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(共35張PPT)
2024年秋季
數學 北師大版
八年級上冊
數學·八年級(上冊)
4.2 一次函數
與正比例函數
4.2 一次函數
與正比例函數
北師版
第四章 一次函數
學習目標
(2) 利用一次函數解決簡單的實際問題.
(1) 理解一次函數的概念,明確一次函數與正比例函數之間的聯系.
復習回顧
復習回顧
1.一般地，如果在一個變化過程中有_____變量x 和y ，并且對于變量x 的______________，變量 y 都有________的值與它對應，那么我們稱 y 是 x 的_____.其中 x 是_______.
2.如果當x =a時，y=b，那么___稱作當自變量的值為___時的函數值.
3.用關于____________表示_____之間的關系，這種關系叫做函數的解析式.
自變量的式子
變量
b
a
函數
自變量
唯一確定
兩個
每一個確定的值
探索新知
探索新知
一次函數與正比例函數的概念
知識點一
重點
(2) 你能寫出 y與 x之間的關系式嗎？
某彈簧的自然長度為3cm，在彈性限度內，所掛物體的質量 x 每增加1kg，彈簧長度 y 增加0.5cm.
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm
(1) 計算所掛物體的質量分別為1 kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg 時彈簧的長度，并填入下表:
y＝0.5x＋3
3
3.5
4
4.5
5
5.5
某輛汽車油箱中原有汽油60 L，汽車每行駛50km耗油6 L，
汽車行駛路程x/km 0 50 100 150 200 300
耗油量y/L
0
6
12
18
24
36
（1）完成下表：
汽車行駛路程x/km 0 50 100 150 200 300
耗油量y/L
0
6
12
18
24
36
（2）你能寫出耗油量y（L）與汽車行駛路程x（km）之間
的關系式嗎？
（3）你能寫出油箱剩余油量z（L）與汽車行駛路程x（km）
之間的關系式嗎？
或 y＝0.12x
或 y＝60－0.12x
上面問題中，表示變量之間關系的函數解析式有什么共同的特點？
（1）y ＝ 0.5x ＋ 3
（2）y ＝ 0.12x
（3）y ＝ -0.12x ＋60
y
＝
kx
＋
b
這些函數都是常數k與自變量的積與常數b的和的形式.
若兩個變量x，y間的對應關系可以表示成 y＝kx＋b（k，b為常數，k≠0）的形式，則稱 y是x的一次函數.
特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函數.
函數是一次函數
函數是正比例函數
關系式為：y=kx
(k為常數，k≠0)
關系式為：y=kx+b
(k為常數，k≠0)
下列函數中，哪些是一次函數？哪些是正比例函數？
(1) y=－；
(3) y=1+8x；
(4) y=x2+2x+1；
正比例函數：(1)
(2) y = ；
一次函數：(1)、(3)
① k 是常數，k ≠ 0；
② x 的次數是 1.
一次函數
正比例函數
正比例函數是一種特殊的一次函數.
一次函數的結構特征有哪些？
思考1
正比例函數一定是一次函數？
思考2
【例1】 寫出下列各題中y與x之間的關系式，并判斷：y 是否為 x 的一次函數？是否為正比例函數？
由路程＝速度×時間，得 y＝60x，
y 是 x 的一次函數，也是 x 的正比例函數；
(1) 汽車以 60km/h 的速度勻速行駛，行駛路程 y（km）與行駛時間 x（h）之間的關系；
解
（2）圓的面積 y（cm2）與它的半徑 x（cm）之間的關系；
由圓的面積公式，得 y＝πx2，
y 不是 x 的正比例函數，也不是x的一次函數；
（3）某水池有水15m3，先打開進水管進水，進水的速度為
5m3/h，x h后這個水池內有水 ym3.
由 y＝15＋5x得，
y 是 x的一次函數，但不是x的正比例函數.
解
解
根據條件列一次函數關系式
知識點二
重點
【例2 】自2019年1月1日起，我國居民個人勞務報酬所得稅預扣預繳稅款的計算方法是:每次收入不超過800元的，預扣預繳稅款為0；每次收入超過800元但不超過4000元的，預扣預繳稅款＝（每次收入－800）×20%.
當每次收入超過800元但不超過4000元時，
y＝（x－800）×20%，即y＝0.2x－160;
(1)當每次收入超過800元但不超過4000元時，寫出勞務報酬所得稅預扣預繳稅款 y（元）與每次收入x（元）之間的關系式;
解
（2）某人某次取得勞務報酬3500元，他這筆所得應預扣預繳稅款多少元
（2）當x＝3500時，y ＝0.2×3500－160＝ 540（元）;
（3）如果某人某次預扣預繳勞務報酬所得稅600元，那么此人這次取得的勞務報酬是多少元
（3）因為（4000－800）×20%＝640（元），600 < 640
所以此人這次取得的勞務報酬不超過4000元.
設此人這次取得的勞務報酬是 x 元，
則 600 ＝0.2x －160．解得 x＝3800.
所以此人這次取得的勞務報酬是3800元.
解
(1) 求滑車滑行軌道剩下的路程S (米)和滑行時間t (分)之間的關系式.
(2) 如果滑行時間為12分鐘，求剩下的路程.
(3) 若剩下的路程為20米，那么它滑行的時間為多少分鐘？
滑車以每分1.5米的速度勻速從軌道的一端滑向另一端，已知軌道的長為50米.
