資源簡介

2.3 勻變速直線運動的位移與時間的關系（知識解讀）（解析版）
知識點 1 勻變速直線運動位移與時間的關系
知識點 2 勻變速直線運動速度與位移的關系
知識點 3 勻變速直線運動規律的綜合運用
作業 鞏固訓練
知識點 1 勻變速直線運動位移與時間的關系
1
1、勻變速直線運動的位移與時間的關系式：x＝v 20t＋ at 。
2
2、公式的推導
（1）利用微積分思想進行推導：在勻變速直線運動中，雖然速度時刻變化，但只要時間足
夠小，速度的變化就非常小，在這段時間內近似應用我們熟悉的勻速運動的公式計算位移，
其誤差也非常小，如圖所示。
（2）利用公式推導：勻變速直線運動中，速度是均勻改變的，它在時間 t 內的平均速度就
1
等于時間 t內的初速度 v0和末速度 v的平均值，即 x＝ (v0＋v)t。結合公式 v＝v0＋at可導
2
1 1
出位移公式：x＝v0t＋ at2，當初速度為 0時，x＝ at2。
2 2
3、技巧歸納
（1）在 v－t圖像中，圖線與 t軸所圍的面積對應物體的位移，t軸上方面積表示位移為正，
t軸下方面積表示位移為負。
1
（2）位移公式 x＝v t＋ at20 只適用于勻變速直線運動。
2
（3）公式中 x、v0、a都是矢量，應用時必須選取正方向；一般選 v0的方向為正方向．當物
體做勻減速直線運動時，a取負值，計算結果中，位移 x的正負表示其方向。
1
（4）當 v0＝0時，x＝ at2，即由靜止開始的勻加速直線運動的位移公式，位移 x與 t2成正
2
比。
4、勻變速直線運動中的平均速度
1 2v at
在勻變速直線運動中，對于某一段時間t，其中間時刻的瞬時速度 v 0t v0 at ，
2 2 2
該段時間的末速度 v=vt+at，由平均速度的定義式和勻變速直線運動的位移公式整理加工可
1 2
v x
v0t at2 1 2v at v v at v v得 v0 at 0 0 0 0 t v 。即有：t t 2 2 2 2 t2
v v0 v t v
2 t2
所以在勻變速直線運動中，某一段時間內的平均速度等于該段時間內中間時刻的瞬時速度，
又等于這段時間內初速度和末速度的算術平均值。
5、勻變速直線運動推論公式：
任意兩個連續相等時間間隔 T內，位移之差是常數，即△x=x -x =aT22 1 ．拓展：△xMN=xM-xN=
（M-N）aT2。
推導：如圖所示，x1、x2為連續相等的時間 T內的位移，加速度為 a。
x v 11 CT aT
2
2 △x＝x x ＝aT2
x 1
2 1
2 vCT aT
2
2
【典例 1-1】如圖為某質點作勻變速運動的位移 s 隨時間 t 變化的規律，圖像為一條拋物線，
則下列說法正確的是（　　）
A．在 1s 末，質點的速率最大
B．在 0~1s 內質點所受合力的方向與速度方向相反
C．在 0~1s 內和 1~2s 內，質點的加速度方向相反
D．在 = 0.5s時，質點的位移大小為 25m
【答案】B
【詳解】根據運動學公式
1
= 0 + 2
2
結合圖像可知，該質點做勻減速直線運動，加速度不變，方向與初速度相反。
A．在 1s 末，質點的位移最大，速率為 0，故 A 錯誤；
B．根據牛頓第二定律，加速度方向與合外力方向一致，所以在 0~1s 內質點所受合力的方向
與速度方向相反，故 B 正確；
C．全程加速度方向不變，故 C 錯誤；
D．由圖像解得
= 10 5 2
當 = 0.5s時，位移為
= 3.75m
故 D 錯誤。
故選 B。
【典例 1-2】（多選）一輛汽車從靜止開始沿平直公路勻加速前進，啟動時剛好有一位綠色
出行的人騎自行車勻速從汽車旁經過，它們的位移 x 隨時間 t 變化的圖像如圖所示。下列說
法正確的是（　　）
A． = 10s時，兩車相遇
B．0~10s內，兩車平均速度不同
C． = 20s時，汽車剛好追上自行車
D． = 10s時，汽車的速度大于自行車的速度
【答案】AD
【詳解】AC．由圖像可知， = 10s時，兩車處于同一位置，則此時兩車相遇，汽車剛好追
上自行車，故 A 正確，C 錯誤；
B．由圖像可知，0~10s內，兩車的位移相同，則兩車平均速度相同，故 B 錯誤；
D．根據 圖像的切線斜率表示速度，可知 = 10s時，汽車的速度大于自行車的速度，故
D 正確。
故選 AD。
【變式 1-1】如圖所示為甲、乙兩物體在同一條直線上做勻變速運動的位移—時間圖象，兩
圖線相切于點 A（2.0 s，4.0 m）。已知甲物體的初速度為 0，乙物體的加速度大小為 1 m/s2，
下列說法正確的是（　　）
A．甲物體的加速度大小為 4 m/s2
B．甲、乙兩物體的加速度方向相同
C．乙物體的初速度大小為 4 m/s
D．t=0 時刻，甲、乙兩物體相距 6 m
【答案】D
【詳解】A．已知甲物體的初速度為 0，設甲物體的位移表達式為
1
=甲 2 甲
2
將 A 點的坐標（2.0 s，4.0 m）代入可得 a =2 m/s2甲 ，故 A 錯誤；
B．根據位移—時間圖線的斜率表示速度可知，甲物體做勻加速直線運動，乙物體做勻減速
直線運動，兩物體的加速度方向相反，故 B 錯誤；
C．設乙物體的初速度為 v0，根據兩圖線在 A 點相切可知
× 2.0s = 0 × 2.0s甲 乙
可得 v0=6 m/s，故 C 錯誤；
D．設乙物體的初位置為 x0，t 時刻的位置
1
= 0 + 0 乙 2 乙
2
將 A 點的坐標代入可得 x0=－6 m，即 t=0 時刻，甲、乙兩物體相距 6 m，故 D 正確。
故選 D。
【變式 1-2】（多選） 和 兩個小球在外力作用下沿同一直線運動，其位置—時間( )圖像
分別為圖中直線和曲線，已知 做勻變速運動，曲線過點(1s,0m)且和直線剛好在點(3s,8m)
相切，則下列判斷正確的是（　　）
8
A． 做勻速直線運動，且 = 3m/s
B． = 3s時 和 相遇，此時二者速度相等
C． 做勻減速直線運動且加速度大小為2m/s2
D． = 0時 和 的距離為10m
【答案】BC
【詳解】A．根據 x-t 圖像的斜率表示速度，由圖可知，a 的速度不變，做勻速直線運動，且
Δ 8 2
= Δ = 3 m/s = 2m/s
故 A 錯誤；
B．t=3s 時，直線 a 和曲線 b 剛好相切，位置坐標相同，兩球相遇，兩圖線的斜率相等，此
時二者速度大小相同，方向相同，故 B 正確；
C．設 t=1s 時，b 的速度為 v1，t=3s 時，a、b 的速度相等，則 t=3s，b 的速度為
vb=va=2m/s
在 1～3s 內，對 b 由運動學公式得
vb = v1+at
1 +
= 2
其中 xb=8m，t=2s，聯立解得
a=-2m/s2，v1=6m/s，
所以 b 做勻減速直線運動且加速度大小為 2m/s2，故 C 正確；
D．設 b 的初速度為 v0，在 0～1s 內，對 b 由速度—時間公式得
v1= v0+at1
代入數據解得
v0=8m/s
根據位移—時間公式，可知 b 在 0～3s 內的位移為
= + 1 0 2
2 = 15m
則 t=0 時 a 和 b 的距離為
s=x-vat=9m
故 D 錯誤。
故選 BC。
知識點 2 勻變速直線運動速度與位移的關系
1、勻變速直線運動位移與速度的關系。
1
（1）由位移公式：x＝v0t＋ at2和速度公式 v=v0+at消去 t得：v2-v 20 =2ax。
2
（2）勻變速直線運動的位移-速度關系式反映了初速度、末速度、加速度與位移之間的關系。
①此公式僅適用于勻變速直線運動；
②式中 v0和 v是初、末時刻的速度，x是這段時間的位移；
③公式中四個矢量 v、v0、a、x要規定統一的正方向。
（3）兩種特殊形式
