資源簡(jiǎn)介

第 19 講　機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用
——?jiǎng)澲攸c(diǎn)之精細(xì)講義系列
考點(diǎn) 1 機(jī)械能守恒的理解和判斷
考點(diǎn) 2 機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用
考點(diǎn) 3 多物體機(jī)械能守恒問題
考點(diǎn) 4 用機(jī)械能守恒定律解決非質(zhì)點(diǎn)問題
考點(diǎn) 1：機(jī)械能守恒的理解和判斷
一．重力做功與重力勢(shì)能
1．重力做功的特點(diǎn)
(1)重力做功與路徑無關(guān)，只與始末位置的高度差有關(guān)．
(2)重力做功不引起物體機(jī)械能的變化．
2．重力勢(shì)能
(1)公式：Ep＝mgh.
(2)特性：
①矢標(biāo)性：重力勢(shì)能是標(biāo)量，但有正、負(fù)，其意義是表示物體的重力勢(shì)能比它在參考平面上大
還是小，這與功的正、負(fù)的物理意義不同．
②系統(tǒng)性：重力勢(shì)能是物體和地球共有的．
③相對(duì)性：重力勢(shì)能的大小與參考平面的選取有關(guān)．重力勢(shì)能的變化是絕對(duì)的，與參考平面的
選取無關(guān)．
3．重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系
(1)定性關(guān)系：重力對(duì)物體做正功，重力勢(shì)能就減少；重力對(duì)物體做負(fù)功，重力勢(shì)能就增加．
(2)定量關(guān)系：重力對(duì)物體做的功等于物體重力勢(shì)能的減少量．即 WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.
二．彈性勢(shì)能
1．大小
1
彈簧的彈性勢(shì)能的大小與彈簧的形變量及勁度系數(shù)有關(guān)．公式：E 2P＝－W 彈＝ kx2
2．彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系
彈力做正功，彈性勢(shì)能減小，彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加．
三．機(jī)械能守恒定律
1．機(jī)械能
動(dòng)能和勢(shì)能統(tǒng)稱為機(jī)械能，其中勢(shì)能包括重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能．
2．機(jī)械能守恒定律
(1)內(nèi)容：在只有重力或內(nèi)彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保
持不變．
3．機(jī)械能守恒的條件：只有重力做功或系統(tǒng)內(nèi)彈力做功。
（1）只有重力做功時(shí)，只發(fā)生動(dòng)能和重力勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化．如自由落體運(yùn)動(dòng)、拋體運(yùn)動(dòng)等。
（2）只有系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，只發(fā)生動(dòng)能和彈性勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化。如在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)的物
體碰到一個(gè)彈簧，和彈簧相互作用的過程中，對(duì)物體和彈簧組成的系統(tǒng)來說，機(jī)械能守恒。
（3）只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，只發(fā)生動(dòng)能、彈性勢(shì)能、重力勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化。如自由下
落的物體落到豎直的彈簧上，和彈簧相互作用的過程中，對(duì)物體和彈簧組成的系統(tǒng)來說，機(jī)械能守
恒。
（4）除受重力（或系統(tǒng)內(nèi)彈力）外，還受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代數(shù)和
為零。如物體在沿固定斜面向下的拉力 F 的作用下沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，拉力的大小與摩擦力的大小相
等，在此運(yùn)動(dòng)過程中，物體機(jī)械能不變，可按照機(jī)械能守恒定律計(jì)算（應(yīng)當(dāng)注意，這時(shí)系統(tǒng)并不封
閉，存在著系統(tǒng)內(nèi)的物體跟外界系統(tǒng)的能量交換．只是系統(tǒng)內(nèi)物體機(jī)械能的減少等于外界對(duì)物體做
功使系統(tǒng)增加的機(jī)械能。）。
4．機(jī)械能守恒的判斷方法
（1）做功條件分析法：若物體系統(tǒng)內(nèi)只有重力和彈簧彈力做功，其他力均不做功，則系統(tǒng)的機(jī)
械能守恒。
（2）能量轉(zhuǎn)化分析法：若只有系統(tǒng)內(nèi)物體間動(dòng)能和重力勢(shì)能及彈性勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)跟外
界沒有發(fā)生機(jī)械能的傳遞，機(jī)械能也沒有轉(zhuǎn)變成其他形式的能（如沒有內(nèi)能增加）。則系統(tǒng)的機(jī)械能
守恒。
（3）對(duì)一些繩子突然繃緊，物體間非彈性碰撞等問題．除非題目特別說明，機(jī)械能必定不守
恒，完全非彈性碰撞過程機(jī)械能也不守恒。[]
（4）對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)，除考慮外力是否只有重力做功外，還要考慮系統(tǒng)內(nèi)力做功，如
有滑動(dòng)摩擦力做功時(shí)，因摩擦生熱，系統(tǒng)機(jī)械能將有損失。
【考向 1】如圖所示，下列說法正確的是（所有情況均不計(jì)摩擦、空氣阻力以及滑輪質(zhì)量）（ ）
A．甲圖中，火箭升空的過程中，若勻速升空，機(jī)械能守恒，若加速升空，機(jī)械能不守恒
B．乙圖中，物塊在外力 F 的作用下勻減速上滑，物塊的機(jī)械能守恒
C．丙圖中，物塊 A 以一定的初速度將彈簧壓縮的過程中，物塊 A 的機(jī)械能守恒
D．丁圖中，物塊 A 加速下落，物塊 B 加速上升的過程中，A、B 系統(tǒng)機(jī)械能守恒
【答案】D
【詳解】A．甲圖中，不論是勻速還是加速，由于推力對(duì)火箭做功，火箭的機(jī)械能不守恒，是增加
的，故 A 錯(cuò)誤；
B．物體勻減速上滑，力 F 對(duì)物塊做正功，則物塊的機(jī)械能必定增加，故 B 錯(cuò)誤；
C．在物體 A 壓縮彈簧的過程中，彈簧和物體組成的系統(tǒng)，只有重力和彈力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。
由于彈性勢(shì)能增加，則 A 的機(jī)械能減小，故 C 錯(cuò)誤；
D．對(duì) A、B 組成的系統(tǒng)，不計(jì)空氣阻力，只有重力做功，A、B 組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故 D 正確。
故選 D。
【考向 2】如圖所示，A、B 兩物塊放置在足夠長(zhǎng)的光滑斜面上，當(dāng) A、B 一起沿斜面向下滑動(dòng)的過
程中（A、B 之間相對(duì)靜止）（ ）
A．A 物體所受摩擦力對(duì) A 做正功
B．A、B 兩物體的總機(jī)械能不斷增大
C．A 物體機(jī)械能不斷的減小
D．B 物體的機(jī)械能守恒
【答案】A
【詳解】AC．當(dāng) A、B 一起沿斜面向下加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，A 物體所受摩擦力水平向右，此時(shí)摩擦力對(duì) A
做正功，則 A 物體機(jī)械能不斷的增加，選項(xiàng) A 正確，C 錯(cuò)誤；
B．A、B 兩物體的整體只有重力做功，則機(jī)械能守恒，即總機(jī)械能不變，選項(xiàng) B 錯(cuò)誤；
D．A 對(duì) B 的摩擦力對(duì) B 做負(fù)功，則 B 物體的機(jī)械能減小，選項(xiàng) D 錯(cuò)誤。
故選 A。
【考向 3】如圖所示，曲面體 Р 靜止于光滑水平面上，物塊 Q 自 Р 的上端由靜止釋放。Q 與 P 的接
觸面光滑，Q 在 P 上運(yùn)動(dòng)的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．P 對(duì) Q 做功為零
B．P 對(duì) Q 做負(fù)功
C．物塊 Q 的機(jī)械能守恒
D．物體 Q 的機(jī)械能增加
【答案】B
【詳解】AB．Q 在 P 上運(yùn)動(dòng)的過程中，曲面體 P 向左運(yùn)動(dòng)，P 對(duì) Q 的彈力與運(yùn)動(dòng)的位移的夾角大于
90°，根據(jù) W=FLcosθ，P 對(duì) Q 做負(fù)功，故 A 錯(cuò)誤，B 正確；
CD．Q 在 P 上運(yùn)動(dòng)的過程中，系統(tǒng)中 P 和 Q 之間的作用力做功之和為零，系統(tǒng)只有重力做功，系
統(tǒng)機(jī)械能守恒，故斜面體增加的動(dòng)能等于物塊減少的機(jī)械能，物體 Q 的機(jī)械能減小，故 CD 錯(cuò)誤。
故選 B。
【考向 4】如圖所示，圓心為 O 的四分之一圓弧軌道 BC 豎直放置，O 與 A 處的釘子處于同一高度。
細(xì)線的一端系有小物塊 P，另一端繞過釘子系一套在圓弧軌道上的小球 Q。將小球從軌道頂端 B 靜
止釋放，忽略一切摩擦。在小球從 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn) C 的過程中，下列說法中正確的是（　　）
A．小物塊 P 和小球 Q 的速率總相等
B．小物塊 P 的機(jī)械能守恒
C．小球 Q 的機(jī)械能先增加后減小
D．小球 Q 重力的功率先增加后減小
【答案】D
【詳解】A．當(dāng)小球 Q 下滑到某位置時(shí)，速度分解如圖所示
繩 =
得
繩 = = cos
則當(dāng)
= 0o
小物塊 P 和小球 Q 的速率相等，得小物塊 P 和小球 Q 的速率不是總相等，故 A 錯(cuò)誤；
B．小物塊 P 運(yùn)動(dòng)過程中除了重力做功，還有拉力做功，則小物塊 P 的機(jī)械能不守恒，故 B 錯(cuò)誤；
C．小球 Q 從 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn) C 的過程中，拉力對(duì)小球 Q 做負(fù)功，小球 Q 的機(jī)械能減小，故 C
錯(cuò)誤；
D．小球 Q 從 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn) C 的過程中，B 靜止釋放初始重力的功率為零，運(yùn)動(dòng)到 C 點(diǎn)時(shí)速度
和重力垂直，此時(shí)重力的功率為零，因此得小球 Q 重力的功率先增加后減小，故 D 正確。
故選 D。
【考向 5】（多選）（2024·廣西柳州·三模）如圖所示，一小球用輕質(zhì)細(xì)線懸掛在木板的支架上，分別
沿傾角為 θ 的兩個(gè)固定斜面下滑，甲圖中細(xì)線保持豎直，乙圖中細(xì)線保持垂直斜面。在木板下滑的
過程中，下列說法正確的是（ ）
A．甲圖中木板與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù) = tan
B．甲圖中木板、小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
C．乙圖中木板與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù) = tan
D．乙圖中木板、小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
【答案】AD
【詳解】A．甲圖中，因拉小球的細(xì)線呈豎直狀態(tài)，所以小球受到重力和豎直向上的拉力，在水平
方向沒有分力，所以小球在水平方向沒有加速度，根據(jù)力的平衡條件得
總 sin = 總 cos
則解得
= tan
故 A 正確；
B．甲圖中，因小球沿斜面做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由于木板與小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同，所以木板、小球組
成的系統(tǒng)動(dòng)能不變，重力勢(shì)能減小，機(jī)械能不守恒，故 B 錯(cuò)誤；
C．乙圖中，因拉小球的細(xì)線與斜面垂直，所以小球受到重力和細(xì)線垂直于斜面向上的拉力，其合
力沿斜面向下，所以小球的加速度也沿斜面向下，對(duì)小球運(yùn)用牛頓第二定律得
球 sin = 球
解得
= sin
由于木板與小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同，所以對(duì)木板、小球組成的整體，根據(jù)牛頓第二定得
總 sin 總 cos = 總
解得
μ=0
故 C 錯(cuò)誤；
D．乙圖中，由于木板不受斜面的摩擦力，所以木板、小球組成的系統(tǒng)只有重力做功，則機(jī)械能守
恒，故 D 正確。
故選 AD．
考點(diǎn) 2：機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用
1.應(yīng)用機(jī)械能守恒定律的基本思路
單個(gè)物體
(1)選取研究對(duì)象{多個(gè)物體組成的系統(tǒng)系統(tǒng)內(nèi)有彈簧
(2)受力分析和各力做功情況分析，確定是否符合機(jī)械能守恒條件．
(3)確定初末狀態(tài)的機(jī)械能或運(yùn)動(dòng)過程中物體機(jī)械能的轉(zhuǎn)化情況．
(4)選擇合適的表達(dá)式列出方程，進(jìn)行求解．
(5)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行必要的討論和說明．
2.三種守恒表達(dá)式的比較
Ek＋Ep＝Ek′＋Ep′ ΔEk＝－ΔEp ΔE 增＝ΔE 減
角度 守恒觀點(diǎn) 轉(zhuǎn)化觀點(diǎn) 轉(zhuǎn)移觀點(diǎn)
表示系統(tǒng)（或物體）機(jī)械能守恒時(shí)， 一部分物體機(jī)械能的增加量與
系統(tǒng)的初狀態(tài)機(jī)械能與
意義 系統(tǒng)減少（或增加）的重力勢(shì)能等 另一部分物體機(jī)械能的減少量
末狀態(tài)機(jī)械能相等
于系統(tǒng)增加（或減少）的動(dòng)能 相等
A 部分機(jī)械能的增加量等于 A
應(yīng)用時(shí)應(yīng)選好重力勢(shì)能
應(yīng)用時(shí)關(guān)鍵在于分清重力勢(shì)能的增 部分末狀態(tài)的機(jī)械能減初狀態(tài)
注意 的零勢(shì)能面，且初末狀態(tài)
加量和減少量，可不選零勢(shì)能面而 的機(jī)械能，而 B 部分機(jī)械能的
事項(xiàng) 必須用同一零勢(shì)能面計(jì)
直接計(jì)算初末狀態(tài)的勢(shì)能差 減少量等于 B 部分初狀態(tài)的機(jī)
算勢(shì)能
械能減末狀態(tài)的機(jī)械能。
圖像
分析
3．研究對(duì)象
（1）當(dāng)只有重力做功時(shí)，可取一個(gè)物體（其實(shí)是物體與地球構(gòu)成的系統(tǒng)）作為研究對(duì)象，也可
取幾個(gè)物體構(gòu)成的系統(tǒng)作為研究對(duì)象。
（2）當(dāng)物體之間有彈力做功時(shí)，必須將這幾個(gè)物體構(gòu)成的系統(tǒng)作為研究對(duì)象（使這些彈力成為
系統(tǒng)內(nèi)力）。
4．應(yīng)用機(jī)械能守恒定律的基本思路
（1）選取研究對(duì)象（物體或系統(tǒng)）。
（2）明確研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過程，分析研究對(duì)象在過程中的受力情況，弄清各力做功情況，判斷
機(jī)械能是否守恒。
（3）選取恰當(dāng)?shù)膮⒖计矫妫_定研究對(duì)象在初末狀態(tài)的機(jī)械能。
（4）選取恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式列方程求解。常見的表達(dá)式有三種（見上面表達(dá)式）。[]
（5）對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行必要的討論和說明。
5．機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用技巧
（1）機(jī)械能守恒定律是一種“能——能轉(zhuǎn)化”關(guān)系，其守恒是有條件的，因此，應(yīng)用時(shí)首先要對(duì)
研究對(duì)象在所研究的過程中機(jī)械能是否守恒做出判斷。
（2）如果系統(tǒng)（除地球外）只有一個(gè)物體，用守恒式列方程較方便；對(duì)于由兩個(gè)或兩個(gè)以上物體
組成的系統(tǒng)，用轉(zhuǎn)化式或轉(zhuǎn)移式列方程較簡(jiǎn)便。
【考向 6】如圖所示，豎直面內(nèi)光滑的 3/4 圓形導(dǎo)軌固定在一水平地面上，半徑為 R．一個(gè)質(zhì)量為 m
的小球從距水平地面正上方 h 高處的 P 點(diǎn)由靜止開始自由下落，恰好從 N 點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入圓軌
道．不考慮空氣阻力，則下列說法正確的是（　　）
A．適當(dāng)調(diào)整高度 h，可使小球從軌道最高點(diǎn) M 飛出后，恰好落在軌道右端口 N 處
B．若 h=2R，則小球在軌道最低點(diǎn)對(duì)軌道的壓力為 4mg
C．只有 h≥2.5R 時(shí)，小球才能到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn) M
D．若 h=R，則小球能上升到圓軌道左側(cè)離地高度為 R 的位置，該過程重力做功為 mgR
【答案】C
【詳解】A．若小球從 M 到 N 做平拋運(yùn)動(dòng)，故有
R=vMt
1
= 2
2
所以
1
= = 2 2

若小球能到達(dá) M 點(diǎn)，對(duì)小球在 M 點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得
′2
≤
所以
′ ≥
故小球不可能從軌道最高點(diǎn) M 飛出后，恰好落在軌道右端口 N 處，故 A 錯(cuò)誤；
B．設(shè)小球在最低點(diǎn)速度為 v，對(duì)小球從靜止到軌道最低點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)能定理可得
mgh=12mv
2
再由牛頓第三定律，對(duì)小球在最低點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：小球在軌道最低點(diǎn)對(duì)軌道的壓力
2 ′ = = + = (1 +
2
) = 5
故 B 錯(cuò)誤；
C．對(duì)小球從靜止到 M 點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)能定理可得
1 1
( 2 ) = 2
2
′ ≥ 2
所以
h≥2.5R
故 C 正確；
D．若 h=R，由動(dòng)能定理可得：小球能上升到圓軌道左側(cè)離地高度為 R 的位置，該過程始末位置高
度差為零，故重力做功為零，故 D 錯(cuò)誤；
故選 C．
【考向 7】（2024·浙江杭州·二模）有一質(zhì)量為 m 的小球，用細(xì)線掛在天花板上，線長(zhǎng)為 l，將其拉
至水平位置由靜止釋放。忽略空氣阻力，小球可看成質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為 g，則下列說法正確的是
（　　）
A．在小球擺動(dòng)過程中重力總是做正功
B．重力功率最大值為 2
C．小球動(dòng)能變化周期是

D．在小球下擺過程中，動(dòng)能隨時(shí)間的變化率先變大后變小
【答案】D
【詳解】A．從釋放位置到最低點(diǎn)的過程中，重力做正功，從最低點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)的過程中，重力做負(fù)
功，故 A 錯(cuò)誤；
B．小球下擺過程中，設(shè)細(xì)繩與豎直方向的夾角為 ，根據(jù)動(dòng)能定理
1
cos = 2
2
重力對(duì)小球做功的瞬時(shí)功率
= sin
整理得
= sin 2 cos
細(xì)繩與豎直方向的夾角 逐漸減小，由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，重力對(duì)小球做功的瞬時(shí)功率先增大后減小，且
當(dāng)
6
sin = 3
時(shí)，重力的瞬時(shí)功率有最大值
2
max = 3 3
故 B 錯(cuò)誤；
C．單擺運(yùn)動(dòng)公式為

