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第 17 講　功和功率
——劃重點之精細講義系列
考點 1 功的正負判斷和計算
考點 2 變力功的計算
考點 3 功率的計算
考點 4 機車啟動問題
考點 1：功的正負判斷和計算
一．功
1．做功的兩個必要條件
力和物體在力的方向上發生的位移．
2．公式
W＝Flcos α，適用于恒力做功，其中 α 為 F、l 方向間夾角，l 為物體對地的位移．
3．功的正負判斷
夾角 功的正負
α<90° 力對物體做正功
α>90° 力對物體做負功，或者說物體克服這個力做了功
α＝90° 力對物體不做功
4．判斷力是否做功及做正、負功的方法
恒力做功的判斷 若物體做直線運動，依據力與位移的夾角來判斷
若物體做曲線運動，依據 F 與 v 的方向夾角來判斷。當 0≤α<90°，力對物
曲線運動中功的判斷
體做正功，90°<α≤180°，力對物體做負功；α＝90°，力對物體不做功
動能定理描述了合外力做功與動能變化的關系，即 W 合＝Ek 末－Ek 初，當動
根據動能的變化
能增加時合外力做正功；當動能減少時，合外力做負功
依據能量變化來判斷 根據功是能量轉化的量度，若有能量轉化，則必有力對物體做功。此法常
用于兩個相聯系的物體之間的相互作用力做功的判斷
5.恒力做功的計算
(1)單個力做的功：直接用 W＝Flcos α 計算．
(2)合力做的功
方法一：先求合力 F 合，再用 W 合＝F 合 lcos α 求功．
方法二：先求各個力做的功 W1、W2、W3、…，再應用 W 合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的
功．
【考向 1】如圖所示，小球通過細線懸掛于車廂內的 O 點，在車廂內左右擺動，車廂始終水平向右
勻速運動，小球從左側最高點運動到最低點過程中，以地面為參考系，則（ ）
A．細線對車廂不做功 B．細線對車廂做正功
C．細線對小球不做功 D．細線對小球做正功
【答案】D
【詳解】對小球和車廂的受力分析如答圖所示，其中 1為細線對車廂的拉力， 2為細線對小球的拉
力。以地面為參考系，小球從左側最高點運動到最低點過程中， 1與車廂運動方向的夾角始終為鈍
角，則細線對車廂做負功； 2與小球運動方向的夾角始終為銳角，則細線對小球做正功。
故選 D。
【考向 2】如圖所示，水平路面上有一輛質量為 M 的汽車，車廂中有一質量為 m 的人正用恒力 F 向
前推車廂，在車以加速度 a 向前加速行駛距離 L 的過程中，下列說法不正確的是（　　）
A．人對車的推力 F 做的功為 FL B．車對人做的功為
C．車對人的摩擦力做的功為( + ) D．車對人的作用力大小為 ma
【答案】D
【詳解】A．根據功的定義可知，人對車的推力 F 做的功為
=
故 A 正確；
B．根據牛頓第二定律可知，車對人的合力為
1 =
方向向前，所以車對人做的功為
1 =
故 B 正確；
C．根據牛頓第二定律可得
=
所以車廂對人的摩擦力大小為
= +
方向向前，則摩擦力做功為
= = ( + )
故 C 正確；
D．車廂對人有三個作用力：豎直向上的支持力，大小為 ；水平向后的推力，大小為 ；水平向
前的摩擦力，大小為 + 。所以車對人的合力大小為
合 = ( )2 + ( )2
故 D 錯誤。
本題要求選擇不正確的，故選 D。
【考向 3】如圖所示，水平旋轉魔盤上的物塊 A，當魔盤轉動的角速度 = ( > 0)時，物塊 A 相
對轉臺靜止。關于這種情況下物塊 A 的情況，下列說法正確的是（ ）
A．物塊 A 所受到的摩擦力越來越大
B．物塊 A 受重力、臺面的支持力、指向圓心的摩擦力
C．物塊 A 的向心加速度大小可能不變
D．魔盤對物塊 A 永遠不做功
【答案】A
【詳解】A．物塊 A 逐漸加速，則指向圓心的摩擦力
2向 =
隨角速度的增加，切向速度也逐漸增加，則摩擦力越來越大，選項 A 正確；
B．物塊 A 受重力、臺面的支持力、因物塊受指向圓心和沿切線方向的摩擦力分量，則摩擦力方向
不是指向圓心，選項 B 錯誤；
C．物塊 A 的向心加速度大小
2向 =
逐漸增加，選項 C 錯誤；
D．物塊動能增加，則魔盤對物塊 A 做正功，選項 D 錯誤。
故選 A。
【考向 4】如圖所示，質量為 m 的物體置于傾角為 θ 的斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數為 μ，
在外力作用下，斜面以加速度 a 沿水平方向向左做勻加速運動，運動中物體 m 與斜面體相對靜止。
則關于斜面對 m 的支持力和摩擦力的下列說法中正確的是（　　）
A．支持力一定不做正功 B．摩擦力一定做負功
C．摩擦力一定做正功 D．摩擦力可能不做功
【答案】D
【詳解】A．支持力垂直斜面向上，與運動方向夾角為銳角，根據
= cos
則支持力做正功，A 錯誤；
BC．若摩擦力為零，根據牛頓第二定律
tan =
即摩擦力不做功。若加速度較小，則摩擦力沿斜面向上，做負功；若加速度較大，則摩擦力沿斜面
向下，做正功，BC 錯誤，D 正確。
故選 D。
【考向 5】如圖所示，木塊 B 上表面是水平的，當木塊 A 置于 B 上，并與 B 保持相對靜止，一起沿
固定的光滑斜面由靜止開始下滑，在下滑過程中（　　）
A．A 所受的合外力對 A 不做功 B．B 對 A 的彈力做正功
C．B 對 A 的摩擦力做正功 D．A 對 B 做正功
【答案】C
【詳解】A．木塊向下加速運動，故動能增加，由動能定理可知，木塊 A 所受合外力對 A 做正功，
故 A 錯誤；
B．B 對 A 的彈力豎直向上，與位移夾角大于 90°，則 B 對 A 的彈力對 A 做負功，選項 B 錯誤；
C．因為 A、B 整體具有沿斜面向下的加速度，則加速度有水平向左的分量，則物塊 A 所受 B 的摩
擦力水平向左，由于此摩擦力與位移的夾角小于 90°，則 B 對 A 的摩擦力做正功，選項 C 正確；
D．設整體的加速度為 a，則
a=gsinθ
將 a 正交分解為豎直方向分量 a1，水平分量 a2，如圖所示，
對滑塊 A，由牛頓第二定律得：豎直方向上
mg-N=ma1
水平方向上
f=ma2
假設摩擦力與彈力的合力與水平方向夾角為 α，由幾何關系得
a1=gsinθsinθ
a2=gsinθcosθ

tan =
聯立得
cos
tan = sin =tan( 2 )

即 α+θ=2，所以 B 對 A 的作用力與斜面垂直，所以 A 對 B 作用力也垂直斜面向下，即 A 對 B 不做功，
故 D 錯誤。
故選 C。
【考向 6】如圖，在電梯中有一固定放置的傾角為 θ 的斜面，斜面上放置一個質量為 m 的物體，二
者以相同的加速度 a 勻加速上升了高度 h，且物體和斜面始終保持相對靜止，在這一過程中，下列
說法正確的是（　　）
A．斜面支持力對物體做的功為 ( + ) cos2
B．斜面對物體的摩擦力做的功為 ( + ) cos2
C．斜面對物體做功為 mah
D．合力對物體做的功為 mah
【答案】AD
【詳解】AB．對 m 受力分析如圖
水平和豎直方向分別由動力學方程
sin cos = 0
cos + sin =
解得
= ( + )cos
= ( + )sin
根據定義分別計算出二者的做功
F = cos = ( + ) cos2
f = cos(90° ) = ( + ) sin2
故 A 正確，B 錯誤；
CD．斜面對物體有 2 個力，所以做功為二者之和
= ( + )
合力做功由斜面對物體做的正功和重力做的負功兩部分之和
合 =
再根據牛頓第二定律
合 =
同樣可得
= ( + )
故 C 錯誤，D 正確。
故選 AD。
考點 2：變力功的計算
方法一　利用“微元法”求變力的功
物體的位移分割成許多小段，因小段很小，每一小段上作用在物體上的力可以視為恒力，這樣
就將變力做功轉化為在無數多個無窮小的位移上的恒力所做元功的代數和。此法在中學階段，常應
用于求解大小不變、方向改變的變力做功問題。
【考向 7】（2023·海南·一模）如圖所示，用一個大小不變的力 拉著滑塊（視為質點）使其沿半
徑為 的水平圓軌道勻速運動半周，若力 的方向始終與其在圓軌道上作用點的切線成60°夾角，則
力 做的功為（　　）
A ． 2 B．2 C． D．
【答案】A
【詳解】將力 分解為切線方向和徑向方向兩個分力，其中徑向方向始終與速度方向垂直，不做功，
切線方向分力始終與速度方向相同，則滑塊勻速運動半周，力 做的功為

= cos60° = 2
故選 A。
方法二　化變力的功為恒力的功
若通過轉換研究的對象，有時可化為恒力做功，用 W＝Flcosα 求解。此法常常應用于輕繩通過
定滑輪拉物體的問題中。
【考向 8】如圖所示，固定的光滑豎直桿上套著一個滑塊，滑塊用輕繩系著繞過光滑的定滑輪 O
（滑輪大小可忽略）。現以大小不變的拉力 F 拉繩，使滑塊從 A 點起由靜止開始上升。滑塊運動到 C
點時速度最大。已知滑塊質量為 m，滑輪 O 到豎直桿的距離為 d，∠ ′ = 37 ，∠ ′ = 53 ，重
力加速度為 g。下列說法不正確的是（　　）
A 5．拉力 F 的大小為4
B．滑塊由 A 到 C 做勻加速運動
C．滑塊由 A 到 C 5過程中拉力 F 做的功為6
D．滑塊在 C 1點的動能為9
【答案】ABC
【詳解】A．滑塊運動到 C 點時速度最大，此時加速度為零，則有
cos53 =
解得，拉力為
5
= 3
故 A 錯誤；
B．滑塊運動過程中，設繩與豎直桿在豎直方向的夾角為 ，則根據牛頓第二定律有
cos =
可知，滑塊在向上運動過程中， 逐漸增大，則加速度 a 逐漸變化，所以滑塊做非勻變速運動，故 B
錯誤；
C．滑塊由 A 到 C 過程中拉力 F 做的功為
5 25
F = （ ) = ( sin37 sin53 ) = 12 = 36
故 C 錯誤；
D．滑塊由 A 到 C 過程，根據動能定理有
F = k
根據幾何知識可得
7
= tan37 tan53 = 12
解得，滑塊在 C 點的動能為
25 7 1
k = 36 12 = 9
故 D 正確。
本題選不正確的，故選 ABC。
方法三　利用 F x 圖象求變力的功
在 F–x 圖象中，圖線與 x 軸所圍“面積”的代數和就表示力 F 在這段位移所做的功，且位于 x 軸
上方的“面積”為正，位于 x 軸下方的“面積”為負，但此方法只適用于便于求圖線所圍面積的情況（如
三角形、矩形、圓等規則的幾何圖形）。
【考向 9】（多選）（2024·四川成都·一模）如圖甲所示，一足夠長的水平傳送帶以某一恒定速度
順時針轉動，一根輕彈簧一端與豎直墻面連接，另一端與工件不拴接。工件將彈簧壓縮一段距離后
置于傳送帶最左端無初速度釋放，工件向右運動受到的摩擦力 Ff 隨位移 x 變化的關系如圖乙所示，
x0、Ff0為已知量，則下列說法正確的是（工件與傳送帶間的動摩擦因數處處相等）（　　）
A．工件在傳送帶上先做加速運動，后做減速運動
B．工件向右運動 2x0后與彈簧分離

C f0．彈簧的勁度系數為 0
D．整個運動過程中摩擦力對工件做功為0.75 f0 0
【答案】BD
【詳解】A．從圖乙可知，摩擦力在 0處方向發生變化，在 0 2 0區間工件的摩擦力大小發生變化，
說明工件與傳送帶相對靜止，故工件先做加速運動后做勻速運動，故 A 錯誤；
B．在 0 2 0區間摩擦力大小等于彈簧彈力大小，2 0位置摩擦力為零，所以彈力為零，所以工件
運動2 0后與彈簧分離，故 B 正確；
C．由胡克定律得
0 = 0.5 f0
解得彈簧的勁度系數

