資源簡介

人教版（2019）物理必修第二冊知識點梳理及常考題型解析
一、教材考點知識梳理
考點11 曲線運動 萬有引力
1、曲線運動：
（1）物體作曲線運動的條件：運動質點所受的合外力（或加速度）的方向跟它的速度方向不在同一直線；
（2）曲線運動的特點：質點在某一點的速度方向，就是通過該點的曲線的切線方向。質點的速度方向時刻在改變，所以曲線運動一定是變速運動；
（3）曲線運動的軌跡：做曲線運動的物體，其軌跡向合外力所指一方彎曲，若已知物體的運動軌跡，可判斷出物體所受合外力的大致方向，如平拋運動的軌跡向下彎曲，圓周運動的軌跡總向圓心彎曲等。
2、運動的合成與分解：
（1）合運動與分運動的關系：①等時性；②獨立性；③等效性。
（2）運動的合成與分解的法則：平行四邊形定則。
（3）分解原則：根據運動的實際效果分解，物體的實際運動為合運動。
3、平拋運動：
（1）特點：具有水平方向的初速度，只受重力作用，是加速度為重力加速度g的勻變速曲線運動。
（2）運動規律：平拋運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動：
①建立直角坐標系（一般以拋出點為坐標原點O，以初速度vo方向為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向）；
②由兩個分運動規律來處理。
4、圓周運動 ：
（1）描述圓周運動的物理量：
①線速度：描述質點做圓周運動的快慢，大小v=s/t（s是t時間內通過的弧長），方向為質點在圓弧某點的線速度方向沿圓弧該點的切線方向；
②角速度：描述質點繞圓心轉動的快慢，大小ω=φ/t（單位rad/s），φ是連接質點和圓心的半徑在t時間內轉過的角度，其方向在中學階段不研究；
③周期T，頻率f ：做圓周運動的物體運動一周所用的時間叫做周期；
做圓周運動的物體單位時間內沿圓周繞圓心轉過的圈數叫做頻率；
④向心力：總是指向圓心，產生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大小。
［注意］
向心力是根據力的效果命名的。在分析做圓周運動的質點受力情況時，千萬不可在物體受力之外再添加一個向心力。
（2）勻速圓周運動：線速度的大小恒定，角速度、周期和頻率都是恒定不變的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不變的，是速度大小不變而速度方向時刻在變的變速曲線運動。
（3）變速圓周運動：速度大小方向都發生變化，不僅存在著向心加速度（改變速度的方向），而且還存在著切向加速度（方向沿著軌道的切線方向，用來改變速度的大小）。一般而言，合加速度方向不指向圓心，合力不一定等于向心力。合外力在指向圓心方向的分力充當向心力，產生向心加速度；合外力在切線方向的分力產生切向加速度。
5、萬有引力定律：
（1）萬有引力定律：宇宙間的一切物體都是互相吸引的。兩個物體間的引力的大小，跟它們的質量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比。
公式：
（2）應用萬有引力定律分析天體的運動：
①基本方法：把天體的運動看成是勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供。即
F引=F向 得：（應用時可根據實際情況選用適當的公式進行分析或計算）
②可以運用該定律估算天體質量M、密度ρ等。
（3）三種宇宙速度：
①第一宇宙速度：v 1 =7.9km/s，它是衛星的最小發射速度，也是地球衛星的最大環繞速度；
②第二宇宙速度（脫離速度）：:v 2 =11.2km/s，使物體掙脫地球引力束縛的最小發射速度；
③第三宇宙速度（逃逸速度）：v 3 =16.7km/s，使物體掙脫太陽引力束縛的最小發射速度。
（4）地球同步衛星 ：所謂地球同步衛星，是相對于地面靜止的，這種衛星位于赤道上方某一高度的穩定軌道上，且繞地球運動的周期等于地球的自轉周期，即T=24h=86400s，離地面高度一定，同步衛星的軌道一定在赤道平面內，并且只有一條。所有同步衛星都在這條軌道上，以大小相同的線速度，角速度和周期運行著。
（5）衛星的超重和失重：
“超重”是衛星進入軌道的加速上升過程和回收時的減速下降過程，此情景與“升降機”中物體超重相同。“失重”是衛星進入軌道后正常運轉時，衛星上的物體完全“失重”（因為重力提供向心力），此時，在衛星上的儀器，凡是制造原理與重力有關的均不能正常使用。
考點12 功 功率
1、功：
（1）功的定義：力和作用在力的方向上通過的位移的乘積。是描述力對空間積累效應的物理量，是過程量。
定義式：，其中F是力，s是力的作用點位移，θ是力與位移間的夾角。
（2）功的大小的計算方法：
①恒力的功可根據進行計算，本公式只適用于恒力做功；
②根據，計算一段時間內平均做功；
③利用動能定理計算力的功，特別是變力所做的功；
④根據功是能量轉化的量度反過來可求功。
（3）摩擦力、空氣阻力做功的計算：功的大小等于力和路程的乘積。
發生相對運動的兩物體的這一對相互摩擦力做的總功：W=fd（d是兩物體間的相對路程），且W=Q（摩擦生熱）。
2、功率：
（1）功率的概念：功率是表示力做功快慢的物理量，是標量。求功率時一定要分清是求哪個力的功率，還要分清是求平均功率還是瞬時功率。
（2）功率的計算：
①平均功率：P=W/t（定義式） 表示時間t內的平均功率，不管是恒力做功，還是變力做功，都適用；
②瞬時功率：： P和v分別表示t時刻的功率和速度，α為兩者間的夾角。
（3）額定功率與實際功率 ：
額定功率：發動機正常工作時的最大功率；
實際功率：發動機實際輸出的功率，它可以小于額定功率，但不能長時間超過額定功率。
（4）交通工具的啟動問題，通常說的機車的功率或發動機的功率實際是指其牽引力的功率。
①以恒定功率P啟動：機車的運動過程是先作加速度減小的加速運動，后以最大速度v m=P/f 作勻速直線運動； .
②以恒定牽引力F啟動：機車先作勻加速運動，當功率增大到額定功率時速度為v1=P/F，而后開始作加速度減小的加速運動，最后以最大速度vm=P/f作勻速直線運動。
考點13 動能定理 機械能守恒定律
1、動能：物體由于運動而具有的能量叫做動能。
表達式：Ek=mv2/2
（1）動能是描述物體運動狀態的物理量；
（2）動能和動量的區別和聯系：
①動能是標量，動量是矢量，動量改變，動能不一定改變；動能改變，動量一定改變；
②兩者的物理意義不同：動能和功相聯系，動能的變化用功來量度；動量和沖量相聯系，動量的變化用沖量來量度；
③兩者之間的大小關系為：Ek=P2/2m .
2、動能定理：外力對物體所做的總功等于物體動能的變化。
表達式：
（1）動能定理的表達式是在物體受恒力作用且做直線運動的情況下得出的。但它也適用于變力及物體作曲線運動的情況；
（2）功和動能都是標量，不能利用矢量法則分解，故動能定理無分量式；
（3）應用動能定理只考慮初、末狀態，沒有守恒條件的限制，也不受力的性質和物理過程的變化的影響。所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用時間的動力學問題，都可以用動能定理分析和解答，而且一般都比用牛頓運動定律和機械能守恒定律簡捷；
（4）當物體的運動是由幾個物理過程所組成，又不需要研究過程的中間狀態時，可以把這幾個物理過程看作一個整體進行研究，從而避開每個運動過程的具體細節，具有過程簡明、方法巧妙、運算量小等優點。
3、重力勢能：
（1）定義：地球上的物體具有跟它的高度有關的能量，叫做重力勢能
①重力勢能是地球和物體組成的系統共有的，而不是物體單獨具有的；
②重力勢能的大小和零勢能面的選取有關；
③重力勢能是標量，但有“+”、“-”之分。
（2）重力做功的特點：重力做功只決定于初、末位置間的高度差，與物體的運動路徑無關：
WG =mgh
（3）做功跟重力勢能改變的關系：重力做功等于重力勢能增量的負值，即。
4、彈性勢能：物體由于發生彈性形變而具有的能量。
5、機械能守恒定律：
（1）動能和勢能（重力勢能、彈性勢能）統稱為機械能，E=E k +E p；
（2）機械能守恒定律的內容：在只有重力（及系統內彈簧的彈力）做功的情形下，物體動能和重力勢能（及彈性勢能）發生相互轉化，但機械能的總量保持不變；
（3）機械能守恒定律的表達式： ；
（4）系統機械能守恒的三種表示方式：
①系統初態的總機械能E 1 等于末態的總機械能E 2 ，即E1 =E2 ；
②系統減少的總重力勢能ΔE P減 等于系統增加的總動能ΔE k增 ，即ΔE P減 =ΔE k增 ;
③若系統只有A、B兩物體，則A物體減少的機械能等于B物體增加的機械能，即
ΔE A減 =ΔE B增 .
