資源簡介

數學課前必讀物
1.平方差公式：a2- b2= (a+ b) (a- b)
2.完全平方公式：(a+ b)2= a2+ 2ab+ b2 (a- b)2= a2- 2ab+ b2
3.立方和公式：a3+ b3= (a+ b) (a2- ab+ b2)
立方差公式：a3- b3= (a- b) (a2+ ab+ b2)
4. 1常用三角函數值：sin30° = 2 = cos60° sin60° =
3
2 = cos30°
sin45° = 22 = cos45° tan30° =
3
3 tan45° = 1 tan60° = 3
a,a>0
5.二次根式： a2= a = 0,a=0 .-a,a<0
注意：開二次方根時，被開方數≥0；遇到分數時，分母≠0.
6.一元二次方程：ax2+ bx+ c= 0(a≠ 0)
①判斷方程根的個數 = b2- 4ac與 0的關系
≥0
②方程有兩根同號 x1x c2= a >0
>0
③方程有兩根異號 x c1x2= a <0
b c
④韋達定理：x1+ x2=- a x1x2= a
常用變形：x21+ x22= (x1+ x 22) - 2x1x2
x1-x2 = (x 21-x2) = (x1+x 22) -4x1x2
x31+ x32= (x 21+ x2) (x1- x1x2+ x22) = (x1+ x2) [(x 21+ x2) - 3x1x2]
1
x +
1
x =
x1+x2
1 2 x1x2
7.解一元二次不等式 ax2+ bx+ c> 0(a≠ 0)的步驟
第一步：先將二次項系數化正；
第二步：找方程 ax2+ bx+ c= 0(a≠ 0)的根；
第三步：①若方程有兩根，大于則大于大根或小于小根，小于則在兩根之間；
②若方程只有一根或無根，利用簡圖得解；
第四步：把結果寫成集合形式或區(qū)間形式.
8.含 絕對值 不等式：大于，則大于正根或小于負根；
小于，則在負根與正根之間.
9.解分式不等式的步驟：先移項通分把不等式右側化為 0；再等價轉化為整式不等式，
f(x) f(x) f(x)g(x)≥0即
g(x) > 0 f(x)g(x)> 0；g( ) ≥ 0 x g( .x)≠0
·1·
10.高次不等式：先將 x的系數化正，從最大根的右上方穿下去，特別注意重根.(奇穿
偶不穿)
x1 x2 x3 x1(x2) x x3 4
11.含參二次不等式的解法有兩類：
①兩根含參：比根大小；
②二次項系數含參數：既要比較根大小，還要注意開口方向.
12.二次函數解析式的三種形式：
①一般式：y= ax2+ bx+ c (a≠ 0)
②頂點式：y= a(x- h)2+ k (a≠ 0)
③交點式：y= a(x- x1) (x- x2) (a≠ 0)
二次函數圖象是一條拋物線，其開口方向由 二次項系數 確定；圖象的對稱軸是
x=- b2a ，圖象與 x軸的交點的個數由 =b
2-4ac確定.
13.二次不等式恒成立問題：
① ax2+ bx+ c> 0(a≠ 0)恒成立
a>0 <0
ax2+ bx+ c≤ 0(a≠ 0)無解
② ax2+ bx+ c≥ 0(a≠ 0)恒成立
a>0 ≤0
ax2+ bx+ c< 0(a≠ 0)無解
③ ax2+ bx+ c< 0(a≠ 0)恒成立
a<0 <0
ax2+ bx+ c≥ 0(a≠ 0)無解
④ ax2+ bx+ c≤ 0(a≠ 0)恒成立
a<0 ≤0
ax2+ bx+ c> 0(a≠ 0)無解
14.含雙參數不等式恒成立的步驟：
第一步：把所求參數放在不等式左邊；
第二步：求不等式右邊那整部分函數的最值.
即①若 t≥ f(x)恒成立，則 t≥ f(x)的最大值 (簡稱“大大”)；
·2·
②若 t≤ f(x)恒成立，則 t≤ f(x)的最小值 (簡稱“小小”).
15.六大集合：實數集R，有理數集Q，整數集 Z，自然數集N (又稱非負整數集)，正整
數集N *+或N ，空集 .
16.元素與集合的關系：屬于或不屬于；符號：∈或 .
17.集合與集合的關系：包含與不包含；符號： 或 ；包含又分為“ ”與“=”.
18.集合中元素三大特性：互異性、無序性、確定性.
19.空集是任何集合的子集，即 A.空集是任何非空集合的真子集，即 A(A≠
).
20. n元素集合有 2n個子集，有 2n- 1個真子集.
21.交 集 是 由 兩 個 集 合 A ，B 中 的 公 共 元 素 組 成 的 集 合 ，即 A ∩ B =
{x x∈A且x∈B}.
并集是由兩個集合A，B中的所 有 元 素 組成的集合，即A∪B={x x∈A或x∈B}.
補集是由集合A在全集U中剩下的元素組成的集合，即 UA={x x∈U且x A}.
22.關鍵量詞的否定：
是——不是 一定是——不一定是 都是——不都是
或——且 存在——任意 必有一個——一個都沒有
至少有n個——至多有n- 1個
p q
23. p是 q的既不充分也不必要條件 q p
p q
p是 q的必要不充分條件 q p
p qp是 q的充要條件 q p
p q
p是 q的充分不必要條件 q p
24.四種條件的說法有兩種：
第一種：p是 q的 XXXX 條件；
第二種：q的 XXXX 條件是 p.
25.判斷 p是 q的 條件時，先分清已知條件是 p，再由已知條件 p自己推結論，
推完后再與結論 q作比較.
若推出的結論與 q一樣或比 q的范圍小，則推得出；
若推出的結論與 q相反或比 q范圍大，則推不出.
大范圍 小范圍
牢記：
小范圍 大范圍
特稱命題(存在 )的否定是全程命題(任意 ).命題 p與命題 p真假相反.
26.用 特殊值法 判斷選項時，一般用：0，負數，分數.
·3·
27.用作 差 法 比較大小的步驟：
①作差 ( ) - ( )；
②判斷差與 0的關系；
③得大小.
28.利用同向可加性求代數式的范圍：
第一步：設 所求代數式 = p(已知代數式) + q(另一個已知代數式)；
第二步：解出 p，q；
第三步：已知代數式去乘以相應的 p與 q；
第四步：同向相加得范圍.
29.重要不等式：
x，y∈R，都有 x2+y2≥2xy成立，當且僅當 x= y時，等號成立.
30.基本不等式：
a，b∈R+，都有 a+b≥2 ab，當且僅當 a= b時，等號成立.
基本不等式口訣：一正二定 (積為定值，和取最小值；和定，積取最大值)三相等
31.“1”的妙用：有顯性的“1”，還有隱藏的“1”.
32.函數三要素：
①定義域 (自變量 x的取值范圍)；
②值域 (函數值 f(x)的取值范圍)；
③對應法則.
33.
34.零點：使 f(x)=0的 x的值.
集合表示 區(qū)間表示 說法
{x a≤x≤b} [a,b] 閉區(qū)間
{x a{x a≤x{x x≥a} [a, +∞) 正無窮
{x x零點 方程的根 函數圖象與 x軸交點的橫坐標
35.函數的概念
對于數集A中的 任意( )的 x都有唯一的 y值與之對應，y∈數集B.稱 f是由數集
A到數集B的一個函數.函數有 f(x)，g(x)，h(x)……
x滿足 任意性，y滿足 唯一性.
定義域={x x∈A}→即 x的取值范圍.
值域={y y= f(x)}→即 y的取值范圍.注意 值域 B .
36.定義域的考法
①算術平方根，被開方數≥ 0；②分母≠ 0；③零次方的底數≠ 0.
·4·
37.值域考法
先求函數的定義域，再利用簡圖得解.特別小的值域是由有 限 個 元素組成的集合，還
是一個范圍.
38.抽象函數的定義域求法
已知函數 f(2x- 1)的定義域為 [0,1]，求 f(1- 3x)的定義域.
x x
x與前面“2x-1”中的x一樣 要求的x與“1-3x”中的x一樣f (2x - 1 ) 與 f(1- 3x)
2x-1 1-3x
范圍一樣
39.函數 的表示法：解析法、列表法、圖象法.
40.函數解析式的求法：①待定系數法 (適用于已知函數種類，如一次函數、反比例函
數、二次函數等)；②換元法 (適用于 f( ) =一個代數式)；③配湊法；④令 x= 賦值
法 (適用于抽象函數).
41.函數圖象法：①一次函數 y= kx+ b(k≠ 0)的圖象是一條直線，常常找點 (0,b)與 (
- b ,0).
k
k
②反比例函數 y= x (x≠ 0)的圖象是兩條曲線，無限靠近坐標軸.
③二次函數 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)的圖象是有一條對稱軸的拋物線.
④圖象的平移：
x 左 加 x± h(h> 0) y 上 加 y± k(k> 0)
右減 下減
⑤圖象平移后與原圖形形狀不變，只是位置發(fā)生移動，因此可建立新坐標系后再畫圖
象.
⑥分段函數的圖象
i)分別畫出每段函數圖象，再根據 x的取值進行擦除；
ii)含“ ” 采用零點分段法，先分段后畫圖.
42.函數的單調性
①定義：對于任意的 x1,x2∈區(qū)間D 定義域A，且 x1< x2，都有 f(x1)< f(x2)，就說函
數 f(x)在區(qū)間D上是單調遞增函數，簡稱單增函數.
從圖象上看，從左邊看過來，圖象呈上升趨勢，此時，區(qū)間D就叫做 y
單調遞增區(qū)間，簡稱單增區(qū)間.
多個單調區(qū)間可用“，”隔開，也可以用“和”連接，不能用“∪”連接.
對于任意的 x1,x2∈區(qū)間 D 定義域 A，且 x1<
x
x 02，都有 f (x1) >
·5·
f(x2)，就說函數 f(x)在區(qū)間D上是單調遞減函數，簡稱單減函數.
從圖象上看，從左邊看過來，圖象呈下降趨勢，此時，區(qū)間D就叫做 y
單調遞減區(qū)間，簡稱單減區(qū)間.
②用定義法證明函數單調性的步驟：
