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2.3 用公式法求解一元二次方程
第二章 一元二次方程
第1課時 用公式法求解一元二次方程
九年級上冊數學（北師版）
1. 用配方法解一元二次方程的步驟有哪幾步？
2.如何用配方法解方程 2x2 + 4x + 1 = 0
一、移常數項；
二、配方[配上 ]；
三、寫成 (x + m)2 = n ( n≥0 )；
四、直接開平方法解方程.
解：x2 + 2x = ，即 (x + 1)2 = .
復習導入
你能用配方法解 ax2 + bx + c = 0.(a ≠ 0) 嗎？
探究新知
求根公式的推導
1
合作探究
我們發現，利用配方法解一元二次方程的基本步驟是相同的. 因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0. (a ≠ 0)，得到根的一般表達式，那么再解一元二次方程時，就會方便簡捷得多.
方程兩邊都除以 a，得
解：
移項，得
配方，得
問題：接下來能用直接開平方解嗎？
你能用配方法解 ax2 + bx + c = 0.(a ≠ 0) 嗎？
∵ a ≠ 0，4a2 ＞ 0，
∴ 當 b2 - 4ac≥0 時，
當 b2 - 4ac＜0 時，
而 x 取任何實數都不能使上式成立，
∴ 此時方程無實數根.
求根公式：
歸納總結
用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法.
用公式法解一元二次方程的前提是：
注意
1. 必須是一般形式的一元二次方程：
ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)；
2. 必須滿足 b2 - 4ac≥0 才能代公式計算.
例1 解方程.
（1）x2 - 7x - 18 = 0
解：這里 a = 1，b = -7，c = -18，
∵ b2 - 4ac = (-7)2 - 4×1×(-18) = 121 ＞ 0.
公式法解方程
2
典例精析
∴ x1 = 9，x2 = -2.
解：將原方程化為一般式：
4x2 - 4x + 1 = 0.
即
這里 a、b、c 的值分別是什么？
（2）4x2 + 1 = 4x.
這里 a = 4，b = -4，c = 1，
∵ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×4×1 = 0.
公式法解方程的一般步驟
1. 變形：化已知方程為一般形式；
2. 確定系數：用 a，b，c 寫出各項系數；
3. 計算：b2 - 4ac 的值；
4. 判斷：若 b2 - 4ac≥0，則利用求根公式得解；
若 b2 - 4ac＜ 0，則方程沒有實數根.
要點歸納
議一議
(1) 你能解一元二次方程 x2 - 2x + 3 = 0 嗎？你是怎么想的？
(2) 對于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，當 b2 4ac＜0 時？它的根的情況是怎樣的？與同伴交流.
原方程無實數根.
(x - 1)2 = -2
當 b2 - 4ac＜0 時，
∴ 此時方程無實數根.
一元二次方程根的判別式
3
兩個不等的實數根
兩個相等的實數根
沒有實數根
兩個實數根
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的情況可由 b2 4ac 來判定，我們把 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的判別式. 通常用希臘字母“Δ”表示.
b2 4ac ＞ 0
b2 4ac = 0
b2 4ac ＜ 0
Δ ≥ 0
歸納總結
判別式的情況
Δ ＞ 0
Δ = 0
Δ ＞ 0
Δ ＜ 0
Δ = 0
Δ ＞ 0
根的情況
根的情況
0
5
有兩個相等的實數根
沒有實數根
有兩個不等的實數根
Δ
填一填
根的判別式使用方法
3.判別根的情況，得出結論.
1.化為一般式，確定 a，b，c 的值.
2.計算 Δ 的值，確定 Δ 的符號.
例2 若關于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有兩個不相等的實數根，則 k 的取值范圍是( )
A. k＞-1 B. k＞-1且 k ≠ 0
C. k＜1 D. k＜1且 k ≠ 0
解析：由題知，方程有兩個不相等的實數根，
則 b2 - 4ac＞0，同時要求二次項系數不為 0，即 ，k ≠ 0.解得 k＞-1且 k ≠ 0，故選 B.
B
典例精析
例3 不解方程，判斷下列方程根的情況．
(1)3x2 + 4x－3 = 0； (2)4x2 = 12x－9； (3) 7y = 5(y2 + 1).
解：(1) 3x2 + 4x - 3 = 0，a = 3，b = 4，c = -3，
(2) 方程化為：
4x2 - 12x+9 = 0，
(3) 方程化為：
5y2 - 7y + 5 = 0，
∴b2 - 4ac = 32 - 4×3×(-3) = 52＞0.
∴方程有兩個不相等的實數根．
∴b2 - 4ac = (-12)2 - 4×4×9
= 0.
∴方程有兩個相等的實數根．
∴b2 - 4ac = (-7)2 - 4×5×5
= -51＜0.
∴方程無實數根．
公式法
求根公式
步驟
一化（一般形式）；
二定（系數值）；
三求（求 b2 - 4ac 的值）；
四判（方程根的情況）；
五代（代求根公式計算）
務必將方程化為一般形式
根的判別式 b2 - 4ac
當堂小結
1. 解方程：x2 + 7x – 18 = 0.
解：這里 a = 1，b = 7， c = -18.
∵ b2 - 4ac = 72 – 4 × 1× (-18 ) = 121 ＞ 0，
∴
即 x1 = -9，x2 = 2 .
課堂練習
2. 解方程 (x - 2) (1 - 3x) = 6.
解：去括號，得 x - 2 - 3x2 + 6x = 6.
化為一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0.
這里 a = 3，b = - 7，c = 8，
∴ b2 - 4ac = ( - 7 )2 - 4×3×8 = 49 - 96
= - 47 ＜ 0.
∴ 原方程沒有實數根.
3.關于 x 的一元二次方程 有兩個實根，則 m 的取值范圍是 .
注意：一元二次方程有兩個實根，說明方程可能有兩個不等實根或兩個相等實根兩種情況.
解：
∴m≤1.
∵ b2 - 4ac = ( - 2)2 - 4×1×m = 4 - 4m≥0.
4. 不解方程，判斷下列方程的根的情況．
（1）2x2 + 3x 4 = 0； （2）x2 x + = 0.
解：（1）2x2 + 3x 4 = 0，a = 2，b = 3，c = 4，
∴ Δ = b2 4ac = 32 4×2×( 4) = 41＞0.
∴方程有兩個不等的實數根．
（2）x2 x + = 0，a = 1，b = 1，c = ，
∴ Δ = b2 4ac = ( 1)2 4×1× = 0.
∴方程有兩個相等的實數根．

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