資源簡介

第1講　圓周運動
整合教材·夯實必備知識
一、圓周運動(必修二第六章第1、2、3節)
1.描述圓周運動的物理量
2.圓周運動的向心力
(1)向心力:做勻速圓周運動的物體所受的合力總指向圓心,這個指向圓心的力叫向心力。
(2)大小:Fn=m=mω2r=mr=mωv=4π2mf2r。
(3)方向:始終沿半徑方向指向圓心,時刻在改變,即向心力是一個變力。
(4)來源:向心力可以由一個力提供,也可以由幾個力的合力提供,也可以由一個力的分力提供。
二、離心運動和近心運動(必修二第六章第4節)
(1)離心運動:做圓周運動的物體,在所受合力突然消失或不足以提供圓周運動所需向心力的情況下,就做逐漸遠離圓心的運動。
(2)受力特點(如圖)
①當F=0時,物體沿切線方向飛出,做勻速直線運動。
②當0③當F>mrω2時,物體逐漸向圓心靠近,做近心運動。
【質疑辨析】
角度1 描述圓周運動的物理量
(1)勻速圓周運動的向心加速度的方向指向圓心,大小不變。 (　√　)
(2)根據an=知,加速度an與半徑r成反比。 (　×　)
(3)根據an=ω2r知,加速度an與半徑r成正比。 (　×　)
(4)火車轉彎時的向心力是車軌與車輪間的擠壓提供的。 (　×　)
角度2 離心運動
(5)做離心運動的物體沿半徑方向遠離圓心。 (　×　)
(6)摩托車轉彎時速度過大就會向外發生滑動,這是摩托車受沿轉彎半徑向外的離心力作用的緣故。 (　×　)
精研考點·提升關鍵能力
考點一　圓周運動的運動學問題　(核心共研)
【核心要點】
常見傳動方式及特點
項 目 同軸傳動 皮帶傳動 齒輪傳動
裝 置 A、B兩點在同軸的一個圓盤上 兩個輪子用皮帶連接,A、B兩點分別是兩個輪子邊緣的點 兩個齒輪輪齒嚙合,A、B兩點分別是兩個齒輪邊緣上的點
特 點 角速度、周期相同 線速度大小相等 線速度大小相等
轉 向 相同 相同 相反
規 律 線速度與半徑成正比:= 向心加速度與半徑成正比:= 角速度與半徑成反比:= 向心加速度與半徑成反比:= 角速度與半徑成反比: = 向心加速度與半徑成反比: =
【典例剖析】
角度1 描述圓周運動的物理量之間的關系
[典例1] (2022·上海等級考)運動員滑雪時運動軌跡如圖所示,已知該運動員滑行的速率保持不變,角速度為ω,向心加速度為a。則 (　　)
A.ω變小,a變小　　　　　B.ω變小,a變大
C.ω變大,a變小 D.ω變大,a變大
【備選例題】
(2023·溫州模擬)在東北嚴寒的冬天,有一項“潑水成冰”的游戲,具體操作是把一杯滾燙的開水按一定的弧線均勻快速地潑向空中,潑灑出的小水珠和熱氣被瞬間凝結成冰而形成壯觀的場景。如圖甲所示是某人玩潑水成冰游戲的精彩瞬間,圖乙為其示意圖。假設潑水過程中杯子做勻速圓周運動,在0.4 s內杯子旋轉了。下列說法正確的是 (　　)
A.P位置的小水珠速度方向沿a方向
B.P、Q兩位置,杯子的向心加速度相同
C.杯子在旋轉時的線速度大小約為6π m/s
D.杯子在旋轉時的向心加速度大小約為9π2 m/s2
角度2 三種傳動裝置
[典例2](2024·淮安模擬)如圖所示為正在使用的修正帶,大齒輪齒數為 N1,小齒輪齒數為N2,A、B分別為大、小齒輪邊緣上的點。 下列說法正確的是(　　)
A.大小齒輪轉動的方向相同
B.A、B兩點的線速度大小之比為 N1∶N2
C.A、B兩點的角速度大小之比為 N2∶N1
D.A、B兩點的向心加速度大小之比為∶
【備選例題】
(2023·威海模擬)如圖所示為某同學拼裝的樂高齒輪傳動裝置,圖中五個齒輪自左向右編號分別為1、2、3、4、5。它們的半徑之比為3∶9∶3∶5∶3,其中齒輪1是主動輪,正在逆時針勻速轉動。下列說法正確的是 (　　)
A.齒輪5順時針轉動
B.齒輪1與齒輪3的轉速之比為1∶9
C.齒輪2邊緣的向心加速度與齒輪5邊緣的向心加速度之比為1∶9
D.齒輪2的周期與齒輪4的周期之比為9∶5
考點二　圓周運動的動力學問題　(核心共研)
【核心要點】
