密度相等），則應該有v＝Hrα，其中H是一個可變化但與r無關的系數，那么α的值應為（　　）
[提示：若p（t）是某一物理量，則pα對時間的導數為apα﹣1p′（t）]
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：設t＝0時刻，半徑為r1，宇宙球內質量為M1，半徑在r1～r2，之間的質量為M2，由于各處的密度相等，則
①
在經過極短時間Δt后，各處的密度仍相等，則
②
整理可得
③
將①代入③忽略去二階小量和三階小量
整理得
r1、r2大小無關，若等式恒成立，則α＝1
故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
（2024 廣東三模）木星的衛星總共有92顆，其中木衛一、木衛二、木衛三、木衛四是意大利天文學家伽利略在1610年用自制的望遠鏡發現的，這四顆衛星后被稱為伽利略衛星。四顆伽利略衛星的自身參數近似如下表所示，根據表格信息，下列判斷正確的是（　　）
木衛一 木衛二 木衛三 木衛四
密度/g cm﹣3 3.5 3.0 2.0 1.8
直徑/km 3600 3100 5300 4800
A．木衛三繞木星運動的軌道半徑大于木衛四繞木星運動的軌道半徑
B．木衛二表面的重力加速度小于木衛四表面的重力加速度
C．木衛一的第一宇宙速度大于木衛二的第一宇宙速度
D．木衛二的質量大于木衛三的質量
【解答】解：A、根據萬有引力提供圓周運動所需的向心力得：mr
解得T＝2π
衛星的周期未知，則無法比較運動半徑，故A錯誤；
B、根據萬有引力與重力的關系有mg
根據密度的公式可知M
解得g
將表格中的數據代入可知木衛二表面的重力加速度大于木衛四表面的重力加速度，故B錯誤；
C、第一宇宙速度為v
結合M
可知v＝R
將表格中的數據代入可知木衛一的第一宇宙速度大于木衛二的第一宇宙速度，故C正確；
D、根據密度的公式可知M
將表格中的數據代入可知木衛二的質量小于木衛三的質量，故D錯誤；
故選：C。
（2024 廣州一模）某校天文小組通過望遠鏡觀察木星周圍的兩顆衛星a、b，記錄了不同時刻t兩衛星的位置變化如圖甲。現以木星中心為原點，測量圖甲中兩衛星到木星中心的距離x，以木星的左側為正方向，繪出x﹣t圖像如圖乙。已知兩衛星繞木星近似做圓周運動，忽略在觀測時間內觀察者和木星的相對位置變化，由此可知（　　）
A．a公轉周期為t0
B．b公轉周期為2t0
C．a公轉的角速度比b的小
D．a公轉的線速度比b的大
【解答】解：AB、根據甲圖可知，衛星a的軌道半徑小于b的軌道半徑。根據圖乙可知，a公轉周期為Ta＝2t0；根據開普勒第三定律可得：k，所以b的公轉周期大于2t0，故AB錯誤；
C、衛星繞木星做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力有：mrω2，解得：ω，所以a公轉的角速度比b的大，故C錯誤；
D、衛星繞木星做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力有：m，解得：v，所以a公轉的線速度比b的大，故D正確。
故選：D。
（2024 廣東三模）地球、火星繞太陽運動的軌道均可看成圓軌道，軌道半徑之比為2：3。現要從地球向火星發射一飛行器，其離開地球運動到火星的過程繞太陽運動，軌道為橢圓軌道，且在該軌道的遠日點被火星俘獲，如圖所示。則該飛行器（　　）
A．離開地球運動到火星的過程速度逐漸增大
B．到達火星時，地球在飛行器與太陽連線下方
C．繞太陽的運行周期大于火星繞太陽的運行周期
D．在遠日點與火星相遇時，需加速才能被火星俘獲
【解答】解：A．飛行器脫離地球運動到火星的過程，繞太陽運動，結合開普勒第二定律可知，飛行器與太陽中心的連線（逐漸變長）在相同時間內掃過的面積相同，則從離開地球運動到火星的過程飛行器速度逐漸減小，故A錯誤；
B．設地球繞太陽運動的軌道半徑為r1，結合題圖和題述可知，飛行器的軌道半長軸為
由開普勒第三定律可得，飛行器與地球繞太陽運動的周期之比為
解得
則飛行器運動周期時，地球轉過的角度大于180°，小于360°，所以飛行器到達火星時，地球在飛行器與太陽連線下方，故B正確；
C．飛行器的軌道半長軸小于火星的軌道半徑，根據開普勒第三定律可知，飛行器的周期小于火星的公轉周期，故C錯誤；
D．飛行器在遠日點與火星相遇時，需要減速，才有可能在火星引力作用下繞火星運動，故D錯誤。
故選：B。
（2024 衡水模擬）2024年3月20日8時31分，探月工程四期“鵲橋二號”中繼星由長征八號遙三運載火箭在中國文昌航天發射場成功發射升空，該衛星是經“地—月轉移軌道”逐步送入近月距離約200km、遠月距離約1600km的穩定橢圓環月軌道，周期24h，月球半徑約1738km，月球表面重力加速度約為1.63m/s2，下列說法正確的是（　　）
A．該衛星的發射速度應大于第二宇宙速度
B．若另發射一顆距月球表面約300km的環月圓軌道衛星，則其周期約為5小時
C．若要在遠月點把“鵲橋二號”轉移到圓軌道上，其速度加至約1.2km/s
D．由以上條件，可以求得“鵲橋二號”在近月點所受的萬有引力大小
【解答】解：A．“鵲橋二號”中繼衛星并沒有脫離地球束縛，所以其從地球的發射速度應高于第一宇宙速度而低于第二宇宙速度，故A錯誤；
B．設“鵲橋二號”橢圓環月軌道的半長軸為a，環月圓軌道衛星的軌道半徑為R1，其中
R1＝（1738+300）km＝2038km
根據開普勒第三定律有
解得T2≈16h
故B錯誤；
C．若要在遠地點把“鵲橋二號”轉移到圓軌道上，設其速度v，根據牛頓第二定律可得
聯立可得v＝1215m/s
故C正確；
D．由于缺少“鵲橋二號”的質量，故無法求出萬有引力的大小，故D錯誤。
故選：C。
（2024 湖北模擬）我國首顆量子科學實驗衛星于2016年8月16日1點40分成功發射。量子衛星成功運行后，我國在世界上首次實現衛星和地面之間的量子通信，構建天地一體化的量子保密通信與科學實驗體系。1軌道為量子衛星靜止在赤道上隨地球自轉，2為近地軌道，3為地球的同步軌道，如圖所示。已知該衛星在1軌道隨地球自轉的周期約為近地軌道2運動周期的17倍，關于該衛星在1、2、3軌道繞地球做勻速圓周運動的說法中正確的是（　　）
A．衛星在軌道1的加速度最大，線速度最小
B．衛星在軌道2的加速度最大，線速度最大
C．衛星在軌道3運動的周期最大，線速度最小
D．若將該衛星放在南極極點上，與軌道1處相比，其重力將變為原來的2.89倍
【解答】解：ABC、衛星在1軌道和3軌道上運行時，周期相等，角速度相等，根據v＝ωr，a＝ω2r可知，衛星在軌道1的加速度和線速度都小于衛星在軌道3的加速度和線速度。
對于2軌道和3軌道，根據萬有引力提供向心力得
可得：，，
可知衛星在2軌道的線速度大于衛星在3軌道的線速度，衛星在2軌道的加速度大于衛星在3軌道的加速度，衛星在2軌道的周期小于衛星在3軌道的周期.
