資源簡介

數 學
進入高中，你們是高中生了，做好了充分的準備嗎？其實學好高中數學并不難，你只要有堅韌不拔的毅力，認真做題，善于總結歸納，持之以恒，相信你一定能成功。
開學之前發給你們的這本小冊子，是為了初高中知識銜接而編寫的。為了使你們在初高中數學學習上形成較好的連續性，能有效地克服知識和方法上的跳躍，利于激發你們學習數學的興趣。你們一定要利用好暑假，做好初、高中數學教材的銜接。A組題要全部完成，B組題供學有余力學生完成。
學數學的幾個建議：
1、記數學筆記，特別是對概念理解的不同側面和數學規律，教師為備戰高考而加的課外知識。 記錄下來本章你覺得最有價值的思想方法或例題，以及你還存在的未解決的問題，以便今后將其補上。
2、建立數學糾錯本。把平時容易出現錯誤的知識或推理記載下來，以防再犯。爭取做到：找錯、析錯、改錯、防錯。達到：能從反面入手深入理解正確東西；能由果朔因把錯誤原因弄個水落石出、以便對癥下藥；解答問題完整、推理嚴密。
3、熟記一些數學規律和數學小結論，使自己平時的運算技能達到了自動化或半自動化的熟練程度。
4、經常對知識結構進行梳理，形成板塊結構，實行“整體集裝”，如表格化，使知識結構一目了然；經常對習題進行類化，由一例到一類，由一類到多類，由多類到統一；使幾類問題歸納于同一知識方法。
5、閱讀數學課外書籍與報刊，參加數學學科課外活動與講座，多做數學課外題，加大自學力度，拓展自己的知識面。
6、及時復習，強化對基本概念知識體系的理解與記憶，進行適當的反復鞏固，消滅前學后忘。
7、學會從多角度、多層次地進行總結歸類。如：①從數學思想分類②從解題方法歸類③從知識應用上分類等，使所學的知識系統化、條理化、專題化、網絡化。
8、經常在做題后進行一定的“反思”，思考一下本題所用的基礎知識，數學思想方法是什么，為什么要這樣想，是否還有別的想法和解法，本題的分析方法與解法，在解其它問題時，是否也用到過。
9、無論是作業還是測驗，都應把準確性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，這是學好數學的重要問題。
初高中數學銜接教材
現有初高中數學知識存在以下“脫節”
1．立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運算還在用。
2．因式分解初中一般只限于二次項且系數為“1”的分解，對系數不為“1”的涉及不多,而且對三次或高次多項式因式分解幾乎不作要 求，但高中教材許多化簡求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數、不等式常用的解題技巧。
4．初中教材對二次函數要求較低，學生處于了解水平，但二次函數卻是高中貫穿始終的重要內容。配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調區間、求最大、最小值，研究閉區間上函數最值等等是高中數學必須掌握的基本題型與常用方法。
5．二次函數、二次不等式與二次方程的聯系，根與系數的關系（韋達定理）在初中不作要求，此類題目僅限于簡單常規運算和難度不大的應用題型，而在高中二次函數、二次不等式與二次方程相互轉化被視為重要內容，
6．圖像的對稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中講授函數后，對其圖像的上、下；左、右平移，兩個函數關于原點，軸、直線的對稱問題必須掌握。
7．含有參數的函數、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中這部分內容視為重難點。方程、不等式、函數的綜合考查常成為高考綜合題。
8．幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都沒有學習，而高中都要涉及。
另外，像配方法、換元法、待定系數法初中教學大大弱化，不利于高中知識的講授。
目 錄
1.1 數與式的運算
1.1.1絕對值
1.1.2. 乘法公式
1.1.3．二次根式
1.1.４．分式
1．2 分解因式
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判別式
2.1.2 根與系數的關系（韋達定理）
2.2 二次函數
2.2.1 二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖像和性質
2.2.2 二次函數的三種表示方式
2.2.3 二次函數的簡單應用
2.3 方程與不等式
2.3.1 二元二次方程組解法
2.3.2 一元二次不等式解法
3.1 相似形
3.1.1．平行線分線段成比例定理
3.1.2相似形
3.2 三角形
3.2.1 三角形的“四心”
3.2.2 幾種特殊的三角形
3.3圓
3.3.1 直線與圓，圓與圓的位置關系
1.1 數與式的運算
1.1.1．絕對值
一、概念：絕對值的代數意義：正數的絕對值是它的本身，負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值仍是零．即
絕對值的幾何意義：一個數的絕對值，是數軸上表示它的點到原點的距離．
兩個數的差的絕對值的幾何意義：表示在數軸上，數和數之間的距離．
二、典型例題：
例1 解不等式：
解法一：由，得；
①若，不等式可變為，即，得，又x＜1，
∴x＜-3；
②若，不等式可變為，
即 又 ∴
綜上所述，原不等式的解為或。
解法二：如圖1．1－1，表示x軸上坐標為x的點P到坐標為1的點A之間的距離|PA|，即|PA|＝|x－1|；
所以的幾何意義即為
|PA|＞4．
可知點P 在點C(坐標為-3)的左側、或點P在點D(坐標5)的右側．
∴ 或。
練 習A
1．填空：
（1）若，則x=_________；若，則x=_________.
（2）如果，且，則b＝________；若，則c＝________.
2．選擇題：
下列敘述正確的是 （ ）
（A）若，則 （B）若，則
（C）若，則 （D）若，則
練習B
3．解不等式：
4、化簡：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．
1.1.2. 乘法公式
一、復習：我們在初中已經學習過了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 ；
（2）完全平方公式 ．
我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 ；
（2）立方差公式 ；
（3）三數和平方公式 ；
（4）兩數和立方公式 ；
（5）兩數差立方公式 ．
對上面列出的五個公式，有興趣的同學可以自己去證明．
二、典型例題
例1 計算：．
解法一：原式=
=
=．
解法二：原式=
=
=．
例2 已知，，求的值．
解： ．
練 習A
1．填空：
（1）（ ）；
（2） ；
(3 )　 ．
2．選擇題：
（1）若是一個完全平方式，則等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）不論，為何實數，的值 （ ）
（A）總是正數 （B）總是負數
（C）可以是零 （D）可以是正數也可以是負數
1.1.3．二次根式
一、概念：一般地，形如的代數式叫做二次根式．根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式. 例如 ，等是無理式，而，，等是有理式．
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化．為了進行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等． 一般地，與，與，與互為有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根號的過程
在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的基礎上去括號與合并同類二次根式．
二次根式的意義
二、典型例題
例1 將下列式子化為最簡二次根式：
（1）； （2）； （3）．
解： （1）； （2）；
（3）．
例2　計算：．
解法一： ＝
　　　　　　　　 ＝
＝ ＝＝．
解法二： ＝
　　 ＝
　　 ＝
　　 ＝
　 　＝．
例3 試比較下列各組數的大小：
（1）和； （2）和.