= 2
1
此物體不是單擺，故小球動(dòng)能變化周期不是2 ，故 C 錯(cuò)誤；
D．在小球下擺過程中，機(jī)械能守恒，動(dòng)能變化量的絕對(duì)值大小等于重力勢(shì)能變化量的絕對(duì)值大小，
故動(dòng)能隨時(shí)間的變化率為
| k Ep | = | t | = = = G
故動(dòng)能隨時(shí)間的變化率等于重力的瞬時(shí)功率，由 B 項(xiàng)可知，重力的瞬時(shí)功率先增大后減小，故動(dòng)能
隨時(shí)間的變化率先變大后變小，故 D 正確。
故選 D。
【考向 8】（2024·湖北·二模）如圖所示，半圓豎直軌道與水平面平滑連接于 B 點(diǎn)，半圓軌道的圓心
為 O，半徑為 R，C 為其最高點(diǎn)。BD 段為雙軌道，D 點(diǎn)以上只有內(nèi)軌道，D 點(diǎn)與圓心的連線與水平
方向夾角為 ，一小球從水平面上的 A 點(diǎn)以一定的初速度向右運(yùn)動(dòng)，能沿圓弧軌道恰好到達(dá) C 點(diǎn)。
不計(jì)一切摩擦。則（　　）
A．小球到達(dá) C 點(diǎn)時(shí)速度為
B．小球到達(dá) C 點(diǎn)后會(huì)向左做平拋運(yùn)動(dòng)
C 5．小球在 A 點(diǎn)的初動(dòng)能等于2
D．若小球到達(dá) D 點(diǎn)時(shí)對(duì)內(nèi)外軌道均無彈力，則sin = 23
【答案】D
【詳解】AB．由于，D 點(diǎn)以上只有內(nèi)軌道，小球沿圓弧軌道恰好到達(dá) C 點(diǎn)，可知，小球到達(dá) C 點(diǎn)
時(shí)速度為 0，小球到達(dá) C 點(diǎn)后不會(huì)向左做平拋運(yùn)動(dòng)，故 AB 錯(cuò)誤；
C．結(jié)合上述，小球從 A 點(diǎn)到達(dá) C 點(diǎn)過程，根據(jù)動(dòng)能定理有
2 = 0 k0
解得
k0 = 2
故 C 錯(cuò)誤；
D．若小球到達(dá) D 點(diǎn)時(shí)對(duì)內(nèi)外軌道均無彈力，根據(jù)牛頓第二定律有
2
sin = 1
小球從 A 點(diǎn)到達(dá) D 點(diǎn)過程，根據(jù)動(dòng)能定理有
1
( + sin ) = 22 1 k0
解得
2
sin = 3
故 D 正確。
故選 D
【考向 9】（多選）如圖所示，在光滑的斜軌道底端平滑連接著一個(gè)半徑為 R、頂端有缺口的光滑圓
形軌道，A 點(diǎn)、B 點(diǎn)在同一水平面上，P 點(diǎn)是最低點(diǎn)，∠ = 120°。一質(zhì)量為 m 的小球由斜軌道
上某高度處?kù)o止釋放，由軌道連接處進(jìn)入圓形軌道。重力加速度為 g，不考慮機(jī)械能的損失，下道
列說法正確的是（　　）
A．若小球滑到 P 點(diǎn)時(shí)速度大小為2 ，則此處軌道對(duì)小球作用力的大小為 4mg
B．若小球滑到 P 點(diǎn)時(shí)速度大小為2 ，則小球滑到 A 點(diǎn)時(shí)速度大小為
C 5．若小球恰好能通過圓形軌道內(nèi) A 點(diǎn)，則小球在斜軌道上靜止釋放的高度為4
D．若小球從圓形軌道內(nèi) A 點(diǎn)飛出后恰好從 B 點(diǎn)飛入圓形軌道，則小球經(jīng)過 B 點(diǎn)時(shí)的速度大小為
2
【答案】BD
【詳解】A．小球在 P 點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律有
2
=
則此處軌道對(duì)小球作用力的大小為
2
= + = 5
故 A 錯(cuò)誤；
B．小球從圓形軌道最低點(diǎn) P 滑到 A 點(diǎn)，由動(dòng)能定理有
1 1
( sin30° + ) = 2 22 A 2
解得
=
故 B 正確；
C．若小球恰好能通過圓形軌道內(nèi) A 點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律有
2
cos60° = 1
對(duì)小球從釋放到 A 點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理有
1
(1 + sin30°) = 22 1
解得
7
= 4
故 C 錯(cuò)誤；
D．小球從圓形軌道內(nèi) A 點(diǎn)飛出后做斜拋運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)，豎直方向有

2sin60° = 2
水平方向有
2 sin60° = 2 cos60°
解得
2 = 2
故 D 正確。
故選 BD。
【考向 10】（多選）（2024·陜西渭南·二模）如圖，固定在豎直面內(nèi)的光滑軌道 由直線段 和圓
弧段 組成，兩段相切于 B 點(diǎn)， 段與水平面夾角 為30°， 段圓心為 O，最高點(diǎn)為 C，A 與 C
的高度差等于圓弧軌道的直徑 2R。小球從 A 點(diǎn)以初速度 0沖上軌道，能沿軌道運(yùn)動(dòng)恰好到達(dá) C 點(diǎn)，
重力加速度為 g，下列說法正確的是（　　）
A．小球從 B 到 C 的過程中，對(duì)軌道的壓力逐漸減小
B．小球從 A 到 C 的過程中，小球的機(jī)械能不斷減少
C．小球的初速度 0 = 2
D．若小球初速度 0增大時(shí)，小球沒有從圓軌道上 B 點(diǎn)脫離軌道，則小球能夠沿圓軌道運(yùn)動(dòng)到 C
點(diǎn)
【答案】CD
【詳解】
A．由題知，小球能沿軌道運(yùn)動(dòng)恰好到達(dá) C 點(diǎn)，則小球在 C 點(diǎn)的速度為
vC = 0
則小球從 C 到 B 的過程中，有
1
(1 cos ) = 2
2
2
N = cos
聯(lián)立有
N = 3 cos 2
則從 C 到 B 的過程中 α 由 0 增大到 θ，則 cosα 逐漸減小，故 FN逐漸減小，而小球從 B 到 C 的過
程中，對(duì)軌道的壓力逐漸增大，A 錯(cuò)誤；
B．小球從 A 到 C 的過程中，只有重力做功，機(jī)械能不變，故 B 錯(cuò)誤；
C．從 A 到 C 的過程中有
1 1
2 = 2
2 2 2 0
解得
0 = 2
故 C 正確；
D．小球沒有從圓軌道上 B 點(diǎn)脫離軌道，說明
2
cos ≥
隨著高度上升，小球的速度減小，所需向心力減小，同時(shí)，重力指向圓心的分力增大，則更不會(huì)
脫離軌道，能夠到達(dá) C 點(diǎn)，故 D 正確。
故選 CD。
考點(diǎn) 3：多物體機(jī)械能守恒問題
一.多個(gè)物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題的解題思路
1．首先分析多個(gè)物體組成的系統(tǒng)所受的外力是否只有重力或彈力做功，內(nèi)力是否造成了機(jī)械能
與其他形式能的轉(zhuǎn)化，從而判斷系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒。
2．若系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則機(jī)械能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，ΔE1＝－ΔE2，一個(gè)物體機(jī)械
能增加，則一定有另一個(gè)物體機(jī)械能減少。
二.多物體機(jī)械能守恒問題的分析技巧
1．對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)，一般用“轉(zhuǎn)化法”和“轉(zhuǎn)移法”來判斷其機(jī)械能是否守恒。
2．注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系。
3．列機(jī)械能守恒方程時(shí)，可選用 ΔEk＝－ΔEp的形式。
三．幾類連接體的機(jī)械能守恒分析
桿連物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒
情景分析
如圖所示的兩物體組成的系統(tǒng)，當(dāng)釋放后 A、B 在豎直平面內(nèi)繞過 O 點(diǎn)的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，
且 A、B 的角速度相等。
求解這類問題時(shí)，由于二者角速度相等，所以關(guān)鍵是根據(jù)二者轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的關(guān)系尋
找兩物體的線速度的關(guān)系，根據(jù)兩物體間的位移關(guān)系，尋找到系統(tǒng)重力勢(shì)能的變化，
方法突破 最后根據(jù) ΔEk＝－ΔEp 列出機(jī)械能守恒的方程求解。另外注意的是輕桿對(duì)物體提供的
彈力不一定沿著桿，輕桿的彈力也就不一定與速度方向垂直，輕桿的彈力對(duì)一個(gè)物體
做了正功，就對(duì)另一物體做了負(fù)功，并且絕對(duì)值相等。
繩連物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒
如圖所示的兩物體組成的系統(tǒng)，當(dāng)釋放 B 而使 A、B 運(yùn)動(dòng)的過程中，A、B 的速度
情景分析
均沿繩子方向，在相等時(shí)間內(nèi) A、B 運(yùn)動(dòng)的路程相等，A、B 的速率也相等。但有些問
題中兩物體的速率并不相等，這時(shí)就需要先進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的合成與分解找出兩物體運(yùn)動(dòng)速
度之間的關(guān)系。
求解這類問題時(shí)，由于二者速率相等或相關(guān)，所以關(guān)鍵是尋找兩物體間的位移關(guān)
系，進(jìn)而找到系統(tǒng)重力勢(shì)能的變化。列機(jī)械能守恒方程時(shí)，一般選用 ΔEk＝－ΔEp 的
方法突破
形式。另外注意系統(tǒng)機(jī)械能守恒并非每個(gè)物體機(jī)械能守恒，因?yàn)榧?xì)繩對(duì)系統(tǒng)中的每一
個(gè)物體都要做功。
含彈簧類機(jī)械能守恒問題
對(duì)兩個(gè)（或兩個(gè)以上）物體與彈簧組成的系統(tǒng)在相互作用的過程中，在能量方面，
由于彈簧的形變會(huì)具有彈性勢(shì)能，系統(tǒng)的總動(dòng)能將發(fā)生變化，若系統(tǒng)所受的外力和除
情景分析
彈簧彈力以外的內(nèi)力不做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。在相互作用過程中，彈簧兩端物體把
彈簧拉伸至最長(zhǎng)（或壓縮至最短）時(shí)，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢(shì)能最大。
如系統(tǒng)每個(gè)物體除彈簧彈力外所受合力為零，當(dāng)彈簧為自然長(zhǎng)度時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)彈簧某一
端的物體具有最大速度（如繃緊的彈簧由靜止釋放）。
求解這類問題時(shí)，首先以彈簧遵循的胡克定律為分析問題的突破口：彈簧伸長(zhǎng)或
縮短時(shí)產(chǎn)生的彈力的大小遵循 F＝kx 和 ΔF＝kΔx。其次，以彈簧的彈力做功為分析問
題的突破口：彈簧的彈性勢(shì)能與彈簧的勁度系數(shù)、形變量有關(guān)，但是在具體的問題中
方法突破
不用計(jì)算彈性勢(shì)能的大小，彈簧的形變量相同的時(shí)候彈性勢(shì)能相同，通過運(yùn)算可以約
去。當(dāng)題目中始、末都不是彈簧原長(zhǎng)時(shí)，要注意始、末彈力的大小與方向時(shí)刻要與當(dāng)
時(shí)的形變相對(duì)應(yīng)，即伸長(zhǎng)量或壓縮量，而力的位移就可能是兩次形變量之和或之差。
【考向 11】（2024·遼寧丹東·一模）如圖所示，勁度系數(shù)為200N/m的輕彈簧下端固定在傾角為 = 53°
的光滑斜面底端，上端連接物塊 Q，Q 同時(shí)與平行于斜面的輕繩相連，輕繩跨過定滑輪 O 與套在足
夠長(zhǎng)的光滑豎直桿上的物塊 P 連接，圖中 O、B 兩點(diǎn)等高，間距 = 0.3m。初始時(shí)在外力作用下，P
在 A 點(diǎn)靜止不動(dòng)，A、B 間距離 = 0.4m，此時(shí)輕繩中張力大小為60N。已知 P 的質(zhì)量為1kg，Q 的
質(zhì)量為5kg，P、Q 均可視為質(zhì)點(diǎn)。現(xiàn)將 P 由靜止釋放（不計(jì)滑輪大小及摩擦，重力加速度 取10m/
s2，sin53° = 0.8，cos53° = 0.6，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)），下列說法正確的是（ ）
A．物塊 P 上升的最大高度為0.8m
B．物塊 P 上升至 B 點(diǎn)時(shí)，其速度大小為2 2m/s
C．在物塊 P 由 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)的過程中，彈簧對(duì)物塊 Q 一直做正功
D．在物塊 P 由 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)的過程中，物塊 P 機(jī)械能守恒
【答案】B
【詳解】A．假設(shè)物塊 P 上升的最大高度為0.8m，根據(jù)圖中幾何關(guān)系可知，此時(shí)物塊 Q 剛好回到初
始位置，則物塊從 A 點(diǎn)釋放到最大高度過程，彈簧的彈性勢(shì)能變化為 0，Q 的重力勢(shì)能變化為 0，
而 P 的重力勢(shì)能增加，不滿足 P、Q 彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，可知物塊 P 上升的最大高度一定
小于0.8m，故 A 錯(cuò)誤；
B．P 位于 A 點(diǎn)時(shí)，設(shè)彈簧伸長(zhǎng)量為 1；對(duì) Q，由平衡條件得
= Q sin + 1
解得彈簧的伸長(zhǎng)量為
1 = 0.1m
P 上升至 B 點(diǎn)時(shí)，Q 下降的距離為
Δ = = 0.5 0.3m = 0.2m
則此時(shí)彈簧的壓縮量為
2 = Δ 1 = 0.2 0.1m = 0.1m
可知 P 從 A 點(diǎn)上升至 B 點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能不變，且物塊 Q 的速度為 0；對(duì)物塊 P、Q 及彈簧，
根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒有
1
Q Δ sin 2P = 2 P
解得 P 上升至 B 點(diǎn)時(shí)的速度大小為
= 2 2m/s
故 B 正確；
C．在物塊 P 由 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)的過程中，彈簧先處于伸長(zhǎng)狀態(tài)后處于壓縮狀態(tài)，彈簧對(duì)物塊 Q 先
做正功，后做負(fù)功，故 C 錯(cuò)誤；
D．在物塊 P 由 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)的過程中，繩子拉力對(duì) P 一直做正功，物塊 P 的機(jī)械能增加，故 D
錯(cuò)誤。
故選 B。
【考向 12】（2024·陜西榆林·三模）如圖所示，傾角為45 的光滑斜面與光滑的水平地面在 C 點(diǎn)連接，
質(zhì)量均為 m 的小球 A、B（均可視為質(zhì)點(diǎn)）用長(zhǎng)為 L 的輕質(zhì)硬桿連接，現(xiàn)把小球 B 放置在水平面上
的 C 點(diǎn)，小球 A 由靜止釋放，在小球 A 下滑的過程中，小球 B 始終在水平地面上運(yùn)動(dòng)，重力加速
度為 g，下列說法正確的是（　　）
A．在小球 A 下滑的過程中，小球 A 重力勢(shì)能的減少量等于小球 B 動(dòng)能的增加量
B．在小球 A 下滑的過程中，輕質(zhì)硬桿對(duì)小球 B 先做正功后做負(fù)功
C．小球 A 剛到達(dá) C 點(diǎn)前瞬間，小球 A、B 的速度相等
D 2．小球 A 剛到達(dá) C 點(diǎn)前瞬間，小球 B 的動(dòng)能為
6
【答案】D
【詳解】A．在小球 A 下滑的過程中，小球 A 重力勢(shì)能的減少量等于小球 A、B 動(dòng)能的增加量之和，
故 A 錯(cuò)誤；
B．在小球 A 下滑的過程中，輕質(zhì)硬桿對(duì)小球 B 的作用力與小球 B 的運(yùn)動(dòng)方向始終成銳角，故輕質(zhì)
硬桿對(duì)小球 B 始終做正功，故 B 錯(cuò)誤；
CD．設(shè)小球 A 下滑時(shí)桿與地面的夾角為 、與斜面的夾角為 ，則
Acos = Bcos
可得
Acos B = cos
小球 A 剛到達(dá) C 點(diǎn)還未與地面接觸時(shí) = 0 ， = 45°，此時(shí)
2
B = 2 A
由機(jī)械能守恒定律可得
1 1 sin45 = 2 + 22 A 2 B
解得
= 2 2 A ， 2 3 B = 3
小球 B 的動(dòng)能為
1 2 2 kB = 2 B = 6
故 C 錯(cuò)誤，D 正確。
故選 D。
【考向 13】（2024·遼寧丹東·二模）輕質(zhì)直角支架兩端分別連接質(zhì)量均為 m 的小球 A 和 B，支架的
兩直角邊長(zhǎng)度分別為 2L 和 L，支架可繞固定軸 O 在豎直平面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖所示，開始時(shí) OA
邊與水平方向的夾角為 ， = 37 。由靜止釋放A球，（重力加速度為g，sin37 = 0.6，cos37 = 0.8）
下列說法正確的是（　　）
A．A、B 兩球線速度大小始終相等
B．A 球速度最大時(shí)位于 O 點(diǎn)正下方
C．A 由靜止釋放至擺動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中，支架對(duì) A 不做功
D．A 擺動(dòng)到最低點(diǎn)位置時(shí)，桿對(duì) A 做功的功率為零
【答案】D
【詳解】A．A、B 兩球?qū)儆谕S轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度始終相等，由于兩球到軸心間距不等，根據(jù)
=
可知，A、B 兩球線速度大小始終不相等，故 A 錯(cuò)誤；
B．A、B 兩球構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，令角速度為 ，經(jīng)歷一定時(shí)間，OA 邊與水平方向夾角為 ，
則有
1 1
(2 sin 2 sin ) = ( cos cos ) + 2 22 ( 2 ) + 2 ( )
解得
2 (2sin + cos ) 4
= 5
若令
= 2sin + cos
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)有
′ = 2cos sin
當(dāng)導(dǎo)數(shù)值為 0 時(shí)，解得
tan = 2
則有
2 5
sin = < 1 = sin90 5
可知
< 90
由于線速度最大時(shí)，A 的線速度最大，可知，A 球速度最大時(shí) A 并沒有位于 O 點(diǎn)正下方，故 B 錯(cuò)誤；
C．A 由靜止釋放至擺動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中，結(jié)合上述可以解得此時(shí)的角速度恰好為 0，即此時(shí)的線
速度為 0，表明 A 恰好能夠運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)，此過程中，A 的機(jī)械能減小，表明支架對(duì) A 做負(fù)功，故
C 錯(cuò)誤；
D．結(jié)合上述可知，A 擺動(dòng)到最低點(diǎn)位置時(shí)，A 的線速度恰好等于 0，可知，此時(shí)桿對(duì) A 做功的功
率為零，故 D 正確。
故選 D。
【考向 14】（多選）如圖所示，光滑豎直固定桿上套有一質(zhì)量為 m 的小球 A，一根豎直輕彈簧上端
連接著一個(gè)質(zhì)量為 m 的物塊 B，下端連接著一個(gè)質(zhì)量為2 的物塊 C。一輕繩跨過輕質(zhì)定滑輪 O，一
端與物塊 B 相連，另一端與小球 A 連接，定滑輪到豎直桿的距離為 5L。初始時(shí)，小球 A 在外力作
用下靜止于 P 點(diǎn)，此時(shí)輕繩剛好伸直無張力且 OP 間細(xì)繩水平、OB 間細(xì)繩豎直。現(xiàn)將小球 A 由 P
點(diǎn)靜止釋放，A 沿桿下滑12 到達(dá)最低點(diǎn) Q，此時(shí)物塊 C 與地面間的相互作用剛好為零。不計(jì)滑輪
大小及摩擦，重力加速度大小為 g，下列說法中正確的是（　　）
A 3 ．彈簧的勁度系數(shù)為 8
B A 8．小球 運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)彈簧的形變量為3
C．小球 A 運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為4

D．用質(zhì)量為2的小球 D 替換 A，并將其拉至 Q 點(diǎn)由靜止釋放，小球 D 經(jīng)過 P 點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為
6
【答案】AD
【詳解】AB．開始時(shí)，對(duì) B 有
= 1
A 在 Q 點(diǎn)時(shí)，對(duì) C 有
2 = 2A 從 P 到 Q 點(diǎn)，由題意可知
1 + 2 = 8
解得
3
= 8
16
2 = 3
A 正確；B 錯(cuò)誤；
C．A 從 P 到 Q，由能量守恒定律有
12 = 8 + Δ p
解得
Δ p = 4
因?yàn)閺椈稍扔行巫兞浚? ≠ 4 ，C 錯(cuò)誤；
D．D 從 Q 到 P，由能量守恒定律有

