資源簡介

(共27張PPT)
2024年秋季
數學 北師大版
八年級上冊
2 定義與命題
北師大版 八年級上冊
第2課時 定理與證明
學習目標
1.了解公理、定理與證明的概念，并了解本套教材所采用的公理.
2.體會命題證明的必要性，體驗數學思維的嚴謹性.
復習導入
1.你上課認真聽講了嗎？
2.同位角相等；
3.同角的補角相等；
4.作線段AB的中垂線；
5.如果a2＞b2，那么a＞b；
6.對頂角相等.
判斷下面句子哪些是命題，哪些是真命題，哪些是假命題？
不是命題
假命題
真命題
不是命題
假命題
真命題
思考：如何證明一個命題是真命題呢？
自學指導
認真閱讀課本168-170頁內容，6分鐘內完成：
1.歸納公理、證明、定理的定義.
2.學習過的八條基本事實有哪些？
3.如何證明對頂角相等？
要求：動腦思考，動手標記課本中的重點和疑點.
進行新課
知識點一
公理、證明、定理的定義
點擊播放視頻
古希臘數學家歐幾里得（公元前300年前后）編寫了一本書，書名叫做《原本》. 為了說明每一結論的正確性，他在編寫這本書時進行了大膽創造：挑選了一部分數學名詞和一部分公認的真命題作為證實其他命題的出發點和依據.
1.原名：
2.公理：
3.證明：
4.定理：
某些數學名詞稱為原名.
公認的真命題稱為公理.
演繹推理的過程稱為證明.
經過證明的真命題稱為定理.
不需要證明 公理=基本事實
除了公理外，其他真命題的正確性都需要通過演繹推理的方法證實.
九條基本事實（公理）
1.兩點確定一條直線.（直線公理）
A
B
2.兩點之間線段最短.（線段公理）
A
B
3.同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
P
4.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行(簡述為：同位角相等，兩直線平行).
5.過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.
P
l1
l2
6.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.（SAS）
7.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等.（ASA）
8.三邊分別相等的兩個三角形全等.（SSS）
另外一條將在后面學習中認識.
等式和不等式的有關性質都可以作為證明的依據.
在等式中，一個量可以用它相等的量來代替.
數與式的運算律和運算法則都可以作為證明的依據.
例如:如果 a=b，b=c ，那么 a=c ， 這一性質也可以作為證明的依據，稱為“等量代換”.
如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c，“不等式的傳遞性”.
其他哪些還可以作為公理？
總結歸納
一些條件
定理、公理
推理
證實其他命題的正確性
演繹推理的過程叫做證明
經過證明的真命題叫做定理
定義、命題、基本事實(公理)、定理之間的區別與聯系:
（1）聯系:這四者都是命題.
（2）區別:定義、基本事實、定理都是真命題，都可以作為進一步判斷其他命題真假的依據，只不過基本事實是最原始的依據；而命題不一定是真命題，因而不能作為進一步判斷其他命題真假的依據.
知識點二
證明的過程
請你用基本事實（公理），證明我們探索過的定理.
定理：同角（等角）的補角相等.
定理：同角（等角）的余角相等.
定理：三角形的任意兩邊之和大于第三邊.
符號“∵”讀作“因為”，“∴”讀作“所以”.
定理：同角（等角）的補角相等.
（1）已知：∠B和∠C是∠A的補角，求證：∠B=∠C.
證明：∵∠B和∠C是∠A的補角，
∴∠B=180°-∠A，
∠C=180°-∠A，
∴∠B=∠C（等量代換），
∴同角的補角相等.
（2）已知：∠A=∠B，∠C和∠D分別是∠A、∠B的補角，求證：∠C=∠D.
證明：∵∠C和∠D分別是∠A、
∠B的補角，
∴∠C=180°-∠A，
∠D=180°-∠B，
∵∠A=∠B（已知），
∴∠C=∠D（等量代換），
∴等角的補角相等.
（3）已知：∠B和∠C是∠A的余角，求證：∠B=∠C.
證明：∵∠B和∠C是∠A的余角，
∴∠B=90°-∠A，
∠C=90°-∠A，
∴∠B=∠C（等量代換），
∴同角的余角相等.
（4）已知：∠A=∠B，∠C和∠D分別是∠A、∠B的余角，求證：∠C=∠D.
證明：∵∠C和∠D分別是∠A、
∠B的余角，
∴∠C=90°-∠A，
∠D=90°-∠B，
∵∠A=∠B（已知），
∴∠C=∠D（等量代換），
∴等角的余角相等.
定理：同角（等角）的余角相等.
例 已知：如圖，直線AB與直線CD相交于點O，∠AOC與∠BOD是對頂角.
求證： ∠AOC =∠BOD.
證明：∵直線AB與直線CD相交于點O，
∴ ∠AOB與∠COD都是平角（平角的定義）.
∴ ∠AOC與∠BOD都是∠AOD的補角（補角的定義）.
∴ ∠AOC =∠BOD （同角的補角相等）.
A
C
O
D
B
定理 對頂角相等
證明的一般步驟：
①根據題意，畫出圖形;
②根據條件和結論，結合圖形寫出已知和求證;
③經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程.
隨堂練習
1．下列說法正確的是（ ）
A．命題一定是正確的
B．不正確的判斷就不是命題
C．真命題都是公理
D．定理都是真命題
D
2．下列語句中屬于定理的是（ ）
A．在直線AB上取一點E
B．如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角
C．同位角相等
D．同角的補角相等
D
3.如圖，點 A，O，B在一條直線上，OC平分∠BOD，OE⊥OC 垂足為點O. 試判斷∠AOE與∠DOE有怎樣的數量關系，并說明理由．
解：∠AOE ＝∠DOE.
理由：如圖，∵OE⊥OC，
∴∠1＋∠3＝90 °.
又∠AOB＝180 °，
∴∠2＋∠4＝90 °，
又∠1＝∠2 ，
∴∠3＝∠4，
即∠AOE＝∠DOE.
4.請你完成定理“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”的證明.
已知：如圖，三角形ABC.
求證：AB+BC >AC，AB+AC >BC，BC+AC >AB.
證明：觀察圖中三角形，若把它的任意兩個頂點，如A、B看作定點，則由“兩點之間線段最短”，可得AC+BC >AB.同理可得AB+BC >AC，AB+AC >BC.
【教材P170 隨堂練習】
A
B
C
課堂小結
定理與證明
定義
定理
公理
證明
作出明確規定的名詞術語的含義
公認的真命題
演繹推理的過程
經過證明的真命題
布置作業：完成練習冊中本課時的習題。
課后作業
謝 謝，同學們再見！
謝謝
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