資源簡介

數(shù)學(xué)性質(zhì)
1、一元二次方程根的情況：
△=b2-4ac（前提必須化成一般形式ax2+bx+c=0）
當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根。
2、平行四邊形的性質(zhì)：
① 兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
② 平行四邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)連成的線段叫它的對角線。
③ 平行四邊形的對邊相等并且平行，對角相等，鄰角互補(bǔ)。
④平行四邊形的對角線互相平分。
3、菱形：
①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。
②領(lǐng)形的四條邊相等，對邊平行，兩條對角線互相垂直平分，每一組對角線平分一組對角。
③判定條件：定義、對角線互相垂直的平行四邊形、四條邊都相等的四邊形。
4、矩形與正方形：
① 有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形。
② 矩形的對角線相等且平分，四個(gè)角都是直角。
③ 對角線相等的平行四邊形是矩形。
④ 正方形具有平行四邊形，矩形，菱形的所有性質(zhì)。
⑤一組鄰邊相等的矩形是正方形，有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。
5、多邊形：
①n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）180°
②多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個(gè)多邊形的外角，在每個(gè)頂點(diǎn)處取這個(gè)多邊形的一個(gè)外角，他們的和叫做這個(gè)多邊形的外角和多邊形的外角和都等于360度。
6、平均數(shù)：
7、加權(quán)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)里各個(gè)數(shù)據(jù)的重要程度未必相同，因而，在計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí)往往給每個(gè)數(shù)據(jù)加一個(gè)權(quán)，這就是加權(quán)平均數(shù)。
8、方差公式：
基本定理
1、過兩點(diǎn)有且只有一條直線
2、兩點(diǎn)之間線段最短
3、同角或等角的補(bǔ)角相等
4、同角或等角的余角相等
5、過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直
6、直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短
7、平行公理 經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行
8、如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行
9、同位角相等，兩直線平行
10、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
11、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
12、兩直線平行，同位角相等
13、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
14、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)
15、定理 三角形兩邊的和大于第三邊
16、推論 三角形兩邊的差小于第三邊
17、三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°
18、推論1 直角三角形的兩個(gè)銳角互余
19、推論2 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和
20、推論3 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角
21、全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等
全等三角形的判定方法：
22、邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
23、角邊角公理( ASA)有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
24、推論(AAS) 有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
25、邊邊邊公理(SSS) 有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
26、斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等
角平分線的性質(zhì)：
27、定理1 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等
28、定理2 到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上
29、角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合
等腰（邊）三角形的性質(zhì)：
30、等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個(gè)底角相等 (即等邊對等角）
31、推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊
32、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合
33、推論3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°
等腰（邊）三角形的判定：
34、等腰三角形的判定定理 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（等角對等邊）
35、推論1 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形
36、推論 2 有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形
37、在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半
38、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半 。反之如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。
線段垂直平分線的性質(zhì)：
39、定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
40、逆定理 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上
41、線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合
42、定理1 關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形是全等形
43、定理 2 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線
44、定理3 兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對稱軸上
45、逆定理 如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱
46、勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方， 即a2+b2=c2
47、勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。
48、定理 四邊形的內(nèi)角和等于360°
49、四邊形的外角和等于360°
50、多邊形內(nèi)角和定理 n邊形的內(nèi)角的和等于（n-2）×180°
51、推論 任意多邊的外角和等于360°
平行四邊形的性質(zhì)：
52、平行四邊形性質(zhì)定理1 平行四邊形的對角相等 、鄰角互補(bǔ)
53、平行四邊形性質(zhì)定理2 平行四邊形的對邊相等 、對邊平行
54、推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等
55、平行四邊形性質(zhì)定理3 平行四邊形的對角線互相平分
平行四邊形的判定：