①當 v0＝0時，v2＝2ax。(初速度為零的勻加速直線運動)
②當 v＝0時，－v20＝2ax。(末速度為零的勻減速直線運動)
2、勻變速直線運動的位移中點的瞬時速度推導：
x
前半段：v 2x/2 -v 20 =2a 2
x
后半段：v 2 2t -vx/2 =2a 2
v 2 v 2
將兩式相減的： v 0 tx
2 2
3、不論物體做勻加速直線運動還是勻減速直線運動，位移中點的速度均大于時間中點的速
度，即：vx/2＞vt/2。
【典例 2-1】無人駕駛汽車已在我國某些地區開始上路試運行，一國產無人駕駛汽車，在試
駕過程中以 10m/s 的速度行駛。人工智能發現車頭前方 37.5m 處的斑馬線上有行人，為禮
讓行人汽車自動剎車，開始做勻減速運動，減速過程 v－x 圖像如圖所示，則（　　）
A．汽車的加速度大小為 2m/s2
B．汽車經過斑馬線時速度還未減為 0，所以行人一定會被撞
C．若行人通過斑馬線的時間是 4s，則行人沒有被撞的危險
D．汽車開始減速后 10s 內，其位移大小恰好為 37.5m
【答案】C
【詳解】A．對于汽車做勻減速直線運動，根據勻變速直線運動公式得
0 20 = 2
將 v0=10m/s，x=50m 代入上式解得
a=-1m/s2
即汽車的加速度大小是 1m/s2，故 A 錯誤；
B．盡管汽車經過斑馬線時速度還未減為 0，但是此時斑馬線上的行人在哪里確定不了，所
以行人不一定會被撞，故 B 錯誤；
C．若行人通過斑馬線的時間是 t=4s，根據勻變速直線運動的位移公式
1
= 0 + 22
將 v0=10m/s、a=-1m/s2、t=4s 代入上式解得汽車在 4s 的時間內運動的位移為
x=32m
由于 32m＜37.5m，則行人沒有被撞的危險，故 C 正確；
D．對于汽車剎車后做勻減速直線運動，根據勻變速直線運動的速度公式得
0 = 0 + 減
汽車減速運動的時間為
10
=
0 =
減 1 s = 10s
從圖象可知該時間內汽車的位移大小為 50m，故 D 錯誤。
故選 C。
【典例 2-2】（多選）在某地客車和貨車在同一時刻、從同一地點沿同一方向做直線運動。
客車做初速度為零，加速度大小為 1的勻加速直線運動；貨車做初速度為 0，加速度大小為
2的勻減速直線運動至速度減為零后保持靜止客、貨兩車在運動過程中的 （位移-速度）
圖像如圖所示．其中虛線與對應的坐標軸垂直，在兩車從開始運動，至貨車停止運動過程中，
下列說法正確的是（ ）
A．貨車運動的位移為18m B．兩車不會同時到達6m處
C．兩車最大間距為18m D．兩車最大間距為6m
【答案】AC
【詳解】根據圖像可知，客車的速度隨位移增大而增大，貨車的速度隨位移增大而減小，
當 x=0 時，貨車的速度為 6m/s，即貨車的初速度為 6m/s；
對客車
v2=2a1x
對貨車
v2-v20=-2a2x
當速度相等時，x=6m，則聯立解得
a 21+a2=3m/s
當客車的速度 v1=8m/s，貨車的速度 v2=2m/s 時，兩車通過相同的位移均為 x′。
對客車
21 = 2 1 ′
對貨車
22 =
2
0 2 2 ′
聯立解得
a1=2a2
則
a1=2m/s2
a2=1m/s2
A．貨車運動的距離為
2 62
02 = 2 =2 2 × 1
m=18m
故 A 正確；
B．客車到達 x=6m 的位置所用的時間為
2 2 × 6
1 = =1 2
s = 6s
此時兩車速度相等，速度為
= 1 1 = 2 6m/s
貨車所用時間為
0 6 6
2 = = 2 s2
即兩車不是同時達到 x=6m 的位置，故 B 錯誤；
CD．當兩車速度相等時，即
v0-a2t=a1t
代入數據解得
t=2s
此時兩車的間距為
0 + Δ = 2 2 = 6m
而當貨車停止運動時所用的時間為
0
0 = 2
此時兩車間距為
1
Δ ′ = 2
2
1 0
0
2
解得
Δx′=18m＞Δx=6m
則至貨車停止運動過程中兩車最大間距為 18m，故 C 正確，D 錯誤；
故選 AC。
【典例 2-3】一小汽車由靜止開始做勻變速直線運動，其位移與速度平方（ 2）的圖像如
圖所示，求：
（1）小汽車運動的加速度大小 a；
（2）小汽車由靜止開始運動到位移大小 x=64m 時所用的時間 t。
【答案】（1）2m/s2；（2）8s
【詳解】（1）由速度與位移的關系有
2 = 2
化簡可得
1
= 22
斜率為
1 1
= 2 = 4
所以小汽車運動的加速度大小為
= 2m/s2
（2）由位移與時間的關系有
1
= 2
2
解得 t=8s
【變式 2-1】如圖所示是某物體做直線運動的 v2-x 圖像（其中 v 為速度，x 為位置坐標），下
列關于該物體從 x=0 處運動至 x=x0處的過程分析，其中正確的是（　　）
A
2
．該物體的加速度大小為 0 0
0
B．該物體的運動時間為 0

C 0 0．當該物體的位移大小為 2時，速度大小為 2

D 0
3
．當該物體的速度大小為 2時，位移大小為4 0
【答案】D
【詳解】A．根據
2 20 = 2
因此本題
2
= 02 0
2
加速度大小為 02 ，故 A 錯誤；0
B．由
v=v0+at
得
2
= 0 0
故 B 錯誤；

C 0．當物體位移大小為 2時，由圖可得
2
1
= 22 0
則 v= 2v
2 0
故 C 錯誤；

D 0．當物體速度大小為 2時
2
1
= 24 0
3
由圖可得 x=4x0
故 D 正確。
故選 D。
【變式 2-2】（多選）如圖所示，四塊相同的混凝土實心磚并排固定在水面地面上，子彈以
水平速度 0從 P 點射入實心磚中，到達 Q 點時的速度恰好為零。假設子彈在混凝土實心磚
中做勻減速直線運動，且運動的總時間為 t。下列說法正確的是（　　）
A．子彈剛穿過第 2 塊磚時的速度大小為 3
2 0
1
B．子彈剛穿過第 3 塊磚時的速度大小為2 0
C．子彈穿過第 2 塊磚所用的時間為 3 2
2
D．子彈穿過第 3 塊磚所用的時間為( 2 1)
【答案】BC
【詳解】AB．設每塊磚的厚度為 ，加速度為 ，子彈從 P 到 Q 為勻減速，可以看成從 Q 到
P 的初速為0的勻加速直線運動，末速度為 0，則有
2 ·4 = 20
設穿過第二塊的速度為 2，穿過第三塊的速度為 3，則有
2 ·2 = 22
2 · = 23
解得
2
2 = 2 0
1
3 = 2 0
A 錯誤，B 正確；
CD．按照上述方法，由初速為0的勻加速直線運動等分位移的時間關系，設穿過第四塊的時
間為 0，則穿過第三塊的時間為( 2 1) 0，第二塊的時間為( 3 2) 0，第一塊得出時間為
(2 3) 0，如圖所示
由此可得
1
0 = 2
設穿過第二塊磚的時間為 2，穿過第三塊磚的時間為 3，則有
3 2
2 = ( 2 ) 0
2 1
3 = ( 2 ) 0
C 正確，D 錯誤。
故選 BC。
【變式 2-3】甲乙兩質點在同一直線上同向運動，t=0 時刻，質點甲在質點乙前方。兩質點
各自運動的 2 （v 為各自的速度，x 為各自的位移）圖像如圖所示，求：
（1）質點乙的速度隨時間變化的關系式；
（2）若兩質點運動過程中不相遇，則 t=0 時刻二者的距離至少是多少；
（3）若兩質點在 t=0 時相距 4.5m，則以后二者在哪些時刻可以相遇。
【答案】（1） = 8 ；（2）Δ = 6m；（3） = 1s和 = 3s
【詳解】（1）對乙，由勻變速直線運動速度與位移關系可得
2 20 = 2
得
2 = 20 + 2
將（0，64）及（10，44）代入可得
0 = 8m/s
= 1m/s2
所以質點乙的速度隨時間變化的關系式為
= 8
（2）由（1）中原理可得，甲質點的速度隨時間變化的關系為
