資源簡介

微點突破4　電場強度的疊加
目標要求　了解常見的電場強度矢量疊加的情形，掌握求電場強度疊加的方法。
1．電場強度的疊加(如圖所示)
2．電場強度疊加常用的其他幾種方法
(1)等效法
在保證效果相同的前提下，將復雜的電場情景變換為簡單的或熟悉的電場情景。
例如：一個點電荷＋q與一個無限大薄金屬板形成的電場，等效為兩個等量異種點電荷形成的電場，如圖甲、乙所示。
(2)對稱法
利用空間上對稱分布的電荷形成的電場具有對稱性的特點，使復雜電場的疊加計算問題簡化。常見的圓環、圓盤等在軸對稱的兩點產生的電場具有對稱性。
(3)填補法
將有缺口的帶電圓環或圓板補全為完整的圓環或圓板，將半球面補全為球面，從而化難為易、事半功倍。
(4)微元法
將帶電圓環、帶電平面等分成許多微元電荷，每個微元電荷可看成點電荷，再利用公式和電場強度疊加原理求出合電場強度。
例1　(多選)(2024·湖南常德市一中月考)如圖所示，在豎直平面內以O點為圓心的絕緣圓環上有A、B、C三點將圓三等分，其中A、B的連線水平。在A、B兩點各固定一個電荷量為＋Q的點電荷，在C點固定一個電荷量為－2Q的點電荷。在O點有一個質量為M的帶電小球處于靜止狀態，已知圓的半徑為R，重力加速度為g，靜電力常量為k，下列說法正確的是(　　)
A．小球帶正電
B．O點的電場強度大小為
C．小球的帶電荷量為
D．撤去C點點電荷瞬間，小球的加速度大小為g
答案　CD
解析　A、B、C三點的點電荷在O點產生的電場強度方向如圖所示，由電場的疊加原理可知，O點的電場方向豎直向下，根據平衡條件可得，小球帶負電，A錯誤；O點的合電場強度為E＝2cos 60°＋＝3，B錯誤；由平衡條件得Mg＝q，得q＝，C正確；撤去C點點電荷瞬間E′＝，由牛頓第二定律有Mg－＝Ma，得a＝g，D正確。
例2　如圖所示，均勻帶正電的金屬圓環的圓心為O，在垂直于圓環所在平面且過圓心O的軸線上有A、B、C三點，AO＝OB＝BC＝L，當B點放置電荷量為Q的負點電荷時，A點的電場強度為0。若撤去B點的負點電荷，在C點放置電荷量為2Q的正點電荷時，B點的電場強度大小為(k為靜電力常量)(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　A點的電場強度為0，則圓環上的電荷在A點的電場強度與位于B點的電荷量為Q的負點電荷在A點的電場強度等大反向，即帶電圓環在A點的電場強度大小為E＝k＝k，根據對稱性可知圓環上的電荷在B點的電場強度大小也為E＝k，方向向右；若撤去B點的負點電荷，在C點放置電荷量為2Q的正點電荷時，根據電場強度的疊加原理可知B點的電場強度大小EB＝k－E＝，故選C。
例3　均勻帶電的球殼在球外空間產生的電場等效于電荷集中于球心處時產生的電場。如圖所示，在半球面AB上均勻分布正電荷，總電荷量為q，球面半徑為R，CD為通過半球頂點與球心O的軸線，在軸線上有M、N兩點，OM＝ON＝2R，已知M點的電場強度大小為E，靜電力常量為k，則N點的電場強度大小為(　　)
A.－E B.
