資源簡介

第 20 講　功能關(guān)系及能量守恒定律
——劃重點(diǎn)之精細(xì)講義系列
考點(diǎn) 1 功能關(guān)系的理解及應(yīng)用
考點(diǎn) 2 關(guān)于摩擦力、相互作用力、平衡力的功
考點(diǎn) 3 能量守恒定律的理解及應(yīng)用
考點(diǎn) 1：功能關(guān)系的理解及應(yīng)用
一．功能關(guān)系
1．內(nèi)容
(1)功是能量轉(zhuǎn)化的量度，即做了多少功就有多少能量發(fā)生了轉(zhuǎn)化．
(2)做功的過程一定伴隨著能量的轉(zhuǎn)化，而且能量的轉(zhuǎn)化必須通過做功來實(shí)現(xiàn)．
2．做功對應(yīng)變化的能量形式
(1)合外力的功影響物體的動能的變化．
(2)重力的功影響物體重力勢能的變化．
(3)彈簧彈力的功影響彈性勢能的變化．
(4)除重力或系統(tǒng)內(nèi)彈力以外的力做功影響物體機(jī)械能的變化．
(5)滑動摩擦力的功影響系統(tǒng)內(nèi)能的變化．
(6)電場力的功影響電勢能的變化．
(7)分子力的功影響分子勢能的變化．
二．能量守恒定律
1．內(nèi)容
能量既不會憑空產(chǎn)生，也不會憑空消失，它只能從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，或者從一個物
體轉(zhuǎn)移到另一個物體，在轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移的過程中，能量的總量保持不變．
2．適用范圍
能量守恒定律是貫穿物理學(xué)的基本規(guī)律，是各種自然現(xiàn)象中普遍適應(yīng)的一條規(guī)律．
3．表達(dá)式
(1)E 初＝E 末，初狀態(tài)各種能量的總和等于末狀態(tài)各種能量的總和．
(2)ΔE 增＝ΔE 減，增加的那些能量的增加量等于減少的那些能量的減少量．
4.幾種常見的功能關(guān)系及其表達(dá)式
各種力做功 對應(yīng)能的變化 定量的關(guān)系
W 合：合外力的功（所有 動能的改變量 合力對物體做功等于物體動能的增量 W 合＝ΔEk＝
外力的功） （ΔEk） Ek2－Ek1
重力勢能的改變 重力做正功，重力勢能減少，重力做負(fù)功，重力勢
WG：重力的功
量（ΔEp） 能增加，且 WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
彈性勢能的改變 彈力做正功，彈性勢能減少，彈力做負(fù)功，彈性勢
W 彈：彈簧彈力做的功
量（ΔEp） 能增加，且 W 彈＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
只有重力、彈簧彈力的 不引起機(jī)
機(jī)械能守恒 ΔE＝0
功 械能變化
W 其他：除重力或系統(tǒng)內(nèi)
機(jī)械能的改變量 除重力和彈力之外的其他力做正功，物體的機(jī)械能
彈簧彈力以外的其他外
（ΔE） 增加，做負(fù)功，機(jī)械能減少，且 W 其他＝ΔE
力做的功
Ff·Δx：一對滑動摩擦力 因摩擦而產(chǎn)生的 滑動摩擦力做功引起系統(tǒng)內(nèi)能增加ΔE 內(nèi)＝Ff Δx（Δx
做功的代數(shù)和 內(nèi)能（Q） 為物體間的相對位移）
1.功能關(guān)系的理解和應(yīng)用原則
（1）牢記三條功能關(guān)系
①重力做的功等于重力勢能的變化，彈力做的功等于彈性勢能的變化。
②合外力做的功等于動能的變化。
③除重力、彈力外，其他力做的功等于機(jī)械能的變化。
（2）功能關(guān)系的選用原則
①在應(yīng)用功能關(guān)系解決具體問題的過程中，若只涉及動能的變化用動能定理分析。
②只涉及重力勢能的變化用重力做功與重力勢能變化的關(guān)系分析。
③只涉及機(jī)械能變化用除重力和彈力之外的力做功與機(jī)械能變化的關(guān)系分析。
④只涉及電勢能的變化用電場力做功與電勢能變化的關(guān)系分析。
【考向 1】（多選）如圖所示，一小物塊由靜止開始沿傾角為53°的斜面向下滑動，最后停在水平地
2
面上。斜面和地面平滑連接，且物塊與斜面、物塊與地面間的動摩擦因數(shù)均為3，取地面為零勢能面，
已知sin53° = 0.8,cos53° = 0.6。該過程中，物塊的機(jī)械能 E、重力勢能 p、動能 k、摩擦產(chǎn)生的熱
量 Q 與水平位移 x 的關(guān)系圖像可能正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【考向 2】（多選）如圖甲所示，光滑水平面與半徑為 R 的光滑豎直半圓軌道平滑銜接，在 A 點(diǎn)（距
離 B 點(diǎn)足夠遠(yuǎn)）固定一輕質(zhì)彈簧，彈簧壓縮儲存了彈性勢能可以發(fā)射質(zhì)量為 m 的小滑塊，已知重力
加速度 g，則下列說法正確的（　　）
A．若彈簧彈性勢能為 mgR，則小球恰能到達(dá) C 點(diǎn)
B．若彈簧彈性勢能為 2mgR，則小球恰能到達(dá) D 點(diǎn)
C．若彈性勢能為 3mgR，則小球通過 B 點(diǎn)時對軌道的壓力為 6mg
D．若彈性勢能為 2.5mgR，則小球通過 D 點(diǎn)后落在水平面上距 B 點(diǎn)為 2R
【考向 3】（多選）如圖所示，在傾角為 θ 的固定光滑斜面上有兩個用輕彈簧相連接的物塊 A、
B，它 們的質(zhì)量分別為 m1、 m2，彈簧勁度系數(shù)為 k， C 為一固定擋板，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)． 現(xiàn)
用 一平行于斜面向上的恒力 F 拉物塊 A 使之沿斜面向上運(yùn)動，當(dāng)物塊 B 剛要離開擋板 C 時，
物塊 A 運(yùn)動的距離為 d，速度為 v．則此時（）
A．拉力做功的瞬時功率為 Fvsin θ
B．物塊 B 滿足 m2gsin θ＝kd
C．物塊 A － 的加速度為 1
D．彈簧彈性勢能的增加量為 Fd－m1gdsin θ
1
－2m
2
1v
【考向 4】（多選）（2024·湖南岳陽·一模）如圖所示，輕質(zhì)彈簧一端固定在水平面上的光滑轉(zhuǎn)軸 O
上，另一端與套在粗糙固定直桿 N 處質(zhì)量為 0.2kg 的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）相連。直桿與水平面的夾
角為 30°，N 點(diǎn)距水平面的高度為 0.4m，NP=PM，ON=OM，OP 等于彈簧原長。小球從 N 處由靜止
開始下滑，經(jīng)過 P 處的速度為 2m/s，并恰能停止在 M 處。已知重力加速度取 10m/s2，小球與直桿
3
的動摩擦因數(shù)為 ，則下列說法正確的是（　　）
5
A．小球通過 P 點(diǎn)時的加速度大小為 3m/s2
B．彈簧具有的最大彈性勢能為 0.5J
C．小球通過 NP 段與 PM 段摩擦力做功相等
D．N 到 P 過程中，球和彈簧組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能為 0.4J
【考向 5】（多選）（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）如圖所示，一固定在水平面上的光滑木板，與水平面的
夾角 = 30° 16 ，木板的底端固定一垂直木板的擋板，上端固定一定滑輪 O。勁度系數(shù)為 = 5 的輕
彈簧下端固定在擋板上，上端與質(zhì)量為 2m 的物塊 Q 連接。跨過定滑輪 O 的不可伸長的輕繩一端與
物塊 Q 連接，另一端與套在水平固定的光滑直桿上質(zhì)量為 m 的物塊 P 連接。初始時物塊 P 在水平外
力 F 作用下靜止在直桿的 A 點(diǎn)，且恰好與直桿沒有相互作用，輕繩與水平直桿的夾角 = 37°。去掉
水平外力 F，物塊 P 由靜止運(yùn)動到 B 點(diǎn)時輕繩與直桿間的夾角 = 53°。已知滑輪到水平直桿的垂直
距離為 d，重力加速度大小為 g，彈簧軸線、物塊 Q 與定滑輪之間的輕繩共線且與木板平行，不計(jì)
滑輪大小及摩擦。sin37° = 0.6，cos37° = 0.8，sin53° = 0.8，cos53° = 0.6。則下列說法正確的是
（　　）
A．物塊 P 向左運(yùn)動的過程中其機(jī)械能先增大后減小
B．物塊 P 從 A 點(diǎn)運(yùn)動到 B 點(diǎn)時，物塊 Q 的重力勢能減少量小于 P、Q 兩物塊總動能的增加量
C 5．物塊 P 在 A 點(diǎn)時彈簧的伸長量為24
D P A B P 125 ．物塊 從 點(diǎn)運(yùn)動到 點(diǎn)的過程中，輕繩拉力對物塊 做的功為 516
考點(diǎn) 2：關(guān)于摩擦力、相互作用力、平衡力的功
1．靜摩擦力做功的特點(diǎn)
(1)靜摩擦力可以做正功，也可以做負(fù)功，還可以不做功．
(2)相互作用的一對靜摩擦力做功的代數(shù)和總等于零．
(3)靜摩擦力做功時，只有機(jī)械能的相互轉(zhuǎn)移，不會轉(zhuǎn)化為內(nèi)能．
2．滑動摩擦力做功的特點(diǎn)
(1)滑動摩擦力可以做正功，也可以做負(fù)功，還可以不做功．
(2)相互間存在滑動摩擦力的系統(tǒng)內(nèi)，一對滑動摩擦力做功將產(chǎn)生兩種可能效果：
①機(jī)械能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；
②有一部分機(jī)械能在相互摩擦的物體間轉(zhuǎn)移，另外一部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)能．
(3)摩擦生熱的計(jì)算：Q＝Ff x 相對．其中 x 相對為相互摩擦的兩個物體間的相對位移．
類別
靜摩擦力 滑動摩擦力
比較
只有能量的轉(zhuǎn)移，而沒有能量的轉(zhuǎn)
能量的轉(zhuǎn)化 既有能量的轉(zhuǎn)移，又有能量的轉(zhuǎn)化
化
不
同 一對滑動摩擦力所做功的代數(shù)和
一對摩擦 一對靜摩擦力所做功的代數(shù)總和
點(diǎn) 不為零，總功 W＝－F
力的總功 等于零 f
·l 相對，即摩
擦?xí)r產(chǎn)生的熱量
相
同 做功的正、負(fù) 兩種摩擦力對物體可以做正功、負(fù)功，還可以不做功
點(diǎn)
3.作用力、反作用力做功的特點(diǎn)
①作用力、反作用力作用下的物體的運(yùn)動特點(diǎn)：可能向相反方向運(yùn)動，也可能向相同方向運(yùn)動，
也可能一個運(yùn)動而另一個靜止，還可能兩物體都靜止。
②由 W＝Flcosα 可以判斷，作用力與反作用力的功的特點(diǎn)是：沒有必然關(guān)系，即不一定是一正
一負(fù)，絕對值也不一定相等。即一對作用力和反作用力在同一段時間內(nèi)做的總功可能為正，可能為
負(fù)，也可能為零。
4.一對平衡力做功的特點(diǎn)
一對平衡力作用在同一物體上，若物體靜止，則兩個力都不做功；若物體運(yùn)動，則這一對力所
做的功在數(shù)值上一定相等，一正一負(fù)或均為零。
【考向 6】下列有關(guān)功和功率的說法，正確的是（　　）
A．功率越大，說明力做功越多
B．摩擦力總是與相對運(yùn)動或相對運(yùn)動趨勢方向相反，因此摩擦力只能做負(fù)功
C．作用力和反作用力總是等大反向，因此一對作用力和反作用力做功時總是一正一負(fù)，總和為
零
D．一對平衡力，其中一個力做正功，另外一個力一定做負(fù)功
【考向 7】如圖所示，質(zhì)量為 M、長度為 L 的小車靜止在光滑的水平面上，質(zhì)量為 m 的小物塊放在
小車的最左端，現(xiàn)用一水平力 F 作用在小物塊上，小物塊與小車之間的摩擦力為 f，經(jīng)過一段時間
小車運(yùn)動的位移為 x，小物塊剛好滑到小車的右端，則下列說法正確的是（　　）
A．此時小物塊的動能為 ( + )
B．此時小車的動能為 f
C．這一過程中，小物塊和小車增加的機(jī)械能為 f
D．這一過程中，因摩擦而產(chǎn)生的熱量為 f( + )
【考向 8】（多選）電動機(jī)帶動足夠長的水平傳送帶以速度 v 勻速傳動，一質(zhì)量為 m 的小木塊由靜止
輕放在傳送帶上，如圖所示。若小木塊與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)為 ，重力加速度為 g，當(dāng)小木塊
與傳送帶相對靜止時（　　）
2
A ．傳送帶轉(zhuǎn)過的路程為
B
2
．小木塊的位移為
C．摩擦產(chǎn)生的熱量為 mv2
D．因放上小木塊后，電動機(jī)帶動傳送帶勻速轉(zhuǎn)動多輸出的總能量為 mv2
【考向 9】如圖所示，一彈射游戲裝置由安裝在水平臺面上的固定彈射器、水平面 AB 和豎直半圓形
軌道 BC 組成，各部分平滑連接。已知半圓形軌道的半徑 = 0.4m，除半圓形軌道 BC 外其余接觸面
均光滑。某次游戲中用力將一質(zhì)量 = 0.1kg的滑塊壓縮輕質(zhì)彈簧（滑塊與彈簧不拴接），此時彈簧
的彈性勢能 p0 = 1.6J，然后由靜止釋放滑塊，滑塊從彈射器 A 點(diǎn)彈出后，恰能通過半圓形軌道的最
高點(diǎn) C，取重力加速度大小 = 10m/s2，滑塊可視為質(zhì)點(diǎn)，忽略空氣阻力。求：
（1）滑塊通過 B 點(diǎn)時對半圓形軌道的壓力大小；
（2）滑塊從 B 點(diǎn)運(yùn)動到 C 點(diǎn)的過程中，克服摩擦力做了多少功？
【考向 10】如圖所示，一質(zhì)量 = 2kg、長 = 4m的木板 B 靜止于光滑的水平面上，距離 B 的右端
= 6m處有一固定豎直擋板； = 0時刻，一個質(zhì)量 = 1kg的小物塊 A 以初速度 0 = 3m/s從 B 的
左端水平滑上 B， = 4s時，對物塊 A 施加一水平向右的恒力 = 2N。設(shè)物塊 A 可視為質(zhì)點(diǎn)，A、B
間的動摩擦因數(shù) = 0.4，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，B 與豎直擋板碰撞時間極短且碰撞過程中
無機(jī)械能損失，g 取10m/s2，求：
（1）0 4s內(nèi)，木板 B 的運(yùn)動位移；
（2）從 B 開始運(yùn)動到與豎直擋板第一次碰撞前的過程中，摩擦力對 B 所做的功；
（3）B與豎直擋板第二次碰撞前 A 距離木板 B 右端的距離。
考點(diǎn) 3：能量守恒定律的理解及應(yīng)用
1．對能量守恒定律的兩點(diǎn)理解
(1)某種形式的能量減少，一定存在其他形式的能量增加，且減少量和增加量一定相等；
(2)某個物體的能量減少，一定存在其他物體的能量增加，且減少量和增加量一定相等．
2.能量轉(zhuǎn)化問題的解題思路
（1）當(dāng)涉及摩擦力做功，機(jī)械能不守恒時，一般應(yīng)用能的轉(zhuǎn)化和守恒定律。
（2）解題時，首先確定初末狀態(tài)，然后分析狀態(tài)變化過程中哪種形式的能量減少，哪種形式的
能量增加，求出減少的能量總和 ΔE 減與增加的能量總和 ΔE 增，最后由 ΔE 減＝ΔE 增列式求解。
5.涉及彈簧的能量問題
兩個或兩個以上的物體與彈簧組成的系統(tǒng)相互作用的過程，具有以下特點(diǎn)：
（1）能量轉(zhuǎn)化方面，如果只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈簧彈力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。
（2）如果系統(tǒng)內(nèi)每個物體除彈簧彈力外所受合力為零，則當(dāng)彈簧伸長或壓縮到最大程度時兩
物體速度相同。
（3）當(dāng)水平彈簧為自然狀態(tài)時系統(tǒng)內(nèi)某一端的物體具有最大速度。
【考向 11】如圖所示，質(zhì)量為0.5kg的小球從距地面高為1.5m處由靜止釋放，與正下方固定的長為
0.4m的輕彈簧作用，速度第一次減為零時，距地面高為0.25m，小球第一次反彈至最高點(diǎn)時，距地
面高為1.273m。經(jīng)過多次反彈后，小球最終靜止在彈簧上，此時，小球距地面高為0.39m，彈簧的
彈性勢能為0.025J。若小球始終在豎直方向上運(yùn)動，且受到的空氣阻力大小恒定。（當(dāng)小球速度為零
時空氣阻力為零，重力加速度 = 10m/s2）下列說法正確的是（　　）
A．彈簧的勁度系數(shù)為200N/m
B．小球在運(yùn)動過程中受到的空氣阻力約為0.3N
C．小球在整個運(yùn)動過程中通過的路程約為11.05m
D．小球下落過程中速度最大處距地面高為0.39m
【考向 12】（多選）如圖所示，一個質(zhì)量 = 0.5kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從 = 12m高處，由靜止
開始沿光滑弧形軌道 滑下，接著進(jìn)入半徑 = 4m的豎直圓軌道，當(dāng)?shù)竭_(dá)環(huán)頂 C 時，剛好對軌道
壓力為零；小球在沿左半環(huán) 滑下后，再進(jìn)入光滑弧形軌道 ，且到達(dá) D 點(diǎn)時速度為零。已知 g
取10m/s2，則下列說法正確的是（　　）
A．在由 A 到 D 的過程中，小球的機(jī)械能守恒
B．若圓軌道粗糙程度處處相同，則 D 點(diǎn)離地面的高度一定大于8m
C．小球第一次過 B 點(diǎn)時對軌道的壓力大小是35N
D．小球從 B 上升到 C 的過程中克服阻力做的功是10J
【考向 13】如圖所示，固定在豎直面內(nèi)的粗糙圓弧軌道 BC 與水平地面相切于 C 點(diǎn)，半徑 OB 與水
平方向的夾角 = 37°。質(zhì)量 = 1kg的物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）從 O 點(diǎn)正上方的 A 點(diǎn)以大小 0 = 3m/s的
速度水平向左拋出，恰好沿 B 點(diǎn)的切線方向進(jìn)入并沿圓弧軌道運(yùn)動，到達(dá) C 點(diǎn)后沿地面滑行距離
= 1.5m停下。物塊與地面間的動摩擦因數(shù) = 0.3，取重力加速度大小 = 10m/s2，sin37° = 0.6，
cos37° = 0.8，不計(jì)空氣阻力。求：
（1）A、B 兩點(diǎn)的高度差 h 以及圓弧軌道的半徑 R；
（2）物塊通過 C 點(diǎn)時對圓弧軌道的壓力大小 N；
（3）物塊通過 B 點(diǎn)時的速度大小 以及在物塊從 B 點(diǎn)運(yùn)動到 C 點(diǎn)的過程中，物塊與圓弧軌道之間
因摩擦產(chǎn)生的熱量 Q。
【考向 14】某同學(xué)參照過山車情景設(shè)計(jì)了如圖所示的模型：光滑的豎直圓軌道半徑 = 2 m，入口
的平直軌道 AC 和出口的平直軌道 CD 均是粗糙的，質(zhì)量為 = 2 kg的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）與水平
軌道之間的動摩擦因數(shù)均為 = 0.5，滑塊從 A 點(diǎn)由靜止開始受到水平拉力 = 60 N的作用，在 B 點(diǎn)
撤去拉力，AB 的長度為 = 5 m，不計(jì)空氣阻力， = 10 m/s2。
（1）若滑塊恰好通過圓軌道的最高點(diǎn)，求滑塊在圓軌道最低點(diǎn)時圓軌道對它的支持力大小；
（2）要使滑塊能進(jìn)入圓軌道運(yùn)動且不脫離軌道，求平直軌道 BC 段的長度范圍。
【考向 15】如圖所示，半徑為 R 的半圓弧軌道 ABCD 豎直放置，D 點(diǎn)在圓心 O 點(diǎn)的正上方，是圓
弧的最高點(diǎn)，固定圓管軌道 NA 與半圓弧軌道在最低點(diǎn) A 平滑對接，管口 N 點(diǎn)的切線水平且 N、O、
B 三點(diǎn)等高，勁度系數(shù)為 k 的輕質(zhì)彈簧放置在光滑的水平面 PN 上，一端固定在 P 點(diǎn)，當(dāng)彈簧處于
原長時，另一端正好處在 N 點(diǎn)。一質(zhì)量為 m、可視為質(zhì)點(diǎn)的小球置于 N 點(diǎn)（與彈簧不粘連），現(xiàn)移
動小球壓縮彈簧至 Q，然后由靜止釋放小球，小球到達(dá)圓弧的 C 點(diǎn)時剛好脫離軌道。已知 QN=s，
1
彈性勢能的表達(dá)式為 p = 22 （k 為彈簧的勁度系數(shù)，x 為彈簧的形變量），不計(jì)所有摩擦，重力加
速度為 g。
（1）求 C 點(diǎn)與 B 點(diǎn)的高度差 h；
（2）求小球在 A 點(diǎn)時對半圓軌道的壓力；
（3）若只改變小球的質(zhì)量，使小球能夠到達(dá)半圓軌道最高點(diǎn)，求小球質(zhì)量的取值范圍。
【真題 1】（2022·浙江·高考真題）風(fēng)力發(fā)電已成為我國實(shí)現(xiàn)“雙碳”目標(biāo)的重要途徑之一。如圖所示，
風(fēng)力發(fā)電機(jī)是一種將風(fēng)能轉(zhuǎn)化為電能的裝置。某風(fēng)力發(fā)電機(jī)在風(fēng)速為9m/s時，輸出電功率為405
kW，風(fēng)速在5~10m/s范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)化效率可視為不變。該風(fēng)機(jī)葉片旋轉(zhuǎn)一周掃過的面積為 ，空氣密
度為 ，風(fēng)場風(fēng)速為 ，并保持風(fēng)正面吹向葉片。下列說法正確的是（　　）
A．該風(fēng)力發(fā)電機(jī)的輸出電功率與風(fēng)速成正比
B 1．單位時間流過面積 的流動空氣動能為2
2
C．若每天平均有1.0 × 108kW的風(fēng)能資源，則每天發(fā)電量為2.4 × 109kW h
D．若風(fēng)場每年有5000h風(fēng)速在6~10m/s范圍內(nèi)，則該發(fā)電機(jī)年發(fā)電量至少為6.0 × 105kW h
【真題 2】（2021·浙江·高考真題）一輛汽車在水平高速公路上以 80km/h 的速度勻速行駛，其 1s 內(nèi)
能量分配情況如圖所示則汽車（　　）
A．發(fā)動機(jī)的輸出功率為 70kW
B．每 1s 消耗的燃料最終轉(zhuǎn)化成的內(nèi)能是 5.7×104J
C．每 1s 消耗的燃料最終轉(zhuǎn)化成的內(nèi)能是 6.9×104J
D．每 1s 消耗的燃料最終轉(zhuǎn)化成的內(nèi)能是 7.0×104J
【真題 3】（2022·福建·高考真題）2021 年美國“星鏈”衛(wèi)星曾近距離接近我國運(yùn)行在距地390km近圓
軌道上的天宮空間站。為避免發(fā)生危險(xiǎn)，天宮空間站實(shí)施了發(fā)動機(jī)點(diǎn)火變軌的緊急避碰措施。已知

