資源簡(jiǎn)介

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用思維導(dǎo)圖突破解析幾何壓軸題 專題1 曲線和方程 （共12頁(yè)）
專題01 曲線與方程
解答數(shù)學(xué)題的“思維導(dǎo)圖”：
逛公園順道看景，好風(fēng)光駐足留影.
把條件翻成圖式，關(guān)鍵處深挖搞清.
綜合法由因?qū)Ч治龇▓?zhí)果索因.
兩方法嫁接聯(lián)姻，讓難題無以遁形.
這里把解題比作逛公園，沿路而行，順道看景，既有活躍氣氛，又有借景喻理之意，即理解題意后把已知條件“翻譯”出來，如果能得到結(jié)論那是最好，如果不行就要轉(zhuǎn)化，即從已知條件入手推出中間結(jié)論（可知），當(dāng)中間結(jié)論能直接證明最終結(jié)論時(shí)，則解題成功.當(dāng)中間結(jié)論不能直接證明最終結(jié)論時(shí)，可把最終結(jié)論等價(jià)轉(zhuǎn)化為“需知”，再用中間結(jié)論證明“需知”從而達(dá)到解題目的.有時(shí)還要挖掘題目的隱含條件.從某種意義上說，解題就是“找關(guān)系”----找出已知與未知的聯(lián)系，不斷縮小以至消除二者之間的差距，從而達(dá)到解題目的.
這個(gè)思維導(dǎo)圖不僅是用來解答壓軸題，其實(shí)，每個(gè)層次的學(xué)生都有相應(yīng)的難題。中等以下水平的學(xué)生高考基本不用做壓軸題的，但他們做中檔題會(huì)有困難，思維導(dǎo)圖一樣適用。
專題1 曲線的方程
本專題思維導(dǎo)圖
一個(gè)問題兩方面
幾何直觀是曲線
代數(shù)運(yùn)算很精準(zhǔn)
讀題畫圖思路現(xiàn)
曲線與方程是解析幾何的最基礎(chǔ)問題，高考中除了部分直接考求軌跡方程的解答題，
還有不少試題作為第（1）題要求曲線的方程，或者在知道曲線類型的情況下，求其他基本量（a、b、c、e、p）或其他特定的量.解題過程中要注意基本量思想的運(yùn)用，即根據(jù)條件設(shè)出幾個(gè)變量（基本量），相應(yīng)地就要根據(jù)條件列出幾個(gè)方程，解出相關(guān)變量，達(dá)到解題目的.
曲線形象直觀，方程精準(zhǔn)深刻，二者從不同的角度、以不同的形式反映同一個(gè)問題。因此解題過程需要畫出圖形以利思考。
思路點(diǎn)撥
如圖所示，過點(diǎn)A作漸近線的垂線AP，由∠MAN=60°可得∠PAN=30°,
因?yàn)椋裕?br/>.
又，所以，解得，所以.
思路點(diǎn)撥
根據(jù)拋物線定義，，所以.
因?yàn)?所以，
所以，，所以漸近線方程為.
思路點(diǎn)撥
以線段為直徑的圓是，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，整理為，即，即 ，，故選A.
思路點(diǎn)撥
（1）由橢圓的離心率為可得，又圓的半徑為，，解出a，．
（2）若，為上下或左右頂點(diǎn)，則直線，與圓相切。一般情形設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程可得．
再設(shè)，，，利用及韋達(dá)定理求出m和k的關(guān)系，然后計(jì)算圓心到直線的距離，并比較此距離與半徑的大小．
本題思維導(dǎo)圖：
滿分解答
由題意知，。
設(shè)圓的半徑為，則，即，解得，所以，所以，橢圓的方程為．
（2）因?yàn)镸，N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，O為原點(diǎn)，由知．
設(shè)，，，,當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為．
代入橢圓方程整理得。
由于，，，，且，所以
，于是。
又圓的圓心到直線的距離為，所以直線與圓相切．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，依題意得，，，．由得，所以 ，結(jié)合得，所以直線到原點(diǎn)的距離都是，即直線與圓也相切．
同理可得，直線與圓也相切．
綜合上述，直線、與圓相切
思路點(diǎn)撥　
第(1)題列出關(guān)于a，c的方程，解出a，c即可.第（2）題需要表示出B、D的坐標(biāo)，可以用橢圓的參數(shù)方程設(shè)出B的坐標(biāo)，也可以設(shè)PA的方程為x=my+1，再與橢圓方程聯(lián)立求出B的坐標(biāo)，再求直線BQ的方程，從而求出D的坐標(biāo).
滿分解答
（1）設(shè)的坐標(biāo)為.依題意，，，，解得，，，于是.
故橢圓的方程為，拋物線的方程為.
(2) 解1 如圖，考慮到圖形的對(duì)稱性，先計(jì)算點(diǎn)縱坐標(biāo)為正實(shí)數(shù)的情形．設(shè)，.
因?yàn)椋裕獾茫谑?，于是
，所以直線BQ的方程為.
令，得，即.
所以的面積，即
，與聯(lián)立解得，．
由此可得，所以直線的方程為.
根據(jù)圖形的對(duì)稱性，可得直線的方程為或．
解2設(shè)直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)，故.
把與聯(lián)立，消去，整理得，解得，或.
由點(diǎn)異于點(diǎn)，可得點(diǎn).
由，可得直線的方程為.
令，解得，故，.