Δ p + 8 = 2 × 12 + k
解得
k = 6
D 正確。
故選 AD。
【考向 15】（多選）（2024·陜西·一模）如圖所示，一彈性輕繩（繩的彈力與其伸長(zhǎng)量成正比）穿過
固定的光滑圓環(huán) B，左端固定在 A 點(diǎn)，右端連接一個(gè)質(zhì)量為 m 的小球，A、B、C 在一條水平線上，
彈性繩自然長(zhǎng)度為 AB。小球穿過豎直固定的桿，從 C 點(diǎn)由靜止釋放，到 D 點(diǎn)時(shí)速度為零，C、D 兩
點(diǎn)間距離為 h。已知小球在 C 點(diǎn)時(shí)彈性繩的拉力為 0.5mg，g 為重力加速度，小球和桿之間的動(dòng)摩擦
因數(shù)為 0.5，彈性繩始終處在彈性限度內(nèi)，下列說法正確的是（　　）
A．小球從 C 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 D 點(diǎn)的過程中，彈性繩的彈力不斷減小
B．整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，彈性繩的最大彈性勢(shì)能為 0.75mgh
C．若在 D 點(diǎn)給小球一個(gè)向上的速度 v，小球恰好回到 C 點(diǎn)，則 =
D．若僅把小球質(zhì)量變?yōu)?2m，則小球到達(dá) D 點(diǎn)時(shí)的速度大小為
【答案】CD
【詳解】A．設(shè) BC 的長(zhǎng)度為 L，根據(jù)胡克定律，有
0.5 = BD 與豎直方向的夾角為 時(shí)，伸長(zhǎng)量為sin ，故彈力為

= sin
可知，小球從 C 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 D 點(diǎn)的過程中， 不斷減小，彈性繩彈力不斷增大，故 A 錯(cuò)誤；
B．小球從 C 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 D 點(diǎn)的過程中克服摩擦力做功為
f = f = sin = = 0.25
當(dāng)運(yùn)動(dòng)到 D 時(shí)，繩子伸長(zhǎng)最長(zhǎng)，彈性勢(shì)能最大，根據(jù)能量守恒
Δ P 彈 = Δ P 重 f = 0.75
因?yàn)樽畛趵K子也具有彈性勢(shì)能，所以，繩子最大的彈性勢(shì)能大于 0.75mgh，故 B 錯(cuò)誤；
C．對(duì)小球從 C 到 D 過程，根據(jù)動(dòng)能定理，有
f 彈 = 0
解得
彈 = 0.75
若在 D 點(diǎn)給小球一個(gè)向上的速度 v，小球恰好回到 C 點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理，有
1
彈 f = 0 2
2
解得
=
故 C 正確；
D．若僅把小球的質(zhì)量變成 2m，小球從 C 到 D 過程，根據(jù)動(dòng)能定理，有
1
2 = 2 2f 彈 2 1
解得
1 =
故 D 正確。
故選 CD。
【考向 16】（多選）（2024·陜西安康·一模）如圖所示，質(zhì)量為 、高為 、傾角為 的光滑斜面體 放
在足夠大的光滑水平地面上，斜面頂端正上方有一固定的光滑套管 ，用手提著質(zhì)量為 的細(xì)長(zhǎng)直桿
的上端，將直桿穿過套管，使直桿下端恰好與斜面體頂端接觸，突然松手，直桿在套管的約束下
只能沿豎直方向運(yùn)動(dòng)，斜面體隨即向右加速，重力加速度大小為 ，下列說法正確的是（　　）
A．直桿的最大速度為 2 cos
B．斜面體的最大速度為 2 sin
C 2 ．斜面體的加速時(shí)間為 sin
D．斜面體在加速過程中受到地面的支持力大小為2 sin2
【答案】CD
【詳解】AB．桿豎直向下運(yùn)動(dòng)，接觸點(diǎn)沿斜面滑動(dòng)，同時(shí)由于桿向下運(yùn)動(dòng)使斜面向右運(yùn)動(dòng)，故將桿
豎直向下的速度分解為平行斜面的速度 1和水平方向的速度 2，如圖
桿一直向下加速，故可知到達(dá)斜面底端時(shí)速度最大，在到達(dá)底端過程中斜面體向右的速度與桿沿水
平方向的速度相等，設(shè)到達(dá)底端時(shí)桿的速度為 m，斜面體的速度為 ′，從開始到到達(dá)底端時(shí)對(duì)桿和
斜面體由機(jī)械能守恒得
1 1
= 2
2
m + 2
′2
其中有

tan = m
′
聯(lián)立解得
m = 2 sin ， ′ = 2 cos
AB 錯(cuò)誤；
C．設(shè)桿加速度為 1，斜面體加速度為 2，根據(jù)前面分析可知

tan = 1 2
設(shè)斜面對(duì)桿垂直于斜面方向的彈力為 N，桿對(duì)斜面垂直斜面向下的彈力為 N′，可知
N = N′
對(duì)桿和斜面體由牛頓第二定律
Ncos = 1
N′sin = 2
求得
2 = sin cos
N = N′ = cos
故斜面體的加速時(shí)間為
′ 2
= =2 sin
C 正確；
D．斜面體在加速過程中豎直方向受力平衡
= + N′cos
求得
= 2 sin2
D 正確。
故選 CD。
考點(diǎn) 4：用機(jī)械能守恒定律解決非質(zhì)點(diǎn)問題
一.非質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)
1．定義：指的是“鏈條”、“纜繩”、“液柱”等質(zhì)量不可忽略、柔軟的物體或液體。
2．重力勢(shì)能變化的分析方法
在確認(rèn)了系統(tǒng)機(jī)械能守恒之后，一般采用轉(zhuǎn)化法列方程。重力勢(shì)能的變化與運(yùn)動(dòng)的過程無關(guān)，
常常分段找等效重心的位置變化來確定勢(shì)能的變化。
二.基本思路
在應(yīng)用機(jī)械能守恒定律處理實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常遇到像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運(yùn)動(dòng)過程中
將發(fā)生形變，其重心位置相對(duì)物體也發(fā)生變化，因此這類物體不能再看成質(zhì)點(diǎn)來處理。
不計(jì)摩擦和其他損耗，物體雖然不能看成質(zhì)點(diǎn)來處理，但因只有重力做功，物體整體機(jī)械能守
恒。一般情況下，可將物體分段處理，確定質(zhì)量分布均勻的規(guī)則物體各部分的重心位置，根據(jù)初、
末狀態(tài)物體重力勢(shì)能的變化列式求解。
【考向 17】（多選）橫截面積為 的U形圓筒豎直放在水平面上，筒內(nèi)裝水，底部閥門K關(guān)閉對(duì)兩側(cè)
水面高度分別為 1和 2，如圖所示，已知水的密度為 ，重力加速度大小為 ，不計(jì)水與筒壁間的摩
擦阻力，現(xiàn)把連接兩筒的閥門K打開，最后兩筒水面高度相等，則該過程中（　　）
A．大氣壓力對(duì)水柱做負(fù)功
B．水柱的機(jī)械能守恒
C．水柱的重力不做功
D 1．當(dāng)兩筒水面高度相等時(shí)，水柱的動(dòng)能是4 ( 1
2
2)
【答案】BD
【詳解】A．從把連接兩筒的閥門打開到兩筒水面高度相等的過程中，大氣壓力對(duì)左筒水柱做正功，
對(duì)右筒水柱做負(fù)功，抵消為零，即大氣壓力對(duì)水柱做功為零，A 錯(cuò)誤；
B．由于大氣壓力對(duì)水柱做功為零，故水柱的機(jī)械能守恒，B 正確；
C．從把連接兩筒的閥門打開到兩筒水面高度相等的過程中，水柱的重心下降了，可知水柱的重力
做正功，C 錯(cuò)誤；
D 1- 2．水柱的機(jī)械能守恒，重力做功等于重力勢(shì)能的減少量，等于水柱增加的動(dòng)能，等效于把左筒高 2
1- 2
的水柱移至右筒，重心下降 2 ，則有
-
= ( 1 2

) ( 1
- 2 1
k 2 2 ) = 4 (
2
1 2)
D 正確；
故選 BD。
【考向 18】（多選）如圖所示，傾角 θ=30°的光滑斜面固定在地面上，長(zhǎng)為 L、質(zhì)量為 m、粗細(xì)和質(zhì)
量分布均勻的軟繩置于斜面上，其上端與斜面頂端齊平。用輕質(zhì)細(xì)線將物塊與軟繩連接，物塊的質(zhì)
量也為 m，物塊由靜止釋放后向下運(yùn)動(dòng)，直到軟繩剛好全部離開斜面（此時(shí)物塊未到達(dá)地面）在此
過程中（　　）
A．物塊重力做的功等于軟繩和物塊動(dòng)能的增加量
B．物塊重力勢(shì)能的減少量大于軟繩機(jī)械能的增加量
C．軟繩重力勢(shì)能共減少了 12mgL
D 1．軟繩剛好全部離開斜面時(shí)的速度為2 5
【答案】BD
【詳解】AB．物塊下降的高度為
=
物塊重力做功為
=
所以物塊重力勢(shì)能減少了
Δ p =
物塊減少的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為軟繩增加的機(jī)械能和物塊本身的動(dòng)能，故 A 錯(cuò)誤，B 正確；
C．物塊未釋放時(shí),軟繩的重心離斜面頂端的高度為

1 = 2 sin30° = 4
軟繩剛好全部離開斜面時(shí)，軟繩的重心離斜面頂端的高度

2 = 2
則軟繩重力勢(shì)能共減少
1
( 2 4 ) = 4
故 C 錯(cuò)誤；
根據(jù)機(jī)械能守恒有
1 1
+ 4 = 2( + )
2
則
1
= 2 5
故 D 正確。
故選 BD。
【真題 1】（2023·浙江·高考真題）鉛球被水平推出后的運(yùn)動(dòng)過程中，不計(jì)空氣阻力，下列關(guān)于鉛球
在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小 a、速度大小 v、動(dòng)能 Ek 和機(jī)械能 E 隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t 的變化關(guān)系中，正確
的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】A．由于不計(jì)空氣阻力，鉛球被水平推出后只受重力作用，加速度等于重力加速度，不隨
時(shí)間改變，故 A 錯(cuò)誤；
B．鉛球被水平推出后做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向有
=
則拋出后速度大小為
= 20 + ( )2
可知速度大小與時(shí)間不是一次函數(shù)關(guān)系，故 B 錯(cuò)誤；
C．鉛球拋出后的動(dòng)能
1 1
k = 2 2 22 = 2 0 + ( )
可知?jiǎng)幽芘c時(shí)間不是一次函數(shù)關(guān)系，故 C 錯(cuò)誤；
D．鉛球水平拋出后由于忽略空氣阻力，所以拋出后鉛球機(jī)械能守恒，故 D 正確。
故選 D。
【真題 2】（2024·浙江·高考真題）如圖所示，質(zhì)量為 m 的足球從水平地面上位置 1 被踢出后落在位
置 3，在空中達(dá)到最高點(diǎn) 2 的高度為 h，則足球（　　）
A．從 1 到 2 動(dòng)能減少 B．從 1 到 2 重力勢(shì)能增加
C．從 2 到 3 動(dòng)能增加 D．從 2 到 3 機(jī)械能不變
【答案】B
【詳解】AB．由足球的運(yùn)動(dòng)軌跡可知，足球在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)一定受到空氣阻力作用，則從從 1 到 2 重
力勢(shì)能增加 ，則 1 到 2 動(dòng)能減少量大于 ，A 錯(cuò)誤，B 正確；
CD．從 2 到 3 由于空氣阻力作用，則機(jī)械能減小，重力勢(shì)能減小 mgh，則動(dòng)能增加小于 ，選項(xiàng)
CD 錯(cuò)誤。
故選 B。
【真題 3】（2024·北京·高考真題）如圖所示，光滑水平軌道 AB 與豎直面內(nèi)的光滑半圓形軌道 BC
在 B 點(diǎn)平滑連接。一小物體將輕彈簧壓縮至 A 點(diǎn)后由靜止釋放，物體脫離彈簧后進(jìn)入半圓形軌道，
恰好能夠到達(dá)最高點(diǎn) C。下列說法正確的是（　　）
A．物體在 C 點(diǎn)所受合力為零
B．物體在 C 點(diǎn)的速度為零
C．物體在 C 點(diǎn)的向心加速度等于重力加速度
D．物體在 A 點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能等于物體在 C 點(diǎn)的動(dòng)能
【答案】C
【詳解】AB．物體恰好能到達(dá)最高點(diǎn) C，則物體在最高點(diǎn)只受重力，且重力全部用來提供向心力，
設(shè)半圓軌道的半徑為 r，由牛頓第二定律得
2
=
解得物體在 C 點(diǎn)的速度
=
AB 錯(cuò)誤；
C．由牛頓第二定律得
=
解得物體在 C 點(diǎn)的向心加速度
=
C 正確；
D．由能量守恒定律知，物體在 A 點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能等于物體在 C 點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能和重力勢(shì)能之和，D
錯(cuò)誤。
故選 C。
【真題 4】（2024·全國(guó)·高考真題）如圖，一光滑大圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，質(zhì)量為 m 的小環(huán)套在大
圓環(huán)上，小環(huán)從靜止開始由大圓環(huán)頂端經(jīng) Q 點(diǎn)自由下滑至其底部，Q 為豎直線與大圓環(huán)的切點(diǎn)。則
小環(huán)下滑過程中對(duì)大圓環(huán)的作用力大小（　　）
A．在 Q 點(diǎn)最大 B．在 Q 點(diǎn)最小 C．先減小后增大 D．先增大后減小
【答案】C
【詳解】方法一（分析法）：設(shè)大圓環(huán)半徑為 ，小環(huán)在大圓環(huán)上某處（ 點(diǎn)）與圓環(huán)的作用力恰好
為零，如圖所示
設(shè)圖中夾角為 ，從大圓環(huán)頂端到 點(diǎn)過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律
1
(1 cos ) = 22
在 點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律
2
cos =
聯(lián)立解得
2
cos = 3
從大圓環(huán)頂端到 點(diǎn)過程，小環(huán)速度較小，小環(huán)重力沿著大圓環(huán)圓心方向的分力大于小環(huán)所需的向
心力，所以大圓環(huán)對(duì)小環(huán)的彈力背離圓心，不斷減小，從 點(diǎn)到最低點(diǎn)過程，小環(huán)速度變大，小環(huán)
重力和大圓環(huán)對(duì)小環(huán)的彈力合力提供向心力，所以大圓環(huán)對(duì)小環(huán)的彈力逐漸變大，根據(jù)牛頓第三定
律可知小環(huán)下滑過程中對(duì)大圓環(huán)的作用力大小先減小后增大。
方法二（數(shù)學(xué)法）：設(shè)大圓環(huán)半徑為 ，小環(huán)在大圓環(huán)上某處時(shí)，設(shè)該處與圓心的連線與豎直向上的
夾角為 (0 ≤ ≤ )，根據(jù)機(jī)械能守恒定律
(1 cos ) = 1 22 (0 ≤ ≤ )
在該處根據(jù)牛頓第二定律
2
+ cos = (0 ≤ ≤ )
聯(lián)立可得
= 2 3 cos
則大圓環(huán)對(duì)小環(huán)作用力的大小
| | = |2 3 cos |
根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知| |的大小在cos =
2
3時(shí)最小，結(jié)合牛頓第三定律可知小環(huán)下滑過程中對(duì)大圓環(huán)的
作用力大小先減小后增大。
故選 C。
【真題 5】（2024·山東·高考真題）如圖所示，質(zhì)量均為 m 的甲、乙兩同學(xué)，分別坐在水平放置的輕
木板上，木板通過一根原長(zhǎng)為 l 的輕質(zhì)彈性繩連接，連接點(diǎn)等高且間距為 d（d動(dòng)摩擦因數(shù)均為 μ，彈性繩勁度系數(shù)為 k，被拉伸時(shí)彈性勢(shì)能 E=12kx
2（x 為繩的伸長(zhǎng)量）。現(xiàn)用水平
力 F 緩慢拉動(dòng)乙所坐木板，直至甲所坐木板剛要離開原位置，此過程中兩人與所坐木板保持相對(duì)靜
止，k 保持不變，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度大小為 g，則 F 所做的功等于（　　）
A ( m )
2
+ ( ) B 3( m )
2
． 2 ． 2 + ( )
C 3( m )
2 2
． 2 +2 ( ) D
( m )
． 2 +2 ( )
【答案】B
【詳解】當(dāng)甲所坐木板剛要離開原位置時(shí)，對(duì)甲及其所坐木板整體有
0 =
解得彈性繩的伸長(zhǎng)量

0 =
則此時(shí)彈性繩的彈性勢(shì)能為
1 2 2 2
20 = 2 0 = 2
從開始拉動(dòng)乙所坐木板到甲所坐木板剛要離開原位置的過程，乙所坐木板的位移為
1 = 0 +
則由功能關(guān)系可知該過程 F 所做的功
3( )2
= 0 + 1 = 2 + ( )
故選 B。
【真題 6】（2023·遼寧·高考真題）某大型水陸兩棲飛機(jī)具有水面滑行汲水和空中投水等功能。某次
演練中，該飛機(jī)在水面上由靜止開始勻加速直線滑行并汲水，速度達(dá)到 v =80m/s 時(shí)離開水面，該過
程滑行距離 L=1600m、汲水質(zhì)量 m=1.0×10 kg。離開水面后，飛機(jī)攀升高度 h=100m 時(shí)速度達(dá)到
v =100m/s，之后保持水平勻速飛行，待接近目標(biāo)時(shí)開始空中投水。取重力加速度 g=10m/s 。求：
（1）飛機(jī)在水面滑行階段的加速度 a 的大小及滑行時(shí)間 t；
（2）整個(gè)攀升階段，飛機(jī)汲取的水的機(jī)械能增加量 ΔE。
【答案】（1）2m/s2，40s；（2）2.8 × 107J
1
【詳解】（1）飛機(jī)做從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，平均速度為 2，則
1
= 2 1
解得飛機(jī)滑行的時(shí)間為
2 2 × 1600
= = 80 s = 40s1
飛機(jī)滑行的加速度為
80
= 1 = 40m/s
2 = 2m/s2
（2）飛機(jī)從水面至 = 100m處，水的機(jī)械能包含水的動(dòng)能和重力勢(shì)能，則機(jī)械能變化量為
1 1
Δ = 2
2
2 + 2
2
1 = 2.8 × 107J
【真題 7】（2024·海南·高考真題）某游樂項(xiàng)目裝置簡(jiǎn)化如圖，A 為固定在地面上的光滑圓弧形滑梯，
半徑 = 10m，滑梯頂點(diǎn) a 與滑梯末端 b 的高度 = 5m，靜止在光滑水平面上的滑板 B，緊靠滑梯
的末端，并與其水平相切，滑板質(zhì)量 = 25kg，一質(zhì)量為 = 50kg的游客，從 a 點(diǎn)由靜止開始下滑，
在 b 點(diǎn)滑上滑板，當(dāng)滑板右端運(yùn)動(dòng)到與其上表面等高平臺(tái)的邊緣時(shí)，游客恰好滑上平臺(tái)，并在平臺(tái)
上滑行 = 16m停下。游客視為質(zhì)點(diǎn)，其與滑板及平臺(tái)表面之間的動(dòng)摩擦系數(shù)均為 = 0.2，忽略空
氣阻力，重力加速度 = 10m/s2，求：
（1）游客滑到 b 點(diǎn)時(shí)對(duì)滑梯的壓力的大小；
（2）滑板的長(zhǎng)度 L
【答案】（1）1000N；（2）7m
【詳解】（1）設(shè)游客滑到 b 點(diǎn)時(shí)速度為 0，從 a 到 b 過程，根據(jù)機(jī)械能守恒
1
= 2
2
0
解得
0 = 10m/s
在 b 點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律
2
N =
0