圓周運動中動力學問題的分析思路
【典例剖析】
角度1 火車拐彎問題
[典例3]港珠澳大橋總長約55 km,是世界上總體跨度最長、鋼結構橋體最長、
海底沉管隧道最長的跨海大橋。如圖所示,該路段是港珠澳大橋的一段半徑R=150 m的圓弧形彎道,總質量m=1 500 kg的汽車通過該圓弧形彎道時以v=
72 km/h的速度做勻速圓周運動(汽車可視為質點,路面視為水平且不考慮車道的寬度①)。已知路面與汽車輪胎間的徑向最大靜摩擦力為汽車所受重力的②,取重力加速度大小g=10 m/s2,則 (　　)
A.汽車過該彎道時受到重力、支持力、摩擦力和向心力
B.汽車過該彎道時所受徑向靜摩擦力大小為4 000 N
C.汽車過該彎道時的向心加速度大小為3 m/s2
D.汽車能安全通過該彎道的最大速度為40 m/s
【備選例題】
(2023·眉山模擬)國家速度滑冰隊在訓練彎道技術時采用人體高速彈射裝置,如圖甲所示,在實際應用中裝置在前方通過繩子拉著運動員,使運動員做勻加速直線運動,到達設定速度時,運動員松開繩子,進行高速入彎訓練,已知彎道半徑為25 m,人體高速彈射裝置可以使運動員在4.5 s內由靜止達到入彎速度18 m/s,入彎時冰刀與冰面的接觸情況如圖乙所示,運動員質量為50 kg,重力加速度g取10m/s2,忽略彎道內外高度差及繩子與冰面的夾角、冰刀與冰面間的摩擦,下列說法正確的是 (　　)
A.運動員勻加速運動的距離為81 m
B.勻加速過程中,繩子的平均彈力為100 N
C.運動員入彎時的向心力為648 N
D.入彎時冰刀與水平冰面的夾角大于45°
角度2 拱形橋與凹形橋問題
[典例4](2023·襄陽模擬)如圖所示是為我國的福建號航母配置的殲-35戰機,具有優異的戰斗性能,其過載能力可以達到9。過載是指作用在飛機上的氣動力和發動機推力的合力與飛機重力之比。例如殲-35戰機,以大小為2g的加速度豎直向上加速運動時,其過載就是3。若殲-35戰機在一次做俯沖轉彎訓練時,在最低點時速度大小為200 m/s,過載為5,重力加速度g取10 m/s2,將飛機的運動軌跡看成圓弧,則飛機的轉彎半徑約為 (　　)
A.800 m　　　　 B.1000 m
C.1 200 m D.1 400 m
角度3 離心運動問題
[典例5](2024·渭南模擬)如圖為自行車氣嘴燈及其結構圖,彈簧一端固定在A端,另一端拴接重物,當車輪高速旋轉時,重物由于做離心運動拉伸彈簧后才使觸點M、N接觸,從而接通電路,LED燈就會發光,下列說法正確的是 (　　)
A.安裝時A端比B端更靠近氣嘴
B.高速旋轉時,重物做離心運動是由于受到離心力作用
C.增大重物質量可使LED燈在較低轉速下也能發光
D.勻速行駛時,若LED燈轉到最低點時能發光,則在最高點時也一定能發光
【備選例題】
(2023·揚州模擬)如圖所示,滾筒洗衣機脫水時,滾筒繞水平轉動軸勻速轉動,滾筒上有很多漏水孔,附著在潮濕衣服上的水從漏水孔中被甩出,達到脫水的效果,下列說法正確的是 (　　)
A.脫水過程中滾筒對衣物的摩擦力始終充當動力
B.衣物在最低點B時脫水效果最好
C.衣物在A、B兩點時的加速度相同
D.衣物在A、B兩點時所受筒壁的力大小相等
考點三　平拋運動與圓周運動的綜合　 (核心共研)
【核心要點】
平拋運動與圓周運動的綜合問題的解題關鍵
(1)明確勻速圓周運動的向心力的來源,根據牛頓第二定律和向心力公式列方程。
(2)平拋運動一般是沿水平方向和豎直方向分解速度或位移。
(3)速度是聯系前后兩個過程的關鍵物理量,前一個過程的末速度是后一個過程的初速度。
(4)通常利用時間的關系列式計算,主要由于勻速圓周運動具有周期性,會產生多解問題。
【典例剖析】
角度1 平拋運動與圓周運動的組合問題