= 2 + 2
二者共速時相距最近，令
8 = 2 + 2
解得
= 2s
此時二者的速度為
= 6m/s
從初始到共速的過程中質點甲的位移為
2 + 6
= 2 × 2 = 8m甲
過程中質點乙的位移為
8 + 6
= 2 × 2 = 14m乙
若距離最近時剛好不相碰，則 t=0 時刻二者的距離至少是
Δ = 乙 甲 = 6m
（3）相遇時二者的位移關系為
= 4.5m乙 甲
即
1 1
（8 2 × 1 ×
2） （2 + 2 × 2 ×
2） = 4.5m
解得 = 1s或 = 3s
質點乙的速度減為零所需要的時間為

Δ = 0 = 8s > 3s
所以，后面二者可以相遇的時刻為 = 1s和 = 3s
【點睛】本題考查勻變速直線運動的規律以及追擊相遇內容。
知識點 3 勻變速直線運動規律的綜合運用
1、求解勻變速直線運動的常用方法：基本公式法、特殊公式法、比例法（6個比例式）、
逆向思維法、圖象法。
1 1
2、基本公式法：①vt＝v0＋at ②x＝v t＋ at2 ③x＝ (v ＋v)t ④v2-v 20 0 0 =2ax
2 2
v v
3、特殊公式法：①△x＝aT2 ②S -S =（M-N）aT2 M N ③ v v 0 tt
2 2
4、比例法（6個比例式）
初速度為零的勻加速直線運動的特殊規律：
（1）ts 末、2ts 末、3ts 末…nts 末的瞬時速度之比為：v1：v2：v3：…：vn=1：2：3：…：
n；
推導：由 vt=at知 v1=at，v2=2at，v3=3at，…，vn=nat，
則可得：v1：v2：v3：…：vn=1：2：3：…：n；
（2）xm末、2xm末、3xm末…nxm末的瞬時速度之比為：v1：v2：v3：…：vn=1：2：3 :…: n
推導：由 v2=2ax知 v1 2ax ， v2 2a2x ， v3 2a3x ，…， vn 2anx ；
則可得：v1：v2：v3：…：vn=1：2：3 :…: n ；
（3）ts內、2ts內、3ts內…nts內的位移之比為：x 21：x2：x3：…：xn=1 ：22：32：…：
n2；
1 1 1 1 1
推導：由 x= at2知 x 21= at ，x2= a（2t）2，x3= a（3t）2，…，xn= a（nt）2；2 2 2 2 2
則可得：x ：x ：x ：…：x =12：22：32 21 2 3 n ：…：n ；
（4）連續相等時間內的位移之比為：xⅠ：xⅡ：xⅢ：…：xN=1：3：5：…：（2n-1）
1 1 1 1 1
推導：由 x= at2知 x = at2Ⅰ ，xⅡ= a（22-12）t2，x = a（32-22）t2Ⅲ ，…，xN= a[n2-2 2 2 2 2
（n-1）12]t2，
則可得：xⅠ：xⅡ：xⅢ：…：xN=1：3：5：…：（2n-1）；
（5）前一個 x、前兩個 x、前三個 x …所用的時間之比為：t1：t2：t3：…：tn=1：2：3 :…: n
1 2x 2 2x 2 3x 2 nx
推導：由 x= at2知 t1= ，t2= ，t3= ，…，t = ；2 a a a n a
則可得：t1：t2：t3：…：tn=1：2：3 :…: n ；
（6）連續相等位移所用的時間之比為：tⅠ：tⅡ：tⅢ：…：tN=1：（ 2 -1）：
（ 3 - 2）：…：（ n - n -1）
1 2x 2 2x 2x 2x
推導：由 x= at2知 t = ，t = - =（ 2 -1） ，t =（ 3 - 2）
2 1 a 2 a a a 3
2x n - n -1 2x，…，tn=（ ） ；a a
則可得：tⅠ：tⅡ：tⅢ：…：tN=1：（ 2 -1）：（ 3 - 2）：…：（ n - n -1）
5、逆向思維法
逆向思維法是把運動過程的“末態”作為“初態”來反向研究問題的方法．如物體做減速運
動可看成反向加速運動來處理．末狀態已知的情況下，若采用逆向思維法往往能起到事半功
倍的效果。
6、圖象法
v t圖像和 x t圖像的應用技巧
（1）確認是哪種圖像，v t圖像還是 x t圖像。
（2）理解并熟記五個對應關系
①斜率與加速度或速度對應；
②縱截距與初速度或初始位置對應；
③橫截距對應速度或位移為零的時刻；
④交點對應速度或位置相同；
⑤拐點對應運動狀態發生改變。
7、剎車類問題的處理思路
實際交通工具剎車后可認為是做勻減速直線運動，當速度減小到零時，車輛就會停止．解答
此類問題的思路是：
v0
(1)先求出它從剎車到停止的剎車時間 t 剎＝ ；
a
(2)比較所給時間與剎車時間的關系確定運動時間，最后再利用運動學公式求解．若 t>t 剎，
不能盲目把時間代入；若 t【典例 3-1】為滿足旅客乘坐高鐵出行的不同需要，城際高鐵開通了“一站直達”列車和“站站
停”列車兩種班次。假設兩城高鐵站之間均勻分布了 4 個車站，若列車在進站和出站過程中
做勻變速直線運動，加速度大小均為 2m/s2，其余行駛時間內保持最高時速 288km/h 勻速運
動，“站站停”列車在每個車站停車時間均為 t0=2min，則一站直達列車比“站站停”列車節省
的時間為（　　）
A．10min40s B．11min20s
C．13min20s D．14min40s
【答案】A
【詳解】由題可知，列車加速到速度最大所用的時間為
288

= m = 3.6 2 s = 40s加
列車進站加速與出站減速時的加速度相等，故
=加 減
設一站直達列車勻速行駛用時為 t，“站站停”列車勻速行駛用時 t′，根據題意可知
1 1 1 1
2
2 + 2 2 2 ′
加 2 + m = 5 減 2 + 5 加 2 +減 m
一站直達列車比“站站停”列車節省的時間為
Δ = ( ′ + 4 0 + 5 加 + 5 減) ( + 加 + 減)
聯立解得
Δ = 640s = 10min40s
故選 A。
【典例 3-2】（多選）如圖為港珠澳大橋上四段 110m 的等跨鋼箱連續梁橋，若汽車從 a 點由
靜止開始做勻加速直線運動，通過 ab 段的時間為 t。則（　　）
A．通過 cd 段的時間為 3
B．通過 ce 段的時間為(2 2)
C．ae 段的平均速度大于 ce 段的平均速度
D．ae 段的平均速度等于 b 點的瞬時速度
【答案】BD
【詳解】AB．根據初速度為零的勻加速運動相等位移的時間關系可知
: : : = 1:( 2 1):( 3 2):(2 3)
可知通過 cd 段的時間為
= ( 3 2)
通過 ce 段的時間為
= (2 2)
選項 A 錯誤 B 正確；
C．汽車做勻加速運動，速度逐漸增加，則 ae 段的平均速度小于 ce 段的平均速度，選項 C
錯誤；
D．因 b 點是 ae 段位移的中間時刻，則 ae 段的平均速度等于 b 點的瞬時速度，選項 D 正確。
故選 BD。
【變式 3-1】某質點在一條直線上由靜止開始運動，先做勻加速運動后做勻減速運動至速度
減為零，兩段過程的加速度大小 1與 2的比值是1:1，勻加速運動過程的位移是4 ，則質點
完成第 4 個 和完成第 8 個 所用時間之比為（　　）
A 2 B 2 3． ．2 3 C． 2 D．
1 1 2 8 7
【答案】B
【詳解】由兩段過程的加速度大小 1與 2的比值是1:1，可知勻減速運動過程的位移也是4 ，
則質點完成第 8 個 所用時間等于完成第 1 個 所用時間，所以質點完成第 4 個 時間為
Δ 4 = 4 3
則
8 6
Δ 4 =
完成第 8 個 所用時間為
2
Δ 8 = Δ 1 =
所以質點完成第 4 個 和完成第 8 個 所用時間之比為
4 3 2 3
1 = 1
故選 B。
【變式 3-2】一位清潔工人正推著清洗車在擦洗一座長為 L=60 m 的橋上的欄桿，當他擦洗
