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第 11 講　曲線運動及運動的合成與分解
——劃重點之精細講義系列
考點 1 物體做曲線運動的條件與軌跡分析
考點 2 運動的合成與分解的應(yīng)用
考點 3 小船渡河問題
考點 4 關(guān)聯(lián)速度問題
考點 1：物體做曲線運動的條件與軌跡分析
1．曲線運動
運動軌跡是曲線的運動叫做曲線運動。
（1）速度的方向：質(zhì)點在某一點的速度方向，沿曲線在這一點的切線方向。
（2）運動的性質(zhì)：
（3）直線運動和曲線運動的條件及分類
2．合力、速度、軌跡
（1）合力方向與軌跡的關(guān)系：合力的方向總是指向軌跡的“凹”側(cè)。曲線運動軌跡始終夾在合
力方向與速度方向之間，速度方向與軌跡相切，而且向合力的方向彎曲，但是特別注意速度的方向
只會向著合外力方向趨近，而不可能趨近到與合外力方向相同。
（2）合力、速度、軌跡之間的關(guān)系：做曲線運動的物體，其速度方向與運動軌跡相切，所受的
合力方向與速度方向不在同一條直線上，合力改變物體的運動狀態(tài)，據(jù)此可以判斷：
①已知運動軌跡，可以判斷合力的大致方向在軌跡的包圍區(qū)間（凹側(cè)），如圖所示。
②運動軌跡在速度方向與合力方向所夾的區(qū)間，根據(jù)受力方向和速度方向可以判斷軌跡的大致
彎曲方向。
③根據(jù)合力方向與速度方向的夾角，判斷物體的速率變化情況：夾角為銳角時，速率變大；夾
角為鈍角時，速率變小；合力方向與速度方向垂直時，速率不變，這是勻速圓周運動的受力條件。
【考向 1】下列說法正確的是（　　）
A．在恒力作用下，物體不可能做曲線運動
B．兩個勻變速直線運動的合運動一定是勻變速直線運動
C．做曲線運動的物體，速度可能不變，加速度一定不斷地改變
D．力與速度方向的夾角為銳角時，物體做加速曲線運動
【考向 2】如圖所示，一個劈形物體 A，各面均光滑，放在固定的斜面上，上表面呈水平，在水平
面上放一個小球 B，劈形物體從靜止開始釋放，則小球在碰到斜面前的運動軌跡是（　　）
A．沿斜面向下的直線
B．豎直向下的直線
C．可能為圖中箭頭所示的直線
D．為一曲線
【考向 3】（2024·浙江·一模）如圖所示，某運動員主罰任意球時，踢出快速旋轉(zhuǎn)的“落葉球”，則“落
葉球”（ ）
A．在空中的運動軌跡是對稱的 B．運動到最高點時速度為零
C．相比正常軌跡的球，下落更快 D．在最高點時加速度方向一定豎直向下
【考向 4】如圖所示為質(zhì)點做勻變速曲線運動軌跡的示意圖，且質(zhì)點運動到 D 點時速度方向與加速
度方向恰好互相垂直，則質(zhì)點從 A 點運動到 E 點的過程中，下列說法中正確的是（　　）
A．質(zhì)點經(jīng)過 C 點的速率比 D 點的大
B．質(zhì)點經(jīng)過 A 點時的加速度方向與速度方向的夾角小于 90°
C．質(zhì)點經(jīng)過 D 點時的加速度比 B 點的大
D．質(zhì)點從 B 到 E 的過程中加速度方向與速度方向的夾角先增大后減小
【考向 5】（多選）（2024·海南·一模）如圖是“玉兔二號”巡視探測器在月球背面執(zhí)行任務(wù)時的軌跡照
片， 段為曲線，對沿 段運動的探測器，下列說法正確的是（　　）
A．速度的方向在不斷變化 B．所受合力為 0
C．加速度一定不為 0 D．一定做勻變速曲線運動
考點 2：運動的合成與分解的應(yīng)用
1．合運動與分運動的關(guān)系
等時性 分運動與合運動經(jīng)歷時間相等（不同時運動不能合成）
獨立性 一個物體同時參與幾個分運動時，各分運動獨立進行，互不影響，此為運動的獨立性原理
等效性 各分運動疊加起來與合運動有完全相同的效果
同體性 各分運動與合運動是指同一物體參與的分運動和實際發(fā)生的運動
2．運動的合成與分解的運算法則
（1）原則：根據(jù)運動的實際效果分解，也可采用正交分解。
（2）運動的分解優(yōu)點：將不易研究的復(fù)雜曲線運動分解為簡單的熟悉的直線運動。
（3）分解實際運動
物體（或物體上某點）的實際運動為合運動，即以地面為參考系的運動，只分解實際運動。看
物體同時參與了哪兩種運動，而后確定分解的方向再進行分解。
3．合運動性質(zhì)的判斷
4．兩個直線運動的合運動性質(zhì)的判斷
分運動的性質(zhì) 合運動的性質(zhì)
兩個分運動均為勻速 ①當(dāng)兩個分速度 v1、v2等大反向時，合速度 v=0，保持靜止
直線運動 ②其他情況時，合速度大小、方向均不變，物體做勻速直線運動
一個分運動為勻速直
①v0與 a 共線時，物體做勻變速直線運動
線運動，另一個分運
②v0與 a 不共線時，物體做勻變速曲線運動
動為勻變速直線運動
①v、a 共線時，物體做勻變速直線運動（含 v=0）
②v、a 不共線時，物體做勻變速曲線運動
兩個分運動均為勻變
速直線運動
(1)合運動的速度大小不一定比每一個分運動的速度都大。
(2)兩個分運動的時間一定與它們合運動的時間相等。
【考向 6】如圖所示，一小球置于光滑水平桌面上，某時刻起受一水平恒力的作用開始運動，先后
經(jīng)過 a、b 兩點，速度方向偏轉(zhuǎn)90°。已知經(jīng)過 a 點的速度大小為 v、方向與 ab 連線夾角為30°，ab
連線長度為 L。對小球從 a 到 b 的運動過程，下列說法正確的是（ ）
A．小球在 b 點的速度為 3
B 3 ．所用的時間為
2
C 2
2
．恒力大小為 3
D．若僅改變小球在 a 點的速度大小，小球下一次經(jīng)過 ab 連線時的速度偏轉(zhuǎn)角也發(fā)生變化
【考向 7】兩個相同的正方形鐵絲框按圖所示放置，它們沿對角線方向分別以速度 v 和 2v 向兩邊運
動，則兩線框的交點 M 的運動速度大小為（　　）
A 10．3 2 B． C 6． D． 2
2 2 2 2
【考向 8】（多選）某小組同學(xué)用如圖所示的裝置研究運動合成規(guī)律，長方體物塊上固定一長為 的
豎直桿，物塊及桿的總質(zhì)量為2 ，質(zhì)量為 的小環(huán)套在桿上，當(dāng)小環(huán)從桿頂端由靜止下滑時（忽略
小環(huán)與桿的摩擦力），物塊在水平拉力的作用下，從靜止開始沿光滑水平面向右勻加速運動，小環(huán)落
至桿底端時，物塊移動的距離為2 ，重力加速度大小為 ，則小環(huán)從頂端下落到底端的過程中（　　）
A．小環(huán)通過的路程為2
B 2 ．小環(huán)落到底部的時間為