綜上所述，衛星在軌道2的加速度最大，線速度最大，衛星在軌道1和軌道3運動的周期相等，衛星在軌道2運動的周期最小，故AC錯誤，B正確；
D、設衛星在2軌道上運行的周期為T，地球半徑為R，根據題意可知，在南極極點上，衛星的重力等于地球對衛星的萬有引力，為
在赤道上，衛星的重力為
可得：，故D錯誤。
故選：B。
（2024 河南二模）北京時間2023年12月15日21時41分，我國在文昌航天發射場成功將遙感四十一號衛星發射升空，衛星順利進入同步傾斜軌道，該星是一顆高軌道光學遙感衛星。遙感四十一號衛星與在軌高度約為343km的神舟十七號載人飛船（兩者都近似看作繞地球做圓周運動）相比，下列說法正確的是（　　）
A．遙感四十一號衛星向心加速度大于神舟十七號飛船向心加速度
B．神舟十七號載人飛船的動能大于遙感四十一號衛星動能
C．神舟十七號載人飛船發射速度大于遙感四十一號衛星發射速度
D．相等時間內遙感四十一號衛星與地球的連線掃過的面積大于神舟十七號飛船與地球的連線掃過的面積
【解答】解：A.由萬有引力提供向心力Gman，解得可知，神州十七號載人飛船的向心加速度更大，故A錯誤；
B.由于遙感四十一號衛星和神州十七號載人飛船的質量關系未知，無法比較誰的動能更大，故B錯誤；
C.由于衛星軌道越高，機械能越大，發射速度越 大，則遙感四十一號衛星的發射速度更大，故C錯誤；
D.由萬有引力提供向心力有，解得，衛星與中心天體連線掃過的扇形面積S πr2，整理可得可知，軌道半徑r越大，與中心天體連線掃過的扇形面積越大，則相等時間內遙感四十一號衛星與地球的連線掃過的面積大于神州十七號飛船與地球的連線掃過的面積，故D正確。
故選：D。
（2024 東西湖區校級模擬）中國計劃在2030年前實現載人登月，開展月球科學考察及相關技術試驗。根據“嫦娥”系列衛星的發射，設想登月載人飛船的運行軌跡如圖所示。飛船發射后首先進入繞地球運行的圓形“停泊軌道”，在P點加速進入橢圓“過渡軌道”，該軌道離地球表面最近距離為h1，飛船到達離P點最遠距離為L的Q點時，依靠飛船的反向助推器減速，被月球引力“俘獲”后，在距月球表面h2的圓形“繞月軌道”上飛行，擇機降落在月球表面。已知地球半徑為R，月球半徑為r，地球表面重力加速度為g，月球表面的重力加速度為，飛船在“過渡軌道”運行時忽略月球引力影響。下列說法正確的是（　　）
A．飛船在“停泊軌道”上的運行速度為
B．飛船在“繞月軌道”上的運行速度為
C．地球質量與月球質量之比為
D．飛船從P點運動到Q點的時間為
【解答】解：A．飛船在“停泊軌道”上的運行時，萬有引力提供向心力，可得
又根據萬有引力等于重力列式
聯立，解得
故A錯誤；
B．同理，飛船在“繞月軌道”上的運行，萬有引力提供向心力，可得
又根據萬有引力等于重力列式
聯立，解得
故B錯誤；
C．根據萬有引力等于重力
故地球質量與月球質量之比為
故C正確；
D．飛船在“停泊軌道”上的運行時，周期為
由開普勒第三定律，可得
飛船從P點運動到Q點的時間為
聯立，解得
故D錯誤。
故選：C。
（2024 黑龍江三模）2023年10月24日4時3分，我國在西昌衛星發射中心成功將“遙感三十九號”衛星送入太空。已知地球半徑為R。自轉周期為T，“遙感三十九號”衛星軌道離地面的高度為h1，地球同步衛星軌道離地面的高度為h2，“遙感三十九號”衛星和地球同步衛星繞地球飛行的軌道如圖所示。引力常量為G，下列說法正確的是（　　）
A．“遙感三十九號”衛星的發射速度大于11.2km/s
B．“遙感三十九號”衛星繞地球運行的周期為T
C．地球的平均密度可表示為
D．“遙感三十九號”衛星與同步衛星繞地球運行的向心加速度之比為
【解答】解：A．“遙感三十九號”衛星的發射速度滿足
7.9km/s＜v＜11.2km/s
故A錯誤；
B．“遙感三十九號”衛星繞地球運行的周期為T'，根據開普勒第三定律有
解得
故B正確；
C．對同步衛星有
解得
故地球密度為
故C錯誤；
D．根據萬有引力提供向心力，有
故
故D錯誤。
故選：B。
題型1開普勒行星運動定律
（2024 鹽城模擬）太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動。“行星沖日”是指當地球恰好運行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現象。已知地球及部分地外行星繞太陽運動的軌道半徑如表中所示。
地球 木星 土星 天王星 海王星
軌道半徑R/AU 1.0 5.2 9.5 19 30
則表中相鄰兩次沖日的時間間隔最長的地外行星是（　　）
A．木星 B．土星 C．天王星 D．海王星
【解答】解：由開普勒第三定律，有 可知軌道半徑較大的行星，其周期也長。
設地球繞太陽運行的周期為T，地球外另一行星的周期為 T'，兩次沖日時間間隔為t，則，解得：，可知海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短，木星相鄰兩次沖日的時間間隔最長，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
