資源簡介

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專題9 平拋運動
課標要求 知識要點 命題推斷
1.掌握平拋運動的特點和性質. 2.掌握研究平拋運動的方法，并能應用解題． 考點一　平拋運動的基本規律 考點二　斜面上的平拋運動問題 考點三　平拋運動的臨界問題 考點四　類平拋運動模型 題型：選擇題 計算題 1平拋運動基本規律的應用 2平拋運動的兩個重要推論的應用 3平拋運動與斜面相結合 4平拋運動與圓面相結合 5平拋運動在球類問題中的臨界問題 6類平拋運動 7斜拋運動
考點一　平拋運動的基本規律
1．性質
加速度為重力加速度g的勻變速曲線運動，運動軌跡是拋物線．
2．基本規律
以拋出點為原點，水平方向(初速度v0方向)為x軸，豎直向下方向為y軸，建立平面直角坐標系，則：
(1)水平方向：做勻速直線運動，速度vx＝v0，位移x＝v0t.
(2)豎直方向：做自由落體運動，速度vy＝gt，位移y＝gt2.
(3)合速度：v＝，方向與水平方向的夾角為θ，則tan θ＝＝.
(4)合位移：s＝，方向與水平方向的夾角為α，tan α＝＝.
3．對規律的理解
(1)飛行時間：由t＝ 知，時間取決于下落高度h，與初速度v0無關．
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同決定，與其他因素無關．
(3)落地速度：vt＝＝，以θ表示落地速度與x軸正方向的夾角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只與初速度v0和下落高度h有關．
(4)速度改變量：因為平拋運動的加速度為重力加速度g，所以做平拋運動的物體在任意相等時間間隔Δt內的速度改變量Δv＝gΔt相同，方向恒為豎直向下，如圖所示．
(5)兩個重要推論
①做平拋(或類平拋)運動的物體任一時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點，如圖中A點和B點所示．
②做平拋(或類平拋)運動的物體在任意時刻任一位置處，設其速度方向與水平方向的夾角為α，位移方向與水平方向的夾角為θ，則tan α＝2tan θ.
考點二　斜面上的平拋運動問題
斜面上的平拋運動問題是一種常見的題型，在解答這類問題時除要運用平拋運動的位移和速度規律，還要充分運用斜面傾角，找出斜面傾角同位移和速度與水平方向夾角的關系，從而使問題得到順利解決．常見的模型如下：
方法 內容 斜面 總結
分 解 速 度 水平：vx＝v0 豎直：vy＝gt 合速度：v＝ 分解速度，構建速度三角形
分 解 位 移 水平：x＝v0t 豎直：y＝gt2 合位移：s＝ 分解位移，構建位移三角形
考點三　平拋運動的臨界問題
1．有些題目中有“剛好”、“恰好”、“正好”等字眼，明顯表明題述的過程中存在著臨界點．
2．若題目中有“取值范圍”、“多長時間”、“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在著“起止點”，而這些起止點往往就是臨界點．
3．若題目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值，這些極值點也往往是臨界點．
考點四　類平拋運動模型
1．受力特點
物體所受的合外力為恒力，且與初速度的方向垂直．
2．運動特點
在初速度v0方向上做勻速直線運動，在合外力方向上做初速度為零的勻加速直線運動，加速度a＝.
3．求解方法
(1)常規分解法：將類平拋運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的勻加速直線運動．兩分運動彼此獨立，互不影響，且與合運動具有等時性．
(2)特殊分解法：對于有些問題，可以過拋出點建立適當的直角坐標系，將加速度a分解為ax、ay，初速度v0分解為vx、vy，然后分別在x、y方向列方程求解．
（2024 廣東一模）如圖所示，一小球從O點水平拋出后的軌跡途經A、B兩點，已知小球經過A點時的速度大小為13m/s，從O到A的時間和從A到B的時間都等于0.5s，取重力加速度大小g＝10m/s2，不計空氣阻力，下列說法正確的是（　　）
A．小球做平拋運動的初速度大小為10m/s
B．O、A兩點間的距離為5m
C．A、B兩點間的距離為10m
D．O、B兩點間的距離為13m
【解答】解：A。由題意知下落到A點豎直方向的速度為vyA＝gt＝10×0.5m/s＝5m/s
小球做平拋運動的初速度大小為m/s＝12m/s，故A錯誤；
B、O、A兩點間的豎直高度為m＝1.25m
水平位移為xA＝v0t＝12×0.5m/s＝6m
所以O、A兩點間的距離為m＝6.13m，故B錯誤；
C、O、B兩點間的豎直高度為m＝5m
水平位移為xB＝v0 2t＝12×2×0.5m＝12m
A、B兩點間的豎直高度為h1＝yB﹣yA＝5m﹣1.25m＝3.75m
A、B兩點間的水平位移為x1＝xB﹣xA＝12m﹣6m＝6m
A、B兩點間的距離為m＝6.32m，故C錯誤；
D、O、B兩點間的距離為M＝13m，故D正確。
故選：D。
（2024 西安三模）學校運動會上，參加鉛球項目的運動員，把m＝5kg的鉛球以6m/s的初速度從某一高度投擲出去，拋射角α＝37°鉛球落地速度v與水平地面夾角53°，不計空氣阻力，g＝10m/s2，求鉛球從拋出到落地的時間（　　）
A．t＝0.5s B．t＝1.5s C．t＝1s D．t＝0.8s
【解答】解：小球拋出時，水平方向的速度為v1＝v0cosα＝6×0.8m/s＝4.8m/s，落地時，水平方向速度仍為v1＝4.8m/s，根據落地的速度夾角為53°，所以落地時豎直方向的速度
v2＝v1tan53°＝4.8m/s＝6.4m/s
在豎直方向上，取豎直向下為正方向，有﹣v0sinα+gt＝v2，解得t＝1s，故C正確，ABD錯誤。
故選：C。
（2024 五華區校級模擬）國家跳臺滑雪中心是中國首座跳臺滑雪場館，主體建筑靈感來自于中國傳統飾物“如意”，因此被形象地稱作“雪如意”。如圖所示，現有甲、乙兩名可視為質點的運動員從跳臺a處先后沿水平方向向左飛出，初速度大小之比為2：3，不計空氣阻力，則甲、乙從飛出至落到斜坡（可視為斜面）上的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．甲、乙飛行時間之比為3：2
B．甲、乙飛行的水平位移之比為4：9
C．甲、乙在空中豎直方向下落的距離之比為2：3
D．甲、乙落到坡面上的瞬時速度方向與水平方向的夾角之比為2：3
【解答】解：A、坡面傾角即為位移與水平方向的夾角，設為θ，則有