C．水平拉力大小為3
D．小環(huán)受到桿的作用力大小為2
【考向 9】（多選）質(zhì)量為0.2kg的物體在水平面上運動，其兩個正交分速度隨時間的變化圖像如圖所
示，則（ ）
A．0~6s 內(nèi)物體始終做曲線運動
B．0~4s 內(nèi)物體的位移大小為8 2m
C．0~4s 內(nèi)物體做曲線運動，4s 末物體的速度與加速度方向相反
D．0~4s 內(nèi)物體做直線運動，4~6s 內(nèi)物體做曲線運動
【考向 10】（多選）一物體在如圖甲所示的 平面上運動，其 方向的 圖像如圖乙所示， 方
= 1向的軌跡方為： 22 2 + 3(m)，已知 = 0時物體的位置坐標為(1m,3m)，下列說法正確的是
（ ）
A． = 0時，物體的速度大小為 13m/s
B． = 2s時，物體的位置坐標為(8m,1m)
C．前2s物體在 方向的加速度越來越小
D．物體在前2s做加速度大小 = 2m/s2的曲線運動
考點 3：小船渡河問題
1．模型構(gòu)建
在運動的合成與分解問題中，兩個勻速直線運動的合運動仍是勻速直線運動，其中一個速度大
小和方向都不變，另一個速度大小不變，方向在 180°范圍內(nèi)(在速度不變的分運動所在直線的一側(cè))
變化．我們對合運動或分運動的速度、時間、位移等問題進行研究．這樣的運動系統(tǒng)可看作“小船
渡河模型”。
2．模型特點
（1）兩個運動：船的實際運動是水流的運動和船相對靜水的運動的合運動。
（2）三種速度：船在靜水中的速度 v 船、水的流速 v 水、船的實際速度 v 合。
（3）三種情景
3．求解小船渡河問題的 3 點注意
（1）解決小船渡河問題的關(guān)鍵是：正確區(qū)分分運動和合運動，船的航行方向也就是船頭所指方
向的運動，是分運動；船的運動方向是船的實際運動方向，是合運動，一般情況下與船頭指向不一
致。
（2）渡河時間只與船垂直于河岸方向的分速度有關(guān)，與水流速度無關(guān)。
（3）船渡河位移的最小值與 v 船和 v 水的大小關(guān)系有關(guān)，v 船>v 水時，河寬即為最小位移；v 船時，應(yīng)利用圖解法求極值的方法處理。
【考向 11】（2023·陜西商洛·一模）一只小船過河，河中水流速度各處相同且恒定，小船的初速度大
小為 v、方向垂直于平直河岸，小船在河中的運動軌跡如圖中虛線所示，其中虛線 AB 為直線。小船
相對于水面分別做勻加速運動、勻減速運動、勻速運動。由此可以確定（　　）
A．船沿 AB 軌跡運動時，相對于靜水做勻加速直線運動
B．船沿 AC 軌跡過河所用的時間最短
C．船沿三條不同路徑渡河的時間相同
D．船沿 AD 軌跡到達對岸前瞬間的速度最大
【考向 12】解放軍某部在某次登島演習(xí)過程中，要渡過一條寬度為 d 的小河。現(xiàn)有甲、乙兩個戰(zhàn)斗
小組分別乘兩只小船渡河，船頭朝向如圖所示，渡河時兩小船船頭與河岸夾角都是 θ 角，兩船在靜
水中的速率都為 v，水流速率為 v0，此時甲船恰好能到小河正對岸的 A 點，則（ ）
A ．甲船渡河時間為 cos
B．乙船比甲船更早到達對岸
C ．靠岸時兩船間距增大了 sin ( cos + 0)
D．如果河水流速增大，甲船不改變船頭方向也能到達 A 點
【考向 13】（多選）如圖所示，河的寬度為 d，水速恒定，甲、乙兩船以大小相同的速度（相對靜水）
同時開始渡河。出發(fā)時兩船相距 2d，甲、乙船頭與河岸的夾角均為45°，且乙船恰好能直達正對岸
的 A 點。下列說法正確的是（ ）
A．甲船正好也在 A 點靠岸 B．甲船在 A 點的左側(cè)靠岸
C．甲、乙兩船可能在未到達對岸前相遇 D．甲、乙兩船到達對岸的時間相等
【考向 14】如圖所示，小船從河岸的 O 點沿虛線勻速運動到河對岸的 P 點，河水的流速 水、船在
靜水中的速度 靜與虛線的夾角分別為 、 。河寬為 d，且 靜、 水的大小不變，下列說法正確的是
（　　）
A．渡河時間由 靜、 以及河寬 d 決定
B．當(dāng) + = 45° 2 ，渡河的時間為2 靜
C． 靜、 水在垂直虛線方向的分量等大反向
D．船的實際運行速度 = 水sin + 靜sin
【考向 15】如圖所示，一條小河河寬 d=60m，水速 v1=3m/s，甲、乙兩船在靜水中的速度均為
v2=4m/s，兩船同時從 A 點出發(fā)，且同時到達對岸，其中甲船恰好到達正對岸的 B 點，乙船到達對岸
的 C 點，則下列說法錯誤的是（ ）
A． = B 60 7．兩船過河時間為 s
7
C．兩船航行的合速度大小不同 D．BC 的距離為 90m
考點 4：關(guān)聯(lián)速度問題
1．模型特點：用繩、桿相牽連的物體，在運動過程中，其兩物體的速度通常不同，但物體沿繩
或桿方向的速度分量大小相等。
2．原則：v1與 v2的合成遵循平行四邊形定則。
3．解題方法
把物體的實際速度分解為垂直于繩（桿）和平行于繩（桿）兩個分量，根據(jù)沿繩（桿）方向的
分速度大小相等求解。繩繃緊，則其兩端的速度在沿繩方向上的分量相等，即 v1x＝v2x，垂直于繩方
向的分量使繩轉(zhuǎn)動。常見的模型如圖所示。[]
4．繩（桿）牽連物體的分析技巧
（1）解題關(guān)鍵：找出合速度與分速度的關(guān)系是求解關(guān)聯(lián)問題的關(guān)鍵。
（2）基本思路：
①先確定合速度的方向（物體實際運動方向）
②分析合運動所產(chǎn)生的實際效果：一方面使繩或桿伸縮；另一方面使繩或桿轉(zhuǎn)動。
③確定兩個分速度的方向：沿繩或桿方向的分速度和垂直繩或桿方向的分速度，而沿繩或桿方
向的分速度大小相同。
5．解決繩（桿）端速度分解問題的技巧
【考向 16】如圖所示，豎直平面內(nèi)固定一根“L”形足夠長的細桿。a 球套在豎直桿上，b 球套在水平
桿上，a、b 通過鉸鏈用長度為 L 的剛性輕桿連接，a 球向下滑且輕桿與豎直桿夾角為 30°時，a 球與
b 球速度之比為（ ）
A 3 B 3 C 2 D 1． ． ． ．
3 2 3 2
【考向 17】如圖所示，輕質(zhì)不可伸長的細繩繞過光滑定滑輪 C 與質(zhì)量為 m 的物體 A 連接，A 放在
傾角為 θ 的光滑斜面上，繩的另一端和套在固定豎直桿上的物體 B 連接。現(xiàn) B、C 連線恰沿水平方
向，從當(dāng)前位置開始 B 以速度 v0勻速下滑。設(shè)繩子的張力為 FT，從此后的運動過程中，下列說法正
確的是（　　）
A．物體 A 做勻速運動 B．物體 A 做減速運動
C．FT 一定大于 mgsinθ D．FT 可能小于 mgsinθ
【考向 18】第十一屆全國雜技展演于 2023 年 3 月在山東省舉辦，如圖所示，水平固定的細長桿上
套有一遙控電動小車 P，跨過懸掛于 O 點的輕小光滑圓環(huán)的細線一端連接 P，另一端懸掛一雜技演
員 Q。設(shè)初始時細線的右邊部分與水平方向的夾角為 θ，現(xiàn)在遙控作用下使電動小車 P 開始向左勻
速運動，電動小車和演員均可視為質(zhì)點，不計空氣阻力，下列判斷正確的是（　　）
A．當(dāng) = 90°時，雜技演員 Q 速度為零，處于平衡狀態(tài)
B．當(dāng) = 60°時，P、Q 的速度大小之比是 2∶1
C．在 θ 向 90°增大的過程中，繩子的拉力始終等于演員的重力
D．在 θ 向 90°增大的過程中，演員 Q 一直處于失重狀態(tài)
【考向 19】（多選）一根細繩通過定滑輪且兩端分別系著A和B兩個物體，如圖所示，物體A在外力作
用下，向左以 勻速運動，當(dāng)連A的繩子與水平方向成 角，連B的繩子與水平方向成 角，B物體的
速度為 B，則（　　）
A． A = B B． Acos = Bcos
C．B 物體保持 B不變做勻速運動 D．B 物體的速度越來越大做加速運動
【考向 20】（多選）如圖所示，一根長為 L 的輕桿 ，O 端用鉸鏈固定，另一端固定著一個小球 A，
輕桿靠在一個高為 h 的物塊上。若物塊與地面摩擦不計，則當(dāng)物塊以速度 v 向右運動至桿與水平方
向夾角為 時，物塊與輕桿的接觸點為 B，下列說法正確的是（　　）
A．A、B 的線速度相同
B．A、B 的角速度相同
C sin
2
．輕桿轉(zhuǎn)動的角速度為
D A sin2 ．小球 的線速度大小為
【考向 21】（多選）如圖所示，斯特林發(fā)動機的機械裝置可以將圓周運動轉(zhuǎn)化為直線上的往復(fù)運動。
連桿 AB，OB 可繞圖中 A、B、O 三處的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，連桿 OB 長為 R，連桿 AB 長為 L（ > ），當(dāng)
OB 桿以角速度 ω 逆時針勻速轉(zhuǎn)動時，滑塊在水平橫桿上左右滑動，連桿 AB 與水平方向夾角為 α，
AB 桿與 OB 桿的夾角為 β。在滑塊向左滑動過程中（　　）
A．滑塊 A 從右向左先做加速度減小的加速運動，后做加速度減小的減速運動
B．當(dāng) OB 桿與 OA 垂直時，滑塊的速度大小為
2
C．當(dāng) OB 桿與 OA 垂直時，滑塊的速度大小為
D．當(dāng) = 90° 2 2時，滑塊的速度大小為