又因?yàn)榈拿娣e為，故，整理得，解得，所以.
所以，直線的方程為或.
思路點(diǎn)撥
第（2）題利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，只要證明，需要設(shè)出M、N的坐標(biāo)，利用第（1）中所得方程，可以設(shè)成普通坐標(biāo)，也可以根據(jù)拋物線的參數(shù)方程設(shè)出其坐標(biāo).
滿分解答
(1) 把代入得，于是拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．
(2) 設(shè)：，，，則，.
直線的方程為，直線的方程為.
由題知，，聯(lián)立方程組
得：，
所以，.
，
由，，上式得， 故為線段的中點(diǎn).
解2 由（1）可設(shè)，則直線MN的斜率為，，即.
此時(shí)，若為線段的中點(diǎn)，則,即，這顯然成立.
故為線段的中點(diǎn).
思路點(diǎn)撥
第（1）題根據(jù)已知可得關(guān)于a、c的二次齊次式，從而求出e.第(2)題把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為，因此要求出的坐標(biāo).根據(jù)條件需要設(shè)出直線的方程為.
滿分解答
（1）設(shè)橢圓的離心率為e．由已知，可得．
又由，可得，即．又因?yàn)椋獾茫?br/>所以，橢圓的離心率為．
（2）（ⅰ）依題意，設(shè)直線的方程為，則直線的斜率為．
由（1）知，可得直線的方程為，即，與直線
的方程聯(lián)立，可解得，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．
由已知，有，整理得
，所以，即直線的斜率為．
（ii） 由，可得，故橢圓方程可以表示為．
由（i）得直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，整理得，解得（舍去）或．
因此點(diǎn)，進(jìn)而可得，
所以．
由已知，線段的長(zhǎng)即為與這兩條平行直線間的距離，故直線和都垂直于直線．
因?yàn)椋裕?br/>所以的面積為.
同理的面積等于，由四邊形的面積為，得，整理得，又由，得．
所以，橢圓的方程為．
思路點(diǎn)撥
第（1）題根據(jù)條件求出b即可求出漸近線方程.
第（2）要求的斜率k，就需要得到關(guān)于k的方程，只要設(shè)出直線方程代入雙曲線方程，再把已知條件坐標(biāo)化即可.由可知計(jì)算可以稍微簡(jiǎn)單一些，也可以利用點(diǎn)差法求k.
滿分解答
（1）由已知，解得，所以的邊長(zhǎng)為，代入，解得，所以雙曲線的漸近線方程為
（2）解1 設(shè)直線的方程為點(diǎn)
則
由得
其中
因?yàn)榧?br/>=
由于因此即解得
所以的斜率為
解2 設(shè)直線的方程為點(diǎn)點(diǎn)
與的中點(diǎn)為則
由題可知
因此(如圖)所以
整理得
以下過程同法一.
解3設(shè)直線的方程為點(diǎn)點(diǎn)與的中點(diǎn)為則
由于點(diǎn)與在雙曲線上，因此
兩式相減得 整理得
因?yàn)樗?br/>由題可知即
所以代入解得
所以的斜率為
思路點(diǎn)撥
第（1）題要證明，只需證明其斜率相等；第（2）題設(shè)AB中點(diǎn)E(x,y)，AB與x軸交點(diǎn)D(m,0)，可以利用A、B、D、E四點(diǎn)共線建立x，y之間的關(guān)系.
滿分解答
（1）由條件可得，設(shè)，，則
設(shè)過A、B的直線為l，則，所以l的方程為，即
由于F在直線l上，所以.
又，，所以.
（2）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，
則.
由題設(shè)可得2 ，所以（舍去），.
設(shè)滿足條件的的中點(diǎn)為.
當(dāng)與軸不垂直時(shí)，由于ABDE四點(diǎn)共線，所以可得.
因?yàn)椋?
當(dāng)與軸垂直時(shí)，與重合.所以所求軌跡方程為.
否
能
曲 線 和 方 程 問 題
由定義或相關(guān)條件列方程組，解出a,b,c,e，p或圓心、半徑，檢驗(yàn)
已知方程研究曲線性質(zhì)
畫出滿足條件的圖形
根據(jù)方程所具有的性質(zhì)（聯(lián)立方程組）及其他條件解題
已知性質(zhì)求曲線（方程）
作 答
例1 已知雙曲線C：（a>0，b>0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn).若∠MAN=60°，則C的離心率為________.
例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線 的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為 .
例3 已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為
（A） （B） （C） （D）
例4設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)為，，上下頂點(diǎn)為，，菱形的內(nèi)切圓的半徑為，橢圓的離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿足，試判斷直線，與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
例5 設(shè)橢圓()的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為．已知是拋物線()的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為．
(1)求橢圓的方程和拋物線的方程；
(2) 設(shè)上兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)(異于點(diǎn))，直線與軸相交于點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程．
例6 已知拋物線
過點(diǎn)，過點(diǎn)作直
線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)．過點(diǎn)
作軸的垂線分別與直線交于點(diǎn)
，其中為原點(diǎn)．
（1）求拋物線的方程，并求其焦點(diǎn)坐
標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
(2) 求證：為線段的中點(diǎn)．
例7 已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積為.
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)點(diǎn)在線段上，，延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為.
（i）求直線的斜率；
（ii）求橢圓的方程.
例8 雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過且與雙曲線交于兩點(diǎn).
