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物體靜態平衡的三種模型解讀與精練
模型一 輕繩與掛件模型
【模型解讀】
輕繩與掛件模型包含容易混淆的“死結”與“活結”。
輕繩中的“活結”是指由輕繩跨過光滑滑輪或輕繩上掛光滑掛鉤組成?！盎罱Y”的特點是“活結”相對輕繩可以自由移動。由于與“活結”相關聯的是同一根輕繩，因此“活結”兩側輕繩中拉力相等。
輕繩中的“死結”是指由三根輕繩或三根以上輕繩連接的結點，“死結”的特點是“死結”相對輕繩不可以自由移動。若“死結”處于平衡狀態，可以“死結”為研究對象分析受力，利用平衡條件列方程解答；若“死結”處于非平衡狀態，可以“死結”為研究對象分析受力，利用牛頓運動定律列方程解答。
【典例分析】
【典例1】（2023﹒安徽安慶示范性高中4月聯考，多選│“活結”模型）如圖所示，物塊置于一粗糙斜劈上，通過一輕質細線繞過兩個光滑輕質小滑輪與小球相連，小球穿在水平橫桿上，滑輪2下方吊著物體，初始時整個系統保持靜止。已知，，、、三個質量均為，與斜劈、與橫桿之間的動摩擦因數均為，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。若將向右緩慢移動直至，物體仍處于靜止狀態，與1之間的細線始終與斜面平行，以下說法正確的是
A. 與斜劈的摩擦力以及與橫桿之間的摩擦力都將變大
B. 與斜劈的摩擦力始終沿斜面向下（除外）
C. 與斜劈的摩擦力最小值為0
D. 斜劈受到地面的最大摩擦力為
【解析】將向右緩慢移動直至的過程中，細線上的拉力由mg逐漸減小到，
【名師點撥】建構“活結”模型，動滑輪兩邊細線上拉力相等，時，每根細線上拉力均為，當時，細線上的拉力為。
物體重力沿斜面方向的分量為，對物體，由平衡條件可知，物體所受斜劈的
【名師點撥】受力分析時起決定作用的是動滑輪兩側細線上拉力變化，將向右緩慢移動直至的過程中，增大，細線上拉力增大，與橫桿之間的摩擦力增大。
摩擦力方向沿斜面向下，逐漸減??；對小球受力分析，由平衡條件可知，與橫桿之間的摩擦力水平向左，逐漸減小，時，摩擦力為零，A錯誤B、C正確；把斜劈和物體看作整體，時，受到與水平方向成30°的細線拉力，斜劈受到地面的摩擦力最大，最大摩擦力，D正確。
【答案】BCD
【規律總結】
輕繩與掛件模型中的“活結”一般由輕繩跨過滑輪或在輕繩上掛一光滑掛鉤形成。
解決“活結”模型的三部曲：一、抓住關鍵——“活結”兩側輕繩中拉力相等，且“活結”兩側拉力的合力方向一定沿兩側輕繩夾角的平分線；二、受力分析——對“活結”受力分析；三、分析求解——對于平衡問題，利用共點力平衡條件列方程解答。
【典例2】（2023﹒遼寧鞍山一模│“死結”模型）掛燈籠的習俗起源于1800多年前的西漢時期，已成為中國人喜慶的象征。如圖所示，由五根等長的輕質細繩懸掛起四個質量相等的燈籠，中間的細繩是水平的，另外四根細繩與水平面所成的角分別為θ1和θ2。關于θ1和θ2，下列關系式中正確的是
A. θ1=2θ2 B. θ1=3θ2
C. sinθ1=3sinθ2 D. tanθ1=2tanθ2
【解析】以左邊兩個燈籠為整體，設水平方向繩子上拉力為，則有，
【名師點撥】建構“死結”模型，死結兩端細繩上拉力不一定相等，可以利用整體法+隔離法進行解題。
以左邊第二個燈籠研究對象，則有，聯立可得，D正確。
【答案】D
【模型突破】
輕繩中“死結”模型的特點：“結點”不能沿輕繩移動，“死結”結點兩側的輕繩中拉力不一定相等。
