資源簡介

第1講　機械振動
一、簡諧運動(選一第二章第1節和第3節)
1.定義:質點在運動方向上所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比,并且總是指向平衡位置的運動。
2.平衡位置:
物體在振動過程中回復力為零的位置。豎直彈簧振子中,小球靜止的位置是平衡位置,但此時彈簧發生了形變,并非彈簧原長的位置。
3.回復力
(1)使物體返回到平衡位置的力,方向總是指向平衡位置。
(2)來源:屬于效果力,可以是某一個力,也可以是幾個力的合力或某個力的分力。例如:
模型 對應回復力
水平方向的彈簧振子,彈力充當回復力
豎直方向的彈簧振子,彈力和重力的合力充當回復力
m隨M一起振動,m的回復力是靜摩擦力
警示:做簡諧運動的物體經過平衡位置時,回復力一定為零,但所受合力不一定為零。
二、簡諧運動的圖像(選一第二章第2節)
1.物理意義:表示振子的位移隨時間變化的規律,為正弦(或余弦)曲線。
2.表達式:運動學表達式:x=Asin(ωt+φ0),其中A代表振幅,ω=2πf代表簡諧運動的快慢,ωt+φ0代表簡諧運動的相位,φ0叫作初相。
3.簡諧運動的圖像
(1)從平衡位置開始計時,把開始運動的方向規定為正方向,函數表達式為x=Asinωt,圖像如圖甲所示。
(2)從正方向的最大位移處開始計時,函數表達式為x=Acosωt,圖像如圖乙所示。
【警示】簡諧運動的x-t圖像,不是振子的運動軌跡,振子的運動軌跡是一條線段。
三、彈簧振子和單擺(選一第二章第4節)
模型 彈簧振子 單擺
示意圖
簡諧運動的條件 ①彈簧質量要忽略 ②無摩擦等阻力 ③在彈簧彈性限度內 ①擺線為不可伸縮的輕細線 ②無空氣阻力等 ③最大擺角小于5°
回復力 彈簧的彈力提供 擺球重力沿與擺線垂直方向(即切向)的分力(不是擺球所受的合外力)提供
平衡位置 彈簧處于原長處 最低點
周期 與振幅無關 T=2π
【提醒】擺長、擺線長的比較
四、受迫振動和共振(選一第二章第6節)
1.受迫振動:系統在驅動力作用下的振動。
2.共振:
(1)概念:當驅動力的頻率等于固有頻率時,物體做受迫振動的振幅最大的現象。
(2)共振的條件:驅動力的頻率等于固有頻率。
3.共振曲線:
如圖所示的共振曲線,表示某振動系統受迫振動的振幅A(縱坐標)隨驅動力頻率f(橫坐標)變化的關系。
【質疑辨析】
角度1 簡諧運動的規律
(1)周期、頻率是表征物體做簡諧運動快慢程度的物理量。 (　√　)
(2)振幅等于振子運動軌跡的長度。 (　×　)
(3)簡諧運動的回復力可以是恒力。 (　×　)
(4)簡諧運動的圖像描述的是振動質點的軌跡。 (　×　)
角度2 單擺
(5)單擺每次經過平衡位置時,位移為零、動能為零。 (　×　)
(6)單擺無論擺角多大都做簡諧運動。 (　×　)
(7)蕩秋千的周期是其固有周期。 (　×　)
(8)擺鐘走得快了必須調短擺長,才可能使其走時準確。 (　×　)
精研考點·提升關鍵能力
考點一　簡諧運動的規律　(核心共研)
【核心要點】
1.五大特征
受力特征 回復力F=-kx,F(或a)的大小與x的大小成正比,方向與x的方向相反
運動特征 衡位置過程中,物體的a、F、x都減小,v增大;遠離平衡位置過程中,a、F、x都增大,v減小
能量特征 振幅越大,能量越大。在運動過程中,系統的動能和勢能相互轉化,機械能守恒
周期性 特征 質點的位移、回復力、加速度和速度隨時間做周期性變化,變化周期就是簡諧運動的周期T;動能和勢能也隨時間做周期性變化,其變化周期為
對稱性 特征 關于平衡位置O對稱的兩點,速度的大小、動能、勢能相等,相對于平衡位置的位移大小相等,方向相反
2.兩點技巧
(1)簡諧運動是一個理想化模型,解題需要關注力學、運動學、能量、周期性、對稱性五個方面并掌握其規律。
(2)簡諧運動的平衡位置、最大位移處是其特殊位置,在特殊位置之間運動的過程中需要注意其單調性,比如位移x、回復力F、加速度a、速度v之間的變化規律。
提醒:求路程時,首先應明確振動過程經過了幾個整數周期,若經過n次全振動,路程應為4nA。再具體分析最后不到一周期時間內的路程,兩部分相加即為總路程。
【典例剖析】
角度1 簡諧運動的周期性
