資源簡介

小學數學典型應用題（30類黃金母題含解析）
目　　錄
TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc313468041" 01 歸一問題 3
HYPERLINK \l "_Toc313468042" 02 歸總問題 3
HYPERLINK \l "_Toc313468043" 03 和差問題 4
HYPERLINK \l "_Toc313468044" 04 和倍問題 6
HYPERLINK \l "_Toc313468045" 05 差倍問題 7
HYPERLINK \l "_Toc313468046" 06 倍比問題 8
HYPERLINK \l "_Toc313468047" 07 相遇問題 9
HYPERLINK \l "_Toc313468048" 08 追及問題 10
HYPERLINK \l "_Toc313468049" 09 植樹問題 12
HYPERLINK \l "_Toc313468050" 10 年齡問題 13
HYPERLINK \l "_Toc313468051" 11 行船問題 15
HYPERLINK \l "_Toc313468052" 12 列車問題 16
HYPERLINK \l "_Toc313468053" 13 時鐘問題 18
HYPERLINK \l "_Toc313468054" 14 盈虧問題 19
HYPERLINK \l "_Toc313468055" 15 工程問題 20
HYPERLINK \l "_Toc313468056" 16 正反比例問題 22
HYPERLINK \l "_Toc313468057" 17 按比例分配問題 24
HYPERLINK \l "_Toc313468058" 18 百分數問題 25
HYPERLINK \l "_Toc313468059" 19　牛吃草問題 27
HYPERLINK \l "_Toc313468060" 20 雞兔同籠問題 28
HYPERLINK \l "_Toc313468061" 21 方陣問題 30
HYPERLINK \l "_Toc313468062" 22 商品利潤問題 31
HYPERLINK \l "_Toc313468063" 23 存款利率問題 33
HYPERLINK \l "_Toc313468064" 24 溶液濃度問題 33
HYPERLINK \l "_Toc313468065" 25 構圖布數問題 35
HYPERLINK \l "_Toc313468066" 26 幻方問題 36
HYPERLINK \l "_Toc313468067" 27 抽屜原則問題 37
HYPERLINK \l "_Toc313468068" 28 公約公倍問題 38
HYPERLINK \l "_Toc313468069" 29 最值問題 39
HYPERLINK \l "_Toc313468070" 30 列方程問題 41
小學數學中把含有數量關系的實際問題用語言或文字敘述出來，這樣所形成的題目叫做應用題。任何一道應用題都由兩部分構成。第一部分是已知條件（簡稱條件），第二部分是所求問題（簡稱問題）。應用題的條件和問題，組成了應用題的結構。
應用題可分為一般應用題與典型應用題。
沒有特定的解答規律的兩步以上運算的應用題，叫做一般應用題。
題目中有特殊的數量關系，可以用特定的步驟和方法來解答的應用題，叫做典型應用題。
本資料主要研究以下30類典型應用題：

1、歸一問題2、歸總問題3、和差問題4、和倍問題5、差倍問題6、倍比問題7、相遇問題8、追及問題9、植樹問題10、年齡問題 11、行船問題12、列車問題13、時鐘問題14、盈虧問題15、工程問題16、正反比例問題17、按比例分配18、百分數問題19、“牛吃草”問題20、雞兔同籠問題 21、方陣問題22、商品利潤問題23、存款利率問題24、溶液濃度問題25、構圖布數問題26、幻方問題27、抽屜原則問題28、公約公倍問題29、最值問題30、列方程問題

01 歸一問題
【含義】 在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所要求的數量。這類應用題叫做歸一問題。
【數量關系】 總量÷份數＝1份數量 1份數量×所占份數＝所求幾份的數量
另一總量÷（總量÷份數）＝所求份數
【解題思路和方法】 先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數量。
例1 買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？
解（1）買1支鉛筆多少錢？ 0.6÷5＝0.12（元）
（2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12×16＝1.92（元）
列成綜合算式 0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）
答：需要1.92元。
例2 3臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機6 天耕地多少公頃？
解（1）1臺拖拉機1天耕地多少公頃？ 90÷3÷3＝10（公頃）
（2）5臺拖拉機6天耕地多少公頃？ 10×5×6＝300（公頃）
列成綜合算式 90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公頃）
答：5臺拖拉機6 天耕地300公頃。
例3 5輛汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材，需要運幾次？
解 （1）1輛汽車1次能運多少噸鋼材？ 100÷5÷4＝5（噸）
（2）7輛汽車1次能運多少噸鋼材？ 5×7＝35（噸）
（3）105噸鋼材7輛汽車需要運幾次？ 105÷35＝3（次）
列成綜合算式 105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）
答：需要運3次。

02 歸總問題
【含義】 解題時，常常先找出“總數量”，然后再根據其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產量、幾小時行的總路程等。
【數量關系】 1份數量×份數＝總量 總量÷1份數量＝份數
總量÷另一份數＝另一每份數量
【解題思路和方法】 先求出總數量，再根據題意得出所求的數量。
例1 服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現在可以做多少套？
解 （1）這批布總共有多少米？ 3.2×791＝2531.2（米）
（2）現在可以做多少套？ 2531.2÷2.8＝904（套）
列成綜合算式 3.2×791÷2.8＝904（套）
答：現在可以做904套。
例2 小華每天讀24頁書，12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完《紅巖》？
解 （1）《紅巖》這本書總共多少頁？ 24×12＝288（頁）
（2）小明幾天可以讀完《紅巖》？ 288÷36＝8（天）
列成綜合算式 24×12÷36＝8（天）
答：小明8天可以讀完《紅巖》。
例3 食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據大家的意見，每天比原計劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？
解 （1）這批蔬菜共有多少千克？ 50×30＝1500（千克）
（2）這批蔬菜可以吃多少天？ 1500÷（50＋10）＝25（天）
列成綜合算式 50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）
答：這批蔬菜可以吃25天。

03 和差問題
【含義】 已知兩個數量的和與差，求這兩個數量各是多少，這類應用題叫和差問題。
【數量關系】
第一種：
（兩數和－兩數差 ）÷ 2＝小數
兩數和－小數＝大數 或 小數+兩數差＝大數
第二種：（兩數和＋兩數差）÷ 2 ＝ 大數
兩數和－大數＝小數 或 大數－兩數差＝小數
【解題思路和方法】 簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目，往往不直接告訴兩數的和與差，要進行變通，求出兩數和與差后，再用公式。
例1 甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？
解 甲班人數＝（98＋6）÷2＝52（人）
乙班人數＝（98－6）÷2＝46（人）
答：甲班有52人，乙班有46人。
例2 長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。
解 長＝（18＋2）÷2＝10（厘米） 寬＝（18－2）÷2＝8（厘米）
長方形的面積 ＝10×8＝80（平方厘米）
答：長方形的面積為80平方厘米。
例3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。
解 甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大數，丙是小數。由此可知
甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）
丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）
乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）
答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。
例4 甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？
解 “從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐”，這說明甲車是大數，乙車是小數，甲與乙的差是（14×2＋3），甲與乙的和是97，因此
甲車筐數＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）
乙車筐數＝97－64＝33（筐）
答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。