到距橋的右端 L1=20.5 m 處時，突然發現一汽車在距離橋右端 x=400 m 處以速度 v0=30 m/s
向橋上駛來，汽車司機也同時發現了清潔工人，并立刻以 a=1m/s2 的加速度剎車，由于橋面
非常窄，清潔工人立即向右奔跑來避讓汽車，假設清潔工人推著清洗車勻速逃離。則清潔工
人向右奔跑的速度至少是多少？
【答案】1.025 m/s
【詳解】汽車行駛到右端的時間為 t2，由勻變速直線運動規律，有
1
= 0 2 2
2
2
解得 t2=20 s 或 60s（舍去）
若清潔工人從右方離開，則必須比汽車先到達橋的右端，逃離的速度最小為

= 1 = 1.025m/s2
1．騎自行車的人以 5m/s 的初速度沿足夠長的斜坡向上做減速運動，加速度大小是 0.4m/s2，
經過 5s，他在斜坡上通過的距離是（　　）
A．30m B．25m C．20m D．15m
【答案】C
【詳解】對人使用位移時間公式
1 1
= 0 + 2
2 = 5 × 5 + 2 × ( 0.4) × 5
2m = 20m
故選 C。
2．如圖為消防隊員正在進行滑桿訓練的示意圖，若某次下滑過程中，消防隊員先做初速度
為零的勻加速直線運動，后做勻減速直線運動，到地面時速度恰好為零，下滑過程中最大速
度為5m/s，下滑所用的總時間為 3s，則消防隊員下滑的總高度為（　　）
A．15m B．10m C．7.5m D．5m
【答案】C
【詳解】下滑的總高度
1
= 2 m = 7.5m
故選 C。
3．高鐵目前是我國的一張名片，在某火車站，維護員站在中央高鐵站臺上，觀察到有一列
高鐵正在減速進站（可視為勻減速直線運動）。維護員發現在列車減速過程中相鄰兩個相等
時間內從他身邊經過的車廂節數分別為 1和 2，則 1和 2之比可能是（　　）
A．2：1 B．5：1 C．7：2 D．4：1
【答案】A
【詳解】設列車減速過程的加速度大小為 ，相鄰兩個相等時間為 ，第二個相等時間的末
速度為 ，一節車廂的長度為 ，根據逆向思維可得
1
2 = + 2
2
1
( 1 + 2) = 2 + 2 (2 )
2
可得
3
1 = + 2
2
則有
3
1 +
2
= 2

2 1 + 2
2
可得
1
< 1
3
1 <2 1
故選 A。
4．央視研發的 4k 軌道攝像系統“獵豹”比頂尖的運動員跑得還快，全國產、超高清，讓體育
競技更加公平。某次短跑比賽中，攝像機和運動員的位移時間關系（ 圖像）分別如圖所
示，則下列說法中正確的是（　　）
A．判定運動員是否存在犯規動作時可將運動員視為質點
B．0 2時間內若以攝像機為參考系，運動員做勻速直線運動
C．0 2時間內任一時刻攝像機的速度都大于運動員的速度
D．0 2時間內攝像機與運動員的平均速度相同
【答案】D
【詳解】A．判定運動員是否存在犯規動作時，運動員的形狀、大小不能忽略，不能將運動
員視為質點，故 A 錯誤；
BC． 圖像的斜率表示速度，0 2時間內，運動員 圖像的斜率逐漸增大，攝像機
圖像的斜率恒定不變，則0 2時間內若以攝像機為參考系，運動員做的運動不是勻速直線
運動，由圖可知0 2時間內攝像機的速度先大于運動員的速度，后小于運動員的速度，故
BC 錯誤；
D．0 2時間內，攝像機與運動員的位移相等，運動的時間相等，故0 2時間內攝像機與
運動員的平均速度相同，故 D 正確。
故選 D。
5．研究發現，追趕類游戲對孩子的各項發育都有好處。一小朋友正在和媽媽玩“你追我趕”
游戲，小朋友與媽媽沿同一平直道路運動的 x-t 圖像分別如圖中的圖線 a、b 所示。下列說法
正確的是（ ）
A．媽媽先開始運動
B．媽媽與小朋友從同一位置開始運動
C．第 4s 末，媽媽追上小朋友
D．媽媽與小朋友運動的速度大小之比為 2:1
【答案】C
【詳解】A．小朋友在 t=0 時刻開始運動，媽媽在 t=2s 時開始運動，則媽媽后運動，選項 A
錯誤；
B．小朋友在 x=4m 處開始運動，媽媽在 x=0 處開始運動，媽媽與小朋友不在同一位置開始
運動，選項 B 錯誤；
C．由圖像可知，第 4s 末，媽媽追上小朋友，選項 C 正確；
D．圖像的斜率等于速度，則媽媽與小朋友運動的速度大小之比為
8 8 4
: = 2 : 4 = 4:1
選項 D 錯誤。
故選 C。
6．如圖所示，某司機正駕駛汽車以 10m/s 的速度勻速駛向某干道紅綠燈路口，當汽車的車
頭距離停車線為 16m 時發現有人正在通過人行橫道，司機經過一定的反應時間后，立即以
大小為 5m/s2 的加速度減速行駛，最后汽車車頭剛好停在停車線處，該司機的反應時間是
（ ）
A．0.2s B．0.3s C．0.5s D．0.6s
【答案】D
【詳解】已知 0 = 10m/s， = 16m， = 5m/s
2，則由運動學公式得汽車減速位移大小
2
′ = 02 = 10m
司機的反應時間為
′
Δ = = 0.6s0
故選 D。
7．如圖所示，在杭州亞運會田徑項目賽場上，機器狗承擔了拾撿和運輸器材的任務。某次
運輸過程中，當機器狗檢測到前方有一位站立不動的工作人員，為了避免相撞，機器狗立即
做勻減速直線運動直至停止，已知其減速后第 1s 內的位移是最后 1s 內位移的 5 倍，且這兩
段位移的差值為0.4m，則機器狗開始減速后（　　）
A．運動的總時間為 3s B．加速度大小為0.4m/s2
C．總位移大小為6.4m D．初速度大小為2.4m/s
【答案】A
【詳解】A．根據運動的逆過程
1: = 1:5
因為
1: 2: 3 = 1:3:5
所以
= 3s總
故 A 正確；
B．由
= 2 2
可得
= 0.2m/s2
故 B 錯誤；
C．總位移大小為
1
= 2
2 = 0.9m
故 C 錯誤；
D．初速度大小為
0 = = 0.6m/s
故 D 錯誤。
故選 A。
8．中央電視臺科普節目《加油向未來》在現場利用內部氣壓為 0.001Pa、高 6m 的亞克力管
做落體實驗，將亞克力管等分為四段，從上到下每段標為 1、 2、 3、 4，羽毛由靜止開始
從最高點下落，經過 1速度的增加量為Δ 1，經過第三段 3速度的增加量為Δ 2，則Δ 1與Δ 2
的比值滿足（　　）
Δ 1 Δ Δ Δ A．1 < Δ < 2 B．2 <
1 1 1
Δ < 3 C．3 < Δ < 4 D．4 <2 2 2 Δ < 52
【答案】C
【詳解】由題意可知，小球所在的管內空氣阻力可以忽略不計，即小球做自由落體運動，兩
端相同距離 h 的時間之比為
1: 2 = 1:( 3 2)
由
Δ =
則
Δ 1 1
Δ =2
= 3 + 2
2
即
Δ
3 < 1Δ < 42
故選 C。
9．（多選）汽車剎車后的運動可以看作是勻減速直線運動，取開始剎車時刻 t＝0，汽車運動
方向為正方向.若剎車后的第 1s 內位移是 9m，第 3s 內的位移是 5m（未停下），則下列判斷
中正確的是（ ）
A．剎車后的加速度大小為2m/s2 B．第 0.5s 末的速度為 9m/s
C．汽車的初速度為 12m/s D．從剎車到停止汽車前進 25m
【答案】ABD
【詳解】A．根據
3 1 = (3 1)
2
求得
= 2m/s2
A 正確；
B．根據某段時間內的平均速度等于中間時刻的瞬時速度
1 9
0.5 = = = 1 m/s=9m/s
B 正確；
C．剎車時初速度為
0.5 = 0 +
求得
0 = 0.5 = 9m/s ( 2) × 0.5m/s = 10m/s
C 錯誤；
D．從剎車到停止的距離為
0 2
= 02 = 25m
D 正確。
故選 ABD。
10．（多選）如圖為甲、乙兩物體的 x-t 圖像，則下列說法正確的是（ ）
A．甲物體做勻加速直線運動
B．若甲、乙在同一直線上運動，則在 = 2s時相遇