= f02 0
故 C 錯誤；
D．摩擦力對工件先做正功后做負功，圖乙圖像與 x 軸圍成的面積在數值上等于摩擦力對工件做的
功，即
1
= f0 0 2 × 0.5 f0 0 = 0.75 f0 0
故 D 正確。
故選 BD。
方法四　利用平均力求變力的功
在求解變力做功時，若物體受到的力方向不變，而大小隨位移呈線性變化，即力均勻變化時，
F1＋F2
則可以認為物體受到一大小為 F＝ 的恒力作用，F1、F2 分別為物體初、末態所受到的力，然2
后用公式 W＝Flcosα 求此力所做的功。
【考向 10】一遵從胡克定律、勁度系數為 k 的彈性輕繩，繞過固定于平臺邊緣的小滑輪 A，將
其一端固定于 O 點，另一端系一質量為 m 的小球，靜止于 M 處。已知 OA 的距離恰為彈性繩原長，
現將小球拉至與 M 等高的 N 處靜止釋放，MN 的距離為 d，則小球從釋放到與平臺右側面碰撞前的
過程中（不計空氣阻力及繩子和滑輪間的摩擦，小球視為質點，彈性繩始終在彈性限度內，重力加
速度為 g）（　　）
A
2
．小球的最大速度為

B 2
2
．小球的最大速度為

C ．小球的最大加速度為2
D
2
．小球的最大加速度為 ( ) + 2

【答案】A
【詳解】AB．根據受力分析可知，小球在 N 到 M 的過程中，只受重力和彈力，且從 N 到 M 的過程
中只有彈力在水平方向的分力做功，且彈力和位移成線性關系，因此可得
1 1
2 =
2
2
解得最大速度為
2
=
A 正確 B 錯誤；
CD．小球的最大加速度時，即合力最大，為一開始釋放的時候，因為小球最后靜止于 M 點，因此
彈力在豎直方向分力，與重力相等，水平分力，為合力，所以可得
=
解得

=
CD 錯誤。
故選 A。
方法五　利用動能定理求變力的功
動能定理既適用于直線運動，也適用于曲線運動，既適用于求恒力做功也適用于求變力做功。
使用動能定理可根據動能的變化來求功，是求變力做功的一種方法。
【考向 11】（2020·陜西·二模）如圖，一半徑為 R 的半圓形軌道豎直固定放置，軌道兩端等高。
質量為 m 的質點自軌道端點 P 由靜止開始滑下，滑到最低點 Q 時，對軌道的正壓力為 2mg，重力加
速度大小為 g。則質點自 P 滑到 Q 的過程中，克服摩擦力所做的功為（　　）
A 1．2mgR B
1
．3mgR C
1mgR D 1．4 ．5mgR
【答案】A
【詳解】質點經過 Q 點時，由重力和軌道的支持力提供向心力，由牛頓第二定律得
2
=
解得
=
質點自 P 滑到 Q 的過程中，由動能定理得
1
= 2f 2
得克服摩擦力所做的功為
1
f = 2
故 A 正確，BCD 錯誤。
故選 A。
考點 3：功率的計算
一.功率
1.定義：功與完成這些功所用時間的比值。
2.物理意義：標量，描述力對物體做功的快慢。只有正值，沒有負值。
W
3.定義式：P＝ ，P 為時間 t 內的平均功率。
t
4.單位：國際單位是瓦特，符號是 W，常用的單位還有 kW。
二.平均功率和瞬時功率
區別 平均功率 瞬時功率
定義 在某一段時間內或某一過程的功率 在某一時刻或某一位置時的功率
反映物體在某一段時間內做功的快
意義 反映物體在某一時刻做功的快慢
慢
①利用公式 P＝Fvcos α，其中 v 為 t 時刻的瞬
W 時速度。
①利用 p ＝ 。
t ②P＝FvF，其中 vF 為物體的速度 v 在力 F 方
計算 ②利用 p ＝F v cos α，其中 v 為物
向上的分速度。
體運動的平均速度。 ③P＝Fvv，其中 Fv 為物體受到的外力 F 在速
度 v 方向上的分力。
三、額定功率和實際功率
額定功率 實際功率
定義 發動機正常條件下長時間工作時的最大功率 機械實際工作時輸出的功率
不同機械額定功率可能不同，但同一機械額定
特點 同一機械實際功率隨工作情況而變化
功率不變
聯系 為了機械的安全，P 額 ≥ P 實。
3．公式 P=Fv 的制約關系
定值 各量的關系 應用
F 一定 P 與 v 成正比 汽車在高速路上，加大油門增大輸出功率，可以提高速度
汽車上坡時，要使速度不變，應加大油門，增大輸出功率，獲
v 一定 F 與 P 成正比
得較大牽引力
汽車在額定功率下行駛，要增大牽引力，則必須降低行駛速度；
P 一定 F 與 v 成反比
反之則必須減小牽引力
【考向 12】質量為 m 的物塊在同一豎直平面內的幾個共點力作用下處于靜止狀態。現將其中一個與
水平方向成 60°角的力 F 突然增大到 2F，其他力保持不變，則在 t 秒末，該力的瞬時功率為（　　）
A
2 2 2 2 2
．2 B． C
D 4 ． ．
【答案】B
【詳解】將其中一個與水平方向成 60°角的力 F 突然增大到 2F，物體受到的合力為 F，并沿該力方
向做勻加速直線運動，在 t 秒末，其速度為

=
該力的瞬時功率為
2 2
= 2 =
故選 B。
【考向 13】（2024·北京海淀·二模）如圖 1 所示，某同學在表面平坦的雪坡下滑，不借助雪杖，能一
直保持固定姿態加速滑行到坡底。該同學下滑情境可簡化為圖 2，雪坡傾角為 α，人可視為質點，圖
中用小物塊表示，下滑過程中某一時刻滑行的速度 v 的方向與雪坡上所經位置的水平線夾角為 β
（β<90 ），已知該同學和滑雪裝備的總質量為 m，滑雪板與雪坡之間的動摩擦因數為 ，重力加速
度為 g，不計空氣阻力。關于該下滑過程，下列說法正確的是（　　）
A．該同學所受摩擦力小于 μmgcosα
B．該同學所受摩擦力的方向不變
C．該同學沿 v 的方向做勻加速直線運動
D．該同學所受重力的瞬時功率一直在增加
【答案】D
【詳解】A．垂直斜面方向，人對斜面的正壓力大小為
N = cos
所以滑動摩擦力
= N = cos
大小不變，故 A 錯誤；
BC．正視斜面，在斜面內有平行斜面向下的重力的分力 sin 和與 v 反向的滑動摩擦力 f，會發現
f 與 sin 的合力與 v 不共線，人做曲線運動，即速度方向在變化，所以 f 的方向也變化，故 BC 錯
誤；
D．由于人加速下滑，所以 f 與 sin 的合力與 v 成銳角，且做曲線運動，所以隨著下滑 v 增大，
且與 sin 夾角減小，重力的功率也增大，即
= sin × cos
所以 P 增大，故 D 正確。
故選 D。
【考向 14】（2024·山東濟南·二模）如圖所示為古代的水車，該水車周邊均勻分布著 N 個盛水的容
器，容器到水車大圓轉軸的距離為 R。在流水的沖力作用下，水車以 n 轉/分的轉速勻速轉動，當裝
滿水的容器到達最高處時將水全部倒入水槽中。設每個盛水容器裝入水的質量均為 m，忽略容器裝
水給水增加的動能和水車浸入水的深度，不計一切摩擦。已知重力加速度為 g，則水車運水的功率
為（　　）
A B C 120 ． 30 ． 60 ． D．2
【答案】A

【詳解】水車每秒轉動的圈數為60，水車轉動一圈對水做的功 = 2 ，則水車的功率

= 1 × 60 = 2 × 60 = 30
故選 A。
【考向 15】（多選）手動擋汽車最大的駕駛樂趣就是自己能隨時控制擋位，加速時可以二擋 2000 轉，
也可以二擋 4000 轉．把擋位推入后帶來的不同動力感受，有人車合一的感覺．自己有什么操作，車
輛就有什么反饋，做一些降擋補油、跟趾動作等等，很有成就感．如圖所示，為轎車中的手動變速
桿，若保持發動機輸出功率不變，將變速桿推至不同擋位，可獲得不同的運行速度，從“1”~“5”擋速
度增大，R 是倒車擋，某型號轎車發動機的額定功率為60kW，在水平路面上行駛的最大速度可達
180km/h，假設該轎車在水平路面上行駛時所受阻力恒定，則該轎車（　　）
A．以最大牽引力爬坡，變速桿應推至“1”擋
B．該車在水平路面上行駛時所受阻力大小為900N
C．以額定功率在水平路面上以最大速度行駛時，其牽引力為1200N
D．改變輸出功率，以54km/h的速度在同一水平路面上勻速行駛時，發動機的輸出功率為35kW
【答案】AC
【詳解】A．由功率的公式有
=
當車的功率不變時，其速度越小，其牽引力越大，所以當以最大牽引力爬坡時，變速桿應推至“1”檔，
故 A 項正確；
BC．當車的牽引力等于車所受的阻力時，其達到最大速度，有
= max = max
解得
= = 1200N
故 B 錯誤，C 正確；
D．車勻速行駛，所以此時牽引力等于阻力，即
′ = = 1200N
根據功率公式有
輸出 = ′ ′
解得
輸出 = 18kW
故 D 錯誤。
故選 AC。
【考向 16】（2024·山東濟寧·三模）某旋轉噴灌機進行農田噴灌的示意圖如圖所示，噴口出水速度的
方向可調節。該噴灌機的最大功率為 = 2000W，噴灌機所做功的75%轉化為水的動能，噴口的橫
截面積 = 30cm2，水的密度 = 1 × 103kg/m3，重力加速度 = 10m/s2， = 3.14，噴口距離地面
的高度 = 0.55m，忽略空氣阻力，不考慮供水水壓對水速的影響。求：
（1）噴灌機的最大噴水速度 v；
（2）噴口出水速度方向與水平面夾角 = 30°時，該噴灌機的最大噴灌面積 m。（保留三位有效數字）
【答案】（1）10m/s；（2）285m2
【詳解】（1）設在 t 時間內從噴口處噴出水的質量為 m，則
Δ = Δ
由能量關系
1
75% Δ = 2 Δ
2
解得
v=10m/s
（2）噴口出水速度方向與水平面夾角 = 30°時，則
1
= sin30 22
= cos30
該噴灌機的最大噴灌面積
m = 2
解得
Sm=285m2
考點 4：機車啟動問題
1.以恒定功率起動[
汽車從靜止開始以額定功率起動，開始時由于汽車的速度很小，由公式 P = Fv 知：牽引力 F 較
大，因而由牛頓第二定律 F– f = ma 知，汽車的加速度較大。隨著時間的推移，汽車的速度將不斷
增大，牽引力 F 將減小，加速度減小，但是由于速度方向和加速度方向相同，汽車的速度仍在不斷
增大，牽引力將繼續減小，直至汽車的牽引力 F 和阻力 f 相平衡為止。汽車的牽引力 F 和阻力 f 平
衡時，F–f = 0，加速度 a＝0，汽車的速度達到最大值 vm。汽車的運動形式是做加速度越來越小的
變加速直線運動，最終做勻速直線運動，其速度–時間圖像如圖所示。
2.以恒定牽引力起動
由于牽引力 F 恒定，根據牛頓第二定律 F–f = ma，可知：加速度 a 恒定，汽車作勻加速直線
運動，隨著時間的推移，實際功率將不斷增大．由于汽車的實際功率不能超過其額定功率，汽車的
勻加速直線運動只能維持到其實際功率等于其額定功率時，此時汽車的速度達到它勻加速直線運動
階段的最大速度 v1，其后汽車只能以額定功率起動的方式進行再加速，其運動方式和第一種起動形
式完全相同，即汽車繼續做加速度越來越小的變加速直線運動，直至汽車進入勻速直線運動狀態，
速度達到最終的最大速度 vm。汽車的起動過程經歷了兩階段：一是勻加速直線運動階段，二是變加
速直線運動階段，最終做勻速直線運動，其速度–時間圖像如圖所示。
3.三個重要關系式
P P
（1）無論哪種啟動過程，機車的最大速度都等于其勻速運動時的速度，即 vm Fmin F阻
（式中 Fmin為最小牽引力，其值等于阻力 F 阻）。
P 額
（2）勻加速啟動持續時間的求法：牽引力 F＝ma＋Ff，勻加速的最后速度 v′m＝ ，時間ma＋Ff
v′m P P
t＝ 。勻加速過程結束時，功率最大（額定功率），速度不是最大，即 v＝ ＜v ＝ 。
a F m F 阻
（3）機車以恒定功率運行時，牽引力做的功 W＝Pt。由動能定理：Pt－F 阻 x＝ΔEk．此式經常
用于求解機車以恒定功率啟動過程的位移大小。
（1）汽車在勻加速直線運動階段，汽車的瞬時速度 vt=v0+at（v0=0）；汽車做勻加速直線運動
所能維持的時間 t1=vm/a 。
（2）汽車在勻加速直線運動階段，汽車的瞬時功率 Pt=Fvt＜P 額。
（3）汽車在勻加速直線運動階段結束時，瞬時功率 pt 等于額定功率 P 額，且滿足 pt=P 額=Fv1。
（4）汽車在變加速直線運動階段功率恒為額定功率，進入勻速直線運動時牽引力和阻力平衡，
有 pt=P 額=Fvm。
1 2
（5）從能的角度看：對于勻加速直線運動階段，根據動能定理有W牽－fs1 mv1 （W 牽、2
s1分別表示勻加速運動階段牽引力所做的功、位移 ），變加速直線運動階段牽引力所做的功 W'牽= P
額 t
1 1
2（t2表示變加速直線運動階段所經歷的時間），W －fs 2 22 mvm mv1 （s2為變加速直線運牽 2 2
動階段的位移）。
（6）在用公式 P＝Fv 計算機車的功率時，F 是指機車的牽引力而不是機車所受到的合力，也
不是阻力。
（7）勻加速過程結束時機車的速度并不是最后的最大速度。因為此時 F>F 阻，所以之后還要在
功率不變的情況下變加速一段時間才達到最后的最大速度 vm。
【考向 17】汽車在平直公路上以速度 0勻速行駛，發動機功率為 P， 1時刻進入另一足夠長的傾斜
路面，如圖，若保持功率 P 繼續行駛，到 2時刻，汽車又恢復了勻速直線運動。假設汽車運動過程
中阻力（不包含重力沿斜面的分力）大小保持不變，下列圖像中能正確表示該汽車運動過程速率 v
隨時間 t 變化的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】勻速行駛時
P=F0v0
此時阻力等于牽引力
f=F0
若 1時刻進入另一足夠長的傾斜路面，由于多了一與速度方向相反的重力下滑分力，汽車開始做減
速運動，功率不變，根據 P=Fv 可知，牽引力會增加。
在斜面上，以沿斜面向下為正方向，根據牛頓第二定律有
+ + sin =
則該過程是加速度減小的減速運動。當加速度再次為零時，有
′ = + sin > 0
根據 P=Fv 可知，此時速度小于 0。
故選 A。
【考向 18】（2024·山東濟南·一模）如圖所示為我國自主研發的第一臺全地面起重機 QAY25，起重
范圍從 25t 到 2600t 1。若該起重機由靜止開始豎直提升質量為 200t 的物體，其 圖像如圖所示，不
計其它阻力，g 取10m/s2，下列說法正確的是（　　）
A．起重機的額定功率為 = 2.4 × 106W B．重物上升的最大速度 m = 15m/s
C．重物 0~10s 內做勻加速直線運動 D．7s 內起重機對重物做的功為 = 1.08 × 108J
【答案】D
【詳解】C．由圖像可知重物勻加速運動的時間為
10
= = 2 s = 5s
可知重物 0~5s 內做勻加速直線運動，故 C 錯誤；
A．根據牛頓第二定律與功率表達式可得
= ， =
聯立可得
1
=
由 1 圖像的斜率可得
12
= 0.1 = 120
解得起重機的額定功率為
= 2.4 × 107W
故 A 錯誤；
B．當牽引力等于重力時重物有最大速度，則重物的最大速度