定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
56、平行四邊形判定定理1 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
57、平行四邊形判定定理2 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
58、平行四邊形判定定理3 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
59、平行四邊形判定定理4 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形
矩形的性質(zhì)：
60、矩形性質(zhì)定理1 矩形的四個(gè)角都是直角，對邊平行且相等
61、矩形性質(zhì)定理2 矩形的對角線相等且互相平分
矩形的判定：
定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形
62、矩形判定定理1 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形
63、矩形判定定理2 對角線相等的平行四邊形是矩形
菱形的性質(zhì)：
64、菱形性質(zhì)定理1 菱形的四條邊都相等 ，對邊平行，對角相等
65、菱形性質(zhì)定理2 菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角
66、菱形面積=對角線乘積的一半，即S=（a×b）÷2 ，也等于底×高
菱形的判定：
定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
67、菱形判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形
68、菱形判定定理2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
正方形的性質(zhì)：
69、正方形性質(zhì)定理1 正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等，對邊平行
70、正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角
正方形的判定：
方法一：是矩形且一組鄰邊相等
方法二：是菱形且有一個(gè)角是直角
71、定理1 關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形是全等的
72、定理2 關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分
73、逆定理 如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對稱
等腰梯形的性質(zhì)：
74、等腰梯形性質(zhì)定理 等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等
75、等腰梯形的兩條對角線相等
等腰梯形的判定：
76、等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形
77、對角線相等的梯形是等腰梯形
78、平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等
79、推論1 經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰
80、推論2 經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊
81、三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半
82、梯形中位線定理 梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半梯形的中位線長=（上底+下底）÷2 梯形面積=中位線長×高
86、平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例
87、推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例
88、定理 如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊
89、平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線， 所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例
三角形相似的判定：
90、定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似
91、相似三角形判定定理1 兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）
92、直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似
93、判定定理2 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）
94、判定定理3 三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）
95、定理 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似
三角形相似的性質(zhì)：
96、性質(zhì)定理1 相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比
97、性質(zhì)定理2 相似三角形周長的比等于相似比
98、性質(zhì)定理3 相似三角形面積的比等于相似比的平方
99、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值
100、任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：d是圓心與點(diǎn)p的距離，r為半徑
101、點(diǎn)p在圓上ód=r，圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合
102、點(diǎn)p在圓內(nèi)ód＜r，圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合
103、點(diǎn)p在圓外ód＞r，圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合104、同圓或等圓的半徑相等
105、到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓
106、和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線
107、到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線
108、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線
109、定理 不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。
110、垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧
111、推論1
①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧
②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧
③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧
112、推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等
113、圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形
114、定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等
115、推論 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等 圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)
116、定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半 圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半
117、推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等