（1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；
（2）設(shè)，若的斜率存在，且，求的斜率.
例9已知拋物線：的焦點(diǎn)為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)．
（1）若在線段上，是的中點(diǎn)，證明；
（2）若的面積是的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程.用思維導(dǎo)圖突破解析幾何壓軸題 專題02 定點(diǎn)、定值問題 （共11頁(yè)）
3
專題 定點(diǎn)、定值問題
解析幾何中的定點(diǎn)、定值問題一直是高考中值得關(guān)注的問題.它的基本形式是在若干個(gè)相關(guān)個(gè)幾何量轉(zhuǎn)化，某些量卻是恒定不變的.解答途徑是用部分量去表示要求的量，即建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)（或方程）關(guān)系，最后證明函數(shù)值是定值或某個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)適合方程.
動(dòng)中不動(dòng)是為定
變化之中理辯清
直接計(jì)算求定值
含參系數(shù)令其零
思路點(diǎn)撥
如圖，因?yàn)榕c共底邊CF，所以
.
因?yàn)閽佄锞€，故可知，準(zhǔn)線方程為.
過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，同樣過點(diǎn)作
準(zhǔn)線的垂線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).
根據(jù)拋物線的定義，得，.
所以選（A）.
思路點(diǎn)撥
第（1）題根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可以排除P1（1,1）.第（2）題聯(lián)立方程即可，此時(shí)有兩種方法聯(lián)立，第一種，假設(shè)直線AB的方程，第二種假設(shè)直線P2A和P2B.
滿分解答
(1) 根據(jù)橢圓對(duì)稱性可得，P1（1,1），P4（1，）不可能同時(shí)在橢圓上，P3（–1，），P4（1，）一定同時(shí)在橢圓上，因此可得橢圓經(jīng)過P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）.
把P2，P3坐標(biāo)代入橢圓方程得解得，
故橢圓的方程為；
（2）解1 ①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，，此時(shí)
，解得，此時(shí)直線過橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足.
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，則
消去y得 ，
，，此時(shí)
.
由于，所以，即，此時(shí)，存在，使得成立，
所以直線的方程為，直線必過定點(diǎn).
解2 由題意可得直線與直線的斜率一定存在，不妨設(shè)直線為, 則直線為.
由得，
設(shè)，此時(shí)可得：，
同理可得.
此時(shí)可求得直線的斜率為：
，化簡(jiǎn)可得，此時(shí)滿足.
當(dāng)時(shí)，兩點(diǎn)重合，不合題意.
當(dāng)時(shí)，直線方程為：，
即，當(dāng)時(shí)，，因此直線恒過定點(diǎn).
思路點(diǎn)撥
第（1）題只需證明.第（2）題要先求圓的方程，令y=0即可求出在y軸上弦長(zhǎng).求圓方程可以用標(biāo)準(zhǔn)式方程，也可以用一般式方程.當(dāng)然，本題還可以利用相交弦定理來解.
滿分解答
(1)設(shè)，則是方程的根，所以，則.
所以不會(huì)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況.
（2）解1 由于過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心必在線段AB垂直平分線上，設(shè)圓心，則.
由得，化簡(jiǎn)得
，所以圓E的方程為.
令得，所以過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為.所以,過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值
解2 由于的中點(diǎn)坐標(biāo)為，可得的中垂線方程為.
由（1）可得，所以的中垂線方程為.
聯(lián)立又，
可得
所以過三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，
故圓在軸上截得的弦長(zhǎng)為，即過三點(diǎn)的圓在軸上的截得的弦長(zhǎng)為定值.
解3 設(shè)圓的方程為，
令，得，由題意，
把代入圓的方程，得，即.
故圓的方程為： .
令，得，所以，故.
所以過三點(diǎn)的圓在軸上截得的弦長(zhǎng)為定值3.
解4設(shè)過A，B，C三點(diǎn)的圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由可知原點(diǎn)O在圓內(nèi)，由相交弦定理可得，又，所以，
所以，過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為，為定值.
思路點(diǎn)撥
第（1）題可以直接求出a、b；第（2）題用參數(shù)表示，可以設(shè)，用做參數(shù)，也可以設(shè)， 用做參數(shù).
滿分解答
(1)由已知，，又，解得
所以橢圓的方程為.
（2）解1 設(shè)橢圓上一點(diǎn)，則.
由于直線的方程：,令，得，
所以；
直線的方程：,令，得，
所以.
因?yàn)椋裕瑥亩?br/>.
故為定值.
解2 設(shè)橢圓 上一點(diǎn)，則
直線PA的方程:,令，得，
所以；
直線的方程:,令
，得，
所以.
故為定值.
思路點(diǎn)撥
第（3）題的兩種解法都是轉(zhuǎn)化成某個(gè)變量的系數(shù)中含有m，利用S是常數(shù)與該變量無關(guān)，令該變量系數(shù)為0得到含有m的式子，從而解出m的值.這是待定系數(shù)法，
是解答這類問題的常用方法.
解答本題思維導(dǎo)圖：
滿分解答
直線的方程為，
則到的距離.
因，所以
也可以這樣求：的絕對(duì)值
把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上述公式得
S=.（*）
由得.
由和橢圓的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知，代入（＊），并平方整理得
，所以或.
（３）解1因?yàn)椋?由
得，同理.所以
，即，
從而可得.
由（1）可得
.
因?yàn)槌?shù)，所以與無關(guān)，令解得.