（2024 東湖區校級三模）“日心說”以太陽為參考系，金星和地球運動的軌跡可以視為共面的同心圓；“地心說”以地球為參考系，金星的運動軌跡（實線）和太陽的運動軌跡（虛線）如圖所示。觀測得每隔1.6年金星離地球最近一次，則下列判斷正確的是（　　）
A．在8年內太陽、地球、金星有5次在一條直線上
B．在8年內太陽、地球、金星有10次在一條直線上
C．地球和金星繞太陽公轉的周期之比為8：5
D．地球和金星繞太陽公轉的半徑之比為
【解答】解：AB.根據題意由圖可知，金星繞太陽的軌道半徑較小，由于每隔1.6年金星離地球最近一次，即每隔1.6年金星比地球多轉一圈，則每隔0.8年金星比地球多轉半圈，即每隔0.8年太陽、地球、金星在一條直線上，則在8年內太陽、地球、金星有10次在一條直線上，故B正確，A錯誤；
CD.設金星的公轉周期為T1，地球的公轉周期為T2，則有：
t＝2π
又因為：t＝1.6年，T2＝1年
代入解得：T1：T2＝13：8
根據萬有引力提供向心力有：
Gm
解得：r
則地球和金星繞太陽公轉的半徑之比為：
代入解得：
故CD錯誤。
故選：B。
（2024 棗強縣校級模擬）如圖所示，哈雷彗星繞太陽運行的軌道為橢圓，哈雷彗星最近出現在近日點的時間是1986年，預計哈雷彗星下次回歸到近日點將在2061年。已和橢圓軌道的近日點到太陽中心的距離是地球公轉軌道半徑R的0.6倍，則橢圓軌道遠日點到太陽的距離為（　　）
A．17.2R B．17.8R C．35R D．36R
【解答】解：由題知，哈雷彗星運動的周期約為T哈＝2061年﹣1986年＝75年，地球運動的周期為：T地＝1年，設哈雷彗星的軌道的半長軸為a哈，由開普勒三定律：，解得：，即哈雷彗星軌道的半長軸為：，則橢圓軌道遠日點到太陽的距離滿足：r遠+r近＝2a哈，解得：r遠＝2a哈﹣r近＝2×17.8R﹣0.6R＝35R，故C正確，ABD錯誤。
故選：C。
題型2萬有引力定律的應用
（2024 海淀區校級模擬）1772年，法籍意大利數學家拉格朗日在論文《三體問題》中指出：兩個質量相差懸殊的天體（如太陽和地球）所在同一平面上有5個特殊點，如圖中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人們稱為拉格朗日點。若飛行器位于這些點上，會在太陽與地球共同引力作用下，可以幾乎不消耗燃料而保持與地球同步做圓周運動。若發射一顆衛星定位于拉格朗日L2點，下列說法正確的是（　　）
A．該衛星繞太陽運動周期大于地球公轉周期
B．該衛星在L2點處于平衡狀態
C．該衛星繞太陽運動的向心加速度大于地球繞太陽運動的向心加速度
D．該衛星在L2處所受太陽和地球引力的合力比在L1處小
【解答】解：AC．該衛星與地球同步繞太陽運動，可知衛星繞太陽運動周期等于地球公轉周期，根據
可知，該衛星繞太陽運動的向心加速度大于地球繞太陽運動的向心加速度，故A錯誤，C正確；
B．該衛星繞太陽做勻速圓周運動，所受的合力為地球和太陽對它引力的合力，這兩個引力方向相同，合力不為零，處于非平衡狀態，故B錯誤；
D．該衛星在L2處所受太陽和地球引力的合力等于衛星繞太陽做圓周運動的向心力，則根據
F＝mω2r
因在L2點的轉動半徑大于在L1的轉動半徑，可知衛星在L2處所受太陽和地球引力的合力比在L1處大，故D錯誤。
故選：C。
（2024 榮昌區校級模擬）半徑為R、質量分布均勻且為M的兩個相同的球固定在水平面上，兩個球球心之間的距離為4R，它們間的萬有引力大小為F。現在在兩球心的連線外側各挖掉一個直徑為R的小球，剩余部分放在相同位置，如圖所示。則剩余部分之間的萬有引力大小為（　　）
A．F B． C． D．
【解答】解：根據題意，兩實心球的萬有引力為滿足GGF，由于小球密度均勻，被挖去的小球的體積是大球的，則其質量mM，設想左邊仍是實心球，把右邊實心球挖掉一個小球，則左邊實心球對右邊球的萬有引力為
F1＝GGG GF
左邊小球對右邊大球的萬有引力為
F2＝GG G F
則剩余部分兩球的萬有引力為ΔF＝F1﹣F2FFF
故ABC錯誤，D正確。
故選：D。
（2023 重慶模擬）如圖所示，從一質量為M、半徑為2R的均勻球體的球心O處挖出一半徑為R的小球，將其移至兩球面相距R處，已知引力常量為G，則大球剩余部分和小球間的萬有引力大小為（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：大球剩余質量m2和小球的質量m1之比為
大球和小球的質量之和為
m1+m2＝M
大球剩余部分和小球的質量分別為
則二者之間的萬有引力大小為
，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
題型3天體質量與密度
（多選）（2024 渾南區校級模擬）如圖所示，人造衛星A圍繞地球做圓周運動，AB和AC與地球相切，∠BAC＝θ，θ稱為地球對衛星的張角。現有甲、乙兩顆人造衛星，軌道平面相同，以相同方向繞地球公轉。已知地球對甲、乙的張角分別為θ1和θ2，且θ1＞θ2，甲、乙公轉角速度分別為ω1和ω2，萬有引力常量為G。則以下說法正確的是（　　）
A．由題目所給條件，可以算出地球的質量
B．由題目所給條件，可以算出地球的密度
C．每隔時間，兩衛星可以恢復直接通信
D．每隔時間，兩衛星可以恢復直接通信
【解答】解：AB、根據題意，由萬有引力提供向心力有
根據題意，作出幾何關系圖如圖所示