質(zhì)量為 m 的物體從距地心 r 處運(yùn)動到無窮遠(yuǎn)處克服地球引力所做的功為 ，式中 M 為地球質(zhì)量，
G 為引力常量；現(xiàn)將空間站的質(zhì)量記為 0，變軌前后穩(wěn)定運(yùn)行的軌道半徑分別記為 1、 2，如圖所
示。空間站緊急避碰過程發(fā)動機(jī)做的功至少為（　　）
A 1．2
1 1 1 1
0 B． 1 02 1 2
C 3．2
1
0 1 D．2 1 1 01 2 1 2
【真題 4】（2021·全國·高考真題）如圖，一傾角為 的光滑斜面上有 50 個減速帶（圖中未完全畫
出），相鄰減速帶間的距離均為 d，減速帶的寬度遠(yuǎn)小于 d；一質(zhì)量為 m 的無動力小車（可視為質(zhì)點(diǎn)）
從距第一個減速帶 L 處由靜止釋放。已知小車通過減速帶損失的機(jī)械能與到達(dá)減速帶時的速度有關(guān)。
觀察發(fā)現(xiàn)，小車通過第 30 個減速帶后，在相鄰減速帶間的平均速度均相同。小車通過第 50 個減速
帶后立刻進(jìn)入與斜面光滑連接的水平地面，繼續(xù)滑行距離 s 后停下。已知小車與地面間的動摩擦因
數(shù)為 ，重力加速度大小為 g。
（1）求小車通過第 30 個減速帶后，經(jīng)過每一個減速帶時損失的機(jī)械能；
（2）求小車通過前 30 個減速帶的過程中在每一個減速帶上平均損失的機(jī)械能；
（3）若小車在前 30 個減速帶上平均每一個損失的機(jī)械能大于之后每一個減速帶上損失的機(jī)械能，
則 L 應(yīng)滿足什么條件？
【真題 5】（2021·江蘇·高考真題）如圖所示的離心裝置中，光滑水平輕桿固定在豎直轉(zhuǎn)軸的 O 點(diǎn)，
小圓環(huán) A 和輕質(zhì)彈簧套在輕桿上，長為2 的細(xì)線和彈簧兩端分別固定于 O 和 A，質(zhì)量為 m 的小球 B
固定在細(xì)線的中點(diǎn)，裝置靜止時，細(xì)線與豎直方向的夾角為37°，現(xiàn)將裝置由靜止緩慢加速轉(zhuǎn)動，當(dāng)
細(xì)線與豎直方向的夾角增大到53°時，A、B 間細(xì)線的拉力恰好減小到零，彈簧彈力與靜止時大小相
等、方向相反，重力加速度為 g，取sin37° = 0.6，cos37° = 0.8，求：
（1）裝置靜止時，彈簧彈力的大小 F；
（2）環(huán) A 的質(zhì)量 M；
（3）上述過程中裝置對 A、B 所做的總功 W。
一、單選題
1．（2024·廣東惠州·二模）2023 年 10 月 3 日，在杭州亞運(yùn)會蹦床項(xiàng)目女子決賽中，中國選手朱雪瑩
奪冠，圖為朱雪瑩在東京奧運(yùn)會上決賽時騰空后下落的照片，朱雪瑩從剛接觸床面到運(yùn)動至最低點(diǎn)
的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．朱雪瑩剛接觸床面時速度最大
B．朱雪瑩在該過程中始終處于失重狀態(tài)
C．在該過程中朱雪瑩的動能減少量等于彈性勢能的增加量
D．在該過程中蹦床對朱雪瑩一直做負(fù)功
2 ．物體以動能為 開始豎直向上運(yùn)動，回到出發(fā)點(diǎn)時，動能為2。取出發(fā)點(diǎn)位置的重力勢能為零，
整個運(yùn)動過程可認(rèn)為空氣阻力大小恒定，則該物體上升階段動能與重力勢能相等時，其動能為（　　）
A 3 3 ．10 B． 7 C
4 4
． 7 D． 9
3．（2024·陜西寶雞·二模）如圖所示為某緩沖裝置模型，輕質(zhì)彈簧與輕桿相連，輕桿可在固定的槽
內(nèi)沿水平方向左右移動，輕桿與槽間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。現(xiàn)小車以水平速度 0撞擊彈
簧，輕桿恰好向右移動距離 l，不計(jì)小車與地面間的摩擦，則（　　）
A．輕桿移動距離 l 的過程中先做勻加速再做勻減速運(yùn)動
B．彈簧被壓縮最短時，輕桿的速度達(dá)到最大
C．根據(jù)小車運(yùn)動的對稱性可知，小車以 0的速率被彈簧彈回
D．彈簧的彈性勢能最大時，輕桿向右加速的加速度達(dá)到最大
4．（2024·甘肅白銀·三模）2024 年 1 月 17 日晚，天舟七號貨運(yùn)飛船成功發(fā)射，揭開了 2024 年中國
載人航天工程發(fā)射任務(wù)的序幕。設(shè)天舟七號做勻速圓周運(yùn)動的軌道離地球表面的高度為 h，天舟七
號的質(zhì)量為 0。地球表面的重力加速度為 g，地球半徑為 R。若取無限遠(yuǎn)處為地球引力勢能的零點(diǎn)，

則引力勢能可表示為 p = ，其中 G 為萬有引力常量，M 為地球質(zhì)量，r 為物體到地心的距離，
m 為物體的質(zhì)量。下列關(guān)于天舟七號的表述，正確的是（　　）
2A．角速度大小為