tanθ，故飛行時間與初速度成正比，
整理解得
甲、乙兩人飛行時間之比為2：3，故A錯誤；
B、根據x＝v0t，
代入數據解得
可得甲、乙兩人飛行的水平位移之比為4：9，故B正確；
C、把運動員的運動分解為沿斜面方向的運動和垂直于斜面方向的運動，由幾何關系可知，運動員在垂直于斜面方向上做初速度為v0sinθ，加速度大小為gcosθ的勻減速運動，當垂直于斜面方向的速度減小到零時，運動員離斜面距離最大，為
，
代入數據解得則他們在空中離雪坡面的最大距離之比為，故C錯誤；
D、當落在斜坡上時，瞬時速度與水平方向夾角正切值的兩倍，只要是落在斜面上，位移與水平方向的夾角就相同，所以兩人落到斜坡上的瞬時速度方向一定相同，故D錯誤。
故選：B。
（2024 武漢模擬）如圖所示，傾角為37°的斜面固定在水平面上，小球從斜面上M點的正上方0.2m處由靜止下落，在M點與斜面碰撞，之后落到斜面上的N點。已知小球在碰撞前、后瞬間，速度沿斜面方向的分量不變，沿垂直于斜面方向的分量大小不變，方向相反，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度大小g＝10m/s2，忽略空氣阻力，則小球從M點運動至N點所用的時間為（　　）
A．0.2s B．0.3s C．0.4s D．0.5s
【解答】解：小球自由下落過程，由運動學公式可得小球與斜面碰撞前的速度大小為
vm/s＝2m/s
根據題意可知，小球與斜面碰撞后速度大小v0＝v＝2m/s，方向與豎直方向成74°斜向上。碰撞后小球做斜拋運動，將其運動沿垂直于斜面方向和平行于斜面方向分解，建立如圖所示坐標系，由幾何關系可知v0與y軸正方向的夾角為37°。
在y軸方向，有ts＝0.4s，故ABD錯誤，C正確。
故選：C。
（2024 鹽城三模）飛鏢扎氣球是一種民間娛樂游戲項目，其示意圖如圖甲所示，靶面豎直固定，O點為鏢靶中心，OP水平、OQ豎直，靶面圖如圖乙所示。若每次都在空中同一位置M點水平射出飛鏢，且M、O、Q三點在同一豎直平面，忽略空氣阻力。關于分別射中靶面O、P、Q三點的飛鏢，下列說法錯誤的是（　　）
A．射中O點的飛鏢射出時的速度最小
B．射中P點的飛鏢射出時的速度最大
C．射中Q點的飛鏢空中飛行時間最長
D．射中O、P兩點的飛鏢空中飛行時間相等
【解答】解：飛鏢做平拋運動，由平拋運動的特點知：h，且x＝vt，解得飛鏢的飛行時間t，
故飛鏢的初速度v＝x，對O、P、Q三點，根據：
hO＝hP＜hQ
則tO＝tP＜tQ
射中O、P兩點的飛鏢空中飛行時間相同，射中Q點的飛鏢空中飛行時間最長，由xQ＝xO＜xP，且hO＝hP＜hQ
可得vQ＜vO＜vP
即射中Q點的飛鏢射出時的速度最小，射中P點的飛鏢射出時速度最大。
故A錯誤，BCD正確。
本題選擇不正確的，故選：A。
（2024 大連二模）2028年奧運會新增壁球運動項目。如圖所示，運動員從A點將球斜向上擊出，水平擊中墻上B點反彈后又水平飛出，落到C點，BB'豎直，AB'C三點在同一水平面上，B'C垂直于AC。不計空氣阻力，球碰撞B點前后的速度大小分別為v1、v2，球在AB、BC兩段運動時間分別為t1、t2，則正確的是（　　）
A．v1＝v2 B．v1＜v2 C．t1＞t2 D．t1＝t2
【解答】解：球水平擊中墻上B點，其逆過程是平拋運動。墻上B點反彈后水平飛出，球做平拋運動，在豎直方向上，根據h得t，h相同，則t1＝t2。
水平方向有：AB′＝v1t1，CB′＝v2t2，由幾何關系可知AB′＞CB′，可得v1＞v2，故ABC錯誤，D正確。
故選：D。
（2024 魏都區校級三模）“刀削面”是我國傳統面食制作手法之一。操作手法是一手托面，一手拿刀，將面削到開水鍋里，如圖甲所示。某次削面的過程可簡化為圖乙，面片（可視為質點）以初速度v0＝2m/s水平飛出，正好沿鍋邊緣的切線方向掉入鍋中，鍋的截面可視為圓心在O點的圓弧，鍋邊緣與圓心的連線與豎直方向的夾角為45°，不計空氣阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，下列說法正確的是（　　）
A．面片在空中運動的水平位移為0.2m
B．面片運動到鍋邊緣時的速度大小為4m/s
C．若面片落入鍋中后可沿鍋內表面勻速下滑，則面片處于超重狀態
D．若面片落入鍋中后可沿鍋內表面勻速下滑，則所受摩擦力大小保持不變
【解答】解：B、面片運到鍋邊的速度大小為：
，故B錯誤；
A、面片在豎直方向上的速度為：
vy＝v0＝gt
水平方向上，x＝v0t
聯立解得：x＝0.4m，故A錯誤；
C、若面片落入鍋中后可沿鍋內表面勻速下滑，面片有指向圓心的加速度，指向圓心的加速度有豎直向上的分量，則面片處于超重狀態，故C正確；
D、若面片落入鍋中后可沿鍋內表面勻速下滑，其向心加速度的大小不變，方向在時刻變化，則支持力的大小也跟著變化，因此摩擦力的大小發生變化，故D錯誤；
故選：C。
（2024 西湖區校級模擬）如圖所示，某環保人員在一次檢查時發現一根圓形排污管正在向外滿口排出大量污水。這根管道水平設置，管口離水面的高度為h，環保人員測量出管口中空直徑為D，污水從管口落到水面的水平位移為x，該管道的排污流量為Q（流量為單位時間內流體通過某橫截面的體積，流量Q＝Sv，S為橫截面的面積，v為液體的流動速度）。若不計一切阻力，重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
A．污水流速越快，水從出管口到拋入水面的時間越長
B．污水流速越快，留在空中水的體積越小
C．管道的排污流量為
D．污水拋入水面時速度方向可能與水面垂直
【解答】解：A、根據平拋運動規律可知，污水到達水面的時間，由高度決定，與流速無關，故A錯誤；
B、污水流速越快，一定時間內流出水的體積越大，故B錯誤；
C、流速v，因為Q＝Sv，所以Q，故C正確；
D、由于污水有初速度，最終速度必不與水面垂直，故D錯誤。
故選：C。
（2024 市中區校級模擬）某日，命題老師看到兩名小朋友扔沙包，兩沙包同時發出，并同時碰到對方。突然想到以下情境來考察大家：設在水平地面上有A、B兩點，小朋友分別從A、B兩點以同樣大小的初速度v0＝20m/s同時拋出兩沙包，A沙包沿較高曲線飛行，B沙包沿較低曲線飛行，兩沙包都恰好落在對方的拋出點（如圖甲所示）。已知A沙包的拋射角為60°，sin15°。
（1）求AB拋出點間距離和B沙包的拋射角。
（2）拋出后經過多長時間兩石塊之間的距離最近？
【解答】解：（1）根據題意，A沙包做斜拋運動，則由斜拋運動的規律可得：
x＝v0cos60° tA
聯立代入數據解得AB拋出點間的距離為：
