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2.3 用公式法求解一元二次方程
第二章 一元二次方程
第2課時 利用一元二次方程解決面積問題
九年級上冊數學（北師版）
情境導入
在寬為 20 m，長為 32 m 的矩形地面上修筑如圖所示的同樣寬的道路，余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為 540 m2，則這種方案下的道路的寬為多少？
問題：在一塊長 16 m、寬 12 m 的矩形荒地上，要建造一個花園，并使花園所占面積為荒地面積的一半. 你能給出設計方案嗎？
16 m
12 m
看一看：下面幾位同學的設計方法是否合理？
探究新知
利用一元二次方程解決面積問題
1
解：設小路的寬為 x m，根據題意得：
即 x2 - 14x + 24 = 0.
解方程得 x1 = 2， x2 = 12.
將 x = 12 代入方程中不符合題意舍去.
答：小路的寬為 2 m.
小明設計：如右圖所示，其中花園四周小路的寬都相等.通過解方程，得到小路的寬為 2 m 或 12 m.
16 m
12 m
（1）你認為小明的結果對嗎？為什么？
x
x
解：由圖片信息得，四個扇形組成一
個圓設扇形半徑為 x m，根據題意得：
即 πx2 = 96.
解方程得 x1 = (舍去)，x2 = .
答：扇形半徑約為 5.5 m.
小亮設計：
如右圖所示，其中花園每個角上的扇形都相同.
（2）你能幫小亮求出圖中的 x 嗎？
16 m
12 m
x m
解：設花園的寬為 x m，根據題意得：
小穎設計：如右圖所示，其中花園是兩條互相垂直的矩形，且它的寬都相等.
（3）你還有其他設計方案嗎？與同伴交流.
16 m
12 m
x m
x m
即 x2 - 28x + 96 = 0.
解方程得 x1 = 4，x2 = 24.
將 x = 24 代入方程中不符合題意舍去.
答：花園的寬為 4 m.
在幾何圖形的面積問題中，面積公式往往就是建立等量關系的關鍵. 如果圖形不規則，就割或補成規則圖形，找出各部分面積之間的關系，再運用規則圖形的面積公式列出方程.
方法點撥
20
32
x
x
解：設道路的寬為 x 米，則
例1 如圖，在一塊寬為 20 m，長為 32 m 的矩形地面上修筑同樣寬的兩條道路，余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為 540 m2，則道路的寬為多少？
還有其他方法嗎？
方法一：
典例精析
20
32
x
x
解：設道路的寬為 x 米，可列方程
20 x
32 x
(32 x)(20 x) = 540.
整理，得 x2 52x + 100 = 0.
解得 x1 = 2，x2 = 50.
當 x = 50 時，32 x = 18，不合題意，舍去.
∴取 x = 2.
答：道路的寬為 2 米.
方法二：
在寬為 20 m，長為 32 m 的矩形地面上修筑如圖所示的同樣寬的道路，余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為 540 m2，則這種方案下的道路的寬為多少？
解：設道路的寬為 x 米，且 x＜20.
(32 x)(20 x) = 540
可列方程為
x
20 - x
32 - x
答：道路的寬為 2 米.
解得 x1 = 50(舍)，x2 = 2.
回顧導入
我們利用“圖形經過平移，它的面積大小不會改變”的性質，把縱、橫兩條路平移，使列方程容易些（目的是求出小路的寬，至于實際施工，仍可按原圖的位置修路）.
歸納總結
例2 要設計一本書的封面，封面長 27 cm，寬 21 cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的長方形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度(精確到 0.1 cm)？
27 cm
21 cm
典例精析
分析：這本書的長寬之比為 : ，正中央的長方形的長寬之比為 : ，上下邊襯與左右
邊襯的寬度之比 : .
9
9
解析：設中央長方形的長和寬分別為 9a 和 7a，由此得到上下邊襯寬度之比為
9
7
7
7
27 cm
21 cm
解：設上下邊襯的寬均為 9x cm，則左右邊襯寬為 7x cm，中央的矩形的長為 (27 18x) cm，寬為
(21 14x) cm. 由題意，得
27cm
21cm
解得
故上下邊襯的寬為
故左右邊襯的寬為
方程的哪個根符合實際意義 為什么
整理，得 16x2 48x + 9 = 0.
解法2：設正中央的長方形的兩邊別為 9x cm，7x cm. 依題意得
解得
故上下邊襯的寬度為
左右邊襯的寬度為
27cm
21cm
幾何圖形與一元二次方程問題
幾何圖形
常見幾何圖形面積是等量關系
類 型
課本封面問題
彩條/小路寬度問題
常采用圖形平移，聚零為整，方便列方程
動點面積問題
當堂小結
1. 在一幅長 80 cm，寬 50 cm 的長方形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅長方形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是 5400 cm2，設金色紙邊的寬為 x cm，那么 x 滿足的方程是（ ）
A．x2 + 130x - 1400 = 0
B．x2 + 65x - 350 = 0
C．x2 - 130x - 1400 = 0
D．x2 - 65x - 350 = 0
80 cm
x
x
x
x
50 cm
B
課堂練習
2.如圖，要設計一個寬 20 cm，長為 30 cm 的矩形圖案，其中有兩橫兩豎彩條，橫豎彩條的寬度之比為 2∶3 ，若使所有彩條的面積是原來矩形圖案面積的三分之一，應如何設計每個彩條的寬度？
解：設橫向彩條的寬度 2x cm，則豎向彩條的寬度 3x cm.
則
答：橫豎條的寬度分別是
解得
∵20 - 6x＞0，30 - 4x＞0，
∴ x＜

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