資源簡介

3.5 共點力的平衡（知識解讀）（解析版）
知識點 1 一般情況下的共點力平衡
知識點 2 動態平衡分析
作業 鞏固訓練
知識點 1 一般情況下的共點力平衡
1、平衡狀態：物體靜止或做勻速直線運動。
2、平衡條件： F合 = 0或 Fx = 0， Fy = 0 。
3、常用推論
①若物體受 n個作用力而處于平衡狀態，則其中任意一個力與其余(n－1)個力的合力大小相
等、方向相反。
②若三個共點力的合力為零，則表示這三個力的有向線段首尾相接組成一個封閉三角形。
4、處理共點力平衡問題的基本思路
確定平衡狀態(加速度為零)→巧選研究對象(整體法或隔離法)→受力分析→建立平衡方程
→求解或作討論。
5、求解共點力平衡問題的常用方法：
①合成法：一個力與其余所有力的合力等大反向，常用于非共線三力平衡。
②正交分解法： Fx合 = 0 ， Fy合 = 0，常用于多力平衡。
③矢量三角形法，把表示三個力的有向線段構成一個閉合的三角形，常用于非特殊角的一般
三角形。
6、物體受多個力作用處于平衡狀態時，可以通過求出其中幾個力的合力，將多個力的平衡
問題轉化為二力平衡或三力平衡問題。
7、應用共點力平衡條件解題的步驟
（1）明確研究對象(物體、質點或繩的結點等)。
（2）分析研究對象所處的運動狀態，判定其是否處于平衡狀態。
（3）對研究對象進行受力分析，并畫出受力示意圖。
（4）建立合適的坐標系，應用共點力的平衡條件，選擇恰當的方法列出平衡方程。
（5）求解方程，并討論結果。
【典例 1-1】如圖所示，用一根細繩跨過鐵釘將一塊小黑板懸掛在墻壁上，細繩的兩端固定
在小黑板邊緣兩點 A、B 上。小黑板靜止時，鐵釘兩側細繩與豎直方向的夾角分別為a 、
b 。細繩質量不計，細繩與鐵釘接觸處摩擦不計，則關于夾角a 、b 大小關系正確的是
（ ）
A．若 A 點高于 B 點，則a > b
B．若 A 點高于 B 點，則繩 OB 段的拉力較大
C．不論 A 點與 B 點高度關系如何，均有a = b
D．由于細繩與鐵釘接觸處摩擦不計，平衡時 OA 與 OB 的長度一定相等
【答案】C
【詳解】A B C．由于細繩與鐵釘接觸處摩擦不計,則 OA 繩中張力FOA 與 OB 繩中張力FOB 大
小相等，兩力的合力豎直向上，所以兩力的水平分力相等，即
FOA sina = FOB sin b
又
FOA = FOB
得
sina = sin b
因此不論 A 點與 B 點高度關系如何，均有
a = b
故 AB 錯誤，C 正確；
D．由于細繩與鐵釘接觸處摩擦不計，平衡時 OA 與 OB 的長度不一定相等，只需要滿足
FOA 、FOB 兩力的水平分力相等即可，故 D 錯誤。
故選 C。
【典例 1-2】（多選）商場中的電動扶梯有兩種，顧客 A、B 分別站在如圖甲、乙所示的電動
扶梯上隨扶梯做勻速直線運動，圖甲中扶梯臺階的上表面水平且粗糙。下列說法正確的是
（　　）
A．顧客 A 受到的支持力與其受到的重力大小相等
B．顧客 B 受到的摩擦力小于其受到的重力
C．顧客 A 受到的摩擦力方向水平向左
D．顧客 B 受到的支持力方向豎直向上
【答案】AB
【詳解】AC．以顧客 A 為對象，根據受力平衡可知，顧客 A 受到重力和豎直向上的支持力，
支持力與重力大小相等；水平方向顧客 A 受到的摩擦力為 0，故 A 正確，C 錯誤；
BD．以顧客 B 為對象，根據受力平衡可知，顧客 B 受到重力、垂直于斜面向上的支持力和
沿斜面向上的摩擦力；設斜面傾角為q ，則有
fB = mBg sinq < mBg
故 B 正確，D 錯誤。
故選 AB。
【典例 1-3】如圖所示，人與木塊重分別為 600N 和 400N，人與木塊，木塊與水平面間的動
摩擦因數為 0.2，繩與滑輪間摩擦不計，則當人用F = N 的力拉繩，就可以使人與木塊
一起勻速運動，此時人受到摩擦力方向水平向 ，木塊對水平面的摩擦力的大小為 N。
【答案】 100 左 200
【詳解】[1][2][3]地面受到木塊給的摩擦力大小為
f = mFN = m G人 + G木 = 0.2 600 + 400 N = 200N
設人拉繩子的力大小為 F，對人和木塊整體，根據平衡條件得
2F = f
解得
F = 100N
根據平衡力可知，人受到摩擦力方向水平向左。
【典例 1-4】如圖所示，放在粗糙斜面（斜面固定不動）上的物塊 A 和懸掛的物塊 B 均處于
靜止狀態，輕繩 AO 繞過光滑的定滑輪與輕質彈簧的右端及輕繩BO的上端連接于 O 點。輕
質彈簧中軸線沿水平方向，輕繩OC 段與豎直方向的夾角q = 53°，斜面傾角a = 37°，彈簧
勁度系數為 k = 200N/m，彈簧的形變量 x = 2cm ，物體 A 與斜面間的動摩擦因數m = 0.5，最
大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度 g = 10m/s2 ， sin 53° = 0.8， cos53° = 0.6。求：
（1）B 物塊的質量；
（2）為了使 A 和 B 始終在圖示位置處于靜止狀態，A 物體的質量要滿足什么條件？
【答案】（1）0.3kg；（2）0.5kg m 2.5kg
【詳解】（1）彈簧的彈力大小為
Fx = kx = 4N
對結點 O 進行受力分析由平衡條件有
m g FB = xtanq
解得
mB = 0.3kg
（2）對結點 O 進行受力分析由平衡條件可得 OC 繩的拉力為
T F= x = 5N
sinq
可知 A 恰好不上滑有 A 質量的最小值，對 A 進行受力分析如圖所示
由平衡條件有
N = mmin g cosa
mmin g sina + fm = T
又
fm = mN
解得
mmin = 0.5kg
可知 A 恰好不下滑有 A 質量的最大值，對 A 進行受力分析如圖所示
N = mmax g cosa
mmax g sina = T + fm
又
fm = mN
解得
mmax = 2.5kg
為了使 A 和 B 始終在圖示位置處于靜止狀態，A 物體的質量要滿足
0.5kg m 2.5kg
【變式 1-1】一不可伸長的細線套在兩光滑且大小不計的定滑輪上，質量為 m 的圓環穿過細
線，如圖所示。若 AC 段豎直，BC 段水平，AC 長度等于 BC 長度，重力加速度為 g，細線
始終有張力作用，現施加一作用力 F 使圓環保持靜止狀態，則力 F 的值不可能為（　　）
1
A． mg B．mg C． 2mg D．2mg
2
【答案】A
【詳解】兩細繩對圓環的拉力大小相等，則合力方向斜向左上方45°，則當作用力 F 與該合
力垂直時，作用力 F 最小，即 F 的最小值為
F = mg cos 45 2° = mg
2
故選 A。
【變式 1-2】（多選）某戰士爬桿訓練的場景如圖所示，關于戰士在勻速豎直向上爬升的過
程和下滑的過程中的受力情況，下列說法正確的是（　　）
A．戰士向上爬升時受到的摩擦力方向向上
B．戰士向上爬升時受到的摩擦力與其受到的重力一定大小相等
C．戰士下滑時的摩擦力一定等于戰士的重力
D．戰士向上爬升時手握得越緊，桿子與手之間的摩擦力就會越大
【答案】AB
【詳解】AB．戰士在勻速豎直向上爬升的過程中，處于平衡狀態，受到的靜摩擦力與重力
平衡，大小不變，方向向上，故 AB 正確；
C．戰士勻速下滑時，摩擦力會等于戰士的重力，題干中沒有說勻速下滑，所以摩擦力和重
力的大小無法判斷，故 C 錯誤；
D．戰士在勻速豎直向上爬升的過程中，處于平衡狀態，受到的是靜摩擦力，大小等于重力，
而握得越緊，只會增大桿子與手之間的最大靜摩擦力，并不會改變此刻的靜摩擦力，故 D
錯誤。
故選 AB。
【變式 1-3】如圖所示，位于水平桌面上的物塊P ，由跨過定滑輪的輕繩與物塊Q相連，從
滑輪到P 和到Q的兩段繩都是水平的，已知Q與P 之間以及P 與桌面之間的動摩擦因數均為