3
B 1 ( )．周期為2 2
C．線速度大小為 ( + )
D
2
．機(jī)械能為 2( )
5．（2024·北京昌平·二模）將某物體沿與水平方向成一定角度斜向上拋出，經(jīng)過一段時間，物體落
回與拋出點(diǎn)等高處。在忽略空氣阻力情況下，其運(yùn)動軌跡如圖中虛線所示，在考慮空氣阻力情況下，
其運(yùn)動軌跡如圖中實(shí)線所示．在考慮空氣阻力的情況下，（　　）
A．上升的時間一定小于下降的時間
B．在最高點(diǎn)時的加速度等于重力加速度
C．落回拋出點(diǎn)時的動能等于拋出時的動能
D．上升階段損失的機(jī)械能等于下降階段損失的機(jī)械能
6．某地區(qū)常年有風(fēng)，風(fēng)速基本保持在 4m/s，該地區(qū)有一風(fēng)力發(fā)電機(jī)，其葉片轉(zhuǎn)動可形成半徑為 10m
的圓面，若保持風(fēng)垂直吹向葉片，空氣密度為 1.3kg/m3，風(fēng)的動能轉(zhuǎn)化為電能的效率為 20%.現(xiàn)用這
臺風(fēng)力發(fā)電機(jī)給一水泵供電，使水泵從地下 10m 深處抽水，水泵能將水抽到地面并以 2m/s 的速度
射出，出水口的橫截面積為 0.1m2，水的密度為 1×103kg/m3，水泵及電機(jī)組成的抽水系統(tǒng)效率為
80%，則下列說法正確的是（ ）
A．該風(fēng)力發(fā)電機(jī)的發(fā)電功率約為 12.8kW
B．每秒鐘水流機(jī)械能增加 400J
C．風(fēng)力發(fā)電機(jī)一天的發(fā)電量可供該水泵正常工作約 3h
D．若風(fēng)速變?yōu)?8m/s，則該風(fēng)力發(fā)電機(jī)的發(fā)電功率變?yōu)樵瓉淼?4 倍
7．（2024·浙江金華·三模）一種配有小型風(fēng)力發(fā)電機(jī)和光電池的新型路燈功率為 120W，風(fēng)力發(fā)電機(jī)
的風(fēng)能轉(zhuǎn)化率為 1 = 4%，工作原理如圖所示，內(nèi)部的線圈面積為 = 0.2m21 、匝數(shù) = 200匝，磁
體的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 = 0.1T，風(fēng)葉的半徑為 = 1m，空氣的密度為 = 1.3kg/m3。太陽垂直照射的
單位面積功率為 1kW，光電池板被太陽光直射的等效面積為 2 = 1m2，光能轉(zhuǎn)化率為 2 = 20%。如
果在一個風(fēng)速穩(wěn)定的晴天，經(jīng) 3 小時的光照和風(fēng)吹，路燈可正常工作 7 小時，測得風(fēng)力發(fā)電機(jī)輸出
的電流強(qiáng)度大小為 1A。下列對風(fēng)速和風(fēng)葉轉(zhuǎn)速估算合理的是（ ）
A．10m s，4.6r s B．10m s，2.3r s C．20m s，4.6r s D．20m s，2.3r s
8．如圖所示，質(zhì)量分別為 m、2m 小物塊 A 和小物塊 B 在豎直方向上通過勁度系數(shù)為 k 的輕質(zhì)彈簧
相連，開始時 A、B 均靜止，現(xiàn)給 B 施加一豎直向下的恒力，使 B 向下運(yùn)動，當(dāng)速度為零時，立即
1
撤去恒力，一段時間后小物塊 A 恰好能離開地面。已知彈簧的彈性勢能可表示為 2p = 2 ，k 為彈
簧的勁度系數(shù)，x 為彈簧的形變量，重力加速度為 g，則恒力所做的功為（　　）
9 2 2 7 2 2A． 2 B． 2
C 5
2 2 2 2
． 2 D
9
． 4
二、多選題
9．（2020·重慶璧山·三模）一輛小車以一定的初速度沖上高度為 h、長度為 L 的斜坡，已知小車的質(zhì)
量為 m，小車受到沿斜面向下的阻力為 f，則對小車由坡底沖到坡頂?shù)倪\(yùn)動過程分析正確的是（　　）
A．此過程中小車的動能減少了(mgh+fL)
B．此過程中小車的勢能增加了(mgh－fL)
C．此過程中自然界中的能量減少了 fL 了
D．此過程中小車的機(jī)械能減少 fL
10．（2023·廣西南寧·二模）如圖所示，現(xiàn)將一長為 L、質(zhì)量為 m 且分布均勻的金屬鏈條通過裝有傳
送帶的斜面輸送到高處。斜面與傳送帶靠在一起連成一直線，與水平方向夾角為 ，斜面光滑，鏈條
與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)為常數(shù)。傳送帶以較大的恒定速率順時針轉(zhuǎn)動。已知鏈條處在斜面或者
傳送帶上任意位置時，支持力都均勻作用在接觸面上。將鏈條放在傳送帶和斜面上，當(dāng)位于傳送帶

部分的長度 = 4時，鏈條恰能保持靜止。現(xiàn)將鏈條從位于傳送帶部分的長度 = 3的位置由靜止釋放，
假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則下列說法正確的是（ ）
A sin ．釋放瞬間鏈條的加速度為 3
B = tan ．鏈條與傳送帶之間的動摩擦因數(shù) 4
C ．鏈條始終在滑動摩擦力的作用下，從 = 2的位置靜止釋放，到完全進(jìn)入傳送帶的瞬間，速
度大小 = 2 sin
D．若鏈條的機(jī)械能增加量為Δ ，傳送帶消耗的電能為 耗，不計(jì)電路中產(chǎn)生的電熱，Δ 等于
耗
11．（2024·湖南長沙·一模）如圖所示，傾角為 = 30°的足夠長的光滑斜面體固定在水平地面上，底
端附近垂直斜面固定一擋板，小物塊甲、乙用輕彈簧拴接后置于斜面上，甲的質(zhì)量為 m。初始靜止
時，彈簧壓縮量為 d。某時刻在甲上施加一沿斜面向上的恒力 = ，當(dāng)彈簧第一次恢復(fù)原長時將
1
恒力撤去，甲到最高點(diǎn)時乙剛要離開擋板。已知彈簧的彈性勢能為 2p = 2 ， 為勁度系數(shù)，x 為形
變量，重力加速度為 g，彈簧始終在彈性限度以內(nèi)。則（ ）
A 1．甲的最大速度為
2
B．甲運(yùn)動到最低點(diǎn)時的加速大小為 g
C．小物塊乙的質(zhì)量為 2m
D 9．彈簧的最大彈性勢能為4
12．（2024·河北滄州·三模）如圖甲所示，斜面體固定在水平地面上，在斜面底端固定一擋板與斜面
垂直，質(zhì)量為 m 的小物塊從斜面的頂端滑下，在下滑的過程中，其機(jī)械能與重力勢能隨位移的變化
圖像如圖乙所示，已知斜面長為 l，物塊與擋板碰撞為彈性碰撞，已知物體與斜面間的最大靜摩擦力
等于滑動摩擦力，則下列說法正確的是（ ）
A．在整個運(yùn)動過程中，物塊克服摩擦產(chǎn)生的熱量為4 0。
B ．物塊下滑的時間為
2 0
C 4．滑塊運(yùn)動的總路程為3
3 0
D．斜面的動摩擦因數(shù)為 2 2 2 9 20
13．（2024·安徽淮南·二模）如圖所示，足夠長的水平軌道 與豎直光滑半圓形軌道 在 點(diǎn)平滑
連接，半圓形軌道的圓心為 ，且 1 ∥ , ⊥ 。重力 = 4N可視為質(zhì)點(diǎn)的小滑塊靜置于
上的 點(diǎn)，某時刻滑塊在一水平向右的 = 3.0N恒力作用下開始向右運(yùn)動，滑塊在 內(nèi)運(yùn)動時剛好
不脫離半圓形軌道并能沿軌道返回 面，sin37° = 0.6,cos37° = 0.8。下列說法正確的是（　　）
A．滑塊運(yùn)動至 1后開始返回
B．滑塊運(yùn)動至 1點(diǎn)時其機(jī)械能最大
C．滑塊運(yùn)動到 點(diǎn)時對半圓形軌道的壓力最大
D．滑塊運(yùn)動 點(diǎn)時的速度大于運(yùn)動到 1點(diǎn)時的速度
三、解答題
14．（2024·福建漳州·三模）如圖為某探究活動小組設(shè)計(jì)的節(jié)能運(yùn)輸系統(tǒng)。木箱在傾角為 30°的斜面
軌道頂端時，自動裝貨裝置將質(zhì)量為 m 的貨物裝入木箱，然后木箱載著貨物沿軌道無初速度滑下
（貨物與木箱之間無相對滑動），當(dāng)斜面底端的輕彈簧被壓縮至最短時，自動卸貨裝置立刻將貨物卸
下，然后木箱恰好被彈回到軌道頂端。已知木箱下滑的最大距離為 L，木箱與軌道間的動摩擦因數(shù)
3
為 ，重力加速度為 g。
4
（1）求貨物從頂端到彈簧被壓縮到最短的過程中，重力所做的功 W；
（2）求木箱的質(zhì)量 M；
（3）若木箱下滑過程中速度最大時彈簧的形變量為 1，上滑過程中速度最大時彈簧的形變量為 2，
1
求兩次形變量之比 。2
15．（2021·上海靜安·二模）如圖，足夠長的固定斜面 AB 和 BC 的底部 B 處平滑連接，兩斜面與水
平方向的夾角均為 53°，AB 光滑，BC 粗糙。質(zhì)量 m=2 kg 的小物塊從 AB 斜面高為 h=1.25m 的 P 處
1
由靜止釋放。已知小物塊與 BC 斜面間的動摩擦因數(shù)為 μ=3，取 sin53°=0.8，cos53°=0.6，g=10 m/s
2。
（1）求小物塊從 P 處釋放到達(dá) B 處的速度的大小 vB；
（2）求小物塊沿斜面 BC 上滑的最大距離 L 及此過程中損失的機(jī)械能 ΔE 機(jī)；
（3）請分析說明小物塊最終靜止在何處。
16．如圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的貨物從 A 點(diǎn)由靜止沿斜面滑下，最終停在水平面上的 C 點(diǎn)，斜面與水
平面在 B 點(diǎn)平滑連接。已知 A 點(diǎn)距水平面的高度為 8m，斜面 AB 長為 10m，水平面上 B、C 的間距
為 8m，貨物從 A 點(diǎn)運(yùn)動到 C 點(diǎn)所花費(fèi)的時間為3.6s，重力加速度 = 10m/s2。
（1）求貨物與斜面間的動摩擦因數(shù) 1和貨物與水平地面間的動摩擦因數(shù) 2；
（2）若斜面可伸縮，A 點(diǎn)與水平面的高度差降至7.5m，但 A、C 兩點(diǎn)間的水平距離不變，仍使貨物
最終停在 C 點(diǎn)，求需將 B 點(diǎn)向右移動的距離。第 20 講　功能關(guān)系及能量守恒定律
——劃重點(diǎn)之精細(xì)講義系列
考點(diǎn) 1 功能關(guān)系的理解及應(yīng)用
考點(diǎn) 2 關(guān)于摩擦力、相互作用力、平衡力的功
考點(diǎn) 3 能量守恒定律的理解及應(yīng)用
考點(diǎn) 1：功能關(guān)系的理解及應(yīng)用
一．功能關(guān)系
1．內(nèi)容
(1)功是能量轉(zhuǎn)化的量度，即做了多少功就有多少能量發(fā)生了轉(zhuǎn)化．
(2)做功的過程一定伴隨著能量的轉(zhuǎn)化，而且能量的轉(zhuǎn)化必須通過做功來實(shí)現(xiàn)．
2．做功對應(yīng)變化的能量形式
(1)合外力的功影響物體的動能的變化．
(2)重力的功影響物體重力勢能的變化．
(3)彈簧彈力的功影響彈性勢能的變化．
(4)除重力或系統(tǒng)內(nèi)彈力以外的力做功影響物體機(jī)械能的變化．
(5)滑動摩擦力的功影響系統(tǒng)內(nèi)能的變化．
(6)電場力的功影響電勢能的變化．
(7)分子力的功影響分子勢能的變化．
二．能量守恒定律
1．內(nèi)容
能量既不會憑空產(chǎn)生，也不會憑空消失，它只能從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，或者從一個物
體轉(zhuǎn)移到另一個物體，在轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移的過程中，能量的總量保持不變．
2．適用范圍
能量守恒定律是貫穿物理學(xué)的基本規(guī)律，是各種自然現(xiàn)象中普遍適應(yīng)的一條規(guī)律．
3．表達(dá)式
(1)E 初＝E 末，初狀態(tài)各種能量的總和等于末狀態(tài)各種能量的總和．
(2)ΔE 增＝ΔE 減，增加的那些能量的增加量等于減少的那些能量的減少量．
4.幾種常見的功能關(guān)系及其表達(dá)式
各種力做功 對應(yīng)能的變化 定量的關(guān)系
W 合：合外力的功（所有 動能的改變量 合力對物體做功等于物體動能的增量 W 合＝ΔEk＝
外力的功） （ΔEk） Ek2－Ek1
重力勢能的改變 重力做正功，重力勢能減少，重力做負(fù)功，重力勢
WG：重力的功
量（ΔEp） 能增加，且 WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
彈性勢能的改變 彈力做正功，彈性勢能減少，彈力做負(fù)功，彈性勢
W 彈：彈簧彈力做的功
量（ΔEp） 能增加，且 W 彈＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
只有重力、彈簧彈力的 不引起機(jī)
機(jī)械能守恒 ΔE＝0
功 械能變化
W 其他：除重力或系統(tǒng)內(nèi)
機(jī)械能的改變量 除重力和彈力之外的其他力做正功，物體的機(jī)械能
彈簧彈力以外的其他外
（ΔE） 增加，做負(fù)功，機(jī)械能減少，且 W 其他＝ΔE
力做的功
Ff·Δx：一對滑動摩擦力 因摩擦而產(chǎn)生的 滑動摩擦力做功引起系統(tǒng)內(nèi)能增加ΔE 內(nèi)＝Ff Δx（Δx
做功的代數(shù)和 內(nèi)能（Q） 為物體間的相對位移）
1.功能關(guān)系的理解和應(yīng)用原則
（1）牢記三條功能關(guān)系
①重力做的功等于重力勢能的變化，彈力做的功等于彈性勢能的變化。
②合外力做的功等于動能的變化。
③除重力、彈力外，其他力做的功等于機(jī)械能的變化。
（2）功能關(guān)系的選用原則
①在應(yīng)用功能關(guān)系解決具體問題的過程中，若只涉及動能的變化用動能定理分析。
②只涉及重力勢能的變化用重力做功與重力勢能變化的關(guān)系分析。
③只涉及機(jī)械能變化用除重力和彈力之外的力做功與機(jī)械能變化的關(guān)系分析。
④只涉及電勢能的變化用電場力做功與電勢能變化的關(guān)系分析。
【考向 1】（多選）如圖所示，一小物塊由靜止開始沿傾角為53°的斜面向下滑動，最后停在水平地
2
面上。斜面和地面平滑連接，且物塊與斜面、物塊與地面間的動摩擦因數(shù)均為3，取地面為零勢能面，
已知sin53° = 0.8,cos53° = 0.6。該過程中，物塊的機(jī)械能 E、重力勢能 p、動能 k、摩擦產(chǎn)生的熱
量 Q 與水平位移 x 的關(guān)系圖像可能正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【詳解】AD．設(shè) O 點(diǎn)到斜面底端的距離為 0，物塊釋放點(diǎn)的高度為 ，物塊從釋放到停止運(yùn)動的過
程中，克服摩擦力做功