由幾何關系有
解得
由于地球半徑不已知，也無法求出軌道半徑，故無法求出地球質量
又有
聯立解得
即地球的密度為
故地球的密度可求出
故A錯誤，B正確；
CD、根據題述條件畫出幾何關系圖，可知當甲進入弧AB，則甲、乙無法直接通信，當甲的公轉比乙多轉
兩者可恢復直接通信，則有
解得
故C錯誤，D正確。
故選：BD。
（2024 五華區校級模擬）距離地球大約600光年的行星開普勒22﹣b很有可能是一顆宜居行星，其表面溫度約為22℃，它圍繞一顆和太陽非常相似的恒星公轉。該行星半徑為地球半徑的2.4倍，其公轉周期約為290天，其準確質量還未能得知。假設其密度與地球相同，不考慮星球的自轉。下列說法正確的是（　　）
A．開普勒22﹣b的質量是地球質量的5.76倍
B．地球表面重力加速度為開普勒22﹣b表面重力加速度的2.4倍
C．開普勒22﹣b的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的2.4倍
D．開普勒22﹣b的公轉軌道半徑為地球公轉軌道半徑的3.6倍
【解答】解：A、設地球質量為M，半徑為R，則開普勒22﹣b的質量為M'，根據M＝ρV＝ρ ，解得，即則開普勒22﹣b的質量為地球質量的13.824倍，故A錯誤；
B、設地球表面重力加速度為g，則開普勒22﹣b表面重為加速度為g'，則mg，mg'，解得g'＝2.4g，即開普勒22﹣b表面重為加速度為地球表面重力加速度的2.4倍，故B錯誤；
C、設地球的第一宇宙速度為v，則開普勒22﹣b的第一宇宙速度為v'，根據，得，，代入數據解得v'＝2.4v，故C正確；
D、地球公轉軌道半徑為r，則開普勒22﹣b的公轉軌道半徑為r'，根據，解得，其中太陽的質量M太和恒星的質量M恒相等，解得r'＝0.86r，故D錯誤。
故選：C。
（2024 朝陽區校級模擬）按黑體輻射理論，黑體單位面積的輻射功率與其熱力學溫度的四次方成正比，比例系數為σ（稱為斯特藩﹣玻爾茲曼常數），某黑體如果它輻射的功率與接收的功率相等時，溫度恒定。假設宇宙中有一恒星A和繞其圓周運動的行星B（忽略其它星體的影響），已知恒星A單位面積輻射的功率為P，B繞A圓周運動的距離為r、周期為T'，將B視為黑體，B的溫度恒定為T，萬有引力常數為G，將A和B視為質量均勻分布的球體，行星B的大小遠小于其與A的距離，由上述物理量和常數表示出的恒星A的平均密度為（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：設恒星A的半徑為RA，質量為M，平均密度為ρ，恒星B的半徑為RB，質量為m，恒星A、B間的距離為r，則M，行星B繞恒星A做勻速圓周運動，周期為T'由牛頓第二定律：，由于行星B的溫度恒定，則星行B輻射的功率與接收到的功率相等，即
聯立知，，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
題型4衛星參量比較
發現未知星體是萬有引力定律的重要成就之一，如“筆尖下發現的行星”﹣海王星．1843年，英國劍橋大學的學生亞當斯和法國巴黎年輕天文愛好者勒維耶根據天王星的觀測資料，發現天王星實際運行的軌道與圓軌道總存在一些偏離，且周期性地每隔t0時間發生一次最大的偏離、形成這種現象的原因是海王星對它的萬有引力，已知天王星繞太陽運行的軌道半徑為R0，周期為T0，假定兩顆行星的運動可以認為是勻速圓周運動，請你利用所學知識確定海王星的軌道半徑為（　　）
A．R0 B．R0
C．R0 D．R0
【解答】解：由題意可知：海王星與天王星相距最近時，對天王星的影響最大，且每隔時間t發生一次最大的偏離。
設海王星行星的周期為T0，圓軌道半徑為R0，則有：，
解得T，
根據開普勒第三定律：，
解得。
故選：A。
2019年12月7日，我國采用一箭多星的方式成功將六顆衛星發射升空。在赤道平面內有三顆在同一軌道上運行的衛星，三顆衛星在此軌道均勻分布，其軌道距地心的距離為地球半徑的3.3倍，且三顆衛星均自西向東環繞地球轉動。某時刻其中一顆人造衛星處于地球赤道上某一建筑物的正上方，已知地球的自轉周期為T，地球同步衛星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍，則該建筑物正上方出現下一顆人造衛星間隔的時間約為（　　）
A．0.18T B．0.24T C．0.32T D．0.48T
【解答】解：地球的自轉周期為T，即為地球同步衛星的周期，設地球的半徑為R，
根據開普勒第三定律：，解得：T′T，
該建筑物正上方出現一顆人造衛星時，該衛星比地球自轉多轉過的角度為，即（）t
解得：t≈0.18T 故A正確，BCD錯誤
故選：A。
（多選）（2015 本溪校級模擬）太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動，當地球恰好運行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現象，天文學家稱為“行星沖日”，據報道，2014年各行星沖日時間分別為：1月6日木星沖日；4月9日火星沖日；5月11日土星沖日；8月29日海王星沖日；10月8日天王星沖日．已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表所示，則下列判斷正確的是（　　）