解得
N = 1000N
根據(jù)牛頓第三定律得游客滑到 b 點(diǎn)時(shí)對(duì)滑梯的壓力的大小為
N′ = N = 1000N
（2）設(shè)游客恰好滑上平臺(tái)時(shí)的速度為 ，在平臺(tái)上運(yùn)動(dòng)過程由動(dòng)能定理得
1
= 0 22
解得
= 8m/s
根據(jù)題意當(dāng)滑板右端運(yùn)動(dòng)到與其上表面等高平臺(tái)的邊緣時(shí)，游客恰好滑上平臺(tái)，可知該過程游客一
直做減速運(yùn)動(dòng)，滑板一直做加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度大小分別為 1和 2，得

1 = = = 2m/s
2

2 = = 4m/s
2
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律對(duì)游客
= 0 1
解得
= 1s
該段時(shí)間內(nèi)游客的位移為
+
= 01 2 = 9m
滑板的位移為
1
2 = 2
2
2 = 2m
根據(jù)位移關(guān)系得滑板的長(zhǎng)度為
= 1 2 = 7m
【真題 8】（2024·北京·高考真題）科學(xué)家根據(jù)天文觀測(cè)提出宇宙膨脹模型：在宇宙大尺度上，所有
的宇宙物質(zhì)（星體等）在做彼此遠(yuǎn)離運(yùn)動(dòng)，且質(zhì)量始終均勻分布，在宇宙中所有位置觀測(cè)的結(jié)果都
一樣。以某一點(diǎn) O 為觀測(cè)點(diǎn)，以質(zhì)量為 m 的小星體（記為 P）為觀測(cè)對(duì)象。當(dāng)前 P 到 O 點(diǎn)的距離為
0，宇宙的密度為 0。
（1）求小星體 P 遠(yuǎn)離到2 0處時(shí)宇宙的密度 ρ；
（2）以 O 點(diǎn)為球心，以小星體 P 到 O 點(diǎn)的距離為半徑建立球面。P 受到的萬(wàn)有引力相當(dāng)于球內(nèi)質(zhì)
1 2
量集中于 O 點(diǎn)對(duì) P 的引力。已知質(zhì)量為 1和 2、距離為 R 的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力勢(shì)能 p = ，
G 為引力常量。僅考慮萬(wàn)有引力和 P 遠(yuǎn)離 O 點(diǎn)的徑向運(yùn)動(dòng)。
a．求小星體 P 從 0處遠(yuǎn)離到2 0。處的過程中動(dòng)能的變化量Δ k；
b．宇宙中各星體遠(yuǎn)離觀測(cè)點(diǎn)的速率 v 滿足哈勃定律 = ，其中 r 為星體到觀測(cè)點(diǎn)的距離，H 為哈
勃系數(shù)。H 與時(shí)間 t 有關(guān)但與 r 無關(guān)，分析說明 H 隨 t 增大還是減小。
1 2
【答案】（1） = 28 0；（2）a．Δ k = 3 π 0 0；b．H 隨 t 增大而減小
【詳解】（1）在宇宙中所有位置觀測(cè)的結(jié)果都一樣，則小星體 P 運(yùn)動(dòng)前后距離 O 點(diǎn)半徑為 0和2 0
的球內(nèi)質(zhì)量相同，即
4 4
3 π
3
0 = 3 π(2 0)
3
解得小星體 P 遠(yuǎn)離到2 0處時(shí)宇宙的密度
1
= 8 0
（2）a．此球內(nèi)的質(zhì)量
4
= π 30 3 0
P 從 0處遠(yuǎn)離到2 0處，由能量守恒定律得，動(dòng)能的變化量
2
Δ k = 2 = 3 π
2
0 0
0 0
b．由 a 知星體的速度隨 0增大而減小，星體到觀測(cè)點(diǎn)距離越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t 越長(zhǎng)，由 = 知，H
減小，故 H 隨 t 增大而減小。
一、單選題
1．（2024·四川成都·三模）一質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從圓周上的一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到另一點(diǎn)的過程中，下列
說法一定正確的是（ ）
A．質(zhì)點(diǎn)速度不變 B．質(zhì)點(diǎn)加速度不變 C．質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能不變 D．質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能不變
【答案】C
【詳解】A．質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度大小不變，方向時(shí)刻變化，速度是變化的，故 A 錯(cuò)誤；
B．質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，加速度大小不變，方向時(shí)刻變化，指向圓心，加速度是變化的，故 B 錯(cuò)
誤；
C．質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能為
1
k = 2
2
質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度大小不變，故質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能不變，故 C 正確；
D．質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能不變，質(zhì)點(diǎn)的重力勢(shì)能不一定不變，故質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能不一定不變，故 D
錯(cuò)誤。
故選 C。
2．（2024·山東濱州·二模）電動(dòng)車在剎車或下坡過程中可以利用某些裝置把機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能，進(jìn)
行機(jī)械能回收。一實(shí)驗(yàn)電動(dòng)車質(zhì)量 = 2kg，以20J的初機(jī)械能沿傾角為15°的平直斜坡 AO 運(yùn)動(dòng)，A
點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)起始點(diǎn)，設(shè) A 點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)。第一次在 A 點(diǎn)關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，讓車自由滑行，其機(jī)械能—位移
關(guān)系如圖直線①所示；第二次在 A 點(diǎn)關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)同時(shí)開啟“機(jī)械能回收”裝置，回收一段時(shí)間后，關(guān)
閉回收裝置，其機(jī)械能—位移關(guān)系如圖線②所示。假設(shè)機(jī)械能回收效率為90%，sin15° ≈ 0.26。下
列說法正確的是（　　）
A．第一次中斜面 AO 作用于實(shí)驗(yàn)電動(dòng)車的阻力大小為5N
B．第二次中實(shí)驗(yàn)電動(dòng)車從10m行駛到20m的過程中，其機(jī)械能守恒
C．第二次中實(shí)驗(yàn)電動(dòng)車行駛20m的過程中，回收機(jī)械能5.4J
D．第二次中實(shí)驗(yàn)電動(dòng)車行駛前10m的過程中，其加速度一定越來越小
【答案】C
【詳解】A．若斜面光滑則電動(dòng)車運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒，由圖線①知，機(jī)械能在減小，說明下滑
過程中摩擦力做功，在自由滑行時(shí)，設(shè)摩擦力為 ，A 點(diǎn)機(jī)械能為 1，O 點(diǎn)機(jī)械能為 2，則由能量守
恒知
= 2 1
代入得
16 20
= 20 N= 0.2N
A 錯(cuò)誤；
B．第二次中實(shí)驗(yàn)電動(dòng)車從10m行駛到20m的過程中，由摩擦力做功，其機(jī)械能不守恒，B 錯(cuò)誤；
C．由圖線②知，在前 10m 內(nèi)進(jìn)行“機(jī)械能回收”，由題圖知，圖線①表達(dá)式為
= 0.2 + 20
當(dāng) = 10m時(shí)，代入得
= 0.2 × 10 + 20 = 18J
在車自由下滑 10m 時(shí)
= 20J 18J=2J
開啟能量回收模式下滑 10m 時(shí)
+ = 20J 12J=8J
則第二次中實(shí)驗(yàn)電動(dòng)車行駛20m的過程中，回收的電能為
電 = × 90% = (8 2) × 90%J = 5.4J
C 正確；
D．由圖線②知，斜率表示摩擦力與回收裝置產(chǎn)生合外力，方向沿斜面向上，第二次中實(shí)驗(yàn)電動(dòng)車
行駛前10m的過程中，圖線②斜率在變小，則摩擦力與回收裝置產(chǎn)生合外力在變小，電動(dòng)車重力沿
斜面向下分力不變，故電動(dòng)車加速度一定越來越大，D 錯(cuò)誤；
故選 C。
3．（2024·河北·三模）小芳同學(xué)上體育課時(shí)，從距離地面 H 高度處將 = 0.6kg的籃球從靜止開始釋
放，籃球與地面撞擊后彈起，籃球在此過程中的 圖像如圖所示。不計(jì)籃球與地面撞擊過程的時(shí)
間間隔，籃球在下落階段與上升階段所受的空氣阻力大小相等，已知重力加速度 = 10m/s2。則籃
球（　　）
A．下落的高度 = 2.0m
B．在下落階段和上升階段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差為 0.2s
C．在下落階段和上升階段所受空氣阻力與重力的大小之比為1:4
D．撞擊地面過程中損失的機(jī)械能為 0.8J
【答案】B
【詳解】A．根據(jù) v-t 圖像與坐標(biāo)軸所圍面積表示位移，得
1
= 2 × 4 × 0.5m=1m
A 項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．設(shè)籃球在下落過程中受到空氣的阻力為 ，由牛頓第二定律有
= 1
由圖可知
Δ 4
1 = Δ =
2
0.5m/s = 8m/s
2
聯(lián)立兩式解得
= 1.2N
所以籃球上升過程的加速度
+ = 2

2 = + = 12m/s
2
又因?yàn)?br/>Δ 0 ( 3.6)
= = m/s22 Δ 2 0.5
解得
2 = 0.8s
故籃球在上升階段經(jīng)歷的時(shí)間為
′ = (0.8 0.5)s=0.3s
籃球在下落和上升階段的時(shí)間差
Δ = (0.5 0.3)s = 0.2s
B 項(xiàng)正確；
C．籃球下落過程的加速度大小
1 = 8m/s2
設(shè)籃球下落過程中所受空氣阻力為 ，由牛頓第二定律有
= 1
解得
: = 1:5
C 項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．由籃球在此過程中的 v-t 圖像可知籃球即將著地時(shí)的速度大小為 4 m/s，反彈時(shí)的速度大小為 3.6
m/s，可知籃球撞擊地面過程中損失的機(jī)械能
1 2 1Δ = 22 1 2 2 = 0.912J
D 項(xiàng)錯(cuò)誤。
故選 B。
4．（2024·浙江·三模）如圖所示，細(xì)繩的一端固定于 O 點(diǎn)，另一端系一個(gè)小球，在 O 點(diǎn)的正下方釘
一個(gè)釘子 A，小球從一定高度擺下。不計(jì)細(xì)繩與釘子碰撞的能量損失，不計(jì)空氣阻力，則（　　）
A．若 A 高于小球擺下的初位置，則 A 離 O 點(diǎn)越近，小球運(yùn)動(dòng)到右側(cè)最高點(diǎn)時(shí)加速度就越大
B．若 A 高于小球擺下的初位置，則 A 離 O 點(diǎn)越近，小球運(yùn)動(dòng)到右側(cè)最高點(diǎn)時(shí)，細(xì)繩的拉力就越
大
C．由于機(jī)械能守恒，無論 A 離 O 點(diǎn)多遠(yuǎn)（小于繩長(zhǎng)），小球總能上升到原來高度
D．如果 A 與小球擺下的初位置等高，則小球在運(yùn)動(dòng)的過程中有可能撞到釘子
【答案】B
【詳解】AB．A 離 點(diǎn)越近，小球運(yùn)動(dòng)到右側(cè)最高點(diǎn)時(shí)，擺角 就越小，小球加速度
= sin
越小，而繩的拉力
= cos
越大，故 A 錯(cuò)誤，B 正確；
C．當(dāng) A 低于小球開始擺下的高度時(shí)，小球擺動(dòng)到右側(cè)繞 A 運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度不為零，此時(shí)
小球不能上升到原來高度，C 錯(cuò)誤；
D．如果小球擺下的初位置與 A 等高，則小球總是繞 或繞 A 作圓周運(yùn)動(dòng)（來回?cái)[動(dòng)），不可能撞到
釘子，故 D 錯(cuò)誤。
故選 B。
5．（2024·廣西桂林·三模）如圖所示的是簡(jiǎn)化后的跳臺(tái)滑雪雪道示意圖， 段為助滑道和起跳區(qū)，
段為傾角 ( < 45°)的著陸坡。運(yùn)動(dòng)員從助滑道的起點(diǎn) A 由靜止開始下滑，到達(dá) 時(shí)點(diǎn)以初速度 0
起跳， 0方向與水平方向的夾角也為 ，最后落在著陸坡面上的 點(diǎn)， 、 間距離為 。不計(jì)一切阻
力，則運(yùn)動(dòng)員從 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 點(diǎn)的過程中（　　）

A．最小速度為 0 B．時(shí)間為 0
C．速度最小時(shí)，機(jī)械能最小 D．從 點(diǎn)起跳后瞬間重力功率最大
【答案】B
【詳解】A．在最高點(diǎn)時(shí)速度最小，沿水平方向，根據(jù)速度的分解可知最小速度為
= 0cos
故 A 錯(cuò)誤；
B．運(yùn)動(dòng)員水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，從 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 點(diǎn)的過程中有
cos = 0cos
解得

= 0
故 B 正確；
C．運(yùn)動(dòng)員從 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 點(diǎn)的過程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，故 C 錯(cuò)誤；
D．根據(jù)豎直方向的運(yùn)動(dòng)規(guī)律
2 = 2
可知 點(diǎn)豎直方向的速度較大，根據(jù)
=
可知 點(diǎn)重力的功率最大，故 D 錯(cuò)誤；
故選 B。
6．（2023·湖南永州·一模）鉛球擲出后，在空中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示。a、b、c、d、e 為軌跡上 5 個(gè)
點(diǎn)，c 為軌跡的最高點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，下列說法正確的是（ ）
A．球運(yùn)動(dòng)到 c 點(diǎn)時(shí)重力的功率最小，但不為零
B．鉛球從 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 點(diǎn)和從 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 點(diǎn)速度變化方向相同
C．鉛球從 點(diǎn)到 點(diǎn)的過程比從 點(diǎn)到 點(diǎn)的過程中速度變化快
D．鉛球從 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 點(diǎn)，合外力做的功大于重力勢(shì)能的減少量
【答案】B
【詳解】A．鉛球運(yùn)動(dòng)到 c 點(diǎn)時(shí)速度沿水平方向，重力的瞬時(shí)功率為
PG=mgvcos90°=0
故 A 錯(cuò)誤；
B．根據(jù)Δ = Δ 可知，鉛球從 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 點(diǎn)和從 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 點(diǎn)速度變化方向均與加速度方向相同，
故 B 正確；
C．速度變化快慢即為加速度，鉛球從 點(diǎn)到 點(diǎn)的過程比從 點(diǎn)到 點(diǎn)的過程中加速度相同即速度變
化快慢相同，故 C 錯(cuò)誤；
D．鉛球從 a 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 e 點(diǎn)，只有重力做功，根據(jù)重力做功與重力勢(shì)能的關(guān)系可知，重力做功等于
重力勢(shì)能的減少量，故 D 錯(cuò)誤。
故選 B。
7．（2024·湖北·一模）如圖所示，一頂角為 120°的“∧”型光滑細(xì)桿豎直放置，頂角的角平分線豎直。
質(zhì)量均為 m 的兩金屬球套在細(xì)桿上，高度相同，中間用水平輕彈簧連接，彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài)，勁度
系數(shù)為 k。現(xiàn)將兩小球同時(shí)由靜止釋放，小球沿細(xì)桿下滑過程中，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)。已知
彈簧形變量為 x 時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能 p =
1 2
2 ，重力加速度為 g，下列說法正確的是（　　）
A 3．兩小球下滑過程中，兩小球的機(jī)械能守恒 B．彈簧的最大拉力為
3
C ．小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的加速度大小相等 D．小球的最大速度為
3
【答案】C
【詳解】A．兩小球下滑過程中，除重力以外，彈簧的彈力對(duì)它做功，所以兩小球的機(jī)械能不守恒，
故 A 錯(cuò)誤；
B．小球下降 h 達(dá)到最低時(shí)，速度減小為 0，形變量最大為
m = 2 tan60° = 2 3
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有
1
2 = 2
2
m
解得

= 3
彈簧的最大伸長(zhǎng)量
2 3
m = 2 3 = 3
彈簧的最大拉力為
2 3
= m = 3
故 B 錯(cuò)誤；
C．在最高點(diǎn)時(shí)小球只受重力和支持力作用，此時(shí)重力沿桿方向的分力提供加速度，有

1 = sin30° = 2
在最低點(diǎn)時(shí)
2 3
= 3
根據(jù)牛頓第二定律可知
cos30° sin30° = 2
解得

2 = 2
小球在最高點(diǎn)與最低點(diǎn)加速度大小相等，故 C 正確；
D．小球受到重力、桿的彈力 N 和彈簧的彈力 F，沿桿方向加速度為 0，即合力為 0 時(shí)小球的速度最
大，此時(shí)
sin30° = cos30°
又
=
解得形變量
3
= 3
兩個(gè)小球下降的高度為

1 = 2tan60° = 6
對(duì)系統(tǒng)只有重力，彈力做功，對(duì)兩個(gè)金屬環(huán)和彈簧根據(jù)機(jī)械能守恒，有
1 1
2 1 = 2
2 + 2 × 2
2
m
解得

= 6
故 D 錯(cuò)誤。
故選 C。
8．（2024·山東濟(jì)南·二模）如圖所示，傾角為 = 30°的足夠長(zhǎng)的光滑斜面體固定在水平地面上，底
端附近垂直斜面固定一擋板，小物塊甲、乙用輕彈簧拴接后置于斜面上，甲的質(zhì)量為 m。初始靜止
時(shí)，彈簧壓縮量為 d。某時(shí)刻在甲上施加一沿斜面向上的恒力 = ，當(dāng)彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)將
恒力撤去，甲到最高點(diǎn)時(shí)乙剛要離開擋板。已知甲物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期為 T，彈簧的彈性勢(shì)能為
E， 1P = 2
2，其中 k 為勁度系數(shù)（k 未知），x 為形變量，重力加速度為 g，彈簧始終在彈性限度以
內(nèi)。則（　　）
A．小物塊乙的質(zhì)量為 2m
B．甲運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的加速大小為 2g
C ．從撤去外力到甲運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的時(shí)間為3
D 9．彈簧的最大彈性勢(shì)能為4
【答案】D
【詳解】A．施加恒力前由平衡條件
mgsinα=kd
解得

＝ 2
設(shè)乙剛要離開擋板時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為 x1，從開始到乙剛要離開擋板的過程，對(duì)甲和彈簧由能量守恒
有
1 1
1sin + 22 1 = sin + 2
2
解得
x1=d
設(shè)乙的質(zhì)量為 m'，乙剛好不離開擋板，則有
kx1=m'gsinα
解得
m'=m
故 A 錯(cuò)誤；
B．甲在最高點(diǎn)時(shí)
+ sin30 1 = =
解得
a=g， = 2
由對(duì)稱性可知，甲到最低點(diǎn)時(shí)加速度也為 g，故 B 錯(cuò)誤；
C ．剛撤去外力甲做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的平衡位置為初始位置，因此甲此時(shí)的位移為2且向上運(yùn)動(dòng)，則從撤去