【真題 1】（2023·遼寧·高考真題）某同學(xué)在練習(xí)投籃，籃球在空中的運動軌跡如圖中虛線所示，籃
球所受合力 F 的示意圖可能正確的是（　　）
A． B． C． D．
【真題 2】（2021·遼寧·高考真題）1935 年 5 月，紅軍為突破“圍剿”決定強渡大渡河。首支共產(chǎn)黨員
突擊隊冒著槍林彈雨依托僅有的一條小木船堅決強突。若河面寬 300m，水流速度 3m/s，木船相對
靜水速度 1m/s，則突擊隊渡河所需的最短時間為（　　）
A．75s B．95s
C．100s D．300s
【真題 3】（2023·江蘇·高考真題）達·芬奇的手稿中描述了這樣一個實驗：一個罐子在空中沿水平直
線向右做勻加速運動，沿途連續(xù)漏出沙子。若不計空氣阻力，則下列圖中能反映空中沙子排列的幾
何圖形是（　　）
A． B．
C． D．
【真題 4】（2023·浙江·高考真題）圖為“玉兔二號”巡視器在月球上從 O 處行走到 B 處的照片，軌跡
OA 段是直線，AB 段是曲線，巡視器質(zhì)量為 135kg，則巡視器（　　）
A．受到月球的引力為 1350N B．在 AB 段運動時一定有加速度
C．OA 段與 AB 段的平均速度方向相同 D．從 O 到 B 的位移大小等于 OAB 軌跡長度
一、單選題
1．（2024·陜西寶雞·二模）體育課上兩位同學(xué)在室內(nèi)羽毛球場進行羽毛球比賽，羽毛球在空中上升的
運動軌跡如圖中虛線所示，羽毛球加速度方向示意圖可能正確的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023·浙江溫州·一模）越野車在冰原上留下的車轍如圖所示，則越野車轉(zhuǎn)彎做曲線運動過程中
（　　）
A．慣性變大 B．速度不變
C．可能處于平衡狀態(tài) D．所受的合外力一定不為零
3．（2024·山東菏澤·一模）一貨車水平向右勻加速直線運動，沿途從貨車尾部連續(xù)漏出玉米，忽略空
氣阻力，則下列說法正確的是（　　）
A．空中玉米排列成一條豎直的直線 B．空中玉米排列成一條傾斜的直線
C．空中玉米排列成一條曲線 D．玉米在空中做勻變速直線運動
4．（2023· 1上海金山·二模）如圖，4圓弧型管道 MN 置于水平面上，一光滑小球從管道 M 端進入，它
從出口 N 離開后的運動軌跡是（　　）
A．a(chǎn) B．b C．c D．d
5．2022 年 11 月第十四屆航天博覽會在珠海盛大開幕，在開幕式上殲擊機進行了華麗的表演，如圖
所示，其軌跡為曲線，設(shè)飛行路徑在同一個豎直面內(nèi)，則下列說法中正確的是（　　）
A．殲擊機在豎直方向上的加速度有可能豎直向下
B．殲擊機處于超重狀態(tài)
C．地球?qū)灀魴C引力大于殲擊機對地球的引力
D．殲擊機的速度有可能不變
6．如圖所示，這是質(zhì)點只在重力作用下所做的曲線運動軌跡的示意圖，已知 B 為軌跡的最高點，則
下列說法正確的是（　　）
A．質(zhì)點在 B 點時的加速度方向與速度方向不垂直
B．質(zhì)點在 A 點時的加速度比在 B 點時的加速度小
C．質(zhì)點在 C 點時的速率大于在 B 點時的速率
D．質(zhì)點從 A 點到 C 點，加速度方向與速度方向的夾角先減小后增大，速度先增大后減小
7．（2024·遼寧·一模）如圖所示，平靜的湖面上一龍舟正以 1 = 40m/s的速度向東行駛，另一小摩托
艇正以 2 = 30m/s的速度向南行駛，則此時摩托艇駕駛員看到的龍舟行駛速度 的大小和方向為
（　　）（sin37° = 0.6，cos37° = 0.8）
A． = 40m/s，向東行駛
B． = 30m/s，向北行駛
C． = 50m/s，向東偏北37°方向行駛
D． = 50m/s，向西偏南37°方向行駛
8．（2023·海南·一模）一條兩岸平直的寬為 d 的小河如圖所示，河水流速恒定。一人駕駛小船從上游
渡口 A 前往下游渡口 B。已知全程船在靜水中的速度大小恒定，船在靜水中的速度大小與河水流速
大小之比為 3:1，行駛中船頭始終垂直河岸，則 A、B 兩渡口沿河岸方向的距離為（　　）
A． 2 B 3．
2 3
C． 2 D． 3
9．（2024·遼寧葫蘆島·一模）在廣東珠海舉行的第十四屆中國國際航空航天博覽會上，身披七彩祥云
的“殲-20”驚艷亮相珠海上空。在起飛一段時間內(nèi)，“殲-20”水平方向做勻速直線運動，豎直向上運動
的 2 圖像如圖所示，則地面上觀眾看到的“殲-20”運動軌跡正確的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024·全國·二模）游泳是人們很喜愛的運動之一。如圖，某游泳運動員在河中的 點發(fā)現(xiàn)正下
游 處有一半徑為 = 5m的旋渦，當(dāng)時水流速度為3m/s. 點與 點的距離 = 15m，該運動員為了能
避開旋渦沿直線到達安全地帶，其在靜水中的速度至少為（　　）
A 3 3． m/s B．1m/s C．2m/s D 3 3． m/s
2 4
11．如圖所示，消防員正在寬度為 d=100m，河水流速為 1 = 5m/s的河流中進行水上救援演練，可
視為質(zhì)點的沖鋒舟距離下游危險區(qū)的距離為 x=75m，其在靜水中的速度為 v2，則（　　）
A．若沖鋒舟以在靜水中的初速度為零，船頭垂直于岸的加速度為 a=0.9m/s 勻加速沖向?qū)Π叮?br/>則能安全到達對岸
B．為了使沖鋒舟能安全到達河對岸，沖鋒舟在靜水中的速度 v2不得小于 3m/s
C．若沖鋒舟船頭與河岸夾角為 30°斜向上游且以速度 2 = 10m/s勻速航行，則恰能到達正對岸
D．沖鋒舟勻速航行恰能安全到達對岸所用的時間 t=25s
12．（2023·河北滄州·一模）如圖甲所示為雜技演員正在表演“巧蹬方桌”。某一小段時間內(nèi)，表演者
讓方桌在腳上飛速旋轉(zhuǎn)，同時完成“拋”“接”“騰空”等動作技巧。演員所用方桌（如圖乙所示）桌面
是邊長為 1m 的正方形，桌子繞垂直于桌面的中心軸線 ′做勻速圓周運動，轉(zhuǎn)速約為 2r/s，某時刻
演員用力將桌子豎直向上蹬出，桌子邊水平旋轉(zhuǎn)邊向上運動，上升的最大高度約為 0.8m。已知重力
加速度 取10m/s2，則桌子離開演員腳的瞬間，桌角 點的速度大小約為（　　）
A．4m/s B．4 m/s
C． 16 + 8 2m/s D． 16 + 16 2m/s
13．質(zhì)量為 m 的物體 P 置于傾角為 θ1，的固定光滑斜面上，輕質(zhì)細繩跨過光滑定滑輪分別連接著 P
與小車，P 與滑輪間的細繩平行于斜面，小車以速率 v 水平向右做勻速直線運動。已知重力加速度
為 g。當(dāng)小車和滑輪間的細繩與水平方向成 θ2夾角時（如圖所示），下列判斷正確的是（ ）
A．P 的速率為 vcosθ1
B．P 的速率為 vsinθ1
C．運動過程中 P 處于超重狀態(tài)
D．繩的拉力始終等于 mgsinθ1
14．如圖是內(nèi)燃機中一種傳動裝置，車輪和滑塊上分別設(shè)置可以繞軸 A、B 轉(zhuǎn)動的輕桿，O 軸固定。
工作時高壓氣體驅(qū)動活塞在汽缸中做往復(fù)運動，再通過連桿驅(qū)動滑塊在斜槽中做往復(fù)運動，最終驅(qū)
動車輪做角速度為 ω 的勻速圓周運動。已知輕桿 OA 長度為 L，運動到圖示位置時 AB、BC 垂直，
= = 60°，那么此時活塞的速度大小為（　　）
A 1．2 B
3
．2 C
3 D 3． ．
2 3
15．（2023·廣東茂名·一模）如圖所示，一根長為 L 的直桿一端抵在墻角，一端倚靠在物塊的光滑豎
直側(cè)壁上，物塊向左以速度大小 v 運動時，直桿繞 O 點做圓周運動且始終與物塊間有彈力。當(dāng)直桿
與水平方向的夾角為 時，則（　　）
A．A 點速度大小也為 v B．A 點速度大小與 有關(guān)
C．A 點速度方向與 無關(guān) D．A 點速度方向與 OA 成 角
16．在一次雜技表演中，表演者頂著一豎直桿沿水平地面運動，其位移—時間圖像（ — 圖像）如
圖甲所示。與此同時猴子沿豎直桿向上運動，如圖乙所示，其沿豎直方向的速度—時間圖像（ —
圖像）如圖丙所示，若以地面為參考系，下列說法正確的是（　　）
A．猴子的運動軌跡為直線
B． = 0時猴子的速度大小為 8m/s
C．猴子在前 2s 內(nèi)的加速度大小為4m/s2
D．猴子在前 2s 內(nèi)運動的位移大小為 16m
二、多選題
17．（2019·陜西寶雞·三模）一科研團隊在某次空氣動力學(xué)實驗中，通過傳感器得到研究對象做勻變
速曲線運動的軌跡如圖所示，且質(zhì)點運動到最低點 時速度方向與加速度方向恰好互相垂直，則質(zhì)點
從 點運動到 點的過程中，下列說法中正確的是（　　）
A．質(zhì)點的速率先減小后增大
B．質(zhì)點的速率先增大后減小
C．在任意1s內(nèi)，質(zhì)點速度改變的大小相同、方向豎直向上
D．在任意1s內(nèi)，質(zhì)點速度改變的大小相同、方向水平向右
18．（2023·天津和平·一模）2023 年春季，和平區(qū)五大道的海棠花競相綻放，綿延上千米的美景，吸
引無數(shù)游人紛至沓來，成為春日津城最紅打卡地。電視臺攝制組為了拍到更廣、更美的景色，采用
了無人機拍攝的方法。現(xiàn)通過傳感器將某臺無人機上升向前拍攝的飛行過程轉(zhuǎn)化為豎直向上的速度
vy及水平方向速度 vx與飛行時間 t 的關(guān)系圖象，如圖甲、乙所示。圖乙中 t2-t3段圖象平行于 t 軸，
則下列說法正確的是（　　）
A．無人機在 t1時刻處于超重狀態(tài)
B．無人機在 0~t2這段時間內(nèi)沿直線飛行
C．無人機在 t2時刻上升至最高點
D．無人機在 t2~t3時間內(nèi)做勻變速運動
19．（2024·廣東佛山·二模）如圖所示，在一條玻璃生產(chǎn)線上，寬 3m 的待切割玻璃板以 0.4m/s 的速
度向前勻速平移。在切割工序處，金剛石切割刀的移動速度為 0.5m/s，下列說法正確的是（　　）
A．切割一塊矩形玻璃需要 10s
B．切割得到的矩形玻璃長為 2.4m
C．切割刀的移動軌跡與玻璃板平移方向夾角為 37°，可使割下的玻璃板呈矩形
D．切割刀的移動軌跡與玻璃板平移方向夾角為 143°，可使割下的玻璃板呈矩形
20．如圖所示，河寬為 d，河水的流速 水恒定、船在靜水中的速度 靜的大小不變，船從河岸的 A 點
沿虛線軌跡運動，勻速到達河對岸的 B 點， 水、 靜與虛線的夾角分別為 、 ，下列說法正確的是
（　　）
A．船的實際運行速度為 = 水cos + 靜cos
B．船的實際運行速度 = 水sin + 靜sin
C．渡河時間與河水的流速 水有關(guān)
D 2 3 ．當(dāng) + = 60°時，渡河的時間為 3 靜第 11 講　曲線運動及運動的合成與分解
——劃重點之精細講義系列
考點 1 物體做曲線運動的條件與軌跡分析
考點 2 運動的合成與分解的應(yīng)用
考點 3 小船渡河問題
考點 4 關(guān)聯(lián)速度問題
考點 1：物體做曲線運動的條件與軌跡分析
1．曲線運動
運動軌跡是曲線的運動叫做曲線運動。
（1）速度的方向：質(zhì)點在某一點的速度方向，沿曲線在這一點的切線方向。
（2）運動的性質(zhì)：
（3）直線運動和曲線運動的條件及分類
2．合力、速度、軌跡
（1）合力方向與軌跡的關(guān)系：合力的方向總是指向軌跡的“凹”側(cè)。曲線運動軌跡始終夾在合
力方向與速度方向之間，速度方向與軌跡相切，而且向合力的方向彎曲，但是特別注意速度的方向
只會向著合外力方向趨近，而不可能趨近到與合外力方向相同。
（2）合力、速度、軌跡之間的關(guān)系：做曲線運動的物體，其速度方向與運動軌跡相切，所受的
合力方向與速度方向不在同一條直線上，合力改變物體的運動狀態(tài)，據(jù)此可以判斷：
①已知運動軌跡，可以判斷合力的大致方向在軌跡的包圍區(qū)間（凹側(cè)），如圖所示。
②運動軌跡在速度方向與合力方向所夾的區(qū)間，根據(jù)受力方向和速度方向可以判斷軌跡的大致
彎曲方向。
③根據(jù)合力方向與速度方向的夾角，判斷物體的速率變化情況：夾角為銳角時，速率變大；夾
角為鈍角時，速率變小；合力方向與速度方向垂直時，速率不變，這是勻速圓周運動的受力條件。
【考向 1】下列說法正確的是（　　）
A．在恒力作用下，物體不可能做曲線運動
B．兩個勻變速直線運動的合運動一定是勻變速直線運動
C．做曲線運動的物體，速度可能不變，加速度一定不斷地改變
D．力與速度方向的夾角為銳角時，物體做加速曲線運動
【答案】D
【詳解】A．在恒力作用下，物體可能做曲線運動，例如平拋運動，故 A 錯誤；
B．若兩勻變速直線運動的合速度的方向與合加速度的方向不在同一條直線上，物體做曲線運動，
故 B 錯誤；
C．做曲線運動的物體，加速度不為零，速度一定變化，加速度可能不變，故 C 錯誤；
D．當(dāng)力與速度方向的夾角為銳角時，根據(jù)曲線運動的條件可知物體做曲線運動，同時力與速度方
向的夾角為銳角，力對物體做正功，物體的速度逐漸增大，故 D 正確。
故選 D。
【考向 2】如圖所示，一個劈形物體 A，各面均光滑，放在固定的斜面上，上表面呈水平，在水平
面上放一個小球 B，劈形物體從靜止開始釋放，則小球在碰到斜面前的運動軌跡是（　　）
A．沿斜面向下的直線
B．豎直向下的直線
C．可能為圖中箭頭所示的直線
D．為一曲線
【答案】B
【詳解】梯形物體 A 釋放前，小球受到重力和支持力，兩力平衡；梯形物體 A 釋放后，由于梯形物
體 A 各面光滑，則小球水平方向不受力，根據(jù)牛頓第一定律知，小球在水平方向的狀態(tài)不改變，即
仍保持靜止?fàn)顟B(tài)，而豎直方向上梯形物體 A 對 B 的支持力將小于小球的重力，小球?qū)⒀刎Q直方向做
加速運動，所以小球在碰到斜面前的運動是豎直向下的加速運動，其運動軌跡是豎直向下的直線。
故選 B。
【考向 3】（2024·浙江·一模）如圖所示，某運動員主罰任意球時，踢出快速旋轉(zhuǎn)的“落葉球”，則“落
葉球”（ ）
A．在空中的運動軌跡是對稱的 B．運動到最高點時速度為零
C．相比正常軌跡的球，下落更快 D．在最高點時加速度方向一定豎直向下
【答案】C
【詳解】A．落葉球被踢出后還在快速旋轉(zhuǎn)，在空氣作用力的影響下，軌跡不對稱，故 A 錯誤；
B．落葉球運動到最高點時，速度方向沿軌跡切線方向，速度不為零，故 B 錯誤；
C．落葉球下落更快是因為在運動過程中還受到了指向曲線軌跡內(nèi)側(cè)的空氣作用力，故 C 正確；
D．落葉球在最高點時還受到空氣作用力，因此加速度方向一定不是豎直向下，故 D 錯誤。
故選 C。
【考向 4】如圖所示為質(zhì)點做勻變速曲線運動軌跡的示意圖，且質(zhì)點運動到 D 點時速度方向與加速
度方向恰好互相垂直，則質(zhì)點從 A 點運動到 E 點的過程中，下列說法中正確的是（　　）
A．質(zhì)點經(jīng)過 C 點的速率比 D 點的大
B．質(zhì)點經(jīng)過 A 點時的加速度方向與速度方向的夾角小于 90°
C．質(zhì)點經(jīng)過 D 點時的加速度比 B 點的大
D．質(zhì)點從 B 到 E 的過程中加速度方向與速度方向的夾角先增大后減小
【答案】A
【詳解】A．由題意，質(zhì)點運動到 D 點時速度方向與加速度方向恰好互相垂直，速度沿 D 點軌跡的
切線方向，則知加速度斜向左上方，合外力也斜向左上方，質(zhì)點做勻變速曲線運動，合外力恒定不
變，質(zhì)點由 C 到 D 過程中，合外力做負功，由動能定理可得，C 點的速率比 D 點速率大。故 A 正
確；
B．質(zhì)點經(jīng)過 A 點時的加速度方向斜向左上，速度方向為該點切線方向即右下，可知二者夾角大于
90°。故 B 錯誤；
C．質(zhì)點做勻變速曲線運動，則加速度不變，所以質(zhì)點經(jīng)過 D 點時的加速度與 B 點相同。故 C 錯誤；
D．由圖可知，質(zhì)點從 B 到 E 的過程中速度方向由斜向右下逐漸變?yōu)樾毕蛴疑希醇铀俣确较蚺c速
度方向的夾角一直減小。故 D 錯誤。
故選 A。
【考向 5】（多選）（2024·海南·一模）如圖是“玉兔二號”巡視探測器在月球背面執(zhí)行任務(wù)時的軌跡照
片， 段為曲線，對沿 段運動的探測器，下列說法正確的是（　　）
A．速度的方向在不斷變化 B．所受合力為 0
C．加速度一定不為 0 D．一定做勻變速曲線運動
【答案】AC
【詳解】ABC．做曲線運動的探測器速度的方向不斷變化，所受合力一定不為 0，加速度一定不為
0，故 AC 正確，B 錯誤；
D．由于不知道所受合外力是否恒定，因此加速度可能不斷變化，可能做變加速曲線運動，故 D 錯
誤。
故選 AC。
考點 2：運動的合成與分解的應(yīng)用
1．合運動與分運動的關(guān)系
等時性 分運動與合運動經(jīng)歷時間相等（不同時運動不能合成）
獨立性 一個物體同時參與幾個分運動時，各分運動獨立進行，互不影響，此為運動的獨立性原理
等效性 各分運動疊加起來與合運動有完全相同的效果
同體性 各分運動與合運動是指同一物體參與的分運動和實際發(fā)生的運動
2．運動的合成與分解的運算法則
（1）原則：根據(jù)運動的實際效果分解，也可采用正交分解。
（2）運動的分解優(yōu)點：將不易研究的復(fù)雜曲線運動分解為簡單的熟悉的直線運動。
（3）分解實際運動
物體（或物體上某點）的實際運動為合運動，即以地面為參考系的運動，只分解實際運動。看
物體同時參與了哪兩種運動，而后確定分解的方向再進行分解。
3．合運動性質(zhì)的判斷
4．兩個直線運動的合運動性質(zhì)的判斷
分運動的性質(zhì) 合運動的性質(zhì)
兩個分運動均為勻速 ①當(dāng)兩個分速度 v1、v2等大反向時，合速度 v=0，保持靜止
直線運動 ②其他情況時，合速度大小、方向均不變，物體做勻速直線運動
一個分運動為勻速直
①v0與 a 共線時，物體做勻變速直線運動
線運動，另一個分運
②v0與 a 不共線時，物體做勻變速曲線運動
動為勻變速直線運動
①v、a 共線時，物體做勻變速直線運動（含 v=0）
②v、a 不共線時，物體做勻變速曲線運動
兩個分運動均為勻變
速直線運動
(1)合運動的速度大小不一定比每一個分運動的速度都大。
(2)兩個分運動的時間一定與它們合運動的時間相等。
【考向 6】如圖所示，一小球置于光滑水平桌面上，某時刻起受一水平恒力的作用開始運動，先后
經(jīng)過 a、b 兩點，速度方向偏轉(zhuǎn)90°。已知經(jīng)過 a 點的速度大小為 v、方向與 ab 連線夾角為30°，ab
連線長度為 L。對小球從 a 到 b 的運動過程，下列說法正確的是（ ）
A．小球在 b 點的速度為 3
B 3 ．所用的時間為
2
2
C 2 ．恒力大小為 3
D．若僅改變小球在 a 點的速度大小，小球下一次經(jīng)過 ab 連線時的速度偏轉(zhuǎn)角也發(fā)生變化
【答案】C
【詳解】AB．將恒力 F 分解為水平分力 1和豎直分力 2，從 a 到 b，水平分速度減為零，根據(jù)勻變
速規(guī)律：