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
軌道半徑（AU） 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．各地外行星每年都會出現沖日現象
B．在2015年內一定會出現木星沖日
C．天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為土星的一半
D．地外行星中，海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短
【解答】解：根據開普勒第三定律，有：；
解得：T；
故T火1.84年；
T木11.86年；
T土29.28年；
T天82.82年；
T海164.32年；
A、如果兩次行星沖日時間間隔為1年，則地球多轉動一周，有：
2π＝（）t
代入數據，有：
2π＝（）×1
解得：T0為無窮大；
即行星不動，才可能在每一年內發生行星沖日，顯然不可能，故A錯誤；
B、2014年1月6日木星沖日，木星的公轉周期為11.86年，在2年內地球轉動2圈，木星轉動不到一圈，故在2015年內一定會出現木星沖日，故B正確；
C、如果兩次行星沖日時間間隔為t年，則地球多轉動一周，有：
2π＝（）t
解得：t
故天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為：t天1.01年；
土星相鄰兩次沖日的時間間隔為：t土1.04年；
故C錯誤；
D、如果兩次行星沖日時間間隔為t年，則地球多轉動一周，有：
2π＝（）t
解得：
t，故地外行星中，海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短；故D正確；
故選：BD。
題型5宇宙速度
（2024 南通模擬）宇宙速度是從地球表面向宇宙空間發射人造地球衛星、行星際和恒星際飛行器所需的最低速度。下列關于宇宙速度的說法正確的是（　　）
A．第一宇宙速度是人造地球衛星的最小發射速度
B．若飛行器的發射速度大于第二宇宙速度，則飛行器將繞地球做橢圓運動
C．若飛行器的發射速度大于第三宇宙速度，則飛行器將繞太陽運動
D．衛星繞地球做圓周運動的速率可能大于第一宇宙速度
【解答】解：AD．第一宇宙速度是人造衛星做圓周運動的最大運行速度，是人造地球衛星繞地球飛行的最小發射速度，故A正確，D錯誤；
B．第二宇宙速度是在地面上發射物體，使之成為繞太陽運動或繞其他行星運動的人造衛星所必需的最小發射速度，故B錯誤；
C．第三宇宙速度是在地面上發射物體，使之飛到太陽系以外的宇宙空間所必需的最小發射速度，故C錯誤。
故選：A。
（多選）（2024 河南三模）金星是繞太陽運動的從內向外的第二顆行星，軌道公轉周期為224.7天。金星的半徑為地球半徑的95%，質量為地球質量的82%。已知地球與太陽間的距離為1.5×1011m，地球的第一宇宙速度為7.9km/s，地球和金星繞太陽運動的軌跡可近似為圓。下列說法正確的是（　　）
A．金星的第一宇宙速度約為8.5km/s
B．金星的第一宇宙速度約為7.3km/s
C．金星距離太陽的距離約為1.1×1011m
D．金星距離太陽的距離約為2.1×1011m
【解答】解：AB.星球的第一宇宙速度即星球表面衛星繞星球做圓周運動的速度，根據萬有引力提供向心力可得：
得第一宇宙速度為：
代入解得：7.9km/s＝7.3km/s
故B正確，A錯誤；
CD．根據開普勒第三定律有：
代入r地＝1.5×1011m，T地＝365天，T金＝224.7天
解得：，故C正確，D錯誤。
故選：BC。
星球上的物體脫離星球引力所需要的最小發射速度稱為第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2與第一宇宙速度v1的關系是v2v已知某星球的半徑為r，表面的重力加速度為地球表面重力加速度gE的，不計其它星球的影響，則該星球的第二宇宙速度為（　　）
A． B． C． D．gEr
【解答】解：在星球表面，重力等于其表面衛星的環繞速度，根據牛頓第二定律，有：
m（gE）＝m
解得：
v1
根據題意，有：
v2v1
故v2
故選：A。
題型6同步衛星
（2024 山東模擬）根據宇宙大爆炸理論，密度較大區域的物質在萬有引力作用下，不斷聚集可能形成恒星。恒星最終的歸宿與其質量有關，質量為太陽質量四倍的恒星將坍塌成白矮星。設某恒星坍塌前后均可看成質量均勻分布的球體，質量不變，半徑變為原來的，自轉角速度變大。不考慮恒星與其他物體的相互作用，根據萬有引力理論，該恒星坍塌前后，下列分析正確的是（　　）
A．兩極處的重力加速度之比為
B．第一宇宙速度之比為
C．繞其飛行的同步衛星的線速度變大
D．繞其飛行的同步衛星的軌道半徑變大
【解答】解：A、根據萬有引力提供重力有：，解得：，質量不變，半徑變為原來的，所以重力加速度之比為1：9，故A錯誤；
B、根據第一宇宙速度的計算：，質量不變，半徑減小為原來的，可得第一宇宙速度之比為，故B錯誤；