［注意］
解題時究竟選取哪一種表達形式，應根據題意靈活選取；需注意的是：選用①式時，必須規定零勢能參考面，而選用②式和③式時，可以不規定零勢能參考面，但必須分清能量的減少量和增加量。
（5）判斷機械能是否守恒的方法：
①用做功來判斷：分析物體或物體受力情況（包括內力和外力），明確各力做功的情況，若對物體或系統只有重力或彈簧彈力做功，沒有其他力做功或其他力做功的代數和為零，則機械能守恒；
②用能量轉化來判定:若物體系中只有動能和勢能的相互轉化而無機械能與其他形式的能的轉化，則物體系統機械能守恒；
③對一些繩子突然繃緊，物體間非彈性碰撞等問題，除非題目特別說明，機械能必定不守恒，完全非彈性碰撞過程機械能也不守恒。
6、功能關系：
（1）當只有重力（或彈簧彈力）做功時，物體的機械能守恒；
（2）重力對物體做的功等于物體重力勢能的減少：W G =E p1 -E p2 ；
（3）合外力對物體所做的功等于物體動能的變化：:W 合 =E k2 -E k1 （動能定理）；
（4）除了重力（或彈簧彈力）之外的力對物體所做的功等于物體機械能的變化：
W F =E 2 -E 1
二、經典例題賞析
例1 以初速度v0豎直向上拋出一質量為m的小物體。假定物塊所受的空氣阻力f大小不變。已知重力加速度為g，則物體上升的最大高度和返回到原拋出點的速率分別為（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
解析：A 本題考查動能定理.上升的過程中,重力做負功,阻力做負功,由動能定理得,,求返回拋出點的速度由全程使用動能定理重力做功為零,只有阻力做功為有,解得,A正確。
例2 小球由地面豎直上拋，上升的最大高度為H，設所受阻力大小恒定，地面為零勢能面。在上升至離地高度h處，小球的動能是勢能的兩倍，在下落至離高度h處，小球的勢能是動能的兩倍，則h等于（ ）
A．H/9 B．2H/9 C．3H/9 D．4H/9
解析：D 小球上升至最高點過程：；小球上升至離地高度h處過程：，又；小球上升至最高點后又下降至離地高度h處過程：，又；以上各式聯立解得，答案D正確。
例3 如圖所示，兩質量相等的物塊A、B通過一輕質彈簧連接，B足夠長、放置在水平面上，所有接觸面均光滑。彈簧開始時處于原長，運動過程中始終處在彈性限度內。在物塊A上施加一個水平恒力，A、B從靜止開始運動到第一次速度相等的過程中，下列說法中正確的有 （ ）
A．當A、B加速度相等時，系統的機械能最大
B．當A、B加速度相等時，A、B的速度差最大
C．當A、B的速度相等時，A的速度達到最大
D．當A、B的速度相等時，彈簧的彈性勢能最大
解析：BCD 處理本題的關鍵是對物體進行受力分析和運動過程分析，使用圖象處理則可以使問題大大簡化。對A、B在水平方向受力分析如圖，F1為彈簧的拉力；當加速度大小相同為a時，對Ａ有，對Ｂ有，得，在整個過程中Ａ的合力（加速度）一直減小而Ｂ的合力（加速度）一直增大，在達到共同加速度之前A的合力（加速度）一直大于Ｂ的合力（加速度），之后A的合力（加速度）一直小于Ｂ的合力（加速度）。兩物體運動的v-t圖象如圖，tl時刻，兩物體加速度相等，斜率相同，速度差最大，t2時刻兩物體的速度相等，Ａ速度達到最大值，兩實線之間圍成的面積有最大值即兩物體的相對位移最大，彈簧被拉到最長；除重力和彈簧彈力外其它力對系統正功，系統機械能增加，tl時刻之后拉力依然做正功，即加速度相等時，系統機械能并非最大值。
例4 2008年9月25日至28日我國成功實施了“神舟”七號載入航天飛行并實現了航天員首次出艙。飛船先沿橢圓軌道飛行，后在遠地點343千米處點火加速，由橢圓軌道變成高度為343千米的圓軌道，在此圓軌道上飛船運行周期約為90分鐘。下列判斷正確的是（ ）
A．飛船變軌前后的機械能相等
B．飛船在圓軌道上時航天員出艙前后都處于失重狀態
C．飛船在此圓軌道上運動的角度速度大于同步衛星運動的角速度
D．飛船變軌前通過橢圓軌道遠地點時的加速度大于變軌后沿圓軌道運動的加速度
解析：BC 飛船點火變軌，前后的機械能不守恒，所以A不正確。飛船在圓軌道上時萬有引力來提供向心力，航天員出艙前后都處于失重狀態，B正確。飛船在此圓軌道上運動的周期90分鐘小于同步衛星運動的周期24小時，根據可知，飛船在此圓軌道上運動的角度速度大于同步衛星運動的角速度，C正確。飛船變軌前通過橢圓軌道遠地點時只有萬有引力來提供加速度，變軌后沿圓軌道運動也是只有萬有引力來提供加速度，所以相等，D不正確。提示：若物體除了重力、彈性力做功以外，還有其他力(非重力、彈性力)不做功，且其他力做功之和不為零，則機械能不守恒。
根據萬有引力等于衛星做圓周運動的向心力可求衛星的速度、周期、動能、動量等狀態量。由得，由得，由得，可求向心加速度。
例5 圖示為某探究活動小組設計的節能運動系統。斜面軌道傾角為30°，質量為M的木箱與軌道的動摩擦因數為。木箱在軌道端時，自動裝貨裝置將質量為m的貨物裝入木箱，然后木箱載著貨物沿軌道無初速滑下，與輕彈簧被壓縮至最短時，自動卸貨裝置立刻將貨物卸下，然后木箱恰好被彈回到軌道頂端，再重復上述過程。下列選項正確的是（ ）
A．m＝M
B．m＝2M
C．木箱不與彈簧接觸時，上滑的加速度大于下滑的加速度
D．在木箱與貨物從頂端滑到最低點的過程中，減少的重力勢能全部轉化為彈簧的彈性勢能
解析：BC 受力分析可知，下滑時加速度為，上滑時加速度為，所以C正確。設下滑的距離為l，根據能量守恒有，得m＝2M。也可以根據除了重力、彈性力做功以外，還有其他力(非重力、彈性力)做的功之和等于系統機械能的變化量，B正確。在木箱與貨物從頂端滑到最低點的過程中，減少的重力勢能轉化為彈簧的彈性勢能和內能，所以D不正確。
例6 如圖所示,一根不可伸長的輕繩兩端各系一個小球a和b,跨在兩根固定在同一高度的光滑水平細桿上,質量為3m的a球置于地面上,質量為m的b球從水平位置靜止釋放,當a球對地面壓力剛好為零時,b球擺過的角度為θ.下列結論正確的是 ( )
A.θ=90°
B.θ=45°
C.b球擺動到最低點的過程中,重力對小球做功的功率先增大后減小
D.b球擺動到最低點的過程中,重力對小球做功的功率一直增大
解析：AC b球下擺過程中,豎直方向速度先增大后減小,重力功率P=mgv⊥先增大后減小.a對地面的壓力剛好為零,說明繩的拉力T=3mg,對b球設繞行半徑為r,在最低點時,mgr=mvT′-mg=得T′=T=3mg所以b在最低點時,a球恰好對地面壓力為零.
例7 運動員跳傘將經歷加速下降和減速下降兩個過程,將人和傘看成一個系統,在這兩個過程中,下列說法正確的是 ( )
A.阻力對系統始終做負功 B.系統受到的合外力始終向下
C.重力做功使系統的重力勢能增加 D.任意相等的時間內重力做的功相等
解析：A 運動員無論是加速下降還是減速下降,阻力始終阻礙系統的運動,所以阻力對系統始終做負功,故選項A正確;運動員加速下降時系統受到的合外力向下,減速下降時系統所受的合外力向上,故選項B錯誤;由W?G=-ΔEp知,運動員下落過程中重力始終做正功,系統重力勢能減少,故選項C錯誤;運動員在加速下降和減速下降的過程中,任意相等時間內所通過的位移不一定相等,所以任意相等時間內重力做功不一定相等,故選項D錯誤.
例8 某人造衛星運動的軌道可近似看作是以地心為中心的圓,由于阻力作用,人造衛星到地心的距離從r1慢慢變到r2,用Ek1、Ek2分別表示衛星在這兩個軌道上的動能,則（ ）
A.r1 < r2,Ek1 < Ek2 B.r1 > r2,Ek1 < Ek2
C.r1 < r2,Ek1 > Ek2 D.r1 > r2,Ek1 > Ek2
解析：B 做勻速圓周運動的物體,滿足,由于阻力作用,假定其半徑不變,其動能減小,則,由上式可知,人造衛星必做向心運動,其軌跡半徑必減小,由于人造衛星到地心距離慢慢變 化,其運動仍可看作勻速運動,
由可知,其運動的動能必慢慢增大.
例9 據媒體報道,“嫦娥一號”衛星環月工作軌道為圓軌道,軌道高度200 km,運行周期127分鐘.若還知道引力常量和月球平均半徑,僅利用以上條件不能求出的是（ ）
A.月球表面的重力加速度 B.月球對衛星的吸引力
C.衛星繞月運行的速度 D.衛星繞月運行的加速度
解析：B 設月球質量為M,平均半徑為R,月球表面的重力加速度為g,衛星的質量為m,周期為T,離月球表面的高度為h,月球對衛星的吸引力完全提供向心力,由萬有引力定律知
①
②
由①②可得,故選項A不正確;因衛星的質量未知,故不能求出月球對衛星的吸引力,故選項B正確;衛星繞月運行的速度,故選項C錯誤;衛星繞月運行的加速度,故選項D錯誤.
例10 如圖是“嫦娥一號”奔月示意圖,衛星發射后通過自帶的小型火箭多次變軌,進入地月轉移軌道,最終被月球引力捕獲,成為繞月衛星,并開展對月球的探測.下列說法正確的是 ( )
A.發射“嫦娥一號”的速度必須達到第三宇宙速度
B.在繞月圓軌道上,衛星周期與衛星質量有關
C.衛星受月球的引力與它到月球中心距離的平方成反比
D.在繞月圓軌道上,衛星受地球的引力大于受月球的引力
解析：C “嫦娥一號”要想脫離地球的束縛而成為月球的衛星,其發射速度必須達到第二宇宙速度,若發射速度達到第三宇宙速度,“嫦娥一號”將脫離太陽系的束縛,故選項A錯誤;在繞月球運動時,月球對衛星的萬有引力完全提供向心力,則即衛星周期與衛星的質量無關,故選項B錯誤;衛星所受月球的引力,故選項C正確;在繞月圓軌道上,衛星受地球的引力小于受月球的引力,故選項D錯誤.