cos30° = 2
解得
3
=
豎直方向與水平方向運動時間相等．根據(jù)勻變速規(guī)律

sin30° = 2
解得
3
= 3
故 AB 錯誤；
C．根據(jù)牛頓第二定律，水平方向
3 2
1 = 1 = = 3
豎直方向
2
2 = 2 =

= 3
小球受到的恒力
2 2
= 2 21 + 2 = 3
故 C 正確；
D．a(chǎn) 點速度變化，但恒力不變，小球水平和豎直方向的加速度不變
1: 2 = 3:1
當(dāng)小球水平速度減為零時

= 1
2
= 2 1
此時豎直位移
1
= 2
3
2 2 = 3
即小球在 ab 連線上某個位置，此時小球水平速度減為零，只有豎直方向速度，即速度的偏轉(zhuǎn)角仍是
90°，故 D 錯誤。
故選 C。
【考向 7】兩個相同的正方形鐵絲框按圖所示放置，它們沿對角線方向分別以速度 v 和 2v 向兩邊運
動，則兩線框的交點 M 的運動速度大小為（　　）
A 3 2 B 10 C 6． ． ． D． 2
2 2 2 2
【答案】B
【詳解】若右框不動，左框以速度 v 向左運動，則交點 M 沿框邊滑行的速度為
2
1 = cos45° = 2
若左框不動，右框以速度 2v 向右運動，則交點 M 沿框邊滑行的速度為
2 = 2 cos45° = 2
當(dāng)左右兩框同時運動時，相當(dāng)于交點同時參加上述兩種運動，如圖所示
因此其速度為
1 10
2 2 = 1 + 2 = 2
2 + 2 2 = 2
故選 B。
【考向 8】（多選）某小組同學(xué)用如圖所示的裝置研究運動合成規(guī)律，長方體物塊上固定一長為 的
豎直桿，物塊及桿的總質(zhì)量為2 ，質(zhì)量為 的小環(huán)套在桿上，當(dāng)小環(huán)從桿頂端由靜止下滑時（忽略
小環(huán)與桿的摩擦力），物塊在水平拉力的作用下，從靜止開始沿光滑水平面向右勻加速運動，小環(huán)落
至桿底端時，物塊移動的距離為2 ，重力加速度大小為 ，則小環(huán)從頂端下落到底端的過程中（　　）
A．小環(huán)通過的路程為2
B 2 ．小環(huán)落到底部的時間為

