資源簡介

第2講　拋體運動
整合教材·夯實必備知識
一、平拋運動的規律及應用(必修二第五章第4節)
二、斜拋運動(必修二第五章第4節)
【質疑辨析】
角度1 平拋運動
(1)平拋運動的時間由高度和初速度共同決定。 (　×　)
(2)從同一高度水平拋出的兩個物體(不計空氣阻力),初速度越大的物體落地時的速度越大。(　√　)
(3)從同一高度平拋的物體,不計空氣阻力時,在空中飛行的時間是相同的。(　√　)
(4)做平拋運動的物體,在任意相等的時間內速度的變化量是相同的。(　√　)
角度2 斜拋運動
(5)斜拋運動的加速度不恒定。(　×　)
(6)無論是平拋運動還是斜拋運動,都是勻變速曲線運動。 (　√　)
精研考點·提升關鍵能力
考點一　平拋運動的規律及應用　(核心共研)
【核心要點】
1.平拋運動的特點
物理量 特點
飛行時間 由t=知,時間取決于下落高度h,與初速度v0無關
水平射程 x=v0t=v0,即水平射程由初速度v0和下落高度h共同決定,與其他因素無關
落地速度 v==,以θ表示落地速度與水平正方向的夾角,則tanθ==,落地速度也只與初速度v0和下落高度h有關
速度 改變量 平拋運動的加速度a=g恒定,做平拋運動的物體在任意相等時間間隔Δt內的速度改變量Δv=gΔt相同,方向豎直向下,如圖所示
2.平拋運動的兩個推論
圖示 推論
1.任意時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點,如圖中A點和B點,有:xB=
2.在任意時刻任意位置處,設其末速度方向與水平方向的夾角為α,位移與水平方向的夾角為θ,則tanα=2tanθ
【典例剖析】
角度1 平拋運動的規律及應用
[典例1](2022·全國甲卷)將一小球水平拋出,使用頻閃儀和照相機對運動的小球進行拍攝,頻閃儀每隔0.05 s發出一次閃光。某次拍攝時,小球在拋出瞬間頻閃儀恰好閃光,拍攝的照片編輯后如圖所示。圖中的第一個小球為拋出瞬間的影像,每相鄰兩個球之間被刪去了3個影像,所標出的兩個線段的長度s1和s2之比為3∶7。重力加速度大小取g=10 m/s2,忽略空氣阻力。求在拋出瞬間小球速度的大小。
【備選例題】
(2023·臺州模擬)如圖所示,一架戰斗機沿水平方向勻速飛行,先后釋放三顆炸彈,分別擊中山坡上水平間距相等的A、B、C三點。已知擊中A、B的時間間隔為t1,擊中B、C的時間間隔為t2,釋放炸彈的時間間隔分別為Δt1、Δt2。不計空氣阻力,則 (　　)
A.t1>t2　　　　　　B.t1=t2
C.Δt1>Δt2 D.Δt1=Δt2
角度2 平拋運動的兩個推論
[典例2](2023·本溪模擬)如圖所示,ab為豎直平面內的半圓環acb的水平直徑,c為環上最低點,環半徑為R,將一個小球從a點以初速度v0沿ab方向拋出,設重力加速度為g,不計空氣阻力,則以下說法錯誤的是 (　　)
A.小球的初速度v0越大,碰到圓環時的水平分位移越大
B.當小球的初速度v0=時,碰到圓環時的豎直分速度最大
C.無論v0取何值,小球都不可能垂直撞擊圓環
D.v0取值不同時,小球落在圓環上的速度方向和水平方向之間的夾角可以相同
考點二　有約束條件的平拋運動　(核心共研)