m = = 12m/s
故 B 錯誤；
D．0 5s內設起重機對重物做的功為 1，對重物由動能定理得
1
1 = 22
1
= 2
1
2 = 2 × 2 × 5
2m = 25m
解得
1 = 6 × 107J 5s后起重機功率恒定，那么5 7s內起重機對重物做的功為
72 = 2 = 4.8 × 10 J
那么7s內起重機對重物做的功為
= 1 + 2 = 1.08 × 108J
故 D 正確。
故選 D。
【考向 19】（多選）（2024·湖南常德·一模）新能源汽車指采用非常規車用燃料作為動力來源的新型
汽車。比如純電動汽車以電池模組和電動機為主要動力裝置，有節能減排、低噪音、高效率等優點，
是未來汽車產業的重要發展方向。現已知質量為 M 的新能源汽車由靜止出發做勻加速直線運動，經
過時間 t 后，該汽車的運行里程為 L，此時發動機恰好到達額定功率 P，汽車所受的阻力恒定，達到
額定功率后，汽車保持額定功率做變加速運動，最后以 1勻速運動，對此下列說法正確的是（　　）

A 2 ．汽車所受阻力為 B．汽車做勻加速運動時的加速度1 2
C 1 2
2
．到達速度 1時，發動機做功為 22 1 D．存在關系式 1 = 3 4 2
【答案】ABD
【詳解】A．由題意，汽車最后以 1勻速運動，則有
= 1 = 1
整理可得有軌電車所受阻力為

= 1
A 正確；
B．因為電車由靜止出發做勻加速直線運動，經過時間 t 后，該有軌電車的運行里程為 L，根據位移
與加速度的關系可得
1
= 2
2
解得有軌電車做勻加速運動時的加速度為
2
= 2
B 正確；
C．到達速度 1時，發動機做功轉化為電車的動能和克服阻力做的功，可知發動機做功大于動能的
增加量
1
> 2
2
1
C 錯誤；
D．由題意，根據牛頓第二定律可得
=
整理可得有軌電車所受阻力為
2
= = = 2 2
當電車勻速運動時，阻力和動力相等，故可得
2 2
1 = = 3 4 2
D 正確。
故選 ABD。
【考向 20】（多選）2021 年 10 月 25 日，如圖甲所示的全球最大“上回轉塔機”成功首發下線，又樹
立了一面“中國高端制造”的新旗幟。若該起重機某次從 = 0時刻由靜止開始向上提升質量為 m 的物
體，其 圖像如圖乙所示， 1時達到額定功率， 1~ 2時間內起重機保持額定功率運動，重力加速
度為 g，不計其它阻力，下列說法正確的是（　　）
A．0~ 1時間內物體處于失重狀態
B．0~ 11時間內起重機對物體做功為2 ( 0 1)
2
2C ．該物體的最大速度為 + 0 10 1
D．0~ 2時間內起重機對物體做功為( + 0) 0 1
1
2 2 1
【答案】CD
【詳解】A．0~ 1時間內物體有向上的加速度，物體處于超重狀態，故 A 錯誤；
B．0~ 1時間內起重機對物體做功為
1 1 1 +
1 = 2
2 + = 2 ( 0 1)
2 + 2 0
2 0
1 = 2 0
2
1
故 B 錯誤；
C．根據牛頓第二定律
=
0~ 1時間內起重機對物體牽引力為
= 0 +
起重機的最大功率為
= = 0 1 = ( 0 + ) 0 1
該物體的最大速度為
2
m = = 0
0 1
1 +
故 C 正確；
D． 1~ 2時間內起重機對物體做功為
2 = ( 2 1) = ( 0 + ) 0 1( 2 1)
0~ 2時間內起重機對物體做功為
1
= 1 + 2 = ( + 0) 0 1 2 2 1
故 D 正確。
故選 CD。
【考向 21】（多選）如圖所示，質量 m=2kg 的物體（可看質點）靜置在傾角為 37°粗糙斜面上的 A
點，現利用固定在 B 點的電動機通過跨過斜面頂端光滑小定滑輪的輕繩將該物體從 A 點拉升到斜面
頂端 O 點，輕繩均與所在的斜面和平面平行。物體與斜面間的動摩擦因數 μ=0.25，輕繩可承受最大
的力 F=20N，電動機的額定功率 P=320W，AO 的距離 s=175m。若要用最短的時間將物體拉到斜面
頂端 O 點，且物體到達 O 點前已經達到最大速度。則（已知 sin37°=0.6，重力加速度取 g=10m/s2）
（　　）
A．物體運動過程中的最大速度 v=16m/s
B．物體上升過程中最大的加速度 a 2m=2m/s
C．在將物體從 A 拉到 O 點的過程中，電動機共做功 3200J
D．物體從 A 運動到 O 共用時 14s
【答案】BCD
【詳解】A．對物體受力分析，當
= sin + cos = 16N
拉力最小，速度最大，根據
= m
代入數據解得
m = 20m/s
故 A 錯誤；
B．根據
=
物體向上加速，拉力 F 越來越小，故當 F=20N 時，加速度最大，根據牛頓第二定律有
sin cos = m
代入數據解得
m = 2m/s2
故 B 正確；
C．根據功能關系，可知在將物體從 A 拉到 O 點的過程中，電動機共做功為
1
= ( sin + cos ) + 22 m = 3200J
故 C 正確；
D．若要用最短的時間將物體拉到斜面頂端 O 點，則物體必須先以最大加速度 = 2m/s2m 做勻加速
運動，再做變加速運動，最后做勻速運動；設經過 1，物體做勻加速運動的速度達到最大，此時功
率也剛好達到額定功率，根據
= 1
解得勻加速直線運動的最大速度為
320
1 = = 20 m/s = 16m/s
則勻加速運動的時間為

= 11 = 8sm
則勻加速運動的位移為

1 =
1
2 1 = 64m
設再經過 2達到 O 點，此過程功率保持不變，為額定功率，根據動能定理有
1 1
2 ( sin + cos )( 1) = 2
2
m 2
2
1
解得
2 = 6s
故物體從 A 運動到 O 的總時間為
= 1 + 2 = 14s
故 D 正確。
故選 BCD。
【真題 1】（2024·海南·高考真題）神舟十七號載人飛船返回艙于 2024 年 4 月 30 日在東風著陸場成
功著陸，在飛船返回至離地面十幾公里時打開主傘飛船快速減速，返回艙速度大大減小，在減速過
程中（　　）
A．返回艙處于超重狀態 B．返回艙處于失重狀態
C．主傘的拉力不做功 D．重力對返回艙做負功
【答案】A
【詳解】AB．返回艙在減速過程中，加速度豎直向上，處于超重狀態，故 A 正確，B 錯誤；
C．主傘的拉力與返回艙運動方向相反，對返回艙做負功，故 C 錯誤；
D．返回艙的重力與返回艙運動方向相同，重力對返回艙做正功，故 D 錯誤。
故選 A。
【真題 2】（2023·湖北·高考真題）兩節動車的額定功率分別為 1和 2，在某平直鐵軌上能達到的最
大速度分別為 1和 2。現將它們編成動車組，設每節動車運行時受到的阻力在編組前后不變，則該
動車組在此鐵軌上能達到的最大速度為（ ）
1 1 2 2 1 2 2 1 ( 1 A B C 2
) 1 2 ( 1 2) 1 2
． ． ．1 2 1 2 1 1 2 D．2 1 2 2 1
【答案】D
【詳解】由題意可知兩節動車分別有
1 = 1 1
2 = 2 2
當將它們編組后有
1 + 2 = ( 1 + 2)
聯立可得
(
= 1
+ 2) 1 2
1 2 + 2 1
故選 D。
【真題 3】（2023·山東·高考真題）《天工開物》中記載了古人借助水力使用高轉筒車往稻田里引水的
場景。引水過程簡化如下：兩個半徑均為 R 的水輪，以角速度 ω 勻速轉動。水筒在筒車上均勻排布，
單位長度上有 n 個，與水輪間無相對滑動。每個水筒離開水面時裝有質量為 m 的水，其中的 60%被
輸送到高出水面 H 處灌入稻田。當地的重力加速度為 g，則筒車對灌入稻田的水做功的功率為（ ）
A 2
2 B 3 3
2
． 5 ． 5 C． 5 D．nmgωRH
【答案】B
【詳解】由題知，水筒在筒車上均勻排布，單位長度上有 n 個，且每個水筒離開水面時裝有質量為 m
的水、其中的 60%被輸送到高出水面 H 處灌入稻田，則水輪轉一圈灌入農田的水的總質量為
m 總 = 2πRnm × 60% = 1.2πRnm
則水輪轉一圈灌入稻田的水克服重力做的功
W = 1.2πRnmgH
則筒車對灌入稻田的水做功的功率為