[典例6](多選) (2022·河北選擇考)如圖,廣場水平地面上同種盆栽緊密排列在以O為圓心,R1和R2為半徑的同心圓上,圓心處裝有豎直細水管,其上端水平噴水嘴的高度、出水速度及轉動的角速度均可調節,以保障噴出的水全部落入相應的花盆中,依次給內圈和外圈上的盆栽澆水時,噴水嘴的高度、出水速度及轉動的角速度分別用h1、v1、ω1和h2、v2、ω2表示。花盆大小相同,半徑遠小于同心圓半徑,出水口截面積保持不變,忽略噴水嘴水平長度和空氣阻力。下列說法正確的是(　　)
A.若h1=h2,則v1∶v2=R2∶R1
B.若v1=v2,則h1∶h2=∶
C.若ω1=ω2,v1=v2,噴水嘴各轉動一周,則落入每個花盆的水量相同
D.若h1=h2,噴水嘴各轉動一周且落入每個花盆的水量相同,則ω1=ω2
角度2 平拋運動與圓周運動的多解問題
[典例7](多選) (2023·新鄉模擬)各地為提高當地人民的業余生活水平,修建了各種沖關類娛樂游戲設施。如圖為某地沖關游戲中的一個關卡。一個以某一角速度轉動的圓盤浮在水面上,圓盤表面保持水平,M為圓盤邊緣上一點。某時刻,參賽者從跑道上P點以速度v0水平向右跳出,初速度方向沿OM方向,且軌跡與OM在同一豎直平面內,正好落在M點,不計空氣阻力。下列說法正確的是 (　　)
A.若跳出時刻不變,僅增大v0,參賽者仍可能落在M點
B.若跳出時刻不變,僅減小v0,參賽者一定不會落在M點
C.若跳出時刻不變,僅增大轉盤的角速度,參賽者仍可能落在M點
D.若跳出時刻不變,僅增大轉盤的角速度,參賽者不可能落在M點
【備選例題】(多選) (2023·綿陽模擬)如圖所示,有一豎直圓筒,內壁光滑,上端開口截面水平。一小球沿水平方向由A點切入圓筒內側,沿著筒壁呈螺旋狀滑落,落地點恰好位于A點正下方。已知圓筒高5 m,橫截面圓環半徑為1 m,g取10 m/s2,
π≈3.14。則 (　　)
A.小球下落時間為1 s
B.小球進入圓筒的初速度大小可能為3.14 m/s
C.小球進入圓筒的初速度大小可能為6.28 m/s
D.小球進入圓筒的初速度大小可能為12.56 m/s
構建模型·發展核心素養
物理模型:圓錐擺模型
【核心要點】
1.模型條件
一根質量和伸長可以不計的細線,系一個可視為質點的擺球,在水平面內做勻速圓周運動。
2.模型特點
只受兩個力即豎直向下的重力mg和沿著擺線方向的拉力FT,兩個力的合力就是擺球做勻速圓周運動的向心力Fn。
設擺球的質量為m,擺線的長度為l,與豎直方向的夾角為θ,擺球的線速度為v,角速度為ω,周期為T,頻率為f。
(1)擺線的拉力
有兩種基本思路:當θ角已知時FT=;
當θ角未知時FT==mω2l=m()2l=m(2πf)2l。
(2)周期的計算
設懸點到圓周運動圓心的距離為h,根據向心力公式有mgtanθ=m()2lsinθ,則T=2π=2π,由此可知高度相同的圓錐擺周期相同,與m、l、θ無關。
(3)動態分析
根據mgtanθ=mω2lsinθ有cosθ=,當角速度ω增大時,θ增大,向心力增大,回旋半徑增大,周期變小。
3.模型拓展——圓錐筒問題
(1)筒內壁光滑,向心力由重力mg和支持力FN的合力提供,即=m=mω2r,解得v=,ω=。
(2)穩定狀態下小球所處的位置越高,半徑r越大,角速度ω越小,線速度v越大,支持力FN=和向心力F向=并不隨位置的變化而變化。
【典例剖析】
角度1 圓錐擺問題
[典例8](2024·惠州模擬)圖(a)為某游樂場的“旋轉秋千”,它可以簡化為圖(b)所示的模型,已知圓盤的半徑d=1.5 m,懸繩長l=2.5 m。圓盤以恒定的角速度轉動,穩定時測得懸繩與豎直方向的夾角θ=37°,已知sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,不計空氣阻力。下列說法正確的是 (　　)
A.“旋轉秋千”中的人做圓周運動的半徑為1.5 m
B.若人和座椅的總質量為75 kg,則懸繩上的拉力為1 000 N
C.若減小懸繩長度,要維持夾角θ保持不變,則圓盤轉動的周期變小
D.若人和座椅的總質量增大,圓盤轉速不變,則懸繩與豎直方向的夾角減小
【備選例題】
