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小學數(shù)學興趣班
小學六年級
有趣的數(shù)學悖論
目錄
CONTENTS
01
神與烏龜?shù)膯栴}
芝諾悖論
02
（1-1）在有限與無限中的問題
無限不可隨意加括號
神與烏龜?shù)膯栴}
01
芝諾悖論
01
03
02
04
神
方向
烏龜
總之
爬得快（善跑）
同方向跑
爬的慢（跑得慢）
條件符合實際
神跑得比烏龜快
問題條件
結果討論
起點（A）
B
C
D
讓爬得很慢的烏龜先行，如行至點B，然后再和神賽跑
首先
必須先從點起點到達烏龜所在的點B，而當神到達點B時，繼續(xù)前行的烏龜勢必會到達點C；當神到達點C時，烏龜則會繼續(xù)前進至點D......
神若想要追上烏龜
結果
芝諾悖論
AB、BC、CD之間的距離會越來越近，神追追烏龜所使用的時間也會越來越短，但無論如何神是追趕不上烏龜?shù)摹＿@便是著名的芝諾悖論之阿基里斯悖論（神與烏龜賽跑）
圖示
開始時
10s后
11s后
問題分析：
段的長度的和有倆種情況
一是無限的段
還有有限的段
長度？
其他？
超能力？
速度？
時間？
暈了？
解釋：
表面看起來神想要追上烏龜需要跑無窮段路程，因為是“無窮”段，所以永遠追不上
實際上，這個“無窮”段是有限距離的，即和是有限的，所以說神跑完這段和為有限的路程就能追上烏龜了
問題出在哪兒？
關于1-1的悖論
02
有限情況下呢？
顯然有：1-1 = 0
或者：1+（-1）=0
又或者：1-1+1-1 = 0
再然：（1-1）+（1-1）= 0
······
無窮情況下呢？
顯然有：1-1+1-1+1-1+1-1······ = A的形式
第一種情況：【1+（-1）】+【1+（-1）】+···+ = 0
第二種情況：1 + 【（-1）+1】+【（-1）+1】+···+ = 1
哦豁！對于同一個無窮項的加法表達式，兩種不同加括號方式居然得兩種不同的結果！
總結：
在無限集中，“部分可以等于整體”
其中，這里的等于，是必須建立在一一對應的基礎上才能用的
也是無限集的本質
上面的悖論就是沒有看到“無限”的這一特點而產生的
例子：
拱橋
呈半圓凸弧
拱橋放大
由此可見
呈半圓凸弧的拱橋放大后，是一塊塊呈矩形的磚頭建起來的（直的）
這就是局部代整體的例子
也就是局部以直代曲
回看無窮的1-1的第二種情況：
1 + 【（-1）+1】+【（-1）+1】+···+ = 1
局部： 【（-1）+1】
整體：無窮這一部分
這第二種情況的無窮這部分，被無窮個【（-1）+1】=0所代了
注意：首項的1并沒有參與無窮部分，也就是沒被局部所代替
雖然跟第一種情況一樣，局部都是等于0 ，但第二種情況的1是沒被代替的，也就是多余的部分，所以也就說無窮情況下不能隨便添加括號（括號會改變先后順序）也就是隨便添加括號，會改變通項！
所以說，這個1-1+1-1+1+1+······+······=1是悖論
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