（1）S＝50－1.5t
（2）當t＝12時，S＝50－1.5×12＝ 32（米）；
（3）50 －1.5t ＝20 t＝20（分）.
解
李大爺要圍成一個長方形菜園ABCD(如圖),菜園的一邊利用足夠長的墻,另外三邊用籬笆圍成,所用籬笆的總長恰好為 24 m,設BC 邊的長為 x m,AB 邊的長為 y m.
(1) 求y與x之間的關系式,并判斷 y 是否為 x的一次函數;
(2) 當BC 邊的長為10 m時,求AB邊的長;
(3) 當AB 邊的長為5m時,求BC邊的長.
例 2
解:(1)由題意得 2y+x = 24,所以 y=－x+12,
y是x的一次函數.
(2)當BC 邊的長為10 m,即 x = 10時,
y= －×10+12=7,即AB 邊的長為7 m.
(3)當AB 邊的長為5 m,即 y=5時，
－x+12=5,解得 x =14,即 BC 邊的長為14 m.
隨堂練習
隨堂練習
1. 某種大米的單價是 2.2 元/kg，當購買 x kg大米時，花費為 y 元. y 是 x 的一次函數嗎？是正比例函數嗎？
解：由 y =2.2x 得，y是 x 的一次函數，也是 x 的正比例函數.
【教材P80 隨堂練習 第1題】
2.根據下表寫出 y 與 x 之間的一個關系式.
x -1 0 1 2 3
y 3 0 -3 -6 -9
解： y＝﹣3x.
【教材P82 習題4.2 第1題】
（1）y = 3x ，是正比例函數.
寫出下列各題中y與x間的關系式，并判斷：y是否為x的一次函數？是否為正比例函數？
3.
（2） ，不是一次函數，也不是正比例函數.
【教材P82 習題4.2 第2題】
（1）一個在斜坡上由靜止開始向下滾動的小球，其速度每秒增
加3 m/s，小球的速度y（m/s）與時間 x（s）之間的關系；
（2）周長為10 cm的長方形的一邊長為 x cm，其面積 y（cm2 ）
與 x（cm）之間的關系.
解
4. 如圖，甲、乙兩地相距500km. 現有一列“復興號”動車
組列車從乙地出發，以350km/h的速度向丙地行駛.
設x（h）表示列車行駛的時間，y（km）表示列車與甲地的距離.
（1）寫出 y 與 x之間的關系式，并判斷 y 是否為x的一次函數；
（2）當 x＝0.5 時，求 y 的值.
（1）y＝500＋350x，y是x的一次函數；
（2）y＝500＋350×0.5＝675（km）
v ＝ 350km/h
【教材P81 隨堂練習 第2題】
解
某電信公司手機的A類收費標準如下：不管通話時間多長，
每部手機每月必須繳月租費12元，另外，通話費按0.2元/min計.
5.
（1） y＝12＋0.2x
（2）當x＝180時，y＝12＋0.2×180＝ 48（元）；
（3） 12＋0.2x ＝100 x＝440（min）.
【教材P82 習題4.2 第3題】
（1）寫出每月應繳費用y（元）與通話時間x（min）之間的關系式;
（2）某手機用戶這個月通話時間為180min，他應繳費多少元？
（3）如果該手機用戶本月預繳了100元的話費，那么該用戶本月可通
話多長時間？
解
某電信公司手機的B類收費標準如下:沒有月租費，但通話費按0.25元/ min計．
6.
（1）寫出每月應繳費用y（元）與通話時間x（min）之間的關系式;
（2）某手機用戶這個月通話時間為180min，他應繳費多少元？
（3）如果該手機用戶本月預繳了100元的話費，那么該用戶本月可
通話多長時間？
（1） y＝0.25x（x≥0）
（2）當 x＝180時，y＝0.25×180＝ 45（元）；
（3） 0.25x ＝100 x＝400（min）.
【教材P82 習題4.2 第4題】
解
解
某電信公司手機的A類收費標準如下：不管通話時間多長，
每部手機每月必須繳月租費12元，另外，通話費按0.2元/min計;B類收費標準如下:沒有月租費，但通話費按0.25元/ min計．
7.
(1) A類收費:y ＝12＋0.2×300＝72（元）,
B類收費:y＝0.25×300＝75（元）,
所以應選擇A類收費方式.
【教材P82 習題4.2 第5題】
（1）若每月平均通話時間為300 min，你選擇哪類收費方式
解
某電信公司手機的A類收費標準如下：不管通話時間多長，
每部手機每月必須繳月租費12元，另外，通話費按0.2元/min計;B類收費標準如下:沒有月租費，但通話費按0.25元/ min計．
7.
（2）每月通話多長時間，按A，B兩類收費標準繳費，所繳話費
相等
（2）由題意，得12＋0.2x＝0.25x, 解得x＝240.
所以每月通話時間為240 min時,
按A，B兩類收費標準繳費，所繳話費相等.
【教材P82 習題4.2 第5題】
課堂小結
課堂小結
一次函數與正比例函數
概念
關系
依據實際問題的意義
列出相應的表達式
一次函數
正比例函數
形如y=kx+b(k，b是常數，k≠0)的函數叫作一次函數
當 b＝0時，y=kx 叫作正比例函數
從課后習題中選取
完成練習冊本課時的習題
課后作業
謝 謝，同學們再見！
謝謝
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