例11 物體沿直線運動的v-t關系如圖所示,已知在第1秒內合外力對物體做的功為W,則 （ ）
A.從第1秒末到第3秒末合外力做功為4 W
B.從第3秒末到第5秒末合外力做功為-2 W
C.從第5秒末到第7秒末合外力做功為W
D.從第3秒末到第4秒末合外力做功為-0.75 W
解析： CD 由v—t圖象可以看出,若第1 s末速度為v1=v0則第3 s末速度為v3=v0,第4 s末速度為v4=第5 s末速度為v5=0第7 s末速度為v7=-v0,因為第1 s內合外力做功為W,則由動能定理可知:W=mv02第1 s末到第3 s末合外力做功W1=mv32-mv02=0;第3 s末到第5 s末合外力做功W2=mv52-mv32=-mv02=-W;第5 s末到第7 s末合外力做功W3=mv72-mv52=mv02=W;第3 s末到第4 s末合外力做功為W4=mv42-mv32=m()2-mv02=-×mv02=-0.75W.上所述,C、D選項正確.
例12 假定地球、月球都靜止不動,用火箭從地球沿地月連線向月球發射一探測器.假定探測器在地球表面附近脫離火箭.用W表示探測器從脫離火箭處飛到月球的過程中克服地球引力做的功,用Ek表示探測器脫離火箭時的動能,若不計空氣阻力,則 ( )
A.Ek必須大于或等于W,探測器才能到達月球 B.Ek小于W,探測器也可能到達月球
C.Ek=W,探測器一定能到達月球 D.Ek=W,探測器一定不能到達月球
解析：BD 假設沒有月球的吸引力,當探測器的初動能為W時,探測器剛好到達月球,當探測器的動能Ek例13 如圖所示,物體A置于物體B上,一輕質彈簧一端固定,另一端與B相連,在彈性限度范圍內,A和B一起在光滑水平面上做往復運動（不計空氣阻力）,并保持相對靜止,則下列說法正確的是（ ）
A.A和B均做簡諧運動
B.作用在A上的靜摩擦力大小與彈簧的形變量成正比
C.B對A的靜摩擦力對A做功,而A對B的靜摩擦力對B不做功
D.B對A的靜摩擦力始終對A做正功,而A對B的靜摩擦力始終對B做負功
解析： AB A、B保持相對靜止,其水平方向的運動等效于水平方向彈簧振子的運動,故A對;A物體做簡諧運動的回復力是B對A的靜摩擦力提供的,設B對A的靜摩擦力為F時,彈簧伸長量為x,對A物體有：F=mAa,對A、B整體有：kx=(mA+mB)a,聯立得：F=,由此可知B項正確；B對A的靜摩擦力可以對A做正功,也可以對A做負功,故C、D錯.
例14 如圖所示, 固定的光滑豎直桿上套著一個滑塊,用輕繩系著滑塊繞過光滑的定滑輪,以大小恒定的拉力F拉繩,使滑塊從A點起由靜止開始上升.若從A點上升至B點和從B點上升至C點的過程中拉力F做的功分別為W1、W2,滑塊經B、C兩點時的動能分別為EkB、EkC,圖中AB=BC,則一定（ ）
A.W1>W2 B.W1< W 2
C.EkB>EkC D.EkB解析：A 由圖可分析出,從A到B過程中繩端移動的距離Δs1大于從B移到C過程中,繩端移動的距離Δs2.
據W1=FΔs1,W2=FΔs2,可知W1>W2.
因F大小未知,則物體由A到C的過程是加速、減速情況難以確定.故A項正確.
例15 圖示為某一皮帶傳動裝置.主動輪的半徑為r1,從轉動的半徑為r2.已知主動輪做順時針轉動,轉速為n,轉動過程中皮帶不打滑,下列說法正確的是 ( )
A.從動輪做順時針轉動 B.從動輪做逆時針轉動
C.從動輪的轉速為 D.從動輪的轉速為
解析：BC 因為皮帶不打滑,兩輪緣上各點的線速度等大,各點做圓周運動的速度方向為切線方向,則皮帶上的M、
N點均沿MN方向運動,從動輪沿逆時針方向轉動,B對A錯.
根據線速度與角速度的關系式：v=rω,ω=2πn
所以n∶n2=r2∶r1,n2=,C對D錯.
例16 如圖所示,輕桿的一端有一個小球,另一端有光滑的固定軸O,現給球一初速度,使球和桿一起繞O軸在豎直面內轉動,不計空氣阻力,用F表示球到達最高點時桿對小球的作用力,則F ( )
A.一定是拉力 B.一定是推力
C.一定等于零 D.可能是拉力,可能是推力,也可能等于零
解析：D 最高點球受重力mg與桿的作用力F,由牛頓第二定律知mg+F=ma向=m（v為球在最高點的速度,R為球做圓周運動的半徑）當v=時,F=0；當v>時,F>0,即拉力；當v<時,F<0,即推力.故D對.
例17 如圖所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向運動的小車A,小車下裝有吊著物體B的吊鉤,在小車A與物體B以相同的水平速度沿吊臂方向勻速運動的同時,吊鉤將物體B向上吊起,A、B之間的距離以d =H - 2t2（SI）（SI表示國際單位制,式中H為吊臂離地面的高度）規律變化,則物體做 ( )
A.速度大小不變的曲線運動 B.速度大小增加的曲線運動
C.加速度大小方向均不變的曲線運動 D.加速度大小方向均變化的曲線運動
解析：BC B物體參與了兩個運動,一個是水平方向的勻速運動,另一個是在豎直方向上的運動,由d =H-2t2可知,A、B之間距離勻加速減小,且加速度a=4 m/s2,因此B在豎直方向上做勻加速運動,兩個運動的合成為勻加速曲線運動.
例18 如圖所示,一物體自傾角為θ的固定斜面頂端沿水平方向拋出后落在斜面上.物體與斜面接觸時速度與水平方向的夾角滿足 ( )
A.tan=sinθ
B.tan=cosθ
C.tan=tanθ
D.tan=2tanθ
解析：D 物體做平拋運動,水平方向上的分運動是勻速直線運動,水平分速度為vx=v0,水平分位移x =v0t,豎直方向上做自由落體運動,豎直分速度vy=gt,豎直分位移為,根據平行四邊形定則和幾何知識得：tan
tan 所以：tan=2tan.
例19 牛頓以天體之間普遍存在著引力為依據，運用嚴密的邏輯推理，建立了萬有引力定律。在創建萬有引力定律的過程中，牛頓（ ）
A．接受了胡克等科學家關于“吸引力與兩中心距離的平方成反比”的猜想
B．根據地球上一切物體都以相同加速度下落的事實，得出物體受地球的引力與其質量成正比，即Fm的結論
C．根據Fm和牛頓第三定律，分析了地月間的引力關系，進而得出Fm1m2
D．根據大量實驗數據得出了比例系數G的大小
解析：AB 題干要求“在創建萬有引力定律的過程中”，牛頓知識接受了平方反比猜想，和物體受地球的引力與其質量成正比，即Fm的結論，而提出萬有引力定律后，后來利用卡文迪許扭稱測量出萬有引力常量G的大小，只與C項也是在建立萬有引力定律后才進行的探索，因此符合題意的只有AB。
例20 英國《新科學家（New Scientist）》雜志評選出了2008年度世界8項科學之最，在XTEJ1650-500雙星系統中發現的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半徑約45km，質量和半徑的關系滿足（其中為光速，為引力常量），則該黑洞表面重力加速度的數量級為（ ）
A． B．
C． D．
解析：C 處理本題要從所給的材料中，提煉出有用信息，構建好物理模型，選擇合適的物理方法求解。黑洞實際為一天體，天體表面的物體受到的重力近似等于物體與該天體之間的萬有引力，對黑洞表面的某一質量為m物體有：，又有，聯立解得，帶入數據得重力加速度的數量級為，C項正確。
例21 據報道，2009年4月29日，美國亞利桑那州一天文觀測機構發現一顆與太陽系其它行星逆向運行的小行星，代號為2009HC82。該小行星繞太陽一周的時間為3.39年，直徑2～3千米，其軌道平面與地球軌道平面呈155°的傾斜。假定該小行星與地球均以太陽為中心做勻速圓周運動，則小行星和地球繞太陽運動的速度大小的比值為（ ）