04 和倍問題
【含義】 已知兩個數的和及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做和倍問題。
【數量關系】 總和 ÷（幾倍＋1）＝較小的數 總和 － 較小的數 ＝ 較大的數
較小的數 ×幾倍 ＝ 較大的數
【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。
例1 果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？
解 （1）杏樹有多少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵）
（2）桃樹有多少棵？ 62×3＝186（棵）
答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。
例2 東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數是西庫存糧數的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？
解 （1）西庫存糧數＝480÷（1.4＋1）＝200（噸）
（2）東庫存糧數＝480－200＝280（噸）
答：東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。
例3 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數是甲站的2倍？
解 每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當于每天從甲站開往乙站（28－24）輛。把幾天以后甲站的車輛數當作1倍量，這時乙站的車輛數就是2倍量，兩站的車輛總數（52＋32）就相當于（2＋1）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數減少為
（52＋32）÷（2＋1）＝28（輛）
所求天數為 （52－28）÷（28－24）＝6（天）
答：6天以后乙站車輛數是甲站的2倍。
例4 甲乙丙三數之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數各是多少？
解 乙丙兩數都與甲數有直接關系，因此把甲數作為1倍量。
因為乙比甲的2倍少4，所以給乙加上4，乙數就變成甲數的2倍；
又因為丙比甲的3倍多6，所以丙數減去6就變為甲數的3倍；
這時（170＋4－6）就相當于（1＋2＋3）倍。那么，
甲數＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28
乙數＝28×2－4＝52
丙數＝28×3＋6＝90
答：甲數是28，乙數是52，丙數是90。
05 差倍問題
【含義】 已知兩個數的差及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做差倍問題。
【數量關系】 兩數差÷（倍數－1）＝較小數
較小數×幾倍＝較大數
較小數+差＝較大數
【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例1 果園里桃樹的棵數是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？
解 （1）杏樹有多少棵？ 124÷（3－1）＝62（棵）
（2）桃樹有多少棵？ 62×3＝186（棵）
答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。

例2 爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？
解 （1）兒子年齡＝27÷（4－1）＝9（歲）
（2）爸爸年齡＝9×4＝36（歲）
答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。

例3 商場改革經營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？
解 如果把上月盈利作為1倍量，則（30－12）萬元就相當于上月盈利的（2－1）倍，因此
上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（萬元）
本月盈利＝18＋30＝48（萬元）
答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。

例4 糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？
解 由于每天運出的小麥和玉米的數量相等，所以剩下的數量差等于原來的數量差（138－94）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相當于（3－1）倍，因此
剩下的小麥數量＝（138－94）÷（3－1）＝22（噸）
運出的小麥數量＝94－22＝72（噸）
運糧的天數＝72÷9＝8（天）
答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。
06 倍比問題
【含義】 有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數，再用倍比的方法算出要求的數，這類應用題叫做倍比問題。
【數量關系】 總量÷一個數量＝倍數 另一個數量×倍數＝另一總量
【解題思路和方法】 先求出倍數，再用倍比關系求出要求的數。
例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，現在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？
解 （1）3700千克是100千克的多少倍？ 3700÷100＝37（倍）
（2）可以榨油多少千克？ 40×37＝1480（千克）
列成綜合算式 40×（3700÷100）＝1480（千克）
答：可以榨油1480千克。
例2 今年植樹節這天，某小學300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？
解 （1）48000名是300名的多少倍？ 48000÷300＝160（倍）
（2）共植樹多少棵？ 400×160＝64000（棵）
列成綜合算式 400×（48000÷300）＝64000（棵）
答：全縣48000名師生共植樹64000棵。
例3 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？
解 （1）800畝是4畝的幾倍？ 800÷4＝200（倍）
（2）800畝收入多少元？ 11111×200＝2222200（元）
（3）16000畝是800畝的幾倍？16000÷800＝20（倍）
（4）16000畝收入多少元？ 2222200×20＝44444000（元）
答：全鄉800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。

07 相遇問題
【含義】 兩個運動的物體同時由兩地出發相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。
【數量關系】 相遇時間＝總路程÷（甲速＋乙速）
總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間
【解題思路和方法】 簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。
例1 南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經過幾小時兩船相遇？
解 392÷（28＋21）＝8（小時）
答：經過8小時兩船相遇。
例2 小李和小劉在周長為400米的環形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發，反向而跑，那么，二人從出發到第二次相遇需多長時間？
解 “第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。因此總路程為400×2
相遇時間＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）
答：二人從出發到第二次相遇需100秒時間。
例3 甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。
解 “兩人在距中點3千米處相遇”是正確理解本題題意的關鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3千米，乙距中點3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，
相遇時間＝（3×2）÷（15－13）＝3（小時）
兩地距離＝（15＋13）×3＝84（千米）
答：兩地距離是84千米。

08 追及問題
【含義】 兩個運動物體在不同地點同時出發（或者在同一地點而不是同時出發，或者在不同地點又不是同時出發）作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內，后面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題。
【數量關系】 追及時間＝追及路程÷（快速－慢速）
追及路程＝（快速－慢速）×追及時間
【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。
例1 好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？
解 （1）劣馬先走12天能走多少千米？ 75×12＝900（千米）
（2）好馬幾天追上劣馬？ 900÷（120－75）＝20（天）
列成綜合算式 75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）
答：好馬20天能追上劣馬。
例2 小明和小亮在200米環形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。
解 小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用〔40×（500÷200）〕秒，所以小亮的速度是 （500－200）÷〔40×（500÷200）〕＝300÷100＝3（米）
答：小亮的速度是每秒3米。
例3 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？
解 敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（22－16）小時，這段時間敵人逃跑的路程是〔10×（22－6）〕千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知
追及時間＝〔10×（22－6）＋60〕÷（30－10）＝220÷20＝11（小時）
答：解放軍在11小時后可以追上敵人。
例4 一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。
解 這道題可以由相遇問題轉化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間，這個時間為
16×2÷（48－40）＝4（小時）
所以兩站間的距離為 （48＋40）×4＝352（千米）
列成綜合算式 （48＋40）×〔16×2÷（48－40）〕＝88×4＝352（千米）
答：甲乙兩站的距離是352千米。
例5 兄妹二人同時由家上學，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發現忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學校有多遠？
解 要求距離，速度已知，所以關鍵是求出相遇時間。從題中可知，在相同時間（從出發到相遇）內哥哥比妹妹多走（180×2）米，這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走（90－60）米，那么，二人從家出走到相遇所用時間為
180×2÷（90－60）＝12（分鐘）
家離學校的距離為 90×12－180＝900（米）
答：家離學校有900米遠。
例6 孫亮打算上課前5分鐘到學校，他以每小時4千米的速度從家步行去學校，當他走了1千米時，發現手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進，到學校恰好準時上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學校。求孫亮跑步的速度。
解 手表慢了10分鐘，就等于晚出發10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（10－5）分鐘，后段路程跑步恰準時到學校，說明后段路程跑比走少用了（10－5）分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑步比步行少用〔9－（10－5）〕分鐘。所以
步行1千米所用時間為 1÷〔9－（10－5）〕＝0.25（小時）＝15（分鐘）
跑步1千米所用時間為 15－〔9－（10－5）〕＝11（分鐘）
跑步速度為每小時 1÷11／60＝1×60／11＝5.5（千米）
答：孫亮跑步速度為每小時5.5千米。