解： （1）∵，
，
又，
∴＜
（2）∵
又 4＞2，
∴＋4＞＋2，
∴＜...........分子（母）有理化
例4　化簡：．
解：
　 ＝
　 ＝
　 ＝
　 ＝．
例 5 化簡：（1）； （2）．
解：（1）原式=
．
（2）原式=，
∵，∴， 所以，原式＝．
練 習A
1．填空：
（1）＝__ ___；
（2）若，則的取值范圍是_ _ ___；
（3）__ ___；
（4）若，則______ __．
（提示先簡化后代入）
2．選擇題：
等式成立的條件是 （　　 ）
（A）　 （B）　　 （C）　　 （D）
練習B
3．若，求的值．
4．比較大小：2－ －（填“＞”，或“＜”）．
1.1.4．分式
一、概念：1．分式的意義
形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式．當M≠0時，分式具有下列性質：； ．
上述性質被稱為分式的基本性質．
　2．繁分式
像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
二、典型例題：
例1　若，求常數的值．
解： ∵，
　　 ∴ 解得 ．
例2　（1）試證：（其中n是正整數）；
（2）計算：；
（3）證明：對任意大于1的正整數n， 有．
（1）證明：∵，
∴（其中n是正整數）成立．
（2）解：由（1）可知
＝．
（3）證明：∵
＝
＝，
又n≥2，且n是正整數，
∴一定為正數，
∴＜．
例3　設，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
解：在2c2－5ac＋2a2＝0兩邊同除以a2，得
2e2－5e＋2＝0，
∴(2e－1)(e－2)＝0，
∴e＝＜1，舍去；或e＝2． ∴e＝2．
練習A
1．填空題：
對任意的正整數n， ()；
2．選擇題：
若，則＝　　 （　 　）
　　（A）１ （B）　 （C）　 （D）
3．正數滿足，求的值．
4．計算．
習題1．1
A 組
1．解不等式：
２．已知，求的值．
3．填空：
（1）＝________；
（2）若，則的取值范圍是________；
（3）________．
4．填空：，，則____ ____；
5．已知：，求的值．
B 組
1．選擇題：
（1）若，則 （　 　）
　 （A） （B）　 （C）　 （D）
（2）計算等于 （　 　）
（A）　 （B）　 （C）　 （D）
2．計算：．
1．2 分解因式
一、復習引申：因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，另外還應了解求根法及待定系數法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12；
（3）； （4）．
解：（1）如圖1．2－1，將二次項x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數項2分解成－1與－2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數乘積的和為－3x，就是x2－3x＋2中的一次項，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖1．2－1中的兩個x用1來表示（如圖1．2－2所示）．
（2）由圖1．2－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由圖1．2－4，得 ＝
（4）＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+1) （如圖1．2－5所示）．
2．提取公因式法與分組分解法
例2 分解因式：
（1）； （2）．
解： （1）==
=．
或＝＝＝
＝
＝． 二次項 一次項 常數項
（2）=
=
=．
3．關于x的二次三項式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．
若關于x的方程的兩個實數根是、，則二次三項式就可分解為.
例3　把下列關于x的二次多項式分解因式：
（1）； （2）．
解： （1）令=0，則解得，，
∴=
=．
（2）令=0，則解得，，
∴=．
二、練習A
1．選擇題：
多項式的一個因式為 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．分解因式：
（1）x2＋6x＋8； （2）8a3－b3；
（3）x2－2x－1； （4）．
練習B組
1．分解因式：
　（1） ； （2）；
（3）； 　
2．在實數范圍內因式分解：
（1） ； （2）；
（3）；
3．分解因式：x2＋x－(a2－a)．
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判別式
一、概念：我們知道，對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以將其變形為
． ①
因為a≠0，所以，4a2＞0．于是
（1）當b2－4ac＞0時，方程①的右端是一個正數，因此，原方程有兩個不相等的實數根 x1，2＝；
（2）當b2－4ac＝0時，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個相等的實數根
x1＝x2＝－；
（3）當b2－4ac＜0時，方程①的右端是一個負數，而方程①的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒有實數根．
由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情況可以由b2－4ac來判定，我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判別式，通常用符號“Δ”來表示．
綜上所述，對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根 x1，2＝；
（2）當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根 x1＝x2＝－；
（3）當Δ＜0時，方程沒有實數根．
二、典型例題：
例1 判定下列關于x的方程的根的情況（其中a為常數），如果方程有實數根，寫出方程的實數根．
（1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0；
（3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0．
解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程沒有實數根．
（2）該方程的根的判別式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有兩個不等的實數根， ．
（3）由于該方程的根的判別式為Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，
所以，
①當a＝2時，Δ＝0，所以方程有兩個相等的實數根 x1＝x2＝1；
②當a≠2時，Δ＞0， 所以方程有兩個不相等的實數根x1＝1，x2＝a－1．
（4）由于該方程的根的判別式為 Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，
所以①當Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1時，方程有兩個不相等的實數根
， ；
②當Δ＝0，即a＝1時，方程有兩個相等的實數根 x1＝x2＝1；
③當Δ＜0，即a＞1時，方程沒有實數根．
說明：在第3，4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對a的取值情況進行討論，這一方法叫做分類討論．分類討論這一思想方法是高中數學中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經常地運用這一方法來解決問題．
2.1.2 根與系數的關系（韋達定理）
一、概念：1、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個實數根
，， 則有
；
．
所以，一元二次方程的根與系數之間存在下列關系：
如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根分別是x1，x2，那么x1＋x 2＝，x1·x2＝．這一關系也被稱為韋達定理．
2、特別地，對于二次項系數為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其兩根，由韋達定理可知 x1＋x 2＝－p，x1·x2＝q，
即 p＝－(x1＋x 2)，q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化為 x2－(x1＋x 2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x 2)x＋x1·x2＝0的兩根，因此有
以兩個數x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數為1）是x2－(x1＋x 2)x＋x1·x2＝0．
二、典型例題：
例2 已知方程的一個根是2，求它的另一個根及k的值．
分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根．但由于我們學習了韋達定理，又可以利用韋達定理來解題，即由于已知了方程的一個根及方程的二次項系數和常數項，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出k的值．
解法一：∵2是方程的一個根，
∴5×22＋k×2－6＝0，
∴k＝－7．
所以，方程就為5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－．
所以，方程的另一個根為－，k的值為－7．
解法二：設方程的另一個根為x1，則 2x1＝－，∴x1＝－．
由 （－）＋2＝－，得 k＝－7．
所以，方程的另一個根為－，k的值為－7．
例3 已知關于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有兩個實數根，并且這兩個實數根的平方和比兩個根的積大21，求m的值．
分析： 本題可以利用韋達定理，由實數根的平方和比兩個根的積大21得到關于m的方程，從而解得m的值．但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數根，因此，其根的判別式應大于零．
解：設x1，x2是方程的兩根，由韋達定理，得 x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．
∵x12＋x22－x1·x2＝21， ∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，
即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，
化簡，得 m2－16m－17＝0，
解得 m＝－1，或m＝17．
當m＝－1時，方程為x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，滿足題意；
當m＝17時，方程為x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合題意，舍去．
綜上，m＝-1．
說明：（1）在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數根所對應的m的范圍，然后再由“兩個實數根的平方和比兩個根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可．
（★）在今后的解題過程中，如果用由韋達定理解題時，還要考慮到根的判別式Δ是否大于或大于等于零．因為，韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數根．