A. B. C. D.
解析：A 小行星和地球繞太陽作圓周運動，都是由萬有引力提供向心力，有＝，可知小行星和地球繞太陽運行軌道半徑之比為R1:R2＝，又根據V＝，聯立解得V1:V2＝，已知＝，則V1:V2＝。
例22 如圖所示，某貨場而將質量為m1=100 kg的貨物（可視為質點）從高處運送至地面，為避免貨物與地面發生撞擊，現利用固定于地面的光滑四分之一圓軌道，使貨物中軌道頂端無初速滑下，軌道半徑R=1.8 m。地面上緊靠軌道次排放兩聲完全相同的木板A、B，長度均為l=2m，質量均為m2=100 kg，木板上表面與軌道末端相切。貨物與木板間的動摩擦因數為1，木板與地面間的動摩擦因數=0.2。（最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，取g=10 m/s2）
（1）求貨物到達圓軌道末端時對軌道的壓力。
（2）若貨物滑上木板4時，木板不動，而滑上木板B時，木板B開始滑動，求1應滿足的條件。
（3）若1=0。5，求貨物滑到木板A末端時的速度和在木板A上運動的時間。
解析：（1）設貨物滑到圓軌道末端是的速度為，對貨物的下滑過程中根據機械能守恒定律得，①設貨物在軌道末端所受支持力的大小為,根據牛頓第二定律得，②
聯立以上兩式代入數據得③
根據牛頓第三定律，貨物到達圓軌道末端時對軌道的壓力大小為3000N，方向豎直向下。
（2）若滑上木板A時，木板不動，由受力分析得④
若滑上木板B時，木板B開始滑動，由受力分析得⑤
聯立④⑤式代入數據得⑥。
（3），由⑥式可知，貨物在木板A上滑動時，木板不動。設貨物在木板A上做減速運動時的加速度大小為，由牛頓第二定律得⑦
設貨物滑到木板A末端是的速度為，由運動學公式得⑧
聯立①⑦⑧式代入數據得⑨
設在木板A上運動的時間為t，由運動學公式得⑩
聯立①⑦⑨⑩式代入數據得。
⑦
例23 如圖中有一個豎直固定在地面的透氣圓筒,筒中有一個勁度為k的輕彈簧,其下端固定,上端連接一質量為m的薄滑塊,圓筒內壁涂有一層新型智能材料——ER流體,它對滑塊的阻力可調.起初,滑塊靜止,ER流體對其阻力為0,彈簧的長度為L.現有一質量也為m的物體從距地面2L處自由落下,與滑塊碰撞后粘在一起向下運動.為保證滑塊做勻減速運動,且下移距離為時速度減為0,ER流體對滑塊的阻力須隨滑塊下移而變.試求（忽略空氣阻力）：
（1）下落物體與滑塊碰撞過程中系統損失的機械能;
（2）滑塊向下運動過程中加速度的大小;
（3）滑塊下移距離d時ER流體對滑塊阻力的大小。
解析： (1)設物體下落末速度為v0,由機械能守恒定律mgL=mv02,得v0=,
設碰后共同速度為v1,由動量守恒定律2mv1=mv0,得v1=.碰撞過程中系統損失的機械能為ΔE=mv02-×2mv12=mgL.
(2)設加速度大小為a,有2as=v12,得a=.
(3)設彈簧彈力為FN,ER流體對滑塊的阻力為FER,受力分析如圖所示：
FN+FER-2mg=2ma,FN=kx,x=d+mg/k,得FER=mg+-kd.
例24 如圖所示,一水平圓盤繞過圓心的豎直軸轉動,圓盤邊緣有一質量m=1.0 kg的小滑塊.當圓盤轉動的角速度達到某一數值時,滑塊從圓盤邊緣滑落,經光滑的過渡圓管進入軌道ABC.已知AB段斜面傾角為53°,BC段斜面傾角為37°,滑塊與圓盤及斜面間的動摩擦因數均為μ=0.5,A點離B點所在水平面的高度h=1.2 m.滑塊在運動過程中始終未脫離軌道,不計在過渡圓管處和B點的機械能損失,最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力,取g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.
(1)若圓盤半徑R=0.2 m,當圓盤的角速度多大時,滑塊從圓盤上滑落？
(2)若取圓盤所在平面為零勢能面,求滑塊到達B點時的機械能.
(3)從滑塊到達B點時起,經0.6 s正好通過C點,求BC之間的距離.
解析： (1)滑塊在圓盤上做圓周運動時,靜摩擦力充當向心力,根據牛頓第二定律,可得:
μmg=mω2R
代入數據解得：ω==5 rad/s
(2)滑塊在A點時的速度：vA=ωR=1 m/s
從A到B的運動過程由動能定理得
mgh-μmgcos 53° ·=mvB2-mvA2
在B點時的機械能：EB=mvB2-mgh=-4 J
(3)滑塊在B點時的速度：vB=4 m/s
滑塊沿BC段向上運動時的加速度大小：
a1=g(sin 37°+μcos 37°)=10 m/s2
返回時的加速度大小
a2=g(sin 37°-μcos 37°)=2 m/s2
BC間的距離：sBC==0.76 m
例25 如圖所示,一輕繩吊著粗細均勻的棒,棒下端離地面高H,上端套著一個細環.棒和環的質量均為m,相互間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力kmg(k>1).斷開輕繩,棒和環自由下落.假設棒足夠長,與地面發生碰撞時,觸地時間極短,無動能損失.棒在整個運動過程中始終保持豎直,空氣阻力不計.求：
(1)棒第一次與地面碰撞彈起上升過程中,環的加速度.
(2)從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間,棒運動的路程s.
(3)從斷開輕繩到棒和環都靜止,摩擦力對環及棒做的總功W.
解析： (1)設棒第一次上升過程中,環的加速度為a環
環受合力F環=kmg-mg ①
由牛頓第二定律F環=ma環 ②
由①②得a環=(k-1)g,方向豎直向上
(2)設以地面為零勢能面,向上為正方向,棒第一次落地的速度大小為v1.
由機械能守恒得：×2mv12=2mgH
解得v1=
設棒彈起后的加速度a棒
由牛頓第二定律a棒=-(k+1)g
棒第一次彈起的最大高度H1=-
解得H1=
棒運動的路程s=H+2H=
(3)解法一：棒第一次彈起經過t1時間,與環達到相同速度v1′
環的速度v1′=-v1+a環t1
棒的速度v1′=v1+a棒t1
環的位移h環1=-v1t1+a環t12
棒的位移h棒1=v1t1+a棒t12
x1=h環1-h棒1
解得：x1=-
棒環一起下落至地
v22-v1′2=2gh棒1
解得：v2=
同理,環第二次相對棒的位移
x2=h環2-h棒2=-
……
xn=-
環相對棒的總位移
x=x1+x2+……+xn+……
W=kmgx
得W=-
解法二：設環相對棒滑動距離為l
根據能量守恒mgH+mg(H+l)=kmgl
摩擦力對棒及環做的總功
W=-kmgl
解得W=-
例26 如圖所示,位于豎直平面內的光滑軌道,由一段斜的直軌道和與之相切的圓形軌道連接而成,圓形軌道的半徑為R.一質量為m的小物塊從斜軌道上某處由靜止開始下滑,然后沿圓形軌道運動.要求物塊能通過圓形軌道最高點,且在該最高點與軌道間的壓力不能超過5mg(g為重力加速度).求物塊初始位置相對于圓形軌道底部的高度h的取值范圍.
解析：設物塊在圓形軌道最高點的速度為v,由機械能守恒定律得
mgh=2mgR+mv2 ①
物塊在最高點受的力為重力mg、軌道的壓力N.重力與壓力的合力提供向心力,有
mg+N=m ②
物塊能通過最高點的條件是
N≥0 ③
由②③式得
v≥ ④
由①④式得
h≥R ⑤
按題目要求,N≤5 mg,由②式得
v≤ ⑥
由①⑥式得
h≤5R ⑦
h的取值范圍是
R≤h≤5R ⑧
例27 如圖所示,水平光滑地面上停放著一輛小車,左側靠在豎直墻壁上,小車的四分之一圓弧軌道AB是光滑的,在最低點B與水平軌道BC相切,BC的長度是圓弧半徑的10倍,整個軌道處于同一豎直平面內.可視為質點的物塊從A點正上方某處無初速下落,恰好落入小車圓弧軌道滑動.然后沿水平軌道滑行至軌道末端C處恰好沒有滑出.已知物塊到達圓弧軌道最低點B時對軌道的壓力是物塊重力的9倍,小車的質量是物塊的3倍,不考慮空氣阻力和物塊落入圓弧軌道時的能量損失.求:
(1)物塊開始下落的位置距水平軌道BC的豎直高度是圓弧半徑的幾倍.
(2)物塊與水平軌道BC間的動摩擦因數μ.
解析：(1)設物塊的質量為m,其開始下落處的位置距BC的豎直高度為h,到達B點時的速度為v,小車圓弧軌道半徑為R.由機械能守恒定律,有
mgh=mv2 ①
根據牛頓第二定律,有
9mg-mg=m ②
解得h=4R ③
即物塊開始下落的位置距水平軌道BC的豎直高度是圓弧半徑的4倍.
(2)設物塊與BC間的滑動摩擦力的大小為F,物塊滑到C點時與小車的共同速度為v′,物塊在小車上由B運動到C的過程中小車對地面的位移大小為s.依題意,小車的質量為3m,BC長度為10 R.由滑動摩擦定律,有
F=μmg ④
由動量守恒定律,有mv=(m+3m)v′ ⑤
對物塊、小車分別應用動能定理,有
-F(10R+s)=mv′2-mv2 ⑥
Fs=(3m)v′2-0 ⑦
解得μ=0.3 ⑧
例28 一個質量為4 kg的物體靜止在足夠大的水平地面上,物體與地面間的動摩擦因數μ=0.1.從t=0開始,物體受到一個大小和方向呈周期性變化的水平力F作用,力F隨時間的變化規律如圖所示.求83秒內物體的位移大小和力F對物體所做的功(g取10 m/s2).
解析： 第1個2s內,其加速度:
a1== m/s2=2 m/s2
第1個2 s末的速度:
v1=a1t=2×2 m/s=4 m/s
第1個2 s內的位移:
s1=
第2個2 s內做減速運動,其加速度大小:
a2=
第2個2 s末的速度:v2=v1-a2t=0
第2個2 s內的位移:s2=
故物體先勻加速2 s達最大速度4 m/s,后又勻減速運動2 s速度變為零,以后將重復這個運動.