解2 設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，設(shè)
直線的的方程為，聯(lián)立方程組，
消去解得.
根據(jù)對(duì)稱性，設(shè)則.
同理可得，，
所以.
設(shè)（常數(shù)），所以
，所以
.
由于左右兩邊恒成立，所以只能是，
解得.
思路點(diǎn)撥
第(2)題用直線AB的斜率k和表示，令含有k的項(xiàng)系數(shù)為0，解出.
滿分解答
(1)由已知，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，又點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，
于是，解得.
所以橢圓的方程為.
(2)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程為，的坐標(biāo)分別為.
聯(lián)立，得，其判別式
，所以，從而
．
所以，當(dāng)時(shí)，．此時(shí)，為定值.
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線即為直線，此時(shí).
所以，存在常數(shù)，使得為定值.用思維導(dǎo)圖突破解析幾何壓軸題 專題3 最值問題 （共17頁(yè)）
17
專題03 最值問題
最值（含范圍）問題是解析幾何中常見的
問題之一，其基本解題方法是把所求量表示成
某個(gè)變量的函數(shù)，利用二次函數(shù)或函數(shù)單調(diào)性
求最值或范圍，也可以利用基本不等式，有時(shí)
也會(huì)利用幾何量的有界性確定范圍.
最值問題不僅解答題中分量較大，而且客
觀題中也時(shí)常出現(xiàn).
求最值的思維導(dǎo)圖如右
最大最小為最值
單調(diào)二次不等式
幾何有界也有用
具體問題再審視
思路點(diǎn)撥
解1 顯然兩條直線的斜率都存在且不為0，拋物線的焦點(diǎn).
設(shè)，由消元y得
，
所以，
同理，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).選（A）.
解2 設(shè)直線的傾斜角為，則的傾斜角為，
因?yàn)椋?br/>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào).選（A）.
注1 過拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng).
注2 也可以設(shè)，則消取x得，
所以，同理，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
思路點(diǎn)撥
當(dāng)，焦點(diǎn)在軸上，要使上存在點(diǎn)滿足，則，即，得.
當(dāng)，焦點(diǎn)在軸上，要使上存在點(diǎn)滿足，則，即，得.
故的取值范圍為.
思路點(diǎn)撥
要求兩個(gè)絕對(duì)值之和的最小值，就要去掉絕對(duì)值，需要分類討論.怎么確定分類標(biāo)準(zhǔn)？就是令絕對(duì)值內(nèi)部的式子為0.比如，若令，則直線與圓相交，把圓分成兩部分.
解1 原問題可以轉(zhuǎn)化為如下的非線性規(guī)劃問題：可行域?yàn)閱挝粓A（含內(nèi)部）的任意一點(diǎn)，直線將可行域分成兩個(gè)部分，不妨將左下方的區(qū)域（大弓形區(qū)域）記作Ⅰ，將右上方的區(qū)域（小弓形區(qū)域）記作Ⅱ．
因?yàn)閱挝粓A及其內(nèi)部在直線下方，所以，所以
直線與單位圓交點(diǎn)，.
設(shè)，分別作直線并平移，則都在點(diǎn)取得最小值3.
所以的最小值是3.
解2 ，（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.
設(shè)，其中.
則
.
其中由確定，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即.
另外，當(dāng)時(shí)，.
所以的最小值是3.
思路點(diǎn)撥
在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域如圖，
的幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方．
過原點(diǎn)O作直線的垂線，垂足為A，可以看出圖中點(diǎn)距離原點(diǎn)最近，此時(shí)距離為原點(diǎn)O到直線的距離，
，則，
圖中點(diǎn)距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)，點(diǎn)為與交點(diǎn)，則，則．
所以，的取值范圍為
（1）求直線AP斜率的取值范圍；
（2）求的最大值.
思路點(diǎn)撥
第（2）題的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)表示，可以用直線的斜率為為參數(shù)，需要求出Q的坐標(biāo)，再分別求出的表達(dá)式，計(jì)算量較大.也可以設(shè)，以t為參數(shù)，從向量的角度得到
.
轉(zhuǎn)化為t函數(shù)，再求最大值.
滿分解答
（1）設(shè)直線的斜率為，，
因?yàn)椋灾本€斜率的取值范圍是.
（2）解1設(shè)直線AP的斜率為k，則
直線AP的方程為y=kx+k+，BQ的方程為y=.
聯(lián)立直線與的方程
解得點(diǎn).
因?yàn)椋?br/>，
所以.
令，因?yàn)椋?br/>所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值.
解2 用向量法，令，所以
.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
解3 在解2中，由
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得．因此所求的最大值為．
思路點(diǎn)撥
　 第（2）題可設(shè)，則，則.
，只要求的最小值，即只要求的最小值.
選擇作變量，需要分別求出|AB|和|OC|的表達(dá)式，預(yù)計(jì)有一定的計(jì)算量.
滿分解答
(1) 由題意知 ，所以，因此 橢圓的方程為.
(2) 設(shè)，則，且.
設(shè)，聯(lián)立方程得，
由題意知，且，故
.
聯(lián)立方程得，因此.
所以 ，
.
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得．因此的最大值為，從而的最大值為，此時(shí)直線的斜率為．
注 .
令，則，代入上式整理得
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)的最小值 ，此時(shí).