[典例1](多選)(2023·山東等級考)如圖所示,沿水平方向做簡諧振動的質點,依次通過相距L的A、B兩點。已知質點在A點的位移大小為振幅的一半,B點位移大小是A點的倍,質點經過A點時開始計時,t時刻第二次經過B點,該振動的振幅和周期可能是 (　　)
A.,3t　　　　 B.,4t
C.,t D.,t
【備選例題】
　　(多選)(2023·臨沂模擬)一彈簧振子做簡諧運動,O點為平衡位置,當它經過O點時開始計時,經過0.3 s第一次到達M點,再經過0.2 s第二次到達M點,則彈簧振子第三次到達M點還要經過的時間可能為 (　　)
A.1.4 s　　B. s　　C. s　　D.1.6 s
角度2 簡諧運動物理量分析
[典例2] (2023·漳州模擬)一個彈簧振子在M、N之間做簡諧運動。O為平衡位置,P、Q是振動過程中關于平衡位置對稱的兩個位置,下列說法正確的是 (　　)
A.振子運動到P、Q兩點時,位移相同
B.振子運動到P、Q兩點時,彈簧彈力大小相同
C.振子在從M點向N點運動過程中,動能先減小后增大
D.振子在從M點向N點運動過程中,加速度先增大后減小
考點二　簡諧運動的表達式和圖像　(核心共研)
【核心要點】
1.圖像特征:
(1)簡諧運動的圖像是一條正弦或余弦曲線,是正弦曲線還是余弦曲線取決于質點初始時刻的位置。
(2)圖像反映的是位移隨時間的變化規律,隨時間的增加而延伸,圖像不代表質點運動的軌跡。
(3)任一時刻在圖線上對應點的切線的斜率絕對值表示該時刻質點的速度大小,斜率正、負表示速度的方向,斜率為正時,表示質點的速度沿x軸正方向;斜率為負時,表示質點的速度沿x軸負方向。
2.圖像信息:
(1)由圖像可以看出質點振動的振幅、周期。
(2)可以確定某時刻質點離開平衡位置的位移。
(3)可以確定某時刻質點的回復力、加速度和速度的方向。
①回復力和加速度的方向:因回復力總是指向平衡位置,故回復力和加速度的方向在圖像上總是指向t軸。
②速度的方向:某時刻速度的方向既可以通過該時刻在圖像上對應點的切線的斜率來判斷,還可以通過下一時刻位移的變化來判斷,若下一時刻位移增加,速度方向就遠離t軸;若下一時刻位移減小,速度方向就指向t軸。
(4)可以確定某段時間質點的位移、回復力、加速度、速度、動能、勢能等的變化情況。
如圖所示:
【典例剖析】
角度1 簡諧運動的公式
[典例3](2023·蘇州模擬)有一個彈簧振子的振動圖像如圖所示,則它的振動方程是 (　　)
A.x=8×10-3sin(4πt+) m
B.x=8×10-3sin(4πt-) m
C.x=8×10-1sin(πt+π) m
D.x=8×10-1sin(t+) m
【備選例題】
　　(2023·南京模擬)如圖所示,輕質彈簧上方固定,下方連接質量為m的小球,彈簧原長為L0,小球靜止時位于圖中的O點,此時彈簧伸長量為L。將小球從O點向下拉一小段距離A(AA.x=Asin(t+)
B.x=Asin(t-)
C.x=(L+A)sin(t-)
D.x=(L+A)sin(t+)
角度2 簡諧運動的圖像
[典例4](2023·廣州模擬)如圖甲所示為以O點為平衡位置,在A、B兩點間運動的彈簧振子,圖乙為這個彈簧振子的振動圖像,由圖可知下列說法中正確的是
(　　)
A.在t=0.2 s時,彈簧振子的加速度為正向最大
B.在t=0.1 s與t=0.3 s兩個時刻,彈簧振子的速度相同
C.從t=0到t=0.2 s時間內,彈簧振子做加速度增大的減速運動
D.在t=0.6 s時,彈簧振子有最小的位移
【備選例題】
　　(2023·北京房山區模擬)如圖甲所示,彈簧振子的平衡位置為O點,在A、B兩點之間做簡諧運動,取向右為正方向,以振子從A點開始運動的時刻作為計時起點,振子的位移x隨時間t的變化如圖乙所示,下列說法正確的是 (　　)
A.t=0.4 s時,振子的速度方向向左
B.t=0.8 s時,振子的加速度方向向右
C.t=0.8 s到t=1.2 s的時間內,振子的回復力逐漸增大
D.t=1.2 s到t=1.6 s的時間內,振子的動能逐漸減小
考點三　單擺及其周期公式　(核心共研)
【核心要點】
1.單擺的特點
構成
理想化模型 一根沒有彈性的細線,一端固定,另一端系一可看成質點的小球
理想化要求 (1)細線形變要求:細線的伸縮可以忽略。 (2)質量要求:細線質量與小球質量相比可以忽略。 (3)線長度要求:球的直徑與線的長度相比可以忽略。 (4)受力要求:忽略擺動過程中所受的阻力作用。