(2023·涼山模擬)如圖所示,甲、乙兩個質量相同的小球(視為質點)用等長輕質細線1、2連接,懸掛在天花板上的O點,兩球在各自的水平面內做勻速圓周運動,并處于相對靜止狀態,細線與豎直方向的夾角分別為θ、β(θ、β非常小,可以取tanθ=sinθ=θ,tanβ=sinβ=β)。則 (　　)
A.θ=β
B.甲、乙兩球的速度之比為1∶2
C.甲、乙兩球的向心力之比為1∶2
D.細線1、2拉力的豎直分力之比為1∶2
角度2 圓錐筒問題
[典例9](2023·泰安模擬)如圖所示的光滑桿和輕彈簧的一端均固定在O'點,可視為質點的小球A固定在輕彈簧的另一端,現使整個裝置環繞豎直軸OO'勻速轉動,當角速度為ω0時輕彈簧處于原長狀態。則下列說法正確的是(　　)
A.角速度由ω0逐漸增大,小球沿桿向上移動
B.角速度大于ω0時,桿與小球間的作用力大小可能不變
C.僅增加小球的質量,小球沿桿向上移動
D.ω0與小球的質量大小有關
[典例10](多選)(2023·上饒模擬)如圖所示,兩個同軸心的玻璃漏斗內表面光滑,兩漏斗與豎直轉軸的夾角分別是α、β且α<β,A、B、C三個相同的小球在漏斗上做勻速圓周運動,A、B兩球在同一漏斗的不同位置,C球在另一個漏斗上且與B球位置等高,下列說法正確的是 (　　)
A.A球與B球的向心力大小相等
B.A球與B球的速度大小相等
C.B球與C球的速度大小相等
D.B球的周期大于C球的周期
答案及解析
考點一　圓周運動的運動學問題
【典例剖析】
角度1 描述圓周運動的物理量之間的關系
[典例1] (2022·上海等級考)運動員滑雪時運動軌跡如圖所示,已知該運動員滑行的速率保持不變,角速度為ω,向心加速度為a。則 (　　)
A.ω變小,a變小　　　　　B.ω變小,a變大
C.ω變大,a變小 D.ω變大,a變大
【關鍵點撥】 根據線速度和加速度的公式,結合半徑的變化完成分析。
【解析】選D。根據線速度的公式v=ωr可知,當速率不變,半徑減小時,角速度增大,而a=ωv也會隨之增大,故D正確,A、B、C錯誤。
【備選例題】
(2023·溫州模擬)在東北嚴寒的冬天,有一項“潑水成冰”的游戲,具體操作是把一杯滾燙的開水按一定的弧線均勻快速地潑向空中,潑灑出的小水珠和熱氣被瞬間凝結成冰而形成壯觀的場景。如圖甲所示是某人玩潑水成冰游戲的精彩瞬間,圖乙為其示意圖。假設潑水過程中杯子做勻速圓周運動,在0.4 s內杯子旋轉了。下列說法正確的是 (　　)
A.P位置的小水珠速度方向沿a方向
B.P、Q兩位置,杯子的向心加速度相同
C.杯子在旋轉時的線速度大小約為6π m/s
D.杯子在旋轉時的向心加速度大小約為9π2 m/s2
【解析】選D。根據圖乙水珠做離心運動的方向可知杯子旋轉方向為逆時針,故可知P位置的小水珠速度方向沿b方向,A錯誤;向心加速度方向指向圓心,P、Q兩位置,杯子的向心加速度方向不同,B錯誤;杯子在旋轉時的角速度大小為ω== rad/s=3π rad/s,杯子在旋轉時的運動半徑大約為1 m,故線速度大小約為v=ωr=3π m/s,C錯誤;杯子在旋轉時的向心加速度大小約為a=ω2r=9π2 m/s2,D正確。
角度2 三種傳動裝置
[典例2](2024·淮安模擬)如圖所示為正在使用的修正帶,大齒輪齒數為 N1,小齒輪齒數為N2,A、B分別為大、小齒輪邊緣上的點。 下列說法正確的是(　　)
A.大小齒輪轉動的方向相同
B.A、B兩點的線速度大小之比為 N1∶N2
C.A、B兩點的角速度大小之比為 N2∶N1
D.A、B兩點的向心加速度大小之比為∶
【關鍵點撥】同緣傳動時,邊緣點的線速度相等;同軸傳動時,各點角速度相等。然后結合v=ωr,a==ω2r等公式求解。
【解析】選C。大小齒輪轉動的方向相反,故選項A錯誤;A、B兩點的線速度大小之比為1∶1,故選項B錯誤;A、B兩點的角速度ω=,所以角速度之比==,故選項C正確;A、B兩點的向心加速度a=,所以向心加速度之比==,故選項D錯誤。
【備選例題】
