資源簡介

第 15 講 萬有引力定律及其應用
——劃重點之精細講義系列
考點 1 開普勒三定律的理解和應用
考點 2 萬有引力定律的理解
考點 3 不能忽略自轉的萬有引力定律的應用
考點 4 忽略自轉的萬有引力定律的應用
考點 1：開普勒三定律的理解和應用
1．內容
定律 內容 圖示
開普勒第 所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的
一定律 一個焦點上
開普勒第 對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內
二定律 掃過相等的面積
所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二
開普勒第
a3
三定律 次方的比值都相等. ＝k，k 是一個與行星無關的常量
T2
2．應用
3.天體運動的處理方法
（1）行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理。
（2）開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛星繞地球的運動。
a3
（3）開普勒第三定律 ＝k 中，k 值只與中心天體的質量有關，不同的中心天體 k 值不同。但該定
T2
律只能用在同一中心天體的兩星體之間。
【考向 1】（2024·江蘇徐州·三模）戰國時期的《甘石星經》最早記載了部分恒星位置和金、木、水、火、
土五顆行星“出沒”的規律。現在我們知道（　　）
A．恒星都是靜止不動的
B．行星繞太陽做圓周運動
C．行星繞太陽運行的速率不變
D．各行星繞太陽運行的周期不同
【考向 2】（2024·河南·一模）若兩顆人造衛星M、N繞地球做勻速圓周運動，M、N到地心的距離之比為
，忽略衛星之間的相互作用。在時間 內，衛星M與地心連線掃過的面積為 M，衛星N與地心連線掃過的
面積為 N，則 M與 N的比值為（　　）
A．1 B 1． C． 2 D．
【考向 3】（2024·山東濟南·三模）2024 年 3 月 20 日，“鵲橋二號”中繼星由長征八號遙三運載火箭在中國
文昌航天發射場成功發射升空。如圖所示，“鵲橋二號”臨近月球時，先在周期為 24 小時的環月大橢圓凍
結軌道Ⅰ上運行一段時間，而后在近月點 變軌，進入周期為 12 小時的環月大橢圓凍結軌道Ⅱ。已知軌道Ⅰ
的近月點 1距離月球表面的高度為 1，遠月點 距離月球表面的高度為 2，月球半徑為 ，3 ≈ 0.6，忽略4
地球引力的影響，則軌道Ⅱ的遠月點 ′距離月球表面的高度為（　　）
A 3 2 2 1 4 B 3 2 2 1 8 ． 5 ． 5
C 3 2 3 1 4 D 3 2 3 1 8 ． 5 ． 5
考點 2：萬有引力定律的理解
1．內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質
量 m1和 m2的乘積成正比，與它們之間距離 r 的平方成反比。
m1m2
2．表達式：F＝G ，G 為引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪許利用扭秤實驗測出。
r2
3．適用條件
（1）公式適用于質點間的相互作用。
（2）質量分布均勻的球體可視為質點，r 是兩球心間的距離。
（3）不能得出：當 → 時，物體 、 間引力 趨于無窮大。因為當 → 時兩個物體無法看做質
點。
4．對萬有引力定律的理解：
萬有引力是普遍存在宇宙中任何兩個有質量的物體間的相互吸引力，它是自然界中的基本
普適性
相互作用之一
兩個物體相互作用的引力是一對作用力和反作用力，它們大小相等，方向相反，分別作用
相互性
在兩個物體上
一般物體間的萬有引力非常小，只有質量巨大的星球間或天體與附近的物體間，它的存在
宏觀性
才有宏觀的物理意義。在微觀世界中，粒子的質量都非常小，萬有引力可以忽略不計
5．萬有引力與重力的關系
GmM
如圖所示，在緯度為 的地表處，物體所受的萬有引力為 F= 。而物體隨地球一起繞地軸自
R 2
轉所需的向心力為 F 向=mRcos ·ω2，方向垂直于地軸指向地軸，這是物體所受到的萬有引力的一個分力
充當的，而萬有引力的另一個分力就是通常所說的重力 mg，嚴格地說：除了在地球的兩個極點處，地球
表面處的物體所受的重力并不等于萬有引力，而只是萬有引力的一個分力。
越靠近南北兩極 g 值越大，由于物體隨地球自轉所需的向心力較小，常認為萬有引力近似等于重力，
GMm
即 = mg。
R2
6.萬有引力應用的解題思路
7．解決天體(衛星)運動問題的基本思路
(1)天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即
Mm v2 4π2r
G ＝man＝m ＝mω2r＝mr2 r T2
Mm
(2)在中心天體表面或附近運動時，萬有引力近似等于重力，即 G ＝mg(g 表示天體表面的重力加
R2
速度)．
8．天體質量和密度的計算
(1)利用天體表面的重力加速度 g 和天體半徑 R.
Mm gR2
由于 G ＝mg，故天體質量 M＝ ，
R2 G
M M 3g
天體密度 ρ＝ ＝ ＝ .
V 4πR3 4πGR3
(2)通過觀察衛星繞天體做勻速圓周運動的周期 T 和軌道半徑 r.
Mm 4π2 4π2r3
①由萬有引力等于向心力，即 G ＝m r，得出中心天體質量 M＝ ；
r2 T2 GT2
②若已知天體半徑 R，則天體的平均密度
M M 3πr3
ρ＝ ＝ ＝ ；
V 4 GT2R3πR33
③若天體的衛星在天體表面附近環繞天體運動，可認為其軌道半徑 r 等于天體半徑 R，則天體密度 ρ
3π
＝ .可見，只要測出衛星環繞天體表面運動的周期 T，就可估算出中心天體的密度．
GT2
①利用萬有引力提供天體做圓周運動的向心力估算天體質量時，估算的只是中心天體的質量，并非
環繞天體的質量。
②區別天體半徑 R 和衛星軌道半徑 r，只有在天體表面附近的衛星才有 r≈R；計算天體密度時，V＝
4
πR3中的 R 只能是中心天體的半徑。
3
【考向 4】如圖 1 所示，一半徑為 R、密度均勻的球體，在與球心 O 相距 2R 的 P 處有一質量為 m 的質點，