118、推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑
119、推論3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形
120、定理 圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對角
121、直線和圓的位置關(guān)系：
d是圓心到直線的距離，r為半徑
①直線L和⊙O相交ód﹤r
②直線L和⊙O相切ód=r
③直線L和⊙O相離ód﹥r(jià)
122、切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
123、切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑
124、推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)
125、推論2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心
126、切線長定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角
127、圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等
128、弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角
129、推論 如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等
130、相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等
131、推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)
132、切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)
133、推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等
134、如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上
135、①兩圓外離ó d﹥R+r
②兩圓外切ó d=R+r ③兩圓相交ó R-r﹤d﹤R+r(R﹥r(jià))
④兩圓內(nèi)切ó d=R-r(R﹥r(jià)) ⑤兩圓內(nèi)含ó d﹤R-r(R﹥r(jià))
136、定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦
137、定理 把圓分成n(n≥3):⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形⑵經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形
138、定理 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓
139、正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于（n-2）×180°／n
140、定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形 1.基礎(chǔ)知識薄弱：
基礎(chǔ)知識薄弱往往在成績中下段的學(xué)生身上體現(xiàn)的淋漓盡致。假設(shè)一張?jiān)嚲頋M分100分，如果你考了95分，那么這一條跟你關(guān)系不大；如果你考了59分，那么你就得好好看看這一條了。
基礎(chǔ)知識掌握不扎實(shí)，比如不清楚等式的定義（含有等號的式子），認(rèn)為1=2不是等式，而認(rèn)為π≈3.14是等式；比如不知道方程的定義（含有未知數(shù)的等式），認(rèn)為x+1=x-1不是方程，因?yàn)樗鼪]有解；等等。
對策：把要點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)和知識點(diǎn)分解而形成自己的知識結(jié)構(gòu)體系，使之爛熟于心，同時(shí)將課本后面的練習(xí)題弄懂弄通。
2.基本運(yùn)算能力差：
這個(gè)問題是歷史遺留問題，如果孩子在小學(xué)時(shí)候計(jì)算能力就一般，初一基本上也會受影響；同時(shí)和孩子的習(xí)慣有關(guān)，有的孩子只要是計(jì)算題，就立刻拿出來計(jì)算器，噼里啪啦就把題算出來了，有時(shí)候計(jì)算6乘以9，他都恨不得翻出九九乘法表，而不愿意去開動腦筋運(yùn)算，長此以往，導(dǎo)致計(jì)算能力低下。
對策：熟能生巧，基礎(chǔ)打好了，后面就快了。多算多練，對數(shù)學(xué)計(jì)算有幫助，盡量少用計(jì)算機(jī)！
3.實(shí)際應(yīng)用能力差：
到了方程和不等式，數(shù)學(xué)就開始和生活結(jié)合起來了，架橋、修路應(yīng)有盡有，不應(yīng)有的也有。聯(lián)系不到生活，可能學(xué)起來比較費(fèi)勁些。
對策：聯(lián)系實(shí)際，注意觀察生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系。
4.邏輯推理能力差：
許多孩子希望考試能碰見之前做過的題，或者類似的題，甚至希望數(shù)據(jù)都不要變，只把小明變成小日或者小月，小花變成小化，新題最好不要出，新題型更不能出，因?yàn)橐坏┏隽藢W(xué)員容易覺得暈，推理幾步之后就不知身在何處了。
對策：只要肯用心總結(jié)解題技巧，從基礎(chǔ)入手，多練習(xí)多總結(jié)，一點(diǎn)點(diǎn)地積累，多花點(diǎn)時(shí)間做題鞏固。
5.不規(guī)范、不細(xì)致：
有些學(xué)生做題的時(shí)候，還沒有讀完，就把答案寫出來了，正確率可想而知。舉個(gè)例子，許多人在寫點(diǎn)的坐標(biāo)的時(shí)候會這么寫A（y、x），這種不規(guī)范的寫法肯定是錯(cuò)的呀！咱們之前講過一個(gè)口訣，橫前縱后加括號，中間不忘加逗號，所以應(yīng)該是A(x,y)，這題兩分，就這么沒了。
對策：用筆點(diǎn)字，一字一字地看，就漏不了！在練習(xí)的時(shí)候，把題目當(dāng)成考試，做完后計(jì)算分?jǐn)?shù)。這樣，自己跟自己比，因?yàn)楦偁幮睦恚啬憔捅槐谱兊眉?xì)心、規(guī)范了。
6.藝高人膽小：
面臨考試的學(xué)生中，總有這么一部分學(xué)生：在做選擇和填空時(shí)如果碰到幾道稍微有點(diǎn)難度的題，會反復(fù)驗(yàn)算，并且在做后邊的大題時(shí)很是不放心，影響發(fā)揮，更有甚者會放下后邊大題重新審閱前邊，以致耽誤時(shí)間，未能做完本該會的題目。此類學(xué)生往往還是成績不錯(cuò)，但是為什么會出現(xiàn)這種情況？不自信！過于追求完美反倒很不完美。
對策：太小心翼翼了往往產(chǎn)生不好的效應(yīng)，建議還是放開了做。
7.做題速度上不去：
每次考試都有一部分學(xué)生會說：其實(shí)這些題我都會，但是沒時(shí)間。考試是公平的，給的時(shí)間也是合理的，考生并非沒有時(shí)間，而是在前邊的題上耽誤了大量的時(shí)間，原因就是做題速度上不去！
對策：很多考生（特別是成績比較好的）在大復(fù)習(xí)中往往攻克自己不會的題目，對自己會的題目不加練習(xí)，對自己會的題目反復(fù)練習(xí)能夠提高學(xué)生的做題速度，并且是驚人的速度，填空選擇和幾道簡單的大題，如果放在基礎(chǔ)題做的比較多的同學(xué)手里會比其他同學(xué)省下十幾分鐘的時(shí)間，并且正確率很高，從而有較多的時(shí)間做后邊大題。多練習(xí)把速度提上去。
8.關(guān)鍵兩步不會做：
很多學(xué)生有這種感覺，其實(shí)現(xiàn)在的卷子本沒有什么太難的壓軸題，有的學(xué)校壓軸題最后一步甚至是“直接寫出該點(diǎn)坐標(biāo)”，并不需要什么證明過程，考的是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。壓軸題能夠解答是建立在學(xué)生能靈活運(yùn)用初中階段知識點(diǎn)的基礎(chǔ)上，在平常的練習(xí)中，有相當(dāng)一部分同學(xué)對大題難題根本沒有真正掌握，從而失去一次又一次鍛煉思維的機(jī)會，到了考試就認(rèn)為自己根本做不出來，并且壓軸題有一個(gè)慣性：前一步提示后一步。這一點(diǎn)很多學(xué)生不能領(lǐng)悟運(yùn)用。
對策：在平日里的數(shù)學(xué)練習(xí)里多看一些這種壓軸題的做法、解法、思維，融會貫通。
9.考前做題效率低：
有一些同學(xué)看起來很勤奮，但是每次成績都考不上去，有一部分原因是學(xué)生資質(zhì)平平，但是還有一部分確實(shí)還是很聰明的。