第一步：取值 (即 x1,x2 定義域A，且 x1< x ) 0 x2
第二步：作差 (即 f(x1) - f(x2))
第三步：變形 (常用通分、因式分解 (提公因式、平方差公式、分子有理化、分母有理化、
配方法)等))
第四步：定號 (討論每 個 因 式 與 0的關系，即定“差與 0”的關系)
第五步：下結論 (同增異減)
43. k一次函數的單調性看 y=kx+b的 k的正負；反比例函數看 y= x 的 k的正負；二
次函數的單調性既 要 看開口方向又 要 看對稱軸.
復合函數的單調性：令u= ，則 y= f(u)，同增異減.
如求 y= -x2+2x+3的單調區(qū)間時：
第一步：求其定義域；
第二步：求u=-x2+ 2x+ 3的單調區(qū)間，而不是 x2- 2x- 3的單調區(qū)間；
第三步：結合 y= x在 x≥ 0單調遞增與所求的 u=-x2+ 2x+ 3的單調區(qū)間寫出 y
= -x2+2x+3的單調區(qū)間.
44.利用單調性解不等式時，一 定 要注意定義域.如 f( )> f( ) > .
函數的單調性：
①畫圖后看圖得到；
②代數形式，如： x 1< x 2，則 f (x 1) < f (x 2)；[ f (x 1) - f (x 2)] (x 1 - x 2) > 0；
f(x1)- f(x2)
x -x < 0.1 2
45.當不能用基本不等式 a+b≥2 ab(a,b∈R+) 解決 y
最 值 時 ，可 用 勾 勾 函 數 的 單 調 性 解 決 . 勾 勾 函 數
y=x+ kx (k>0) .y在 (0, k )上單調遞減，在 ( k , +∞)
2 k
上
. y=x- k單調遞增 請區(qū)別函數 x (k>0) 型，該函數在 (-∞,
- k k x
0)和 (0, +∞)上單調遞增. -2 k
46.函數奇偶性的判定
定義法：
①判斷函數定義域是否關于原點對稱；
②表示 f(-x)，與原函數 f(x)作比較，若
f(-x) = f(x) 函數為偶函數
·6·
f(-x) =-f(x) 函數為奇函數
圖象法：
( ) 關于原點對稱 函數為奇函數f x 的圖象 關于y軸對稱 函數為偶函數
47.函數奇偶性的性質
(1)若 f(x)為奇函數，則①定義域關于原點對稱；② f(-x) =-f(x)；③若 x取得到 0，
則 f(0) = 0；④圖象關于原點對稱；⑤若一個多項式，則只含有奇次方項.
(2)若 f(x)為偶函數，則①定義域關于原點對稱；② f(-x) = f(x)；
③ f(x) = f( x )；④圖象關于 y軸對稱；⑤若一個多項式，則只含有偶次方項.
48.可以利用函數的奇偶性，即圖象的對稱性補全函數圖象.
49.函數圖象對稱變換
= ( ) 關 于 x軸對稱y f x y=-f(x)
= 關于y軸對稱y f(x) y= f(-x)
y= f(x) 關 于 原 點 對 稱 y=-f(-x)
50.函數圖象翻折變換
= ( ) 保 留 x 軸 上 方 圖象y f x y= f(x)
把x軸下方圖象翻折到x軸上方
y= f(x) 保 留 y 軸 右 側 圖 象 ，去 掉 y 軸 左 側 圖 象 y= f( x )
再把y軸右側圖象翻折到y(tǒng)軸左側
51.冪函數
y y
1
一般地，函數 y= xα叫做冪函數，α=-1, 2 ,1,2,3 y= x y=x3
圖象都經過點 (1,1)，第四象限無圖象.
x
52.式子 n a 叫做根式，n叫做根指數，a叫做被開 x
方數.
( n a，n為奇數a )n= a n a= a ，n為偶數
m m
a n = n am
-
a n = 1 a0m = 1(a≠ 0) a
ras= ar+s
a n
r
(ar)s= ars (ab)r= arbr a r-s
as
= a
53.指數函數：y= ax(a> 0且 a≠ 1)
54.指數函數 y= ax與 y= ( 1 )xa 圖象關于 y軸對稱.
55.畫指數函數圖象一般取點 (0,1)和 (1,a)，再加單調性可得指數函數的大致圖象.
56.求函數 y= f(ax)的值域，先利用函數 u= ax的單調性確定 u的取值范圍，再確定
y= f(u)的值域即為原函數的值域.
·7·
當 a> 1，y= ax在R上是增函數 當 0< a< 1，在R上是減函數
y
y
O x
O x
圖象恒過定點 (0,1)，指數函數圖象在 x軸上方，即指數冪恒大于 0
指數函數知識點
1.如果 xn= a，則底數 x叫做 a的n次方根.
n
正數的奇次方根是一個正數，負數的奇次方根是一個負數，即 an= a(n為奇數).
n a，a>0
正數的偶次方根有兩個，一正一負，且它們倆互為相反數.即 an = a = -a，a≤0
(n為偶數).
0的任何次方根都是 0.即 n 0= 0.
2. 1的任何次方都是 1，即 1x= 1.
任何不等于零的數的零次方都得 1，即 a0= 1(a≠ 0).
(-1)2n= 1 (-1)2n-1=-1 0x= 0
負指數轉化為正指數：
x-p= 1
r
am an= am+n (am)n= amn (ab)np = anbn
a = ( a )r
x br b
3. n a，n叫做根指數，a叫做被開方數.
1 m
n
根式形式：n a= an(指數形式) 根式形式： am= a n (指數形式)
-m
a n = 1m =
1
n m
a n a
4.指數冪運算的三大技巧：
①把數字寫成以“2，3，5，10”為底的指數形式；
②小寫形式寫成分數形式；
③運算過程中，根式轉化為指數形式.
5.形如 y= ax(a> 0且 a≠ 1)的函數叫做指數函數.
當 0< a< 1時 當 a> 1時
y
y
圖象 1
1
O x O x
恒過定點 (0,1)
值域 (0, +∞)
·8·
總結：
①所有指數冪都為正數；
②當 0< a< 1時，y= ax在R上為減函數；當 a> 1時，y= ax在R上為增函數；
③圖象恒過定點，令指數所在整體為 0，從而確定定點的橫縱坐標.
6.在同一坐標系下：畫指數函數圖象一般取兩點 (0,1)和 (1,a).
(1)當底數大于 1時，底數越大，指數函數圖象越靠近 y軸；
(2)底數在 0與 1之間，底數越小，指數函數圖象越靠近 y軸.
7.用圖象比大小時，第一步：畫 y= ax的圖象；第二步：畫 x=？ (虛線).從而找到交
點，這個交點就是這個數的位置.用代數法比大小，把數變?yōu)橥讛祷蛲笖担袝r把“1”
當中介.
8.函數 y= ax與 y= ( 1a )
x(a> 0且 a≠ 1)的圖象關于 y軸對稱，兩函數的底數互為倒
數.如：函數 f(x) = ax(a> 0且 a≠ 1)的圖象與函數 f(x) = bx(b> 0且 b≠ 1)關于 y軸對
稱，則有 ab= 1.
9.判斷復合函數的單調性的步驟：
(1)分離出 t= f(x)，y= at；
(2)分別討論函數 t，函數 y的單調性；
(3)再利用“同增異減”得出復合函數的單調性.
10.求函數 y= a f(x)的值域.
第一步：分離出 t= f(x)，則 y= at；
第二步：利用單調性或圖象求出 t的取值范圍；
第三步：把 t作為自變量，利用圖象或單調性求出 y的取值范圍.
第四步：下結論 (結果寫成區(qū)間或者集合形式)
11.指數函數圖象題：x+ h，x- h(x的系數為正“1”，h> 0) 左加右減
ax+ k，ax- k(k> 0) 上加下減
對數函數知識點
1.一般地，如果 ax=N (a> 0且 a≠ 1)，那么指數 x叫做以 a為底的N的對數，記作 x
= logaN .其中 a叫做對數的底數，N叫做真數.
特別的對數：以 10為底的對數叫做常用對數，記作 lgN .
以 e(e≈ 2.71)為底的對數叫做自然對數，記作 lnN .
2.真數> 0，定義域考查：分母≠ 0；真數> 0；被開方數≥ 0.
3.對數運算公式：
logaa= 1 loga1= 0 logabn=nlogab
lg10= 1 lne= 1 lg1= 0
·9·
ln1= 0 log bn= nam m log
logaN
ab a =N
logaM+ logaN= loga(M N ) log Ma N = logaM- logaN
= logcb = lgb換底公式：log lnb log2bab = lna = (適用于幾個對數式相乘)logca lga log2a
倒數公式：logab logba= 1即 logab=
1
logba
4.對數函數：一般地，形如 y= logax(a> 0且 a≠ 1)的函數就叫做對數函數，其中 x是
自變量.
當 0< a< 1 當 a> 1
y y
圖象 O 1 x O 1 x
定義域 (0, +∞)
值域 R
恒過定點 (1,0)
單調性 (0, +∞)上單減 (0, +∞)上單增
恒過定點類考點：令“真數”所在整體為 1，從而解出 x，得定點的橫坐標，再代入求出
縱坐標即可.
5.在同一坐標系下：
(1)底數在 0到 1之間，底數越小，對數函數圖象越靠近 x軸；
(2)底數大于 1，底數越大，對數函數圖象越靠近 x軸.
6.用圖象比較對數值大小時：
第一步：畫出 y= logax的圖象；
第二步：畫出 x=？ (虛線從而找到此數對應的點.畫對數函數圖象時，一般取點 (1,0)
和 (a,1).
7.函數 y= logax的圖象與 y= log 1x的圖象關于 x軸對稱.
a
8.對數函數 y= logax與指數函數 y= ax互為反函數.互為反函數的兩個函數圖象關
于直線 y= x對稱.
9.判斷對數型復合函數單調性的步驟：
第一步：求出函數定義域；
