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2024年高考數學復習專題★★最新二級結論（137頁）
專題 1 函數不等式結論篇
一. 函數定義域
(1) 分式中的分母不為 0 ;
(2) 偶次方根下的數 (或式) 大于或等于 0 ;
(3) 零指數冪的底數不為 0 ;
(4) 指數式的底數大于 0 且不等于 1 ;
(5) 對數式的底數大于 0 且不等于 1 , 真數大于 0 ;
(6) 正切函數 且 .
二. 函數單調性
1. 直接證明, 并且記住幾條常見結論:
(1) 若 是增函數,則 為減函數; 若 是減函數,則 為增函數;
(2) 若 和 均為增 (或減) 函數,則在 和 的公共定義域上 為增 (或減) 函數;
(3) 若 且 為增函數,則函數 為增函數, 為減函數; 若 且 為減 函數,則函數 為減函數, 為增函數.
2. 求導判斷,當 時,此區間單調遞增,當 時,此區間單調遞減.
3. 對稱性判斷, 如果函數為軸對稱圖形, 則在對稱軸兩邊出現單調性相反情況 (參考二次函數和余弦函 數), 若為中心對稱圖形, 則對稱中心兩邊單調性相同 (參考反比例函數和正弦函數).
2. 復合函數單調性的判斷
討論復合函數 的單調性時要注意: 既要把握復合過程,又要掌握基本函數的單調性. 一般 需要先求定義域, 再把復雜的函數正確地分解為兩個簡單的初等函數的復合, 然后分別判斷它們的單調性, 再用復合法則, 復合法則如下:
1. 若 在所討論的區間上都是增函數或都是減函數,則 為增函數;
2. 若 在所討論的區間上一個是增函數,另一個是減函數,則 為減函數.
列表如下:
增 增 增
增 減 減
減 增 減
減 減 增
三. 函數奇偶性
函數 是定義在區間 D 上的奇函數,則對任意的 ,都有 .
特別地,若奇函數 在 D 上有最值,則 .
(1)若函數 是奇函數,且 ,則必有 (2)若函數 是奇函數,且 ,則必 特殊函數奇偶性
奇函數: (1) 函數 或函數 .
(2) 函數 .
(3) 函數 或函數 .
(4) 函數 或函數 .
注意: 關于(1)式,可以寫成函數 或函數 .
偶函數: (1) 函數 .
(2) 函數 .
(3) 函數 類型的一切函數.
四. 函數的對稱性
(1) 若函數 為偶函數,則函數 關于 對稱.
(2) 若函數 為奇函數,則函數 關于點 對稱.
(3) 若 ,則函數 關于 對稱.
(4) 若 ,則函數 關于點 對稱.
(5) 若函數 關于直線 對稱,則 .
推論 1 關系式 也可以寫成 或 .
若寫成 ,則函數 關于直線 對稱.
(6) 若函數 關于點 對稱,則 .
推論 2 關系式 也可以寫成 或 .
(7) 函數 與 關于 軸對稱,函數 與 關于原點對稱.
(8) 若 恒成立,則 的圖像關于直線 對稱.
(9) 設函數 定義在實數集上,則函數 與 的圖象關于直線 對稱.
(10) 若 ,對任意 恒成立,則 的圖象關于直線 對稱.
(11) 函數 與函數 的圖象關于直線 對稱.
(12) 函數 與函數 的圖象關于直線 對稱.
(13) 函數 與函數 的圖象關于點 中心對稱. 高考必備對稱公式: 關于 軸對稱
關于點 中心對稱
中心對稱
五. 函數的周期性
(1) 若函數 滿足 ,則 .
(2) 若函數 滿足 ,則 .
(3) 若函數 滿足 ,則 .
(4) 結合 (1),(2),(3) 可得: 當一個函數 時,一定有 是周期為 的周期函數.
推論 當且僅當 時, 是周期為 的周期函數.
(5) 若函數 滿足 ,則函數 是以 為周期的周期函數.
(6) 是周期為 的周期函數.
(7) 是周期為 的周期函數.
(8) 結合 (6) (7) 可得: 當一個函數 時,則可以根據迭代推出 , 那么 是周期為 的周期函數
(9) 函數 ,當僅當 時, 是周期為 的周期函數.
(10) ,則
(11) 函數 ,當僅當 時, 是周期為 的周期函數.
(12) ,則
(14) 函數 ,當僅當 時, 是周期為 的周期函數; 當 時,不會再產生周期函數.(15) 周期函數的迭代定理: 若 ,則存在 , 一定存在最小的正整數 ,使得 成立,即 即為這個函數 的最小正周期.
(16) ,則 是以 為周期的周期函數.
(17) 若函數 滿足 或 ,則
六. 對稱與周期的關系
(1) 若函數 的圖象關于直線 都對稱,則 為周期函數且 是它的一個周期.
推論 若偶函數 的圖象關于直線 對稱,則 為周期函數,且 是它的一個周期.
(2) 函數 的圖象關于兩點 都對稱,則函數 是以 為周期的周期 函數.
推論 若奇函數 的圖象關于 對稱,則 為周期函數,且 是它的一個周期.
(3) 函數 的圖象關于 和直線 都對稱,則函數 是以 為周期的周期函 數.
推論 1 若奇函數 的圖象關于直線 對稱,則 為周期函數,且 是它的一個周期.
(4) 周期為 的奇函數一定關于點 對稱,周期為 的偶函數關于直線 對稱.
高考必備對稱和周期公式:
關于 軸對稱
關于點 中心對稱
中心對稱
七. 抽象函數的模特函數
(1) 若 ,則 (正比例函數)
(2) 若 ,則 (指數函數) 例如: ,即 .
(3) 若 ,則 (對數函數)
(4) 若 ,則 (冪函數)(5) 若 ,則 (一次函數)
八. 指對運算與換底公式
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
(5) ; (6) ;
(7) ; (8) 和
(9) (當 時, ).
(10) 換底公式: 倒數原理與約分法則
(1) 倒數原理: (2) 約分法則:
九. 函數最值
1. 三角換元
求函數 且 ) 的值域,利用平方和為常數,由于 , 故令 . 2. 對稱中心平移和對稱軸平移后求最值問題
若 都可以唯一表示成一個奇函數 與一個偶函數 之和,當 時,則 關于點 中心對稱,即可以理解為將奇函數 向上平移了 個單位,即 ; 當 時,則有 .
推論 若 ,則 .
(1) 已知 ,則 .
(2) 已知 ,則 .
(3) 已知函數 ,則 .
(4) 已知函數 ,則 .
3. 最值與雙變量函數不等式問題 (包裹性定理)
定理一 若 滿足 恒成立,則在區間 上 如圖 1 所示,令 ,則 恒成立.
圖 1
圖 2
定理二 若 滿足 恒成立,則在各自區間上 ; 如圖 2 所示, 的區域始終在 區域上方才滿足條件.
圖 3
圖 4
定理三 (包裹性定理) 若 滿足若 ,總 ,使得 成立,則在 區間 上 ; 如圖 3, 所在區域能包含 所在區域時,滿足條件.
定理四 若 滿足 ,總 使得 能成立,則在區間 上 ; 如圖 4, 所在區域最小值大于 所在區域最小值時,滿足條件.
注意 包裹性定理的關鍵在于區別符號 與 ,還要看是否有兩個區間與 .
十. 不等式性質
1. 不等式的性質
性質 別名 性質內容 注意
1 對稱性
2 傳遞性 不可逆
3 可加性 可逆
4 可乘性 的符號
5 同向可加性 同向
6 同向同正可乘性 同向
7 可乘方性 同正
2. 糖水不等式的性質
定理: 若 ,則一定有 ,或者
通俗的理解就是 克的不飽和糖水里含有 克糖,往糖水里面加入 克糖,則糖水更甜;
證明:
十一.基本不等式
1. 基本不等式: 如果 ,當且僅當 時,等號成立. 其中 叫做正數 的算 術平均數, 叫做正數 的幾何平均數.
2. 變形: ,當且僅當 時,等號成立. 都是正數,當且僅當 時,等號成立.
3. 用基本不等式 求最值應注意:
(1) 是正數.
(2)(1)如果 等于定值 ,那么當 時,和 有最小值 ;
(2)如果 等于定值 ,那么當 時,積 有最大值 .
(3)討論等號成立的條件是否滿足.
4. 利用基本不等式求最大值或最小值時, 應注意什么問題呢
利用基本不等式求最值時應注意: 一正, 二定, 三相等.
5. 基本不等式常用模型
模型一: ,當且僅當 時等號成立.
模型二: 加項變換
,當且僅當 時等號成立.
思考: 若函數 在 處有最小值,則
當且僅當 時等號成立. 故選 .
模型三: 同除轉化為基本不等式
,當且僅當 時等號成立.
思考: 若對任意 恒成立,則 的取值范圍是
,當且僅當 時等號成立,故 .
模型四: 湊和為常數型
,當且僅當 時等號成立
思考: 已知 ,則 的最大值為
由于 ,則 ,當且僅當 ,即 時,等號 成立.
模型五: 等式轉化為不等式模型
若出現 ,其中
因為 ,可以轉化為 或 ,
從而求出 及 的取值范圍. 若出現求 取值范圍,先將式子 因式分解成為 形式,再用基本不等式求出 最值.
也可以考慮用柯西不等式解出答案,先進行因式分解 ,再用柯西不等式分析.
十二. 柯西不等式
柯西不等式二元式: 設 ,有 當且僅當 時等號成立. 模型一: 分母的倍數和為常數
,其中 ,例如: ;
對柯西不等式變形,易得 在 時,就有了 當 時, 等號成立. 同理 ,當 時,等號成立. 我們將這種不等式叫做權方和不等 式. 我們接下來還會繼續分析講解權方和不等式
思考: ,且 ,則
,當且僅當 時等號成立,又 .已知 的值,求 的取值范圍,或者已知 的值,求 的最值或者求 的最值 即 ,其中
例 或者寫成
思考: ,則 的最小值是
,當且僅當 時等號成立,故最小值為 -3
模型三: 同次積式配湊類型
已知 的值,求 的最值,利用 求最值.
思考: 設 ,求設 最小值.
基本不等式和柯西不等式都悉數登場, 那么關于什么時候用什么不等式成為了關鍵, 我們可以根據結 構來分析, 如果是已知和式定值求積式最值, 或者積式定值求和式最值, 這就是形式轉變, 一般用基本不 等式; 而已知和式定值, 求和式 (倒數和、平方和、根式和) 的最值, 或者已知積式 (需要因式分解確定) 定值, 求另一個齊次積式定值, 我們通常用柯西不等式。總結起來一句話, 形式的改變用基本不等式, 形 式的不變用柯西不等式, 盡管兩個不等式是相通的.
專題 2 三角向量結論篇
一. 象限角與弧度制
1. 象限角
把角放在平面直角坐標系中,使角的頂點與原點重合,角的始邊與 軸的非負半軸重合,那么,角的終邊 在第幾象限, 就說這個角是第幾象限角; 如果角的終邊在坐標軸上, 就認為這個角不屬于任何一個象限.
第一象限角的集合
第二象限角的集合
第三象限角的集合
第四象限角的集合
2. 弧度制
(1) 1 弧度的角: 長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做 1 弧度的角, 弧度用符號 表示.
(2). 角a的弧度數: 如果半徑為 的圓的圓心角 所對弧的長為 ,那么 ,角 的弧度數的絕對值是
（&3）. 角度與弧度的換算(1) (2)
(4). 弧長、扇形面積的公式: 設扇形的弧長為 ,圓心角大小為 ,半徑為 ,又 , 則扇形的面積為 .
二. 同角三角函數
(1) 平方關系: . (2) 商數關系: ;
齊次分式: 分子分母的正余弦次數相同, 例如:
或者
三. 三角函數誘導公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口訣 函數名不變，符號看象限 函數名改變，符號看象限
【記憶口訣】“奇變偶不變，符號看象限” 四. 兩角和與差的正余弦與正切(1) ; (2) ;
(2) ;
1. 兩角和與差正切公式變形
2.二倍角公式
(1) ; (3)
(2) ;
3. 半角公式
.
4. 輔助角公式
第一類: 一次輔助角
(輔助角 由點 決定, .