m ，兩物塊的質量均為m ，重力加速度為 g 。滑輪軸上的摩擦不計，用一水平向右的力F
拉P 使其做勻速運動。運動過程中物塊Q受到的摩擦力方向 （選填“水平向左”或“水
平向右”）、大小為 ，水平拉力F 的大小為 。
【答案】 水平向右 mmg 4mmg
【詳解】[1][2]根據題意可知，物塊 Q 相對物塊 P 向左運動，則運動過程中物塊Q受到的滑
動摩擦力方向水平向右，大小為
fQ = mmg
[3]對物塊 Q 受力分析，由平衡條件可得，繩子的拉力為
F1 = fQ = mmg
由牛頓第三定律可知，物塊 P 受到物塊 Q 的摩擦力方向水平向左，大小為
f 'Q = fQ = mmg
對物塊 P 受力分析，由平衡態條件有
F = F1 + f
'
Q + fP
又有
fP = m ×2mg
聯立解得
F = 4mmg
【變式 1-4】如圖所示，光滑圓球 A 的半徑為10cm，懸線長 l = 40cm，物體 B 的厚度為
20cm，重為12N 。物體 B 與墻之間的動摩擦因數m = 0.2 ，物體 B 在未脫離圓球前勻速下滑，
試求：
（1）球對物體 B 的壓力多大？
（2）球多重？
【答案】（1）60N；（2）80N
【詳解】（1）對 B 物體受力分析，如圖所示
因為物體 B 勻速下滑，根據受力平衡可得
GB = Ff
又
Ff = mFNA
解得
FNA = 60N
（2）對球 A 受力分析，如圖所示
由幾何關系得
tanq 3=
4
又因為
tanq F= NB F= NA
GA GA
解得
GA = 80N
知識點 2 動態平衡分析
1、動態平衡問題是指通過控制某些物理量的變化，使物體的狀態發生緩慢改變，“緩慢”
指物體的速度很小，可認為速度為零，所以在變化程中可認為物體處于平衡狀態，把物體的
這種狀態稱為動態平衡態。
2、動態平衡的四種典型解法：解析法、圖解法、相似三角形法、輔助圓法。
3、解析法應用一般步驟：
（1）選某一狀態對物體進行受力分析；
（2）將其中兩力合成，合力與第三個力等大反向；
（3）列平衡方程求出未知量與已知量的關系表達式；
（4）根據已知量的變化情況來確定未知量的變化情況。
※解析法適用于有特殊三角形的時候（直角始終存在）。
4、圖解法應用一般步驟：
（1）確定恒力、定向力、第三力
（2）畫出恒力，從恒力末端畫出與定向力同方向的虛線，將第三力平移與恒力、定向力構
成矢量三角形。
（3）根據題中變化條件，比較這些不同形狀的矢量三角形，判斷各力的大小及變化。
※圖解法適用于三力動態平衡：一力大小方向均不變、一力方向不變、一力大小方向都變。
5、相似三角形法:物體在三個共點力作用下處于平衡狀態時，根據合力為零，把三個力畫在
一個三角形中，看力的三角形與哪個三角形相似，找到力的三角形與空間三角形相似后，根
據相似三角形的對應邊成比例，列方程求解.
※相似三角形法適用于：有一恒力，另外兩個力大小、方向都變。
6、輔助圓法：適用于物體受三個力處于動態平衡時，其中一個力大小、方向均確定,另兩個
力大小、方向均不確定,但是這兩個力的方向夾角保持不變。
【典例 2-1】如圖，一塊木板傾斜放置，O 端著地，一個物塊放在木板上處于靜止，將木板
繞 O 點在豎直面內順時針緩慢轉動，物塊相對于木板始終靜止。則在轉動過程中，下列說
法正確的是（　　）
A．物塊受兩個力的作用 B．物塊受到的合外力變大
C．物塊對木板的壓力大小不變 D．木板對物塊的摩擦力不斷增大
【答案】D
【詳解】A．物塊受重力、彈力、摩擦力作用，A 錯誤；
B．物塊始終靜止，所受合外力為 0，保持不變，B 錯誤；
C．當木板傾角為 θ 時，物塊對木板的壓力大小為
F=mgcosθ
當 θ 增大，壓力減小，C 項錯誤；
D．根據力的平衡，木板對物塊的摩擦力
Ff=mgsinθ
當 θ 增大，摩擦力增大，D 正確。
故選 D。
【典例 2-2】（多選）如圖，右側面光滑的斜面體固定在水平面上，質量相等的物塊 M、N
分別放在斜面體的左右兩個面上，M、N 拴接在跨過光滑定滑輪的輕質細繩兩端，整個系統
處于靜止狀態。現對 N 施加一始終與右側輕繩垂直的拉力 F，使 N 緩慢移動至右側細繩水
平，該過程 M 保持靜止。下列說法正確的是（　　）
A．拉力 F 先減小后增大
B．輕繩的拉力逐漸增大
C．M 所受摩擦力先減小后增大
D．斜面對 M 的作用力先減小后增大
【答案】CD
【詳解】AB．N 離開斜面后，設 F 與豎直方向的夾角為q ，有
T = mg sinq ，F = mg cosq θ 逐漸減小，所以繩子拉力逐漸減小，F 逐漸增大；故 AB 錯誤；
C．力 F 作用之前，有
mg sin 30° + f = mg sin 60°
所以原來 M 所受摩擦力沿斜面向下，隨著繩子拉力的減小，M 受到的摩擦力逐漸減小，當
右繩水平時，繩子拉力為零，則 M 受到的摩擦力沿斜面向上，所以 M 受到的摩擦力先沿斜
面向下減小，再沿斜面向上增大，故 C 正確；
D．斜面對 M 的作用力為斜面的支持力及摩擦力，因為支持力不變，所以當摩擦力先減小再
增大時，斜面對 M 的作用力先減小后增大，故 D 正確。
故選 CD。
【典例 2-3】如圖所示，傾角為 30°、質量 M=2kg 的斜面體 C 置于粗糙水平地面上，質量 mB=3kg
的小物塊 B 置于粗糙斜面上，通過不可伸長的細繩跨過光滑輕質定滑輪與質量為mA = 3kg
的物塊 A 相連接。開始 A 靜止在滑輪的正下方，連接 B 的一段細繩與斜面平行，B、C 始終
保持靜止狀態，細繩的質量不計。現對 A 施加一個拉力 F 使 A 緩慢移動，移動過程中 F 與
連接 A 的輕繩的夾角始終保持 120°，直至輕繩水平，g 取 10m/s2.求：
（1）A 靜止時地面對 C 支持力的大小；
（2）輕繩水平時，B 受到的摩擦力；
（3）A 緩慢移動過程中，地面對 C 摩擦力的最大值。
【答案】（1） (50 - 5 3)N ；（2）5N，方向沿斜面向上；（3）10 3N
【詳解】（1）A 靜止時細繩中的張力FT1
FT1 = mA g
以 BC 作為整體，其受力示意圖如圖，
地面對 C 的支持力為 FN，摩擦力FfC
FN + FT1 sinq = (mB + M )g
解得
FN = (50 - 5 3)N
（2）輕繩水平時，物塊 A 的受力示意圖如圖
F cos30° = mA g
F sin 30° = FT2
物塊 B 的受力示意圖如圖
FT2 + Ff = mBg sinq
解得
Ff = 5N ，方向沿斜面向上
（3）由 BC 作為一個整體的受力示意圖可知
FfC = FT cosq
當細繩中張力最大時，地面的摩擦力就達到最大值
物塊 A 在重力、拉力 F 和細繩張力 FT 作用下始終處于平衡狀態，所以三個力的合力等于零，
根據三角形法則，這三個力通過平行移動可以構成一個閉合的矢量三角形，如圖 7 中
VPMN ，其中 MN 對應重力，NP 對應拉力 F，PM 對應細繩張力 FT。
拉力 F 與細繩張力 FT 之間的夾角保持120°不變，即 MPN 保持60°不變，滿足此關系的幾
何圖形是VPMN 的外接圓，P 為動點，從 N 點沿圓周逆時針移至 R 點，在移動過程中當 PM
處于直徑位置時最長，FT 最大，如圖中 P1位置。
FT max sin 60° = mA g
解得
FfCmax =10 3N
【變式 2-1】如圖所示，一條輕質細繩上有一滑輪 C，滑輪下面掛一物塊 A，輕繩一端固定
于直角支架 MOD 的 O 點，支架固定在地面上，MO 水平，OD 豎直，輕繩另一端繞過一固
定在斜面上的定滑輪 Q 與一物塊 B 相連，與 B 連接的輕繩與斜面平行，物塊 B 靜止在斜面
上，物塊 A 和斜面都處于靜止狀態，斜面和地面都是粗糙的，滑輪的質量及輕繩與滑輪間
的摩擦均忽略不計。如果將輕繩固定點由 O 點緩慢地移動到 M 點或 N 點，物塊 A、B 和斜
面仍處于靜止狀態，輕繩仍為繃直狀態。則（ ）