【核心要點】
有約束條件的平拋運動的情境及解題策略
已知條件 情境示例 解題策略
已知速度方向 從斜面外平拋,垂直落在斜面上,如圖所示, 已知速度的方向垂直于斜面 分解速度 tanθ==
從圓弧形軌道外平拋,恰好無碰撞地進入圓弧形軌道,如圖所示,已知速度方向沿該點圓弧的切線方向 分解速度 tanθ==
已知位移方向 從斜面上平拋又落到斜面上,如圖所示, 已知位移的方向沿斜面向下 分解位移 tanθ===
在斜面外平拋,落在斜面上位移最小,如圖所示, 已知位移方向垂直斜面 分解位移 tanθ===
利用位移關系 從圓心處水平拋出,落到半徑為R的圓弧上,如圖所示, 已知位移大小等于半徑R
從與圓心等高的圓弧上水平拋出,落到半徑為R的圓弧上,如圖所示, 已知水平位移x與R的差的平方與豎直位移的平方之和等于半徑的平方
【典例剖析】
角度1 與斜面有關的平拋運動
[典例3] (2024·濰坊模擬)滑板運動是一項青春、時尚、綠色、陽光的體育運動。如圖所示,跳臺的斜面AB長為L,C點為斜面中點。滑板運動員(視為質點)從斜面頂端A點水平躍出,第一次速度為v0,剛好落在C點;第二次試跳中,要落在斜面底端B點,則離開A點時水平速度大小應為 (　　)
A.v0　　 B.2v0
C.v0 D.3v0
【備選例題】
如圖所示,從傾角為θ且足夠長的斜面頂端P以速度v0拋出一個小球(可視為質點),落在斜面上某處,記為Q點,小球落在斜面上的速度與斜面的夾角為α,若把初速度變為2v0,小球仍落在斜面上,則以下說法正確的是 (　　)
A.夾角α將變大
B.夾角α與初速度大小無關
C.小球在空中的運動時間不變
D.PQ間距是原來間距的3倍
角度2 與圓弧面有關的平拋運動
[典例4](2023·長沙模擬)如圖所示,半徑為R的半球形碗固定于水平面上,碗口水平,O點為碗的圓心,A、B為水平直徑的兩個端點。將一彈性小球①(可視為質點)從A點沿AB方向以初速度v1水平拋出,小球與碗內壁碰撞一次后恰好經過B點②;
若將該小球從離O點R處的C點以初速度v2水平拋出,小球與碗內壁碰撞一次后恰好返回C點③。假設小球與碗內壁碰撞前后瞬間小球的切向速度不變,沿半徑方向的速度等大反向,則v2與v1的比值為 (　　)
A.2　　　　　B.
C. D.
考點三　平拋運動的臨界和極值問題　 (核心共研)
【核心要點】
常見臨界問題及求解思路
兩種臨界 求解思路
(1)物體的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度 (2)物體的速度方向恰好達到某一方向 (1)確定臨界狀態 (2)找出臨界狀態對應的臨界條件 (3)分解速度或位移 (4)若有必要,畫出臨界軌跡
【典例剖析】
角度1 平拋運動的臨界問題
[典例5](2023·成都模擬)如圖所示為一乒乓球臺的縱截面,AB是臺面的兩個端點位置,PC是球網位置,D、E兩點滿足AD=BE=AB,且E、M、N在同一豎直線上。第一次在M點將球擊出,軌跡最高點恰好過球網最高點P,同時落到A點;第二次在N點將同一乒乓球水平擊出,軌跡同樣恰好過球網最高點P,同時落到D點。乒乓球可看作質點,不計空氣阻力作用,則兩次擊球位置到桌面的高度hM∶hN為(　　)