例4 已知兩個數的和為4，積為－12，求這兩個數．
分析：我們可以設出這兩個數分別為x，y，利用二元方程求解出這兩個數．也可以利用韋達定理轉化出一元二次方程來求解．
解法一：設這兩個數分別是x，y，
則 x＋y＝4， ①
xy＝－12． ②
由①，得 y＝4－x，
代入②，得x(4－x)＝－12，
即 x2－4x－12＝0，
∴x1＝－2，x2＝6．
∴ 或因此，這兩個數是－2和6．
解法二：由韋達定理可知，這兩個數是方程 x2－4x－12＝0 的兩個根．
解這個方程，得 x1＝－2，x2＝6． 所以，這兩個數是－2和6．
說明：從上面的兩種解法我們不難發現，解法二（直接利用韋達定理來解題）要比解法一簡捷．
例5 若x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根．
（1）求| x1－x2|的值； （2）求的值； （3）x13＋x23．
解：∵x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根， ∴，．
（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝
＝＋6＝， ∴| x1－x2|＝．
（2）．
（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]
＝(－)×[(－)2－3×()]＝－．
注意：
說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規律：
設x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），則
，，
∴| x1－x2|＝
．
于是有下面的結論：
若x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），則| x1－x2|＝（其中Δ＝b2－4ac）．
今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結論．
例6 若關于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求實數a的取值范圍．
解：設x1，x2是方程的兩根，則 x1x2＝a－4＜0， ①
且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ②
由①得 a＜4，
由②得 a＜．
∴a的取值范圍是a＜4．
練習A
1．選擇題：
（1）方程的根的情況是 （ ）
（A）有一個實數根 （B）有兩個不相等的實數根
（C）有兩個相等的實數根 （D）沒有實數根
（2）若關于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是 （ ）
（A）m＜ （B）m＞－ （C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0
（3）已知關于x的方程x2＋kx－2＝0的一個根是1，則它的另一個根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（4）下列四個說法：
①方程x2＋2x－7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為－7；
②方程x2－2x＋7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為7；
③方程3 x2－7＝0的兩根之和為0，兩根之積為；
④方程3 x2＋2x＝0的兩根之和為－2，兩根之積為0．
其中正確說法的個數是 （ ）
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
（5）關于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一個根是0，則a的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
2．填空:
（1）若方程x2－3x－1＝0的兩根分別是x1和x2，則＝ ．
（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情況是 ．
（3）以－3和1為根的一元二次方程是 ．
（4）方程kx2＋4x－1＝0的兩根之和為－2，則k＝ ．
（5）方程2x2－x－4＝0的兩根為α，β，則α2＋β2＝ ．
（6）已知關于x的方程x2－ax－3a＝0的一個根是－2，則它的另一個根是 ．
（7）方程2x2＋2x－1＝0的兩根為x1和x2，則| x1－x2|＝ ．
3．已知，當k取何值時，方程kx2＋ax＋b＝0有兩個不相等的實數根？
4．已知方程x2－3x－1＝0的兩根為x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值．
5．試判定當m取何值時，關于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有兩個不相等的實數根？有兩個相等的實數根？沒有實數根？
6．求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2－7x－1＝0各根的相反數．
練習B組
1．選擇題:
若關于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的兩實根互為相反數，則k的值為 （ ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0
2．填空:
（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的兩個實數根，則m2n＋mn2－mn的值等于 ．
（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的兩個實數根，那么代數式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是 ．
3．已知關于x的方程x2－kx－2＝0．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）設方程的兩根為x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求實數k的取值范圍．
4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根為x1和x2．求：
（1）| x1－x2|和；（2）x13＋x23．
5．關于x的方程x2＋4x＋m＝0的兩根為x1，x2滿足| x1－x2|＝2，求實數m的值．
2．2 二次函數
2.2.1 二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖像和性質
一、復習引申：問題1 函數y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在怎樣的關系？
為了研究這一問題，我們可以先畫出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的圖象，通過這些函數圖象與函數y＝x2的圖象之間的關系，推導出函數y＝ax2與y＝x2的圖象之間所存在的關系．
先畫出函數y＝x2，y＝2x2的圖象．
先列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2x2 … 18 8 2 0 2 8 18
從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應的x2的值擴大兩倍就可以了．
再描點、連線，就分別得到了函數y＝x2，y＝2x2的圖象（如圖2－1所示），從圖2－1我們可以得到這兩個函數圖象之間的關系：函數y＝2x2的圖象可以由函數y＝x2的圖象各點的縱坐標變為原來的兩倍得到．
同學們也可以用類似于上面的方法畫出函數y＝x2，y＝－2x2的圖象，并研究這兩個函數圖象與函數y＝x2的圖象之間的關系．
通過上面的研究，我們可以得到以下結論：
1、二次函數y＝ax2(a≠0)的圖象可以由y＝x2的圖象各點的縱坐標變為原來的a倍得到．在二次函數y＝ax2(a≠0)中，二次項系數a決定了圖象的開口方向和在同一個坐標系中的開口的大小．
問題2 函數y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在怎樣的關系？
同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數圖象之間的關系來研究它們之間的關系．同學們可以作出函數y＝2(x＋1)2＋1與y＝2x2的圖象（如圖2－2所示），從函數的同學我們不難發現，只要把函數y＝2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數y＝2(x＋1)2＋1的圖象．這兩個函數圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點．
類似地，還可以通過畫函數y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的圖象，研究它們圖象之間的相互關系．
通過上面的研究，我們可以得到以下結論：
2、二次函數y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數圖象的左右平移，而且“h正左移，h負右移”；k決定了二次函數圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移”．
由上面的結論，我們可以得到研究二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法：
由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－
，
所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數y＝ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性質：
3、（1）當a＞0時，函數y＝ax2＋bx＋c圖象開口向上；頂點坐標為，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而減小；當x＞時，y隨著x的增大而增大；當x＝時，函數取最小值y＝．
（2）當a＜0時，函數y＝ax2＋bx＋c圖象開口向下；頂點坐標為，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而增大；當x＞時，y隨著x的增大而減小；當x＝時，函數取最大值y＝．
上述二次函數的性質可以分別通過圖2．2－3和圖2．2－4直觀地表示出來．因此，在今后解決二次函數問題時，可以借助于函數圖像、利用數形結合的思想方法來解決問題．
二、典型例題：
例1 求二次函數y＝－3x2－6x＋1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值（或最小值），并指出當x取何值時，y隨x的增大而增大（或減小）？并畫出該函數的圖象．
解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，
∴函數圖象的開口向下；
對稱軸是直線x＝－1；
頂點坐標為(－1，4)；
當x＝－1時，函數y取最大值y＝4；
當x＜－1時，y隨著x的增大而增大；當x＞－1時，y隨著x的增大而減小；
采用描點法畫圖，選頂點A(－1，4))，與x軸交于點B和C，與y軸的交點為D(0，1)，過這四點畫出圖象（如圖2－5所示）．
說明：從這個例題可以看出，根據配方后得到的性質畫函數的圖象，可以直接選出關鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確．
例2 某種產品的成本是120元/件，試銷階段每件產品的售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間關系如下表所示：