前84 s內物體的位移s=21(s1+s2)=168 m
最后1 s內物體的位移s′=
故83秒內物體的位移為168 m-1 m=167 m
第83秒末的速度與第3秒末的速度相等,故v=v1
所以力F對物體所做的功W=mv2+fs83=8 J+668 J=676 J
例28 某滑板愛好者在離地h=1.8 m高的平臺上滑行，水平離開A點后落在水平地面的B點，其水平位移s1=3 m.著地時由于存在能量損失，著地后速度變為v=4 m/s，并以此為初速沿水平地面滑s2=8 m后停止.已知人與滑板的總質量m=60 kg.求：
（1）人與滑板在水平地面滑行時受到的平均阻力大小；
（2）人與滑板離開平臺時的水平初速度.（空氣阻力忽略不計，g取10 m/s2）
解析：（1）設滑板在水平地面滑行時受到的平均阻力為f，
根據動能定理有-fs2=0-mv2 ①
由①式解得f==N=60N ②
（2）人和滑板一起在空中做平拋運動，設初速為v0，飛行時間為t，根據平拋運動規律有
h=gt2 ③
v0= ④
由③④兩式解得
v0== m/s=5 m/s
例30 如圖，質量為m1的物體A經一輕質彈簧與下方地面上的質量為m2的物體B相連，彈簧的勁度系數為k，A、B都處于靜止狀態.一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤.開始時各段繩都處于伸直狀態，A上方的一段繩沿豎直方向.現在掛鉤上掛一質量為m3的物體C并從靜止狀態釋放，已知它恰好能使B離開地面但不繼續上升.若將C換成另一個質量為（m1+m3）的物體D，仍從上述初始位置由靜止狀態釋放，則這次B剛離地時D的速度的大小是多少？已知重力加速度為g.
解析：解法一 開始時，A、B靜止，設彈簧壓縮量為x1，有
kx1=m1g ①
掛C并釋放后，C向下運動，A向上運動，設B剛要離地時彈簧伸長量為x2，有
kx2=m2g ②
B不再上升表示此時A和C的速度為零，C已降到其最低點.由機械能守恒，與初始狀態相比，彈簧彈性勢能的增加量為ΔE=m3g(x1+x2)-m1g(x1+x2) ③
C換成D后，當B剛離地時彈簧彈性勢能的增量與前一次相同，設此時A、D速度為v，由能量關系得
（m3+m1）v2+m1v2=(m3+m1)g(x1+x2)-m1g(x1+x2)-ΔE ④
由①~④式得
v=g
解法二 能量補償法
據題設，彈簧的總形變量即物體A上升的距離為
h= ①
第二次釋放D與第一次釋放C相比較，根據能量守恒，可得
m1gh=(2m1+m3)v2 ②
由①②得
v=g
例31 過山車是游樂場中常見的設施。下圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內的三個圓形軌道組成，B、C、D分別是三個圓形軌道的最低點，B、C間距與C、D間距相等，半徑、。一個質量為kg的小球（視為質點），從軌道的左側A點以的初速度沿軌道向右運動，A、B間距m。小球與水平軌道間的動摩擦因數，圓形軌道是光滑的。假設水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊。重力加速度取，計算結果保留小數點后一位數字。試求
（1）小球在經過第一個圓形軌道的最高點時，軌道對小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距應是多少；
（3）在滿足（2）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個圓形軌道的設計中，半徑應滿足的條件；小球最終停留點與起點的距離。
解析：（1）設小于經過第一個圓軌道的最高點時的速度為v1根據動能定理
①
小球在最高點受到重力mg和軌道對它的作用力F，根據牛頓第二定律
②
由①②得 ③
（2）設小球在第二個圓軌道的最高點的速度為v2，由題意
④
⑤
由④⑤得 ⑥
（3）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進行討論：
I．軌道半徑較小時，小球恰能通過第三個圓軌道，設在最高點的速度為v3，應滿足
⑦
⑧
由⑥⑦⑧得
II．軌道半徑較大時，小球上升的最大高度為R3，根據動能定理
解得
為了保證圓軌道不重疊，R3最大值應滿足
解得 R3=27.9m
綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個圓軌道的半徑須滿足下面的條件
或
當時，小球最終焦停留點與起始點A的距離為L′，則
當時，小球最終焦停留點與起始點A的距離為L〞，則
例32 如圖，P、Q為某地區水平地面上的兩點，在P點正下方一球形區域內儲藏有石油，假定區域周圍巖石均勻分布，密度為；石油密度遠小于，可將上述球形區域視為空腔。如果沒有這一空腔，則該地區重力加速度（正常值）沿豎直方向；當存在空腔時，該地區重力加速度的大小和方向會與正常情況有微小偏高。重力加速度在原堅直方向（即PO方向）上的投影相對于正常值的偏離叫做“重力加速度反常”。為了探尋石油區域的位置和石油儲量，常利用P點附近重力加速度反常現象。已知引力常數為G。
（1）設球形空腔體積為V，球心深度為d（遠小于地球半徑），=x，求空腔所引起的Q點處的重力加速度反常
（2）若在水平地面上半徑L的范圍內發現：重力加速度反常值在與（k>1）之間變化，且重力加速度反常的最大值出現在半為L的范圍的中心,如果這種反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，試求此球形空腔球心的深度和空腔的體積。
解析：本題考查萬有引力部分的知識.
（1）如果將近地表的球形空腔填滿密度為的巖石,則該地區重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通過填充后的球形區域產生的附加引力………①來計算,式中的m是Q點處某質點的質量,M是填充后球形區域的質量,……………②
而r是球形空腔中心O至Q點的距離………③
在數值上等于由于存在球形空腔所引起的Q點處重力加速度改變的大小.Q點處重力加速度改變的方向沿OQ方向,重力加速度反常是這一改變在豎直方向上的投影………④
聯立以上式子得
,…………⑤
（2）由⑤式得,重力加速度反常的最大值和最小值分別為……⑥
……………⑦
由提設有、……⑧
聯立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空腔的體積分別為
,
例33 已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉的影響。
（1）推導第一宇宙速度v1的表達式；
（2）若衛星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距離地面高度為h，求衛星的運行周期T。
解析：（1）設衛星的質量為m,地球的質量為M,
在地球表面附近滿足
得 ①
衛星做圓周運動的向心力等于它受到的萬有引力
②
①式代入②式，得到
（2）考慮式，衛星受到的萬有引力為
③
由牛頓第二定律 ④
③、④聯立解得
例34 2008年12月，天文學家們通過觀測的數據確認了銀河系中央的黑洞“人馬座A*”的質量與太陽質量的倍數關系。研究發現，有一星體S2繞人馬座A*做橢圓運動，其軌道半長軸為9.50102天文單位（地球公轉軌道的半徑為一個天文單位），人馬座A*就處在該橢圓的一個焦點上。觀測得到S2星的運行周期為15.2年。
（1）若將S2星的運行軌道視為半徑r=9.50102天文單位的圓軌道，試估算人馬座A*的質量MA是太陽質量Ms的多少倍(結果保留一位有效數字)；
（2）黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運動，其具有的動能也不足以克服黑洞對它的引力束縛。由于引力的作用，黑洞表面處質量為m的粒子具有勢能為Ep=-G(設粒子在離黑洞無限遠處的勢能為零)，式中M、R分別表示黑洞的質量和半徑。已知引力常量G=6.710-11N·m2/kg2，光速c=3.0108m/s，太陽質量Ms=2.01030kg，太陽半徑Rs=7.0108m，不考慮相對論效應，利用上問結果，在經典力學范圍內求人馬座A*的半徑RA與太陽半徑之比應小于多少（結果按四舍五入保留整數）。
解析：本題考查天體運動的知識。其中第2小題為信息題，如“黑洞”“引力勢能”等陌生的知識都在題目中給出，考查學生提取信息，處理信息的能力，體現了能力立意。
（1）S2星繞人馬座A*做圓周運動的向心力由人馬座A*對S2星的萬有引力提供，設S2星的質量為mS2，角速度為ω，周期為T，則
①
②
設地球質量為mE，公轉軌道半徑為rE，周期為TE，則
③
綜合上述三式得
式中 TE=1年 ④
rE=1天文單位 ⑤
代入數據可得
⑥
（2）引力對粒子作用不到的地方即為無限遠，此時料子的勢能為零。“處于黑洞表面的粒子即使以光速運動，其具有的動能也不足以克服黑洞對它的引力束縛”，說明了黑洞表面處以光速運動的粒子在遠離黑洞的過程中克服引力做功，粒子在到達無限遠之前，其動能便減小為零，此時勢能仍為負值，則其能量總和小于零，則有
⑦
依題意可知
，
可得
⑧
代入數據得
⑨
⑩
例35 神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體,探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律.天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時,發現了LMCX-3雙星系統,它由可見星A和不可見的暗星B構成. 兩星視為質點,不考慮其他天體的影響,A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動,它們之間的距離保持不變,如圖所示.引力常量為G,由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T.