克 = cos53
0
cos53 + 1
可得
克 = 0 + 1 =
根據(jù)能量守恒可知
= 克 =
而物塊在該過程中機(jī)械能的減少量始終等于克服摩擦力所做的功，則物塊在 軸上任意位置的機(jī)械能
為
2
= 3
其 2 2圖像為縱軸截距為 ，斜率為 3 的傾斜直線，而其 圖像為過原點(diǎn)，斜率為3 的傾
斜直線，故 A 錯誤，D 正確；
B．物塊的重力勢能
= tan53
4 3
p = 3 ( ≤ 0 = 4 )
可知物塊 p 圖像為縱軸截距
4
，斜率為 3 的圖線，當(dāng) > 0時，重力勢能為 0 保持不變，
故 B 正確；
C．當(dāng)物塊從最高點(diǎn)下滑至斜面最低點(diǎn)的過程中，物塊的動能
2 k1 = tan53 cos53 cos53 = 3 ( ≤ 0)
當(dāng)物塊下滑至斜面底端時其動能
2
k1 = 3 0
此后在水平面上克服摩擦力做功，則有
2 2 2
k2 = 3 0 = 3 0 3 ( 0 ≤ ≤ 2 0)
2
可知，動能達(dá)到最大值前，其圖像為過原點(diǎn)的傾斜直線，斜率為3 ，動能達(dá)到最大后在水平面上
2
運(yùn)動，其圖線的斜率為 3 ，可知圖線具有對稱性，故 C 錯誤。
故選 BD。
【考向 2】（多選）如圖甲所示，光滑水平面與半徑為 R 的光滑豎直半圓軌道平滑銜接，在 A 點(diǎn)（距
離 B 點(diǎn)足夠遠(yuǎn)）固定一輕質(zhì)彈簧，彈簧壓縮儲存了彈性勢能可以發(fā)射質(zhì)量為 m 的小滑塊，已知重力
加速度 g，則下列說法正確的（　　）
A．若彈簧彈性勢能為 mgR，則小球恰能到達(dá) C 點(diǎn)
B．若彈簧彈性勢能為 2mgR，則小球恰能到達(dá) D 點(diǎn)
C．若彈性勢能為 3mgR，則小球通過 B 點(diǎn)時對軌道的壓力為 6mg
D．若彈性勢能為 2.5mgR，則小球通過 D 點(diǎn)后落在水平面上距 B 點(diǎn)為 2R
【答案】AD
【詳解】A．根據(jù)能量守恒，小球由 A 到 C，有
1
= + 22
解得
= 0
可知小球恰能到達(dá) C 點(diǎn)。故 A 正確；
B．同理，小球由 A 到 D，有
1
2 = 2 + 22
解得
= 0
小球能到達(dá) D 點(diǎn)的最小速度滿足
2
= min
解得
min =
可知
< min
則小球不能到達(dá) D 點(diǎn)。故 B 錯誤；
C．依題意，小球由 A 到 B，有
1
3 = 2
2

在 B 點(diǎn)，由牛頓第二定律可知
2
N =
聯(lián)立，可得
N = 7
根據(jù)牛頓第三定律可知小球通過 B 點(diǎn)時對軌道的壓力為 7mg。故 C 錯誤；
D．小球由 A 到 D，有
1
2.5 = 2 + 22
解得
=
小球經(jīng)過 D 點(diǎn)后做平拋運(yùn)動，有
1
2 = 2
2， =
解得
= 2
故 D 正確。
故選 AD。
【考向 3】（多選）如圖所示，在傾角為 θ 的固定光滑斜面上有兩個用輕彈簧相連接的物塊 A、
B，它 們的質(zhì)量分別為 m1、 m2，彈簧勁度系數(shù)為 k， C 為一固定擋板，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)． 現(xiàn)
用 一平行于斜面向上的恒力 F 拉物塊 A 使之沿斜面向上運(yùn)動，當(dāng)物塊 B 剛要離開擋板 C 時，
物塊 A 運(yùn)動的距離為 d，速度為 v．則此時（）
A．拉力做功的瞬時功率為 Fvsin θ
B．物塊 B 滿足 m2gsin θ＝kd
C － ．物塊 A 的加速度為 1
D．彈簧彈性勢能的增加量為 Fd－m1gdsin θ
1
－ 22m1v
【答案】CD
【詳解】A．拉力的瞬時功率 P=Fv，故 A 錯誤；
B．開始系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧彈力等于 A 的重力沿斜面下的分力，當(dāng) B 剛離開 C 時，彈簧的彈
力等于 B 的重力沿斜面下的分力，故 m2gsinθ=kx2，但由于開始是彈簧是壓縮的，故 d＞x2，故 m2gsinθ
＜kd，故 B 錯誤；
C．當(dāng) B 剛離開 C 時，對 A，根據(jù)牛頓第二定律得：F-m1gsinθ-kx2=m1a1，又開始時，A 平衡，則有：
m1gsinθ=kx
－
1，而 d=x1+x2，解得：物塊 A 加速度為 a1= ，故 C 正確；1
D．根據(jù)功能關(guān)系，彈簧彈性勢能的增加量等于拉力的功減去系統(tǒng)動能和重力勢能的增加量，即為：
Fd m gdsinθ 1m v21 2 1 ，故 D 正確；
故選 CD。
【考向 4】（多選）（2024·湖南岳陽·一模）如圖所示，輕質(zhì)彈簧一端固定在水平面上的光滑轉(zhuǎn)軸 O
上，另一端與套在粗糙固定直桿 N 處質(zhì)量為 0.2kg 的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）相連。直桿與水平面的夾
角為 30°，N 點(diǎn)距水平面的高度為 0.4m，NP=PM，ON=OM，OP 等于彈簧原長。小球從 N 處由靜止
開始下滑，經(jīng)過 P 處的速度為 2m/s，并恰能停止在 M 處。已知重力加速度取 10m/s2，小球與直桿
3
的動摩擦因數(shù)為 ，則下列說法正確的是（　　）
5
A．小球通過 P 點(diǎn)時的加速度大小為 3m/s2
B．彈簧具有的最大彈性勢能為 0.5J
C．小球通過 NP 段與 PM 段摩擦力做功相等
D．N 到 P 過程中，球和彈簧組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能為 0.4J
【答案】CD
【詳解】A．因在 P 點(diǎn)時彈簧在原長，則到達(dá) P 點(diǎn)時的加速度為
= sin30° cos30° = 2m/s2
故 A 錯誤；
C．因 NP 段與 PM 段關(guān)于 P 點(diǎn)對稱，則在兩段上彈力的平均值相等，則摩擦力平均值相等，摩擦力
做功相等，故 C 正確；
B．設(shè)小球從 N 運(yùn)動到 P 的過程克服摩擦力做功為 Wf，彈簧具有的最大彈性勢能為 Ep，根據(jù)能量守
恒定律得，對于小球 N 到 P 的過程有
× + = 1 22 p 2 + fN 到 M 的過程有
= 2 f
得
1 1
p = 2
2 = 2 × 0.2 × 2
2J=0.4J
故 B 錯誤；
D．N 到 P 過程中，球和彈簧組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能

Δ = f = 2 = 0.4J
故 D 正確。
故選 CD。
【考向 5】（多選）（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）如圖所示，一固定在水平面上的光滑木板，與水平面的
夾角 = 30° 16 ，木板的底端固定一垂直木板的擋板，上端固定一定滑輪 O。勁度系數(shù)為 = 5 的輕
彈簧下端固定在擋板上，上端與質(zhì)量為 2m 的物塊 Q 連接。跨過定滑輪 O 的不可伸長的輕繩一端與
物塊 Q 連接，另一端與套在水平固定的光滑直桿上質(zhì)量為 m 的物塊 P 連接。初始時物塊 P 在水平外
力 F 作用下靜止在直桿的 A 點(diǎn)，且恰好與直桿沒有相互作用，輕繩與水平直桿的夾角 = 37°。去掉
水平外力 F，物塊 P 由靜止運(yùn)動到 B 點(diǎn)時輕繩與直桿間的夾角 = 53°。已知滑輪到水平直桿的垂直
距離為 d，重力加速度大小為 g，彈簧軸線、物塊 Q 與定滑輪之間的輕繩共線且與木板平行，不計(jì)
滑輪大小及摩擦。sin37° = 0.6，cos37° = 0.8，sin53° = 0.8，cos53° = 0.6。則下列說法正確的是
（　　）
A．物塊 P 向左運(yùn)動的過程中其機(jī)械能先增大后減小
B．物塊 P 從 A 點(diǎn)運(yùn)動到 B 點(diǎn)時，物塊 Q 的重力勢能減少量小于 P、Q 兩物塊總動能的增加量
C P A 5．物塊 在 點(diǎn)時彈簧的伸長量為24
D 125 ．物塊 P 從 A 點(diǎn)運(yùn)動到 B 點(diǎn)的過程中，輕繩拉力對物塊 P 做的功為 516
【答案】CD
【詳解】A．由于輕繩只能提供拉力，其對于物塊 P 來說在從 A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)過程中輕繩拉力的方向與
其運(yùn)動方向成銳角，即輕繩拉力對其做正功。而由于水平光滑直桿，所以物塊 P 在該過程只有輕繩
拉力做功，即物塊 P 在該過程中機(jī)械能一直增加，故 A 項(xiàng)錯誤；
C．對物塊 P 在 A 點(diǎn)時進(jìn)行受力分析，其恰好與直桿沒有相互作用，所以繩子拉力在豎直方向的分
力與重力大小相等，方向相反，即
sin =
所以繩子的拉力為
5
= 3
對物塊 Q 進(jìn)行受力分析，在沿斜面方向上有
= 2 sin + 彈
解得
2
彈 = 3
設(shè)彈簧拉伸的長度為 x，由胡克定律有
彈 =
解得
5
= 24
故 C 項(xiàng)正確；
B．物塊 P 到 B 點(diǎn)時，由幾何可得物塊 Q 沿斜面向下滑了
5
= sin sin = 12
所以此時彈簧的壓縮量為
5 5 5
′ = 12 24 = 24
即此時彈簧的壓縮量與初始時彈簧的拉伸量相同，也就是說此時彈簧的彈性勢能與初始時彈簧的彈
性勢能相同。物塊 P 從 A 點(diǎn)運(yùn)動到 B 點(diǎn)的過程中，彈簧的彈力做功為零，所以由能量守恒可知，物
塊 Q 重力勢能減少量之和等于物塊 P 和 Q 兩物塊的動能的增加量，故 B 項(xiàng)錯誤；
D．物塊 P 運(yùn)動到 B 點(diǎn)時，P 和 Q 速度滿足
3
Q = Pcos = 5 P
物塊 P 從 A 點(diǎn)運(yùn)動到 B 的過程中，由能量守恒有
5 1 1
2 2 212 sin = 2 P + 2 ·2 Q
對物塊 P 由動能定理有
1
= 22 P
解得
125
= 516
故 D 項(xiàng)正確。
故選 CD。
考點(diǎn) 2：關(guān)于摩擦力、相互作用力、平衡力的功
1．靜摩擦力做功的特點(diǎn)
(1)靜摩擦力可以做正功，也可以做負(fù)功，還可以不做功．
(2)相互作用的一對靜摩擦力做功的代數(shù)和總等于零．
(3)靜摩擦力做功時，只有機(jī)械能的相互轉(zhuǎn)移，不會轉(zhuǎn)化為內(nèi)能．
2．滑動摩擦力做功的特點(diǎn)
(1)滑動摩擦力可以做正功，也可以做負(fù)功，還可以不做功．
(2)相互間存在滑動摩擦力的系統(tǒng)內(nèi)，一對滑動摩擦力做功將產(chǎn)生兩種可能效果：
①機(jī)械能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；
②有一部分機(jī)械能在相互摩擦的物體間轉(zhuǎn)移，另外一部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)能．
(3)摩擦生熱的計(jì)算：Q＝Ff x 相對．其中 x 相對為相互摩擦的兩個物體間的相對位移．
類別
靜摩擦力 滑動摩擦力
比較
只有能量的轉(zhuǎn)移，而沒有能量的轉(zhuǎn)
能量的轉(zhuǎn)化 既有能量的轉(zhuǎn)移，又有能量的轉(zhuǎn)化
化
不
同 一對滑動摩擦力所做功的代數(shù)和
一對摩擦 一對靜摩擦力所做功的代數(shù)總和
點(diǎn) 不為零，總功 W＝－F ·l ，即摩
力的總功 等于零 f 相對
擦?xí)r產(chǎn)生的熱量
相
同 做功的正、負(fù) 兩種摩擦力對物體可以做正功、負(fù)功，還可以不做功
點(diǎn)
3.作用力、反作用力做功的特點(diǎn)
①作用力、反作用力作用下的物體的運(yùn)動特點(diǎn)：可能向相反方向運(yùn)動，也可能向相同方向運(yùn)動，
也可能一個運(yùn)動而另一個靜止，還可能兩物體都靜止。
②由 W＝Flcosα 可以判斷，作用力與反作用力的功的特點(diǎn)是：沒有必然關(guān)系，即不一定是一正
一負(fù)，絕對值也不一定相等。即一對作用力和反作用力在同一段時間內(nèi)做的總功可能為正，可能為
負(fù)，也可能為零。
4.一對平衡力做功的特點(diǎn)
一對平衡力作用在同一物體上，若物體靜止，則兩個力都不做功；若物體運(yùn)動，則這一對力所
做的功在數(shù)值上一定相等，一正一負(fù)或均為零。
【考向 6】下列有關(guān)功和功率的說法，正確的是（　　）
A．功率越大，說明力做功越多
B．摩擦力總是與相對運(yùn)動或相對運(yùn)動趨勢方向相反，因此摩擦力只能做負(fù)功
C．作用力和反作用力總是等大反向，因此一對作用力和反作用力做功時總是一正一負(fù)，總和為
零
D．一對平衡力，其中一個力做正功，另外一個力一定做負(fù)功
【答案】D
【詳解】A．功率表示做功快慢，做功越快，功率越大，故 A 錯誤；
B．摩擦力總是與相對運(yùn)動或相對運(yùn)動趨勢方向相反，但可能與物體運(yùn)動方向相同，即摩擦力可能
做正功，可能做負(fù)功，也可能不做功，故 B 錯誤；
C．作用力和反作用力總是等大反向，但一對作用力和反作用力可能都做正功，都做負(fù)功，也可能
一正一負(fù)，也可能作用力做功而反作用力不做功，故 C 錯誤；
D．平衡力總是等大反向作用在一個物體上所以一個做正功另一個力一定做負(fù)功，故 D 正確。
故選 D。
【考向 7】如圖所示，質(zhì)量為 M、長度為 L 的小車靜止在光滑的水平面上，質(zhì)量為 m 的小物塊放在
小車的最左端，現(xiàn)用一水平力 F 作用在小物塊上，小物塊與小車之間的摩擦力為 f，經(jīng)過一段時間
小車運(yùn)動的位移為 x，小物塊剛好滑到小車的右端，則下列說法正確的是（　　）
A．此時小物塊的動能為 ( + )
B．此時小車的動能為 f
C．這一過程中，小物塊和小車增加的機(jī)械能為 f
D．這一過程中，因摩擦而產(chǎn)生的熱量為 f( + )
【答案】B
【詳解】A．對小物塊由動能定理得
( + ) f( + ) = k 物 0
整理有
k 物 = ( + ) f( + )
故 A 項(xiàng)錯誤；
B．對小車由動能定理有
f = k 車 0
整理有
k 車 = f
故 B 項(xiàng)正確；
C．設(shè)水平面為零勢能面，初始時物塊和小車均靜止，其機(jī)械能為 0J，經(jīng)過水平外力后，小車和小
物塊的動能之和為
k = k 車 + k 物 = ( + ) f( + ) + f = ( + ) f
此時物塊和小車的機(jī)械能等于其兩者的動能之和，所以該過程機(jī)械能增加了 ( + ) f ，故 C 項(xiàng)
錯誤；
D．根據(jù)功能關(guān)系可知，其摩擦產(chǎn)生的熱等于其摩擦力與相對位移的乘積，即
= f
故 D 項(xiàng)錯誤。
故選 B。
【考向 8】（多選）電動機(jī)帶動足夠長的水平傳送帶以速度 v 勻速傳動，一質(zhì)量為 m 的小木塊由靜止
輕放在傳送帶上，如圖所示。若小木塊與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)為 ，重力加速度為 g，當(dāng)小木塊
與傳送帶相對靜止時（　　）
2
A ．傳送帶轉(zhuǎn)過的路程為
2
B ．小木塊的位移為
C．摩擦產(chǎn)生的熱量為 mv2
D．因放上小木塊后，電動機(jī)帶動傳送帶勻速轉(zhuǎn)動多輸出的總能量為 mv2
【答案】AD
【詳解】AB．當(dāng)小木塊與傳送帶相對靜止時所用時間為