外力到甲運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的時(shí)間為6，選項(xiàng) C 錯(cuò)誤；
D．設(shè)甲到最低點(diǎn)時(shí)彈簧的壓縮量為 x2，由能量守恒得
( 1 + 2)sin +
1
2
2
1 =
1
2
2
2
解得
x2=3d
由于 x1＜x2，故最大彈性勢(shì)能
1 9
2pmax＝ 2 2 = 4
故 D 正確。
故選 D。
9．（2024·廣西·二模）如圖所示，一輕桿通過鉸鏈連接在固定轉(zhuǎn)軸 1上，可繞 1軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，輕桿
另一端與一質(zhì)量未知的小球 A 連接。一輕繩繞過輕質(zhì)定滑輪 2，一端連接小球 A，另一端連接一帶
掛鉤，質(zhì)量為 m 的物塊 B，已知 1與 2等高，圖中 1 = 60°， 2 = 30°，此時(shí)小球 A 與物塊 B 恰好
靜止。現(xiàn)在物塊 B 下再掛物塊 C，由靜止釋放物塊 C 后，小球 A 能上升到的最高點(diǎn)恰好與 1等高，
重力加速度為 g，不計(jì)一切摩擦。則所掛物塊 C 的質(zhì)量為（　　）
A 3 1． B 3 1． C (2 3 3) D (2 3 3)． ．
2 2 2 2
【答案】A
【詳解】對(duì) B 受力分析可知，繩子拉力
=
對(duì) A 受力分析，由共點(diǎn)力平衡中直接合成法可知
A = 2 = 2
解得
A = 2
若小球 A 上升到最高點(diǎn)時(shí)，剛好與定滑輪在同一直線上，此時(shí) A、B、C 的速度都為零，設(shè)桿長(zhǎng)為
l，則根據(jù)機(jī)械能守恒有
A sin60° = ( + C) × ( + 3 2 )
解得
3 + 1
C = 2
故選 A。
10．如圖所示，頂角 P 為 53°的光滑“ ”形硬桿固定在豎直平面內(nèi)，質(zhì)量均為 m 的小球甲、乙（均
視為質(zhì)點(diǎn)）用長(zhǎng)度為 L 的輕質(zhì)硬桿連接，分別套在“ ”形硬桿的傾斜和水平部分，當(dāng)輕質(zhì)硬桿呈豎
直狀態(tài)時(shí)甲靜止在 A 點(diǎn)，乙靜止在 C 點(diǎn)。甲由于受到輕微的擾動(dòng)開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)甲運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)時(shí)，輕
質(zhì)硬桿與“ ”形硬桿的傾斜部分垂直，重力加速度大小為 g，則甲在 B 點(diǎn)的速度大小為（　　）
A 5 B 2 5 ． ．
5 5
C 5 ． D 5 ．
2 4
【答案】B
【詳解】由于甲在 B 位置時(shí)，輕質(zhì)硬桿與 AP 傾斜部分垂直，根據(jù)牽連速度的分解規(guī)律可知，甲沿
輕質(zhì)硬桿的分速度為 0，即此時(shí)乙的速度為 0，甲小球減小的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為甲的動(dòng)能，則有
1
( sin37 ) = 22
解得
2 5
= 5
故選 B。
11．（2024·貴州·三模）如圖所示， 為固定的粗糙半圓弧軌道， 為其水平直徑，可視為質(zhì)點(diǎn)
的小物塊從 A 正上方 a 點(diǎn)處由靜止釋放，下落后從 A 點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道后從 B 點(diǎn)沖出，之后返回和離
開軌道多次。若第一次從 B 點(diǎn)離開圓弧軌道上升到達(dá)的最高點(diǎn)為 b，第一次從 A 點(diǎn)離開圓弧軌道上
升到達(dá)的最高點(diǎn)為 c，第二次從 B 點(diǎn)離開圓弧軌道上升到達(dá)的最高點(diǎn)為 d，圖中 b、c、d 三點(diǎn)未標(biāo)出。
設(shè) a、b 之間的豎直高度差為Δ 1，b、c 之間的豎直高度差為Δ 2，c、d 之間的豎直高度差為Δ 3。
不計(jì)空氣阻力，下列關(guān)系式正確的是（　　）
A．Δ 1 = Δ 2 = Δ 3 B．Δ 1 > Δ 2 > Δ 3
C．Δ 1 < Δ 2 < Δ 3 D．Δ 1 > Δ 3 > Δ 2
【答案】B
【詳解】由于圓弧軌道粗糙，小球在圓弧軌道運(yùn)動(dòng)過程中，需要克服摩擦力做功，則每次通過圓弧
相同位置的速度都比前一次通過時(shí)小，小球每次通過圓弧軌道上該位置所需向心力都比前一次通過
時(shí)小，導(dǎo)致軌道對(duì)滑塊的彈力變小，即軌道對(duì)小球的滑動(dòng)摩擦力也變小，所以每次通過半圓弧軌道，
小球克服摩擦力做的功都比前一次要少，因此機(jī)械能損失量也不斷變小，則小球后一次相鄰最高點(diǎn)
的高度差總小于前一次相鄰最高點(diǎn)的高度差，即有
Δ 1 > Δ 2 > Δ 3
故選 B。
12．如圖所示，一根不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線一端懸于 O 點(diǎn)，另一端系一小球 A，將 A 拉至細(xì)線與水平
方向成 θ 夾角，細(xì)線剛好伸直。由靜止釋放 A，在 A 從釋放點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中，其重力勢(shì)能
Ep、動(dòng)能 Ek、機(jī)械能 E、重力的瞬時(shí)功率 P 與下落的高度 h 的關(guān)系圖像可能正確的是（不計(jì)空氣阻
力）（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】A．小球下落過程中重力勢(shì)能隨下落高度 h 的增大均勻減小，即圖線的斜率保持不變，故 A
錯(cuò)誤；
B．A 從釋放點(diǎn)開始做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知
k =
小球運(yùn)動(dòng)到與水平方向?qū)ΨQ的位置后，細(xì)線被拉直的瞬間有能量損失，動(dòng)能瞬間減小，然后小球做
圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有
k′ =
故 B 正確；
C．由于細(xì)線被拉直瞬間，有機(jī)械能損失，故 C 錯(cuò)誤；
D．小球自由下落過程中，重力的瞬時(shí)功率為
= = 2
當(dāng)細(xì)線被拉直瞬間，小球豎直方向的速度減小，重力的瞬時(shí)功率突然減小，即小球開始做圓周運(yùn)動(dòng)
瞬間，重力的功率應(yīng)發(fā)生突變，故 D 錯(cuò)誤。
故選 B。
二、多選題
13．（2024·山東濰坊·三模）濰坊風(fēng)箏是山東濰坊傳統(tǒng)手工藝珍品，制作歷史悠久，工藝精湛，是非
物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，現(xiàn)在世界上 70%以上的風(fēng)箏都是出自濰坊。本屆風(fēng)箏節(jié)上，小明同學(xué)在濱海國(guó)
際風(fēng)箏放飛場(chǎng)放風(fēng)箏，風(fēng)箏靜止于空中且風(fēng)箏平面與水平面夾角始終為 30°，風(fēng)速水平，與風(fēng)箏作
用后，垂直風(fēng)箏平面的風(fēng)速減為零，平行風(fēng)箏平面的風(fēng)速大小不變。風(fēng)箏的質(zhì)量為 m，風(fēng)箏線質(zhì)量
不計(jì)，重力加速度大小為 g。下列說法正確的是（ ）
A 3．若風(fēng)箏線與水平方向夾角為 30°，則風(fēng)對(duì)風(fēng)箏的作用力大小為 mg
2
B．若風(fēng)箏線與水平方向夾角為 30°，則線對(duì)風(fēng)箏的作用力大小為 mg
C．風(fēng)箏線長(zhǎng)度不變，若風(fēng)速緩慢變大，則線與水平方向夾角變大
D．風(fēng)箏線長(zhǎng)度不變，若風(fēng)速緩慢變大，則風(fēng)箏的機(jī)械能減小
【答案】BC
【詳解】AB．由于平行風(fēng)箏平面的風(fēng)速大小不變，故平行風(fēng)箏的平面上風(fēng)力大小為零，對(duì)風(fēng)箏受力
分析如圖所示，平衡時(shí)則有
cos30° = cos60°
sin60° = + sin30°
解得
=
= 3
A 錯(cuò)誤，B 正確；
C．當(dāng)風(fēng)速緩慢增大時(shí)，垂直作用在風(fēng)箏上的力 逐漸增大，作出其矢量三角形，如圖所示
由圖可知，風(fēng)速緩慢增大時(shí)，則線與水平方向夾角變大，C 正確；
D．風(fēng)速緩慢增大時(shí)，風(fēng)箏線的長(zhǎng)度不變，風(fēng)速平行風(fēng)箏平面的分速度增大，相當(dāng)于風(fēng)箏在該方向
上的速度變大，機(jī)械能應(yīng)增加，D 錯(cuò)誤。
故選 BC。
14．（2024·湖南常德·一模）2023 年 9 月 21 日，“天宮課堂”第四課在中國(guó)空間站正式開講，神舟十
六號(hào)航天員景海鵬、朱楊柱、桂海潮進(jìn)行授課，這是中國(guó)航天員首次在夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙內(nèi)進(jìn)行授課。在
天宮課堂上，航天員老師在太空實(shí)驗(yàn)室中做如圖所示的實(shí)驗(yàn)。一根長(zhǎng)為 L 的不可伸長(zhǎng)的輕繩，一端
固定于 O 點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為 m 的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）。開始時(shí)，小球位于位置 M，O、M 間距
= 離 4，繩子處于松弛狀態(tài)。小球突然受到一瞬時(shí)沖量后以初速度 0垂直于 OM 向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)在以
后的運(yùn)動(dòng)中小球到達(dá)位置 N，此時(shí)小球的速度方向與繩垂直，則小球從 M 運(yùn)動(dòng)到 N 的過程中，下列
說法正確的是（　　）
A．小球的機(jī)械能守恒 B．輕繩對(duì)小球做功不為零

C 0．小球始終做勻速圓周運(yùn)動(dòng) D．小球在 N 點(diǎn)時(shí)的速度大小為 4
【答案】BD
【詳解】AC．因空間站內(nèi)的物體都處于完全失重狀態(tài)，小球以初速度 0先向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)至輕
繩恰好伸直，輕繩在繃緊瞬間產(chǎn)生拉力，使小球沿繩方向的速度立刻減為零，只剩下垂直于繩方向
的速度分量 ⊥，即此時(shí)小球的機(jī)械能有損失，之后小球繞 O 點(diǎn)以速度大小 ⊥做半徑為 L 的勻速圓周
運(yùn)動(dòng)，故 AC 錯(cuò)誤；
BD．因小球在 N 點(diǎn)時(shí)已做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其速度大小為
⊥ = 0sin
又
1
sin = = 4
故

⊥ =
0
4
因輕繩在細(xì)緊瞬間造成小球機(jī)械能的損失，故輕繩對(duì)小球做功不為零，故 BD 正確。
故選 BD。
15．（2023·四川德陽(yáng)·一模）如圖所示，豎直平面內(nèi)固定一根豎直的光滑桿 P 和水平光滑桿 Q，兩桿
在同一平面內(nèi)，不接觸，水平桿延長(zhǎng)線與豎直桿的交點(diǎn)為 O。質(zhì)量為 2m 的小球 A 套在豎直桿上，
上端固定在桿上的輕質(zhì)彈簧的另一端與小球 A 相連。另一質(zhì)量為 m 的小球 B 套在水平桿 Q 上，小
球 A、B 用長(zhǎng)為 2L 的輕桿通過鉸鏈分別連接。在外力作用下，當(dāng)輕桿與水平桿 Q 成 θ=53°斜向左上
時(shí)，輕質(zhì)彈簧處于原長(zhǎng)，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。撤去外力，小球 A 在豎直桿上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，下降的最
大距離為 2L 1。已知輕質(zhì)彈簧的彈性勢(shì)能 = 2
2，x 為彈簧的形變量，k 為輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)，
整個(gè)過程輕質(zhì)彈簧始終處在彈性限度內(nèi)，不計(jì)一切摩擦，重力加速度大小為 g，sin53°=0.8，
cos53°=0.6.則下列說法正確的是（　　）
A 2 ．輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù) k 為
B．小球 A 運(yùn)動(dòng)到 O 4點(diǎn)時(shí)的速度大小為5 2
C 21．從撤去外力到輕桿與水平桿 Q 成 θ=30°斜向左上的過程，輕桿對(duì)小球 B 做的功為175
D．小球 A 從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 O 點(diǎn)的過程，水平桿 Q 對(duì)小球 B 的作用力始終大于 mg
【答案】AC
【詳解】A．小球 A、彈簧和小球 B 組成的系統(tǒng)能量守恒，小球 A 下降到最大距離時(shí)，根據(jù)能量守
恒定律有
1
2 (2 )
2 = 2 × 2
解得
2
=
故 A 正確
B．AB 兩球沿著輕桿方向的速度相等，小球 A 運(yùn)動(dòng)到 O 點(diǎn)時(shí)，輕桿水平，A 水平方向的速度為 0，
則 B 的速度也為 0，整個(gè)過程中系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則
1 1
2 × 2 cos53° = 2 × 2
2
+ 2 × (2 cos53°)
2
則 A 速度為
2
= 5 6
故 B 錯(cuò)誤；
C．輕桿與水平桿 Q 成 θ=30°斜向左上時(shí)，設(shè) B 的速度為 ′，A 的速度為 vA，根據(jù)關(guān)聯(lián)問題可知
Acos60° = ′cos30°
根據(jù)能量守恒定律有
1 1 1
2 × 2 (sin53° sin30°) 2 (2 sin53° 2 sin30°)
2 = 2 × 2
2
A + 2 ′
2
解得
42
′ = 175
根據(jù)動(dòng)能定理可知輕桿對(duì)小球 B 做的功為
1
= 2 ′
2
解得
= 21175
故 C 正確；
D．根據(jù)小球 A 在豎直桿上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知，小球從從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 O 點(diǎn)的過程，鉸鏈對(duì)小
球先做正功，后做負(fù)功，則水平桿 Q 對(duì)小球 B 的作用力并非始終大于 mg，故 D 錯(cuò)誤；
故選 AC。
16．如圖所示，柔軟的繩索放置在粗糙水平桌面上， 、 為繩索端點(diǎn)， 為繩索中點(diǎn)，且恰好處于桌
面邊緣。開始時(shí)繩索在外力的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，由靜止釋放繩索后，繩索開始滑動(dòng)，直至離開
桌面，此過程中 點(diǎn)未落至地面。已知質(zhì)量分布均勻的繩索總質(zhì)量為 ，總長(zhǎng)度為 ，繩索和桌面間
的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為 。下列分析正確的有（ ）
A 3．繩索離開桌面前的過程中重力勢(shì)能減少了8
B 3 1．繩索離開桌面時(shí)的動(dòng)能為8 4
C．繩索離開桌面前的過程中， 段的動(dòng)能增加得越來越快
D．繩索離開桌面前的過程中， 段的機(jī)械能減小得越來越慢
【答案】ACD
【詳解】A．繩索離開桌面前的過程中重力勢(shì)能減少量
1 3 3
Δ p = 2 4 = 8
故 A 正確；
B．繩索離開桌面前的過程中，克服摩擦力做功
0 + 12 1 f = 2 2 = 8
3 1
由動(dòng)能定理知繩索離開桌面時(shí)的動(dòng)能為8 8 ，故 B 錯(cuò)誤；
C．由題易得繩索下滑過程加速度逐漸增大，速度增加得越來越快，動(dòng)能增加得越來越快，C 正確；
D．對(duì) 段利用牛頓第二定律易得 點(diǎn)張力逐漸減小，由功能關(guān)系得 段機(jī)械能減小得越來越慢，D
正確。
故選 ACD。
17．（2024·湖北·一模）如圖所示，半徑為 R=0.4m 的光滑圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，AB、CD 是圓環(huán)
相互垂直的兩條直徑，C、D 兩點(diǎn)與圓心 等高。一個(gè)質(zhì)量為 m=2kg 的光滑小球套在圓環(huán)上，一根

輕質(zhì)彈簧一端連在小球上，另一端固定在 P 點(diǎn)，P 點(diǎn)在圓心 O 的正下方2處。小球從最高點(diǎn) A 由靜
止開始沿順時(shí)針方向下滑，已知彈簧的原長(zhǎng)為 R，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，重力加速度為 = 10m
/s2。下列說法正確的有（　　）
A．彈簧長(zhǎng)度等于 R 時(shí)，小球的動(dòng)能最大
B．小球在 A、B 兩點(diǎn)時(shí)對(duì)圓環(huán)的壓力差的大小為 80N
C．小球運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)時(shí)的速度大小為 4m/s
D．從 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)的過程中，小球的機(jī)械能先增大后減小，在 D 點(diǎn)小球的機(jī)械能最大
【答案】BC
【詳解】A．由題可知，彈簧長(zhǎng)度等于 R 時(shí)，彈簧處于原長(zhǎng)，在此后的過程中，小球的重力沿軌道
的切向分力大于彈簧的彈力沿軌道切向分力，小球仍在加速，所以彈簧長(zhǎng)度等于 R 時(shí)，小球的動(dòng)能
不是最大。故 A 錯(cuò)誤；
C．小球在 A、B 兩點(diǎn)時(shí)彈簧的形變量相等，彈簧的彈性勢(shì)能相等，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得
1
2 = 2
2

解得小球運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)時(shí)的速度
= 2 = 4m/s
故 C 正確；
B．設(shè)小球在 A、B 兩點(diǎn)時(shí)彈簧的彈力大小為 F，在 A 點(diǎn)，圓環(huán)對(duì)小球的支持力
1 = +
在 B 點(diǎn)，由牛頓第二定律得
2
2
解得圓環(huán)對(duì)小球的支持力
2 = 5 +
則
2 1 = 4
由牛頓第三定律知，小球在 A、B 兩點(diǎn)時(shí)對(duì)圓環(huán)的壓力差為
4mg=80N
故 B 正確；
D．小球與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，從 A 到 D 的過程中，彈性勢(shì)能先減小后增大，故小球機(jī)械
能先增大后減小，彈簧原長(zhǎng)時(shí)小球機(jī)械能最大，故 D 點(diǎn)機(jī)械能不是最大，故 D 錯(cuò)誤。
故選 BC。
18．（2024·山東聊城·三模）如圖甲所示，半徑 R＝0.4m 的光滑圓弧軌道固定在豎直平面內(nèi)，軌道的
一個(gè)端點(diǎn) B 和圓心 O 的連線與水平方向間的夾角 = 30°，另一端點(diǎn) D 與圓心 O 等高，點(diǎn) C 為軌道
的最低點(diǎn)。質(zhì)量 m＝1kg 的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從空中 A 點(diǎn)以速度 0水平拋出，恰好從軌道的 B 端
沿切線方向進(jìn)入軌道，物塊進(jìn)入軌道后開始計(jì)時(shí)，軌道受到的壓力 F 隨時(shí)間 的關(guān)系如圖乙所示，重
力加速度 g 取10m/s2，則（　　）
A．物塊從 D 點(diǎn)離開軌道時(shí)速度大小為 4m/s
B． 0大小為 70N
C． 0的大小為 2m/s
D．物塊在 AC 段運(yùn)動(dòng)過程中重力的瞬時(shí)功率一直增大
【答案】AB
【詳解】A．由圖像可知，物塊從軌道 D 點(diǎn)飛出軌道到再次回到 D 點(diǎn)的時(shí)間為
t=1.675s-0.875s=0.8s
則物塊從 D 點(diǎn)離開軌道時(shí)速度大小為

= 2 = 4m/s
選項(xiàng) A 正確；
B．從 C 到 D 由機(jī)械能守恒可知
1 2 1
2 =
2
2 +
在 C 點(diǎn)時(shí)壓力最大，則由
2
0 =
解得
0 = 70N
選項(xiàng) B 正確；
C．從 B 到 D 由機(jī)械能守恒可知
1 1
2
2
= 22 + sin30