A．移動到 M 點后，物體 B 受到的摩擦力變大
B．移動到 M 點后，斜面受到地面的摩擦力變大
C．移動到 N 點后，物體 B 受到的摩擦力不變
D．移動到 N 點后，斜面受到地面的摩擦力變大
【答案】C
【詳解】A．因為不知道初始時物塊 B 受到的靜摩擦力的大小和方向，所以不能確定物塊 B
受到的摩擦力大小的變化，故 A 錯誤；
B．設拉滑輪 C 的繩與豎直方向的夾角為q ，則
mg = 2T cosq
解得
T mg=
2cosq
將輕繩固定點由 O 點移動到 M 點后，q 減小，拉力 T 變小，把斜面和物塊 B 整體作為研究
對象，斜面受到的摩擦力
Ff = T sinq
可知Ff 也變小，故 B 錯誤；
C．將輕繩固定點由 O 點移動到 N 點后，設動滑輪兩端繩長分別為 l1、l2，動滑輪到 O、Q
的水平距離分別為 x1、x2，則
x1 + x2 =（l1 + l2）sin θ
由題意可知，q 不變，拉力 T 不變，即物體 B 的受力不變，物塊 B 受到的摩擦力不變，故 C
正確；
D．把斜面和物塊 B 整體作為研究對象，根據
Ff = T sinq
可知，移動到 N 點后，輕繩對物塊 B 的拉力和q 不變，Ff 也不變，故 D 錯誤。
故選 C。
【變式 2-2】（多選）如圖所示，三根無彈性的輕質細繩系于 O 點，A、B 端分別固定在豎直
與水平墻上，繩 OA 水平，繩 OB 與水平方向間夾角為 53°，C 端豎直懸掛一小球（可視為
質點）.現保持結點 O 不變動，對小球施加一水平向右的作用力 F，使小球緩慢運動至繩 OC
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與水平方向成 37°夾角的位置（繩始終伸直）.不計空氣阻力， sin 37° = ， cos37° = .則此
5 5
過程（ ）
A．力 F 大小不變
B．繩 OB 受到的拉力大小不變
C．繩 OC 受到的拉力大小不變
D．繩 OA 受到的拉力大小增大
【答案】BD
【詳解】AC．以小球為對象，設 OC 與豎直方向的夾角為q ，根據受力平衡可得
F = mg tanq ，T
mg
OC = cosq
由于q 增大， tanq 增大， cosq 減小，則力 F 大小增大，繩 OC 受到的拉力大小增大，故 AC
錯誤；
BD．以 O 點為對象，根據受力平衡可得
TOB sin 53° = TOC cosq ，TOB cos53° +TOC sinq = TOA
聯立解得
T mg mgOB = ，TOA = + mg tanqsin 53° tan 53°
由于q 增大， tanq 增大，則繩 OB 受到的拉力大小不變，繩 OA 受到的拉力大小增大，故
BD 正確。
故選 BD。
【變式 2-3】用三根細線 a、b 、 c將重力均為 10N 的兩個小球 P 和 Q 連接并懸掛，如圖所
示。用手拉住細線 c的右端使兩小球均處于靜止狀態。
（1）若調整細線 a與豎直方向的夾角為 37°，細線 c水平，求細線 a對小球 P 的拉力大小；
（2）若適當調整細線 c的方向，始終保持細線 a與豎直方向的夾角為 37°，則當細線 c與豎
直方向的夾角為多大時 c對小球 Q 的拉力的最小？最小值為多少？
【答案】（1）25N；（2）53°，12N
【詳解】（1）選取 P、Q 兩球整體為研究對象，受到重力 2G、a 和 c 細線的拉力
根據平衡可知豎直方向
F 2Ga = = 25Ncos37°
（2）根據力的合成可知，當 Fc 與 Fa 垂直時， Fc 最小，此時細線 c與豎直方向的夾角為 53°，
最小值為
Fcmin = 2G sin 37° =12N
一、單選題
1．如圖所示，質量為 M 的物塊 A 放在水平桌面上，質量為 m 的物塊 B 通過輕繩與 A 相連，
水平拉力 F（大小未知）作用在物塊 B 上，系統恰好處于平衡狀態，此時輕繩與豎直方向的
夾角為 θ。已知物塊 A 與桌面之間的動摩擦因數為 μ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力
加速度為 g，下列說法正確的是（ ）
mg
A．輕繩的拉力大小為
sinq
B．F 的大小為 mgtanθ
C．桌面對 A 的摩擦力大小為 μMg
D．桌面對 A 的支持力大小為 Mg
【答案】B
【詳解】AB．以 B 為對象，根據受力平衡可得
T cosq = mg ，T sinq = F
解得輕繩的拉力大小為
T mg= F 的大小為
cosq
F = mg tanq
故 A 錯誤，B 正確；
CD．以 A 為對象，根據受力平衡可得
T sinq = f ，T cosq + Mg = N
解得桌面對 A 的摩擦力大小為
f = mg tanq
桌面對 A 的支持力大小為
N = Mg + mg
故 CD 錯誤。
故選 B。
2．南方多雨水，大多屋頂為坡頂且坡度（坡與水平面的夾角）較大（如圖甲），是為了利于
雨水順暢流下，減少其停留時間和積水。北方多風沙，很多屋頂為平頂（如圖乙），是為了
能讓風順利地吹過，從而保護房子。下列說法正確的是（ ）
A．靜止于坡頂的物體，質量越大越容易滑落
B．坡頂的坡度大于 45°時，靜止于坡頂的物體才能夠滑落
C．平頂和坡頂對靜止于其上的物體的作用力方向都豎直向上
D．對于同一個靜止在坡頂的物體，坡度越大，物體所受摩擦力越小
【答案】C
【詳解】AB．當物體能從斜面上滑下時滿足
mg sinq > mmg cosq
即
m < tanq
物體能否在斜面上靜止與物體質量無關，坡頂的坡度大于 45°時，靜止于坡頂的物體也不一
定能夠滑落，故 AB 錯誤；
C．當物體靜止時受力平衡，則平頂和坡頂對靜止于其上的物體的作用力都是與重力平衡，
即方向都豎直向上，故 C 正確；
D．對于同一個靜止在坡頂的物體，受摩擦力為
f = mg sinq
則坡度越大，物體所受摩擦力越大，故 D 錯誤。
故選 C。
3．如圖所示，物體 A 靜止在固定斜面上，斜面的傾角為q ，下列說法正確的是（　　）
A．物體 A 受到重力、支持力、摩擦力、下滑力共四個作用力
B．斜面對物體 A 的支持力是因為物體 A 發生形變產生的
C．物體 A 受到的摩擦力沿斜面向下
D．斜面對物體 A 的作用力方向豎直向上
【答案】D
【詳解】A．根據受力平衡可知，物體 A 受到重力、支持力、摩擦力共三個作用力，故 A 錯
誤；
B．斜面對物體 A 的支持力是因為斜面發生形變產生的，故 B 錯誤；
C．根據受力平衡可知，物體 A 受到的摩擦力與重力沿斜面向下的分力平衡，則摩擦力方向
沿斜面向上，故 C 錯誤；
D．根據受力平衡可知，斜面對物體 A 的作用力與重力平衡，則作用力方向豎直向上，故 D
正確。
故選 D。
1
4．如圖所示，粗糙水平地面上放有截面為 圓周的柱狀物體 A，A 與墻面之間放一光滑的
4
圓柱形物體 B，整個裝置保持靜止。若將 A 的位置向右移動稍許，整個裝置仍保持平衡，則
（ ）
A．地面對 A 的支持力不變 B．地面對 A 的摩擦力減小
C．墻對物體 B 的作用力減小 D．物體 A 對 B 的作用力減小
【答案】A
【詳解】CD．設 A 對 B 的支持力與豎直方向的夾角為q ，對圓柱形物體 B 進行受力分析，
如圖所示
根據共點力平衡得
N = mBg tanq墻
N m g2 = Bcosq
若將 A 的位置向右移動稍許，q 增大，則 A 對 B 的支持力 N2 增大，墻對 B 的作用力增大，
故 CD 錯誤；
AB．以 AB 整體為研究對象，進行受力分析，豎直方向有
N = (mA + mB )g
故地面對 A 的支持力不變，由于初始時刻 N墻、F 大小關系不知，無法判斷地面對 A 的摩擦
力大小變化，故 A 正確，B 錯誤。
故選 A。
5．如圖所示，豎直固定放置的光滑大圓環，其最高點為 P，最低點為 Q。現有兩個輕彈簧