(1)可見星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點處質量為m′的星體（視為質點）對它的引力,設A和B的質量分別為m1、m2,試求m′(用m1、m2表示);
（2）求暗星B的質量m2與可見星A的速率v、運行周期T和質量m1之間的關系式；
（3）恒星演化到末期,如果其質量大于太陽質量ms的2倍,它將有可能成為黑洞.若可見星A的速率v=2.7×105 m/s,運行周期T=4.7π×104 s,質量m1=6 ms,試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？(G=6.67×10-11 N·m2/kg2,ms=2.0×1030 kg)
解析： （1）設A、B的圓軌道半徑分別為r1、r2,由題意知,A、B做勻速圓周運動的角速度相同,設其為ω.由牛頓運動定律,有
FA=m1ω2r1
FB=m2ω2r2
FA=FB
設A、B之間的距離為r,又r =r1+r2,由上述各式得
r = ①
由萬有引力定律,有
FA=
將①代入得FA=G
令FA=
比較可得m′= ②
（2）由牛頓第二定律,有 ③
又可見星A的軌道半徑r1= ④
由②③④式解得 ⑤
（3）將m1=6 ms代入⑤式,得
代入數據得
⑥
設m2=nms(n > 0),將其代入⑥式,得
⑦
可見,的值隨n的增大而增大,試令n=2,
得 ⑧
若使⑦式成立,則n必大于2,即暗星B的質量m2必大于2ms,由此得出結論：暗星B有可能是黑洞.人教版（2019）物理必修第二冊知識點梳理及常考題型
一、教材考點知識梳理
考點11 曲線運動 萬有引力
1、曲線運動：
（1）物體作曲線運動的條件：運動質點所受的合外力（或加速度）的方向跟它的速度方向不在同一直線；
（2）曲線運動的特點：質點在某一點的速度方向，就是通過該點的曲線的切線方向。質點的速度方向時刻在改變，所以曲線運動一定是變速運動；
（3）曲線運動的軌跡：做曲線運動的物體，其軌跡向合外力所指一方彎曲，若已知物體的運動軌跡，可判斷出物體所受合外力的大致方向，如平拋運動的軌跡向下彎曲，圓周運動的軌跡總向圓心彎曲等。
2、運動的合成與分解：
（1）合運動與分運動的關系：①等時性；②獨立性；③等效性。
（2）運動的合成與分解的法則：平行四邊形定則。
（3）分解原則：根據運動的實際效果分解，物體的實際運動為合運動。
3、平拋運動：
（1）特點：具有水平方向的初速度，只受重力作用，是加速度為重力加速度g的勻變速曲線運動。
（2）運動規律：平拋運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動：
①建立直角坐標系（一般以拋出點為坐標原點O，以初速度vo方向為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向）；
②由兩個分運動規律來處理。
4、圓周運動 ：
（1）描述圓周運動的物理量：
①線速度：描述質點做圓周運動的快慢，大小v=s/t（s是t時間內通過的弧長），方向為質點在圓弧某點的線速度方向沿圓弧該點的切線方向；
②角速度：描述質點繞圓心轉動的快慢，大小ω=φ/t（單位rad/s），φ是連接質點和圓心的半徑在t時間內轉過的角度，其方向在中學階段不研究；
③周期T，頻率f ：做圓周運動的物體運動一周所用的時間叫做周期；
做圓周運動的物體單位時間內沿圓周繞圓心轉過的圈數叫做頻率；
④向心力：總是指向圓心，產生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大小。
［注意］
向心力是根據力的效果命名的。在分析做圓周運動的質點受力情況時，千萬不可在物體受力之外再添加一個向心力。
（2）勻速圓周運動：線速度的大小恒定，角速度、周期和頻率都是恒定不變的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不變的，是速度大小不變而速度方向時刻在變的變速曲線運動。
（3）變速圓周運動：速度大小方向都發生變化，不僅存在著向心加速度（改變速度的方向），而且還存在著切向加速度（方向沿著軌道的切線方向，用來改變速度的大小）。一般而言，合加速度方向不指向圓心，合力不一定等于向心力。合外力在指向圓心方向的分力充當向心力，產生向心加速度；合外力在切線方向的分力產生切向加速度。
5、萬有引力定律：
（1）萬有引力定律：宇宙間的一切物體都是互相吸引的。兩個物體間的引力的大小，跟它們的質量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比。
公式：
（2）應用萬有引力定律分析天體的運動：
①基本方法：把天體的運動看成是勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供。即
F引=F向 得：（應用時可根據實際情況選用適當的公式進行分析或計算）
②可以運用該定律估算天體質量M、密度ρ等。
（3）三種宇宙速度：
①第一宇宙速度：v 1 =7.9km/s，它是衛星的最小發射速度，也是地球衛星的最大環繞速度；
②第二宇宙速度（脫離速度）：:v 2 =11.2km/s，使物體掙脫地球引力束縛的最小發射速度；
③第三宇宙速度（逃逸速度）：v 3 =16.7km/s，使物體掙脫太陽引力束縛的最小發射速度。
（4）地球同步衛星 ：所謂地球同步衛星，是相對于地面靜止的，這種衛星位于赤道上方某一高度的穩定軌道上，且繞地球運動的周期等于地球的自轉周期，即T=24h=86400s，離地面高度一定，同步衛星的軌道一定在赤道平面內，并且只有一條。所有同步衛星都在這條軌道上，以大小相同的線速度，角速度和周期運行著。
（5）衛星的超重和失重：
“超重”是衛星進入軌道的加速上升過程和回收時的減速下降過程，此情景與“升降機”中物體超重相同。“失重”是衛星進入軌道后正常運轉時，衛星上的物體完全“失重”（因為重力提供向心力），此時，在衛星上的儀器，凡是制造原理與重力有關的均不能正常使用。
考點12 功 功率
1、功：
（1）功的定義：力和作用在力的方向上通過的位移的乘積。是描述力對空間積累效應的物理量，是過程量。
定義式：，其中F是力，s是力的作用點位移，θ是力與位移間的夾角。
（2）功的大小的計算方法：
①恒力的功可根據進行計算，本公式只適用于恒力做功；
②根據，計算一段時間內平均做功；
③利用動能定理計算力的功，特別是變力所做的功；
④根據功是能量轉化的量度反過來可求功。
（3）摩擦力、空氣阻力做功的計算：功的大小等于力和路程的乘積。
發生相對運動的兩物體的這一對相互摩擦力做的總功：W=fd（d是兩物體間的相對路程），且W=Q（摩擦生熱）。
2、功率：
（1）功率的概念：功率是表示力做功快慢的物理量，是標量。求功率時一定要分清是求哪個力的功率，還要分清是求平均功率還是瞬時功率。
（2）功率的計算：
①平均功率：P=W/t（定義式） 表示時間t內的平均功率，不管是恒力做功，還是變力做功，都適用；
②瞬時功率：： P和v分別表示t時刻的功率和速度，α為兩者間的夾角。
（3）額定功率與實際功率 ：
額定功率：發動機正常工作時的最大功率；
實際功率：發動機實際輸出的功率，它可以小于額定功率，但不能長時間超過額定功率。
（4）交通工具的啟動問題，通常說的機車的功率或發動機的功率實際是指其牽引力的功率。
①以恒定功率P啟動：機車的運動過程是先作加速度減小的加速運動，后以最大速度v m=P/f 作勻速直線運動； .
②以恒定牽引力F啟動：機車先作勻加速運動，當功率增大到額定功率時速度為v1=P/F，而后開始作加速度減小的加速運動，最后以最大速度vm=P/f作勻速直線運動。
考點13 動能定理 機械能守恒定律
1、動能：物體由于運動而具有的能量叫做動能。
表達式：Ek=mv2/2
（1）動能是描述物體運動狀態的物理量；
（2）動能和動量的區別和聯系：
①動能是標量，動量是矢量，動量改變，動能不一定改變；動能改變，動量一定改變；
②兩者的物理意義不同：動能和功相聯系，動能的變化用功來量度；動量和沖量相聯系，動量的變化用沖量來量度；
③兩者之間的大小關系為：Ek=P2/2m .
2、動能定理：外力對物體所做的總功等于物體動能的變化。
表達式：
（1）動能定理的表達式是在物體受恒力作用且做直線運動的情況下得出的。但它也適用于變力及物體作曲線運動的情況；
（2）功和動能都是標量，不能利用矢量法則分解，故動能定理無分量式；
（3）應用動能定理只考慮初、末狀態，沒有守恒條件的限制，也不受力的性質和物理過程的變化的影響。所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用時間的動力學問題，都可以用動能定理分析和解答，而且一般都比用牛頓運動定律和機械能守恒定律簡捷；
（4）當物體的運動是由幾個物理過程所組成，又不需要研究過程的中間狀態時，可以把這幾個物理過程看作一個整體進行研究，從而避開每個運動過程的具體細節，具有過程簡明、方法巧妙、運算量小等優點。
3、重力勢能：
（1）定義：地球上的物體具有跟它的高度有關的能量，叫做重力勢能
①重力勢能是地球和物體組成的系統共有的，而不是物體單獨具有的；
②重力勢能的大小和零勢能面的選取有關；
③重力勢能是標量，但有“+”、“-”之分。
（2）重力做功的特點：重力做功只決定于初、末位置間的高度差，與物體的運動路徑無關：
WG =mgh
（3）做功跟重力勢能改變的關系：重力做功等于重力勢能增量的負值，即。
4、彈性勢能：物體由于發生彈性形變而具有的能量。
5、機械能守恒定律：
（1）動能和勢能（重力勢能、彈性勢能）統稱為機械能，E=E k +E p；
（2）機械能守恒定律的內容：在只有重力（及系統內彈簧的彈力）做功的情形下，物體動能和重力勢能（及彈性勢能）發生相互轉化，但機械能的總量保持不變；
（3）機械能守恒定律的表達式： ；
（4）系統機械能守恒的三種表示方式：
①系統初態的總機械能E 1 等于末態的總機械能E 2 ，即E1 =E2 ；
②系統減少的總重力勢能ΔE P減 等于系統增加的總動能ΔE k增 ，即ΔE P減 =ΔE k增 ;
③若系統只有A、B兩物體，則A物體減少的機械能等于B物體增加的機械能，即
ΔE A減 =ΔE B增 .