球體對該質點的萬有引力大小為 F。現從球體中挖去“半徑為2的小球體（球心在 OP 連線上，右端位于 O
點），如圖 2 所示，則剩余部分對該質點的萬有引力大小為（ ）
A 7．8 B
7
．16 C
23 D 23．25 ．50
【考向 5】（2024·河北·三模）2024 年 5 月 3 日，嫦娥六號探測器由長征五號遙八運載火箭在中國文昌航
天發射場成功發射，自此開啟世界首次月球背面采樣返回之旅。若將來宇航員在月球（視為質量分布均
勻的球體）表面以大小為 0的初速度豎直上拋一物體（視為質點），已知引力常量為 G，月球的半徑為 R、
密度為 。物體從剛被拋出到剛落回月球表面的時間為（ ）
2 0 3 0 3 A B C 0
6
D 0．3π ．π ．2π ．π
【考向 6】（2024·湖北黃石·一模）電影中的太空電梯非常吸引人。現假設已經建成了如圖所示的太空電
梯，其通過超級纜繩將地球赤道上的固定基地、同步空間站和配重空間站連接在一起，它們隨地球同步
旋轉。圖中配重空間站比同步空間站更高，P 是纜繩上的一個平臺。則下列說法正確的是（ ）
A．太空電梯上各點加速度與該點離地球球心的距離的平方成反比
B．超級纜繩對 P 平臺的作用力方向背離地心
C．若從配重空間站向外自由釋放一個小物塊，則小物塊會一邊朝配重空間站轉動的方向向前運動一
邊落向地球
D．若兩空間站之間纜繩斷裂，配重空間站將繞地球做橢圓運動，且斷裂處為橢圓的遠地點
【考向 7】（多選）（2024·福建龍巖·三模）如圖所示，嫦娥五號、天問一號探測器分別在近月、近火星軌
道運行。已知火星的質量為月球質量的 9 倍，火星的半徑為月球半徑的 2 倍。假設月球、火星可視為質
量均勻分布的球體，忽略其自轉影響，則下列說法正確的是（　　）
A．月球表面的重力加速度與火星表面的重力加速度之比為 2：3
B．月球的第一宇宙速度與火星的第一宇宙速度之比為 2:3
C．嫦娥五號繞月球轉動的周期與天間一號繞火星轉動的周期之比為3 2:4
D．嫦娥五號繞月球轉動軌道半徑的三次方與周期的平方的比值與天問一號繞火星轉動軌道半徑的三
次方與周期的平方的比值相等
【考向 8】（多選）（2024·湖北黃石·三模）位于貴州的 500 米口徑球面射電望遠鏡，其反射面相當于 30
個足球場的大小，靈敏度達到世界第二大望遠鏡的 2.5 倍以上，大幅拓展了人類的視野。射電望遠鏡觀測
到某行星的衛星 、 繞以其為焦點的橢圓軌道運行， 星的運行周期約為 星的2 2倍， 星軌跡遠點到
行星的距離是軌跡近點的 2 倍， 星軌跡遠點到行星的距離是軌跡近點的 3 倍。假設 、 只受到行星的
引力，則下列敘述正確的是（　　）
A． 星受到行星的引力最大值與最小值之比為4:1
B． 星受到行星的引力始終小于 星
C． 星受到行星的引力最大值與 星受到行星的引力最小值之比為9:2
D． 星軌跡近點到行星的距離小于 星軌跡遠點到行星的距離
考點 3：不能忽略自轉的萬有引力定律的應用
1.不忽略地球自轉的影響，地球對物體的萬有引力 F 表現為兩個效果：一是重力 mg，二是提供物體
隨地球自轉的向心力 F 向，如圖。
Mm
①在赤道上：G ＝mg ＋mω21 R。R2
Mm
②在兩極上：G ＝mg2。R2
Mm
③在一般位置：萬有引力 G 等于重力 mg 與向心力 F 向的矢量和。R2
2.物體在赤道上完全失重的條件
設想地球自轉角速度加快,使赤道上的物體剛好處于完全失重狀態,即 FN = 0,有 mg=mω2R
所以完全失重的臨界條件為(地球半徑 R=6400km)
a=g=9.8m/s2 g 1， rad/s, v gR 7.9km / s R,T 2 5075s 85min
R 808 g
上述結果恰好是近地人造地球衛星的向心加速度、角速度、線速度和周期。
3.地球不因自轉而瓦解的最小密度
地球以 T =24h 的周期自轉,不發生瓦解的條件是赤道上的物體受到的萬有引力大于或等于該物體做
GMm 2
圓周運動所需的向心力,即 2 m( )
2 R
R T
M 4根據質量與密度的關系,有 R3
3
3
所以,地球的密度應為 2 18.9kg / m
3
GT
即最小密度為 ρ 3min=18.9 kg/m 。地球平均密度的公認值為 ρ0=5507.85 kg/m3,足以保證地球處于穩定狀
態。
【考向 9】某行星為質量分布均勻的球體，半徑為 R，質量為 M。科研人員研究同一物體在該行星上的重
力時，發現物體在“兩極”處的重力為“赤道”上某處重力的 1.2 倍。已知引力常量為 G，則該行星自轉的角
速度為（ ）
A 5 ． B． C． D．
6 3 12 3 6 3 3
【考向 9】“FAST 精細刻畫活躍重復快速射電暴”入選 2022 年度中國科學十大進展，這些快速射電暴極
有可能處在超新星遺跡等環境中。假定地球的自轉周期變為5000s時，則地表會缺少引力束縛而解體。
若 FAST 檢測到的周期為1ms的脈沖是由某種星體的自轉所致，即該星的自轉周期為1ms，地球的平均密
度取5.5 × 103kg/m3，則這種星體的密度可能是（　　）
A．5 × 103kg/m3 B．5.5 × 1012kg/m3
C．1.4 × 1015kg/m3 D．1.4 × 1017kg/m3
【考向 10】地球赤道表面上某質量為 m 的人用體重計測量體重，靜止時體重計的示數為 F．已知地球近
地衛星的周期為 1，地球同步衛星的周期為 2．假設地球可視為質量分布均勻的球體，地球的自轉不能
忽略．則可計算出地球的半徑為（ ）
2 2
A 1 2
2
1 2． 24 2 2 2 B．4 2 22 1 1 22
21 2 2 2C 2 ． 2 14 2 21 2 D．2 4 2 21 22
【考向 11】甲、乙兩位同學分別站在地球的南極和赤道上，用大小相等的初速度將一個小球豎直向上拋
出，小球落回手中的時間之比為 k，不計空氣阻力。若已知地球密度為 ρ，引力常量為 G，則乙同學隨地
球自轉的角速度大小為（　　）
A 2 (1 ) B (1 ) ． ．
3 2
C 2 ． D ．
3 2
【考向 12】（多選）組成星球的物質是靠引力吸引在一起的，這樣的星球有一個最大的自轉速率，如果超
出了該速率，星球的萬有引力將不足以維持其赤道附近的物體隨星球做圓周運動。假設地球可視為質量
均勻分布的星球，地球半徑為 R，地球北極表面附近的重力加速度為 g，引力常量為 G，地球質量為 M，
則地球的最大自轉角速度 ω 為（　　）
A 2 B C ． ． ． D．2
3 3
考點 4：忽略自轉的萬有引力定律的應用
由于地球自轉緩慢，向心力很小，所以在一般計算中只要題目不強調自轉不可忽略或者提及赤道兩
極的重力加速度不一樣，則可認為重力近似等于萬有引力，重力方向豎直向下（即指向地心）。
Mm
忽略地球自轉影響，即 mg＝G 。可得：
R2
GM GM g (R r)2
①地球表面重力加速度 g＝ ，距地面高 h 處重力加速度 g′＝ 。有 ＝ 。
R2 (R r)2 g′ R 2
②某深度處的重力加速度：
推論 1 在勻質球殼的空腔內任意位置處，質點受到球殼的萬有引力的合力為零，即 ΣF 引＝0
在勻質球體內部距離球心 r 處的質點（m）受到的萬有引力等于球體內半徑為 r 的同心球體
M′m
（M′）對其的萬有引力，即 F＝G
r2
推論 2
假想有一個深度為 h 的礦井，其底部的重力加速度為 g”，則由
Mm
mg＝G ①，
R2
M mg m G
(R h)2
②，
舉個栗子
M V R3
③，
M V (R h)3
R h
可得 g g
R
【考向 13】假設地球是半徑為 R、質量分布均勻的球體。一飛機離地面的高度為 d，飛機所在高度的重
力加速度大小為 1；一礦井深度也為 d，礦井底部的重力加速度大小為 2。已知質量分布均勻的球殼對
1
殼內物體的引力為零，則 等于（　　）2
3 3
A ．( )2( ) B．( )( )2
C ( )
2
．( )2 D．
【考向 14】如圖所示，假設地球是一半徑為 R、質量分布均勻的球體。已知質量分布均勻的球殼對殼內
物體的引力為零。O 為球心，以 O 為原點建立坐標軸 Ox。則在 x 軸上各位置的重力加速度 g 隨 x 的變化
關系圖正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【考向 15】（2024·山西·一模）2023 年，神舟家族太空接力，“奮斗者”號極限深潛，真正實現了“可上九
天攬月，可下五洋捉鱉”！已知“奮斗者”號在馬里亞納海溝的坐底深度為 (10909m)，空間站離地面的高
度為 (400km)。假設地球質量分布均勻，半徑為 ，不考慮其自轉，且質量均勻分布的球殼對殼內物體
的引力為零，則深度為 處和高度為 處的重力加速度之比為（　　）
( )( )2A B ( )( )
2
． 3 ． 3
C
2
D
2
． ．
【考向 16】（2023·河南開封·三模）假定月球為質量分布均勻的球體，其半徑為 ，在月球表面測得重力
加速度為 0，設 為距離月球表面高度為 時的重力加速度．當 比 小得多時， 和 0的關系式近似為
（　　）[當 1時，數學近似公式為(1 + ) ≈ 1 + ]
A． = 1 + 2 B = 1 0 ． 0
C． = 10 2 D． = 0 1
2
1 2

【考向 17】（多選）（2023·遼寧大連·二模）如圖為某設計貫通地球的弦線光滑真空列車隧道：質量為 m
的列車不需要引擎，從入口的A點由靜止開始穿過隧道到達另一端的B點， ′為隧道的中點， ′與地心O
的距離為 = 3 ，假設地球是半徑為 R 的質量均勻分布的球體，地球表面的重力加速度為 g，不考慮地
2
球自轉影響。已知質量均勻分布的球殼對球內物體引力為 0，P 點到 ′的距離為 x，則（　　）
A．列車在隧道中 A 點的合力大小為 mg
B．列車在 P 點的重力加速度小于 g
C．列車在 P 點的加速度 =

D．列車在 P 點的加速度 =
【真題 1】（2024·廣西·高考真題）潮汐現象出現的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不
相同。圖中 a、b 和 c 處單位質量的海水受月球引力大小在（　　）
A．a 處最大 B．b 處最大 C．c 處最大 D．a、c 處相等，b 處最小
【真題 2】（2024·全國·高考真題）2024 年 5 月，嫦娥六號探測器發射成功，開啟了人類首次從月球背面
采樣返回之旅。將采得的樣品帶回地球，飛行器需經過月面起飛、環月飛行、月地轉移等過程。月球表
1
面自由落體加速度約為地球表面自由落體加速度的6。下列說法正確的是（　　）
A．在環月飛行時，樣品所受合力為零
B．若將樣品放置在月球正面，它對月球表面壓力等于零
C．樣品在不同過程中受到的引力不同，所以質量也不同
D．樣品放置在月球背面時對月球的壓力，比放置在地球表面時對地球的壓力小
【真題 3】（2024·全國·高考真題）天文學家發現，在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運行，其中
行星 GJ1002c 的軌道近似為圓，軌道半徑約為日地距離的 0.07 倍，周期約為 0.06 年，則這顆紅矮星的質
量約為太陽質量的（　　）
A．0.001 倍 B．0.1 倍 C．10 倍 D．1000 倍
【真題 4】（2023·浙江·高考真題）木星的衛星中，木衛一、木衛二、木衛三做圓周運動的周期之比為
1:2:4。木衛三周期為 T，公轉軌道半徑是月球繞地球軌道半徑 r 的 n 倍。月球繞地球公轉周期為 0，則
（ ）

A．木衛一軌道半徑為16 B．木衛二軌道半徑為2
3 2
C．周期 T 與 T 0之比為 2 D．木星質量與地球質量之比為 02 3
【真題 5】（2024·海南·高考真題）嫦娥六號進入環月圓軌道，周期為 T，軌道高度與月球半徑之比為 k，
引力常量為 G，則月球的平均密度為（　　）
3
A 3 (1 ) B 3 C (1 ) 3 ． 3 2 3 ． 2 ． 3 2 D． 2(1 + )
【真題 6】（2024·山東·高考真題）“鵲橋二號”中繼星環繞月球運行，其 24 小時橢圓軌道的半長軸為 a。
已知地球同步衛星的軌道半徑為 r，則月球與地球質量之比可表示為（　　）
3A B
3 3 3
． ． C． D．
3 3 3 3
一、單選題
1．（2023·浙江溫州·二模）《流浪地球 2》影片中，太空電梯高聳入云，在地表與太空間高速穿梭。太空
電梯上升到某高度時，質量為 2.5kg 的物體重力為 16N。已知地球半徑為 6371km，不考慮地球自轉，則
此時太空電梯距離地面的高度約為（ ）
A．1593km B．3584km C．7964km D．9955km
2．如圖所示，從一質量為 M、半徑為 2R 的均勻球體的球心 O 處挖出一半徑為 R 的小球，將其移至兩球
面相距 R 處，已知引力常量為 G，則大球剩余部分和小球間的萬有引力大小為（　　）
A 7
2
B 7
2 7 2 7 2
．1024 2 ．512 2 C．256 2 D．64 2
3．（2024·新疆烏魯木齊·二模）中子星是目前發現的除黑洞外密度最大的星體，設中子星的密度為 ，半
徑為 r，由于自轉而不瓦解的最小周期為 0。則不同的中子星（ ）
A． 越大， 0一定越小 B． 越大， 0一定越大
C．r 越大， 0一定越小 D．r 越大， 0一定越大
4．（2024·吉林·二模）如圖所示，哈雷彗星繞太陽運行的軌道為橢圓，哈雷彗星最近出現在近日點的時間
是 1986 年，預計哈雷彗星下次回歸到近日點將在 2061 年。已知橢圓軌道的近日點到太陽中心的距離是
地球公轉軌道半徑 R 的 0.6 倍，則橢圓軌道遠日點到太陽的距離為 3 45 = 3.56 （　　）
A．17.2R B．17.8R C．35R D．36R
5．人類發現并記錄的首顆周期彗星——哈雷彗星在 2023 年 12 月初抵達遠日點后開始掉頭，踏上歸途。
哈雷彗星是人一生中唯一可能裸眼看見兩次的短周期彗星，因英國物理學家愛德蒙·哈雷首先測定其軌道
數據并成功預言回歸時間而得名。已知哈雷彗星大約每 76 年環繞太陽一周，如圖所示為地球、哈雷彗星
繞太陽運動的示意圖，哈雷彗星軌道是一個很扁的橢圓，在近日點與太陽中心的距離為 1，在遠日點與
太陽中心的距離為 2，若地球的公轉軌道可視為半徑為 R 的圓軌道，則下列說法正確的是（　　）
A ．在近日點與遠日點的速度大小之比為 2
1
B
2
．在近日點與遠日點的加速度大小之比為 2 21
C．哈雷彗星大約將在 2071 年左右再次離太陽最近