C．水平拉力大小為3
D．小環(huán)受到桿的作用力大小為2
【答案】BD
【詳解】A．小環(huán)從頂端下落到底端的過程中，水平位移為 2L，所以路程大于 2L，故 A 錯誤；
B．豎直方向上
1
= 2
2
解得
2
=
故 B 正確；
C．水平方向上
1
2 = 22 3
解得
= 6
故 C 錯誤；
D．小環(huán)受到桿的作用力大小為
′ = = 2
故 D 正確。
故選 BD。
【考向 9】（多選）質(zhì)量為0.2kg的物體在水平面上運動，其兩個正交分速度隨時間的變化圖像如圖所
示，則（ ）
A．0~6s 內(nèi)物體始終做曲線運動
B．0~4s 內(nèi)物體的位移大小為8 2m
C．0~4s 內(nèi)物體做曲線運動，4s 末物體的速度與加速度方向相反
D．0~4s 內(nèi)物體做直線運動，4~6s 內(nèi)物體做曲線運動
【答案】BC
【詳解】A CD．開始時物體初速度方向為 x 方向，加速度方向為 y 方向，兩者不在一條直線上，所
以物體做曲線運動。由圖像可知，4s—6s 內(nèi)加速度分別為
Δ
=
2 2 2
Δ = 2 m/s = 1m/s
Δ 4
= Δ = 2 m/s
2= 2m/s2
4s 末物體的速度方向與 x 正方向夾角的正切值

tan = = 2
加速度方向與 x 負方向夾角的正切值

tan = = 2
所以速度方向與加速度方向方向相反，所以物體要做直線運動，故 AD 錯誤，C 正確；
B．圖像與時間軸圍成的面積為物體運動的位移，開始 4s 內(nèi)物體 x 方向位移 8m，y 方向位移 8m，
所以開始 4s 內(nèi)物體的位移為
= 82 + 82m = 8 2m
故 B 正確。
故選 BC。
【考向 10】（多選）一物體在如圖甲所示的 平面上運動，其 方向的 圖像如圖乙所示， 方
1
向的軌跡方為： = 22 2 + 3(m)，已知 = 0時物體的位置坐標為(1m,3m)，下列說法正確的是
（ ）
A． = 0時，物體的速度大小為 13m/s
B． = 2s時，物體的位置坐標為(8m,1m)
C．前2s物體在 方向的加速度越來越小
D．物體在前2s做加速度大小 = 2m/s2的曲線運動
【答案】AD
【詳解】C．對比勻變速直線運動的位移公式
1
= 0 + 22
與題干中的軌跡方程
1
= 22 2 + 3(m)
可知
0 = 2m/s， = lm/s2
則前 2s 物體 y 方向的加速度恒定不變，故 C 錯誤；
A．由圖乙可知 = 0時刻
= 3m/s
所以物體的速度即合速度大小為
= 2 + 0 2 = (3m/s)2+(2m/s)2= 13m/s
故 A 正確；
B．在 圖像中，圖線與橫軸圍成的面積表示 x 方向的位移，則 = 2s內(nèi)物體的位移
3 + 5
= 2 2m = 8m
由于已知 = 0時物體的位置坐標為(1m,3m)，則 = 2s時，x 軸坐標為
= 1m+8m=9m = 2s時，y 軸坐標為
1
= 22 2 + 3(m) = 1m
此時物體的位置坐標為(9m,1m)，故 B 錯誤；
D．前2s物體在 x 方向的加速度為
Δ
2 = Δ = lm/s
則物體在前2s的合加速度大小為
= 2 + 2 = 2m/s2
由幾何關(guān)系可知合初速度與合加速度不共線，故物體在 2s 內(nèi)做加速度大小 = 2m/s2的曲線運動，
故 D 正確。
故選 AD。
考點 3：小船渡河問題
1．模型構(gòu)建
在運動的合成與分解問題中，兩個勻速直線運動的合運動仍是勻速直線運動，其中一個速度大
小和方向都不變，另一個速度大小不變，方向在 180°范圍內(nèi)(在速度不變的分運動所在直線的一側(cè))
變化．我們對合運動或分運動的速度、時間、位移等問題進行研究．這樣的運動系統(tǒng)可看作“小船
渡河模型”。
2．模型特點
（1）兩個運動：船的實際運動是水流的運動和船相對靜水的運動的合運動。
（2）三種速度：船在靜水中的速度 v 船、水的流速 v 水、船的實際速度 v 合。
（3）三種情景
3．求解小船渡河問題的 3 點注意
（1）解決小船渡河問題的關(guān)鍵是：正確區(qū)分分運動和合運動，船的航行方向也就是船頭所指方
向的運動，是分運動；船的運動方向是船的實際運動方向，是合運動，一般情況下與船頭指向不一
致。
（2）渡河時間只與船垂直于河岸方向的分速度有關(guān)，與水流速度無關(guān)。
（3）船渡河位移的最小值與 v 船和 v 水的大小關(guān)系有關(guān)，v 船>v 水時，河寬即為最小位移；v 船時，應(yīng)利用圖解法求極值的方法處理。
【考向 11】（2023·陜西商洛·一模）一只小船過河，河中水流速度各處相同且恒定，小船的初速度大
小為 v、方向垂直于平直河岸，小船在河中的運動軌跡如圖中虛線所示，其中虛線 AB 為直線。小船
相對于水面分別做勻加速運動、勻減速運動、勻速運動。由此可以確定（　　）
A．船沿 AB 軌跡運動時，相對于靜水做勻加速直線運動
B．船沿 AC 軌跡過河所用的時間最短
C．船沿三條不同路徑渡河的時間相同
D．船沿 AD 軌跡到達對岸前瞬間的速度最大
【答案】B
【詳解】A．由于水的流速恒定，當(dāng)船相對于水面做勻速運動時，船的運動軌跡是一條直線，若船
相對于水面做勻變速運動，船的加速度方向與 0方向相同或者相反，但一定指向軌跡的凹側(cè)，則船
沿 AC 軌跡運動時做勻加速運動，沿 AD 軌跡運動時做勻減速運動，A 項錯誤；
BC．三種運動中的船頭均垂直河岸，渡河時間取決于船相對于靜水的速度，則船沿 AC 軌跡過河時
所用時間最短，B 項正確，C 項錯誤；
D．船到達對岸時的速度由水流速度與船相對于水的速度合成，可知船沿 AC 軌跡過河時到達對岸的
速度最大，D 項錯誤。
故選 B。
【考向 12】解放軍某部在某次登島演習(xí)過程中，要渡過一條寬度為 d 的小河。現(xiàn)有甲、乙兩個戰(zhàn)斗
小組分別乘兩只小船渡河，船頭朝向如圖所示，渡河時兩小船船頭與河岸夾角都是 θ 角，兩船在靜
水中的速率都為 v，水流速率為 v0，此時甲船恰好能到小河正對岸的 A 點，則（ ）
A ．甲船渡河時間為 cos
B．乙船比甲船更早到達對岸
C ．靠岸時兩船間距增大了 sin ( cos + 0)
D．如果河水流速增大，甲船不改變船頭方向也能到達 A 點
【答案】C
【詳解】AB．將小船的運動分解為平行于河岸和垂直于河岸兩個方向，根據(jù)分運動和合運動具有等
時性，可知甲、乙兩船到達對岸的時間均為

= sin
故兩船同時到達對岸，故 AB 錯誤；
C．靠岸時兩船間距增大了

= 相對 = ( 0 + cos ) sin
故 C 正確；
D．水流速率為 v0，此時甲船恰好能到小河正對岸的 A 點，則
cos = 0
故如果河水流速增大，要使甲船到達 A 點，小船船頭與河岸夾角應(yīng)減小，故 D 錯誤。
故選 C。
【考向 13】（多選）如圖所示，河的寬度為 d，水速恒定，甲、乙兩船以大小相同的速度（相對靜水）
同時開始渡河。出發(fā)時兩船相距 2d，甲、乙船頭與河岸的夾角均為45°，且乙船恰好能直達正對岸
的 A 點。下列說法正確的是（ ）
A．甲船正好也在 A 點靠岸 B．甲船在 A 點的左側(cè)靠岸
C．甲、乙兩船可能在未到達對岸前相遇 D．甲、乙兩船到達對岸的時間相等
【答案】AD
【詳解】ABC．由于乙船在 A 點靠岸，則速度分解如圖
2
水 = cos45° = 2
渡河時間
2
= sin45° =
甲船沿河流方向的合速度為
′ = 2 水 = 2
甲船沿河岸方向位移
2
= ′ = 2 = 2
即甲船恰好在 A 點上岸，A 正確，BC 錯誤；
D．由于甲、乙兩船在靜水中速度相等，且都以船頭與河岸夾角為 45°角的方式渡河，分解到垂直河
岸方向的分速度相等，因此渡河時間相等，D 正確。
故選 AD。
【考向 14】如圖所示，小船從河岸的 O 點沿虛線勻速運動到河對岸的 P 點，河水的流速 水、船在
靜水中的速度 靜與虛線的夾角分別為 、 。河寬為 d，且 靜、 水的大小不變，下列說法正確的是
（　　）
A．渡河時間由 靜、 以及河寬 d 決定
B．當(dāng) + = 45° 2 ，渡河的時間為2 靜
C． 靜、 水在垂直虛線方向的分量等大反向
D．船的實際運行速度 = 水sin + 靜sin
【答案】C
【詳解】A．渡河的時間