1、2 的一端均栓接在大圓環 P 點，另一端分別拴接 M、N 兩小球，兩小球均處于平衡態。
已知輕彈簧 1、2 上的彈力大小相同，輕彈簧 1、2 軸線方向與 PQ 連線的夾角分別 30°、
60°，則下列說法正確的是（　　）
A．輕彈簧 1 處于壓縮狀態，輕彈簧 2 處于伸長狀態
B．大圓環對兩小球的彈力方向均指向圓心
C．M、N 兩小球的質量比為m1 : m2 =1: 3
D．大圓環對 M、N 兩小球的彈力大小之比為FN1 : FN2 = 3 :1
【答案】C
【詳解】A．對兩個小球受力分析并畫力的矢量三角形，如圖所示
兩個彈力均指向 P 點，故兩彈簧均處于拉伸狀態，故 A 錯誤；
B．大圓環對兩球的彈力均背離圓心，故 B 錯誤；
CD．M 的力矢量三角形相似于三角形 OPM，故
F m g 3N1 = 1 = T3 1
FN2 = m2g = T2
可知
m1 : m2 =1: 3
FN1 : FN2 =1: 3
故 C 正確，D 錯誤。
故選 C。
6．如圖所示，一架直梯斜靠在光滑的豎直墻壁上，下端放在粗糙的水平地面上，直梯處于
靜止狀態，已知直梯與豎直墻面夾角為 30°，直梯的重心位于直梯的幾何中心，直梯的質量
為 m，重力加速度為 g。則下列說法正確的是（　　）
A 2 3．水平地面對直梯作用力大小為 mg
3
B 3．水平地面對直梯支持力大小為 mg
2
C 3．水平地面對直梯摩擦力大小為 mg
3
D 3．豎直墻壁對直梯支持力大小為 mg
6
【答案】D
【詳解】AD．對直梯進行受力分析如圖所示
令豎直墻壁對直梯支持力為F1，水平地面對直梯作用力為F2 ，F2 與豎直方向的夾角為b ，
F2 為地面對直梯的摩擦力與支持力的合力，直梯與豎直墻壁夾角為a ，根據三力匯交原理
可知，三力交匯于 O 點。設直梯的長度為 L，由幾何關系可得
tan b 1= tana 3=
2 6
由力學平衡可得
F2 cos b = mg ，F2 sin b = F1
解得
F 39 32 = mg ，F1 = mg6 6
故 A 錯誤，D 正確；
B．結合上述可知，水平地面對直梯支持力大小為
F = F2 cos b = mg
故 B 錯誤；
C．結合上述可知，水平地面對直梯摩擦力大小為
f = F2 sin b
3
= mg
6
故 C 錯誤。
故選 D。
7．在精工實驗課上，小明將一重為 G 的圓柱形工件放在“V”形金屬槽中，如圖所示，槽的
兩側面與水平面的夾角相同，“V”形槽兩側面間的夾角為 90°。小明發現當槽的棱與水平面的
夾角為 37°時，工件恰好能夠勻速下滑，則可知（　　）
A．工件對“V”形槽每個側面的壓力均為0.8G B．工件對“V”形槽每個側面的壓力均為
0.4G
C “V” 3 2 3 2．工件與 形槽間的動摩擦因數為 D．工件與“V”形槽間的動摩擦因數為
4 8
【答案】D
【詳解】AB．工件的重力可以分解為沿槽棱方向向下的分力G sin 37°與垂直于槽棱方向的分
力G cos37°，如圖
垂直于槽棱方向的分力G cos37°又進一步分解為兩個擠壓斜面的壓力，如圖
F1和F2 的合力與G cos37°等大反向，由幾何關系可知
2F1 cos 45° = G cos37°
解得
F1 = F
2 2
2 = G5
故 AB 錯誤；
CD．沿槽棱方向的分力G sin 37°與圓柱體和槽之間的摩擦力大小相等，有
Ff = 2mF1 = G sin 37°
解得
m 3= 2
8
故 C 錯誤，D 正確。
故選 D。
8．如圖，油桶放在汽車的水平底板上，汽車停于水平地面。對油桶、汽車進行受力分析，
涉及油桶、汽車、地球三個物體之間的作用力和反作用力一共有 m 對。這幾對力的各個力
中，有些能形成一對平衡力，形成平衡力的一共有 n 對。則（　　）
A．m=4，n=2 B．m=4，n=1 C．m=3，n=2 D．m=2，n=3
【答案】B
【詳解】對油桶受力分析，受重力和支持力，對汽車分析，受重力、壓力和支持力，地球受
到油桶和汽車的引力，汽車的壓力，其中涉及油桶、汽車、地球三個物體之間的作用力和反
作用力為油桶與地球間有相互吸引的力、油桶和汽車間的相互作用力、汽車和地球間有相互
吸引的力、地面和汽車間的相互作用力，共四對，而其中油桶所受的重力和支持力為一對平
衡力。
故選 B。
9．如圖所示，三物體 A、B、C 均靜止，輕繩兩端分別與 A、C 兩物體連接且伸直，
mA = 3kg ，mB = 2kg ，mC =1kg，物體 A、B、C 及 C 與地面之間的動摩擦因數均為 m = 0.1，
輕繩與滑輪間的摩擦可忽略不計，重力加速度 g 取10m/s2，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。
若用水平拉力 F 將 B、C 一起向左抽出，則作用在 C 物體上的 F 應大于（ ）
A．14N B．12N C．8N D．6N
【答案】B
【詳解】若恰好拉出，對 B、C 整體受力分析，有
F = T + m mA + mB + mC g + mmA g
對 A 受力分析，有
T = mmA g
解得
F =12N
故選 B。
10．如圖甲所示為烤腸機，香腸放置在兩根水平的平行金屬桿中間，其截面圖如圖乙所示。
假設香腸可視為質量為 m 的均勻圓柱體，烤制過程中香腸質量不變，半徑變大。忽略摩擦
及金屬桿的熱脹冷縮，重力加速度為 g。下列說法正確的是（　　）
A．香腸烤熟前，金屬桿 1 對烤腸的支持力大小為0.5mg
B．香腸烤熟后，金屬桿 1 對烤腸的支持力比烤熟前變小
C．香腸烤熟后與烤熟前相比，兩根金屬桿對烤腸的合力變大
D．香腸烤熟后，金屬桿 1 對烤腸的支持力與豎直方向的夾角比烤熟前變大
【答案】B
【詳解】ABD．對香腸進行受力分析如圖所示
根據對稱性有
N1 = N2
根據平衡條件有
mg = 2N1 cosq = 2N2 cosq
解得
N mg1 = N2 = 2cosq
令金屬桿之間的距離為 d，則
sinq d=
2(R + r)
可知半徑 R 變大，則q 減小，由分析可知， N1、N2 均減小，故 AD 錯誤，B 正確；
C．香腸處于靜止平衡狀態，合力為 0，則兩根金屬桿對其合力不變，始終與重力等大反向，
故 C 錯誤。
故選 B。
11．（多選）“柳條搓線絮搓棉，搓夠千尋放紙鳶”，四月正是放風箏的好時節。如圖所示，
在輕繩拉力的作用下，風箏始終靜止在空中，下列說法正確的是（ ）
A．氣流對風箏的作用力方向水平向左
B．人對地面的壓力小于人和風箏受到的總重力
C．輕繩對人的拉力等于地面對人的摩擦力
D．地面對人產生支持力是因為地面發生了彈性形變
【答案】BD
【詳解】A．風箏處于平衡狀態，風箏受到重力、輕繩的拉力和氣流的作用力，由于重力方
向豎直向下，輕繩的拉力方向斜向右下方，因此氣流對風箏的力的方向一定斜向左上方，
故 A 錯誤；
B．對人和風箏整體分析，受豎直向下的重力、豎直向上的支持力、向右的摩擦力、斜向左
上方的氣流的力，因此支持力小于人和風箏受到的總重力，根據牛頓第三定律，人對地面的
壓力小于人和風箏受到的總重力，故 B 正確，
C．以人為對象，輕繩對人的拉力的水平分力等于地面對人的摩擦力，則輕繩對人的拉力大
于地面對人的摩擦力，故 C 錯誤；
D．地面對人產生支持力是因為地面發生了彈性形變，故 D 正確。
故選 BD。
12．（多選）如圖所示，一質量為m 、半徑為 r 的光滑球A 用細繩懸掛于O點，另一質量為
M 、半徑為 R 的半球形物體 B 被夾在豎直墻壁和A 球之間， B 的球心到O點之間的距離為 h ，
A 、 B 的球心在同一水平線上，A 、 B 處于靜止狀態，重力加速度為 g ，則下列說法正確的
是（）
R + r
A．A 對 B 的壓力大小為 mg
h
B．豎直墻壁對 B 的摩擦力可能為零
C．當只輕輕把球 B 向下移動一點距離，若A 、 B 再次保持靜止，則A 對 B 的壓力大小