= =
傳送帶轉(zhuǎn)過的路程為
2
= =
小木塊的位移為
2
= 2 = 2
選項(xiàng) A 正確，B 錯誤；
C．摩擦產(chǎn)生的熱量為
1
= ( ) = 2
2
選項(xiàng) C 錯誤；
D．因放上小木塊后，電動機(jī)帶動傳送帶勻速轉(zhuǎn)動多輸出的總能量為
1
= + 2
2 = 2
選項(xiàng) D 正確。
故選 AD。
【考向 9】如圖所示，一彈射游戲裝置由安裝在水平臺面上的固定彈射器、水平面 AB 和豎直半圓形
軌道 BC 組成，各部分平滑連接。已知半圓形軌道的半徑 = 0.4m，除半圓形軌道 BC 外其余接觸面
均光滑。某次游戲中用力將一質(zhì)量 = 0.1kg的滑塊壓縮輕質(zhì)彈簧（滑塊與彈簧不拴接），此時彈簧
的彈性勢能 p0 = 1.6J，然后由靜止釋放滑塊，滑塊從彈射器 A 點(diǎn)彈出后，恰能通過半圓形軌道的最
高點(diǎn) C，取重力加速度大小 = 10m/s2，滑塊可視為質(zhì)點(diǎn)，忽略空氣阻力。求：
（1）滑塊通過 B 點(diǎn)時對半圓形軌道的壓力大小；
（2）滑塊從 B 點(diǎn)運(yùn)動到 C 點(diǎn)的過程中，克服摩擦力做了多少功？
【答案】（1）9N；（2）0.6J
【詳解】（1）滑塊運(yùn)動到 B 點(diǎn)的過程，由能量守恒有
1
p0 = 2
2

滑塊經(jīng)過 B 點(diǎn)，由牛頓第二定律有
2
N =
解得
N = 9N
由牛頓第三定律得，滑塊通過 B 點(diǎn)時對半圓形軌道的壓力
′N = N= 9N
（2）滑塊恰好能過 C 點(diǎn)，則
2
=
解得
= = 2m/s
滑塊從 B 點(diǎn)運(yùn)動到 C 點(diǎn)的過程中，由動能定理有
1 1
2 f = 2
2
2
2

解得
f = 0.6J
【考向 10】如圖所示，一質(zhì)量 = 2kg、長 = 4m的木板 B 靜止于光滑的水平面上，距離 B 的右端
= 6m處有一固定豎直擋板； = 0時刻，一個質(zhì)量 = 1kg的小物塊 A 以初速度 0 = 3m/s從 B 的
左端水平滑上 B， = 4s時，對物塊 A 施加一水平向右的恒力 = 2N。設(shè)物塊 A 可視為質(zhì)點(diǎn)，A、B
間的動摩擦因數(shù) = 0.4，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，B 與豎直擋板碰撞時間極短且碰撞過程中
無機(jī)械能損失，g 取10m/s2，求：
（1）0 4s內(nèi)，木板 B 的運(yùn)動位移；
（2）從 B 開始運(yùn)動到與豎直擋板第一次碰撞前的過程中，摩擦力對 B 所做的功；
（3）B與豎直擋板第二次碰撞前 A 距離木板 B 右端的距離。
【答案】（1）3.75m；（2）4J；（3）1.25m
【詳解】（1）A 滑上 B 后，A 做勻減速直線運(yùn)動，B 做勻加速直線運(yùn)動；由牛頓第二定律知，對木
塊 A
=
對木板 B
=
設(shè) AB 經(jīng)過時間 1后達(dá)到相等的速度 1，由運(yùn)動學(xué)規(guī)律知
0 1 = 1 = 1
解得
1 = 0.5s
1 = 1m/s
此時 A 運(yùn)動的位移為
+
=
0 1
2 1 = 1m
B 的運(yùn)動位移為

=
1
2 1 = 0.25m
當(dāng) AB 共速后將做勻速直線運(yùn)動，則兩者在0.5s 4s內(nèi)的運(yùn)動位移為
1 = 1 × 3.5m = 3.5m
故在0 4s內(nèi)，木板 B 的運(yùn)動位移為
= + 1 = 3.75m
（2）當(dāng) = 4s時，當(dāng)恒力 F 作用在 A 上，假設(shè) AB 仍保持相對靜止，對整體有
= ( + )
對 B 有
=
解得
3
= 4 N < = = 4N
故在木板 B 與擋板碰撞前，A、B 保持相對靜止，其共同運(yùn)動的加速度為
2
= 3 m/s
2
設(shè)木板 B 第一次與擋板碰撞前，AB 的速度為 2，由運(yùn)動學(xué)規(guī)律知
22 21 = 2 ( )
解得
2 = 2m/s
而從 B 開始運(yùn)動到與豎直擋板第一次碰撞前的過程中，只有摩擦力對 B 做功,由動能定理知
1
= 2
2
2 = 4J
（3）當(dāng) B 與擋板第一次碰撞后，A 向右做勻減速直線運(yùn)動，B 向左做勻減速直線運(yùn)動
對 A 有
= 1
對 B 有
=
解得
1 = = 2m/s2
即 AB 將同時減速到 0，則在此過程中，由運(yùn)動學(xué)公式知
22 = 2 1 1
22 = 2 2
解得
1 = 2 = 1m
在此過程中 A 相對 B 運(yùn)動位移為
Δ 2 = 2m
2
此后 AB 將在恒力 F 作用下以加速度 = 23m/s 向右加速運(yùn)動，在第二次碰撞前 A 與 B 之間不再發(fā)
生相對位移；
由（1）問可知，0 4s內(nèi)，A 相對 B 運(yùn)動位移為
Δ 1 = = 0.75m
故 B 與豎直擋板第二次碰撞前 A 距離木板 B 右端的距離
= Δ 1 Δ 2 = 1.25m
考點(diǎn) 3：能量守恒定律的理解及應(yīng)用
1．對能量守恒定律的兩點(diǎn)理解
(1)某種形式的能量減少，一定存在其他形式的能量增加，且減少量和增加量一定相等；
(2)某個物體的能量減少，一定存在其他物體的能量增加，且減少量和增加量一定相等．
2.能量轉(zhuǎn)化問題的解題思路
（1）當(dāng)涉及摩擦力做功，機(jī)械能不守恒時，一般應(yīng)用能的轉(zhuǎn)化和守恒定律。
（2）解題時，首先確定初末狀態(tài)，然后分析狀態(tài)變化過程中哪種形式的能量減少，哪種形式的
能量增加，求出減少的能量總和 ΔE 減與增加的能量總和 ΔE 增，最后由 ΔE 減＝ΔE 增列式求解。
5.涉及彈簧的能量問題
兩個或兩個以上的物體與彈簧組成的系統(tǒng)相互作用的過程，具有以下特點(diǎn)：
（1）能量轉(zhuǎn)化方面，如果只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈簧彈力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。
（2）如果系統(tǒng)內(nèi)每個物體除彈簧彈力外所受合力為零，則當(dāng)彈簧伸長或壓縮到最大程度時兩
物體速度相同。
（3）當(dāng)水平彈簧為自然狀態(tài)時系統(tǒng)內(nèi)某一端的物體具有最大速度。
【考向 11】如圖所示，質(zhì)量為0.5kg的小球從距地面高為1.5m處由靜止釋放，與正下方固定的長為
0.4m的輕彈簧作用，速度第一次減為零時，距地面高為0.25m，小球第一次反彈至最高點(diǎn)時，距地
面高為1.273m。經(jīng)過多次反彈后，小球最終靜止在彈簧上，此時，小球距地面高為0.39m，彈簧的
彈性勢能為0.025J。若小球始終在豎直方向上運(yùn)動，且受到的空氣阻力大小恒定。（當(dāng)小球速度為零
時空氣阻力為零，重力加速度 = 10m/s2）下列說法正確的是（　　）
A．彈簧的勁度系數(shù)為200N/m
B．小球在運(yùn)動過程中受到的空氣阻力約為0.3N
C．小球在整個運(yùn)動過程中通過的路程約為11.05m
D．小球下落過程中速度最大處距地面高為0.39m
【答案】C
【詳解】A．小球靜止在彈簧上時，根據(jù)平衡條件和胡克定律得
=
解得
5
= = 0.4 0.39 N/m = 500N/m
故 A 錯誤；
D．小球接觸彈簧后，剛開始重力大于彈力，加速度向下，小球繼續(xù)加速，當(dāng)彈力與空氣阻力的合
力等于小球的重力時，速度達(dá)到最大，然后彈力大于重力，小球減速，到最低點(diǎn)，經(jīng)過多次反彈后，
最終小球靜止在彈簧上端時彈力等于重力，則小球距地面高為0.39m處并不是下落過程中速度最大
處，D 錯誤；
B．小球從開始下落到第一次反彈至最高點(diǎn)的過程，由動能定理得
(1.5 1.273) [(1.5 0.250) + (1.273 0.250)] = 0
解得
≈ 0.5N
故 B 錯誤；
C．對小球運(yùn)動的整個過程，由能量守恒定律得
(1.5 0.39) = +
解得
= 11.05m
故 C 正確。
故選 C。
【考向 12】（多選）如圖所示，一個質(zhì)量 = 0.5kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從 = 12m高處，由靜止
開始沿光滑弧形軌道 滑下，接著進(jìn)入半徑 = 4m的豎直圓軌道，當(dāng)?shù)竭_(dá)環(huán)頂 C 時，剛好對軌道
壓力為零；小球在沿左半環(huán) 滑下后，再進(jìn)入光滑弧形軌道 ，且到達(dá) D 點(diǎn)時速度為零。已知 g
取10m/s2，則下列說法正確的是（　　）
A．在由 A 到 D 的過程中，小球的機(jī)械能守恒
B．若圓軌道粗糙程度處處相同，則 D 點(diǎn)離地面的高度一定大于8m
C．小球第一次過 B 點(diǎn)時對軌道的壓力大小是35N
D．小球從 B 上升到 C 的過程中克服阻力做的功是10J
【答案】BCD
【詳解】C．小球第一次過 B 點(diǎn)時，根據(jù)機(jī)械能守恒有
1
= 2
2