第二步：令 t= f(x)，則 y= logat；
第三步：分別討論函數 t，函數 y的單調性；
第四步：利用“同增異減”得結論.
10.求函數 y= loga f(x)的值域
第一步：求出函數的定義域；
·10·
第二步：分離出 t= f(x)，則 y= logat；
第三步：利用圖象或單調性求出 t的取值范圍；
第四步：把 t作為自變量，再利用單調性或圖象求出 y的取值范圍；
第五步：下結論，結果寫成集合或者區(qū)間形式.
11.圖象選擇題：
①找出選項中不同的幾個關鍵點；
②奇 (圖象關于原點對稱)偶 (圖象關于 y軸對稱)性；
③在各個區(qū)間上的單調性.
三角函數知識清單
1.角的概念：以 x軸的 非負 半軸為始邊，按照 逆 時針旋轉所成的角為正角；
以 x軸的正半軸為始邊，按照順時針旋轉所成的角為 負角 .
2.象限角：角的終邊落在哪個象限，這個角是第幾象限角.
π
第一象限角的集合表示： α 2kπ<α<2kπ+ 2 ,k∈Z
第二象限角的集合表示： α 2kπ+ π2 <α<2kπ+π,k∈Z
第三象限角的集合表示： α 2kπ+π<α<2kπ+ 3π2 ,k∈Z
第四象限角的集合表示： α 2kπ- π2 <α<2kπ,k∈Z
180 π
3. 1弧度= π ° ≈ 57.3 ° 1° = 180 rad
4. π= 180° 360° = 2π 90° = π 3π2 2 = 270°
sin π6 =
1 π 2 π 3
2 sin 4 = 2 sin 3 = 2
cos π6 =
3
2 cos
π
4 =
2 π
2 cos 3 =
1
2
tan π = 36 3 tan
π
4 = 1 tan
π
3 = 3
1
5. 1扇形的弧長公式：l= α R ，扇形的面積公式：S= 2 lR = 22 αR .(圓
心角必須用弧度制)
6.設角 α是一個任意角，它的終邊上一點P(x,y)，點P到原點的距離為 x2+y2 = r.
x y
sinα = yr ，cosα = r ，tanα = x (x≠ 0)，因此正弦在一、二象限為正，余弦在
一、 四 為正，正切在一、三象限為正 (總結：一全正、二正弦、三 正切 、四 余弦 )
7.同角的三角函數的基本關系式：(1)平方關系：sin2α + cos2α= 1 ；(常常把已
sinα
知等式兩邊平方) (2)商數關系：tanα = ；(常用分子、分母同時除以 cosα 或
cosα
cos2α,也有時把分母 1變成 sin2α+ cos2α)
·11·
(3)變形式：sin2α= 1- cos2α cos2α= 1- sin2α
(sinα± cosα)2= 1 ± 2sinαcosα
8.三角函數的誘導公式：
sin(α-2π) = sinα cos(α+k 360°) = cosα tan(α+2kπ) = tanα
直接甩 360°或 2π的整數倍，剩下負角就寫負角
sin(-α) =-sinα cos(-α) = cosα tan (-α) = -tanα
負角化正角
sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα tan(π-α) = tanα
二象限角化銳角
sin(π+α) =-sinα cos(π+α) =-cosα tan(π+α) = tanα
三象限角化銳角
sin( π2 -α) = cosα cos(
π
2 -α) = sinα tan(
π
2 -α) = cotα
= sinα cosαtanα cotα= tanα cotα= 1
cosα sinα
sin( 3π2 -α) = -cosα cos(
3π
2 +α) = sinα sin(
π
2 +α) = cosα
sin( 3π2 +α) =-cosα cos(
3π
2 -α) =-sinα cos(
π
2 +α) =-sinα
總結：
π
2 的奇數倍，函數名 改 變
π 符號 看 象限
2 的偶數倍，函數名不變
9.函數 y= sinx圖象上關鍵五點為 (0,0)，( π2 ,1)，(π,0)
3π
，( 2 , -1 )，(2π,0).俗稱五
點作圖法，值域為 [-1,1] ，y= sinx是奇函數，最小正周期 T為 2π .單調增區(qū)間
π
為 [ - 2 +2kπ , π + 2kπ],k∈ Z [ π，單調減區(qū)間為 y2 2 1
+ 2kπ, 3π2 + 2kπ],k∈ Z.
2π 1.5π π 0.5π O 0.5π π 1.5π 2π x
1
y = A sin(ωx) 型都是奇函數 ，遇 ω 為負時
π
先化正.對稱軸 x= 2 +kπ ,k∈ Z.對稱中心 (kπ, 0 ),k∈ Z.
3π
10. π函數 y= cosx圖象上關鍵五點 (0,1)，( 2 ,0)，( π , -1)，( 2 ,0)，( 2π ,1).
值域為 [-1,1].y= cosx，y= cosωx，y=Acosωx y
都是偶函數，周期 T = 2π. [-π + 1單調遞增區(qū)間
2kπ,2kπ],k∈ Z.單調遞減區(qū)間 [2kπ,π+ 2kπ],k∈ 2π 1.5π π 0.5π O 0.5π π 1.5π 2π x
Z .對稱軸 x= kπ ,k∈ Z . π對稱中心 ( 2 + kπ,
1
0),k∈ Z.
·12·
11.函數 y= tanx圖象上關鍵三點 (- π4 , -1)，(0,0)，(
π
4 , 1 ).值域 R，定義域是
x x≠ π2 +kπ,k∈Z .y= tanx，y= tanωx和 y=Atanωx都是奇函數，周期T= π.增區(qū)
(- π間是 2 + kπ,
π
2 + kπ),k∈ Z,
kπ
注意“開區(qū)間”.對稱中心 ( 2 ,0),k∈ Z.
y
0.5π O 0.5π x
12.注意做解 答 題 時：①求最值.若定義域為R，則由 u的值去確定 x的值；若有給定
定義域，則由 x的范圍去確定u的范圍，再畫 圖 得最值；
②求單調區(qū)間.若定義域為R，則由 u的范圍去計算 x的范圍；若有給定 定義域，則先
由u的范圍去計算 x的范圍，再與定義域求交 集 .
13.做選擇題時，多用代入排除法，即由 x的值 (范圍)去算u的值 (范圍).
14.函數周期性常用結論：
(1)若 f(x+ a) =-f(x)，則周期T= 2a ;
(2)若 f(x+ a) = 1( )，則周期T= 2a ;f x
(3)若 f(x- a) = f(x+ a),，則周期T= 2a ;
(4) 1若 f(x+ a) =- ( )，則周期T= 2a ;f x
(5)若 f(a+ x) = f(a- x)，則函數圖象關于 x= a對稱；
(6)若 f(b+ x) =-f(b- x)，則函數圖象關于點 (b,0)中心對稱；
(7) 1相鄰的對稱軸 (或相鄰的對稱中心)之間間隔 2 T，一個對稱中心與它相鄰的對稱
1
軸之間間隔 4 T.
(8)對稱軸的應用：
對稱中心的應用：
對稱中心(-1,0)
y
f(-1) 轉 化 f(3)
y
對稱軸x=1 f(0) 轉 化 -2 -1 O x - f(-2)
-1 3
O x
·13·
15.函數 y=Asin(ωx+φ)+b中 (A> 0)
1
最大值- 最小值 ①從圖象上找 T或
1
A= ω: 2 4 T,計算出T2 ②利用T= 2πω ,求ω
: 最大值+ 最小值φ 代圖象上的點 b= 2
y=Asin(ωx+φ)+b的最大值是 A + b；最小值是-A+ b.
16.相位變換 (φ> 0)
= 圖 象 向 左 ( 或向右y sinωx ) y= sinω(x±φ)(x的系數化 1 后再加減)
平移φ個單位
周期變換：(ω)
= ( + ) 橫 坐 標伸y sin x φ 長 或 1 y= sin(ωx+φ)(分別求出 周期 作比較)
縮短為原來的 ω倍
振幅變換：(A)
y= sin(ωx+φ) 縱 坐 標 伸 長 或 y=Asin(ωx+φ)(求出最大值作比較)
縮短為原來的 A 倍
17.兩角和差角公式：
sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ
cos(α±β) = cosαcosβ sinαsinβ
tanα+ tanβ tanα- tanβ
tan(α±β)= tan(α-β)=
1 - tanαtanβ 1+ tanαtanβ
常用它的變形形式：tanα+ tanβ = tan(α+β) (1- tanαtanβ)
18.二倍角公式：
sin2α= 2sinαcosα
cos2α= 2cos2α-1= cos2α- sin2α =1-2sin2α
2tanα
tan2α=
1- tan2α
輔助角公式：asinx+bcosx= a2+b2 sin(x+φ)
asinx-bcosx= a2+b2 sin(x-φ)
其中 tanφ= ba， a >0
2 = 1-cos2α 1+ cos2α
1
小角化大角：sin α 2 cos
2α= 2 sinαcosα= 2 sin2α
19.三角恒等變化中常用技巧：
①化 1為同角的平方和.如：
1= sin2x+cos2x
= 2sinαcosα = 2sinαcosαsin2α 1 sin2α+cos2α
·14·
(sinx±cosx)2= 1± sin2x.
π π
②所求角等于已知角相加減.如：α= (α- 6 ) + 6 ，a- β= (α+ β) - 2β.
平面向量及其應用知識點
20. 向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的長度叫做向量的模.用 a