CD、同步衛星和中心天體具有相同的角速度，根據萬有引力提供向心力：，可知質量不變的情況下當角速度變大軌道半徑減小，軌道半徑減小，則線速度變大，所以C正確，D錯誤；
故選：C。
（2024 南寧一模）2024年2月23日，“長征5號”遙七運載火箭搭載通信技術試驗衛星十一號發射成功，被譽為龍年首發。衛星進入地球同步軌道后，主要用于開展多頻段、高速率衛星通信技術驗證。設地球同步衛星的軌道半徑是地球半徑的n倍，下列說法中正確的是（　　）
A．地球同步衛星可以靜止在北京上空
B．同步衛星運行速度是第一宇宙速度的
C．同步衛星的運行速度是地球赤道上物體隨地球自轉獲得的速度的
D．若忽略地球的自轉效應，則同步衛星的向心加速度是地球表面重力加速度的
【解答】解：A、地球同步衛星的軌道半徑是地球半徑的n倍，與赤道平面共面所以不可能靜止在北京上空，A錯誤；
B、由萬有引力提供向心力即 ，得v，r＝nR，第一宇宙速度v′，所以同步衛星的運行速度是第一宇宙速度的，B正確；
C、同步衛星與地球赤道上的物體具有相同的角速度，根據v＝rω知，同步衛星的運行速度是地球赤道上物體隨地球自轉獲得的速度的 n倍，C錯誤；
D、根據 ma，得a，則同步衛星的向心加速度是地球表面重力加速度的，D錯誤。
故選：B。
（2024 白云區校級模擬）2023年“神舟十七號”順利對接“天宮”空間站，“天宮”在距地面約400km高度做勻速圓周運動，假設“神舟號”先繞地球在低于“天宮”的軌道上做勻速圓周運動，再變軌與“天宮”對接。又已知北斗同步衛星距地面約36000km。則（　　）
A．“天宮”空間站的運行周期可能大于24小時
B．“天宮”空間站的角速度比北斗同步靜止衛星的小
C．北斗同步靜止衛星運行過程中可能通過北京正上方
D．“神舟十七號”從近地軌道上需要加速才能對接空間站
【解答】解：A.根據萬有引力提供地球同步衛星和空間站做勻速圓周運動的向心力，可得
解得
“天宮”空間站的軌道半徑小于北斗同步衛星的軌道半徑，北斗同步衛星的周期為24小時，所以“天宮”空間站的運行周期小于24小時。故A錯誤；
B.根據萬有引力提供地球同步衛星和空間站做勻速圓周運動的向心力，可得
解得
“天宮”空間站的軌道半徑小于北斗同步衛星的軌道半徑，“天宮”空間站的角速度比北斗同步靜止衛星的大，故B錯誤；
C.北斗同步衛星與地球自轉同步，與赤道共面，所以北斗同步靜止衛星運行過程中不可能通過北京正上方，故C錯誤；
D.“神舟十七號”從低軌道與高軌道的空間站對接，需要在低軌道加速，做離心運動到達高軌道，故D正確。
故選：D。
題型7近地衛星、同步衛星和赤道上物體運動的比較
（2024 衡陽縣校級模擬）2024年4月25日神舟十八號載人飛船與空間站完成交接任務，載人發射任務取得圓滿成功。空間站、同步衛星繞地球的運動均可視為勻速圓周運動。已知空間站的運行軌道半徑為R1，同步衛星的運行軌道半徑為R2（R2＞R1），下列說法正確的是（　　）
A．空間站處于平衡狀態
B．空間站的運行速度大于第一宇宙速度
C．空間站運動的周期小于地球同步衛星的周期
D．空間站與同步衛星的運行周期之比為
【解答】解：A、空間站繞地球做勻速圓周運動，所受合外力不為零，合外力等于地球對其的萬有引力，處于不平衡狀態，故A錯誤；
B、地球的第一宇宙速度是衛星貼近地表環繞地球做圓周運動的最大速度，根據：，可得：，可知軌道半徑越大，衛星運行速度越小，空間站軌道半徑大于地球半徑R，其速度小于第一宇宙速度，故B錯誤；
CD、其周期小于地球同步衛星的周期設空間站、同步衛星的運行周期分別為T1、T2，根據開普勒第三定律得：，整理可得。
因空間站軌道半徑小于地球同步衛星的半徑，故空間站運動的周期小于地球同步衛星的周期，故C正確，D錯誤。
故選：C。
（2024 天津三模）國際天文學聯合會于2024年2月23日宣布新發現了2顆海王星的衛星，并將它們分別命名為S/2002N5和S/2021N1，至此海王星的衛星已增至28顆。這兩顆衛星在近似圓軌道上繞海王星一周的時間分別約為9年和27年，以下由此推斷出的結論中不正確的是（　　）
A．S/2002N5運行的線速度比S/2021N1大
B．S/2002N5的向心加速度比S/2021N1大
C．S/2002N5受海王星的引力比S/2021N1大
D．S/2002N5與S/2021N1的軌道半徑之比為
【解答】解：D、根據萬有引力提供向心力有mr
兩顆衛星在近似圓軌道上繞海王星一周的時間分別約為9年和27年，則軌道半徑之比為，故D正確；
AB、根據萬有引力提供向心力有
ma＝m
解得a，v
可知S/2002N5運行的線速度和加速度比S/2021N1大，故AB正確；
C、由于衛星的質量大小未知，無法比較萬有引力大小，故C錯誤；
本題選擇錯誤選項；
故選：C。
我國發射的“嫦娥一號”衛星經過多次加速、變軌后，最終成功進入環月工作軌道。如圖所示，衛星既可以在離月球比較近的圓軌道a上運動，也可以在離月球比較遠的圓軌道b上運動。下列說法正確的是（　　）
A．衛星在a上運行的線速度小于在b上運行的線速度
B．衛星在a上運行的周期大于在b上運行的周期
C．衛星在a上運行的角速度小于在b上運行的角速度
D．衛星在a上運行時受到的萬有引力大于在b上運行時的萬有引力
【解答】解：對于月球的衛星，萬有引力提供向心力，設衛星的質量為m、軌道半徑為r、月球質量為M，有F＝F向
F
