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4
第二章
單擺
重難點(diǎn)
2
知道影響單擺周期的因素，掌握單擺的周期公式.
1
知道單擺的概念和單擺振動(dòng)時(shí)回復(fù)力的來源.
重點(diǎn)
判天地之美，析萬物之理 —莊子
單擺及其回復(fù)力
蕩起的秋千、擺動(dòng)的鐘擺、晃動(dòng)的風(fēng)鈴、海盜船等，它們?cè)谪Q直平面內(nèi)平衡位置附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)是不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)呢？
(一)單擺
(1)定義：細(xì)線一端固定在懸點(diǎn)，另一端系一個(gè)小球，如果細(xì)線的質(zhì)量與小球相比可以忽略；球的直徑與線的長(zhǎng)度相比也可以忽略，這樣的裝置就叫作單擺.
(2)單擺是實(shí)際擺的理想化模型.
1.實(shí)際擺可以看成單擺需要滿足哪些條件？
(1)形變要求：擺線的形變量與擺線長(zhǎng)度相比可以忽略.
(2)質(zhì)量要求：細(xì)線的質(zhì)量與小球相比可以忽略.
(3)長(zhǎng)度要求：小球的直徑與線的長(zhǎng)度相比可以忽略.
(4)受力要求：空氣阻力與擺球的重力及細(xì)線的拉力相比可以忽略.
盡量選擇質(zhì)量大、體積小的球和盡量細(xì)的線
2.結(jié)合單擺模型的特點(diǎn)想一想，下列裝置能否視為單擺，為什么？
都不能.(1)中橡皮筋的伸縮不能忽略；
(2)(3)中乒乓球和大木球擺動(dòng)時(shí)，空氣阻力不能忽略；
(3)中大木球的直徑與線的長(zhǎng)度相比也不能忽略.
如圖，是單擺運(yùn)動(dòng)的頻閃照片，擺球在最低點(diǎn)兩側(cè)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)是機(jī)械振動(dòng)，那么單擺的運(yùn)動(dòng)是不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)？用什么方法探究單擺的振動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)？
①單擺的回復(fù)力與位移是否成正比并且方向相反，即：F=-kx；
②分析單擺位移與時(shí)間的關(guān)系是否滿足正弦關(guān)系：x＝Asin(ωt＋φ)
t
B
A
O
x
切向（回復(fù)力）:
徑向（向心力）:
方法一：從單擺的受力特征判斷
如圖，單擺擺長(zhǎng)為l、擺球質(zhì)量為m.將擺球拉離平衡位置O后釋放，擺球沿圓弧做往復(fù)運(yùn)動(dòng).當(dāng)擺球沿圓弧運(yùn)動(dòng)到某一位置P時(shí)，擺線與豎直方向的夾角為θ(θ很小).
平衡位置：最低點(diǎn)O
O
O'

mg
T
P
在擺角小于5度的條件下：sinθ≈θ（弧度值）

x
結(jié)論：當(dāng)擺角很小時(shí)，單擺在豎直面內(nèi)的擺動(dòng)可看作是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).
當(dāng)θ很小時(shí)()
sinθ≈θ
x≈弧長(zhǎng)=l ·θ
mgsin mg x
x k x
位移方向與回復(fù)力方向相反
方法二：從單擺的振動(dòng)圖象（x-t圖像）判斷
細(xì)線下懸掛一個(gè)漏斗，漏斗內(nèi)裝滿沙子。當(dāng)漏斗擺動(dòng)時(shí)，沿著垂直于擺動(dòng)的方向勻速拖動(dòng)木板，觀察呈現(xiàn)在木板上的沙子圖樣。
(二)單擺的回復(fù)力
(1)來源：擺球的重力沿圓弧切線方向(填“切線方向”或“法線方向”)的分力提供回復(fù)力.
(2)規(guī)律：在偏角很小的情況下，擺球所受的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向總是指向平衡位置，即F＝ .從回復(fù)力特點(diǎn)可以判斷單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).
(1)單擺的運(yùn)動(dòng)一定是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)嗎？
單擺的運(yùn)動(dòng)不一定是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，只有在擺角較小的情況下才能看成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，理論上一般擺角不超過5° .
單擺的回復(fù)力不是擺球所受的合外力.單擺的運(yùn)動(dòng)可看成變速圓周運(yùn)動(dòng)，其重力可分解為沿懸線方向的分力和沿圓弧切線方向的分力，重力沿圓弧切線方向的分力提供使擺球沿圓弧振動(dòng)的回復(fù)力.
