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(共33張PPT)
2024年秋季
數(shù)學(xué) 北師大版
八年級上冊
北師大版 八年級上冊
5 三角形的內(nèi)角和定理
第1課時(shí) 三角形內(nèi)角和定理的證明
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.會(huì)用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和等于180°.
2.應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決相關(guān)問題.
復(fù)習(xí)回顧
1.回顧平行線有哪些性質(zhì)？
兩直線平行
內(nèi)錯(cuò)角相等
同位角相等
同旁內(nèi)角互補(bǔ)
2.我們學(xué)過的知識中哪些含有180°的關(guān)系？
三角形內(nèi)角和等于180°
1
2
3
4
∠1=∠2
∠1=∠3
∠1+∠4=180°
平角為180°
進(jìn)行新課
我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和等于180°，有什么方法可以驗(yàn)證這一結(jié)論？
①測量
47°
73°
60°
60°+47°+73°=180°
②幾何畫板
A
B
C
③剪拼
④折疊
B
C
A
A
B
C
觀測的結(jié)果不一定可靠，還要通過數(shù)學(xué)知識來說明. 根據(jù)上面的操作過程，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？
剪拼折疊角的目的什么？
構(gòu)造平角
A
B
C
B
C
A
A
B
C
如果不實(shí)際移動(dòng)角，通過什么方式來改變角的位置呢？
A
B
C
知識點(diǎn)一
三角形內(nèi)角和定理的證明
已知：如圖，△ABC.
求證：∠A+∠B+∠C=180°.
如何改變角的位置構(gòu)造平角？
延長BC到D，過點(diǎn)C作射線CE∥BA
分析：
E
D
這里的CD，CE稱為輔助線，輔助線通常畫成虛線.
A
B
C
E
D
1
2
證明：延長BC到D，過點(diǎn)C作射線
CE∥BA，則
∠1=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∠2=∠B（兩直線平行，同位角相等）.
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定義），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）.
已知：如圖，△ABC.
求證：∠A+∠B+∠C=180°.
證法一：
三角形內(nèi)角和定理
三角形內(nèi)角和等于180°
A
B
C
幾何語言：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
證明：過點(diǎn)A作l∥BC，
∴∠B=∠1，∠C=∠2,
（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.
∵∠2+∠1+∠BAC=180°
（平角的定義），
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
（等量代換）.
1
2
l
已知：如圖，△ABC.
求證：∠A+∠B+∠C=180°.
你還能想到其他添加輔助線構(gòu)造平角的方法嗎？
證法二：
已知：如圖，△ABC.
求證：∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
證明：過點(diǎn)D作DE∥AC，DF∥AB.
∴∠C=∠1，∠B=∠3
（兩直線平行，同位角相等）.
∠A+∠AED=180°，∠AED+∠2=180°
（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.
∴∠A=∠2（等量代換）.
∵∠1+∠2+∠3=180°（平角的定義），
∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代換）.
1
2
3
D
E
F
證法三：
思考：除了構(gòu)造平角得到180°外，還有其他方式嗎？
兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)
除了在三角形頂點(diǎn)或邊上構(gòu)造平角外，還可以在三角形內(nèi)部和外部構(gòu)造平角.
A
B
C
A
B
C
討論：如何構(gòu)造平行線得到同旁內(nèi)角呢？
根據(jù)給出的輔助線提示，請同學(xué)們課后完成這兩種證明方法.
l
D
E
F
A
B
C
E
D
A
B
C
l
A
B
C
D
E
F
A
B
C
l
A
B
C
D
E
F
思考：多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是什么？
轉(zhuǎn)化思想
添加輔助線（平行線）
利用平行線的性質(zhì)，轉(zhuǎn)移角
轉(zhuǎn)化為平角或同旁內(nèi)角
例1 如圖，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).
知識點(diǎn)二
三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用
A
C
B
D
解：在△ABC中，
∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形內(nèi)角和定理).
∵∠B= 38°，∠C=62°(已知)，
∴∠BAC=180°-38°-62°=80°(等式的性質(zhì)).
∵AD平分∠BAC(已知)，
∴∠BAD =∠CAD= ∠BAC= ×80°= 40°
(角平分線的定義).
在△ADB中，
∠B +∠BAD+∠ADB = 180°(三角形內(nèi)角和定理).
∵∠B=38°(已知)，∠BAD =40°(已證)，
∴∠ADB= 180°- 38°-40°= 102°(等式的性質(zhì)).
A
C
B
D
拓展：如圖，△ABC中，D在BC的延長線上，過D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
基本圖形歸納
∠A+∠B=∠C+∠D
“8”字形
∠1+∠2=∠3+∠4
“A”字形
隨堂練習(xí)
②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，則△ABC是
______三角形 .
1.練一練：
①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，則∠ C= .
③在△ABC中， ∠A=∠B+10°，∠C=∠A + 10°，則∠A= ， ∠ B= ，∠ C= .
102°
直角
60°
50°
70°
2.如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，∠A+∠ADE= 180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度數(shù)．
解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE，
∴∠CED=∠B=78°．
又∵∠C=60°，
∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）
=180°-（78°+60°）=42°．
3.如圖，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度數(shù)．
解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°-60°=120°．
4. 直角三角形的兩銳角之和是多少度？證明你的結(jié)論.
證明:因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180°，而直角為90°，所以直角三角形兩銳角之和為180°-90°=90°.
【教材P179 隨堂練習(xí) 第1題】
5. 正三角形的一個(gè)內(nèi)角是多少度？證明你的結(jié)論.
證明：因?yàn)檎切稳齻€(gè)內(nèi)角相等.所以正三角形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為 ×180°=60°.
【教材P179 隨堂練習(xí) 第2題】
6. 已知：如圖，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，點(diǎn)D，E分別在AB和AC上，且DE//BC.
求證：∠ADE=50°.
【教材P179 隨堂練習(xí) 第3題】
A
B
C
D
E
證明:∵DE// BC(已知)，
∴∠AED=∠C=70°(兩直線平行，同位角相等).
又∵∠A=60°(已知)，
∴ ∠ADE=180°－70°－60°=50°
(三角形內(nèi)角和定理).
A
B
C
D
E
課堂小結(jié)
三角形內(nèi)角和定理
內(nèi)容
證明
應(yīng)用
∠A+∠B=∠C+∠D
“8”字形
添加輔助線（平行線）
利用平行線的性質(zhì)，轉(zhuǎn)移角
轉(zhuǎn)化為平角或同旁內(nèi)角
三角形內(nèi)角和等于180°
∠1+∠2=∠3+∠4
“A”字形
布置作業(yè)：完成練習(xí)冊中本課時(shí)的習(xí)題。
課后作業(yè)
謝 謝，同學(xué)們再見！
謝謝
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