思路點(diǎn)撥
第（1）題直接計(jì)算可得。第（2）要選擇參數(shù)表示面積，結(jié)合圖形可選點(diǎn)P的坐標(biāo)為參數(shù)，因?yàn)镼、E都分別用P的坐標(biāo)表示，從而直線QE與橢圓交點(diǎn)即可解除G點(diǎn)坐標(biāo)。
（2）（i）從結(jié)論并結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)要證明。由已知可得(把條件翻成圖式)：設(shè)直線PQ的方程為y=kx(k>0),則,E(，。
由此可得（中間結(jié)論：）
,
由，在把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程作差化積。
頁(yè)利用求P，G坐標(biāo)（“暴力解法”）
（ii）由于，剩下就是化簡(jiǎn)求最值。若發(fā)現(xiàn)QG中點(diǎn)M，則三角形OQM面積是三角形PQG面積的四分之一（隱含條件），則更簡(jiǎn)單。
但是由于是雙變量，可以預(yù)見運(yùn)算量較大，既考能力也考意志。
滿分解答
（1）由題，得，即，所以曲線為，表示焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓（除去左右定點(diǎn)）.
（2）（i）設(shè)直線PQ的方程為y=kx(k>0),則,E(，。
由此可得 ,
由
因?yàn)樵跈E圓上，所以可得，從而, =所以即。
所以是直角三角形。
解2 設(shè)直線的方程為，由題意可知，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，即或,點(diǎn)P在第一象限，所以
，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為
直線的斜率為，可得直線方程：，與橢圓方程聯(lián)立，，消去得，（*），設(shè)點(diǎn)，顯然點(diǎn)的橫坐標(biāo)和是方程（*）的解
所以有，代入直線方程中，得
，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
直線的斜率為：
因?yàn)樗裕虼耸侵苯侨切巍１绢}思維導(dǎo)圖如下：
（2）(ii)解1 設(shè)直線PQ斜率為k（k>0），P(x1,y1), G(x0,y0,),則Q(-x1,-y1).
設(shè)M為QG的中點(diǎn)，則由（1）知，直線QG的方程為，
由解得。
直線PQ的方程與橢圓方程聯(lián)立，即解得.
所以 =.
所以=。
(ii)解2 直線QG的方程與橢圓方程聯(lián)立，得方程組
消去y得 。
由韋達(dá)定理得，由弦長(zhǎng)公式得
.
所以。
(ii)解3 可知三點(diǎn)坐標(biāo)，是直角三角形，求出的長(zhǎng)，利用面積公式求出的面積，再利用導(dǎo)數(shù)求出面積的最大值.
由（i）可知：，
的坐標(biāo)為，
，，
.
亦或.
求該函數(shù)的最大值有以下兩種處理方式：
解1 .
設(shè)，則由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為.
解2 ，,因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為.
因此，面積的最大值為.
第（ii）題的思維導(dǎo)圖：
思路點(diǎn)撥
第（2）題設(shè)，即用點(diǎn)P橫坐標(biāo)作為參數(shù)，通過求導(dǎo)或判別式法求直線的斜率（用m表示），由“點(diǎn)差法”可得，從而用m表示D、G的坐標(biāo)，再用m表示和，把轉(zhuǎn)化為m的函數(shù)求最小值.
滿分解答
（1）由于，所以 ，又，所以，因?yàn)椋獾茫?所以，橢圓方程為：.
（2）（i）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為 ，設(shè)，則過點(diǎn)的切線斜率 ，直線 的方程為.
因?yàn)樵跈E圓上，所以 兩式相減可得：
，
又，所以直線 的方程為：.
因?yàn)榻稽c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，所以點(diǎn)在定直線上.
（ii）由（i）得 ，由可得 ，從而
， ，
于是
.
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，“=”成立，此時(shí).
注 本題解答的關(guān)鍵是求D的坐標(biāo).也可以把直線的方程代入橢圓方程，整理得 .
由得，由韋達(dá)定理可得
第（2）題中求的最大值，也可以令，則，，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題.
思路點(diǎn)撥
因?yàn)槭堑妊切危訬的橫坐標(biāo)為D橫坐標(biāo)的一半，因此，可選點(diǎn)N的坐標(biāo)為參數(shù)，也可用作為參數(shù).
滿分解答
（1）解1 設(shè)點(diǎn)，，
，依題意，，且，
所以，且
即且
由于當(dāng)點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也不動(dòng)，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲線的方程為
解2由已知，若設(shè)，則.
設(shè)，依題意，，即
，，
所以，所求的曲線的方程為
（2）解1 ①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為或，都有.
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，
由 消去，可得.
因?yàn)橹本€總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，
即. ①
又由 可得；
同理可得.
由原點(diǎn)到直線的距離為和，可得
. ②
將①代入②得，.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
因，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為8.
綜合（1）（2）可知，當(dāng)直線與橢圓在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，的面積取得最小值8.
解2設(shè)直線與橢圓C相切于點(diǎn)，則直線的方程為（）.
由解得，同理可得，從而可得.
因?yàn)椋裕郑ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.
注 過橢圓上點(diǎn)的切線方程是.
解3 設(shè)直線與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)為，則為切點(diǎn)，且，所以過E的切線方程為.
把 與得，
同理可得.