=
2π
=
聯立有
3
= 5
故選 B。
【真題 4】（2023·北京·高考真題）如圖所示，一物體在力 F 作用下沿水平桌面做勻加速直線運動。
已知物體質量為 m，加速度大小為 a，物體和桌面之間的動摩擦因數為 ，重力加速度為 g，在物體
移動距離為 x 的過程中（　　）
A．摩擦力做功大小與 F 方向無關 B．合力做功大小與 F 方向有關
C．F 為水平方向時，F 做功為 D．F 做功的最小值為
【答案】D
【詳解】A．設力 F 與水平方向的夾角為 θ，則摩擦力為
= ( sin )
摩擦力的功
= ( sin )
即摩擦力的功與 F 的方向有關，選項 A 錯誤；
B．合力功
= 合 =
可知合力功與力 F 方向無關，選項 B 錯誤；
C．當力 F 水平時，則
= +
力 F 做功為
= = ( + )
選項 C 錯誤；
D．因合外力功為 max 大小一定，而合外力的功等于力 F 與摩擦力 f 做功的代數和，而當 sin =
時，摩擦力 f=0，則此時摩擦力做功為零，此時力 F 做功最小，最小值為 max，選項 D 正確。
故選 D。
【真題 5】（2023·山東·高考真題）質量為 M 的玩具動力小車在水平面上運動時，牽引力 F 和受到的
阻力 f 均為恒力，如圖所示，小車用一根不可伸長的輕繩拉著質量為 m 的物體由靜止開始運動。當
小車拖動物體行駛的位移為 1時，小車達到額定功率，輕繩從物體上脫落。物體繼續滑行一段時間
后停下，其總位移為 2。物體與地面間的動摩擦因數不變，不計空氣阻力。小車的額定功率 P0為
（ ）
2
A 2 ( )( 2 1) 1 B 2
2( )( )
． ． 2 1 1
( ) 2 1 ( ) 2 1
C 2
2( )( 2 1) 2 2 2D ( )( 2 1) ． ． 2
( ) 2 1 ( ) 2 1
【答案】A
【詳解】設物體與地面間的動摩擦因數為 μ，當小車拖動物體行駛的位移為 S1的過程中有
F－f－μmg = (m＋M)a
v2= 2aS1
P0= Fv
輕繩從物體上脫落后
a2= μg
v2= 2a2(S2－S1)
聯立有
2 2( )( 2 = 1
) 1
0 ( + ) 2 1
故選 A。
【真題 6】（多選）（2023·湖北·高考真題）如圖所示，原長為 l 的輕質彈簧，一端固定在 O 點，另一
端與一質量為 m 的小球相連。小球套在豎直固定的粗糙桿上，與桿之間的動摩擦因數為 0.5。桿上
M、N 1兩點與 O 點的距離均為 l，P 點到 O 點的距離為2 ，OP 與桿垂直。當小球置于桿上 P 點時恰
好能保持靜止。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度大小為 g。小球以某一初速度從 M 點
向下運動到 N 點，在此過程中，彈簧始終在彈性限度內。下列說法正確的是（ ）
A 4 ．彈簧的勁度系數為
B P 1．小球在 點下方2 處的加速度大小為(3 2 4)
C．從 M 點到 N 點的運動過程中，小球受到的摩擦力先變小再變大
D．從 M 點到 P 點和從 P 點到 N 點的運動過程中，小球受到的摩擦力做功相同
【答案】AD
【詳解】A．小球在 P 點受力平衡，則有
= ， = ， = 2
聯立解得
4
=
A 正確；
C．在 PM 之間任取一點 A，令 AO 與 MN 之間的夾角為 ，則此時彈簧的彈力為

= 2sin
小球受到的摩擦力為
1 = 1 = sin
化簡得
1 = sin 在 MP 之間增大在 PN 減變小，即摩擦力先變大后變小，C 錯誤；2
D．根據對稱性可知在任意關于 P 點對稱的點摩擦力大小相等，因此由對稱性可知 M 到 P 和 P 到 N
摩擦力做功大小相等；D 正確；
B ．小球運動到 P 點下方2時 = 45°，此時摩擦力大小為
2
1 = 2 2
由牛頓第二定律
+ cos45° =
聯立解得
= 2
B 錯誤。
故選 AD。
【真題 7】（2024·福建·高考真題）兩繩拉木板，每條拉力 F = 250N，15s 內勻速前進 20m，θ =
22.5°，cos22.5° ≈ 0.9。求：
（1）阻力 f 大小；
（2）兩繩拉力做的功；
（3）兩繩拉力的總功率。
【答案】（1）450N；（2）9.0 × 103J；（3）600W
【詳解】（1）由于木板勻速運動則有
2Fcosθ = f
帶入數據解得
f = 450N
（2）根據功的定義式有
W = 2Flcosθ
帶入數據解得
W = 9.0 × 103J
（3）根據功率的定義式有

=
帶入數據有
P = 600W
一、單選題
1．（2023·湖南長沙·一模）木匠師傅用鐵錘把釘子砸進木梁，每次砸擊對鐵釘做功相同。已知釘子
所受阻力與其進入木梁中的深度成正比，木匠砸擊 4 次，就把一枚長為 的釘子全部砸進木梁，那么
他第 1 錘將鐵釘砸進木梁的深度是（　　）
A ．4 B
3
．2 C． 4 D．8
【答案】B
【詳解】作出釘子所受阻力與進入深度的關系圖，可知前一半深度與后一半深度過程中，阻力做功
之比為1:3，由題意可知，每次砸錘，錘對釘做功相同，將釘全部砸進木梁需要砸 4 次，則第 1 錘將

鐵釘砸進木梁的深度是2。
故選 B。
2．（2024·浙江金華·三模）如圖，某同學將皮球從水平地面上的 1 位置靜止踢出，最后落回水平地
面上的 3 位置，虛線是足球在空中的運動軌跡，2 位置為軌跡的最高點，此處離地高度為 h，足球在
最高處的速度為 0，下列說法正確的是（ ）
A．足球全程運動過程中重力做功不為零
B．足球的運動過程中加速度保持不變
C．足球從 2 位置到 3 位置的運動時間大于從 1 位置到 2 位置的運動時間
D．足球從 1 位置到 2 位置的水平位移與 2 位置到 3 位置的水平位移之比為 2∶1
【答案】C
【詳解】A．足球全程運動過程中位移與重力方向垂直，重力做功為零，故 A 錯誤；
B．由題圖可知，足球運動過程中，受到空氣阻力作用，且空氣阻力方向時刻改變，所以足球所受
合外力為變力，根據牛頓第二定律可知足球的加速度改變，故 B 錯誤；
C．足球從 1 位置到 2 位置過程，空氣阻力豎直方向的分力向下，足球從 2 位置到 3 位置過程，氣
阻力豎直方向的分力向上，根據牛頓第二定律可知足球由位置 1 運動到位置 2 過程中豎直方向上加
速度的平均值大于足球由位置 2 運動到位置 3 過程中豎直方向上加速度的平均值，根據
1
= 2
2
可知，足球由位置 1 運動到位置 2 的時間小于由位置 2 運動到位置 3 的時間，故 C 正確；
D．根據題意無法得出足球從 1 位置到 2 位置的水平位移與 2 位置到 3 位置的水平位移之比，故 D
錯誤。
故選 C。
3．（2024·湖北·一模）某品牌電動汽車以額定功率在平直公路上勻速行駛，在 t1時刻突發故障使汽
車的功率減小一半，司機保持該功率繼續行駛，到 2時刻汽車又開始做勻速直線運動（設汽車所受
阻力不變），則在 1 2時間內（　　）
A．汽車的加速度逐漸增大 B．汽車的加速度逐漸減小
C．汽車的速度先減小后增大 D．汽車的速度先增大后減小
【答案】B
【詳解】電動汽車以額定功率在平直公路上勻速行駛，則有
= =
在 t1時刻突發故障使汽車的功率減小一半，由于速度來不及變化，可知此時牽引力減小為原來的一
半，即牽引力小于阻力，根據牛頓第二定律可得

=
加速度方向與速度方向相反，汽車開始做減速運動，速度減小，又導致牽引力增大，可知汽車的加
速度逐漸減小，當牽引力增大到等于阻力時，加速度減少到 0，又做勻速直線運動；故在 1 2時間
內汽車做加速度逐漸減小的減速運動。
故選 B。
4．（2022·四川遂寧·二模）“碳中和”、“低碳化”、“綠色奧運”是北京冬奧會的幾個標簽。本次冬奧會
運行超 1000 輛氫能源汽車，是全球最大的一次燃料電池汽車示范。某款質量為 M 的氫能源汽車（如
圖所示）在一次測試中，沿平直公路以恒定功率 P 從靜止啟動做直線運動，行駛路程 x，恰好達到
最大速度 m。已知該車所受阻力恒定。下列判定正確的是（　　）
A．啟動過程中，車做勻加速直線運動
B 1．啟動過程中，牽引力對車做的功為2
2
m
2
C．車速從 0 增至 m的加速時間為 m +2 m
2
D m．車速為 2 時，車的加速度大小為 m
【答案】C
【詳解】A．汽車以恒定功率 P 啟動，根據
=
可知，啟動過程中，速度 增大，則牽引力 減小，根據牛頓第二定律有
=
可知，加速度 減小，則車做加速度減小的加速運動，故 A 錯誤；
B．根據題意，可知汽車受到的阻力為

= m
啟動過程中，根據動能定理有
1
= 2
2
m
牽引力對車做的功為
1
= 2 + 2 mm
故 B 錯誤；
C．根據題意，可知汽車受到的阻力為

= m
車速從 0 增至 m的過程中，根據動能定理有
1
= 2
2
m
聯立解得
2
= + m m 2
故 C 正確；

D m．車速為 2 時，汽車的牽引力為
2
1 = =m
2 m
根據牛頓第二定律有
1 = 1
解得

1 = m
故 D 錯誤。
故選 C。
5．（2022·河南·一模）水平桌面上，長 6m 的輕繩一端固定于 O 點，如圖所示（俯視圖），另一端系
一質量 m=2.0kg 的小球。現對小球施加一個沿桌面大小不變的力 F=10N，F 拉著物體從 M 點運動到
N 點，F 的方向始終與小球的運動方向成 37°角。已知小球與桌面間的動摩擦因數 μ=0.2，不計空氣
阻力，取 g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，則下列說法正確的是（　　）
A．拉力 F 對小球做的功為 16π（J） B．拉力 F 對小球做的功為 8π（J）
C．小球克服摩擦力做的功為 16π（J） D．小球克服摩擦力做的功為 4π（J）
【答案】A
【詳解】AB．將圓弧分成很多小段 l1，l2，…，ln，拉力 F 在每小段上做的功為 W1，W2，…，Wn，
因拉力 F 大小不變，方向始終與小球的運動方向成 37°角，所以
W1=Fl1cos37°
W2=Fl2cos37°
Wn=Flncos37°
故

F = 1 + 2 + … + = cos37°（ 1 + 2 + … + ） = cos37° 3 = 10 × 0.8 × 3 × 6（J）
= 16 （J）
故 A 正確，B 錯誤；
CD．同理可得小球克服摩擦力做的功

f = 3 = 8 （J）
故 CD 錯誤。
故選 A。
6．（2024·廣東汕頭·二模）在礦山開采中，滑輪裝置被用于提升和移動礦石。如圖，一輛車通過定
滑輪提升質量為 M 的礦石，滑輪左側連接車的繩子在豎直方向的投影為 h，當車以速度 v 勻速向左
行駛一段距離后，連接車的繩子與水平方向的夾角從53 變為37 ，sin37 = 35，sin53
= 45，則該過
程中（　　）
A．礦石重力的功率為
B 5．礦石重力做功為 12
C．繩子對礦石拉力做的功等于礦石重力做的功
D．繩子對礦石拉力的功率一直保持不變
【答案】B
【詳解】A．礦石的速度
1 = cos
令連接車的繩子與水平方向的夾角為 ，礦石重力做負功，克服礦石重力的功率為
= 1 = cos <
車以速度v勻速向左行駛， 逐漸減小，可知，該功率逐漸增大，則克服礦石重力的平均功率小于 ，
故 A 錯誤；
B．令滑輪到水平地面的高度差為 h，則礦石上升的距離
5
0 = sin37 sin53 = 12
礦石重力做功為
5
= 0 = 12
故 B 正確；
C．結合上述有
1 = cos
可知，車以速度 v 勻速向左行駛， 逐漸減小，礦石速度增大，即繩子拉力大小大于礦石重力，拉力
做正功，礦石重力做負功，則繩子對礦石拉力做的功大于克服礦石重力做的功，故 C 錯誤；
D．結合上述，礦石的速度
1 = cos
等式兩側對時間求導數，取導數的絕對值，得到礦石加速度大小
= sin ′ = sin
將車的速度垂直與繩分解，該分速度有轉動的效果，則有