解得
= 2 5m/s
則
0 = sin30 = 5m/s
選項(xiàng) C 錯(cuò)誤；
D．根據(jù)
PG=mgvy
可知，物塊在 A 點(diǎn)時(shí)豎直速度為零，則重力的瞬時(shí)功率為零；在 C 點(diǎn)時(shí)豎直速度為零，則重力的瞬
時(shí)功率也為零，可知物塊在 AC 段運(yùn)動(dòng)過程中重力的瞬時(shí)功率先增大后減小，選項(xiàng) D 錯(cuò)誤。
故選 AB。
三、解答題
19．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）“打水漂”是很多同學(xué)體驗(yàn)過的游戲，小石片被水平拋出，碰到水
面時(shí)并不會(huì)直接沉入水中，而是擦著水面滑行一小段距離再次彈起飛行，跳躍數(shù)次后沉入水中．如
圖所示，某同學(xué)在岸邊離水面高度 0 = 0．2m處，將一塊質(zhì)量 = 0．1kg的小石片以初速度 0 = 12
m/s 2水平拋出，若小石片與水面碰撞后，豎直分速度反向，大小變?yōu)榕銮暗?，水平分速度方向不變，
1
大小變?yōu)榕銮暗?，當(dāng)小石片的入水角（速度方向與水面間的夾角）大于 53°時(shí)，小石片將沉底．空
氣阻力可忽略不計(jì)，重力加速度 = 10m/s2，tan53° = 43。求：
（1）第一次接觸水面處與拋出點(diǎn)的水平距離；
（2）小石片第一次與水面碰撞過程中損失的機(jī)械能；
（3）小石片最多能彈跳的次數(shù)。
【答案】（1）2.4m 293；（2） 45 J；（3）4 次
【詳解】（1）小石片拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，而平拋運(yùn)動(dòng)在豎直方向的分運(yùn)動(dòng)為自由落體運(yùn)動(dòng)，則有
1
20 = 2
解得
= 0.2s
平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向的分運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有
= 0
解得
= 2.4m
（2）小石片第一次接觸水面前瞬間的豎直分速度
= = 2m/s
第一次被反彈后豎直分速度大小
2 4
1 = 3 = 3 m/s
水平分速度大小為
1
01 = 3 0 = 4m/s
則小石片第一次與水面碰撞過程中損失的機(jī)械能
1 2 2 1 293Δ = 2 ( 0 + ) 2 (
2 + 201 1) = 45 J
（3）設(shè)小石片完成第一次彈跳后還能彈跳 次，則根據(jù)已知條件可得

(
2
3 ) 4
( 1
≤ tan53 =
) 30 3
解得
≤ 3
因此可知小石片最多能彈跳 4 次。
20．（2024·黑龍江·三模）如圖所示，一半徑為 r=0.45m 1的4光滑圓弧的底端 B 與水平傳送帶相接，
傳送帶的運(yùn)行速度為 0 = 5m/s，長(zhǎng)為 = 1.75m，DEF 為固定于豎直平面內(nèi)的一段內(nèi)壁光滑的中空
細(xì)管，EF 段被彎成以 O 為圓心、半徑。 = 0.2m的一小段圓弧，管的 D 端彎成與水平傳送帶 C 端
平滑相接，O 點(diǎn)位于地面，OF 連線豎直。一質(zhì)量為 = 0.2kg的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從圓弧頂端 A
點(diǎn)無初速滑下，滑到傳送帶上后被送入細(xì)管 DEF。已知滑塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù) = 0.2，重力
加速度 g 取10m/s2，不計(jì)空氣阻力，滑塊橫截面略小于細(xì)管中空部分的橫截面。求：
（1）滑塊到達(dá)光滑圓弧底端 B 時(shí)對(duì)軌道的壓力大小；
（2）滑塊與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量；
（3）滑塊滑到 F 點(diǎn)后水平飛出，滑塊的落地點(diǎn)到 O 點(diǎn)的距離。
【答案】（1）6N；（2）0.3J；（3 2 3） m
5
【詳解】（1）設(shè)滑塊到達(dá) B 點(diǎn)的速度大小為
由機(jī)械能守恒定律有
1
= 2
2

解得
= 3m/s
滑塊在 B 點(diǎn)，由向心力公式有
2
=
解得
= 6N
根據(jù)牛頓第三定律可知，滑塊到達(dá)光滑圓弧底端 B 時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為6N；
（2）滑塊在傳送帶上做勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律有
= = 2m/s2
由速度位移公式得
2 2 = 2
解得
= 4m/s < 0 = 5m/s
滑塊在傳送帶上運(yùn)行的時(shí)間為
= = 0.5s
傳送帶運(yùn)行的距離為
= 0 = 2.5m
故滑塊與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量為
= ( ) = 0.3J
（3）滑塊從 C 至 F，由機(jī)械能守恒有
1 1
2
2 = + 2 2
滑塊離開 F 點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向有
1
= ′22
聯(lián)立解得滑塊的落地點(diǎn)到 O 點(diǎn)的距離
2 3
= ′ = 5 m第 19 講　機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用
——?jiǎng)澲攸c(diǎn)之精細(xì)講義系列
考點(diǎn) 1 機(jī)械能守恒的理解和判斷
考點(diǎn) 2 機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用
考點(diǎn) 3 多物體機(jī)械能守恒問題
考點(diǎn) 4 用機(jī)械能守恒定律解決非質(zhì)點(diǎn)問題
考點(diǎn) 1：機(jī)械能守恒的理解和判斷
一．重力做功與重力勢(shì)能
1．重力做功的特點(diǎn)
(1)重力做功與路徑無關(guān)，只與始末位置的高度差有關(guān)．
(2)重力做功不引起物體機(jī)械能的變化．
2．重力勢(shì)能
(1)公式：Ep＝mgh.
(2)特性：
①矢標(biāo)性：重力勢(shì)能是標(biāo)量，但有正、負(fù)，其意義是表示物體的重力勢(shì)能比它在參考平面上大
還是小，這與功的正、負(fù)的物理意義不同．
②系統(tǒng)性：重力勢(shì)能是物體和地球共有的．
③相對(duì)性：重力勢(shì)能的大小與參考平面的選取有關(guān)．重力勢(shì)能的變化是絕對(duì)的，與參考平面的
選取無關(guān)．
3．重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系
(1)定性關(guān)系：重力對(duì)物體做正功，重力勢(shì)能就減少；重力對(duì)物體做負(fù)功，重力勢(shì)能就增加．
(2)定量關(guān)系：重力對(duì)物體做的功等于物體重力勢(shì)能的減少量．即 WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.
二．彈性勢(shì)能
1．大小
1
彈簧的彈性勢(shì)能的大小與彈簧的形變量及勁度系數(shù)有關(guān)．公式：E 2P＝－W 彈＝ kx2
2．彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系
彈力做正功，彈性勢(shì)能減小，彈力做負(fù)功，彈性勢(shì)能增加．
三．機(jī)械能守恒定律
1．機(jī)械能
動(dòng)能和勢(shì)能統(tǒng)稱為機(jī)械能，其中勢(shì)能包括重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能．
2．機(jī)械能守恒定律
(1)內(nèi)容：在只有重力或內(nèi)彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保
持不變．
3．機(jī)械能守恒的條件：只有重力做功或系統(tǒng)內(nèi)彈力做功。
（1）只有重力做功時(shí)，只發(fā)生動(dòng)能和重力勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化．如自由落體運(yùn)動(dòng)、拋體運(yùn)動(dòng)等。
（2）只有系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，只發(fā)生動(dòng)能和彈性勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化。如在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)的物
體碰到一個(gè)彈簧，和彈簧相互作用的過程中，對(duì)物體和彈簧組成的系統(tǒng)來說，機(jī)械能守恒。
（3）只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，只發(fā)生動(dòng)能、彈性勢(shì)能、重力勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化。如自由下
落的物體落到豎直的彈簧上，和彈簧相互作用的過程中，對(duì)物體和彈簧組成的系統(tǒng)來說，機(jī)械能守
恒。
（4）除受重力（或系統(tǒng)內(nèi)彈力）外，還受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代數(shù)和
為零。如物體在沿固定斜面向下的拉力 F 的作用下沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，拉力的大小與摩擦力的大小相
等，在此運(yùn)動(dòng)過程中，物體機(jī)械能不變，可按照機(jī)械能守恒定律計(jì)算（應(yīng)當(dāng)注意，這時(shí)系統(tǒng)并不封
閉，存在著系統(tǒng)內(nèi)的物體跟外界系統(tǒng)的能量交換．只是系統(tǒng)內(nèi)物體機(jī)械能的減少等于外界對(duì)物體做
功使系統(tǒng)增加的機(jī)械能。）。
4．機(jī)械能守恒的判斷方法
（1）做功條件分析法：若物體系統(tǒng)內(nèi)只有重力和彈簧彈力做功，其他力均不做功，則系統(tǒng)的機(jī)
械能守恒。
（2）能量轉(zhuǎn)化分析法：若只有系統(tǒng)內(nèi)物體間動(dòng)能和重力勢(shì)能及彈性勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)跟外
界沒有發(fā)生機(jī)械能的傳遞，機(jī)械能也沒有轉(zhuǎn)變成其他形式的能（如沒有內(nèi)能增加）。則系統(tǒng)的機(jī)械能
守恒。
（3）對(duì)一些繩子突然繃緊，物體間非彈性碰撞等問題．除非題目特別說明，機(jī)械能必定不守
恒，完全非彈性碰撞過程機(jī)械能也不守恒。[]
（4）對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)，除考慮外力是否只有重力做功外，還要考慮系統(tǒng)內(nèi)力做功，如
有滑動(dòng)摩擦力做功時(shí)，因摩擦生熱，系統(tǒng)機(jī)械能將有損失。
【考向 1】如圖所示，下列說法正確的是（所有情況均不計(jì)摩擦、空氣阻力以及滑輪質(zhì)量）（ ）
A．甲圖中，火箭升空的過程中，若勻速升空，機(jī)械能守恒，若加速升空，機(jī)械能不守恒
B．乙圖中，物塊在外力 F 的作用下勻減速上滑，物塊的機(jī)械能守恒
C．丙圖中，物塊 A 以一定的初速度將彈簧壓縮的過程中，物塊 A 的機(jī)械能守恒
D．丁圖中，物塊 A 加速下落，物塊 B 加速上升的過程中，A、B 系統(tǒng)機(jī)械能守恒
【考向 2】如圖所示，A、B 兩物塊放置在足夠長(zhǎng)的光滑斜面上，當(dāng) A、B 一起沿斜面向下滑動(dòng)的過
程中（A、B 之間相對(duì)靜止）（ ）
A．A 物體所受摩擦力對(duì) A 做正功
B．A、B 兩物體的總機(jī)械能不斷增大
C．A 物體機(jī)械能不斷的減小
D．B 物體的機(jī)械能守恒
【考向 3】如圖所示，曲面體 Р 靜止于光滑水平面上，物塊 Q 自 Р 的上端由靜止釋放。Q 與 P 的接
觸面光滑，Q 在 P 上運(yùn)動(dòng)的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．P 對(duì) Q 做功為零
B．P 對(duì) Q 做負(fù)功
C．物塊 Q 的機(jī)械能守恒
D．物體 Q 的機(jī)械能增加
【考向 4】如圖所示，圓心為 O 的四分之一圓弧軌道 BC 豎直放置，O 與 A 處的釘子處于同一高度。
細(xì)線的一端系有小物塊 P，另一端繞過釘子系一套在圓弧軌道上的小球 Q。將小球從軌道頂端 B 靜
止釋放，忽略一切摩擦。在小球從 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn) C 的過程中，下列說法中正確的是（　　）
A．小物塊 P 和小球 Q 的速率總相等
B．小物塊 P 的機(jī)械能守恒
C．小球 Q 的機(jī)械能先增加后減小
D．小球 Q 重力的功率先增加后減小
【考向 5】（多選）（2024·廣西柳州·三模）如圖所示，一小球用輕質(zhì)細(xì)線懸掛在木板的支架上，分別
沿傾角為 θ 的兩個(gè)固定斜面下滑，甲圖中細(xì)線保持豎直，乙圖中細(xì)線保持垂直斜面。在木板下滑的
過程中，下列說法正確的是（ ）
A．甲圖中木板與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù) = tan
B．甲圖中木板、小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
C．乙圖中木板與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù) = tan
D．乙圖中木板、小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
考點(diǎn) 2：機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用
1.應(yīng)用機(jī)械能守恒定律的基本思路
{單個(gè)物體(1)選取研究對(duì)象 多個(gè)物體組成的系統(tǒng)系統(tǒng)內(nèi)有彈簧
(2)受力分析和各力做功情況分析，確定是否符合機(jī)械能守恒條件．
(3)確定初末狀態(tài)的機(jī)械能或運(yùn)動(dòng)過程中物體機(jī)械能的轉(zhuǎn)化情況．
(4)選擇合適的表達(dá)式列出方程，進(jìn)行求解．
(5)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行必要的討論和說明．
2.三種守恒表達(dá)式的比較
Ek＋Ep＝Ek′＋Ep′ ΔEk＝－ΔEp ΔE 增＝ΔE 減
角度 守恒觀點(diǎn) 轉(zhuǎn)化觀點(diǎn) 轉(zhuǎn)移觀點(diǎn)
表示系統(tǒng)（或物體）機(jī)械能守恒時(shí)， 一部分物體機(jī)械能的增加量與
系統(tǒng)的初狀態(tài)機(jī)械能與
意義 系統(tǒng)減少（或增加）的重力勢(shì)能等 另一部分物體機(jī)械能的減少量
末狀態(tài)機(jī)械能相等
于系統(tǒng)增加（或減少）的動(dòng)能 相等
A 部分機(jī)械能的增加量等于 A
應(yīng)用時(shí)應(yīng)選好重力勢(shì)能
應(yīng)用時(shí)關(guān)鍵在于分清重力勢(shì)能的增 部分末狀態(tài)的機(jī)械能減初狀態(tài)
注意 的零勢(shì)能面，且初末狀態(tài)
加量和減少量，可不選零勢(shì)能面而 的機(jī)械能，而 B 部分機(jī)械能的
事項(xiàng) 必須用同一零勢(shì)能面計(jì)
直接計(jì)算初末狀態(tài)的勢(shì)能差 減少量等于 B 部分初狀態(tài)的機(jī)
算勢(shì)能
械能減末狀態(tài)的機(jī)械能。
圖像
分析
3．研究對(duì)象
（1）當(dāng)只有重力做功時(shí)，可取一個(gè)物體（其實(shí)是物體與地球構(gòu)成的系統(tǒng)）作為研究對(duì)象，也可
取幾個(gè)物體構(gòu)成的系統(tǒng)作為研究對(duì)象。
（2）當(dāng)物體之間有彈力做功時(shí)，必須將這幾個(gè)物體構(gòu)成的系統(tǒng)作為研究對(duì)象（使這些彈力成為
系統(tǒng)內(nèi)力）。
4．應(yīng)用機(jī)械能守恒定律的基本思路
（1）選取研究對(duì)象（物體或系統(tǒng)）。
（2）明確研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過程，分析研究對(duì)象在過程中的受力情況，弄清各力做功情況，判斷
機(jī)械能是否守恒。
（3）選取恰當(dāng)?shù)膮⒖计矫妫_定研究對(duì)象在初末狀態(tài)的機(jī)械能。
（4）選取恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式列方程求解。常見的表達(dá)式有三種（見上面表達(dá)式）。[]
（5）對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行必要的討論和說明。
5．機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用技巧
（1）機(jī)械能守恒定律是一種“能——能轉(zhuǎn)化”關(guān)系，其守恒是有條件的，因此，應(yīng)用時(shí)首先要對(duì)
研究對(duì)象在所研究的過程中機(jī)械能是否守恒做出判斷。
（2）如果系統(tǒng)（除地球外）只有一個(gè)物體，用守恒式列方程較方便；對(duì)于由兩個(gè)或兩個(gè)以上物體
組成的系統(tǒng)，用轉(zhuǎn)化式或轉(zhuǎn)移式列方程較簡(jiǎn)便。
【考向 6】如圖所示，豎直面內(nèi)光滑的 3/4 圓形導(dǎo)軌固定在一水平地面上，半徑為 R．一個(gè)質(zhì)量為 m
的小球從距水平地面正上方 h 高處的 P 點(diǎn)由靜止開始自由下落，恰好從 N 點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入圓軌
道．不考慮空氣阻力，則下列說法正確的是（　　）
A．適當(dāng)調(diào)整高度 h，可使小球從軌道最高點(diǎn) M 飛出后，恰好落在軌道右端口 N 處
B．若 h=2R，則小球在軌道最低點(diǎn)對(duì)軌道的壓力為 4mg
C．只有 h≥2.5R 時(shí)，小球才能到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn) M
D．若 h=R，則小球能上升到圓軌道左側(cè)離地高度為 R 的位置，該過程重力做功為 mgR
【考向 7】（2024·浙江杭州·二模）有一質(zhì)量為 m 的小球，用細(xì)線掛在天花板上，線長(zhǎng)為 l，將其拉
至水平位置由靜止釋放。忽略空氣阻力，小球可看成質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為 g，則下列說法正確的是
（　　）
A．在小球擺動(dòng)過程中重力總是做正功
B．重力功率最大值為 2
C ．小球動(dòng)能變化周期是