D 1
2
．哈雷彗星的軌道參數與地球軌道參數間滿足 ≈ 18
6．（2024·陜西寶雞·三模）人類視月球與火星是地球的“衛士”和“兄弟”，從未停止對它們的探測。已知月
球繞地球做勻速圓周運動的向心加速度大小為 g，軌道半徑是地球半徑的 a 倍；火星表面重力加速度是地
球表面重力加速度的 b 倍。科研人員在火星水平表面的發射架上水平發射一小球，發射點高為 h，測得發
射點與落點間的水平距離是 2h，不計火星表面的大氣阻力，則發射小球的初速度大小是（　　）
A． 2 B． 2 C 2 ． D 2 ．

7．哈雷彗星是人類首顆有記錄的周期彗星，也是唯一能裸眼直接從地球看見的短周期彗星。科學家觀察
到哈雷彗星于 2023 年 12 月 9 日飛過遠日點，預計 2061 年 7 月 28 日飛過近日點，到時能夠再一次觀察
到壯觀的天文現象。已知地球到太陽的距離為 1AU（AU 為天文單位），哈雷彗星的近日點到太陽的距離
為 0.9AU，則它的遠日點到太陽的距離約為（　　）
A．18AU B．27AU C．35AU D．41AU
8．（2024·天津河東·二模）2024 年 2 月 9 日農歷除夕，神舟十七號 3 名航天員在中國空間站里貼春聯、
掛燈籠、系中國結，并通過視頻向祖國和人民送上新春祝福。已知空間站繞地球做勻速圓周運動的周期
為 T，地球半徑為 R，萬有引力常量為 G，地球表面重力加速度為 g，下列說法正確的是（ ）
A．空間站的運行速度大于第一宇宙速度
B．根據題中所給物理量無法計算出地球的密度
2 2
C ．空間站離地面的高度為3
4 2
D．春聯和中國結處于完全失重狀態，不受任何力的作用
9．（2024·安徽·三模）2024 年 3 月 25 日 0 時 46 分，我國成功利用長征運載火箭將“鵲橋二號”中繼星送入
環月軌道飛行，該中繼星進入周期為 T 的環月大橢圓使命軌道，按計劃開展與“嫦娥四號”和“嫦娥六號”
的通信測試。如圖是中繼星環繞月球的示意圖，其中 P 點為近月點，與月球表面距離為 1，Q 點為遠月
點，與月球表面距離為 2，M、N 為橢圓的短軸點，月球半徑為 R，萬有引力常量為 G，則下列說法正確
的是（　　）
A．該中繼星在 P 點時機械能最大
B．該中繼星沿 MPN 運動時間等于沿 NQM 運動時間
2 3
C．月球表面重力加速度 = ( 1 2 )2 2 2
2D = ( 1 2 2 )
3
．月球的質量 2 2
10．工程上經常利用“重力加速度法”探測地下礦藏分布，可將其原理簡化，如圖所示，P 為某地區水平地
面上一點，如果地下沒有礦物，巖石均勻分布、密度為 ρ，P 處的重力加速度（正常值）為 g；若在 P 點
1
正下方一球形區域內有某種礦物，球形區域中礦物的密度為2ρ，球形區域半徑為 R，球心 O 到 P 的距離
為 L，此時 P 處的重力加速度 g′相比 P 處重力加速度的正常值 g 會偏小，差值 = ′可稱為“重力加速
度反常值”。關于不同情況下的“重力加速度反常值”，下列說法正確的是（　　）
A 1．若球心 O 到 P 的距離變為 2L，則“重力加速度反常值”變為2δ
B 1 1．若球形區域半徑變為2R，則“重力加速度反常值”變為8δ
C．若球形區域變為一個空腔，即“礦物”密度為 0，則“重力加速度反常值”變為 4δ
D 3 3．若球形區域內為重金屬礦物，礦物密度變為2ρ，則“重力加速度反常值”變為－2δ
11．（2021·黑龍江哈爾濱·二模）一近地衛星的運行周期為 T0，地球的自轉周期為 T，則地球的平均密度
與地球不致因自轉而瓦解的最小密度之比為（　　）
2A 0
2
． B． C．
0 D．
0 2 02
12．有科學家正在研究架設從地面到太空的“太空梯”。若“太空梯”建在赤道上，人沿“太空梯”上升到 h 高
度處，恰好會感到自己“漂浮”起來。已知地球的半徑為 R，地球表面的重力加速度為 g，則地球自轉角速
度為（　　）
A B
2 3 3
． ． C D ． ．
( )3 ( )3 ( )2 ( )3
13．（2021·新疆·一模）假設天體是一半徑為 R、質量分布均勻的球體。已知質量分布均勻的球殼對殼內
物體的引力為零。如圖，O 為地面上的點，用 d 表示離地面深度，h 表示離地面高度，則各點的重力加速
度 g 隨 d、h 變化的圖像正確的是（　　）
A． B．
C． D．
14．（2023·湖南懷化·一模）12 月 10 日，改編自劉慈欣同名系列長篇科幻小說的《三體》動畫在嗶哩嗶
哩上線便備受關注。動畫版《三體》總編劇之一趙佳星透露，為了還原太空電梯的結構，他們研究太空
電梯的運行原理。太空電梯的原理并不復雜，與生活的中的普通電梯十分相似。只需在地球同步軌道上
建造一個空間站，并用某種足夠長也足夠結實的“繩索”將其與地面相連，在引力和向心加速度的相互作
用下，繩索會繃緊，宇航員、乘客以及貨物可以通過電梯轎廂一樣的升降艙沿繩索直入太空，這樣不需
要依靠火箭、飛船這類復雜航天工具。如乙圖所示，假設有一長度為 r 的太空電梯連接地球赤道上的固
定基地與同步空間站 a，相對地球靜止，衛星 b 與同步空間站 a 的運行方向相同，此時二者距離最近，經
過時間 t 之后，a、b 第一次相距最遠。已知地球半徑 R，自轉周期 T，下列說法正確的是（　　）
A．太空電梯各點均處于完全失重狀態
B．b 2 衛星的周期為2
2 2
C 4 ．太空電梯停在距地球表面高度為 2R 的站點，該站點處的重力加速度 = 2 (9 2 3 )
D．太空電梯上各點線速度與該點離地球球心距離成反比
二、多選題
15．（2024·福建泉州·二模）北斗衛星導航系統中的 MEO 衛星為中圓軌道衛星，利用引力常量 G 和下列
數據，能計算出地球質量的是（　　）
A．MEO 衛星繞地球的軌道半徑和線速度
B．MEO 衛星繞地球的軌道半徑和運行周期
C．地球表面重力加速度和 MEO 衛星繞地球的線速度
D．地球表面重力加速度和 MEO 衛星繞地球的軌道半徑
16．（2024·四川瀘州·二模）2023 年 7 月 10 日，經國際天文學聯合會小行星命名委員會批準，中國科學
院紫金山天文臺發現的國際編號為 381323 號的小行星被命名為“樊錦詩星”。如圖所示，地球繞日運行近
視為圓軌道，“樊錦詩星”繞日運行為橢圓軌道，其軌道半長軸為 3.18 天文單位（日地距離為 1 天文單
位），遠日點到太陽中心距離為 4.86 天文單位。下列說法正確的是（　　）
A．“樊錦詩星”繞太陽轉動一圈，需要 3.18 年
B．“樊錦詩星”在近日點離太陽中心的距離為 1.5 天文單位
C．“ 1樊錦詩星”在遠日點的加速度與地球的加速度大小之比為4.862
D．“樊錦詩星”、地球分別跟太陽中心的連線，在相等時間內掃過的面積相等
三、解答題
17．（2023·福建·一模）在第 73 屆國際宇航大會上，我國“天問一號”火星探測任務團隊被國際宇航聯合會
授予 2022 年度“世界航天獎”。天問一號著陸器在著陸火星的動力減速階段，從火星表面附近以 0 = 96m/s
的初速度豎直向下做勻減速運動，經 = 80s速度減為 0。已知著陸器質量約為 = 1200kg，火星表面重
力加速度 火取4m/s2，忽略火星自轉，求：
（1）著陸器在動力減速階段下降的距離 h；
（2）著陸器在動力減速階段所受阻力大小 f；
（3 1）若火星的半徑是地球半徑的2，地球表面重力加速度 g 取10m/s
2，求火星與地球的質量之比。
18．（2024·北京石景山·一模）物體做曲線運動的情況較復雜，一般的曲線運動可以分成很多小段，每小
段都可以看成圓周運動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替。如圖（a）所示，曲
線上 A 點的曲率圓定義為：通過 A 點和曲線上緊鄰 A 點兩側的兩點作一圓，在極限情況下，這個圓就叫
做 A 點的曲率圓，其半徑 r 叫做 A 點的曲率半徑。在分析物體經過曲線上某位置的運動時，就可以按其
等效的圓周運動來分析和處理。
（1）氫原子核外的電子繞核做勻速圓周運動，其周期為 T。已知電子的電荷量為 e，質量為 m，靜電力
常量為 k，求電子運動的軌道半徑 R。
（2）將一物體沿與水平面成 α 角的方向以速度 v 拋出，如圖（b）所示。已知重力加速度為 g，求其軌跡
最高點 P 處的曲率半徑 r。
（3）開普勒根據第谷的行星觀測記錄結合數學知識發現，對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等
的時間內掃過的面積相等。如圖（c）所示，衛星繞地球沿橢圓軌道運動。衛星在橢圓軌道的近地點 P 的
速度為 v ，近地點 P 到地心的距離為 R；在遠地點 Q 的速度為 v ，遠地點 Q 到地心的距離為 r。一興趣
小組的同學根據開普勒定律結合數學知識得到 = 。請你根據萬有引力定律和牛頓運動定律推導
這一結論。第 15 講 萬有引力定律及其應用
——劃重點之精細講義系列
考點 1 開普勒三定律的理解和應用
考點 2 萬有引力定律的理解
考點 3 不能忽略自轉的萬有引力定律的應用
考點 4 忽略自轉的萬有引力定律的應用
考點 1：開普勒三定律的理解和應用
1．內容
定律 內容 圖示
開普勒第 所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的
一定律 一個焦點上
開普勒第 對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內
二定律 掃過相等的面積
所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二
開普勒第
a3
三定律 次方的比值都相等. ＝k，k 是一個與行星無關的常量
T2
2．應用
3.天體運動的處理方法
（1）行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理。
（2）開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛星繞地球的運動。
a3
（3）開普勒第三定律 ＝k 中，k 值只與中心天體的質量有關，不同的中心天體 k 值不同。但該定
T2
律只能用在同一中心天體的兩星體之間。
【考向 1】（2024·江蘇徐州·三模）戰國時期的《甘石星經》最早記載了部分恒星位置和金、木、水、火、
土五顆行星“出沒”的規律。現在我們知道（　　）
A．恒星都是靜止不動的
B．行星繞太陽做圓周運動
C．行星繞太陽運行的速率不變
D．各行星繞太陽運行的周期不同
【答案】D
【詳解】A．恒星都是運動的。故 A 錯誤；
B．根據開普勒第一定律可知行星繞太陽做橢圓運動。故 B 錯誤；
C．根據開普勒第二定律可知行星繞太陽運行的速率與行星和太陽的距離有關。故 C 錯誤；
D．根據開普勒第三定律可知，各行星繞太陽運行的周期不同。故 D 正確。
故選 D。
【考向 2】（2024·河南·一模）若兩顆人造衛星M、N繞地球做勻速圓周運動，M、N到地心的距離之比為
，忽略衛星之間的相互作用。在時間 內，衛星M與地心連線掃過的面積為 M，衛星N與地心連線掃過的
面積為 N，則 M與 N的比值為（　　）
A．1 B C 1． ． 2 D．
【答案】D
【詳解】根據
2
2 ＝
可知