回復力來源 擺球重力沿與擺線垂直方向的分力,即回復力F=G2=mgsinθ
2.單擺周期公式
公式 T=2π
等效 擺長 擺球在垂直紙面方向小角度擺動,等效擺長為lsinα
擺球在垂直紙面方向小角度擺動,等效擺長為lsinα+l
等效 重力 加速 度 g等效=gsinθ
g等效=
g等效=g
提醒:因為實際的單擺擺球不可能是質點,所以擺長是指從懸點到擺球重心的長度。對于不規則的擺動物體或復合物體,擺長均為從懸點到擺動物體重心的長度。而從懸點到擺線與擺球連接點的長度通常叫擺線長。
3.類單擺問題
構成 ①光滑球形曲面AOB;②小球m
要求 ①球形曲面光滑
②小球直徑遠小于球形曲面半徑R
③小球在小范圍AOB內做往復運動
提醒:單擺的振動周期取決于擺長l和重力加速度g,與振幅和振子(小球)質量無關。
【典例剖析】
角度1 單擺周期的計算
[典例5](2023·岳陽模擬)如圖,單擺甲放在真空中,懸點處固定一帶正電小球,擺球亦帶正電,周期為T甲;單擺乙放在以加速度a向下加速運動的電梯中,周期為T乙;單擺丙帶正電,放在磁感應強度為B的勻強磁場中,周期為T丙;單擺丁帶正電,放在勻強電場E中,周期為T丁。若四個單擺擺長均相等,那么 (　　)
A.T甲>T乙>T丁>T丙　 B.T乙>T甲>T丙>T丁
C.T丙>T甲>T丁>T乙 D.T乙>T甲=T丙>T丁
【備選例題】
　　(2023·西南名校聯盟聯考)如圖所示,三根長度均為L的輕細繩a、b、c組合系住一質量分布均勻且帶正電的小球m,球的直徑為d(d L),繩b、c與天花板的夾角α=30°,空間中存在平行于紙面豎直向下的勻強電場,電場強度E=,重力加速度為g,現將小球拉開小角度后由靜止釋放,則 (　　)
A.若小球在紙面內做小角度的左右擺動,則周期為2π
B.若小球做垂直于紙面的小角度擺動,則周期為2π
C.擺球經過平衡位置時合力為零
D.無論小球如何擺動,電場力都不做功
角度2 單擺振動圖像
[典例6](多選)(2023·撫州模擬)如圖甲所示的挖掘機的頂部垂下一個大鐵球并讓它小角度擺動①,可以用來拆除混凝土建筑。它對應的振動圖像如圖乙所示②,則下列說法正確的是 (　　)
A.單擺振動的周期是6 s
B.t=2 s時,擺球的速度最大
C.球擺開的角度增大,周期增大
D.該單擺的擺長約為16 m
【備選例題】
　　單擺的擺動角度小于5°,其振動圖像如圖所示,g取10 m/s2。下列說法正確的是 (　　)
A.t1、t2時刻擺球加速度方向相反
B.t=0.8 s時擺球的速度最大
C.單擺的振動周期為0.8 s
D.單擺的擺長約為64 cm
角度3 類單擺問題
[典例7](2023·寧波模擬)如圖所示,AOB為放置在豎直平面內半徑為R的光滑圓弧軌道,A、B兩點位于圓弧上等高處,弧AB的長度遠小于R,在B點和O點之間固定一光滑直軌道,圓弧軌道和直軌道順滑連接。現將一小球(半徑可忽略)由點A靜止釋放,則A→O→B過程小球的運動時間為 (　　)
A.π　　　　　 B.(+2)
C.(+) D.(+)
【備選例題】
　　(2023·北京海淀區模擬)如圖所示,固定在豎直平面內的光滑圓弧軌道所含圓弧的度數很小,O是圓弧的最低點。兩個完全相同的小球M、N從圓弧左側的不同位置同時釋放。它們從釋放到到達O點過程中都經過圖中的P點。下列判斷正確的是 (　　)
A.M比N后到達O點
B.M、N通過P點時所受的回復力相同
C.M有可能在P點追上N并與之相碰
D.從釋放到到達O點過程中,重力對M的沖量比重力對N的沖量大
角度 單擺與力學知識綜合
[典例1](2023·商丘模擬)如圖甲,O點為單擺的固定懸點,將力傳感器接在擺球與O點之間。現將擺球拉到A點,由靜止釋放擺球,擺球將在豎直面內的A、C之間做簡諧運動,其中B點為運動過程中的最低位置。圖乙表示細線對擺球的拉力大小F隨時間t變化的曲線,圖中t=0為擺球從A點開始運動的時刻,g取10 m/s2,則下列說法正確的是 (　　)
A.T=0.2π s
B.單擺的擺長l=2.5 m
C.擺球的質量m=0.5 kg
D.擺球運動過程中的最大速度v= m/s