x /元 130 150 165
y/件 70 50 35
若日銷售量y是銷售價x的一次函數，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？
分析：由于每天的利潤＝日銷售量y×(銷售價x－120)，日銷售量y又是銷售價x的一次函數，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數關系，然后，再由它們之間的函數關系求出每天利潤的最大值．
解：由于y是x的一次函數，于是，設y＝kx+b
將x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有
解得 k＝－1，b＝200．∴ y＝－x＋200．
設每天的利潤為z（元），則
z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000
＝－(x－160)2＋1600， ∴當x＝160時，z取最大值1600．
答：當售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元．
例3 把二次函數y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數y＝x2的圖像，求b，c的值．
解法一：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2，把它的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到的圖像，也就是函數y＝x2的圖像，所以，
解得b＝－8，c＝14．
解法二：把二次函數y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數y＝x2的圖像，等價于把二次函數y＝x2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數y＝x2＋bx＋c的圖像．
由于把二次函數y＝x2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數y＝(x－4)2＋2的圖像，即為y＝x2－8x＋14的圖像，∴函數y＝x2－8x＋14與函數y＝x2＋bx＋c表示同一個函數，∴b＝－8，c＝14．
說明：本例的兩種解法都是利用二次函數圖像的平移規律來解決問題，所以，同學們要牢固掌握二次函數圖像的變換規律．
這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進行正向的思維來解決的，其運算量相對較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來的問題等價轉化成與之等價的問題來解，具有計算量小的優點．今后，我們在解題時，可以根據題目的具體情況，選擇恰當的方法來解決問題．
三、練習A
1．選擇題：
（1）下列函數圖象中，頂點不在坐標軸上的是 （ ）
（A）y＝2x2 （B）y＝2x2－4x＋2
（C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x
（2）函數y＝2(x－1)2＋2是將函數y＝2x2 （ ）
（A）向左平移1個單位、再向上平移2個單位得到的
（B）向右平移2個單位、再向上平移1個單位得到的
（C）向下平移2個單位、再向右平移1個單位得到的
（D）向上平移2個單位、再向右平移1個單位得到的
2．填空題
（1）二次函數y＝2x2－mx＋n圖象的頂點坐標為(1，－2)，則m＝ ，n＝ ．
（2）已知二次函數y＝x2+(m－2)x－2m，當m＝ 時，函數圖象的頂點在y軸上；當m＝ 時，函數圖象的頂點在x軸上；當m＝ 時，函數圖象經過原點．
（3）函數y＝－3(x＋2)2＋5的圖象的開口向 ，對稱軸為 ，頂點坐標為 ；當x＝ 時，函數取最 值y＝ ；當x 時，y隨著x的增大而減小．
3．求下列拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大（小）值及y隨x的變化情況，并畫出其圖象．
（1）y＝x2－2x－3； （2）y＝1＋6 x－x2．
2.2.2 二次函數的三種表示方式
一、復習引申：通過上一小節的學習，我們知道，二次函數可以表示成以下兩種形式：
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
2．頂點式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中頂點坐標是(－h，k)．
除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來表示．為了研究另一種表示方式，我們先來研究二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點個數．
當拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交時，其函數值為零，于是有
ax2＋bx＋c＝0． ①
并且方程①的解就是拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點的橫坐標（縱坐標為零），于是，不難發現，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點個數與方程①的解的個數有關，而方程①的解的個數又與方程①的根的判別式Δ＝b2－4ac有關，由此可知，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交點個數與根的判別式Δ＝b2－4ac存在下列關系：
（1）當Δ＞0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點；反過來，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點，則Δ＞0也成立．
（2）當Δ＝0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有一個交點（拋物線的頂點）；反過來，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有一個交點，則Δ＝0也成立．
（3）當Δ＜0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒有交點；反過來，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒有交點，則Δ＜0也成立．
于是，若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以 x1＋x2＝，x1x2＝，
即 ＝－(x1＋x 2)， ＝x1x2．
所以，y＝ax2＋bx＋c＝a()
= a[x2－(x1＋x 2)x＋x1x2]
＝a(x－x1) (x－x2)．
由上面的推導過程可以得到下面結論：
若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點，則其函數關系式可以表示為y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．
這樣，也就得到了表示二次函數的第三種方法：
3．交點式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函數圖象與x軸交點的橫坐標．
今后，在求二次函數的表達式時，我們可以根據題目所提供的條件，選用一般式、頂點式、交點式這三種表達形式中的某一形式來解題．
二、典型例題：
例1 已知某二次函數的最大值為2，圖像的頂點在直線y＝x＋1上，并且圖象經過點（3，－1），求二次函數的解析式．
分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件——最大值、頂點位置，從而可以將二次函數設成頂點式，再由函數圖象過定點來求解出系數a．
解：∵二次函數的最大值為2，而最大值一定是其頂點的縱坐標，
∴頂點的縱坐標為2．又頂點在直線y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．
∴頂點坐標是（1，2）．設該二次函數的解析式為，
∵二次函數的圖像經過點（3，－1）， ∴，解得a＝．
∴二次函數的解析式為，即y=
說明：在解題時，由最大值確定出頂點的縱坐標，再利用頂點的位置求出頂點坐標，然后設出二次函數的頂點式，最終解決了問題．因此，在解題時，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡捷地解決問題．
例2 已知二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，且頂點到x軸的距離等于2，求此二次函數的表達式．
分析一：由于題目所給的條件中，二次函數的圖象所過的兩點實際上就是二次函數的圖象與x軸的交點坐標，于是可以將函數的表達式設成交點式．
解法一：∵二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，
∴可設二次函數為y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，
展開，得 y＝ax2＋2ax－3a， 頂點的縱坐標為 ，
由于二次函數圖象的頂點到x軸的距離2，∴|－4a|＝2，即a＝．
所以，二次函數的表達式為y＝，或y＝－．
分析二：由于二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，所以，對稱軸為直線x＝－1，又由頂點到x軸的距離為2，可知頂點的縱坐標為2，或－2，于是，又可以將二次函數的表達式設成頂點式來解，然后再利用圖象過點(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函數的表達式．
解法二：∵二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，∴對稱軸為直線x＝－1．
又頂點到x軸的距離為2，∴頂點的縱坐標為2，或－2．
于是可設二次函數為y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，
由于函數圖象過點(1，0)，
∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－，或a＝．
所以，所求的二次函數為y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．
說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點坐標及頂點的坐標這兩個不同角度，利用交點式和頂點式來解題，在今后的解題過程中，要善于利用條件，選擇恰當的方法來解決問題．
例3 已知二次函數的圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函數的表達式．
解：設該二次函數為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由函數圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．
所以，所求的二次函數為y＝－2x2＋12x－8．
通過上面的幾道例題，同學們能否歸納出：在什么情況下，分別利用函數的一般式、頂點式、交點式來求二次函數的表達式？
三、練習A
1．選擇題:
（1）函數y＝－x2＋x－1圖象與x軸的交點個數是 （ ）
（A）0個 （B）1個 （C）2個 （D）無法確定
（2）函數y＝－(x＋1)2＋2的頂點坐標是 （ ）
（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)
2．填空：
（1）已知二次函數的圖象經過與x軸交于點(－1，0)和(2，0)，則該二次函數的解析式可設為y＝a (a≠0) ．
（2）二次函數y＝－x2+2x＋1的函數圖象與x軸兩交點之間的距離為 ．
3．根據下列條件，求二次函數的解析式．