B沙包拋出后做斜拋運動，則有：
x＝v0cosβ tB
聯立代入數據解得：β＝30°；
（2）以A為參考系，則B沙包B對A做勻速直線運動，如圖乙所示：
由此可知，當沙包A不動時，沙包B以圖乙中的速度vBA運動，兩沙包最近距離為圖乙中的AC，由于vA⊥vB，且vA＝vB＝v0，所以有：，
δ＝45°﹣β＝15°
則有：
拋出后兩沙包運動到它們之間距離最近處時所用的時間為：。
答：（1）AB拋出點間距離為，B沙包的拋射角為30°；
（2）拋出后經過1.2s兩石塊之間的距離最近。
（2024 江西模擬）籃球比賽中進攻球隊的主力投手運球在三分線外，突然急停跳投，以與水平面夾角θ（cosθ＝0.8）的仰角、初速度大小v0＝9m/s將球投出，并通過籃框中心入網，已知籃框距離水平地面的高度H＝3.05m，籃球被投出時，距離地面的高度h（未知）、與籃框中心點的水平距離d＝7.20m，若將籃球視為質點，且忽略籃球的旋轉與空氣阻力。（重力加速度g＝10m/s2），求：（答案可以用根號表示）
（1）籃球從被投出到入網經過了多長時間。
（2）籃球入網時的速度大小。
（3）籃球被投出時距離地面的高度。
【解答】解：（1）將v0正交分解
t，解得t＝1s
（2）由運動學公式vy0＝v0sinθ，解得vy0m/s
vy＝vy0﹣gt
得
故v，解得vm/s
（3）由運動的獨立性原理：
解得h＝2.65m
答：（1）籃球從被投出到入網經過了1s。
（2）籃球入網時的速度大小為m/s。
（3）籃球被投出時距離地面的高度為2.65m。
題型1平拋運動基本規律的應用
（2024 金東區校級模擬）如圖所示，甲同學在地面上將排球以速度v1擊出，排球沿軌跡①運動；經過最高點后，乙同學跳起將排球以水平速度v2擊回，排球沿軌跡②運動，恰好落回出發點。忽略空氣阻力，則排球（　　）
A．沿軌跡②運動的最大速度可能為v1
B．沿軌跡①運動的最小速度為v2
C．沿軌跡①和軌跡②運動過程的速度變化量大小相同
D．沿軌跡①和軌跡②運動過程的平均速度大小可能相同
【解答】解：AB.根據圖像可知，軌跡①最高點大于軌跡②最高點，分析在最高點往左運動，根據平拋規律可知
軌跡①運動時間長，但水平位移小，所以軌跡①水平分速度小；
豎直分速度 v2＝2gh 軌跡①的大，所以沿軌跡②運動的最大速度可能為v1，沿軌跡①運動的最小速度即水平速度，小于v2，故A正確，B錯誤；
C.沿軌跡①和軌跡②運動過程的速度變化量Δv＝gΔt不同，因為運動時間不同，故C錯誤；
D.沿軌跡①和軌跡②運動過程的平均速度大小不同，因為位移大小相同，但時間不同，故D錯誤。
故選：A。
（多選）（2024 龍鳳區校級模擬）將一小球水平拋出，使用頻閃儀和照相機對運動的小球進行拍攝，頻閃儀每隔0.05s發出一次閃光。某次拍攝時，小球在拋出瞬間頻閃儀恰好閃光，拍攝的照片編輯后如圖所示。圖中的第一個小球為拋出瞬間的影像，每相鄰兩個球之間被刪去了3個影像，所標出的兩個線段的長度s1和s2之比為3：7。重力加速度大小取g＝10m/s2，忽略空氣阻力。則（　　）
A．相鄰兩個球之間的時間間隔為0.2s
B．影像中相鄰小球間水平距離越來越大
C．線段s1實際距離為0.2m
D．小球拋出的初速度
【解答】解：A、頻閃儀每隔0.05s發出一次閃光，每相鄰兩個球之間被刪去3個影像，故相鄰兩球的時間間隔：t＝4T＝0.05×4s＝0.2s，故A正確；
B、小球水平方向做勻速運動，影像中相鄰小球間水平距離不變，故B錯誤；
CD、設拋出瞬間小球的速度為v0，每相鄰兩球間的水平方向上的位移為x，豎直方向上的位移分別為y1、y2，
根據平拋運動規律，水平方向位移：x＝v0t，
因為第一個小球影像的位置為拋出點，所以第一段運動對應的豎直方向的位移大小：，
第二段運動對應的豎直方向的位移大小：，
根據位移的合成有： ，并且 s1：s2＝3：7，解得：，
所以拋出瞬間小球的速度：，
，故C錯誤，D正確。
故選：AD。
（2024 鹽城模擬）如圖所示，某物體做平拋運動的一部分軌跡。每小格的邊長表示物體的速度大小為10m/s，各點所標的帶箭頭的線段長短表示速度的大小。重力加速度的大小取10m/s2。則該物體從A點運動到B點的時間是（　　）
A．1s B．3s C．4s D．5s
【解答】解：根據圖示可知物體在A點時的豎直方向速度大小為vyA＝10m/s，在B點時豎直方向的分速度大小為vyB＝40m/s，則物體從A到B的時間為t，故B正確，ACD錯誤。
故選：B。
題型2平拋運動的兩個重要推論的應用
（2013 許昌二模）如圖所示，一個物體從空中的O點以速度v0水平向右拋出，經過時間t，物體運動到P點．空氣阻力不計．已知物體在P點的速度方向和水平方向的夾角為α（速度偏轉角），物體的位移OP和水平方向的夾角為β（位移偏轉角）．則關于α和β的大小關系，下列正確的是（　　）
A．α＝2β B．sinα＝sin2β
C．tanα＝2tanβ D．tanα＝tan2β
【解答】解：速度方向與水平方向夾角的正切值tanα，
位移方向與水平方向夾角的正切值，
則tanα＝2tanβ。
故選：C。
（多選）如圖所示，圓心為O的半圓形軌道豎直固定在水平桌面上，PQ為水平直徑，物塊甲從P點以豎直向下的初速度下滑到最低點S過程中速率不變；物塊乙從Q點以不同速度向左平拋。兩物塊可視為質點，不計空氣阻力，則（　　）
A．從P到S物塊甲與軌道間的動摩擦因數變小
B．從P到S物塊甲所受合外力和加速度均不變
C．物塊乙落到軌道的不同點運動時間可能相同
D．物塊乙落到半圓形軌道的瞬間速度方向的反向延長線可能過O點
【解答】解：A、甲物塊做勻速圓周運動，切線方向的合力為零，即重力沿切線方向的分力等于滑動摩擦力，由于重力沿切線方向的分力在減小，正壓力在增大，則動摩擦因數變小，故A正確。
B、甲物塊做勻速圓周運動，加速度大小和合外力大小不變，方向時刻改變，故B錯誤。
C、物塊乙以不同的初速度做平拋運動，可能下落的高度相同，則運動時間可能相同，故C正確。
D、根據推論可知，小球落到半圓形軌道的瞬間，速度方向的反向延長線交水平位移的中點，水平位移比直徑要小則知速度的反向延長線應交圓環圓心的右側，不在圓心，所以速度不可能沿半徑方向，故D錯誤。
故選：AC。
如圖所示，ab為豎直平面內的半圓環acb的水平直徑，c為環上最低點，環半徑為R，將一個小球從a點以初速度v0沿ab方向拋出，設重力加速度為g，不計空氣阻力，則以下說法錯誤的是（　　）
A．小球的初速度v0越大，碰到圓環時的水平分位移越大
B．當小球的初速度時，碰到圓環時的豎直分速度最大
C．無論v0取何值，小球都不可能垂直撞擊圓環
D．v0取值不同時，小球落在圓環上的速度方向和水平方向之間的夾角可以相同