= 靜sin( + )
由 靜、 、 、d 幾個量共同決定的，A 錯誤；
B．當(dāng) + = 45°，渡河時間
2
= sin45° =靜 靜
B 錯誤；
C． 水、 靜的合速度即船的實際運行速度，沿虛線所在的方向，把 水、 靜分別沿著虛線和垂直虛
線所在的方向正交分解，則有
水sin = 靜sin
即 靜、 水在垂直虛線方向的分量等大反向，C 正確；
D．船的實際運行速度
= 水cos + 靜cos
D 錯誤。
故選 C。
【考向 15】如圖所示，一條小河河寬 d=60m，水速 v1=3m/s，甲、乙兩船在靜水中的速度均為
v2=4m/s，兩船同時從 A 點出發(fā)，且同時到達對岸，其中甲船恰好到達正對岸的 B 點，乙船到達對岸
的 C 點，則下列說法錯誤的是（ ）
A． = B 60 7．兩船過河時間為 s
7
C．兩船航行的合速度大小不同 D．BC 的距離為 90m
【答案】D
【詳解】A．兩船同時從 A 點出發(fā)，且同時到達對岸，可知兩船在垂直河岸方向的速度大小相等，
則有
2cos = 2cos
可得
=
故 A 正確，不滿足題意要求；
B．甲船恰好垂直到達正對岸的 B 點，根據(jù)速度的合成法則，可知甲船在垂直河岸方向的速度大小
為
= 42 32m/s = 7m/s
則兩船過河時間為
60 60 7
= = s = s 7 7
故 B 正確，不滿足題意要求；
C．根據(jù)速度的合成法則，兩船在靜水中速度大小相等，水流速度也相等，但它們的夾角不同，因此
兩船航行的合速度大小不相同，故 C 正確，不滿足題意要求；
D．因船過河時間為
60 7
= 7 s
而乙船在水流方向的速度大小為
乙 = 1 + 22 2
2
= 3m/s + 42 ( 7) m/s = 6m/s
則 BC 距離為
360 7
= 乙 = 7 m
故 D 錯誤，滿足題意要求。
故選 D。
考點 4：關(guān)聯(lián)速度問題
1．模型特點：用繩、桿相牽連的物體，在運動過程中，其兩物體的速度通常不同，但物體沿繩
或桿方向的速度分量大小相等。
2．原則：v1與 v2的合成遵循平行四邊形定則。
3．解題方法
把物體的實際速度分解為垂直于繩（桿）和平行于繩（桿）兩個分量，根據(jù)沿繩（桿）方向的
分速度大小相等求解。繩繃緊，則其兩端的速度在沿繩方向上的分量相等，即 v1x＝v2x，垂直于繩方
向的分量使繩轉(zhuǎn)動。常見的模型如圖所示。[]
4．繩（桿）牽連物體的分析技巧
（1）解題關(guān)鍵：找出合速度與分速度的關(guān)系是求解關(guān)聯(lián)問題的關(guān)鍵。
（2）基本思路：
①先確定合速度的方向（物體實際運動方向）
②分析合運動所產(chǎn)生的實際效果：一方面使繩或桿伸縮；另一方面使繩或桿轉(zhuǎn)動。
③確定兩個分速度的方向：沿繩或桿方向的分速度和垂直繩或桿方向的分速度，而沿繩或桿方
向的分速度大小相同。
5．解決繩（桿）端速度分解問題的技巧
【考向 16】如圖所示，豎直平面內(nèi)固定一根“L”形足夠長的細桿。a 球套在豎直桿上，b 球套在水平
桿上，a、b 通過鉸鏈用長度為 L 的剛性輕桿連接，a 球向下滑且輕桿與豎直桿夾角為 30°時，a 球與
b 球速度之比為（ ）
A 3 B 3 C 2 D 1． ． ． ．
3 2 3 2
【答案】A
【詳解】因為桿不可伸長或縮短，故 a，b 球沿剛性輕桿的速度相同，將兩球?qū)嶋H速度沿桿和垂直桿
分解，如圖所示
可得
cos30 = cos60 a 球與 b 球速度之比為
3
= 3
故選 A。
【考向 17】如圖所示，輕質(zhì)不可伸長的細繩繞過光滑定滑輪 C 與質(zhì)量為 m 的物體 A 連接，A 放在
傾角為 θ 的光滑斜面上，繩的另一端和套在固定豎直桿上的物體 B 連接。現(xiàn) B、C 連線恰沿水平方
向，從當(dāng)前位置開始 B 以速度 v0勻速下滑。設(shè)繩子的張力為 FT，從此后的運動過程中，下列說法正
確的是（　　）
A．物體 A 做勻速運動 B．物體 A 做減速運動
C．FT 一定大于 mgsinθ D．FT 可能小于 mgsinθ
【答案】C
【詳解】設(shè)連接物體 B 繩子與豎直方向的夾角為 ，將 B 的速度分解為沿繩子方向分速度 1和垂直
繩子方向分速度 2，則有
A = 1 = 0cos
由于 從90°逐漸減小，則cos 逐漸增大， A逐漸增大，物體 A 做加速運動，物體 A 的加速度方向沿
斜面向上，則 FT 一定大于 mgsinθ。
故選 C。
【考向 18】第十一屆全國雜技展演于 2023 年 3 月在山東省舉辦，如圖所示，水平固定的細長桿上
套有一遙控電動小車 P，跨過懸掛于 O 點的輕小光滑圓環(huán)的細線一端連接 P，另一端懸掛一雜技演
員 Q。設(shè)初始時細線的右邊部分與水平方向的夾角為 θ，現(xiàn)在遙控作用下使電動小車 P 開始向左勻
速運動，電動小車和演員均可視為質(zhì)點，不計空氣阻力，下列判斷正確的是（　　）
A．當(dāng) = 90°時，雜技演員 Q 速度為零，處于平衡狀態(tài)
B．當(dāng) = 60°時，P、Q 的速度大小之比是 2∶1
C．在 θ 向 90°增大的過程中，繩子的拉力始終等于演員的重力
D．在 θ 向 90°增大的過程中，演員 Q 一直處于失重狀態(tài)
【答案】B
【詳解】A．當(dāng) = 90°時，即為電動小車 P 到達 O 點正下方時，此時演員 Q 的速度為零，但 Q 的合
外力向上，處于向下減速的末端，此時
T >
故 A 錯誤；
B．由題可知，P、Q 用同一根細線連接，則電動小車 P 沿細線方向的速度與演員 Q 的速度相等，則
當(dāng) = 60°時有
Pcos60° = Q
解得
P: Q = 2:1
故 B 正確；
CD．演員 Q 從開始運動到最低點的過程中，向下做減速運動，加速度向上，處于超重狀態(tài)，繩子的
拉力始終大于演員的重力，故 CD 錯誤。
故選 B。
【考向 19】（多選）一根細繩通過定滑輪且兩端分別系著A和B兩個物體，如圖所示，物體A在外力作
用下，向左以 勻速運動，當(dāng)連A的繩子與水平方向成 角，連B的繩子與水平方向成 角，B物體的
速度為 B，則（　　）
A． A = B B． Acos = Bcos
C．B 物體保持 B不變做勻速運動 D．B 物體的速度越來越大做加速運動
【答案】BD
【詳解】AB．將 A、B 兩物體的速度分解到沿繩方向和垂直繩方向，兩物體沿繩方向分速度大小相
等，則有
Acos = Bcos
故 A 錯誤，B 正確；
CD．由
Acos = Bcos
得

= A
cos
B cos A不變，A 向左運動過程， 減小， 增大，則 B增大，B 做加速運動，故 C 錯誤，D 正
確。
故選 BD。
【考向 20】（多選）如圖所示，一根長為 L 的輕桿 ，O 端用鉸鏈固定，另一端固定著一個小球 A，
輕桿靠在一個高為 h 的物塊上。若物塊與地面摩擦不計，則當(dāng)物塊以速度 v 向右運動至桿與水平方
向夾角為 時，物塊與輕桿的接觸點為 B，下列說法正確的是（　　）
A．A、B 的線速度相同
B．A、B 的角速度相同
sin2C ．輕桿轉(zhuǎn)動的角速度為
D A sin2 ．小球 的線速度大小為
【答案】BC
【詳解】AB．A、B 兩點都在桿上，所以 A、B 的角速度相同，根據(jù)
=
可知 A、B 的線速度大小不相等，故 A 錯誤，B 正確；
CD．此時 B 點的線速度大小為
= sin
則輕桿轉(zhuǎn)動的角速度為
sin sin2 = =
=
sin
小球 A 的線速度大小為
sin2
A = =
故 C 正確，D 錯誤。
故選 BC。
【考向 21】（多選）如圖所示，斯特林發(fā)動機的機械裝置可以將圓周運動轉(zhuǎn)化為直線上的往復(fù)運動。
連桿 AB，OB 可繞圖中 A、B、O 三處的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，連桿 OB 長為 R，連桿 AB 長為 L（ > ），當(dāng)
OB 桿以角速度 ω 逆時針勻速轉(zhuǎn)動時，滑塊在水平橫桿上左右滑動，連桿 AB 與水平方向夾角為 α，
AB 桿與 OB 桿的夾角為 β。在滑塊向左滑動過程中（　　）
A．滑塊 A 從右向左先做加速度減小的加速運動，后做加速度減小的減速運動
B．當(dāng) OB 桿與 OA 垂直時，滑塊的速度大小為
2
C．當(dāng) OB 桿與 OA 垂直時，滑塊的速度大小為
2 2
D．當(dāng) = 90°時，滑塊的速度大小為

【答案】BD
【詳解】A．設(shè)滑塊的水平速度大小為 v，A 點的速度的方向沿水平方向，如圖將 A 點的速度分解
根據(jù)運動的合成與分解可知，沿桿方向的分速度
1=vcosα
B 點做圓周運動，實際速度是圓周運動的線速度，可以分解為沿桿方向的分速度和垂直于桿方向的
分速度，如圖設(shè) B 的線速度為 v′，則
1=v′ cosθ=v′cos(90 β)=v′sinβ
v′=ωR
又二者沿桿方向的分速度是相等的，即
1 = 1
聯(lián)立可得
sin
= cos
在 △ 中，由正弦定理

sin = sin
代入得
= tan
滑塊的速度隨角度 α 變化而不均勻變化，角度 α 先增大后減小，所以滑塊先做加速運動后做減速運
動，根據(jù)運動的對稱性，若滑塊先做加速度減小的加速運動，則減速運動時應(yīng)是加速度增大的減速
運動，故 A 錯誤；
BC．當(dāng) OB 桿與 OA 垂直時，有
+ = 90°
則滑塊的速度為
=
故 C 錯誤，B 正確；
D．當(dāng) = 90°時