（1）圖象經過點(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；
（2）當x＝3時，函數有最小值5，且經過點(1，11)；
（3）函數圖象與x軸交于兩點(1－，0)和(1＋，0)，并與y軸交于(0，－2)．
2.2.3 二次函數的簡單應用
一、函數圖象的平移變換與對稱變換
1．平移變換
問題1 在把二次函數的圖象進行平移時，有什么特點？依據這一特點，可以怎樣來研究二次函數的圖象平移？
我們不難發現：在對二次函數的圖象進行平移時，具有這樣的特點——只改變函數圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數的圖象平移問題時，只需利用二次函數圖象的頂點式研究其頂點的位置即可．
例1 求把二次函數y＝x2－4x＋3的圖象經過下列平移變換后得到的圖象所對應的函數解析式：
（1）向右平移2個單位，向下平移1個單位；
（2）向上平移3個單位，向左平移2個單位．
分析：由于平移變換只改變函數圖象的位置而不改變其形狀（即不改變二次項系數），所以只改變二次函數圖象的頂點位置（即只改變一次項和常數項），所以，首先將二次函數的解析式變形為頂點式，然后，再依據平移變換后的二次函數圖象的頂點位置求出平移后函數圖像所對應的解析式．
解：二次函數y＝2x2－4x－3的解析式可變為 y＝2(x－1)2－1，
其頂點坐標為(1，－1)．
（1）把函數y＝2(x－1)2－1的圖象向右平移2個單位，向下平移1個單位后，其函數圖象的頂點坐標是(3，-2)，所以，平移后所得到的函數圖象對應的函數表達式就為 y＝2(x－3)2－2．
（2）把函數y＝2(x－1)2－1的圖象向上平移3個單位，向左平移2個單位后，其函數圖象的頂點坐標是(－1， 2)，所以，平移后所得到的函數圖象對應的函數表達式就為 y＝2(x＋1)2＋2．
2．對稱變換
問題2 在把二次函數的圖象關于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，有什么特點？依據這一特點，可以怎樣來研究二次函數的圖象平移？
我們不難發現：在把二次函數的圖象關于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，具有這樣的特點——只改變函數圖象的位置或開口方向、不改變其形狀，因此，在研究二次函數圖象的對稱變換問題時，關鍵是要抓住二次函數的頂點位置和開口方向來解決問題．
例2 求把二次函數y＝2x2－4x＋1的圖象關于下列直線對稱后所得到圖象對應的函數解析式：
（1）直線x＝－1；
（2）直線y＝1．
解：（1）如圖2．2－7，把二次函數y＝2x2－4x＋1的圖象關于直線x＝－1作對稱變換后，只改變圖象的頂點位置，不改變其形狀．
由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函數y＝2x2－4x＋1圖象的頂點為A(1,－1)，所以，對稱后所得到圖象的頂點為A1(－3，-1)，所以，二次函數y＝2x2－4x＋1的圖象關于直線x＝－1對稱后所得到圖象的函數解析式為y＝2(x＋3)2－1，即y＝2x2＋12x＋17．
（2）如圖2．2－8，把二次函數y＝2x2－4x＋1的圖象關于直線y＝－1作對稱變換后，只改變圖象的頂點位置和開口方向，不改變其形狀．
由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函數y＝2x2－4x＋1圖象的頂點為A(1,－1)，所以，對稱后所得到圖象的頂點為B(1，3)，且開口向下，所以，二次函數y＝2x2－4x＋1的圖象關于直線y＝1對稱后所得到圖象的函數解析式為y＝－2(x－1)2＋3，即y＝－2x2＋4x＋1．
二、分段函數
一般地，如果自變量在不同取值范圍內時，函數由不同的解析式給出，這種函數，叫作分段函數．
例3 在國內投遞外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g不超過40g付郵資160分，超過40g不超過60g付郵資240分，依此類推，每封xg(0＜x≤100)的信應付多少郵資（單位：分）？寫出函數表達式，作出函數圖象．
分析：由于當自變量x在各個不同的范圍內時，應付郵資的數量是不同的．所以，可以用分段函數給出其對應的函數解析式．在解題時，需要注意的是，當x在各個小范圍內（如20＜x≤40）變化時，它所對應的函數值（郵資）并不變化（都是160分）．
解：設每封信的郵資為y（單位：分），則y是x的函數．這個函數的解析式為
由上述的函數解析式，可以得到其圖象如圖2．2－9所示．
三、配方法及其應用
1、同學們知道，在求二次函數的圖象的頂點坐標或求最大（小）值時需用到變形：，這種變形的過程就叫配方。具體過程為
用配方來解決最大（小）值等問題的方法叫作配方法，這是高中數學最重要的方法之一，望同學們給予足夠的重視，在上高中之前務必先學會并掌握配方。
例1、將下列二次函數式配方：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
例2、求下列二次函數的最大（或最小）值：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）
∴當時 y取最小值
（2）
∴當x=3時，y取最大值10
（3）
∴當x=-2時，y取最小值-1
（4）
∴當x=-2時，y取最大值-3
思考：1、二次函數式的配方和分解因式的區別是什么？
2、你是否已概括出了配方的幾個步驟？（注：最好不要用公式去套）
四、練習A組
將下列二次函數配方
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
（11） （12）
（13） （14）
（15）
2.3 方程與不等式
2.3.1 二元二次方程組解法
一、概念：方程
是一個含有兩個未知數,并且含有未知數的項的最高次數是2的整式方程,這樣的方程叫做二元二次方程．其中,,叫做這個方程的二次項,,叫做一次項,6叫做常數項．
我們看下面的兩個方程組：
第一個方程組是由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的，第二個方程組是由兩個二元二次方程組成的，像這樣的方程組叫做二元二次方程組．
下面我們主要來研究由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組的解法．
一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組一般可以用代入消元法來解．
二、典型例題：
例1 解方程組
分析：二元二次方程組對我們來說較為生疏，在解此方程組時，可以將其轉化為我們熟悉的形式．注意到方程②是一個一元一次方程，于是，可以利用該方程消去一個元，再代入到方程①，得到一個一元二次方程，從而將所求的較為生疏的問題轉化為我們所熟悉的問題．
解：由②,得
x＝2y＋2， ③
把③代入①,整理,得 8y2＋8y＝0，
即 y(y＋1)＝0．
解得 y1＝0，y2＝－1．
把y1＝0代入③, 得 x1＝2；
把y2＝－1代入③, 得x2＝0．
所以原方程組的解是
說明：在解類似于本例的二元二次方程組時，通常采用本例所介紹的代入消元法來求解．
例2 解方程組
解法一：由①，得　　　　 ③
把③代入②，整理，得　
解這個方程，得　．　
把代入③，得；
把代入③，得．
所以原方程的解是　 　
解法二：對這個方程組，也可以根據一元二次方程的根與系數的關系，把看作一個一元二次方程的兩個根，通過解這個一元二次方程來求．
這個方程組的是一元二次方程　
的兩個根，解這個方程，得　，或．
所以原方程組的解是　　　
三、練習A
1．下列各組中的值是不是方程組 的解 　 （ ）
（1） （2） （3） （4）　
2．解下列方程組:
（1）　　　 （2）　
（3）　 （4）
2.3.2 一元二次不等式解法
一、引入：二次函數y＝x2－x－6的對應值表與圖象如下：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
由對應值表及函數圖象(如圖2.3－1)可知
當x＝－2，或x＝3時，y＝0，
即x2－x-6＝0；
當x＜－2，或x＞3時，y＞0，
即x2－x－6＞0；
當－2＜x＜3時，y＜0，
即x2－x－6＜0．
這就是說，如果拋物線y= x2－x－6與x軸的交點是(－2，0)與(3，0)，那么
一元二次方程x2－x－6＝0的解就是
x1＝－2，x2＝3；
同樣，結合拋物線與x軸的相關位置，可以得到一元二次不等式x2－x－6＞0的解是 x＜－2，或x＞3；
一元二次不等式 x2－x－6＜0的解是 －2＜x＜3．
上例表明：由拋物線與x軸的交點可以確定對應的一元二次方程的解和對應的一元二次不等式的解集．
那么，怎樣解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？
我們可以用類似于上面例子的方法，借助于二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象來解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
為了方便起見，我們先來研究二次項系數a＞0時的一元二次不等式的解．
我們知道，對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，設△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分別為下列三種情況——有兩個不相等的實數解、有兩個相等的實數解和沒有實數解，相應地，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸分別有兩個公共點、一個公共點和沒有公共點(如圖2.3－2所示)，因此，我們可以分下列三種情況討論對應的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）與ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．
（1）當Δ＞0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸有兩個公共點(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不相等的實數根x1和x2(x1＜x2)，由圖2.3－2①可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解為 x＜x1，或x＞x2；
不等式ax2＋bx＋c＜0的解為 x1＜x＜x2．
（2）當Δ＝0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸有且僅有一個公共點，方程ax2＋bx＋c＝0有兩個相等的實數根x1＝x2＝－，由圖2.3－2②可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解為 x≠－；
不等式ax2＋bx＋c＜0無解．
（3）如果△＜0，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）與x軸沒有公共點，方程ax2＋bx＋c＝0沒有實數根，由圖2.3－2③可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解為一切實數；
不等式ax2＋bx＋c＜0無解．
今后，我們在解一元二次不等式時，如果二次項系數大于零，可以利用上面的結論直接求解；如果二次項系數小于零，則可以先在不等式兩邊同乘以－1，將不等式變成二次項系數大于零的形式，再利用上面的結論去解不等式．
二、典型例題：
例3 解不等式：
（1）x2＋2x－3<0； （2）x－x2＋6＜0；
（3）4x2＋4x＋1≥0； （4）x2－6x＋9≤0；
（5）－4＋x－x2＜0．
解：（1）∵Δ＞0，方程x2＋2x－3＝0的解是 x1＝－3，x2＝1．
∴不等式的解為 －3< x <1．
（2）整理，得 x2－x－6＞0．
∵Δ＞0，方程x2－x－6=0的解為 x1＝－2，x2＝3．
∴所以，原不等式的解為 x＜－2，或x >3．
（3）整理，得 (2x＋1)2≥ 0.