[典例2](2023·棗莊模擬)圖甲是用力傳感器對單擺做小角度擺動過程進行測量的裝置圖及簡化圖,圖乙是與力傳感器連接的計算機屏幕所顯示的F-t圖像,其中F的最大值Fmax=1.02 N,已知擺球質量m=100 g,重力加速度g取9.8 m/s2,π2取9.8,不計擺線質量及空氣阻力。下列說法不正確的是 (　　)
A.單擺周期為0.8 s
B.單擺擺長為0.64 m
C.F的最小值Fmin=0.96 N
D.若僅將擺球質量變為200 g,單擺周期不變
考點四　受迫振動和共振　(基礎自悟)
【核心要點】
1.自由振動、受迫振動和共振的比較:
項目 自由振動 受迫振動 共振
受外力情況 沒有驅動力 受到周期性的驅動力作用 受到周期性的驅動力作用
振動周期和頻率 由系統本身的性質決定,即固有周期和固有頻率 由驅動力的周期和頻率決定 T驅=T固 f驅=f固
振動能量 無阻尼自由振動物體的機械能不變,阻尼振動物體的機械能減小 由產生驅動力的物體提供 振動物體獲得的能量最大
常見例子 彈簧振子、單擺 機器運轉時底座發生的振動 共振篩、轉速計
2.受迫振動和共振的理解
(1)明確驅動力、受迫振動與共振的概念以及阻尼振動、自由振動、受迫振動的區別與聯系。
(2)受迫振動的周期和頻率由外界驅動力的周期和頻率決定,與振動物體自身的固有周期和固有頻率無關。
(3)受迫振動的振幅大小與外界驅動力的周期和頻率有關,驅動力的頻率與固有頻率越接近,受迫振動的振幅就越大,兩者相差越大,受迫振動的振幅就越小,當兩者相等時,受迫振動的振幅最大。
【題點全練】
1.某地在100 m的路面上設置了41條減速帶,非但沒有帶來安全,反而給群眾的正常出行造成了極大的影響。假設減速帶均勻設置,某汽車的固有頻率為1.5 Hz。當該汽車勻速通過減速帶時 (　　)
A.當車速為3.75 m/s時,汽車最顛簸
B.汽車的行駛速度越快,顛簸越厲害
C.當車速為10 m/s時,汽車的固有頻率變為4 Hz
D.當車速為10 m/s時,汽車的振動頻率為1.5 Hz
2.(2023·徐州模擬)某種振動式果樹采摘機采收果實時,機器用金屬手抓住樹枝,通過振動搖落果實,適用于大多數干果和堅果的采收。下列說法正確的是 (　　)
A.工作中,樹枝的振動頻率小于采摘振動頭的振動頻率
B.采摘振動頭振動頻率增大,樹枝的振動幅度可能增大
C.若采摘振動頭停止振動,樹枝的振動頻率會逐漸減小
D.若拾果工人快速遠離采摘機,他感到采摘機的振動聲調升高
3.(2023·荊州模擬)如圖所示為兩個單擺的受迫振動的共振曲線,g取9.8 m/s2,則下列說法不正確的是 (　　)
A.若兩個受迫振動分別在月球上和地球上進行,且擺長相同,則圖線Ⅰ表示月球上單擺的共振曲線
B.若兩個受迫振動是在地球上同一地點進行,則兩個擺長之比lⅠ∶lⅡ=25∶4
C.圖線Ⅱ若表示是在地面上完成的,則該單擺擺長約為1 m
D.若擺長均為1 m,則圖線Ⅰ表示是在地面上完成的
【加固訓練】
　　(2023·安慶模擬)一個單擺在地面上做受迫振動,其共振曲線(振幅A與驅動力頻率f的關系)如圖所示,π2≈g,則 (　　)
A.此單擺的固有周期約為0.5 s
B.此單擺的擺長約為10 m
C.若擺長增大,單擺的固有頻率減小
D.若擺長增大,共振曲線的峰將向右移動
答案及解析
考點一　簡諧運動的規律
【典例剖析】
角度1 簡諧運動的周期性
[典例1](多選)(2023·山東等級考)如圖所示,沿水平方向做簡諧振動的質點,依次通過相距L的A、B兩點。已知質點在A點的位移大小為振幅的一半,B點位移大小是A點的倍,質點經過A點時開始計時,t時刻第二次經過B點,該振動的振幅和周期可能是 (　　)
A.,3t　　　　 B.,4t
C.,t D.,t
圖形剖析
若平衡位置O在A點 左側, 則t=·+·+·=
若平衡位置O在A、B之間, 則t=·++·=
【解析】選B、C。若平衡位置O在A點左側,由A+L=A,得到振幅A=,質點經過A點時開始計時,有t=,得周期T=4t,選項A錯誤,B正確;若平衡位置O在A、B之間,由A+A=L,得到振幅A=,質點經過A點時開始計時,有t=,得周期T=t,選項C正確,D錯誤。
[一題多解]
【備選例題】
　　(多選)(2023·臨沂模擬)一彈簧振子做簡諧運動,O點為平衡位置,當它經過O點時開始計時,經過0.3 s第一次到達M點,再經過0.2 s第二次到達M點,則彈簧振子第三次到達M點還要經過的時間可能為 (　　)