【解答】解：A、小球的初速度v0越大，落點越靠近b點，即碰到圓環時的水平分位移越大，故A正確；
B、平拋運動豎直方向的分運動是自由落體運動，由hgt2可知，當小球落在c點運動的時間最長，豎直方向的分速度：vy＝gt，可知運動時間越長，豎直方向的分速度越大，所以當小球落在c點時豎直方向的分速度最大，此時水平位移：x＝R＝v0t，運動時間：t，解得：v0＝R，即當小球的初速度時，碰到圓環時的豎直分速度最大，故B正確；
C、假設小球可以垂直撞擊圓環，根據平拋運動的規律可知，速度反向延長線交于水平位移的中點，根據幾何關系可知，O點一定不是水平位移的中點，所以小球撞在圓環上的速度反向延長線不可能通過O點，也就不可能垂直撞擊圓環，故C正確；
D、v0取值不同時，小球落在圓環上的位置不同，一種情況是豎直分速度不同，另一種情況是豎直分速度相同，但水平速度不同，則速度方向和水平方向之間的夾角不相同，故D錯誤。
本題選錯誤的，故選：D。
題型3平拋運動與斜面相結合
（2024 遼寧二模）如圖所示，傾角為37°的斜面體固定在水平面上，小球A在斜面底端正上方以速度v1向右水平拋出，同時，小球B在斜面頂端以速度v2向左水平拋出，兩球拋出點在同一水平線上，結果兩球恰好落在斜面上的同一點，且A球落到斜面上時速度剛好與斜面垂直，不計小球的大小，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。則v1：v2等于（　　）
A．4：3 B．5：4 C．8：7 D．9：8
【解答】解：A、B豎直方向做自由落體運動，位移為
落點相同即hA＝hB，tA＝tB＝t，vA1＝vB1
，xA＝v1t
聯立上式代入數據解得
垂直打在該點則
所以v1：v2＝9：8，故D正確，ABC錯誤。
故選：D。
（2024 寶雞一模）如圖所示，傾角為θ的斜面上有A、B、C三點，現從這三點分別以不同的初速度同時水平拋出一小球，不計空氣阻力，三個小球均落在斜面上的D點，測得AB：BC：CD＝5：3：1，由此可判斷（　　）
A．三個小球做平拋運動的時間之比為1：2：3
B．三個小球落在斜面上時速度方向相同
C．三個小球的初速度大小之比為1：2：3
D．三個小球的運動軌跡可能在空中相交
【解答】解：A．小球做平拋運動，豎直方向有
根據幾何關系有
AD：BD：CD＝9：4：1
三個小球做平拋運動的時間之比為
tA：tB：tC＝3：2：1
故A錯誤；
B．小球在水平方向做勻速直線運動，則
x＝v0t
三個小球均落在斜面上的D點，根據位移間的關系有
設三個小球速度偏轉角為α，則
可知三個小球速度偏轉角相同，三個小球落在斜面上時速度方向相同，故B正確；
C．三個小球均落在斜面上的D點，根據豎直位移與水平位移的關系有
三個小球的初速度大小之比為
vA：vB：vC＝3：2：1
故C錯誤；
D．三個小球做平拋運動，三個小球的運動軌跡為拋物線，且交于D點，故三個小球的運動軌跡不可能在空中相交，故D錯誤。
故選：B。
（2024 德州模擬）如圖所示，把一小球從斜面上先后以相同大小的速度拋出，一次水平拋出，另一次拋出的速度方向與斜面垂直，兩小球最終都落到斜面上，水平拋出與垂直斜面拋出落點到拋出點的距離之比為（　　）
A．1：2 B．2：1 C．1：1 D．1：3
【解答】解：設斜面傾角為θ，當小球做平拋運動落在斜面上時；
根據平拋運動規律，水平位移為x＝v0t
豎直位移
根據數學知識
拋出點與落點之間的距離
代入數據解得；
當小球垂直于斜面拋出時，小球做斜拋運動，根據運動的合成與分解，豎直分速度vy＝v0cosθ，水平分速度vx＝v0sinθ
以拋出點為參考點，根據斜拋運動規律，水平位移x1＝vxt1
豎直位移
根據數學知識
拋出點與落點之間的距離
代入數據解得；
因此有，故C正確，ABD錯誤。
故選：C。
題型4平拋運動與圓面相結合
如圖所示為四分之一圓柱體OAB的豎直截面，半徑為R，在B點上方的C點水平拋出一個小球，小球軌跡恰好在D點與圓柱體相切，OD與OB的夾角為60°，則C點到B點的距離為（　　）
A．R B． C． D．
【解答】解：由題意知得：小球通過D點時速度與圓柱體相切，則有
vy＝v0tan60°
小球從C到D，水平方向有 Rsin60°＝v0t
豎直方向上有 y，
聯立解得 y，
故C點到B點的距離為 S＝y﹣R（1﹣cos60°）。
故選：D。
如圖，水平地面上有一個坑，其豎直截面為四分之一圓弧ab，半徑為R，O點為圓心，c點為圓弧的中點。若在O點以某一初速度v沿Oa方向拋出一個小球，小球落在坑中。若忽略空氣阻力，重力加速度大小為g，下列說法正確的是（　　）
A．當小球的初速度為時，恰好能打到c點
B．小球的初速度v越大，在空中運動的時間就越長
C．小球的初速度v越大，落到坑上時速度的偏轉角越小
D．小球的初速度v越大，落到坑上時的動能就越大
【解答】解：A、設合位移方向與水平方向夾角為α，平拋運動時間為t，則有：
①
Rcosα＝v0t…②
恰好能打到c點時，α＝45°，①②聯立解得：，故A錯誤；
B、小球的初速度越大，落點越靠上，即下落高度就越小，運動時間就越短，故B錯誤；
C、小球的初速度v越大，落點越靠上，即下落高度就越小，位移偏轉角越小，則落到坑上時速度的偏轉角越小，故C正確；
D、小球的初速度越大，落點越靠上，即下落高度就越小，重力做的功就越小，則落地時的動能可能變小，也可能變大，還可能不變，故D錯誤；
故選：C。
在豎直直角坐標系xOy平面內有一四分之一光滑圓柱體的截面OAB，半徑為R．在x軸上的P點斜向左上方拋出一個小球（可視為質點）．小球的運動軌跡與圓柱體相切于D點，且到達y軸上的C點時速度與y軸垂直，OD與OB的夾角為60°，不計空氣阻力，重力加速度大小為g．則小球在P點的速度大小為（　　）
A． B．2 C． D．
【解答】解：從P到C的運動可以看成從C到P做平拋運動，小球通過D點時速度與圓柱體相切，則有：
vy＝v0tan60°
小球從C到D，水平方向有：Rsin60°＝v0t
豎直方向上有：yt
聯立解得：yR
故C點到P點豎直方向的距離為：S＝y+R（1﹣cos60°）R
從C到D的時間為：t
初速度為：v0
從C到P，根據動能定理得：mgS
解得：vP
故選：C。
題型5平拋運動與豎直面相結合
（2024 江蘇模擬）如圖所示，從水平面上A點以傾角為α斜向上方拋出一小球，拋出時速度大小為v0，小球落到傾角為θ的斜面上C點時，速度方向正好與斜面垂直，B為小球運動的最高點，已知重力加速度為g，則（　　）
A．小球在B點的速度大小為v0sinα
B．小球從A點運動到B點的時間為
C．小球落到C點前瞬間豎直方向的速度為
D．小球從B點運動到C點的時間為