由于上式對任意實數x都成立，∴原不等式的解為一切實數．
（4）整理，得 (x－3)2≤0.
由于當x＝3時，(x－3)2＝0成立；而對任意的實數x，(x－3)2＜0都不成立，
∴原不等式的解為 x＝3．
（5）整理，得 x2－x＋4＞0．
Δ＜0，所以，原不等式的解為一切實數．
例4 已知不等式的解是求不等式的解．
解：由不等式的解為，可知
，且方程的兩根分別為2和3，
∴，即 ．
由于，所以不等式可變為 ，
即 －整理，得
所以，不等式的解是 x＜－1，或x＞．
說明：本例利用了方程與不等式之間的相互關系來解決問題．
三、練習A
1．解下列不等式：
（1）3x2－x－4＞0； （2）x2－x－12<0；
（3）x2＋3x－4＞0； （4）16－8x＋x2 ≤ 0．
2．解下列方程組：
（1） （2）
（3）
3．解下列不等式：
（1）3x2－2x＋1＜0； （2）3x2－4＜0；
（3）2x－x2≥－1；
練習B組
1．取什么值時,方程組 有一個實數解 并求出這時方程組的解．
2．已知關于x不等式2x2＋bx－c＞0的解為x＜－1，或x＞3．試解關于x的不等式
bx2＋cx＋4≥0．
3．1 相似形
3.1.1．平行線分線段成比例定理
一、引入
在解決幾何問題時，我們常涉及到一些線段的長度、長度比的問題.在數學學習與研究中，我們發現平行線常能產生一些重要的長度比.
在一張方格紙上，我們作平行線（如圖3.1-1），直線交于點，，另作直線交于點，不難發現
我們將這個結論一般化，歸納出平行線分線段成比例定理：
三條平行線截兩條直線，所得的對應線段、成比例.
如圖3.1-2，，有.當然，也可以得出.在運用該定理解決問題的過程中，我們一定要注意線段之間的對應關系，是“對應”線段成比例.
二、典例
例1 如圖3.1-2， ，
且求.
解 ，∴ ,
例2 在△ABC中，為邊上的點，，
求證：.
證明（1）
∽，
證明（2） 如圖3.1-3，過作直線，
.
過作交于，得 BDEF，因而
從上例可以得出如下結論：
平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例.
平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例.
例3 在△ABC中，為∠BAC的平分線，求證：.
證明 過C作CE//AD，交BA延長線于E，
∵AD//CE, ∴
又AD平分∠BAC，∠BAD=∠DAC，
由知∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE，
∴∠E=∠ACE，即AE=AC，∴
例4的結論也稱為角平分線性質定理，可敘述為角平分線分對邊成比例（等于該角的兩邊之比）.
練習A
1．如圖3.1-6，，下列比例式正確的是（ ）
A． B．
C． D.
2．如圖3.1-7，
求.
3．如圖，在△ABC中，AD是角BAC的平分線，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的長.
4．如圖，在△ABC中，∠BAC的外角平分線交的延長線于點，求證：.
3.1.2 相似形
我們學過三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定兩個三角形相似？有哪些方法可以判定兩個直角三角形相似？
例4 如圖3.1-12,在直角三角形ABC中，∠BAC為直角，于D.
求證：（1）AB2=BD·BC，
AC2=CD·CB；
（2）AD2=BD·CD
證明 （1）在Rt△BAC與Rt△BDA中，
∠B=∠B，∠BAC=∠ADB=90
∴△BAC∽△BDA，∴，
即AB2=BD·BC
同理可證得AC2=CD·CB
（2）在Rt△ABD與Rt△CAD中，∠C=90 -∠B=90 -∠DAC
∴∠B=∠DAC
∴Rt△ABD∽Rt△CAD ∴，即AD2=BD·DC
我們把這個例題的結論稱為射影定理，該定理對直角三角形的運算很有用.
例5、在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
求證：AE·AB=AF·AC
證明 AD⊥BC，
∵△ADB為直角三角形，又DE⊥AB，
由射影定理，知AD2=AE·AB.
同理可得AD2=AF·AC. 圖3.1—13
AE·AB=AF·AC
練習 2(A組)
1．如圖3.1-15，D是△ABC的邊AB上的一點，過D點作DE//BC交AC于E.已知AD：DB=2：3，則等于（ ）
A． B． C． D．
2．若一個梯形的中位線長為15，一條對角線把中位線分成兩條線段.這兩條線段的比是，則梯形的上、下底長分別是__________.
3．已知：△ABC的三邊長分別是3，4，5，與其相似的△的最大邊長是15，求△的面積.
4．已知：如圖3.1-16，在四邊形ABCD 中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.
請判斷四邊形EFGH是什么四邊形，試說明理由；
若四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD滿足什么條件時，EFGH是菱形？是正方形？
5．如圖3.1-17,點C、D在線段AB上，是等邊三角形，
當AC、CD、DB滿足怎樣的關系時，∽？
當∽時，求的度數.
習題3.1
A組
如圖3.1-18，中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，FG=4，則（ ）
A．DE=1，BC=7 B．DE=2，BC=6
C．DE=3，BC=5 D．DE=2，BC=8
如圖3.1-19，BD、CE是的中線，P、Q分別是BD、CE的中點，則等于（ ）
A．1：3 B．1：4
C．1：5 D．1：6
如圖3.1-20， ABCD 中，E是AB延長線上一點，DE交BC于點F，已知BE：AB=2：3，，求.
如圖3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中點，交AC于F，過F作FG//AB交AE于G，求證：.
3.2 三角形
3．2．1 三角形的“四心”
一、引入：三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題.
如圖3.2-1 ，在三角形ΔABC中，有三條邊，三個角A，B，C，三個頂點，在三角形中，角平分線、中線、高（如圖3.2-2）是三角形中的三種重要線段.
