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第二章
3
簡諧運動的回復力與能量
重難點
2
會用能量守恒的觀點分析水平彈簧振子在振動過程中動能、勢能、總能量的變化規律.
1
理解回復力的概念，理解簡諧運動的動力學特征.
重點
物體的運動跟它的受力有關，那么簡諧運動的受力有何特點呢？
運動 受力特點 受力情況 與速度的方向關系
勻速直線運動 勻變速直線運動
曲線運動
（類）平拋運動
勻速圓周運動
簡諧運動
F合的方向與速度在一條直線上
F合的方向與速度方向有一夾角
F合的方向與速度方向始終垂直
F合的方向與速度方向始終垂直
？
？
簡諧運動的回復力
如圖所示為水平方向的彈簧振子模型.小球原來靜止在O點，現在用力將它壓至A點，松手釋放后，小球便在A、B之間往復運動.
觀察與思考
(1)小球為什么會做往復運動？
小球偏離平衡位置向一側運動時，彈簧的彈力使小球的運動速度逐漸減小直到減為0，然后在彈力的作用下運動速度又逐漸增大并回到平衡位置.由于慣性，到達平衡位置后小球會繼續向另一側運動.
(2)使振子回到平衡位置的力與振子離開平衡位置的位移的大小及方向有何關系？
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
B
C
D
A
x
x
x
x
x
x
F
F
F
F
F
F
彈簧彈力與位移大小成正比，方向與位移方向相反，總是指向平衡位置.
F回=-kx
P
小球偏離平衡位置的位移大小為x時
彈簧彈力的大小：F=kx k：彈簧的勁度系數
彈簧彈力與位移大小成正比，方向與位移方向相反，總是指向平衡位置.
(1)定義：使振動物體回到平衡位置的力.
(2)方向：總是與位移x的方向相反，即總是指向平衡位置.
(3)表達式：F＝－kx.
①對一般的簡諧運動，回復力不一定是彈簧的彈力，所以k不一定是勁度系數而是回復力與位移的比例系數.其值由振動系統決定，與振幅無關.
②“－”號表示回復力的方向與偏離平衡位置的位移的方向相反.
1.簡諧運動的回復力
如果物體在運動方向上所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比，并且總是指向平衡位置，質點的運動就是簡諧運動.
2.簡諧運動的動力學定義
即回復力滿足 F= -kx的運動就是簡諧運動。
1.怎樣判斷一個物體是否在做簡諧運動？
思考與討論
(1)簡諧運動的回復力滿足F＝－kx；
(2)簡諧運動的振動圖像是正弦曲線.
2.回復力是性質力還是效果力？
回復力是指使振動的物體回到平衡位置的力，是根據力的作用效果來命名的，和向心力一樣，是效果力，它是由性質力來充當的，一定等于振動物體在振動方向上所受的合力.可能由合力、某個力或某個力的分力提供.所以在進行受力分析時，不能加上回復力.
3.簡諧運動的加速度有什么特點？
由F＝－kx及牛頓第二定律F＝ma可知：a＝ ，加速度a與位移x的大小成正比，方向與位移方向相反.
4.（1）在勁度系數為k，原長為L0的固定于一點的彈簧下端掛一質量為m的小物塊，釋放后小物塊做上下振動，此時彈簧沒有超出彈性限度，小木塊的振動是簡諧運動嗎？如果是，什么力充當回復力？
振子在c點受到的彈力為:
振子在c點受的回復力：
回復力滿足F＝－kx，是簡諧運動
彈簧彈力和重力的合力充當回復力
偏離平衡位置的位移
平衡位置b:
原長
靜止位置
a
b
c
規定向下為正方向
5.(課本第45頁第1題改編)把圖中傾角為θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距離，然后松開.假設空氣阻力可忽略不計，試證明小球的運動是簡諧運動.什么力充當回復力？
①平衡位置O：小球靜止時，受到重力、彈簧的拉力和斜面的支持力，沿斜面方向，彈簧拉力與重力的分力平衡：F0＝kx0＝mgsin θ
O
原長
③取沿斜面向下為正方向
彈簧彈力與重力分力的合力充當回復力！
O
原長
②彈簧拉長至距離平衡位置x處時的彈力：F＝k(x＋x0)
④小球沿斜面方向所受的合外力：
F′＝－F＋mgsin θ＝－k(x＋x0)＋kx0＝－kx，小球的運動是簡諧運動.
判斷物體的振動是否為簡諧運動的方法
(1)確定平衡位置；
(2)讓質點沿振動方向偏離平衡位置的位移為x；
(3)對物體進行受力分析；
(4)規定正方向，求出指向平衡位置的合力(回復力)，判斷是否符合F＝－kx.
歸納總結
1.關于簡諧運動的回復力，以下說法正確的是
A.簡諧運動的回復力是恒力
B.簡諧運動公式F＝－kx中k是彈簧的勁度系數，x是彈簧的長度
C.做簡諧運動的物體沿振動方向的加速度方向與位移方向總是相反
D.做簡諧運動的物體每次經過平衡位置時合力一定為零
√
根據簡諧運動的定義可知，物體做簡諧運動時，受到的回復力為F＝－kx，k是比例系數，x是物體相對平衡位置的位移，x不斷變化，回復力不是恒力，故A、B錯誤；
回復力方向總是指向平衡位置，與位移方向相反，根據牛頓第二定律，加速度的方向與合外力的方向相同，所以做簡諧運動的物體沿振動方向的加速度方向與位移方向總是相反，故C正確；
做簡諧運動的物體經過平衡位置時回復力為0，合力不一定為0，故D錯誤.