C.－E D.＋E
答案　A
解析　把圓心在O點的二分之一球殼補為完整的帶電荷量為2q的帶電球殼，則在M、N兩點的電場強度大小均為E0＝＝。題圖中左半球殼在M點產生的電場強度為E，則右半球殼在M點產生的電場強度為E′＝E0－E＝－E，由對稱性知，左半球殼在N點產生的電場強度大小也為－E，故選A。
例4　如圖所示，真空中有一電荷均勻分布的帶正電圓環，半徑為r，帶電荷量為q，圓心O在x軸的坐標原點處，圓環的邊緣A點與x軸上P點的連線與x軸的夾角為37°，靜電力常量為k，取sin 37°＝0.6、cos 37°＝0.8，則整個圓環產生的電場在P點的電場強度大小為(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　把圓環分為n等份(n足夠大)，每一份的電荷量為Δq，則有n＝，每小份可以看成點電荷，由點電荷的電場強度公式可知每小份產生的電場在P點的電場強度大小均為E0＝，由幾何關系sin 37°＝，可得E0＝。在P點，E0在垂直x軸方向的分量大小為Ey，根據對稱性，n個Ey的矢量和為0，E0在x軸方向的分量大小為Ex＝E0cos 37°，n個Ex的矢量和就是圓環產生的電場在P點的電場強度，即E＝nEx，解得E＝，A、C、D錯誤，B正確。
1.(2024·湖北武漢市第六中學月考)用五根完全相同的均勻帶電絕緣棒圍成正五邊形ABCDF，P為該五邊形的中心。AB、BC、DF、FA棒所帶電荷量均為＋q，CD棒所帶電荷量為－2q，此時P處電場強度的大小為E。若移走CD棒而保持其他棒的位置和電荷分布不變，則P處電場強度的大小為(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　AB、BC、DF、FA棒所帶電荷量均為＋q，其在P點產生的合電場強度設為E0，若CD棒所帶電荷量也為＋q，根據對稱性P點的電場強度應為0，由于CD棒所帶電荷量為－2q，可等效為－3q電荷與＋q電荷，由題意和點電荷電場強度公式E＝k可知E＝3E0，若移走CD棒而保持其他棒的位置和電荷分布不變，則相當于未移走CD棒且CD棒所帶電荷量為－q，在P點產生的電場強度為E0＝，故選B。
2．(2023·河北秦皇島市期中)半徑為R的絕緣薄球殼固定，球心為O，球殼上均勻分布著電荷量為Q的正電荷。A、B、C為過球心大圓截面上的三點，三點將圓三等分，取走A、B兩處極小的、面積均為ΔS面上的電荷。將一點電荷q置于OC延長線上距O點為3R的D點，C、D點位于O點同側，O點的電場強度剛好為零。球面上剩余電荷分布不變，q為(　　)
A．正電荷，q＝ B．負電荷，q＝
C．正電荷，q＝ D．負電荷，q＝
答案　B
解析　球殼的面積S＝4πR2
單位面積電荷量σ＝
A、B兩處的電荷在O點的電場強度大小
E1＝2cos 60°＝
方向沿OC方向，故取走A、B兩處的電荷后，球殼剩余部分在O點的電場強度大小為E2＝
方向沿CO方向，q在O點的電場強度大小E3＝E2，則有＝，方向沿OC方向，可知q為負電荷，電荷量為q＝，故選B。
3.(2023·陜西渭南市一模)如圖所示，電荷量為＋q和－q的點電荷分別位于棱長為a的正方體的頂點，設靜電力常量為k，則正方體中心的電場強度大小為(　　)
A．0 B.