第二類: 二次輔助角
若遇到 ,則通過公式 轉化成
注意: (1)
(2)
5. 萬能輔助角公式
已知三角形的一個內角 ,求 或者
6. 正切恒等式
證明:
故
推論: (當 時)
證明:
五. 三角函數圖像
1. 正弦曲線的定義
(1) 正弦函數 的圖象叫正弦曲線.
(2)五點法:
(1)畫出正弦曲線在 上的圖象的五個關鍵點 ,用光滑的曲線連 接;
(2)將所得圖象向左、向右平行移動 個單位長度.
2. 余弦曲線的定義
(1) 余弦函數 的圖象叫余弦曲線.
(2) 要得到 的圖象,只需把 的圖象向左平移 個單位長度即可,這是由于 .
(3)用 “五點法”: 畫余弦曲線 在 上的圖象時,所取的五個關鍵點分別為 , ,再用光滑的曲線連接.
3. 正弦函數、余弦函數的單調性與最值
正弦函數 余弦函數
定義域 R R
值域
單調性 在 上單調遞增, 在 上單調遞減 在[2km- 上單調遞增, 在 上單調遞減
最值 時, ; 時, 時， ; 時，
4.正弦函數 與 的圖象性質關系
周期
定義域 R
最大值 取得 ,當 取得
最小值 -1,當 取得 - ,當 取得
單調增區間
單調減區間
對稱軸
對稱中心
類比于研究 的性質,只需將 中的 看成 中的 ,但在求 的單調區間時，要特別注意 和 的符號，通過誘導公式先將 化為正數. 研究函數 的性質的方法與其類似，也是類比、轉化. 5. 正切函數的性質與圖象
函數 的圖象與性質
解析式
圖象
定義域
值域 R
最小正周期
奇偶性 奇函數
單調性 在每個開區間 上都是增函數
對稱性 對稱中心 )
六. 三角函數平移與伸縮變換 對函數 圖象的影響 1. 對 圖象的影響
2. 對 圖象的影響
3. 對 圖象的影響
4. 函數 的圖象可以通過下列兩種方式得到:
1.
2.
關鍵: 把握先移后縮和先縮后移的區別。類比可以得到: 的圖象.
定理: 則平移單位為 （注意平移方向）.
七. 函數卡根法
1. 函數卡根法模型之五點法卡根
卡根分兩種,一是五點法卡根,二是周期卡根,區別就在于卡根的區間 或者 是否包含 0, 比如 這個范圍內進行卡根,那么一定選擇五點卡根法, 這個范圍內進行卡根,那么一定選 擇周期卡根法. 與 只需要找到相對應的點位,我們通常講到的一個周期內的五點法,這 五個重要的點就是卡根卡 范圍最重要的參照.
五點卡根法: 通常 當中,都會給一個條件,就是 ,所以,當 時,圖象 如左下,當 時,圖象如右下:
我們通過圖形可以知道,無論 為任意正數,正弦函數的靠近零點的第一個遞增區間最小值 和最大
值 均在第三和第一象限,卡根就從這個周期的五點開始操作,我們稱之為五點卡根法.
2. 函數卡根法模型之周期卡根法
如果卡根區間沒有過零點, 那么在卡根區間進行周期卡根, 就看最多或者最少能放進去幾個周期, 當 然,前提就是要先卡形式,即 關于 的表達式 ( 為正整數).
定理: 軸心距 ,也可以轉化為
八. 向量基礎知識
1.向量加法的定義及其運算法則
(1) . 三角形法則
已知非零向量 ,在平面內任取一點 ,作 ,則向量 叫做 與 的和,記作 ,即 . 這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.
(2) . 平行四邊形法則
以同一點 為起點的兩個已知向量 為鄰邊作 ,則以 為起點的對角線 就是 與 的和. 把這 種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則
2. 向量的減法
(1) 定義: 向量 加上 的相反向量,叫做 與 的差,即 ,因此減去一個向量,相當于 加上這個向量的相反向量, 求兩個向量差的運算, 叫做向量的減法.
(2) . 幾何意義: 在平面內任取一點 ,作 ,則向量 ,如圖所示.
(3). 如果把兩個向量的起點放在一起, 那么這兩個向量的差是以減向量的終點為起點, 被減向量的終點為 終點的向量.
3. 向量數乘的定義
實數 與向量 的積是一個向量,這種運算叫做向量的數乘,記作 ,其長度與方向規定如下:
(1) .
(2) 的方向 特別地,當 時, . 當 時, .
向量數乘的運算律
(1) . (2) (3)
特別地, .
4. 共線向量表示之對面的女孩看過來
平面上 三點不共線, 在直線 上,且 ,令 ,則有
其表達意思就是從一個頂點 引出三個向量,且它們共線,每一個向量 分別乘以它對面的比值,簡稱 對面的女孩看過來.
特殊點: 當 為 中點時, (中線定理) 5. 向量數量積的定義
(1). 非零向量 的夾角為 ,數量 叫做向量 與 的數量積(或內積),記作 ,即 , (2). 投影向量: 在平面內任取一點 ,作 ,過點 作直線 的垂線,垂足為 ,則 就 是向量 在向量 上的投影向量. 設與 方向相同的單位向量為 與 的夾角為 ,則 與 之間
的關系為 .
(3). 平面向量數量積的性質設向量 與 都是非零向量,它們的夾角為 是與 方向相同的單位向量. 則
(1) (2) . (3)當 時, (4) .
6. 平面向量的坐標表示
在平面直角坐標系中,設與 軸、 軸方向相同的兩個單位向量分別為 ,取 作為基底. 對于平面內 的任意一個向量 ,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數 ,使得 . 平面內的任一向量 都可由 唯一確定,我們把有序數對 叫做向量 的坐標,記作 在直角坐標平面中,
(1). 平面向量加、減運算以及數乘的坐標表示
設 ,向量加法: ,向量減法: ,
已知點 ,那么向量 ,即任意一個向量的坐標等于表示此向量的有向 線段的終點的坐標減去起點的坐標.
(2) . 已知 ,則 ,即: 實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標
(3) 平面向量共線的坐標表示
設 ,其中 . 則 共線的充要條件是存在實數 ,使 . 如果用坐標表示, 可寫為 ,當且僅當 時,向量 共線.可簡記為: 縱橫交錯積相減.
(4) 平面向量數量積的坐標表示
(1) 設非零向量 與 的夾角為 . 則 .
(2) 若 ,則 .
(3) 若表示向量 的有向線段的起點和終點的坐標分別為 ,則 ,
(4) .
九. 極化恒等式
1. 極化恒等式: ,我們再之前提到兩個向量的數量積,有兩個方案,一是知道模 和夾角, 二是知道兩個向量的坐標, 極化恒等式的出現, 使得向量的數量積有了第三種方案, 就是利用中 線的平方差, 這樣無需任何角度和坐標, 完全靠長度平方差來解決, 向量完全靠模長化解決數量積問題, 聯想我們學習的極坐標, 所謂 “極化”, 就是完全模長化, 這個完全模長化的恒等式就叫極化恒等式.
在 中,若 是 的 邊中線,有以下兩個重要的向量關系:
定理 1 平行四邊形兩條對角線的平分和等于兩條鄰邊平分和的兩倍. 以此類推到三角形,若 是 的中線,則 .定理 2 在 中,若 是 的中點,則有 .
2. 極化恒等式向量乘積型:
定理 平面內,若 為定點,且 ,則 的軌跡是以 中點 為圓心, 為半徑的圓. 證明 由 ,根據極化恒等式可知, ,所以 的軌跡是以 為圓心 為半徑的圓.
3. 極化恒等式特殊之矩形大法
如圖,在矩形 中,若對角線 和 交于點 為平面內任意一點,有以下兩個重要的向量關系 (1) ; (2) .
證明: (1)連接 ,根據極化恒等式 ,可得
(2)根據極化恒等式 ,可得
推廣到空間, 得到的結論就是: 底面是矩形的四棱雉相對側棱長的平方和以及向量乘積均相等.
十. 向量等數據線定理
1. 等和線定理: 如圖設 是平面內兩個不共線向量,若 ,且 且 ,則有 .
證明: 設 ,根據相似三角形關系可知: ,
所以 所以 .
2. 等差線定理:
如圖設 是平面內兩個不共線向量,若 ,反向延長 到 ,使 , 當 位于直線 上時,一定有 ,若 且 ,則有 . 特殊的,當 位于 直線 上時,有 ,當 位于直線 上時,有 , 3. 倒數等和線
如圖,設 是平面內兩個不共線向量,若 ,一定有 ,若 , ,則 ,故一定有 ;
同理,當 ,且 ,則 ,故一定有 , 4. 等商線
如圖所示,令 ,若 ,根據等和線定理可得 ,所以直線 就是一條等商線,特別的,當 為 中點時, 為等商 1 線.
十一. 四心定理
1. 重心定理和奔馳定理
如圖,已知 的頂點 ,則 的重心坐標為 .
(1) 重心定理: (1)在 中,若 為重心,則 .
(2) . (3)
(4)三角形的重心分中線兩段線段長度比為 ,且分的三個三角形面積相等.
(2) 奔馳定理: 若 ,則 ;
2. 垂心定理
若 為三角形 底邊 上的高, 為高 上任意一點,則一定有
證明:
同理,我們可以得到:
(1) 垂心定理: 三角形三邊上的高相交于一點 (如圖右),故點 是 的垂心,
則一定有 .
,即 ,以此類推即可證明.
(2) 垂心的向量乘積定理:
如下圖,若 是 的垂心, 是邊 所在直線上的一點,則
證明: 由于 和 在 上的投影為都為 ,故 ,
同理, 和 在 上的投影為都為 ,故 ,
由于 ,故 .
3. 外心定理
外心: 三條邊垂直平分線的交點,外心到三個頂點的距離相等,即 ;
外心向量定理:
(1) ;
(2) ;
(3) .
4. 內心定理
(1) 角平分線定理: 若 ,則 平分線上的向量 為 由 決定 角平分線定理證明: 和 分別為 和 方向上的單位向量, 是以 和 為一組鄰邊的 平行四邊形過 點的的一條對角線,而此平行四邊形為菱形,故 在 平分線上,但 平 分線上的向量 終點的位置由 決定. 當 時,四邊形 構成以 的菱形.
(2) 內心定理
(1) 角平分線的交點, 到三條邊的距離相等;
(2) ;
證明: 如圖, 中, 分別為 的平分線, 為 內心,根據奔馳定理,
,故只需證明 ,由于 ,故 命題得證.
(3)
證明: 根據 得:
所以 .
同理可得: .
內角平分線定理: (利用面積比證明)
※(4) ,同理
※(5) ,同理可得:
注意: (4)和 利用了內角平分線定理, 其中 (5) 和 (3) 是相通的, 一個模型, 我們需要重點掌握前三個.
十二. 正弦定理與余弦定理
1. 余弦定理
在 中,角 的對邊分別是 ,則有
語言敘述 三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的 和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍
余弦定理 公式表達
推論
2. 正弦定理
在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即 . 我們來看一下變形公式:
(1) .
(2) (其中 是 外接圓的半徑)
(3)
3. 三角形多解問題
(1) 由于全等三角形的證明中沒有邊邊角這一類, 其實就是兩條邊和一條邊所對的角為已知時, 不能確定 一個三角形,即 當大邊所對角為未知量,則會出現兩個解的情況,唯一要保證的的是 這個未知角求得的正弦值小于 1 ; 當小邊所對的角未知時, 通常有唯一解.
A 為銳角 A 為鈍角或直角
圖形
關系式
解的個數 一解 兩解 一解 一解無解
十三. 解三角形二級結論匯總
1. 射影定理
在 中, .
2.靈動面積周長公式
(1). 余弦定理推導式: ,(把 當做一個整體)
(2). 面積公式推導式:
又
橢圓靈動焦點三角形面積公式: .
同理 ,代入 雙曲線靈動焦點三角形面積公式: .
3. 倍長定比分線
構造三角形用萬能輔助角,如圖,若 在邊 上,且滿足 ,則延長 至 ,使 ,連接 ,易知 ,且 ,則關于 來解決求最大值,或者 求值問題; 由于 ,根據萬能輔助角公式可得:
4. 米勒定理
已知點 是 的邊 上的兩個定點,點 是邊 上的一動點,則當且僅當三角形 的 外接圓與邊 相切于點 時， 最大.