解決“死結”模型的三部曲：一、確定結點兩側輕繩中彈力方向；二、對結點受力分析；三、分析求解——如果結點處于平衡狀態，可以利用共點力平衡條件列方程求解，如果結點處于非平衡狀態，一般需要結合與結點相關的其他物體，利用牛頓第二定律分析求解。
【模擬題精練】
1. . (2024安徽蕪湖重點高中二模)如圖所示，光滑圓環豎直固定，ac為水平直徑，bd為豎直直徑，一根輕繩P端固定在豎直墻面上，輕繩跨過圓環后另一端Q與重物B相連，輕質動滑輪掛在輕繩上，動滑輪下吊著重物A，Pbd所在平面與圓環所在平面垂直，A、B均處于靜止狀態，不計一切摩擦，下列說法正確的是（　　）
A. 若將豎直圓環向右平移，則PQ繩中拉力變大
B. 若將豎直圓環向右平移，則PQ繩對圓環拉力不變
C. 若將輕繩Q端懸系在豎直圓環上，則懸點從a到b移動的過程中繩中拉力保持不變
D. 若將輕繩Q端懸系在豎直圓環上，則懸點從a到b移動的過程中繩中拉力一直增加
【參考答案】B
【名師解析】
重物A、B均處于靜止狀態，對B，根據平衡條件可得
對A，設繩子間的夾角為，根據平衡條件可得
可知拉力T和繩子間夾角均保持不變，故A錯誤，B正確；
若將輕繩Q端固定在豎直圓環上，則懸點a到b移動的過程中，懸點之間的水平距離變小，繩間夾角逐漸減小，繩中拉力逐漸減小，故CD錯誤。
2. （2024湖北武漢江岸區調考）如圖所示，質量為的均質細直桿AB豎直立于光滑水平面上，一根不可伸長的輕繩一端固定于點，另一端跨過光滑定滑輪連接質量為的物體E，輕繩AD部分始終保持水平。另一彈性輕繩AC兩端分別固定于點和地面上的點。整個系統處于靜止狀態，此時AC繩與AB桿夾角，已知重力加速度為。則（　　）
A. 此時彈性繩AC中的拉力大小等于
B. 此時地面對AB桿的支持力大小等于
C. 將點向左平移一小段距離，系統仍保持靜止，則地面對AB桿的支持力大小不變
D. 將點向右平移一小段距離，系統仍保持靜止，則彈性繩AC拉力大小增大
【參考答案】D
【名師解析】
．對點A，水平方向受力平衡
解得
A錯誤；
對桿受力分析，如圖
可得
B錯誤；
C．將C點向左平移一小段距離，系統仍保持靜止，則變大，由上述分析，地面對桿的支持力
變小，C錯誤；
將C點向右平移一小段距離，系統仍保持靜止，則變小，彈性繩AC拉力
增大，D正確。
。
3. （2024寧夏銀川一中第六次月考）工地上甲、乙兩人用如圖所示的方法將帶掛鉤的重物抬起。不可伸長的輕繩兩端分別固定于剛性直桿上的A、B兩點，輕繩長度大于A、B兩點間的距離。現將掛鉤掛在輕繩上，乙站直后將桿的一端搭在肩上并保持不動，甲蹲下后將桿的另一端搭在肩上，此時物體剛要離開地面，然后甲緩慢站起至站直。已知甲的身高比乙高，不計掛鉤與繩之間的摩擦。在甲緩慢站起至站直的過程中，下列說法正確的是（ ）
A. 輕繩的張力大小一直不變
B. 輕繩的張力先變大后變小
C. 輕繩的張力先變小后變大
D. 輕繩對掛鉤的作用力先變大后變小
【參考答案】B
【名師解析】
如圖
設輕繩的夾角為，則輕繩上的拉力
當甲緩慢站起至站直的過程中輕繩間的夾角先變大，當桿水平時輕繩間夾角最大，然后變小，輕繩的張力先變大后變小，故B正確，ACD錯誤。
4 （2023﹒重慶一中質檢） 如圖所示為某同學設計的簡易晾衣裝置，一輕繩兩端分別固定于天花板上A、B兩點，通過光滑輕質動滑輪和另一根輕繩將衣物豎直懸掛在空中，兩根輕繩所能承受的最大拉力相同，若晾曬的衣物足夠重時繩先斷，則
