資源簡介

(共18張PPT)
圖形的旋轉
華師大七年級下冊
創設情景—發現問題
問題1 生活中有哪些旋轉的現象？
日常
景觀
…
問題2 這些旋轉現象有什么共同的特點？
圖形的平移:在平面內，將一個圖形沿著某一個方向移動一定的距離.
圖形的旋轉:在平面內，將一個圖形繞著某一個定點轉動一定的角度.
自主探究—提出問題
旋轉的角度
旋轉中心
如圖，假設你的表顯示在7時15分的位置，如果你的表快10分鐘，你該如何將它校準 慢了10分鐘呢 你能準確表達你的校準過程嗎
練習1
旋轉三要素:旋轉中心、旋轉的角度、旋轉的方向.
O
B
A
B′
A′
（1）如圖1，△AOB繞點＿＿，按＿＿＿
方向，旋轉了＿＿度到△A′OB′.
O
逆時針
45
45°
圖1
O
B
A
B′
A′
45°
（2）如圖2，△AOB繞點＿＿，按＿＿＿
方向，旋轉了＿＿度到△A′OB′.
B
逆時針
45
圖2
練習2
練習2
O
B
A
B′
A′
（4）如圖4，△AOB繞點＿＿，按＿＿＿
方向，旋轉了＿＿度到△A′OB′.
O
順時針
45
45°
圖4
O
B
A
B′
A′
（3）如圖3，△AOB繞點＿＿，按＿＿＿
方向，旋轉了＿＿度到△A′OB′.
O
逆時針
60
60°
圖3
觀察圖2、圖3、圖4的旋轉變換如果與圖1分別對比，有什么相同和不同？你能得出什么結論？
想一想
圖形的旋轉，是由旋轉中心、旋轉的角度和旋轉的方向所決定的.
旋轉的方向不同
旋轉中心不同
旋轉的角度不同
圖2
圖4
圖3
圖1
O
B
A
B′
A′
從圖1中，可以看到點A旋轉到點A'，OA旋轉到OA'，∠AOB旋轉到∠A'OB'，這些都是互相對應的點、線段與角.此時：
點B的對應點是點______；
線段OB的對應線段是線段_____;
線段AB的對應線段是線段______;
∠A的對應角是_______;
∠B的對應角是_______;
旋轉中心是點_______;
旋轉的角度是_______.
45°
圖1
B'
OB'
A'B'
∠A'
∠B'
O
45°
如何確定旋轉的角度？
一組對應點和旋轉中心連線的夾角的度數.
試一試
教材119頁-120頁
△AOB的邊OB
的中點D的對應點
在哪里？
D
合作探究—分析問題
活動要求
1.作圖
①在透明紙上描出三角形并按對應關系
標記為△A B C .
②任意選取一點為旋轉中心用圖釘固定，
標記為點O.并繞著旋轉中心旋轉到新
的位置.
③連接OA、OB、OC、OA 、OB 、OC .
2.完成導學案合作探究
完成后小組派一名代表匯報成果.
旋轉的特征
·對應線段相等，對應角相等,圖形的形狀與大小不變.（保形）
·對應點到旋轉中心距離相等.（保距）
·圖形中每一點都繞著旋轉中心，按同一方向旋轉了同樣大
小的角度.（保角）
．
運用新知—解決問題
如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC上一點，△ABD經過旋轉后到達△ACE的位置.
（1）旋轉中心是點____.
（2）旋轉了____度.
（3）如果M是AB的中點，那么經過上述旋
轉后，點M轉到了__________位置上.
例1
A
B
M
C
E
D
A
60
AC的中點
關鍵:明確旋轉及其相關概念.
例2 如圖，D是等腰直角△ABC外一點，AB是斜邊，△ACD繞點C
順時針旋轉到達△CBE的位置.
（3）∠CED的度數是 .
45°
運用新知—解決問題
（2）若∠CAD =20°,則∠CBE = .
（1）若BE =6，則AD = .
20°
6
關鍵:明確旋轉特征.
旋轉的創造美和價值
中國亞運會場館“小蓮花”
重慶輕軌變道
你有一個創作任務請查收:
以小組為單位，綜合運用圖形變換的知識，為即將到來的母親節創作一份禮物.(平面或立體)
在創作中盡展數學之美！數學之妙！
小小創作家
課堂小結—升華思維
橫向回顧
1.本節課探究了什么問題，你學到了哪些知識
縱向回顧
現實
情境
旋轉的概念
旋轉的特征
應用
抽象
從特殊到一般
2.本節課我們經歷了怎樣的學習過程,是如何來研究圖形的旋轉的？
3.平移、軸對稱、旋轉之間有什么相同點
發現問題
提出問題
分析問題
解決問題
數學的眼光觀察
數學的思維思考
數學的語言表達
課后作業—發展創新
發展型作業
以小組為單位，綜合運用圖形變換的知識，為即將到來的母親節創作一份禮物.在創作中享受數學之美!數學之妙!