［注意］
解題時究竟選取哪一種表達形式，應根據題意靈活選取；需注意的是：選用①式時，必須規定零勢能參考面，而選用②式和③式時，可以不規定零勢能參考面，但必須分清能量的減少量和增加量。
（5）判斷機械能是否守恒的方法：
①用做功來判斷：分析物體或物體受力情況（包括內力和外力），明確各力做功的情況，若對物體或系統只有重力或彈簧彈力做功，沒有其他力做功或其他力做功的代數和為零，則機械能守恒；
②用能量轉化來判定:若物體系中只有動能和勢能的相互轉化而無機械能與其他形式的能的轉化，則物體系統機械能守恒；
③對一些繩子突然繃緊，物體間非彈性碰撞等問題，除非題目特別說明，機械能必定不守恒，完全非彈性碰撞過程機械能也不守恒。
6、功能關系：
（1）當只有重力（或彈簧彈力）做功時，物體的機械能守恒；
（2）重力對物體做的功等于物體重力勢能的減少：W G =E p1 -E p2 ；
（3）合外力對物體所做的功等于物體動能的變化：:W 合 =E k2 -E k1 （動能定理）；
（4）除了重力（或彈簧彈力）之外的力對物體所做的功等于物體機械能的變化：
W F =E 2 -E 1
二、經典例題賞析
例1 以初速度v0豎直向上拋出一質量為m的小物體。假定物塊所受的空氣阻力f大小不變。已知重力加速度為g，則物體上升的最大高度和返回到原拋出點的速率分別為（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
例2 小球由地面豎直上拋，上升的最大高度為H，設所受阻力大小恒定，地面為零勢能面。在上升至離地高度h處，小球的動能是勢能的兩倍，在下落至離高度h處，小球的勢能是動能的兩倍，則h等于（ ）
A．H/9 B．2H/9 C．3H/9 D．4H/9
例3 如圖所示，兩質量相等的物塊A、B通過一輕質彈簧連接，B足夠長、放置在水平面上，所有接觸面均光滑。彈簧開始時處于原長，運動過程中始終處在彈性限度內。在物塊A上施加一個水平恒力，A、B從靜止開始運動到第一次速度相等的過程中，下列說法中正確的有 （ ）
A．當A、B加速度相等時，系統的機械能最大
B．當A、B加速度相等時，A、B的速度差最大
C．當A、B的速度相等時，A的速度達到最大
D．當A、B的速度相等時，彈簧的彈性勢能最大
例4 2008年9月25日至28日我國成功實施了“神舟”七號載入航天飛行并實現了航天員首次出艙。飛船先沿橢圓軌道飛行，后在遠地點343千米處點火加速，由橢圓軌道變成高度為343千米的圓軌道，在此圓軌道上飛船運行周期約為90分鐘。下列判斷正確的是（ ）
A．飛船變軌前后的機械能相等
B．飛船在圓軌道上時航天員出艙前后都處于失重狀態
C．飛船在此圓軌道上運動的角度速度大于同步衛星運動的角速度
D．飛船變軌前通過橢圓軌道遠地點時的加速度大于變軌后沿圓軌道運動的加速度
例5 圖示為某探究活動小組設計的節能運動系統。斜面軌道傾角為30°，質量為M的木箱與軌道的動摩擦因數為。木箱在軌道端時，自動裝貨裝置將質量為m的貨物裝入木箱，然后木箱載著貨物沿軌道無初速滑下，與輕彈簧被壓縮至最短時，自動卸貨裝置立刻將貨物卸下，然后木箱恰好被彈回到軌道頂端，再重復上述過程。下列選項正確的是（ ）
A．m＝M
B．m＝2M
C．木箱不與彈簧接觸時，上滑的加速度大于下滑的加速度
D．在木箱與貨物從頂端滑到最低點的過程中，減少的重力勢能全部轉化為彈簧的彈性勢能
例6 如圖所示,一根不可伸長的輕繩兩端各系一個小球a和b,跨在兩根固定在同一高度的光滑水平細桿上,質量為3m的a球置于地面上,質量為m的b球從水平位置靜止釋放,當a球對地面壓力剛好為零時,b球擺過的角度為θ.下列結論正確的是 ( )
A.θ=90°
B.θ=45°
C.b球擺動到最低點的過程中,重力對小球做功的功率先增大后減小
D.b球擺動到最低點的過程中,重力對小球做功的功率一直增大
例7 運動員跳傘將經歷加速下降和減速下降兩個過程,將人和傘看成一個系統,在這兩個過程中,下列說法正確的是 ( )
A.阻力對系統始終做負功 B.系統受到的合外力始終向下
C.重力做功使系統的重力勢能增加 D.任意相等的時間內重力做的功相等
例8 某人造衛星運動的軌道可近似看作是以地心為中心的圓,由于阻力作用,人造衛星到地心的距離從r1慢慢變到r2,用Ek1、Ek2分別表示衛星在這兩個軌道上的動能,則（ ）
A.r1 < r2,Ek1 < Ek2 B.r1 > r2,Ek1 < Ek2
C.r1 < r2,Ek1 > Ek2 D.r1 > r2,Ek1 > Ek2
例9 據媒體報道,“嫦娥一號”衛星環月工作軌道為圓軌道,軌道高度200 km,運行周期127分鐘.若還知道引力常量和月球平均半徑,僅利用以上條件不能求出的是（ ）
A.月球表面的重力加速度 B.月球對衛星的吸引力
C.衛星繞月運行的速度 D.衛星繞月運行的加速度
例10 如圖是“嫦娥一號”奔月示意圖,衛星發射后通過自帶的小型火箭多次變軌,進入地月轉移軌道,最終被月球引力捕獲,成為繞月衛星,并開展對月球的探測.下列說法正確的是 ( )
A.發射“嫦娥一號”的速度必須達到第三宇宙速度
B.在繞月圓軌道上,衛星周期與衛星質量有關
C.衛星受月球的引力與它到月球中心距離的平方成反比
D.在繞月圓軌道上,衛星受地球的引力大于受月球的引力
例11 物體沿直線運動的v-t關系如圖所示,已知在第1秒內合外力對物體做的功為W,則 （ ）
A.從第1秒末到第3秒末合外力做功為4 W
B.從第3秒末到第5秒末合外力做功為-2 W
C.從第5秒末到第7秒末合外力做功為W
D.從第3秒末到第4秒末合外力做功為-0.75 W
例12 假定地球、月球都靜止不動,用火箭從地球沿地月連線向月球發射一探測器.假定探測器在地球表面附近脫離火箭.用W表示探測器從脫離火箭處飛到月球的過程中克服地球引力做的功,用Ek表示探測器脫離火箭時的動能,若不計空氣阻力,則 ( )
A.Ek必須大于或等于W,探測器才能到達月球 B.Ek小于W,探測器也可能到達月球
C.Ek=W,探測器一定能到達月球 D.Ek=W,探測器一定不能到達月球
例13 如圖所示,物體A置于物體B上,一輕質彈簧一端固定,另一端與B相連,在彈性限度范圍內,A和B一起在光滑水平面上做往復運動（不計空氣阻力）,并保持相對靜止,則下列說法正確的是（ ）
A.A和B均做簡諧運動
B.作用在A上的靜摩擦力大小與彈簧的形變量成正比
C.B對A的靜摩擦力對A做功,而A對B的靜摩擦力對B不做功
D.B對A的靜摩擦力始終對A做正功,而A對B的靜摩擦力始終對B做負功
例14 如圖所示, 固定的光滑豎直桿上套著一個滑塊,用輕繩系著滑塊繞過光滑的定滑輪,以大小恒定的拉力F拉繩,使滑塊從A點起由靜止開始上升.若從A點上升至B點和從B點上升至C點的過程中拉力F做的功分別為W1、W2,滑塊經B、C兩點時的動能分別為EkB、EkC,圖中AB=BC,則一定（ ）
A.W1>W2 B.W1< W 2
C.EkB>EkC D.EkB例15 圖示為某一皮帶傳動裝置.主動輪的半徑為r1,從轉動的半徑為r2.已知主動輪做順時針轉動,轉速為n,轉動過程中皮帶不打滑,下列說法正確的是 ( )
A.從動輪做順時針轉動 B.從動輪做逆時針轉動
C.從動輪的轉速為 D.從動輪的轉速為
例16 如圖所示,輕桿的一端有一個小球,另一端有光滑的固定軸O,現給球一初速度,使球和桿一起繞O軸在豎直面內轉動,不計空氣阻力,用F表示球到達最高點時桿對小球的作用力,則F ( )
A.一定是拉力 B.一定是推力
C.一定等于零 D.可能是拉力,可能是推力,也可能等于零
例17 如圖所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向運動的小車A,小車下裝有吊著物體B的吊鉤,在小車A與物體B以相同的水平速度沿吊臂方向勻速運動的同時,吊鉤將物體B向上吊起,A、B之間的距離以d =H - 2t2（SI）（SI表示國際單位制,式中H為吊臂離地面的高度）規律變化,則物體做 ( )
A.速度大小不變的曲線運動 B.速度大小增加的曲線運動
C.加速度大小方向均不變的曲線運動 D.加速度大小方向均變化的曲線運動
例18 如圖所示,一物體自傾角為θ的固定斜面頂端沿水平方向拋出后落在斜面上.物體與斜面接觸時速度與水平方向的夾角滿足 ( )
A.tan=sinθ
B.tan=cosθ
C.tan=tanθ
D.tan=2tanθ
例19 牛頓以天體之間普遍存在著引力為依據，運用嚴密的邏輯推理，建立了萬有引力定律。在創建萬有引力定律的過程中，牛頓（ ）
A．接受了胡克等科學家關于“吸引力與兩中心距離的平方成反比”的猜想
B．根據地球上一切物體都以相同加速度下落的事實，得出物體受地球的引力與其質量成正比，即Fm的結論
C．根據Fm和牛頓第三定律，分析了地月間的引力關系，進而得出Fm1m2
D．根據大量實驗數據得出了比例系數G的大小
例20 英國《新科學家（New Scientist）》雜志評選出了2008年度世界8項科學之最，在XTEJ1650-500雙星系統中發現的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半徑約45km，質量和半徑的關系滿足（其中為光速，為引力常量），則該黑洞表面重力加速度的數量級為（ ）
A． B．
C． D．
例21 據報道，2009年4月29日，美國亞利桑那州一天文觀測機構發現一顆與太陽系其它行星逆向運行的小行星，代號為2009HC82。該小行星繞太陽一周的時間為3.39年，直徑2～3千米，其軌道平面與地球軌道平面呈155°的傾斜。假定該小行星與地球均以太陽為中心做勻速圓周運動，則小行星和地球繞太陽運動的速度大小的比值為（ ）