A. B C. D. 不論為何值，總是繩先斷
【參考答案】. A
【名師解析】根據對稱性可知，繩與繩上拉力大小相等，由平衡條件得，
【模型建構】建構“活結”模型，“活結”兩端的繩上拉力相等。
當衣物足夠重時繩先斷，說明，則得到，解得，A正確。
5 .（2023﹒遼寧本溪下學期期中）如圖所示，直桿彎折成90°固定在豎直面內，段豎直，段水平，繞過光滑滑輪的不可伸長的細線兩端分別固定在上，質量為的小球吊在滑輪下，靜止時，段細線與豎直方向的夾角，不計滑輪及細線的重力，重力加速度為，則
A. 細線上的拉力大小為
B. 僅將端緩慢沿桿向上移，細線上拉力變小
C. 僅將端緩慢沿桿向左移，細線上拉力增大
D. 僅將端緩慢沿桿向下移，滑輪接觸到桿之前，不可能出現段細線水平的情況
【參考答案】. D
【名師解析】根據力的平衡，設細線上的拉力為T，則，解得，A錯誤；僅將D端緩慢沿桿向上移，根據幾何關系可知，細線與豎直方向的夾角不變，因此拉力大小
【點撥】兩點之間的水平距離不變，間的細線長度不變，則上下移動點位置時角不變，可以延長根據對稱性驗證這一結論。
不變，B錯誤；僅將E端緩慢沿桿向左移，細線與豎直方向的夾角變小，因此拉力減小，C
【二級結論】同一根細線“活結”模型，兩端點移動時細線上拉力“近小遠大縱不變”。
錯誤；僅將D端緩慢沿桿向下移，在滑輪到達端前，由于滑輪兩邊細線與豎直方向的夾角總是相等，因此段細線始終不可能變成水平，D正確。
6.（2023﹒湖南衡陽二中4月質檢│相似三角形）如圖所示，豎直面內固定一半徑為的光滑大圓環軌道，為圓心，在大圓環的最高點固定了一個光滑的小滑輪，兩個小球套在大圓環軌道上通過跨過小滑輪的細繩相連，已知當兩小球靜止時，輕繩和豎直方向間的夾角分別為，球的質量為，重力加速度為，則細繩對滑輪的作用力大小為
A. B.
C. D.
【參考答案】. B
【名師解析】滑輪到小球的距離，由圖示可知，小球的受力矢量三角形與對應的幾何三角形相似，則有，解得
【模型建構】為最高點，單獨分析球或者球，重力豎直向下平行于，拉力沿著細繩方向，圓環軌道提供的支持力反向延長線過圓心，典型的相似三角形模型。
，則繩對滑輪的作用力，B正確。
7. （2023.河南創新發展聯盟二模，多選）社會主義核心價值觀基本內容為富強、民主、文明、和諧、自由、平等、公正、法治、愛國、敬業、誠信、友善。某公司為了宣傳社會主義核心價值觀基本內容，用一根輕質細繩將12盞燈籠按如圖所示的形式依次懸掛起來,為了追求美感，平衡時左、右兩側細繩與豎直方向的夾角均為45°，相鄰兩燈籠間的水平距離均為 ，富強、友善兩盞燈籠結點的高度均為，每盞燈籠的質量均為，重力加速度大小為，下列說法正確的是
A.平等、公正兩燈籠間細繩中的張力大小為
B.愛國、敬業兩燈籠間細繩中的張力大小為
C.和諧燈籠的結點距地面的高度為
D.公正燈籠的結點距地面的高度為
【參考答案】. AC
【名師解析】
對平等燈籠右側的6盞燈籠整體進行受力分析,如圖甲所示,顯然 ,選項A正確；對單個燈籠受力分析,
【點撥】根據對稱性，6盞燈籠整體受到重力、水平方向拉力和傾斜方向拉力，合力為0，又拉力和水平方向45°角，所以水平拉力和重力大小相等。
如圖乙所示，可知，，…，，由于愛國與敬業兩燈籠之間細繩
【關鍵】單獨對公正燈籠受力分析得出，把公正、法治當成一個整體進行受力分析得出，其后的角度分別把不同的燈籠看成整體進行受力分析得出。
與水平方向的夾角滿足，所以細繩中的張力大小為，選項B錯誤；由于相鄰兩燈籠之間的水平距離為,所以和諧燈籠的結點距地面的高度為，公正燈籠的結點距地面的高度為，選項C正確，D錯誤。