基礎型作業
教科書習題10.3第1題，第2題.
做一個善于觀察，
勤于思考的數學人！做一個善于觀察，勤于思考的數學人
《10.3 圖形的旋轉》導學案
班級： 姓名：
【學習目標】
1.通過觀察具體實例認識旋轉，歸納旋轉的概念及其三要素.
2.探索圖形的旋轉概念、特征，體會抽象、類比、分類討論、由特殊到一般等
思想方法.
3.會用圖形的旋轉知識解決問題.
【學習過程】
一、創設情境—發現問題
生活中有哪些旋轉現象？請舉例說明.
二、自主探究—提出問題
旋轉的概念：在平面內，將一個圖形繞著某一個 轉動 ，
像這樣的運動稱為圖形的旋轉.
旋轉三要素： 、 和 .
三、合作探究—分析問題
仿照視頻，利用手中的工具，畫出旋轉后的三角形，記為△A'B'C'，標記旋
轉中心為點 O.
探究 1 觀察兩個三角形，你能發現有哪些相等的數量關系嗎？
測量:（1）AB= cm, AC=________cm, BC=_______cm,
A'B'=______cm, A'C'=_______cm, B'C'=______cm.
（2）∠CAB=_____o, ∠ABC=______o, ∠BCA=_____o,
∠C'A'B'=____o, ∠A'B'C'=_____o, ∠B'C'A'=____o.
結論 1:_________________________________________________________.
探究 2 連接 OA、OB、OC、OA 、OB 、OC ,你又能發現哪些相等的線段？
測量：OA=__________cm, OB=_______cm, OC=______cm,
OA'=_________cm, OB'=_______cm, OC'=______cm.
結論 2：_________________________________________________________.
探究 3 你還能發現哪些相等的角？
測量：∠AOA'=________o, ∠BOB'=_______o, ∠COC'=_______o.
結論 3：_________________________________________________________.
旋轉的特征
1.對應線段_______，對應角_______,圖形的形狀與大小_______.（保形）
2.對應點到旋轉中心的_______相等.（保距）
3.圖形中每一點都繞著________按_________旋轉了______的角度.（保角）
1
做一個善于觀察，勤于思考的數學人
四、運用新知—解決問題
例 1如圖，△ABC是等邊三角形，D是 BC 上一點，△ABD經過逆時針旋
轉后到達△ACE的位置.
（1）旋轉中心是點 .
（2）旋轉了 度.
（3）如果M是AB的中點，那么經過上述旋轉后，
點M轉到了 位置上.
例 2如圖，D是等腰直角△ABC外一點，AB是斜邊，△ACD繞點 C順時
針旋轉到達△BCE的位置.
（1）若 BE =6，則 AD = .
（2）若∠CAD =20°,則∠CBE = .
（3）∠CED的度數是 .
五、課堂小結—升華思維
1.本節課探究了什么問題，你學到了哪些知識
2.本節課我們經歷了怎樣的學習過程,是如何來研究圖形的旋轉的？
3.平移、軸對稱、旋轉之間有什么相同點
六、課后作業—發展創新
基礎型作業：教科書習題 10.3 第 1 題，第 2題.
發展型作業：以小組為單位，綜合運用圖形變換的知識，為即將到來的母
親節創作一份禮物.在創作中享受數學之美!數學之妙!