原因：不善于獨(dú)立思考，并且錯(cuò)題不懂得總結(jié)。善于獨(dú)立思考的同學(xué)基本上對做過的題能夠大體掌握，達(dá)到練習(xí)的效果，而不善于獨(dú)立思考的學(xué)生對老師有一定的依賴性，做過的題可能只掌握一部分，并且經(jīng)過老師的講解之后并沒有總結(jié)，好好的消化吸收，讓一次練習(xí)的機(jī)會白白流失。幾何篇
平行四邊形（實(shí)用度： ★ ★）
兩邊長為a和b，兩對角線長為m和n，可以拿這個(gè)公式和托勒密定理對比記憶。
三角形
A.勾股數(shù)（實(shí)用度： ★ ★）
常見的最簡勾股數(shù)有：
3、4、5
5、12、13
8、15、17
7、24、25
9、40、41
B.面積公式（實(shí)用度： ★ ★）
邊角邊公式：利用兩邊及其夾角求面積。
S=1/2SinB*ac。兩邊對應(yīng)于ac,夾角是B,
邊邊邊公式
公式中a，b，c分別為三角形三邊長，p為半周長，S為三角形的面積。
PS：幾何中的三角形面積公式只需要記這兩個(gè)個(gè)，其他的公式連競賽都很難用得上。
C.三角恒等式（實(shí)用度： ★ ）
這幾個(gè)公式對于初中來說確實(shí)沒什么用，很少能用到。不過如果有興趣，記下來了，高中需要背的時(shí)候就會少一些麻煩。
D.正余弦定理（實(shí)用度： ★ ★）
在遇到45度、60度、75度之類的非直角三角形題目時(shí)，我們可以用上這兩個(gè)公式。其他時(shí)候很少能用得上。所以要記得：
E.重心（質(zhì)量法）（實(shí)用度： ★ ★ ★）
三角形的重心將中線分為2：1的兩段。
質(zhì)量法：（填空壓軸題重點(diǎn)！！）
兩個(gè)小球A、B，如果質(zhì)量相等，如（1），那么它們的重心是AB的中點(diǎn)D。
如果質(zhì)量不等，質(zhì)量比為m/n，如（2），那么重心D仍在AB上，而AD/DB=n/m。（即杠桿原理）
如果三個(gè)質(zhì)量相等（都等于1）的小球A、B、C構(gòu)成三角形ABC要求它們的重心可以分為兩步：
先求出B、C的重心，即B、C的中點(diǎn)D，可以用質(zhì)量為2（=1+1）的小球放在D點(diǎn)，以取代B、C兩個(gè)小球。
再求A、D的重心，由于D處的質(zhì)量為2，A處的質(zhì)量為1，所以重心G在AD上，且分AD為2：1（即AG：GD=2：1）。
下面，我們舉一個(gè)簡單的例子。
例：如圖△ABC，AB上有一點(diǎn)E，BC上有一點(diǎn)D，AD交CE于點(diǎn)G，當(dāng)AE：EB=1：2，BD：DC=1：2時(shí)，AG：GD等于多少？
解：我們在C處放質(zhì)量為1的小球，B處放質(zhì)量為2的小球，A處放質(zhì)量為4的小球。此時(shí)AB、BC的重心E、D滿足AE：EB=1：2，BD：DC=1：2。
我們將B、C的質(zhì)量集中在D點(diǎn)，質(zhì)量為3。A點(diǎn)質(zhì)量為4。故AG：GD=3：4
同樣如果需要，我們可以求得EG：GC=1：6
圓
A.弦切角定理（實(shí)用度： ★ ★）
解釋：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。
如圖所示，線段PT所在的直線切圓O于點(diǎn)C，BC、AC為圓O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都為弦切角。
定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù)。
在上圖中，我們有∠TCB=∠CAB、∠PCA=∠CBA
B.圓冪定理（實(shí)用度： ★ ★ ★）
相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長定理的統(tǒng)稱。
①相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。
如圖I，即有AP·PB=CP·PD
②割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，
如圖II，即有PA·PB=PC·PD
③切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。
如圖III，即有PA^2=PC·PD
④切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等。
如圖IV，即有PA=PC
C.托勒密定理（實(shí)用度： ★ ★ ）
圓內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。
如圖，即有AB·CD+AD·BC=AC·BD
D.四點(diǎn)共圓（實(shí)用度： ★ ★ ★）
（填空壓軸題重點(diǎn)！！）
①對角互補(bǔ)的四邊形四點(diǎn)共圓。∠ADC+∠ABC=180度
②一個(gè)角的對角等于其補(bǔ)角的四邊形四點(diǎn)共圓。∠ADC=∠EBC
③同底、同側(cè)且對底邊張等角的四點(diǎn)共圓。∠ADB=∠ACB
④相交弦定理的逆定理。AP·PC=BP·PD
⑤割線定理的逆定理。PA·PB=PC·PD（圖中未給出）
⑥托勒密定理的逆定理AB·CD+AD·BC=AC·BD
⑦西姆松定理及逆定理。
過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。
西姆松定理的逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。
上述定理的核心之處就在于各個(gè)定理通過四點(diǎn)共圓和相似三角形聯(lián)系在一起。我們舉一個(gè)例子進(jìn)行練習(xí)。
例：如圖，△ABC為等邊三角形，D為AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E為CD延長線上一點(diǎn)，連接AE、BE，∠BEC=60度，若AE=3，CE=7 ，則BE=________。
解：
因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，
所以∠BAC=∠BEC=60度，
所以A、E、B、C四點(diǎn)共圓
由托勒密定理可得：AB·CE=AC·BE+AE·BC，
因?yàn)锳B=AC=BC，
所以CE=AE+BE，
所以BE=CE-AE=4
解析幾何篇
點(diǎn)線之間的距離（實(shí)用度： ★ ★ ★）
A.點(diǎn)與點(diǎn)：
對于點(diǎn)（x1，y1）和點(diǎn)（x2，y2），距離
兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)
過兩點(diǎn)的直線斜率
B.點(diǎn)與線：
對于點(diǎn)（x0，y0）和線y=kx+b，距離
C.線與線：
對于線y=kx+b1和線y=kx+b2（注意k必須相等，即平行線才有距離），距離
三角形的面積公式（實(shí)用度： ★ ★ ★）
對于一個(gè)點(diǎn)在原點(diǎn)，另兩個(gè)點(diǎn)分別為（x1，y1）和（x2，y2）的三角形面積為
代數(shù)篇
立方公式 四個(gè)公式 別看錯(cuò)了（實(shí)用度： ★）
頭同尾合十（實(shí)用度： ★ ★ ★）
名詞解釋
例如28*22，兩個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字2相同，個(gè)位數(shù)字8+2=10，故稱頭同尾合十。
巧算方法
尾數(shù)相乘，得出的答案占后兩位；頭乘（頭+1），占前一位到兩位，就可以得出積。比如28*22，尾數(shù)相乘：2*8=16，2*（2+1）=6，依次排序就是616。
用法
85*85，口算時(shí)，為8*（8+1）=72，5*5=25，一邊算一邊寫就得出了答案7225。
47*45，口算時(shí)，折分成（45+2）*45來計(jì)算。45*45=2025，在腦子里對2025加上90，即得2115。什么是三角形
不在同一直線上的三個(gè)頂點(diǎn)、兩兩用線段聯(lián)結(jié)起來的圖形叫三角形。它有三個(gè)內(nèi)角、三個(gè)外角、三條邊，還有三類特殊的線：角平分線、中線和高。
三角形是最簡單的多邊形，它正如“家庭是社會基本的細(xì)胞”這句話一樣，在幾何學(xué)中寓意深刻。
三角形知識只有八年級用得到嗎
No，它幾乎貫穿整個(gè)初中、乃至高中階段的幾何學(xué)習(xí)，并且在以后的幾何學(xué)習(xí)中會頻繁出現(xiàn)，可謂“魅影重重”，能熟練掌握并靈活應(yīng)用三角形性質(zhì)、定理來破解幾何難題，是每個(gè)初中、乃至高中生必須修煉的武林絕技。如果說“得梅長蘇者得天下”，那么“得鐵三角者得幾何”應(yīng)不是妄言。
八年級三角形相關(guān)知識點(diǎn)有哪些？
1、三角形的概念與性質(zhì)；
2、全等三角形的性質(zhì)與判定；
3、等腰三角形的性質(zhì)與判定 .