09 植樹問題
【含義】 按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。
【數量關系】 線形植樹 棵數＝距離÷棵距＋1
環形植樹 棵數＝距離÷棵距
方形植樹 棵數＝距離÷棵距－4
三角形植樹 棵數＝距離÷棵距－3
面積植樹 棵數＝面積÷（棵距×行距）
【解題思路和方法】 先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。
例1 一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？
解 136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）
答：一共要栽69棵垂柳。
例2 一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？
解 400÷4＝100（棵）
答：一共能栽100棵白楊樹。
例3 一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？
解 220×4÷8－4＝110－4＝106（個）
答：一共可以安裝106個照明燈。
例4 給一個面積為96平方米的住宅鋪設地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？
解 96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（塊）
答：至少需要400塊地板磚。
例5 一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？
解 （1）橋的一邊有多少個電桿？ 500÷50＋1＝11（個）
（2）橋的兩邊有多少個電桿？ 11×2＝22（個）
（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22×2＝44（盞）
答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。

10 年齡問題
【含義及特點】 這類問題是根據題目的內容而得名。
它的主要特點是：
1、兩人的年齡差始終不變；
2、兩人的年齡都隨著歲月的變化增加（或減小）同一個自然數；
3、兩人年齡之間的倍數關系隨著年齡的增長（或減小 ）在發生變化。年齡增大，則倍數減小；往前推，則是：年齡減小，倍數增大；
【數量關系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點。
【解題思路和方法】 可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。
幾年后年齡＝大小年齡差÷倍數差－小年齡
幾年前年齡＝小年齡－大小年齡差÷倍數差
注意：大小年齡差÷倍數差求出的是一倍數，即小年齡。
小今年齡＝年數×幾年后大歲小歲倍數差÷幾年間倍數差（如：姐今年是妹的5倍，3年后姐是妹的2倍。今年姐妹年齡各多少？可：妹今年＝3×（2－1）÷（5－2）＝1；）
提示：對于較復雜的年齡問題，要結合線段圖，認真分析題目中的數量關系。特別要注意的是，知道倍數，就要找到與倍數在同一年的兩人的年齡和或年齡差；知道年齡和或差，就要找出其相對應的倍數，然后就轉化成了和倍、差倍問題，求出一倍數。
例1 爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？
解 35÷5＝7（倍） （35+1）÷（5+1）＝6（倍）
答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。
例2 母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？
解 （1）母親比女兒的年齡大多少歲？ 37－7＝30（歲）
（2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）
列成綜合算式 （37－7）÷（4－1）－7＝3（年）
答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。
例3 3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？
解 今年父子的年齡和應該比3年前增加（3×2）歲，今年二人的年齡和為
49＋3×2＝55（歲）
把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當于（4＋1）倍，因此，今年兒子年齡為
55÷（4＋1）＝11（歲）
今年父親年齡為 11×4＝44（歲）
答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。
例4 甲對乙說：“當我的歲數曾經是你現在的歲數時，你才4歲”。乙對甲說：“當我的歲數將來是你現在的歲數時，你將61歲”。求甲乙現在的歲數各是多少？
解:這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析：
過去某一年 今 年 將來某一年
甲 □歲 △歲 61歲
乙 4歲 □歲 △歲
表中兩個“□”表示同一個數，兩個“△”表示同一個數。
因為兩個人的年齡差總相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差數列，所以，61應該比4大3個年齡差，因此二人年齡差為 （61－4）÷3＝19（歲）
甲今年的歲數為 △＝61－19＝42（歲）
乙今年的歲數為 □＝42－19＝23（歲）
答：甲今年的歲數是42歲，乙今年的歲數是23歲。
11 行船問題
【含義】 行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。
【數量關系】 順水速度=船速+水速
逆水速度=船速－水速
船速＝（順水速度＋逆水速度）÷2
水速＝（順水速度－逆水速度）÷2
順水速度＝逆水速＋水速×2＝船速×2－逆水速
逆水速度＝順水速－水速×2＝船速×2－順水速
【解題思路和方法】 大多數情況可以直接利用數量關系的公式。
例1 一只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？
解 由條件知，順水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時 320÷8－15＝25（千米）
船的逆水速為 25－15＝10（千米）
船逆水行這段路程的時間為 320÷10＝32（小時）
答：這只船逆水行這段路程需用32小時。
例2 甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間？
解由題意得 甲船速＋水速＝360÷10＝36
甲船速－水速＝360÷18＝20
可見 （36－20）相當于水速的2倍，
所以， 水速為每小時（36－20）÷2＝8（千米）
又因為， 乙船速－水速＝360÷15，
所以， 乙船速為 360÷15＋8＝32（千米）
乙船順水速為 32＋8＝40（千米）
所以， 乙船順水航行360千米需要 360÷40＝9（小時）
答：乙船返回原地需要9小時。
例3 一架飛機飛行在兩個城市之間，飛機的速度是每小時576千米，風速為每小時24千米，飛機逆風飛行3小時到達，順風飛回需要幾小時？
解 這道題可以按照流水問題來解答。
（1）兩城相距多少千米？ （576－24）×3＝1656（千米）
（2）順風飛回需要多少小時？ 1656÷（576＋24）＝2.76（小時）
列成綜合算式〔（576－24）×3〕÷（576＋24）＝2.76（小時）
答：飛機順風飛回需要2.76小時。
12 列車問題
【含義】 這是與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。
【數量關系】
火車過橋：過橋時間＝（車長＋橋長）÷車速
火車追及： 追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速－乙車速）
火車相遇： 相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速＋乙車速）
【解題思路和方法】 大多數情況可以直接利用數量關系的公式。
例1 一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？
解 火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。
（1）火車3分鐘行多少米？ 900×3＝2700（米）
（2）這列火車長多少米？ 2700－2400＝300（米）
列成綜合算式 900×3－2400＝300（米）
答：這列火車長300米。
例2 一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？
解 火車過橋所用的時間是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米，這段路程就是（200米＋橋長），所以，橋長為
8×125－200＝800（米）
答：大橋的長度是800米。
例3 一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？
解 從追上到追過，快車比慢車要多行（225＋140）米，而快車比慢車每秒多行（22－17）米，因此，所求的時間為
（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）
答：需要73秒。
例4 一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間？
解 如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當于火車相遇問題。
150÷（22＋3）＝6（秒）
答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。
例5 一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？
解 車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不同，是因為隧道比大橋長。可知火車在（88－58）秒的時間內行駛了（2000－1250）米的路程，因此，
火車的車速為每秒（2000－1250）÷（88－58）＝25（米）
進而可知，車長和橋長的和為（25×58）米，因此，車長為
25×58－1250＝200（米）
答：這列火車的車速是每秒25米，車身長200米。