2 = sin = sin
對礦石進行分析，根據牛頓第二定律有
=
繩子對礦石拉力的功率
T = 1
解得
3sin3 cos
T = cos +
可知，拉力的功率隨 的改變而發生變化，即繩子對礦石拉力的功率并不是一直保持不變，故 D 錯
誤。
故選 B。
7．（2024·四川內江·三模）如圖，是某公園的噴泉示意圖。假設某一水珠從噴出到落回地面在同一
豎直線上運動，且運動過程中水珠質量不變，受到空氣阻力的大小與速度成正比。則關于該水珠在
空中運動的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．該水珠在落回地面前瞬間，重力的瞬時功率最小
B．該水珠上升過程處于超重狀態，下落過程處于失重狀態
C．上升過程所用時間小于下落過程所用時間
D．上升過程克服空氣阻力做的功等于下落過程克服空氣阻力做的功
【答案】C
【詳解】A．水珠重力的瞬時功率
=
水珠在最高點時，速度是零，則重力的瞬時功率最小，A 錯誤；
B．該水珠上升過程受重力與空氣阻力，兩力的合力方向豎直向下，由牛頓第二定律可知，水珠的
加速度方向向下，處于失重狀態；下落過程水珠受重力與向上的空氣阻力，空氣阻力小于重力，兩
力合力方向向下，加速度方向向下，處于失重狀態，B 錯誤；
C．水珠上升過程受重力與空氣阻力方向相同，下落過程空氣阻力與重力方向相反，由牛頓第二定
律可知，上升過程的加速度大于下落過程的加速度，水珠上升過程與下落過程的位移大小相等，可
知上升過程所用時間小于下落過程所用時間，C 正確；
D．由題設條件可知，水珠受到空氣阻力的大小與速度成正比，上升過程所用時間小于下落過程所
用時間，上升過程與下落過程的位移大小相等，則上升過程平均速度大小大于下落過程的平均速度
大小，可知水珠上升過程受空氣阻力大小大于下落過程受空氣阻力大小，由功的計算公式可知，上
升過程克服空氣阻力做的功大于下落過程克服空氣阻力做的功，D 錯誤。
故選 C。
8．（2024·湖北武漢·二模）如圖所示，輕滑輪上跨有輕繩，輕繩兩端恰好觸地，輕繩兩側分別套有
質量為 1 = 0.2kg、 2 = 0.5kg的小球 A、B，兩球同時由靜止開始從離地面高 = 0.26m處沿繩下
滑。由于球內側有卡扣，使兩球與輕繩間的最大靜摩擦力均等于其重力的 0.5 倍。若最大靜摩擦力
等于滑動摩擦力，取重力加速度 = 10m/s2，不計輕繩與滑輪間的摩擦，下列說法正確的是（　　）
A．A 球先落地
B．A 球落地時速度大小為 1m/s
C．B 球受到的摩擦力大小始終為 2.5N
D．B 球摩擦力的瞬時功率最大值為 1.6 W
【答案】D
【詳解】ABC．由于 A、B 兩球對細繩的摩擦力必須等大，且 A、B 的質量不相等，A 球由靜止釋
放后與細繩間為滑動摩擦力，B 與細繩間為靜摩擦力，對 A 分析得
1 A = 1 1
對 B 分析得
2 B = 2 2
A = B = 0.5 1 =1N
聯立解得
A = 5m/s2， B = 8m/s2
設 A 球經時間 t 與細繩分離，此時，A、B 下降的高度分別為 h1、h2，速度分別為 v1、v2，則有
1
= 21 2 1
1
= 22 2 2
H= h1+ h2
v1= a1t，v2= a2t
聯立解得
t=0.2s，h1=0.1m，h2=0.16m，v1=1m/s，v2=1.6m/s
分離后，對 A 經 t1落地，則有對 B 經 t2落地，則有
1
= + 21 1 1 2 1
1
22 = 2 2 + 2 2
解得
1 = 0.103s， 2 = 0.054s
A 球落地的速度為
1′ = 1 + 1 = 2.03m/s
所以 B 先落地，故 ABC 錯誤；
D．B 球摩擦力的瞬時功率最大值為
= B 2 = 1.6W
故 D 正確。
故選 D。
9．（2024·遼寧鞍山·二模）汽車在上坡路上起步的行為叫做坡起。此行為多發生在城市立交橋和山
區公路的上坡路段。一新學員駕駛某手動擋車型在山區遇到一個長直斜坡，因路寬車少，開始由靜
止練習坡起技術，行車電腦記錄了這次坡起的功率——時間圖像如圖所示，且 0功率下能達到的最
大速度為 m。下列有關說法正確的是（ ）
A． 1~ 2時間內汽車做勻速運動 B．0~ 2時間內發動機做的功為 10 2 2

C．0~ 01時間內發動機做的功為 0 1 D．汽車勻速行駛時所受摩擦及空氣的阻力為 m
【答案】B
【詳解】A．根據圖像可知，0-t1，內
= =
所以汽車勻加速啟動， 1時刻功率達到最大，但此時牽引力大于阻力，仍處于加速階段，故 1~ 2時
間內汽車有變速運動，故 A 錯誤；
B．圖像面積代表發動機做的功
1
= 0 2 2
故 B 正確；
C．根據面積代表功可知，0~ 1時間內發動機做的功為
1
= 2 0 1
故 C 錯誤；
D．行車電腦記錄了這次坡起的功率，所以汽車勻速行駛時所受摩擦及空氣的阻力以及重力向下分
0
力的合力為 ，故 D 錯誤。m
故選 B。
10．（2023·廣西·三模）新能源汽車的發展是為了減少對傳統燃料的依賴，減少環境污染和減少溫室
1
氣體的排放。如圖所示為我國比亞迪一型號汽車某次測試行駛時的加速度和車速倒數 的關系圖像。
若汽車質量為2 × 103kg，它由靜止開始沿平直公路行駛，且行駛中阻力恒定，最大車速為30m/s，
下列說法正確的是（　　）
A．汽車勻加速所需時間為6s
B．汽車牽引力的額定功率為5 × 104W
C．汽車在車速為5m/s時，功率為3 × 104W
D．汽車所受阻力為1 × 103N
【答案】C
【詳解】A．由圖可知，汽車在速度等于10m/s前，加速度不變，故汽車是恒加速度啟動的，根據勻
變速直線運動的基本規律可知
10
= = 2 s = 5s
故 A 錯誤；
BD．汽車達到最大車速為30m/s，汽車開始做勻速直線運動，此時
= 額 =
，
當 = 10m/s時，汽車的加速度 = 2m/s2。根據牛頓第二定律可知
額
=
代入數據，解得
額 = 6 × 104W， = 2 × 103N
故 B、D 錯誤；
C．汽車在車速為5m/s時，汽車處于勻加速階段，故
=
=
解得
= 6 × 103N， = 3 × 104W
故 C 正確。
故選 C。
11．汽車在研發過程中都要進行性能測試，如圖所示為某次測試中某型號汽車的速度 v 與牽引力 F
1
大小倒數的 圖像，vm 表示最大速度。已知汽車在水平路面上由靜止啟動，ab 平行于 v 軸，bc 反
向延長過原點 O。阻力恒定，汽車質量為 2×103kg，下列說法正確的是（　　）
A．汽車從 a 到 b 持續的時間為 20s
B．汽車由 b 到 c 過程做勻加速直線運動
C．汽車額定功率為 50W
D．汽車能夠獲得的最大速度為 12m/s
【答案】A
【詳解】C．根據功率的計算公式 P=Fv 可知，額定功率等于圖線的斜率為
10
= 1 W = 50kW
5 × 10
3
故 C 錯誤；
B．根據 P=Fv 可知，汽車由 b 到 c 過程中功率不變，隨著汽車速度的增大，牽引力減小，根據牛頓
第二定律得：
F-f=ma
汽車所受阻力不變，隨著牽引力的減小，汽車的加速度也減小，汽車由 b 到 c 過程中加速度減小的
加速運動，故 B 錯誤；
D．汽車能夠獲得的最大速度為
1 3 1 m = × = 50 × 10 × 4 × 10
3m/s= 12.5m/s
故 D 錯誤；
A．汽車所受的阻力為

= m
汽車從 a 到 b 所受的牽引力為
1 1
= 5 × 10
3N 1
根軍牛頓第二定律得：
F-f=ma
解得
a=0.5m/s2
汽車從 a 到 b 持續的時間為

= ＝20s
故 A 正確。
故選 A。
12．（2024·湖南長沙·一模）一輛質量為 m 的小汽車在水平地面上由靜止開始運動，其功率隨速度的
變化關系如圖所示，其中 AB 段平行于 v 軸，汽車勻速運動階段的速度為 。根據圖像，下列說法
正確的是（　　）
A．速度增大到 的過程中，汽車的加速度逐漸減小，當 = 時， = 0

B 0．汽車與地面間的摩擦力大小為 =
3
C．在 OA 段汽車的位移為 = 2 0( )
2 2 2
D．若 AB 段汽車的位移為 s，則 AB 段汽車運動的時間 = 2 +0
【答案】C
【詳解】A． 圖像斜率代表牽引力，速度增大到 的過程中，汽車的牽引力不變，加速度不變，
故 A 錯誤；
B．汽車勻速運動階段的速度為 ，此時牽引力等于摩擦力，汽車與地面間的摩擦力大小為

= 0
故 B 錯誤；
C． 圖像斜率代表牽引力，汽車牽引力在 OA 段不變，故汽車為勻加速啟動，在 A 點功率為額定
功率，牽引力為勻加速運動的牽引力，故勻加速階段的牽引力為

1 =
0

1 =
2 = 2
聯立得
3 = 2 0( )
故 C 正確；
D．根據動能定理
1 1
20 = 2 2
2

得
2 2
=

2 +0
故 D 錯誤。
故選 C。
13．如圖甲所示，一個傾角為 的斜面固定在地面上，一輛質量為 m 的汽車由靜止以額定功率 P 駛
上斜面，汽車行駛的最大速度為 v1；如圖乙所示，若汽車從斜面頂端由靜止以額定功率 P 向下運動，
汽車行駛的最大速度為 v2.已知汽車行駛過程中受到的阻力大小恒定不變，重力加速度為 g，下列說
法正確的是（　　）
A．汽車均做勻加速直線運動
B．最大行駛速度 v1大于 v2

C 1 2．阻力大小為 1 sin 2

D 1 2．額定功率大小為 2 sin 2 1
【答案】D
【詳解】A．汽車以額定功率行駛，做加速度減小的加速運動，當加速度減為零時，速度達到最大，
因此汽車均做變加速直線運動，A 錯誤；
BCD．設汽車行駛過程中受到的阻力為 f，當汽車達到最大速度時，加速度為零，對題圖甲有，牽
引力
1 = sin + f
額定功率
= 1 1
對題圖乙有，牽引力
2 = f sin
額定功率
= 2 2
聯立可得
1 = 2

f sin ， =
1 2
2 sin 2 1 2 1
故
1 < 2
D 正確，BC 錯誤。
故選 D。
二、多選題
14．（2024·青海海南·二模）衛星失效后一般有“冰凍”和“火葬”兩種處理方案，對于較低軌道的“死亡”
衛星，備用發動機使其快速轉移到更低的軌道上，最終一頭扎入稠密大氣層，與大氣摩擦燃燒殆盡；
對于較高軌道的“死亡”衛星，備用發動機可將其抬高到比地球同步軌道高 300 千米的“墳墓軌道”實
施高軌道“冰凍”。下列說法正確的是（　　）
A．“死亡”衛星進入“墳墓軌道”后速度變小
B．實施低軌道“火葬”時，備用發動機對衛星做正功
C．實施高軌道“冰凍”時，備用發動機對衛星做負功
D．衛星在“墳墓軌道”上運行的加速度小于在地球靜止軌道上運行的加速度
【答案】AD
【詳解】A．對于衛星有
2
2 =
整理有

=
由于進入“墳墓軌道”其軌道半徑變大，所以衛星的速度變小，故 A 項正確；
B．實施低軌道“火葬”時，衛星需要減速進入低軌道，即備用發電機對衛星做負功，故 B 項錯誤；
C．實施高軌道“冰凍”時，衛星需要加速進入高軌道，即備用發電機對衛星做正功，故 C 項錯誤；
D．對衛星有

2 =
整理有

= 2
由于衛星在“墳墓軌道”的軌道半徑大于地球靜止軌道的軌道半徑，所以衛星在“墳墓軌道”上運行的
加速度小于在地球靜止軌道上運行的加速度，故 D 項正確。
故選 AD。
15．（2023·重慶·一模）如題圖甲，轆轤是古代民間提水設施，由轆轤頭、支架、井繩、水斗等部分
構成。如題圖乙為提水設施工作原理簡化圖，某次需從井中汲取 m=2kg 的水，轆轤繞繩輪軸半徑為
r=0.1m，水斗的質量為 0.5kg，井足夠深且井繩的質量忽略不計。t=0 時刻，輪軸由靜止開始繞中心
軸轉動，其角速度隨時間變化規律如題圖丙所示，g 取10m/s2，則（　　）
A．水斗速度隨時間變化規律為 v=0.4t
B．井繩拉力瞬時功率隨時間變化規律為 P=10t
C．0~10s 內水斗上升的高度為 4m
D．0~10s 內井繩拉力所做的功為 520J
【答案】AD
【詳解】A．根據圖像可知，水斗速度
40
= = 10 × 0.1 = 0.4
A 正確；
B．井繩拉力瞬時功率為
= =
又由于
( + 0) = ( + 0)
根據上述有
= 0.4m/s2
則有
P=10.4t
B 錯誤；
C．根據圖像可知，0~10s 內水斗上升的高度為
40 × 0.1 × 10
= 2 = 2 m = 20m
C 錯誤；
D．根據上述
P=10.4t
0~10s 內井繩拉力所做的功為
10.4 × 10 × 10
= 2 J = 520J
D 正確。
故選 AD。
16．（2024·山東臨沂·二模）電動汽車以其環保節能、加速快等優點越來越受到消費者的歡迎，為使
汽車既有良好的加速性能，又能控制汽車的最大速度，電動汽車的車載智能系統介入汽車行駛過程。
如圖所示為某品牌汽車在一次起步時汽車牽引力與速度的關系，汽車的速度達到25m/s時電動機功
率達到最大值256kW。此后車載智能系統逐漸降低電動機功率，當電動機功率降至最大功率的 50%
時，汽車達到最大速度。已知汽車及乘員的總質量為1600kg，汽車行駛過程中受到的阻力與速度的
關系為 = 2（ = 1.024N s2/m2），則汽車在起步直至達到最大速度的過程中，下列說法正確的
是（　　）
A．汽車的加速度始終在減小
B．汽車的加速度先不變后減小
C．該汽車能達到的最大速度是100m/s
D．汽車速度為25m/s時的加速度為6m/s2
【答案】AD
【詳解】AB．汽車的速度達到25m/s前的過程，根據牛頓第二定律可得
1 2 = = 1