保持不變，細繩拉力增大
D．當只輕輕把球 B 向下移動一點距離，若A 、 B 再次保持靜止，則A 對 B 的壓力減小，
細繩拉力減小
【答案】AD
【詳解】A．分析 A 球的受力情況，如圖 1 所示，
N 與 mg 的合力與 T 等大反向共線，根據兩個陰影三角形相似得
N mg T
= =
R + r h OA
解得
N R + r= mg
h
T mg= OA
h
由牛頓第三定律知 A 對 B 的壓力大小為
R + r
N′=N= mg
h
故 A 正確；
B．B 在豎直方向受到重力，AB 之間光滑，則由平衡條件知豎直墻壁對 B 的摩擦力一定摩擦
力，故 B 錯誤；
CD．當只輕輕把球 B 向下移動一點距離，分析 A 球的受力情況，如圖 2 所示，N 與 T 的合
力與 mg 等大反向共線，根據兩個陰影三角形相似得
N mg T
= =
R + r L OA
可得
N R + r= mg
L
T mg= OA
L
由于 L＞h，可知，N 減小，T 減小，由牛頓第三定律知 A 對 B 的壓力減小，故 C 錯誤，D 正
確。
故選 AD。
13．（多選）疊放在水平地面上的四個完全相同的排球如圖所示，質量均為 m，相互接觸，
球與地面間的動摩擦因數均為m ，則：（　　）
A．上方球與下方 3 個球間均沒有彈力
B．下方三個球與水平地面間一定有摩擦力
4mg
C．水平地面對下方三個球的支持力均為
3
4mmg
D．水平地面對下方三個球的摩擦力均為
3
【答案】BC
【詳解】A．對上方球分析可知，小球受重力和下方球的支持力而處于平衡狀態，所以上方
球一定與下方球有力的作用，故 A 錯誤；
BD．下方球由于受上方球斜向下的彈力作用，所以下方球有運動的趨勢，故下方球受靜摩
擦力作用，如圖所示
得三個下方小球受到的是靜摩擦力，故不能根據滑動摩擦力公式進行計算，故 BD 錯誤；
C．將四個球看作一個整體，地面的支持力與整體重力平衡，設下方一個球受的支持力大小
為 FN ，因此有
3FN = 4mg
解得水平地面對下方三個球的支持力均為
F 4mgN = 3
故 C 正確。
故選 BC。
14．（多選）如圖所示，質量分別為M = 4kg、m = 2kg的物體A 、B 放置在水平面上，兩物
體與水平面間的動摩擦因數相同，均為m = 0.4 ，假設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。現分
別對兩物體施加外力T1、T2，兩個力與水平面的夾角分別為d = 30°、q = 53°，其中T1 = 30N ，
取重力加速度大小 g =10m / s2 ， sin 53° = 0.8。物體A 、B 保持靜止，下列說法正確的是（ ）
A．A 和 B 之間一定相互擠壓
B．T2可能等于5N
C．T2可能等于 4N
D．若不施加T2，使T1 = 50N ，則兩物體仍然靜止
【答案】AC
【詳解】A．隔離 B，因為
T1cosd =15 3N
大于
m mg +T1sind =14N
所以 B 受 A 的彈力，它們之間一定相互擠壓，且
FN = T1cosd - m mg +T1sind = 15 3 -14 N
故 A 正確；
BC．當 A 剛好運動時
T2cosq + FN = m Mg -T2sinq
T2 = 4.4N
因為 A 靜止，所以T2不能大于 4.4N，故 B 錯誤，C 正確；
D．以 A、B 整體為研究對象，當
T1 = 50N
時
T1cosd = 25 3N = 43.3N
而
m é M + m g +T1sind ù = 34N
T1cosd > m é M + m g +T1sind ù
所以若不施加T2，使
T1 = 50N
則兩物體運動，故 D 錯誤。
故選 AC。
二、填空題
15．如圖所示，木塊 B 放在水平地面上，質量為 2.0kg的物體 A 放在它的水平上表面；彈簧
測力計一端固定在墻壁上，另一端與物塊 A 相連，重力加速度 g = 10m/s2 。當用水平力勻速
抽出長木板 B 的過程中，觀察到彈簧測力計的示數為 4.00N ，彈簧伸長量為 4.00cm ，物塊 A
與木板 B 間的動摩擦因數為 ，彈簧的勁度系數為 N/m。
【答案】 0.2 100
【詳解】[1][2]當用水平力勻速抽出長木板 B 的過程中，觀察到彈簧測力計的示數為 4.00N ，
彈簧伸長量為 4.00cm ，以 A 為對象，根據受力平衡可得
f = F = 4.00N
又
f = mmg
聯立解得物塊 A 與木板 B 間的動摩擦因數為
m F 4.00= = = 0.2
mg 2.0 10
根據胡克定律可得彈簧的勁度系數為
k F 4.00= = N / m =100N / m
x 4.00 10-2
16．如圖下圖所示，輕繩 AO 和 BO 共同吊起質量為 m 的重物。AO 與 BO 垂直，BO 與豎直
方向的夾角為q ，OC 連接重物，重力加速度為 g，輕繩 AO 所受拉力的大小為 N。輕
繩 BO 所受拉力的大小為 N。
【答案】 mg sinq mg cosq
【詳解】[1][2]O 點收豎直向下的拉力為 mg。將 mg 沿繩分解，則兩繩所受拉力分別為
FAO = mg sinq ，FBO = mg cosq
三、解答題
17．如圖一根輕繩跨過定滑輪將物體 A、B 連接在一起，A、B 均處于靜止狀態。已知兩物體
質量分別為mA = 5kg 和mB = 8kg ，繩與水平方向的夾角為q = 53°，不計滑輪和繩的質量及
其摩擦 sin 53° = 0.8,cos53° = 0.6, g =10m / s2 求：
（1）水平地面對物體 B 的支持力大小 FN ；
（2）水平地面對物體 B 的摩擦力大小Ff 。
【答案】（1）40N；（2）30N
【詳解】（1）對 B 受力分析如圖所示
在豎直方向由平衡條件有
mBg = FN +T sin 53
o
而對 A 由平衡條件有
T = mA g
聯立解得
FN = 40N
（2）根據平衡條件，在水平方向根據平衡條件對 B 有
Ff = T cos53
o = 30N
18．用三根細線 a、b、c 將兩個小球 1 和 2 連接并懸掛，如圖所示。兩小球處于靜止狀態，
細線 a 與豎直方向的夾角為 30°，細線 c 水平，兩個小球 1 和 2 的重力分別為 2G 和 G。求：
（1）細線 a、c 分別對小球 1 和 2 的拉力大小；
（2）細線 b 對小球 2 的拉力大小；
（3）細線 b 與豎直方向的夾角。
【答案】（1） 2 3G， 3G ；（2）2G；（3）60°
【詳解】（1）設細線 a、c 分別對小球 1 和 2 的拉力大小分別為 Ta、Tc，對小球 1、2 整體
分析，有
Ta cos30° = 3G
Tc = 3Gtan30°
解得
Ta = 2 3G
Tc = 3G
（2）設細線 b 對小球 2 的拉力大小為 Tb，對小球 2 分析，有
T 2b = G +T
2
c = 2G
（3）設細線 b 與豎直方向的夾角為 θ，對小球 2 分析，有
tanq T= c
G
可得
q = 60°
19．某網紅主播舉辦抓金磚挑戰賽，如圖為一塊質量m = 25kg 的棱臺形金磚，挑戰者須戴
上主辦方提供的手套，單手抓住金磚的 a、b 兩側面向上提，保持金磚 c 面水平朝上，而且
手指不能摳底，在空中保持 10s，就算挑戰成功，可直接帶走金磚。已知金磚 a、b 兩側面
與金磚底面的夾角均為q = 78.5o，挑戰者施加給金磚的單側壓力為 F，假設最大靜摩擦力等
于滑動摩擦力，取重力加速度 g =10m / s2 。計算時取 sin78.5o 1.0 ， cos78.5o 0.20，試解
決下列問題：
（1）若手與金磚側面間動摩擦因數m1 = 0.3，現要徒手抓起金磚，則 F 至少需要多大
（2）若要求所有戴上特供手套的挑戰者絕無挑戰成功的可能性，則手套與金磚側面的動摩