(2)單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力就是單擺所受的合力嗎？
(3)擺球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)O(平衡位置)時(shí)回復(fù)力是否為零？合力是否為零？

O
FT
G
1.下列有關(guān)單擺擺球在運(yùn)動(dòng)過程中受力的說法，正確的是
A.單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力和擺線拉力的合力
B.單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向的一個(gè)分力
C.單擺經(jīng)過平衡位置時(shí)所受合力為零
D.單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是擺線拉力的一個(gè)分力
√
單擺運(yùn)動(dòng)時(shí)是在一段圓弧上，因此單擺運(yùn)動(dòng)過程中不僅有回復(fù)力，而且有向心力，即單擺所受的合力不僅要提供回復(fù)力，還要提供向心力，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向的一個(gè)分力，而不是擺線拉力的一個(gè)分力，選項(xiàng)B正確，D錯(cuò)誤；
單擺經(jīng)過平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，向心力最大，故其合力不為零，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.
2.(2022·青島一中月考)圖中O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，現(xiàn)將擺球(可視為質(zhì)點(diǎn))拉至A點(diǎn)，此時(shí)細(xì)線處于張緊狀態(tài)，釋放擺球，擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、C之間來回?cái)[動(dòng)，B點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)中的最低位置，
則在擺動(dòng)過程中
A.擺球受到重力、拉力、向心力、回復(fù)力四個(gè)力的作用
B.擺球在A點(diǎn)和C點(diǎn)處，速度為零，合力與回復(fù)力也為零
C.擺球在B點(diǎn)處，速度最大，細(xì)線拉力也最大
D.擺球在B點(diǎn)處，速度最大，回復(fù)力也最大
√
擺球在運(yùn)動(dòng)過程中只受到重力和拉力作用，A錯(cuò)誤；
擺球在擺動(dòng)過程中，在最高點(diǎn)A、C處速度為零，回復(fù)力最大，合力不為零，在最低點(diǎn)B處，速度最大，回復(fù)力為零，細(xì)線的拉力最大，C正確，B、D錯(cuò)誤.
3.(多選)如圖所示為一單擺的振動(dòng)圖像，則
A.t1和t3時(shí)刻擺線的拉力等大
B.t2和t3時(shí)刻擺球速度相等
C.t3時(shí)刻擺球速度正在減小
D.t4時(shí)刻擺線的拉力正在減小
√
√
由題圖可知，t1和t3時(shí)刻擺球的位移相等，根據(jù)對(duì)稱性可知單擺振動(dòng)的速度大小相等，故擺線拉力大小相等，故A正確；
t2時(shí)刻擺球在負(fù)的最大位移處，速度為零，t3時(shí)刻擺球向平衡位置運(yùn)動(dòng)，所以t2和t3時(shí)刻擺球速度不相等，故B錯(cuò)誤；
t3時(shí)刻擺球正衡位置，速度正在增大，故C錯(cuò)誤；
t4時(shí)刻擺球正遠(yuǎn)離平衡位置，速度正在減小，擺線拉力也減小，故D正確.
單擺的周期
一條短繩系一個(gè)小球，它的振動(dòng)周期較短。
懸繩較長(zhǎng)的秋千，周期較長(zhǎng)。
秒擺：用大約1 m長(zhǎng)的細(xì)線栓著小鋼球，它的周期大約為2 s ;
傅科擺：擺長(zhǎng)大約67 m的傅科擺，它的周期約為16.43 s
傅科擺
不同的單擺周期不同，那么單擺的周期與哪些因素有關(guān)？
應(yīng)該采用什么實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行研究？
擺長(zhǎng)l、擺球質(zhì)量m、振幅A
探究方法：控制變量法，
研究單擺的振幅、質(zhì)量、擺長(zhǎng)對(duì)周期的影響。
現(xiàn)象和結(jié)論：兩擺同步擺動(dòng)，說明周期與振幅無關(guān)，即擺長(zhǎng)和質(zhì)量相同，振幅不同，周期相同。
單擺的等時(shí)性：?jiǎn)螖[的周期與振幅無關(guān)的性質(zhì)。
實(shí)驗(yàn)一：將擺長(zhǎng)相同、質(zhì)量相同的擺球拉到不同高度（即振幅不同，都在小偏角下）自由釋放，觀察兩擺的擺動(dòng)情況。
定性研究影響單擺周期的因素
超鏈接：科學(xué)趣話
實(shí)驗(yàn)二：將擺長(zhǎng)相同、質(zhì)量不同擺球拉到同一高度（振幅相同）自由釋放，觀察兩擺的擺動(dòng)情況 。
現(xiàn)象和結(jié)論：兩擺同步擺動(dòng)，說明周期與質(zhì)量無關(guān)，
即：擺長(zhǎng)和振幅相同，質(zhì)量不同，周期相同。
實(shí)驗(yàn)三：將擺長(zhǎng)不同、質(zhì)量相同擺球拉到同一高度（振幅相同）自由釋放，觀察兩擺的擺動(dòng)情況。
現(xiàn)象和結(jié)論：兩擺不同步擺動(dòng)，說明周期與擺長(zhǎng)有關(guān)，
即：振幅和質(zhì)量相同，擺長(zhǎng)不同，周期不同，擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期越大。
實(shí)驗(yàn)結(jié)論：?jiǎn)螖[做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期與擺長(zhǎng)有關(guān)，擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期越大；單擺的周期與擺球質(zhì)量和振幅無關(guān)。
荷蘭物理學(xué)家惠更斯（1629-1695）通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步得到：?jiǎn)螖[做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期 T 與擺長(zhǎng) l 的二次方根成正比，與重力加速度 g 的二次方根成反比。
單擺的周期
單擺偏角很小時(shí)成立(偏角小于5°).