證明: 如圖,設 是邊 上不同于點 的任意一點,連結 ,交圓于點 ,因為 是圓外角, 是圓周角,易證 ,故 最大.
根據切割線定理得, ,即 ,于是我們有: 最大等價于三角形 的 外接圓與邊 相切于點 等價于 .
5. 張角定理
(1) 張角定理: 如圖,在 中, 為 邊上的一點,連接 ,設 , 則一定有 .
證明: ,
同除以 得: .
（&2）角平分線張角定理: (1)當 時, （角平分線張角定理）
(2) (角平分線面積問題)
6. 角平分線之斯庫頓定理
如圖, 是 的角平分線,則 . 就其位置關系而言,可記憶: 中方=上積一下積.
7. 倍角定理
,這樣的三角形稱為 “倍角三角形”.
幾何背景
構造相似三角形 (必要性),已知 ,證 ,如圖所示: 延長 至 ,使得 . 由 得 ,因為 所以 ,所以 ,又 ,得 .
推論 1:
推論 2:
幾何背景
(1) . 關于
如圖,我們構造 ,則 ,故 ,所以 ; 關于 ,即證 ,我們參考下一模型;
(2) . 關于
如左圖,構造等腰梯形 ,由于 ,故 ,
,所以 ;
如右圖,我們構造 ,則 ,故 ,所以 ,
(3) . 關于
如左圖,由于 ,作 平分線 交 于 ,作 于點 ,由于 ,故 ,根據內角平分線定理得: ,即 ,所以 如中圖,延長 至 ,使 ,延長 至 ,使 ,根據內角平分線定理,我們可 知 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 如右圖,我們構造 ,則 ,故 ,所以 ,作 于 ,所以 ;
綜上，我們發現構造以 為腰的等腰三角形 是最佳方案.
8.以正切為背景的二級結論體系
(1) 正切比值（射影比值）定理: .
證明: (充分性) 因為 ,所以 ,所以 ,
即 ,故 .
根據余弦定理, ,故 ,即 ,必要性反推即可, 這里不詳細說明.
幾何背景
如下左圖: 為 邊上的高,且 ,則 ;
由于 ,所以 ;
由于 ,且 ,所以
所以, 正切的比值定理也叫射影比值定理. 建議大家畫圖記憶, 以便考場中隨時推導.
注意: 當 時,即我們上一講介紹到的 ,就是等腰三角形;
當 時, ,是直角三角形,由于直角無正切值,故 . (2) 正切倒數和 (底高比) 定理:
公式一:
公式二: ,且 ;
【證明】公式一: (充分性) 因為 ,所以 ,所以
,
所以 ,所以 . 必要性反向證明即可.公式二:
,
（其中
幾何背景
型 型
公式一如左圖: 由于 ,且 ,
故 ,即
公式二如右圖: ,故 ;
9. 托勒密定理
(1) 狹義托勒密定理: 在圓內接四邊形中, 兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和.
如圖上,設四邊形 內接于圓 ,則有 ,
(2) 廣義托勒密定理: 在四邊形 中,有 ,當且僅當四邊形 四點 共圓時, 等號成立.
專題 3 立體幾何結論篇
一、基礎公式篇
1. 圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式
2. 空間幾何體的表面積與體積公式
名稱 幾何體 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱)
錐體(棱錐和圓錐)
臺體(棱臺和圓臺)
球
3. 空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法面積:
二、平行與垂直
1. 平行的判定
(一) 直線與平面平行
文字語言 圖形語言 符號語言
判定 定理 平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則直 線與此平面平行.
性質 定理 如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平 面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行.
(二) 性質定理與判定定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 一個平面內有兩條相交直線與另一個平面平 行，則這兩個平面平行
性質定理 如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那 么它們的交線平行
2. 垂直的判定
(一) 直線和平面垂直的定義
直線 1 與平面 內的任意一條直線都垂直,就說直線 1 與平面 互相垂直
(二) 直線與平面垂直
文字語言 圖形語言 符號語言
定 定 理 一條直線與平面內的兩條相交直線都垂直，則 該直線與此平面垂直
推論 如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面， 那么另一條直線也垂直這個平面
性質定 理 垂直于同一個平面的兩條直線平行
(三) 性質定理與判定定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定 定理 一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面 互相垂直
性質 定理 兩個平面互相垂直，則一個平面內垂直于交線的直 線垂直于另一個平面
三、外接球問題秒殺求法
模型 模型圖 適用幾何體 解題流程 公式
長方體模 型 長方體的頂 點構成的幾 何體模型 先補成長方體，再找長方 體的長寬高
對棱相等 模型 對棱相等的 三棱雉（也 是特殊的長 方體模型) 先補成長方體，再找長方 體的三對面對角線
斗笠模型 圓錐、頂點 在地面的射 影是底面外 心的正棱錐 找底面外接圓半徑 ，找 高
漢堡模型 圓柱，直棱 柱，一條側 棱垂直底面 的棱雉 找底面外接圓半徑 ，找 高
切瓜模型 存在一組鄰 面垂直的幾 何體 找兩個垂面的外接圓半斤 ，兩個面的交線
懷表模型 兩個全等等 腰三角形折 疊式棱雉 找等腰三角形的高 ，找 外接圓半徑 ，找二面角
夾角問題 終極公式 任意普通情 況 找兩相鄰面的截面外接圓 圓心到交線的距離 找 二面角 ，找兩個面的交 線 1
三、內切球半徑求法 1. 棱雉內切球半徑
(1) 等體積法: 由球心到各面距離相等, 多面體體積可表示為
(2) 相似法求解正棱雉內切球半徑: (以下以正三棱雉為例)如圖,由正三棱雉內切球球心 在高線上,則球與側面的切點 在側面的高線 上,與底面的切點 為 高線垂足,易知 ,故利用 ,可解出內切球半徑 .
2.旋轉體內切球半徑: (可按照軸截面的內切圓半徑計算, 外接球同理)
如圖,已知圓錐高為 ,底面半徑為 ,利用兩個直角三角形 和 相似可得 ,
故 ,所以 .
注: 圓柱、圓臺同樣以軸截面的方式處理.
3. 常見幾何體內切球、外接球半徑
棱長為 的正方體: 內切球半徑 ,外接球半徑 .
棱長為 的正四面體: 內切球半徑 ,外接球半徑 .
柱體側棱長 ,底面外接圓半徑 : 柱體可能不存在內切球,柱體中最大的球的半徑 . 四、常見幾何體的性質 1. 四面體的性質
(1) 三組對棱分別相等的四面體必內接于唯一的長方體, 且四面體的棱分別為長方體的面對角線;
(2) 正四面體 可以補為正方體且正方體的棱長 ;
(3) 若四面體有三條棱兩兩互相垂直. 則可將其放入某個長方體內;
(4) 若四面體的四個面均是直角三角形. 則可將其放入某個長方體內;
(5) 三組對棱分別相等的四面體的棱長 、必構成銳角三角形;
(6) 任一四面體均內接于唯一的平行六面體. 且四面體體積是平行六面體體積的三分之一;(7) 若側棱長相等, 則頂點在底面上的射影為其外心, 且側棱與底面的線面角相等 (逆命題: 頂點在底 面 上的射影為其外心. 或側棱與底面的線面角相等, 則側棱長相等成立 );
(8) 若頂點到下底面三邊的距離相等. 則頂點在底面上的射影必為其內心 (或旁心). 且側面與底面的 二 面角相等 (逆命題: 頂點在底面上的射影為其內心 (或旁心), 或各側面與底面的二面角相等, 則頂點 到 下底面三邊的距離相等成立 );
注: 若頂點到下底面中兩邊 的距離相等,則 在底面上的射影必在 平分線上,且側面 與 底面的二面角相等, .
(9) 若兩組對棱分別互相垂直. 則第三組對棱必垂直. 且任一頂點在其對面上的射影必為其垂心 (逆 命 題: 一組對棱垂直. 且任一頂點在其對面上的射影為其垂心, 則兩組對棱分別互相垂直成立 );
(10) 連接兩組對棱的中點可組成平行四邊形 . 且另一組對棱與該面距離相等;
(11) 過一組對棱 ( 與 ) 中點 連線的任一平面 必平分其 體積,即
(12) 異面直線 與 所成角 的公式: 2. 正方體的性質
(1) 上平面 平面 (如圖 ).
(2) 為平面 的中心. 為平面 的中心（如圖）.
(3) 為 的三等分點 (如圖 ).
(4) 平面 平面 (如圖 ).
(5) 在長方體中, 為對角線,
(6) 在長方體中, 為對角線,
3. 墻角體性質
(1) 為銳角三角形.
(2) 頂點 在底面上的投影 恰為 的垂心.
(3) 設墻角 到底面的距離為 ,墻角的三側棱長分別為 則有 (4)
(5) 如圖,設三個側面和底面的面積分別為
則 .(6) 如圖,設側面與底面所成的二面角分別為 ,則 , .
(7) 若點 為底面 內任意一點. 如圖. 設 . 則有
(8) 設側棱 與底面 所成角為 . 則
(9) 若點 為底面 內任意一點. 設 與平面 所成角為 與平面 所成角為 ,
(10) 設墻角體底面 內一點 到各側面的距離分別為 則點 到頂點 的距離: 五、空間向量的相關問題
1. 空間向量的相關運算
若空間向量 ;
(1) 向量模長: ;
(2) 向量的加減: ;
(3) 向量的平行 ;
(4) 向量的平行: 若 ;
(5) 向量的數量積: 已知向量 ,則 叫做 的數量積,記作 ,即 . 向量 的夾角公式 . 2. 異面直線所成角
設直線 的方向向量為 ,其夾角為 ,則 (其中 為異面直線 所成的角)
3. 直線與平面所成角
(1) 過平面外一點 做 平面 ,交平面 于點 ; 連接 ,則 即為直線 與平面 的夾 角. 接下來在 中解三角形. 即 (其中 即點 到面 的距離,可以采 用等體積法求 ,斜線長即為線段 的長度);
(2) 設直線 的方向向量為 ,平面 的法向量為 ,直線 與平面 所成的角為 ,兩向量 與 的夾角 為 ,則有 ,或者
4. 空間中的距離
(1) 設兩條異面直線 的公垂線的方向向量為 ,這時分別在 上任取 兩點,則向量在 上 的正射影長就是兩條異面直線 的距離.
則 ,即兩異面直線間的距離,等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方 向向量的數量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值.
(2) 設直線 的方向向量為 ,平面 的法向量為 ,直線 與平面 所成的
角為 ,兩向量 與 的夾角為 ,則有 .
5. 點到平面的距離
為平面 外一點(如圖), 為平面 的法向量,過 作平面 的斜線 及垂線 . 如圖所示:
,所以 .
6. 二面角與射影面積公式
影面積法求二面角: 二面角 其中 為斜面面積, 為投影面積.
6. 已知異面直線及夾角, 求四面體體積
已知異面直線段 異面直線夾角 ,且異面直線距離為 則四面體 體積為:
六、其他公式補充 1. 空間余弦定理
空間四邊形 的兩條異面直線 與 夾角為 ,則滿足:
2. 三余弦定理
設二面角 大小為 ,如圖所示,此時三余弦定理可 推廣為: ,特別地,當 時,有
3. 最小角定理
平面的斜線和它在平面內的射影所成的銳角, 是這條斜線和平面內任一直線所成角中的 最小者, 即線面角 是最小的線線角. (由三余弦定理 可得 )
4. 最大角定理
對于一個銳二面角, 在其中一個半平面內的任一條直線與另一個半平面所成的線面角的 最大值等于二面角 的平面角,即二面角是最大的線面角. (由三正弦定理 可得
5. 點到平面的距離公式
已知平面 ,點 到平面 的距離是
專題 4 數列結論篇
一. 等差數列
1. 常用結論
(1) 通項公式的推廣: .
(2) 在等差數列 中,當 時, .
特別地,若 ,則 .
(3) 仍是等差數列,公差為 .
(4) 也成等差數列,公差為 .
(5) 若 是等差數列,則 也是等差數列.
(6) 若 是等差數列,則 也成等差數列,其首項與 首項相同,公差是 公差的 .
(7) 若項數為偶數 ,則 .
(8) 若項數為奇數 ,則 .