或 AB 表示.

21.零向量模為零，即 0 = 0，零向量的方向是任意的，因此 0與任一向量平行 (共線).

= a

MN
單位向量的模為 1，記作 e 1，如 或 是單位向量. a MN
22.方向相同或相反的非 零 向量是平行向量，又稱 共線向量.
23.長度相等且 方向相反的兩個向量互為相反向量；則AB+BA= 0或AB=-BA.
長度相等且方向相同的兩個向量互為相等向量，在向量的加減法 (幾何法)常用相反
向量和相等向量來轉化運算.

24.向量加法的三角形法則：牢記“尾首相連”，如：MN +NP=MP.
向量加法的平行四邊形法則：牢記“共起點”.
A B
AB+AD=AC
D C
由平行四邊形法則推出 重要 的中線向量：

B AD= 1
D 2
(AB+AC)

A C 或AB+AC = 2AD

25.向量減法三角形法則①共起點；②差的方向由終點指向起點.即AB-AC =CB.
26. 向量的數乘：實數 λ與向量 a的積是一個 向量 .

當 λ> 0，λa與 a方向相同；當 λ< 0，λa 與 a方向相反；當 λ= 0，λa= 0.
= 兩向量由四個不同點構成，兩線平行①若 a λb 兩向量由三個不同點構成，三點共線

②平面內三點A，B，C共線，對于異于A，B，C的一點O，有OB= λOA+ μOC，則 λ
+ μ= 1.

27.三角形的四心：①重心：若PA+PB+PC = 0，則P為△ABC的重心.AP= 2PE
A
D
P
B C
E
①
·15·
②外心：O為△ABC的外接圓圓心，OA=OB=OC=R
A
O C
B
②

③垂心：BP AC，CQ AB，AI BC = 0.
A
P
Q I
B C
③

④內心：三角形內切圓的圓心M，則MP AB= 0，MP=MN= r，∠PBM=∠MBN .
A
P
M
B C
N
④
28.平面向量夾角 θ的范圍是 [0°,180°].

當 a與 b的夾角 θ= 0°時，則 a與 b方向相同；

當 a 與 b的夾角 θ= 180°時，則 a與 b方向相反；

當 a與 b的夾角 θ= 90°時，則 a與 b垂直.

當 a與 b平行或共線時，a與 b可能同向，也可能反向，特別小心 .

a b<0說兩向量夾角為鈍角時 除去θ=180°

a b>0
說兩向量夾角為銳角時 除去θ=0°

29.已知A(m,n)，B(a,b)，則 AB = 點B的坐標 - 點A的的坐標 .
AB (m+a , n+b ). C(x,y) △ABC G(m+a+x的中點為 2 2 若 ，則 的重心 3 ,
n+b+y
3 ).
30.向量的數量積 幾何表示 ：a b = a b cosθ (其中 θ為兩向量的夾角，一定要
共起點 )
a b在 a方向上的投影為 b cosθ.b在 a方向上的投影向量為 b cosθ .
a
a 因 2

= 2a ，則 a = a2且 2a-b = (2a-b)2 .
·16·
31.在平面內已知兩定點的位置，去確定在同一條直線上第三點的位置，分動點在線
段之間和動點在線段的延長線或反向延長線上.
32.建系法常用于直角三角形，等邊三角形，正方形，矩形的前提下.
33.
a =(x1,y向量的坐標表示 1
)
向量的幾何表示
b=(x2,y2)
三角形法則 AB+BC = AC
向量的加法 a + = + b= ( x +x , y +y )平行四邊形法 則 AB AC A
1 2 1 2
D
向量的減法 三角形法則 AB-AC = CB a - b= ( x1-x2 , y1-y2 )

向量的數乘 a= 三點共線λb λa = ( λx , λy )
兩線平行 1 1

向量的數量積 a b= a b cosθ a b= x1x2+y1y2

向量垂直 a b= 0 x1x2+ y1y2 = 0

向量平行 a = λb x1y2= x2y1
a 2 2向量 的模 a = a2 a = x1+y1
a

= b
x x +y y
cosθ cosθ= 1 2 1 2向量的夾角
a b x2 2 21+y1 x2+y22
a

在 b方向上的投 a
a b = x1x2+y1y2 cosθ 影 b x2 22+y2

b在 a 方向上的投 a = a b xb cosθ 1x2+y1y2
影向量 a a 2
a ( 2 2 ) (x ,yx +y 1 1
)
1 1
34.在解一些復雜題型時，可 幾何表示 和 坐標表示 混合使用.
35.余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其它兩邊平方和減去這兩邊與它們夾
角的余弦的積的兩倍.即
A 求邊 求角
c b
2 2 2
cosB = a +c -b
a2= b2+ c2- 2bccosA 2ac
B C 2 2 2
a c
2= a2+ b2- 2abcosC cosC = a +b -c
2= 2+ 2abb a c2- 2accosB b2+c2-a2cosA=
2bc
36.常用的配方思想：如 a2+ c2= (a+ c)2- 2ac；基本不等式：a2+ b2≥ 2ab.
37.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它們所對角的正弦的比相等.
A
b a = b = c = 2R
c
O sinA sinB sinCC
a 變形式：① a:b:c= sinA:sinB:sinC
B
② a= 2RsinA b= 2RsinB c= 2RsinC
·17·
③ sinA= a b c2R sinB = 2R sinC = 2R
38. S△ABC=
1
2 absinC =
1
2 acsinB =
1
2 bcsinA.
△ 已知兩邊及夾角39.在 ABC中，若已知條件中 邊長 條件多一般選余 弦 ，即 時；已已知三邊求角
已知兩角求剩余的角、邊知條件中角多，即 選正弦.已知兩角及其中一角的對邊時
40.在△ABC中，每個內角的范圍為 (0,π)，因此
sinA> 0且 sinA= 12，則A= 30°或 150°；
sinA= 32 ，則A= 60°或 120°；
sinA= 22 ，則A= 45°或 135°；
cosA> 0，則A只能取銳角；cosA= 0，則A為直角；cosA< 0，則A為鈍角.
立體幾何必讀物
1.形如 a+ b i (a,b∈R)的數叫做復數，通常設為 z.其中 a叫做復數 z的實部，b叫做復
數的虛部.
2.當 a+ b i為實數時，虛部 b= 0；當 a+ b i為虛數時，虛部 b≠ 0；當 a+ b i為純虛數時
a=0 .b≠0
3. i2=-1. i，i2，i3，i4，i5，i 6 周期為 4.
4.復數 a+ b i的共軛復數為 z= a- b i.模 z = a2+b2 .
5.復數 a+ b i在復平面內所對應的點為 Z(a,b). Z-(x+y i) = 2表示動點 (a,b)到定點
(x,y)的距離為 2.即 z1= a+ b i，z 2= c+ d i所表示的兩點P1 (a,b),P2(c,d)的距離為
P1P2= (a-c)2+(b-d)2 .
6.運算法則：設 z1= a+ b i，z 2= c+ d i (a,b,c,d∈R).
則 z1± z2= (a± b) + (c± d) i
z 1 z2= (a+ b i) (c+ d i)
z1 = a+b i = (a+b i)(c-d i)z2 c+d i (c+d i)(c-d i)
7.棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相
平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.
·18·
①把側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.
②側棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.
③底面是正多邊形的直 棱 柱 叫做正棱柱.
底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體.
特例：正三棱柱：上下底面為等邊三角形，側面為三個全等的矩形.
8.棱錐：有一個面是多邊形，其余各面都 是 有一個公共頂點的三角形.由這些面所圍成的
多面體叫做棱錐，這個多邊形面叫做棱錐的底面，有公共頂點的各個三角形面叫做棱
錐的側面；各側面的公 共 頂 點 叫做棱錐的頂點. S
特例：①正三棱錐：底面為正三角形的三棱錐，各側棱相等且頂點與底
面中心的連線垂直于底面. C
SO為棱錐的高 SD為棱錐的斜高
A DO
常用OD= 1 B3 AD
②正四棱錐：底面為正方形的四棱錐；各側棱相等，四個面是全等的 P
且頂點與底面中心的連線垂直于底面.
PO為棱錐的高 A D
PE為棱錐的斜高 O E
B C
OE= 1 OD= 12 底面邊長， 2 底面對角線
9.棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，把底面和截面之間的那部分多面體叫
做棱臺.
特例：①正三棱臺：側面是全等的等腰梯形
S MN為棱臺的高
B
M 四邊形MC CN為直角梯形A C

B 常用△SMC △SNC
N S側= 3S梯形B C CB
A C
V 1棱臺= 3 h(S上+S下+ S上S下 )
②正四棱臺：側面全是全等的等腰梯形.
S EF為棱臺的斜高，MN為棱臺的高
D C
M E
四邊形MEFN為直角梯形
A B
D C 常用△SME △SNF
N F S側= 4S等腰梯形B C CB
A B
D C V = 1棱臺 3 h(S上+S下+ S上SM 下 )
A B
D C
Q
N MC 為對角線的一半
A B
·19·
四邊形MC CN為直角梯形
常把直角梯形分為矩形MC QN和Rt△C QC
10.圓柱：以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體
叫做圓柱.
OO A B 叫做圓柱的軸O
OO =圓柱的母線長
矩形ABCD是圓柱的軸截面
D r O C
S側= 2πrl V = πr
2
圓柱 h
11.圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所
圍成的旋轉體叫做圓錐.
S △SAB叫圓錐的軸截面，其中 h 2+ r2= l2
α
牢記：底面圓的周長=展開圖的弧長
h l 2πr
即 2πr=αl
A O Br S側= πrl V =
1
圓錐 3 πr
2h
12.圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.
S
r 四邊形O1ABO為直角梯形r
O A O A1 1
l 常用△SO1A △SO2B
h h
R R S =S
O O B 側 大圓錐側
-S小圓錐側= π R (l+SA) - π r SA
2 2
V = 1圓臺 3 h(S上+S下+ S上S下 )
13.斜二測畫法：利用 斜二測畫法 畫水平放置的平 面 圖 形 的直觀圖.應遵循①橫豎不變
②縱折半③平面圖形中的平行線段在直觀圖中依然平行.
特殊：
y
F E y

F E
A O D x x

A D
B C
B C
平面圖形 直觀圖
14.球： 圓O 既是球O的截面圓，
滿足d 2=R 2-r 2
O d
R 也是△ABC的外接圓，A
r O 滿足 ABB C =2rsinC
·20·
S球=4πR
2
R
V球=
4 πR33
O 常用計算技巧：
若R3=2 2，則R= 2.
D1 C1
正方體、長方體的外接球 A1 B1 球O與正方體各個面都相切，
O 2R= a2+b2+c2 D O 則2R=棱長C
A B
D1 C1
A1 B1 球O與正方體各側棱相切= 球O與圓錐側面、底面都相切O 則2R 面對角線長D O R A 則Rt△SOA Rt△SBO