F向＝mmω2r＝m
解得v
ω
T＝2π
根據題意得：衛星在a上運行的軌道半徑小于在b上運行的軌道半徑，
所以衛星在a上運行的線速度大，角速度大、周期小、萬有引力大。故A、B、C錯誤，D正確。
故選：D。
題型8衛星變軌問題
（2024 江蘇模擬）一宇宙飛行器從地面發射，經過轉移軌道后，繞太陽系另一行星運行，若再經過幾次變軌后，進入如圖所示的橢圓軌道Ⅰ，然后在軌道上P點變軌進入圓軌道Ⅱ，已知萬有引力常量為G，則（　　）
A．飛行器從地面發射的速度小于11.2km/s
B．飛行器在P點從軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ時機械能減小
C．若測出飛行器在軌道Ⅱ上運行的速率，可求該行星質量
D．若測出飛行器在軌道Ⅰ經過P點時的速率和到該行星中心的距離，可求該行星質量
【解答】解：A、因為飛行器已經離開了地球的束縛，成為了另一顆行星的衛星，所以發射速度需要大于第二宇宙速度11.2km/s，故A錯誤；
B、飛行器在P點從軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ需要點火減速，對飛行器做負功，所以飛行器的機械能減小，故B正確；
C、根據牛頓第二定律有，可得行星的質量為M，因為不知道軌道半徑r，所以無法計算行星的質量M，故C錯誤；
D、若測出飛行器在軌道Ⅰ經過P點時的速率和到該行星中心的距離，但是飛行器在P點后要做離心運動，不滿足，所以無法計算行星的質量，故D錯誤。
故選：B。
（多選）（2024 黑龍江模擬）航天器進行宇宙探索的過程中，經常要進行變軌。若某次發射衛星時，先將衛星發射至近地圓軌道Ⅰ，到達軌道Ⅰ的A點時實施變軌進入橢圓軌道Ⅱ，到達軌道Ⅱ的遠地點B時，再次實施變軌進入圓形軌道Ⅲ繞地球做圓周運動。關于該衛星，下列說法正確的是（　　）
A．該衛星的發射速度大于11.2km/s
B．該衛星在軌道Ⅰ上運動的周期小于在軌道Ⅱ上運動的周期
C．該衛星在軌道Ⅰ上運行時的速度大于在軌道Ⅲ上運行時的速度
D．該衛星在軌道Ⅱ上經過B點時的加速度大于在軌道Ⅲ上經過B點時的加速度
【解答】解：A、該衛星繞地球做圓周運動，發射速度大于7.9km/s，小于11.2km/s，故A錯誤；
B、根據開普勒第三定律可知該衛星在軌道Ⅰ上運動的周期小于在軌道Ⅱ上運動的周期，故B正確；
C、根據得：，所以該衛星在軌道Ⅰ上運行時的速度大于在軌道Ⅲ上運行時的速度，故C正確；
D、根據得：a，所以該衛星在軌道Ⅱ上經過B點時的加速度等于在軌道Ⅲ上經過B點時的加速度，故D錯誤。
故選：BC。
如圖所示，“嫦娥奔月”的過程可以簡化為：“嫦娥一號”升空后，繞地球沿橢圓軌道運動，遠地點A距地面高度為h1，然后經過變軌被月球捕獲，再經多次變軌，最終在距離月球表面高度為h2的軌道上繞月球做勻速圓周運動．若已知地球的半徑為R1、表面重力加速度為g1；月球的質量為M2，半徑為R2，引力常量為G，根據以上信息，不可以確定的是（　　）
A．“嫦娥一號”在遠地點A時的速度
B．“嫦娥一號”在遠地點A時的加速度
C．“嫦娥一號”繞月球運動的周期
D．月球表面的重力加速度
【解答】解：A、根據牛頓第二定律得
“嫦娥一號”在遠地點A時萬有引力等于其合力。
ma①
忽略地球自轉的影響，根據萬有引力等于重力列出等式。
m′g1 ②
由①②可求得“嫦娥一號”在遠地點A時的加速度。
由于軌道是橢圓，在遠地點A時的速度無法確定，故A錯誤，B正確。
C、“嫦娥一號”繞月球運動根據萬有引力提供向心力，列出等式
m（R1+h2）③
忽略月球自轉的影響，根據萬有引力等于重力列出等式
m′g2④
由③④可求得“嫦娥一號”繞月球運動的周期和月球表面的重力加速度，故C、D正確。
本題選錯誤的，故選：A。
題型9天體追及與相遇
（2024 海珠區校級模擬）無地面網絡時，華為Mate60Pro可連接天通一號進行衛星通話。天通一號目前由01、02、03共三顆地球同步衛星組網而成，分別定位于東經101.4度、東經125度、東經81.6度。已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，同步衛星運行的周期為T，下列說法正確的是（　　）
A．若03星加速，則一定可以追上01星
B．三顆衛星的線速度一定比赤道上地面物體的線速度小
C．三顆衛星的軌道半徑一定都是
D．三顆衛星的線速度大小一定都是
【解答】解：A.若03星加速，則軌道半徑會增大，無法追上01星，故A錯誤；
B.地球同步衛星與地球赤道上物體的角速度相等，由v＝ωr可知，三顆衛星的線速度一定比赤道上地面物體的線速度大，故B錯誤；
C.由
可得三顆衛星的軌道半徑一定都是，故C正確；
D.由，得三顆衛星的線速度大小，故D錯誤。
故選：C。
（2024 中山市校級模擬）2022年7月14日下午，長征五號B火箭成功將我國空間站的首個實驗艙“問天”實驗艙送入太空與天和核心艙進行對接，隨后神舟十四號乘組順利進入問天實驗艙，開啟了太空實驗的新階段。如圖所示，已知空間站在距地球表面高約400km的近地軌道上做勻速圓周運動，地球半徑約為6400km，萬有引力常量為G。則下列說法正確的是（　　）
A．空間站繞地球運行的周期大于24h
B．“問天”實驗艙需先進入核心艙軌道，再加速追上核心艙完成對接