C. D.
答案　B
解析　如圖所示，將圖中兩組對角線上的電荷產生的電場強度合成即為中心O點的電場強度(另外兩對角線上的正電荷在O點的合電場強度為零)，則E1＝E2＝＝，由幾何關系可知，設兩電場強度夾角的一半為θ，則sin θ＝＝，cos θ＝，則O點合電場強度大小E＝2E1cos θ＝，故選B。
4．(2023·全國乙卷·24)如圖，等邊三角形△ABC位于豎直平面內，AB邊水平，頂點C在AB邊上方，3個點電荷分別固定在三角形的三個頂點上。已知AB邊中點M處的電場強度方向豎直向下，BC邊中點N處的電場強度方向豎直向上，A點處點電荷的電荷量的絕對值為q，求：
(1)B點處點電荷的電荷量的絕對值并判斷3個點電荷的正負；
(2)C點處點電荷的電荷量。
答案　(1)q　均為正電荷　(2)q
解析　(1)因為M點處電場強度方向豎直向下，則C點處電荷為正電荷，根據電場強度的疊加原理，可知A、B兩點的點電荷在M點的電場強度大小相等，方向相反，則B點處點電荷帶電荷量為q，電性與A點處點電荷相同，又N點處電場強度豎直向上，可得A點處電荷在N處的電場強度垂直BC沿AN連線向右上，如圖所示，可知A點處點電荷為正電荷，所以A、B、C點處的電荷均為正電荷。
(2)對N點處電場強度分析如圖所示，
由幾何關系EA′＝EBC′·tan 30°
即＝(－)
其中AN＝BN＝CN
解得qC＝q。(共27張PPT)
第九章
靜電場
電場強度的疊加
目標
要求
了解常見的電場強度矢量疊加的情形，掌握求電場強度疊加的方法。
微點突破4
1.電場強度的疊加(如圖所示)
2.電場強度疊加常用的其他幾種方法
(1)等效法
在保證效果相同的前提下，將復雜的電場
情景變換為簡單的或熟悉的電場情景。
例如：一個點電荷＋q與一個無限大薄金屬
板形成的電場，等效為兩個等量異種點電
荷形成的電場，如圖甲、乙所示。
(2)對稱法
利用空間上對稱分布的電荷形成的電場具有對稱性的特點，使復雜電場的疊加計算問題簡化。常見的圓環、圓盤等在軸對稱的兩點產生的電場具有對稱性。
(3)填補法
將有缺口的帶電圓環或圓板補全為完整的圓環或圓板，將半球面補全為球面，從而化難為易、事半功倍。
(4)微元法
將帶電圓環、帶電平面等分成許多微元電荷，每個微元電荷可看成點電荷，再利用公式和電場強度疊加原理求出合電場強度。
例1　(多選)(2024·湖南常德市一中月考)如圖所示，在豎直平面內以O點為圓心的絕緣圓環上有A、B、C三點將圓三等分，其中A、B的連線水平。在A、B兩點各固定一個電荷量為＋Q的點電荷，在C點固定一個電荷量為－2Q的點電荷。在O點有一個質量為M的帶電小球處于靜止狀態，已知圓的半徑為R，重力加速度為g，靜電力常量為k，下列說法正確的是
A.小球帶正電
√
√
A、B、C三點的點電荷在O點產生的電場強度方向如圖所示，由電場的疊加原理可知，O點的電場方向豎直向下，根據平衡條件可得，小球帶負電，A錯誤；
例2　如圖所示，均勻帶正電的金屬圓環的圓心為O，在垂直于圓環所在平面且過圓心O的軸線上有A、B、C三點，AO＝OB＝BC＝L，當B點放置電荷量為Q的負點電荷時，A點的電場強度為0。若撤去B點的負點電荷，在C點放置電荷量為2Q的正點電荷時，B點的
電場強度大小為(k為靜電力常量)
√
例3　均勻帶電的球殼在球外空間產生的電場等效于電荷集中于球心處時產生的電場。如圖所示，在半球面AB上均勻分布正電荷，總電荷量為q，球面半徑為R，CD為通過半球頂點與球心O的軸線，在軸線上有M、N兩點，OM＝ON＝2R，已知M點的電場強度大小為E，靜電力常量為k，則N點的電場強度大小為
√
例4　如圖所示，真空中有一電荷均勻分布的帶正電圓環，半徑為r，帶電荷量為q，圓心O在x軸的坐標原點處，圓環的邊緣A點與x軸上P點的連線與x軸的夾角為37°，靜電力常量為k，取sin 37°＝0.6、cos 37°＝0.8，則整個圓環產生的電場在P點的電場強度大小為