然而在所有上述知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)和解題的過程中，同學(xué)們通常會出現(xiàn)這樣一種感覺：一聽就懂，直觀而簡單的習(xí)題一上手就OK。但是一碰到復(fù)雜的綜合題，頓時(shí)“拔劍四顧心茫然”——寶刀我有，然鵝何處入手？
幾何綜合題型一般有這樣的特點(diǎn)：圖形復(fù)雜，線條多、角度多，且貌似與求證結(jié)果完全風(fēng)馬牛不相及也。而這類題在期末考中必有，甚至在至關(guān)重要的中考中也必有，同學(xué)你若只管用無神的雙眼漠視它，不調(diào)動你最強(qiáng)大腦中的風(fēng)暴橫掃它，結(jié)果就只能在考試中棄題、丟分，并因此與高分和滿分失之交臂。
“王者農(nóng)藥”尚需苦練絕招，學(xué)海爭霸豈可只憑撞運(yùn)僥幸！
今天，我們就針對綜合性三角形幾何求證題，給大家來講解一下遇到這類題型，應(yīng)該遵循什么樣的解題思路、邏輯方法以及基本攻略。
首先，解綜合類三角形幾何題，有哪些注意事項(xiàng)呢？
第一、熟記并理解三角形的概念、分類、性質(zhì)以及三角形全等的判定（這是必須的——必正背、必倒背）。
第二、學(xué)會在復(fù)雜的圖形中分離出表示某個(gè)幾何概念的那部分圖形（這是要訓(xùn)練的——必各種看、必各種畫）。
第三、熟練并靈活地運(yùn)用上述知識進(jìn)行計(jì)算、說理以及解決問題（這是需要攻略和實(shí)訓(xùn)的——必潛心琢磨、必有效刷題）。
我們來看一道綜合類的三角形幾何題，感受一下如何靈活應(yīng)用相關(guān)的知識點(diǎn)，邏輯清晰、條理分明地解題。
如圖1所示，已知：∠1=20°，∠2=60°，∠3=10°，∠EBC=70°，求∠DEB .
解題基本攻略如下：
第一步：草稿標(biāo)圖（以重要性而言，“解幾何前的標(biāo)圖”絕不亞于“發(fā)自拍前的P圖”）。
養(yǎng)成標(biāo)圖的好習(xí)慣，是幾何高效解題的第一步；學(xué)會標(biāo)好圖（讀題、審題、整理思路全在里面了），你的破解將事半功倍。
好，現(xiàn)在我們先盡可能將已知條件標(biāo)注在圖上（如圖2），這一來，立馬就直觀地看出圖形的以下特點(diǎn)：
1、∵∠ABC=10°+70°=80°，∠ACB=20°+60°=80°
∴∠ABC=∠ACB，△ABC是等腰三角形
2、∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=20°
∴∠BEC=∠A+∠3=30°（即∠4=30°。該角與所求角度相鄰，值得關(guān)注）
第二步：快速默念所有相關(guān)概念、定理——尤其是重要性質(zhì)或定理（迅速鎖定有用的定理，正如比武在即，務(wù)必精選一件趁手的大殺器）。
這也充分說明：如果概念模糊、知識點(diǎn)缺失，要破解綜合性壓軸難題的概率——那是飛流直下三千尺——直接到零了。
即如此題，它有什么重點(diǎn)性質(zhì)呢？便是那個(gè)在等腰三角形對稱軸上的“三線合一”。所以速度在草圖上繼續(xù)標(biāo)出△ABC的對稱軸（圖3），看看會有那些玄機(jī)？
玄機(jī)1：發(fā)現(xiàn)四個(gè)與∠4相等的角（圖4中綠色三角標(biāo)記處）。
在貫穿初高中幾何的所有知識點(diǎn)中，30°、45°、60°……這些特殊角永遠(yuǎn)是解題過程中值得我們特別關(guān)注的。所以，當(dāng)對稱軸出現(xiàn)后，我們一眼可以看到它與∠2這個(gè)60°角的一條邊相交于一點(diǎn)（我們設(shè)它為H），由該三角形的對稱性可知：連接B、H并延長BH交AC于G，那么△HBC不僅等了腰，而且等了邊。So，該四角均為30°。
玄機(jī)2：發(fā)現(xiàn)三個(gè)與∠3相等的角（圖4紅色圓點(diǎn)標(biāo)記處）。
因?yàn)檩S對稱，所以20°的頂角∠BAC被均分為兩個(gè)10°的角。又因?yàn)樵瓰?0°的∠EBC被刨去一個(gè)60°角后，剩下的領(lǐng)地∠EBG也只有10°的狹窄空間了。
玄機(jī)3：兩兩相鄰的10°角組成了某三角形相等的底角。
∠BAC忽然與∠ABG成了絕配，并穩(wěn)穩(wěn)地指向了他們各自對應(yīng)的、同樣般配的腰：AG=BG
上述三大玄機(jī)的出現(xiàn)，還不足以讓你思潮起伏、浮想聯(lián)翩嗎？須知剛學(xué)過本學(xué)期幾何的重頭戲“三角形全等”哦，有相等的角，還有相等的邊，全等三角形已然呼之欲出了。
緩一緩，讓我們整理一下思路，在草圖上繼續(xù)劃劃看——果然，終于等到你、全等三角形！
第三步：找出全等三角形中那組有用的對應(yīng)元素（春風(fēng)十里，不如遇到那個(gè)善解人意的你）。
見圖5與圖6，一番甄別，毫無疑義，這里最具含金量的全等三角形對應(yīng)元素是：GH=GE，因?yàn)槲覀兘K于將所求的角∠DEB縮小到小范圍四邊形DHGE的可控包圍圈中了。
第四步：直擊終極目標(biāo)（是時(shí)候關(guān)門、亮燈，讓目標(biāo)寵物汪暴露在低碳、節(jié)能、環(huán)保的LED燈下了）。
該關(guān)的門窗一個(gè)都不能少，包圍圈就要越小越好。我們很容易發(fā)現(xiàn)：在四邊形DHGE這個(gè)兩房兩廳平面圖中，△DHG不僅等著腰，而且等著邊，那就意味著GH=HD=DG，而剛才我們發(fā)現(xiàn)GH=GE。
Now，關(guān)閉客廳通道，繼續(xù)縮小范圍，就只剩下△DGE了，且DG=GE，易證∠8=80°，∴∠DEG=50°→∠DEB=20°。
Game 就這樣over 了。
縱觀整個(gè)解題過程，你有木有發(fā)現(xiàn)：奪高分、爭學(xué)霸、解幾何——學(xué)會標(biāo)圖絕對比學(xué)會P圖重要的多得多得多？
幾何綜合性解答題的求解方略，總結(jié)一下：
1、習(xí)慣標(biāo)圖，學(xué)會標(biāo)圖！學(xué)會標(biāo)好圖！！學(xué)會有效標(biāo)好圖！！！
2、像背乘法口訣一樣背出幾何性質(zhì)，像賣油翁隨手灌油那樣信手拈來有用的幾何定理——確保精準(zhǔn)無誤！
3、縮小包圍圈，逐步向目標(biāo)靠攏，而后一擊而中。
這道題的考點(diǎn)涵蓋了：
<1>等腰三角形的性質(zhì)：等角對等邊，三線合一.