13 時鐘問題
【含義】 就是研究鐘面上時針與分針關系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。
【數量關系】 分針的速度是時針的12倍，
二者的速度差為11/12。
通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。
【解題思路和方法】 變通為“追及問題”后可以直接利用公式。
例1 從時針指向4點開始，再經過多少分鐘時針正好與分針重合？
解 鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時針多走（1－1/12）＝11/12格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以
分針追上時針的時間為 20÷（1－1/12）≈ 22（分）
答：再經過22分鐘時針正好與分針重合。

例2 四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？
解 鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（5×4）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走 （5×4－15）格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（5×4＋15）格。再根據1分鐘分針比時針多走（1－1/12）格就可以求出二針成直角的時間。
（5×4－15）÷（1－1/12）≈ 6（分）
（5×4＋15）÷（1－1/12）≈ 38（分）
答：4點06分及4點38分時兩針成直角。

例3 六點與七點之間什么時候時針與分針重合？
解 六點整的時候，分針在時針后（5×6）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。
（5×6）÷（1－1/12）≈ 33（分）
答：6點33分的時候分針與時針重合。

14 盈虧問題
【含義】 盈虧問題又叫盈不足問題，是指把一定數量的物品平均分給固定的對象，如果按某種標準分，則分配后會有剩余（盈）；按另一種標準分，分配后又會有不足（虧），求物品的數量和分配對象的數量的一類應用題。
【數量關系】
總分配份數=總差÷個差
總數量＝每次分配數量×份數+盈數
＝每次分配數量×份數－虧數
一般地說，在兩次分配中，有這樣幾種情況：
(1)、如果一次盈，一次虧，則有：參加分配總人數＝（盈＋虧）÷分配差
(2)、如果兩次都盈或都虧，則有：參加分配總人數＝（大盈－小盈）÷分配差
參加分配總人數＝（大虧－小虧）÷分配差
(3)、如果一正一盈，則有： 參加分配總人數＝盈÷分配差
(4)、如果一正一虧，則有： 參加分配總人數＝虧÷分配差
(1)一盈一虧： 總差=盈+虧
(2)兩盈： 總差=大盈-小盈
(3)兩虧： 總差=大虧-小虧
(4)一盈一正好：總差=盈
(5)一虧一正好：總差=虧
【解題思路和方法】 大多數情況可以直接利用數量關系的公式。
例1 給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？
解 按照“參加分配的總人數＝（盈＋虧）÷分配差”的數量關系：
（1）有小朋友多少人？ （11＋1）÷（4－3）＝12（人）
（2）有多少個蘋果？ 3×12＋11＝47（個）
答：有小朋友12人，有47個蘋果。
例2 修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？
解 題中原定完成任務的天數，就相當于“參加分配的總人數”，按照“參加分配的總人數＝（大虧－小虧）÷分配差”的數量關系，可以得知
原定完成任務的天數為 （260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）
這條路全長為 300×（22＋4）＝7800（米）
答：這條路全長7800米。
例3 學校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？
解 本題中的車輛數就相當于“參加分配的總人數”，于是就有
（1）有多少車？ （30－0）÷（45－40）＝6（輛）
（2）有多少人？ 40×6＋30＝270（人）
答：有6 輛車，有270人。
15 工程問題
【含義】 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。
【數量關系】 解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數（它表示單位時間內完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系列出算式。
工作量＝工作效率×工作時間 工作時間＝工作量÷工作效率
工作時間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
【解題思路和方法】 變通后可以利用上述數量關系的公式。
例1 一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現在兩隊合作，需要幾天完成？
解 題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨做需10天完成，那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式： 1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）
答：兩隊合做需要6天完成。
例2 一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成。現在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？
解 設總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成（1/6－1/8），二人合做時每小時完成（1/6＋1/8）。因為二人合做需要〔1÷（1/6＋1/8）〕小時，這個時間內，甲比乙多做24個零件，所以
（1）每小時甲比乙多做多少零件？ 24÷〔1÷（1/6＋1/8）〕＝7（個）
（2）這批零件共有多少個？ 7÷（1/6－1/8）＝168（個）
答：這批零件共有168個。
解二 上面這道題還可以用另一種方法計算：
兩人合做，完成任務時甲乙的工作量之比為 1/6∶1/8＝4∶3
由此可知，甲比乙多完成總工作量的 4－3 / 4＋3 ＝1/7
所以，這批零件共有 24÷1/7＝168（個）
例3 一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成。現在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？
解 必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設總工作量為12、10、和15的某一公倍數，例如最小公倍數60，則甲乙丙三人的工作效率分別是
60÷12＝5 60÷10＝6 60÷15＝4 因此
余下的工作量由乙丙合做還需要 （60－5×2）÷（6＋4）＝5（小時）
答：還需要5小時才能完成。
例4 一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當打開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池；當打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？
解 注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內水的流量就是工作效率。
要2小時內將水池注滿，即要使2小時內的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。
我們設每個同樣的進水管每小時注水量為1，則4個進水管5小時注水量為（1×4×5），2個進水管15小時注水量為（1×2×15），從而可知
每小時的排水量為 （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1
即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知
一池水的總工作量為 1×4×5－1×5＝15 又因為在2小時內，
每個進水管的注水量為 1×2， 所以，2小時內注滿一池水
至少需要多少個進水管？ （15＋1×2）÷（1×2）＝8.5≈9（個）
答：至少需要9個進水管。
16 正反比例問題
【含義】兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。
兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。
【數量關系】 判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的關鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。
【解題思路和方法】 解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數）轉化為比，應用比和比例的性質去解應用題。
正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。
例1 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？
解 由條件知， 公路總長不變。
原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12
現已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12
比較以上兩式可知，把總長度當作12份，則300米相當于（4－3）份，從而知公路總長為
300÷（4－3）×12＝3600（米）
答： 這條公路總長3600米。
例2 張晗做4道應用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應用題？
解 做題效率一定，做題數量與做題時間成正比例關系
設91分鐘可以做X應用題 則有 28∶4＝91∶X
28X＝91×4 X＝91×4÷28 X＝13
答：91分鐘可以做13道應用題。
例3 孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？
解 書的頁數一定，每天看的頁數與需要的天數成反比例關系
設X天可以看完，就有 24∶36＝X∶15 36X＝24×15 X＝10
答：10天就可以看完。
例4 一個大矩形被分成六個小矩形，其中四個小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。
A 25 20
36 B 16
解 由面積÷寬＝長可知，當長一定時，面積與寬成正比，所以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因為第一行三個小矩形的寬相等，第二行三個小矩形的寬也相等。因此，A∶36＝20∶16
25∶B＝20∶16 解這兩個比例，得 A＝45 B＝20
所以，大矩形面積為 45＋36＋25＋20＋20＋16＝162
答：大矩形的面積是162