A.1.4 s　　B. s　　C. s　　D.1.6 s
【解析】選A、C。振子通過O點的速度方向有兩種可能,一種是從O指向M,另一種是從O點背離M。利用簡諧運動的對稱性找出周期與運動時間的關系。
情況1:如圖甲所示,O為平衡位置,設OB(OC)代表振幅,若振子開始從平衡位置向M運動,從O到C所需時間為,因為簡諧運動具有對稱性,所以振子從M到C所用時間和從C到M所用時間相等,故=0.3 s+ s=0.4 s,解得T=1.6 s,則振子第三次到達M點還要經過的時間為t=1.6 s-0.2 s=1.4 s,選項A正確。
情況2:如圖乙所示,若振子一開始從平衡位置背離M向B運動,設M'與M關于O點對稱,則振子從M'經B回到M'所用的時間與振子從M經C回到M所用的時間相等,即0.2 s。振子從O到M'和從M'到O及從O到M所需時間相等,為=
s,則振子第三次到達M點還要經過的時間為t'=0.2 s+×4 s= s,選項C正確。
【方法技巧】 簡諧運動多解原因分析
(1)周期性造成多解:物體經過同一位置可以對應不同的時刻,物體的位移、加速度相同,而速度可能相同,也可能等大反向,這樣就形成簡諧運動的多解問題。
(2)對稱性造成多解:由于簡諧運動具有對稱性,因此當物體通過兩個對稱位置時,其位移、加速度大小相同,而速度可能相同,也可能等大反向,這種也形成多解問題。
角度2 簡諧運動物理量分析
[典例2] (2023·漳州模擬)一個彈簧振子在M、N之間做簡諧運動。O為平衡位置,P、Q是振動過程中關于平衡位置對稱的兩個位置,下列說法正確的是 (　　)
A.振子運動到P、Q兩點時,位移相同
B.振子運動到P、Q兩點時,彈簧彈力大小相同
C.振子在從M點向N點運動過程中,動能先減小后增大
D.振子在從M點向N點運動過程中,加速度先增大后減小
【關鍵點撥】 解答本題應抓住兩個關鍵位置
【解析】選B。由對稱性可知,振子運動到P、Q兩點時,位移等大反向,選項A錯誤;根據胡克定律F=kx可知,振子運動到P、Q兩點時,彈簧彈力大小相同,選項B正確;振子在從M點向N點運動過程中,位移先減小后增大,速度先增大后減小,即動能先增大后減小,選項C錯誤;振子在從M點向N點運動過程中,位移先減小后增大,彈簧彈力F=kx先減小后增大,根據牛頓第二定律a=可知,振子的加速度先減小后增大,選項D錯誤。
【方法技巧】
口訣“三同一反、知一定三”判斷物理量的變化
彈簧彈力F、加速度a、位移x的大小變化規律一致(三同),速度v的大小變化規律與三者相反(一反),知道其中一個量的大小變化情況,就能確定另外三個量的變化情況(知一定三)。
考點二　簡諧運動的表達式和圖像
【典例剖析】
角度1 簡諧運動的公式
[典例3](2023·蘇州模擬)有一個彈簧振子的振動圖像如圖所示,則它的振動方程是 (　　)
A.x=8×10-3sin(4πt+) m
B.x=8×10-3sin(4πt-) m
C.x=8×10-1sin(πt+π) m
D.x=8×10-1sin(t+) m
【題眼破譯】
【解析】選A。由題圖可知,A=0.8 cm=8×10-3 m,T=0.5 s,可得ω==4π rad/s,初始時刻初位移x0=0.8 cm=8×10-3 m,則x0=Asinφ0,8×10-3=8×10-3sinφ0,解得初相位φ0=,得彈簧振子的振動方程為x=8×10-3sin(4πt+) m,選項A正確。
【備選例題】
　　(2023·南京模擬)如圖所示,輕質彈簧上方固定,下方連接質量為m的小球,彈簧原長為L0,小球靜止時位于圖中的O點,此時彈簧伸長量為L。將小球從O點向下拉一小段距離A(AA.x=Asin(t+)
B.x=Asin(t-)
C.x=(L+A)sin(t-)
D.x=(L+A)sin(t+)
【解析】選A。小球做簡諧運動的平衡位置在O點,振幅為A,取豎直向下為正方向,小球從正向位移最大處開始振動。初始時刻初位移為A,則A=Asinφ0,解得初相位φ0=,故簡諧運動位移表達式為x=Asin(t+),選項A正確。
角度2 簡諧運動的圖像
[典例4](2023·廣州模擬)如圖甲所示為以O點為平衡位置,在A、B兩點間運動的彈簧振子,圖乙為這個彈簧振子的振動圖像,由圖可知下列說法中正確的是
(　　)