√
跟蹤訓練
1.(2024·湖北武漢市第六中學月考)用五根完全相同的均勻帶電絕緣棒圍成正五邊形ABCDF，P為該五邊形的中心。AB、BC、DF、FA棒所帶電荷量均為＋q，CD棒所帶電荷量為－2q，此時P處
電場強度的大小為E。若移走CD棒而保持其他棒
的位置和電荷分布不變，則P處電場強度的大小為
1
2
3
4
√
AB、BC、DF、FA棒所帶電荷量均為＋q，其在P點
產生的合電場強度設為E0，若CD棒所帶電荷量也為
＋q，根據對稱性P點的電場強度應為0，由于CD棒
所帶電荷量為－2q，可等效為－3q電荷與＋q電荷，
由題意和點電荷電場強度公式E＝ 可知E＝3E0，若移走CD棒而保持其他棒的位置和電荷分布不變，則相當于未移走CD棒且CD棒所帶電荷量為－q，在P點產生的電場強度為E0＝ ，故選B。
1
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2.(2023·河北秦皇島市期中)半徑為R的絕緣薄球殼固定，球心為O，球殼上均勻分布著電荷量為Q的正電荷。A、B、C為過球心大圓截面上的三點，三點將圓三等分，取走A、B兩處極小的、面積均為ΔS面上的電荷。將一點電荷q置于OC延長線上距O點為3R的D點，C、D點位于O點同側，O點的電場強度剛好為零。球面上剩余電荷分布不變，q為
1
2
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√
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球殼的面積S＝4πR2
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3.(2023·陜西渭南市一模)如圖所示，電荷量為＋q和－q的點電荷分別位于棱長為a的正方體的頂點，設靜電力常量為k，則正方體中心的電場強度大小為
1
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4.(2023·全國乙卷·24)如圖，等邊三角形△ABC位于豎直平面內，AB邊水平，頂點C在AB邊上方，3個點電荷分別固定在三角形的三個頂點上。已知AB邊中點M處的電場強度方向豎直向下，BC邊中點N處的電場強度方向豎直向上，A點處點電荷的電荷量的絕對值為q，求：
(1)B點處點電荷的電荷量的絕對值并判斷3個點電荷的
正負；
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答案　q　均為正電荷
1
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因為M點處電場強度方向豎直向下，則C點處電荷
為正電荷，根據電場強度的疊加原理，可知A、B
兩點的點電荷在M點的電場強度大小相等，方向
相反，則B點處點電荷帶電荷量為q，電性與A點
處點電荷相同，又N點處電場強度豎直向上，可得A點處電荷在N處的電場強度垂直BC沿AN連線向右上，如圖所示，可知A點處點電荷為正電荷，所以A、B、C點處的電荷均為正電荷。
對N點處電場強度分析如圖所示，
由幾何關系EA′＝EBC′·tan 30°
(2)C點處點電荷的電荷量。
1
2
3
4微點突破4　電場強度的疊加
目標要求　了解常見的電場強度矢量疊加的情形，掌握求電場強度疊加的方法。
1．電場強度的疊加(如圖所示)
2．電場強度疊加常用的其他幾種方法
(1)等效法
在保證效果相同的前提下，將復雜的電場情景變換為簡單的或熟悉的電場情景。