2.(2022·天津四十三中高二期中)如圖所示，質量為m的物體A放置在質量為M的物體B上，B與水平彈簧相連，它們一起在光滑水平面上做簡諧運動，振動過程中A、B之間始終無相對運動，設彈簧的勁度系數為k，當物體離開平衡位置的位移為x時，A、B間摩擦力的大小等于
√
3.(多選)如圖所示，物體系在兩彈簧之間，彈簧的勁度系數分別為k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，兩彈簧均處于自然狀態.現在向右拉動物體，然后釋放，物體在B、C間振動，O為平衡位置(不計阻力).設向右為正方向，物體相對O點的位移為x，則下列判斷正確的是
A.物體做簡諧運動，OC＝OB
B.物體做簡諧運動，OC≠OB
C.物體所受合力F＝－kx
D.物體所受合力F＝－3kx
√
√
當物體相對O點的位移為x時，則物體所受的合力F＝－k1x－k2x＝－(k2＋k1)x＝－3kx，D正確，C錯誤；
由表達式可知物體做的是簡諧運動，由簡諧運動的對稱性可得OC＝OB，A正確，B錯誤.
簡諧運動的能量
如圖所示為水平方向的彈簧振子，振子在A、B之間往復運動.
觀察與思考
(1)從A到B的運動過程中，振子的動能如何變化？彈簧的彈性勢能如何變化？振動系統的機械能是否變化？
振子的動能先增大后減小；彈簧的彈性勢能先減小后增大；機械能保持不變.
A→O：彈性勢能轉化為動能 O→B：動能轉化為彈性勢能
(2)如果把振子振動的振幅增大，振子回到平衡位置的動能是否增大？振動系統的機械能是否增大？振動系統的機械能的大小與什么因素有關？
(3)實際的振動系統有空氣阻力和摩擦阻力，能量是否損失？理想化的彈簧振動系統，忽略空氣阻力和摩擦阻力，能量是否損耗？
振子回到平衡位置的動能增大；振動系統的機械能增大.振動系統的機械能與彈簧的勁度系數和振幅有關.
實際的振動系統有能量損耗；理想化的彈簧振動系統沒有能量損耗.
1.簡諧運動的能量：簡諧運動的能量是指物體在經過某一位置時所具有的勢能和動能之和.
2.能量轉化：彈簧振子運動的過程就是動能和勢能互相轉化的過程.
(1)在最大位移處，勢能最大，動能為零.
(2)在平衡位置處，動能最大，勢能最小.
簡諧運動的能量
3.能量特點：(1)在簡諧運動中，振動系統的機械能守恒.
(2)忽略了運動過程中的能量損耗，因而簡諧運動是一種理想化模型.
機械能
勢能
動能
4.決定能量大小的因素：振動系統的機械能與振幅有關，振幅越大，機械能就越大，振動越強.
小球在A、B間做簡諧運動，根據簡諧運動中各物理量變化的特點，填寫表格
思考與討論
A A→O O O→B B
x
v
F、a
向左、最大 向左減小 0 向右增大 向右、最大
0 向右增大 向右最大 向右減小 0
向右、最大 向右減小 0 向左增大 向左、最大
動能 勢能
總機 械能 動能為0、勢能最大 動能增大、勢能減小 動能最大、勢能為0 動能減小、勢能增大 動能為
0、勢能
最大
從平衡位置開始計時，取向右為正方向，如圖為簡諧運動中各物理量隨時間變化的圖像
O
t
x
1.位移
O
t
F
2.回復力
O
t
a
3.加速度
O
t
v
4.速度
O
t
Ek
5.動能
O
t
EP
6.勢能
T
T
T
T
T
T
歸納總結
4.(多選)一個彈簧振子做簡諧運動的周期為T，設t1時刻小球不在平衡位置，經過一段時間到t2時刻，小球的速度與t1時刻的速度大小相等、方向相同，t2－t1< ，如圖所示，則
A.t2時刻小球的加速度一定跟t1時刻的加速度大小
相等、方向相反
B.在t1～t2時間內，小球的加速度先減小后增大
C.在t1～t2時間內，小球的動能先增大后減小
D.在t1～t2時間內，彈簧振子的機械能先減小后增大
√
√
√
由題圖可知t1、t2時刻小球的加速度大小相等，方向相反，A正確；
在t1～t2時間內回復力先減小后增大，所以小球的加速度先減小后增大，B正確；
在t1～t2時間內，小球的速度先增大后減小，
所以動能先增大后減小，C正確；
簡諧運動的機械能守恒，D錯誤.
5.(課本第45頁第4題)如圖為某物體做簡諧運動的圖像，在0～1.5 s范圍內回答下列問題.
(1)哪些時刻物體的回復力與0.4 s時的回復力相同？
(2)哪些時刻物體的速度與0.4 s時的速度相同？
0.6s、1.2s、1.4s
0.2s、1.0s、1.2s
(3)哪些時刻的動能與0.4 s時的動能相同？
(4)哪段時間的加速度在減小？
(5)哪段時間的勢能在增大？
0、0.2s、0.6s、0.8s、1.0s、1.2s、1.4s
0.1~0.3s、0.5~0.7s、0.9~1.1s、1.3~1.5s
0~0.1s、0.3~0.5s、0.7~0.9s、1.1~1.3s
目標一：簡諧運動的回復力
簡諧運動的描述
目標二：簡諧運動的能量
方向：指向平衡位置
簡諧運動的動力學定義：回復力滿足 F= -kx的運動就是簡諧運動
表達式：F ＝－kx
能量轉化：彈簧振子的運動過程實際上是動能和彈性勢能的相互轉化
簡諧運動是理想化模型
能量特點：機械能守恒

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