所以
當(dāng)，即直線與橢圓C在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，的面積取得最小值8.用思維導(dǎo)圖突破解析幾何壓軸題 專題4 存在性問題 （共11頁(yè)）
10
專題04 存在性問題
解析幾何中的存在性問題通常是設(shè)其
存在，然后依據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行推理，有時(shí)
通過直接計(jì)算就能得到結(jié)論，有時(shí)要根據(jù)
要求確定存在的條件，如果得到矛盾則說
明不存在.高考中存在性問題一般以解答
題的形式出現(xiàn).
本專題思維導(dǎo)圖如右
解題預(yù)設(shè)其存在
推理論證求出來
如若前后有矛盾
那就說明不存在
思路點(diǎn)撥
（1）證明與垂直可以證明，也可以證明斜率之積等于-1，還可以用幾何法；（2）設(shè)直線MN的方程為，則有，用相關(guān)量分別表示、、，根據(jù)即可即得的值.
滿分解答
（1）依題意，可設(shè)直線MN的方程為，則有
由消去x可得． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
從而有 ①
于是 ②
又由，可得 ③
（1）如圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)即為拋物線的焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線，此時(shí) ①可得．
證法1：，
．
證法2：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
證法3 平面幾何 證法 .
(2)存在，使得對(duì)任意的，都有成立．
記直線與x軸的交點(diǎn)為,則．于是有
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
若，即，
亦即 ．
把的值代入解得．
思路點(diǎn)撥
第（1）題把直線方程代入橢圓方程得到關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式及已知條件即可求出橢圓方程和T點(diǎn)坐標(biāo)；第（2）題把直線與聯(lián)立可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，把與E聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出，最后求出，說明存在.
直線的方程可設(shè)為斜截式，也可設(shè)為參數(shù)式，因此第（2）題有兩種解法.
滿分解答
（1）設(shè)短軸一端點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，則.
由題意，為直角三角形，則 解得，所以
.
把代入E整理可得 . （*）
與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則，解得.
所以.
把代入（*），解得，則，所以的坐標(biāo)為.
解1 由已知可設(shè)的方程為.
由方程組解得 即
，則 .
由方程組得 .
其判別式，即
由韋達(dá)定理得，于是
，
.
由得，即
故存在這樣的，使得成立.
解2 設(shè)在上，由，平行，可設(shè)的參數(shù)方程為 代入橢圓得，
整理可得 .
設(shè)兩根為，，則有.
而，
，
同理可得 .
故有.
由題意，所以.
故存在這樣的，使得成立.
思路點(diǎn)撥
第（1）題只要用弦長(zhǎng)公式即可.第（2）題幾何意義明顯，因?yàn)閳A和橢圓都關(guān)于y軸對(duì)稱，“至多有三個(gè)公共點(diǎn)”的反面是由4個(gè)公共點(diǎn)，然后取補(bǔ)集.也可以從方程有解和距離角度去解答.
滿分解答
（1）設(shè)直線被橢圓截得的線段為，由
得，
故，．
因此．
（2）假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有個(gè)，由對(duì)稱性可設(shè)軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)，，滿足．
記直線，的斜率分別為，，且，，．
由（1）知，，，
故，
所以．
由于，，得，
因此， ①
因?yàn)棰偈疥P(guān)于，的方程有解的充要條件是，
所以．
因此，任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為
，由得，所求離心率的取值范圍為．
解2 設(shè)圓的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得
①
根據(jù)題意知，上述方程在上至多一解，記
.
假設(shè)方程①在上有兩解，則
于是，或，故.
因此，任意以點(diǎn)A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件是.
由得所求離心率的取值范圍為.
解3 取橢圓上點(diǎn)，則.
.
根據(jù)題意，當(dāng)P從A到B(0,-1)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，PA處處不相等，由此可以判斷PA是單調(diào)變化的.因此PA的最大值即為AB，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得，此時(shí)只需對(duì)稱軸，即得.
因此，任意以點(diǎn)A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件是.
由得所求離心率的取值范圍為.
思路點(diǎn)撥
第（2）題設(shè)點(diǎn)A在第一象限可以省去、與直線、斜率之間符號(hào)的討論.由轉(zhuǎn)化為.也可以利用相似于來解.
滿分解答
（1）因在橢圓上，所以，又離心率，即
，.
由得，所以.
所以橢圓的方程為.
因，所以直線的方程為，
令得，所以.
（2）不失一般性，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限.
若，則，即
，
亦即，即.
由已知，同理可得.設(shè)存在，
使，則
，解得.
因，所以，所以.
所以存在點(diǎn)，使得.
（2）因?yàn)椤祝?br/>，，所以.
思路點(diǎn)撥
第（2）題求圓弦的中點(diǎn)軌跡，利用弦心距和弦垂直比較簡(jiǎn)單.可以兩直線斜率乘積等于-1，可以用向量數(shù)量積等于0，還可以從幾何意義角度考慮.
第（3）題是直線與圓弧有一個(gè)公共點(diǎn)，一種可能是相切，另一種可能是相交，求交點(diǎn)時(shí)用數(shù)形結(jié)合來解較為簡(jiǎn)單，也可以轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布，但運(yùn)算量較大.
滿分解答
(1)將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，可知圓的圓心坐標(biāo).
(2)解1 設(shè)線段的中點(diǎn)，由圓的性質(zhì)可得垂直于直線.設(shè)直線的方程為（易知直線的斜率存在），所以，，，所以，即.
因?yàn)閯?dòng)直線與圓相交，所以，所以.所以，所以，解得或，又因?yàn)椋?
所以滿足，即的軌跡的方程為.