D．在小球下擺過程中，動(dòng)能隨時(shí)間的變化率先變大后變小
【考向 8】（2024·湖北·二模）如圖所示，半圓豎直軌道與水平面平滑連接于 B 點(diǎn)，半圓軌道的圓心
為 O，半徑為 R，C 為其最高點(diǎn)。BD 段為雙軌道，D 點(diǎn)以上只有內(nèi)軌道，D 點(diǎn)與圓心的連線與水平
方向夾角為 ，一小球從水平面上的 A 點(diǎn)以一定的初速度向右運(yùn)動(dòng)，能沿圓弧軌道恰好到達(dá) C 點(diǎn)。
不計(jì)一切摩擦。則（　　）
A．小球到達(dá) C 點(diǎn)時(shí)速度為
B．小球到達(dá) C 點(diǎn)后會(huì)向左做平拋運(yùn)動(dòng)
C 5．小球在 A 點(diǎn)的初動(dòng)能等于2
D 2．若小球到達(dá) D 點(diǎn)時(shí)對(duì)內(nèi)外軌道均無彈力，則sin = 3
【考向 9】（多選）如圖所示，在光滑的斜軌道底端平滑連接著一個(gè)半徑為 R、頂端有缺口的光滑圓
形軌道，A 點(diǎn)、B 點(diǎn)在同一水平面上，P 點(diǎn)是最低點(diǎn)，∠ = 120°。一質(zhì)量為 m 的小球由斜軌道
上某高度處?kù)o止釋放，由軌道連接處進(jìn)入圓形軌道。重力加速度為 g，不考慮機(jī)械能的損失，下道
列說法正確的是（　　）
A．若小球滑到 P 點(diǎn)時(shí)速度大小為2 ，則此處軌道對(duì)小球作用力的大小為 4mg
B．若小球滑到 P 點(diǎn)時(shí)速度大小為2 ，則小球滑到 A 點(diǎn)時(shí)速度大小為
C 5．若小球恰好能通過圓形軌道內(nèi) A 點(diǎn)，則小球在斜軌道上靜止釋放的高度為4
D．若小球從圓形軌道內(nèi) A 點(diǎn)飛出后恰好從 B 點(diǎn)飛入圓形軌道，則小球經(jīng)過 B 點(diǎn)時(shí)的速度大小為
2
【考向 10】（多選）（2024·陜西渭南·二模）如圖，固定在豎直面內(nèi)的光滑軌道 由直線段 和圓
弧段 組成，兩段相切于 B 點(diǎn)， 段與水平面夾角 為30°， 段圓心為 O，最高點(diǎn)為 C，A 與 C
的高度差等于圓弧軌道的直徑 2R。小球從 A 點(diǎn)以初速度 0沖上軌道，能沿軌道運(yùn)動(dòng)恰好到達(dá) C 點(diǎn)，
重力加速度為 g，下列說法正確的是（　　）
A．小球從 B 到 C 的過程中，對(duì)軌道的壓力逐漸減小
B．小球從 A 到 C 的過程中，小球的機(jī)械能不斷減少
C．小球的初速度 0 = 2
D．若小球初速度 0增大時(shí)，小球沒有從圓軌道上 B 點(diǎn)脫離軌道，則小球能夠沿圓軌道運(yùn)動(dòng)到 C
點(diǎn)
考點(diǎn) 3：多物體機(jī)械能守恒問題
一.多個(gè)物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題的解題思路
1．首先分析多個(gè)物體組成的系統(tǒng)所受的外力是否只有重力或彈力做功，內(nèi)力是否造成了機(jī)械能
與其他形式能的轉(zhuǎn)化，從而判斷系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒。
2．若系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則機(jī)械能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，ΔE1＝－ΔE2，一個(gè)物體機(jī)械
能增加，則一定有另一個(gè)物體機(jī)械能減少。
二.多物體機(jī)械能守恒問題的分析技巧
1．對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)，一般用“轉(zhuǎn)化法”和“轉(zhuǎn)移法”來判斷其機(jī)械能是否守恒。
2．注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系。
3．列機(jī)械能守恒方程時(shí)，可選用 ΔEk＝－ΔEp的形式。
三．幾類連接體的機(jī)械能守恒分析
桿連物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒
情景分析
如圖所示的兩物體組成的系統(tǒng)，當(dāng)釋放后 A、B 在豎直平面內(nèi)繞過 O 點(diǎn)的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，
且 A、B 的角速度相等。
求解這類問題時(shí)，由于二者角速度相等，所以關(guān)鍵是根據(jù)二者轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的關(guān)系尋
找兩物體的線速度的關(guān)系，根據(jù)兩物體間的位移關(guān)系，尋找到系統(tǒng)重力勢(shì)能的變化，
方法突破 最后根據(jù) ΔEk＝－ΔEp 列出機(jī)械能守恒的方程求解。另外注意的是輕桿對(duì)物體提供的
彈力不一定沿著桿，輕桿的彈力也就不一定與速度方向垂直，輕桿的彈力對(duì)一個(gè)物體
做了正功，就對(duì)另一物體做了負(fù)功，并且絕對(duì)值相等。
繩連物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒
如圖所示的兩物體組成的系統(tǒng)，當(dāng)釋放 B 而使 A、B 運(yùn)動(dòng)的過程中，A、B 的速度
情景分析
均沿繩子方向，在相等時(shí)間內(nèi) A、B 運(yùn)動(dòng)的路程相等，A、B 的速率也相等。但有些問
題中兩物體的速率并不相等，這時(shí)就需要先進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的合成與分解找出兩物體運(yùn)動(dòng)速
度之間的關(guān)系。
求解這類問題時(shí)，由于二者速率相等或相關(guān)，所以關(guān)鍵是尋找兩物體間的位移關(guān)
系，進(jìn)而找到系統(tǒng)重力勢(shì)能的變化。列機(jī)械能守恒方程時(shí)，一般選用 ΔEk＝－ΔEp 的
方法突破
形式。另外注意系統(tǒng)機(jī)械能守恒并非每個(gè)物體機(jī)械能守恒，因?yàn)榧?xì)繩對(duì)系統(tǒng)中的每一
個(gè)物體都要做功。
含彈簧類機(jī)械能守恒問題
對(duì)兩個(gè)（或兩個(gè)以上）物體與彈簧組成的系統(tǒng)在相互作用的過程中，在能量方面，
由于彈簧的形變會(huì)具有彈性勢(shì)能，系統(tǒng)的總動(dòng)能將發(fā)生變化，若系統(tǒng)所受的外力和除
彈簧彈力以外的內(nèi)力不做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。在相互作用過程中，彈簧兩端物體把
情景分析
彈簧拉伸至最長(zhǎng)（或壓縮至最短）時(shí)，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢(shì)能最大。
如系統(tǒng)每個(gè)物體除彈簧彈力外所受合力為零，當(dāng)彈簧為自然長(zhǎng)度時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)彈簧某一
端的物體具有最大速度（如繃緊的彈簧由靜止釋放）。
求解這類問題時(shí)，首先以彈簧遵循的胡克定律為分析問題的突破口：彈簧伸長(zhǎng)或
方法突破 縮短時(shí)產(chǎn)生的彈力的大小遵循 F＝kx 和 ΔF＝kΔx。其次，以彈簧的彈力做功為分析問
題的突破口：彈簧的彈性勢(shì)能與彈簧的勁度系數(shù)、形變量有關(guān)，但是在具體的問題中
不用計(jì)算彈性勢(shì)能的大小，彈簧的形變量相同的時(shí)候彈性勢(shì)能相同，通過運(yùn)算可以約
去。當(dāng)題目中始、末都不是彈簧原長(zhǎng)時(shí)，要注意始、末彈力的大小與方向時(shí)刻要與當(dāng)
時(shí)的形變相對(duì)應(yīng)，即伸長(zhǎng)量或壓縮量，而力的位移就可能是兩次形變量之和或之差。
【考向 11】（2024·遼寧丹東·一模）如圖所示，勁度系數(shù)為200N/m的輕彈簧下端固定在傾角為 = 53°
的光滑斜面底端，上端連接物塊 Q，Q 同時(shí)與平行于斜面的輕繩相連，輕繩跨過定滑輪 O 與套在足
夠長(zhǎng)的光滑豎直桿上的物塊 P 連接，圖中 O、B 兩點(diǎn)等高，間距 = 0.3m。初始時(shí)在外力作用下，P
在 A 點(diǎn)靜止不動(dòng)，A、B 間距離 = 0.4m，此時(shí)輕繩中張力大小為60N。已知 P 的質(zhì)量為1kg，Q 的
質(zhì)量為5kg，P、Q 均可視為質(zhì)點(diǎn)。現(xiàn)將 P 由靜止釋放（不計(jì)滑輪大小及摩擦，重力加速度 取10m/
s2，sin53° = 0.8，cos53° = 0.6，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)），下列說法正確的是（ ）
A．物塊 P 上升的最大高度為0.8m
B．物塊 P 上升至 B 點(diǎn)時(shí)，其速度大小為2 2m/s
C．在物塊 P 由 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)的過程中，彈簧對(duì)物塊 Q 一直做正功
D．在物塊 P 由 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)的過程中，物塊 P 機(jī)械能守恒
【考向 12】（2024·陜西榆林·三模）如圖所示，傾角為45 的光滑斜面與光滑的水平地面在 C 點(diǎn)連接，
質(zhì)量均為 m 的小球 A、B（均可視為質(zhì)點(diǎn)）用長(zhǎng)為 L 的輕質(zhì)硬桿連接，現(xiàn)把小球 B 放置在水平面上
的 C 點(diǎn)，小球 A 由靜止釋放，在小球 A 下滑的過程中，小球 B 始終在水平地面上運(yùn)動(dòng)，重力加速
度為 g，下列說法正確的是（　　）
A．在小球 A 下滑的過程中，小球 A 重力勢(shì)能的減少量等于小球 B 動(dòng)能的增加量
B．在小球 A 下滑的過程中，輕質(zhì)硬桿對(duì)小球 B 先做正功后做負(fù)功
C．小球 A 剛到達(dá) C 點(diǎn)前瞬間，小球 A、B 的速度相等
D 2．小球 A 剛到達(dá) C 點(diǎn)前瞬間，小球 B 的動(dòng)能為
6
【考向 13】（2024·遼寧丹東·二模）輕質(zhì)直角支架兩端分別連接質(zhì)量均為 m 的小球 A 和 B，支架的
兩直角邊長(zhǎng)度分別為 2L 和 L，支架可繞固定軸 O 在豎直平面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖所示，開始時(shí) OA
邊與水平方向的夾角為 ， = 37 。由靜止釋放A球，（重力加速度為g，sin37 = 0.6，cos37 = 0.8）
下列說法正確的是（　　）
A．A、B 兩球線速度大小始終相等
B．A 球速度最大時(shí)位于 O 點(diǎn)正下方
C．A 由靜止釋放至擺動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中，支架對(duì) A 不做功
D．A 擺動(dòng)到最低點(diǎn)位置時(shí)，桿對(duì) A 做功的功率為零
【考向 14】（多選）如圖所示，光滑豎直固定桿上套有一質(zhì)量為 m 的小球 A，一根豎直輕彈簧上端
連接著一個(gè)質(zhì)量為 m 的物塊 B，下端連接著一個(gè)質(zhì)量為2 的物塊 C。一輕繩跨過輕質(zhì)定滑輪 O，一
端與物塊 B 相連，另一端與小球 A 連接，定滑輪到豎直桿的距離為 5L。初始時(shí)，小球 A 在外力作
用下靜止于 P 點(diǎn)，此時(shí)輕繩剛好伸直無張力且 OP 間細(xì)繩水平、OB 間細(xì)繩豎直。現(xiàn)將小球 A 由 P
點(diǎn)靜止釋放，A 沿桿下滑12 到達(dá)最低點(diǎn) Q，此時(shí)物塊 C 與地面間的相互作用剛好為零。不計(jì)滑輪
大小及摩擦，重力加速度大小為 g，下列說法中正確的是（　　）
A 3 ．彈簧的勁度系數(shù)為 8
B 8．小球 A 運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)彈簧的形變量為3
C．小球 A 運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為4

D．用質(zhì)量為2的小球 D 替換 A，并將其拉至 Q 點(diǎn)由靜止釋放，小球 D 經(jīng)過 P 點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為
6
【考向 15】（多選）（2024·陜西·一模）如圖所示，一彈性輕繩（繩的彈力與其伸長(zhǎng)量成正比）穿過
固定的光滑圓環(huán) B，左端固定在 A 點(diǎn)，右端連接一個(gè)質(zhì)量為 m 的小球，A、B、C 在一條水平線上，
彈性繩自然長(zhǎng)度為 AB。小球穿過豎直固定的桿，從 C 點(diǎn)由靜止釋放，到 D 點(diǎn)時(shí)速度為零，C、D 兩
點(diǎn)間距離為 h。已知小球在 C 點(diǎn)時(shí)彈性繩的拉力為 0.5mg，g 為重力加速度，小球和桿之間的動(dòng)摩擦
因數(shù)為 0.5，彈性繩始終處在彈性限度內(nèi)，下列說法正確的是（　　）
A．小球從 C 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 D 點(diǎn)的過程中，彈性繩的彈力不斷減小
B．整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，彈性繩的最大彈性勢(shì)能為 0.75mgh
C．若在 D 點(diǎn)給小球一個(gè)向上的速度 v，小球恰好回到 C 點(diǎn)，則 =
D．若僅把小球質(zhì)量變?yōu)?2m，則小球到達(dá) D 點(diǎn)時(shí)的速度大小為
【考向 16】（多選）（2024·陜西安康·一模）如圖所示，質(zhì)量為 、高為 、傾角為 的光滑斜面體 放
在足夠大的光滑水平地面上，斜面頂端正上方有一固定的光滑套管 ，用手提著質(zhì)量為 的細(xì)長(zhǎng)直桿
的上端，將直桿穿過套管，使直桿下端恰好與斜面體頂端接觸，突然松手，直桿在套管的約束下
只能沿豎直方向運(yùn)動(dòng)，斜面體隨即向右加速，重力加速度大小為 ，下列說法正確的是（　　）
A．直桿的最大速度為 2 cos
B．斜面體的最大速度為 2 sin
C 2 ．斜面體的加速時(shí)間為 sin
D．斜面體在加速過程中受到地面的支持力大小為2 sin2
考點(diǎn) 4：用機(jī)械能守恒定律解決非質(zhì)點(diǎn)問題
一.非質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)
1．定義：指的是“鏈條”、“纜繩”、“液柱”等質(zhì)量不可忽略、柔軟的物體或液體。
2．重力勢(shì)能變化的分析方法
在確認(rèn)了系統(tǒng)機(jī)械能守恒之后，一般采用轉(zhuǎn)化法列方程。重力勢(shì)能的變化與運(yùn)動(dòng)的過程無關(guān)，
常常分段找等效重心的位置變化來確定勢(shì)能的變化。
二.基本思路
在應(yīng)用機(jī)械能守恒定律處理實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常遇到像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運(yùn)動(dòng)過程中
將發(fā)生形變，其重心位置相對(duì)物體也發(fā)生變化，因此這類物體不能再看成質(zhì)點(diǎn)來處理。
不計(jì)摩擦和其他損耗，物體雖然不能看成質(zhì)點(diǎn)來處理，但因只有重力做功，物體整體機(jī)械能守
恒。一般情況下，可將物體分段處理，確定質(zhì)量分布均勻的規(guī)則物體各部分的重心位置，根據(jù)初、
末狀態(tài)物體重力勢(shì)能的變化列式求解。
【考向 17】（多選）橫截面積為 的U形圓筒豎直放在水平面上，筒內(nèi)裝水，底部閥門K關(guān)閉對(duì)兩側(cè)
水面高度分別為 1和 2，如圖所示，已知水的密度為 ，重力加速度大小為 ，不計(jì)水與筒壁間的摩
擦阻力，現(xiàn)把連接兩筒的閥門K打開，最后兩筒水面高度相等，則該過程中（　　）
A．大氣壓力對(duì)水柱做負(fù)功
B．水柱的機(jī)械能守恒
C．水柱的重力不做功
D 1．當(dāng)兩筒水面高度相等時(shí)，水柱的動(dòng)能是4 ( 1 2)
2
【考向 18】（多選）如圖所示，傾角 θ=30°的光滑斜面固定在地面上，長(zhǎng)為 L、質(zhì)量為 m、粗細(xì)和質(zhì)
量分布均勻的軟繩置于斜面上，其上端與斜面頂端齊平。用輕質(zhì)細(xì)線將物塊與軟繩連接，物塊的質(zhì)
量也為 m，物塊由靜止釋放后向下運(yùn)動(dòng)，直到軟繩剛好全部離開斜面（此時(shí)物塊未到達(dá)地面）在此
過程中（　　）
A．物塊重力做的功等于軟繩和物塊動(dòng)能的增加量
B．物塊重力勢(shì)能的減少量大于軟繩機(jī)械能的增加量
C 1．軟繩重力勢(shì)能共減少了 2mgL
D 1．軟繩剛好全部離開斜面時(shí)的速度為2 5
【真題 1】（2023·浙江·高考真題）鉛球被水平推出后的運(yùn)動(dòng)過程中，不計(jì)空氣阻力，下列關(guān)于鉛球
在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小 a、速度大小 v、動(dòng)能 Ek 和機(jī)械能 E 隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t 的變化關(guān)系中，正確
的是（　　）
A． B．
C． D．
【真題 2】（2024·浙江·高考真題）如圖所示，質(zhì)量為 m 的足球從水平地面上位置 1 被踢出后落在位
置 3，在空中達(dá)到最高點(diǎn) 2 的高度為 h，則足球（　　）
A．從 1 到 2 動(dòng)能減少 B．從 1 到 2 重力勢(shì)能增加
C．從 2 到 3 動(dòng)能增加 D．從 2 到 3 機(jī)械能不變
【真題 3】（2024·北京·高考真題）如圖所示，光滑水平軌道 AB 與豎直面內(nèi)的光滑半圓形軌道 BC
在 B 點(diǎn)平滑連接。一小物體將輕彈簧壓縮至 A 點(diǎn)后由靜止釋放，物體脫離彈簧后進(jìn)入半圓形軌道，
恰好能夠到達(dá)最高點(diǎn) C。下列說法正確的是（　　）
A．物體在 C 點(diǎn)所受合力為零
B．物體在 C 點(diǎn)的速度為零
C．物體在 C 點(diǎn)的向心加速度等于重力加速度
D．物體在 A 點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能等于物體在 C 點(diǎn)的動(dòng)能
【真題 4】（2024·全國(guó)·高考真題）如圖，一光滑大圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，質(zhì)量為 m 的小環(huán)套在大
圓環(huán)上，小環(huán)從靜止開始由大圓環(huán)頂端經(jīng) Q 點(diǎn)自由下滑至其底部，Q 為豎直線與大圓環(huán)的切點(diǎn)。則
小環(huán)下滑過程中對(duì)大圓環(huán)的作用力大小（　　）
A．在 Q 點(diǎn)最大 B．在 Q 點(diǎn)最小 C．先減小后增大 D．先增大后減小
【真題 5】（2024·山東·高考真題）如圖所示，質(zhì)量均為 m 的甲、乙兩同學(xué)，分別坐在水平放置的輕
木板上，木板通過一根原長(zhǎng)為 l 的輕質(zhì)彈性繩連接，連接點(diǎn)等高且間距為 d（d1
動(dòng)摩擦因數(shù)均為 μ，彈性繩勁度系數(shù)為 k，被拉伸時(shí)彈性勢(shì)能 E= kx22 （x 為繩的伸長(zhǎng)量）。現(xiàn)用水平
力 F 緩慢拉動(dòng)乙所坐木板，直至甲所坐木板剛要離開原位置，此過程中兩人與所坐木板保持相對(duì)靜
止，k 保持不變，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度大小為 g，則 F 所做的功等于（　　）
( m )2 2A． 2 + ( ) B
3( m )
． 2 + ( )
C 3( m )
2 2
． 2 +2 ( ) D
( m )
． 2 +2 ( )
【真題 6】（2023·遼寧·高考真題）某大型水陸兩棲飛機(jī)具有水面滑行汲水和空中投水等功能。某次
演練中，該飛機(jī)在水面上由靜止開始勻加速直線滑行并汲水，速度達(dá)到 v =80m/s 時(shí)離開水面，該過
程滑行距離 L=1600m、汲水質(zhì)量 m=1.0×10 kg。離開水面后，飛機(jī)攀升高度 h=100m 時(shí)速度達(dá)到
v =100m/s，之后保持水平勻速飛行，待接近目標(biāo)時(shí)開始空中投水。取重力加速度 g=10m/s 。求：
（1）飛機(jī)在水面滑行階段的加速度 a 的大小及滑行時(shí)間 t；
（2）整個(gè)攀升階段，飛機(jī)汲取的水的機(jī)械能增加量 ΔE。
【真題 7】（2024·海南·高考真題）某游樂項(xiàng)目裝置簡(jiǎn)化如圖，A 為固定在地面上的光滑圓弧形滑梯，
半徑 = 10m，滑梯頂點(diǎn) a 與滑梯末端 b 的高度 = 5m，靜止在光滑水平面上的滑板 B，緊靠滑梯
的末端，并與其水平相切，滑板質(zhì)量 = 25kg，一質(zhì)量為 = 50kg的游客，從 a 點(diǎn)由靜止開始下滑，
在 b 點(diǎn)滑上滑板，當(dāng)滑板右端運(yùn)動(dòng)到與其上表面等高平臺(tái)的邊緣時(shí)，游客恰好滑上平臺(tái)，并在平臺(tái)
上滑行 = 16m停下。游客視為質(zhì)點(diǎn)，其與滑板及平臺(tái)表面之間的動(dòng)摩擦系數(shù)均為 = 0.2，忽略空
氣阻力，重力加速度 = 10m/s2，求：
（1）游客滑到 b 點(diǎn)時(shí)對(duì)滑梯的壓力的大小；
（2）滑板的長(zhǎng)度 L
【真題 8】（2024·北京·高考真題）科學(xué)家根據(jù)天文觀測(cè)提出宇宙膨脹模型：在宇宙大尺度上，所有
的宇宙物質(zhì)（星體等）在做彼此遠(yuǎn)離運(yùn)動(dòng)，且質(zhì)量始終均勻分布，在宇宙中所有位置觀測(cè)的結(jié)果都
一樣。以某一點(diǎn) O 為觀測(cè)點(diǎn)，以質(zhì)量為 m 的小星體（記為 P）為觀測(cè)對(duì)象。當(dāng)前 P 到 O 點(diǎn)的距離為
0，宇宙的密度為 0。
（1）求小星體 P 遠(yuǎn)離到2 0處時(shí)宇宙的密度 ρ；
（2）以 O 點(diǎn)為球心，以小星體 P 到 O 點(diǎn)的距離為半徑建立球面。P 受到的萬(wàn)有引力相當(dāng)于球內(nèi)質(zhì)
1 2
量集中于 O 點(diǎn)對(duì) P 的引力。已知質(zhì)量為 1和 2、距離為 R 的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力勢(shì)能 p = ，
G 為引力常量。僅考慮萬(wàn)有引力和 P 遠(yuǎn)離 O 點(diǎn)的徑向運(yùn)動(dòng)。
a．求小星體 P 從 0處遠(yuǎn)離到2 0。處的過程中動(dòng)能的變化量Δ k；
b．宇宙中各星體遠(yuǎn)離觀測(cè)點(diǎn)的速率 v 滿足哈勃定律 = ，其中 r 為星體到觀測(cè)點(diǎn)的距離，H 為哈
勃系數(shù)。H 與時(shí)間 t 有關(guān)但與 r 無關(guān)，分析說明 H 隨 t 增大還是減小。
一、單選題
1．（2024·四川成都·三模）一質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從圓周上的一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到另一點(diǎn)的過程中，下列
說法一定正確的是（ ）
A．質(zhì)點(diǎn)速度不變 B．質(zhì)點(diǎn)加速度不變 C．質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能不變 D．質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能不變
2．（2024·山東濱州·二模）電動(dòng)車在剎車或下坡過程中可以利用某些裝置把機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能，進(jìn)
行機(jī)械能回收。一實(shí)驗(yàn)電動(dòng)車質(zhì)量 = 2kg，以20J的初機(jī)械能沿傾角為15°的平直斜坡 AO 運(yùn)動(dòng)，A
點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)起始點(diǎn)，設(shè) A 點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)。第一次在 A 點(diǎn)關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，讓車自由滑行，其機(jī)械能—位移
關(guān)系如圖直線①所示；第二次在 A 點(diǎn)關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)同時(shí)開啟“機(jī)械能回收”裝置，回收一段時(shí)間后，關(guān)
閉回收裝置，其機(jī)械能—位移關(guān)系如圖線②所示。假設(shè)機(jī)械能回收效率為90%，sin15° ≈ 0.26。下
列說法正確的是（　　）
A．第一次中斜面 AO 作用于實(shí)驗(yàn)電動(dòng)車的阻力大小為5N
B．第二次中實(shí)驗(yàn)電動(dòng)車從10m行駛到20m的過程中，其機(jī)械能守恒
C．第二次中實(shí)驗(yàn)電動(dòng)車行駛20m的過程中，回收機(jī)械能5.4J
D．第二次中實(shí)驗(yàn)電動(dòng)車行駛前10m的過程中，其加速度一定越來越小
3．（2024·河北·三模）小芳同學(xué)上體育課時(shí)，從距離地面 H 高度處將 = 0.6kg的籃球從靜止開始釋
放，籃球與地面撞擊后彈起，籃球在此過程中的 圖像如圖所示。不計(jì)籃球與地面撞擊過程的時(shí)
間間隔，籃球在下落階段與上升階段所受的空氣阻力大小相等，已知重力加速度 = 10m/s2。則籃
球（　　）
A．下落的高度 = 2.0m
B．在下落階段和上升階段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差為 0.2s
C．在下落階段和上升階段所受空氣阻力與重力的大小之比為1:4
D．撞擊地面過程中損失的機(jī)械能為 0.8J
4．（2024·浙江·三模）如圖所示，細(xì)繩的一端固定于 O 點(diǎn)，另一端系一個(gè)小球，在 O 點(diǎn)的正下方釘
一個(gè)釘子 A，小球從一定高度擺下。不計(jì)細(xì)繩與釘子碰撞的能量損失，不計(jì)空氣阻力，則（　　）
A．若 A 高于小球擺下的初位置，則 A 離 O 點(diǎn)越近，小球運(yùn)動(dòng)到右側(cè)最高點(diǎn)時(shí)加速度就越大
B．若 A 高于小球擺下的初位置，則 A 離 O 點(diǎn)越近，小球運(yùn)動(dòng)到右側(cè)最高點(diǎn)時(shí)，細(xì)繩的拉力就越
大
C．由于機(jī)械能守恒，無論 A 離 O 點(diǎn)多遠(yuǎn)（小于繩長(zhǎng)），小球總能上升到原來高度
D．如果 A 與小球擺下的初位置等高，則小球在運(yùn)動(dòng)的過程中有可能撞到釘子
5．（2024·廣西桂林·三模）如圖所示的是簡(jiǎn)化后的跳臺(tái)滑雪雪道示意圖， 段為助滑道和起跳區(qū)，
段為傾角 ( < 45°)的著陸坡。運(yùn)動(dòng)員從助滑道的起點(diǎn) A 由靜止開始下滑，到達(dá) 時(shí)點(diǎn)以初速度 0
起跳， 0方向與水平方向的夾角也為 ，最后落在著陸坡面上的 點(diǎn)， 、 間距離為 。不計(jì)一切阻
力，則運(yùn)動(dòng)員從 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 點(diǎn)的過程中（　　）