(9) 在等差數列 中,若 ,則滿足 的項數 使得 取得最大值 ; 若 ,
則滿足 的項數 使得 取得最小值 .
4. 等差數列的前 項和公式與函數的關系
. 數列 是等差數列 ( 為常數).
5. 等差數列的前 項和的最值
在等差數列 中, ,則 存在最大值; 若 ,則 存在最小值.
2. 與 之間一步轉換
例: .
公式一: (其中 為奇數) 例: .
公式二: 例: .
當 也成等差數列時,均有 .
3.只有 S 的模型與最值問題性質 1. 等差數列中: ,則有 可以求出 ,甚至 .
注意: (1)若 ,則一定有: .
(2) 成等差數列,公差為
性質 2 等差數列 中: 為首項是 ,公差是 的等差數列,若 ,則 ;
特別的,若 ,則有 .
性質 3. 有最大值 有最小值 ,若 ,則有 同時取得最值
的最大值 的最大值
二. 等比數列
1. 常用等比數列結論
1. 若 ,則 .
2. 若 (項數相同) 是等比數列,則 仍是等比數 列.
3. 在等比數列 中,等距離取出若干項也構成一個等比數列,即 為
等比數列,公比為 .
4. 公比不為 -1 的等比數列 的前 項和為 ,則 仍成等比數列,其公比為 .
5. 為等比數列,若 ,則 成等比數列.
6. 當 時, 是 成等比數列的充要條件,此時 .
7. 有窮等比數列中, 與首末兩項等距離的兩項的積相等. 特別地, 若項數為奇數時, 還等于中間 項的平方.
2. 等比積秒殺公式:
注: 角標為分數時, 小題依然適用.
例:
拓展: 若 成等差數列時,有
3. 等間隔的等比數列比值
公式 1: .
例如: (1) (2) (3) (4)
強調: 一定要項數相等，才能用此定理。
推論: 在等比數列 中,當項數 時, .
公式 .
例如: (1) ; (2) ; (3) ;
(4) .
強調: 兩個公式表達的其實是同一個意思, 整體成等比數列.
三. 數列通項求法
1. 整體等比構造
第一類: 遞推式 轉化為 為待定系數
1. 當 時, 是以 為首項, 為公比的等比數列.
2. 當 時,同除以 ,得: ,數列 是以 為首項, 為公差的等差數列,
則 .
3. 轉化成 即 解出 ; 可得數列
是以 為首項, 為公比的等比數列,
.
2. 二階遞推之方程組法
1. 設 與 比較,得 ,可知:
是方程 的兩根,容易求得 .
(I) 當 時,數列 是以 為首項, 為公比的等比數列
同時滿足數列 是以 為首項, 為公比的等比數列
則有 兩式聯立,消去 得: 特例: 當 時, 是以 為首項, 為公比的等比數列
,同時 是以 為常數的數列
故可以求出: .
特征根解方程法: 令 ,再將 代入即可.
(II) 當 時,設 ,兩邊同除以 得: 數列 是以 為首項, 為公差的等差數列, 3. 整體等差構造系列
(1) 數列 滿足: ,則有
是以 為首項, 為公差的等差數列,即: .
(2) 若數列 的前 項和為 ,且滿足 ,則有 ,兩邊同除以 得: ,故 是以 為首項, 為公差的等差數列,即 ,再用 ,求 .
(3) 數列 滿足: ,則將邊同時除以 ,得到 是以 為首項,
為公差的等差數列,即: .
4. 迭代法之輔助數列模型:
或 ,則 )
或 是常數數列 或 或 ,
注意: 如果
,
則
5. 模型匯總
常數型
結論
一次函數型
結論
指數函數型
結論
(也可以構造成累加,另外此類型還有 型)
奇偶型 (此類型還有作商型)
結論 (代入 求出 )
冪函數型
結論 (再轉類型一)
(此類型還有 型)
分式型 ,此類型還有分子 型)
結論 (再轉類型一)
二階遞推型
結論
當 時,特征根解方程法: 令 ,再將 代入.
當 時,特征根解方程法: 令 ,再將 代入.
四. 奇偶數列篇
1. 跳躍數列與分段求和
(1) 跳躍等差數列
定義: 與 不是數列 中連續的項,故此我們稱滿足 條件的數列 為跳躍等差數列. 1. 分奇偶討論法: 通過對數列下標 進行換元,分為奇數項與偶數項兩種情況分而治之.
(1)當 為奇數時,可令 ,反解得 ,于是
(2) 當 為偶數時,可令 ,反解得 ,于是
綜上所述, .
注意換元后，要將最后的結果還原成關于 的表達式.
2. 待定系數法: 此類型題由于 和 作為數列奇數項和偶數項首項,會使得數列變形出現一些計算難度, 故可以采用待定系數法來求統一的通項公式, 考慮首項的因素, 需要在原始的特定系數的前面加上 . 具 體操作如下:
令 ,其中 ,代入 和 即可確定 和 .
(2) 跳躍等差數列變形: 類型
當 時,則 ,兩式相減得: ,故 是隔項的等
差數列,公差為
(3) 跳躍等比數列
定義: 與 不是數列 中連續的項,因此我們稱滿足 條件的數列 為跳躍等比數列.
分奇偶討論法: 通過對數列下標 進行換元,分為奇數項與偶數項兩種情況分而治之.
(1)當 為奇數時,可令 ,反解得 ,于是 ;
(2)當 為偶數時,可令 ,反解得 ,于是 .
綜上所述, . 注意換元后,要將最后的結果還原成關于 的表達式.
(4) 跳躍等比數列變形: 時,則 ,兩式相除得: ,故 是跳躍的等比數列,公比為
2. 遞推中含有隔項規律的數列求和
定理: 若數列 滿足 為其前 項和,則 成等差數列, 公差為 ; (4)(5)
證明: 得: ,同理
得: ,故 ,
是以 為首項, 為公差的等差數列; 此類型題可以求出通項,但花的時間太多,顯然每 4 項為一個整體操作更簡單. 一些數列含有周期性, 需要列舉幾項, 發現規律后再簡化. 3. 二階等差數列的前 項和公式
在數列 中,從第二項起,每一項與它的前一項的差按照前后次序排成新的數列,即
成為一個等差數列,則稱數列 為二階等差數列,記 , ,其通項公式為 . 若記不住公式,可設為:
,代入 ,待定出 ,即可得到通項公式. 二階等差數列 的前 項和公式為 五、求和篇 1. 公式法
(1) 等差數列 的前 項和為: ,推導方法為倒序相加法.
(2) 等比數列 的前 項和為: ,推導方法為乘公比與錯位相減法.
(3) 一些常見的數列的前 項和:
(1) .(2) ;
(3) ;
(4) .
2. 幾種數列求和的常用方法
(1) 分組轉化求和法: 一個數列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數列組成的, 則求和時可用 分組求和法, 分別求和后相加減.
(2) 裂項相消法: 把數列的通項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵消,從而求得前 項和.
(3) 錯位相減法: 如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的, 那么求這 個數列的前 項和即可用錯位相減法求解.
(4) 倒序相加法: 如果一個數列 與首末兩端等 “距離” 的兩項的和相等或等于同一個常數,那么求這 個數列的前 項和即可用倒序相加法求解.
3. 錯誤相減法終極求和公式
等差乘等比數列求和,令 ,可以用錯位相減法
(1)
(1)-(2)得: .
整理得: .
口訣: 加 值入,樓上樓下.
4. 裂項相消:
(1) 常見型
若 為等差數列,且首項為 ,公差為 ,數列 的前 項和為 ,則有:
(1) (接龍型),
(2) (隔項型)
(3) (根式型)
(2) 特殊等差數列與裂項相消:
若等差數列 滿足: ,則 ,則數列 前 項和
(3) 帶有等比數列的裂項相消:
(4) 平方式遞推與裂項相消:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) 階乘型與裂項相消:
(6) 等差與等比混合型: (1) ; (2)
注意: 通常采用反推法: 1 . 構造: 按照等差部分裂項,構造 的形式
2. 反推: 通分計算
3. 調平系數: 通分結果對照題目已知的 調平系數
5. 放縮法求和
(1) 放縮路徑的選擇
若放縮后求和發現放 “過”了, 即實現不了所證的目標, 通常我們有兩條路徑選擇: 第一個方法是微 調: 看能否使數列中的前幾項不動, 其余項放縮, 從而減小放縮的程度, 使之符合所證不等式: 第二個方 法就是選擇放縮程度更小的方式再進行嘗試.
(1) 括號內放縮
(1) ;
(2) 可更一般化為:
(1) 括號外放縮
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8) ( ),底數 的取值,根據題目具體調整即可
(3) 二項式定理
(1) 由于 ,
于是
(2) ;
(4) 糖水不等式
若 ,則 ; 若 ,則 .
解釋: 克不飽和糖水里含有 克糖,再往糖水里加入 克糖,則糖水變甜.
如, .
(2) 放縮精度的控制
在利用 “放縮法” 證明不等式問題時, 最容易掉入的坑就是放縮過度. 為了避免放縮過度, 我們往往 需要多次嘗試探路, 才可能試探到合適的放縮途徑, 這樣會費時費力. 如何提前預判, 做到恰到好處的放 縮就尤為關鍵. 當出現放縮過度的情況時,可調整放縮的起點,從第 項開始放縮.
(3) 裂項放縮
對于放縮后, 再裂項相消求和類型, 通過放縮后的裂項公式的首項或前幾項的和即可判斷放縮的精度 是否滿足題設要求. 常見的題目無非是從第一項開始放縮、從第二項開始放縮或者從第三項開始放縮這三 種. 比如:
(1) ,從第一項開始放縮,放縮的精度為 .
(2) ,從第二項開始放縮,放縮的精度為 ;
保留前兩項,從第三項開始放縮,放縮的精度為 .
(3) ,從第二項開始放縮,放縮的精度為 ; 保留前兩項,從 第三項開始放縮,放縮的精度為 . (4) 等比放縮
含有 的數列,可放縮為等比數列,也可以放縮后進行裂項.
(1)等比數列前 項和的極限: 構造等比數列 ,其首項為 ,公比為 . 等比數列 的前項和 . 當 時,則數列 中的項 會趨向某一定值,有 ,也稱數列 收
斂于 .
(2)證明 ( 為常數) 型數列不等式的思路: 當待證不等式的一端為常數時,我們只需將 另一端對應的數列通項進行恰當的放縮, 變成等比數列, 再通過求和達到證明的目的.
( 為常數),其中 為遞縮等比數列.
通過逆向思維,我們可以由 出發操作,先嘗試對 進行適當的賦值,其中 ,再確定出 , 從而求出 ,構造出數列 ,再證明 即可. 上述中構造的 并非唯一,因為 是任取的. 一般 找底數大的, 因為這樣賦值, 數列的收斂性會越好, 精度就會越高, 能更好地避免放縮過度. 為了變形化 簡方便,我們通常取 中冪的底數.
(3) 型精度公式
構造等比數列 ,其首項為 ,公比為 . 要使 成立,我們令 ,且 ,則 ,于是 ,即有 成立,只需 成立,只需 ,只需 ,只需 ,故 ,于是我們可以得到 .
令 ,當 時, 單調遞增,只需上式中 時成立即可,即有 ,化 簡得 . 同樣地,我們也可以得到 情形下的精度公式.
綜上所述,對于 型放縮,我們可以得到下面的放縮精度公式:
通過精度公式我們可以提前預知放縮的精度, 不僅能快速判斷到底從第幾項開始放縮, 而且還能根據 需要調節放縮的精度.
六、斐波那契數列
定義: 一個數列, 前兩項都為 1 , 從第三項起, 每一項都是前兩項之和, 那么這個數列稱為斐波那契數列, 又稱黃金分割數列; 表達式 通項公式: (又叫“比內公式”,是用無理數表示有理數的一個范例.) 比較有趣的是: 一個完全是自然數的數列, 通項公式竟然是用無理數表示的. 證明: 線性遞推數列的特征方程為: ,解得: 則 由于 ,則 解得: 則有 斐波那契數列的一些性質:
1.求和問題: (1) ; (2) ; (3) .
證明: (1) ,故 ,此證明方法也是錯位相減的一種特例 (直接寫成累加亦可).
(2) ,此證明過程也需要利用
(1)的結論.