C 且OO =R
B
A B O r A
B
15.公理 1：如果一條直線上的兩點在一個平面
內，那么這條直線在此平面內.
公理 2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面. A
C
公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它有且只有一條 B
過該點的公共直線.
β
A∈α
A∈β α∩β=l且A∈l b
α l A
公理 4：平行于同一條直線的兩直線平行. θ a
α b
共面直線 平行直線
16.直線與直線的位置關系： 相交直線異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點
異面直線 a，b，b b ，則 θ為異面直線 a與 b所成的角,θ的范圍為 (0°,90°].
直線在平面內
m
17.直線與平面的位置關系有： 直線與平面相交 α 記：m 平面α 直線與平面平行
α A 記：平面α∩直線m=A
m
m
記：m 平面α
α
18.線面平行的判定：
平面外一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行.
·21·
m 記：
m 平面α
n n 平面α m 平面α
α m n
19.線面平行的性質：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交
線與該直線平行.
β
m m 平面α
m 平面β
b
α α∩β=b m b
20.面 面 平 行 的 判 定 ：
一個平面內的兩條相交直線分別與另一個平面平行，則這兩個平面平行.
a a a
α P b b b


a∩b=P
a,b 平面α α β
a a ∩

b =P
β P b a ,b 平面β
21.面面平行性質：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.
γ
α β
b α∩γ=b
α
β∩γ=a a b
a
β
要證線線平行的常用輔助線：①找中點②連平行四邊形的對角線③利用三角形相似.
重要結論：(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行.
(2)垂直于同一個平面的兩條直線平行.
(3)平行于同一個平面的兩個平面平行.
(4)兩個平面平行，則一個平面內任一條直線與另一個平面平行.
l α l
α
α m n β
β
β α γ
(1) (2) (3) (4)
l α m α α γ α β m n β γ α β
α β
l βl β n α l α
·22·
22.直 線 與 平 面 垂 直 的 判 定 :
一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.
l a α
b α

a
α b O a∩b=O l 平面α
l α
l b
23.線面垂直的性質：垂直于同一個平面的兩條直線平行.
m n m α
n α m n
α
24.直線和平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直
線和這個平面所成的角.
PM 平面 α，M為垂足，則 θ為斜線PA與平面 α所成的角. P
①當PA 平面 α時，θ= 90°;
θ α
②當直線PA 平面 α或PA 平面 α時，θ= 0°; AM
③線面角 θ的范圍是 [0°,90°].
25.二面角：①從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖 形 叫做二面角.二面角不是角.②
二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作垂
直于棱的兩條射線，這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角.
l OA l
A OB l


θ OA α
B ∠AOB為二面角α-l-β的平面角α
O OB β
β α∩β= l
26.平面和平面垂直的定義：兩個平面相交，如果他們所成的角是直 二 面 角 ，就說這兩個平
面垂直.
平面與平面垂直的判定：一個平面過另一個平面的垂 線 ，則這兩個平面垂直.
β
l l α
l β α β
α
27.平面與平面垂直的性質：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交 線 的直線與另一個平
面垂直.
·23·
α β
β
l β

l l 平面αα∩β=a
l a
α a
要證線線垂直常用方法：在等腰 (等邊)三線合一；線面垂直得線線垂直，勾股定理，余
弦定理 (已知中給出很多線段的長度)，作兩 垂 直 平面交 線 的垂線.
重要結論：(1)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.
(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內的任何一條直線.
(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.
(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直.
l l m 平面αm n m n m α l α β
a 平面α
α β
m α n l β l α
α n α α a n 平面α β α β α l β m α
(1) (2) (3) (4)
切記：一個平面與另一個平面都垂直，但這兩個平面不一定垂直或平行.
28.點到平面的距離：常用等體積轉化法或建系公式法.
P 求點P到平面ABC的距離
VP-ABC=VA-PBC
A C
B
29.線到面的距離 可轉化為線上任一點到平面的距離
B C 求直線CD到平面ABD 1的距離等于點D到平面ABD 1的距離
A D VD-ABD =V1 B-ADD1
B 1 C 1
A 1 D 1
統(tǒng)計
1.總體：在一個調查中，把調查對 象 的全體稱為總體.
個體：組成總體的每一個調查對 象 稱為個體.
樣本：把從總體中抽取的那部分個體稱為樣本.
樣本量：樣本中包含的 個體數量 稱為樣本容量，簡稱為樣本量.
2. 樣本量n = 該層抽取的個數分層抽樣： .
總體個數N 該層的個體數
3.幾個數據中的平均數、眾數、中位數、方差、標準差的算法
= x1+x2+ +x平均數：x nn
·24·
眾數：n個數據中出現次數最多的數稱為眾數.
中位數：先把 n個數據從小到大的排列，排在最中間的數稱為中位數.若 n為奇數，取
n+1 n n
第 2 個數據；若n為偶數，取第 2 和第 2 + 1個數據的平均數.
1
方差：s2= [(x - x)2n 1 + (x2- x)
2+ +(x - x)2n ]
標準差：S= s2 .方差越小的那組數據越穩(wěn)定.
4.頻率= 頻數 極差=最大數據-最小數據
總數
5.在頻率分布直方圖中，頻率、平均數、眾數、中位數、方差的算法
頻率=縱坐標×組距 各小組的頻率之和為 1
平均數=每個組的平均數×相應頻率之和
眾數=小長方形最高那個組的平均數
中位數 ：先估計 0 .5 落在哪個組 ，再用小于 0 .5 的數據加上 0 .5 落在的組
0.5-前面走的頻率 ×組距
該組的頻率
方差 s2= ( 每個組的平均數-x)2×相應頻率之和
6.第 p百分位數的定義
一般地，一組數據的第 p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有 p%的數據
小于或等于這個值，且至少有 (100- p)%的數據大于或等于這個值.
7.計算n個數據的第 p百分位數的步驟
第 1步，按從小到大排列原始數據；
第 2步，計算 i=n× p%；
第 3步，若 i不是整數，而大于 i的比鄰整數為 j，則第 p百分位數為第 j項數據；若 i是
整數，則第 p百分位數為第 i項與第 i+ 1項數據的平均數.
8.四分位數
第 25百分位數，第 50百分位數，第 75百分位數.這三個分位數把一組數有小到大排列
后的數據分成四等份，因此稱為四分位數.
下四分位數 0%—— 25%
第二四分位數 25%—— 50%
第三四分位數 50%—— 75%
上四分位數 75%—— 100%
概率必讀物
1.我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點.全 體 樣本點的集合稱為試驗E
的樣本空間.用Ω表示樣本空間，ω表示樣本點，即Ω={ω1,ω2,ω3 }.
·25·
2.若事件A為不可能事件，則P(A) = 0；
若事件B為必然事件，則P(B) = 1;
若事件C為隨機事件，則 0設試驗E是古典概型，樣本空間 Ω包含 n各樣本點，事件C包含 k個樣本點，則P(C)
= kn .
3. (1)若事件A發(fā)生，則事件 B一定發(fā)生，稱事件 B包含事件A(或事件A包含于事件
B)，記作B A(或A B).
Ω
B A
(2)事件A與事件B至少有一個發(fā)生，稱事件A與事件B的并事件 (或和事件)，記作
A∪B(或A+B).
Ω
A B
(3)事件A與事件 B同時發(fā)生，稱事件A與事件 B的交事件 (或積事件)，記作A∩B
(或AB).
Ω
A B
(4)事件A與事件B不能同時發(fā)生，即A∩B= ，稱事件A與事件B互斥 (或互不相
容).
(5)事件A與事件 B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即A∩ B= 且A∪ B=

Ω，稱事件A與事件B對立.事件A的對立事件記為A，

P(A) = 1-P(A).
Ω
A
A
(6)互斥事件不一定是對立事件，但對立事件一定是互斥事件.
4.組合：從 n個不同的元素中不 分 先 后 (即無序)地取出m個不同元素 (m≤ n)的取法
有C mn 種.
計算公式：
·26·
階乘：n! =n× (n- 1) × (n- 2) × (n- 3) 3× 2× 1
如：3！= 3× 2× 1 0！= 1 1！= 1
n!
從而C mn = !( - )! C
0 n
n=C n= 1 C 1=C n-1m n m n n =n
分步原理：從 n個不同元素種分先后 (即有序)地取出m個不同元素 (m≤ n)的取法
m 個
有n×(n-1)×(n-2) .
如從 5個數字中分兩次取兩個數字出來有 5× 4種取法.
注意區(qū)分有放回與無放回 .
5.概率的性質：
(1)若A與B互斥，則P(A∪B) =P(A) +P(B)
Ω
A B
(2)設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，有P(A∪B) =P(A) +P(B) -P(A∩B)
Ω
A B
(3)若A與B為獨立事件 (或A,B發(fā)生與否互不影響)
P(A∩B) =P(A) P(B)
空間向量與立體幾何必讀物
1.建立空間直角坐標系前先證明有三線兩兩垂直，這三線所在的軸就是 x，y，z軸.
2.空間中的點分三類：
(1)坐標軸上的點：x軸上的點 (x,0,0)，y軸上的點 (0,y,0)，z軸上的點；
(2)坐標平面上的點：平面Oxz上的點 (x,0,z)，平面Oyz上的點 (0,y,z)；
(3)空間中的點：先把此點投影到平面Oxy上找出橫、縱坐標，再結合該點的高 度 ，從而
得空間中的點 (x,y,z).
找未知點坐標的方法有兩種：
幾何法:過此點分別作x,y軸的垂線,與x軸平行的垂線段長度對應橫 坐標,與y軸平行的垂線段長度對應縱坐標

向量法:利用線段比例,建立向量關系,再利用對應坐標的等量關系可 確定未知點坐標

3.點A(x1,y1,z1)，點B(x2,y2,z2)，則 AB= (x2- x1,y2- y1,z2- z1)
·27·

AB= AB = (x2-x1)2+(y2-y )21 +(z2-z1)2
4.向量的模:

①若向量 a- 3b+ c= (1, 2 , -3) ，則 a-3b+ c = 12+( 2)2+(-3)2 ;

②若向量 a = b = c = 1且 a,b = 60°, a ,b = 90°, b,c = 120°, a 則 -3b+c =
(a

-3b+ c)2= a 2+9b2+c2-6a b+2a c-6b c .