=
則衛星在時間 t 內與地心的連線掃過的面積為
1 1
= 2 = 2
則
M M
= = N N
故選 D。
【考向 3】（2024·山東濟南·三模）2024 年 3 月 20 日，“鵲橋二號”中繼星由長征八號遙三運載火箭在中國
文昌航天發射場成功發射升空。如圖所示，“鵲橋二號”臨近月球時，先在周期為 24 小時的環月大橢圓凍
結軌道Ⅰ上運行一段時間，而后在近月點 變軌，進入周期為 12 小時的環月大橢圓凍結軌道Ⅱ。已知軌道Ⅰ
1
的近月點 距離月球表面的高度為 1，遠月點 距離月球表面的高度為 ，月球半徑為 ，32 ≈ 0.6，忽略4
地球引力的影響，則軌道Ⅱ的遠月點 ′距離月球表面的高度為（　　）
A 3 2 2 1 4 B 3 2 2 1 8 ． 5 ． 5
C 3 2 3 1 4 D 3 2 3 1 8 ． 5 ． 5
【答案】A
【詳解】在兩個軌道上運動時，根據開普勒第三定律有
(2 + + )31 (2 + 1 + 2)3=
22 21
解得
3 2 2 1 4 = 5
故選 A。
考點 2：萬有引力定律的理解
1．內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質
量 m1和 m2的乘積成正比，與它們之間距離 r 的平方成反比。
m1m2
2．表達式：F＝G ，G 為引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪許利用扭秤實驗測出。
r2
3．適用條件
（1）公式適用于質點間的相互作用。
（2）質量分布均勻的球體可視為質點，r 是兩球心間的距離。
（3）不能得出：當 → 時，物體 、 間引力 趨于無窮大。因為當 → 時兩個物體無法看做質
點。
4．對萬有引力定律的理解：
萬有引力是普遍存在宇宙中任何兩個有質量的物體間的相互吸引力，它是自然界中的基本
普適性
相互作用之一
兩個物體相互作用的引力是一對作用力和反作用力，它們大小相等，方向相反，分別作用
相互性
在兩個物體上
一般物體間的萬有引力非常小，只有質量巨大的星球間或天體與附近的物體間，它的存在
宏觀性
才有宏觀的物理意義。在微觀世界中，粒子的質量都非常小，萬有引力可以忽略不計
5．萬有引力與重力的關系
GmM
如圖所示，在緯度為 的地表處，物體所受的萬有引力為 F= 。而物體隨地球一起繞地軸自
R 2
轉所需的向心力為 F 向=mRcos ·ω2，方向垂直于地軸指向地軸，這是物體所受到的萬有引力的一個分力
充當的，而萬有引力的另一個分力就是通常所說的重力 mg，嚴格地說：除了在地球的兩個極點處，地球
表面處的物體所受的重力并不等于萬有引力，而只是萬有引力的一個分力。
越靠近南北兩極 g 值越大，由于物體隨地球自轉所需的向心力較小，常認為萬有引力近似等于重力，
GMm
即 = mg。
R2
6.萬有引力應用的解題思路
7．解決天體(衛星)運動問題的基本思路
(1)天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即
Mm v2 4π2r
G ＝man＝m ＝mω2r＝mr2 r T2
Mm
(2)在中心天體表面或附近運動時，萬有引力近似等于重力，即 G ＝mg(g 表示天體表面的重力加
R2
速度)．
8．天體質量和密度的計算
(1)利用天體表面的重力加速度 g 和天體半徑 R.
Mm gR2
由于 G ＝mg，故天體質量 M＝ ，
R2 G
M M 3g
天體密度 ρ＝ ＝ ＝ .
V 4πR3 4πGR3
(2)通過觀察衛星繞天體做勻速圓周運動的周期 T 和軌道半徑 r.
Mm 4π2 4π2r3
①由萬有引力等于向心力，即 G ＝m r，得出中心天體質量 M＝ ；
r2 T2 GT2
②若已知天體半徑 R，則天體的平均密度
M M 3πr3
ρ＝ ＝ ＝ ；
V 4 GT2R3πR33
③若天體的衛星在天體表面附近環繞天體運動，可認為其軌道半徑 r 等于天體半徑 R，則天體密度 ρ
3π
＝ .可見，只要測出衛星環繞天體表面運動的周期 T，就可估算出中心天體的密度．
GT2
①利用萬有引力提供天體做圓周運動的向心力估算天體質量時，估算的只是中心天體的質量，并非
環繞天體的質量。
②區別天體半徑 R 和衛星軌道半徑 r，只有在天體表面附近的衛星才有 r≈R；計算天體密度時，V＝
4
πR3中的 R 只能是中心天體的半徑。
3
【考向 4】如圖 1 所示，一半徑為 R、密度均勻的球體，在與球心 O 相距 2R 的 P 處有一質量為 m 的質點，

球體對該質點的萬有引力大小為 F。現從球體中挖去“半徑為2的小球體（球心在 OP 連線上，右端位于 O
點），如圖 2 所示，則剩余部分對該質點的萬有引力大小為（ ）
A 7 7 23 23．8 B．16 C．25 D．50
【答案】C
【詳解】設球體的密度為 ρ，球體的質量為 M，可得
4
= 3 π
3
則小球體的質量
4 3
′ = 3 π 2 = 8
球體對該質點的萬有引力大小

= (2 )2
故挖去小球體后，剩余部分對該質點的萬有引力大小
′
剩余 =
( 5
2
2 )
解得
23
剩余 = 25
故選 C。
【考向 5】（2024·河北·三模）2024 年 5 月 3 日，嫦娥六號探測器由長征五號遙八運載火箭在中國文昌航
天發射場成功發射，自此開啟世界首次月球背面采樣返回之旅。若將來宇航員在月球（視為質量分布均
勻的球體）表面以大小為 0的初速度豎直上拋一物體（視為質點），已知引力常量為 G，月球的半徑為 R、
密度為 。物體從剛被拋出到剛落回月球表面的時間為（ ）
2 0 3 0 3 0 6 A B C D 0．3π ．π ．2π ．π
【答案】C
【詳解】設月球表面的重力加速度為 0，則有

2 = 0
解得
4 3 4 0 = 2 = 2 × 3 = 3
根據豎直上拋運動的規律可知，落回月球表面的時間
2 3 3
= 0 = 2 0 × 4 =
0
0 2
C 正確。
故選 C。
【考向 6】（2024·湖北黃石·一模）電影中的太空電梯非常吸引人。現假設已經建成了如圖所示的太空電
梯，其通過超級纜繩將地球赤道上的固定基地、同步空間站和配重空間站連接在一起，它們隨地球同步
旋轉。圖中配重空間站比同步空間站更高，P 是纜繩上的一個平臺。則下列說法正確的是（ ）
A．太空電梯上各點加速度與該點離地球球心的距離的平方成反比
B．超級纜繩對 P 平臺的作用力方向背離地心
C．若從配重空間站向外自由釋放一個小物塊，則小物塊會一邊朝配重空間站轉動的方向向前運動一
邊落向地球
D．若兩空間站之間纜繩斷裂，配重空間站將繞地球做橢圓運動，且斷裂處為橢圓的遠地點
【答案】B
【詳解】A．太空電梯上各點具有相同的角速度，根據
= 2
可知，太空電梯上各點加速度與該點離地球球心的距離成正比，故 A 錯誤；
B．P 平臺如果只受地球萬有引力，則圓周運動角速度比同步空間站要快，而實際圓周運動角速度等于同
步空間站角速度，則在萬有引力之外，P 平臺還受到纜繩拉力，故地球的引力與纜繩拉力提供 P 平臺做
圓周運動所需的向心力，P 平臺做圓周運動所需的向心力小于地球對它的萬有引力，所以超級纜繩對 P
平臺的作用力方向背離地心，故 B 正確；
C．若從配重空間站向外自由釋放一個小物塊，則小物塊會一邊朝配重空間站轉動的方向向前運動一邊偏
離地球，做離心運動，故 C 錯誤；
D．若兩空間站之間纜繩斷裂，配重空間站將繞地球做橢圓運動，其斷裂處為橢圓的近地點，因為在近地
點線速度較大，半徑較小，需要的向心力更大，故 D 錯誤。
故選 B。
【考向 7】（多選）（2024·福建龍巖·三模）如圖所示，嫦娥五號、天問一號探測器分別在近月、近火星軌
道運行。已知火星的質量為月球質量的 9 倍，火星的半徑為月球半徑的 2 倍。假設月球、火星可視為質
量均勻分布的球體，忽略其自轉影響，則下列說法正確的是（　　）
A．月球表面的重力加速度與火星表面的重力加速度之比為 2：3
B．月球的第一宇宙速度與火星的第一宇宙速度之比為 2:3
C．嫦娥五號繞月球轉動的周期與天間一號繞火星轉動的周期之比為3 2:4
D．嫦娥五號繞月球轉動軌道半徑的三次方與周期的平方的比值與天問一號繞火星轉動軌道半徑的三
次方與周期的平方的比值相等
【答案】BC
【詳解】A．在月球表面
月