8. （2023廣東實驗中學三模）我國“神舟十一號”飛船搭載了香港特區的中學生設計的“雙擺實驗”進入太空。受此啟發，某同學也設計了一個類似的雙擺實驗在學校實驗室進行研究，如下圖所示，將質量和大小都不同的兩個小鐵球分別系在一輕繩的中間和下端，其中上面的小球較小較輕，而輕繩的上端栓接在豎桿頂部，豎桿固定在小車上?，F在讓小車帶著兩個小球一起向左加速運動，不計空氣阻力，則下列四個圖中所示的姿態正確的是（　?。?br/>A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
對兩個小球整體分析，受到輕繩的拉力和重力，合力水平向左，如圖所示
由牛頓第二定律可得
可得
對較重小球分析，受到輕繩的拉力和重力，合力水平向左，如圖所示
由牛頓第二定律可得
可得
所以有
即兩段輕繩與豎直方向的夾角相同。
9 . (2023天津一中質檢) 如圖所示，傾角為的粗糙斜劈放在粗糙水平面上，物體a放在斜劈的斜面上，輕質細線一端固定在物體a上，另一端繞過光滑的定滑輪1固定在點，光滑滑輪2下懸掛物體b，系統處于靜止狀態。若將固定點向左移動少許，而物體a與斜劈始終靜止，則下列說法錯誤的是（　?。?br/>A. 斜劈對地面的壓力不變
B. 地面對斜劈的摩擦力增大
C. 斜劈對物體a的摩擦力大小可能不變
D. 若將固定點向下移動少許，斜劈對物體a的摩擦力不變
【答案】B
【解析】
對斜劈、物體、物體整體受力分析如下圖
受重力、地面的支持力、細線的拉力和地面的摩擦力，根據平衡條件有
支持力與角度無關，恒定不變，根據牛頓第三定律可知斜劈對地面的壓力不變，故A正確，不符合題意；
由平衡條件可知，地面對斜劈的摩擦力
可知隨著角度減小，地面對斜面的摩擦力減小，故B錯誤，符合題意；
對滑輪和物體ｂ受力分析如下圖
受重力和繩子兩端的拉力，因此為動滑輪，故兩段繩子上的拉力大小始終相同，根據平衡條件有
解得
當將固定點ｃ向左移動少許，則角減小，故拉力減??；對物體受力分析，當
則斜劈對物體沒有摩擦力，隨著拉力的減小，斜劈對物體的靜摩擦力沿著斜面向上逐漸增大；當
物體受到的靜摩擦力沿著斜面向下，隨著拉力減小，物體受到的靜摩擦力逐漸減小為零而后反向增大；當
物體受到的靜摩擦力沿著斜面向上，隨著拉力減小，物體受到的靜摩擦力仍沿著斜面向上，逐漸增大，綜合以上分析可知物體受到的摩擦力的大小可能減小、可能增大、也可能不變，故C正確，不符合題意；
若將固定點向下移動少許，角度不變，斜劈對物體的摩擦力不變，故D正確，不符合題意。
故選B。
10. （2023廣東名校聯盟大聯考）如圖所示，站在水平地面上的人通過輕繩繞過定滑輪A和輕質動滑輪B將一重物吊起。若系統在圖示位置靜止時B兩側輕繩的夾角為，A右側輕繩沿豎直方向，不計一切摩擦，此時人對地面恰好無壓力，則人與重物的質量之比為（　?。?br/>A. 1∶1 B. 1∶2 C. 2∶1 D. 2∶3
【答案】A
【解析】
人對地面恰好無壓力，則繩子的張力大小為
對重物分析有
解得人與重物的質量之比為
故選A。
　
11 如圖所示，一條不可伸長的輕質細繩一端跨過光滑釘子b懸掛一質量為m1的重物，另一端與另一輕質細繩相連于c點，ac＝，c點懸掛質量為m2的重物，平衡時ac正好水平，此時質量為m1的重物上表面正好與ac在同一水平線上且到b點的距離為l，到a點的距離為l，則兩重物的質量的比值為(　　)