(3) .
這三個式子用數學歸納法證明也非常簡單, 無需強化記憶, 每次列出前幾項比劃一下, 考試中如果出現需要這些結論的, 拿出前幾項即時推導即可.
2.平方和問題: (根據面積公式推導,如下圖)
構造正方形來設計面積, ,以此類推,也可以用數學 歸納法證明, 知道一個大致的方向即可.
3. 裂項問題:
注意: 如果是斐波那契數列的部分項求和也可以, 比如
前提就是必須隔項, 否則無法裂項相消.
七、函數迭代與不動點問題
1. 函數迭代和數列的關系
已知函數 滿足 ,則一定有 ,故函數 通過反復迭 代產生的一系列數構成了數列 或者記為 ,而數列的每一項與函數迭代的關系可以如下表所示:
下面以函數 和數列
數列
函數
數列 1 3 7 15 31 63
數列
函數 ...
可以發現:
1. 數列的遞推式和函數的迭代式是有著相同的法則的,故數列的任何一項 都在函數 上.
2. 數列的通項公式是函數對 迭代 次的結果,即 ,每一次由于迭代產生出的因變量成 為下一次迭代的自變量.
3. 數列的首項 對整個數列有很大的影響,當迭代不斷重復出現同一結果時,我們將其稱為不動點.
2. 函數的迭代圖象—-蛛網圖
函數的迭代圖象,簡稱蛛網圖或者折線圖,函數 和直線 共同決定.
其步驟如下:
1. 在同一坐標系中作出 和 的圖象 (草圖),并確定不動點. (如圖 1 所示)
圖 1
圖 2
2. 在找出不動點之后,確定范圍,將不動點之間的圖象放大,并找出起始點 (如圖 2 所示)
3. 由 向 作垂直于 軸的直線與 相交,并確定交點 .
4. 由 向 作平行于 軸的直線與 相交,并確定交點 .
5. 由 向 作垂直于 軸的直線與 相交,并確定交點 .
重復 ,直至找到點 的最終去向.
3. 蛛網圖與數列的單調性
定理 1: 的單調增區間存在兩個不動點 ,且在兩個不動點之間形成一上凸的圖形時, (如圖 9) 則數列 在兩個不動點之間的區間是遞增的,即 ,在兩不動點以外的區間則 是遞減的,即 .
定理 的單調增區間存在兩個不動點 ,且在兩個不動點之間形成一下凹的圖形時, (如圖 10) 則數列 在兩個不動點之間的區間是遞減的,即 ,在兩不動點以外的區間則 是遞增的,即 .
圖 9
圖 10
綜上可得,當 的單調增區間位于上凸內或者下凹外時,即當迭代起點 位于此區域時,一定有 ,同理,當迭代起點 位于單調增區間的上凸外或者下凹內時,一定有 .
4. 數列的極限
根據蛛網圖可知,當一數列 為單調上凸曲線時,迭代點 會無限靠近大的不動點 ,我們將這 個大的不動點 稱為數列 的極限,記為 ; 當一數列 為單調下凹曲線時,迭代點 會無限靠近小的不動點 ,我們將這個小的不動點 稱為數列 的極限,記為 .
幾種常見的函數迭代圖（未畫折線）
頂點為不動點拋物線頂點為不動點的拋物線橫著的拋物線二四象限反比例函數的平移函數
請思考:
5. 擺動數列以及由求導構造函數單調性來解決數列問題
由反比例 (遞減函數) 函數迭代構成的擺動數列,如圖 11 所示,當 在區間為減函數時,和直線 相 交于不動點, 那么由此函數迭代構成的數列為擺動數列, 即奇數項和偶數項具有相反的單調性, 但都螺旋 靠近不動點,極限也是不動點。如圖 11 所示 ,同時 ; 如圖 12 所示 ,同時 .
圖 11
圖 12
專題 5 解析幾何結論篇
一. 直線的方程
名稱 方程的形式 常數的幾何意義 適用范圍
點斜式 為斜率, 是直線上一定點 不垂直于 軸
斜截式 為斜率, 是直線在 軸上的截距 不垂直于 軸
兩點式 和 是 直線上的兩個定點 不垂直于 軸和 軸
截距式 為直線在 軸上的非零截距, 為直線在 軸上的非零截距 不垂直于 軸和 軸, 且不過原點
一般式 A、B、C 為系數 任何位置的直線
1. 常用的直線方程的具體分析
(1) 點斜式 過已知點 ,且斜率為 的直線方程: .
注 (1) 當直線斜率不存在時,不能用點斜式表示,此時方程為 ;
(2) 表示: 直線上除去點 的圖形.
(2) 斜截式 若已知直線在 軸上的截距為 ,斜率為 ,則直線方程: 是縱截距 ! I
(1)截距的概念 直線在 軸、 軸上的截距指的是直線與 軸、 軸交點的縱坐標、橫坐標,也分別叫做縱 截距和橫截距; 截距可以大于 0 , 可以小于 0 , 可以等于 0 , 截距與距離是完全不同的兩個概念.
(2)求直線截距的方法 在直線方程中令 ,解. 出 的值即為直線在 軸上的截距; 在直線方程中令 , 求得 的值,即為直線在 軸上的截距.
(3) 兩點式 若已知直線經過 和 兩點,且 ,則直線方程: .
注 (1)不能表示與 軸和 軸垂直的直線;
(2)當兩點式方程寫成如下形式 時,
或者 (為后面不聯立體系找定點定值做準備),此時,直線方程可以適應 于任何一條直線.
(4) 截距式 若已知直線在 軸、 軸上的截距分別是 且 ,則直線方程: .
注 (1)不能表示與 軸垂直的直線,也不能表示與 軸垂直的直線,也不能表示過原點的直線;
(2)用截距式解題要注意防止由于 “零截距” 造成丟解的情況, 當出現 “截距相等” “截距的絕對值相等” “截距互為相反數” 時容易丟解.
(3) 截距式也可以表示為 ,這樣就可以表示任意的不過零點的直線,這也是為齊次化解決斜率和 積常見的方法,其中 表示 軸截距的倒數, 表示 軸截距的倒數.
(5) 一般式 任何一條直線方程均可寫成一般式: ; 反之, 任何一個有解的二元一次方程都表示一條直線.
注 (1)直線方程的特殊形式, 都可以化為直線方程的一般式, 但一般式不一定都能化為特殊形式, 這要看 系數 是否為 0 才能確定.
(2)熟練地指出此時直線的方向向量: ,或單位向量 ; 直線的法向 量: (與直線垂直的向量).
(6) 參數式(1)之標準式 ( 為參數); 其中直線的方向向量為 的幾何意義為 ,斜率為 為傾斜角,且 .
(7) 其他直線方程 要會根據條件靈活設直線方程, 尤其在直線和圓雉曲線相交的題型中, 常用到(1)點斜式 和(2)斜截式的變形設法,直線方程分別為: .
2. 直線系過定點問題
(1) 平行直線系 與直線 平行的直線系方程為 .
(2) 垂直直線系 與直線 垂直的直線系方程為
(3) 過兩交點的直線系 過兩相交直線 和 交點的直線系方程為 ,此直線系不包括 .
注意 推廣到過曲線 與 的交點的方程為: . 3. 對稱問題
(1)點關于點的對稱問題通常利用中點坐標公式. 點 關于 的對稱點為 .
(2)直線關于點的對稱直線通常用轉移法或取特殊點來求. 設 的方程為 和點 ,則 關于 點的對稱直線方程為 .
(3)點關于直線的對稱點,要抓住 “垂直” 和 “平分”. 設 關于 1 的對稱點 可以通過條件(1) ; (2) 的中點在 上來求得.
(4)求直線關于直線的對稱直線的問題可轉化為點關于直線的對稱問題.
4. 兩點間的距離
公式: 點 間的距離公式 .
5. 點到直線的距離、兩條平行線間的距離
點到直線的距離 兩條平行直線間的距離
定義 點到直線的垂線段的長度 夾在兩條平行直線間公垂線段的長
圖示
公式(或求法) 點 到直線 的距離 兩條平行直線 與 l2: 之間的距離
二. 圓的方程
1. 圓的標準方程
(1)條件: 圓心為 ,半徑長為 .
(2)方程: .
(3)特例: 圓心為坐標原點,半徑長為 的圓的方程是 .
2. 點與圓的位置關系
點 與圓 的位置關系及判斷方法
位置關系 利用距離判斷 利用方程判斷
點 在圓上
點 在圓外
點 在圓內
3. 圓的一般方程
(1) 圓的一般方程
當 時,二元二次方程 稱為圓的一般方程.
(2) 方程 表示的圖形
條件 圖形
不表示任何圖形
表示一個點
表示以 為圓心,以 為半徑的圓
4. 直線 與圓 的位置關系及判斷
位置關系
相交 相切 相離
5. 圓的弦長的求法
方 法 公共點個數 2個 1 個 0 個
幾何法: 設圓心到直線的距離為 d=r d>r
代數法: 消元得到一元 二次方程，可得方程的判別式4
(1) 幾何法 即垂徑定理,當直線和圓相交時,設弦長為 ,弦心距為 ,半徑為 ,則 .
(2) 代數法 設直線 的斜率為 ,直線 與圓的兩個交點分別為 ,則圓的弦長 ,其中的 和 ,可以將直線和圓的方程聯立,消 去 或 ,利用韋達定理進行求解.
6. 求過某一點的圓的切線方程
(1)點 在圓上.
(1)先求切點與圓心連線的斜率 ,再由垂直關系得切線的斜率為 ,由點斜式可得切線方程.
(2)如果斜率為零或不存在,則由圖形可直接得切線方程 或 .
結論:
(1) 過圓 上一點 的切線方程為: ;
(2)過圓 上一點 的切線方程為: ;
(3)過圓 上一點 的切線方程為: .
注 上述切線方程是利用 “替換法則” 得到的.
(2)點 在圓外.
(1)設切線方程為 ,由圓心到直線的距離等于半徑建立方程,可求得 ,也就得切線方程.
(2)當用此法只求出一個方程時,另一個方程應為 ,因為在上面解法中不包括斜率不存在的情況.(3)過圓外一點的切線有兩條. 一般不用聯立方程組的方法求解.
7. 兩圓的位置關系及其判定
(1)幾何法: 若兩圓的半徑分別為 ,兩圓連心線的長為 ,則兩圓的位置關系如下:
位置關系 外離 外切 相交 內切 內含
圖示
與 的關系
(2)代數法: 設兩圓的一般方程為
聯立方程得
則方程組解的個數與兩圓的位置關系如下:
方程組解的個數 2 組 1 組 0 組
兩圓的公共點個數 2 個 1 個 0 個
兩圓的位置關系 相交 外切或內切 外離或內含
三. 圓系方程的應用
1. 相交兩圓的公共弦 若圓 與圓 相交,則兩圓 方程相減,即可得到兩圓的公共弦 所在的直線方程為: .
注意 (1) 當兩圓相切時, 它為內公切線方程;
(2) 當兩圓相離或包含時, 它為到兩圓的與連心線垂直的切線段相等的點的集合; 顯然, 當兩圓相離 且半徑相等時, 它為兩圓的對稱軸.
2. 圓 vs 直線
經過圓 與直線 的兩個交點的圓系方程是:
3. 圓 vs 圓
經過圓 與圓 的兩個交點的圓系方程是:
4. 圓 vs 切點
與圓 相切于點 的圓系方程可設為:
我們按照極限思想,把切點當作一個半徑無窮小的圓,符合圓 的圓系模型.
5. 圓 vs 切線
經過圓 與直線 相切的圓系方程是:
四. 阿波羅尼斯圓
一般地,平面內到兩個定點距離之比為常數 的點的軌跡是圓,此圓被叫做 “阿波羅尼斯 圓”. 特殊地,當 時,點 的軌跡是線段 的中垂線.
已知動點 與兩定點 的距離之比為 ,點 的軌跡方程為一個阿波羅尼斯圓.
證明: 不妨設 ,由 得: ,即
(1)當 時,即為 ,整理得: ,即點 的軌 跡是以 為圓心, 為半徑的圓;
(2) 當 時,化簡得 ,即點 的軌跡為 軸.
如圖,(1) 為調和點列; (2) 分別為 的內、外角平分線; (3) ; 以上三個 條件中, 知道任意兩個都可以推得第三個!