C．若已知空間站的運行周期則可以計算出地球的質量
D．空間站在軌運行速度大于地球第一宇宙速度
【解答】解：A、衛星繞地球做勻速圓周運動時，根據，可得，因空間站的軌道半徑小于地球同步衛星的軌道半徑，所以空間站繞地球運行的周期小于地球同步衛星運行的周期24h，故A錯誤；
B、航天員乘坐的“問天”實驗艙需先進入比天和核心艙低的軌道，再加速追上天和核心艙完成對接，故B錯誤；
C、由，可得，已知地球的半徑，空間站的軌道高度，即可求出空間站的軌道半徑r，又已知空間站的運行周期T，可以計算出地球的質量M，故C正確；
D、第一宇宙速度是環繞地球做圓周運動的衛星的最大運行速度，所以空間站在軌運行速度小于7.9km/s，故D錯誤。
故選：C。
（2024 江蘇模擬）三顆人造衛星A、B、C都在赤道正上方同方向繞地球做勻速圓周運動，A、C為地球同步衛星，某時刻A、B相距最近，如圖所示。已知地球自轉周期為T1，B的周期為T2，則下列說法正確的是（　　）
A．A加速可追上同一軌道上的C
B．經過時間，A、B相距最遠
C．A、C向心加速度大小相等，且大于B的向心加速度
D．A、B與地心連線在相同時間內掃過的面積相等
【解答】解：A、衛星A加速后做離心運動，軌道變高，不可能追上衛星C，故A錯誤；
B、A、B兩衛星由相距最近至相距最遠時，圓周運動轉過的角度相差π，即ωBt﹣ωAt＝π，其中，，解得經歷的時間，故B正確；
C、根據萬有引力提供向心力有，得，可知A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度，故C錯誤；
D、繞地球運動的衛星與地心連線在相同時間t內掃過的面積，其中，則：，可知A、B與地心連線在相同時間內掃過的面積不等，故D錯誤。
故選：B。
題型10雙星、多星模型
（2024 光明區校級模擬）人類首次發現的引力波來源于距地球之外13億光年的兩個黑洞互相繞轉最后合并的過程。如圖所示，設兩個黑洞A、B繞其連線上的O點做勻速圓周運動，黑洞A的軌道半徑大于黑洞B的軌道半徑，兩個黑洞的總質量為M，兩個黑洞中心間的距離為L，則下列說法正確的是（　　）
A．兩黑洞的運動周期均為
B．黑洞A的線速度一定小于黑洞B的線速度
C．兩個黑洞的總質量M一定，L越大，角速度越大
D．黑洞A的質量一定大于黑洞B的質量
【解答】解：D、黑洞A、B相互作用的萬有引力提供兩者做勻速圓周運動所需的向心力，兩者以相同的角速度繞其連線上的O點做圓周運動。設黑洞A、B的質量分別為mA、mB，軌道半徑分別為RA、RB，角速度均為ω。則有：
①；②
可得：，因RA＞RB，故mA＜mB，故D錯誤；
AC、將①②兩式相加，再結合RA+RB＝L，M＝mA+mB，，聯立解得：
可知當總質量M一定，L越大，則T越大，角速度越小，故A正確，C錯誤；
B、根據線速度v＝ωR，因RA＞RB，故vA＞vB，即黑洞A的線速度一定大于黑洞B的線速度，故B錯誤。
故選：A。
（2024 蜀山區校級三模）宇宙中大多數恒星系都是雙星系統，如圖所示，兩顆遠離其他星系的恒星A和B在相互之間的引力作用下繞O點做勻速圓周運動，且A星距離O點更近。軌道平面上的觀測點P相對O點靜止，觀察發現每隔T時間，兩顆恒星與O、P共線。已知引力常量為G，其中一顆恒星的質量為m、另一顆恒星的質量為3m，恒星的半徑都遠小于它們之間的距離。則以下說法正確的是（　　）
A．A的質量為m
B．該雙星系統的運動周期為T
C．A、B相距的距離為
D．在相同時間里，A、B兩顆恒星與O點連線掃過的面積之比為1：3
【解答】解：A、雙星系統的周期相同，相互之間引力等大，因此質量大的恒星半徑較小，A的質量為3m，故A錯誤；
BD、觀察發現每隔T時間，兩顆恒星與O、P共線，該雙星系統的運動周期為2T，而單位時間內恒星與O點連線掃過的面積，則相等時間內，A、B兩顆恒星與O點連線掃過的面積之比為1：9，故BD錯誤；
C、由萬有引力提供向心力有，且r1+r2＝r，解得A、B相距的距離為，故C正確。
故選：C。
（2024 龍鳳區校級模擬）如圖所示，P、Q恒星構成的雙星系統，一顆質量為m，另一顆質量為2m，兩星均視為質點且距離保持不變，均繞它們連線上的O點做勻速圓周運動。軌道平面上的觀測點F相對于O點靜止，連續兩次出現P、Q與O、F共線的時間間隔為t。僅考慮雙星間的萬有引力，引力常量為G。則下列說法不正確的是（　　）
A．恒星Q的質量為2m
B．恒星P圓周運動的角速度為
C．任意時間內兩星與O點的連線掃過的面積相等
D．恒星P、Q之間的距離為
【解答】解：AB.設恒星P、Q的質量分別為 m1、m2，做圓周運動的軌跡半徑分別為r1、r2，且兩恒星之間的距離為L，根據題圖可知 r1＞r2，而根據題意可得 。根據 可得兩恒星轉動得角速度，根據萬有引力充當向心力有：，，解得：，由此可知m1＝m，m2＝2m，即恒星Q的質量為2m，故AB正確；
C.由于兩恒星角速度相同，但半徑不同，且P的軌跡半徑大于Q的軌跡半徑，因此任意時間內兩星與O點的連線掃過的面積SP＞SQ，故C錯誤；
D.根據，，解得： ，則有：，可得 ，故D正確。
本題選擇錯誤的，故選：C。

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