A.　　　　B.2 　　　 C. 　　D.
【參考答案】C
【名師解析】
（1）　　受力關系：F1＝m1g
(2)　　受力關系：F2＝m2g
(3)　
(4)如何處理結點c的受力？
①　　　　
②　　　　
③　　　　
　解法一　合成法：因c點處于平衡狀態，所以任意兩個力的合力均與第三個力大小相等，方向相反，如圖甲所示，根據平行四邊形定則將力F與m1g合成，則sin θ＝，而sin θ＝＝，所以＝，選項C正確。
解法二　分解法：因c點處于平衡狀態，所以可在F、m1g方向上分解m2g，如圖乙所示，則同樣有sin θ＝，所以＝，選項C正確。
解法三　正交分解法：將傾斜繩拉力F1＝m1g沿豎直方向和水平方向分解，如圖丙所示，則m1gsin θ＝m2g，同樣可得＝，選項C正確。
12. （2024安徽安慶市二中第四次質檢）如圖所示，兩豎直桿P、Q相距L，把長為2L的細繩兩端系在P、Q兩桿上，結點分別為A、B，忽略打結對繩長的影響，用光滑輕質掛鉤把質量為m的重物掛在繩上，重物可看作質點，對下列操作的判斷正確的是（ ）
A. 僅緩慢下移結點B，重物的運動軌跡是直線
B. 僅緩慢向右移動Q桿，重物的運動軌跡是直線
C. 僅將結點B緩慢下移距離y，重力對重物做功為
D. 僅緩慢向右移動Q桿過程中，細繩的張力始終為
【參考答案】A
【名師解析】
選項A．如圖
由平衡關系可知
可知
根據幾何關系可知
可得
既AO與豎直方向的夾角始終是30°，所以僅緩慢下移結點B，重物的運動軌跡是直線，故A正確；
B．由幾何關系可知
則
僅緩慢向右移動Q桿，MN變大，則α變大，重物的運動軌跡是曲線，故B錯誤；
C．僅緩慢把結點B下移距離y，如圖
由幾何關系可知
重力對重物做功為
故C錯誤；
D．由受力平衡可得
又
可得
僅緩慢向右移動Q桿過程中，變大，則張力變大，故D錯誤。
13. （2024陜西咸陽一模）如圖所示，用一段繩子把輕質滑輪吊裝在A點，一根輕繩跨過滑輪，繩的一端拴在井中的水桶上，人用力拉繩的另一端，滑輪中心為O點，人所拉繩子與OA的夾角為，拉水桶的繩子與OA的夾角為。人拉繩沿水平地面向左運動，把井中質量為m的水桶緩慢提上來，人的質量為M，重力加速度大小為g，在此過程中，以下說法正確的是（　　）
A. 不一定等于
B. 吊裝滑輪的繩子上的拉力逐漸變大
C. 地面對人的摩擦力逐漸變小
D. 地面對人的支持力逐漸變大
【參考答案】D
【名師解析】
水桶慢慢上升，繩子拉力始終等于水桶的重力，對滑輪受力分析可得

垂直于方向有
可得
沿方向有
故始終等于，吊裝滑輪的繩子上的拉力不變，故AB錯誤；
C．對人受力分析可得

水平方向有
其中
人拉繩沿水平地面向左運動，逐漸增大，故地面對人的摩擦力逐漸變大，故C錯誤；
D．豎直方向有
地面對人的支持力為
故地面對人的支持力逐漸增大，故D正確。
14. （2024山東泰安期末）在建筑工地上經常使用吊車起吊貨物。為了研究問題方便，把吊車簡化成如圖所示的模型，支撐硬桿OP的一端裝有定滑輪，O點為定滑輪的轉軸，另一端固定在車體上，質量不計的鋼絲繩索繞過定滑輪吊起質量為m的物件緩慢上升，滑輪兩側繩子的夾角為60°，不計定滑輪質量和滑輪與繩索及軸承之間的摩擦，重力加速度為g。則下列說法中正確的是（　?。?br/>A. 轉軸對定滑輪作用力方向豎直向上