1.單擺振動(dòng)的周期與擺球質(zhì)量無關(guān)(填“有關(guān)”或“無關(guān)”)，與振幅無關(guān)(填“有關(guān)”或“無關(guān)”)，但與擺長(zhǎng)有關(guān)(填“有關(guān)”或“無關(guān)”)，擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期越大(填“越大”“越小”或“不變”).
2.單擺的周期公式T＝ .
3.首先得出單擺周期公式的科學(xué)家是惠更斯.
單擺的擺長(zhǎng)l等于懸線的長(zhǎng)度嗎？
對(duì)于實(shí)際的單擺，擺長(zhǎng)l指懸點(diǎn)到擺球球心的距離
4.如圖所示單擺的周期為T，則下列說法正確的是
A.把擺球質(zhì)量增加一倍，其他條件不變，則單擺
的周期變小
B.把擺角α變小，其他條件不變，則單擺的周期變小
C.將此單擺從地球赤道移到兩極上，其他條件不變，則單擺的周期將變小
D.將單擺擺長(zhǎng)增加為原來的2倍，其他條件不變，則單擺的周期將變?yōu)?T
√
5.(多選)(2022·白城市洮南十中月考)甲、乙兩個(gè)單擺的振動(dòng)圖像如圖所示，根據(jù)振動(dòng)圖像可以判定
A.若甲、乙兩單擺在同一地點(diǎn)擺動(dòng)，甲、乙兩單
擺擺長(zhǎng)之比是9∶4
B.甲、乙兩單擺振動(dòng)的頻率之比是3∶2
C.甲、乙兩單擺振動(dòng)的周期之比是2∶3
D.若甲、乙兩單擺在不同地點(diǎn)擺動(dòng)，但擺長(zhǎng)相同，則甲、乙兩單擺所在
地點(diǎn)的重力加速度之比為9∶4
√
√
√
擺長(zhǎng)相同，則g甲∶g乙＝T乙2∶T甲2，即甲、乙兩單擺所在地的重力加速度之比為9∶4，故D正確.
6.(課本第50頁第2題)周期是2 s的單擺叫秒擺，秒擺的擺長(zhǎng)是多少？把一個(gè)地球上的秒擺拿到月球上去，已知月球上的自由落體加速度為1.6 m/s2，它在月球上做50次全振動(dòng)要用多長(zhǎng)時(shí)間？
答案　擺長(zhǎng)約為1 m，50次全振動(dòng)約250 s.
則它在月球上做50次全振動(dòng)的時(shí)間為50×5 s＝250 s.
簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述
目標(biāo)一：?jiǎn)螖[及其回復(fù)力
1.單擺是理想化模型
2.回復(fù)力
目標(biāo)二：?jiǎn)螖[的周期：
T = 2π
來源：重力沿切線方向的分力
表達(dá)式：
伽利略18歲時(shí)，到教堂做禮拜，他發(fā)現(xiàn)吊燈
擺動(dòng)的幅度在慢慢地在變小，但擺動(dòng)一次所
用時(shí)間卻沒有變化，他用自己的脈搏的跳動(dòng)
次數(shù)來測(cè)算，終于肯定了吊燈擺動(dòng)周期與擺
動(dòng)的幅度無關(guān).
后來，他利用單擺擺動(dòng)的等時(shí)性規(guī)律制成了一個(gè) “脈搏計(jì)”，幫助判斷病人患病的情況.
科學(xué)趣話：伽利略發(fā)現(xiàn)單擺的等時(shí)性
惠更斯于1656年發(fā)明了世界上第一個(gè)用擺的等時(shí)性來計(jì)時(shí)的時(shí)鐘。（1657年獲得專利權(quán)）
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