(2023·威海模擬)如圖所示為某同學拼裝的樂高齒輪傳動裝置,圖中五個齒輪自左向右編號分別為1、2、3、4、5。它們的半徑之比為3∶9∶3∶5∶3,其中齒輪1是主動輪,正在逆時針勻速轉動。下列說法正確的是 (　　)
A.齒輪5順時針轉動
B.齒輪1與齒輪3的轉速之比為1∶9
C.齒輪2邊緣的向心加速度與齒輪5邊緣的向心加速度之比為1∶9
D.齒輪2的周期與齒輪4的周期之比為9∶5
【解析】選D。當齒輪1逆時針勻速轉動時,齒輪2順時針轉動,齒輪3逆時針轉動,齒輪4順時針轉動,齒輪5逆時針轉動,選項A錯誤;所有齒輪邊緣的線速度相同,齒輪1與齒輪3邊緣具有相同的線速度,因為齒輪1與齒輪3半徑相等,所以轉速之比為1∶1,選項B錯誤;根據==,所以==,選項C錯誤;同理可得==,所以==,選項D正確。
考點二　圓周運動的動力學問題
【典例剖析】
角度1 火車拐彎問題
[典例3]港珠澳大橋總長約55 km,是世界上總體跨度最長、鋼結構橋體最長、
海底沉管隧道最長的跨海大橋。如圖所示,該路段是港珠澳大橋的一段半徑R=150 m的圓弧形彎道,總質量m=1 500 kg的汽車通過該圓弧形彎道時以v=
72 km/h的速度做勻速圓周運動(汽車可視為質點,路面視為水平且不考慮車道的寬度①)。已知路面與汽車輪胎間的徑向最大靜摩擦力為汽車所受重力的②,取重力加速度大小g=10 m/s2,則 (　　)
A.汽車過該彎道時受到重力、支持力、摩擦力和向心力
B.汽車過該彎道時所受徑向靜摩擦力大小為4 000 N
C.汽車過該彎道時的向心加速度大小為3 m/s2
D.汽車能安全通過該彎道的最大速度為40 m/s
【題眼破譯】——提升信息轉化能力
信息①汽車做勻速圓周運動,受到重力、支持力、摩擦力及牽引力,其合力提供向心力。
信息②當路面對輪胎的徑向摩擦力指向內側且達到徑向最大靜摩擦力時,汽車的速率為安全通過圓弧形彎道的最大速率。
【解析】選B。汽車過該彎道時受到重力、支持力、摩擦力和牽引力作用,徑向摩擦力提供做圓周運動的向心力,向心力不是汽車實際受到的力,故A錯誤;汽車過該彎道時所受徑向靜摩擦力大小為f,由牛頓第二定律得:f=m,其中v=72 km/h
=20 m/s,代入數據得:f=4 000 N,故B正確;汽車過該彎道時的向心加速度大小為:a=
代入數據得:a= m/s2,故C錯誤;設汽車能安全通過該彎道的最大速度為vm,由牛頓第二定律得:mg=m,解得:vm=30 m/s,故D錯誤。
【備選例題】
(2023·眉山模擬)國家速度滑冰隊在訓練彎道技術時采用人體高速彈射裝置,如圖甲所示,在實際應用中裝置在前方通過繩子拉著運動員,使運動員做勻加速直線運動,到達設定速度時,運動員松開繩子,進行高速入彎訓練,已知彎道半徑為25 m,人體高速彈射裝置可以使運動員在4.5 s內由靜止達到入彎速度18 m/s,入彎時冰刀與冰面的接觸情況如圖乙所示,運動員質量為50 kg,重力加速度g取10m/s2,忽略彎道內外高度差及繩子與冰面的夾角、冰刀與冰面間的摩擦,下列說法正確的是 (　　)
A.運動員勻加速運動的距離為81 m
B.勻加速過程中,繩子的平均彈力為100 N
C.運動員入彎時的向心力為648 N
D.入彎時冰刀與水平冰面的夾角大于45°
【解析】選C。運動員勻加速運動的距離為
x=t=×4.5 m=40.5 m,故A錯誤;勻加速過程中,加速度大小為a== m/s2=
4 m/s2,由牛頓第二定律,繩子的平均彈力為F=ma=50×4 N=200 N,故B錯誤;運動員入彎時的向心力為Fn=m=50× N=648 N,故C正確;設入彎時冰刀與水平冰面的夾角為θ,則有tanθ===<1,可得θ<45°,故D錯誤。
角度2 拱形橋與凹形橋問題
[典例4](2023·襄陽模擬)如圖所示是為我國的福建號航母配置的殲-35戰機,具有優異的戰斗性能,其過載能力可以達到9。過載是指作用在飛機上的氣動力和發動機推力的合力與飛機重力之比。例如殲-35戰機,以大小為2g的加速度豎直向上加速運動時,其過載就是3。若殲-35戰機在一次做俯沖轉彎訓練時,在最低點時速度大小為200 m/s,過載為5,重力加速度g取10 m/s2,將飛機的運動軌跡看成圓弧,則飛機的轉彎半徑約為 (　　)