【解答】解：A.把v0進行分解有，得vx＝v0cosα，根據斜上拋運動水平方向的勻速直線運動特點，最高點B只有水平方向速度故vx＝v0cosα，故A錯誤；
B.小球在A點的豎直分速度vy＝v0sinα，從A到B的過程中豎直方向做豎直上拋運動，結合逆向思維方法，從A到B的時間為，故B錯誤；
C.把C處速度vC進行分解，如圖所示
有，得，故C正確；
D.由C中可知，而B到C豎直方向為自由落體運動，故有vCy＝gt′，得，故D錯誤。
故選：C。
（2024 黃州區校級二模）如圖所示，小球A從地面向上斜拋，拋出時的速度大小為10m/s，方向與水平方向夾角為53°，在A拋出的同時有小球B從某高處自由下落，當A上升到最高點時恰能擊中下落的B，不計空氣阻力，sin53°＝0.8，重力加速度g取10m/s2。則A、B兩球初始距離是（　　）
A．4.8m B．6.4m C．8.0m D．11.2m
【解答】解：小球A的運動可以看成平拋運動的逆過程，水平速度為v0＝vcos53°＝10×0.6m/s＝6m/s，豎直速度為vy＝vsin53°＝10×0.8m/s＝8m/s
相遇時A球豎直方向位移為yAm＝3.2m，運動時間為ts＝0.8s，水平方向位移為x＝v0t＝6×0.8m＝4.8m
B球豎直方向位移yBgt210×0.82m＝3.2m，即初始時A、B兩球豎直距離y＝yA+yB＝3.2m+3.2m＝6.4m；
根據勾股定理，A、B兩球初始距離為sm＝8m，故C正確，ABD錯誤。
故選：C。
（2024 包河區校級模擬）如圖所示“封蓋”是籃球比賽中的常用防守方式。投籃運動員出手點離地面的高度h1＝2.75m，封蓋的運動員擊球點離地面的高度h2＝3.20m，兩運動員豎直起跳點的水平距離x1＝0.60m。封蓋運動員擊球時手臂豎直伸直，這時籃球及封蓋運動員均恰好運動至最高點，擊球后籃球以擊球前速度的3倍水平飛出。已知封蓋運動員站立單臂摸高h3＝2.40m，取g＝10m/s2，不計空氣阻力，籃球可視為質點。下列說法正確的是（　　）
A．球脫離投籃運動員手時的速度大小為2m/s
B．封蓋運動員豎直起跳離地時的速度大小為5m/s
C．封蓋運動員在籃球投出前0.4s開始起跳
D．籃球從被封蓋到落地過程的水平位移大小為4.8m
【解答】解：A.根據題意可知，籃球出手到被封蓋，可以看作平拋運動的逆運動，豎直方向有：h2﹣h1，水平方向上有：x1＝v2t，解得t＝0.3s，v2＝2m/s，則v1，代值解得v1m/s，故A錯誤；
B.封蓋運動員的起跳看作豎直上拋運動，有v2＝2gh＝2g（h2﹣h1），解得：v＝4m/s，故B錯誤；
C.籃球從出手到最高點時間t＝0.3s，封蓋運動員從起跳到最高點時間t′，則封蓋運動員在籃球投出前Δt＝t′﹣t＝0.4s﹣0.3s＝0.1開始起跳，故C錯誤；
D.籃球從被封蓋到落地，在豎直方向上h2，在水平方向上有x＝3x2t2，聯立解得x＝4.8m，故D正確。
故選：D。
題型6類平拋運動
如圖所示的光滑斜面長為l，寬為b，傾角為θ，一物塊（可看成質點）沿斜面左上方頂點P以初速度v0水平射入，恰好從底端Q點離開斜面，則（　　）
A．物塊由P點運動到Q點所用的時間t＝2
B．物塊由P點運動到Q點所用的時間t＝2
C．初速度v0＝b
D．初速度v0＝b
【解答】解：AB、根據牛頓第二定律得物體的加速度為：agsinθ。
根據lat2得：t，故AB錯誤；
CD、入射的初速度為：v0b，故C錯誤，D正確。
故選：D。
如圖所示的光滑斜面長為l，寬為b，傾角為θ，一物塊可看成質點沿斜面左上方頂點P以初速度水平射入，恰好從底端Q點離開斜面，則（　　）
A．物塊由P點運動到Q點所用的時間t＝2
B．物塊由P點運動到Q點所用的時間t＝2
C．初速度v
D．初速度v
【解答】解：AB、根據牛頓第二定律得物體的加速度為：
agsinθ。
根據lat2得：t，故AB錯誤；
CD、入射的初速度為：v0b，故C錯誤，D正確。
故選：D。
（2024 遼寧三模）如圖所示，傾角為θ＝30°的光滑斜面體固定在水平地面上，斜面abcd為正方形。一小球從斜面的頂點a處以大小v0＝3.0m/s的初速度平行ab方向拋出，小球恰好從bc邊的中點飛出。已知重力加速度g取10m/s2，求斜面abcd的邊長以及小球運動到水平地面時的速度大小。
【解答】解：依題意，小球在斜面上做類平拋運動，沿ab方向做勻速直線運動，有
L＝v0t
沿ad方向做勻加速直線運動，其加速度大小為
a＝gsin30°
則沿ad方向有
解得L＝1.8m
小球從a運動到底面cdef所在的水平面，由動能定理可知
解得
m/s
答：斜面abcd的邊長為1.8m；小球運動到水平地面時的速度大小為m/s
題型7斜拋運動
（2024 鹽都區校級三模）如圖所示，一個小球放在水平地面上的O點，先后以初速度v1、v2從O點斜向上拋出，v1與水平方向的夾角比v2與水平方向的夾角大，不計空氣阻力，則下列判斷一定正確的是（　　）
A．若兩次落到地面上的同一點，則v1＞v2
B．若兩次落到地面上的同一點，則v1＜v2
C．若兩次上升的最大高度相同，則v1＞v2
D．若兩次上升的最大高度相同，則v1＜v2
【解答】解：AB．設初速度v1與水平方向的夾角為α，v2與水平方向夾角為β，兩次均做斜向上拋運動，則有以v1拋出，
根據運動的合成分解規律，在水平方向的初速度為vx1＝v1cosα，在豎直方向的初速度vy1＝v1sinα
豎直方向是豎直上拋運動，做勻減速直線運動，設整個運動的時間為t1，根據t，則有
水平方向是勻速直線運動，則有水平方向的位移有
同理以v2拋出時，水平方向則有vx2＝v2cosβ
豎直方向vy2＝v2sinβ
水平位移
因為x1＝x2
則有
雖然α＞β，由于α與β的確切關系不確定，因此v1與v2的確切關系不能確定，故AB錯誤；
CD．若兩次上升的最大高度相同，根據h，則有
可得v1sinα＝v2sinβ
由于α＞β，則一定有
v1＜v2
故C錯誤，D正確。
故選：D。
（2024 東莞市校級模擬）過水門儀式是國際民航中最高級別的禮儀。如圖所示，“過水門”儀式中的“水門”是由兩輛消防車噴出的水柱形成的。兩條水柱形成的拋物線對稱分布，且剛好在最高點相遇。已知兩水柱均沿與水平方向成45°角噴出，且從噴出到在最高點相遇所用時間為3s。重力加速度g取10m/s2，忽略空氣阻力和水流之間的相互作用，下列說法正確的是（　　）
A．“水門”的高度一定為90m
B．“水門”的跨度一定為180m
C．在最高點相遇時，水柱的速度為零
D．水噴出的瞬間，速度水平方向分量為15m/s
【解答】解：A．在豎直方向上，水做豎直上拋運動，根據位移—時間關系式計算
故A錯誤；