A.　　　　 　 B.
C. D.
角度2 平拋運動的極值問題
[典例6](2023·麗水模擬)如圖所示,乒乓球的發球器安裝在足夠大的水平桌面上,可繞豎直轉軸OO'轉動,發球器O'A部分與桌面之間的距離為h,O'A部分的長度也為h。重力加速度為g。打開開關后,發球器可將乒乓球從A點以初速度v0水平發射出去,≤v0≤2。設發射出去的所有乒乓球都能落到桌面上,乒乓球可視為質點,空氣阻力不計。若使該發球器繞轉軸OO'在90°的范圍內來回緩慢地水平轉動,持續發射足夠長時間后,乒乓球第一次與桌面碰撞區域的面積S是(　　)
A.2πh2 B.3πh2
C.4πh2 D.8πh2
【備選例題】
(2023·長沙模擬)在某活動中,某環節的場地設施簡化如圖,AB為水平直軌道,上面的電動懸掛器可以載人運動,水面上漂浮著一個R=1.5 m的鋪有海綿墊的圓盤,圓盤的圓心離平臺的水平距離為L=6 m,平臺邊緣與轉盤平面的高度差為H=5 m。選手抓住懸掛器可以在電動機的帶動下,從A點下方的平臺邊緣處沿水平方向做初速度為零、加速度為a=1.5 m/s2 的勻加速直線運動。選手必須做好判斷,在合適的位置釋放,才能順利落在轉盤上。現將選手簡化為質點,不計空氣阻力,重力加速度g取10 m/s2,下列說法正確的是 (　　)
A.選手從A點出發1 s時釋放,可落在圓盤上
B.選手從A點出發2 s時釋放,可落在圓盤的圓心
C.選手從A點出發2.5 s時釋放,可落在圓盤的圓心
D.選手從A點出發3 s時釋放,可落在圓盤上
考點四　斜拋運動　(核心共研)
【核心要點】
1.斜拋運動的相關物理量
斜拋運動的相關物理量 求解思路
斜拋運動的飛行時間 t==
斜拋運動的射高 h==
斜拋運動的射程 s=vxt=v0cosθ·t==, 對于給定的v0,當θ=45°時,射程達到最大值, smax=
2.逆向思維法處理斜拋運動
對斜上拋運動從拋出點到最高點的運動,可逆過程分析,看成平拋運動,分析完整的斜上拋運動,還可根據對稱性求解某些問題。
【典例剖析】
角度1 斜拋運動的特點與規律
[典例7](2023·湖南選擇考)如圖(a),我國某些農村地區人們用手拋撒谷粒進行水稻播種。某次拋出的谷粒中有兩顆的運動軌跡如圖(b)所示,其軌跡在同一豎直平面內,拋出點均為O,且軌跡交于P點①,拋出時谷粒1和谷粒2的初速度分別為v1和v2,其中v1方向水平,v2方向斜向上②。忽略空氣阻力,關于兩谷粒在空中的運動,下列說法正確的是 (　　)
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B.谷粒2在最高點的速度小于v1
C.兩谷粒從O到P的運動時間相等
D.兩谷粒從O到P的平均速度相等
【備選例題】
(2023·咸陽模擬)小明是一名鉛球運動員,他根據自己的身高計算出每次投出鉛球的速度方向與水平面成θ角可以使自己獲得更好的成績。在比賽中小明在O點進行兩次投擲鉛球的情況如圖所示,已知兩次投擲鉛球的速度方向與水平面均成θ角。圖中直線AB與直線CD垂直,不計空氣阻力,下列判斷正確的是(　　)
A.當投出鉛球的速度大小一定時,θ=45°時成績最好
B.小明同學兩次投擲鉛球的成績相同
C.小明同學兩次投擲鉛球時,鉛球在最高點的速度方向相同
D.小明同學兩次投擲鉛球時,鉛球在某一高度的速度方向與水平面的夾角相同
角度2 斜拋運動的逆向處理方法
[典例8](2024·渭南模擬)高樓出現火情時需要一種高架水炮消防車。現距水平地面36 m高的某樓房出現火情,消防員緊急出動救援,已知高架水炮消防車的水炮炮口距離水平地面28.8 m,到起火房間的水平距離為9.6 m,水柱剛好從起火房間的窗戶垂直打入,取重力加速度g=10 m/s2,不計空氣阻力,則水柱剛打入窗戶時的速度為 (　　)