向量的加法：AB+BC =AC
B C

A D AB+AD=AC

向量的減法：OP-OQ=QP
中線向量：
B
M

A C AM = 12 (AB+AC)
5.
平面向 量的坐標表示 空間向量的坐標表示a = (x1,y

1) a = (x1,y1,z1)
b= (x2,y2) b= (x2,y2,z 2
)
向量的加法 a + b= (x1+ x2,y1+ y ) a

2 + b= (x1+ x 2
,y1+ y2,z1+ z2)
向量的減法 a - b= (x 1- x2,y2- y1) a- b= (x1- x2,y1- y2,z1- z2)
向量的數乘 λa = (λx1,λy1) λa
= (λx1,λy1,λz1)
向量的數量
a

積 b= x1x2+ y y a

1 2 b= x1x2+ y1y2+ z1z2
向量垂直 x1x2+ y1y2= 0 x1x2+ y1y2+ z1z2= 0
a

= λb
向量平行 x1y2= x2y1 x1 = y1 z1x y = z (x2,y2,z2≠ 0)2 2 2

a a = x2+y2 向量 的模 1 1 a = x21+y21+z21
cosθ= cosθ=
向量的夾角 x1x2+y1y2 x1x2+y1y2+z1z2
x21+y21 x22+y22 x21+y2+z2 x2+y2 21 1 2 2+z2

6.若直線 l 平面 α，則AB叫直線 l的方向向量，AB叫平面 α的一個法向量.
在計算平面的法向量時，算得出的坐標就是算出的坐標，算不出的就令其中一個量為
·28·
非零 的值，從而第三個坐標就確定了. l
A
7.異面直線 a，b所成的角為 θ，則 θ的范圍為 (0°,90°].
B
α
a A B a
a
θ b C D
α α b cos AB,CD =cosθ
8.
l A B l

l n
α α
l l
l 平面α

l 平面α n是 平 面 α的一個法向量
l 平面α 若n AB=0,則l 平面α
l M l
N
C P B C P B
α A D α A D
l AB
l CD MN AB=0
AB、CD 平面α
AB∩CD=P

MN CD=0 l 平面α
AB∩CD=P
l 平面α
a
α P b α
n1 n2
a
β P
b β
a a
b b 若 n1是平面α的一個法向量
a,b 平面α且a∩b=P n 2是 平 面β的一個法向量
a ,b 平面β且a ∩b =P n1 n2則平面α 平面β
平面α 平面β
·29·

A D n1 α α n2P
β C B β

l AB 若n1是平面α的一個法向量
l CD
AB∩CD=P

n 2是 平面β的一個法向量
n1 n2=0
l 平面α
平面α 平面β
平面α 平面β
9.
P P

n
θ A A θ
α B α B
PB 平面α,點B為垂足
PA是斜線，點A為斜足
AB是斜線PA在平面α上的投影 n是平面α的一個 法向量
則AB與PA所成的角θ為線面角 則 sinθ= cos PA,

n
且線面角θ∈[0°,90°]
10.
m n1
A l l
α n α
O n2B
β β
α∩β=l n 1是平面α的一個法向量
直線m l,直線n l n2是平面β的一個 法 向量
則∠AOB是二面角α- l-β的平面角 cos n ,n = n 1 n 2
二面角的取值范圍為[0°,180°] 1 2 n1 n2
最后根據圖形判斷是
銳二面角還是鈍二面角
·30·
11.點到平面的距離：常用等體積轉化法
P P

n
A C A C
B B
求點P到平面ABC的距離 若n是平面ABC的一個法向量
VP-ABC=VA-PBC 則點P到 平 面 ABC的距離為d
且d= n PA n
線到面的距離 可轉化為線上任一點到平面的距離
B C
A D
B1 C1
A1 D1
求直線CD到平面ABD1的距離等于等于點D到平面ABD1的距離
①VD-ABD =V1 B-ADD1

②平面ABD1的一個法向量為n，則點D到平面ABD1的距離為 d
= DA且 d n n
直線與圓的方程必讀物
1.直線的傾斜角 α∈ [0°,180°]，且斜率 k= tanα(α≠ 90°).直線上兩點A(x1,y1)，B(x2,
) = y -yy k 1 22 ，則 AB x -x (x1≠ x2).常借助 y= tanx圖像來解題.1 2
tan π6 =
3
3 = tan30°
y
tan45°= tan π4 =1
π π x
tan π3 = tan60° = 3
2
b
若直線 l上有方向向量 v= (a,b)，則斜率 k= a .
2.特殊直線：
傾斜角 α= 0°，直線 l:y= y0;
傾斜角 α= 90°，斜率不存在.直線 l:x= x0.
·31·
3.直線的四種形式：
①點斜式：y- y0= k(x- x0)
②斜截式：y= kx+ b(常用于畫直線的草圖)
x y
③截距式：a + = 1b
④一般式：Ax+By+C= 0
k =k k =k
4.若兩直線平行 1 2 若兩直線重合 1 2 b1≠b2 b1=b2
若兩直線垂直:k1k2=-1
( , ) : + + = = Ax0+By5. P x y l Ax By C 0 d 0+C①點 0 0 到直線 的距離 (先把直線化為一A2+B2
般式)
②兩平行線Ax+By+m= 0與Ax+By+n= 0之間的距離
d= m-n (應先將直線化為一般式，且 x,y系數對應相等)A2+B2
6.若直線 l1:A1x+B1y+C1= 0與直線 l2:A2x+B2y+C2= 0
A①當 l l ，則 1 = B1 C11 2 A2 B
≠ ;
2 C2
A B C
②當 l1與 l2重合，則
1 = 1 1
A2 B
= ;
2 C2
③當 l1 l2，則A 1A 2+B 1B 2= 0.
7.與直線Ax+By+C= 0平行的直線設法Ax+By+m= 0.
8.平面內到定點的距離等于定長的軌跡叫做圓.
圓的標準式：(x- a)2+ (y- b)2= r2,圓心為 (a,b),半徑為 r.
圓的一般式：x2+ y2+Dx+Ey+F= 0, P F圓心為 (- 2 , - 2 ).
9.點與圓的位置關系：
(1)點M (x0,y0)在圓上：(x 20- a) + (y0- b)2= r2;
(2)點M (x0,y )在圓外：(x - a)2+ (y - b)2> r20 0 0 ;
(3)點M (x0,y0)在圓內：(x - a)20 + (y 2 20- b) < r .
10.判斷直線與圓的位置關系常用的兩種方法：
(1)幾何法：利用圓心到直線的距離 d和圓的半徑 r的大小關系.
d
d r r d r
·32·
d> r 相離 d= r 相切 d< r 相交
常用到：d2+弦的一半 2= r2
(2)代數法：
>0 相交
直線方程 判別式聯立 2 =0 相切圓方程 =b -4ac <0 相離
11. D E圓的一般方程:x2+ y2+Dx+ Ey+ F= 0，圓心為 (- 2 , - 2 ).大多用于給出圖上
兩點、三點 時.
x=a+rcosα
12.圓的參數方程: = + (a為參數)y b rsinα
13.圓與圓的位置關系
設圓O1:(x- a )21 + (y- b1)2= r2 21 圓O2:(x- a2) + (y- b )2= r22 2
圖示 兩圓關系 圓心距關系
O 外離 d> rO 1+ r21 2
O O 內含 d< r1- r1 2 2
O 相交 r1-r2 < d< r1+ r1 O 22
O 外切 d= r1+ r21 O2
O O 內切 d= r2 1-r2 1
14.求公共弦所在直線:
x2 +y
2+D1x+E1y+F1=0①聯立 x2+y2+D2x+E2y+ = ，由①-②得到直線方程F2 0②
15.
·33·
A
O1
B O2
連心線O1O2垂 直 平 分 公共弦AB
16.已知第三圓經過圓O :x2+ y2+D x+E y+F = 0與圓O :x2+ y21 1 1 1 2 +D2x+E2y+F2=
0的交點，則 巧設 第三圓方程為 x2+ y2+D x+ E y+ F + λ(x2+ y21 1 1 +D2x+ E2y+
F2) = 0.
圓錐曲線必讀物
1.平面內與兩個定點 F1，F2的距離的和等于常數 (大于 F1F2 )的點的軌跡叫做橢圓，即
PF1 + PF2 =2a，這兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點之間的距離叫做橢圓的焦距.
2.
2 y2 y2x x2
標準方程 a2
+ 2 = 1(a> b> 2 + = 1(a> b>b a b2
0) 0)
y
y A2
B2 F2
圖形 x
A1 F1 O F x2 A2 B1 B2
B F11
A1
焦點坐標 (±c,0) (0, ±c)
范圍 x ≤ a, y ≤ b x ≤ b, y ≤ a
對稱性 關于 x軸、 軸、原點都對稱
A1(-a,0),A2(a,0) A1(0, -a),A2(0,a)頂點坐標 B1(0, -b),B2(0,b) B1(-b,0),B2(b,0)
長軸、短軸 長軸A1A2= 2a，短軸B1B2= 2b
e= ca ∈ (0,1)
離心率 當 e越接近 1時，橢圓越扁；
當 e越接近 0時，橢圓越圓；
3.焦點三角形常用結論：
圖示 結論
y
P
△PF1F2為等腰三角形， PF1 =
x
F1 O F2 PF2 = a，且∠F1PF2達到最大值
·34·
y
P
r21+ r22= F1F 22
x
F1 O F2 r1+ r2= 2a
y r1+ r2= 2a
P
θ S△PFF = b2 tan
θ
1 2
x 2
F1 O F 22 r +r2- FF 2
cosθ= 1 2 1 22r1r2
y
b2P(c, a )
x 離心率越接近 0的橢圓越圓
F1 O F2
4.當 直 線 與 橢 圓 方 程 聯立 時 ，常 設 直 線 為 點斜式：y-y0=k(x-x0) 或
斜截式：y=kx+m 或 橫截式：x=ty+m .
一定要考慮： = b2- 4ac> 0
△
弦長公式： AB = 1+k2 (x1+x2)2-4x1x2 .
5.點差法：
①設點A(x1,y1)，B(x2,y2) y
A
x
2 y21 1 中點
a2 + b2 =1① xO②代點 B2 2