例如：一個點電荷＋q與一個無限大薄金屬板形成的電場，等效為兩個等量異種點電荷形成的電場，如圖甲、乙所示。
(2)對稱法
利用空間上對稱分布的電荷形成的電場具有對稱性的特點，使復雜電場的疊加計算問題簡化。常見的圓環、圓盤等在軸對稱的兩點產生的電場具有對稱性。
(3)填補法
將有缺口的帶電圓環或圓板補全為完整的圓環或圓板，將半球面補全為球面，從而化難為易、事半功倍。
(4)微元法
將帶電圓環、帶電平面等分成許多微元電荷，每個微元電荷可看成點電荷，再利用公式和電場強度疊加原理求出合電場強度。
例1　(多選)(2024·湖南常德市一中月考)如圖所示，在豎直平面內以O點為圓心的絕緣圓環上有A、B、C三點將圓三等分，其中A、B的連線水平。在A、B兩點各固定一個電荷量為＋Q的點電荷，在C點固定一個電荷量為－2Q的點電荷。在O點有一個質量為M的帶電小球處于靜止狀態，已知圓的半徑為R，重力加速度為g，靜電力常量為k，下列說法正確的是(　　)
A．小球帶正電
B．O點的電場強度大小為
C．小球的帶電荷量為
D．撤去C點點電荷瞬間，小球的加速度大小為g
例2　如圖所示，均勻帶正電的金屬圓環的圓心為O，在垂直于圓環所在平面且過圓心O的軸線上有A、B、C三點，AO＝OB＝BC＝L，當B點放置電荷量為Q的負點電荷時，A點的電場強度為0。若撤去B點的負點電荷，在C點放置電荷量為2Q的正點電荷時，B點的電場強度大小為(k為靜電力常量)(　　)
A. B. C. D.
例3　均勻帶電的球殼在球外空間產生的電場等效于電荷集中于球心處時產生的電場。如圖所示，在半球面AB上均勻分布正電荷，總電荷量為q，球面半徑為R，CD為通過半球頂點與球心O的軸線，在軸線上有M、N兩點，OM＝ON＝2R，已知M點的電場強度大小為E，靜電力常量為k，則N點的電場強度大小為(　　)
A.－E B.
C.－E D.＋E
例4　如圖所示，真空中有一電荷均勻分布的帶正電圓環，半徑為r，帶電荷量為q，圓心O在x軸的坐標原點處，圓環的邊緣A點與x軸上P點的連線與x軸的夾角為37°，靜電力常量為k，取sin 37°＝0.6、cos 37°＝0.8，則整個圓環產生的電場在P點的電場強度大小為(　　)
A. B. C. D.
1.(2024·湖北武漢市第六中學月考)用五根完全相同的均勻帶電絕緣棒圍成正五邊形ABCDF，P為該五邊形的中心。AB、BC、DF、FA棒所帶電荷量均為＋q，CD棒所帶電荷量為－2q，此時P處電場強度的大小為E。若移走CD棒而保持其他棒的位置和電荷分布不變，則P處電場強度的大小為(　　)
A. B. C. D.
2．(2023·河北秦皇島市期中)半徑為R的絕緣薄球殼固定，球心為O，球殼上均勻分布著電荷量為Q的正電荷。A、B、C為過球心大圓截面上的三點，三點將圓三等分，取走A、B兩處極小的、面積均為ΔS面上的電荷。將一點電荷q置于OC延長線上距O點為3R的D點，C、D點位于O點同側，O點的電場強度剛好為零。球面上剩余電荷分布不變，q為(　　)
A．正電荷，q＝ B．負電荷，q＝
C．正電荷，q＝ D．負電荷，q＝
3.(2023·陜西渭南市一模)如圖所示，電荷量為＋q和－q的點電荷分別位于棱長為a的正方體的頂點，設靜電力常量為k，則正方體中心的電場強度大小為(　　)
A．0 B.
C. D.
4．(2023·全國乙卷·24)如圖，等邊三角形△ABC位于豎直平面內，AB邊水平，頂點C在AB邊上方，3個點電荷分別固定在三角形的三個頂點上。已知AB邊中點M處的電場強度方向豎直向下，BC邊中點N處的電場強度方向豎直向上，A點處點電荷的電荷量的絕對值為q，求：
(1)B點處點電荷的電荷量的絕對值并判斷3個點電荷的正負；
(2)C點處點電荷的電荷量。

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