tan =
= 2 + 2
由 = tan ，得滑塊的速度大小為
2 + 2
=
D 正確。
故選 BD。
【真題 1】（2023·遼寧·高考真題）某同學(xué)在練習(xí)投籃，籃球在空中的運動軌跡如圖中虛線所示，籃
球所受合力 F 的示意圖可能正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】籃球做曲線運動，所受合力指向運動軌跡的凹側(cè)。
故選 A。
【真題 2】（2021·遼寧·高考真題）1935 年 5 月，紅軍為突破“圍剿”決定強渡大渡河。首支共產(chǎn)黨員
突擊隊冒著槍林彈雨依托僅有的一條小木船堅決強突。若河面寬 300m，水流速度 3m/s，木船相對
靜水速度 1m/s，則突擊隊渡河所需的最短時間為（　　）
A．75s B．95s
C．100s D．300s
【答案】D
【詳解】河寬 = 300m一定，當(dāng)木船船頭垂直河岸時，在河寬方向上的速度最大，渡河用時最短，
即木船相對靜水的速度 = 1m/s，渡河時間最短為
300
min = = 1 s = 300s
故選 D。
【真題 3】（2023·江蘇·高考真題）達·芬奇的手稿中描述了這樣一個實驗：一個罐子在空中沿水平直
線向右做勻加速運動，沿途連續(xù)漏出沙子。若不計空氣阻力，則下列圖中能反映空中沙子排列的幾
何圖形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】罐子在空中沿水平直線向右做勻加速運動，在時間Δ 內(nèi)水平方向增加量 Δ 2，豎直方向做
在自由落體運動，在時間Δ 增加 Δ 2；說明水平方向位移增加量與豎直方向位移增加量比值一定，
則連線的傾角就是一定的。
故選 D。
【真題 4】（2023·浙江·高考真題）圖為“玉兔二號”巡視器在月球上從 O 處行走到 B 處的照片，軌跡
OA 段是直線，AB 段是曲線，巡視器質(zhì)量為 135kg，則巡視器（　　）
A．受到月球的引力為 1350N B．在 AB 段運動時一定有加速度
C．OA 段與 AB 段的平均速度方向相同 D．從 O 到 B 的位移大小等于 OAB 軌跡長度
【答案】B
【詳解】A．在月球上的 g 與地球不同，故質(zhì)量為 135kg 的巡視器受到月球的引力不是 1350N，故 A
錯誤；
B．由于在 AB 段運動時做曲線運動，速度方向一定改變，一定有加速度，故 B 正確；
C．平均速度的方向與位移方向相同，由圖可知 OA 段與 AB 段位移方向不同，故平均速度方向不相
同，故 C 錯誤；
D．根據(jù)位移的定義可知從 O 到 B 的位移大小等于 OB 的連線長度，故 D 錯誤。
故選 B。
一、單選題
1．（2024·陜西寶雞·二模）體育課上兩位同學(xué)在室內(nèi)羽毛球場進行羽毛球比賽，羽毛球在空中上升的
運動軌跡如圖中虛線所示，羽毛球加速度方向示意圖可能正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】AD．羽毛球在空中做曲線運動，可知羽毛球所受合力產(chǎn)生的加速度應(yīng)指向軌跡的凹側(cè)，故
AD 錯誤；
BC．羽毛球處于上升過程，速度在減小，可知所受合力產(chǎn)生的加速度與速度之間的夾角應(yīng)為鈍角，
故 B 錯誤，C 正確。
故選 C。
2．（2023·浙江溫州·一模）越野車在冰原上留下的車轍如圖所示，則越野車轉(zhuǎn)彎做曲線運動過程中
（　　）
A．慣性變大 B．速度不變
C．可能處于平衡狀態(tài) D．所受的合外力一定不為零
【答案】D
【詳解】A．物體的慣性由質(zhì)量決定，質(zhì)量不變，物體的慣性不變，故 A 錯誤；
B．做曲線運動的物體由于速度的方向改變，所以速度一定變化，故 B 錯誤；
CD．由于物體的速度改變，所以加速度不為零，即合外力一定不為零，物體不可能處于平衡狀態(tài)，
故 C 錯誤，D 正確。
故選 D。
3．（2024·山東菏澤·一模）一貨車水平向右勻加速直線運動，沿途從貨車尾部連續(xù)漏出玉米，忽略空
氣阻力，則下列說法正確的是（　　）
A．空中玉米排列成一條豎直的直線 B．空中玉米排列成一條傾斜的直線
C．空中玉米排列成一條曲線 D．玉米在空中做勻變速直線運動
【答案】B
【詳解】玉米從火車尾部漏出后，由于慣性，玉米具有水平方向的初速度，豎直方向都做自由落體
運動。以先漏出的玉米為參照物，后漏出的玉米水平方向和豎直方向都在做勻速直線運動，兩方向
上相等時間都有相等的位移，故玉米粒在空中排列成一條傾斜的直線。
故選 B。
4．（2023· 1上海金山·二模）如圖，4圓弧型管道 MN 置于水平面上，一光滑小球從管道 M 端進入，它
從出口 N 離開后的運動軌跡是（　　）
A．a(chǎn) B．b C．c D．d
【答案】C
【詳解】在曲線運動中速度方向為軌跡的切線方向，由圖可知，在 N 點的速度方向為 c 的方向，因
為小球離開圓弧形軌道后，做勻速直線運動，所以從出口 N 離開后的運動軌跡是 c。
故選 C。
5．2022 年 11 月第十四屆航天博覽會在珠海盛大開幕，在開幕式上殲擊機進行了華麗的表演，如圖
所示，其軌跡為曲線，設(shè)飛行路徑在同一個豎直面內(nèi)，則下列說法中正確的是（　　）
A．殲擊機在豎直方向上的加速度有可能豎直向下
B．殲擊機處于超重狀態(tài)
C．地球?qū)灀魴C引力大于殲擊機對地球的引力
D．殲擊機的速度有可能不變
【答案】B
【詳解】AB．殲擊機受力指向曲線內(nèi)側(cè)，有向上的加速度，處于超重狀態(tài)，故 A 錯誤，B 正確；
C．地球?qū)灀魴C引力與殲擊機對地球的引力是一對相互作用力，大小相等，故 C 錯誤；
D．殲擊機做曲線運動，速度發(fā)生變化，故 D 錯誤。
故選 B。
6．如圖所示，這是質(zhì)點只在重力作用下所做的曲線運動軌跡的示意圖，已知 B 為軌跡的最高點，則
下列說法正確的是（　　）
A．質(zhì)點在 B 點時的加速度方向與速度方向不垂直
B．質(zhì)點在 A 點時的加速度比在 B 點時的加速度小
C．質(zhì)點在 C 點時的速率大于在 B 點時的速率
D．質(zhì)點從 A 點到 C 點，加速度方向與速度方向的夾角先減小后增大，速度先增大后減小
【答案】C
【詳解】AB．質(zhì)點受重力作用做勻變速曲線運動，在最高點 B 時，速度方向水平向右，與重力加速
度的方向垂直，整個過程中重力加速度保持不變，AB 錯誤；
C．質(zhì)點從 B 點運動到 C 點，加速度方向與速度方向夾角小于 90°，因此該過程質(zhì)點的速度增大，所
以質(zhì)點在 C 點時的速率大于在 B 點時的速率，C 正確；
D．質(zhì)點只受重力作用，加速度方向始終豎直向下，質(zhì)點的速度方向沿運動軌跡的切線方向，質(zhì)點
從 A 點到 C 點，加速度方向與速度方向的夾角一直減小；從 A 到 B 的過程中，加速度與速度方向的
夾角大于 90°，質(zhì)點做減速運動，從 B 到 C 的過程中，加速度與速度方向的夾角小于 90°，質(zhì)點做加
速運動，速度增大，因此質(zhì)點從 A 到 C 的過程中，速度先減小后增大，D 錯誤。
故選 C。
7．（2024·遼寧·一模）如圖所示，平靜的湖面上一龍舟正以 1 = 40m/s的速度向東行駛，另一小摩托
艇正以 2 = 30m/s的速度向南行駛，則此時摩托艇駕駛員看到的龍舟行駛速度 的大小和方向為
（　　）（sin37° = 0.6，cos37° = 0.8）
A． = 40m/s，向東行駛
B． = 30m/s，向北行駛
C． = 50m/s，向東偏北37°方向行駛
D． = 50m/s，向西偏南37°方向行駛
【答案】C
【詳解】以摩托艇駕駛員為參照物，龍舟向東偏北方向行駛，速度大小為
= 12 + 22 = 50m/s
夾角滿足
2 3tan = =1 4
解得
= 37°
則此時摩托艇駕駛員看到的龍舟行駛速度 的大小為 50m/s，方向向東偏北37°方向行駛。
故選 C。
8．（2023·海南·一模）一條兩岸平直的寬為 d 的小河如圖所示，河水流速恒定。一人駕駛小船從上游
渡口 A 前往下游渡口 B。已知全程船在靜水中的速度大小恒定，船在靜水中的速度大小與河水流速
大小之比為 3:1，行駛中船頭始終垂直河岸，則 A、B 兩渡口沿河岸方向的距離為（　　）
A 3． 2 B．
2 3
C． 2 D． 3
【答案】B
【詳解】
設(shè)船在靜水中速度為 1、河水流速為 2，船頭垂直河岸，小船實際行駛方向與河岸之間夾角為 ，則

tan = 1 = 32
、 兩渡口沿河岸方向的距離為
3
= tan = 3
故 B 正確。
故選 B。
9．（2024·遼寧葫蘆島·一模）在廣東珠海舉行的第十四屆中國國際航空航天博覽會上，身披七彩祥云
的“殲-20”驚艷亮相珠海上空。在起飛一段時間內(nèi)，“殲-20”水平方向做勻速直線運動，豎直向上運動
的 2 圖像如圖所示，則地面上觀眾看到的“殲-20”運動軌跡正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】根據(jù)題意可知“殲-20”水平方向做勻速直線運動，由圖像可知豎直向上方向做勻速直線運動，
所以合運動為勻速直線運動，其方向為斜向上。
故選 A。
10．（2024·全國·二模）游泳是人們很喜愛的運動之一。如圖，某游泳運動員在河中的 點發(fā)現(xiàn)正下
游 處有一半徑為 = 5m的旋渦，當(dāng)時水流速度為3m/s. 點與 點的距離 = 15m，該運動員為了能
避開旋渦沿直線到達安全地帶，其在靜水中的速度至少為（　　）
A 3 3． m/s B．1m/s C．2m/s D 3 3． m/s
2 4
【答案】B
【詳解】水流速度是定值，只要保證合速度方向指向漩渦危險區(qū)切線方向即可，如圖所示
1
sin = = 3
為了能避開漩渦沿直線到達安全地帶，運動員在靜水中的速度至少是
0 = sin = 1m/s
故選 B。
11．如圖所示，消防員正在寬度為 d=100m，河水流速為 1 = 5m/s的河流中進行水上救援演練，可
視為質(zhì)點的沖鋒舟距離下游危險區(qū)的距離為 x=75m，其在靜水中的速度為 v2，則（　　）
A．若沖鋒舟以在靜水中的初速度為零，船頭垂直于岸的加速度為 a=0.9m/s 勻加速沖向?qū)Π叮?br/>則能安全到達對岸
B．為了使沖鋒舟能安全到達河對岸，沖鋒舟在靜水中的速度 v2不得小于 3m/s
C．若沖鋒舟船頭與河岸夾角為 30°斜向上游且以速度 2 = 10m/s勻速航行，則恰能到達正對岸
D．沖鋒舟勻速航行恰能安全到達對岸所用的時間 t=25s
【答案】A
【詳解】A．沖鋒舟的運動分解為沿船頭與沿水流兩個方向，有
1
= 2
2
解得
20 5
= 3 s
沿水流方向的位移為
100 5
水 = 1 = 3 m <
能安全到達對岸。故 A 正確；
BD．沖鋒舟沿 OP 方向勻速航行恰能安全到達對岸，如圖所示
設(shè)沖鋒舟的合速度與水流速度夾角為 ，則沖鋒舟在靜水中的速度至少應(yīng)為
min = 1 sin
由幾何知識，可得