x2 + y2 2 =1②a b2
由①-②得
(x1+x2)(x1-x2) + (y1+y2)(y1-y2)2 2 = 0a b
b2(x1+x2) =- y1-y2
a2(y1+y2) x1-x2
6.焦半徑：
y
PF1 = a+ ex PF2 = a- ex P
a- c≤ PF1 ≤ a+ c x
F1 O F2 2
y AF bA 1 = a-c cosθ
θ x b2F1 O FB 2 BF1 = a+c cosθ
1 + 1 = 2a
AF1 BF b2
·35·
x=acosα7.橢圓的參數方程： (α為參數)y=bsinα
8.平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕 對 值 等于常數 (小于 F1F2 )的點的軌跡叫做
雙曲線 . 這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距 .
PF1 - PF2 = 2a.
x2 y
2
雙曲線的標準方程： 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)a b
實軸 2a虛軸 2b 焦距 2c
其中 c2= a2+ b2 c離心率 e= a > 1
b b2
漸近線：y=± a x 點P坐標為 (c, a )
右焦點到漸近線的距離為 b
y
O x
數列必讀物
1.數列的定義：按照一定順序排列的一列數稱為數列.數列中的每一個數叫做這個數
列的項.
2.數列的一般形式為 a1，a2，a3， ，an， 簡記為 {an}.通項為 an，下標n表示項數.
第n項 an與項數n之間的關系式 通項公式
第n項 an與它的相鄰項 an-1的關系式 遞推公式
3.等差數列的概念：如果一個數列，從第 2項起，每一項與它的前一項的差等于同一
個常數，那么這個數列就叫做等差數列.這個常數叫做數列的公差，通常用小寫字母 d表
示.
數學表達式：an- an-1=常數 d
4.等差數列的性質：(1)通項公式：an= a1+ (n- 1)d，an= am+ (n-m)d.
(2)若 a，A a+b，b成等差數列，則A= 2 ，常巧設為 a- d，a，a+ d.
(3)an-k，an，an+k也成等差數列，常設 an- kd，an，an+ kd.
(4)若m+n= p+ q，則 am+ an= ap+ aq.
( ) = S1,n=15 an 適用于任何數列Sn-Sn-1,n≥2
第一步 ：由Sn寫Sn-1；第二步 ：Sn-Sn-1得 an；第三步 ：代n= 1算 a1與S1.
·36·
5.等差數列的判定：(1)定義法：an- an-1=常數 (an+1- an=常數)；
(2)函數法：an= pn+ q，則公差為 q；
(3)中項公式法：2an= an-1+ an+1；
6.等差數列的求和公式：
= n(a1+an) 若1+n=p+q,則a1+an=ap+aS qn 2 用于技巧求和 等差中項a1,an,a2n-1,則a1+a2n-1=2an
= + n(n-1)Sn na1 2 d，建方程組求 a1，d(硬算)
7.等差數列的性質：(1)若數列 {an}成等差數列，則 an- an-1=公差 d；
(2)若 a，A，b成等差數列 (即等差中項)，則 a+ b= 2A；
(3)若m+n= p+ q，則 am+ an= ap+ aq；
(4)Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，S4m-S3m， 也成等差數列；
(5) a SS 為等差數列 {a }的前n項和，T 為等差數列 {b }的前n項和，則 n = 2n-1n n n n T ；bn 2n-1
(6)S奇= a1+ a3+ +a2n-1 S偶= a2+ a4+ +a2n
S奇+S偶=S2n S偶-S奇=nd
8.構造新數列：
第一步：令 bn=一個含an的式子 ；
第二步：寫出相鄰項 bn-1(或 bn+1)；
第三步：把已知條件代入化簡；
第四步：bn- bn-1得公差；
第五步：當n= 1,算出 b1；
第六步：用 bn=b1+(n-1)d 寫出新數列的通項；
第七步：由這個式子反求出老數列通項 an.
9.等比數列的概念：如果一個數列從第 2項起，每一項與它的前一項的 比 等于同一
個常數 (常數不為零)，那么這個數列叫做等比數列，這個不為零的常數叫做等比數列的公
a
比，通常用小寫字母 q表示.數學表達式： na =常數 q.n-1
10.等比數列的通項公式：
an=a qn-11 (q≠ 0) an=a qn-mm
11.等比中項：若 a，G，b成等比數列，則G2= ab(即等比中項).
若 an-k，an，a
2
n+k成等比數列，則 an= an-kan+k.
x a
巧設：q ，x，xq或
n
k ，an，a q
k
n .
q
12.等比數列的求和公式：
= a1(1-q
n)
Sn 1-q (q≠ 1) Sn=
a1-anq
1-q
·37·
當 q= 1時，Sn=na1
常用到 1- q2= (1+ q) (1- q) 1- q3= (1- q) (1+ q+ q2)
13.等比數列的性質：
(1) a若數列 {an}為等比數列，則 na =公比 q；n-1
(2)若m+n= p+ q，則 am an= ap aq；
S
(3)S奇+S =S
偶
偶 n，S =公比 q；奇
(4)Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，S4m-S3m， 也成等比數列.
14.構造新數列：
第一步：令 bn=一個含an 的式子；
第二步：寫出相鄰項 bn-1(或 bn+1)；
第三步：把已知條件代入化簡；
b
第四步： n 得公比；
bn-1
第五步：當n= 1,算出 b1；
第六步：用 bn=b qn-11 寫出新數列的通項；
第七步：由這個式子反求出老數列通項 an.
15.數列求和：
n(a1+an) n(n-1)
①直接套用公式：等差數列求和公式：Sn= 2 =na1+ 2 d
na1,q=1
等比數列求和公式：Sn= a1(1-qn) a1-anq1-q = 1-q ,q≠1
②倒序求和：
Sn= a1+ a2+ a3+ +an
Sn= an+ an-1+ an-2+ +a1
③ 裂項 相消法：
(1) 1 = 1 1 1形如：
n(n+k) (k n - + )n k
1 = 1 - 1
n(n-1) n-1 n
常見 1 1 1 1(n-1)( = ( -n+1) 2 n-1 n+1 )
1 = 1 ( 1 1(2n-1)(2n+1) 2 2n-1 - 2n+1 )
(2) 1 = 1 ( n+k- n )
n+k+ n k
·38·
1
+ - =
1
2 ( n+2- n)n 2 n
常見
n+1- n = 1 - 1
n n+1 n n+1
④錯位相減法：
若數列 {an} 1由一個等差數列和一個等比數列 之積 構成，形如 (2n- 3) × ( 2 )
n.第一
步：寫出Sn= a1+ a2+ a3+ +an；
第二步：等式兩邊乘以等比數列的公比 q；
第三步：用Sn- qSn.第一個位置空著，最后一個項照著抄；
a1-anq
第四步：用公式 1-q 求中間部分的和，最后一項照抄；
第五步：等式兩邊除以 1- q得Sn；
第六步：代n= 1檢驗.
⑤區(qū)分 錯位 相減法與 分組 求和法
之和 1
分組求和法用于一個等差數列與一個等比數列 構成，形如 2n- 3+ ( )n，2n
之差 2
- (n+ 5).
16.通過簡單的遞推公式求通項公式：
a
① an- an-1= d an= a1+ (n- 1)d na = q an= a q
n-1
1
n-1
②累加法：an+1- an= f(n)，形如：an+1- an= 2n+ 1，a - a n-1n n-1= 3
a a
③累乘法： n+1 = f(n)，形如： n+1 = ( 1 )n an = nan a
，
n 2 an-1 n+1
④ an= pan+ q(相鄰項系數不同)構造新數列，設
an+1+λ=p(an+λ) 化簡回去確定 λ的值.
一元函數的導數及其應用
Δy f(x
1. 1
)- f(x2)
平均變化率： = =
Δx x1-x2
Δy
2.瞬時變化率 lim = lim = f '(x0) =Δx→0 Δx Δx→0
f(0+Δt)- f(0)
初速度 v0= limΔt→0 Δt
3.求導公式：
若 f(x) = c,則 f '(x) = 若 f(x) = cosx,則 f '(x) =
若 f(x) = lnx,則 f '(x) = 若 f(x) = 3x,則 f '(x) =
若 f(x) = sinx,則 f '(x) = 若 f(x) = log2x,則 f '(x) =
若 f(x) = xα,則 f '(x) = 若 f(x) = ex,則 f '(x) =
·39·
復合函數的導數：f '(μ) = f '(μ) μ'x
如 [ln(1- x)]' = (sin2x)' =
[e1+x]' = [(2x- 1)2]' =
[cf(x)]' =
[ f(x) g(x)]' =
[ f(x)( ) ]' = (g(x) ≠ 0)g x
4. 求曲線在某點處的切線方程的步驟：
①對曲線求導；
②代切點的橫坐標→切線的斜率為 ；
③用點斜式： 表示切線方程
(求切點坐標：利用切點既在曲線上，又在切線上)
5.求函數的單調性：
①一次函數 y= kx+ b的單調性由 決定:
k> 0時，一次函數為 函數；
k< 0時，一次函數為 函數.
2 二次函數 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)的單調性由對稱軸 和 決定.
3 反比例函數 y= kx (k≠ 0)的單調性由 k決定：
k> 0時，反比例函數為 函數；
k< 0時，反比例函數為 函數.
k
4 對勾函數 y= x+ x (k> 0)在 上單增，在 上單減.
5 除上述函數以外，利用導函數求單調性：f '(x)> 0解出 x得增區(qū)間；
f '(x)< 0解出得 區(qū)間.
多個單調區(qū)間之間用“ ”或“ ”隔開.
7 已知函數的單減區(qū)間 f '(x) 0; 已知函數的單增區(qū)間 f '(x) 0;
6.求函數在閉區(qū)間 [a,b]上的最值的步驟：
1 求導 f '(x);
2 令 f '(x) = 0,解出 x1,x2;
3 討論 f '(x)在多個區(qū)間 (定義域被 x1,x2分成的)與 的關系，并畫出草圖；
4 進而得到 f(x)在各個區(qū)間上的 ；
5 求出極值；
6 計算端點值 f(a),f(b);
7 最后得到最大值和最小值.
7.若“x0”是 f(x)的極值點
·40·
8.極值、最值都是指原函數的值，如函數 f(x)在 x= 2處有極小值-1，即 =-1.
9.解決雙參數綜合題時，有兩種思路：1 分離變量法；2 分類討論.
1 分離變量法
(1) f (x) =- 1【例】 x3+ 1 x23 2 + 2ax (
2
在 3 , +∞)上單調遞增，則 a的取值范圍為
(2) 1若存在兩個不等實根 x1,x 22∈ [ e ,e],使-x + ax- 3= 2xlnx成立，求 a的取值范
圍.
2 分類討論
【例】(1)已知函數 f(x) = lnx- ax,求函數的單調區(qū)間.
(2)已知函數 f(x) = lnx+ 12 ax
2- x,討論 f(x)的單調性.
(3)若曲線 f(x) = x3- ax2與直線 y= a2x- 1只有一個交點，求實數 a的取值范圍.
計數原理
1.分類加法計數原理：N=m1+m2+…+mn(不重不漏)
2.分步乘法計數原理：N=m1×m2×…×mn(缺一不可 )
3.排列：一般地，從 n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，
叫做從n個不同的元素中取出m個元素的一個排列. 符號：Amn (有序)
4. n!排列數計算公式：Am nn = ( - )! An =n! =n× (n- 1) × (n- 2) ×…× 2× 1n m
A 1=n A 0n n= 1 0! = 1 1！= 1
5.組合：一般地，從 n個不同元素中取出m (m≤ n)個元素作為一組，叫做從 n個不同元
素中取出m個元素的一個組合．符號：C mn (無序)
·41·
Am
6. n!組合數計算公式：Cm nn = =Amm (n-m)!m!
Cn=C0= 1 C1=n Cm=Cn-mn n n n n
7.捆綁法 (相鄰問題)：把相鄰的元素進行捆綁，捆綁后相鄰元素看作“1”，再與其他元素
排列.
8.插空法 (不相鄰問題)：先把其它元素排列，再把不相鄰元素插入空隙.
9.分堆法 (分配問題)：先分堆 (均分除以A )，再捧堆.
10.二項式定理：(a+ b)n=C0 nna +C1an-1b1+C2 n-2 2 nn na b + +Cnbn,n∈N
(1)等號右邊的多項式有 n+1 項；
(2)二項式系數：Ckn 項的系數：Ckn
(3)通項：(a+ b)n展開式的第 k+ 1項叫做二項展開式的通項，記作T =Ckan-kbkk+1 n
(4)特例：(1+ x)n=C0+C1x+C2x2+C3x3+ +Cnn n n n nx
當 x= 1時，C0+C1+C2+ +Cn= 2nn n n n (即二項式系數之和)
n
(5)C0+C2n n+C4 1 3 5 2n+ =Cn+Cn+Cn+ = 2
(6)項系數之和為 f(1)
1 a0(令 x= 0)
2 a0+ a2+ a4+ =
f(1)+ f(-1)
2
+ + + = f(1)- f(-1)a1 a3 a5 2
n
( ) 當n為偶數時：C 27 二項式系數最大項： n n-1 n+1當n為奇數時：C 2n =C 2n
隨機變量及其分布
P(AB)
1.一般地，設A、B為兩個隨機事件，且P(A) > 0，我們稱P(B A ) = ( ) 為在事P A
件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.
n(AB) P(AB)
2.計算公式：①P(B A) =
n( ) = ( ) ；②變式：P(AB) =P(A) P(B A).A P A
3.條件概率的性質：設P(A)> 0，則
(1)P(Ω A) = 1;
(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C A) =P(B A) +P(C A);