B. 轉軸對定滑輪的作用力方向一定沿著PO方向
C. 轉軸對定滑輪的作用力大小等于
D. 轉軸對定滑輪的作用力大小等于2mg
【參考答案】C
【名師解析】
以定滑輪為研究對象，鋼絲繩索對定滑輪的作用力方向如圖中所示，即為F合的方向，兩個力F的夾角小于120°，即，即即不沿豎直方向，也不沿OP方向，根據定滑輪受力平衡，合力為零，轉軸對定滑輪的作用力與等大反向，故AB錯誤；
CD．質量為m的物件緩慢上升，可看成勻速運動，則F=mg，由菱形特點可得
則，轉軸對定滑輪的作用力為
故C正確，D錯誤。
15.（2024河北安平中學自我提升） 甲、乙兩人用繩aO和bO通過裝在P樓和Q樓樓頂定滑輪，將質量為m的物塊由O點沿Oa直線緩慢地向上提升，如圖所示，為銳角。則在物塊由O點沿Oa直線緩慢上升直至bO處于水平的過程中，以下判斷正確的是（　?。?br/>A. aO繩和bO繩中的彈力逐漸減小
B. aO繩和bO繩中的彈力逐漸增大
C. aO繩中的彈力一直增大，bO繩中的彈力先減小后增大
D. aO繩中的彈力先減小后增大，bO繩中的彈力一直增大
【參考答案】C
【名師解析】
以物塊為研究對象，分析受力情況：重力G、bO的拉力F和繩子aO的拉力T，由平衡條件得知，F和T的合力與G大小相等、方向相反，當將物體向上緩慢移動，aO繩方向不變即T方向不變，bO繩繞O點逆時針轉動到水平過程中，作出三個轉動過程三個位置力的合成圖，如圖中由3到2到1的過程，由圖可以看出aO繩拉力T一直變大，bO繩彈力F先減小后變大。故C正確，ACD錯誤。
16. .(2024廣東中山高一期末) 如圖所示，質量為m1的物體甲通過三段輕繩懸掛，三段輕繩的結點為 O ，輕繩 OB 水平且 B 端與放在水平面上的質量為m2的人相連，輕繩 OA 與豎直方向的夾角 ，物體甲、人均處于靜止狀態。已知 。 g 取10 。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。則：
（1）輕繩 OA 、OB 受到的拉力分別是多大？
（2）人受到的摩擦力是多大？方向如何？
（3）若人的質量 ，人與水平面之間的動摩擦因數 ，欲使人在水平面上不滑動，則物體甲的質量m1最大不能超過多少？
【參考答案】（1） 、 ；（2） 方向水平向左；（3）24kg
【名師解析】
（1）以結點O為研究對象，如圖所示
沿水平方向和豎直方向建立直角坐標系，將 分解，由平衡條件有
聯立解得
（2）人水平方向受到OB繩的拉力和水平面的靜摩擦力，受力如圖所示
由平衡條件得
方向水平向左；
（3）當甲的質量增大到人剛要滑動時，質量達到最大，此時人受到的靜摩擦力達到最大值。 當人剛要滑動時，靜摩擦力達到最大值
由平衡條件得
FOBm=fm
又
聯立解得
即物體甲的質量 最大不能超過 24kg。
【速解】由受力分析可知，當和的夾角為120°時，繩上拉力相等，若和的夾角小于120°，則上拉力小于繩上拉力，衣物足夠重時繩先斷，符合題意，故選A。
【審題指導】12盞燈籠對稱懸掛，分析相互之間細繩上的張力通常使用整體法+隔離法。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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