擦因數m2 需滿足什么條件
【答案】（1）1250N；（2）m2 0.2
【詳解】（1）對金塊受力分析，如圖所示，正交分解得
f = m1F ， 2 fsinq = mg + 2Fcosq
解得
F mg=
2 m1sinq - cosq
代入數據可得
F =1250N
（2）由（1）問得
F mg=
2 m2sinq - cosq
要使 F 不存在，則
m2sinq - cosq 0
即
m cosq2 = 0.2sinq
20．質量為 30kg 的小孩坐在 10kg 的雪橇上，大人用與水平方向成37°斜向上的大小為 100N
的拉力拉雪橇，使雪橇沿水平地面做勻速運動，（ sin 37° = 0.6 ， cos37° = 0.8）求：
（1）雪橇對地面的壓力；
（2）雪橇受到的摩擦力大小；
（3）雪橇與水平地面的動摩擦因數的大小．
【答案】（1）340N；（2）80N；（3）0.24
【詳解】（1）經對小孩和雪橇整體受力分析得：豎直方向有
F sinq + FN = mg
其中
m = 30kg +10kg = 40kg
解得
FN = 340 N
雪橇對的地面壓力是地面對雪橇支持力 FN 的反作用力，所以雪橇對的地面壓力為 340N；
（2）（3）水平方向有
F cosq - Ff = 0
Ff = mFN
由上式解得
Ff = 80 N，m = 0.243.5 共點力的平衡（知識解讀）（原卷版）
知識點 1 一般情況下的共點力平衡
知識點 2 動態平衡分析
作業 鞏固訓練
知識點 1 一般情況下的共點力平衡
1、平衡狀態：物體靜止或做勻速直線運動。
2、平衡條件： F合 = 0或 Fx = 0， Fy = 0 。
3、常用推論
①若物體受 n個作用力而處于平衡狀態，則其中任意一個力與其余(n－1)個力的合力大小相
等、方向相反。
②若三個共點力的合力為零，則表示這三個力的有向線段首尾相接組成一個封閉三角形。
4、處理共點力平衡問題的基本思路
確定平衡狀態(加速度為零)→巧選研究對象(整體法或隔離法)→受力分析→建立平衡方程
→求解或作討論。
5、求解共點力平衡問題的常用方法：
①合成法：一個力與其余所有力的合力等大反向，常用于非共線三力平衡。
②正交分解法： Fx合 = 0 ， Fy合 = 0，常用于多力平衡。
③矢量三角形法，把表示三個力的有向線段構成一個閉合的三角形，常用于非特殊角的一般
三角形。
6、物體受多個力作用處于平衡狀態時，可以通過求出其中幾個力的合力，將多個力的平衡
問題轉化為二力平衡或三力平衡問題。
7、應用共點力平衡條件解題的步驟
（1）明確研究對象(物體、質點或繩的結點等)。
（2）分析研究對象所處的運動狀態，判定其是否處于平衡狀態。
（3）對研究對象進行受力分析，并畫出受力示意圖。
（4）建立合適的坐標系，應用共點力的平衡條件，選擇恰當的方法列出平衡方程。
（5）求解方程，并討論結果。
【典例 1-1】如圖所示，用一根細繩跨過鐵釘將一塊小黑板懸掛在墻壁上，細繩的兩端固定
在小黑板邊緣兩點 A、B 上。小黑板靜止時，鐵釘兩側細繩與豎直方向的夾角分別為a 、
b 。細繩質量不計，細繩與鐵釘接觸處摩擦不計，則關于夾角a 、b 大小關系正確的是
（ ）
A．若 A 點高于 B 點，則a > b
B．若 A 點高于 B 點，則繩 OB 段的拉力較大
C．不論 A 點與 B 點高度關系如何，均有a = b
D．由于細繩與鐵釘接觸處摩擦不計，平衡時 OA 與 OB 的長度一定相等
【典例 1-2】（多選）商場中的電動扶梯有兩種，顧客 A、B 分別站在如圖甲、乙所示的電動
扶梯上隨扶梯做勻速直線運動，圖甲中扶梯臺階的上表面水平且粗糙。下列說法正確的是
（　　）
A．顧客 A 受到的支持力與其受到的重力大小相等
B．顧客 B 受到的摩擦力小于其受到的重力
C．顧客 A 受到的摩擦力方向水平向左
D．顧客 B 受到的支持力方向豎直向上
【典例 1-3】如圖所示，人與木塊重分別為 600N 和 400N，人與木塊，木塊與水平面間的動
摩擦因數為 0.2，繩與滑輪間摩擦不計，則當人用F = N 的力拉繩，就可以使人與木塊
一起勻速運動，此時人受到摩擦力方向水平向 ，木塊對水平面的摩擦力的大小為 N。
【典例 1-4】如圖所示，放在粗糙斜面（斜面固定不動）上的物塊 A 和懸掛的物塊 B 均處于
靜止狀態，輕繩 AO 繞過光滑的定滑輪與輕質彈簧的右端及輕繩BO的上端連接于 O 點。輕
質彈簧中軸線沿水平方向，輕繩OC 段與豎直方向的夾角q = 53°，斜面傾角a = 37°，彈簧
勁度系數為 k = 200N/m，彈簧的形變量 x = 2cm ，物體 A 與斜面間的動摩擦因數 = 0.5，最
大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度 g = 10m/s2 ， sin 53° = 0.8， cos53° = 0.6。求：
（1）B 物塊的質量；
（2）為了使 A 和 B 始終在圖示位置處于靜止狀態，A 物體的質量要滿足什么條件？
【變式 1-1】一不可伸長的細線套在兩光滑且大小不計的定滑輪上，質量為 m 的圓環穿過細
線，如圖所示。若 AC 段豎直，BC 段水平，AC 長度等于 BC 長度，重力加速度為 g，細線
始終有張力作用，現施加一作用力 F 使圓環保持靜止狀態，則力 F 的值不可能為（　　）
1
A． mg B．mg C． 2mg D．2mg
2
【變式 1-2】（多選）某戰士爬桿訓練的場景如圖所示，關于戰士在勻速豎直向上爬升的過
程和下滑的過程中的受力情況，下列說法正確的是（　　）
A．戰士向上爬升時受到的摩擦力方向向上
B．戰士向上爬升時受到的摩擦力與其受到的重力一定大小相等
C．戰士下滑時的摩擦力一定等于戰士的重力
D．戰士向上爬升時手握得越緊，桿子與手之間的摩擦力就會越大
【變式 1-3】如圖所示，位于水平桌面上的物塊P ，由跨過定滑輪的輕繩與物塊Q相連，從
滑輪到P 和到Q的兩段繩都是水平的，已知Q與P 之間以及P 與桌面之間的動摩擦因數均為
，兩物塊的質量均為m ，重力加速度為 g 。滑輪軸上的摩擦不計，用一水平向右的力F
拉P 使其做勻速運動。運動過程中物塊Q受到的摩擦力方向 （選填“水平向左”或“水
平向右”）、大小為 ，水平拉力F 的大小為 。
【變式 1-4】如圖所示，光滑圓球 A 的半徑為10cm，懸線長 l = 40cm，物體 B 的厚度為
20cm，重為12N 。物體 B 與墻之間的動摩擦因數 = 0.2 ，物體 B 在未脫離圓球前勻速下滑，
試求：
（1）球對物體 B 的壓力多大？
（2）球多重？
知識點 2 動態平衡分析
1、動態平衡問題是指通過控制某些物理量的變化，使物體的狀態發生緩慢改變，“緩慢”
指物體的速度很小，可認為速度為零，所以在變化程中可認為物體處于平衡狀態，把物體的
這種狀態稱為動態平衡態。
2、動態平衡的四種典型解法：解析法、圖解法、相似三角形法、輔助圓法。
3、解析法應用一般步驟：
（1）選某一狀態對物體進行受力分析；
（2）將其中兩力合成，合力與第三個力等大反向；
（3）列平衡方程求出未知量與已知量的關系表達式；
（4）根據已知量的變化情況來確定未知量的變化情況。
※解析法適用于有特殊三角形的時候（直角始終存在）。
4、圖解法應用一般步驟：
（1）確定恒力、定向力、第三力
（2）畫出恒力，從恒力末端畫出與定向力同方向的虛線，將第三力平移與恒力、定向力構
成矢量三角形。
（3）根據題中變化條件，比較這些不同形狀的矢量三角形，判斷各力的大小及變化。
※圖解法適用于三力動態平衡：一力大小方向均不變、一力方向不變、一力大小方向都變。
5、相似三角形法:物體在三個共點力作用下處于平衡狀態時，根據合力為零，把三個力畫在
一個三角形中，看力的三角形與哪個三角形相似，找到力的三角形與空間三角形相似后，根
據相似三角形的對應邊成比例，列方程求解.