A.6 m/s　B.8 m/s　C.10 m/s　D.15 m/s
角度3 斜拋運動等效成兩個反向的平拋運動
[典例9](2023·阜新模擬)2022年9月16日,第九批在韓志愿軍烈士的遺骸回歸祖國,沈陽桃仙國際機場以“過水門”最高禮遇迎接志愿軍烈士回家,以表達對英烈的崇高敬意。如圖所示,儀式中的“水門”是由兩輛消防車噴出的水柱形成的。兩條水柱形成的拋物線對稱分布,且剛好在最高點相遇。若水門高約45 m,跨度約90 m。忽略空氣阻力、消防車的高度以及水流之間的相互作用,則下列說法正確的是(　　)
A.水噴出后經過約1.5 s到達最高點
B.在最高點相遇前的瞬間,水柱的速度約為0
C.水噴出的瞬間,速度的水平分量約為30 m/s
D.水滴在上升過程中,相等時間內速度的變化量相等
【備選例題】
一小孩站在岸邊向湖面拋石子。a、b兩粒石子先后從同一位置拋出后,各自運動的軌跡曲線如圖所示,兩條曲線的最高點位于同一水平線上,忽略空氣阻力的影響。關于a、b兩粒石子的運動情況,下列說法正確的是 (　　)
A.相等時間間隔內的速度變化量大小Δva>Δvb
B.在空中運動的時間taC.拋出時的初速度va>vb
D.入水時的速度va'答案及解析
考點一　平拋運動的規律及應用
【典例剖析】
角度1 平拋運動的規律及應用
[典例1](2022·全國甲卷)將一小球水平拋出,使用頻閃儀和照相機對運動的小球進行拍攝,頻閃儀每隔0.05 s發出一次閃光。某次拍攝時,小球在拋出瞬間頻閃儀恰好閃光,拍攝的照片編輯后如圖所示。圖中的第一個小球為拋出瞬間的影像,每相鄰兩個球之間被刪去了3個影像,所標出的兩個線段的長度s1和s2之比為3∶7。重力加速度大小取g=10 m/s2,忽略空氣阻力。求在拋出瞬間小球速度的大小。
【思維流程】
【解析】頻閃儀每隔0.05 s發出一次閃光,每相鄰兩個球之間被刪去3個影像,故相鄰兩球的時間間隔為t=4T=0.05×4 s=0.2 s
設拋出瞬間小球的速度為v0,每相鄰兩球間的水平方向上位移為x,豎直方向上的位移分別為y1、y2,則水平方向:x=v0t
豎直方向:y1=gt2,y2=g(2t)2-gt2
又因為s1= s2= 且=
代入數據解得v0= m/s
答案: m/s
【備選例題】
(2023·臺州模擬)如圖所示,一架戰斗機沿水平方向勻速飛行,先后釋放三顆炸彈,分別擊中山坡上水平間距相等的A、B、C三點。已知擊中A、B的時間間隔為t1,擊中B、C的時間間隔為t2,釋放炸彈的時間間隔分別為Δt1、Δt2。不計空氣阻力,則 (　　)
A.t1>t2　　　　　　B.t1=t2
C.Δt1>Δt2 D.Δt1=Δt2
【解析】選B。設釋放第一顆炸彈的時刻為t01,擊中山坡上A點的時刻為tA,釋放第二顆炸彈的時刻為t02,擊中山坡上B點的時刻為tB,釋放第三顆炸彈的時刻為t03,擊中山坡上C點的時刻為tC,由于炸彈在空中下落過程,戰斗機一直處于炸彈的正上方,則有xAB=v0(tB-tA)=v0t1,xBC=v0(tC-tB)=v0t2
由于xAB=xBC,可得t1=t2
設三顆炸彈在空中下落的高度分別為hA、hB、hC;則三顆炸彈在空中的下落時間分別為ΔtA==tA-t01,ΔtB==tB-t02
ΔtC==tC-t03,則有
Δt1=t02-t01=(tB-)-(tA-)=t1-(-)
Δt2=t03-t02=(tC-)-(tB-)=t2-(-)
由題圖可知下落高度關系為:hB略小于hA,hC比hB小得多;則有Δt1<Δt2,故選B。
角度2 平拋運動的兩個推論
[典例2](2023·本溪模擬)如圖所示,ab為豎直平面內的半圓環acb的水平直徑,c為環上最低點,環半徑為R,將一個小球從a點以初速度v0沿ab方向拋出,設重力加速度為g,不計空氣阻力,則以下說法錯誤的是 (　　)