A. B. C. D.
例22 如圖所示，某貨場而將質量為m1=100 kg的貨物（可視為質點）從高處運送至地面，為避免貨物與地面發生撞擊，現利用固定于地面的光滑四分之一圓軌道，使貨物中軌道頂端無初速滑下，軌道半徑R=1.8 m。地面上緊靠軌道次排放兩聲完全相同的木板A、B，長度均為l=2m，質量均為m2=100 kg，木板上表面與軌道末端相切。貨物與木板間的動摩擦因數為1，木板與地面間的動摩擦因數=0.2。（最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，取g=10 m/s2）
（1）求貨物到達圓軌道末端時對軌道的壓力。
（2）若貨物滑上木板4時，木板不動，而滑上木板B時，木板B開始滑動，求1應滿足的條件。
（3）若1=0。5，求貨物滑到木板A末端時的速度和在木板A上運動的時間。
例23 如圖中有一個豎直固定在地面的透氣圓筒,筒中有一個勁度為k的輕彈簧,其下端固定,上端連接一質量為m的薄滑塊,圓筒內壁涂有一層新型智能材料——ER流體,它對滑塊的阻力可調.起初,滑塊靜止,ER流體對其阻力為0,彈簧的長度為L.現有一質量也為m的物體從距地面2L處自由落下,與滑塊碰撞后粘在一起向下運動.為保證滑塊做勻減速運動,且下移距離為時速度減為0,ER流體對滑塊的阻力須隨滑塊下移而變.試求（忽略空氣阻力）：
（1）下落物體與滑塊碰撞過程中系統損失的機械能;
（2）滑塊向下運動過程中加速度的大小;
（3）滑塊下移距離d時ER流體對滑塊阻力的大小。
例24 如圖所示,一水平圓盤繞過圓心的豎直軸轉動,圓盤邊緣有一質量m=1.0 kg的小滑塊.當圓盤轉動的角速度達到某一數值時,滑塊從圓盤邊緣滑落,經光滑的過渡圓管進入軌道ABC.已知AB段斜面傾角為53°,BC段斜面傾角為37°,滑塊與圓盤及斜面間的動摩擦因數均為μ=0.5,A點離B點所在水平面的高度h=1.2 m.滑塊在運動過程中始終未脫離軌道,不計在過渡圓管處和B點的機械能損失,最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力,取g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.
(1)若圓盤半徑R=0.2 m,當圓盤的角速度多大時,滑塊從圓盤上滑落？
(2)若取圓盤所在平面為零勢能面,求滑塊到達B點時的機械能.
(3)從滑塊到達B點時起,經0.6 s正好通過C點,求BC之間的距離.
滑塊沿BC段向上運動時的加速度大小：
例25 如圖所示,一輕繩吊著粗細均勻的棒,棒下端離地面高H,上端套著一個細環.棒和環的質量均為m,相互間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力kmg(k>1).斷開輕繩,棒和環自由下落.假設棒足夠長,與地面發生碰撞時,觸地時間極短,無動能損失.棒在整個運動過程中始終保持豎直,空氣阻力不計.求：
(1)棒第一次與地面碰撞彈起上升過程中,環的加速度.
(2)從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間,棒運動的路程s.
(3)從斷開輕繩到棒和環都靜止,摩擦力對環及棒做的總功W.
例26 如圖所示,位于豎直平面內的光滑軌道,由一段斜的直軌道和與之相切的圓形軌道連接而成,圓形軌道的半徑為R.一質量為m的小物塊從斜軌道上某處由靜止開始下滑,然后沿圓形軌道運動.要求物塊能通過圓形軌道最高點,且在該最高點與軌道間的壓力不能超過5mg(g為重力加速度).求物塊初始位置相對于圓形軌道底部的高度h的取值范圍.
例27 如圖所示,水平光滑地面上停放著一輛小車,左側靠在豎直墻壁上,小車的四分之一圓弧軌道AB是光滑的,在最低點B與水平軌道BC相切,BC的長度是圓弧半徑的10倍,整個軌道處于同一豎直平面內.可視為質點的物塊從A點正上方某處無初速下落,恰好落入小車圓弧軌道滑動.然后沿水平軌道滑行至軌道末端C處恰好沒有滑出.已知物塊到達圓弧軌道最低點B時對軌道的壓力是物塊重力的9倍,小車的質量是物塊的3倍,不考慮空氣阻力和物塊落入圓弧軌道時的能量損失.求:
(1)物塊開始下落的位置距水平軌道BC的豎直高度是圓弧半徑的幾倍.
(2)物塊與水平軌道BC間的動摩擦因數μ.
例28 一個質量為4 kg的物體靜止在足夠大的水平地面上,物體與地面間的動摩擦因數μ=0.1.從t=0開始,物體受到一個大小和方向呈周期性變化的水平力F作用,力F隨時間的變化規律如圖所示.求83秒內物體的位移大小和力F對物體所做的功(g取10 m/s2).
例29 某滑板愛好者在離地h=1.8 m高的平臺上滑行，水平離開A點后落在水平地面的B點，其水平位移s1=3 m.著地時由于存在能量損失，著地后速度變為v=4 m/s，并以此為初速沿水平地面滑s2=8 m后停止.已知人與滑板的總質量m=60 kg.求：
（1）人與滑板在水平地面滑行時受到的平均阻力大小；
（2）人與滑板離開平臺時的水平初速度.（空氣阻力忽略不計，g取10 m/s2）
例30 如圖，質量為m1的物體A經一輕質彈簧與下方地面上的質量為m2的物體B相連，彈簧的勁度系數為k，A、B都處于靜止狀態.一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤.開始時各段繩都處于伸直狀態，A上方的一段繩沿豎直方向.現在掛鉤上掛一質量為m3的物體C并從靜止狀態釋放，已知它恰好能使B離開地面但不繼續上升.若將C換成另一個質量為（m1+m3）的物體D，仍從上述初始位置由靜止狀態釋放，則這次B剛離地時D的速度的大小是多少？已知重力加速度為g.
例31 過山車是游樂場中常見的設施。下圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內的三個圓形軌道組成，B、C、D分別是三個圓形軌道的最低點，B、C間距與C、D間距相等，半徑、。一個質量為kg的小球（視為質點），從軌道的左側A點以的初速度沿軌道向右運動，A、B間距m。小球與水平軌道間的動摩擦因數，圓形軌道是光滑的。假設水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊。重力加速度取，計算結果保留小數點后一位數字。試求
（1）小球在經過第一個圓形軌道的最高點時，軌道對小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距應是多少；
（3）在滿足（2）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個圓形軌道的設計中，半徑應滿足的條件；小球最終停留點與起點的距離。
例32 如圖，P、Q為某地區水平地面上的兩點，在P點正下方一球形區域內儲藏有石油，假定區域周圍巖石均勻分布，密度為；石油密度遠小于，可將上述球形區域視為空腔。如果沒有這一空腔，則該地區重力加速度（正常值）沿豎直方向；當存在空腔時，該地區重力加速度的大小和方向會與正常情況有微小偏高。重力加速度在原堅直方向（即PO方向）上的投影相對于正常值的偏離叫做“重力加速度反常”。為了探尋石油區域的位置和石油儲量，常利用P點附近重力加速度反常現象。已知引力常數為G。
（1）設球形空腔體積為V，球心深度為d（遠小于地球半徑），=x，求空腔所引起的Q點處的重力加速度反常
（2）若在水平地面上半徑L的范圍內發現：重力加速度反常值在與（k>1）之間變化，且重力加速度反常的最大值出現在半為L的范圍的中心,如果這種反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，試求此球形空腔球心的深度和空腔的體積。
例33 已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉的影響。
（1）推導第一宇宙速度v1的表達式；
（2）若衛星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距離地面高度為h，求衛星的運行周期T。
例34 2008年12月，天文學家們通過觀測的數據確認了銀河系中央的黑洞“人馬座A*”的質量與太陽質量的倍數關系。研究發現，有一星體S2繞人馬座A*做橢圓運動，其軌道半長軸為9.50102天文單位（地球公轉軌道的半徑為一個天文單位），人馬座A*就處在該橢圓的一個焦點上。觀測得到S2星的運行周期為15.2年。
（1）若將S2星的運行軌道視為半徑r=9.50102天文單位的圓軌道，試估算人馬座A*的質量MA是太陽質量Ms的多少倍(結果保留一位有效數字)；
（2）黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運動，其具有的動能也不足以克服黑洞對它的引力束縛。由于引力的作用，黑洞表面處質量為m的粒子具有勢能為Ep=-G(設粒子在離黑洞無限遠處的勢能為零)，式中M、R分別表示黑洞的質量和半徑。已知引力常量G=6.710-11N·m2/kg2，光速c=3.0108m/s，太陽質量Ms=2.01030kg，太陽半徑Rs=7.0108m，不考慮相對論效應，利用上問結果，在經典力學范圍內求人馬座A*的半徑RA與太陽半徑之比應小于多少（結果按四舍五入保留整數）。
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例35 神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體,探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律.天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時,發現了LMCX-3雙星系統,它由可見星A和不可見的暗星B構成. 兩星視為質點,不考慮其他天體的影響,A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動,它們之間的距離保持不變,如圖所示.引力常量為G,由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T.
(1)可見星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點處質量為m′的星體（視為質點）對它的引力,設A和B的質量分別為m1、m2,試求m′(用m1、m2表示);
（2）求暗星B的質量m2與可見星A的速率v、運行周期T和質量m1之間的關系式；
（3）恒星演化到末期,如果其質量大于太陽質量ms的2倍,它將有可能成為黑洞.若可見星A的速率v=2.7×105 m/s,運行周期T=4.7π×104 s,質量m1=6 ms,試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？(G=6.67×10-11 N·m2/kg2,ms=2.0×1030 kg)

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