17 按比例分配問題
【含義】 所謂按比例分配，就是把一個數按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數量的份數，另一種是直接給出份數。
【數量關系】 從條件看，已知總量和幾個部分量的比；
從問題看，求幾個部分量各是多少。 總份數＝比的前后項之和
【解題思路和方法】 先把各部分量的比轉化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。
例1 學校把植樹560棵的任務按人數分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？
解 總份數為 47＋48＋45＝140
一班植樹 560×47/140＝188（棵）
二班植樹 560×48/140＝192（棵）
三班植樹 560×45/140＝180（棵）
答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。
例2 用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米？
解 3＋4＋5＝12 60×3/12＝15（厘米） 60×4/12＝20（厘米）
60×5/12＝25（厘米）
答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。
例3 從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數的1/2，二兒子分總數的1/3，三兒子分總數的1/9，并規定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。
解 如果用總數乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到 1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2
9＋6＋2＝17 17×9/17＝9 17×6/17＝6 17×2/17＝2
答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。
例4 某工廠第一、二、三車間人數之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？

人 數 80人 一共多少人？
對應的份數 12－8 8＋12＋21
解 80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）
答：三個車間一共820人。

18 百分數問題
【含義】 百分數是表示一個數是另一個數的百分之幾的數。百分數是一種特殊的分數。分數常常可以通分、約分，而百分數則無需；分數既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數只能表示“率”；分數的分子、分母必須是自然數，而百分數的分子可以是小數；百分數有一個專門的記號“%”。
在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。
【數量關系】 掌握“百分數”、“標準量”“比較量”三者之間的數量關系：
百分數＝比較量÷標準量 標準量＝比較量÷百分數
【解題思路和方法】 一般有三種基本類型：
（1）求一個數是另一個數的百分之幾；
（2）已知一個數，求它的百分之幾是多少；
（3）已知一個數的百分之幾是多少，求這個數。
例1 倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？
解 （1）用去的占 720÷（720＋6480）＝10%
（2）剩下的占 6480÷（720＋6480）＝90%
答：用去了10%，剩下90%。
例2 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數比女職工少百分之幾？
解 本題中女職工人數為標準量，男職工比女職工少的人數是比較量，所以
（525－420）÷525＝0.2＝20%
或者 1－420÷525＝0.2＝20%
答：男職工人數比女職工少20%。
例3 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數多百分之幾？
解 本題中以男職工人數為標準量，女職工比男職工多的人數為比較量，因此
（525－420）÷420＝0.25＝25%
或者 525÷420－1＝0.25＝25%
答：女職工人數比男職工多25%。
例4 紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數的百分之幾？
解 （1）男職工占 420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%
（2）女職工占 525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%
答：男職工占全廠職工總數的44.4%，女職工占55.6%。
例5 百分數又叫百分率，百分率在工農業生產中應用很廣泛，常見的百分率有：
增長率＝增長數÷原來基數×100%
合格率＝合格產品數÷產品總數×100%
出勤率＝實際出勤人數÷應出勤人數×100%
出勤率＝實際出勤天數÷應出勤天數×100%
缺席率＝缺席人數÷實有總人數×100%
發芽率＝發芽種子數÷試驗種子總數×100%
成活率＝成活棵數÷種植總棵數×100%
出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100%
出油率＝油的重量÷油料重量×100%
廢品率＝廢品數量÷全部產品數量×100%
命中率＝命中次數÷總次數×100%
烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%
及格率＝及格人數÷參加考試人數×100%

19　牛吃草問題
【含義】 “牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。
【數量關系】 草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數
【解題思路和方法】 解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。
例1 一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？
解 草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5 天內的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？ 設每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：
（1）求草每天的生長量
因為，一方面20天內的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內的草總量又等于原有草量加上20天內的生長量，所以
1×10×20＝原有草量＋20天內生長量
同理 1×15×10＝原有草量＋10天內生長量
由此可知 （20－10）天內草的生長量為 1×10×20－1×15×10＝50
因此，草每天的生長量為 50÷（20－10）＝5
（2）求原有草量
原有草量＝10天內總草量－10內生長量＝1×15×10－5×10＝100
（3）求5 天內草總量
5 天內草總量＝原有草量＋5天內生長量＝100＋5×5＝125
（4）求多少頭牛5 天吃完草
因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。因此5天吃完草需要牛的頭數 125÷5＝25（頭）
答：需要5頭牛5天可以把草吃完。
例2 一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內，發現漏洞時已經進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？
解 這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數（相當于“牛數”），求時間。設每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：
（1）求每小時進水量
因為，3小時內的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時進水量
10小時內的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時進水量
所以，（10－3）小時內的進水量為 1×5×10－1×12×3＝14
因此，每小時的進水量為 14÷（10－3）＝2
（2）求淘水前原有水量
原有水量＝1×12×3－3小時進水量＝36－2×3＝30
（3）求17人幾小時淘完
17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時間是 30÷（17－2）＝2（小時）
答：17人2小時可以淘完水。

20 雞兔同籠問題
【含義】 這是古典的算術問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。
【數量關系】
第一雞兔同籠問題：
假設全都是雞，則有 兔數＝（實際腳數－2×雞兔總數）÷（4－2）
假設全都是兔，則有 雞數＝（4×雞兔總數－實際腳數）÷（4－2）
第二雞兔同籠問題：
假設全都是雞，則有 兔數＝（2×雞兔總數－雞與兔腳之差）÷（4＋2）
假設全都是兔，則有 雞數＝（4×雞兔總數＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）
【解題思路和方法】 解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然后以兔換雞；如果先假設都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得到解決。
例1 長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數數頭有三十五，腳數共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？
解 假設35只全為兔，則 雞數＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）
兔數＝35－23＝12（只）
也可以先假設35只全為雞，則 兔數＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
雞數＝35－12＝23（只）
答：有雞23只，有兔12只。
例2 2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？
解 此題實際上是改頭換面的“雞兔同籠”問題。“每畝菠菜施肥（1÷2）千克”與“每只雞有兩個腳”相對應，“每畝白菜施肥（3÷5）千克”與“每只兔有4只腳”相對應，“16畝”與“雞兔總數”相對應，“9千克”與“雞兔總腳數”相對應。假設16畝全都是菠菜，則有
白菜畝數＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（畝）
答：白菜地有10畝。
例3 李老師用69元給學校買作業本和日記本共45本，作業本每本 3 .20元，日記本每本0.70元。問作業本和日記本各買了多少本？
解 此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設45本全都是日記本，則有
作業本數＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）
日記本數＝45－15＝30（本）
答：作業本有15本，日記本有30本。
例4 （第二雞兔同籠問題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？
解 假設100只全都是雞，則有
兔數＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）
雞數＝100－20＝80（只）
答：有雞80只，有兔20只。
例5 有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人？
解 假設全為大和尚，則共吃饃（3×100）個，比實際多吃（3×100－100）個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數100不變的情況下，以“小”換“大”，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃（3－1/3）個。因此，共有小和尚
（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）
共有大和尚 100－75＝25（人）
答：共有大和尚25人，有小和尚75人。
21 方陣問題
【含義】 將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據已知條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題。
【數量關系】 （1）方陣每邊人數與四周人數的關系：
四周人數＝（每邊人數－1）×4
每邊人數＝四周人數÷4＋1
（2）方陣總人數的求法：
實心方陣：總人數＝每邊人數×每邊人數
空心方陣：總人數＝（外邊人數） －（內邊人數）
內邊人數＝外邊人數－層數×2
（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：
總人數＝（每邊人數－層數）×層數×4
【解題思路和方法】 方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據具體情況確定。
例1 在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人？
解 22×22＝484（人） 答：參加體操表演的同學一共有484人。
例2 有一個3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數。
解 10－（10－3×2）
＝84（人）
答：全方陣84人。