A.小球的初速度v0越大,碰到圓環時的水平分位移越大
B.當小球的初速度v0=時,碰到圓環時的豎直分速度最大
C.無論v0取何值,小球都不可能垂直撞擊圓環
D.v0取值不同時,小球落在圓環上的速度方向和水平方向之間的夾角可以相同
【關鍵點撥】 小球做平拋運動,豎直方向做自由落體運動,水平方向做勻速直線運動。根據速度的反向延長線交于水平位移的中點,分析小球能否垂直撞擊圓環。
【解析】選D。小球做平拋運動,則小球的初速度v0越大,其軌跡就越靠近ab直線,則碰到圓環時的水平分位移越大,故A正確, 不符合題意;小球做平拋運動,當小球掉在c點時豎直分速度最大,設初速度為v0,則有R=gt2,R=v0t
解得v0=,故B正確,不符合題意。小球撞擊在圓弧ac段時,速度方向斜向右下方,不可能與圓環垂直;當小球撞擊在圓弧cb段時,根據“中點”結論可知,由于O不在水平位移的中點,所以小球撞在圓環上的速度反向延長線不可能通過O點,也就不可能垂直撞擊圓環,故C正確,不符合題意;v0取值不同時,小球運動的軌跡不同,落到圓環上的位置不同,則位移的偏向角不同,因速度的偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的2倍,可知速度的偏向角不同,則小球落在圓環上的速度方向和水平方向之間的夾角不相同,故D錯誤,符合題意。
考點二　有約束條件的平拋運動　
【典例剖析】
角度1 與斜面有關的平拋運動
[典例3] (2024·濰坊模擬)滑板運動是一項青春、時尚、綠色、陽光的體育運動。如圖所示,跳臺的斜面AB長為L,C點為斜面中點。滑板運動員(視為質點)從斜面頂端A點水平躍出,第一次速度為v0,剛好落在C點;第二次試跳中,要落在斜面底端B點,則離開A點時水平速度大小應為 (　　)
A.v0　　 B.2v0
C.v0 D.3v0
【關鍵點撥】兩次運動過程,運動員的位移都沿斜面方向,故這兩次位移與水平面的夾角相同,都等于斜面傾角。
【解析】選A。設斜面傾角為θ,第一次試跳中運動時間為t,則sinθ=gt2,cosθ=v0t,
第二次試跳中運動時間為t',離開A點時水平速度大小為v',則Lsinθ=gt'2,
Lcosθ=v't',解得t'=t,v'=v0,故選A。
【備選例題】
如圖所示,從傾角為θ且足夠長的斜面頂端P以速度v0拋出一個小球(可視為質點),落在斜面上某處,記為Q點,小球落在斜面上的速度與斜面的夾角為α,若把初速度變為2v0,小球仍落在斜面上,則以下說法正確的是 (　　)
A.夾角α將變大
B.夾角α與初速度大小無關
C.小球在空中的運動時間不變
D.PQ間距是原來間距的3倍
【解析】選B。根據tanθ==,解得t=,初速度變為原來的2倍,則小球在空中的運動時間變為原來的2倍,C錯誤;根據x=v0t=知,初速度變為原來的2倍,則水平位移變為原來的4倍,且PQ=,故PQ間距變為原來間距的4倍,D錯誤;末速度與水平方向夾角的正切值tanβ===2tanθ,可知速度方向與水平方向夾角正切值是位移與水平方向夾角正切值的2倍,因為位移與水平方向夾角不變,則末速度與水平方向夾角不變,由幾何關系可知α不變,與初速度大小無關,A錯誤,B正確。
角度2 與圓弧面有關的平拋運動
[典例4](2023·長沙模擬)如圖所示,半徑為R的半球形碗固定于水平面上,碗口水平,O點為碗的圓心,A、B為水平直徑的兩個端點。將一彈性小球①(可視為質點)從A點沿AB方向以初速度v1水平拋出,小球與碗內壁碰撞一次后恰好經過B點②;
若將該小球從離O點R處的C點以初速度v2水平拋出,小球與碗內壁碰撞一次后恰好返回C點③。假設小球與碗內壁碰撞前后瞬間小球的切向速度不變,沿半徑方向的速度等大反向,則v2與v1的比值為 (　　)
A.2　　　　　B.