在 B 點(diǎn)由牛頓第二定律有
2
=
解得
= 35N
故 C 正確；
D．根據(jù)題意，在 C 點(diǎn)由牛頓第二定律有
2
=
設(shè)小球從 B 上升到 C 的過程中克服阻力做的功為 f，則能量守恒有
1
2
1
2 = 2
2
+ 2 + f
聯(lián)立解得
f = 10J
故 D 正確；
A．根據(jù)以上分析可知，小球在豎直圓軌道運(yùn)動時克服阻力做功，由此可知，在由 A 到 D 的過程中，
小球的機(jī)械能不守恒，故 A 錯誤；
B．若圓軌道粗糙程度處處相同，則在圓軌道上從 B 到 C 的過程中小球?qū)A軌道的平均壓力大于從 C
到 B 過程中小球?qū)A軌道的平均壓力，因此在豎直圓軌道上運(yùn)動克服摩擦力做的總功 f 總 < 20J，
由能量守恒定律可得
( ) 總 = 0
解得
> 8m
故 B 正確。
故選 BCD。
【考向 13】如圖所示，固定在豎直面內(nèi)的粗糙圓弧軌道 BC 與水平地面相切于 C 點(diǎn)，半徑 OB 與水
平方向的夾角 = 37°。質(zhì)量 = 1kg的物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）從 O 點(diǎn)正上方的 A 點(diǎn)以大小 0 = 3m/s的
速度水平向左拋出，恰好沿 B 點(diǎn)的切線方向進(jìn)入并沿圓弧軌道運(yùn)動，到達(dá) C 點(diǎn)后沿地面滑行距離
= 1.5m停下。物塊與地面間的動摩擦因數(shù) = 0.3，取重力加速度大小 = 10m/s2，sin37° = 0.6，
cos37° = 0.8，不計(jì)空氣阻力。求：
（1）A、B 兩點(diǎn)的高度差 h 以及圓弧軌道的半徑 R；
（2）物塊通過 C 點(diǎn)時對圓弧軌道的壓力大小 N；
（3）物塊通過 B 點(diǎn)時的速度大小 以及在物塊從 B 點(diǎn)運(yùn)動到 C 點(diǎn)的過程中，物塊與圓弧軌道之間
因摩擦產(chǎn)生的熱量 Q。
【答案】（1） = 0.8m， = 1.5m；（2） N = 16N；（3） = 5m/s， = 32J
【詳解】（1）設(shè)物塊通過 B 點(diǎn)時的豎直分速度大小為 ，根據(jù)幾何關(guān)系有
0 = tan
又
2 = 2
解得
= 0.8m
設(shè)物塊拋出后在空中做平拋運(yùn)動的時間為 t，有
=
又
cos = 0
解得
= 1.5 m
（2）設(shè)物塊通過 C 點(diǎn)時的速度大小為 ，對物塊沿地面滑行的過程，根據(jù)動能定理有
1
= 0 22
解得
= 3 m/s
設(shè)物塊通過 C 點(diǎn)時所受圓弧軌道的支持力大小為 ′N，有
2
′N =
根據(jù)牛頓第三定律有
′N = N
解得
N = 16N
（3）物塊通過 B 點(diǎn)時的速度大小

=
0
sin
解得
= 5m/s
對物塊從 B 點(diǎn)滑至 C 點(diǎn)的過程，根據(jù)能量守恒定律有
1 1
= ( + sin ) + 2
2
22
解得
= 32J
【考向 14】某同學(xué)參照過山車情景設(shè)計(jì)了如圖所示的模型：光滑的豎直圓軌道半徑 = 2 m，入口
的平直軌道 AC 和出口的平直軌道 CD 均是粗糙的，質(zhì)量為 = 2 kg的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）與水平
軌道之間的動摩擦因數(shù)均為 = 0.5，滑塊從 A 點(diǎn)由靜止開始受到水平拉力 = 60 N的作用，在 B 點(diǎn)
撤去拉力，AB 的長度為 = 5 m，不計(jì)空氣阻力， = 10 m/s2。
（1）若滑塊恰好通過圓軌道的最高點(diǎn)，求滑塊在圓軌道最低點(diǎn)時圓軌道對它的支持力大小；
（2）要使滑塊能進(jìn)入圓軌道運(yùn)動且不脫離軌道，求平直軌道 BC 段的長度范圍。
【答案】（1） N = 120 N；（2） 0，15 m 或 21 m，25 m
【詳解】（1）滑塊恰好通過最高點(diǎn)，滑塊只受到重力，此時重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可
得
2
=
滑塊從 C 點(diǎn)到最高點(diǎn)過程由動能定理可得
1 1
× 2 = 2
2 2
2

在 C 點(diǎn)，對滑塊由牛頓第二定律可知
2
N =
解得
N = 120 N
（2）要使滑塊能進(jìn)入圓軌道運(yùn)動，則至少能夠到達(dá) C 點(diǎn)，有
( + 0) = 0
解得
0 = 25 m
①滑塊無法通過最高點(diǎn)，但到達(dá)的高度為 R 時速度為 0，滑塊同樣不會脫離軌道，則對全程由動能
定理可得
( + 1) = 0
解得
1 = 21 m
②滑塊能通過最高點(diǎn)，即到達(dá) C 點(diǎn)的速度大于 ，由（1）中可得
= 10 m/s
對 AC 過程由動能定理可得
1
( 2 + ) = 22
解得
2 = 15 m
綜上所述，要使不脫離軌道 BC 長度范圍為 0，15 m 或 21 m，25 m 。
【考向 15】如圖所示，半徑為 R 的半圓弧軌道 ABCD 豎直放置，D 點(diǎn)在圓心 O 點(diǎn)的正上方，是圓
弧的最高點(diǎn)，固定圓管軌道 NA 與半圓弧軌道在最低點(diǎn) A 平滑對接，管口 N 點(diǎn)的切線水平且 N、O、
B 三點(diǎn)等高，勁度系數(shù)為 k 的輕質(zhì)彈簧放置在光滑的水平面 PN 上，一端固定在 P 點(diǎn)，當(dāng)彈簧處于
原長時，另一端正好處在 N 點(diǎn)。一質(zhì)量為 m、可視為質(zhì)點(diǎn)的小球置于 N 點(diǎn)（與彈簧不粘連），現(xiàn)移
動小球壓縮彈簧至 Q，然后由靜止釋放小球，小球到達(dá)圓弧的 C 點(diǎn)時剛好脫離軌道。已知 QN=s，
1
彈性勢能的表達(dá)式為 = 2p 2 （k 為彈簧的勁度系數(shù)，x 為彈簧的形變量），不計(jì)所有摩擦，重力加
速度為 g。
（1）求 C 點(diǎn)與 B 點(diǎn)的高度差 h；
（2）求小球在 A 點(diǎn)時對半圓軌道的壓力；
（3）若只改變小球的質(zhì)量，使小球能夠到達(dá)半圓軌道最高點(diǎn)，求小球質(zhì)量的取值范圍。
1
2 2 2
【答案】（ ）3 ；（2） ；（3）0 < ≤ 3
【詳解】（1）小球運(yùn)動到 C 點(diǎn)時恰好脫離半圓軌道，軌道對小球的彈力剛好為 0，設(shè)重力與 O 的夾
角為 θ，則有
2
cos =
由幾何關(guān)系可得

cos =
從 Q 點(diǎn)到 C 點(diǎn)，由能量守恒定律可得
1 1
2
2 = 2
2
+
解得
2
= 3
從 Q 點(diǎn)到 C 點(diǎn)，由能量守恒定律可得
1
2
1
= 22 2 +
解得
2
= 3
（2）小球由 Q 運(yùn)動到 A，由能量守恒定律可得
1 1
2 + = 22 2
在 A 點(diǎn)時有
2
N =
由牛頓第三定律可得
2
N = N′ = 3 +
方向垂直軌道向上
（3）小球能完整通過 D 點(diǎn)，則有
2
≥
從 Q 到 D，由能量守恒定律有
1
2
1
2 = 2
2

可得
2
0 < ≤ 3
【真題 1】（2022·浙江·高考真題）風(fēng)力發(fā)電已成為我國實(shí)現(xiàn)“雙碳”目標(biāo)的重要途徑之一。如圖所示，
風(fēng)力發(fā)電機(jī)是一種將風(fēng)能轉(zhuǎn)化為電能的裝置。某風(fēng)力發(fā)電機(jī)在風(fēng)速為9m/s時，輸出電功率為405
kW，風(fēng)速在5~10m/s范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)化效率可視為不變。該風(fēng)機(jī)葉片旋轉(zhuǎn)一周掃過的面積為 ，空氣密
度為 ，風(fēng)場風(fēng)速為 ，并保持風(fēng)正面吹向葉片。下列說法正確的是（　　）
A．該風(fēng)力發(fā)電機(jī)的輸出電功率與風(fēng)速成正比
B 1．單位時間流過面積 的流動空氣動能為2
2
C．若每天平均有1.0 × 108kW的風(fēng)能資源，則每天發(fā)電量為2.4 × 109kW h
D．若風(fēng)場每年有5000h風(fēng)速在6~10m/s范圍內(nèi)，則該發(fā)電機(jī)年發(fā)電量至少為6.0 × 105kW h
【答案】D
【詳解】AB．單位時間流過面積 的流動空氣體積為
0 =
單位時間流過面積 的流動空氣質(zhì)量為
0 = 0 =
單位時間流過面積 的流動空氣動能為
1
2
1
2 0 = 2
3
風(fēng)速在5~10m/s范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)化效率可視為不變，可知該風(fēng)力發(fā)電機(jī)的輸出電功率與風(fēng)速的三次方成
正比，AB 錯誤；
C．由于風(fēng)力發(fā)電存在轉(zhuǎn)化效率，若每天平均有1.0 × 108kW的風(fēng)能資源，則每天發(fā)電量應(yīng)滿足
< 1.0 × 108 × 24kW h = 2.4 × 109kW h
C 錯誤；
D．若風(fēng)場每年有5000h風(fēng)速在6~10m/s的風(fēng)能資源，當(dāng)風(fēng)速取最小值6m/s時，該發(fā)電機(jī)年發(fā)電量
具有最小值，根據(jù)題意，風(fēng)速為9m/s時，輸出電功率為405kW，風(fēng)速在5~10m/s范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)化效率
可視為不變，可知風(fēng)速為6m/s時，輸出電功率為
= 63
405
× 93 kW = 120kW
則該發(fā)電機(jī)年發(fā)電量至少為
= = 120 × 5000kW h = 6.0 × 105kW h
D 正確；
故選 D。
【真題 2】（2021·浙江·高考真題）一輛汽車在水平高速公路上以 80km/h 的速度勻速行駛，其 1s 內(nèi)
能量分配情況如圖所示則汽車（　　）
A．發(fā)動機(jī)的輸出功率為 70kW
B．每 1s 消耗的燃料最終轉(zhuǎn)化成的內(nèi)能是 5.7×104J
C．每 1s 消耗的燃料最終轉(zhuǎn)化成的內(nèi)能是 6.9×104J
D．每 1s 消耗的燃料最終轉(zhuǎn)化成的內(nèi)能是 7.0×104J
【答案】C
【詳解】A．由圖可知，發(fā)動機(jī) 1s 內(nèi)克服轉(zhuǎn)動阻力做功為 1.7×104J，則輸出功率為
1.7 × 104
= = 1 W=17kW
選項(xiàng) A 錯誤；
BCD．每 1s 消耗的燃料有 6.9×104J 進(jìn)入發(fā)動機(jī)，則最終轉(zhuǎn)化成的內(nèi)能的量為 6.9×104J，選項(xiàng) C 正確，
BD 錯誤。
故選 C。
【真題 3】（2022·福建·高考真題）2021 年美國“星鏈”衛(wèi)星曾近距離接近我國運(yùn)行在距地390km近圓
軌道上的天宮空間站。為避免發(fā)生危險(xiǎn)，天宮空間站實(shí)施了發(fā)動機(jī)點(diǎn)火變軌的緊急避碰措施。已知

質(zhì)量為 m 的物體從距地心 r 處運(yùn)動到無窮遠(yuǎn)處克服地球引力所做的功為 ，式中 M 為地球質(zhì)量，
G 為引力常量；現(xiàn)將空間站的質(zhì)量記為 0，變軌前后穩(wěn)定運(yùn)行的軌道半徑分別記為 1、 2，如圖所
示。空間站緊急避碰過程發(fā)動機(jī)做的功至少為（　　）
A 1．2
1
0 1 B 1 1． 0 1 2 1 2
C 3．2
1 1
0 D．2 1 1 0 1 2 1 2
【答案】A
【詳解】空間站緊急避碰的過程可簡化為加速、變軌、再加速的三個階段；空間站從軌道 1變軌到 2
過程，根據(jù)動能定理有
+ 引力 = Δ k
依題意可得引力做功
0 0引力 = 2 1
萬有引力提供在圓形軌道上做勻速圓周運(yùn)動的向心力，由牛頓第二定律有
0 2 2 = 0
求得空間站在軌道上運(yùn)動的動能為

k =
0
2
動能的變化

Δ k =
0 0
2 2 2 1
解得

= 0
1 1
2 1 2
故選 A。
【真題 4】（2021·全國·高考真題）如圖，一傾角為 的光滑斜面上有 50 個減速帶（圖中未完全畫
出），相鄰減速帶間的距離均為 d，減速帶的寬度遠(yuǎn)小于 d；一質(zhì)量為 m 的無動力小車（可視為質(zhì)點(diǎn)）
從距第一個減速帶 L 處由靜止釋放。已知小車通過減速帶損失的機(jī)械能與到達(dá)減速帶時的速度有關(guān)。
觀察發(fā)現(xiàn)，小車通過第 30 個減速帶后，在相鄰減速帶間的平均速度均相同。小車通過第 50 個減速
帶后立刻進(jìn)入與斜面光滑連接的水平地面，繼續(xù)滑行距離 s 后停下。已知小車與地面間的動摩擦因
數(shù)為 ，重力加速度大小為 g。
（1）求小車通過第 30 個減速帶后，經(jīng)過每一個減速帶時損失的機(jī)械能；
（2）求小車通過前 30 個減速帶的過程中在每一個減速帶上平均損失的機(jī)械能；
（3）若小車在前 30 個減速帶上平均每一個損失的機(jī)械能大于之后每一個減速帶上損失的機(jī)械能，
則 L 應(yīng)滿足什么條件？

【答案】（1 ( 29 )sin ） sin ；（2） 30 ；（3） > + sin
【詳解】（1）由題意可知小車在光滑斜面上滑行時根據(jù)牛頓第二定律有
sin =
設(shè)小車通過第 30 個減速帶后速度為 v1，到達(dá)第 31 個減速帶時的速度為 v2，則有
22 21 = 2
因?yàn)樾≤囃ㄟ^第 30 個減速帶后，在相鄰減速帶間的平均速度均相同，故后面過減速帶后的速度與到
達(dá)下一個減速帶均為 v1和 v2；經(jīng)過每一個減速帶時損失的機(jī)械能為
1 1
= 2
2
2 2
2
1
聯(lián)立以上各式解得
= sin
（2）由（1）知小車通過第 50 個減速帶后的速度為 v1，則在水平地面上根據(jù)動能定理有
1
= 0 22 1
從小車開始下滑到通過第 30 個減速帶，根據(jù)動能定理有
1
( + 29 )sin Δ = 2總 2 1
聯(lián)立解得
Δ 總= ( + 29 )sin
故在每一個減速帶上平均損失的機(jī)械能為
總 ( + 29 )sin
′ = 30 = 30
（3）由題意可知
′ >
可得