tan =
聯(lián)立，解得
min = 4 m s
由圖可知
= 2 + 2
沖鋒舟以最小速度勻速航行恰能安全到達對岸所用的時間為
125
2 = = 1 cos 3
s
故 BD 錯誤；
C．若沖鋒舟船頭與河岸夾角為 30°斜向上游且以速度 2 = 10m/s勻速航行，則有
2 cos 30° = 5 3m s > 5 m s
可知沖鋒舟的合速度不指向正對岸，所以不能到達正對岸。故 C 錯誤。
故選 A。
12．（2023·河北滄州·一模）如圖甲所示為雜技演員正在表演“巧蹬方桌”。某一小段時間內(nèi)，表演者
讓方桌在腳上飛速旋轉(zhuǎn)，同時完成“拋”“接”“騰空”等動作技巧。演員所用方桌（如圖乙所示）桌面
是邊長為 1m 的正方形，桌子繞垂直于桌面的中心軸線 ′做勻速圓周運動，轉(zhuǎn)速約為 2r/s，某時刻
演員用力將桌子豎直向上蹬出，桌子邊水平旋轉(zhuǎn)邊向上運動，上升的最大高度約為 0.8m。已知重力
加速度 取10m/s2，則桌子離開演員腳的瞬間，桌角 點的速度大小約為（　　）
A．4m/s B．4 m/s
C． 16 + 8 2m/s D． 16 + 16 2m/s
【答案】C
【詳解】桌子在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，轉(zhuǎn)速約為 2r/s，桌角 點的線速度為
1 = 2
又
2
= 2 m
故
1 = 2 2 m/s
桌子被蹬出瞬間豎直向上的速度為 2，由豎直上拋運動規(guī)律可得 22 = 2 ，解得
2 = 4m/s
則 點的合速度為
= 21 + 22 = 16 + 8 2m/s
故選 C。
13．質(zhì)量為 m 的物體 P 置于傾角為 θ1，的固定光滑斜面上，輕質(zhì)細繩跨過光滑定滑輪分別連接著 P
與小車，P 與滑輪間的細繩平行于斜面，小車以速率 v 水平向右做勻速直線運動。已知重力加速度
為 g。當(dāng)小車和滑輪間的細繩與水平方向成 θ2夾角時（如圖所示），下列判斷正確的是（ ）
A．P 的速率為 vcosθ1
B．P 的速率為 vsinθ1
C．運動過程中 P 處于超重狀態(tài)
D．繩的拉力始終等于 mgsinθ1
【答案】C
【詳解】AB．將小車的速度沿細繩和垂直細繩方向分解，可知當(dāng)小車和滑輪間的細繩與水平方向成
夾角 θ2時，沿細繩方向分速度為 cos 2，由于細繩不可伸長，P 的速率等于小車速度沿繩方向分速
度的大小，則有
P = cos 2
故 AB 錯誤；
CD．小車向右勻速運動過程，P 的速率表達式為
P = cos 2
由于 v 不變，小車和滑輪間的細繩與水平方向的夾角 2逐漸減小，則 P 的速度變大，P 沿斜面向上
做加速運動，P 的加速度方向沿斜面向上，由牛頓第二定律得
sin 1 =
可知繩的拉力大于 sin 1，P 在豎直方向上有向上的加速度分量，處于超重狀態(tài)，故 C 正確，D 錯
誤。
故選 C。
14．如圖是內(nèi)燃機中一種傳動裝置，車輪和滑塊上分別設(shè)置可以繞軸 A、B 轉(zhuǎn)動的輕桿，O 軸固定。
工作時高壓氣體驅(qū)動活塞在汽缸中做往復(fù)運動，再通過連桿驅(qū)動滑塊在斜槽中做往復(fù)運動，最終驅(qū)
動車輪做角速度為 ω 的勻速圓周運動。已知輕桿 OA 長度為 L，運動到圖示位置時 AB、BC 垂直，
= = 60°，那么此時活塞的速度大小為（　　）
A 1．2 B
3 3 3
．2 C． D． 2 3
【答案】B
【詳解】A 點的線速度為
= A 點的線速度沿 AB 水平桿的分速度為
3
′ = sin = 2
滑塊在斜槽中的速度分解為沿 BC 向上和沿 AB 水平向左的分速度，滑塊沿 AB 方向的分速度與 A 點
線速度沿 AB 方向的分速度相等，即
3
= ′ = 2
結(jié)合圖可知活塞的速度等于滑塊在斜槽中沿豎直向上的分速度，所以滑塊在斜槽中豎直向上的分速
度為
3 3
= tan = 2 3 = 2
故選 B。
15．（2023·廣東茂名·一模）如圖所示，一根長為 L 的直桿一端抵在墻角，一端倚靠在物塊的光滑豎
直側(cè)壁上，物塊向左以速度大小 v 運動時，直桿繞 O 點做圓周運動且始終與物塊間有彈力。當(dāng)直桿
與水平方向的夾角為 時，則（　　）
A．A 點速度大小也為 v B．A 點速度大小與 有關(guān)
C．A 點速度方向與 無關(guān) D．A 點速度方向與 OA 成 角
【答案】B
【詳解】直桿與箱子接觸點的實際運動即合運動 vA，方向垂直于桿指向左下方，該速度沿水平方向
上的速度分量等于 v，即
= sin
則

= sin
故選 B。
16．在一次雜技表演中，表演者頂著一豎直桿沿水平地面運動，其位移—時間圖像（ — 圖像）如
圖甲所示。與此同時猴子沿豎直桿向上運動，如圖乙所示，其沿豎直方向的速度—時間圖像（ —
圖像）如圖丙所示，若以地面為參考系，下列說法正確的是（　　）
A．猴子的運動軌跡為直線
B． = 0時猴子的速度大小為 8m/s
C．猴子在前 2s 內(nèi)的加速度大小為4m/s2
D．猴子在前 2s 內(nèi)運動的位移大小為 16m
【答案】C
【詳解】A．由題圖甲、丙知，猴子在水平方向上做速度大小為 4m/s 的勻速直線運動，在豎直方向
上做初速度大小為 8m/s、加速度大小為 4m/s2的勻減速直線運動，分析知合初速度與合加速度方向
不在同一直線上，其合運動為曲線運動，故 A 錯誤；
B．t＝0 時猴子的速度大小為
v0＝ 2 20 + 0 ＝ 42 + 82m/s＝4 5m/s
故 B 錯誤；
C．猴子在前 2s 內(nèi)的加速度大小為 4m/s2，故 C 正確；
D．0～2s 內(nèi)猴子沿水平方向的位移大小為 x0＝8m，沿豎直方向的位移大小為
y 8×20＝ 2 m＝8m
所以猴子在 0～2s 內(nèi)的位移大小為
s＝ 20 + 20＝ 82 + 82m＝8 2m
故 D 錯誤。
故選 C。
二、多選題
17．（2019·陜西寶雞·三模）一科研團隊在某次空氣動力學(xué)實驗中，通過傳感器得到研究對象做勻變
速曲線運動的軌跡如圖所示，且質(zhì)點運動到最低點 時速度方向與加速度方向恰好互相垂直，則質(zhì)點
從 點運動到 點的過程中，下列說法中正確的是（　　）
A．質(zhì)點的速率先減小后增大
B．質(zhì)點的速率先增大后減小
C．在任意1s內(nèi)，質(zhì)點速度改變的大小相同、方向豎直向上
D．在任意1s內(nèi)，質(zhì)點速度改變的大小相同、方向水平向右
【答案】AC
【詳解】AB．依題意，知質(zhì)點做勻變速曲線運動，可知所受合外力恒定，加速度恒定，由于 D 點的
加速度方向豎直向上，則整個運動的任何位置加速度大小恒定，方向均豎直向上；由圖可知沿著切
線方向的瞬時速度與加速度的夾角從鈍角變?yōu)橹苯呛鬄殇J角，則速度先減小后增大，D 點時的速度
最小，故 A 正確，B 錯誤；
CD Δ ．由 = Δ 可得
Δ = Δ
即加速度恒定時，任意 1s 時間內(nèi)速度的變化Δ 均大小相等，方向相同，與加速度方向相同為豎直向
上，故 C 正確，D 錯誤。
故選 AC。
18．（2023·天津和平·一模）2023 年春季，和平區(qū)五大道的海棠花競相綻放，綿延上千米的美景，吸
引無數(shù)游人紛至沓來，成為春日津城最紅打卡地。電視臺攝制組為了拍到更廣、更美的景色，采用
了無人機拍攝的方法。現(xiàn)通過傳感器將某臺無人機上升向前拍攝的飛行過程轉(zhuǎn)化為豎直向上的速度
vy及水平方向速度 vx與飛行時間 t 的關(guān)系圖象，如圖甲、乙所示。圖乙中 t2-t3段圖象平行于 t 軸，
則下列說法正確的是（　　）
A．無人機在 t1時刻處于超重狀態(tài)
B．無人機在 0~t2這段時間內(nèi)沿直線飛行
C．無人機在 t2時刻上升至最高點
D．無人機在 t2~t3時間內(nèi)做勻變速運動
【答案】AD
【詳解】A．由圖像可知，無人機在 t1時刻，豎直方向做勻加速直線運動，水平方向做勻減速直線
運動，無人機有豎直向上的加速度，則可知無人機此刻處于超重狀態(tài)，故 A 正確；
B．由圖像可知，無人機在 0~t2這段時間內(nèi)，豎直方向做勻加速直線運動，水平方向做勻減速直線
運動，那么合加速度方向與初速度方向不共線，所以無人機做曲線運動，即無人機曲線上升，故 B
錯誤；
C．無人機在豎直方向上，先向上做勻加速，后向上做勻減速，直至豎直方向的速度減為零，無人機
才上升至最高點，而 t2時刻是無人機加速向上結(jié)束的時刻，因此 t2時刻無人機并未上升至最高點，
故 C 錯誤；
D．由圖像可知，無人機在 t2~t3時間內(nèi)，豎直方向做勻減速直線運動，水平方向做勻速直線運動，
只有豎直方向有加速度且恒定，因此可知無人機在 t2~t3時間內(nèi)做勻變速運動，故 D 正確。
故選 AD。
19．（2024·廣東佛山·二模）如圖所示，在一條玻璃生產(chǎn)線上，寬 3m 的待切割玻璃板以 0.4m/s 的速
度向前勻速平移。在切割工序處，金剛石切割刀的移動速度為 0.5m/s，下列說法正確的是（　　）
A．切割一塊矩形玻璃需要 10s
B．切割得到的矩形玻璃長為 2.4m
C．切割刀的移動軌跡與玻璃板平移方向夾角為 37°，可使割下的玻璃板呈矩形
D．切割刀的移動軌跡與玻璃板平移方向夾角為 143°，可使割下的玻璃板呈矩形
【答案】AC
【詳解】A．切割一塊玻璃需要的時間為

= = = 10s3 22 21
故 A 正確；
BCD．金剛石切割刀的移動速度 0.5m/s 是割刀對地的速度，切割刀的移動軌跡亦是割刀對地面的相
對軌跡，為使割下的玻璃板呈矩形，則割刀相對玻璃板的速度方向應(yīng)垂直于玻璃板側(cè)邊，如圖所示
則有

cos = 1 = 0.82
解得
= 37°
切割得到的矩形玻璃長為
= 1 = 4m
故 BD 錯誤，C 正確。
故選 AC。
20．如圖所示，河寬為 d，河水的流速 水恒定、船在靜水中的速度 靜的大小不變，船從河岸的 A 點
沿虛線軌跡運動，勻速到達河對岸的 B 點， 水、 靜與虛線的夾角分別為 、 ，下列說法正確的是
（　　）
A．船的實際運行速度為 = 水cos + 靜cos
B．船的實際運行速度 = 水sin + 靜sin
C．渡河時間與河水的流速 水有關(guān)
D．當(dāng) + = 60° 2 3 時，渡河的時間為 3 靜
【答案】AD
【詳解】AB． 水、 靜的合速度即船的實際運行速度為 ，沿虛線所在的方向，把 水、 靜分別沿
著虛線和垂直于虛線所在的方向正交分解，則有
水sin = 靜sin
船的實際運行速度
= 水cos + 靜cos
所以 A 正確；B 錯誤；
C．渡河的時間

= 靜sin( + )
由 靜、 、 、d 幾個量共同決定的，與 水無關(guān)，所以 C 錯誤；
D．當(dāng) + = 60°，渡河時間為
2 3
= 靜sin60°
= 3 靜
所以 D 正確；
故選 AD。

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