設阿波羅尼斯圓的圓心為 ,半徑 ,則有 ,即 ,即
,即 ,即 (反演).
同時, ,即 .
1. 已知兩個定點及定比, 求阿波羅尼斯圓
半徑公式 已知動點 與兩定點 的距離之比為 ,則已知兩個定點 ,及定比 ,則.
注意: 阿氏圓的常用公式 ,(1) ,(2)阿氏圓的半徑為:
2. 三角形定比邊與隱藏的阿氏圓
若三角形中出現 ,且 為定值,則點 位于阿波羅尼斯圓上.
五. 圓錐曲線三個定義
1. 橢圓第一定義關于 “和”
平面內與兩個定點 的距離的和等于常數 的點的軌跡; 其中,兩個定點稱做 橢圓的焦點, 兩焦點間的距離叫做焦距.
設 是橢圓上任意一點,焦點 和 ,由上述橢圓的定義可得:
,將這個方程移項,兩邊平方得: ,兩邊再平方, 整理得:
注意: (1) . 橢圓的標準方程
我們僅以 展開性質介紹分析.
(2) . 頂點 .
(3). 長軸和短軸 長軸為 ,短軸為 ,注意區分長半軸為 ,短半軸為 .
(4). 焦點 .
(5). 焦距 ,同時: .
(6). 離心率 ; 離心率越大,橢圓越扁.
橢圓的離心率是描述橢圓扁平程度的一個重要數據. 因為 ,所以 的取值范圍是 ; (1) 越接近 1,則 就越接近 ,從而 越小,因此橢圓越扁;
(2) 越接近于 就越接近 0,從而 越接近于 ,這時橢圓就越接近于圓.
2. 雙曲線第一定義關于 “差”
平面內與兩個定點 的距離的差的絕對值等于常數且小于 的點的軌跡; 其中,兩個定點叫做 雙曲線的焦點, 焦點間的距離叫做焦距.
注意: 與 分別表示雙曲線的一支. 若有 “絕對值”,點的軌跡表 示雙曲線的兩支; 若無 “絕對值”, 點的軌跡僅為雙曲線的一支;
根據 ,化簡得: .
注意: (1) 雙曲線的標準方程: (2). 頂點: .
(3). 實軸和虛軸 實軸長為 ,虛軸長為 ;
(4). 焦點 .
(5). 焦距 ,滿足關系式: .
(6). 離心率 ,離心率越大,開口越大;
3. 橢圓第二定義關于 “比”
平面內與一個定點的距離和到一條定直線的距離的比是常數 的點的軌跡,其中,定點為焦點, 定直線叫做準線,常數 叫做離心率.
設 是橢圓上任意一點,定點為 ,定直線為 ,常數 ,由上述橢圓的定義可 得: ,變形即可.
焦半徑 橢圓上的點到焦點的距離; 設 為橢圓上的一點,
(1) 焦點在 軸: 焦半徑 (左加右減); (2) 焦點在 軸: 焦半徑 (上加下減)
注意: 利用第二定義快速進行證明, 結合圖像, 長的加, 短的減。
注意: 焦半徑公式, 在大題中不能直接使用, 大題建議往焦長公式方向走, 使用余弦定理推導。
4. 雙曲線第二定義關于 “比”
平面內與一個定點的距離和到一條定直線的距離的比是常數 的點的軌跡; 其中,定直線叫做準 線,常數 叫做離心率.
根據 ,化簡得到 .
焦半徑 設 為雙曲線上的一點,
(1) 焦點在 軸: 在左支 在右支 ;
(2)焦點在 軸: 在下支 在上支 .
5. 橢圓第三定義關于 “積”
第三定義通常作為性質來考查使用, 故我們以介紹性質為主。
已知關于原點對稱的兩個定點,那么到這兩定點連線的斜率之積為定值 或 的點的軌 跡是橢圓, 通常這兩個定點分別為長軸或者短軸頂點.
另一方面,設 是橢圓上任意一點,兩個定點為 ,常數 , ,根據橢圓方程: 將 ,變形成 ,所以 ,橢圓上動點到關于原點對稱的兩個定點的連線的斜率之積等于常數. 注意: 本結論也可以用點差法證明, 會在后面章節詳細說明。
6. 雙曲線第三定義之 “積”
到關于原點對稱的兩個定點連線的斜率之積為定值 或 的點的軌跡是雙曲線; 通常定點為 實軸或虛軸頂點, 定值為正值.
另一方面,設 是雙曲線上任意一點,兩個定點為 ,常數 , ,根據雙曲線方程: 將 ,變形成 ,所以 ,雙曲線上動點到關于原點對稱的兩個定點的連線的斜率之積等于常數.
7. 拋物線的定義
平面內與一個定點的距離等于到一條定直線的距離點的軌跡; 其中, 定點為拋物線的焦點, 定直線叫 做準線.
拋物線標準方程 為例,焦點在 軸上,開口向右. 參數 是焦點到準線的距離,稱為焦 準距,故 恒為正數.
頂點為原點 ,以 軸為對稱軸,且沒有對稱中心,焦點為 ,準線為 ,由于拋 物線的離心率 都等于 1,故拋物線通徑為 ;
焦半徑: .
焦點弦: ; 特殊地,當 時,為通徑 .
六. 焦長焦比體系
1. 橢圓焦點弦: 若過焦點的直線與橢圓相交于兩點 和 為 ,則稱線段 為焦點弦.
(1)如圖, ;
當焦點弦過左焦點時,焦點弦的長度 ; 當焦點弦過右焦點時,有
(2) 過橢圓焦點的所有弦中通徑 (垂直于焦點的弦) 最短,通徑為 ( 為焦準距).
(3) 體:過橢圓 的左焦點 的弦 與右焦點 圍成的三角形 的周長是 ;
焦比定理: 過橢圓 的左焦點 的弦,令 (4),
代入焦長公式(1)可得 (5).
這樣組合 (3)(4), 焦點弦問題才能形成閉環.
2. 雙曲線焦比定理之交一支類型
是雙曲線 左支上兩點, 是左焦點, 為 過 是雙曲線半焦距,如 左圖,則 (1); (2); (根據長減短加判斷符號) (3). 令 ,即 (4) (如果 ,有 ), 代入弦長公式可得 (5) (與橢圓一致).
3. 雙曲線焦比定理之交兩支類型
是雙曲線 左支上一點,B 是雙曲線右支上一點, 是左焦點, 為 過 ,
是雙曲線半焦距,如右圖,由于交兩支時,有 ,平方得: ,即 ,故 (1); (2); (根據長減短加判斷符號) (3).
令 ,即 (4)
代入弦長公式可得 (5).
七. 離心率
1. 橢圓的特征三角形與離心率
標準方程
圖形
離心率
2.短軸端點處 張角最大
(1) 已知橢圓 的左、右兩焦點分別為 是橢圓上一動點,在焦點三角形 中,若 最大,則點 為橢圓短軸的端點.
(2) 已知橢圓 的左、右兩焦點分別為 ,若橢圓上存在一點 ,使得 , 則橢圓離心率 .
(3)
3. 雙曲線離心率與漸近線
標準方程
圖形
漸近線
離心率 其中
間的關系
4. 直角 的約束
橢圓篇: ,有 ,帶入可得 ,求得
,根據 范圍求解值域.
雙曲線篇: 雙曲線同樣存在類似定理,如上右圖 ,有 , 帶入可得 ,求得
5. 漸近線勾股三角形與離心率
雙曲線 的焦點到漸近線的距離為定值 ,如左圖所示,由于漸近線 的斜 率為 ,又 ,顯然 的長度是定值 .
如右圖所示,過雙曲線 的左焦點 作圓 的切線,切 點為 ,那么,點 在漸近線 上,也在左準線 上,即點 .
6. 雙曲線坐標特征三角形
如圖,以 為直徑的圓與雙曲線 的漸近線在第一象限內的交點坐標為 . 不 過,很多時候,題目會以 “點 在漸近線上,且 ” 的形式給出條件.
7. 焦點到漸近線垂線構造的相似直角三角形
圖 1
圖 2
圖 3
(1) 如圖 1 所示,當離心率 時,過焦點作漸近線垂線,則不會形成直角三角形;
(2)如圖 2 所示,當離心率 時,過焦點 作漸近線 垂線 ,會交 于第二象限點 ,令 ,則雙曲線離心率為 ;
(3)如圖 3 所示,當離心率 時,過焦點 作漸近線 垂線 ,會交 于第四象限點 ,令 ,則雙曲線離心率為 ; 8. 橢圓雙曲線的通徑體三角形
如左圖所示,若 ,易知 ,若 ,則一定有 ,根據 可得 ,即 (無需記憶).
雙曲線如法炮制,若 ,易知 ,若 ,則一定有 ,根據 可得 ,(如右圖)
9. 橢圓與雙曲線的焦弦直角體與離心率
如圖左所示,若 ,且 ,我們可以借助公式 可得 來求出 和 的關系,由于 ,從而求出離心率.
如圖右所示,若 過原點,且 ,通過補全矩形,可得 , ,借助公式 可得 來求出 和 的關系,從而求出離心 率.
注意: 若直線 交雙曲線兩支于 兩點, ,則 時, . 當 未知時,就考慮勾股定理.
10. 橢圓與雙曲線的等腰三角形與離心率問題
如圖左所示,若 ,且 ,令 ,則 . ,根據 求出 ,從而求出離心率
如圖右所示,若 ,且 ,令 ,則 ,根據 ,求出 .
11.雙曲線的 底邊等腰三角形
如圖,若 與 互為充要條件.核心技能:
補充定理: 當 或者 時,令 為 的中點,則一定存在: (1) , (2) .
八. 焦點三角形的性質
1. 橢圓 焦點為 為橢圓上的點, ,如圖,
則 (靈動橢圓焦點三角形面積公式)
注意: 焦點三角形面積,本質來自于解三角形部分,
(1) 直角三角等面積法: 如圖 2,當 時,有 ;
,(注意: 為內切圓半徑)
(2) 任意角度的等面積法: .
(3) 最大面積、最大夾角問題: 當點 位于橢圓的短軸頂點時, 取最大值,根 據等面積原理,此時 .
(4) 直角頂點的討論: 當 時, 取得最大值,若 ,則 ; 同理,若 ,則 ; 若 ,則 . 在分析直角頂點個數 時,當 時, 有四個點 存在; 當 時, 有兩個點 存在; 當 時, 無點 存在. (注意: 與 的區別)
(5) 已知橢圓方程為 ,左右兩焦點分別為 是橢圓上一點,在焦點三角形 中, ,則有:
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(1) ;
(2) .
2. 橢圓內心與旁心
內心定理: 如左圖, 為 內切圓的圓心, 和 相交于點 .
旁心定理: 如右圖所示,焦點三角形 的旁切圓 和 的延長線、 的延長線分別切于點 、 ,旁心 的軌跡為: ,和長軸的兩個頂點相切,其中 且 .
3. 雙曲線焦點三角形性質
雙曲線 的焦點為 為雙曲線上的點, ,如圖,則
(靈動雙曲線焦點三角形面積公式).
(1) 直角三角等面積法: 當 時,有 ;
(2) 任意角度的等面積法:; .
4. 雙曲線的內心軌跡和旁心
內心定理: 已知雙曲線 ,則焦點三角形 的內心 的軌跡是: ,和實軸的兩個頂點相切.
推論 1 已知點 是雙曲線 左支上除頂點外的一點, 分別是雙曲線的左、右 焦點, ,雙曲線的離心率為 ,則 .
推論 2 如下圖所示, 為焦點三角形 的內心, 為焦點三角形 的內心, 傾斜角為 , 令 ,則一定有 (1); (2);
旁心定理: 是 的旁心, 分別是 的角平分線. 如圖 12 則: .
5. 橢圓雙曲線共焦點問題
橢圓雙曲線共焦點三角形的問題: 如圖,橢圓 和雙曲線 共焦點,由于兩個式子 不 同,將橢圓寫成 ,雙曲線寫成 可以知道
(1)當 時,橢圓和雙曲線的離心率 ;
(2)當 時,一定有 .
九. 拋物線基本性質
1. 焦點弦性質
如左圖,已知 是過拋物線 焦點 的弦, 是 的中點,1 是拋物線的準線, 為垂足. 其中 .