C. D.
【題眼破譯】——提升信息轉化能力
信息①小球與碗內壁發生彈性碰撞,滿足機械能守恒,同時小球碰撞前后瞬間,小球的切向速度不變。
信息②由對稱性知小球與碗內壁的碰撞點應在碗的最低點。
信息③要使小球能反彈回C點,小球必須垂直打在圓弧上。
【解析】選B。小球從A點以初速度v1向右平拋,反彈后經過B點,由對稱性知小球與碗內壁的碰撞點應在碗的最低點。由平拋運動的規律有R=v1t1　R=g
解得v1=
小球從C點以初速度v2向右平拋,要使小球能反彈回C點,小球必須垂直打在圓弧上,如圖所示:
設碰撞點為D,連接OD,即為平拋軌跡過D點的切線。過D點作DE⊥AB于E,則O為小球平拋水平位移的中點,有ED=g CO=OE=v2t2
在直角三角形ODE中,有(ED)2+(OE)2=R2,解得v2=,可得v2與v1的比值為,故B正確,A、C、D錯誤。
考點三　平拋運動的臨界和極值問題
【典例剖析】
角度1 平拋運動的臨界問題
[典例5](2023·成都模擬)如圖所示為一乒乓球臺的縱截面,AB是臺面的兩個端點位置,PC是球網位置,D、E兩點滿足AD=BE=AB,且E、M、N在同一豎直線上。第一次在M點將球擊出,軌跡最高點恰好過球網最高點P,同時落到A點;第二次在N點將同一乒乓球水平擊出,軌跡同樣恰好過球網最高點P,同時落到D點。乒乓球可看作質點,不計空氣阻力作用,則兩次擊球位置到桌面的高度hM∶hN為(　　)
A.　　　　 　 B.
C. D.
【關鍵點撥】 取M關于CP的對稱點,根據平拋運動規律,水平方向做勻速直線運動、豎直方向做自由落體運動,即可解答。
【解析】選C。設CP高為H,M點距離臺面的高度為hM,N點距離臺面的高度為hN,取M關于CP的對稱點Q,由幾何關系可知,Q的高度與M的高度相等,且Q點位于D點上方。只看第一次從P到A的平拋過程,可知P到Q的水平距離為P到A的水平距離的,則有P到Q的時間為P到A時間的,根據y=gt2可知,P到Q的豎直距離為P到A的,所以有= 解得hM=H
同理,對第二次平拋運動有=
解得hN=H,可得hM∶hN=,故選C。
角度2 平拋運動的極值問題
[典例6](2023·麗水模擬)如圖所示,乒乓球的發球器安裝在足夠大的水平桌面上,可繞豎直轉軸OO'轉動,發球器O'A部分與桌面之間的距離為h,O'A部分的長度也為h。重力加速度為g。打開開關后,發球器可將乒乓球從A點以初速度v0水平發射出去,≤v0≤2。設發射出去的所有乒乓球都能落到桌面上,乒乓球可視為質點,空氣阻力不計。若使該發球器繞轉軸OO'在90°的范圍內來回緩慢地水平轉動,持續發射足夠長時間后,乒乓球第一次與桌面碰撞區域的面積S是(　　)
A.2πh2 B.3πh2
C.4πh2 D.8πh2
【解析】選C。設乒乓球做平拋運動的時間為t,則t=。當速度最大時,水平位移具有最大值xmax,xmax=vmaxt=2·=4h,當速度最小時,水平位移具有最小值xmin,xmin=vmint=·=2h,其中vmax、vmin為v0的最大值和最小值,又因為發球器O'A部分長度也為h,故乒乓球的落點距豎直轉軸距離的范圍為3h≤x≤5h,乒乓球第一次與桌面碰撞區域是一個圓心角為90°、寬度為2h的環形帶狀區域,其面積S=·π[(5h)2-(3h)2]=4πh2,A、B、D三項錯誤,C項正確。
【備選例題】
(2023·長沙模擬)在某活動中,某環節的場地設施簡化如圖,AB為水平直軌道,上面的電動懸掛器可以載人運動,水面上漂浮著一個R=1.5 m的鋪有海綿墊的圓盤,圓盤的圓心離平臺的水平距離為L=6 m,平臺邊緣與轉盤平面的高度差為H=5 m。選手抓住懸掛器可以在電動機的帶動下,從A點下方的平臺邊緣處沿水平方向做初速度為零、加速度為a=1.5 m/s2 的勻加速直線運動。選手必須做好判斷,在合適的位置釋放,才能順利落在轉盤上。現將選手簡化為質點,不計空氣阻力,重力加速度g取10 m/s2,下列說法正確的是 (　　)