> + sin
【真題 5】（2021·江蘇·高考真題）如圖所示的離心裝置中，光滑水平輕桿固定在豎直轉(zhuǎn)軸的 O 點(diǎn)，
小圓環(huán) A 和輕質(zhì)彈簧套在輕桿上，長為2 的細(xì)線和彈簧兩端分別固定于 O 和 A，質(zhì)量為 m 的小球 B
固定在細(xì)線的中點(diǎn)，裝置靜止時，細(xì)線與豎直方向的夾角為37°，現(xiàn)將裝置由靜止緩慢加速轉(zhuǎn)動，當(dāng)
細(xì)線與豎直方向的夾角增大到53°時，A、B 間細(xì)線的拉力恰好減小到零，彈簧彈力與靜止時大小相
等、方向相反，重力加速度為 g，取sin37° = 0.6，cos37° = 0.8，求：
（1）裝置靜止時，彈簧彈力的大小 F；
（2）環(huán) A 的質(zhì)量 M；
（3）上述過程中裝置對 A、B 所做的總功 W。
【答案】（1 3 9 31） 8 ；（2）64 ；（3）30
【詳解】（1）設(shè) 、 的張力分別為 1、 2，A 受力平衡
= 1sin37°B 受力平衡
1cos37° + 2cos37° =
1sin37° = 2sin37°
解得
3
= 8
（2）設(shè)裝置轉(zhuǎn)動的角速度為 ，對 A
8
= 2 5
對 B
4
tan53° = 2 5
解得
9
= 64
（3）B 1上升的高度 = 5 ，A、B 的動能分別為
= 1
2 2
kA 2
8 1 4
5 ；
kB = 2 5
根據(jù)能量守恒定律可知
= ( kA 0) + ( kB 0) +
解得
31
= 30
一、單選題
1．（2024·廣東惠州·二模）2023 年 10 月 3 日，在杭州亞運(yùn)會蹦床項(xiàng)目女子決賽中，中國選手朱雪瑩
奪冠，圖為朱雪瑩在東京奧運(yùn)會上決賽時騰空后下落的照片，朱雪瑩從剛接觸床面到運(yùn)動至最低點(diǎn)
的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．朱雪瑩剛接觸床面時速度最大
B．朱雪瑩在該過程中始終處于失重狀態(tài)
C．在該過程中朱雪瑩的動能減少量等于彈性勢能的增加量
D．在該過程中蹦床對朱雪瑩一直做負(fù)功
【答案】D
【詳解】A．朱雪瑩重力與床面的彈力等大反向時，速度最大，故 A 錯誤；
B．朱雪瑩在該過程中加速度方向先向下后向上，先處于失重狀態(tài)，后處于超重狀態(tài)，故 B 錯誤；
C．在該過程中朱雪瑩的動能和重力勢能全部轉(zhuǎn)化為蹦床的彈性勢能，故 C 錯誤；
D．在該過程中蹦床對朱雪瑩的彈力和朱雪瑩的位移方向一直相反，一直做負(fù)功，故 D 正確。
故選 D。
2 ．物體以動能為 開始豎直向上運(yùn)動，回到出發(fā)點(diǎn)時，動能為2。取出發(fā)點(diǎn)位置的重力勢能為零，
整個運(yùn)動過程可認(rèn)為空氣阻力大小恒定，則該物體上升階段動能與重力勢能相等時，其動能為（　　）
A 3 B 3 C 4 D 4 ．10 ． 7 ． 7 ． 9
【答案】B
【詳解】設(shè)上升的最大高度為 ，根據(jù)功能關(guān)系有

2 = 2 = 2
根據(jù)能量守恒可得
= +
求得
3
= 4
1
= 4
求得
1
= 3
若在上升階段離出發(fā)點(diǎn) 處動能和重力勢能相等，由能量守恒定律有
k + =
k = p =
聯(lián)立解得
3
k = = 7
故選 B。
3．（2024·陜西寶雞·二模）如圖所示為某緩沖裝置模型，輕質(zhì)彈簧與輕桿相連，輕桿可在固定的槽
內(nèi)沿水平方向左右移動，輕桿與槽間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。現(xiàn)小車以水平速度 0撞擊彈
簧，輕桿恰好向右移動距離 l，不計(jì)小車與地面間的摩擦，則（　　）
A．輕桿移動距離 l 的過程中先做勻加速再做勻減速運(yùn)動
B．彈簧被壓縮最短時，輕桿的速度達(dá)到最大
C．根據(jù)小車運(yùn)動的對稱性可知，小車以 0的速率被彈簧彈回
D．彈簧的彈性勢能最大時，輕桿向右加速的加速度達(dá)到最大
【答案】D
【詳解】A．輕桿移動距離 l 的過程中先做加速再做減速運(yùn)動，輕桿所受的摩擦力不變，但所受的彈
簧的彈力是變力，所以輕桿所受的合外力為變力，加速度大小和方向都變化，輕桿不可能做勻變速
直線運(yùn)動，故 A 錯誤；
B．彈簧被壓縮最短時，輕桿所受的合外力最大，輕桿正在做加速運(yùn)動，其速度沒有達(dá)到最大，故 B
錯誤；
C．根據(jù)能量守恒定律，由于輕桿與固定槽之間的動摩擦力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能有一部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)
能，所以小車被彈簧彈回的速率小于 v0，故 C 錯誤；
D．彈簧的彈性勢能最大時，彈簧的彈力最大，輕桿受到的合外力最大，向右加速的加速度也達(dá)到
最大，故 D 正確。
故選 D。
4．（2024·甘肅白銀·三模）2024 年 1 月 17 日晚，天舟七號貨運(yùn)飛船成功發(fā)射，揭開了 2024 年中國
載人航天工程發(fā)射任務(wù)的序幕。設(shè)天舟七號做勻速圓周運(yùn)動的軌道離地球表面的高度為 h，天舟七
號的質(zhì)量為 0。地球表面的重力加速度為 g，地球半徑為 R。若取無限遠(yuǎn)處為地球引力勢能的零點(diǎn)，
則引力勢能可表示為 = p ，其中 G 為萬有引力常量，M 為地球質(zhì)量，r 為物體到地心的距離，
m 為物體的質(zhì)量。下列關(guān)于天舟七號的表述，正確的是（　　）
2
A ．角速度大小為

3
B 1 ( )．周期為2 2
C．線速度大小為 ( + )
D
2
．機(jī)械能為 2( )
【答案】D
【詳解】A．對天舟七號有

0 2( + )2 = 0 ( + )
在地球表面有

2 =
解得
2
= ( + )3
故 A 項(xiàng)錯誤；
B．對天舟七號有
2
0
4
( + )2 = 0 2 ( + )
結(jié)合之前的分析，解得
2 ( + )3
=
故 B 項(xiàng)錯誤；
C．對天舟七號有
0 2 ( + )2 = 0 ( + )
結(jié)合之前的分析有
2
= +
故 C 項(xiàng)錯誤；
D．由題意可知，其機(jī)械能為

p =
0
+
結(jié)合之前的分析，有
2
p = ( + )
天空七號具有的動能為
1 2 0
2
k = 2 0 = 2( + )
其具有的機(jī)械能為
2
= k +

p = 2( + )
故 D 項(xiàng)正確。
故選 D。
5．（2024·北京昌平·二模）將某物體沿與水平方向成一定角度斜向上拋出，經(jīng)過一段時間，物體落
回與拋出點(diǎn)等高處。在忽略空氣阻力情況下，其運(yùn)動軌跡如圖中虛線所示，在考慮空氣阻力情況下，
其運(yùn)動軌跡如圖中實(shí)線所示．在考慮空氣阻力的情況下，（　　）
A．上升的時間一定小于下降的時間
B．在最高點(diǎn)時的加速度等于重力加速度
C．落回拋出點(diǎn)時的動能等于拋出時的動能
D．上升階段損失的機(jī)械能等于下降階段損失的機(jī)械能
【答案】A
【詳解】A．物體在上升過程中豎直方向的阻力向下，加速度大小大于 g，下落過程中，豎直方向的
阻力向上，加速度大小小于 g，根據(jù)
1
= 2
2
可知，物體上升的時間一定小于下降的時間。故 A 正確；
B．物體在最高點(diǎn)時受到的阻力水平向左，則水平方向的加速度向左，豎直方向的加速度大小為 g，
根據(jù)平行四邊形法則可知，物體在最高點(diǎn)時的加速度大于重力加速度。故 B 錯誤；
C．物體在運(yùn)動過程中，空氣阻力做負(fù)功，所以落回拋出點(diǎn)時的動能小于拋出時的動能。故 C 錯誤；
D．整個過程中阻力一直做負(fù)功，所以物體在上升階段和下降階段同一高度處，上升階段的速度大
于下降階段的速度，所以上升過程中平均阻力大于下降過程中的平均阻力，上升過程中克服阻力做
的功大于下降階段克服阻力做的功，物體在上升階段損失的機(jī)械能大于在下降階段損失的機(jī)械能。
故 D 錯誤。
故選 A。
6．某地區(qū)常年有風(fēng)，風(fēng)速基本保持在 4m/s，該地區(qū)有一風(fēng)力發(fā)電機(jī)，其葉片轉(zhuǎn)動可形成半徑為 10m
的圓面，若保持風(fēng)垂直吹向葉片，空氣密度為 1.3kg/m3，風(fēng)的動能轉(zhuǎn)化為電能的效率為 20%.現(xiàn)用這
臺風(fēng)力發(fā)電機(jī)給一水泵供電，使水泵從地下 10m 深處抽水，水泵能將水抽到地面并以 2m/s 的速度
射出，出水口的橫截面積為 0.1m2，水的密度為 1×103kg/m3，水泵及電機(jī)組成的抽水系統(tǒng)效率為
80%，則下列說法正確的是（ ）
A．該風(fēng)力發(fā)電機(jī)的發(fā)電功率約為 12.8kW
B．每秒鐘水流機(jī)械能增加 400J
C．風(fēng)力發(fā)電機(jī)一天的發(fā)電量可供該水泵正常工作約 3h
D．若風(fēng)速變?yōu)?8m/s，則該風(fēng)力發(fā)電機(jī)的發(fā)電功率變?yōu)樵瓉淼?4 倍
【答案】C
【詳解】AD．單位時間內(nèi)沖擊風(fēng)力發(fā)電機(jī)葉片圓面的氣流的體積為
0＝ ＝ × 2＝4 × × 102m3=1256m3
單位時間內(nèi)沖擊風(fēng)力發(fā)電機(jī)葉片圓面的氣流的動能為
1
= 2
1
2 = 2
2
0 =13062.4W
依題意，此風(fēng)力發(fā)電機(jī)發(fā)電的功率為
= 20% = 20% × 13062.4W ≈ 2.6kW
若風(fēng)速變?yōu)?8m/s，則該風(fēng)力發(fā)電機(jī)的發(fā)電功率變?yōu)樵瓉淼?8 倍；
故 AD 錯誤；
B．每秒鐘水流機(jī)械能增加約為
1
Δ = + 2
′2
其中
= 水 ′ ′
解得
Δ = 2.04 × 104J
故 B 錯誤；
C．水泵正常工作每秒鐘耗電為
Δ
Δ ′ = 80% =2.55 × 10
4J
風(fēng)力發(fā)電機(jī)一天的發(fā)電量為
′ = = 2.6 × 103 × 24 × 60 × 60J ≈ 2.2 × 108J
解得
′
= ≈ 2.39h
Δ ′
故 C 正確；
故選 C。
7．（2024·浙江金華·三模）一種配有小型風(fēng)力發(fā)電機(jī)和光電池的新型路燈功率為 120W，風(fēng)力發(fā)電機(jī)
的風(fēng)能轉(zhuǎn)化率為 1 = 4%，工作原理如圖所示，內(nèi)部的線圈面積為 1 = 0.2m2、匝數(shù) = 200匝，磁
體的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 = 0.1T，風(fēng)葉的半徑為 = 1m，空氣的密度為 = 1.3kg/m3。太陽垂直照射的
單位面積功率為 1kW，光電池板被太陽光直射的等效面積為 2 = 1m2，光能轉(zhuǎn)化率為 2 = 20%。如
果在一個風(fēng)速穩(wěn)定的晴天，經(jīng) 3 小時的光照和風(fēng)吹，路燈可正常工作 7 小時，測得風(fēng)力發(fā)電機(jī)輸出
的電流強(qiáng)度大小為 1A。下列對風(fēng)速和風(fēng)葉轉(zhuǎn)速估算合理的是（ ）
A．10m s，4.6r s B．10m s，2.3r s C．20m s，4.6r s D．20m s，2.3r s
【答案】A
【詳解】設(shè)經(jīng) = 3h的光照和風(fēng)吹，光能轉(zhuǎn)化為電能為 E3，風(fēng)能轉(zhuǎn)化為電能為 E4，則
3 = 2 光 2
1
2 34 = 1 2 1
又
3 + 4 = 燈 × 7h
聯(lián)立解得風(fēng)速
1 = 10m/s
風(fēng)能轉(zhuǎn)化為電能為
4 = 86400J
設(shè)風(fēng)力發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)動產(chǎn)生交流電的峰值電壓為 Um，則
Um = NBS1ω = NBS1 2
所以
1 1 1
4 = m = 1 = 1 2
2 2 2
解得
10 2
= r/s ≈ 4.6r/s
即風(fēng)速為 10m/s，風(fēng)葉的轉(zhuǎn)速為 4.6r/s。
故選 A。
8．如圖所示，質(zhì)量分別為 m、2m 小物塊 A 和小物塊 B 在豎直方向上通過勁度系數(shù)為 k 的輕質(zhì)彈簧
相連，開始時 A、B 均靜止，現(xiàn)給 B 施加一豎直向下的恒力，使 B 向下運(yùn)動，當(dāng)速度為零時，立即
1
撤去恒力，一段時間后小物塊 A 恰好能離開地面。已知彈簧的彈性勢能可表示為 p = 2
2，k 為彈
簧的勁度系數(shù)，x 為彈簧的形變量，重力加速度為 g，則恒力所做的功為（　　）
9 2A
2 7 2 2
． 2 B． 2
C 5
2 2 9 2 2
． 2 D． 4
【答案】A
【詳解】由題意知開始時彈簧的壓縮量為
2
1 =
小物塊 A 恰好離開地面時彈簧的伸長量為