C．甲運動的速度大于乙運動的速度
D．甲、乙兩物體運動的方向相反
【答案】BD
【詳解】A．位移時間圖像斜率表示速度，由圖可知，圖像斜率恒定，所以甲乙兩個物體都
做勻速直線運動，A 錯誤；
B．若甲乙在同一直線上運動，由圖像可以看出，甲乙在 = 2s時到達同一位置，故甲乙相
遇，B 正確；
C．位移時間圖像的斜率表示速度，從圖像可以看出，乙的斜率大于甲的斜率，所以甲運動
的速度小于乙運動的速度，C 錯誤；
D．位移時間圖像斜率的正負表示速度方向，知甲乙兩物體運動的方向相反，D 正確。
故選 BD。
11．（多選）一個物體自 = 0時開始做直線運動，其速度—時間圖像如圖所示。下列說法正
確的是（ ）
A．第 5s 內的加速度方向與第 6s 內的加速度方向相反
B．在第 5s 末，物體離出發點最遠
C．在 0-4s 內，物體的平均速度為 7.5m/s
D．在 0-6s 內，物體的平均速率為 7.5m/s
【答案】BC
【詳解】A． 圖像的斜率表示加速度，可知第 5s 內的加速度方向與第 6s 內的加速度方
向相同，選項 A 錯誤；
B．在 0~5s 內物體的速度一直為正值，可知在第 5s 末，物體離出發點最遠，選項 B 正確；
C．在 0~4s 內，物體的位移
2 + 4
4 = 2 × 10m = 30m
平均速度為
4 30
4 = = 4 m/s = 7.5m/s4
選項 C 正確；
D．在 0~6s 內，物體的路程
2 + 5 1
6 = 2 × 10m+2 × 10m = 40m
平均速率為
6 40
6 = = 6 m/s = 6.67m/s6
選項 D 錯誤。
故選 BC。
1
12．（多選）如圖所示為根據某機動車的運動情況繪制的 2 圖像，已知機動車運動軌跡是
直線。關于機動車的運動狀態，下列說法正確的是（　　）
A．機動車處于勻加速狀態 B．機動車的初速度大小為20m/s
C．機動車的加速度大小為4m/s2 D．機動車在前2s的位移是48m
【答案】BC
【詳解】ABC．根據勻變速直線運動公式
1
= 0 + 2
2
變形可得
1 1
2 = 0 + 2
可知機動車的初速度等于圖像的斜率，即
2
0 = 0.1 m/s = 20m/s
縱軸截距為
1
2m/s2 = 2
解得
= 4m/s2
故機動車處于勻減速狀態，加速度大小為4m/s2，故 A 錯誤，BC 正確；
D．機動車勻減速運動的總時間為
0
= 0 = 5s
則機動車在前 2s 的位移為
1
= 0 + 2
2 = 32m
故 D 錯誤。
故選 BC。
13．（多選）非洲大草原上，獵豹捕食羚羊是常見的現象。一只羚羊在草原上沿直線勻速奔
跑，潛伏的獵豹發現它在前方 150m 時，立即加速追趕，而羚羊的嗅覺和聽覺非常靈敏，它
發現身后的獵豹后馬上加速，如圖是它們沿同方向做直線運動的 圖像，則下列說法正確
的是（　　）
A．在0~2s內，羚羊和獵豹間的距離逐漸增大
B．6s 末時羚羊與獵豹相距 120m
C．獵豹加速時的加速度比羚羊加速時的加速度大
D．12s 末時，獵豹剛好追上羚羊
【答案】ABC
【詳解】A．根據題意，由圖可知，在0~2s內，羚羊的速度獵豹的速度，則羚羊和獵豹間的
距離逐漸增大，故 A 正確；
B．根據 圖像面積表位移，由圖可知，0 6s內獵豹的位移為
1
1 = 2 × 6 × 30m = 90m
羚羊的位移為
2 = 10 × 6m = 60m
6s 末時羚羊與獵豹相距
Δ = 2 1 + 150m = 120m
故 B 正確；
C．根據 圖像斜率表示加速度，由圖可知，獵豹加速時的加速度為
30
1 = 6 m s
2 = 5 m s2
羚羊加速時的加速度為
30 10
2 = 212 7 m s = 4 m s
2
則獵豹加速時的加速度比羚羊加速時的加速度大，故 C 正確；
D．根據 圖像面積表位移，由圖可知，0 12s內獵豹的位移為
1
3 = 2 × 6 × 30m + (12 6) × 30m = 270m
羚羊的位移為
1
4 = 10 × 7m + 2 × (10 + 30) × (12 7)m = 170m
則有
3 4 = 270m 170m = 100m < 150m
12s 末時，獵豹沒有追上羚羊，故 D 錯誤。
故選 ABC。
14．小明同學站在平直街道旁 A 點，發現一輛公交車正以 10m/s 速度，從身旁勻速駛過，
此時小明立刻先勻加速后勻減速追趕公交車。A 點與公交車站 B 點的距離為 50m，公交車在
行駛中到距車站 30m 處開始剎車（視為勻減速運動），剛好到 B 點停下，此時小明也恰好到
B 點停下。設小明勻加速和勻減速運動的加速度大小相等。求：
（1）公交車剎車過程的時間；
（2）小明追趕公交車過程的加速度大小。
25
【答案】（1）6s；（2） m/s28
【詳解】（1）設 x=30m，v=10m/s，則公交車剎車過程的時間

= 2
解得
t=6s
（2）公交車勻速運動的時間為
50 30
0 = 10 s=2s
設小明勻加速運動的收尾速度為 v0，則
′ = 50m

= 0 ′ 2 ( + 0)
解得
0 = 12.5m/s
小明追趕公交車過程的加速度大小為
2
= 0
25
+ = 8 m/s
2
0
15．物體做直線運動，其 圖像如圖所示，試求：
（1）5s 末的瞬時速度；
（2）20s 內通過的路程；
（3）30s 內的平均速度。
【答案】（1）3m/s；（2）40m；（3）0
【詳解】（1）由圖可知物體前 10s 內做勻速直線運動，則 5s 末的瞬時速度等于前 10s 內的
平均速度為

= = 3m/s
（2）由圖可知前 10s 內通過的路程為 30m，10~20s 內通過的路程為 10m，則 20s 內通過的
路程
= 30m + 10m = 40m
（4）由圖可知 30s 內的位移為 0，故平均速度為 0。
16．開車玩手機導致追尾事故應負全責，一輛汽車從麗水開往杭州，在某一直線路段行駛的
速度為 108km/h。駕駛員低頭搶紅包盲開 20m 突然發現前方有異常情況，于是緊急剎車。
若汽車橡膠輪胎與路面間的動摩擦因數是 0.75，該駕駛員的反應時間（從發現異常情況到實
施制動的時間）為 0.5s，g 取10m/s2。
（1）求剎車時汽車的加速度大小；
（2）從低頭開始到最后停止，求該車的位移大小。
【答案】（1）7.5m/s2；（2）95m
【詳解】（1）剎車時，根據牛頓第二定律，有
=
解得加速度大小為
= 7.5m/s2
（2）汽車行駛速度為
= 108km/h = 30m/s
反應時間的位移為
1 = 1 = 15m
剎車階段的位移為
0 2
2 = 2 = 60m
所以有
= 0 + 1 + 2 = 20m + 15m + 60m = 95m
17．汽車 A、B 在平行的兩個車道上行駛，已知汽車 A 以 15m/s 的速度做勻速直線運動，汽
車 B 在 A 前方 x0=31m 處以 20m/s 的速度同向行駛，如圖所示，此時 B 開始勻減速剎車，剎
1
車時所受阻力為其重力的4，當 A、B 兩車間的距離最遠時，A 也開始勻減速剎車，最終兩車
并排停在同一位置，兩車可視為質點，取 g=10/s2。求：
（1）A、B 之間的最遠距離；
（2）A 剎車時的加速度大小。
25
【答案】（1）36m；（2） 218m/s
【詳解】（1）對B由牛頓第二定律得
1
4 B = B B
得
B = 2.5m/s
2
當 A、B 速度相等時，間距最遠，由運動學公式
1 = 2 B
此時 A 位移大小為
1 = 1
B位移大小為:
1 + 2
2 = 2
兩者間距最遠為:
Δ m = 2 + 0 1
聯立可得
Δ m = 36m
