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巴塞爾問題
18 世紀早期英國牛頓學派最優秀代表人物之一的英國數學家泰勒 (Brook Taylor), 于 1685 年 8 月 18 日在英格蘭德爾塞克斯郡的埃德蒙頓市出生。1701 年, 泰勒進劍橋大學的圣約翰學院學習。 1709 年后移居倫敦, 獲得法學學士學位。1712 年當選為英國皇家學會會員, 同年進入仲裁牛頓和萊 布尼茲發明微積分優先權爭論的委員會, 并于兩年后獲法學博士學位。從 1714 年起擔任皇家學會第 一秘書, 1718 年以健康為由辭去這一職務。1717 年, 他以泰勒定理求解了數值方程, 最后在 1731 年 12 月 29 日于倫敦逝世。下面給出 階可導函數 在 處的泰勒展開式 Taylor’s formula.
巴塞爾問題于 1644 年由意大利數學家彼得羅. 門戈利首次提出, 1734 年由歐拉解決, 這使他立即得到認可。這個問題是 求全體自然數平方的倒數和。數學界的三大高峰: 歐拉、高斯、黎曼。其中歐拉的數學技 巧無與倫比, 高斯的數學才能絕無僅有, 黎曼的數學靈感足以讓 后世科學家忙碌幾百年。這三位的頂級數學家相當的恐怖, 今 天, 我們就講一下其中的一位: 歐拉數學家。歐拉是科學史上最 多產的一位杰出的數學家, 據統計他那不倦的一生, 共寫下了 886 本書籍和論文,其中分析、代數、數論占 ,幾何占 , 物理和力學占 ,天文學占 ,彈道學、航海學、建筑學等 占 ,彼得堡科學院為了整理他的著作,足足忙碌了四十七年.
一、歐拉的驚人記憶和心算能力超乎想象
當時, 歐拉底下的兩個學生跟著歐拉學習, 兩個人因為一個無窮極數答案不一樣而發生了爭執, 已經失明的歐拉完全用心算就找出了小數點后第 50 位的錯誤, 結果證明是自己的兩個學生計算錯誤在沒有計算機的年代, 梅森素數的尋找是相當困難的, 在 1588 年意大利數學家卡塔爾迪找到了 第六個和第七個梅森素數 和 之后,兩百多年沒有任何進展。直到 1772 年,歐拉在雙目失明 的情況下,僅僅依靠心算得到了第八個梅森素數 ,是當時世界上已知的最大素數
二、歐拉恐怖的數學能力
在 1727 年 5 月 17 日歐拉來到了彼得堡. 1733 年, 年僅 26 歲的歐拉擔任了彼得堡科學院數學教 授. 1735 年, 歐拉解決了一個天文學的難題 (計算彗星軌道), 這個問題經幾個著名數學家幾個月的 努力才得到解決, 而歐拉卻用自己發明的方法, 三天便完成了. 然而過度的工作使他得了眼病, 并且 不幸右眼失明了, 這時他才 28 歲. 1741 年歐拉應普魯士彼德烈大帝的邀請, 到柏林擔任科學院物理 數學所所長, 直到 1766 年, 后來在沙皇喀德林二世的誠懇敦聘下重回彼得堡, 不料沒有多久, 左眼視 力衰退, 最后完全失明.
三、真正讓歐拉一舉成名的事情
上面舉的幾個例子只是歐拉厲害的幾個小方面, 但是讓歐拉真正名揚世界的話, 那就是解決了巴 塞爾級數問題.在 1644 年瑞士的科學家皮耶特羅. 門戈利提出了一個問題, 所有自然數倒數的平方和是多少 看起來不是一個特別難的問題, 但是很久以來, 沒有一個數學家可以給出答案. 如兩位微積分的 創始人,牛頓和萊布尼茨也不行. 最開始的時候,萊布尼茨發現了第一個計算 的無窮級數形式,他說給出任何無窮級數, 他都可以求出和來, 但是, 在巴塞爾級數問題上, 他翻船了, 直到死, 他都沒有想明白.在 100 多年后, 歐拉出馬了, 歐拉通過構造了一個特殊的函數, 并最終由這個函數的泰勒展開式 得到了正確的結論, 下面是計算的過程:
由泰勒展開式得到: ①
構造函數 ②
的全部零點是
得到 ③
即 ④
比較④兩邊 項的系數,可得到
所以
后來, 歐拉把這個結論發表出來, 轟動了整個數學界, 年僅 28 歲的歐拉解決了牛頓和萊布尼茨都 不能解決的數學難題, 從此就開始名揚天下.歐拉的成就遠不止于此, 我們學習數學的時候, 經常看到的歐拉常數、歐拉方程、歐拉恒等式等 等, 都是歐拉的杰作.法國的數學家拉普拉斯還說: 讀讀歐拉吧, 他是所有人的老師!
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