BD．由于兩水柱均沿與水平方向成45°角噴出，所以水在水平方向的初速度與豎直方向的初速度相等，即
vx＝vy＝gt＝10×3m/s＝30m/s
所以“水門”的跨度為
x＝vx 2t＝30×2×3m＝180m
故B正確，D錯誤；
C．在最高點相遇時，水柱豎直方向速度為零，水柱的速度即為水平速度30m/s，故C錯誤。
故選：B。
（2024 榮昌區校級模擬）如圖所示為跳臺滑雪項目的場地簡化圖，助滑道的傾角為30°，助滑道和起跳點間由一段圓弧軌道連接，著陸坡的傾角為40°，運動員從助滑道加速下滑，在起跳點躍出，完成空中動作后落在著陸坡上，之后恰好沿著陸坡下滑。不計一切阻力，取g＝10m/s2，下列關于運動員滑雪過程中的加速度大小a與時間t的關系圖像可能正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：運動員在助滑道上做勻加速直線運動，加速度
代入數據解得
方向沿斜面向下；
在圓弧軌道上做圓周運動，加速度方向時刻改變，加速度大小不為零；
在著陸坡上時，加速度為
代入數據解得，方向沿斜面向下，故C正確，ABD錯誤。
故選：C。中小學教育資源及組卷應用平臺
專題9 平拋運動
課標要求 知識要點 命題推斷
1.掌握平拋運動的特點和性質. 2.掌握研究平拋運動的方法，并能應用解題． 考點一　平拋運動的基本規律 考點二　斜面上的平拋運動問題 考點三　平拋運動的臨界問題 考點四　類平拋運動模型 題型：選擇題 計算題 1平拋運動基本規律的應用 2平拋運動的兩個重要推論的應用 3平拋運動與斜面相結合 4平拋運動與圓面相結合 5平拋運動在球類問題中的臨界問題 6類平拋運動 7斜拋運動
考點一　平拋運動的基本規律
1．性質
加速度為重力加速度g的勻變速曲線運動，運動軌跡是拋物線．
2．基本規律
以拋出點為原點，水平方向(初速度v0方向)為x軸，豎直向下方向為y軸，建立平面直角坐標系，則：
(1)水平方向：做勻速直線運動，速度vx＝v0，位移x＝v0t.
(2)豎直方向：做自由落體運動，速度vy＝gt，位移y＝gt2.
(3)合速度：v＝，方向與水平方向的夾角為θ，則tan θ＝＝.
(4)合位移：s＝，方向與水平方向的夾角為α，tan α＝＝.
3．對規律的理解
(1)飛行時間：由t＝ 知，時間取決于下落高度h，與初速度v0無關．
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同決定，與其他因素無關．
(3)落地速度：vt＝＝，以θ表示落地速度與x軸正方向的夾角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只與初速度v0和下落高度h有關．
(4)速度改變量：因為平拋運動的加速度為重力加速度g，所以做平拋運動的物體在任意相等時間間隔Δt內的速度改變量Δv＝gΔt相同，方向恒為豎直向下，如圖所示．
(5)兩個重要推論
①做平拋(或類平拋)運動的物體任一時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點，如圖中A點和B點所示．
②做平拋(或類平拋)運動的物體在任意時刻任一位置處，設其速度方向與水平方向的夾角為α，位移方向與水平方向的夾角為θ，則tan α＝2tan θ.
考點二　斜面上的平拋運動問題
斜面上的平拋運動問題是一種常見的題型，在解答這類問題時除要運用平拋運動的位移和速度規律，還要充分運用斜面傾角，找出斜面傾角同位移和速度與水平方向夾角的關系，從而使問題得到順利解決．常見的模型如下：
方法 內容 斜面 總結
分 解 速 度 水平：vx＝v0 豎直：vy＝gt 合速度：v＝ 分解速度，構建速度三角形
分 解 位 移 水平：x＝v0t 豎直：y＝gt2 合位移：s＝ 分解位移，構建位移三角形
考點三　平拋運動的臨界問題
1．有些題目中有“剛好”、“恰好”、“正好”等字眼，明顯表明題述的過程中存在著臨界點．
2．若題目中有“取值范圍”、“多長時間”、“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在著“起止點”，而這些起止點往往就是臨界點．
3．若題目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值，這些極值點也往往是臨界點．
考點四　類平拋運動模型
1．受力特點
物體所受的合外力為恒力，且與初速度的方向垂直．
2．運動特點
在初速度v0方向上做勻速直線運動，在合外力方向上做初速度為零的勻加速直線運動，加速度a＝.
3．求解方法
(1)常規分解法：將類平拋運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的勻加速直線運動．兩分運動彼此獨立，互不影響，且與合運動具有等時性．
(2)特殊分解法：對于有些問題，可以過拋出點建立適當的直角坐標系，將加速度a分解為ax、ay，初速度v0分解為vx、vy，然后分別在x、y方向列方程求解．
（2024 廣東一模）如圖所示，一小球從O點水平拋出后的軌跡途經A、B兩點，已知小球經過A點時的速度大小為13m/s，從O到A的時間和從A到B的時間都等于0.5s，取重力加速度大小g＝10m/s2，不計空氣阻力，下列說法正確的是（　　）
A．小球做平拋運動的初速度大小為10m/s
B．O、A兩點間的距離為5m
C．A、B兩點間的距離為10m
D．O、B兩點間的距離為13m
（2024 西安三模）學校運動會上，參加鉛球項目的運動員，把m＝5kg的鉛球以6m/s的初速度從某一高度投擲出去，拋射角α＝37°鉛球落地速度v與水平地面夾角53°，不計空氣阻力，g＝10m/s2，求鉛球從拋出到落地的時間（　　）
A．t＝0.5s B．t＝1.5s C．t＝1s D．t＝0.8s
（2024 五華區校級模擬）國家跳臺滑雪中心是中國首座跳臺滑雪場館，主體建筑靈感來自于中國傳統飾物“如意”，因此被形象地稱作“雪如意”。如圖所示，現有甲、乙兩名可視為質點的運動員從跳臺a處先后沿水平方向向左飛出，初速度大小之比為2：3，不計空氣阻力，則甲、乙從飛出至落到斜坡（可視為斜面）上的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．甲、乙飛行時間之比為3：2
B．甲、乙飛行的水平位移之比為4：9
C．甲、乙在空中豎直方向下落的距離之比為2：3
D．甲、乙落到坡面上的瞬時速度方向與水平方向的夾角之比為2：3