例3 有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層人數是52人，最內層人數是28人，這隊學生共多少人？
解 （1）中空方陣外層每邊人數＝52÷4＋1＝14（人）
（2）中空方陣內層每邊人數＝28÷4－1＝6（人）
（3）中空方陣的總人數＝14×14－6×6＝160（人）
答：這隊學生共160人。
例4 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個？
解 （1）縱橫方向各增加一層所需棋子數＝4＋9＝13（只）
（2）縱橫增加一層后正方形每邊棋子數＝（13＋1）÷2＝7（只）
（3）原有棋子數＝7×7－9＝40（只）
答：棋子有40只。
例5 有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？
解 第一種方法： 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
第二種方法： （5＋1）×5÷2＝15（棵）
答：這個三角形樹林一共有15棵樹。

22 商品利潤問題
【含義】 這是一種在生產經營中經常遇到的問題，包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題。
【數量關系】 利潤＝售價－進貨價
利潤率＝（售價－進貨價）÷進貨價×100%
售價＝進貨價×（1＋利潤率）
虧損＝進貨價－售價
虧損率＝（進貨價－售價）÷進貨價×100%
【解題思路和方法】 簡單的題目可以直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。
例1 某商品的平均價格在一月份上調了10%，到二月份又下調了10%，這種商品從原價到二月份的價格變動情況如何？
解 設這種商品的原價為1，則一月份售價為（1＋10%），二月份的售價為（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售價比原價下降了
1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%
答：二月份比原價下降了1%。
例2 某服裝店因搬遷，店內商品八折銷售。苗苗買了一件衣服用去52元，已知衣服原來按期望盈利30%定價，那么該店是虧本還是盈利？虧（盈）率是多少？
解 要知虧還是盈，得知實際售價52元比成本少多少或多多少元，進而需知成本。因為52元是原價的80%，所以原價為（52÷80%）元；又因為原價是按期望盈利30%定的，所以成本為 52÷80%÷（1＋30%）＝50（元）
可以看出該店是盈利的，盈利率為 （52－50）÷50＝4%
答：該店是盈利的，盈利率是4%。
例3 成本0.25元的作業本1200冊，按期望獲得40%的利潤定價出售，當銷售出80%后，剩下的作業本打折扣，結果獲得的利潤是預定的86%。問剩下的作業本出售時按定價打了多少折扣？
解 問題是要計算剩下的作業本每冊實際售價是原定價的百分之幾。從題意可知，每冊的原定價是0.25×（1＋40%），所以關鍵是求出剩下的每冊的實際售價，為此要知道剩下的每冊盈利多少元。剩下的作業本售出后的盈利額等于實際總盈利與先售出的80%的盈利額之差，即
0.25×1200×40%×86%－0.25×1200×40%×80%＝7.20（元）
剩下的作業本每冊盈利 7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元）
又可知 （0.25＋0.03）÷［0.25×（1＋40%）］＝80%
答：剩下的作業本是按原定價的八折出售的。
例4 某種商品，甲店的進貨價比乙店的進貨價便宜10%，甲店按30%的利潤定價，乙店按20%的利潤定價，結果乙店的定價比甲店的定價貴6元，求乙店的定價。
解 設乙店的進貨價為1，則甲店的進貨價為 1－10%＝0.9
甲店定價為 0.9×（1＋30%）＝1.17
乙店定價為 1×（1＋20%）＝1.20
由此可得 乙店進貨價為 6÷（1.20－1.17）＝200（元）
乙店定價為 200×1.2＝240（元）
答：乙店的定價是240元。
23 存款利率問題
【含義】 把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個因素有關。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分數；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分數。
【數量關系】 年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）數×100%
利息＝本金×存款年（月）數×年（月）利率
本利和＝本金＋利息＝本金×〔1＋年（月）利率×存款年（月）數〕
【解題思路和方法】 簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。
例1 李大強存入銀行1200元，月利率0.8%，到期后連本帶利共取出1488元，求存款期多長。
解 因為存款期內的總利息是（1488－1200）元，
所以總利率為 （1488－1200）÷1200 又因為已知月利率，
所以存款月數為 （1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）
答：李大強的存款期是30月即兩年半。
例2 銀行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同時各存入1萬元，甲先存二年期，到期后連本帶利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同時取出，那么，誰的收益多？多多少元？
解 甲的總利息
〔10000×7.92%×2＋〔10000×（1＋7.92%×2）〕×8.28%×3
＝1584＋11584×8.28%×3＝4461.47（元）
乙的總利息 10000×9%×5＝4500（元）
4500－4461.47＝38.53（元）
答：乙的收益較多，乙比甲多38.53元。

24 溶液濃度問題
【含義】 在生產和生活中，我們經常會遇到溶液濃度問題。這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質、溶液、濃度這幾個量的關系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質，溶解后的混合物叫溶液。溶質的量在溶液的量中所占的百分數叫濃度，也叫百分比濃度。
【數量關系】 溶液＝溶劑＋溶質 濃度＝溶質÷溶液×100%
【解題思路和方法】 簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。
例1 爺爺有16%的糖水50克，（1）要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它變成30%的糖水，需加糖多少克？
解 （1）需要加水多少克？ 50×16%÷10%－50＝30（克）
（2）需要加糖多少克？ 50×（1－16%）÷（1－30%）－50＝10（克）
答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。
例2 要把30%的糖水與15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？
解 假設全用30%的糖水溶液，那么含糖量就會多出
600×（30%－25%）＝30（克）
這是因為30%的糖水多用了。于是，我們設想在保證總重量600克不變的情況下，用15%的溶液來“換掉”一部分30%的溶液。這樣，每“換掉”100克，就會減少糖 100×（30%－15%）＝15（克） 所以需要“換掉”30%的溶液（即“換上”15%的溶液） 100×（30÷15）＝200（克）
由此可知，需要15%的溶液200克。
需要30%的溶液 600－200＝400（克）
答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。
例3 甲容器有濃度為12%的鹽水500克，乙容器有500克水。把甲中鹽水的一半倒入乙中，混合后再把乙中現有鹽水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分鹽水倒入乙中，使甲乙兩容器中的鹽水同樣多。求最后乙中鹽水的百分比濃度。
解 由條件知，倒了三次后，甲乙兩容器中溶液重量相等，各為500克，因此，只要算出乙容器中最后的含鹽量，便會知所求的濃度。下面列表推算：
甲容器 乙容器
原 有 鹽水500鹽500×12%＝60 水500
第一次把甲中一半倒入乙中后 鹽水500÷2＝250鹽60÷2＝30 鹽水500＋250＝750鹽30
第二次把乙中一半倒入甲中后 鹽水250＋375＝625鹽30＋15＝45 鹽水750÷2＝375鹽30÷2＝15
第三次使甲乙中鹽水同樣多 鹽水500鹽45－9＝36 鹽水500鹽45－36＋15＝
由以上推算可知，乙容器中最后鹽水的百分比濃度為 24÷500＝4.8%
答：乙容器中最后的百分比濃度是4.8%。
25 構圖布數問題
【含義】 這是一種數學游戲，也是現實生活中常用的數學問題。所謂“構圖”，就是設計出一種圖形；所謂“布數”，就是把一定的數字填入圖中。“構圖布數”問題的關鍵是要符合所給的條件。
【數量關系】 根據不同題目的要求而定。
【解題思路和方法】 通常多從三角形、正方形、圓形和五角星等圖形方面考慮。按照題意來構圖布數，符合題目所給的條件。
例1 十棵樹苗子，要栽五行子，每行四棵子，請你想法子。
解 符合題目要求的圖形應是一個五角星。
4×5÷2＝10
因為五角星的5條邊交叉重復，應減去一半。
例2 九棵樹苗子，要栽十行子，每行三棵子，請你想法子。
解 符合題目要求的圖形是兩個倒立交叉的等腰三角形，
一個三角形的頂點在另一個三角形底邊的中線上。
例3 九棵樹苗子，要栽三行子，每行四棵子，請你想法子。
解 符合題目要求的圖形是一個三角形，每邊栽4棵樹，三個頂點上重復應減去，正好9棵。 4×3－3＝9
例4 把12拆成1到7這七個數中三個不同數的和，有幾種寫法？請設計一種圖形，填入這七個數，每個數只填一處，且每條線上三個數的和都等于12。
解 共有五種寫法，即 12＝1＋4＋7 12＝1＋5＋6 12＝2＋3＋7
12＝2＋4＋6 12＝3＋4＋5
在這五個算式中，4出現三次，其余的1、2、3、5、6、7各出現兩次，因此，4應位于三條線的交點處，其余數都位于兩條線的交點處。據此，我們可以設計出以下三種圖形：