A.800 m　　　　 B.1000 m
C.1 200 m D.1 400 m
【題眼破譯】——提升信息轉化能力
信息過載為3是指作用在飛機上的氣動力和發動機推力的合力大小為3mg,可以使飛機獲得a=2g的豎直向上的加速度。
【解析】選B。對最低點的飛機受力分析,可知飛機受到重力mg、氣動力和發動機推力的合力F,根據牛頓第二定律,可得F-mg=m,此時過載為5,所以F=5mg,代入數據解得,飛機的轉彎半徑r=1 000 m,故B正確,A、C、D錯誤。
角度3 離心運動問題
[典例5](2024·渭南模擬)如圖為自行車氣嘴燈及其結構圖,彈簧一端固定在A端,另一端拴接重物,當車輪高速旋轉時,重物由于做離心運動拉伸彈簧后才使觸點M、N接觸,從而接通電路,LED燈就會發光,下列說法正確的是 (　　)
A.安裝時A端比B端更靠近氣嘴
B.高速旋轉時,重物做離心運動是由于受到離心力作用
C.增大重物質量可使LED燈在較低轉速下也能發光
D.勻速行駛時,若LED燈轉到最低點時能發光,則在最高點時也一定能發光
【關鍵點撥】在最高點、最低點時,合力提供向心力,結合題意分析發光情況。
【解析】選C。根據題意,重物由于做離心運動拉伸彈簧后才使觸點M、N接觸,可知安裝時B端比A端更靠近氣嘴,故A錯誤;高速旋轉時,重物做離心運動是由于重物所受外力沿半徑方向的合力不足以提供圓周運動的向心力,不能夠認為重物受到離心力作用,故B錯誤;根據F=m,可知,速度大小,圓周運動半徑一定時,增大重物質量時,重物所需向心力增大,可知增大重物質量時,重物更加容易發生離心運動,即增大重物質量可使LED燈在較低轉速下也能發光,故C正確;勻速行駛時,若LED燈轉到最低點時,重力方向豎直向下,則此時彈簧一定處于拉伸狀態,且有F1-mg=m,LED燈能發光,表明此時觸點M、N接觸,LED燈轉到最高點時,速度大小不變,所需向心力大小不變,由于重力方向豎直向下,則此時彈力大小一定減小,即重物將遠離B端,可知此時觸點M、N有可能脫離接觸,即LED燈不一定發光,故D錯誤。
【備選例題】
(2023·揚州模擬)如圖所示,滾筒洗衣機脫水時,滾筒繞水平轉動軸勻速轉動,滾筒上有很多漏水孔,附著在潮濕衣服上的水從漏水孔中被甩出,達到脫水的效果,下列說法正確的是 (　　)
A.脫水過程中滾筒對衣物的摩擦力始終充當動力
B.衣物在最低點B時脫水效果最好
C.衣物在A、B兩點時的加速度相同
D.衣物在A、B兩點時所受筒壁的力大小相等
【解析】選B。脫水過程中滾筒對衣物的摩擦力方向與速度平行,不可能充當向心力,故A錯誤;對衣物上的某一水滴分析,在A點有N1+mg=m,在B點有N2-mg=m,可知N2>N1,則衣物在最低點B時脫水效果最好,故B正確;由于衣物隨著滾筒做勻速轉動,根據a=可知,衣物在A、B兩點時的加速度大小相等,方向相反,均指向圓心,故C錯誤;根據上述分析可知,衣物在A點所受筒壁的力小于在B點所受筒壁的力,故D錯誤。
考點三　平拋運動與圓周運動的綜合
【典例剖析】
角度1 平拋運動與圓周運動的組合問題
[典例6](多選) (2022·河北選擇考)如圖,廣場水平地面上同種盆栽緊密排列在以O為圓心,R1和R2為半徑的同心圓上,圓心處裝有豎直細水管,其上端水平噴水嘴的高度、出水速度及轉動的角速度均可調節,以保障噴出的水全部落入相應的花盆中,依次給內圈和外圈上的盆栽澆水時,噴水嘴的高度、出水速度及轉動的角速度分別用h1、v1、ω1和h2、v2、ω2表示。花盆大小相同,半徑遠小于同心圓半徑,出水口截面積保持不變,忽略噴水嘴水平長度和空氣阻力。下列說法正確的是(　　)
A.若h1=h2,則v1∶v2=R2∶R1
B.若v1=v2,則h1∶h2=∶
C.若ω1=ω2,v1=v2,噴水嘴各轉動一周,則落入每個花盆的水量相同
D.若h1=h2,噴水嘴各轉動一周且落入每個花盆的水量相同,則ω1=ω2