(3)設B和B互為對立事件，則P(B A) = 1-P(B A);
(4)當P(A)> 0時，當且僅當事件A與B相互獨立時，有P(B A) =P(B).
在做n個事件有復雜關系時，常借助韋恩圖幫你理清關系.
·42·
4.全概率公式
一般地，設A1，A2， ，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪ ∪An=Ω，且P(Ai)>
n
0，i= 1,2, ,n，則對任意的事件B Ω，有P(B) = P(Ai)P(B Ai)，我們稱這個公式為
i=1
全概率公式.
5.計算公式：P(B) =P(A1B) +P(A2B) +P(A3B)
=P(A1) P(B A1) +P(A2) P(B A2) +P(A3)P(B A3)
A1
A1B 邏輯上先有事件A1，A2，A3發(fā)生，才有事件B發(fā)生，即
A3 A3B
A2B B 由因導果 .
A2
6.貝葉斯公式
設A1，A2， ，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪ ∪An=Ω，且P(Ai)> 0，i= 1,
2, ,n，則對任意的事件B Ω，有
P(Ai)P(B Ai) P(Ai)P(B AP(A ii B ) = ( ) = n ，i= 1,2, ,nP B P(Ai)P(B Ai)
i=1
A1
A1B
A3 A3B 追尋事件B是在怎樣
A2B B
A2 的情況下發(fā)生的
P(A2B) 由果找因P(A2 B )= P(B) 全概率公式
7.隨機變量的定義
一般地，對于隨機試驗樣本空間 Ω中的每個樣本點 ω，都有唯一的實數X(ω)與之對
應，我們稱X為隨機變量.
8.分布列的定義
一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為 x1，x2， ，xn，我們稱X取每一個值 xi的
概率P(X= xi) = pi，i= 1,2, ,n為X的概率分布列，簡稱分布列.
表示：①解析法
P(X= xi) = pi，i= 1,2, ,n.
②列表法
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
9.離散型隨機變量分布列的性質
(1)pi≥ 0，i= 1,2, ,n；
(2)p1+ p2+ +pn= 1.
·43·
10.離散型隨機變量的均值
一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
n
則稱E(X) = x1p1+ x2p2+ xnpn= xipi，為隨機變量X的均值或數學期望，數學期
i=1
望簡稱期望，反映了隨機變量取值的平均水平.
E(aX+ b) = aE(X) + b
11.離散型隨機變量的方差
一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
則稱 D (X ) = (x 1 - E (X ) ) 2 p 1 + (x 2 - E (X ) ) 2 p 2 + + (x n - E (X ) ) 2 p n =
n
(xi-E(X))2pi為隨機變量X的方差.
i=1
稱 D(X)為隨機變量X的標準差，記為 σ(X).
方差反應誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定.
D(aX+ b) = a2D(X)
12.若一個隨機變量 ξ的分布列為
ξ 0 1
P 1- p p
則稱隨機變量 ξ滿足兩點分布.
13.二項分布的定義
一般地，在 n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為 p(0< p< 1)，用X
表示事件A發(fā)生的次數，則X的分布列為P(X= k) =Ckn pk(1- p)n-k，k= 0,1, ,n.如果
隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n,p).
14.一般地，確定一個二項分布模型的步驟如下：
(1)明確伯努利試驗及事件A的意義，確定事件A發(fā)生的概率 p；
(2)確定重復試驗的次數n，并判斷各次試驗的獨立性；
(3)設X為n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數，則X~B(n,p)；
(4)設X~B(n,p)，那么E(X) =np，D(X) =np(1- p).
15.超幾何分布
一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取 n件 (不
·44·
Ck Cn-k
放回)，用X表示抽取的 n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X= k) = M N-Mn ，kCN
=m,m+ 1,m+ 2, ,r.其中n,N ,M∈N *.
大范圍N M
有兩個分層 N-M M N-M小范圍n k n-k
16.確定超幾何分布模型
(1)明確是不放回取東西；
(2) E(X) =n M在用公式 N 時，要寫出N，M，n.D(X) =E(X
2) -E 2(X).
17.正態(tài)分布與正態(tài)曲線
- (x-μ)
2
函數 f(x) = 1 e 2σ2 ，(x∈R，其中 μ∈R，σ> 0為參數)
σ 2π
為正態(tài)密度函數，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.若隨
機變量X的概率分布密度函數為 f(x)，則稱隨機變量X服從正態(tài)
分布，記為X~N (μ,σ2).
當 μ= 0時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布，記為X~N (0,σ2).
18.正態(tài)曲線的特點
①曲線是單峰的，它關于直線 x= μ對稱；
1
②曲線在 x= μ處達到峰值 ；
σ 2π
③當 x 無限增大時，曲線無限接近 x軸；
④當 σ較小時，峰值高，正態(tài)曲線“高瘦”，表示隨機變量X的分
布比較集中；當 σ較大時，峰值低，正態(tài)曲線“矮胖”；
⑤若X~N (μ,σ2)，則E(X) = μ，D(X) = σ2.
19.正態(tài)分布的 3σ原則
假設X~N (μ,σ2)，則對給定的 k∈N *，P(μ- kσ≤X≤ μ+ kσ)是一個只與 k有關的
定值.特別地，
P(μ- σ≤X≤ μ+ σ) ≈ 0.6827
P(μ- 2σ≤X≤ μ+ 2σ) ≈ 0.9545
P(μ- 3σ≤X≤ μ+ 3σ) ≈ 0.9973
實際生活服從 3σ原則才算合格.
正相關線性相關
20.兩個變量的關系 負相關非線性相關
21.

線性相關關系可用線性回歸方程 y= bx+ a . 表示 此直線恒過樣本中心 (x,y)，b
> 0 正相關.
22. e 殘差 =觀測值-預測值
·45·
23.相關系數 r的絕對值越接近 1則相關性越強；哪個模型的 r越大，那個模型就擬合
得更好.
24.非線性相關，如 y= lnx+c 或 y=dex+ f 型可通過 換元法 轉化為線性相關.y=
bx+ a(b a 、 叫最小二乘估計).
25.獨立性檢驗
2= n(ad-bc)
2
χ (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
若P(χ2≥ x0)成立，則 1-P(χ2≥ x0)表示有多少把握認為有關；
若P(χ2≥ x0)成立，則認為沒有關系，則X與Y獨立.
·46·

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