（2）汽車B從 B1 = 15m/s，剎車減為 0 的位移
2
= B1B 2 = 45mB
汽車 A 從剎車至靜止的位移
2
= 1A 2 A
另有
A = B + Δ m
聯合各式得
25
= m/s2A 18
18．某十字路口，紅燈攔停了很多汽車，攔停的汽車排成筆直一列，最前面的一輛汽車的前
端剛好與路口停車線相齊，相鄰兩車的前端之間的距離均為 = 5.0m。假設綠燈亮起瞬時，
每輛汽車都同時以加速度 = 2.0m/s2啟動，做勻加速直線運動，速度達到 = 10.0m/s時做
勻速運動通過路口。該路口亮綠燈時間 = 20.0s，而且有按倒計時顯示的時間顯示燈。另外
交通規則規定：原在綠燈時通行的汽車，綠燈結束時刻，車頭已越過停車線的汽車允許通過。
求：
（1）一次綠燈時間有多少輛汽車能通過路口？
（2）事實上由于人要有反應時間，綠燈亮起時不可能所有司機同時起動汽車，現假設綠燈
亮起時，第一個司機遲后 0 = 0.60s起動汽車，后面司機都比前一輛車遲后 0 = 0.60s起動汽
車，在該情況下，有多少輛車能通過路口？
【答案】（1）35；（2）16
【詳解】（1）汽車做勻加速運動的時間為
10
1 = = 2 s = 5s
每輛車在20.0s內的位移為
1
= 2
1
1 2 1 + ( 1) = 2 × 2 × 5
2 + 10 × (20 5)m = 175m
一次綠燈通過路口的車輛數目為
175
= = 5 = 35
故一次綠燈能通過 35 輛汽車。
（2）設一次綠燈能通過 輛汽車，則
1
= 2 2 1 + ( 1 0)
第 輛汽車通過路口有
> ( 1)
解得
180
≤ 11
故一次綠燈能通過16輛汽車。2.3 勻變速直線運動的位移與時間的關系（知識解讀）（原卷版）
知識點 1 勻變速直線運動位移與時間的關系
知識點 2 勻變速直線運動速度與位移的關系
知識點 3 勻變速直線運動規律的綜合運用
作業 鞏固訓練
知識點 1 勻變速直線運動位移與時間的關系
1
1、勻變速直線運動的位移與時間的關系式：x＝v 20t＋ at 。
2
2、公式的推導
（1）利用微積分思想進行推導：在勻變速直線運動中，雖然速度時刻變化，但只要時間足
夠小，速度的變化就非常小，在這段時間內近似應用我們熟悉的勻速運動的公式計算位移，
其誤差也非常小，如圖所示。
（2）利用公式推導：勻變速直線運動中，速度是均勻改變的，它在時間 t 內的平均速度就
1
等于時間 t內的初速度 v0和末速度 v的平均值，即 x＝ (v0＋v)t。結合公式 v＝v0＋at可導
2
1 1
出位移公式：x＝v0t＋ at2，當初速度為 0時，x＝ at2。
2 2
3、技巧歸納
（1）在 v－t圖像中，圖線與 t軸所圍的面積對應物體的位移，t軸上方面積表示位移為正，
t軸下方面積表示位移為負。
1
（2）位移公式 x＝v t＋ at20 只適用于勻變速直線運動。
2
（3）公式中 x、v0、a都是矢量，應用時必須選取正方向；一般選 v0的方向為正方向．當物
體做勻減速直線運動時，a取負值，計算結果中，位移 x的正負表示其方向。
1
（4）當 v0＝0時，x＝ at2，即由靜止開始的勻加速直線運動的位移公式，位移 x與 t2成正
2
比。
4、勻變速直線運動中的平均速度
1 2v at
在勻變速直線運動中，對于某一段時間t，其中間時刻的瞬時速度 v 0t v0 at ，
2 2 2
該段時間的末速度 v=vt+at，由平均速度的定義式和勻變速直線運動的位移公式整理加工可
1 2
v x
v0t at2 1 2v at v v at v v得 v0 at 0 0 0 0 t v 。即有：t t 2 2 2 2 t2
v v0 v t v
2 t2
所以在勻變速直線運動中，某一段時間內的平均速度等于該段時間內中間時刻的瞬時速度，
又等于這段時間內初速度和末速度的算術平均值。
5、勻變速直線運動推論公式：
任意兩個連續相等時間間隔 T內，位移之差是常數，即△x=x -x =aT22 1 ．拓展：△xMN=xM-xN=
（M-N）aT2。
推導：如圖所示，x1、x2為連續相等的時間 T內的位移，加速度為 a。
x v 11 CT aT
2
2 △x＝x x ＝aT2
x 1
2 1
2 vCT aT
2
2
【典例 1-1】如圖為某質點作勻變速運動的位移 s 隨時間 t 變化的規律，圖像為一條拋物線，
則下列說法正確的是（　　）
A．在 1s 末，質點的速率最大
B．在 0~1s 內質點所受合力的方向與速度方向相反
C．在 0~1s 內和 1~2s 內，質點的加速度方向相反
D．在 = 0.5s時，質點的位移大小為 25m
【典例 1-2】（多選）一輛汽車從靜止開始沿平直公路勻加速前進，啟動時剛好有一位綠色
出行的人騎自行車勻速從汽車旁經過，它們的位移 x 隨時間 t 變化的圖像如圖所示。下列說
法正確的是（　　）
A． = 10s時，兩車相遇 B．0~10s內，兩車平均速度不同
C． = 20s時，汽車剛好追上自行車 D． = 10s時，汽車的速度大于自行車的速度
【變式 1-1】如圖所示為甲、乙兩物體在同一條直線上做勻變速運動的位移—時間圖象，兩
圖線相切于點 A（2.0 s，4.0 m）。已知甲物體的初速度為 0，乙物體的加速度大小為 1 m/s2，
下列說法正確的是（　　）
A．甲物體的加速度大小為 4 m/s2 B．甲、乙兩物體的加速度方向相同
C．乙物體的初速度大小為 4 m/s D．t=0 時刻，甲、乙兩物體相距 6 m
【變式 1-2】（多選） 和 兩個小球在外力作用下沿同一直線運動，其位置—時間( )圖像
分別為圖中直線和曲線，已知 做勻變速運動，曲線過點(1s,0m)且和直線剛好在點(3s,8m)
相切，則下列判斷正確的是（　　）
8
A． 做勻速直線運動，且 = 3m/s
B． = 3s時 和 相遇，此時二者速度相等
C． 做勻減速直線運動且加速度大小為2m/s2
D． = 0時 和 的距離為10m
知識點 2 勻變速直線運動速度與位移的關系
1、勻變速直線運動位移與速度的關系。
1
（1）由位移公式：x＝v0t＋ at2和速度公式 v=v0+at消去 t得：v2-v 20 =2ax。
2
（2）勻變速直線運動的位移-速度關系式反映了初速度、末速度、加速度與位移之間的關系。
①此公式僅適用于勻變速直線運動；
②式中 v0和 v是初、末時刻的速度，x是這段時間的位移；
③公式中四個矢量 v、v0、a、x要規定統一的正方向。
（3）兩種特殊形式
①當 v0＝0時，v2＝2ax。(初速度為零的勻加速直線運動)
②當 v＝0時，－v02＝2ax。(末速度為零的勻減速直線運動)
2、勻變速直線運動的位移中點的瞬時速度推導：
x
前半段：v 2x/2 -v 20 =2a 2
x
后半段：v 2-v 2t x/2 =2a 2
2
v v0 v
2
將兩式相減的： tx
2 2
3、不論物體做勻加速直線運動還是勻減速直線運動，位移中點的速度均大于時間中點的速
度，即：vx/2＞vt/2。
【典例 2-1】無人駕駛汽車已在我國某些地區開始上路試運行，一國產無人駕駛汽車，在試
駕過程中以 10m/s 的速度行駛。人工智能發現車頭前方 37.5m 處的斑馬線上有行人，為禮
讓行人汽車自動剎車，開始做勻減速運動，減速過程 v－x 圖像如圖所示，則（　　）
A．汽車的加速度大小為 2m/s2
B．汽車經過斑馬線時速度還未減為 0，所以行人一定會被撞
C．若行人通過斑馬線的時間是 4s，則行人沒有被撞的危險
D．汽車開始減速后 10s 內，其位移大小恰好為 37.5m
【典例 2-2】（多選）在某地客車和貨車在同一時刻、從同一地點沿同一方向做直線運動。