26 幻方問題
【含義】 把n×n個自然數排在正方形的格子中，使各行、各列以及對角線上的各數之和都相等，這樣的圖叫做幻方。最簡單的幻方是三級幻方。
【數量關系】 每行、每列、每條對角線上各數的和都相等，這個“和”叫做“幻和”。
三級幻方的幻和＝45÷3＝15
五級幻方的幻和＝325÷5＝65
【解題思路和方法】首先要確定每行、每列以及每條對角線上各數的和（即幻和），其次是確定正中間方格的數，然后再確定其它方格中的數。
例1 把1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數填入九個方格中，使每行、每列、每條對角線上三個數的和相等。
解 幻和的3倍正好等于這九個數的和，所以幻和為
（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15
九個數在這八條線上反復出現構成幻和時，每個數用到的次數不全相同，最中心的那個數要用到四次（即出現在中行、中列、和兩條對角線這四條線上），四角的四個數各用到三次，其余的四個數各用到兩次。看來，用到四次的“中心數”地位重要，宜優先考慮。
設“中心數”為Χ，因為Χ出現在四條線上，而每條線上三個數之和等于15，所以 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4
即 45＋3Χ＝60 所以 Χ＝5
接著用奇偶分析法尋找其余四個偶數的位置，它們
2 7 6
9 5 1
4 3 8
分別在四個角，再確定其余四個奇數的位置，它們分別
在中行、中列，進一步嘗試，容易得到正確的結果。
例2 把2，3，4，5，6，7，8，9，10這九個數填到九個方格中，
使每行、每列、以及對角線上的各數之和都相等。
解 只有三行，三行用完了所給的9個數，所以每行三數之和為
（2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18
假設符合要求的數都已經填好，那么三行、三列、兩條對角線共8行上的三個數之和都等于18，我們看18能寫成哪三個數之和：
最大數是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3
最大數是9： 18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4
最大數是8： 18＝8＋7＋3＝8＋6＋4
最大數是7： 18＝7＋6＋5 剛好寫成8個算式。
首先確定正中間方格的數。第二橫行、第二豎行、兩個斜行都用到正中間方格的數，共用了四次。觀察上述8個算式，只有6被用了4次，所以正中間方格中應填6。
9 2 7
4 6 8
5 10 3
然后確定四個角的數。四個角的數都用了三次，而上述8個算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3應填在四個角上。但還應兼顧兩條對角線上三個數的和都為18。
最后確定其它方格中的數。如圖。
27 抽屜原則問題
【含義】 把3只蘋果放進兩個抽屜中，會出現哪些結果呢？要么把2只蘋果放進一個抽屜，剩下的一個放進另一個抽屜；要么把3只蘋果都放進同一個抽屜中。這兩種情況可用一句話表示：一定有一個抽屜中放了2只或2只以上的蘋果。這就是數學中的抽屜原則問題。
【數量關系】 基本的抽屜原則是：如果把n＋1個物體（也叫元素）放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中放著2個或更多的物體（元素）。
抽屜原則可以推廣為：如果有m個抽屜，有k×m＋r（0＜r≤m）個元素那么至少有一個抽屜中要放（k＋1）個或更多的元素。
通俗地說，如果元素的個數是抽屜個數的k倍多一些，那么至少有一個抽屜要放（k＋1）個或更多的元素。
【解題思路和方法】 （1）改造抽屜，指出元素；
（2）把元素放入（或取出）抽屜；
（3）說明理由，得出結論。
例1 育才小學有367個2000年出生的學生，那么其中至少有幾個學生的生日是同
一天的？
解 由于2000年是潤年，全年共有366天，可以看作366個“抽屜”，把367個2000年出生的學生看作367個“元素”。367個“元素”放進366個“抽屜”中，至少有一個“抽屜”中放有2個或更多的“元素”。
這說明至少有2個學生的生日是同一天的。
例2 據說人的頭發不超過20萬跟，如果陜西省有3645萬人，根據這些數據，你知道陜西省至少有多少人頭發根數一樣多嗎？
解 人的頭發不超過20萬根，可看作20萬個“抽屜”，3645萬人可看作3645萬個“元素”，把3645萬個“元素”放到20萬個“抽屜”中，得到
3645÷20＝182……5 根據抽屜原則的推廣規律，可知k＋1＝183
答：陜西省至少有183人的頭發根數一樣多。
例3 一個袋子里有一些球，這些球僅只有顏色不同。其中紅球10個，白球9個，黃球8個，藍球2個。某人閉著眼睛從中取出若干個，試問他至少要取多少個球，才能保證至少有4個球顏色相同？
解 把四種顏色的球的總數（3＋3＋3＋2）＝11 看作11個“抽屜”，那么，至少要取（11＋1）個球才能保證至少有4個球的顏色相同。
答；他至少要取12個球才能保證至少有4個球的顏色相同。
28 公約公倍問題
【含義】 需要用公約數、公倍數來解答的應用題叫做公約數、公倍數問題。
【數量關系】 絕大多數要用最大公約數、最小公倍數來解答。
【解題思路和方法】 先確定題目中要用最大公約數或者最小公倍數，再求出答案。最大公約數和最小公倍數的求法，最常用的是“短除法”。
例1 一張硬紙板長60厘米，寬56厘米，現在需要把它剪成若干個大小相同的最大的正方形，不許有剩余。問正方形的邊長是多少？
解 硬紙板的長和寬的最大公約數就是所求的邊長。
60和56的最大公約數是4。
答：正方形的邊長是4厘米。
例2 甲、乙、丙三輛汽車在環形馬路上同向行駛，甲車行一周要36分鐘，乙車行一周要30分鐘，丙車行一周要48分鐘，三輛汽車同時從同一個起點出發，問至少要多少時間這三輛汽車才能同時又在起點相遇？
解 要求多少時間才能在同一起點相遇，這個時間必定同時是36、30、48的倍數。因為問至少要多少時間，所以應是36、30、48的最小公倍數。 36、30、48的最小公倍數是720。