可知隨著汽車速度的增大，汽車的加速度逐漸減小；汽車的速度達到25m/s到最大速度的過程中，
根據牛頓第二定律可得
2
′ = =
可知隨著汽車速度的增大，牽引力的減小，汽車的加速度繼續逐漸減小；故 A 正確，B 錯誤；
C．設汽車能達到的最大速度為 m，此時牽引力等于阻力，電動機功率降至最大功率的 50%時，則
有
50% m = m = 3m
解得
3 50% m 3 0.5 × 256 × 103 m = = 1.024 m/s = 50m/s
故 C 錯誤；
D．汽車速度為25m/s時，根據牛頓第二定律可得
1 1 2 = =
又
1
4 = =
2
m = 2560N
聯立解得
4 × 2560 1.024 × 252
= 2 21600 m/s = 6m/s
故 D 正確。
故選 AD。
三、解答題
17．（2024·福建廈門·二模）2023 年 11 月 24 日，全球首個“海底數據艙”成功安裝在海南陵水海域，
如圖甲所示，起重機吊著“海底數據艙”從海面下沉到水中預定位置。某一階段該艙豎直下沉 15m，
此過程其速度 v 隨時間 t 的變化關系如圖乙所示，已知“海底數據艙”質量為 1.0×106kg，下沉過程中
所受水的阻力（含浮力）恒為 2.0×106N。重力加速度 g＝9.8m/s2。求；
（1）0~30s 內，“海底數據艙”的最大速度 vm；
（2）10~30s 內，起重機的拉力大小 F；
（3）0~30s 內，起重機拉力的最大功率 Pm。
【答案】（1）1m s；（2）7.85 × 106N；（3）7.85 × 106W
【詳解】
（1）速度時間圖像與時間軸圍成的面積表示位移，則根據圖乙可知，下沉距離

= m2
解得
m = 1m/s
（2）根據圖乙可得 10~30s 內加速度大小

= m
1
= 2 20m/s = 0.05m/s
2
此過程對數據倉受力分析，設起重機拉力為 ，水的阻力為 ，則由牛頓第二定律有
+ =
解得
= 7.85 × 106N
（3）受力分析可知，起重機在0~10s內的拉力小于在10s~30s，在10s~30s階段且速度最大時刻，
功率最大，則有
m = m
代入數據解得
m = 7.85 × 106W第 17 講　功和功率
——劃重點之精細講義系列
考點 1 功的正負判斷和計算
考點 2 變力功的計算
考點 3 功率的計算
考點 4 機車啟動問題
考點 1：功的正負判斷和計算
一．功
1．做功的兩個必要條件
力和物體在力的方向上發生的位移．
2．公式
W＝Flcos α，適用于恒力做功，其中 α 為 F、l 方向間夾角，l 為物體對地的位移．
3．功的正負判斷
夾角 功的正負
α<90° 力對物體做正功
α>90° 力對物體做負功，或者說物體克服這個力做了功
α＝90° 力對物體不做功
4．判斷力是否做功及做正、負功的方法
恒力做功的判斷 若物體做直線運動，依據力與位移的夾角來判斷
若物體做曲線運動，依據 F 與 v 的方向夾角來判斷。當 0≤α<90°，力對物
曲線運動中功的判斷
體做正功，90°<α≤180°，力對物體做負功；α＝90°，力對物體不做功
動能定理描述了合外力做功與動能變化的關系，即 W 合＝Ek 末－Ek 初，當動
根據動能的變化
能增加時合外力做正功；當動能減少時，合外力做負功
依據能量變化來判斷 根據功是能量轉化的量度，若有能量轉化，則必有力對物體做功。此法常
用于兩個相聯系的物體之間的相互作用力做功的判斷
5.恒力做功的計算
(1)單個力做的功：直接用 W＝Flcos α 計算．
(2)合力做的功
方法一：先求合力 F 合，再用 W 合＝F 合 lcos α 求功．
方法二：先求各個力做的功 W1、W2、W3、…，再應用 W 合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的
功．
【考向 1】如圖所示，小球通過細線懸掛于車廂內的 O 點，在車廂內左右擺動，車廂始終水平向右
勻速運動，小球從左側最高點運動到最低點過程中，以地面為參考系，則（ ）
A．細線對車廂不做功 B．細線對車廂做正功
C．細線對小球不做功 D．細線對小球做正功
【考向 2】如圖所示，水平路面上有一輛質量為 M 的汽車，車廂中有一質量為 m 的人正用恒力 F 向
前推車廂，在車以加速度 a 向前加速行駛距離 L 的過程中，下列說法不正確的是（　　）
A．人對車的推力 F 做的功為 FL B．車對人做的功為
C．車對人的摩擦力做的功為( + ) D．車對人的作用力大小為 ma
【考向 3】如圖所示，水平旋轉魔盤上的物塊 A，當魔盤轉動的角速度 = ( > 0)時，物塊 A 相
對轉臺靜止。關于這種情況下物塊 A 的情況，下列說法正確的是（ ）
A．物塊 A 所受到的摩擦力越來越大
B．物塊 A 受重力、臺面的支持力、指向圓心的摩擦力
C．物塊 A 的向心加速度大小可能不變
D．魔盤對物塊 A 永遠不做功
【考向 4】如圖所示，質量為 m 的物體置于傾角為 θ 的斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數為 μ，
在外力作用下，斜面以加速度 a 沿水平方向向左做勻加速運動，運動中物體 m 與斜面體相對靜止。
則關于斜面對 m 的支持力和摩擦力的下列說法中正確的是（　　）
A．支持力一定不做正功 B．摩擦力一定做負功
C．摩擦力一定做正功 D．摩擦力可能不做功
【考向 5】如圖所示，木塊 B 上表面是水平的，當木塊 A 置于 B 上，并與 B 保持相對靜止，一起沿
固定的光滑斜面由靜止開始下滑，在下滑過程中（　　）
A．A 所受的合外力對 A 不做功 B．B 對 A 的彈力做正功
C．B 對 A 的摩擦力做正功 D．A 對 B 做正功
【考向 6】如圖，在電梯中有一固定放置的傾角為 θ 的斜面，斜面上放置一個質量為 m 的物體，二
者以相同的加速度 a 勻加速上升了高度 h，且物體和斜面始終保持相對靜止，在這一過程中，下列
說法正確的是（　　）
A．斜面支持力對物體做的功為 ( + ) cos2
B．斜面對物體的摩擦力做的功為 ( + ) cos2
C．斜面對物體做功為 mah
D．合力對物體做的功為 mah
考點 2：變力功的計算
方法一　利用“微元法”求變力的功
物體的位移分割成許多小段，因小段很小，每一小段上作用在物體上的力可以視為恒力，這樣
就將變力做功轉化為在無數多個無窮小的位移上的恒力所做元功的代數和。此法在中學階段，常應
用于求解大小不變、方向改變的變力做功問題。
【考向 7】（2023·海南·一模）如圖所示，用一個大小不變的力 拉著滑塊（視為質點）使其沿半
徑為 的水平圓軌道勻速運動半周，若力 的方向始終與其在圓軌道上作用點的切線成60°夾角，則
力 做的功為（　　）
A ． 2 B．2 C． D．
方法二　化變力的功為恒力的功
若通過轉換研究的對象，有時可化為恒力做功，用 W＝Flcosα 求解。此法常常應用于輕繩通過
定滑輪拉物體的問題中。
【考向 8】（多選）如圖所示，固定的光滑豎直桿上套著一個滑塊，滑塊用輕繩系著繞過光滑的
定滑輪 O（滑輪大小可忽略）。現以大小不變的拉力 F 拉繩，使滑塊從 A 點起由靜止開始上升。滑
塊運動到 C 點時速度最大。已知滑塊質量為 m，滑輪 O 到豎直桿的距離為 d，∠ ′ = 37 ，∠ ′ =
53 ，重力加速度為 g。下列說法不正確的是（　　）
A 5．拉力 F 的大小為4
B．滑塊由 A 到 C 做勻加速運動
C 5．滑塊由 A 到 C 過程中拉力 F 做的功為6
D．滑塊在 C 1點的動能為9
方法三　利用 F x 圖象求變力的功
在 F–x 圖象中，圖線與 x 軸所圍“面積”的代數和就表示力 F 在這段位移所做的功，且位于 x 軸
上方的“面積”為正，位于 x 軸下方的“面積”為負，但此方法只適用于便于求圖線所圍面積的情況（如
三角形、矩形、圓等規則的幾何圖形）。
【考向 9】（多選）（2024·四川成都·一模）如圖甲所示，一足夠長的水平傳送帶以某一恒定速度
順時針轉動，一根輕彈簧一端與豎直墻面連接，另一端與工件不拴接。工件將彈簧壓縮一段距離后
置于傳送帶最左端無初速度釋放，工件向右運動受到的摩擦力 Ff 隨位移 x 變化的關系如圖乙所示，
x0、Ff0為已知量，則下列說法正確的是（工件與傳送帶間的動摩擦因數處處相等）（　　）
A．工件在傳送帶上先做加速運動，后做減速運動
B．工件向右運動 2x0后與彈簧分離

C f0．彈簧的勁度系數為 0
D．整個運動過程中摩擦力對工件做功為0.75 f0 0
方法四　利用平均力求變力的功
在求解變力做功時，若物體受到的力方向不變，而大小隨位移呈線性變化，即力均勻變化時，
F1＋F2
則可以認為物體受到一大小為 F＝ 的恒力作用，F1、F2 分別為物體初、末態所受到的力，然2
后用公式 W＝Flcosα 求此力所做的功。
【考向 10】一遵從胡克定律、勁度系數為 k 的彈性輕繩，繞過固定于平臺邊緣的小滑輪 A，將
其一端固定于 O 點，另一端系一質量為 m 的小球，靜止于 M 處。已知 OA 的距離恰為彈性繩原長，
現將小球拉至與 M 等高的 N 處靜止釋放，MN 的距離為 d，則小球從釋放到與平臺右側面碰撞前的
過程中（不計空氣阻力及繩子和滑輪間的摩擦，小球視為質點，彈性繩始終在彈性限度內，重力加
速度為 g）（　　）
A
2
．小球的最大速度為