解2 由題意，，設(shè)，則
，那么，即
，其軌跡為圓，方程為
因兩圓與相交弦所在直線方程為，故所求的軌跡方程為.
解3 因，即，所以是，從而可知點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，其方程是.
軌跡范圍求法同上（略）.
(3)直線與圓弧有一個(gè)交點(diǎn)最常見的方法數(shù)形結(jié)合，還可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個(gè)區(qū)間有一個(gè)根（零點(diǎn)）.
解1 由題意知直線表示過定點(diǎn)，斜率為的直線.
結(jié)合圖形，
表示的是一段關(guān)于x軸對(duì)稱，起點(diǎn)為按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到的圓弧.根據(jù)對(duì)稱性，只需討論在x軸對(duì)稱下方的圓弧.設(shè)，則,而當(dāng)直線與軌跡相切時(shí)， ，解得.在這里暫取，因?yàn)椋裕Y(jié)合圖形，可得對(duì)于軸對(duì)稱的下方的圓弧，當(dāng)或時(shí)，直線與軸對(duì)稱下方的圓弧有且只有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可知或.
綜上所述：當(dāng)或時(shí)，直線與曲線只有一交點(diǎn).
解2 由（2）和得
，.（*）
直線與圓弧C只有一個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于方程（*）在區(qū)間有唯一個(gè)解.
① 若直線與圓弧C相切，則由
，解得.
② 若直線與圓弧C不相切，記
，
由得，對(duì)稱軸，
所以要使（*）在區(qū)間有唯一個(gè)解，必須對(duì)稱軸滿足
，且解得.
綜上所述：當(dāng)或時(shí)，直線與曲線只有一交點(diǎn).用思維導(dǎo)圖突破解析幾何壓軸題 專題5 參數(shù)方程與極坐標(biāo) （共12頁(yè)）
12
專題05 參數(shù)方程與極坐標(biāo)
本專題所說的參數(shù)方程不僅指直線和圓錐曲線的參數(shù)方程，還包括在解題過程中要根據(jù)具體情況自行選取的參數(shù).參數(shù)在解題過程中起到“橋梁”作用，用參數(shù)溝通其他量之間的關(guān)系，最后消去參數(shù)，達(dá)到解題目的.
本專題思維導(dǎo)圖如右
參數(shù)作用似橋梁
一橋飛架聯(lián)系暢
直線曲線都已知
其他選參代表強(qiáng)
思路點(diǎn)撥
要求，就要把P的坐標(biāo)表示出來，注意到曲線是半圓，想到圓的參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題；當(dāng)然，P的坐標(biāo)也可以用（x，y）表示，最終可轉(zhuǎn)化為x代數(shù)式求最值；由于是定值，由數(shù)量積的投影幾何意義可知，只要求在上投影的最大值，于是，有下面三種解法：
解1設(shè)，則，
.
因?yàn)椋裕?br/>解2 設(shè)，則那么
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；
當(dāng)時(shí)，，所以
解3由，，的最大值就是在上投影的最大值的倍，這只要作的垂線且與半圓相切，如圖的點(diǎn).
當(dāng)位于時(shí)，此時(shí)直線恰與垂直時(shí)數(shù)量積最小，最小值為0.
設(shè)直線的方程為圓心到直線的距離解得（舍），因此，在.
所以=
綜上所述，的取值范圍是
思路點(diǎn)撥
設(shè)出點(diǎn)，用參數(shù)t表示x，y，把直線OM的斜率表示成t的函數(shù)，然后求最值.
設(shè)（不妨設(shè)），則，所以
即
所以，所以，故選（C）.
思路點(diǎn)撥
第（1）題將參數(shù)方程化為直角方程后，直接聯(lián)立方程求解即可.第（2）題將參數(shù)方程直接代入距離公式即可.
滿分解答
將曲線C 的參數(shù)方程化為直角方程為，直線化為直角方程為+.
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，代入可得直線為，
由解得或，
故而交點(diǎn)為或.
（2）點(diǎn)到直線+的距離為
，其中.
依題意得：，
若，則當(dāng)時(shí)最大，即，；
當(dāng)，則當(dāng)時(shí)最大，即， ，
綜上或.
思路點(diǎn)撥
(1)將曲線的參數(shù)方程先消參化簡(jiǎn)得到直角坐標(biāo)方程,再代入及化簡(jiǎn)即可.
(2) 將代入曲線的極坐標(biāo)方程得出韋達(dá)定理,再根據(jù)的幾何意義代入韋達(dá)定理,并利用三角函數(shù)的最值問題求解即可.也可以把極坐標(biāo)系下的方程用參數(shù)方程（t為參數(shù)），代入圓的方程，由，并利用韋達(dá)定理即可得所求表達(dá)式。當(dāng)然若利用幾何意義，則更簡(jiǎn)單。
【滿分解答】
（1）將曲線C的參數(shù)方程,消去參數(shù),
得.
將及代入上式,得.
（2）解1（用極坐標(biāo)）依題意由知.
將代入曲線C的極坐標(biāo)方程,得.
設(shè),則，所以
.
因?yàn)?所以,則,所以的取值范圍為.
解2 （用直線的參數(shù)方程）設(shè)直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)），代入圓的方程整理得
.
，以下同解1.