答：至少要720分鐘（即12小時）這三輛汽車才能同時又在起點相遇。
例3 一個四邊形廣場，邊長分別為60米，72米，96米，84米，現要在四角和四邊植樹，若四邊上每兩棵樹間距相等，至少要植多少棵樹？
解 相鄰兩樹的間距應是60、72、96、84的公約數，要使植樹的棵數盡量少，須使相鄰兩樹的間距盡量大，那么這個相等的間距應是60、72、96、84這幾個數的最大公約數12。
所以，至少應植樹 （60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵）
答：至少要植26棵樹。
例4 一盒圍棋子，4個4個地數多1個，5個5個地數多1個，6個6個地數還多1個。又知棋子總數在150到200之間，求棋子總數。
解 如果從總數中取出1個，余下的總數便是4、5、6的公倍數。因為4、5、6的最小公倍數是60，又知棋子總數在150到200之間，所以這個總數為
60×3＋1＝181（個）
答：棋子的總數是181個。
29 最值問題
【含義】 科學的發展觀認為，國民經濟的發展既要講求效率，又要節約能源，要少花錢多辦事，辦好事，以最小的代價取得最大的效益。這類應用題叫做最值問題。
【數量關系】 一般是求最大值或最小值。
【解題思路和方法】 按照題目的要求，求出最大值或最小值。
例1 在火爐上烤餅，餅的兩面都要烤，每烤一面需要3分鐘，爐上只能同時放兩塊餅，現在需要烤三塊餅，最少需要多少分鐘？
解 先將兩塊餅同時放上烤，3分鐘后都熟了一面，這時將第一塊餅取出，放入第三塊餅，翻過第二塊餅。再過3分鐘取出熟了的第二塊餅，翻過第三塊餅，又放入第一塊餅烤另一面，再烤3分鐘即可。這樣做，用的時間最少，為9分鐘。
答：最少需要9分鐘。
例2 在一條公路上有五個卸煤場，每相鄰兩個之間的距離都是10千米，已知1號煤場存煤100噸，2號煤場存煤200噸，5號煤場存煤400噸，其余兩個煤場是空的。現在要把所有的煤集中到一個煤場里，每噸煤運1千米花費1元，集中到幾號煤場花費最少？
解 我們采用嘗試比較的方法來解答。
集中到1號場總費用為 1×200×10＋1×400×40＝18000（元）
集中到2號場總費用為 1×100×10＋1×400×30＝13000（元）
集中到3號場總費用為 1×100×20＋1×200×10＋1×400×10＝12000（元）
集中到4號場總費用為 1×100×30＋1×200×20＋1×400×10＝11000（元）
集中到5號場總費用為 1×100×40＋1×200×30＝10000（元）
經過比較，顯然，集中到5號煤場費用最少。
答：集中到5號煤場費用最少。
例3 北京和上海同時制成計算機若干臺，北京可調運外地10臺，上海可調運外地4臺。現決定給重慶調運8臺，給武漢調運6臺，
重慶 武漢
北京 800 400
上海 500 300
若每臺運費如右表，問如何調運才使運費最省？
解 北京調運到重慶的運費最高，因此，北京
往重慶應盡量少調運。這樣，把上海的4臺全都調
往重慶，再從北京調往重慶4臺，調往武漢6臺，運費就會最少，其數額為
500×4＋800×4＋400×6＝7600（元）
答：上海調往重慶4臺，北京調往武漢6臺，調往重慶4臺，這樣運費最少。
30 列方程問題
【含義】 把應用題中的未知數用字母Χ代替，根據等量關系列出含有未知數的等式——方程，通過解這個方程而得到應用題的答案，這個過程，就叫做列方程解應用題。
【數量關系】 方程的等號兩邊數量相等。
【解題思路和方法】 可以概括為“審、設、列、解、驗、答”六字法。
（1）審：認真審題，弄清應用題中的已知量和未知量各是什么，問題中的等量關系是什么。
（2）設：把應用題中的未知數設為Χ。
（3）列；根據所設的未知數和題目中的已知條件，按照等量關系列出方程。
（4）解；求出所列方程的解。
（5）驗：檢驗方程的解是否正確，是否符合題意。
（6）答：回答題目所問，也就是寫出答問的話。
同學們在列方程解應用題時，一般只寫出四項內容，即設未知數、列方程、解方程、答語。設未知數時要在Χ后面寫上單位名稱，在方程中已知數和未知數都不帶單位名稱，求出的Χ值也不帶單位名稱，在答語中要寫出單位名稱。檢驗的過程不必寫出，但必須檢驗。
例1 甲乙兩班共90人，甲班比乙班人數的2倍少30人，求兩班各有多少人？
解 第一種方法：設乙班有Χ人，則甲班有（90－Χ）人。
找等量關系：甲班人數＝乙班人數×2－30人。
列方程： 90－Χ＝2Χ－30
解方程得 Χ＝40 從而知 90－Χ＝50
第二種方法：設乙班有Χ人，則甲班有（2Χ－30）人。
列方程 （2Χ－30）＋Χ＝90
解方程得 Χ＝40 從而得知 2Χ－30＝50
答：甲班有50人，乙班有40人。
例2 雞兔35只，共有94只腳，問有多少兔？多少雞？
解 第一種方法：設兔為Χ只，則雞為（35－Χ）只，兔的腳數為4Χ個，雞的腳數為2（35－Χ）個。根據等量關系“兔腳數＋雞腳數＝94”可列出方程 4Χ＋2（35－Χ）＝94 解方程得 Χ＝12 則35－Χ＝23
第二種方法：可按“雞兔同籠”問題來解答。假設全都是雞，
則有 兔數＝（實際腳數－2×雞兔總數）÷（4－2）
所以 兔數＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
雞數＝35－12＝23（只）
答：雞是23只，兔是12只。
例3 倉庫里有化肥940袋，兩輛汽車4次可以運完，已知甲汽車每次運125袋，乙汽車每次運多少袋？
解 第一種方法：求出甲乙兩車一次共可運的袋數，再減去甲車一次運的袋數，即是所求。 940÷4－125＝110（袋）
第二種方法：從總量里減去甲汽車4次運的袋數，即為乙汽車共運的袋數，再除以4，即是所求。 （940－125×4）÷4＝110（袋）
第三種方法：設乙汽車每次運Χ袋，可列出方程 940÷4－Χ＝125
解方程得 Χ＝110
第四種方法：設乙汽車每次運Χ袋，依題意得
（125＋Χ）×4＝940 解方程得 Χ＝110
答：乙汽車每次運110袋。
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