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數列結論篇
一等差數列
1.常用結論
(1)通項公式的推廣：am=am+(n-m)d(n,m∈N).
(2)在等差數列{an}中，當m+n=p+q時，am+an=ap十a,(m,n,p,g∈N).
特別地，若m+n=2t,則am+an=2a(m,n,t∈N)
(③)a,a+m,a+2m,…仍是等差數列，公差為md(k,m∈N.
(4)Sn,S2m-Sn,S3m-S2m,…也成等差數列，公差為n2d
(⑤)若{a},{bn}是等差數列，則{pan十qbn}也是等差數列.
(⑥若a,}是等差數列，則（告}也成等差數列，其首項與a,}首項相同，公差是{a}公差的號
S指=a
()）若項數為偶數2，則Sa=n(a+a)=n(a+a+h,S-S分=ndS聞=a,
S指=”
(8)若項數為奇數2m-1,則52-1=(2n-1)aS海-S%=a,iS=n-T
(9)在等差數列{a,}中，若a>0,d<0,則滿足a≥0
am+1≤0
的項數m使得Sn取得最大值Sm:若a1<0,d>0,則
滿足a≤0
am+1≥0
的項數m使得S,取得最小值S:
(10)等差數列的前n項和公式與函數的關系
S=號+(a-號)m數列{a,}是等差數列臺S=Ar+BmAB為常數).
(11)等差數列的前n項和的最值
在等差數列{an}中，a1>0,d<0,則Sn存在最大值；若a<0,d>0,則S存在最小值.
2.an與S之間一步轉換
am,十am,十am,十…十Qm,=namm+
例：a2十ag十a7=3as3ag-a12=2a6
公式一：S.=a+a2十ag++a.→S.=n:a(其中n為奇數)例：S,=5ag,
S2m-1
公式二an=2n-1
例a-各a-若
當m1、m2、mg、…、mn也成等差數列時，均有am,十am,十am十…十am.=nam+m.3.只有S的模型與最值問
題
性質1等差數列中中”=m,則有0公m二可以求出S基至8
m+n m-n
注意：(1)若Sm=S,則一定有：Sm+n=0:am±41=0，
(2)S,S2m-S,Sm-S2n成等差數列，公差為n2d
性質2等差數列a,}中：（氣}為首項是，公差是號的等差數列，若m+m=p+則云+于-令+
m
包
S
特別的，若m+n=2印，則有六+丹=空
性質3.S.有最大值臺{
an>0
Sn有最小值臺{
a<0
an+1<0
2>0者a=0,則有S=S-同時取得最值S之0，n的
最大值一
S,>0
S+1<0
S<0,n的最大值臺S<0
Sm+1>01
二等比數列
1.常用等比數列結論
1.若m+n=p十q=2k(m,n,p,p,g,k∈N"),則am'an=ap'ag=a.
2若a項數相同)是等比數列則aa≠0，{日}a.,ab,小{會}
仍是等比數列，
3.在等比數列{a}中，等距離取出若干項也構成一個等比數列，即a,a+,an+2,a+3…為
等比數列，公比為g
4.公比不為-1的等比數列{an}的前n項和為Sn,則S,S2-S,Sm-S2n仍成等比數列，其公比為q.
5a)為等比數列若a心a=工則工會是…成等比數列
6.當q≠0，g≠1時，S,=k-g(k≠0)是{a,}成等比數列的充要條件，此時k=二9
7有窮等比數列中，與首末兩項等距離的兩項的積相等特別地，若項數為奇數時，還等于中間項的平方，
2.等比積秒殺公式：am·am·am…am=(am+m+m++m
注：角標為分數時，小題依然適用.
例aasa=(a月；aaag…a,=(a歲）；
a1'a2'ag…ag=(a5)月
拓展：若m、m2、mg…m成等差數列時，有am·aa…am.=(amn)月
3.等間隔的等比數列比值
公式1t+at…a進=女。
am1十am,十am
例如0ta十…2=g(（②)%tat…2=q（6)8tat8=g(48tat8=g
a2十a5+…ag6
a1+a4十…ag7
as+as+as
a1+a2+a3
強調：一定要項數相等，才能用此定理。
推論：在等比數列{an}中，當項數n=2k時，S=qSn
公式2：Snm+n=Sm+q"S=Sn+q"Sm
例如：(1)S1o=Ss+qiS;(2)Ss=S3+qSo=S(1+q+q):(3)S2m=Sm+q"Sm；
(4)S3m=Sm+q"S2m=Sm(1+q+q).
強調：兩個公式表達的其實是同一個意思，整體成等比數列。
三數列通項求法
1.整體等比構造

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