(1). 以 為直徑的圓必與準線 相切
(2). (重點)
(3)
(4). 設 為垂足,則 三點在一條直線上
(5) 如右圖,已知拋物線 的焦點為 ,其準線與 軸的交點為 ,過點 作直線與此拋物線交于 兩點,若 ,則有: .
2. 直線和拋物線聯立式
已知 是拋物線 的弦,令 方程為 ,故 , (中點弦問題) ,是直線 斜率的倒數) 同理,焦點在 軸上的拋物線 ,令 方程為 ,故
(中點弦問題)
也可以通過斜率和差互換表示弦的中點坐標與弦所在直線的斜率的關系: ,如下:
作差得 ,其中 是 中點. 或者說,若設 的斜率為 ,則 中點縱坐標 . 當拋物線的焦點在 軸上時,可得 ,
我們利用設而不求的點差法, 將兩點坐標之差的斜率轉化為兩點坐標之和的方法叫做斜率和差互換, 同樣 方式,我們還可推導橢圓: 和雙曲線: 的斜率和差互換模型。
3. 中垂線過對稱軸定點
若拋物線 的弦 中點為 ,則 中垂線過定點 ,
若拋物線 的弦 中點為 ,則 中垂線過定點 .
4. 頂點為直角的三角形斜邊過定點
已知 是拋物線 的弦, 直線 過定點
同理,已知 是拋物線 的弦, 直線 過定點
5. 拋物線對稱角平分線定理
拋物線 與直線 相交于 兩點,聯立得 消去 得: ; 即 ; 由此推出兩大定理.
定理 1:過對稱軸上任意一定點 的一條弦 ,端點與對應點 的連線所成角 被對稱 軸 ( 所在直線) 平分.
定理 2:過點 的任一直線交拋物線于 兩點,點 關于 軸的對稱點 ,則點 三點共線. (對稱之點, 三點共線)
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6. 軸點等比與斜率比值
已知拋物線 ,過點 的動直線交拋物線于 兩點, 直線 分別交拋物線于點 ,則:
(1) 設直線 與 軸的交點為 滿足: (軸點等比性質);
(2) 直線 和 的斜率都存在,則 (斜率比值性質).
7. 拋物線的兩點式直線方程
過拋物線 上兩點 的直線 方程是: .
記憶方法: 把拋物線化成標準方程,然后將最左端的二次自動降為一次,再在最左端和最右端加上 “ 、 ” 皆可.
同理,如果拋物線的形式是 ,直線 的方程是: .
十. 拋物線切線與阿基米德三角形
1. 切線方程
(1) 拋物線 上的一點 切線方程為: .
(2) 拋物線 上的一點 切線方程為: .
2. 切點弦方程
點 在拋物線外, 切拋物線于 切拋物線于 ,直線 是拋物線的切點弦方程.(1) 拋物線 外一點 對拋物線的切點弦的方程 為: .
(2) 拋物線 外一點 對拋物線的切點弦的方程 為: .
3. 阿基米德三角形
阿基米德三角形: 圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形。
此處以拋物線 進行說明: 如圖,以 為焦點的拋物線 在點 處的切 線相交于點 ,則 就是阿基米德三角形,且稱弦 為阿基米德三角形的底邊.
直線和拋物線 交于 兩點,過點 分別作切線交于點 ,設 , 中點為 ,
則 (1) 點 的坐標為 ;
(2)
4. 阿基米德三角形面積公式
設 ,則阿基米德 的面積為: ;
阿基米德三角形通常是點 為主動變量,故我們的第一選擇是:
十一. 齊次化與斜率和積問題
第一類 點 在圓雉曲線上
1. 橢圓篇
已知點 是橢圓上一個定點,橢圓 上有兩動點
(1) 若直線 ,則直線 過定點 ;
(2) 若直線 ,則直線 斜率為定值 ;
(3) 若直線 ,則直線 過定點 ;
(4) 若直線 ,則直線 斜率為定值 ;
(5) 當直線 過定點為原點時,則有 (第三定義);
2. 雙曲線篇
過雙曲線 上任一點 為雙曲線上兩動點(1) 若 ,則直線 恒過定點 .
(2) 若直線 ,則直線 斜率為定值 (2022 新課標全國一卷);
(3) 若 ,則直線 恒過定點 .
(4) 若直線 ,則直線 斜率為定值 ;
(5) 當直線 過定點為原點時,則有 (第三定義);
3. 拋物線篇
過拋物線 上任一點 引兩條弦 ,
(1) 若 ,則直線 恒過定點 . (2018 全國一卷文科)
(2) 若 ,則直線 恒過定點 .
(3) 若直線 ,則直線 斜率為定值則 .
第二類 點 在圓雉曲線外
1. 角平分線定理
(1) 橢圓 對稱軸上的兩點 ,且 不在 上,若點 滿足 (或者
,則過點 作任意直線與橢圓交于 兩點,則 平分 ,也可以表示為 . 雙曲線也具備一樣的性質.
(2) 拋物線等角定理: 拋物線 對稱軸上關于 軸對稱的兩點 ,則過點 作任意直線與拋物線交 于 兩點,則,則 平分 ,也可以表示 .
2. 以原點為公共頂點的斜率問題,
(1) 已知橢圓 為坐標原點, 為橢圓上的兩動點,且 ,則原點到 的距離 為定值: .
(2) 已知橢圓 為坐標原點, 為橢圓上的兩動點, 成等比數列,則一定有 ;
3. 斜率等差模型
橢圓或雙曲線 中,設直線 與橢圓或雙曲線交于 兩點,且直線 與 軸、 軸的交點分 分別為 ,點 和點 均不是橢圓頂點,
(1) 若點 在直線 上,則 ;
(2) 若 是直線 上任一點,則 .
(3) 如圖,設直線 與拋物線 交于 兩點,且直線 與 軸交于點 ,若點 在直線 上,則 .
(4) 如圖,設直線 與拋物線 交于 兩點,且直線 與 軸交于點 ,若點 在直線 上,則 .
第三類 隱藏的斜率問題
1. 隱藏的斜率之積
若以橢圓的左頂點 作 交橢圓于 兩點,且 過 軸上點 ,延長 交直線 于 兩點,以 為直徑作圓,則圓在 軸上交于兩定點 ;
利用平移構造齊次化可得: 為定值 ,又由于 ,
即 ,即 ,因此,以 為直徑的圓恒過定點 和
2. 隱藏的斜率之比
若 為橢圓長軸頂點,直線 交橢圓于 兩點,交長軸于點 ,則 為定值,反之, 為 定值,則 過長軸上定點 ;
3. 隱藏的軸點弦與斜率和積關系
(1) 已知點 是橢圓 右頂點 (左圖),橢圓上弦 過定點 ,則 定值；
(2) 已知點 是橢圓 上頂點（右圖）,橢圓上弦 過定點 ,則 定值;
(3) 已知點 是橢圓 右頂點 (左圖),橢圓上弦 過定點 ,則 定值；
(4) 已知點 是橢圓 上頂點（右圖）,橢圓上弦 過定點 ,則 定值;
關于斜率和積定值的隱藏, 我們做以下歸類整理:
(1) 當角的頂點 為橢圓的 軸頂點時,第三邊所在的直線平移前后均過了 軸定點,那么斜率之積 為 定值,當第三邊直線平移后過了 軸定點時（平移前不是軸點弦）,那么斜率之和 為定值;(2) 當角的頂點 為橢圓的 軸頂點時,第三邊直線平移后過了 軸定點 (平移前不是軸點弦),那么斜率倒 數和 為定值,當第三邊直線平移前后均過了 軸定點時,那么斜率之積 為定值.
最終得到一句口訣: 同積異和! 即軸點弦和頂點角平移前后在相同軸上, 斜率積為定值, 軸點弦和角頂點角平 移后在不同軸上, 斜率和或者倒數和為定值.
十二. 定比點差
1. 定比分點的概念
定比分點: 為經過兩個不同的定點 的直線上的一點,且滿足 ,
則: ( 為參數, )
2. 調和點列的概念
圖(1) 圖(2)
如下圖(1),點 在線段 上,則滿足 的點 是唯一存在的. 但是,如果將線段 改為直線 ,此時,滿足 的點有兩個,如下圖(2),不妨記另一個點為 ,則 ,在此種 情況下,我們稱點 為調和點列,或者稱點 調和分割點 .
若 且 ,則稱 調和分割 ,根據定義,那么 也調和分割 .
3. 定比分點和調和分點支配下的圓錐曲線
定理 1: 在橢圓或雙曲線中,設 為橢圓或雙曲線上的兩點. 若存在 兩點,滿足
,一定有
定理 2: 在拋物線 中,設 為拋物線上的兩點. 若存在 兩點,滿足 ,一 定有 .
4. 軸點弦與定比點差法妙用
類型一 定點在 軸
過定點 的直線與橢圓 相交于 兩點,設 , ,則在直線 上一定存在點 滿足 ,根據定比點差法可知 .一定有
類型二 定點在 軸
過定點 的直線與橢圓 相交于 兩點,設 , ,則在直線 上一定存在點 滿足 ,根據定比點差法可知 . 同
理: .
由于在考試當中我們經常要拿出這三個等式, 故我們稱之為: “三炮齊鳴, 天下太平”
類型三 拋物線三炮齊鳴
過定點 的直線 和拋物線 相交,設 ,則有:
5. 中點截距定理 “1+1 類型”
如圖所示,在橢圓 中, 為橢圓上的兩點,設 軸上一點 ,存在直線 和 軸上一點 ,連接 并延長交直線 于 ,
則: (1) : (2)直線 軸: (3) .
6. 圓雉曲線角平分線定理 “1+1 類型”
已知 交橢圓 長軸 (短軸) 于點 是橢圓上關于長軸 (短軸) 對稱的兩點,直線 交長軸 (短軸) 于 ,則 或 . (雙曲線也有相同性質,拋物線的已經在之前介紹了)
7. 軸點弦引雙線 “ ” 類型
一條軸點弦給到我們三炮齊鳴的兩個點坐標, 當這兩個點分別在不同直線上時, 則他們交點會產生一 些特殊的定值,這在近幾年的高考中也很常見,由于一條軸點弦 (只有一個參數 ) 引出兩條線,通常會用 到兩次三點共線或者兩個直線斜率的關系,我們稱之為 “ ” 類型.
8. 焦弦常數與蝴蝶定理 “2+1” 類型
焦弦常數: 設點 為橢圓或雙曲線上任一點,過焦點 分別作弦 ,設 , 則 .
推廣: 如果將焦點 換成 ,則 .
坎迪定理: 如圖, 都是橢圓上的動點,已知 與 交于點 ,則一 定有:
9.非軸點弦的定比點差法與三炮齊鳴
定比點差法的一般變形公式
橢圓 ,點 是橢圓上的點,且 ,則: (非軸點弦三炮齊鳴)
在上面橢圓的基硫上,我們也可以大膽猜測,對于拋物線 ,設點 為拋物線上
的點,且 ,則亦有對偶公式:
十三. 曲線系
如果兩條曲線方程是 和 ,它們的交點是 ,方程 的曲線表示經過點 ( 是任意常數) 的高次曲線方程,叫做曲線系方程.
1. 圓雉曲線與兩相交直線構成的圓系方程 (四點共圓問題)
圓錐曲線上的四點共圓問題: 圓錐曲線 上存在四點 , 且 與 相交于點 ,若滿足 ,則 四點共圓 (如圖).
曲線系方程: ,
或者 .
由于沒有 的項,必有 . 即 與 斜率互為相反數.
定理: 圓錐曲線的內接四邊形 出現四點共圓時,一定有任何一組對邊對應所在的直線傾斜角互補. 其 方程可以寫成 ,此時 ,方程表示一個 圓.
推論: 若圓錐曲線 上存在四點 ,斜率互為相反數,且 是 中垂線,則 ;
2. 兩條相交直線上四點構成圓雉曲線 (四點定橢問題)
模型構造:
如圖, 分別為橢圓 的左右頂點, 為橢圓上任意兩點, 與 軸交 于點 與 交于點 ,我們可以理解為 四點確定橢圓 (雙曲線和拋物線也一致), 那么四點之間連線有 6 條,我們選取兩條交點在橢圓內的直線乘積式構造弱化二次曲線 ,再選 取兩條交點在橢圓外的直線乘積式構造另一條弱化的二次曲線 ,可以理解為兩條弱化的二次曲 線形成了這個橢圓 ,即
注意: 這里最終結果會指向一個極點極線性質 ,故在設計
,從而得出: ;
記住: 曲線系只需要對比系數,確定參數,無需展開求出 和 均是斜率倒數,不是斜率.