A．最小速度為 0 B．時(shí)間為 0
C．速度最小時(shí)，機(jī)械能最小 D．從 點(diǎn)起跳后瞬間重力功率最大
6．（2023·湖南永州·一模）鉛球擲出后，在空中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示。a、b、c、d、e 為軌跡上 5 個(gè)
點(diǎn)，c 為軌跡的最高點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，下列說法正確的是（ ）
A．球運(yùn)動(dòng)到 c 點(diǎn)時(shí)重力的功率最小，但不為零
B．鉛球從 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 點(diǎn)和從 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 點(diǎn)速度變化方向相同
C．鉛球從 點(diǎn)到 點(diǎn)的過程比從 點(diǎn)到 點(diǎn)的過程中速度變化快
D．鉛球從 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 點(diǎn)，合外力做的功大于重力勢(shì)能的減少量
7．（2024·湖北·一模）如圖所示，一頂角為 120°的“∧”型光滑細(xì)桿豎直放置，頂角的角平分線豎直。
質(zhì)量均為 m 的兩金屬球套在細(xì)桿上，高度相同，中間用水平輕彈簧連接，彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài)，勁度
系數(shù)為 k。現(xiàn)將兩小球同時(shí)由靜止釋放，小球沿細(xì)桿下滑過程中，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)。已知
1
彈簧形變量為 x 時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能 p = 2
2，重力加速度為 g，下列說法正確的是（　　）
A 3．兩小球下滑過程中，兩小球的機(jī)械能守恒 B．彈簧的最大拉力為
3
C ．小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的加速度大小相等 D．小球的最大速度為
3
8．（2024·山東濟(jì)南·二模）如圖所示，傾角為 = 30°的足夠長(zhǎng)的光滑斜面體固定在水平地面上，底
端附近垂直斜面固定一擋板，小物塊甲、乙用輕彈簧拴接后置于斜面上，甲的質(zhì)量為 m。初始靜止
時(shí)，彈簧壓縮量為 d。某時(shí)刻在甲上施加一沿斜面向上的恒力 = ，當(dāng)彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)將
恒力撤去，甲到最高點(diǎn)時(shí)乙剛要離開擋板。已知甲物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期為 T，彈簧的彈性勢(shì)能為
E， P =
1
2
2，其中 k 為勁度系數(shù)（k 未知），x 為形變量，重力加速度為 g，彈簧始終在彈性限度以
內(nèi)。則（　　）
A．小物塊乙的質(zhì)量為 2m
B．甲運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的加速大小為 2g
C ．從撤去外力到甲運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的時(shí)間為3
D 9．彈簧的最大彈性勢(shì)能為4
9．（2024·廣西·二模）如圖所示，一輕桿通過鉸鏈連接在固定轉(zhuǎn)軸 1上，可繞 1軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，輕桿
另一端與一質(zhì)量未知的小球 A 連接。一輕繩繞過輕質(zhì)定滑輪 2，一端連接小球 A，另一端連接一帶
掛鉤，質(zhì)量為 m 的物塊 B，已知 1與 2等高，圖中 1 = 60°， 2 = 30°，此時(shí)小球 A 與物塊 B 恰好
靜止。現(xiàn)在物塊 B 下再掛物塊 C，由靜止釋放物塊 C 后，小球 A 能上升到的最高點(diǎn)恰好與 1等高，
重力加速度為 g，不計(jì)一切摩擦。則所掛物塊 C 的質(zhì)量為（　　）
A 3 1 3 1 (2 3 3) (2 3 3)． B． C． D．
2 2 2 2
10．如圖所示，頂角 P 為 53°的光滑“ ”形硬桿固定在豎直平面內(nèi)，質(zhì)量均為 m 的小球甲、乙（均
視為質(zhì)點(diǎn)）用長(zhǎng)度為 L 的輕質(zhì)硬桿連接，分別套在“ ”形硬桿的傾斜和水平部分，當(dāng)輕質(zhì)硬桿呈豎
直狀態(tài)時(shí)甲靜止在 A 點(diǎn)，乙靜止在 C 點(diǎn)。甲由于受到輕微的擾動(dòng)開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)甲運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)時(shí)，輕
質(zhì)硬桿與“ ”形硬桿的傾斜部分垂直，重力加速度大小為 g，則甲在 B 點(diǎn)的速度大小為（　　）
A 5 B 2 5 ． ．
5 5
C 5 5 ． D．
2 4
11．（2024·貴州·三模）如圖所示， 為固定的粗糙半圓弧軌道， 為其水平直徑，可視為質(zhì)點(diǎn)
的小物塊從 A 正上方 a 點(diǎn)處由靜止釋放，下落后從 A 點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道后從 B 點(diǎn)沖出，之后返回和離
開軌道多次。若第一次從 B 點(diǎn)離開圓弧軌道上升到達(dá)的最高點(diǎn)為 b，第一次從 A 點(diǎn)離開圓弧軌道上
升到達(dá)的最高點(diǎn)為 c，第二次從 B 點(diǎn)離開圓弧軌道上升到達(dá)的最高點(diǎn)為 d，圖中 b、c、d 三點(diǎn)未標(biāo)出。
設(shè) a、b 之間的豎直高度差為Δ 1，b、c 之間的豎直高度差為Δ 2，c、d 之間的豎直高度差為Δ 3。
不計(jì)空氣阻力，下列關(guān)系式正確的是（　　）
A．Δ 1 = Δ 2 = Δ 3 B．Δ 1 > Δ 2 > Δ 3
C．Δ 1 < Δ 2 < Δ 3 D．Δ 1 > Δ 3 > Δ 2
12．如圖所示，一根不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線一端懸于 O 點(diǎn)，另一端系一小球 A，將 A 拉至細(xì)線與水平
方向成 θ 夾角，細(xì)線剛好伸直。由靜止釋放 A，在 A 從釋放點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中，其重力勢(shì)能
Ep、動(dòng)能 Ek、機(jī)械能 E、重力的瞬時(shí)功率 P 與下落的高度 h 的關(guān)系圖像可能正確的是（不計(jì)空氣阻
力）（　　）
A． B．
C． D．
二、多選題
13．（2024·山東濰坊·三模）濰坊風(fēng)箏是山東濰坊傳統(tǒng)手工藝珍品，制作歷史悠久，工藝精湛，是非
物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，現(xiàn)在世界上 70%以上的風(fēng)箏都是出自濰坊。本屆風(fēng)箏節(jié)上，小明同學(xué)在濱海國(guó)
際風(fēng)箏放飛場(chǎng)放風(fēng)箏，風(fēng)箏靜止于空中且風(fēng)箏平面與水平面夾角始終為 30°，風(fēng)速水平，與風(fēng)箏作
用后，垂直風(fēng)箏平面的風(fēng)速減為零，平行風(fēng)箏平面的風(fēng)速大小不變。風(fēng)箏的質(zhì)量為 m，風(fēng)箏線質(zhì)量
不計(jì)，重力加速度大小為 g。下列說法正確的是（ ）
A．若風(fēng)箏線與水平方向夾角為 30° 3，則風(fēng)對(duì)風(fēng)箏的作用力大小為 mg
2
B．若風(fēng)箏線與水平方向夾角為 30°，則線對(duì)風(fēng)箏的作用力大小為 mg
C．風(fēng)箏線長(zhǎng)度不變，若風(fēng)速緩慢變大，則線與水平方向夾角變大
D．風(fēng)箏線長(zhǎng)度不變，若風(fēng)速緩慢變大，則風(fēng)箏的機(jī)械能減小
14．（2024·湖南常德·一模）2023 年 9 月 21 日，“天宮課堂”第四課在中國(guó)空間站正式開講，神舟十
六號(hào)航天員景海鵬、朱楊柱、桂海潮進(jìn)行授課，這是中國(guó)航天員首次在夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙內(nèi)進(jìn)行授課。在
天宮課堂上，航天員老師在太空實(shí)驗(yàn)室中做如圖所示的實(shí)驗(yàn)。一根長(zhǎng)為 L 的不可伸長(zhǎng)的輕繩，一端
固定于 O 點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為 m 的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）。開始時(shí)，小球位于位置 M，O、M 間距
= 離 4，繩子處于松弛狀態(tài)。小球突然受到一瞬時(shí)沖量后以初速度 0垂直于 OM 向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)在以
后的運(yùn)動(dòng)中小球到達(dá)位置 N，此時(shí)小球的速度方向與繩垂直，則小球從 M 運(yùn)動(dòng)到 N 的過程中，下列
說法正確的是（　　）
A．小球的機(jī)械能守恒 B．輕繩對(duì)小球做功不為零

C．小球始終做勻速圓周運(yùn)動(dòng) D．小球在 N 0點(diǎn)時(shí)的速度大小為 4
15．（2023·四川德陽(yáng)·一模）如圖所示，豎直平面內(nèi)固定一根豎直的光滑桿 P 和水平光滑桿 Q，兩桿
在同一平面內(nèi)，不接觸，水平桿延長(zhǎng)線與豎直桿的交點(diǎn)為 O。質(zhì)量為 2m 的小球 A 套在豎直桿上，
上端固定在桿上的輕質(zhì)彈簧的另一端與小球 A 相連。另一質(zhì)量為 m 的小球 B 套在水平桿 Q 上，小
球 A、B 用長(zhǎng)為 2L 的輕桿通過鉸鏈分別連接。在外力作用下，當(dāng)輕桿與水平桿 Q 成 θ=53°斜向左上
時(shí)，輕質(zhì)彈簧處于原長(zhǎng)，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。撤去外力，小球 A 在豎直桿上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，下降的最
1
大距離為 2L。已知輕質(zhì)彈簧的彈性勢(shì)能 = 2 2 ，x 為彈簧的形變量，k 為輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)，
整個(gè)過程輕質(zhì)彈簧始終處在彈性限度內(nèi)，不計(jì)一切摩擦，重力加速度大小為 g，sin53°=0.8，
cos53°=0.6.則下列說法正確的是（　　）
A k 2 ．輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù) 為
B 4．小球 A 運(yùn)動(dòng)到 O 點(diǎn)時(shí)的速度大小為5 2
C 21．從撤去外力到輕桿與水平桿 Q 成 θ=30°斜向左上的過程，輕桿對(duì)小球 B 做的功為175
D．小球 A 從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 O 點(diǎn)的過程，水平桿 Q 對(duì)小球 B 的作用力始終大于 mg
16．如圖所示，柔軟的繩索放置在粗糙水平桌面上， 、 為繩索端點(diǎn)， 為繩索中點(diǎn)，且恰好處于桌
面邊緣。開始時(shí)繩索在外力的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，由靜止釋放繩索后，繩索開始滑動(dòng)，直至離開
桌面，此過程中 點(diǎn)未落至地面。已知質(zhì)量分布均勻的繩索總質(zhì)量為 ，總長(zhǎng)度為 ，繩索和桌面間
的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為 。下列分析正確的有（ ）
A 3．繩索離開桌面前的過程中重力勢(shì)能減少了8
B 3 1．繩索離開桌面時(shí)的動(dòng)能為8 4
C．繩索離開桌面前的過程中， 段的動(dòng)能增加得越來越快
D．繩索離開桌面前的過程中， 段的機(jī)械能減小得越來越慢
17．（2024·湖北·一模）如圖所示，半徑為 R=0.4m 的光滑圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，AB、CD 是圓環(huán)
相互垂直的兩條直徑，C、D 兩點(diǎn)與圓心 等高。一個(gè)質(zhì)量為 m=2kg 的光滑小球套在圓環(huán)上，一根

輕質(zhì)彈簧一端連在小球上，另一端固定在 P 點(diǎn)，P 點(diǎn)在圓心 O 的正下方2處。小球從最高點(diǎn) A 由靜
止開始沿順時(shí)針方向下滑，已知彈簧的原長(zhǎng)為 R，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，重力加速度為 = 10m
/s2。下列說法正確的有（　　）
A．彈簧長(zhǎng)度等于 R 時(shí)，小球的動(dòng)能最大
B．小球在 A、B 兩點(diǎn)時(shí)對(duì)圓環(huán)的壓力差的大小為 80N
C．小球運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)時(shí)的速度大小為 4m/s
D．從 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)的過程中，小球的機(jī)械能先增大后減小，在 D 點(diǎn)小球的機(jī)械能最大
18．（2024·山東聊城·三模）如圖甲所示，半徑 R＝0.4m 的光滑圓弧軌道固定在豎直平面內(nèi)，軌道的
一個(gè)端點(diǎn) B 和圓心 O 的連線與水平方向間的夾角 = 30°，另一端點(diǎn) D 與圓心 O 等高，點(diǎn) C 為軌道
的最低點(diǎn)。質(zhì)量 m＝1kg 的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從空中 A 點(diǎn)以速度 0水平拋出，恰好從軌道的 B 端
沿切線方向進(jìn)入軌道，物塊進(jìn)入軌道后開始計(jì)時(shí)，軌道受到的壓力 F 隨時(shí)間 的關(guān)系如圖乙所示，重
力加速度 g 取10m/s2，則（　　）
A．物塊從 D 點(diǎn)離開軌道時(shí)速度大小為 4m/s
B． 0大小為 70N
C． 0的大小為 2m/s
D．物塊在 AC 段運(yùn)動(dòng)過程中重力的瞬時(shí)功率一直增大
三、解答題
19．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）“打水漂”是很多同學(xué)體驗(yàn)過的游戲，小石片被水平拋出，碰到水
面時(shí)并不會(huì)直接沉入水中，而是擦著水面滑行一小段距離再次彈起飛行，跳躍數(shù)次后沉入水中．如
圖所示，某同學(xué)在岸邊離水面高度 0 = 0．2m處，將一塊質(zhì)量 = 0．1kg的小石片以初速度 0 = 12
m/s 2水平拋出，若小石片與水面碰撞后，豎直分速度反向，大小變?yōu)榕銮暗?，水平分速度方向不變，
1
大小變?yōu)榕銮暗?，當(dāng)小石片的入水角（速度方向與水面間的夾角）大于 53°時(shí)，小石片將沉底．空
氣阻力可忽略不計(jì)，重力加速度 = 10m/s2 tan53° = 4， 3。求：
（1）第一次接觸水面處與拋出點(diǎn)的水平距離；
（2）小石片第一次與水面碰撞過程中損失的機(jī)械能；
（3）小石片最多能彈跳的次數(shù)。
20．（2024·黑龍江· 1三模）如圖所示，一半徑為 r=0.45m 的4光滑圓弧的底端 B 與水平傳送帶相接，
傳送帶的運(yùn)行速度為 0 = 5m/s，長(zhǎng)為 = 1.75m，DEF 為固定于豎直平面內(nèi)的一段內(nèi)壁光滑的中空
細(xì)管，EF 段被彎成以 O 為圓心、半徑。 = 0.2m的一小段圓弧，管的 D 端彎成與水平傳送帶 C 端
平滑相接，O 點(diǎn)位于地面，OF 連線豎直。一質(zhì)量為 = 0.2kg的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從圓弧頂端 A
點(diǎn)無初速滑下，滑到傳送帶上后被送入細(xì)管 DEF。已知滑塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù) = 0.2，重力
加速度 g 取10m/s2，不計(jì)空氣阻力，滑塊橫截面略小于細(xì)管中空部分的橫截面。求：
（1）滑塊到達(dá)光滑圓弧底端 B 時(shí)對(duì)軌道的壓力大小；
（2）滑塊與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量；
（3）滑塊滑到 F 點(diǎn)后水平飛出，滑塊的落地點(diǎn)到 O 點(diǎn)的距離。

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