解3 ，當(dāng)直線l與圓相切時(shí)，，此時(shí)的最小值為，當(dāng)直線l過圓心時(shí)，，此時(shí)的最大值為
本題本意考查圓參數(shù)方程化簡(jiǎn)極坐標(biāo)的方法,同時(shí)也考查了極坐標(biāo)的幾何意義與三角函數(shù)求最值的方法.實(shí)際上，把直線的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)的參數(shù)方程也可以，利用切割線定理則十分簡(jiǎn)單。
思路點(diǎn)撥
第（1）只需證明，可以用向量的數(shù)量積為0，也可以利用斜率之積等于-1.第（2）題設(shè)點(diǎn)A、B坐標(biāo)可以根據(jù)拋物線方程設(shè)出參數(shù)式，也可以設(shè)普通形式.求圓方程需要確定圓心和半徑，根據(jù)不同選擇參數(shù)的方法，用參數(shù)表示圓心和半徑，再根據(jù)其他條件求出圓心和半徑即可.
滿分解答
解1 （1）設(shè)，，則直線AB的斜率是，所以AB的方程為 ，
令y=0得直線與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即，因此，因此命題得證．
(2) 根據(jù)題意，有
解得或．
因?yàn)橹本€的方程為，圓的圓心坐標(biāo)為，
所以當(dāng)時(shí)，直線的方程為，，所以圓的圓心坐標(biāo)為，圓的方程為.
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓的圓心坐標(biāo)為，圓的方程為.
解2 （1）設(shè).
由可得，則.
又所以.
因的斜率與的斜率之積為，所以.
故坐標(biāo)原點(diǎn)在圓上.
（2）由（1）可得.
故圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑，由于圓過點(diǎn)，因此.
故，即
由（1）可得，所以，解得或.
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，圓的方程為
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，圓的方程為.
思路點(diǎn)撥
第（1）只要解方程組即得。第（2）題要哪個(gè)角是直角進(jìn)行討論。第（3）題設(shè)出P，M的坐標(biāo)，通過已知條件去表示出點(diǎn)C或Q的坐標(biāo)，從而求出直線AC的方程。其中點(diǎn)可設(shè)，或。
滿分解答
（1）設(shè)，則，解得，即.
（2）設(shè)，則。
當(dāng)時(shí)，（舍）；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，。
綜上，，。
（3）解1 設(shè)，
由得，即 ①
又在橢圓上，所以 ②
①-②得.
因?yàn)辄c(diǎn)不為上頂點(diǎn)，所以 ③
由得，由得，代入橢圓方程，整理。
將②式代入得 ④
聯(lián)立②③④式解得，從而，所以方程.
解2 設(shè)，則
，那么
，
把點(diǎn)C坐標(biāo)代入橢圓方程得，即
。 ①
又，所以，即。
因?yàn)镻不過頂點(diǎn)，所以，從而， ②
把②代入①得，即，
因?yàn)镻不過頂點(diǎn)，所以，從而
，于是，所以AC直線的方程為
思路點(diǎn)撥
第（2）題中若點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，則直線PQ的方程為y=-x+n,代入直線方程利用韋達(dá)定理可得中點(diǎn)坐標(biāo)，利用判別式可得不等式，由此解出的取值范圍.這里是選n作為參數(shù).
也可以用“點(diǎn)差法”，用點(diǎn)、坐標(biāo)作為參數(shù).
滿分解答
（1）因?yàn)榕c軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，即拋物線的焦點(diǎn)為，即，所以拋物線方程為.
（2）解1 ①由已知可設(shè)直線PQ的方程為y=-x+n,代入拋物線方程整理得y2 +2 py -2pn=0.
，
即. （*）
設(shè)點(diǎn)，，為PQ中點(diǎn)，則由韋達(dá)定理得，代入直線方程解得，所以線段上的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
②因?yàn)樵谥本€y=-x+n上，所以，即，代入（*）得
，即，所以.
另解 因?yàn)樵趻佄锞€焦點(diǎn)區(qū)域內(nèi)，所以，即，所以.
（2）解2 ① 設(shè)點(diǎn)，，則
即從而.
又關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，.
又中點(diǎn)一定在直線上，所以，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
②因?yàn)榫€段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則
即
由此可得 即關(guān)于y的一元二次方程
有兩個(gè)不等根.
所以，即，解得．
注 此題結(jié)論可推廣為：若拋物線y2=2px (p＞0)上存在與坐標(biāo)軸不對(duì)稱的兩點(diǎn)關(guān)于直線：y=kx十m對(duì)稱，則．
若用此結(jié)論立得 k=1，m=-2，代入上式得3p-4<0，所以.
還可推廣到橢圓和雙曲線的情況.
思路點(diǎn)撥
設(shè)直線AM的斜率為，把直線方程代入橢圓方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)或利用韋達(dá)定理求出|AM|，以代求出|AN|.對(duì)第（1）題直接解出，在求面積；對(duì)第（2）題，用表示t，再根據(jù)t>3求出范圍.
滿分解答
⑴當(dāng)時(shí)，橢圓E的方程為，A點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線AM的方程為．
聯(lián)立并整理得，.
解得或，則.
因?yàn)椋?
因?yàn)椋裕淼茫瑹o實(shí)根，所以．
所以的面積為．
（2）直線AM的方程為，
聯(lián)立并整理得 .
解得或，所以
，
從而.
因?yàn)椋裕?br/>整理得，．
因?yàn)闄E圓E的焦點(diǎn)在x軸，所以，即，整理得，
即或（也可用“標(biāo)根法”）解得．

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