三角形的三條中線相交于一點，這個交點稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內部，恰好是每條中線的三等分點.
二、典例
例1 求證三角形的三條中線交于一點，且被該交點分成的兩段長度之比為2：1.
已知 D、E、F分別為ΔABC三邊BC、CA、AB的中點，
求證 AD、BE、CF交于一點，且都被該點分成2：1.
證明 連結DE，設AD、BE交于點G，
∵D、E分別為BC、AC的中點，則DE//AB，且，
∴ΔGDE∽ΔGAB，且相似比為1：2，∴.AG=2GD，BG=2GE
設AD、CF交于點，同理可得，
則與重合，∴AD、BE、CF交于一點，且都被該點分成.
結論1：三角形的三條角平分線相交于一點，是三角形的內心. 三角形的內心在三角形的內部，它到三角形的三邊的距離相等.（如圖3.2-5）
例2 已知ΔABC的三邊長分別為，I為ΔABC的內心，且I在ΔABC的邊上的射影分別為，求證：.
證明 作ΔABC的內切圓，則分別為內切圓在三邊上的切點，
∵AE，AF為圓的從同一點作的兩條切線，∴AE=AF，
同理，BD=BF，CD=CE.
∴b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD-CD
=AF+AE=2AF=2AE
即
例3 若三角形的內心與重心為同一點，求證：這個三角形為正三角形.
已知 O為三角形ABC的重心和內心.
求證 三角形ABC為等邊三角形.
證明 如圖，連AO并延長交BC于D.
∵O為三角形的內心，故AD平分，
∴（角平分線性質定理）
∴O為三角形的重心，D為BC的中點，即BD=DC.
∴，即.
同理可得，AB=BC. ∴ΔABC為等邊三角形.
結論2：三角形的三條高所在直線相交于一點，該點稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在三角形的內部，直角三角形的垂心為他的直角頂點，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.（如圖3.2-8）
例4 求證：三角形的三條高交于一點.
已知 ΔABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE交于H點.
求證 .CH⊥AB
證明 以CH為直徑作圓，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠HDC=∠HEC=90°
∴D、E在以CH為直徑的圓上，
∴∠FCB=∠DEH
同理，E、D在以AB為直徑的圓上，可得
∠BED=∠BAD
∴∠BCH=∠BAD，
又ΔABD與ΔCBF有公共角∠B，∠CFB=∠ADB=90°，即CH⊥AB。
結論3：過不共線的三點A、B、C有且只有一個圓，該圓是三角形ABC的外接圓，圓心O為三角形的外心.三角形的外心到三個頂點的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點.
練習1（A組）
1． （1） 若三角形ABC的面積為S，且三邊長分別為，則三角形的內切圓的半徑
是 ___________;
（2）若直角三角形的三邊長分別為（其中為斜邊長），則三角形的內切圓的半徑是 ___________. 并請說明理由.
3.2.2 幾種特殊的三角形
等腰三角形底邊上三線（角平分線、中線、高線）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的內心I、重心G、垂心H必然在一條直線上.
例5 在ΔABC中，求（1）ΔABC的面積及邊上的高；（2）ΔABC的內切圓的半徑；（3）ΔABC的外接圓的半徑.
解 （1）如圖，作于.
為的中點，
又解得.
（2）如圖，為內心，則到三邊的距離均為，
連，，
即，
解得.
（3）ΔABC是等腰三角形，
外心在上，連，
則RtΔOBD中，
解得
結論4：在直角三角形ABC中，∠A為直角，垂心為直角頂點A， 外心O為斜邊BC的中點，內心I在三角形的內部，且內切圓的半徑為（其中分別為三角形的三邊BC,CA,AB的長），為什么？
該直角三角形的三邊長滿足勾股定理：.
練習2（A組）
直角三角形的三邊長為3，4，,則________.
等腰三角形有兩個內角的和是100°，則它的頂角的大小是_________.
滿足下列條件的ΔABC，不是直角三角形的是（ ）
A． B．∠C=∠A+∠B
C．∠A：∠B：∠C=3：4：5 D．
已知直角三角形的周長為，斜邊上的中線的長為1，求這個三角形的面積.
習題3.2
A組
已知：在ΔABC中，AB=AC，為BC邊上的高，則下列結論中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
三角形三邊長分別是6、8、10，那么它最短邊上的高為（ ）
A．6 B．4.5 C．2.4 D．8
如果等腰三角形底邊上的高等于腰長的一半，那么這個等腰三角形的頂角等于_________.
已知：是ΔABC的三條邊，，那么的取值范圍是_________。
若三角形的三邊長分別為，且是整數，則的值是_________。
6、如圖3.2-19，等邊ΔABC的周長為12，CD是邊AB上的中線，E是CB延長線上一點，且BD=BE，則ΔCDE的周長為（）
A． B．
C． D．
7、如圖3.2-20，在ΔABC中，，BD是邊AC上的高，求的度數。
3．3圓
3．3．1 直線與圓，圓與圓的位置關系
一、引入：設有直線和圓心為且半徑為的圓，怎樣判斷直線和圓的位置關系？
觀察圖3.3-1，不難發現直線與圓的位置關系為：當圓心到直線的距離時，直線和圓相離，如圓與直線；當圓心到直線的距離時，直線和圓相切，如圓與直線；當圓心到直線的距離時，直線和圓相交，如圓與直線.請熟記以下結論：
1、在直線與圓相交時，設兩個交點分別為A、B.若直線經過圓心，則AB為直徑；若直線不經過圓心，如圖3.3-2，連結圓心和弦的中點的線段垂直于這條弦.且在RtΔOMA中，為圓的半徑，為圓心到直線的距離，為弦長的一半，根據勾股定理，有.
2、當直線與圓相切時，如圖3.3-3，為圓的切線，可得，，且在RtΔPOA中，.