A.在t=0.2 s時,彈簧振子的加速度為正向最大
B.在t=0.1 s與t=0.3 s兩個時刻,彈簧振子的速度相同
C.從t=0到t=0.2 s時間內,彈簧振子做加速度增大的減速運動
D.在t=0.6 s時,彈簧振子有最小的位移
【關鍵點撥】 解答本題要抓住以下三個關鍵
【解析】選C。在t=0.2 s時,彈簧振子的位移為正向最大,加速度為負向最大,選項A錯誤;在t=0.1 s與t=0.3 s兩個時刻,彈簧振子的位移相同,說明彈簧振子在同一位置,速度大小相同,但是方向相反,選項B錯誤;從t=0到t=0.2 s時間內,彈簧振子的位移增大,加速度增大,速度減小,所以彈簧振子做加速度增大的減速運動,選項C正確;在t=0.6 s時,彈簧振子的位移為負方向最大,選項D錯誤。
【備選例題】
　　(2023·北京房山區模擬)如圖甲所示,彈簧振子的平衡位置為O點,在A、B兩點之間做簡諧運動,取向右為正方向,以振子從A點開始運動的時刻作為計時起點,振子的位移x隨時間t的變化如圖乙所示,下列說法正確的是 (　　)
A.t=0.4 s時,振子的速度方向向左
B.t=0.8 s時,振子的加速度方向向右
C.t=0.8 s到t=1.2 s的時間內,振子的回復力逐漸增大
D.t=1.2 s到t=1.6 s的時間內,振子的動能逐漸減小
【解析】選D。由振動圖像可知t=0.4 s時,振子由平衡位置向正方向運動,說明振子的速度方向向右,選項A錯誤;由振動圖像可知,t=0.8 s時,振子在正向最大位移處,所以振子的加速度方向向左,選項B錯誤;t=0.8 s到t=1.2 s的時間內,振子從正向最大位移處往平衡位置運動,所以振子的回復力逐漸減小,選項C錯誤;t=1.2 s到t=1.6 s的時間內,振子從平衡位置往負向最大位移處運動,振子的速度逐漸減小,振子的動能逐漸減小,選項D正確。
考點三　單擺及其周期公式
【典例剖析】
角度1 單擺周期的計算
[典例5](2023·岳陽模擬)如圖,單擺甲放在真空中,懸點處固定一帶正電小球,擺球亦帶正電,周期為T甲;單擺乙放在以加速度a向下加速運動的電梯中,周期為T乙;單擺丙帶正電,放在磁感應強度為B的勻強磁場中,周期為T丙;單擺丁帶正電,放在勻強電場E中,周期為T丁。若四個單擺擺長均相等,那么 (　　)
A.T甲>T乙>T丁>T丙　 B.T乙>T甲>T丙>T丁
C.T丙>T甲>T丁>T乙 D.T乙>T甲=T丙>T丁
【題眼破譯】
【解析】選D。甲擺所受庫侖力和丙擺中所受洛倫茲力總是沿半徑方向,不影響回復力,故有T甲=T丙=2π,根據等效重力加速度,對乙擺有mg乙'=mg-ma,解得g乙'=g-a,故可得T乙=2π。同理,對丁擺有mg丁'=mg+Eq,解得g丁'=g+,故可得T丁=2π,故有T乙>T甲=T丙>T丁,選項D正確。
【備選例題】
　　(2023·西南名校聯盟聯考)如圖所示,三根長度均為L的輕細繩a、b、c組合系住一質量分布均勻且帶正電的小球m,球的直徑為d(d L),繩b、c與天花板的夾角α=30°,空間中存在平行于紙面豎直向下的勻強電場,電場強度E=,重力加速度為g,現將小球拉開小角度后由靜止釋放,則 (　　)
A.若小球在紙面內做小角度的左右擺動,則周期為2π
B.若小球做垂直于紙面的小角度擺動,則周期為2π
C.擺球經過平衡位置時合力為零
D.無論小球如何擺動,電場力都不做功
【解析】選B。根據題意可知,若小球以O'為圓心做簡諧運動,則擺長為l=L+,電場和重力場合成等效重力加速度為2g,振動的周期為T1=2π=2π=2π。根據題意可知,若小球以O為圓心做簡諧運動,擺長l'=L+Lsinα+,振動周期為T2=2π=2π=2π,擺球經過平衡位置時速度最大,合力不為零;小球擺動過程中,沿電場力方向存在位移,故電場力有做功,選項B正確。
角度2 單擺振動圖像
[典例6](多選)(2023·撫州模擬)如圖甲所示的挖掘機的頂部垂下一個大鐵球并讓它小角度擺動①,可以用來拆除混凝土建筑。它對應的振動圖像如圖乙所示②,則下列說法正確的是 (　　)
A.單擺振動的周期是6 s
B.t=2 s時,擺球的速度最大
C.球擺開的角度增大,周期增大
D.該單擺的擺長約為16 m
【題眼破譯】——提升信息轉化能力
信息①實際情境抽象為理想化模型——單擺
信息②圖像驗證信息①的正確性,同時可以知道周期的大小T=8 s