※相似三角形法適用于：有一恒力，另外兩個力大小、方向都變。
6、輔助圓法：適用于物體受三個力處于動態平衡時，其中一個力大小、方向均確定,另兩個
力大小、方向均不確定,但是這兩個力的方向夾角保持不變。
【典例 2-1】如圖，一塊木板傾斜放置，O 端著地，一個物塊放在木板上處于靜止，將木板
繞 O 點在豎直面內順時針緩慢轉動，物塊相對于木板始終靜止。則在轉動過程中，下列說
法正確的是（　　）
A．物塊受兩個力的作用 B．物塊受到的合外力變大
C．物塊對木板的壓力大小不變 D．木板對物塊的摩擦力不斷增大
【典例 2-2】（多選）如圖，右側面光滑的斜面體固定在水平面上，質量相等的物塊 M、N
分別放在斜面體的左右兩個面上，M、N 拴接在跨過光滑定滑輪的輕質細繩兩端，整個系統
處于靜止狀態。現對 N 施加一始終與右側輕繩垂直的拉力 F，使 N 緩慢移動至右側細繩水
平，該過程 M 保持靜止。下列說法正確的是（　　）
A．拉力 F 先減小后增大
B．輕繩的拉力逐漸增大
C．M 所受摩擦力先減小后增大
D．斜面對 M 的作用力先減小后增大
【典例 2-3】如圖所示，傾角為 30°、質量 M=2kg 的斜面體 C 置于粗糙水平地面上，質量 mB=3kg
的小物塊 B 置于粗糙斜面上，通過不可伸長的細繩跨過光滑輕質定滑輪與質量為mA = 3kg
的物塊 A 相連接。開始 A 靜止在滑輪的正下方，連接 B 的一段細繩與斜面平行，B、C 始終
保持靜止狀態，細繩的質量不計。現對 A 施加一個拉力 F 使 A 緩慢移動，移動過程中 F 與
連接 A 的輕繩的夾角始終保持 120°，直至輕繩水平，g 取 10m/s2.求：
（1）A 靜止時地面對 C 支持力的大小；
（2）輕繩水平時，B 受到的摩擦力；
（3）A 緩慢移動過程中，地面對 C 摩擦力的最大值。
【變式 2-1】如圖所示，一條輕質細繩上有一滑輪 C，滑輪下面掛一物塊 A，輕繩一端固定
于直角支架 MOD 的 O 點，支架固定在地面上，MO 水平，OD 豎直，輕繩另一端繞過一固
定在斜面上的定滑輪 Q 與一物塊 B 相連，與 B 連接的輕繩與斜面平行，物塊 B 靜止在斜面
上，物塊 A 和斜面都處于靜止狀態，斜面和地面都是粗糙的，滑輪的質量及輕繩與滑輪間
的摩擦均忽略不計。如果將輕繩固定點由 O 點緩慢地移動到 M 點或 N 點，物塊 A、B 和斜
面仍處于靜止狀態，輕繩仍為繃直狀態。則（ ）
A．移動到 M 點后，物體 B 受到的摩擦力變大
B．移動到 M 點后，斜面受到地面的摩擦力變大
C．移動到 N 點后，物體 B 受到的摩擦力不變
D．移動到 N 點后，斜面受到地面的摩擦力變大
【變式 2-2】（多選）如圖所示，三根無彈性的輕質細繩系于 O 點，A、B 端分別固定在豎直
與水平墻上，繩 OA 水平，繩 OB 與水平方向間夾角為 53°，C 端豎直懸掛一小球（可視為
質點）.現保持結點 O 不變動，對小球施加一水平向右的作用力 F，使小球緩慢運動至繩 OC
3 4
與水平方向成 37°夾角的位置（繩始終伸直）.不計空氣阻力， sin 37° = ， cos37° = .則此
5 5
過程（ ）
A．力 F 大小不變
B．繩 OB 受到的拉力大小不變
C．繩 OC 受到的拉力大小不變
D．繩 OA 受到的拉力大小增大
【變式 2-3】用三根細線 a、b 、 c將重力均為 10N 的兩個小球 P 和 Q 連接并懸掛，如圖所
示。用手拉住細線 c的右端使兩小球均處于靜止狀態。
（1）若調整細線 a與豎直方向的夾角為 37°，細線 c水平，求細線 a對小球 P 的拉力大小；
（2）若適當調整細線 c的方向，始終保持細線 a與豎直方向的夾角為 37°，則當細線 c與豎
直方向的夾角為多大時 c對小球 Q 的拉力的最小？最小值為多少？
一、單選題
1．如圖所示，質量為 M 的物塊 A 放在水平桌面上，質量為 m 的物塊 B 通過輕繩與 A 相連，
水平拉力 F（大小未知）作用在物塊 B 上，系統恰好處于平衡狀態，此時輕繩與豎直方向的
夾角為 θ。已知物塊 A 與桌面之間的動摩擦因數為 μ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力
加速度為 g，下列說法正確的是（ ）
mg
A．輕繩的拉力大小為
sinq
B．F 的大小為 mgtanθ
C．桌面對 A 的摩擦力大小為 μMg
D．桌面對 A 的支持力大小為 Mg
2．南方多雨水，大多屋頂為坡頂且坡度（坡與水平面的夾角）較大（如圖甲），是為了利于
雨水順暢流下，減少其停留時間和積水。北方多風沙，很多屋頂為平頂（如圖乙），是為了
能讓風順利地吹過，從而保護房子。下列說法正確的是（ ）
A．靜止于坡頂的物體，質量越大越容易滑落
B．坡頂的坡度大于 45°時，靜止于坡頂的物體才能夠滑落
C．平頂和坡頂對靜止于其上的物體的作用力方向都豎直向上
D．對于同一個靜止在坡頂的物體，坡度越大，物體所受摩擦力越小
3．如圖所示，物體 A 靜止在固定斜面上，斜面的傾角為q ，下列說法正確的是（　　）
A．物體 A 受到重力、支持力、摩擦力、下滑力共四個作用力
B．斜面對物體 A 的支持力是因為物體 A 發生形變產生的
C．物體 A 受到的摩擦力沿斜面向下
D．斜面對物體 A 的作用力方向豎直向上
1
4．如圖所示，粗糙水平地面上放有截面為 圓周的柱狀物體 A，A 與墻面之間放一光滑的
4
圓柱形物體 B，整個裝置保持靜止。若將 A 的位置向右移動稍許，整個裝置仍保持平衡，則
（ ）
A．地面對 A 的支持力不變 B．地面對 A 的摩擦力減小
C．墻對物體 B 的作用力減小 D．物體 A 對 B 的作用力減小
5．如圖所示，豎直固定放置的光滑大圓環，其最高點為 P，最低點為 Q。現有兩個輕彈簧
1、2 的一端均栓接在大圓環 P 點，另一端分別拴接 M、N 兩小球，兩小球均處于平衡態。
已知輕彈簧 1、2 上的彈力大小相同，輕彈簧 1、2 軸線方向與 PQ 連線的夾角分別 30°、
60°，則下列說法正確的是（　　）
A．輕彈簧 1 處于壓縮狀態，輕彈簧 2 處于伸長狀態
B．大圓環對兩小球的彈力方向均指向圓心
C．M、N 兩小球的質量比為m1 : m2 =1: 3
D．大圓環對 M、N 兩小球的彈力大小之比為FN1 : FN2 = 3 :1
6．如圖所示，一架直梯斜靠在光滑的豎直墻壁上，下端放在粗糙的水平地面上，直梯處于
靜止狀態，已知直梯與豎直墻面夾角為 30°，直梯的重心位于直梯的幾何中心，直梯的質量
為 m，重力加速度為 g。則下列說法正確的是（　　）
A 2 3．水平地面對直梯作用力大小為 mg
3
B 3．水平地面對直梯支持力大小為 mg
2
C 3．水平地面對直梯摩擦力大小為 mg
3
D 3．豎直墻壁對直梯支持力大小為 mg
6
7．在精工實驗課上，小明將一重為 G 的圓柱形工件放在“V”形金屬槽中，如圖所示，槽的
兩側面與水平面的夾角相同，“V”形槽兩側面間的夾角為 90°。小明發現當槽的棱與水平面的