2
= 月
月
解得
月
月 = 2月
同理，可得
火
火 = 2火
所以
月 2月 火
2
月 火 4
= 2 × =火 火
× =
火 2 9月 月
A 錯誤；
B．在星球表面，可以認為重力為其圓周運動提供向心力，故有
2月
月 = 月
解得
月 = 月 月
同理可得
火 = 火 火
所以
月 月 月 4 1 2
= =火 火 火 9
× 2 = 3
B 正確；
C 2 ．根據周期公式 = 可知
月 2 月 火 3 1 3 2
= ×火 月 2
= × =
火 2 2 4
C 正確
D．開普勒第三定律是對于同一中心天體而言，嫦娥五號與天問一號圓周運動的中心天體不同，D 錯誤。
故選 BC。
【考向 8】（多選）（2024·湖北黃石·三模）位于貴州的 500 米口徑球面射電望遠鏡，其反射面相當于 30
個足球場的大小，靈敏度達到世界第二大望遠鏡的 2.5 倍以上，大幅拓展了人類的視野。射電望遠鏡觀測
到某行星的衛星 、 繞以其為焦點的橢圓軌道運行， 星的運行周期約為 星的2 2倍， 星軌跡遠點到
行星的距離是軌跡近點的 2 倍， 星軌跡遠點到行星的距離是軌跡近點的 3 倍。假設 、 只受到行星的
引力，則下列敘述正確的是（　　）
A． 星受到行星的引力最大值與最小值之比為4:1
B． 星受到行星的引力始終小于 星
C． 星受到行星的引力最大值與 星受到行星的引力最小值之比為9:2
D． 星軌跡近點到行星的距離小于 星軌跡遠點到行星的距離
【答案】AD
【詳解】A．已知 星軌跡遠點到行星的距離是軌跡近點的 2 倍，則根據萬有引力定律可知， 星受到行
星的引力最大值與最小值之比為4:1，故 A 正確；
BC．由于衛星 、 的質量關系未知，所以無法判定兩個衛星受到的引力大小關系，故 BC 錯誤；
D．根據開普勒第三定律可得
3 3A B
2 =A B2
整理得
2B = 3

( B A
) = 2
A
由題可知
2
3 × 2 A = 遠
1
4 × 2 B = 近
即 星軌跡近點到行星的距離小于 星軌跡遠點到行星的距離，故 D 正確。
故選 AD。
考點 3：不能忽略自轉的萬有引力定律的應用
1.不忽略地球自轉的影響，地球對物體的萬有引力 F 表現為兩個效果：一是重力 mg，二是提供物體
隨地球自轉的向心力 F 向，如圖。
Mm
①在赤道上：G ＝mg ＋mω2R。
R2 1
Mm
②在兩極上：G ＝mg 。
R2 2
Mm
③在一般位置：萬有引力 G 等于重力 mg 與向心力 F
R2 向
的矢量和。
2.物體在赤道上完全失重的條件
設想地球自轉角速度加快,使赤道上的物體剛好處于完全失重狀態,即 FN = 0,有 mg=mω2R
所以完全失重的臨界條件為(地球半徑 R=6400km)
g 1 R
a=g=9.8m/s2， rad/s, v gR 7.9km / s ,T 2 5075s 85min
R 808 g
上述結果恰好是近地人造地球衛星的向心加速度、角速度、線速度和周期。
3.地球不因自轉而瓦解的最小密度
地球以 T =24h 的周期自轉,不發生瓦解的條件是赤道上的物體受到的萬有引力大于或等于該物體做
GMm 2
圓周運動所需的向心力,即 2 m( )
2 R
R T
4
根據質量與密度的關系,有M R3
3
所以,地球的密度應為 3 2 18.9kg / m
3
GT
即最小密度為 ρmin=18.9 kg/m3。地球平均密度的公認值為 ρ0=5507.85 kg/m3,足以保證地球處于穩定狀
態。
【考向 9】某行星為質量分布均勻的球體，半徑為 R，質量為 M。科研人員研究同一物體在該行星上的重
力時，發現物體在“兩極”處的重力為“赤道”上某處重力的 1.2 倍。已知引力常量為 G，則該行星自轉的角
速度為（ ）
A B 5 ． ． C． D．
6 3 12 3 6 3 3
【答案】A
【詳解】設赤道處的重力加速度為 g，物體在兩極時萬有引力等于重力，有

2 =1.2
在赤道時萬有引力可分解為重力和自轉所需的向心力，則有

2 = +
2
聯立解得該行星自轉的角速度為

= 6 3
故選 A。
【考向 9】“FAST 精細刻畫活躍重復快速射電暴”入選 2022 年度中國科學十大進展，這些快速射電暴極
有可能處在超新星遺跡等環境中。假定地球的自轉周期變為5000s時，則地表會缺少引力束縛而解體。
若 FAST 檢測到的周期為1ms的脈沖是由某種星體的自轉所致，即該星的自轉周期為1ms，地球的平均密
度取5.5 × 103kg/m3，則這種星體的密度可能是（　　）
A．5 × 103kg/m3 B．5.5 × 1012kg/m3
C．1.4 × 1015kg/m3 D．1.4 × 1017kg/m3
【答案】D
【詳解】地表恰好缺少引力束縛時
4 2
2 = 2
該星體的密度為

= 4 3
3
聯立可得
3
= 2
假設某種星體的自轉的周期為1ms 1時，恰好未解體，此時其周期為地球自轉周期的5000000，則其密度是地
球的2.5 × 1013倍，即為1.375 × 1017kg/m3，故自轉的周期為1ms時，若未解體，則密度應大于1.375 × 1017
kg/m3。
故選 D。
【考向 10】地球赤道表面上某質量為 m 的人用體重計測量體重，靜止時體重計的示數為 F．已知地球近
地衛星的周期為 1，地球同步衛星的周期為 2．假設地球可視為質量分布均勻的球體，地球的自轉不能
忽略．則可計算出地球的半徑為（ ）
2 2 2 2
A 1
2 1 ． 24 2 2 2 B．2 1 4 2 21 22
2 2 2C 1 2 2
2
． 14 2 2 2 D．4 2 2 21 2 1 2
【答案】A
【詳解】地球同步衛星的周期等于地球自轉周期 2，對赤道上的人
4 2
2 = 22
對地球近地衛星
0 4 2 2 = 0 2

1
解得
21 2 = 2
4 2 22 21
故選 A。
【考向 11】甲、乙兩位同學分別站在地球的南極和赤道上，用大小相等的初速度將一個小球豎直向上拋
出，小球落回手中的時間之比為 k，不計空氣阻力。若已知地球密度為 ρ，引力常量為 G，則乙同學隨地
球自轉的角速度大小為（　　）
A 2 (1 ) B (1 ) ． ．
3 2
C ．2 D．
3 2
【答案】A
【詳解】設南極處的重力加速度為 0，小球落回手中的時間為 t0，赤道處的重力加速度為 g，小球落回手
中的時間為 t，由小球豎直上拋到達最高點得

0 = 2
所以
0 1
= =0
在南極，由萬有引力提供重力有

2 = 0
在赤道，由萬有引力提供小球的重力和小球隨地球自轉的向心力有

2 = +
2
又
4
= ， = 3
3
聯立以上各式可解得
(1 )
= 2 3
故選 A。
【考向 12】（多選）組成星球的物質是靠引力吸引在一起的，這樣的星球有一個最大的自轉速率，如果超
出了該速率，星球的萬有引力將不足以維持其赤道附近的物體隨星球做圓周運動。假設地球可視為質量
均勻分布的星球，地球半徑為 R，地球北極表面附近的重力加速度為 g，引力常量為 G，地球質量為 M，
則地球的最大自轉角速度 ω 為（　　）
A 2 B ． ． C． D．2
3 3
【答案】BC
【詳解】AB．設地球赤道上有一質量為 m 的物體，要維持該物體隨地球一起以最大角速度 ω 轉動，則物
體與地球之間的萬有引力提供自轉所需的向心力，則有

= 2 2
解得

= 3
A 錯誤，B 正確；
CD．在地球北極表面附近有

2 =
則有
GM=gR2
解得

=
C 正確，D 錯誤。
故選 BC。
考點 4：忽略自轉的萬有引力定律的應用
由于地球自轉緩慢，向心力很小，所以在一般計算中只要題目不強調自轉不可忽略或者提及赤道兩
極的重力加速度不一樣，則可認為重力近似等于萬有引力，重力方向豎直向下（即指向地心）。
Mm
忽略地球自轉影響，即 mg＝G 。可得：
R2
GM GM g (R r)2
①地球表面重力加速度 g＝ ，距地面高 h 處重力加速度 g′＝ 。有 ＝ 。
R2 (R r)2 g′ R 2
②某深度處的重力加速度：
推論 1 在勻質球殼的空腔內任意位置處，質點受到球殼的萬有引力的合力為零，即 ΣF 引＝0
在勻質球體內部距離球心 r 處的質點（m）受到的萬有引力等于球體內半徑為 r 的同心球體
M′m
（M′）對其的萬有引力，即 F＝G
r2
推論 2
假想有一個深度為 h 的礦井，其底部的重 力加速度為 g”，則由
Mm
mg＝G ①，
R2
舉個栗子

mg M m G ②，
(R h)2
M V R3
③，
M V (R h)3
g R h可得 g
R
【考向 13】假設地球是半徑為 R、質量分布均勻的球體。一飛機離地面的高度為 d，飛機所在高度的重
力加速度大小為 1；一礦井深度也為 d，礦井底部的重力加速度大小為 2。已知質量分布均勻的球殼對
1
殼內物體的引力為零，則 等于（　　）2
3 3
A ．( )2( ) B．( )( )2
C ( )
2
．( )2 D

．
【答案】A
【詳解】設地球的質量為 M，在飛機上質量為 m 的物體有

mg1= ( )2
以地球中心為球心、以 R-d 為半徑的球體質量
4 3 ( )
3
′ = 4 3 ( ) =3 3

3
則礦井底部質量為 m 的物體有
′ mg2= ( )2
聯立可得
31
=2 ( + )2( )
故選 A。
【考向 14】如圖所示，假設地球是一半徑為 R、質量分布均勻的球體。已知質量分布均勻的球殼對殼內
物體的引力為零。O 為球心，以 O 為原點建立坐標軸 Ox。則在 x 軸上各位置的重力加速度 g 隨 x 的變化
關系圖正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】令地球的密度為 ，當 x≥R 時，地球可被看成球心處的質點，則有