【解析】選B、D。由圖乙可知,單擺振動的周期為8 s;t=2 s時,擺球位于平衡位置,速度最大;根據單擺周期公式T=2π可知,周期與球擺開的角度無關;把T=8 s代入周期公式可得,擺長為l≈16 m,選項B、D正確。
【備選例題】
　　單擺的擺動角度小于5°,其振動圖像如圖所示,g取10 m/s2。下列說法正確的是 (　　)
A.t1、t2時刻擺球加速度方向相反
B.t=0.8 s時擺球的速度最大
C.單擺的振動周期為0.8 s
D.單擺的擺長約為64 cm
【解析】選B。t1、t2時刻擺球的位移都為正,加速度方向相同,選項A錯誤;根據圖像的斜率可知t=0.8 s時擺球的速度最大,選項B正確;由圖可知,單擺的振動周期為1.6 s,選項C錯誤;根據單擺的周期公式T=2π,解得l=0.65 m,選項D錯誤。
角度3 類單擺問題
[典例7](2023·寧波模擬)如圖所示,AOB為放置在豎直平面內半徑為R的光滑圓弧軌道,A、B兩點位于圓弧上等高處,弧AB的長度遠小于R,在B點和O點之間固定一光滑直軌道,圓弧軌道和直軌道順滑連接。現將一小球(半徑可忽略)由點A靜止釋放,則A→O→B過程小球的運動時間為 (　　)
A.π　　　　　 B.(+2)
C.(+) D.(+)
【解析】選B。小球從A→O過程為單擺運動,運動時間為t1===。設弧AB對應的圓心角為θ,根據幾何知識可得直軌道OB的長度為OB=2Rsin,此時直軌道的傾角為,小球的加速度大小為a=gsin,根據機械能守恒定律可知vB=0,故小球從O點做勻減速直線運動到B點的時間與小球從B點無初速釋放運動到O點的時間相同,即OB=a,解得t2=2,故A→O→B過程小球的運動時間為t=t1+t2=(+2),選項B正確。
【備選例題】
　　(2023·北京海淀區模擬)如圖所示,固定在豎直平面內的光滑圓弧軌道所含圓弧的度數很小,O是圓弧的最低點。兩個完全相同的小球M、N從圓弧左側的不同位置同時釋放。它們從釋放到到達O點過程中都經過圖中的P點。下列判斷正確的是 (　　)
A.M比N后到達O點
B.M、N通過P點時所受的回復力相同
C.M有可能在P點追上N并與之相碰
D.從釋放到到達O點過程中,重力對M的沖量比重力對N的沖量大
【解析】選B。根據T=2π可知,兩個小球做簡諧運動的周期相同,M、N同時到達O點,選項A錯誤;M、N通過P點時所受的回復力相同,選項B正確;M、N同時到達O點,則M不可能在P點追上N并與之相碰,選項C錯誤;從釋放到到達O點過程中,根據I=mgt,重力對M的沖量等于重力對N的沖量,選項D錯誤。
角度 單擺與力學知識綜合
[典例1](2023·商丘模擬)如圖甲,O點為單擺的固定懸點,將力傳感器接在擺球與O點之間。現將擺球拉到A點,由靜止釋放擺球,擺球將在豎直面內的A、C之間做簡諧運動,其中B點為運動過程中的最低位置。圖乙表示細線對擺球的拉力大小F隨時間t變化的曲線,圖中t=0為擺球從A點開始運動的時刻,g取10 m/s2,則下列說法正確的是 (　　)
A.T=0.2π s
B.單擺的擺長l=2.5 m
C.擺球的質量m=0.5 kg
D.擺球運動過程中的最大速度v= m/s
【題眼破譯】
【解析】選D。小球從A點運動到C點,再回到A點即為一個周期,根據圖像可知T=0.4π s,選項A錯誤;由單擺的周期公式T=2π,解得l== m=0.4 m,選項B錯誤; 擺球受力分析如圖所示,
在最高點A,有Fmin=mgcosθ=0.498 N,在最低點B,有Fmax=mg+m=0.504 N,從A到B,機械能守恒,由機械能守恒定律得mgl(1-cosθ)=mv2,聯立并代入數據得m=0.05 kg,v= m/s,選項C錯誤,D正確。
[典例2](2023·棗莊模擬)圖甲是用力傳感器對單擺做小角度擺動過程進行測量的裝置圖及簡化圖,圖乙是與力傳感器連接的計算機屏幕所顯示的F-t圖像,其中F的最大值Fmax=1.02 N,已知擺球質量m=100 g,重力加速度g取9.8 m/s2,π2取9.8,不計擺線質量及空氣阻力。下列說法不正確的是 (　　)
A.單擺周期為0.8 s
B.單擺擺長為0.64 m
C.F的最小值Fmin=0.96 N
D.若僅將擺球質量變為200 g,單擺周期不變