【思維流程】
【解析】選B、D。若h1=h2,根據豎直方向上自由落體的運動特點可知,水的運動時間相等,在水平方向上,x=vt,則v1∶v2=R1∶R2,故A錯誤;若v1=v2,根據水平方向的運動特點可知,t1∶t2=R1∶R2,結合豎直方向自由落體的公式h=gt2可知,h1∶h2=∶,故B正確;若ω1=ω2,v1=v2,噴水嘴各轉動一周,因為旋轉的時間相同,則噴出的水量相等,但因為外圈的花盆數量比內圈數量多,則落入每個花盆的水量不相同,故C錯誤;設出水口橫截面積為S0,噴水速度為v,若ω1=ω2,則噴水管轉動一周的時間相等,因h相等,則水落地的時間相等,則t=相等;在圓周上單位時間內單位長度的水量為Q0====相等,即一周中每個花盆中的水量相同,則ω1=ω2,選項D正確。
角度2 平拋運動與圓周運動的多解問題
[典例7](多選) (2023·新鄉模擬)各地為提高當地人民的業余生活水平,修建了各種沖關類娛樂游戲設施。如圖為某地沖關游戲中的一個關卡。一個以某一角速度轉動的圓盤浮在水面上,圓盤表面保持水平,M為圓盤邊緣上一點。某時刻,參賽者從跑道上P點以速度v0水平向右跳出,初速度方向沿OM方向,且軌跡與OM在同一豎直平面內,正好落在M點,不計空氣阻力。下列說法正確的是 (　　)
A.若跳出時刻不變,僅增大v0,參賽者仍可能落在M點
B.若跳出時刻不變,僅減小v0,參賽者一定不會落在M點
C.若跳出時刻不變,僅增大轉盤的角速度,參賽者仍可能落在M點
D.若跳出時刻不變,僅增大轉盤的角速度,參賽者不可能落在M點
【解析】選B、C。參賽者做平拋運動,下落高度不變,其運動時間不變。由水平方向x=v0t可知,若僅改變v0,其水平位移改變。由于參賽者跳出時刻不變,在相同時間內,M點仍轉至原來的位置,則參賽者一定不會落在M點,故A錯誤,B正確;若僅增大轉盤角速度,在相同時間內轉盤多轉動整數圈,仍可能落在M點,故C正確,D錯誤。
【備選例題】(多選) (2023·綿陽模擬)如圖所示,有一豎直圓筒,內壁光滑,上端開口截面水平。一小球沿水平方向由A點切入圓筒內側,沿著筒壁呈螺旋狀滑落,落地點恰好位于A點正下方。已知圓筒高5 m,橫截面圓環半徑為1 m,g取10 m/s2,
π≈3.14。則 (　　)
A.小球下落時間為1 s
B.小球進入圓筒的初速度大小可能為3.14 m/s
C.小球進入圓筒的初速度大小可能為6.28 m/s
D.小球進入圓筒的初速度大小可能為12.56 m/s
【解析】選A、C、D。小球在豎直方向做自由落體運動,則有h=gt2,解得小球下落時間為t== s=1 s,故A正確;設小球進入圓筒的初速度大小為v0,小球在水平方向做勻速圓周運動,根據題意有v0t=n·2πr(n=1,2,3…)
解得v0=6.28n m/s(n=1,2,3…)
當n=1時,可得v0=6.28 m/s
當n=2時,可得v0=12.56 m/s,故B錯誤,C、D正確。
構建模型·發展核心素養
物理模型:圓錐擺模型
【典例剖析】
角度1 圓錐擺問題
[典例8](2024·惠州模擬)圖(a)為某游樂場的“旋轉秋千”,它可以簡化為圖(b)所示的模型,已知圓盤的半徑d=1.5 m,懸繩長l=2.5 m。圓盤以恒定的角速度轉動,穩定時測得懸繩與豎直方向的夾角θ=37°,已知sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,不計空氣阻力。下列說法正確的是 (　　)
A.“旋轉秋千”中的人做圓周運動的半徑為1.5 m
B.若人和座椅的總質量為75 kg,則懸繩上的拉力為1 000 N
C.若減小懸繩長度,要維持夾角θ保持不變,則圓盤轉動的周期變小
D.若人和座椅的總質量增大,圓盤轉速不變,則懸繩與豎直方向的夾角減小
【關鍵點撥】(1)人和座椅在水平面內做勻速圓周運動,所受的重力和拉力的合力提供向心力。
(2)根據牛頓第二定律列出向心力的表達式,再進行分析、判斷。
【解析】選C。人和座椅做圓周運動的半徑為r=d+lsinθ=3 m