夾角為 37°時，工件恰好能夠勻速下滑，則可知（　　）
A．工件對“V”形槽每個側面的壓力均為0.8G
B．工件對“V”形槽每個側面的壓力均為0.4G
C．工件與“V” 3 2形槽間的動摩擦因數為
4
D．工件與“V” 3 2形槽間的動摩擦因數為
8
8．如圖，油桶放在汽車的水平底板上，汽車停于水平地面。對油桶、汽車進行受力分析，
涉及油桶、汽車、地球三個物體之間的作用力和反作用力一共有 m 對。這幾對力的各個力
中，有些能形成一對平衡力，形成平衡力的一共有 n 對。則（　　）
A．m=4，n=2 B．m=4，n=1 C．m=3，n=2 D．m=2，n=3
9．如圖所示，三物體 A、B、C 均靜止，輕繩兩端分別與 A、C 兩物體連接且伸直，
mA = 3kg ，mB = 2kg ，mC =1kg，物體 A、B、C 及 C 與地面之間的動摩擦因數均為 = 0.1，
輕繩與滑輪間的摩擦可忽略不計，重力加速度 g 取10m/s2，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。
若用水平拉力 F 將 B、C 一起向左抽出，則作用在 C 物體上的 F 應大于（ ）
A．14N B．12N C．8N D．6N
10．如圖甲所示為烤腸機，香腸放置在兩根水平的平行金屬桿中間，其截面圖如圖乙所示。
假設香腸可視為質量為 m 的均勻圓柱體，烤制過程中香腸質量不變，半徑變大。忽略摩擦
及金屬桿的熱脹冷縮，重力加速度為 g。下列說法正確的是（　　）
A．香腸烤熟前，金屬桿 1 對烤腸的支持力大小為0.5mg
B．香腸烤熟后，金屬桿 1 對烤腸的支持力比烤熟前變小
C．香腸烤熟后與烤熟前相比，兩根金屬桿對烤腸的合力變大
D．香腸烤熟后，金屬桿 1 對烤腸的支持力與豎直方向的夾角比烤熟前變大
11．（多選）“柳條搓線絮搓棉，搓夠千尋放紙鳶”，四月正是放風箏的好時節。如圖所示，
在輕繩拉力的作用下，風箏始終靜止在空中，下列說法正確的是（ ）
A．氣流對風箏的作用力方向水平向左
B．人對地面的壓力小于人和風箏受到的總重力
C．輕繩對人的拉力等于地面對人的摩擦力
D．地面對人產生支持力是因為地面發生了彈性形變
12．（多選）如圖所示，一質量為m 、半徑為 r 的光滑球A 用細繩懸掛于O點，另一質量為
M 、半徑為 R 的半球形物體 B 被夾在豎直墻壁和A 球之間， B 的球心到O點之間的距離為 h ，
A 、 B 的球心在同一水平線上，A 、 B 處于靜止狀態，重力加速度為 g ，則下列說法正確的
是（）
R + r
A．A 對 B 的壓力大小為 mg
h
B．豎直墻壁對 B 的摩擦力可能為零
C．當只輕輕把球 B 向下移動一點距離，若A 、 B 再次保持靜止，則A 對 B 的壓力大小
保持不變，細繩拉力增大
D．當只輕輕把球 B 向下移動一點距離，若A 、 B 再次保持靜止，則A 對 B 的壓力減小，
細繩拉力減小
13．（多選）疊放在水平地面上的四個完全相同的排球如圖所示，質量均為 m，相互接觸，
球與地面間的動摩擦因數均為 ，則：（　　）
A．上方球與下方 3 個球間均沒有彈力
B．下方三個球與水平地面間一定有摩擦力
4mg
C．水平地面對下方三個球的支持力均為
3
4 mg
D．水平地面對下方三個球的摩擦力均為
3
14．（多選）如圖所示，質量分別為M = 4kg、m = 2kg的物體A 、B 放置在水平面上，兩物
體與水平面間的動摩擦因數相同，均為 = 0.4 ，假設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。現分
別對兩物體施加外力T1、T2，兩個力與水平面的夾角分別為d = 30°、q = 53°，其中T1 = 30N ，
取重力加速度大小 g =10m / s2 ， sin 53° = 0.8。物體A 、B 保持靜止，下列說法正確的是（ ）
A．A 和 B 之間一定相互擠壓 B．T2可能等于5N
C．T2可能等于 4N D．若不施加T2，使T1 = 50N ，則兩物體仍然靜止
二、填空題
15．如圖所示，木塊 B 放在水平地面上，質量為 2.0kg的物體 A 放在它的水平上表面；彈簧
測力計一端固定在墻壁上，另一端與物塊 A 相連，重力加速度 g = 10m/s2 。當用水平力勻速
抽出長木板 B 的過程中，觀察到彈簧測力計的示數為 4.00N ，彈簧伸長量為 4.00cm ，物塊 A
與木板 B 間的動摩擦因數為 ，彈簧的勁度系數為 N/m。
16．如圖下圖所示，輕繩 AO 和 BO 共同吊起質量為 m 的重物。AO 與 BO 垂直，BO 與豎直
方向的夾角為q ，OC 連接重物，重力加速度為 g，輕繩 AO 所受拉力的大小為 N。輕
繩 BO 所受拉力的大小為 N。
三、解答題
17．如圖一根輕繩跨過定滑輪將物體 A、B 連接在一起，A、B 均處于靜止狀態。已知兩物體
質量分別為mA = 5kg 和mB = 8kg ，繩與水平方向的夾角為q = 53°，不計滑輪和繩的質量及
其摩擦 sin 53° = 0.8,cos53° = 0.6, g =10m / s2 求：
（1）水平地面對物體 B 的支持力大小 FN ；
（2）水平地面對物體 B 的摩擦力大小Ff 。
18．用三根細線 a、b、c 將兩個小球 1 和 2 連接并懸掛，如圖所示。兩小球處于靜止狀態，
細線 a 與豎直方向的夾角為 30°，細線 c 水平，兩個小球 1 和 2 的重力分別為 2G 和 G。求：
（1）細線 a、c 分別對小球 1 和 2 的拉力大小；
（2）細線 b 對小球 2 的拉力大小；
（3）細線 b 與豎直方向的夾角。
19．某網紅主播舉辦抓金磚挑戰賽，如圖為一塊質量m = 25kg 的棱臺形金磚，挑戰者須戴
上主辦方提供的手套，單手抓住金磚的 a、b 兩側面向上提，保持金磚 c 面水平朝上，而且
手指不能摳底，在空中保持 10s，就算挑戰成功，可直接帶走金磚。已知金磚 a、b 兩側面
與金磚底面的夾角均為q = 78.5o，挑戰者施加給金磚的單側壓力為 F，假設最大靜摩擦力等
于滑動摩擦力，取重力加速度 g =10m / s2 。計算時取 sin78.5o 1.0 ， cos78.5o 0.20，試解
決下列問題：
（1）若手與金磚側面間動摩擦因數 1 = 0.3，現要徒手抓起金磚，則 F 至少需要多大
（2）若要求所有戴上特供手套的挑戰者絕無挑戰成功的可能性，則手套與金磚側面的動摩
擦因數 2 需滿足什么條件
20．質量為 30kg 的小孩坐在 10kg 的雪橇上，大人用與水平方向成37°斜向上的大小為 100N
的拉力拉雪橇，使雪橇沿水平地面做勻速運動，（ sin 37° = 0.6 ， cos37° = 0.8）求：
（1）雪橇對地面的壓力；
（2）雪橇受到的摩擦力大小；
（3）雪橇與水平地面的動摩擦因數的大小．

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