【解析】選A。根據單擺振動的規律可知,在一個周期內擺球會兩次經過最低點,即擺線會出現兩次拉力最大的時刻,則由題圖乙可知單擺周期為1.6 s,選項A錯誤;根據單擺周期公式T=2π可得單擺擺長為l==0.64 m,選項B正確;設單擺的擺角為2θ,當擺球擺到最高點時擺線拉力最小,為Fmin=mgcosθ。設擺球運動至最低點時的速度大小為v,則根據機械能守恒定律有mv2=mgl(1-cosθ),在最低點時,根據牛頓第二定律有Fmax-mg=m ,聯立解得Fmin=0.96 N,選項C正確;根據單擺周期公式可知周期與擺球質量無關,所以若僅將擺球質量變為200 g,單擺周期不變,選項D正確。
考點四　受迫振動和共振
【題點全練】
1.某地在100 m的路面上設置了41條減速帶,非但沒有帶來安全,反而給群眾的正常出行造成了極大的影響。假設減速帶均勻設置,某汽車的固有頻率為1.5 Hz。當該汽車勻速通過減速帶時 (　　)
A.當車速為3.75 m/s時,汽車最顛簸
B.汽車的行駛速度越快,顛簸越厲害
C.當車速為10 m/s時,汽車的固有頻率變為4 Hz
D.當車速為10 m/s時,汽車的振動頻率為1.5 Hz
【解析】選A。相鄰兩個減速帶之間的距離為d=2.5 m,則當汽車最顛簸時,汽車產生共振,則速度v==df=3.75 m/s,并不是汽車的行駛速度越快,顛簸越厲害,選項A正確,B錯誤;汽車的固有頻率由汽車本身的結構決定,與車速無關,選項C錯誤; 當車速為10 m/s時,此時驅動力的頻率為f'== Hz=4 Hz,即此時汽車的振動頻率為4 Hz,選項D錯誤。
2.(2023·徐州模擬)某種振動式果樹采摘機采收果實時,機器用金屬手抓住樹枝,通過振動搖落果實,適用于大多數干果和堅果的采收。下列說法正確的是 (　　)
A.工作中,樹枝的振動頻率小于采摘振動頭的振動頻率
B.采摘振動頭振動頻率增大,樹枝的振動幅度可能增大
C.若采摘振動頭停止振動,樹枝的振動頻率會逐漸減小
D.若拾果工人快速遠離采摘機,他感到采摘機的振動聲調升高
【解析】選B。工作中,樹枝做受迫振動,樹枝的振動頻率等于采摘振動頭的振動頻率,選項A錯誤;采摘振動頭振動頻率增大,有可能接近樹枝的固有頻率,樹枝的振動幅度可能增大,選項B正確;若采摘振動頭停止振動,樹枝的振動頻率不變,振幅會逐漸減小,選項C錯誤;根據多普勒效應,若拾果工人快速遠離采摘機,他感到采摘機的振動聲調降低,選項D錯誤。
3.(2023·荊州模擬)如圖所示為兩個單擺的受迫振動的共振曲線,g取9.8 m/s2,則下列說法不正確的是 (　　)
A.若兩個受迫振動分別在月球上和地球上進行,且擺長相同,則圖線Ⅰ表示月球上單擺的共振曲線
B.若兩個受迫振動是在地球上同一地點進行,則兩個擺長之比lⅠ∶lⅡ=25∶4
C.圖線Ⅱ若表示是在地面上完成的,則該單擺擺長約為1 m
D.若擺長均為1 m,則圖線Ⅰ表示是在地面上完成的
【解析】選D。圖線中振幅最大處對應的頻率應與做受迫振動的單擺的固有頻率相等,從圖線上可以看出,兩擺的固有頻率fⅠ=0.2 Hz,fⅡ=0.5 Hz;當兩擺在月球和地球上分別做受迫振動且擺長相等時,根據公式f=可知,g越大,f越大,所以
gⅡ>gⅠ,又因為g地>g月,因此可推知圖線Ⅰ表示月球上單擺的共振曲線,選項A正確;若在地球上同一地點進行兩次受迫振動,g相同,擺長越長,則f越小,且有=,所以=,選項B正確;fⅡ=0.5 Hz,若圖線Ⅱ表示是在地面上完成的,根據
g=9.8 m/s2,f=,可計算出lⅡ約為1 m,選項C正確,D錯誤。
【加固訓練】
　　(2023·安慶模擬)一個單擺在地面上做受迫振動,其共振曲線(振幅A與驅動力頻率f的關系)如圖所示,π2≈g,則 (　　)
A.此單擺的固有周期約為0.5 s
B.此單擺的擺長約為10 m
C.若擺長增大,單擺的固有頻率減小
D.若擺長增大,共振曲線的峰將向右移動
【解析】選C。由共振曲線可知,此單擺的固有頻率約為f=0.5 Hz,所以固有周期約為T==2 s,選項A錯誤;根據單擺周期公式T=2π得l=≈ m=1 m,選項B錯誤;根據單擺周期公式得,若擺長增大,則單擺的固有周期增大,所以固有頻率減小,共振曲線的峰將向左移動,選項C正確,D錯誤。
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