（2024 武漢模擬）如圖所示，傾角為37°的斜面固定在水平面上，小球從斜面上M點的正上方0.2m處由靜止下落，在M點與斜面碰撞，之后落到斜面上的N點。已知小球在碰撞前、后瞬間，速度沿斜面方向的分量不變，沿垂直于斜面方向的分量大小不變，方向相反，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度大小g＝10m/s2，忽略空氣阻力，則小球從M點運動至N點所用的時間為（　　）
A．0.2s B．0.3s C．0.4s D．0.5s
（2024 鹽城三模）飛鏢扎氣球是一種民間娛樂游戲項目，其示意圖如圖甲所示，靶面豎直固定，O點為鏢靶中心，OP水平、OQ豎直，靶面圖如圖乙所示。若每次都在空中同一位置M點水平射出飛鏢，且M、O、Q三點在同一豎直平面，忽略空氣阻力。關于分別射中靶面O、P、Q三點的飛鏢，下列說法錯誤的是（　　）
A．射中O點的飛鏢射出時的速度最小
B．射中P點的飛鏢射出時的速度最大
C．射中Q點的飛鏢空中飛行時間最長
D．射中O、P兩點的飛鏢空中飛行時間相等
（2024 大連二模）2028年奧運會新增壁球運動項目。如圖所示，運動員從A點將球斜向上擊出，水平擊中墻上B點反彈后又水平飛出，落到C點，BB'豎直，AB'C三點在同一水平面上，B'C垂直于AC。不計空氣阻力，球碰撞B點前后的速度大小分別為v1、v2，球在AB、BC兩段運動時間分別為t1、t2，則正確的是（　　）
A．v1＝v2 B．v1＜v2 C．t1＞t2 D．t1＝t2
（2024 魏都區校級三模）“刀削面”是我國傳統面食制作手法之一。操作手法是一手托面，一手拿刀，將面削到開水鍋里，如圖甲所示。某次削面的過程可簡化為圖乙，面片（可視為質點）以初速度v0＝2m/s水平飛出，正好沿鍋邊緣的切線方向掉入鍋中，鍋的截面可視為圓心在O點的圓弧，鍋邊緣與圓心的連線與豎直方向的夾角為45°，不計空氣阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，下列說法正確的是（　　）
A．面片在空中運動的水平位移為0.2m
B．面片運動到鍋邊緣時的速度大小為4m/s
C．若面片落入鍋中后可沿鍋內表面勻速下滑，則面片處于超重狀態
D．若面片落入鍋中后可沿鍋內表面勻速下滑，則所受摩擦力大小保持不變
（2024 西湖區校級模擬）如圖所示，某環保人員在一次檢查時發現一根圓形排污管正在向外滿口排出大量污水。這根管道水平設置，管口離水面的高度為h，環保人員測量出管口中空直徑為D，污水從管口落到水面的水平位移為x，該管道的排污流量為Q（流量為單位時間內流體通過某橫截面的體積，流量Q＝Sv，S為橫截面的面積，v為液體的流動速度）。若不計一切阻力，重力加速度為g。下列說法正確的是（　　）
A．污水流速越快，水從出管口到拋入水面的時間越長
B．污水流速越快，留在空中水的體積越小
C．管道的排污流量為
D．污水拋入水面時速度方向可能與水面垂直
（2024 市中區校級模擬）某日，命題老師看到兩名小朋友扔沙包，兩沙包同時發出，并同時碰到對方。突然想到以下情境來考察大家：設在水平地面上有A、B兩點，小朋友分別從A、B兩點以同樣大小的初速度v0＝20m/s同時拋出兩沙包，A沙包沿較高曲線飛行，B沙包沿較低曲線飛行，兩沙包都恰好落在對方的拋出點（如圖甲所示）。已知A沙包的拋射角為60°，sin15°。
（1）求AB拋出點間距離和B沙包的拋射角。
（2）拋出后經過多長時間兩石塊之間的距離最近？
（2024 江西模擬）籃球比賽中進攻球隊的主力投手運球在三分線外，突然急停跳投，以與水平面夾角θ（cosθ＝0.8）的仰角、初速度大小v0＝9m/s將球投出，并通過籃框中心入網，已知籃框距離水平地面的高度H＝3.05m，籃球被投出時，距離地面的高度h（未知）、與籃框中心點的水平距離d＝7.20m，若將籃球視為質點，且忽略籃球的旋轉與空氣阻力。（重力加速度g＝10m/s2），求：（答案可以用根號表示）
（1）籃球從被投出到入網經過了多長時間。
（2）籃球入網時的速度大小。
（3）籃球被投出時距離地面的高度。
題型1平拋運動基本規律的應用
（2024 金東區校級模擬）如圖所示，甲同學在地面上將排球以速度v1擊出，排球沿軌跡①運動；經過最高點后，乙同學跳起將排球以水平速度v2擊回，排球沿軌跡②運動，恰好落回出發點。忽略空氣阻力，則排球（　　）
A．沿軌跡②運動的最大速度可能為v1
B．沿軌跡①運動的最小速度為v2
C．沿軌跡①和軌跡②運動過程的速度變化量大小相同
D．沿軌跡①和軌跡②運動過程的平均速度大小可能相同
（多選）（2024 龍鳳區校級模擬）將一小球水平拋出，使用頻閃儀和照相機對運動的小球進行拍攝，頻閃儀每隔0.05s發出一次閃光。某次拍攝時，小球在拋出瞬間頻閃儀恰好閃光，拍攝的照片編輯后如圖所示。圖中的第一個小球為拋出瞬間的影像，每相鄰兩個球之間被刪去了3個影像，所標出的兩個線段的長度s1和s2之比為3：7。重力加速度大小取g＝10m/s2，忽略空氣阻力。則（　　）
A．相鄰兩個球之間的時間間隔為0.2s
B．影像中相鄰小球間水平距離越來越大
C．線段s1實際距離為0.2m
D．小球拋出的初速度
（2024 鹽城模擬）如圖所示，某物體做平拋運動的一部分軌跡。每小格的邊長表示物體的速度大小為10m/s，各點所標的帶箭頭的線段長短表示速度的大小。重力加速度的大小取10m/s2。則該物體從A點運動到B點的時間是（　　）
A．1s B．3s C．4s D．5s
題型2平拋運動的兩個重要推論的應用
（2013 許昌二模）如圖所示，一個物體從空中的O點以速度v0水平向右拋出，經過時間t，物體運動到P點．空氣阻力不計．已知物體在P點的速度方向和水平方向的夾角為α（速度偏轉角），物體的位移OP和水平方向的夾角為β（位移偏轉角）．則關于α和β的大小關系，下列正確的是（　　）
A．α＝2β B．sinα＝sin2β
C．tanα＝2tanβ D．tanα＝tan2β
（多選）如圖所示，圓心為O的半圓形軌道豎直固定在水平桌面上，PQ為水平直徑，物塊甲從P點以豎直向下的初速度下滑到最低點S過程中速率不變；物塊乙從Q點以不同速度向左平拋。兩物塊可視為質點，不計空氣阻力，則（　　）
A．從P到S物塊甲與軌道間的動摩擦因數變小
B．從P到S物塊甲所受合外力和加速度均不變
C．物塊乙落到軌道的不同點運動時間可能相同
D．物塊乙落到半圓形軌道的瞬間速度方向的反向延長線可能過O點
如圖所示，ab為豎直平面內的半圓環acb的水平直徑，c為環上最低點，環半徑為R，將一個小球從a點以初速度v0沿ab方向拋出，設重力加速度為g，不計空氣阻力，則以下說法錯誤的是（　　）
A．小球的初速度v0越大，碰到圓環時的水平分位移越大
B．當小球的初速度時，碰到圓環時的豎直分速度最大
C．無論v0取何值，小球都不可能垂直撞擊圓環