2師：為什么要讓五段大橋同時轉起來呢？原來整個項目交叉跨越了整整十條鐵路線，如果因為修橋而迫使他們停運，那損失將是無法估計的。為了將影響降到最小，工程師決定先把大橋分成五段修建完成再將他們旋轉和龍。聽上去簡單，然而要讓相當于15000輛小汽車重量的大橋再同一區域、同一平面內同時轉體，不僅要求速度快，不能耽誤通車，更要嚴絲合縫，哪怕多轉一點點，都會釀成大禍。但中國做到了，重慶五橋轉體，創造了世界紀錄，為我們重慶、為我們國家點贊！五橋轉體是什么現象？
生：旋轉現象
師：旋轉竟然可以產生如此大的價值和魅力。而旋轉在我們的數學當中是屬于圖形變換，前面有沒有學過圖形變換？
生：有軸對稱、平移
師：那今天我們就類比軸對稱和平移來探索旋轉的奧秘。其實生活中還有許多的旋轉現象，如若時鐘、摩天輪、物理實驗的單擺等等。那你還能列舉出其他的旋轉現象嗎？
生：開啟的電風扇、風車、門的開合、車輪的轉動……
師：非常好，旋轉不僅給我們的生活帶來了極大的便利，還給我們帶來快樂和美的享受，那么今天我們就先來一起研究平面圖形的旋轉。
二、自主探究—提出問題10mins
1.旋轉的概念（6mins）
師：同學們觀察以上的旋轉現象他們都有什么共同的特點？
生：他們都是繞著一個點在轉動。
師：如果我們把單擺抽象成一個平面圖形，你能抽象出旋轉的概念嗎？
有點困難。有舊知識可以類比嗎？
生：平移。
師：那你能類比平移抽象出旋轉的概念嗎？
生：在平面內，將一個圖形繞著某一個定點轉動一定的角度.
師：我們就把這個定點叫做旋轉中心，轉動的角度叫做旋轉的角度。現在我們一起來用旋轉的概念來描述旋轉的現象。
練習1
師：如果你的表快10分鐘，你該如何將它校準 慢了10分鐘呢 你能準確表達你的校準過程嗎 有想法后請舉手。
生：由于我的時間快了10分鐘，因此要將分針由3撥到1，將分針繞著點O逆時針（順時針）旋轉60°。
師：非常好，兩位同學在刻畫旋轉現象時，除了強調旋轉中心、旋轉的角度，還強調了什么？
生：旋轉的方向。
師：也就是順時針或者逆時針。
師：我們把旋轉中心、旋轉的角度、旋轉的方向稱之為旋轉的三要素。請同學們自主學習教材119頁第二段，勾畫、批注，并完善導學案。
如何用旋轉的三要素來描述旋轉。請同學們看練習2
2.三要素的影響（10mins）
師：請同學們觀察圖2、圖3、圖4的旋轉變換如果與圖1分別對比，有什么相同和不同？你能得出什么結論？有想法后請舉手。
生：圖2和圖1對比，旋轉的角度和旋轉的方向相同，但旋轉中心不同，旋轉后的圖形位置不同；圖3和圖1對比，旋轉中心和旋轉的方向相同，但旋轉的角度不同，旋轉后的圖形位置不同；圖4和圖1對比，旋轉中心、旋轉的角度相同，但旋轉方向不同，旋轉后的圖形位置不同。我發現，旋轉中心、旋轉的角度、旋轉的方向都會影響旋轉后的位置。
師：非常棒，掌聲！從和圖1的對比我么得出圖形的旋轉，是由旋轉中心、旋轉的角度和旋轉的方向所決定的。
3.自主學習（14mins）
師：請同學們觀察圖1，圖中還有哪些對應關系嗎？請同學們帶著這個問題自主學習教材119—120頁的“試一試”，并完成教材上的填空。完成以后請分享你的自學成果。
生：匯報
師：你們的自學能力真棒，掌聲送給你們自己！旋轉的角度是45度，那如何確定旋轉的角度呢。
生：對應線段與旋轉中心所形成的夾角的大小就是旋轉的角度。
師：那這里AB與A’B’和旋轉中心有形成夾角嗎？同學們再來觀察。點A與點A’是對應點，角的頂點是旋轉中心，那現在如何確定旋轉的角度呢？
生：對應點與旋轉中心所連線的夾角的度數。
師：掌聲！所以，確定旋轉的角度的關鍵：（1）找對應點；（2）找旋轉中心！
剛才同學們在找對應關系的時候，旋轉中心是在哪里？
生：在點O處，
師：也就是在三角形的頂點處。請同學們思考，旋轉中心還能在三角形的哪些位置呢？
生：還可以在三角形的邊上、三角形的內部和三角形的外部。
師：非常好，下面我們就請同學們自主選擇一個旋轉中心畫一畫旋轉后的圖形。畫之前，請同學們看一個視頻。
合作探究—分析問題15mins
師：請同學們仿照視頻，利用手中的工具，畫出旋轉前后圖形。并完成導學案合作探究，與組員交流統一小組意見.完成后小組派一名代表匯報成果.（21mins）