故A錯誤;懸繩的拉力T==mg=937.5 N
故B錯誤;人和座椅做圓周運動時,有mgtanθ=mω2(d+lsinθ)
整理得ω2=,由上式可知,若減小懸繩長度,要維持夾角θ保持不變,則圓盤轉動角速度變大,故周期變小;若人和座椅的總質量增大,圓盤轉速不變,則懸繩與豎直方向的夾角不變,故C正確,D錯誤。
【備選例題】
(2023·涼山模擬)如圖所示,甲、乙兩個質量相同的小球(視為質點)用等長輕質細線1、2連接,懸掛在天花板上的O點,兩球在各自的水平面內做勻速圓周運動,并處于相對靜止狀態,細線與豎直方向的夾角分別為θ、β(θ、β非常小,可以取tanθ=sinθ=θ,tanβ=sinβ=β)。則 (　　)
A.θ=β
B.甲、乙兩球的速度之比為1∶2
C.甲、乙兩球的向心力之比為1∶2
D.細線1、2拉力的豎直分力之比為1∶2
【解析】選D。甲、乙相對靜止做穩定的勻速圓周運動,每轉一圈需要的時間相同,角速度相等設為ω,設細線1、2的長度均為L,拉力分別為T1、T2,甲、乙的質量均為m。對乙進行受力分析,把T1分別沿豎直方向和水平方向分解,則有T1cosθ=mg,T1sinθ=mω2L(sinβ+sinθ)
對甲、乙組成的整體進行受力分析,把T2分別沿豎直方向和水平方向分解,則有
T2cosβ=2mg
T2sinβ=mω2L(sinβ+sinθ)+mω2Lsinβ
聯立以上式子解得=,故A項錯誤;根據v甲=ωLsinβ,v乙=ω(Lsinβ+Lsinθ)
結合之前的分析可得=-1,故B項錯誤;對甲球受力分析有F向甲=mω2Lsinβ,對乙球同理有F向乙=mω2L(sinθ+sinβ),結合之前的分析解得=,故C項錯誤;由之前的分析可知,兩細線豎直方向分力分別為T1y=T1cosθ=mg
T2y=T2cosβ=2mg,解得=,故D項正確。
角度2 圓錐筒問題
[典例9](2023·泰安模擬)如圖所示的光滑桿和輕彈簧的一端均固定在O'點,可視為質點的小球A固定在輕彈簧的另一端,現使整個裝置環繞豎直軸OO'勻速轉動,當角速度為ω0時輕彈簧處于原長狀態。則下列說法正確的是(　　)
A.角速度由ω0逐漸增大,小球沿桿向上移動
B.角速度大于ω0時,桿與小球間的作用力大小可能不變
C.僅增加小球的質量,小球沿桿向上移動
D.ω0與小球的質量大小有關
【解析】選A。角速度由ω0逐漸增大的過程中,假設彈簧仍處于原長狀態,由F向=mω2R可知小球所需的向心力增大,桿對小球的支持力增大,因此小球一定沿桿向上移動,故A正確,B錯誤。當角速度為ω0時,對小球進行受力分析,如圖所示,
假設桿與豎直方向的夾角為θ,彈簧的原長為l0,則=ml0sinθ,解得ω0=,可知角速度ω0與小球的質量大小無關,故D錯誤;僅增加小球的質量,角速度不變,彈簧仍處于原長,故C錯誤。
[典例10](多選)(2023·上饒模擬)如圖所示,兩個同軸心的玻璃漏斗內表面光滑,兩漏斗與豎直轉軸的夾角分別是α、β且α<β,A、B、C三個相同的小球在漏斗上做勻速圓周運動,A、B兩球在同一漏斗的不同位置,C球在另一個漏斗上且與B球位置等高,下列說法正確的是 (　　)
A.A球與B球的向心力大小相等
B.A球與B球的速度大小相等
C.B球與C球的速度大小相等
D.B球的周期大于C球的周期
【解析】選A、C。A球與B球做勻速圓周運動,合力提供向心力,對兩球受力分析,如圖:
由幾何關系,對A球合力提供向心力:FnA=F合A=
對B球合力提供向心力:FnB=F合B=
A球與B球相同,則A球與B球向心力大小相等,故A正確;由公式Fn=m,小球做圓周運動的速度為v=,由圖可知rAvA,故B錯誤;小球C的向心力:FnC=,設B球與C球的高度為h,由幾何關系rB=htanα,rC=htanβ,得v=,則有vB=vC,由公式T=,由于rBTB,故D錯誤,C正確。

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