A.選手從A點出發1 s時釋放,可落在圓盤上
B.選手從A點出發2 s時釋放,可落在圓盤的圓心
C.選手從A點出發2.5 s時釋放,可落在圓盤的圓心
D.選手從A點出發3 s時釋放,可落在圓盤上
【解析】選B。選手釋放后,在空中做平拋運動,故落到圓盤上的時間為t== s=1 s,在水平方向上,選手先以a=1.5 m/s2做勻加速直線運動,經過時間t1后釋放,位移為x1=a=0.75
再以初速度v0=1.5t1做勻速直線運動,位移為x2=v0t=1.5t1,要想選手落在圓盤上,則有L-R=4.5 m≤x1+x2≤L+R=7.5 m,聯立可得(-1) s≤t1≤(-1) s,故A、D錯誤;要想落在圓盤圓心,則有x1+x2=6 m,解得t1=2 s,故B正確,C錯誤。
考點四　斜拋運動
【典例剖析】
角度1 斜拋運動的特點與規律
[典例7](2023·湖南選擇考)如圖(a),我國某些農村地區人們用手拋撒谷粒進行水稻播種。某次拋出的谷粒中有兩顆的運動軌跡如圖(b)所示,其軌跡在同一豎直平面內,拋出點均為O,且軌跡交于P點①,拋出時谷粒1和谷粒2的初速度分別為v1和v2,其中v1方向水平,v2方向斜向上②。忽略空氣阻力,關于兩谷粒在空中的運動,下列說法正確的是 (　　)
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B.谷粒2在最高點的速度小于v1
C.兩谷粒從O到P的運動時間相等
D.兩谷粒從O到P的平均速度相等
【題眼破譯】——提升信息轉化能力
信息①兩顆谷粒從O到P水平位移相同。
信息②谷粒1做平拋運動,谷粒2做斜上拋運動。
【解析】選B。兩谷粒拋出后在空中的加速度均為重力加速度,故兩谷粒加速度相等,A錯誤;兩谷粒均從O點運動到P點,在豎直方向上谷粒2做豎直上拋運動,谷粒1做自由落體運動,豎直方向上位移相同,故谷粒2運動時間較長;谷粒2做斜拋運動,水平方向上為勻速直線運動,故運動到最高點的速度即為v2在水平方向上的分速度。與谷粒1比較,水平位移相同,但運動時間較長,故谷粒2在最高點的速度小于v1,B正確、C錯誤;兩谷粒從O點運動到P點的位移相同,運動時間不同,故平均速度不相等,谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度,D錯誤。故選B。
【備選例題】
(2023·咸陽模擬)小明是一名鉛球運動員,他根據自己的身高計算出每次投出鉛球的速度方向與水平面成θ角可以使自己獲得更好的成績。在比賽中小明在O點進行兩次投擲鉛球的情況如圖所示,已知兩次投擲鉛球的速度方向與水平面均成θ角。圖中直線AB與直線CD垂直,不計空氣阻力,下列判斷正確的是(　　)
A.當投出鉛球的速度大小一定時,θ=45°時成績最好
B.小明同學兩次投擲鉛球的成績相同
C.小明同學兩次投擲鉛球時,鉛球在最高點的速度方向相同
D.小明同學兩次投擲鉛球時,鉛球在某一高度的速度方向與水平面的夾角相同
【解析】選D。當投出鉛球的速度大小一定時,水平射程為x=v0cosθ·t,豎直方向上有-h=v0sinθ·t-gt2,h未確定時無法確定θ角為多少時成績最好,故A錯誤;小明同學兩次投擲鉛球的成績不相同,第2次落地點到圓心O的距離大一些,成績好一些,故B錯誤;鉛球在最高點時速度方向均為水平方向,豎直速度均減為零,且速度方向為軌跡的切線方向,由題圖可知,兩次投擲鉛球時,鉛球在最高點的速度方向不相同,第1次沿OB方向,第2次沿OD方向,故C錯誤;由斜拋運動的對稱性可知,兩次投擲鉛球時,鉛球到與投擲點相同高度的速度方向與水平面的夾角相同,故D正確。
角度2 斜拋運動的逆向處理方法
[典例8](2024·渭南模擬)高樓出現火情時需要一種高架水炮消防車。現距水平地面36 m高的某樓房出現火情,消防員緊急出動救援,已知高架水炮消防車的水炮炮口距離水平地面28.8 m,到起火房間的水平距離為9.6 m,水柱剛好從起火房間的窗戶垂直打入,取重力加速度g=10 m/s2,不計空氣阻力,則水柱剛打入窗戶時的速度為 (　　)