如圖3.3-4，為圓的切線，為圓的割線，我們可以證得～ΔPTB，因而.（切割線定理）
二、典型例題
例1 如圖3.3-5，已知⊙O的半徑OB=5cm，弦AB=6cm，D是AB的中點，求弦BD的長度。
解 連結OD，交AB于點E。
∵BD=AD,O是圓心，
∴OD⊥AB,BE=AE=
在RtΔBOE中，OB=5cm,BE=3cm,
在RtΔBDE中，BE=3cm,DE=1cm,
練習 A
1.如圖3.3-9，⊙O的半徑為17cm，弦AB=30cm，AB所對的劣弧和優弧的中點分別為D、C，求弦AC和BD的長。
2.已知四邊形ABCD是⊙O的內接梯形，AB//CD，AB=8cm,CD=6cm, ⊙O的半徑等于5cm，求梯形ABCD的面積。
3.如圖3.3-10，⊙O的直徑AB和弦CD相交于點E，求CD的長。
習題3.3
A組
已知弓形弦長為4，弓形高為1，則弓形所在圓的半徑為（ ）
A． B． C．3 D．4
在半徑等于4的圓中，弦心距為2，垂直平分半徑的弦長為（ ）
A． B． C． D．
AB為⊙O的直徑，弦，E為垂足，若BE=6，AE=4，則CD等于（ ）
A． B． C． D．
如圖3.3-12，在⊙O中，E是弦AB延長線上的一點，已知OB=10cm,OE=12cm，求AB。
B組
如圖3.3-13，已知在RtΔABC中，以C為圓心，CA為半徑的圓交斜邊于D，求AD。
如圖3.3-14，在直徑為100mm的半圓鐵片上切去一塊高為20mm的弓形鐵片，求弓形的弦AB的長。
1.1.1．絕對值（答案）
練習A 1．（1）； （2）；或 2．D 3．
練習B 4、
1.1.2．乘法公式
1．（1）　 （2）　 （3）　
2．（1）D （2）A
1.1.3．二次根式
練習A 1． （1）　（2）　（3）　（4）．2．C
練習B 3．1 4．＞
1.1.4．分式
練習A 1． 2．B 3．0 4．
習題1．1
A組
1．或 2．1 3．（1） （2） （3）
4．（1） 5．4．
B組 1．（1）D （2）C 2．
1.2分解因式（答案）
A組 1． B
2．（1）(x＋2)(x＋4) （2）
（3） （4）．
B組
1．（1） 　（2）
　（3）
2．（1）；　（2）；
　（3）；
3．
2.1 一元二次方程（答案）
練習A
1． （1）C （2）D （3）C （4）B 提示：②和④是錯的，對于②，由于方程的根的判別式Δ＜0，所以方程沒有實數根；對于④，其兩根之和應為－．
（5）C
2． （1）－3 （2）有兩個不相等的實數根 （3）x2＋2x－3＝0 （4）2
（5） （6）6 （7）
3．k＜4，且k≠0
4．－1 提示：(x1－3)( x2－3)＝x1 x2－3(x1＋x2)＋9
5．當m＞－，且m≠0時，方程有兩個不相等的實數根；當m＝－時，方程有兩個相等的實數根；當m＜－時，方程沒有實數根．
6．設已知方程的兩根分別是x1和x2，則所求的方程的兩根分別是－x1和－x2，∵x1＋x2＝7，x1x2＝－1，∴(－x1)＋(－x2)＝－7，(－x1)×(－x2)＝x1x2＝－1，∴所求的方程為y2＋7y－1＝0．
練習B組
1．C 提示：由于k=1時，方程為x2＋2＝0，沒有實數根，所以k＝－1．
2．（1）2006 提示：∵m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m2n＋mn2－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2005－1)＝2006．
（2）－3 提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a3＋a2b＋ab2＋b3＝a2(a＋b)＋b2(a＋b)＝(a＋b)( a2＋b2)＝(a＋b)[( a＋b) 2－2ab]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．
3．（1）∵Δ＝(－k)2－4×1×(－2)＝k2＋8＞0，∴方程一定有兩個不相等的實數根．
（2）∵x1＋x2＝k，x1x2＝－2，∴2k＞－2，即k＞－1．
4．（1）| x1－x2|＝，＝；（2）x13＋x23＝．
5．∵| x1－x2|＝，∴m＝3．把m＝3代入方程，Δ＞0，滿足題意，∴m＝3．
2.2.1 二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖像和性質（答案）
練習A
1、（1）D （2）A
2、（1）4 0 （2）2 -2 0
（3）下 （-2，5） -2 大 5
3、（1） 開口向上，對稱軸為x=1 ，頂點坐標為（1，-4），當x=1時，y取最小值-4。
（2） 開口向下，對稱軸為x=3，頂點坐標為（3，10），當x=3時，y取最大值10。
2.2.2 二次函數的三種表示方式（答案）
1（1）A （2）C 2、（1） （2）4
3、（1） （2）=
（3）
2.2.3 二次函數的簡單應用
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
（11） （12）
（13） （14）
（15）
2.3 方程與不等式
2.3.1 二元二次方程組解法
練 習 A組
1.（1）（2）是方程的組解； （3）（4）不是方程組的解．
2．（1） （2）
（3） （4）
2.3.2 一元二次不等式解法
練 習 A組
1．（1）x＜－1，或x＞； （2）； （3）x＜－4，或x＞1；
（4）x＝4．
2．（1） （2）
（3）
3．（1）無解 （2） （3）
B 組
1．消去，得．
當,即時，方程有一個實數解．
將代入原方程組，得方程組的解為
2．由題意，得 －1和3是方程2x2＋bx－c＝0的兩根，
∴－1＋3＝－，－1×3＝－， 即b＝－4，c＝6．
∴不等式bx2＋cx＋4≥0就為－4 x2＋6x＋4≥0，即2 x2－3x－2≤0，
∴．
3.1 相似形（答案）
練習A
1．D
2．設，即.
3．
4．作交于，則，又得.
練習2（A組）
1．D
2．12，18
3．
4．（1）因為所以是平行四邊形；（2）當時，為菱形；當時，為正方形.
5．（1）當時，∽；（2）.
習題3.1 A組
1、B 2、B 3、
4、BF為直角三角形ABC斜邊上的高，故BF2=AF FC
又可證AG=BF， 所以AG2=AF FC
3.2 三角形
練習1（A組）
1、（1）； （2）.
練習2（A組）
1．5或 2.或 3.C
4．設兩直角邊長為，斜邊長為2，則，且，解得，
∴.
習題3.2
A組
1．B 2. D 3. 4. 5.8 6、A 7、
3.3 圓
練習A
1．取AB中點M，連CM，MD，則，且C，O，M，D共線，.
2．O到AB，CD的距離分別為3cm,4cm，梯形的高為1cm或7cm，梯形的面積為7或49.
3. 半徑為3cm，OE=2cm.,OF=.
習題3.3
A組
1．B 2.A 3.B 4.AB=16cm.
B組
1.作于M，AB=13cm,. 2、AB=80㎜
1
A
x
-3
C
x
P
|x－1|
圖1．1－1
D
5
必須記住
－1
－2
x
x
圖1．2－1
－1
－2
1
1
圖1．2－2
－2
6
1
1
圖1．2－3
－ay
－by
x
x
圖1．2－4
－1
1
x
y
圖1．2－5
x+y
2x-y
2
-3
y＝x2
y＝2x2
圖2.2-1
x
O
y
圖2.2-2
x
y
O
－1
y＝2x2
y＝2(x＋1)2
y＝2(x＋1)2＋1
x
y
O
x＝－
A
圖2.2-3
x
y
O
x＝－
A
圖2.2-4
x
O
y
x＝－1
A(－1,4)
D(0,1)
B
C
圖2.2－5
x
y
O
x＝－1
A(1,－1)
A1(－3,－1)
圖2.2－7
x
y
O
y＝1
A(1,－1)
B(1，3)
圖2.2－8
x(克)
y(分)
O
圖2.2－9
20 40 60 80 100
400
320
240
160
80
①②
①
②
x
O
－2
3
y＝x2－x－6
y
y＞0
y＞0
y＜0
圖2.3－1
x
y
O
x1
x2
x
y
O
x1= x2
y
x
O
圖2.3－2
②
③
①
圖3.1-1
圖3.1-2
圖3.1-3
圖3.1-5
圖3.1-6
圖3.1-7
圖3.1.8
圖3.1.9
圖3.1-12
圖3.1-15
圖3.1-16
圖3.1-17
圖3.1-18
圖3.1-19
圖3.1-20
圖3.1-21
圖3.2-3
圖3.2-4
圖3.2-1
圖3.2-2
圖3.2-5
圖3.2-6
圖3.2-7
圖3.2-8
圖3.2-9
圖3.2-10
圖3.2-11
圖3.2-12
圖3.2-13
圖3.2-19
圖3.2-20
圖3.3-1
圖3.3-2
圖3.3-3
圖3.3-4
⌒
⌒
圖3.3-5
⌒
⌒
圖3.3-9
圖3.3-10
圖3.3-12
圖3.3-13
圖3.3-14
）
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