B 2
2
．小球的最大速度為

C ．小球的最大加速度為2
D
2
．小球的最大加速度為 ( ) + 2

方法五　利用動能定理求變力的功
動能定理既適用于直線運動，也適用于曲線運動，既適用于求恒力做功也適用于求變力做功。
使用動能定理可根據動能的變化來求功，是求變力做功的一種方法。
【考向 11】（2020·陜西·二模）如圖，一半徑為 R 的半圓形軌道豎直固定放置，軌道兩端等高。
質量為 m 的質點自軌道端點 P 由靜止開始滑下，滑到最低點 Q 時，對軌道的正壓力為 2mg，重力加
速度大小為 g。則質點自 P 滑到 Q 的過程中，克服摩擦力所做的功為（　　）
A 1．2mgR B
1
．3mgR C
1
．4mgR D
1
．5mgR
考點 3：功率的計算
一.功率
1.定義：功與完成這些功所用時間的比值。
2.物理意義：標量，描述力對物體做功的快慢。只有正值，沒有負值。
W
3.定義式：P＝ ，P 為時間 t 內的平均功率。
t
4.單位：國際單位是瓦特，符號是 W，常用的單位還有 kW。
二.平均功率和瞬時功率
區別 平均功率 瞬時功率
定義 在某一段時間內或某一過程的功率 在某一時刻或某一位置時的功率
反映物體在某一段時間內做功的快
意義 反映物體在某一時刻做功的快慢
慢
①利用公式 P＝Fvcos α，其中 v 為 t 時刻的瞬
W 時速度。
①利用 p ＝ 。
t ②P＝FvF，其中 vF 為物體的速度 v 在力 F 方
計算 ②利用 p ＝F v cos α，其中 v 為物
向上的分速度。
體運動的平均速度。 ③P＝Fvv，其中 Fv 為物體受到的外力 F 在速
度 v 方向上的分力。
三、額定功率和實際功率
額定功率 實際功率
定義 發動機正常條件下長時間工作時的最大功率 機械實際工作時輸出的功率
不同機械額定功率可能不同，但同一機械額定
特點 同一機械實際功率隨工作情況而變化
功率不變
聯系 為了機械的安全，P 額 ≥ P 實。
3．公式 P=Fv 的制約關系
定值 各量的關系 應用
F 一定 P 與 v 成正比 汽車在高速路上，加大油門增大輸出功率，可以提高速度
汽車上坡時，要使速度不變，應加大油門，增大輸出功率，獲
v 一定 F 與 P 成正比
得較大牽引力
汽車在額定功率下行駛，要增大牽引力，則必須降低行駛速度；
P 一定 F 與 v 成反比
反之則必須減小牽引力
【考向 12】質量為 m 的物塊在同一豎直平面內的幾個共點力作用下處于靜止狀態。現將其中一個與
水平方向成 60°角的力 F 突然增大到 2F，其他力保持不變，則在 t 秒末，該力的瞬時功率為（　　）
2 2 2 2A．2 B
2 C 4 ． ． D．
【考向 13】（2024·北京海淀·二模）如圖 1 所示，某同學在表面平坦的雪坡下滑，不借助雪杖，能一
直保持固定姿態加速滑行到坡底。該同學下滑情境可簡化為圖 2，雪坡傾角為 α，人可視為質點，圖
中用小物塊表示，下滑過程中某一時刻滑行的速度 v 的方向與雪坡上所經位置的水平線夾角為 β
（β<90 ），已知該同學和滑雪裝備的總質量為 m，滑雪板與雪坡之間的動摩擦因數為 ，重力加速
度為 g，不計空氣阻力。關于該下滑過程，下列說法正確的是（　　）
A．該同學所受摩擦力小于 μmgcosα
B．該同學所受摩擦力的方向不變
C．該同學沿 v 的方向做勻加速直線運動
D．該同學所受重力的瞬時功率一直在增加
【考向 14】（2024·山東濟南·二模）如圖所示為古代的水車，該水車周邊均勻分布著 N 個盛水的容
器，容器到水車大圓轉軸的距離為 R。在流水的沖力作用下，水車以 n 轉/分的轉速勻速轉動，當裝
滿水的容器到達最高處時將水全部倒入水槽中。設每個盛水容器裝入水的質量均為 m，忽略容器裝
水給水增加的動能和水車浸入水的深度，不計一切摩擦。已知重力加速度為 g，則水車運水的功率
為（　　）
A B 120 ． 30 ． 60 C． D．2
【考向 15】（多選）手動擋汽車最大的駕駛樂趣就是自己能隨時控制擋位，加速時可以二擋 2000 轉，
也可以二擋 4000 轉．把擋位推入后帶來的不同動力感受，有人車合一的感覺．自己有什么操作，車
輛就有什么反饋，做一些降擋補油、跟趾動作等等，很有成就感．如圖所示，為轎車中的手動變速
桿，若保持發動機輸出功率不變，將變速桿推至不同擋位，可獲得不同的運行速度，從“1”~“5”擋速
度增大，R 是倒車擋，某型號轎車發動機的額定功率為60kW，在水平路面上行駛的最大速度可達
180km/h，假設該轎車在水平路面上行駛時所受阻力恒定，則該轎車（　　）
A．以最大牽引力爬坡，變速桿應推至“1”擋
B．該車在水平路面上行駛時所受阻力大小為900N
C．以額定功率在水平路面上以最大速度行駛時，其牽引力為1200N
D．改變輸出功率，以54km/h的速度在同一水平路面上勻速行駛時，發動機的輸出功率為35kW
【考向 16】（2024·山東濟寧·三模）某旋轉噴灌機進行農田噴灌的示意圖如圖所示，噴口出水速度的
方向可調節。該噴灌機的最大功率為 = 2000W，噴灌機所做功的75%轉化為水的動能，噴口的橫
截面積 = 30cm2，水的密度 = 1 × 103kg/m3，重力加速度 = 10m/s2， = 3.14，噴口距離地面
的高度 = 0.55m，忽略空氣阻力，不考慮供水水壓對水速的影響。求：
（1）噴灌機的最大噴水速度 v；
（2）噴口出水速度方向與水平面夾角 = 30°時，該噴灌機的最大噴灌面積 m。（保留三位有效數字）
考點 4：機車啟動問題
1.以恒定功率起動[
汽車從靜止開始以額定功率起動，開始時由于汽車的速度很小，由公式 P = Fv 知：牽引力 F 較
大，因而由牛頓第二定律 F– f = ma 知，汽車的加速度較大。隨著時間的推移，汽車的速度將不斷
增大，牽引力 F 將減小，加速度減小，但是由于速度方向和加速度方向相同，汽車的速度仍在不斷
增大，牽引力將繼續減小，直至汽車的牽引力 F 和阻力 f 相平衡為止。汽車的牽引力 F 和阻力 f 平
衡時，F–f = 0，加速度 a＝0，汽車的速度達到最大值 vm。汽車的運動形式是做加速度越來越小的
變加速直線運動，最終做勻速直線運動，其速度–時間圖像如圖所示。
2.以恒定牽引力起動
由于牽引力 F 恒定，根據牛頓第二定律 F–f = ma，可知：加速度 a 恒定，汽車作勻加速直線
運動，隨著時間的推移，實際功率將不斷增大．由于汽車的實際功率不能超過其額定功率，汽車的
勻加速直線運動只能維持到其實際功率等于其額定功率時，此時汽車的速度達到它勻加速直線運動
階段的最大速度 v1，其后汽車只能以額定功率起動的方式進行再加速，其運動方式和第一種起動形
式完全相同，即汽車繼續做加速度越來越小的變加速直線運動，直至汽車進入勻速直線運動狀態，
速度達到最終的最大速度 vm。汽車的起動過程經歷了兩階段：一是勻加速直線運動階段，二是變加
速直線運動階段，最終做勻速直線運動，其速度–時間圖像如圖所示。
3.三個重要關系式
P P
（1）無論哪種啟動過程，機車的最大速度都等于其勻速運動時的速度，即 vm Fmin F阻
（式中 Fmin為最小牽引力，其值等于阻力 F 阻）。
P 額
（2）勻加速啟動持續時間的求法：牽引力 F＝ma＋Ff，勻加速的最后速度 v′m＝ ，時間ma＋Ff
v′m P P
t＝ 。勻加速過程結束時，功率最大（額定功率），速度不是最大，即 v＝ ＜v
a F m
＝ 。
F 阻
（3）機車以恒定功率運行時，牽引力做的功 W＝Pt。由動能定理：Pt－F 阻 x＝ΔEk．此式經常
用于求解機車以恒定功率啟動過程的位移大小。
（1）汽車在勻加速直線運動階段，汽車的瞬時速度 vt=v0+at（v0=0）；汽車做勻加速直線運動
所能維持的時間 t1=vm/a 。
（2）汽車在勻加速直線運動階段，汽車的瞬時功率 Pt=Fvt＜P 額。
（3）汽車在勻加速直線運動階段結束時，瞬時功率 pt 等于額定功率 P 額，且滿足 pt=P 額=Fv1。
（4）汽車在變加速直線運動階段功率恒為額定功率，進入勻速直線運動時牽引力和阻力平衡，
有 pt=P 額=Fvm。
（5）從能的角度看：對于勻加速直線運動階段，根據動能定理有W牽－fs
1
1 mv
2
2 1
（W 牽、
s1分別表示勻加速運動階段牽引力所做的功、位移 ），變加速直線運動階段牽引力所做的功 W'牽= P
t （t 1表示變加速直線運動階段所經歷的時間），W fs mv 2 1 2額 2 2 牽－ 2 m mv1 （s2為變加速直線運2 2
動階段的位移）。
（6）在用公式 P＝Fv 計算機車的功率時，F 是指機車的牽引力而不是機車所受到的合力，也
不是阻力。
（7）勻加速過程結束時機車的速度并不是最后的最大速度。因為此時 F>F 阻，所以之后還要在
功率不變的情況下變加速一段時間才達到最后的最大速度 vm。
【考向 17】汽車在平直公路上以速度 0勻速行駛，發動機功率為 P， 1時刻進入另一足夠長的傾斜
路面，如圖，若保持功率 P 繼續行駛，到 2時刻，汽車又恢復了勻速直線運動。假設汽車運動過程
中阻力（不包含重力沿斜面的分力）大小保持不變，下列圖像中能正確表示該汽車運動過程速率 v
隨時間 t 變化的是（ ）
A． B．
C． D．
【考向 18】（2024·山東濟南·一模）如圖所示為我國自主研發的第一臺全地面起重機 QAY25，起重
范圍從 25t 到 2600t 1。若該起重機由靜止開始豎直提升質量為 200t 的物體，其 圖像如圖所示，不
計其它阻力，g 取10m/s2，下列說法正確的是（　　）
A．起重機的額定功率為 = 2.4 × 106W B．重物上升的最大速度 m = 15m/s
C．重物 0~10s 內做勻加速直線運動 D．7s 內起重機對重物做的功為 = 1.08 × 108J
【考向 19】（多選）（2024·湖南常德·一模）新能源汽車指采用非常規車用燃料作為動力來源的新型
汽車。比如純電動汽車以電池模組和電動機為主要動力裝置，有節能減排、低噪音、高效率等優點，
是未來汽車產業的重要發展方向。現已知質量為 M 的新能源汽車由靜止出發做勻加速直線運動，經
過時間 t 后，該汽車的運行里程為 L，此時發動機恰好到達額定功率 P，汽車所受的阻力恒定，達到
額定功率后，汽車保持額定功率做變加速運動，最后以 1勻速運動，對此下列說法正確的是（　　）

A 2 ．汽車所受阻力為 B．汽車做勻加速運動時的加速度1 2
2
C．到達速度 1 2 1時，發動機做功為 22 1 D．存在關系式 1 = 3 4 2
【考向 20】（多選）2021 年 10 月 25 日，如圖甲所示的全球最大“上回轉塔機”成功首發下線，又樹
立了一面“中國高端制造”的新旗幟。若該起重機某次從 = 0時刻由靜止開始向上提升質量為 m 的物
體，其 圖像如圖乙所示， 1時達到額定功率， 1~ 2時間內起重機保持額定功率運動，重力加速
度為 g，不計其它阻力，下列說法正確的是（　　）
A．0~ 1時間內物體處于失重狀態
B 1．0~ 1時間內起重機對物體做功為2 ( 0 )
2
1
2
C ．該物體的最大速度為 0 10 1 +
D．0~ 2時間內起重機對物體做功為( + 0) 0 1 2
1
2 1
【考向 21】（多選）如圖所示，質量 m=2kg 的物體（可看質點）靜置在傾角為 37°粗糙斜面上的 A
點，現利用固定在 B 點的電動機通過跨過斜面頂端光滑小定滑輪的輕繩將該物體從 A 點拉升到斜面
頂端 O 點，輕繩均與所在的斜面和平面平行。物體與斜面間的動摩擦因數 μ=0.25，輕繩可承受最大
的力 F=20N，電動機的額定功率 P=320W，AO 的距離 s=175m。若要用最短的時間將物體拉到斜面
頂端 O 點，且物體到達 O 點前已經達到最大速度。則（已知 sin37°=0.6，重力加速度取 g=10m/s2）
（　　）
A．物體運動過程中的最大速度 v=16m/s
B．物體上升過程中最大的加速度 am=2m/s2
C．在將物體從 A 拉到 O 點的過程中，電動機共做功 3200J
D．物體從 A 運動到 O 共用時 14s
【真題 1】（2024·海南·高考真題）神舟十七號載人飛船返回艙于 2024 年 4 月 30 日在東風著陸場成
功著陸，在飛船返回至離地面十幾公里時打開主傘飛船快速減速，返回艙速度大大減小，在減速過
程中（　　）
A．返回艙處于超重狀態 B．返回艙處于失重狀態
C．主傘的拉力不做功 D．重力對返回艙做負功
【真題 2】（2023·湖北·高考真題）兩節動車的額定功率分別為 1和 2，在某平直鐵軌上能達到的最
大速度分別為 1和 2。現將它們編成動車組，設每節動車運行時受到的阻力在編組前后不變，則該
動車組在此鐵軌上能達到的最大速度為（ ）
1 1 2 2 1 2 2 1 ( 1 2) 1 2 ( 1 2) 1 A． B． C． D
2
．
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
【真題 3】（2023·山東·高考真題）《天工開物》中記載了古人借助水力使用高轉筒車往稻田里引水的
場景。引水過程簡化如下：兩個半徑均為 R 的水輪，以角速度 ω 勻速轉動。水筒在筒車上均勻排布，
單位長度上有 n 個，與水輪間無相對滑動。每個水筒離開水面時裝有質量為 m 的水，其中的 60%被
輸送到高出水面 H 處灌入稻田。當地的重力加速度為 g，則筒車對灌入稻田的水做功的功率為（ ）
2 2
A 2 B 3 C 3 ． 5 ． 5 ． 5 D．nmgωRH
【真題 4】（2023·北京·高考真題）如圖所示，一物體在力 F 作用下沿水平桌面做勻加速直線運動。
已知物體質量為 m，加速度大小為 a，物體和桌面之間的動摩擦因數為 ，重力加速度為 g，在物體
移動距離為 x 的過程中（　　）
A．摩擦力做功大小與 F 方向無關 B．合力做功大小與 F 方向有關
C．F 為水平方向時，F 做功為 D．F 做功的最小值為
【真題 5】（2023·山東·高考真題）質量為 M 的玩具動力小車在水平面上運動時，牽引力 F 和受到的
阻力 f 均為恒力，如圖所示，小車用一根不可伸長的輕繩拉著質量為 m 的物體由靜止開始運動。當
小車拖動物體行駛的位移為 1時，小車達到額定功率，輕繩從物體上脫落。物體繼續滑行一段時間
后停下，其總位移為 2。物體與地面間的動摩擦因數不變，不計空氣阻力。小車的額定功率 P0為
（ ）
A 2
2( )( 2 1) 1 B 2
2( )( 2 1) ． ． 1
( ) 2 1 ( ) 2 1
2
C 2 ( )( 2 1) 2 D 2
2( )( 2 ) ． ． 1 2
( ) 2 1 ( ) 2 1
【真題 6】（多選）（2023·湖北·高考真題）如圖所示，原長為 l 的輕質彈簧，一端固定在 O 點，另一
端與一質量為 m 的小球相連。小球套在豎直固定的粗糙桿上，與桿之間的動摩擦因數為 0.5。桿上
M、N 1兩點與 O 點的距離均為 l，P 點到 O 點的距離為2 ，OP 與桿垂直。當小球置于桿上 P 點時恰
好能保持靜止。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度大小為 g。小球以某一初速度從 M 點
向下運動到 N 點，在此過程中，彈簧始終在彈性限度內。下列說法正確的是（ ）
A 4 ．彈簧的勁度系數為
B 1．小球在 P 點下方2 處的加速度大小為(3 2 4)
C．從 M 點到 N 點的運動過程中，小球受到的摩擦力先變小再變大
D．從 M 點到 P 點和從 P 點到 N 點的運動過程中，小球受到的摩擦力做功相同
【真題 7】（2024·福建·高考真題）兩繩拉木板，每條拉力 F = 250N，15s 內勻速前進 20m，θ =
22.5°，cos22.5° ≈ 0.9。求：
（1）阻力 f 大小；
（2）兩繩拉力做的功；
（3）兩繩拉力的總功率。
一、單選題
1．（2023·湖南長沙·一模）木匠師傅用鐵錘把釘子砸進木梁，每次砸擊對鐵釘做功相同。已知釘子
所受阻力與其進入木梁中的深度成正比，木匠砸擊 4 次，就把一枚長為 的釘子全部砸進木梁，那么
他第 1 錘將鐵釘砸進木梁的深度是（　　）
A 3 ．4 B．2 C． 4 D