A.6 m/s　B.8 m/s　C.10 m/s　D.15 m/s
【解析】選B。將水的逆過程看成是平拋運動,豎直方向有Δh=gt2
解得t= s=1.2 s 水平方向有x=v0t
解得水平速度為v0== m/s=8 m/s
則水柱剛打入窗戶時的速度為8 m/s。故選B。
角度3 斜拋運動等效成兩個反向的平拋運動
[典例9](2023·阜新模擬)2022年9月16日,第九批在韓志愿軍烈士的遺骸回歸祖國,沈陽桃仙國際機場以“過水門”最高禮遇迎接志愿軍烈士回家,以表達對英烈的崇高敬意。如圖所示,儀式中的“水門”是由兩輛消防車噴出的水柱形成的。兩條水柱形成的拋物線對稱分布,且剛好在最高點相遇。若水門高約45 m,跨度約90 m。忽略空氣阻力、消防車的高度以及水流之間的相互作用,則下列說法正確的是(　　)
A.水噴出后經過約1.5 s到達最高點
B.在最高點相遇前的瞬間,水柱的速度約為0
C.水噴出的瞬間,速度的水平分量約為30 m/s
D.水滴在上升過程中,相等時間內速度的變化量相等
【關鍵點撥】 兩條水柱形成的拋物線對稱分布,且剛好在最高點相遇,可從最高點把水柱看成兩個方向相反的對稱的平拋運動,使問題的解決極大簡化。
【解析】選D。兩條水柱形成的拋物線對稱分布,且剛好在最高點相遇,可把水柱看成逆過程的平拋運動,豎直方向有h=gt2,解得t== s=3 s,A錯誤;水柱在水平方向做勻速直線運動,在最高點相遇前的瞬間,水柱的速度等于水噴出的瞬間的水平分速度,則有vx== m/s=15 m/s,B、C錯誤;速度變化量為矢量,水滴上升過程中只受重力,加速度不變,有Δv=g·Δt,可得水滴在上升過程中,相等時間內速度的變化量相等。D正確。
【備選例題】
一小孩站在岸邊向湖面拋石子。a、b兩粒石子先后從同一位置拋出后,各自運動的軌跡曲線如圖所示,兩條曲線的最高點位于同一水平線上,忽略空氣阻力的影響。關于a、b兩粒石子的運動情況,下列說法正確的是 (　　)
A.相等時間間隔內的速度變化量大小Δva>Δvb
B.在空中運動的時間taC.拋出時的初速度va>vb
D.入水時的速度va'【解析】選D。
解法一:兩粒石子均做斜拋運動,因石子在空中時只受重力,加速度等于重力加速度,由Δv=gΔt可知,相等時間間隔內的速度變化量大小相等,故A錯誤;兩石子均做斜拋運動,運動時間取決于豎直高度,從拋出點到最高點高度相同,向上運動時間相同,從最高點下落高度相同,下落時間相同,所以兩石子在空中運動時間相等,故B錯誤;設任一石子初速度大小為v0,初速度的豎直分量為vy,水平分量為vx,初速度與水平方向的夾角為α,上升的最大高度為h,取豎直向上方向為正方向,石子豎直方向上做勻減速直線運動,加速度為a=-g,由0-=-2gh,得vy=,h相同,vy相同,則兩粒石子初速度的豎直分量相同。由速度的分解知vy=v0sinα,由于α不同,所以v0不同,b石子初速度與水平方向的夾角小,所以b石子拋出的初速度較大,故C錯誤;根據機械能守恒定律知mgH=mv'2-m,得石子入水速率為v'=,拋出時位置相同,b拋出時的初速度大,b石子入水時的末速度大,故D正確。
解法二:
設a、b兩石子運動軌跡的最高點分別為A、B。從最高點向左、向右分析,為兩段平拋運動。兩石子在空中運動時,只受重力作用,加速度等于重力加速度g,由Δv=gΔt可知,相等時間間隔內的速度的變化量大小相等,故A錯誤;a、b兩石子向左、向右兩段平拋運動的豎直高度分別相同,故在空中的運動時間相等,即ta=tb,同時可知拋出時豎直向上的分速度和落水時豎直向下的分速度vy相同,故B錯誤;a、b兩石子向左、向右兩段平拋運動的水平位移不相同,故水平方向的分速度vxa

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