2 =
由于地球的質量為
4
= 33
所以重力加速度為
4 3
= 3 2
根據題意有，質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，固在深度為 R-x 的位置，受到地球的萬有引
力即為半徑等于 x 的球體在其表面產生的萬有引力，即
′ ×
4 3 4
′ = 2 =
3
2 = 3
當 r＜R 時，g 與 x 成正比，當 r＞R 后，g 與 x 平方成反比。
故選 A。
【考向 15】（2024·山西·一模）2023 年，神舟家族太空接力，“奮斗者”號極限深潛，真正實現了“可上九
天攬月，可下五洋捉鱉”！已知“奮斗者”號在馬里亞納海溝的坐底深度為 (10909m)，空間站離地面的高
度為 (400km)。假設地球質量分布均勻，半徑為 ，不考慮其自轉，且質量均勻分布的球殼對殼內物體
的引力為零，則深度為 處和高度為 處的重力加速度之比為（　　）
( )( )2A ( )( )
2
． 3 B． 3
2 2C． D

．
【答案】A
【詳解】設質量為 1的物體在馬里亞納海溝底處，有
′
1( )2 = 1 1
又
′ ( )3
= 3
質量為 2的物體在空間站上，有

2( + )2 = 2 2
解得馬里亞納海溝底處和空間站所在軌道處的重力加速度之比為
1 ( )( + )2
=2 3
故選 A。
【考向 16】（2023·河南開封·三模）假定月球為質量分布均勻的球體，其半徑為 ，在月球表面測得重力
加速度為 0，設 為距離月球表面高度為 時的重力加速度．當 比 小得多時， 和 0的關系式近似為
（　　）[當 1時，數學近似公式為(1 + ) ≈ 1 + ]
A． = 0 1 + 2 B． = 1 0
C． = 10 2 D． = 0 1
2
1 2

【答案】D
【詳解】物體在月球表面時，有

2 = 0
物體距離月球表面高度為 時，有

( + )2 =
聯立可得
2 1 1
= ( + )2 = 2 ≈0 (1 + ) 1 + 2
可得
0 0(1
2
) 0(1
2
) 2 = 2 = 2 2 = ≈ 2 2 0
(1 )
1 + (1 + )(1 ) 1 ( )

故選 D。
【考向 17】（多選）（2023·遼寧大連·二模）如圖為某設計貫通地球的弦線光滑真空列車隧道：質量為 m
的列車不需要引擎，從入口的A點由靜止開始穿過隧道到達另一端的B點， ′為隧道的中點， ′與地心O
的距離為 = 3 ，假設地球是半徑為 R 的質量均勻分布的球體，地球表面的重力加速度為 g，不考慮地
2
球自轉影響。已知質量均勻分布的球殼對球內物體引力為 0，P 點到 ′的距離為 x，則（　　）
A．列車在隧道中 A 點的合力大小為 mg
B．列車在 P 點的重力加速度小于 g
C ．列車在 P 點的加速度 =

D．列車在 P 點的加速度 =
【答案】BD
【詳解】A．列車在隧道中 A 點受到地球指向地心的萬有引力與垂直于隧道向上的支持力，如圖所示
則有
合 =
sin ， = 2，sin = 2 2 2
解得
2 2 1
合 = = 2
A 錯誤；
B．由于質量均勻分布的球殼對球內物體引力為 0，則在 P 點有
2 = 2 + 2
由于質量均勻分布，則有

4 = 2 + 2 3 43 3
3
解得
2 + 2
= <
B 正確；
CD．令∠ ′ = ，根據上述，則有

2 2 2sin = ，sin = 2 2
解得

=
C 錯誤，D 正確。
故選 BD。
【真題 1】（2024·廣西·高考真題）潮汐現象出現的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不
相同。圖中 a、b 和 c 處單位質量的海水受月球引力大小在（　　）
A．a 處最大 B．b 處最大 C．c 處最大 D．a、c 處相等，b 處最小
【答案】A
【詳解】根據萬有引力公式
m
= 2
可知圖中 a 處單位質量的海水收到月球的引力最大；
故選 A。
【真題 2】（2024·全國·高考真題）2024 年 5 月，嫦娥六號探測器發射成功，開啟了人類首次從月球背面
采樣返回之旅。將采得的樣品帶回地球，飛行器需經過月面起飛、環月飛行、月地轉移等過程。月球表
1
面自由落體加速度約為地球表面自由落體加速度的6。下列說法正確的是（　　）
A．在環月飛行時，樣品所受合力為零
B．若將樣品放置在月球正面，它對月球表面壓力等于零
C．樣品在不同過程中受到的引力不同，所以質量也不同
D．樣品放置在月球背面時對月球的壓力，比放置在地球表面時對地球的壓力小
【答案】D
【詳解】A．在環月飛行時，樣品所受合力提供所需的向心力，不為零，故 A 錯誤；
BD．若將樣品放置在月球正面，它對月球表面壓力大小等于它在月球表面的重力大小；由于月球表面自
1
由落體加速度約為地球表面自由落體加速度的6，則樣品在地球表面的重力大于在月球表面的重力，所以
樣品放置在月球背面時對月球的壓力，比放置在地球表面時對地球的壓力小，故 B 錯誤，D 正確；
C．樣品在不同過程中受到的引力不同，但樣品的質量相同，故 C 錯誤。
故選 D。
【真題 3】（2024·全國·高考真題）天文學家發現，在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運行，其中
行星 GJ1002c 的軌道近似為圓，軌道半徑約為日地距離的 0.07 倍，周期約為 0.06 年，則這顆紅矮星的質
量約為太陽質量的（　　）
A．0.001 倍 B．0.1 倍 C．10 倍 D．1000 倍
【答案】B
【詳解】設紅矮星質量為 M1，行星質量為 m1，半徑為 r1，周期為 T1；太陽的質量為 M2，地球質量為
m2，到太陽距離為 r2，周期為 T2；根據萬有引力定律有
1 1 4 2 =
2 1 2 11 1
2 2 4 2 2 = 2 2
2
2 2
聯立可得
3 21 1 2
= 2 2 1
由于軌道半徑約為日地距離的 0.07 倍，周期約為 0.06 年，可得
1
≈ 0.12
故選 B。
【真題 4】（2023·浙江·高考真題）木星的衛星中，木衛一、木衛二、木衛三做圓周運動的周期之比為
1:2:4。木衛三周期為 T，公轉軌道半徑是月球繞地球軌道半徑 r 的 n 倍。月球繞地球公轉周期為 0，則
（ ）

A．木衛一軌道半徑為16 B．木衛二軌道半徑為2
3 2
C．周期 T 與 T D 之比為 2 ．木星質量與地球質量之比為 0 30 2
【答案】D
【詳解】根據題意可得，木衛 3 的軌道半徑為
3 =
AB．根據萬有引力提供向心力
4 2
2 = 2
可得
2
= 3 4 2
木衛一、木衛二、木衛三做圓周運動的周期之比為1:2:4,可得木衛一軌道半徑為

1 = 3 16
木衛二軌道半徑為

2 = 3 4
故 AB 錯誤；
C．木衛三圍繞的中心天體是木星，月球的圍繞的中心天體是地球，根據題意無法求出周期 T 與 T0 之比，
故 C 錯誤；
D．根據萬有引力提供向心力，分別有
2木 4
( )2 = 2
地 4 2
2 = 2

0
聯立可得
2木
= 0 3 2 地
故 D 正確。
故選 D。
【真題 5】（2024·海南·高考真題）嫦娥六號進入環月圓軌道，周期為 T，軌道高度與月球半徑之比為 k，
引力常量為 G，則月球的平均密度為（　　）
A 3 (1 )
3
． 2 3 B
3 (1 ) 3
． 2 C． 3 2 D． 2(1 + )
3
【答案】D
【詳解】設月球半徑為 ，質量為 ，對嫦娥六號，根據萬有引力提供向心力
4 2
[( + 1) ]2 = 2 ( + 1)
月球的體積
4
= 33
月球的平均密度

=
聯立可得
3
= 2 (1 + )
3
故選 D。
【真題 6】（2024·山東·高考真題）“鵲橋二號”中繼星環繞月球運行，其 24 小時橢圓軌道的半長軸為 a。
已知地球同步衛星的軌道半徑為 r，則月球與地球質量之比可表示為（　　）
A
3 3 3B C
3
． ． ．
3 3 3
D． 3
【答案】D
【詳解】“鵲橋二號”中繼星在 24 小時橢圓軌道運行時，根據開普勒第三定律
3
2 =
同理，對地球的同步衛星根據開普勒第三定律
3
′
′2
=
又開普勒常量與中心天體的質量成正比，所以
月
=地 ′
聯立可得
3月
= 3地
故選 D。
一、單選題
1．（2023·浙江溫州·二模）《流浪地球 2》影片中，太空電梯高聳入云，在地表與太空間高速穿梭。太空
電梯上升到某高度時，質量為 2.5kg 的物體重力為 16N。已知地球半徑為 6371km，不考慮地球自轉，則
此時太空電梯距離地面的高度約為（ ）
A．1593km B．3584km C．7964km D．9955km
【答案】A
【詳解】設地球的半徑為 R，地球質量為 M，引力常量為 G，地球表面重力加速度為 g0，太空電梯離地
高度為 h，太空電梯所在位置處的重力加速度為 g’，根據萬有引力公式有

