資源簡介

(共17張PPT)
1.1 菱形的性質(zhì)與判定
第2課時(shí) 菱形的判定
第一章 特殊的平行四邊形
問題 上節(jié)課我們已經(jīng)知道“菱形的對(duì)角線相互垂直”，反過來，小明猜想對(duì)角線垂直的四邊形是菱形， 你覺得對(duì)嗎？
不對(duì)，菱形是特殊的平行四邊形，所以它的對(duì)角線不僅垂直且平分.
不對(duì)，
如圖.
猜想：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
你能證明這一猜想嗎？
對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形
我們用一長一短兩根細(xì)木條，在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘，做成一個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的十字，四周圍上一根橡皮筋，可得到一個(gè)平行四邊形. 那么轉(zhuǎn)動(dòng)木條，這個(gè)平行四邊形什么時(shí)候變成菱形 對(duì)此你有什么猜想？
1
證明： ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴ OA = OC.
又∵ AC⊥BD，
∴ BD 是線段 AC 的垂直平分線.
∴ BA = BC.
∴ □ABCD 是菱形（菱形的定義）.
A
B
C
O
D
已知：如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形，對(duì)角線 AC 與 BD 相交于點(diǎn) O ，AC⊥BD.
求證：□ABCD 是菱形.
證一證
對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
AC⊥BD
幾何語言描述：
在 □ABCD 中，∵AC⊥BD，
∴ □ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
A
B
C
D
□ABCD
知識(shí)要點(diǎn)
菱形的判定定理1
例1 已知：如圖，在□ABCD 中，對(duì)角線 AC 與 BD 相交于點(diǎn) O，AB = ，OA=2，OB=1.
求證：□ABCD 是菱形.
證明：在△AOB 中，
∵AB = ，OA=2，OB=1，
∴AB2 = AO2 + OB2.
∴△AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角.
∴AC⊥BD.
∴□ABCD 是菱形(對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形).
A
B
C
O
D
典例精析
1. 在四邊形 ABCD 中，對(duì)角線 AC，BD 互相平分，若添加一個(gè)條件使得四邊形 ABCD 是菱形，則這個(gè)條件可以是 （ 　 ）
A．∠ABC = 90°
B．AC⊥BD
C．AB = CD
D．AB∥CD
B
練一練
四條邊相等的四邊形是菱形
小剛：分別以 A、C 為圓心，以大于 AC 的長為半徑作弧，兩條弧分別相交于點(diǎn) B，D，依次連接 A、B、C、D 四點(diǎn).
已知線段 AC，你能用尺規(guī)作圖的方法作一個(gè)菱形 ABCD，使 AC 為菱形的一條對(duì)角線嗎？
C
A
B
D
想一想：根據(jù)小剛的作法你有什么猜想？你能驗(yàn)證小剛的作法對(duì)嗎？
猜想：四條邊相等的四邊形是菱形.
2
證明：∵ AB = BC = CD = AD，
∴ AB = CD，BC = AD.
∴ 四邊形 ABCD 是平行四邊形.
又∵ AB = BC，
∴ 四邊形 ABCD 是菱形.
已知：如圖，四邊形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.
求證：四邊形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
證一證
知識(shí)要點(diǎn)
菱形的判定定理2
四條邊都相等的四邊形是菱形.
AB = BC = CD = AD
幾何語言描述：
在四邊形 ABCD 中，∵ AB = BC = CD = AD，
∴ 四邊形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
四邊形 ABCD
A
B
C
D
證明：∵∠1 =∠2，AE = AC，AD = AD，
∴ △ACD≌△AED (SAS).
同理，△ACF≌△AEF.
∴ CD = ED，CF = EF.
又∵ EF = ED，
∴ CD = ED = CF = EF.
∴ 四邊形 CDEF 是菱形.
2
例2 如圖，在△ABC 中，AD 是角平分線，
點(diǎn) E、F 分別在 AB、AD 上，且 AE = AC，EF = ED.
求證：四邊形 CDEF 是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
你能用折紙等辦法得到一個(gè)菱形嗎？動(dòng)手試一試！
點(diǎn)擊視頻
開始播放
做一做
你能說說這樣做的道理嗎？
1. 如圖，□ABCD 的兩條對(duì)角線 AC、BD 相交于點(diǎn) O，AB = 5，AO = 4，BO = 3.
求證：四邊形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
O
又∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∵ OA = 4，OB = 3，AB = 5，
證明：
即 AC⊥BD.
∴ AB2 = OA2 + OB2.
∴△AOB 是直角三角形，
∴ 四邊形 ABCD 是菱形.
針對(duì)訓(xùn)練
有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
四邊相等的四邊形是菱形.
運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算和證明
菱形的判定
定義法
判定定理
2. 一邊長為 13 cm 的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長分別
為 24 cm 和 10 cm，則其周長為 .
52 cm
1. 判斷下列說法是否正確：
(1) 對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；
(2) 對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；
(3) 對(duì)角線互相垂直，且有一組鄰邊相等的
四邊形是菱形；
(4) 兩條鄰邊相等，且一條對(duì)角線平分一組
對(duì)角的四邊形是菱形．
√
╳
╳
╳
3. 如圖，將△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE，連接 AD，增加下列條件能夠判定四邊形 ACED 為菱形的是（　　）
A．AB = BC B．AC = BC
C．∠B = 60° D．∠ACB = 60°
B
解析：∵ 將△ABC 沿 BC 方向平移得到△DCE，
∴ AC∥DE，AC = DE.
∴ 四邊形 ACED 為平行四邊形.
當(dāng) AC = BC 時(shí)，
平行四邊形 ACED 是菱形．
故選 B．
B
C
A
D
O
E
M
N
證明：∵ MN 是 AC 的垂直平分線，
∴ AE = CE，AD = CD，OA = OC，
∠AOD =∠EOC = 90°.
∵ CE∥AB，∴ ∠DAO =∠ECO.
∴ △ADO≌△CEO (ASA). ∴ AD = CE.
∴ 四邊形 ADCE 是平行四邊形.
又∵ DE⊥AC，
∴ 四邊形 ADCE 是菱形.
4. 如圖，△ABC 中，AC 的垂直平分線 MN 交 AB 于點(diǎn) D，交 AC 于點(diǎn) O，CE∥AB 交 MN 于點(diǎn) E，連接 AE、CD. 求證：四邊形 ADCE 是菱形.

展開更多......

收起↑