<2>等腰三角形的軸對稱性質(zhì)。
<3>全等三角形的判定：A.A.S.
<4>等邊三角形的判定：有一角為60°的等腰三角形是等邊三角形.
<5>三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180°.一、數(shù)學(xué)性質(zhì)
1、一元二次方程根的情況
△=b2-4ac（前提必須化成一般形式ax2+bx+c=0）
當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根
2、平行四邊形的性質(zhì)：
① 兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
② 平行四邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)連成的線段叫它的對角線。
③ 平行四邊形的對邊相等并且平行，對角相等，鄰角互補(bǔ)。
④平行四邊形的對角線互相平分。
3、菱形：
①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
②領(lǐng)形的四條邊相等，對邊平行，兩條對角線互相垂直平分，每一組對角線平分一組對角。
③判定條件：定義、對角線互相垂直的平行四邊形、四條邊都相等的四邊形。
4、矩形與正方形：
① 有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形。
② 矩形的對角線相等且平分，四個(gè)角都是直角。
③ 對角線相等的平行四邊形是矩形。
④ 正方形具有平行四邊形，矩形，菱形的所有性質(zhì)。
⑤一組鄰邊相等的矩形是正方形，有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。
5、多邊形：
①n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）180°
②多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個(gè)多邊形的外角，在每個(gè)頂點(diǎn)處取這個(gè)多邊形的一個(gè)外角，他們的和叫做這個(gè)多邊形的外角和多邊形的外角和都等于360度。
6、平均數(shù)：
7、加權(quán)平均數(shù)：
一組數(shù)據(jù)里各個(gè)數(shù)據(jù)的重要程度未必相同，因而，在計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí)往往給每個(gè)數(shù)據(jù)加一個(gè)權(quán)，這就是加權(quán)平均數(shù)。
8、方差公式：
二、基本定理
1、過兩點(diǎn)有且只有一條直線
2、兩點(diǎn)之間線段最短
3、同角或等角的補(bǔ)角相等
4、同角或等角的余角相等
5、過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直
6、直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短
7、平行公理 經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行
8、如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行
9、同位角相等，兩直線平行
10、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
11、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
12、兩直線平行，同位角相等
13、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
14、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)
15、定理 三角形兩邊的和大于第三邊
16、推論 三角形兩邊的差小于第三邊
17、三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°
18、推論1 直角三角形的兩個(gè)銳角互余
19、推論2 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和
20、推論3 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角
21、全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等
全等三角形的判定方法：
22、邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
23、角邊角公理( ASA)有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
24、推論(AAS) 有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
25、邊邊邊公理(SSS) 有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
26、斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等
角平分線的性質(zhì)：
27、定理1 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等
28、定理2 到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上
29、角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合
等腰（邊）三角形的性質(zhì)：
30、等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個(gè)底角相等 (即等邊對等角）
31、推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊
32、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合
33、推論3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°
等腰（邊）三角形的判定：
34、等腰三角形的判定定理 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（等角對等邊）
35、推論1 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形
36、推論 2 有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形
37、在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半
38、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半 。反之如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。
線段垂直平分線的性質(zhì)：
39、定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
40、逆定理 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上
41、線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合
42、定理1 關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形是全等形
43、定理 2 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線
44、定理3 兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對稱軸上
45、逆定理 如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱
46、勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，
即a2+b2=c2
47、勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形
48、定理 四邊形的內(nèi)角和等于360°
49、四邊形的外角和等于360°
50、多邊形內(nèi)角和定理 n邊形的內(nèi)角的和等于（n-2）×180°
51、推論 任意多邊的外角和等于360°
平行四邊形的性質(zhì)：
52、平行四邊形性質(zhì)定理1 平行四邊形的對角相等 、鄰角互補(bǔ)
53、平行四邊形性質(zhì)定理2 平行四邊形的對邊相等 、對邊平行
54、推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等
55、平行四邊形性質(zhì)定理3 平行四邊形的對角線互相平分
平行四邊形的判定：
定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
56、平行四邊形判定定理1 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
57、平行四邊形判定定理2 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
58、平行四邊形判定定理3 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
59、平行四邊形判定定理4 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形
矩形的性質(zhì)：
60、矩形性質(zhì)定理1 矩形的四個(gè)角都是直角，對邊平行且相等
61、矩形性質(zhì)定理2 矩形的對角線相等且互相平分
矩形的判定：
定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形
62、矩形判定定理1 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形
63、矩形判定定理2 對角線相等的平行四邊形是矩形
菱形的性質(zhì)：
64、菱形性質(zhì)定理1 菱形的四條邊都相等 ，對邊平行，對角相等
65、菱形性質(zhì)定理2 菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角
66、菱形面積=對角線乘積的一半，即S=（a×b）÷2 ，也等于底×高
菱形的判定：
定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
67、菱形判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形
68、菱形判定定理2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
正方形的性質(zhì)：
69、正方形性質(zhì)定理1 正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等，對邊平行
70、正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角
正方形的判定：方法一：是矩形且一組鄰邊相等
方法二：是菱形且有一個(gè)角是直角
71、定理1 關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形是全等的
72、定理2 關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分
73、逆定理 如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對稱
等腰梯形的性質(zhì)：
74、等腰梯形性質(zhì)定理 等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等
75、等腰梯形的兩條對角線相等
等腰梯形的判定：
76、等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形