2 =
設(shè)小物塊 B 在恒力作用下向下運(yùn)動的最大位移為 0，恒力所做的功為 W，由能量守恒得
1 1
+2 2 20 = 2 ( 1 + 0) 2 1
1 1
2 (
2 2
1 + 0) 2 2 = 2 ( 0 + 1 + 2)
聯(lián)立解得
9 2 2
= 2
故選 A。
二、多選題
9．（2020·重慶璧山·三模）一輛小車以一定的初速度沖上高度為 h、長度為 L 的斜坡，已知小車的質(zhì)
量為 m，小車受到沿斜面向下的阻力為 f，則對小車由坡底沖到坡頂?shù)倪\(yùn)動過程分析正確的是（　　）
A．此過程中小車的動能減少了(mgh+fL)
B．此過程中小車的勢能增加了(mgh－fL)
C．此過程中自然界中的能量減少了 fL 了
D．此過程中小車的機(jī)械能減少 fL
【答案】AD
【詳解】A．上升過程中，受到重力、支持力和阻力，根據(jù)動能定理得
= k
所以此過程中小車的動能減少了 + ，A 正確；
B．此過程中小車重力做功為 ，所以此過程中小車的勢能增加了 ，B 錯誤；
C．根據(jù)自然界中能量是守恒的，C 錯誤；
D．機(jī)械能減小量等于除重力外其余力做的功，此過程中除重力外，摩擦力做功
f =
所以此過程中小車的機(jī)械能減少了 ，D 正確。
故選 AD。
10．（2023·廣西南寧·二模）如圖所示，現(xiàn)將一長為 L、質(zhì)量為 m 且分布均勻的金屬鏈條通過裝有傳
送帶的斜面輸送到高處。斜面與傳送帶靠在一起連成一直線，與水平方向夾角為 ，斜面光滑，鏈條
與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)為常數(shù)。傳送帶以較大的恒定速率順時針轉(zhuǎn)動。已知鏈條處在斜面或者
傳送帶上任意位置時，支持力都均勻作用在接觸面上。將鏈條放在傳送帶和斜面上，當(dāng)位于傳送帶

部分的長度 = 4時，鏈條恰能保持靜止。現(xiàn)將鏈條從位于傳送帶部分的長度 = 3的位置由靜止釋放，
假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則下列說法正確的是（ ）
A sin ．釋放瞬間鏈條的加速度為 3
B tan ．鏈條與傳送帶之間的動摩擦因數(shù) = 4
C ．鏈條始終在滑動摩擦力的作用下，從 = 2的位置靜止釋放，到完全進(jìn)入傳送帶的瞬間，速
度大小 = 2 sin
D．若鏈條的機(jī)械能增加量為Δ ，傳送帶消耗的電能為 耗，不計(jì)電路中產(chǎn)生的電熱，Δ 等于
耗
【答案】AC

【詳解】AB．當(dāng)位于傳送帶部分的長度 = 4時，鏈條恰能保持靜止，則根據(jù)平衡條件可得
1
4 cos = sin
= 將鏈條從位于傳送帶部分的長度 3的位置由靜止釋放瞬間，根據(jù)牛頓第二定律
1
3 cos sin =
聯(lián)立解得
sin
= 3
= 4tan
故 A 正確，B 錯誤；
C．從 = 12的位置靜止釋放瞬間，摩擦力大小為2 cos ，完全進(jìn)入傳送帶時摩擦力大小為 cos
，摩擦力大小隨著鏈條進(jìn)入傳送帶的長度而均勻增加，故摩擦力做功為
1
2 cos + cos 3 = 2 × 2 = 8 cos
根據(jù)動能定理
1
2 sin =
2
2
聯(lián)立解得
= 2 sin
故 C 正確；
D．根據(jù)能量守恒可知，摩擦?xí)a(chǎn)生內(nèi)能，則Δ 小于 耗，故 D 錯誤。
故選 AC。
11．（2024·湖南長沙·一模）如圖所示，傾角為 = 30°的足夠長的光滑斜面體固定在水平地面上，底
端附近垂直斜面固定一擋板，小物塊甲、乙用輕彈簧拴接后置于斜面上，甲的質(zhì)量為 m。初始靜止
時，彈簧壓縮量為 d。某時刻在甲上施加一沿斜面向上的恒力 = ，當(dāng)彈簧第一次恢復(fù)原長時將
1
恒力撤去，甲到最高點(diǎn)時乙剛要離開擋板。已知彈簧的彈性勢能為 p = 2
2， 為勁度系數(shù)，x 為形
變量，重力加速度為 g，彈簧始終在彈性限度以內(nèi)。則（ ）
A 1．甲的最大速度為
2
B．甲運(yùn)動到最低點(diǎn)時的加速大小為 g
C．小物塊乙的質(zhì)量為 2m
D 9．彈簧的最大彈性勢能為4
【答案】BD
【詳解】A．施加恒力前由平衡條件
sin =
解得

= 2
甲回到彈簧原長撤去恒力時速度最大，由動能定理得
1
sin + 彈 = 2
2
其中
1
2彈 = 2
解得
3
= 2
故 A 錯誤；
C．設(shè)乙剛要離開擋板時彈簧的伸長量為 1，從撤走恒力到乙剛要離開擋板的過程，對甲和彈簧由
能量守恒有
1 1
1sin + 22 1 = sin + 2
2
解得
1 =
此時乙剛好不離開擋板，則有
1 = ′ sin
得乙的質(zhì)量
′ =
故 C 錯誤；
B．到達(dá)最高點(diǎn)后小物塊甲沿斜面向下滑動，設(shè)甲到最低點(diǎn)時彈簧的壓縮量為 2，由能量守恒得
1 1
( 1 + 2)sin + 2
2
1 = 22 2
解得
2 = 3 （另一解不合題意，舍去）
對甲由牛頓第二定律有
2 sin =
解得
=
故 B 正確；
D．因?yàn)?1 < 2，故最大彈性勢能
1 2 9 pmax = 2 2 = 4
故 D 正確。
故選 BD。
12．（2024·河北滄州·三模）如圖甲所示，斜面體固定在水平地面上，在斜面底端固定一擋板與斜面
垂直，質(zhì)量為 m 的小物塊從斜面的頂端滑下，在下滑的過程中，其機(jī)械能與重力勢能隨位移的變化
圖像如圖乙所示，已知斜面長為 l，物塊與擋板碰撞為彈性碰撞，已知物體與斜面間的最大靜摩擦力
等于滑動摩擦力，則下列說法正確的是（ ）
A．在整個運(yùn)動過程中，物塊克服摩擦產(chǎn)生的熱量為4 0。
B ．物塊下滑的時間為
2 0
C 4．滑塊運(yùn)動的總路程為3
3 0
D．斜面的動摩擦因數(shù)為 2 2 2 9 20
【答案】BD
【詳解】AC．從兩條圖像可知上方的圖像為機(jī)械能隨位移變化的圖像，下方為重力勢能隨位移變化
的圖像，物體在下滑的過程中，機(jī)械能與重力勢能隨位移均勻地減小，且兩個圖像平行，可知下滑
的過程中動能保持不變，即
sin = cos ①
由題可知
sin = 3 0②
1
2
2
0 = 0③
物體與擋板發(fā)生彈性碰撞，原速率反彈，設(shè)上升的路程為 l'，則根據(jù)動能定理
′sin + ′cos = 0④
聯(lián)立解得

′ = 6
到達(dá)最高點(diǎn)后靜止在斜面上不再下滑，因此滑塊運(yùn)動的總路程
7
= + ′ = 6
物塊克服摩擦產(chǎn)生的熱量
= 4 0 ′sin = 3．5 0
AC 錯誤；
B．下滑的時間
= ⑤0
將②⑤聯(lián)立解得
3
= 2 0
B 正確；
D．由②可得
3
sin = 0
可得
3
tan = 0
2 2 2 9 20
由①可得
= tan
D 正確。
故選 BD。
13．（2024·安徽淮南·二模）如圖所示，足夠長的水平軌道 與豎直光滑半圓形軌道 在 點(diǎn)平滑
連接，半圓形軌道的圓心為 ，且 1 ∥ , ⊥ 。重力 = 4N可視為質(zhì)點(diǎn)的小滑塊靜置于
上的 點(diǎn)，某時刻滑塊在一水平向右的 = 3.0N恒力作用下開始向右運(yùn)動，滑塊在 內(nèi)運(yùn)動時剛好
不脫離半圓形軌道并能沿軌道返回 面，sin37° = 0.6,cos37° = 0.8。下列說法正確的是（　　）
A．滑塊運(yùn)動至 1后開始返回
B．滑塊運(yùn)動至 1點(diǎn)時其機(jī)械能最大
C．滑塊運(yùn)動到 點(diǎn)時對半圓形軌道的壓力最大
D．滑塊運(yùn)動 點(diǎn)時的速度大于運(yùn)動到 1點(diǎn)時的速度
【答案】BD
【詳解】A．滑塊在半圓形軌道內(nèi)運(yùn)動時，滑塊受到的重力和恒力 的合力如圖所示
3
tan = = 4
即
= 37°
所以滿足滑塊剛好不脫離軌道又返回 點(diǎn)的條件時，滑塊將恰好運(yùn)動到與 2垂直的線段 3上的 3
點(diǎn)開始返回，A 錯誤；
B．滑塊在整個運(yùn)動過程中，恒力 對滑塊做的正功越多，滑塊的機(jī)械能越大，因當(dāng)滑塊運(yùn)動到 1點(diǎn)
時，恒力 做的正功最多，所以滑塊運(yùn)動至 1點(diǎn)時的機(jī)械能最大，B 正確；
CD．由圖可知，滑塊運(yùn)動到 2點(diǎn)時速度最大，運(yùn)動到 點(diǎn)時的速度大于運(yùn)動到 1點(diǎn)時的速度，C 錯
誤，D 正確。
故選 BD。
三、解答題
14．（2024·福建漳州·三模）如圖為某探究活動小組設(shè)計(jì)的節(jié)能運(yùn)輸系統(tǒng)。木箱在傾角為 30°的斜面
軌道頂端時，自動裝貨裝置將質(zhì)量為 m 的貨物裝入木箱，然后木箱載著貨物沿軌道無初速度滑下
（貨物與木箱之間無相對滑動），當(dāng)斜面底端的輕彈簧被壓縮至最短時，自動卸貨裝置立刻將貨物卸
下，然后木箱恰好被彈回到軌道頂端。已知木箱下滑的最大距離為 L，木箱與軌道間的動摩擦因數(shù)
3
為 ，重力加速度為 g。
4
（1）求貨物從頂端到彈簧被壓縮到最短的過程中，重力所做的功 W；
（2）求木箱的質(zhì)量 M；
（3）若木箱下滑過程中速度最大時彈簧的形變量為 1，上滑過程中速度最大時彈簧的形變量為 2，
1
求兩次形變量之比 。2
1
【答案】（1）0.5mgL；（2）6 ；（3）1
【詳解】（1）貨物從頂端到彈簧被壓縮到最短的過程中，重力所做的功
= sin30°
解得
= 0.5
（2）系統(tǒng)從開始下滑到再次回到頂端過程，由能量守恒定律可知貨物減少的重力勢能等于克服摩擦
力所做的功，則
sin30° = ( + ) cos30° + cos30°
解得
1
= 6
（3）下滑過程中，當(dāng)木箱速度最大時合力為零，由受力平衡得
7
1 = ( + ) sin30° ( + ) cos30° = 8
同理，上滑過程中，由受力平衡得
7
2 = sin30° + cos30° = 8
故 1與 2大小相等，即
1
= 12
15．（2021·上海靜安·二模）如圖，足夠長的固定斜面 AB 和 BC 的底部 B 處平滑連接，兩斜面與水
平方向的夾角均為 53°，AB 光滑，BC 粗糙。質(zhì)量 m=2 kg 的小物塊從 AB 斜面高為 h=1.25m 的 P 處
1
由靜止釋放。已知小物塊與 BC 斜面間的動摩擦因數(shù)為 μ=3，取 sin53°=0.8，cos53°=0.6，g=10 m/s
2。
（1）求小物塊從 P 處釋放到達(dá) B 處的速度的大小 vB；
（2）求小物塊沿斜面 BC 上滑的最大距離 L 及此過程中損失的機(jī)械能 ΔE 機(jī)；
（3）請分析說明小物塊最終靜止在何處。
【答案】（1）5 m/s；（2）1.25 m；5J；（3）最終靜止在 B 點(diǎn)
【詳解】（1）小物塊從 A 到 B 作只有重力做功，機(jī)械能守恒，有
1
= 22
代入數(shù)據(jù)可得
vB=5m/s
（2）小物塊沿 BC 上滑，受力分析如圖
垂直于斜面方向受力平衡
FN-mgcos53 =0
小物塊與斜面 BC 間滑動摩擦力大小
Ff=μFN=μmgcos53
以初速度方向?yàn)檎较颍鶕?jù)牛頓第二定律
（-mgsin53 ）+（-Ff）=ma
代入數(shù)據(jù)可得
a=-10m/s2
小物塊從 B 到 C 做勻減速直線運(yùn)動至速度為零，有
02 2 = 2
代入數(shù)據(jù)可得
s=1.25 m，L=1.25 m
小物塊損失的機(jī)械能
△E 機(jī)=mgh-mgLsin53
代入數(shù)據(jù)可得
ΔE 機(jī)=5 J
（3）小物塊在斜面 BC 時，因?yàn)?mgsin53 >μmgcos53 ，所以小物塊速度減為零后，不會靜止在 BC
斜面上，會沿 BC 斜面向下做勻加速運(yùn)動；
到 AB 斜面后返回再沿斜面 BC 上滑，由于 BC 斜面粗糙，上滑高度小于第一次的上滑高度；
此后反復(fù)在兩斜面間運(yùn)動若干次，最終靜止在 B 點(diǎn)。
16．如圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的貨物從 A 點(diǎn)由靜止沿斜面滑下，最終停在水平面上的 C 點(diǎn)，斜面與水
平面在 B 點(diǎn)平滑連接。已知 A 點(diǎn)距水平面的高度為 8m，斜面 AB 長為 10m，水平面上 B、C 的間距
為 8m，貨物從 A 點(diǎn)運(yùn)動到 C 點(diǎn)所花費(fèi)的時間為3.6s，重力加速度 = 10m/s2。
（1）求貨物與斜面間的動摩擦因數(shù) 1和貨物與水平地面間的動摩擦因數(shù) 2；
（2）若斜面可伸縮，A 點(diǎn)與水平面的高度差降至7.5m，但 A、C 兩點(diǎn)間的水平距離不變，仍使貨物
最終停在 C 點(diǎn)，求需將 B 點(diǎn)向右移動的距離。
5
【答案】（1） 1 = 0.5， 2 = 8；（2）Δ = 4m
【詳解】（1）分析過程可知貨物從 A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)由 0 開始加速，從 B 點(diǎn)到 C 點(diǎn)減速至 0，其運(yùn)動過程
可等效為在一條直線上的運(yùn)動，如圖所示
可得
1
2 = +
解得
= 10m/s
設(shè)斜面 AB 與水平面的夾角為 ，則
sin = 0.8
貨物從 A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)有
2 1 = 2
sin 1 cos = 1
貨物從 B 點(diǎn)到 C 點(diǎn)有
2 2 = 2
2 = 2
解得
1 = 0.5， 2 =
5
8
（2）設(shè) AB 移動后與地面的夾角變?yōu)?，B 點(diǎn)向右移動Δ ，AB 長度變?yōu)?1，對整個過程由能量守恒
定律
′ [ 1 cos 1 + 2 (8 Δ )] = 0
1cos + 8 Δ = cos +
解得
Δ = 4m

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