( + )2 = ′

2 = 0
代入數據有

(6371 + )2 = 16

2 = 25
整理得
2 16 4
( + )2 = 25 + = 5
所以太空梯距離地面高度為
1
= 4 = 1593km
故選 A。
2．如圖所示，從一質量為 M、半徑為 2R 的均勻球體的球心 O 處挖出一半徑為 R 的小球，將其移至兩球
面相距 R 處，已知引力常量為 G，則大球剩余部分和小球間的萬有引力大小為（　　）
7 2 2 2 2A．1024 2 B
7 7 7
．512 2 C．256 2 D．64 2
【答案】A
【詳解】大球剩余部分和小球的質量之比為
4 4 4
1: 2 = [ (2 )3 33 3 ]: 3
3 = 7:1
質量之和為
1 + 2 =
所以大球剩余部分和小球的質量分別為
7
1 = 8
1
2 = 8
所以二者之間的萬有引力大小為
2
= 1
2 7
(2 + + )2 = 1024 2
故選 A。
3．（2024·新疆烏魯木齊·二模）中子星是目前發現的除黑洞外密度最大的星體，設中子星的密度為 ，半
徑為 r，由于自轉而不瓦解的最小周期為 0。則不同的中子星（ ）
A． 越大， 0一定越小 B． 越大， 0一定越大
C．r 越大， 0一定越小 D．r 越大， 0一定越大
【答案】A
【詳解】中子星不瓦解是由于星球表面的物體所受到的引力大于或等于自轉所需的向心力，即
4 2
2 ≥ 2
4
= 3
3
解得
3
≥
所以
3
0 =
AB． 越大， 0越小,A 正確，B 錯誤；
CD． 0與 r 無關，CD 均錯誤。
故選 A。
4．（2024·吉林·二模）如圖所示，哈雷彗星繞太陽運行的軌道為橢圓，哈雷彗星最近出現在近日點的時間
是 1986 年，預計哈雷彗星下次回歸到近日點將在 2061 年。已知橢圓軌道的近日點到太陽中心的距離是
地球公轉軌道半徑 R 的 0.6 倍，則橢圓軌道遠日點到太陽的距離為 3 45 = 3.56 （　　）
A．17.2R B．17.8R C．35R D．36R
【答案】C
【詳解】地球繞太陽公轉的周期 T 為 1 年，哈雷彗星的周期 T1為
T1=2061 年－1986 年=75 年
根據開普勒第三定律得
3 3
2
= 21
解得
2
= 3 1 = 3 2 75
2 = 17.8
得
= 17.8
又近日點到遠日點的距離為 2a，已知近日點到太陽中心距離為 0.6R，故
遠 = 2 0.6 = 35
故選 C。
5．人類發現并記錄的首顆周期彗星——哈雷彗星在 2023 年 12 月初抵達遠日點后開始掉頭，踏上歸途。
哈雷彗星是人一生中唯一可能裸眼看見兩次的短周期彗星，因英國物理學家愛德蒙·哈雷首先測定其軌道
數據并成功預言回歸時間而得名。已知哈雷彗星大約每 76 年環繞太陽一周，如圖所示為地球、哈雷彗星
繞太陽運動的示意圖，哈雷彗星軌道是一個很扁的橢圓，在近日點與太陽中心的距離為 1，在遠日點與
太陽中心的距離為 2，若地球的公轉軌道可視為半徑為 R 的圓軌道，則下列說法正確的是（　　）
A ．在近日點與遠日點的速度大小之比為 2
1
2
B ．在近日點與遠日點的加速度大小之比為 2 21
C．哈雷彗星大約將在 2071 年左右再次離太陽最近

D 1
2
．哈雷彗星的軌道參數與地球軌道參數間滿足 ≈ 18
【答案】B
【詳解】A．根據開普勒第二定律，取時間微元Δ ，結合扇形面積公式可得
1 1
2 1Δ 1 = 2 2Δ 2
解得
1 = 2 2 1
A 錯誤；
B．在近日點時，由牛頓第二定律可得

2 = 11
在遠日點時，由牛頓第二定律可得

2 = 22
聯立解得
21 = 2 22 1
B 正確；
C．由題中信息可知，哈雷彗星將在
2023 + (76 ÷ 2) = 2061
年左右回到近日點，C 錯誤；
D．根據開普勒第三定律
3
2 =
得
3 3
=
2哈
2
地
則有
= 3 762 ≈ 18
又半長軸
1 + = 22
則
1 + 2
≈ 36
D 錯誤；
故選 B。
6．（2024·陜西寶雞·三模）人類視月球與火星是地球的“衛士”和“兄弟”，從未停止對它們的探測。已知月
球繞地球做勻速圓周運動的向心加速度大小為 g，軌道半徑是地球半徑的 a 倍；火星表面重力加速度是地
球表面重力加速度的 b 倍。科研人員在火星水平表面的發射架上水平發射一小球，發射點高為 h，測得發
射點與落點間的水平距離是 2h，不計火星表面的大氣阻力，則發射小球的初速度大小是（　　）
A． 2 B． 2 C 2 D 2 ． ．

【答案】A
【詳解】設地球的半徑為 ,地球的質量為 ,表面的重力加速度為 ′，則月球繞地球的軌道半徑
=
根據萬有引力定律及牛頓第二定律可知

( )2 =

′( )2 =
解得
′ = 2
所以火星表面的重力加速度
= ′ = 2火
在火星表面將物體水平拋出，由拋體運動的規律可知
1
= 2
2
火
2 = 0
聯立上述各式可得
0 = 2
故選 A。
7．哈雷彗星是人類首顆有記錄的周期彗星，也是唯一能裸眼直接從地球看見的短周期彗星。科學家觀察
到哈雷彗星于 2023 年 12 月 9 日飛過遠日點，預計 2061 年 7 月 28 日飛過近日點，到時能夠再一次觀察
到壯觀的天文現象。已知地球到太陽的距離為 1AU（AU 為天文單位），哈雷彗星的近日點到太陽的距離
為 0.9AU，則它的遠日點到太陽的距離約為（　　）
A．18AU B．27AU C．35AU D．41AU
【答案】C
【分析】考查目標本題考查了開普勒第三定律，考查考生的推理能力和科學思維、科學態度與責任
【詳解】根據題中提供的信息可知，哈雷彗星的周期 T 約為 76 年，設哈雷彗星的半長軸為 ，地球繞太
陽運行的周期 0 = 1年，軌道半徑 0 = 1AU，由開普勒第三定律，有
3 3
= 0 2 20
可得
= 17.9AU
由于
2 = 1 + 2
近距離 d1=0.9AU，解得遠日點到太陽的距離約為
2 ≈ 35AU
故選 C。
8．（2024·天津河東·二模）2024 年 2 月 9 日農歷除夕，神舟十七號 3 名航天員在中國空間站里貼春聯、
掛燈籠、系中國結，并通過視頻向祖國和人民送上新春祝福。已知空間站繞地球做勻速圓周運動的周期
為 T，地球半徑為 R，萬有引力常量為 G，地球表面重力加速度為 g，下列說法正確的是（ ）
A．空間站的運行速度大于第一宇宙速度
B．根據題中所給物理量無法計算出地球的密度
2 2C ．空間站離地面的高度為3
4 2
D．春聯和中國結處于完全失重狀態，不受任何力的作用
【答案】C
【詳解】A．根據萬有引力提供向心力
2
2 =
可得

=
可知當衛星貼近地球表面運動時的速度最大即為第一宇宙速度，可知空間站的運行速度小于第一宇宙速
度，故 A 錯誤；
B．物體在地面表面受到的萬有引力等于重力，則有

2 =
可得
2
=
又
4
= 3
3
聯立可得地球的密度為
3
= 4
故 B 錯誤；
C．空間站繞地球做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力可得
4 2
( + )2 = 2 ( + )
可得
2 2 2
= 3

4 2 =
3
4 2
故 C 正確；
D．春聯和中國結處于完全失重狀態，受到地球的萬有引力提供繞地球轉動所需的向心力，故 D 錯誤。
故選 C。
9．（2024·安徽·三模）2024 年 3 月 25 日 0 時 46 分，我國成功利用長征運載火箭將“鵲橋二號”中繼星送入
環月軌道飛行，該中繼星進入周期為 T 的環月大橢圓使命軌道，按計劃開展與“嫦娥四號”和“嫦娥六號”
的通信測試。如圖是中繼星環繞月球的示意圖，其中 P 點為近月點，與月球表面距離為 1，Q 點為遠月
點，與月球表面距離為 2，M、N 為橢圓的短軸點，月球半徑為 R，萬有引力常量為 G，則下列說法正確
的是（　　）
A．該中繼星在 P 點時機械能最大
B．該中繼星沿 MPN 運動時間等于沿 NQM 運動時間
2( )3C．月球表面重力加速度 = 1 22 2 2
2 3
D．月球的質量 = ( 1 2 2 )2 2
【答案】D
【詳解】A．由于中繼星在該軌道上無動力飛行，僅受萬有引力，故其機械能守恒，A 錯誤；
B．由于中繼星在近月點 P 附近速率較大，MPN 與 NQM 路程相同，故 MPN 階段時間較少，B 錯誤；
CD．由開普勒第三定律與天體圓周運動的規律可得
1 + 2 + 2 3
2
2 =

= 4 2

2 =
解得
2( + + 2 )3
= 1 22 2
2( 1 + 2 + 2 )3 = 2 2 2
C 錯誤，D 正確。
故選 D。
10．工程上經常利用“重力加速度法”探測地下礦藏分布，可將其原理簡化，如圖所示，P 為某地區水平地
面上一點，如果地下沒有礦物，巖石均勻分布、密度為 ρ，P 處的重力加速度（正常值）為 g；若在 P 點
1
正下方一球形區域內有某種礦物，球形區域中礦物的密度為2ρ，球形區域半徑為 R，球心 O 到 P 的距離
為 L，此時 P 處的重力加速度 g′相比 P 處重力加速度的正常值 g 會偏小，差值 = ′可稱為“重力加速
度反常值”。關于不同情況下的“重力加速度反常值”，下列說法正確的是（　　）
A 1．若球心 O 到 P 的距離變為 2L，則“重力加速度反常值”變為2δ
B 1 1．若球形區域半徑變為2R，則“重力加速度反常值”變為8δ
C．若球形區域變為一個空腔，即“礦物”密度為 0，則“重力加速度反常值”變為 4δ
D 3 3．若球形區域內為重金屬礦物，礦物密度變為2ρ，則“重力加速度反常值”變為－2δ
【答案】B
【詳解】A．如果將近地表的球形區域中的黃金礦石換成普通的密度為 的巖石，則該地區重力加速度便
1
回到正常值，因此，重力加速度反常可理解為在球形區域存在普通巖石的基礎上減去一個密度為2 、質
量為
1
= 2
的球引起的，該減去的球對 P 點一質量為 m 的質點產生的附加加速度為Δ ，則

2 = Δ
此時 P 處的重力加速度 g′相比 P 處重力加速度的正常值 g 會偏小，差值
= ′
可稱為“重力加速度反常值”，故
1
= Δ = 2 2
若球心 O 到 P 的距離變為 2L，則“重力加速度反常值”變為
1
2 1 (2 )2 = 4
故 A 錯誤；
B 1．若球形區域半徑變為2R，則重力加速度反常可理解為在球形區域存在普通巖石的基礎上減去一個密度
1
為2 、質量為
1 1
1 = 2 8 = 16
的球引起的，此時 “重力加速度反常值”變為
1
1
1 16 2 = 2 = 8
故 B 正確；
C．若球形區域變為一個空腔，則重力加速度反常可理解為在球形區域存在普通巖石的基礎上減去一個密
度為 、質量為
2 = =
的球引起的，即“礦物”密度為 0，則“重力加速度反常值”變為
2 2 = 2 = 2
故 C 錯誤；
D 3．若球形區域變為重金屬礦物，礦物密度變為2ρ，，則重力加速度反常可理解為在球形區域存在普通巖
石的基礎上增加加一個密度為 、質量為
1
3 = 2
3
的球引起的，即“礦物”密度為2ρ，時“重力加速度反常值”變為
1

3 2 =
2
2 =
故 D 錯誤。
故選 B。
11．（2021·黑龍江哈爾濱·二模）一近地衛星的運行周期為 T0，地球的自轉周期為 T，則地球的平均密度
與地球不致因自轉而瓦解的最小密度之比為（　　）
A 0
2 2
． B C