77、對角線相等的梯形是等腰梯形
78、平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等
79、推論1 經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰
80、推論2 經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊
81、三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半
82、梯形中位線定理 梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半
梯形的中位線長=（上底+下底）÷2
梯形面積=中位線長×高
86、平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例
87、推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例
88、定理 如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊
89、平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線， 所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例
三角形相似的判定：
90、定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似
91、相似三角形判定定理1 兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）
92、直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似
93、判定定理2 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）
94、判定定理3 三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）
95、定理 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似
三角形相似的性質(zhì)：
96、性質(zhì)定理1 相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比
97、性質(zhì)定理2 相似三角形周長的比等于相似比
98、性質(zhì)定理3 相似三角形面積的比等于相似比的平方
99、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值
100、任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：d是圓心與點(diǎn)p的距離，r為半徑
101、點(diǎn)p在圓上ód=r
圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合
102、點(diǎn)p在圓內(nèi)ód＜r
圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合
103、點(diǎn)p在圓外ód＞r
圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合
104、同圓或等圓的半徑相等
105、到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓
106、和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線
107、到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線
108、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線
109、定理 不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。
110、垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧
111、推論1
①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧
②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧
③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧
112、推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等
113、圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形
114、定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等
115、推論 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等
圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)
116、定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半
圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半
117、推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等
118、推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑
119、推論3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形
120、定理 圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對角
121、直線和圓的位置關(guān)系：d是圓心到直線的距離，r為半徑
①直線L和⊙O相交 d﹤r
②直線L和⊙O相切 d=r
③直線L和⊙O相離 d﹥r(jià)
122、切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
123、切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑
124、推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)
125、推論2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心
126、切線長定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角
127、圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等
128、弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角
129、推論 如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等
130、相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等
131、推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)
132、切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)
133、推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等
134、如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上
135、①兩圓外離ó d﹥R+r
②兩圓外切ó d=R+r
③兩圓相交ó R-r﹤d﹤R+r(R﹥r(jià))
④兩圓內(nèi)切ó d=R-r(R﹥r(jià))
⑤兩圓內(nèi)含ó d﹤R-r(R﹥r(jià))
136、定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦
137、定理 把圓分成n(n≥3):
⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形
⑵經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形
138、定理 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓
139、正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于（n-2）×180°／n
140、定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形 配方法
通過把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次冪的和形式解決數(shù)學(xué)問題的方法，叫配方法。
在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們主要應(yīng)用的就是完全平方式，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。
以用配方法解一元二次方程為例，我們主要介紹下它的解題步驟：（1）移項(xiàng)：把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；（2）配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對值一半的平方；（3）變形：方程左邊分解因式，右邊合并同類項(xiàng)；（4）開方：根據(jù)平方根的意義，方程兩邊開平方；（5）求解：解一元一次方程；（6）定解：寫出原方程的解。
因式分解法
因式分解就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式，在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。
因式分解的方法，除中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有拆項(xiàng)添項(xiàng)、求根分解、換元、待定系數(shù)等需要同學(xué)們對此有一定的了解和掌握。
當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“－”號，使括號內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的。
多項(xiàng)式因式分解的一般步驟：
（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；
（2）如果各項(xiàng)沒有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來分解；
（3）如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法來分解；
（4）分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。
換元法
我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的元去代替原式的一個(gè)部分或改造原來的式子，使它簡化，讓問題易于解決。
換元法的一般步驟：（1）在題目中尋找各項(xiàng)共同項(xiàng)或者可替換的項(xiàng)
（2）將想要替換的式子進(jìn)行設(shè)元（3）根據(jù)設(shè)元后的結(jié)果重新整理式子（4）尋找設(shè)元后化簡的式子與設(shè)元的關(guān)系（5）進(jìn)行求解并化簡
判別式與韋達(dá)定理