客車做初速度為零，加速度大小為 1的勻加速直線運動；貨車做初速度為 0，加速度大小為
2的勻減速直線運動至速度減為零后保持靜止客、貨兩車在運動過程中的 （位移-速度）
圖像如圖所示．其中虛線與對應的坐標軸垂直，在兩車從開始運動，至貨車停止運動過程中，
下列說法正確的是（ ）
A．貨車運動的位移為18m B．兩車不會同時到達6m處
C．兩車最大間距為18m D．兩車最大間距為6m
【典例 2-3】一小汽車由靜止開始做勻變速直線運動，其位移與速度平方（ 2）的圖像如
圖所示，求：
（1）小汽車運動的加速度大小 a；
（2）小汽車由靜止開始運動到位移大小 x=64m 時所用的時間 t。
【變式 2-1】如圖所示是某物體做直線運動的 v2-x 圖像（其中 v 為速度，x 為位置坐標），下
列關于該物體從 x=0 處運動至 x=x0處的過程分析，其中正確的是（　　）
2
A ．該物體的加速度大小為 0 0
0
B．該物體的運動時間為 0

C 0 0．當該物體的位移大小為 2時，速度大小為 2
0 3D．當該物體的速度大小為 2時，位移大小為4 0
【變式 2-2】（多選）如圖所示，四塊相同的混凝土實心磚并排固定在水面地面上，子彈以
水平速度 0從 P 點射入實心磚中，到達 Q 點時的速度恰好為零。假設子彈在混凝土實心磚
中做勻減速直線運動，且運動的總時間為 t。下列說法正確的是（　　）
A．子彈剛穿過第 2 塊磚時的速度大小為 3
2 0
1
B．子彈剛穿過第 3 塊磚時的速度大小為2 0
C．子彈穿過第 2 塊磚所用的時間為 3 2
2
D．子彈穿過第 3 塊磚所用的時間為( 2 1)
【變式 2-3】甲乙兩質點在同一直線上同向運動，t=0 時刻，質點甲在質點乙前方。兩質點
各自運動的 2 （v 為各自的速度，x 為各自的位移）圖像如圖所示，求：
（1）質點乙的速度隨時間變化的關系式；
（2）若兩質點運動過程中不相遇，則 t=0 時刻二者的距離至少是多少；
（3）若兩質點在 t=0 時相距 4.5m，則以后二者在哪些時刻可以相遇。
知識點 3 勻變速直線運動規律的綜合運用
1、求解勻變速直線運動的常用方法：基本公式法、特殊公式法、比例法（6個比例式）、
逆向思維法、圖象法。
1 1
2、基本公式法：①vt＝v0＋at ②x＝v 2 0t＋ at ③x＝ (v0＋v)t ④v2-v 20 =2ax
2 2
v v
3、特殊公式法：①△x＝aT2 ②S -S =（M-N）aT2 ③ v v 0 tM N t
2 2
4、比例法（6個比例式）
初速度為零的勻加速直線運動的特殊規律：
（1）ts 末、2ts 末、3ts 末…nts 末的瞬時速度之比為：v1：v2：v3：…：vn=1：2：3：…：
n；
推導：由 vt=at知 v1=at，v2=2at，v3=3at，…，vn=nat，
則可得：v1：v2：v3：…：vn=1：2：3：…：n；
（2）xm末、2xm末、3xm末…nxm末的瞬時速度之比為：v1：v2：v3：…：vn=1：2：3 :…: n
推導：由 v2=2ax知 v1 2ax ， v2 2a2x ， v3 2a3x ，…， vn 2anx ；
則可得：v1：v2：v3：…：vn=1：2：3 :…: n ；
（3）ts內、2ts內、3ts內…nts內的位移之比為：x1：x2：x 2 2 23：…：xn=1 ：2 ：3 ：…：
n2；
1 1 1 1 1
推導：由 x= at2知 x1= at2，x = a（2t）2，x = a（3t）2，…，x 22 2 2 2 3 2 n
= a（nt） ；
2
則可得：x1：x2：x3：…：xn=12：22：32：…：n2；
（4）連續相等時間內的位移之比為：xⅠ：xⅡ：xⅢ：…：xN=1：3：5：…：（2n-1）
1 1 1 1 1
推導：由 x= at2知 x 2Ⅰ= at ，xⅡ= a（22-12）t2，x 2 2 2 22 2 2 Ⅲ
= a（3 -2 ）t ，…，xN= a[n -2 2
（n-1）12]t2，
則可得：xⅠ：xⅡ：xⅢ：…：xN=1：3：5：…：（2n-1）；
（5）前一個 x、前兩個 x、前三個 x …所用的時間之比為：t1：t2：t3：…：tn=1：2：3 :…: n
1 2x 2 2x 2 3x 2 nx
推導：由 x= at2知 t1= ，t2= ，t3= ，…，t2 a a a n
= ；
a
則可得：t1：t2：t3：…：tn=1：2：3 :…: n ；
（6）連續相等位移所用的時間之比為：tⅠ：tⅡ：tⅢ：…：tN=1：（ 2 -1）：
（ 3 - 2）：…：（ n - n -1）
1 2x 2 2x 2x 2x
推導：由 x= at2知 t1= ，t2= - =（ 2 -1） ，t3=（ 3 - 2）2 a a a a
2x 2x
，…，tn=（ n - n -1） ；a a
則可得：tⅠ：tⅡ：tⅢ：…：tN=1：（ 2 -1）：（ 3 - 2）：…：（ n - n -1）
5、逆向思維法
逆向思維法是把運動過程的“末態”作為“初態”來反向研究問題的方法．如物體做減速運
動可看成反向加速運動來處理．末狀態已知的情況下，若采用逆向思維法往往能起到事半功
倍的效果。
6、圖象法
v t圖像和 x t圖像的應用技巧
（1）確認是哪種圖像，v t圖像還是 x t圖像。
（2）理解并熟記五個對應關系
①斜率與加速度或速度對應；
②縱截距與初速度或初始位置對應；
③橫截距對應速度或位移為零的時刻；
④交點對應速度或位置相同；
⑤拐點對應運動狀態發生改變。
7、剎車類問題的處理思路
實際交通工具剎車后可認為是做勻減速直線運動，當速度減小到零時，車輛就會停止．解答
此類問題的思路是：
v0
(1)先求出它從剎車到停止的剎車時間 t 剎＝ ；
a
(2)比較所給時間與剎車時間的關系確定運動時間，最后再利用運動學公式求解．若 t>t 剎，
不能盲目把時間代入；若 t【典例 3-1】為滿足旅客乘坐高鐵出行的不同需要，城際高鐵開通了“一站直達”列車和“站站
停”列車兩種班次。假設兩城高鐵站之間均勻分布了 4 個車站，若列車在進站和出站過程中
做勻變速直線運動，加速度大小均為 2m/s2，其余行駛時間內保持最高時速 288km/h 勻速運
動，“站站停”列車在每個車站停車時間均為 t0=2min，則一站直達列車比“站站停”列車節省
的時間為（　　）
A．10min40s B．11min20s
C．13min20s D．14min40s
【典例 3-2】（多選）如圖為港珠澳大橋上四段 110m 的等跨鋼箱連續梁橋，若汽車從 a 點由
靜止開始做勻加速直線運動，通過 ab 段的時間為 t。則（　　）
A．通過 cd 段的時間為 3
B．通過 ce 段的時間為(2 2)
C．ae 段的平均速度大于 ce 段的平均速度
D．ae 段的平均速度等于 b 點的瞬時速度
【變式 3-1】某質點在一條直線上由靜止開始運動，先做勻加速運動后做勻減速運動至速度
減為零，兩段過程的加速度大小 1與 2的比值是1:1，勻加速運動過程的位移是4 ，則質點
完成第 4 個 和完成第 8 個 所用時間之比為（　　）
A． 2 B．2 3 C 2 3． 2 D．
1 1 2 8 7
【變式 3-2】一位清潔工人正推著清洗車在擦洗一座長為 L=60 m 的橋上的欄桿，當他擦洗
到距橋的右端 L1=20.5 m 處時，突然發現一汽車在距離橋右端 x=400 m 處以速度 v0=30 m/s
向橋上駛來，汽車司機也同時發現了清潔工人，并立刻以 a=1m/s2 的加速度剎車，由于橋面
非常窄，清潔工人立即向右奔跑來避讓汽車，假設清潔工人推著清洗車勻速逃離。則清潔工
人向右奔跑的速度至少是多少？