十四. 同構方程
1. 拋物線兩點式方程引起的同構式
一旦拋物線上出現三點, ,這樣就會出現輪換,這里就會涉及同構式,
所以輪換對稱的三個方程 ,它們的坐標形式結構相同,僅僅是字母變量不同,
我們把這種擁有相同的特征和形態的式子叫做同構式。
(1) 拋物線內圓的切線構成的內接三角形同構原理:
如圖, 和 是圓的兩條切線,它們都滿足: (1)過 ; (2)都與圓 相切: (3)都是拋物線的弦. 它們擁有三個等價條件,唯一的區別就是一個用 表示,一個用 表示, 又是一 條直線,故 . 所以同構的關鍵就是找到 ,當然必須用到的就是拋物線兩點式方 程來搭建.
(2) 彭塞列閉合定理. 是 上的三個點,直線 均與圓 相切,則直線 與圓 相切.
2. 從拋物線平行等位線引起的同構式
如圖所示,拋物線 上存在 四點, 與 交于 ,且 ,令 ,則
(1) ; (2) ; (3) ;
同理,拋物線 上存在 四點, 與 交于 , 且 ,令 ,則
(1) ; (2) ; (3) ; 3. 橢圓切線夾 (“蒙日圓”)一般情形:
問題: 過 外一點 作橢圓兩條切線. 切點分別為 ,若 . 討 論 的軌跡.
如果是切線同構成切點弦,這是走阿基米德三角形的線路,一旦涉及兩切線斜率和積問題,用 構造一個 聯立式子,利用判別式為零,從而得出 的二次方程: ,而 也滿足這個方程,故 、 是此同構方程 的兩個根,從而再利用韋達定理來確定 的關系式。我們也可以 理解為 確定方程 ,而 是此方程的根.先聯立看切線: .
. (1)
將 代入(1)得關于 的一元一次方程: (2)
易知 同時滿足(2)式,故 是(2)式的兩個根,我們設為 ,
所以 ,所以 ;
(1) 為焦點在 軸上的橢圓;
(2) 為半徑為 的圓,即 “蒙日圓” :
(3) 為焦點在 軸上的橢圓:
(4) 為焦點在 軸上的雙曲線;
(5) 為斜率為 的射線;
(6) 為焦點在 軸上的雙曲線;
4. 由內準圓引起的斜率同構
已知 是橢圓 上的一點,過原點 作圓 兩 條切線,切點為 ,且與橢圓交于點 ,記 ,則有以下等價條件:
(1) ; (2) ; (3) .
5.斜率和積為定值的切線同構（與齊次化同源）
斜率和積同構,是通過直線與直線相交聯立 解點,通過解出來的點用斜率 、 表示,代入所在的圓雉曲線方程得出一個關于 的二次方程,同理 也滿足此同構方程; 同樣,也可以
聯立得到 從而解出 和 ,然后代入直線 ,得出一個關于 的二次方程,
同理 也滿足此同構方程,那么輕松拿捏 。口訣就是: 聯二代三,同構定系! 6. 同解同構方程
題型一: 點式同解同構方程
如果一條直線 上兩點在曲線 上,又在曲線 上,我們可以通過聯立得到關于 的方程
(1)
和 (2)
則(1)(2)為同解方程,對比系數,一定有 ,從而解決相關問題. 這種方式對外接圓問題尤為有效.
題型二: 斜率同解同構
同解同構, 可以是坐標點的同解同構, 也可以是斜率的同解同構, 斜率同解同構, 顧名思義, 就是
兩直線分別交兩個曲線于不同點,這兩條直線的 就能用來進行兩次同構,形成同解同構方程.
十五. 三角代換
1. 橢圓雙曲線的三角代換與兩點式方程
(1) 橢圓 的三角換元方程是 ,其中 是參數. 不代表傾斜角.
(2) 橢圓 的三角換元方程是 ,其中 是參數. 不代表傾斜角.
(3) 橢圓 ,設 ,我們借助齊次化半角模型
同理,
(4) 如果橢圓 ,設 ,則 的方程為:
(橢圓三角兩點式方程)
雙曲線: 中心在原點, 坐標軸為對稱軸的雙曲線的三角換元有以下兩種情況:
(1) 雙曲線 的三角換元方程是 ,其中 是參數. 不代表傾斜角.
(2) 雙曲線 的三角換元方程是 ,其中 是參數. 不代表傾斜角.
(3) 由 ,設
(4) (雙曲線三角兩點式方程) 相比于橢圓,就是 和 互換了位置,都是 形式,橢圓的左右兩端 是加號, 雙曲線左邊全部是加號.
十六 斜率雙用
1 點差法與斜率雙用
斜率的和差互換: 設橢圓 的弦 ,其中 ,則
過二次曲線 上一定點 做兩條直線交 于 ,兩點,直線 的 斜率分別為 ,且 滿足: ,則直線 恒過定點
我們僅以 為已知條件,具體操作如下:
根據點差法可得: ,為了對稱性,下面進入斜率雙用的交叉相乘模式,
,為了作差能得到 ,必須一個差式斜率跟和式斜率交叉相乘得來.
如果處理斜率之和, ,這里通分后作差能得到 ,所以也是兩個差式
和兩個和式的結果進行作差. 積式交叉, 和商同型.
2. 斜率雙用下的斜率異構
過 (或者 ) 的一個公共點 作 交 于 ,且 (或者 ),則 過兩曲線的另一個公共點. 十七. 參數方程與復數變換 1. 長度參數 引入與參數方程
直線: 經過點 ,傾斜角為 的直線的參數方程是 ( 為參數).
注意: (1). 在直線的參數方程 ( 為參數) 中 的幾何意義是表示在直線上過定點 與直線上的任一點 構成的有向線段 的模,且在直線上任意兩點 的距離為
(2). 若直線與已知二次曲線相交于 兩點時,則將此直線代入二次曲線,得到兩根 和 , 則 .
(3). 定點 是線段 的中點可得 ; 設線段 中點為 ,則點 對應的參數值 (由此可求 及中點坐標). 2. 長度參數 解決與共線分弦問題
性質 1 已知圓錐曲線的橢圓 (雙曲線) 半通徑為 代表焦準距) 拋物線半通徑為 ,在 焦點所在的對稱軸上,必定存在定點 ,過定點 的弦為 ,則 ,此時 必為焦點.
性質 2 若圓錐曲線的離心率為 ,焦準距為 ,在長軸 (實軸) 所在的對稱軸上,必定存在定點 ,過 的弦為 ,滿足 .
(1) 對于橢圓 ,過定點 的弦為 ,則 .
(2) 對于雙曲線 ,過定點 的弦為 ,則 .(3) 對于拋物線 ,過定點 的弦為 ,則 .
3. 復數的模與輻角表示圓錐曲線方程
設 是平面內任意一點,它的直角坐標是 ,轉化為復平面, ,可 以得出它們之間的關系: . 又可得到關系式: . 這就是復平 面坐標與直角坐標的互化公式. 第一類: 復數變換處理平行問題
平行問題,則 相等,抓住這一點,能簡化很多問題. 根據復平面坐標與直角坐標的轉換關系: , 橢圓: ;
雙曲線: ; 第二類: 復數代換下圓錐曲線中的垂直問題
復平面處理垂直問題,當 時,令 ,所以 , ,所以 ,即 , 然后代入其相應方程, 進行運算.
第三類 復數代換下的等腰直角三角形
已知點 都在圓雉曲線 上,若 是以 為斜邊的等腰直角三角形,設 : (復數三角變換),故 ,
,如果涉及等邊三角形 ,我們可以可以令 ,則
,如果三角形的兩個點或者三個點在曲線上,再代入曲 線方程求解.
專題 6 導數結論篇
一、恒成立篇
1. 同構
(1) 八大函數
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7) (8)
(2) 常見變形 模型總結（ ）
;
;
(3) 基本模型
(1) 積型: .
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(3) 和差型:
如: .
2. 反函數常見模型
(1)乘除型: 與 ,或 與 ;
(2)加減型: 與 ,或 與 ;
(3)混合型: 與 ,或 與 .
3.分而治之常見模型
(1) 高人一等型
若 對 恒成立,且 ,我們可以轉化為 ,通過分別求出兩個函數的 最值,當 時一定成立,我們稱之為高人一等,如圖所示;
(2) 錯位 PS 型
若 對 恒成立,且 ,我們可以轉化為 ,通過分別求出兩個函數 的最值,當 時不等式一定成立,我們稱之為錯位 ,如圖所示. 通 常我們將 叫做上函數, 叫做下函數.
(3) 親密接觸型
若 對 恒成立,且 ,我們可以轉化為 ,通過分別求出兩個函 數的最值,當 ,且 時一定成立,我們稱之為親密接觸,如 圖所示.
(4) 天各一方
若含參數 的函數 對 恒成立,且 ,構造 ,在這種 情況下 恒成立,且 ,只需 單調遞減; 或者 單調遞增, 且 ,只需 單調遞減,這也是我們通常講到的端點效應 (洛必達法則); 此法叫做天各一方, 如圖所示，在端點效應中推導矛盾區間時往往需要切線放縮.
2. 找基友與單身狗
(1) 對數的處理
設 為可導函數,則有 ,若 為非常數函數,求導式子中含有 , 這類問題需要多次求導. 處理這類函數的秒殺技巧是將 前面部分提出，就留下 這個單身狗，然后研 究剩余部分，這類方法技巧叫對數單身狗.
(2) 指數的處理
設 為可導函數,則有 ,若 為非常數函數,求導式子中還是含有 , 針對此類型,可以采用做商的方法,構造 ,從而達到簡化證明和求最值的目的, 總 在找屬于它的基友，此類方法技巧俗稱指數找基友.
3. 常用放縮式
(1) 指數切線放縮
秘籍 10 線放縮
(1) (切點橫坐標是 );(2) (切點橫坐標是 );
(3) (切點橫坐標是 ).
秘籍 21 線放縮
(1) (切點橫坐標是 );
(2) (切點橫坐標是 );
(3) (切點橫坐標是 );
(4) (切點橫坐標是 ); (2) 對數切線放縮 秘籍 1 ’ ’ 線放縮
(也可以記為 ,切點為 引起的放縮) (用 替換 ,切點橫坐標 ), 或者記為 . (由 及 切點橫坐標是 ),或者記為 . 線對數不等式鏈條
秘籍 20 線放縮
(由 向左平移一個單位來理解)
秘籍 線放縮:
. (用 替換 ,切點橫坐標是 ),表示過原點與 的切線為 .
(3) 三角函數放縮
我們通常能夠用到的是: 對于 恒成立; 對于 恒成立; 對 于 恒成立; 對于 恒成立,當然還有三角函數有界性 .
4. 導數與數列放縮
模型一 等差數列的裂項相消放縮:
模型二 等比數列的裂項相消放縮: 設 是以 為首項,且公比為 的等比數列,關于
模型三 已知數列 滿足: ,則 ,故 , 故 .
5. 抽象函數導函數構造
角度 1 導數和差, 構造和差型函數
和與積聯系, 構造乘積型函數; 差與商聯系, 構造分式型函數:
角度 2 冪函數及其抽象構造
定理
證明: 因為 ,所以 ,則函數 單調遞 增; ,則 單調遞增.
定理 2 當 時,
證明 因為 ,所以 ,則函數 單調遞增; ,則 單調遞增.
角度 3 指數函數與抽象構造
定理 ;
證明: 因為 ,所以 ,則 單調遞 增; 反之 單調遞減; ,則 單調遞增; 反之 單調遞減.
定理 .
證明: 因為 ,所以 ,則 單調遞增; 單調遞減; 若 ,則 單調遞增,若 ,則 單調遞減.
定理 5 正弦同號, 余弦反號定理
,當 ; ,當 ; ,當 ; ,當 . 遇正切時化切為弦, 請自己證明相關結論.
二、零點篇 1. 三次函

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