． ．
0 D．
0 2 02
【答案】D
【詳解】對近地衛星，有
2
= ( 2 2 ) 0
4
= 31· 3
聯立得
3
1 = 20
考慮地球赤道處一小塊質量為 m0的物體，只有當它受到的萬有引力大于或等于它隨地球一起旋轉所需的
向心力時，地球才不會瓦解，設地球不因自轉而瓦解的最小密度為 ρ2，則有
2 2
0 2 = 0( )
4
= 2· 33
聯立得
3
2 = 2
所以
21
= 22 0
故 D 正確 ABC 錯誤。
故選 D。
12．有科學家正在研究架設從地面到太空的“太空梯”。若“太空梯”建在赤道上，人沿“太空梯”上升到 h 高
度處，恰好會感到自己“漂浮”起來。已知地球的半徑為 R，地球表面的重力加速度為 g，則地球自轉角速
度為（　　）
A
2 3 3
． B C D ． ． ．
( )3 ( )3 ( )2 ( )3
【答案】B
【詳解】在地面萬有引力等于重力

2 =
當人感到自己“漂浮”起來，為完全失重，萬有引力全部提供做向心力有

( + )2 =
2( + )
聯立解得
2
= ( + )3
故 B 正確，ACD 錯誤。
故選 B。
13．（2021·新疆·一模）假設天體是一半徑為 R、質量分布均勻的球體。已知質量分布均勻的球殼對殼內
物體的引力為零。如圖，O 為地面上的點，用 d 表示離地面深度，h 表示離地面高度，則各點的重力加速
度 g 隨 d、h 變化的圖像正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】AB．設天體密度為 ，半徑為 R。則在天體內部有
4 ( )3
′ 3 4 ( ) = 2 = ( )2 = 3
可知，g 隨 d 增加而均勻減小。故 A 正確，B 錯誤；
CD．在天體外部有

= ( + )2
可知，g 與該點到球心的距離的平方成反比。故 CD 錯誤。
故選 A。
14．（2023·湖南懷化·一模）12 月 10 日，改編自劉慈欣同名系列長篇科幻小說的《三體》動畫在嗶哩嗶
哩上線便備受關注。動畫版《三體》總編劇之一趙佳星透露，為了還原太空電梯的結構，他們研究太空
電梯的運行原理。太空電梯的原理并不復雜，與生活的中的普通電梯十分相似。只需在地球同步軌道上
建造一個空間站，并用某種足夠長也足夠結實的“繩索”將其與地面相連，在引力和向心加速度的相互作
用下，繩索會繃緊，宇航員、乘客以及貨物可以通過電梯轎廂一樣的升降艙沿繩索直入太空，這樣不需
要依靠火箭、飛船這類復雜航天工具。如乙圖所示，假設有一長度為 r 的太空電梯連接地球赤道上的固
定基地與同步空間站 a，相對地球靜止，衛星 b 與同步空間站 a 的運行方向相同，此時二者距離最近，經
過時間 t 之后，a、b 第一次相距最遠。已知地球半徑 R，自轉周期 T，下列說法正確的是（　　）
A．太空電梯各點均處于完全失重狀態
B b 2 ． 衛星的周期為2
2 2
C 4 ．太空電梯停在距地球表面高度為 2R 的站點，該站點處的重力加速度 = 2 (9 2 3 )
D．太空電梯上各點線速度與該點離地球球心距離成反比
【答案】B
【詳解】A．太空電梯各點隨地球-起做勻速圓周運動，只有位置達到同步衛星的高度的點才處于完全失
重狀態，故 A 錯誤；
B．同步衛星的周期為
a =
當兩衛星 a、b 第一次相距最遠時滿足
2 2
= a b
解得
2
b = 2
故 B 正確；
C．太空電梯長度即為同步衛星離地面的高度，根據萬有引力提供向心力
4 2
( + )2 = 2 ( + )
太空電梯停在距地球表面高度為 2R 的站點，太空電梯上貨物質量為 m，在距地面高2 站點受到的萬有引
力為 F，則

= (3 )2
貨物繞地球做勻速圓周運動，設太空電梯對貨物的支持力為 N，則
N = 2 3
在貨梯內有
N =
= 2
解得
4 2 ( + )3
= 2 [ 9 2 3 ]
故 C 錯誤；
D．太空電梯相對地球靜止，各點角速度相等，各點線速度
= ′
與該點離地球球心距離成正比，故 D 錯誤。
故選 B。
二、多選題
15．（2024·福建泉州·二模）北斗衛星導航系統中的 MEO 衛星為中圓軌道衛星，利用引力常量 G 和下列
數據，能計算出地球質量的是（　　）
A．MEO 衛星繞地球的軌道半徑和線速度
B．MEO 衛星繞地球的軌道半徑和運行周期
C．地球表面重力加速度和 MEO 衛星繞地球的線速度
D．地球表面重力加速度和 MEO 衛星繞地球的軌道半徑
【答案】AB
【詳解】AB．根據萬有引力提供向心力有
2 4 2
2 = = 2
所以
=
2 = 4
2 3
， 2
由此可知，若已知衛星繞地球的軌道半徑和線速度或者已知軌道半徑和運行周期均可以計算出地球的質
量，故 AB 正確；
CD．根據萬有引力與重力的關系

2 =
可得
2
=
由此可知，地球表面重力加速度和 MEO 衛星繞地球的線速度或者已知地球表面重力加速度和 MEO 衛星
繞地球的軌道半徑均不能計算出地球的質量，故 CD 錯誤。
故選 AB。
16．（2024·四川瀘州·二模）2023 年 7 月 10 日，經國際天文學聯合會小行星命名委員會批準，中國科學
院紫金山天文臺發現的國際編號為 381323 號的小行星被命名為“樊錦詩星”。如圖所示，地球繞日運行近
視為圓軌道，“樊錦詩星”繞日運行為橢圓軌道，其軌道半長軸為 3.18 天文單位（日地距離為 1 天文單
位），遠日點到太陽中心距離為 4.86 天文單位。下列說法正確的是（　　）
A．“樊錦詩星”繞太陽轉動一圈，需要 3.18 年
B．“樊錦詩星”在近日點離太陽中心的距離為 1.5 天文單位
C．“樊錦詩星” 1在遠日點的加速度與地球的加速度大小之比為4.862
D．“樊錦詩星”、地球分別跟太陽中心的連線，在相等時間內掃過的面積相等
【答案】BC
【詳解】A．根據開普勒第三定律有
3 3地 樊
=
2 2地 樊
解得
樊 = 5.67年
故 A 錯誤；
B．近日點和遠日點分別在橢圓長軸的兩端，半長軸為 3.18 天文單位，則長軸為
2 × 3.18天文單位 = 6.36天文單位
則近日點離太陽中心的距離為
(6.36 4.86)天文單位 = 1.5天文單位
故 B 正確；
C．根據牛頓第二定律可知

2 =
“樊錦詩星”在遠日點的加速度與地球的加速度大小之比為
2樊 地 1
= 2
=
地 4.862樊
故 C 正確；
D．根據開普勒第二定律可知環繞天體與中心天體之間的連線在相等的時間內掃過的面積相等，應該是同
一個環繞天體天體，故 D 錯誤。
故選 BC。
三、解答題
17．（2023·福建·一模）在第 73 屆國際宇航大會上，我國“天問一號”火星探測任務團隊被國際宇航聯合會
授予 2022 年度“世界航天獎”。天問一號著陸器在著陸火星的動力減速階段，從火星表面附近以 0 = 96m/s
的初速度豎直向下做勻減速運動，經 = 80s速度減為 0。已知著陸器質量約為 = 1200kg，火星表面重
力加速度 火取4m/s2，忽略火星自轉，求：
（1）著陸器在動力減速階段下降的距離 h；
（2）著陸器在動力減速階段所受阻力大小 f；
（3 1）若火星的半徑是地球半徑的2，地球表面重力加速度 g 取10m/s
2，求火星與地球的質量之比。
【答案】（1）3840m；（2）6240N；（3）1:10
【詳解】（1）根據運動學公式，有

= 0
96
2 = 2 × 80m = 3840m
（2）動力減速階段下降過程中的加速度為
Δ 96 0
= 2 2Δ = 80 m/s = 1.2m/s
根據牛頓第二定律，有
火 =
代入數據解得
= 6240N
（3）在地球表面，萬有引力等于重力，有
地
2 = 地
在火星表面，萬有引力等于重力，有
火
=
2 火火
聯立可得
火 1
=地 10
18．（2024·北京石景山·一模）物體做曲線運動的情況較復雜，一般的曲線運動可以分成很多小段，每小
段都可以看成圓周運動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替。如圖（a）所示，曲
線上 A 點的曲率圓定義為：通過 A 點和曲線上緊鄰 A 點兩側的兩點作一圓，在極限情況下，這個圓就叫
做 A 點的曲率圓，其半徑 r 叫做 A 點的曲率半徑。在分析物體經過曲線上某位置的運動時，就可以按其
等效的圓周運動來分析和處理。
（1）氫原子核外的電子繞核做勻速圓周運動，其周期為 T。已知電子的電荷量為 e，質量為 m，靜電力
常量為 k，求電子運動的軌道半徑 R。
（2）將一物體沿與水平面成 α 角的方向以速度 v 拋出，如圖（b）所示。已知重力加速度為 g，求其軌跡
最高點 P 處的曲率半徑 r。
（3）開普勒根據第谷的行星觀測記錄結合數學知識發現，對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等
的時間內掃過的面積相等。如圖（c）所示，衛星繞地球沿橢圓軌道運動。衛星在橢圓軌道的近地點 P 的
速度為 v ，近地點 P 到地心的距離為 R；在遠地點 Q 的速度為 v ，遠地點 Q 到地心的距離為 r。一興趣
小組的同學根據開普勒定律結合數學知識得到 = 。請你根據萬有引力定律和牛頓運動定律推導
這一結論。
3 2 2 2 2【答案】（1） ；（2） 0cos ；（3）見解析4 2
【詳解】（1）根據庫侖定律和牛頓第二定律

2 4 2
2 = 2
解得電子運動的軌道半徑
= 3 2 2
4 2
（2）小球在最高點的速度為 v cosα，根據牛頓第二定律
2
= ( 0cos )
解得曲率半徑
2 2
= 0cos
（3） 衛星在橢圓軌道上運行，由橢圓的對稱性，近地點 P 和遠地點 Q 的等效圓周運動的半徑相等，設
為 l，根據萬有引力定律和牛頓第二定律，衛星在近地點時
2
2 =
1

衛星在遠地點時
2
2 2 =
解得
=

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