1．騎自行車的人以 5m/s 的初速度沿足夠長的斜坡向上做減速運動，加速度大小是 0.4m/s2，
經過 5s，他在斜坡上通過的距離是（　　）
A．30m B．25m C．20m D．15m
2．如圖為消防隊員正在進行滑桿訓練的示意圖，若某次下滑過程中，消防隊員先做初速度
為零的勻加速直線運動，后做勻減速直線運動，到地面時速度恰好為零，下滑過程中最大速
度為5m/s，下滑所用的總時間為 3s，則消防隊員下滑的總高度為（　　）
A．15m B．10m C．7.5m D．5m
3．高鐵目前是我國的一張名片，在某火車站，維護員站在中央高鐵站臺上，觀察到有一列
高鐵正在減速進站（可視為勻減速直線運動）。維護員發現在列車減速過程中相鄰兩個相等
時間內從他身邊經過的車廂節數分別為 1和 2，則 1和 2之比可能是（　　）
A．2：1 B．5：1 C．7：2 D．4：1
4．央視研發的 4k 軌道攝像系統“獵豹”比頂尖的運動員跑得還快，全國產、超高清，讓體育
競技更加公平。某次短跑比賽中，攝像機和運動員的位移時間關系（ 圖像）分別如圖所
示，則下列說法中正確的是（　　）
A．判定運動員是否存在犯規動作時可將運動員視為質點
B．0 2時間內若以攝像機為參考系，運動員做勻速直線運動
C．0 2時間內任一時刻攝像機的速度都大于運動員的速度
D．0 2時間內攝像機與運動員的平均速度相同
5．研究發現，追趕類游戲對孩子的各項發育都有好處。一小朋友正在和媽媽玩“你追我趕”
游戲，小朋友與媽媽沿同一平直道路運動的 x-t 圖像分別如圖中的圖線 a、b 所示。下列說法
正確的是（ ）
A．媽媽先開始運動
B．媽媽與小朋友從同一位置開始運動
C．第 4s 末，媽媽追上小朋友
D．媽媽與小朋友運動的速度大小之比為 2:1
6．如圖所示，某司機正駕駛汽車以 10m/s 的速度勻速駛向某干道紅綠燈路口，當汽車的車
頭距離停車線為 16m 時發現有人正在通過人行橫道，司機經過一定的反應時間后，立即以
大小為 5m/s2 的加速度減速行駛，最后汽車車頭剛好停在停車線處，該司機的反應時間是
（ ）
A．0.2s B．0.3s C．0.5s D．0.6s
7．如圖所示，在杭州亞運會田徑項目賽場上，機器狗承擔了拾撿和運輸器材的任務。某次
運輸過程中，當機器狗檢測到前方有一位站立不動的工作人員，為了避免相撞，機器狗立即
做勻減速直線運動直至停止，已知其減速后第 1s 內的位移是最后 1s 內位移的 5 倍，且這兩
段位移的差值為0.4m，則機器狗開始減速后（　　）
A．運動的總時間為 3s B．加速度大小為0.4m/s2
C．總位移大小為6.4m D．初速度大小為2.4m/s
8．中央電視臺科普節目《加油向未來》在現場利用內部氣壓為 0.001Pa、高 6m 的亞克力管
做落體實驗，將亞克力管等分為四段，從上到下每段標為 1、 2、 3、 4，羽毛由靜止開始
從最高點下落，經過 1速度的增加量為Δ 1，經過第三段 3速度的增加量為Δ 2，則Δ 1與Δ 2
的比值滿足（　　）
Δ
A 1 < 1
Δ Δ Δ
． Δ < 2 B．2 <
1
Δ < 3 C 3 <
1
． Δ < 4 D．4 <
1 < 5
2 2 2 Δ 2
9．（多選）汽車剎車后的運動可以看作是勻減速直線運動，取開始剎車時刻 t＝0，汽車運動
方向為正方向.若剎車后的第 1s 內位移是 9m，第 3s 內的位移是 5m（未停下），則下列判斷
中正確的是（ ）
A．剎車后的加速度大小為2m/s2 B．第 0.5s 末的速度為 9m/s
C．汽車的初速度為 12m/s D．從剎車到停止汽車前進 25m
10．（多選）如圖為甲、乙兩物體的 x-t 圖像，則下列說法正確的是（ ）
A．甲物體做勻加速直線運動
B．若甲、乙在同一直線上運動，則在 = 2s時相遇
C．甲運動的速度大于乙運動的速度
D．甲、乙兩物體運動的方向相反
11．（多選）一個物體自 = 0時開始做直線運動，其速度—時間圖像如圖所示。下列說法正
確的是（ ）
A．第 5s 內的加速度方向與第 6s 內的加速度方向相反
B．在第 5s 末，物體離出發點最遠
C．在 0-4s 內，物體的平均速度為 7.5m/s
D．在 0-6s 內，物體的平均速率為 7.5m/s
1
12．（多選）如圖所示為根據某機動車的運動情況繪制的 2 圖像，已知機動車運動軌跡是
直線。關于機動車的運動狀態，下列說法正確的是（　　）
A．機動車處于勻加速狀態 B．機動車的初速度大小為20m/s
C．機動車的加速度大小為4m/s2 D．機動車在前2s的位移是48m
13．（多選）非洲大草原上，獵豹捕食羚羊是常見的現象。一只羚羊在草原上沿直線勻速奔
跑，潛伏的獵豹發現它在前方 150m 時，立即加速追趕，而羚羊的嗅覺和聽覺非常靈敏，它
發現身后的獵豹后馬上加速，如圖是它們沿同方向做直線運動的 圖像，則下列說法正確
的是（　　）
A．在0~2s內，羚羊和獵豹間的距離逐漸增大
B．6s 末時羚羊與獵豹相距 120m
C．獵豹加速時的加速度比羚羊加速時的加速度大
D．12s 末時，獵豹剛好追上羚羊
14．小明同學站在平直街道旁 A 點，發現一輛公交車正以 10m/s 速度，從身旁勻速駛過，
此時小明立刻先勻加速后勻減速追趕公交車。A 點與公交車站 B 點的距離為 50m，公交車在
行駛中到距車站 30m 處開始剎車（視為勻減速運動），剛好到 B 點停下，此時小明也恰好到
B 點停下。設小明勻加速和勻減速運動的加速度大小相等。求：
（1）公交車剎車過程的時間；
（2）小明追趕公交車過程的加速度大小。
15．物體做直線運動，其 圖像如圖所示，試求：
（1）5s 末的瞬時速度；
（2）20s 內通過的路程；
（3）30s 內的平均速度。
16．開車玩手機導致追尾事故應負全責，一輛汽車從麗水開往杭州，在某一直線路段行駛的
速度為 108km/h。駕駛員低頭搶紅包盲開 20m 突然發現前方有異常情況，于是緊急剎車。
若汽車橡膠輪胎與路面間的動摩擦因數是 0.75，該駕駛員的反應時間（從發現異常情況到實
施制動的時間）為 0.5s，g 取10m/s2。
（1）求剎車時汽車的加速度大小；
（2）從低頭開始到最后停止，求該車的位移大小。
17．汽車 A、B 在平行的兩個車道上行駛，已知汽車 A 以 15m/s 的速度做勻速直線運動，汽
車 B 在 A 前方 x0=31m 處以 20m/s 的速度同向行駛，如圖所示，此時 B 開始勻減速剎車，剎
1
車時所受阻力為其重力的4，當 A、B 兩車間的距離最遠時，A 也開始勻減速剎車，最終兩車
并排停在同一位置，兩車可視為質點，取 g=10/s2。求：
（1）A、B 之間的最遠距離；
（2）A 剎車時的加速度大小。
18．某十字路口，紅燈攔停了很多汽車，攔停的汽車排成筆直一列，最前面的一輛汽車的前
端剛好與路口停車線相齊，相鄰兩車的前端之間的距離均為 = 5.0m。假設綠燈亮起瞬時，
每輛汽車都同時以加速度 = 2.0m/s2啟動，做勻加速直線運動，速度達到 = 10.0m/s時做
勻速運動通過路口。該路口亮綠燈時間 = 20.0s，而且有按倒計時顯示的時間顯示燈。另外
交通規則規定：原在綠燈時通行的汽車，綠燈結束時刻，車頭已越過停車線的汽車允許通過。
求：
（1）一次綠燈時間有多少輛汽車能通過路口？
（2）事實上由于人要有反應時間，綠燈亮起時不可能所有司機同時起動汽車，現假設綠燈
亮起時，第一個司機遲后 0 = 0.60s起動汽車，后面司機都比前一輛車遲后 0 = 0.60s起動汽
車，在該情況下，有多少輛車能通過路口？

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