．8
2．（2024·浙江金華·三模）如圖，某同學將皮球從水平地面上的 1 位置靜止踢出，最后落回水平地
面上的 3 位置，虛線是足球在空中的運動軌跡，2 位置為軌跡的最高點，此處離地高度為 h，足球在
最高處的速度為 0，下列說法正確的是（ ）
A．足球全程運動過程中重力做功不為零
B．足球的運動過程中加速度保持不變
C．足球從 2 位置到 3 位置的運動時間大于從 1 位置到 2 位置的運動時間
D．足球從 1 位置到 2 位置的水平位移與 2 位置到 3 位置的水平位移之比為 2∶1
3．（2024·湖北·一模）某品牌電動汽車以額定功率在平直公路上勻速行駛，在 t1時刻突發故障使汽
車的功率減小一半，司機保持該功率繼續行駛，到 2時刻汽車又開始做勻速直線運動（設汽車所受
阻力不變），則在 1 2時間內（　　）
A．汽車的加速度逐漸增大 B．汽車的加速度逐漸減小
C．汽車的速度先減小后增大 D．汽車的速度先增大后減小
4．（2022·四川遂寧·二模）“碳中和”、“低碳化”、“綠色奧運”是北京冬奧會的幾個標簽。本次冬奧會
運行超 1000 輛氫能源汽車，是全球最大的一次燃料電池汽車示范。某款質量為 M 的氫能源汽車（如
圖所示）在一次測試中，沿平直公路以恒定功率 P 從靜止啟動做直線運動，行駛路程 x，恰好達到
最大速度 m。已知該車所受阻力恒定。下列判定正確的是（　　）
A．啟動過程中，車做勻加速直線運動
B 1．啟動過程中，牽引力對車做的功為 22 m
2 C．車速從 0 增至 的加速時間為 mm +2 m
2
D m．車速為 2 時，車的加速度大小為 m
5．（2022·河南·一模）水平桌面上，長 6m 的輕繩一端固定于 O 點，如圖所示（俯視圖），另一端系
一質量 m=2.0kg 的小球。現對小球施加一個沿桌面大小不變的力 F=10N，F 拉著物體從 M 點運動到
N 點，F 的方向始終與小球的運動方向成 37°角。已知小球與桌面間的動摩擦因數 μ=0.2，不計空氣
阻力，取 g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，則下列說法正確的是（　　）
A．拉力 F 對小球做的功為 16π（J） B．拉力 F 對小球做的功為 8π（J）
C．小球克服摩擦力做的功為 16π（J） D．小球克服摩擦力做的功為 4π（J）
6．（2024·廣東汕頭·二模）在礦山開采中，滑輪裝置被用于提升和移動礦石。如圖，一輛車通過定
滑輪提升質量為 M 的礦石，滑輪左側連接車的繩子在豎直方向的投影為 h，當車以速度 v 勻速向左
3 4
行駛一段距離后，連接車的繩子與水平方向的夾角從53 變為37 ，sin37 = 5，sin53
= 5，則該過
程中（　　）
A．礦石重力的功率為
B 5．礦石重力做功為 12
C．繩子對礦石拉力做的功等于礦石重力做的功
D．繩子對礦石拉力的功率一直保持不變
7．（2024·四川內江·三模）如圖，是某公園的噴泉示意圖。假設某一水珠從噴出到落回地面在同一
豎直線上運動，且運動過程中水珠質量不變，受到空氣阻力的大小與速度成正比。則關于該水珠在
空中運動的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．該水珠在落回地面前瞬間，重力的瞬時功率最小
B．該水珠上升過程處于超重狀態，下落過程處于失重狀態
C．上升過程所用時間小于下落過程所用時間
D．上升過程克服空氣阻力做的功等于下落過程克服空氣阻力做的功
8．（2024·湖北武漢·二模）如圖所示，輕滑輪上跨有輕繩，輕繩兩端恰好觸地，輕繩兩側分別套有
質量為 1 = 0.2kg、 2 = 0.5kg的小球 A、B，兩球同時由靜止開始從離地面高 = 0.26m處沿繩下
滑。由于球內側有卡扣，使兩球與輕繩間的最大靜摩擦力均等于其重力的 0.5 倍。若最大靜摩擦力
等于滑動摩擦力，取重力加速度 = 10m/s2，不計輕繩與滑輪間的摩擦，下列說法正確的是（　　）
A．A 球先落地
B．A 球落地時速度大小為 1m/s
C．B 球受到的摩擦力大小始終為 2.5N
D．B 球摩擦力的瞬時功率最大值為 1.6 W
9．（2024·遼寧鞍山·二模）汽車在上坡路上起步的行為叫做坡起。此行為多發生在城市立交橋和山
區公路的上坡路段。一新學員駕駛某手動擋車型在山區遇到一個長直斜坡，因路寬車少，開始由靜
止練習坡起技術，行車電腦記錄了這次坡起的功率——時間圖像如圖所示，且 0功率下能達到的最
大速度為 m。下列有關說法正確的是（ ）
A． 1~ 2時間內汽車做勻速運動 B．0~ 2時間內發動機做的功為 0 2 12

C．0~ 1時間內發動機做的功為 0 1 D
0
．汽車勻速行駛時所受摩擦及空氣的阻力為 m
10．（2023·廣西·三模）新能源汽車的發展是為了減少對傳統燃料的依賴，減少環境污染和減少溫室
1
氣體的排放。如圖所示為我國比亞迪一型號汽車某次測試行駛時的加速度和車速倒數 的關系圖像。
若汽車質量為2 × 103kg，它由靜止開始沿平直公路行駛，且行駛中阻力恒定，最大車速為30m/s，
下列說法正確的是（　　）
A．汽車勻加速所需時間為6s
B．汽車牽引力的額定功率為5 × 104W
C．汽車在車速為5m/s時，功率為3 × 104W
D．汽車所受阻力為1 × 103N
11．汽車在研發過程中都要進行性能測試，如圖所示為某次測試中某型號汽車的速度 v 與牽引力 F
1
大小倒數的 圖像，vm 表示最大速度。已知汽車在水平路面上由靜止啟動，ab 平行于 v 軸，bc 反
向延長過原點 O。阻力恒定，汽車質量為 2×103kg，下列說法正確的是（　　）
A．汽車從 a 到 b 持續的時間為 20s
B．汽車由 b 到 c 過程做勻加速直線運動
C．汽車額定功率為 50W
D．汽車能夠獲得的最大速度為 12m/s
12．（2024·湖南長沙·一模）一輛質量為 m 的小汽車在水平地面上由靜止開始運動，其功率隨速度的
變化關系如圖所示，其中 AB 段平行于 v 軸，汽車勻速運動階段的速度為 。根據圖像，下列說法
正確的是（　　）
A．速度增大到 的過程中，汽車的加速度逐漸減小，當 = 時， = 0

B 0．汽車與地面間的摩擦力大小為 =
3
C OA = ．在 段汽車的位移為 2 0( )
2 2 2 D．若 AB 段汽車的位移為 s，則 AB 段汽車運動的時間 = 2 +0
13．如圖甲所示，一個傾角為 的斜面固定在地面上，一輛質量為 m 的汽車由靜止以額定功率 P 駛
上斜面，汽車行駛的最大速度為 v1；如圖乙所示，若汽車從斜面頂端由靜止以額定功率 P 向下運動，
汽車行駛的最大速度為 v2.已知汽車行駛過程中受到的阻力大小恒定不變，重力加速度為 g，下列說
法正確的是（　　）
A．汽車均做勻加速直線運動
B．最大行駛速度 v1大于 v2

C 1 2．阻力大小為 sin 1 2

D 1 2．額定功率大小為 2 sin 2 1
二、多選題
14．（2024·青海海南·二模）衛星失效后一般有“冰凍”和“火葬”兩種處理方案，對于較低軌道的“死亡”
衛星，備用發動機使其快速轉移到更低的軌道上，最終一頭扎入稠密大氣層，與大氣摩擦燃燒殆盡；
對于較高軌道的“死亡”衛星，備用發動機可將其抬高到比地球同步軌道高 300 千米的“墳墓軌道”實
施高軌道“冰凍”。下列說法正確的是（　　）
A．“死亡”衛星進入“墳墓軌道”后速度變小
B．實施低軌道“火葬”時，備用發動機對衛星做正功
C．實施高軌道“冰凍”時，備用發動機對衛星做負功
D．衛星在“墳墓軌道”上運行的加速度小于在地球靜止軌道上運行的加速度
15．（2023·重慶·一模）如題圖甲，轆轤是古代民間提水設施，由轆轤頭、支架、井繩、水斗等部分
構成。如題圖乙為提水設施工作原理簡化圖，某次需從井中汲取 m=2kg 的水，轆轤繞繩輪軸半徑為
r=0.1m，水斗的質量為 0.5kg，井足夠深且井繩的質量忽略不計。t=0 時刻，輪軸由靜止開始繞中心
軸轉動，其角速度隨時間變化規律如題圖丙所示，g 取10m/s2，則（　　）
A．水斗速度隨時間變化規律為 v=0.4t
B．井繩拉力瞬時功率隨時間變化規律為 P=10t
C．0~10s 內水斗上升的高度為 4m
D．0~10s 內井繩拉力所做的功為 520J
16．（2024·山東臨沂·二模）電動汽車以其環保節能、加速快等優點越來越受到消費者的歡迎，為使
汽車既有良好的加速性能，又能控制汽車的最大速度，電動汽車的車載智能系統介入汽車行駛過程。
如圖所示為某品牌汽車在一次起步時汽車牽引力與速度的關系，汽車的速度達到25m/s時電動機功
率達到最大值256kW。此后車載智能系統逐漸降低電動機功率，當電動機功率降至最大功率的 50%
時，汽車達到最大速度。已知汽車及乘員的總質量為1600kg，汽車行駛過程中受到的阻力與速度的
關系為 = 2（ = 1.024N s2/m2），則汽車在起步直至達到最大速度的過程中，下列說法正確的
是（　　）
A．汽車的加速度始終在減小
B．汽車的加速度先不變后減小
C．該汽車能達到的最大速度是100m/s
D．汽車速度為25m/s時的加速度為6m/s2
三、解答題
17．（2024·福建廈門·二模）2023 年 11 月 24 日，全球首個“海底數據艙”成功安裝在海南陵水海域，
如圖甲所示，起重機吊著“海底數據艙”從海面下沉到水中預定位置。某一階段該艙豎直下沉 15m，
此過程其速度 v 隨時間 t 的變化關系如圖乙所示，已知“海底數據艙”質量為 1.0×106kg，下沉過程中
所受水的阻力（含浮力）恒為 2.0×106N。重力加速度 g＝9.8m/s2。求；
（1）0~30s 內，“海底數據艙”的最大速度 vm；
（2）10~30s 內，起重機的拉力大小 F；
（3）0~30s 內，起重機拉力的最大功率 Pm。

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