一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬于R，a≠0）根的判別式△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質(zhì)，也可以在代數(shù)式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數(shù)乃至幾何、三角運(yùn)算中有所應(yīng)用。
◆ 常見的求解類型：
（1）已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一根；
（2）已知兩個(gè)數(shù)的和與積，求這兩個(gè)數(shù)；
（3）求根的對稱函數(shù)；
（4）討論二次方程根的符號，解方程組；
（5）根和系數(shù)之間的關(guān)系等。
韋達(dá)定理的應(yīng)用
在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中尤為重要，我們需要注意以下事項(xiàng)：
（1） 注意根的符號
（2） 注意用韋達(dá)定理的前提條件
（3） 注意結(jié)論的隱蔽條件
（4） 注意用方程根的定義轉(zhuǎn)化方程
（5） 注意韋達(dá)定理逆定理的運(yùn)用
待定系數(shù)法
在解數(shù)學(xué)問題時(shí)，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，從而解答數(shù)學(xué)問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法，它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一。
使用待定系數(shù)法的解題步驟是：
（1）確定所求問題所含有待定系數(shù)的解析式
（2）根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程
（3）解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得以解決待定系數(shù)法在求解函數(shù)解析式的問題，以及在最值問題的若干應(yīng)用相對較廣，同學(xué)們務(wù)必對此用法引起重視。
構(gòu)造法
在解題時(shí)，我們常常會采用這樣的方法，通過對條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程(組)、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱為構(gòu)造法。
構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)方法，不同于一般的邏輯方法，一步一步尋求必要條件，直至推導(dǎo)出結(jié)論。數(shù)學(xué)證明中的構(gòu)造法一般可分為兩類，一類為直接性構(gòu)造法，一類為間接性構(gòu)造法。
通過挖掘題目中潛在的信息，構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)，將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，可使問題順利解決。運(yùn)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識互相滲透，有利于問題的解決。
如：構(gòu)造法在幾何中的應(yīng)用遇60度旋60度，造等邊三角形；遇90度旋90度，造等腰直角；遇等腰旋頂點(diǎn)，造旋轉(zhuǎn)全等；遇中點(diǎn)旋180度，造中心對稱。
面積法
平面幾何中講的面積公式，以及由面積公式推出的與面積計(jì)算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計(jì)算面積，還可以運(yùn)用面積關(guān)系來證明或計(jì)算平面幾何題。
面積問題主要涉及以下兩部分內(nèi)容：
(一）怎樣證明面積相等——理論依據(jù)
1. 三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的部分。
2. 同底同高或等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。
3. 平行四邊形的對角線把其分成兩個(gè)面積相等的部分。
4. 同底（等底）的兩個(gè)三角形面積的比等于高的比，同高（或等高）的兩個(gè)三角形面積的比等于底的比。
5. 三角形的面積等于等底等高的平行四邊形的面積的一半。
6. 三角形的中位線截三角形所得的三角形的面積等于原三角形面積的1/4。
7. 三角形三邊中點(diǎn)的連線所成的三角形的面積等于原三角形面積的1/4。
8. 有一個(gè)角相等或互補(bǔ)的兩個(gè)三角形的面積的比等于夾角的兩邊的乘積的比。
(二）用面積法解幾何問題
（1）常用的解題思路
1. 分解法：通常把一個(gè)復(fù)雜的圖形，分解成幾個(gè)三角形。
2. 作平行線法：通過平行線找出同高（或等高）的三角形。
3. 利用有關(guān)性質(zhì)法：比如利用中點(diǎn)、中位線等的性質(zhì)。
4. 還可以利用面積解決其它問題。
（2）用面積法證線段相等幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計(jì)算，有時(shí)可以不添置補(bǔ)助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。
幾何變換法
在數(shù)學(xué)問題的研究中，常常運(yùn)用變換法，把復(fù)雜性問題轉(zhuǎn)化為簡單性的問題而得到解決。
中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的習(xí)題，可以借助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。
幾何變換包括：
01平移
在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動叫做平移。
經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等。02旋轉(zhuǎn)
在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動叫做旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)180即為中心對稱。
經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，圖形每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動了相同的角度，任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。
03對稱軸對稱：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。
軸對稱圖形：
角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。
線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。
等腰三角形的“三線合一”。
軸對稱的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分，對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等。
反證法
反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。
證明一個(gè)命題時(shí)，命題中若出現(xiàn)邏輯詞語，如“至少”、“最少”、“至多“字眼時(shí)，大多數(shù)情況下，這種問題是采用反證法來解決。 (1) 假設(shè)命題的結(jié)論不成立； (2) 從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推論方法，得出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果； (3)由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。一、知識框架：
二、知識概念：
1.基本概念：
⑴軸對稱圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相
重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形.
⑵兩個(gè)圖形成軸對稱：把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一
個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱.
⑶線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這
條線段的垂直平分線.
⑷等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩條邊叫
做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做
底角.
⑸等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.
2.基本性質(zhì)：
⑴對稱的性質(zhì)：
①不管是軸對稱圖形還是兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，對稱軸都是任何一
對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.
②對稱的圖形都全等.
⑵線段垂直平分線的性質(zhì)：
①線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
②與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.
⑶關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)
①點(diǎn)P(X,Y)關(guān)于X軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為
②點(diǎn)P(X,Y)關(guān)于Y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為
⑷等腰三角形的性質(zhì)：
①等腰三角形兩腰相等.
②等腰三角形兩底角相等（等邊對等角）.
③等腰三角形的頂角角平分線、底邊上的中線，底邊上的高相互重合.
④等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是三線合一（1條）.
⑸等邊三角形的性質(zhì)：
①等邊三角形三邊都相等.
②等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，都等于60°
③等邊三角形每條邊上都存在三線合一.
④等邊三角形是軸對稱圖形，對稱軸是三線合一（3條）.
3.基本判定：
⑴等腰三角形的判定：
①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.
②如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（等角對
等邊）.
⑵等邊三角形的判定：
①三條邊都相等的三角形是等邊三角形.
②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.
③有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.
4.基本方法：
⑴做已知直線的垂線：
⑵做已知線段的垂直平分線：
⑶作對稱軸：連接兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)，作所連線段的垂直平分線.
⑷作已知圖形關(guān)于某直線的對稱圖形：
⑸在直線上做一點(diǎn)，使它到該直線同側(cè)的兩個(gè)已知點(diǎn)的距離之和最短.

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