師：探究1哪個小組來匯報？
生： 探究1 我們猜想，這里的所有的對應線段、對應角都是相等的，通過測量驗證了我們的猜想他們的確都相等，所以我們認為。旋轉前后對應線段相等，對應角相等，圖形的形狀和大小不變。
師：探究2哪個小組？
生：探究2 我們猜想，線段OA與OA’相等，線段OB與OB’相等，線段OC與OC’相等。通過測量驗證。我們認為對應點到旋轉中心的距離相等。
師：探究3 哪個小組？
探究3 我們猜想∠AOA’與∠BOB’與∠COC’相等，通過測量驗證，他們都等于旋轉的角度。由此我們得到結論圖形中每一點都繞著旋轉中心，按同一方向旋轉了同樣大小的角度.（24mins）
師：大家剛才作圖得到了幾組特殊的數據，那么是不是所有的旋轉都有同樣的結論？我們借助幾何畫板來驗證。我們先來觀察同學們的探究1，這里老師選取了其中的一組對應線段AB、A’B’和對應角∠BAC和∠B’A’C’，他們的數量相等嗎？
生：相等。
當 我改變旋轉中心、相等關系變不變？當我改變旋轉的角度，相等關系變不變？甚至改變圖形的大小，雖然數據改變了，但相等關系變不變？
生：不變
師：由此我們驗證了同學們的猜想是正確的，這也是圖形的旋轉特征之一，我們把它簡稱為保形。
師：再來看，OA,OA’當我改變旋轉中心旋轉的角度甚至是圖形的大小，相等關系變不變？
生：不變
生：由此我們得到了圖形的旋轉特征之二，我們把它簡稱為保距。
師：再來看∠AOA’與∠BOB’與∠COC’當其他因素發生改變事時，相等關系變不變？
生：不變
師：由此我們得到了圖形的旋轉特征之三，我們把它簡稱為保角。
事實上平面圖形都是由無數個點構成的，圖形旋轉，圖形上的所有點也隨之旋轉，所以所有的平面圖形同樣有保距、保形、保角的特征。由此我們借助三角形實現了從特殊到一般到一般的推廣。
請同學們自主學習教材P120相關內容，進行勾畫和批注。
（30mins）
四、運用新知—解決問題（7mins）
那現在你能利用這些旋轉的知識來解決問題呢？請同學們完成導學案第四部分中的例1、例2.
例1 要解決此類問題，其關鍵就是要明確旋轉的相關概念。
例2 那老師這里有個疑問，∠CED為什么是45°呢？因為三角形ABC是等腰直角三角形，所以角ACB等于90度。所以，旋轉的角度是90度，所以∠ACE等于90度，而旋轉后，CD=CE，所以三角形DCE是等腰直角三角形，所以∠CED是45°.
要解決此類問題的關鍵就是要明確旋轉的特征：保形、保距、保角.
旋轉不僅可以幫助我們解決幾何問題，還可以利用旋轉設計許多美麗的圖案。請欣賞…，當這些圖形經過旋轉就可以得到更藝術更美麗的圖案，而當旋轉與迭代相結合我們還能得到更炫酷的圖案。旋轉不僅在幾何中起著重要作用，在其它領域中也發揮巨大的作用，比如說工程學：重慶軌道交通利用旋轉進行變軌，實現了道路便捷化；中國亞運會場館小蓮花的屋頂開合方式，既實現了視覺美感，又保障了天氣對場館的影響，且這樣的開合設計方式還是世界首創。這就是中國的創造和中國的力量。老師希望同學們能學以致用，因此這里有一個小小創作請查收.（37mins）
五、課堂小結—思維升華2mins
1.本節課我們探究了什么問題，你學到了哪些知識
2.你能說出本節課我們經歷了怎樣的學習過程,是如何來研究圖形的旋轉的？
生：從實際生活的旋轉現象類比平移得出旋轉的概念，以及影響旋轉的三要素。并通過畫圖、猜想、驗證總結出旋轉的特征。最后應用它解決問題。
師：從現實中的旋轉現象抽象出旋轉的概念及其三要素，然后從特殊到一般探究了旋轉的特征，最后對其進行應用。這也是我們探究圖形的一般路徑。
師：平移、旋轉和軸對稱都是我們的圖形變換，他們之間有什么樣聯系呢？
生：這三種變換前后圖形的位置發生了改變，形狀和大小都不變。
師：這種變換，我們把它稱之為全等變換，而什么是全等，全等又有什么性質，這是我們本章后續所要研究的內容，請同學們利用本節課的研究方法，繼續進行后續學習。課后作業如下。最后希望同學們做一個善于觀察，勤于思考的數學人。下課！

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