D．v0取值不同時，小球落在圓環上的速度方向和水平方向之間的夾角可以相同
題型3平拋運動與斜面相結合
（2024 遼寧二模）如圖所示，傾角為37°的斜面體固定在水平面上，小球A在斜面底端正上方以速度v1向右水平拋出，同時，小球B在斜面頂端以速度v2向左水平拋出，兩球拋出點在同一水平線上，結果兩球恰好落在斜面上的同一點，且A球落到斜面上時速度剛好與斜面垂直，不計小球的大小，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。則v1：v2等于（　　）
A．4：3 B．5：4 C．8：7 D．9：8
（2024 寶雞一模）如圖所示，傾角為θ的斜面上有A、B、C三點，現從這三點分別以不同的初速度同時水平拋出一小球，不計空氣阻力，三個小球均落在斜面上的D點，測得AB：BC：CD＝5：3：1，由此可判斷（　　）
A．三個小球做平拋運動的時間之比為1：2：3
B．三個小球落在斜面上時速度方向相同
C．三個小球的初速度大小之比為1：2：3
D．三個小球的運動軌跡可能在空中相交
（2024 德州模擬）如圖所示，把一小球從斜面上先后以相同大小的速度拋出，一次水平拋出，另一次拋出的速度方向與斜面垂直，兩小球最終都落到斜面上，水平拋出與垂直斜面拋出落點到拋出點的距離之比為（　　）
A．1：2 B．2：1 C．1：1 D．1：3
題型4平拋運動與圓面相結合
如圖所示為四分之一圓柱體OAB的豎直截面，半徑為R，在B點上方的C點水平拋出一個小球，小球軌跡恰好在D點與圓柱體相切，OD與OB的夾角為60°，則C點到B點的距離為（　　）
A．R B． C． D．
如圖，水平地面上有一個坑，其豎直截面為四分之一圓弧ab，半徑為R，O點為圓心，c點為圓弧的中點。若在O點以某一初速度v沿Oa方向拋出一個小球，小球落在坑中。若忽略空氣阻力，重力加速度大小為g，下列說法正確的是（　　）
A．當小球的初速度為時，恰好能打到c點
B．小球的初速度v越大，在空中運動的時間就越長
C．小球的初速度v越大，落到坑上時速度的偏轉角越小
D．小球的初速度v越大，落到坑上時的動能就越大
在豎直直角坐標系xOy平面內有一四分之一光滑圓柱體的截面OAB，半徑為R．在x軸上的P點斜向左上方拋出一個小球（可視為質點）．小球的運動軌跡與圓柱體相切于D點，且到達y軸上的C點時速度與y軸垂直，OD與OB的夾角為60°，不計空氣阻力，重力加速度大小為g．則小球在P點的速度大小為（　　）
A． B．2 C． D．
題型5平拋運動與豎直面相結合
（2024 江蘇模擬）如圖所示，從水平面上A點以傾角為α斜向上方拋出一小球，拋出時速度大小為v0，小球落到傾角為θ的斜面上C點時，速度方向正好與斜面垂直，B為小球運動的最高點，已知重力加速度為g，則（　　）
A．小球在B點的速度大小為v0sinα
B．小球從A點運動到B點的時間為
C．小球落到C點前瞬間豎直方向的速度為
D．小球從B點運動到C點的時間為
（2024 黃州區校級二模）如圖所示，小球A從地面向上斜拋，拋出時的速度大小為10m/s，方向與水平方向夾角為53°，在A拋出的同時有小球B從某高處自由下落，當A上升到最高點時恰能擊中下落的B，不計空氣阻力，sin53°＝0.8，重力加速度g取10m/s2。則A、B兩球初始距離是（　　）
A．4.8m B．6.4m C．8.0m D．11.2m
（2024 包河區校級模擬）如圖所示“封蓋”是籃球比賽中的常用防守方式。投籃運動員出手點離地面的高度h1＝2.75m，封蓋的運動員擊球點離地面的高度h2＝3.20m，兩運動員豎直起跳點的水平距離x1＝0.60m。封蓋運動員擊球時手臂豎直伸直，這時籃球及封蓋運動員均恰好運動至最高點，擊球后籃球以擊球前速度的3倍水平飛出。已知封蓋運動員站立單臂摸高h3＝2.40m，取g＝10m/s2，不計空氣阻力，籃球可視為質點。下列說法正確的是（　　）
A．球脫離投籃運動員手時的速度大小為2m/s
B．封蓋運動員豎直起跳離地時的速度大小為5m/s
C．封蓋運動員在籃球投出前0.4s開始起跳
D．籃球從被封蓋到落地過程的水平位移大小為4.8m
題型6類平拋運動
如圖所示的光滑斜面長為l，寬為b，傾角為θ，一物塊（可看成質點）沿斜面左上方頂點P以初速度v0水平射入，恰好從底端Q點離開斜面，則（　　）
A．物塊由P點運動到Q點所用的時間t＝2
B．物塊由P點運動到Q點所用的時間t＝2
C．初速度v0＝b
D．初速度v0＝b
如圖所示的光滑斜面長為l，寬為b，傾角為θ，一物塊可看成質點沿斜面左上方頂點P以初速度水平射入，恰好從底端Q點離開斜面，則（　　）
A．物塊由P點運動到Q點所用的時間t＝2
B．物塊由P點運動到Q點所用的時間t＝2
C．初速度v
D．初速度v
（2024 遼寧三模）如圖所示，傾角為θ＝30°的光滑斜面體固定在水平地面上，斜面abcd為正方形。一小球從斜面的頂點a處以大小v0＝3.0m/s的初速度平行ab方向拋出，小球恰好從bc邊的中點飛出。已知重力加速度g取10m/s2，求斜面abcd的邊長以及小球運動到水平地面時的速度大小。
題型7斜拋運動
（2024 鹽都區校級三模）如圖所示，一個小球放在水平地面上的O點，先后以初速度v1、v2從O點斜向上拋出，v1與水平方向的夾角比v2與水平方向的夾角大，不計空氣阻力，則下列判斷一定正確的是（　　）
A．若兩次落到地面上的同一點，則v1＞v2
B．若兩次落到地面上的同一點，則v1＜v2
C．若兩次上升的最大高度相同，則v1＞v2
D．若兩次上升的最大高度相同，則v1＜v2
（2024 東莞市校級模擬）過水門儀式是國際民航中最高級別的禮儀。如圖所示，“過水門”儀式中的“水門”是由兩輛消防車噴出的水柱形成的。兩條水柱形成的拋物線對稱分布，且剛好在最高點相遇。已知兩水柱均沿與水平方向成45°角噴出，且從噴出到在最高點相遇所用時間為3s。重力加速度g取10m/s2，忽略空氣阻力和水流之間的相互作用，下列說法正確的是（　　）
A．“水門”的高度一定為90m
B．“水門”的跨度一定為180m
C．在最高點相遇時，水柱的速度為零
D．水噴出的瞬間，速度水平方向分量為15m/s
（2024 榮昌區校級模擬）如圖所示為跳臺滑雪項目的場地簡化圖，助滑道的傾角為30°，助滑道和起跳點間由一段圓弧軌道連接，著陸坡的傾角為40°，運動員從助滑道加速下滑，在起跳點躍出，完成空中動作后落在著陸坡上，之后恰好沿著陸坡下滑。不計一切阻力，取g＝10m/s2，下列關于運動員滑雪過程中的加速度大小a與時間t的關系圖像可能正確的是（　　）
A． B．
C． D．

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